LE ONDE MECCANICHE - My Big Classroom · 2018. 2. 28. · Amaldi, L’Amaldi per i licei...

CAPITOLO 14

LE ONDE MECCANICHE

1

1 I MOTI ONDULATORI 1 Un’onda è una perturbazione che si propaga trasportando energia. Un impulso sonoro, per esempio dovuto a uno sparo, produce un’onda sonora che, propagandosi attraverso l’aria, raggiunge la neve: l’impatto su questa può determinare il distacco di lastroni di ghiaccio e produrre una valanga. 2 • Si tratta di un impulso longitudinale poiché le persone si spostano nella stessa direzione di

propagazione dell’impulso. • La velocità dell’impulso è determinata dai tempi di reazione delle persone e dalla velocità con

cui esse si muovono. 3 • Lungo gli spalti. • Il «mezzo» è l’insieme degli spettatori. • Ognuno si muove prima verso l’alto e poi verso il basso. • L’onda è trasversale. 4 L’onda è longitudinale. 2 FRONTI D’ONDA E RAGGI 5 Circonferenze concentriche. 6 Hanno forma sferica. 7 I fronti d’onda sono porzioni di piano. 3 LE ONDE PERIODICHE 8 La frequenza di un’onda periodica è sempre uguale a quella della sorgente. Può cambiare, a seconda del mezzo, la velocità e dunque la lunghezza d’onda. 9 Le due onde hanno la stessa lunghezza d’onda, ma la velocità di propagazione di un’onda elettromagnetica nell’aria è molto più elevata di quella del suono; dunque, poiché v = λ f , la

Amaldi, L’Amaldi per i licei scientifici.blu CAPITOLO 14 • LE ONDE MECCANICHE

2

frequenza delle onde elettromagnetiche è più elevata di quelle sonore. 10 ★

• f = 1T= 1

6,0�s= 0,17�Hz

• λ = vT ⇒ v = λT= 90�m

6,0�s= 15�m/s

11 ★

λ = 100�m14

= 7,14�m

12 ★ T = 1

f= 1

446�Hz= 2,24 ⋅10−3 �s

λ = vf= 343�m/s

446�Hz= 0,769�m

13 ★ Il periodo delle onde è 2,0 s, la lunghezza d’onda è pari a 6,5 m, dunque la velocità delle onde è

v = λT= 6,5�m

2,0� s= 3,3�m/s

14 ★

• v = st= 2L

� t=

2 840�m( )4,90�s

= 343�m/s

• f = vλ= 343�m/s

0,800�m= 429�Hz

• T = λv= 0,800�m

343�m/s= 2,33×10−3 �s�

15 ★ v = λ f

� t = � sv

= � sλ f

= 35,8�m2,82�m( ) 546�Hz( ) = 0,0233�s

16 ★★ • Onda rossa: ampiezza = 1 cm; lunghezza d’onda = 2 cm. • Onda verde: lunghezza d’onda = 2 cm. Onda blu: lunghezza d’onda = 1 cm. • La lunghezza d’onda. 17 ★★ La distanza è data da


3

d = v� t = 340�m/s( ) 4,0�s( ) = 1,4 ×103 �m

La frequenza del suono è

f = vλ= 340�m/s

7,43�m= 45,8�Hz

18 ★★ • La distanza tra una cresta e una gola vale

λ2= v

2 f= 18�m/s

2 0,18�Hz( ) = 50�m

• La velocità di tale onda è

v2 = λ f2 = λ 3 f1( ) = 3 λ f1( ) = 3v1 = 3 18�m/s( ) = 54�m/s 19 ★★ La frequenza dell’onda generata è uguale alla frequenza della sollecitazione:

f = 1T= 1

1�s= 1�Hz

λ = vf= 5 ×10−2 �m/s

1�s−1 = 0,05�m

20 ★★

• La velocità di propagazione delle onde è sempre la stessa in una stessa molla. • La velocità di propagazione delle onde dipende solo dalle caratteristiche fisiche e geometriche

della molla. • Velocità: 3,5 m/s 3,5 m/s 2,5 m/s 2,5 m/s 2,1 m/s 2,2 m/s 21 ★★

• La velocità delle onde è data da

v = λ f = 0,50�m( ) 10�Hz( ) = 0,50�m/s

La profondità del liquido è

h = v2

g=

0,50�m/s( )2

9,8�m/s2 = 2,6�cm

• Il periodo rimane invariato.

