ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L’ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI XXXIV CONVEGNO NAZIONALE — 14–17 SETTEMBRE 2005, POLITECNICO DI MILANO

* Corresponding Author: Tel.: +39 050 836607 ; Fax.: +39 050 836665 ; e-mail: ciro.santus@ing.unipi.it

ANALISI DEL CONTATTO DI BORDO IN INGRANAGGI CILINDRICI

V. Pinto a, C. Santus a* a Dipartimento di Ingegneria Meccanica Nucleare e della Produzione (DIMNP), Università di Pisa. via Diotisalvi, n.2. Pisa Sommario Nel presente lavoro sono analizzate alcune proprietà della soluzione del contatto tra cilindri di estensione finita. Tali effetti di bordo sono tipici di ruote dentate cilindriche a denti dritti in assenza di bombatura, o di bombatura insufficiente. Vengono considerate le condizioni di contato tra due cilindri con superfici di base allineate, non allineate e non allineate in presenza di raggio di raccordo (condizione più realistica). Mediante un approccio basato sull’analisi dimensionale è possibile ottenere un’espressione per l’intensità delle pressioni di contatto in tutte le condizioni analizzate. Abstract In the present paper edge contact effects are considered, with reference to spur gears, without lead crown or with little lead crown, when contact zone includes lateral tooth edge. In line surfaces are considered, off line and off line with fillet surfaces (more realistic condition) are considered as well. Dimensional approach is followed in order to quantify contact strength regarding the aforementioned conditions. Parole chiave: Contatto di bordo. Intensità del contatto. Analisi dimensionale. Contatto con FEM. 1. INTRODUZIONE Il presente lavoro si inserisce nell’ambito della collaborazione tra il DIMNP, facoltà di Ingegneria, Università di Pisa e AVIO Propulsione S.p.A. inerente la progettazione e la ricerca avanzata nel campo di ingranaggi per applicazioni aerospaziali. Allo stato attuale, la progettazione di ingranaggi non può prescindere dalla normativa, tuttavia nell’ottica del miglioramento delle prestazioni, l’approccio standard si rivela poco efficace in quanto, a fronte della semplicità e velocità di calcolo, si ottiene un risultato spesso non sufficientemente accurato o eccessivamente cautelativo. La realizzazione di soluzioni innovative procede sinergicamente su due strade complementari:

• analisi numeriche con software dedicati (es. Helical3D® [1]) o FEM (es. ANSYS®), • prove sperimentali su banchi speciali.

Nella trattazione seguente sono analizzati gli effetti di bordo presenti nella trasmissione di potenza mediante ingranaggi cilindrici a denti dritti con riferimento al fenomeno del contatto non conforme che si realizza nella zona di estremità in corrispondenza delle superfici libere (non in contatto). Sono prese in esame tre configurazioni di contatto: 1. ingranamento tra ruote con superfici libere allineate,

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2. ingranamento tra ruote con superfici libere non allineate, 3. ingranamento tra ruote con superfici libere non allineate, in presenza di un piccolo raccordo

d’estremità. Solitamente gli effetti di bordo non sono considerati in fase di progettazione fondamentalmente per due ragioni:

• notevole complessità del problema dovuta alla natura tridimensionale del fenomeno, • presenza di una bombatura lungo il fianco del dente in direzione parallela all’asse della ruota.

