Le onde elettromagnetiche

Queste onde, apparentemente così diverse, sono in realtà tutte onde elettromagnetiche, e differiscono tra loro soltanto per la frequenza !!

L’era dell’informazione digitale è interamente fondata sulla fisica delle onde elettromagnetiche (elm): in ogni istante della nostra giornata siamo totalmente immersi nelle radiazioni elettromagnetiche che ci arrivano da un’infinità di sorgenti: dal Sole e dalle altre stelle dell’Universo arriva radiazione visibile (luce) ed infrarossa, prodotta dalla fusione dei nuclei d’idrogeno in nuclei di elio dalle antenne trasmittenti arrivano onde delle televisioni, delle radio, dei telefoni cellulari, prodotte da cariche elettriche che oscillano nelle antenne trasmittenti dai corpi caldi e da qualunque sorgente luminosa arrivano onde elm emesse da vibrazioni atomiche e dai salti quantici degli elettroni negli atomi dalle sostanze radioattive (uranio, plutonio) nel suolo provengono radiazioni di alta energia (raggi gamma, raggi X)

Onde elettromagnetiche Un’onda elettromagnetica è l’insieme di un campo elettrico E e di un campo magnetico B perpendicolari tra loro, che viaggiano accoppiati nello spazio con velocità c = 300000 Km/s I campi oscillano nello spazio in modo sinusoidale; ovvero la direzione è fissata ma il modulo (ampiezza) ed il verso del campo disegnano una sinusoide lungo l’asse di propagazione

I campi E e B hanno uguale frequenza e sono in fase tra loro. La direzione dei campi E e B è sempre perpendicolare alla direzione di propagazione; per questo l’onda elm è detta TRASVERSALE L’onda elm non trasporta massa ma solo ENERGIA L’onda elm interagisce con la materia: può essere assorbita oppure emessa da una qualsiasi particella carica in moto accelerato, oppure da un elettrone che transita da un guscio atomico all’altro

Onde elettromagnetiche Nell’esempio in figura: l’onda si propaga in direzione dell’asse x il campo elettrico E oscilla lungo l’asse y il campo magnetico B oscilla lungo l’asse z

cc v

T

velocità di propagazione: nel vuoto c = 300 000 Km/s (la velocità delle luce) lunghezza d’onda (“lambda”): distanza tra due picchi consecutivi dell’onda frequenza n (“ni”): numero di oscillazioni compiute in un secondo (si misura in Hertz: un Hertz è l’inverso di un secondo) ampiezza del campo oscillante: l’energia trasportata dall’onda è proporzionale al modulo quadro del campo elettrico E2

Dunque, lunghezza d’onda e frequenza non sono grandezze tra loro indipendenti, bensì inversamente proporzionali

Le caratteristiche più importanti che identificano un’onda elm piana sono:

Poiché c nel vuoto è fissata, si ha:

Lunghezza d’onda e frequenza Consideriamo 3 onde di uguale ampiezza ma frequenza multipla che viaggiano lungo l’asse orizzontale

In 1 secondo 3 periodi interi, ovvero 3 lunghezze d’onda 1 attraversano il piano d’incidenza; dunque l’onda ha frequenza n1 =3 Hz

un’onda elm che viaggia nel vuoto è caratterizzata da un solo parametro indipendente, che può essere indifferentemente lunghezza d’onda o frequenza: fissato l’uno, l’altro è ricavato dalla formula = c/n

2 = (1/2): in 1 secondo 6 periodi interi, ovvero 6 lunghezze d’onda 2 attraversano il piano d’incidenza; dunque l’onda ha frequenza n2 =6 Hz

3 = (1/4): in 1 secondo 12 periodi interi, ovvero 12 lunghezze d’onda 3 attraversano il piano d’incidenza; dunque l’onda ha frequenza n3 =12 Hz

Pia

no d

’incid

enza

Ad esempio vediamo la differenza tra un’onda radio, un onda luminosa di colore rosso, ed un raggio X: Una tipica onda radio usata per le trasmissioni FM ha lunghezza d’onda dell’ordine del metro, corrispondente a frequenze di circa 108 Hz (100 MHz) Un’onda di luce rossa ha dell’ordine del micron (10-6 m) e n 1014 Hz I raggi X hanno dell’ordine delle dimensioni atomiche (10-10 m) e frequenze n 1018 Hz