λ f = (gh) →λ = 9,8 m/s2 ⋅0,013 m10 Hz

= 0,036 m = 3,6 cm

22 ★★ La forza di tensione della corda è uguale alla forza-peso dell’oggetto appeso:


4

FT = Fp = mg = 2,5�kg( ) 9,8�m/s2( ) = 24,5�N

La densità lineare della corda vale

dL =mL= 0,050�kg

2,5�m= 0,020�kg/m

La velocità di propagazione dell’impulso è

v = FT

dL

= 24,5�N0,020�kg/m

= 35�m/s

23 ★★ La densità lineare della fune vale

dL =FT

v2 = 400�N200�m/s( )2 = 0,0100�kg/m

La tensione della fune è

F = dLv2 = 0,0100�kg/m( ) 300�m/s2( ) = 900�N 24 ★★ La densità lineare del secondo cavo è il quadruplo della densità lineare del primo cavo. Dal problema modello, sappiamo che dL = Sd . Inoltre, la tensione è direttamente proporzionale alla densità lineare, poiché la velocità non varia. Quindi la tensione sul secondo cavo è il quadruplo della tensione sul primo cavo:

F2 = 4F1 = 4 300�N( ) = 1200�N = 1,2×103 �N 25 ★★ La distanza della località dall’ipocentro, chiamata d, è percorsa dalle onde P in 4,0 s in meno rispetto alle onde S. Quindi

� t = 4,0�s = d3,0�km/s

− d5,0�km/s

⇒

⇒ 5,0�km/s− 3,0�km/s( ) d = 60�km ⇒ d = 30�km 4 LE ONDE ARMONICHE 26 Le oscillazioni delle boe sono in fase, poiché la distanza che le separa è il doppio della lunghezza d’onda. 27 ★ Scegliamo in modo comodo il sistema di riferimento necessario per risolvere il problema, quindi poniamo in x = 0 il punto di massimo dell’onda e poniamo y = 0 a metà altezza tra il massimo dell’onda e il minimo, in modo da usare la formula [7] con ϕ0 = 0 . In questo modo il punto P, di cui dobbiamo trovare l’altezza, ha x = 0,500 m = 50,0 cm.


5

y

x

P

50,0 cm

0

Sostituendo nella [7] i valori numerici del problema e usando una calcolatrice scientifica, troviamo:

y(x) = a cos2πλ

x +ϕ0⎛⎝

⎞⎠

y P( ) = 1,73�m( ) cos6,28

4,22�m0,500�m( ) + 0⎡

⎣⎢⎤⎦⎥= 1,73�m( ) cos 0,744( ) = 1,73�m( ) 0,736( ) = 1,27�m

28 ★

• y t( ) = a cos2πT

t⎛⎝

⎞⎠ = 0,15�m( ) cos

2π1,8�s

t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

• y t( ) = a cos2πT

t⎛⎝

⎞⎠ = 0,15�m( ) cos

2π1,8�s

2,2�s( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 0,026�m

29 ★

• 2πT

t⎛⎝

⎞⎠ = πt ⇒ T = 2�s

• 0 rad • L’ampiezza dell’oscillazione. 30 ★

• y x( ) = a cos2πλ

x⎛⎝

⎞⎠ = a cos

2πvT

x⎛⎝

⎞⎠

y 40�cm( ) = 1,40�m( ) cos2π

1,88�m/s( ) 2,13�s( )40,0 ×10−2 �m( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 1,13�m

• cos2πλ

x⎛⎝

⎞⎠ = 0 ⇒ 2π

λx = π

2⇒ x = λ

4= vT

4= 1,88�m/s( ) 2,13�s( )

4= 1,00�m

•


6

1 2 3 4

–1,0

–0,5

0,5

1,0

1,4

x

y

00,4

1,13

31 ★★ • L’altezza dell’onda rispetto al livello del mare è la sua ampiezza. La distanza tra le creste è la lunghezza d’onda. L’intervallo di tempo trascorso tra due creste è il periodo. Con questi dati calcoliamo la frequenza, la pulsazione e la velocità:

f = 1T= 1

8,0�s= 0,13�Hz

ω = 2π f = 2π�rad( ) 0,13�Hz( ) = 0,79�rad/s

v = λ f = 15�m( ) 0,13�Hz( ) = 1,9�m/s

• y t( ) = a cos ωt( ) = 0,80�m( ) cos 0,79�rad/s( ) t[ ] 32 ★★

• 2πT

t⎛⎝

⎞⎠ = 2πt ⇒ T = 1�s

λ = vT = 0,040�m/s( ) 1�s( ) = 0,040�m •


7

0,5 1,0 1,5 2,0

– 0,5

0,5

0,8

t

y

33 ★★ • Dall’onda di figura conosciamo ampiezza, lunghezza d’onda e velocità di propagazione. Da

queste ricaviamo la funzione d’onda y(x) e la frequenza f. Infine, da quest’ultima, ricaviamo l’equazione dell’onda x(t).

