Corso di Chimica Fisica II

2011

Marina Brustolon

2. Onde elettromagnetiche e corpo nero

Onde elettromagneticheOnde elettromagnetiche

1. Dipolo elettrico

2. Onde elettromagnetiche

3. Emissione di onde a varie temperature

4. Il corpo nero

5. La teoria di Planck

6. La quantizzazione dell’energia

+

-

Due cariche di segno opposto ad una certa distanza tra di loro sono un dipolo elettrico. Le linee di forza del campo elettrico prodotto dal dipolo sono mostrate in figura.

Il momento di dipolo

Nella materia sono presenti momenti di dipolo che si comportano come oscillatori. Se la distanza tra le cariche varia nel tempo, anche il campo elettrico dipende dal tempo.

Secondo le equazioni di Maxwell un campo elettrico che varia nel tempo dà origine ad un campo magnetico, e viceversa. L’effetto del dipolo oscillante è di produrre di un’onda elettromagnetica.

E

B

Onde elettromagnetiche

E

B

L’onda è formata da un campo elettrico e un campo magnetico perpendicolari tra loro e che viaggiano alla velocità della luce c = 2.99 108 m/s (nel vuoto). La frequenza dell’onda è quella del dipolo oscillante. La propagazione dell’onda è in linea retta nei mezzi uniformi.

La distanza tra due punti equivalenti dell’onda è la lunghezza d’onda .

Grandezze e unità di misura per le onde elettromagnetiche

frequenza in Hz 2

frequenza angolare in s-1

c

lunghezza d’onda in m

1

numero d’onda in cm-1

In 1 secondo passano c metri di onda. Se li dividiamo per la lunghezza d’onda otteniamo il numero di creste che passano in un secondo, cioè la frequenza. Quindi la relazione tra frequenza e lunghezza d’onda è :

Relazione tra lunghezza d’onda e frequenza: Per misurare la frequenza dell’onda, conto quante creste dell’onda passano in 1 secondo:

c

Lo spettro elettromagnetico: tutti i tipi di radiazione elettromagnetica

Per farsi un’idea delle lunghezze d’onda nello spettro elettromagnetico…

Tutti i corpi contengono dipoli elettrici, che sono soggetti a moto armonico.

Dal momento che i dipoli soggetti a moto armonico emettono radiazione... …tutti i corpi emettono radiazione

La frequenza della radiazione dipende dalla frequenza di vibrazione dei dipoli.

Aumentando la temperatura aumenta anche la frequenza di vibrazione, e quindi la frequenza della radiazione emessa.

Questa è una rappresentazione in “falsi colori” dell’intensità delle radiazioni infrarosse: si va dal blu al rosso man mano che l’intensità ( e quindi la temperatura) aumenta.

Per esempio, i corpi dei mammiferi, più caldi dell’ambiente, emettono più radiazione infrarossa, che può essere fotografata se si ha una pellicola sensibile all’infrarosso:

I pezzi di metallo a temperatura ambiente emettono radiazioni a bassa frequenza (quindi alta lunghezza d’onda), e quindi per noi invisibili (li “vediamo” perché riflettono la luce dell’ambiente).

Ma nel metallo arroventato e quindi ad alta temperatura la frequenza della radiazione emessa è più alta, ed è nell’intervallo di frequenza per il quale il nostro occhio si è evoluto, la radiazione visibile.

Si noti come la parte che si è già raffreddata e quindi è a temperatura più bassa emette luce rossa, quella a temperatura più alta emette luce più bianca (che quindi contiene frequenze più alte del rosso).

Il corpo nero

• Per studiare la relazione tra l’emissione di radiazione e la temperatura del corpo servirebbe un materiale che assorba a tutte le frequenze (non deve avere “preferenze” per un tipo di radiazione a causa della sua composizione).

• Questa materiale modello viene indicato come “corpo nero”.

• Un corpo che assorba tutte le radiazioni sarebbe anche un emettitore ideale, cioè ad una certa temperatura emetterebbe il massimo dell’energia possibile a quella temperatura.

• Il corpo nero è importante per la storia della Fisica, vedremo perché.