Lunghezza d’onda e frequenza

n =4.31014 Hz = 430 THz

n =2.4 1018 Hz

883 10 /

1.5 10 1502

c m sv Hz MHz

m

Onde sferiche e onde piane

In generale le onde elm emesse da una sorgente puntiforme S si propagano nello spazio con simmetria sferica; dunque un osservatore nel punto r verrà investito da un fronte d’onda curvo Se però l’osservatore è abbastanza lontano dalla sorgente, la curvatura dell’onda può essere trascurata, e possiamo semplificare l’onda sferica come un’onda piana, disegnata in basso

pian

o in

ciden

te

r

Per un t fissato, wt è una fase costante, ed i campi sono sinusoidi lungo x; k è il numero d’onda: k/2p è l’inverso della lunghezza d’onda ed esprime il numero di oscillazioni compiute nello spazio per unità di lunghezza Ad un x fissato kx è una fase costante, ed i campi oscillano sinusoidalmente nel tempo con frequenza angolare w 2p/T; la frequenza w/2p n è il numero di oscillazione compiute nell’unità di tempo Per x e t variabili, i campi sono sinusoidi che viaggiano lungo x con velocità c k ed w non sono frequenze indipendenti; infatti:

Dunque, a parte per le ampiezze Em e Bm, l’onda elm è caratterizzata da un solo parametro indipendente

Equazioni dell’onda elettromagnetica piana Sia x la direzione di propagazione, y la direzione di E, z la direzione di B; le espressioni del campo elm sono:

ck T

w

( ytkxEE mˆsin w

( ztkxBB mˆsin w

Equazioni dell’onda elettromagnetica piana

1

2

k

c

n

p

numero d’onda (numero di oscillazioni nello spazio su una distanza unitaria):

1

2 T

wn

p

frequenza (numero di oscillazioni nel tempo unitario):

cc

k T

w n

Il numero di oscillazioni compiute nello spazio e nel tempo sono legate tra loro attraverso la velocità c:

( ytkxEE mˆsin w

( ztkxBB mˆsin w

Esempio: onda elm di lunghezza d’onda 500 nm (luce verde)

6 1

7

1 12 10

5 10m

m

8 6 13 10 2 10 600c m

m THzs

n

Equazioni dell’onda elettromagnetica

Questa relazione rivela un aspetto di enorme importanza: in un’onda elm non può esistere il campo elettrico senza la simultanea presenza del campo magnetico, e viceversa; se uno dei due campi è nullo, l’altro deve essere ugualmente nullo Questo deriva dal fatto che il campo magnetico sinusoidale genera per induzione un campo elettrico perpendicolare ad esso, e viceversa: i due campi continuano a generarsi a vicenda per induzione, propagandosi come un’onda.

Neppure le ampiezze dei campi sono indipendenti; infatti si dimostra che

m

m

E Ec c

B B

( ytkxEE mˆsin w

( ztkxBB mˆsin w

Lo spettro elettromagnetico Chiamiamo spettro elettromagnetico l’insieme ordinato delle onde elm classificate in ordine di frequenza crescente (e di conseguenze lunghezza d’onda decrescente) Le onde elm visibili all’occhio umano rappresentano una piccolissima porzione di tutte le onde elm che è possibile generare ed utilizzate

Lo spettro visibile

L’occhio umano è sensibile soltanto ad una piccolissima porzione dello spettro elettromagnetico, detto intervallo del visibile, corrispondente a valori di compresi tra 400 nm (corrispondenti a frequenze n = 750 THz) e 700 nm (n = 430 THz) Frequenze al di sotto dei 430 THz (ovvero oltre 700 nm) corrispondono alla regione dell’infrarosso Frequenze al di sopra dei 750 THz (ovvero inferiore a 400 nm) corrispondono alla regione dell’ultravioletto Tutte le frequenze al di fuori del visibile non sono rivelate all’occhio umano, dunque appaiono nere