Tuttavia spesso la bombatura risulta insufficiente a garantire che il contatto sia incompleto sulla larghezza di fascia, e anche in questo caso si possono generare gli effetti di bordo oggetto del presente studio. Nel presente studio si pone particolare enfasi all’analogia con la meccanica della frattura in cui la singolarità dello stato tensionale viene quantificata mediante un Fattore di Intensificazione: KI(II)(III) tale da fornire un efficace parametro di confronto. Analogamente viene qui definito un fattore di intensificazione della distribuzione delle pressioni Kp determinato per le condizioni di contatto di bordo tipiche citate. Per ciascuna applicazione l’approccio qualitativo teorico trova completamento quantitativo attraverso simulazioni numeriche FEM di contatto. Nei testi classi del contatto (Johnson [2], Hills, ecc.) si rinuncia raramente all’ipotesi di Half-Space. Il caso di contatto con superfici libere allineate (1.) viene permette di dimostrare che non necessariamente la soluzione assume carattere singolare in corrispondenza di uno spigolo, tale situazione trova generalizzazione in ambito più ampio nel classico risultato di Dundurs [3] che rappresenta un passaggio obbligato nello studio dei casi di contatto in cui non è possibile appoggiarsi all’ipotesi di Half-Space. Il lavoro di Hetènyi [4] sul modello di Quarter-Space, a cui è possibile ricondurre il caso di studio (2.), fornisce un approccio alternativo ad un caso particolare comunque contemplato nel lavoro di Dundurs. L’ultimo caso preso in esame (3.) riprende la situazione precedente considerando la presenza di un raccordo in corrispondenza dello spigolo vivo sulla superficie d’estremità, che gioca un ruolo fondamentale nella distribuzione delle pressioni di contatto. Lo stato tensionale, in corrispondenza di un bordo raccordato è oggetto di studio della recente letteratura. Per il caso di contatto piano la soluzione in forma chiusa è presentata da Ciavarella [5], la direzione di studio riguarda la previsione del danneggiamento per fretting, in cui necessariamente anche gli effetti indotti dalle tensioni tangenziali di attrito sono considerati [6, 7]. In tale contesto è stata riconosciuta l’analogia con la meccanica della frattura e quindi l’eventualità di seguire lo stesso approccio di descrizione dello stato tensionale [8, 9, 10]. Nei lavori citati è sempre considerato il contatto piano, non viene mai affrontato, nemmeno in modo numerico, il problema di contatto tridimensionale non conforme. Giannakopoulos [9] cerca un’analogia fra il contatto in corrispondenza del raccordo e lo stato tensionale all’apice di una fessura arrotondata. L’approccio approssimato di transizione fra le soluzioni localmente dominanti, viene seguito anche nel presente lavoro. 2. CONTATTO CON SUPERFICI LIBERE ALLINEATE Il modello usato per lo studio del contatto tra denti con superfici libere allineate prevede la modellazione di un cilindro elastico, di raggio opportuno, su un piano rigido (Fig.1). Per la modellazione del cilindro sono stati usati elementi solidi BRICK ad otto nodi mentre per caratterizzare il contatto sono stati scelti gli elementi CONTACT, applicati alla superficie laterale, ed un solo elemento TARGET applicato al piano rigido (senza compromettere la precisione del modello). Alla superficie superiore del semicilindro è stato imposto uno spostamento, mentre il piano è stato vincolato in tutte le direzioni. I risultati dell’analisi hanno evidenziato un andamento della pressione di contatto lungo la larghezza di fascia caratterizzato da: 1. sufficientemente lontano dai bordi pressione di contato pari a quella calcolabile teoricamente

con un modello Plane Strain, di Hertz, 2. riduzione della pressione di contatto, in corrispondenza del bordo, 3. lieve sovra-elongazione nella zona di passaggio tra il valore d’estremità e quello di Hertz.

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Figura 1: Schematizzazione usata nello studio del contatto tra ruote con superfici libere allineate.

Inoltre sono emersi i seguenti aspetti della soluzione:

• al bordo il modello risente maggiormente della qualità della mesh, effetto atteso a causa dei forti gradienti di tensione locali,

• la diminuzione marcata di pressione è coerente con la possibilità del materiale del cilindro di espandere all’estremità laterale; associata ad essa è stato osservato anche una leggera riduzione della larghezza dell’impronta di contatto (Fig.2),

• l’uso di un modello plane stress per modellare il contatto al bordo, indicativamente suggerita da Johnson [2], tenderebbe a sovrastimare la pressione all’estremità, prevedendo una diminuzione soltanto del 9 % contro il 46% ottenuto dalle simulazioni,

• la sovra-elongazione della distribuzione di pressione è risultata essere al di sotto dello 0.5%, per cui poco significativa ai fini della progettazione.