La fase iniziale, per x = 0 m, è pari a zero, quindi la curva è una cosinusoide:

y x( ) = a cos2πλ

x⎛⎝

⎞⎠ = a cos

2π10�m

x⎛⎝

⎞⎠ = 0,50�m( ) cos 0,63�rad/m( ) x[ ]

• f = vλ= 5,0�m/s

10�m= 0,50�Hz

y t( ) = a cos 2πft( ) = 0,50�m( ) cos 2π 0,50�Hz( ) t[ ] = 0,50�m( ) cos πt( )

La funzione armonica è dunque

y = 0,50�m( ) cos2π

10�mx − (5,0�m/s) t[ ]{ }

34 ★★ • L’ampiezza della sinusoide è la semioscillazione:

a = 0,30�m2

= 0,15�m

La frequenza e la pulsazione sono:

f = 1T= 1

1,5�s= 0,67�Hz

ω = 2π f = 2π 0,67�Hz( ) = 4,2�rad/s

• y t( ) = a cos ωt( ) = 0,15�m( ) cos 4,2�rad/s( )


8

–0,15

–0,10

–0,05

0,05

0,10

0,15

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

y

t

35 ★★

• Il punto P è in ritardo rispetto al punto A di un quarto di un intero ciclo. Dunque la differenza di fase tra i due punti è

�ϕ = 14

2π( ) = π2

• Il punto P è in fase con il punto D. • Il punto E è in fase con il punto B. • Il punto C è in anticipo rispetto al punto P di 3/4 di un intero ciclo. Dunque la differenza di fase tra i due punti è

�ϕ = 34

2π( ) = 32π

• Il punto C, poiché la differenza di fase tra il punto A e il punto C è

�ϕ = 12

2π( ) = π

• La differenza di fase tra i punti B e D è

�ϕ = 12

2π( ) = π

36 ★★ Conoscendo ampiezza e periodo dell’onda possiamo determinare la sua funzione:

y t( ) = a cos2πT

t⎛⎝

⎞⎠ = 0,70�m( )cos

2π0,50�s

t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 0,70�m( )cos 13�rad/s( ) t[ ]

Il grafico risulta il seguente:


9

0,2

0,4

0,60,7

–0,6

–0,4

–0,20,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

y

t

37 ★★ λ = v

f= 340�m/s

880�Hz= 0,386�m

y = a cos2πλ

x − vt( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

= 3,00�m( ) cos2π

0,386�mx − 340�m/s( ) t[ ]⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭=

= 3,00�m( ) cos 16,3�rad/m( ) x − 340�m/s( ) t[ ]{ } 5 L’INTERFERENZA 38 Si ha interferenza costruttiva quando si incontrano linee dello stesso colore. 39 L’interferenza è costruttiva perché i punti di a sono equidistanti dalle sorgenti S1 e S2. 40 ★ ϕ0 =

π2

A = 2a cosϕ0

2⎛⎝

⎞⎠ = 2a cos

π4

⎛⎝

⎞⎠ = 2a

22

= a 2

41 ★★

• f1 =ω1

2π= 1

2π= 0,16�Hz


10

f2 =ω2

2π= π

2π= 0,5�Hz

f3 =ω3

2π= 2

2π= 0,32�Hz

a1 = 2,0�m

a2 = 0,50�m

a3 = 1,0�m

•

2 4 6 8 10

–1

1

2

3

t

y

42 ★★

–8

–6

–4

–2

2

4

1 2 3

4

5 6

y

x


11

43 ★★ Gli angoli di sfasamento possono essere trasformati da gradi in radianti ricordando la proporzione:

α�(°) : 180° = x �(rad) : π�rad

Le equazioni d’onda delle due onde che interferiscono sono:

y1(t) = a cos ωt +ϕ1( ) = 0,20�m( )�cos 5�rad/s( ) t + 0,35[ ]

y2(t) = a cos ωt +ϕ2( ) = 0,20�m( )�cos 5�rad/s( ) t +1,4[ ]