Il corpo nero : le misure

T

bmax

Legge di Wien

b =2.8978×10−3 m K

Osservazione sperimentale dell’emissione del corpo nero. Il massimo dell’emissione si sposta a lunghezze d’onda minori e quindi a frequenze maggiori all’aumentare della temperatura. Infatti l’energia a disposizione aumenta e i dipoli elettrici vibrano a frequenze più alte.

We can use the color of hot objects to estimate their temperatures from about 1000 K, as the peak wavelength moves into the visible spectrum.

The emission from the surface of the sun, with its average temperature around 5800 K, gives us our definition of white; its peak wavelength near 550 nm is mirrored in the maximum sensitivity of our eyes in the same region, reflecting our evolutionary progress while exposed to the light of the sun.

The tungsten filament light bulb, the most common source of light on earth, glows at about 2854 K.

Modello del corpo nero: dipoli oscillanti a frequenze diverse emettono radiazioni alla stessa frequenza di quella alla quale oscillano.

Basterà quindi calcolare quanti oscillatori hanno una certa frequenza ad una certa temperatura usando il principio termodinamico dell’equipartizione dell’energia.

Come si può spiegare l’emissione del corpo nero a diverse lunghezze d’onda?

Attorno al 1890 molti fisici studiavano l’emissione del corpo nero e cercavano di spiegarla con un modello termodinamico.

Il corpo nero : il modello

Ogni oscillatore ad una determinata lunghezza d’onda alla temperatura T ha, per il principio di equipartizione dell’energia, energia kT.

L’ energia degli oscillatori tra λ e λ+d λ sarà:

Il corpo nero : il risultato del modello considerando oscillatori

classici

)()( dNkTdU

Numero di oscillatori

con lunghezza

d’onda tra λ e λ+d λ

Calcolando il numero di oscillatori con lunghezza d’onda tra λ e λ+d λ, Rayleigh e Jeans trovarono:

dkT

dU 4

8)(

densità di energia radiante alla lunghezza d’onda λ.

Come si vede, al diminuire di λ la densità di energia radiante aumenta!

Il corpo nero: il calcolo classico

Rayleigh e Jeans cercarono di spiegare teoricamente l’andamento di emissione del corpo nero. La teoria era basata sull’ipotesi che i dipoli oscillanti potessero avere qualsiasi energia, e che la distribuzione di energia tra di loro fosse secondo una statistica termodinamica classica. Ecco quello che ottennero!

E’ evidente che secondo questa teoria la densità di radiazione prevista dovrebbe aumentare indefinitamente al diminuire di .

4

8

kT

Catastrofe ultravioletta!

Quindi, a tutte le temperature i corpi dovrebbero emettere radiazione anche ad alta (UV) e altissima frequenza (raggi X e )!!

Dove sta l’errore ???

Il calcolo è impeccabile secondo la fisica classica, perché è basato sui principi della termodinamica e della meccanica classica:

Il corpo nero : il modello considerando oscillatori classici

2

2

1kAE

Principio termodinamico: Ogni oscillatore ha energia kT, qualunque sia la sua frequenza.

Proprietà dell’oscillatore classico: l’energia di ogni oscillatore può essere qualsiasi perché è proporzionale al quadrato dell’elongazione:

In conclusione, secondo la teoria classica:

A seconda della temperatura, il moto di oscillazione dei dipoli a tutte le frequenze avrà ampiezza più o meno grande, ma non c’è nessuna restrizione che limiti la frequenza massima dei dipoli. Quindi, anche a temperatura ambiente, i corpi dovrebbero emettere anche radiazione luminosa, raggi UV, raggi X ecc.

Max Planck

1858-1947

Cosa ha scoperto Planck?

Planck: gli oscillatori alla frequenza possono avere solo energie date da multipli interi di h : E = nh

dove n = 0,1,2. . .e h è una costante: h = 6.62 x 10-34Js

Che era sbagliato considerare che gli oscillatori potessero avere qualsiasi energia; e che l’energia dipende dalla frequenza.

Max Planck

1858-1947

Che catastrofe poveri Rayleigh e Jeans!