Figura 2: Impronta di contatto, in corrispondenza della superficie libera laterale.

2.1. Andamento della pressione di contatto al bordo al variare di ν Il passo successivo nell’analisi del fenomeno è stato quello di considerare la pressione di contatto all’estremità al variare della grandezza costitutiva ν. La motivazione deriva da un’osservazione fisica: l’annullarsi delle tensioni sulla superficie libera, permette al cilindro di espandersi lateralmente. All’espansione per effetto Poisson è quindi associato un rilassamento delle tensioni nella zona d’estremità. Dall’analisi della Fig.3 si possono evidenziare le seguenti caratteristiche della soluzione:

• a parità di forza applicata la pressione massima locale e il valore di picco, in ipotesi di Plane Strain, aumentano all’aumentare del modulo di Poisson, mentre diminuisce la pressione di contatto all’estremità,

• la sovra-elongazione non supera mai lo 0.7% della pressione massima per cui la sua importanza rimane scarsa,

XY

Z

Superfici libere

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0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Modulo di Poisson

Pres

sion

e di

con

tatto

[MPa

]

Pressione di bordo Pressione Massima Pressione di Plane Strain

Figura 3: Andamento delle pressioni, al variare di ν.

• la pressione di contatto al bordo risulta quasi nulla per materiale elasticamente incomprimibile

(ν → 0.5) mentre per ν = 0 si osserva l’uguaglianza tra la soluzione Plane Strain e Plane Stress. In tal caso la pressione di contatto è costante lungo tutta la generatrice di contatto.

Un risultato interessante è rappresentato dalla correlazione trovata tra il rapporto delle pressioni di contatto al bordo, rispetto al valore di riferimento Plane Strain e il modulo di Poisson, un’ottima approssimazione dell’andamento, per 0 < ν < 0.5, è descritta dalla parabola di equazione:

( ) ( ) nPlaneStraibordo pννp ⋅+⋅⋅−= 121 (1) 3. CONTATTO TRA SUPERFICI LIBERE NON ALLINEATE L’ingranamento di denti con superfici libere non allineate si verifica necessariamente quando le ruote hanno differente larghezza di fascia. In tal caso è possibile definire una distanza di “offset” come indicato in Fig.4, ed è quindi possibile ricondursi ad un modello equivalente rappresentato dal contatto tra due cilindri di lunghezza diversa, con raggi di curvatura diversi e costitutive generiche. In tale situazione la modellazione degli effetti di bordo è stata condotta mediante i seguenti passi: 1. ricerca di un modello bidimensionale per descrivere il fenomeno, 2. estensione dei risultati al problema tridimensionale, con opportuni accorgimenti. 3.1. Modello bidimensionale Il problema può essere schematizzato in forma approssimata in due dimensioni se si ipotizza uno stato piano di deformazione secondo la direzione ortogonale al fianco del dente. In tale ipotesi è possibile applicare i risultati dello studio svolto da J.Dundurs e M.-S. Lee [3].

Figura 4: Distanza di offset tra le superfici libere laterali dei denti in contatto.

offset

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La teoria riguarda il contatto di un cuneo inclinato di spessore infinito su un semipiano elastico ed indica lo stato tensionale in corrispondenza dello spigolo. Note le caratteristiche costitutive dei corpi e l’angolo di inclinazione del cuneo, imponendo le opportune condizioni al contorno, è possibile prevedere l’ordine della singolarità relativa alle tensioni in corrispondenza del punto di contatto:

( ))(1O pij rσ −−= (2)

se p è soluzione dell’equazione trascendente Eq.3, qualora sia p reale e 0 < p < 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02sin2sinsin1sinsincos1,; 2