Applicando le formule di prostaferesi, si ottiene

y t( ) = y1 t( ) + y2 t( ) = 2a cosϕ2 −ϕ1

2⎛⎝

⎞⎠ cos 10 t + ϕ2 −ϕ1

2⎛⎝

⎞⎠ =

= 0,40�m( ) cosπ6

⎛⎝

⎞⎠ cos 5�rad/s( )t + π

6⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

44 ★★

A = 2a cosϕ0

2⎛⎝

⎞⎠ ⇒

⇒ 2a cosϕ0

2⎛⎝

⎞⎠ =

a2

⇒

⇒ ϕ0 = 2arccos14

⎛⎝

⎞⎠ = 151°

45 ★★

• Il grafico delle due onde al variare del tempo è

–3 –2 –1

1 2 3

–3

–2

–1

1

2

3

y

t

• Il grafico dell’onda ottenuta dalla sovrapposizione delle due onde è


12

–3 –2 –11 2 3

–6

–4

–2

2

4

6

46 ★★ La somma delle due onde armoniche è

y t( ) = y1 t( ) + y2 t( ) = 0,60�m( ) cosπ6

⎛⎝

⎞⎠ cos 10 t + π

6⎛⎝

⎞⎠

L’onda risultante si annulla quando si annulla il coseno:

cos 10 t + π6

⎛⎝

⎞⎠ = 0 ⇒ 10 t + π

6= π

2+ kπ ⇒ 10 t + π

6= k + 1

2⎛⎝

⎞⎠ π ⇒

⇒ 10 t = kπ + π3

⇒ t = k + 13

⎛⎝

⎞⎠π

10�s

47 ★★ Dopo 1 s, gli impulsi si sono spostati di 2 m: in questa situazione si sovrappongono e la corda si sposta verso il basso di 2,5 m (spostamento massimo) rispetto all’asse x. Dopo 2 s gli impulsi si sono spostati di 4 m e non interferiscono più. 48 ★★ L’equazione dell’onda risultante è

y t( ) = y1 t( ) + y2 t( ) = 2a cos�φ2

⎛⎝

⎞⎠ cos ωt + �φ

2⎛⎝

⎞⎠

La condizione sulle ampiezze risulta:

2a cos�φ2

⎛⎝

⎞⎠ = A ⇒ 0,26�m( ) cos

�φ2

⎛⎝

⎞⎠ = 0,20�m

Da questa condizione si calcola lo sfasamento:

�φ = 2 arccos0,20�m0,26�m

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1,4�rad

49 ★★ Dalla condizione sulle ampiezze, so ottiene:


13

A = 2a cosφ2

2⎛⎝

⎞⎠ ⇒ 1

4a = 2a cos

φ2

2⎛⎝

⎞⎠ ⇒ cos

φ2

2⎛⎝

⎞⎠ =

18

⇒ φ2 = 2,9�rad

6 L’INTERFERENZA IN UN PIANO E NELLO SPAZIO 50 ★★

� L = λ2= 1

2vs

f⇒ f = vs

2 � L= vs

2 d 2 + D2 − D( ) =

= 340�m/s

2 2,10�m( )2 + 2,80�m( )2 − 2,80�m( )⎡⎣

⎤⎦= 243�Hz

51 ★★

d

A

B

λ

x

P

x La differenza dei cammini D delle due onde è

D = DP − AP = x2 + d 2 − x = k + 12

⎛⎝

⎞⎠ λ k = 0,�1,�2,�3,�...

Sviluppando il calcolo si ricava x:

x2 +16 = x + k + 12

⎛⎝

⎞⎠ λ ⇒ x2 +16 = x2 + 2x k + 1

2⎛⎝

⎞⎠ λ + k + 1

2⎛⎝

⎞⎠

2

λ2 ⇒

⇒ x =16− k + 1

2⎛⎝

⎞⎠

2

λ2

2k +1( )λ≥ 0

La condizione

16− k + 12

⎛⎝

⎞⎠

2

λ2

2k +1( )λ≥ 0


14

è verificata se

k + 12

⎛⎝

⎞⎠

2

λ2 ≤16

ovvero se

k ≤ 4λ− 1

2= 3,5 ⇒ k = 0,�1,�2,�3

Con questi valori di k ammessi, si ricavano le posizioni dei minimi:

k = 0 ⇒ x0 = 16�m

k = 1 ⇒ x1 = 4,6�m

k = 2 ⇒ x2 = 2,0�m

k = 3 ⇒ x3 = 0,54�m

52 ★★ La posizione utile è quella in cui la differenza di cammino delle due onde sonore è uguale a mezza lunghezza d’onda. Ci sono anche altre posizioni tali che la differenza di cammino è un numero intero di lunghezze d’onda più mezza lunghezza d’onda.