Mi è venuta un’idea: ho provato a vedere cosa si ricavava assumendo che l’energia di ogni oscillatore non

potesse variare a piacere ma potesse assumere solo determinati valori

che dipendono dalla loro frequenza.

Per ogni oscillatore alla frequenza ho supposto che le

energie possibili fossero uguali a

E = nh , dove n = 0,1,2. . .e h è una costante: h= 6.62 x 10-34Js

Tutti ora la chiamano costante di Planck!

Secondo l’ipotesi di Planck, un oscillatore che oscilli alla frequenza può assumere energie che siano multipli di h , e quindi l’energia minima è:

Ma allora i dipoli devono fare i conti con l’energia termodinamicamente disponibile: un dipolo con una frequenza alta ha bisogno per essere attivo di un’energia minima h che è maggiore dell’energia disponibile termodinamicamente. La conseguenza è che a temperature ordinarie non ci sono dipoli oscillanti a frequenze elevate, e quindi le radiazioni ad alta energia sono assenti.

Emin = h

Il corpo nero 3

Nobel a Planck, 1918

mi ha procurato il Nobel!

1

18/5

kThce

hc

E’ stata un’idea geniale,

quasi come le

mie

L’accordo con i dati sperimentali è ora perfetto!

La quantizzazione dell’energia

Il risultato di Planck si può esprimere in questo modo: nel caso di oscillatori di dimensioni atomiche, l’energia degli oscillatori non può variare a piacere come per gli oscillatori classici. L’energia è scambiabile solo in quanti. Per un oscillatore alla frequenza l’energia possibile è data da E = nh , dove n è un numero quantico = 0,1,2. . ., e h è la costante di Planck.L’energia si dice “quantizzata”.

Il limite classicoCome vedremo ancora molte altre volte, la MQ non è una teoria in contrasto con la meccanica classica.

La MQ è una teoria più generale della MC, e la comprende. Per esempio nel caso del corpo nero l’equazione ricavata dalla MQ spiega le leggi dell’emissione del corpo sia alle frequenze basse che alle alte, come abbiamo visto dal grafico. Man mano che si considerano frequenze minori (o lunghezze d’onda maggiori), l’espressione quantistica si avvicina alla classica:

1

18/5

kThce

hc

kT

hc

kT

hce kThc

1...)1(1/

45

88

kT

hc

kThc

Si può espandere in serie l’esponenziale, e per grandi ci fermiamo al secondo termine:

uguale al risultato classico

Esercizio

Consideriamo l’oscillatore classico già visto: una pallina con massa di 100 g attaccata ad una molla elastica con costante di forza k = 15 Nm-1.

Chiediamoci: se l’energia di un oscillatore secondo la MQ è quantizzata, come mai possiamo trattare un oscillatore macroscopico come se la sua energia fosse continua?

Supponiamo che l’elongazione A sia di 4 cm. Quant’è la sua energia calcolata secondo la MC?

4 cm = 4 x 10-2 m 2

2

1kAE

msmkgmmsmkg

E

)(101202

1016))((15 242412 f x s = Joule

JE 2102.1 Energia “classica”

Chiediamoci adesso: rispetto a questa energia dell’oscillatore, quanto grandi sono i quanti ?E = h Abbiamo visto che 2 Hz. Quindi:

JssJE 33134 103.1)(2)(1062.6

E’ evidente che il quanto di energia è in questo caso così piccolo rispetto all’energia totale da essere non percepibile.

JE 2102.1

Quindi, l’energia è sempre quantizzata, ma per gli oggetti classici il quanto è così piccolo da poter considerare con ottima approssimazione l’energia come un continuo.

Riassunto delle puntate precedenti

Meccanica classica (MC), riepilogo:

2. Energia potenziale, moto uniformemente accelerato. 3. Oscillatore armonico classico

4. Moto circolare classico

5. Il momento angolare e quando si conserva

1. Moto rettilineo ed uniforme, conservazione del momento angolare. Energia cinetica.

Le onde elettromagnetiche: lunghezza d’onda, numero d’onda frequenza.

Con la MC qualcosa non torna. . .il corpo nero

La quantizzazione dell’energia degli oscillatori microscopici secondo Planck E= nh