1222 =+−−−+= γγπαγγπαγα pppppppD (3) Nell’Eq.3 γ (0 < γ < π) è l’angolo di inclinazione del cuneo mentre il parametro α (-1 ≤ α ≤ 1) è un indice della differenza di rigidezza dei due corpi, dipendente esclusivamente dalle loro caratteristiche costitutive (E, ν). Nel caso di interesse: γ = π/2, α = 0 (come si ottiene per materiali uguali), risulta p = 0.774 e quindi una singolarità del tipo 0.226−∝ rσij . Dal modello mostrato è nota la natura della singolarità dell’andamento della pressione di contatto, in prossimità del bordo, ma non è definita l’intensità. In questa sezione viene cercato il legame tra il “Fattore di Intensificazione di Pressione”, Kp e i parametri del problema mediante una serie di simulazioni FEM 2D (Fig.5).

Figura 5: Rappresentazione schematica del problema e modello Figura 6: Andamento della pressione di contatto in bidimensionale. funzione della distanza dallo spigolo (semilog). Il modello plane strain dei cilindri è rappresentato dal contatto tra due rettangoli. La mesh ottimale è stata ottenuta suddividendo le aree in tre parti: 1. in prossimità dello spigolo, si estende per una quantità piccolissima in direzione assiale ed è

suddivisa in pochi elementi di ugual dimensione, 2. una parte centrale costruita generando una striscia di elementi in direzione radiale

successivamente estrusi assialmente. L’algoritmo di suddivisione è stato scelto riproducendo il gradiente di pressione determinato dal modello di Dundurs,

3. un’ultima parte, di estensione molto maggiore, delle altre caratterizzata mesh grossolana. 3.2. Analisi dimensionale Per determinare il “Fattore di Intensificazione” Kp tale che in al limite (r → 0) valga la relazione:

( ) pp

cont rK

rp −= 1 (4)

L’equazione è coerente dimensionalmente se: [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⋅= +− 1p1p2 mm

Nmmmm

NpK

Necessariamente vale la relazione: ( ) p

pp dpβp,dKK -1⋅⋅== (5)

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 1010

2

4

6

8

10

12

14

16

Distanza dal Bordo / a [Log]

Pre

ssio

ne d

i Con

tatto

/ p

Pressione - Distanza dal Bordo

Dundurs & LeeAnsys

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in cui p ha le dimensioni di una pressione e d è una una lunghezza caratteristica, in modo che β sia semplicemente una costante moltiplicativa adimensionale. La scelta di p e d è conseguente alla valutazione dei possibili parametri. Per il termine di forza distribuita la sollecitazione esterna p0 è una scelta evidente, mentre l’unica lunghezza che caratterizza il problema è l’altezza del rettangolo superiore l dato che il rettangolo inferiore rappresentava un Half-Space con lati di dimensioni arbitrarie (purché sufficientemente grandi). A seguito di queste considerazioni, rifacendosi ai simboli di Fig.5:

p0p lpβK -1⋅⋅= (6)

( )p

0cont rlpβrp

-1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅= (7)

β viene determinata numericamente a seguito delle simulazioni effettuate, ed è necessariamente funzione soltanto delle grandezze costitutive dei corpi in contatto. 3.3. Presentazione dei risultati Al fine di determinare β sono stati fatti variare in modo parametrico i moduli di elasticità e i moduli di Poisson dei due rettangoli, per poi eseguire un best fit numerico. A seguito delle analisi FEM, viene proposto il seguente modello per la costante β:

p*ν1β-12

11.1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= (8)

in cui: 21

* ν1

ν1

ν1

+= .

L’Eq.7 risulta quindi:

( )pp*

0cont rlν1prp

-1-12 111.1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−= (9)