A1 A2PP′ P′

La lunghezza d’onda delle onde sonore è

λ = vf= 340�m/s

170�Hz= 2,00�m

Sia P il punto centrale tra A1 e A2 e sia ′P la nuova posizione della scrivania, che può essere a destra o a sinistra, come indicato in figura. Poniamo:

A1 ′P = A1P − x = 5,0�m − x

A2 ′P = A2P + x = 5,0�m + x

Per avere interferenza distruttiva, la posizione della scrivania deve essere tale che

A1 ′P − A2 ′P = 2x = λ2

e quindi

x = λ4= 2,00�m

a= 0,500�m

Giulia si deve quindi spostare di mezzo metro, a destra oppure a sinistra, dalla posizione centrale P prima occupata. 53 ★★


15

A1

d1 d2

A2P

La lunghezza d’onda sonora è

λ = 340�m/s900�Hz

= 0,378�m

Siano d1 e d2 le distanze dagli altoparlanti A1 e A2 alle quali si può mettere il bicchiere. La condizione di interferenza costruttiva è

d1 − d2 = kλ

sono quindi ricavabili dalle condizioni

d1 − d2 = kλd1 + d2 = 2�m

⎧⎨⎩

e risultano

d1 = 1�m + kλ2

d2 = 1�m − kλ2

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

k = ...,�−2,�−1,�0,�+1,�+2,�...

54 ★★ La lunghezza d’onda dell’onda sonora da attenuare è

λ = vf= 340�m/s

1000�Hz= 0,340�m

La condizione per l’interferenza distruttiva è

d1 − d2 = 32λ = 0,510�m

da cui

d2 = d1 ± 0,510�m

Perciò, se d1 = 2,50 m, per d2 avremo i possibili valori 1,99 m e 3,01 m. 55 ★★ La lunghezza d’onda delle armoniche è

λ = vf= 250�m/s

5,00 ×103 �Hz= 5,00 ×10−2 �m

Si ha interferenza costruttiva quando le distanze delle due sorgenti dal punto P di osservazione differiscono di kλ . Possiamo scrivere, per k = 1,

d 2 + 0,10�m( )2 − d = λ


16

da cui ricaviamo d:

d = 0,10�m( )2 − λ2

2λ=

0,10�m( )2 − 5,00 ×10−2 �m( )2

2 5,00 ×10−2 �m( ) = 75×10−3 �m

7 LA DIFFRAZIONE 56 Non vediamo l’immagine di questa persona poiché la lunghezza d’onda della luce visibile è dell’ordine di mezzo micron (1 µm = 10–6

m), troppo piccola per generare fronti d’onda oltre l’ostacolo. La lunghezza d’onda del suono invece è dell’ordine del metro, pertanto confrontabile con l’ostacolo. Per questo motivo può aggirarlo e generare il fenomeno di diffrazione. 57 L’onda di lunghezza d’onda di 1 m diffrange contro lo scoglio più piccolo, superandolo facilmente. Lo scoglio più grande invece si comporta da schermo, così come avviene con un’ombra generata dalla luce schermata da un ostacolo. Per questa ragione non vedremo l’onda propagare appena dietro allo scoglio di lunghezza di 12 m.