= 400 nm n = 750 THz

= 700 nm n = 430 THz

1 nm = 10-9 m 1 THz = 1012 Hz

Lo spettro visibile

Nella figura di lato è mostrata la sensibilità relativa dell’occhio umano in funzione della lunghezza d’onda; il massimo della sensibilità si ha per = 555 nm; questa onda produce sui nostri occhi la sensazione del giallo-verde Nella figura di sotto vediamo onde di specifico colore, con i valori delle corrispondenti lunghezze d’onda

= 400 nm

= 425 nm

= 470 nm

= 555 nm

= 600 nm

= 630 nm

= 665 nm

Generazione di onde elettromagnetiche Onde elm di piccole e grandi n (raggi X, raggi g, luce visibile) si producono mediante meccanismi che coinvolgono la fisica quantistica atomica (decadimento di atomi radioattivi, collisioni nucleari e subnucleari, ecc.) Onde di grande e bassa n (onde radio, m, n 100 MHz, onde TV, cellulari) si producono mediante antenne trasmittenti. In figura è mostrato lo schema di generazione: il circuito LC genera una corrente sinusoidale di frequenza w = 1/LC; l’alimentazione esterna compensa l’energia dissipata ed anche l’energia portata via dall’onda irradiata. La corrente sinusoidale prodotta dall’LC viene trasmessa, attraverso un trasformatore ed una linea di trasmissione ad un’antenna metallica. Nell’antenna le cariche si propagano come un dipolo elettrico di intensità e direzione oscillante, emettendo onde che si irradiano nello spazio con la frequenza del circuito LC

LC

1w

Energia dell’onda elettromagnetica Le onde elm trasportano energia; senza l’energia della radiazione solare il pianeta terra sarebbe un blocco di ghiaccio con temperature vicine allo zero assoluto ! La quantità di energia trasportata dall’onda elettromagnetica è descritta da un vettore (S) detto vettore di Poynting (dal nome di John Henry Poynting 1852-1914, che per primo la formulò), definito come:

La direzione di S è perpendicolare ad entrambe i campi; dunque S è diretto lungo la direzione di propagazione dell’onda. Consideriamo il modulo: essendo i campi perpendicolari tra loro si ha:

BES

0

1

0

EBS

Energia dell’onda elettromagnetica

BEc /)2 00

1)1

c

Utilizzando la 2) possiamo esprimere S in funzione del solo B:

)2(0

2

BuccB

S

uB è la densità di energia del campo magnetico; utilizziamo le relazioni 1) e 2) per esprimere S in funzione di E:

)2(2

0

0

2

EucEcc

ES

Dall’uguaglianza tra queste due equazioni si vede che uB = uE; se indichiamo con u = uB + uE la densità di energia totale trasportata dall’onda elm, si ha:

ucuucS BE )(

Il modulo del vettore di Poynting è uguale al prodotto della velocità dell’onda per la densità di energia trasportata dall’onda.

Per le onde elm valgono le seguenti relazioni fondamentali:

Interpretazione fisica del vettore di Poynting

dunque S può definirsi come: 1) la quantità di energia trasportata dall’onda nell’unità di tempo

attraverso l’unità di area 2) La potenza trasportata dall’onda attraverso l’unità di area

Tipicamente, invece dei valori istantanei è più comune considerare valori medi nel tempo. Il valor medio del vettore di Poynting è detto intensità della radiazione elettromagnetica (I). Si ha:

ucS

l Al Vc

t At At

Se indichiamo con l lo spazio percorso dall’onda, ed A l’area perpendicolare alla direzione di propagazione, possiamo riscrivere la velocità come:

2

2

0

0 0

qm qm qm

qm

E B cBI S c E

V u US

At At

Problema 33.3

Una lunghezza d’onda di 550 nm corrisponde ad una frequenza:

815

7

3 100.545 10 545

5.5 10

c mHz THz

msn

Calcolare l’induttanza che deve essere collegata ad un condensatore con capacità C = 17 pF in un oscillatore in modo da generare onde elm di 550 nm (onde visibili di colore verde)

221

2 2 30

1 15 10

3.42 10 17

sL H

C pFLCw

w

La corrispondente frequenza angolare è:

2 3424THzw pn

Calcoliamo infine l’induttanza necessaria a generare una frequenza caratteristica corrispondente:

Problema 33.5

412

8 2

3.2 101.067 10

3 10

mm

E V sB T

c m

Un’onda elm piana ha un campo elettrico massimo Em = 3.2 10-4 V/m. Calcolare il campo magnetico massimo:

Calcolare l’intensità media dell’onda elm:

4 12

70 0

9

2 2 2

3.2 10 1.067 10

22 4 10

0.136 10 0.136 0.136

qm qm m mE B E B V T

I STm

mA

VC nJ nW

m s m s m

p

Problema 33.9

8 6 23 10 3.42 10 10.26 10 1.03m m

m Tm kVE cB T

s s m

La radiazione solare appena fuori dall’atmosfera terrestre ha un’intensità I =1.4 kW/m2. Calcolare il valore massimo del campo elettrico Em e del campo magnetico Bm della radiazione solare, assumendo che la radiazione sia un’onda piana.

2 2 22

2 2 2 2

Ts W Ts CV TsV Ts TmT

Cm Cm s m m s

2 72 0

8 20 0

212 12 2

2

2 2 4 10 ( / ) 1.4

2 23 10

11.73 10 11.73 10

m m mm

E B cB I Tm A kWI B

mcm

s

Ts WT

Cm

p

63.42 10mB T

Polarizzazione dell’onda elettromagnetica

Se i campi oscillano lungo un asse specifico (come in figura il campo elettrico lungo y) si dice che l’onda piana è polarizzata lungo y; il piano (x, y) contenente E si dice piano di oscillazione

Ad esempio, il segnale televisivo è rappresentato da onde polarizzate. In Italia l’onda ha campo elettrico polarizzato orizzontalmente, per cui i componenti delle antenne riceventi sono disposti in verso orizzontale. In altri paesi la polarizzazione di E è nel piano verticale, e l’antenna di ricezione deve anch’essa essere disposta verticalmente.

Al contrario, le onde di luce emesse dal sole o da una lampada a fluorescenza sono non polarizzate: ciò vuol dire che il piano in cui oscilla il campo cambia istante per istante in modo casuale (pur restando sempre perpendicolare alla direzione di propagazione)

Polarizzazione mediante lamina polaroid

Una luce non polarizzata può essere polarizzata mediante una lamina polarizzante; la più comune è la polaroid, inventata nel 1932 da Ewin Land

0

2

II

Il filtro polaroid consiste in una lamina di plastica contenente lunghe catene molecolari disposte in parallelo. Le molecole assorbono la componente dell’onda perpendicolare alla catena, mentre lasciano filtrare la componente parallela. Le componenti y e z della luce non polarizzata hanno uguale intensità, per cui nel passaggio attraverso il filtro, metà dell’intensità originale (I0) va persa:

Polarizzazione mediante lamina polaroid Supponiamo invece che la luce incidente sia polarizzata in una generica direzione, e di utilizzare un filtro con righe parallele ad una direzione diversa da quella della luce incidente

cosyE E

2

0 0I c E

2 2 2

0 0cos cosI c E I

L’intensità dell’onda incidente è data da:

Dopo il filtro soltanto la componente lungo y sopravvive, per cui l’intensità risultante sarà ridotta a:

Sia E il campo elettrico incidente (diamo per inteso che stiamo considerando valori quadratici medi) e l’angolo tra E e le righe del filtro; la componente Ez viene assorbita dal filtro, mentre Ey passa attraverso il filtro. Si ha:

Doppio filtro polarizzante In figura vediamo il caso di luce non polarizzata che attraversa due filtri disposti in sequenza: P1 seleziona luce polarizzata verticalmente; della radiazione uscente, P2 seleziona la proiezione lungo le righe della lastra; applichiamo in sequenza la formula dell’intensità attraverso primo filtro (I1) e secondo filtro (I2) :

Se le righe di P1 e P2 fossero perpendicolari tra loro la radiazione sarebbe totalmente schermata

2/01 II 202

12 cos2

cosI

II

Un’applicazione ben nota della polarizzazione della luce sono le lenti solari: esse filtrano la luce in modo che passi soltanto la componente verticale; se proviamo a sovrapporre due lenti in sequenza , la luce continua a passare abbastanza bene, ma se le incrociamo come in figura, la luce sarà completamente schermata