Il termine ( )*21 ν− non ha una spiegazione fisica ma è stato inserito nell’Eq.8 in quanto in ha portato un miglioramento della correlazione, mentre non è stato necessario fare altrettanto per quanto riguarda i moduli di elasticità E1, E2. Nella Fig.6 è riportato l’andamento della pressione di contatto in funzione della distanza dallo spigolo nel caso di contatto fra materiali uguali su assi adimensionalizzati. L’errore assoluto, nella porzione di rettangolo individuata come zona di validità dell’Eq.9, in nessun caso ha superato il 4 %, riproducendo l’andamento numerico in maniera più che soddisfacente. 3.4. Estensione dello studio al caso tridimensionale I primo studio relativo agli effetti di bordo del contatto, utilizzando la tecnica del Quarter Space, si riferisce a Hetènyi [4] ma si limita a considerare un elemento deformabile contro un piano infinitamente rigido. Nel presente lavoro vengono invece considerati materiali elastici qualsiasi. Il motivo di base per dover estendere la trattazione 2D è la presenza dei raggi di curvatura dei cilindri in contatto, che necessariamente influiscono sul fattore di intensificazione Kp, in quanto hanno influenza sul contatto locale. Il caso 2D può essere ritrovato come limite per curvature nulle. Seguendo lo stesso approccio è stato necessario mettere a punto un modello FEM di contatto tridimensionale (Fig.7) che è stato creato cercando di ottenere il compromesso tra il più alto numero di elementi, compatibili con le prestazioni del calcolatore, e la migliore rappresentazione della distribuzione della pressione di contatto nella zona di interesse. Le principali caratteristiche del modello, mostrato in Fig.7, sono:

• mesh molto fitta mappata per il settore cilindrico in contatto, • mesh libera a medio infittimento in un volume adiacente al primo, • mesh libera a tetraedri con un livello di infittimento grossolano nel volume rimanente.

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L’analisi dei risultati ha permesso di verificare che le deformazioni estensionali in direzione radiale e assiale, in prossimità dello spigolo, mostrano un comportamento singolare, mentre la deformazione estensionale in direzione circonferenziale presenta un valore finito, a conferma dell’ipotesi di Plane Strain (anche se al limite nel punto di singolarità di contatto) su cui è basato il modello di Dundurs. 3.5. Estensione della formula approssimante Nel modello tridimensionale, a causa della non linearità del contatto, il problema è fortemente influenzato dalle curvature locali dei cilindri. Pertanto come variabili significative di dipendenza del Kp è stata considerata la semimpronta di contatto b e la pressione hertziana massima.

Cil. 2

Cil. 1

Figura 7: Modello tridimensionale con dettaglio della porzione interna mappata.

Come conseguenza, l’espressione del tratto asintotico del contatto, nel caso tridimensionale, assume una forma del tipo:

( )p

pHzMaxcont r

1bpβrp-1

-1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅= (10)

La semplice trasposizione dell’Eq.7 si è rivelata però non completa. Dall’analisi dei risultati delle simulazioni numeriche 3D, è sorta infatti la necessità di inserire due ulteriori termini dipendenti dalle caratteristiche costitutive βE, βν, oltre al termine β dal modello 2D precedente.

1

2

1

2121E E

EE10EE,EEβ

⋅−=

⋅−

+=10

1.11)( (11)

)3.0(1)( 11 −−= ννβν (12) Questa differenza può essere giustificata qualitativamente osservando che nel caso 2D la dimensione geometrica usata è indipendente dai valori di E e ν dei due corpi mentre nel problema tridimensionale la semi-impronta è invece influenzata da queste quantità nel modo rappresentato dai fattori in 11 e 12. Quindi è possibile definire:

pHzMaxEp bpβββK -1⋅⋅⋅⋅= ν (13)

ottenendo, in definitiva l’Eq.9 estesa al caso 3D:

[ ]p

HzMax11

2pp*2p

p rp0.3ν

E10Ebν1

r1Kp(r)

-1-1

-1-1 1)(11.111.1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= (14)

A seguito dell’analisi dei risultati ottenuti dalle simulazioni numeriche è possibile osservare che: • l’Eq.12 approssima l’andamento della pressione di contatto ottenuta mediante FEM, al variare

dei raggi di curvatura, con un errore che non supera mai il 10 %, • i casi in cui il R2 < R1 forniscono errori maggiori, • la formula ha mostrato una buona correlazione anche a seguito di ampie variazioni della

sollecitazione applicata, robusta analogamente alla teoria di Hertz,

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• le variazioni dei moduli di Poisson sono molto stabili in termini di valore assoluto dell’errore. La previsione dell’Eq.13, tuttavia, si degrada rapidamente nel caso in cui E2 > E1. Infatti la condizione limite E2 / E1 = ∞ si riconduce al contatto cilindro – piano rigido, mostrato in precedenza, in cui la soluzione non è singolare, in tal caso infatti p tende a 1. Dallo studio dell’Eq.13 emerge che:

• la legge di variazione rispetto al carico applicato non è lineare, ma ha pendenza crescente, • le variazioni in funzione delle curvature comportano delle variazioni della costante secondo

curve iperboliche (Fig.8.a). • la costante presenta un’alta sensibilità nei confronti del modulo di Poisson relativo al cilindro

con estremità libera (Cil.1) mentre è poco sensibile all’altro (Cil.2), Fig.8.b, la costante presenta un’alta sensibilità rispetto al valore di E del cilindro con estremità libera mentre è meno sensibile all’altro.

Figura 8.a: Dipendenza dai raggi R1, R2. Figura 8.b: Dipendenza da ν1, ν2.

4. INFLUENZA DI UN RACCORDO DI ESTREMITÀ Come ultimo caso di studio si considera il contatto di bordo con raccordo d’estremità Re. Sono state intraprese simulazioni numeriche FEM di contatto 3D, seguendo la tecnica delle sottostrutture, risolvendo dapprima un modello “grossolano” e successivamente riportando gli spostamenti come input sulle superfici del sottomodello (mostrato in Fig.9) di separazione con il modello grossolano. In linea di principio non è necessario costruire il modello grossolano con il dettaglio del raccordo, è quindi possibile, usare il modello precedente mostrato in Fig.7. Distribuzioni di pressione, in mezzeria, secondo la direzione longitudinale, sono riportate in Fig.10.

ReReReRe

Figura 9: Sottomodello, e dettaglio della mesh. Figura 10: Distribuzioni di pressione di contatto per

diversi rapporti fra impronta e raggio di raccordo.

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Da tali andamenti è possibile distinguere tre zone caratteristiche della soluzione. Infatti, dal bordo verso l’interno è possibile distinguere: 1. un andamento di tipo hertziano in corrispondenza dell’estremità raccordata, legata a Re, 2. un tratto che riproduce l’asintoto generato dallo spigolo vivo, 3. infine una stabilizzazione al valore di pressione hertziana, secondo l’altra direzione, calcolata

in ipotesi di Plane Strain. Ovviamente le caratteristiche (2.) e (3.) discendono dalla soluzione precedente, mentre la caratteristica (1.) è legata alla presenza del raccordo Re. In quest’ultimo paragrafo si analizza come è possibile modellare tale aspetto e si sottolinea infine, il forte impatto sulla soluzione. In letteratura tale problema è studiato nel caso bidimensionale. In particolare Ciavarella [5] introduce la soluzione la forma, da cui è possibile capire come la soluzione abbia la caratteristica di avere tangenza verticale nel punto di transizione fra le due geometrie. Giannakopoulos [9] introduce, invece un più semplice modello, approssimato, che offre la transizione fra le soluzioni localmente dominanti. Nel presente lavoro, viene seguito l’approccio suggerito in [9], ulteriormente semplificato, nell’ottica di estenderlo al caso 3D. Si propone, infatti, una distribuzione di pressioni lungo la generatrice del contatto, definita a tratti, del tipo:

( )2

00 11 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅⋅=

rrpKrp HzMaxcont per 0 ≤ r ≤ r1 (< 2 r0) (15.a)

( )p

pcont rrKrp

-1

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅= per r > r1 (> r2) (15.b)