17

PROBLEMI GENERALI 1 ★★ T4= 0,30�s ⇒ λ = vT = 4v

T4= 4 4,0�m/s( ) 0,30�s( ) = 4,8�m

2 ★★

• λ = 8,40�m200

= 4,20 ×10−2 �m

λ = vT ⇒ v = λT= λ f = 8,40�m

20050,0�Hz( ) = 2,10�m/s

• Dall’equazione

y t( ) = a cos2πT

t +ϕ0⎛⎝

⎞⎠

imponendo le condizioni iniziali t = 0 s, y = –28,2 cm, a = 28,2 cm, si ricava ϕ0 :

−28,2�cm = 28,2�cm( ) cos 0 +ϕ0( ) ⇒ cosϕ0 = −1 ⇒ ϕ0 = π

L’equazione dello spostamento verticale è

y x( ) = a cos2πλ

x +ϕ0⎛⎝

⎞⎠ = 0,282�m( ) cos

2π4,20 ×10−2 �m

x + π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

= 0,282�m( ) cos 48�m−1( )πx + π⎡⎣ ⎤⎦ 3 ★★

• λ = 8,0 ×10−2 �m

• a = 8,0 ×10−2 �m

• T = λv= 8,0 ×10−2 �m

10�m/s= 8,0 ×10−3 s

• f = 1T= v

f= 10�m/s

8,0 ×10−2 �m= 1,3×102 �Hz

4 ★★

• λ = 1,2�m

• v = � s� t

= 10 ×10−2 �m0,20�s

= 0,50�m/s

• T = λv= 1,20�m

0,50�m/s= 2,4�s

• f = 1T= v

f= 0,50�m/s

1,20�m= 0,42�Hz

5 ★★


18

• I tempi impiegati dall’onda ad attraversare i due mezzi sono

t1 =sv1

= 0,100�m340�s

= 2,94 ×10−4 �s

t2 =sv2

= 0,100�m1480�s

= 6,76×10−5 �s

La loro differenza risulta

� t = t1 − t2 = 2,26×10−4 �s

• Le lunghezze d’onda del suono in aria e in acqua sono

λ1 =v1

f= 340�m

250�Hz= 1,36�m

λ2 =v2

f= 1480�m

250�Hz= 5,92�m

6 ★★ Dalle condizioni iniziali si ricava l’ampiezza iniziale:

0,015�m = 0,030�m( ) cos 0 +ϕ0( ) ⇒ cosϕ0 = 0,5 ⇒ ϕ0 = 60° = π3

La legge delle onde armoniche in un punto fissato è

y t( ) = 0,030�m( ) cos 400 πt + π3

⎛⎝

⎞⎠

7 ★★ La densità lineare del cavo è

dL =mL= dV

L= dLS

L= dS = 8960�kg/m3( ) 2,0 ×10−4 �m2( ) = 1,8�kg/m

La velocità dell’onda è

v = λ f = 0,20�m( ) 500�Hz( ) = 100�m/s

La tensione alla quale è sottoposto il cavo risulta:

FT = dLv2 = 1,8�kg/m( ) 100�m/s( )2 = 1,8×104 �N 8 ★★ vs = velocità di propagazione del suono nel terreno; v = velocità di propagazione del suono nell’aria; s = distanza indiani-bufali; t2 = tempo impiegato dal suono a percorrere nel terreno la distanza indiani-bufali; t1 = tempo impiegato dal suono a percorrere nell’aria la distanza indiani-bufali;

t2 =svs

= s10v

t1 =sv


19

t2 − t1 = s1vs

− 1v

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇒ s =t2 − t1( )vsv

v − vs

= −10�s( )10v2

−9v= 3,8×103 �m

9 ★★ D = distanza dell’epicentro dalla stazione sismografica

tS =DvS

tempo di arrivo delle onde S

tP = DvP

tempo di arrivo delle onde P

tS − tP = D1vS

− 1vP

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇒ D = tS − tP( ) vSvP

vP − vS

10 ★★★ La forza a cui è soggetta la corda è

F = mg = 1,5�kg( ) 9,8�m/s2( ) = 14,7�N

La massa per unità di lunghezza (densità lineare) della corda è

dL =ml= 0,400�kg

10�m= 0,040�kg/m

La velocità con cui si propaga l’impulso risulta

v = FdL

= 14,7�N0,040�kg/m

= 19�m/s

11 ★★★ Il periodo di rotazione del disco è

T = 133�min−1 =

60�s33

= 1,8�s

e dunque la velocità con cui si sposta un punto alla distanza dal centro assegnata è

v = 2πrT

= 2π 0,10�m( )1,8�s

= 0,35�m/s

Il disco scorre con questa velocità rispetto alla puntina e così anche le onde sul solco. La puntina viene sollecitata alla frequenza f data da

f = vλ= 0,35�m/s

1,50 ×10−3 �m= 2,3×102 �Hz

12 ★★★ Le onde riflesse interferiscono con quelle che provengono direttamente dalla sorgente. L’interferenza è costruttiva se la differenza di cammino è pari a un numero intero di lunghezze d’onda. La differenza di cammino è data dal doppio della distanza del riflettore dal rivelatore. Dette l1 e l2 le due distanze misurate, si ha