La luce attraverso la materia

Finora abbiamo considerato onde elm che viaggiano nel vuoto; cosa succede quando le onde elm, in particolare la luce visibile, attraversano la materia ? Distinguiamo due tipologie di sostanze: MATERIALI TRASPARENTI: si lasciano attraversare dalla luce; così da permettere di vedere attraverso di essi; esempi sono il vetro, l’aria, l’acqua; essi sono in parte anche riflettenti: ad esempio l’acqua è trasparente, ma ci si può specchiare sulla sua superficie MATERIALI OPACHI: impediscono il passaggio della luce, assorbendola e/o riflettendola; sono opachi la maggior parte dei solidi; tra i corpi opachi distinguiamo: I corpi bianchi: riflettono allo stesso modo la luce incidente di qualsiasi frequenza visibile; ai nostri occhi una sovrapposizione di tutte le frequenze visibili appare bianca; sono bianchi alcuni metalli come l’argento I corpi neri: assorbono interamente la luce senza riemetterla; l’energia così assorbita dal sistema viene convertita in calore; sono tali sostanze come carbone e nerofumo i corpi colorati: riflettono maggiormente i raggi di una specifica frequenza colorata, assorbendo tutte le altre; possono essere sia metalli che isolanti

Velocità delle onde elm in un mezzo trasparente

L’onda elm viaggia nel vuoto con velocità c; se però consideriamo la propagazione all’interno di una sostanza trasparente, la velocità dell’onda si riduce: se indichiamo con v la velocità dell’onda elm all’interno del materiale si ha:

vc c

nn v

n è una costante adimensionale detto indice di rifrazione, il cui valore è proprio del mezzo in cui il raggio si propaga; l’indice di rifrazione è il rapporto tra velocità della luce nel vuoto c e velocità della luce nel mezzo considerato; dunque maggiore è n, minore è la velocità della luce nel mezzo, ovvero n rappresenta un fattore di rallentamento della luce

Velocità delle onde elm in un mezzo trasparente

v

cn

nel vuoto n = 1 nell’aria n 1 nelle altre sostanze è sempre n > 1 ad esempio nel diamante n=2.42, ovvero la luce all’interno del diamante con una velocità di 2.42 volte inferiore alla velocità c

n principalmente dipende dalla densità del materiale: maggiore è la sua densità, maggiore l’indice di rifrazione, ovvero più il materiale è denso, e più la luce che viaggia al suo interno tende a ‘frenare’, principalmente a causa dell’interazione della luce con le vibrazioni atomiche e molecolari

Passaggio della luce tra due mezzi trasparenti

Abbiamo definito TRASPARENTI i materiali che la luce può attraversare; esempi sono l’aria e l’acqua; in ognuno di essi la luce viaggia con velocità differente; ci chiediamo cosa succede quando la luce passa da un mezzo all’altro. Consideriamo il righello immerso in un recipiente d’acqua: la parte immersa appare piegata e accorciata. I raggi di luce che si riflettono sul righello per arrivare al nostro occhio devono passare dall’acqua all’aria. Nel passaggio acqua-aria, i raggi non mantengono la stessa direzione, ma si rifrangono, cioè si piegano: nel passaggio da un mezzo di propagazione all’altro la luce CAMBIA DIREZIONE

La deviazione della direzione della luce al passaggio tra due diversi mezzi trasparenti si dice RIFRAZIONE; la deviazione della traiettoria è conseguenza del cambiamento di velocità

Leggi dell’ottica geometrica: riflessione e rifrazione

Consideriamo il passaggio della luce dall’aria all’acqua; si definisce: 1: angolo d’incidenza, ovvero l’angolo che il raggio incidente forma con la normale alla superficie ’1: angolo di riflessione, formato dal raggio riflesso con la normale alla superficie 2 : angolo di rifrazione, formato dal raggio rifratto con la normale alla superficie Il piano che contiene il raggio d’incidenza e la normale alla superficie è detto piano d’incidenza (in pratica il piano della pagina).