In cui r0 rappresenta la posizione del vertice della pressione di contatto nel primo tratto della soluzione che segue l’andamento di Hertz e K0 la costante adimensionale che permette al modello di riprodurre il massimo. Inoltre r1 è l’ascissa di transizione geometrica, ed infine r2 rappresenta la traslazione del comportamento asintotico legata alla presenza del raccordo all’estremità. Imponendo continuità del tipo C1 della distribuzione pcont(r) è sempre possibile scegliere r1, r2 tali che nella posizione di transizione si abbia continuità e tangenza della distribuzione di pressione. Applicando il modello proposto in Eq.15.a dei casi delle distribuzioni di pressione mostrate in Fig.10, scegliendo opportunamente le costanti K0 e r0, mentre r1 e r2 discendono di conseguenza, si nota che:

• la soluzione di tipo asintotico, che deriva dalla soluzione del problema con spigolo vivo, discussa in precedenza, risulta accurata soltanto per raggi di curvatura molto piccoli rispetto all’impronta di contatto (caso di Fig.11.a, in cui il rapporto Raccordo / Impronta = 1:40),

• modellazione non accurata in corrispondenza della transizione del modello, in particolare per quanto riguarda la corretta riproduzione della derivata,

• modellazione molto accurata, del tratto iniziale, per elevati raggi di raccordo (Fig.11.c). 5. CONCLUSIONI I risultati a cui si è pervenuti nel presente lavoro sono:

• comprensione del comportamento delle principali grandezze fisiche (tensioni, deformazioni, ecc.) in prossimità del bordo nel caso di: contatto tra corpi con superfici libere allineate, corpi con superfici libere non allineate, ed infine presenza di un raccordo sullo spigolo laterale,

• nel caso di ingranamento tra ruote con superfici libere allineate, la pressione di bordo è risultata:

- inferiore rispetto al valore di riferimento in ipotesi Plane Strain, - dipendente in maniera significativa dal valore del modulo di Poisson,

• nel caso di superfici libere non allineate è stato determinato l’andamento asintotico della pressione di contatto (Eq.9) seguendo l’analogia con la meccanica della frattura, conoscendo l’intensità della singolarità, e determinando mediante simulazioni FEM la costante geometrica, in funzione dei parametri costitutivi,

• conoscenza della forma dell’impronta di contatto nei casi studiati,

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0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000Confronto Modello-Simulazione FEM

Distanza dallo spigolo [mm]

Pre

ssio

ne d

i Con

tatto

[MP

a]

Rapporto Impronta-Raccordo: 1:40Modello proposto

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000Confronto Modello-Simulazione FEM

Distanza dallo spigolo [mm]

Pre

ssio

ne d

i Con

tatto

[MP

a]

Rapporto Impronta-Raccordo: 1:6Modello proposto

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000Confronto Modello-Simulazione FEM

Distanza dallo spigolo [mm]

Pre

ssio

ne d

i Con

tatto

[MP

a]

Rapporto Impronta-Raccordo: 1:6Modello proposto

Figura 11.a: Modello raccordo minimo. Figura 11.b: Modello raccordo medio. Figura 11.c: Modello raccordo massimo.

• analisi dell’influenza di un raccordo d’estremità sull’andamento della pressione di contatto.

L’aspetto più significativo del lavoro è che l’andamento asintotico della soluzione venga drasticamente inibito dalla presenza del raggio di raccordo d’estremità Re, che porta a zero la pressione di contatto. Quest’ultimo aspetto, fa si che l’estremità non sia necessariamente critica, in termini di fretting o di pitting. Riprendendo l’analogia con la meccanica della frattura è quindi da sottolineare che nel caso di geometria “arrotondata” i due problemi hanno un comportamento diverso. Infatti nel caso di fessura con raccordo [11, pag.277] la soluzione conserva (nell’ipotesi di materiale elastico) la massima tensione normale, secondo la direzione del carico, in corrispondenza del vertice, a differenza del caso presentato, in cui la tensione si annulla, all’estremità. Infine come completamento del presente lavoro, è opportuno determinare (empiricamente, dato che il modello dell’Eq.15 è approssimato) la dipendenza di K0 e r0, dai parametri significativi in gioco. BIBLOGRAFIA [1] S. M. Vijayakar. “A combined surface integral and finite element solution for a three

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