2l1 = nλ

2l2 = n +10( )λ


20

2 l2 − l1( ) = 10λ ⇒ λ = l2 − l15

= 2,8�cm

13 ★★★

• A = 2a cosϕ0

2⎛⎝

⎞⎠ ⇒ ϕ0 = 2 arccos

A2a

⎛⎝

⎞⎠ = 2 arccos

0,36�m2 0,21�m( )

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 62°

• y = 2a cosϕ0

2⎛⎝

⎞⎠ cos ωt + ϕ0

2⎛⎝

⎞⎠ = 2 0,21�m( )cos

62°2

⎛⎝

⎞⎠ cos 10π�rad/s( )t + 62°

2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

= 0,36�m( ) cos 10�rad/s( )πt + 31180

π�rad⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

14 ★★★

• 3a = 2a3

2= 2a cos

π6

⎛⎝

⎞⎠

y t( ) = 3a cos ωt + π4

⎛⎝

⎞⎠ = 2a

32

cos ωt + π4

⎛⎝

⎞⎠ = 2a cos

π6

⎛⎝

⎞⎠ cos ωt + π

4⎛⎝

⎞⎠

Dal confronto con la relazione trigonometrica

2cosαcosβ = cos α +β( ) + cos α −β( )

si può porre

α = ωt + π4

β = π6

e quindi ottenere

α +β = ωt + π4

⎛⎝

⎞⎠ +

π6= ωt + 5

12π

α −β = ωt + π4

⎛⎝

⎞⎠ −

π6= ωt + 1

12π

Di conseguenza si può scrivere

y t( ) = y1 t( ) + y2 t( ) essendo

y1 t( ) = a cos ωt + 512

π⎛⎝

⎞⎠

y2 t( ) = a cos ωt + 112

π⎛⎝

⎞⎠

• �ϕ = 512

π − π12

= π3


21

• A = a ⇒ 2a cos�ϕ2

⎛⎝

⎞⎠ = a ⇒ �ϕ

2= arccos

12

⎛⎝

⎞⎠

�ϕ = ± 23π + 4kπ con k intero relativo arbitrario.

15 ★★★ La lunghezza d’onda del segnale è

λ = vf= 340�m/s

200�s−1 = 1,70�m

• La differenza di fase tra due punti dell’onda, distanti �x, allo stesso istante di tempo, è data da

�ϕ = 2πλ

� x

Da questa si ha

� x = �ϕ2π

λ = π3

12π

1,70�m( ) = 0,283�m

• Fissato il punto x, la differenza di fase corrispondente all’intervallo di tempo assegnato è

�ϕ = 2πT

� t = 2π f � t = 2π 200�s−1( ) 1,0 ×10−3 �s( ) = 1,3�rad

• Nel primo caso la distanza tra le due sorgenti che emettono in fase è �x = 0,283 m. Le onde arrivano sul ricevitore con una differenza di fase pari a

�ϕ = π3

�rad

Nel secondo caso, se raddoppia la distanza tra le sorgenti, raddoppia anche la differenza di fase:

�ϕ = 2π3

�rad

Nel terzo caso, se triplica la distanza tra le sorgenti, triplica anche la differenza di fase:

�ϕ = π�rad

Perciò le onde arrivano in opposizione di fase e si ha interferenza distruttiva. 16 ★★★ La condizione che ottimizza l’ascolto è quella in cui il suono alla frequenza desiderata ha un massimo di interferenza delle onde generate da ogni cassa acustica. Il disegno mostra la geometria del sistema. Calcoliamo innanzitutto la lunghezza d’onda. Imponiamo la condizione di interferenza costruttiva, con k = ±1 :

λ = vf= 340�m/s

700�Hz= 0,486�m

d1 − d2 = λ

4,00�m( )2 + x2 − 4,00�m( )2 + 3,50�m − x( )2 = 0,486�m ⇒

⇒ x =2,36�m

1,14�m⎧⎨⎩

LE ONDE MECCANICHE - My Big Classroom · 2018. 2. 28. · Amaldi, L’Amaldi per i licei...

Documents

Transcript of LE ONDE MECCANICHE - My Big Classroom · 2018. 2. 28. · Amaldi, L’Amaldi per i licei...