Il cambiamento di direzione della luce nei mezzi è descritto dalle leggi dell’OTTICA GEOMETRICA; queste includono la legge della RIFLESSIONE e la legge della RIFRAZIONE Riflessione e rifrazione della luce nel passaggio tra due mezzi trasparenti sono aspetti di un unico fenomeno: un raggio incidente è sempre parzialmente riflesso dalla superficie e parzialmente rifratto, ovvero penetra nel secondo mezzo ma con traiettoria deviata

Leggi dell’ottica geometrica

'

11

n1 ed n2 sono gli indici di rifrazione dei due mezzi in cui il raggio si propaga; nel caso del passaggio da aria (n1 1) ad acqua (n2 =1.33) la legge di Snell dà:

Leggi della riflessione: il raggio riflesso giace nel piano d’incidenza l’angolo di riflessione è uguale all’angolo d’incidenza:

Leggi della rifrazione: il raggio rifratto giace nel piano d’incidenza gli angoli di rifrazione e incidenza sono legati dalla relazione (anche detta legge di Snell):

)sin()sin( 2211 nn

2 1 1

1sin( ) sin( ) 0.75sin( )

1.33

Dunque il seno del raggio rifratto è più piccolo di quello del raggio incidente; ciò significa che la luce in acqua devia la propria direzione in modo da avvicinarsi alla normale di superficie

Leggi dell’ottica geometrica CASO 1: quando la luce passa da un mezzo di indice di rifrazione minore ad uno di indice di rifrazione maggiore (dunque n1 < n2) il raggio rifratto devia AVVICINANDOSI alla normale di superficie:

1221 nn

Se nel passaggio dal primo al secondo mezzo l’indice di rifrazione aumenta vuol dire che la luce rallenta; dunque possiamo anche dire che quando la luce rallenta, la sua direzione si avvicina alla normale

CASO 2: quando la luce passa da un mezzo di indice di rifrazione maggiore ad uno di indice di rifrazione minore (dunque n1 > n2) il raggio rifratto devia ALLONTANANDOSI dalla normale di superficie:

1221 nn

ovvero quando la luce accelera, la sua direzione si allontana dalla normale

Leggi dell’ottica geometrica CASO 3: quando la luce passa da un mezzo ad una altro di UGUALE indice di rifrazione (n1 = n2) il raggio rifratto prosegue di modo rettilineo senza deviare, ovvero gli angoli di incidenza e rifrazione sono uguali

1221 nn

CASO 4: se l’angolo di incidenza è nullo (1=0) ovvero se il raggio incidente è normale alla superficie, dalla legge di Snell si ricava che, per qualsiasi valore di n1 ed n2:

Se sin(2)=0 vuol dire che 2 è uguale a 0; dunque se l’angolo di incidenza è nullo lo è anche quello di rifrazione, ovvero il raggio trasmesso prosegue senza deviazione

0)sin()sin( 1

2

12

n

n

n1

n2

Esempio di rifrazione: oggetto sul fondo del recipiente d’acqua

Se guardiamo una moneta sul fondo di un recipiente d’acqua, ci sembrerà posizionata molto più in alto. Questo è un esempio di CASO 2: la luce riflessa dalla moneta passa dall’acqua all’aria, ovvero da un indice di rifrazione maggiore ad uno minore; dunque il raggio rifratto in aria è deviato maggiormente dalla normale rispetto al raggio incidente in acqua. Poiché il cervello umano ricostruisce sempre l’immagine virtuale in base al prolungamento rettilineo dei raggi che giungono all’occhio, sembrerà che la moneta sia posizionata molto più in alto

moneta reale

moneta virtuale

Esempio di rifrazione: il righello in acqua

Esempio di CASO 2: la luce emessa da un punto immerso del righello (ad esempio l’estremo A) passa da n maggiore (acqua) ad n minore (aria); i raggi in uscita dall’acqua deviano maggiormente rispetto alla normale; l’immagine virtuale del righello, ricostruita dal cervello sui prolungamenti lineari dei raggi che giungono all’occhio sembra accorciata e spezzata

Immagine reale Immagine virtuale

A

A’

A

Angolo limite Consideriamo il passaggio della luce da un mezzo più denso ad uno meno denso, ad esempio da acqua ad aria, ed una sorgente luminosa A in acqua; i raggio che partendo da A attraversano l’interfaccia si discostano maggiormente dalla normale Consideriamo raggi incidenti uscenti da A sempre più inclinati; si arriverà ad un punto tale (raggio rosso in figura) che l’angolo di rifrazione è uguale a 90°, dunque il raggio rifratto è parallelo all’interfaccia; l’angolo d’incidenza corrispondente a questa situazione si dice angolo

limite, che indichiamo con c

2 90o

c

Dalla legge di Snell ricaviamo il seno dell’angolo d’incidenza corrispondente al valore limite:

2 2

1 1

sin( ) sin( / 2)c

n n

n n p

poiché sin() 1, questa equazione è

applicabile solo per n1 n2 1n

2n

Riflessione totale Se si considera un angolo d’incidenza maggiore del valore limite (ad esempio il raggio viola in figura con 1 > c) la componente trasmessa si annulla, ed raggio incidente è totalmente riflesso: questa si dice condizione di riflessione totale Il regime di riflessione totale comporta che i raggi il cui angolo d’incidenza è maggiore dell’angolo limite siano intrappolati nel mezzo più denso: all’interfaccia essi sono totalmente riflessi all’indietro nel primo mezzo, senza poter fuoriuscire nel secondo mezzo; in altri termini, per questi raggi l’interfaccia funziona come uno specchio perfetto.

11n

2n

c

Esempio: il mondo visto dal sub Come appare il mondo visto da un sub in immersione, che guarda verso la superficie dell’acqua ? C’è un aereo proprio sopra la sua testa: il sub vede l’aereo nella posizione corretta, poiché il percorso dei raggi luminosi dall’aereo al sub è perpendicolare alla superficie, dunque non c’è rifrazione Un gabbiano passa in posizione leggermente inclinata rispetto alla normale di superficie: il sub vede l’immagine virtuale nella direzione del prolungamento rettilineo

Una nave transita in corrispondenza dell’angolo limite: il sub vede la nave virtuale in posizione obliqua invece che orizzontale, ovvero nella direzione del prolungamento rettilineo del raggio luminoso Un pesce si nasconde dietro uno scoglio: il sub può vederlo grazie alla riflessione totale, che proietta l’immagine reale al di là dello scoglio; l’immagine virtuale è ricostruita seguendo il prolungamento rettilineo del raggio visto dal sub

reale

virtuale

reale

reale

reale

virtuale

virtuale

La fibra ottica

L’applicazione di gran lunga più importante del fenomeno di riflessione totale è certamente la fibra ottica, alla base della moderna tecnologia delle telecomunicazioni, che consente la trasmissioni di segnali con straordinaria potenza, velocità, ed efficienza energetica. Oltre che nelle telecomunicazioni, le fibre ottiche sono anche largamente impiegate nella tecnologia medica per operare in endoscopia, la quale utilizza la fibra per visualizzare gli organi interni del paziente; per esempio, è possibile illuminare le pareti interne dello stomaco facendo scendere attraverso la bocca una fibra ottica nel tubo digerente; un’altra fibra, affiancata alla prima, consente di vedere la zona illuminata incanalando un po’ di luce verso l’esterno.

La fibra ottica

Ogni singola fibra ottica è composta da due strati concentrici di materiale trasparente: un nucleo cilindrico centrale (core) con diametro 10 µm ed un mantello (cladding) con diametro 50 µm, Il mantello esterno ha indice di rifrazione minore (1.475) rispetto al core ( 1,5); siamo nel caso 2 della rifrazione, caso in cui può verificarsi riflessione totale Per avere riflessione totale la luce deve essere introdotta nel nucleo con un angolo rispetto alla normale d’interfaccia maggiore dell’angolo limite, in modo che si propaghi mediante riflessione totale, rimbalzando sulla parete del nucleo senza mai disperdersi al di fuori della fibra Dunque la fibra è una sottilissima guida d’onda, in cui la luce rimane intrappolata, trasportando così il segnale ad altissima velocità Nucleo e mantello della fibra ottica sono generalmente realizzati in silice (ossido di silicio SiO2) oppure in polimeri plastici

Problema 33.4 In figura vediamo un raggio monocromatico che incide nel punto A dell’interfaccia tra acqua (n1 = 1.33) e zaffiro (n2 = 1.77). Il raggio incide con un angolo di 50° sulla superficie. a) Calcolare gli angoli di riflessione e rifrazione nel punto A.

b) Il raggio fuoriesce dallo zaffiro ed entra in aria (n3 = 1) nel punto B. Calcolare angolo di riflessione e rifrazione.

o40'

11

12

2

arcsin sin(40 ) arcsin(0.48) 28.9o on

n

o9.28'

22

oo

n

n8.58)9.28sin(arcsin

3

23

Problema 33.5 In figura vediamo un prisma triangolare di vetro in aria; un raggio incidente perpendicolarmente ad una faccia è riflesso totalmente dalla superficie orizzontale vetro/aria; stimare l’indice di rifrazione n del prisma, sapendo che 1 = 45°.

Dunque, deve essere:

( ( ( 1

1

1sin sin 1.41

sinc n

Poiché il raggio nel prisma è riflesso totalmente, si ha che 1 deve essere necessariamente maggiore del valore critico c . Ricaviamo l’angolo critico:

( ( ( 1

sin sin 90 1 sino

c cnn

Problema 33.36 In figura è mostrata una fibra ottica formata da un nucleo interno di plastica trasparente con n1 = 1.58, ed una guaina esterna di plastica con n2 = 1.53; un raggio di luce entra nella fibra con angolo d’incidenza rispetto alla sezione trasversale della fibra; calcolare il massimo valore di che permette di avere riflessione totale nel punto A.

( ( 1 2

1.53sin sin 90 arcsin 75.5

1.58

o o

c cn n

Sia ’ l’angolo di rifrazione all’ingresso del raggio nel nucleo, e 1 l’angolo di incidenza in A; per avere riflessione totale in A è necessario che 1 sia maggiore dell’angolo limite c , il quale è dato da:

1'

1

Problema 33.36

Dunque, deve essere:

( ( 1sin sin 'n

1'

1

( ( sin 1.58sin 14.5 0.395 arcsin(0.395) 23.3o o

Dall’analisi geometrica si vede che ’ = 90° - 1 ; dunque se per avere riflessione totale 1 deve essere maggiore di 75.5°, ne segue che deve essere ’ < 90° - c = 14.5°

Applichiamo Snell per mettere in relazione e ’ :

Problema 33.31 Un palo verticale lungo 2 m emerge di 50 cm dalla superficie dell’acqua (n = 1.33); i raggi solari incidono con angolo = 55° rispetto alla superficie. Calcolare la lunghezza dell’ombra proiettata dal palo sul fondo della piscina.

Siano a = 0.5 m e b = 1.5 m le porzioni del palo emersa ed immersa, rispettivamente; si ottiene:

L’ombra corrisponde alla porzione del fondo schermato dal palo, ovvero la distanza x0+x1 tra il palo e il punto del fondo raggiunto dal primo raggio non intercettato; da = 55° ricaviamo 1 = 35°; l’angolo di rifrazione si ottiene applicando Snell:

( ( 0 11 2tan tan

x x

a b

( (

2 2

sin 35sin 0.43 arcsin(0.43) 25.5

1.33

o

o

1

2

0x1x

b

a

( ( 0 1 1 2tan tan 0.35 0.72 1.07x x a b m m m

Problema 33.5

In figura vediamo un raggio di luce riflesso da due superfici A e B perpendicolari tra loro; l’angolo di incidenza sulla superficie A è = 30°; calcolare l’angolo di riflessione su B

' 90 60o o

Dall’analisi geometrica si vede che l’angolo di riflessione sulla superficie A deve essere uguale all’angolo formato dal raggio r e la superficie B, poiché alterni interni tra r ed il piano orizzontale; ne segue che l’ angolo di riflessione su B deve essere:

' '

Problema 33.3 Consideriamo luce inizialmente non polarizzata, e 3 filtri in sequenza con righe disposte come in figura; determinare l’intensità risultante dopo i 3 filtri

Dunque solo il 9% dell’intensità originale emerge dai 3 filtri; notiamo che se non ci fosse P2 la luce risultante sarebbe nulla. Un’opportuna disposizione dei filtri ci permette di selezionare una specifica intensità d’uscita.

2/01 II

0

202

12 125.060cos2

60cos II

II

Dopo P1 la luce è polarizzata lungo y con intensità

Dopo P2 la luce è polarizzata lungo le righe di P2 con intensità:

Dopo P3 la luce è polarizzata lungo x con intensità:

02

2

23 093.075.030cos IIII

1P

2P

3P