Convegno Nazionale XIV ADM XXXIII AIAS

Innovazione nella Progettazione Industriale

Bari, 31 Agosto - 2 Settembre 2004

INFLUENZA DEI DISALLINEAMENTI SULLA TRASMISSIONE DI RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI DRITTI

M. Beghini(1), F. Presicce(2), C. Santus(3) (1) Università di Pisa, m.beghini@ing.unipi.it

(2) Università di Pisa, fabio.presicce@ing.unipi.it (3) Università di Pisa, ciro.santus@ing.unipi.it

Sommario

In questo articolo si analizzano gli effetti dei disallineamenti sulle ruote dentate cilindriche a denti dritti e viene proposto un criterio per dimensionare la bombatura del fianco analizzando le principali grandezze che definiscono la sollecitazione e il funzionamento cinematico dell’ingranaggio. È stata condotta un’analisi parametrica in presenza di errori di disallineamento e i risultati sono stati confrontati con la condizione ideale di perfetto montaggio. Sulla base di tali considerazioni si perviene a una serie di indicazioni pratiche di progetto.

Parole chiave: ingranaggi, modifiche di profilo, bombatura, ottimizzazione, errore di trasmissione.

1. Introduzione Nelle ruote dentate cilindriche a denti dritti di elevate prestazioni, grande importanza riveste lo studio delle modifiche di profilo e del fianco dei denti per migliorare la cinematica ed il trasferimento dei carichi tra le coppie di denti in presa. Tali aspetti sono stati affrontati in passato da vari autori con metodi sperimentali e modelli semi-empirici e le normative hanno recepito alcuni di questi risultati fornendo indicazioni per il progetto di organi di trasmissione. Le moderne specifiche di prestazioni, specie in settori avanzati quali quello aeronautico, impongono tuttavia l’impiego di più accurati strumenti di analisi per effettuare una modellazione più fedele. Ad esempio, le prestazioni di un riduttore per velivoli da trasporto civile sono:

- Basso peso.

- Basso livello di rumorosità acustica e di vibrazioni.

- Elevata affidabilità.

- Ridotto Time to market.

Tali caratteristiche sono spesso in reciproco contrasto e, in sede di progetto, è necessario operare un trade off per ognuna di esse. La limitata flessibilità delle normative (AGMA, ISO, DIN) nella progettazione degli ingranaggi impone, in particolare, una onerosa fase di sperimentazione e collaudo del prototipo, che in genere, raddoppia i tempi di certificazione e di commercializzazione della trasmissione.

2

Recenti strumenti software per l’analisi degli ingranaggi [1], che integrano affidabilità del metodo agli Elementi Finiti e tempi di calcolo ridotti, permettono di ridurre significativamente i tempi di prototipazione. Questo risultato è consentito dalla possibilità di modellare complesse condizioni di ingranamento riproducendo gli errori di dentatura, le cedevolezze degli alberi, dei cuscinetti, i disallineamenti, l’attrito e gli effetti dinamici.

Questo lavoro si propone di studiare l’influenza prodotta dal disallineamento degli alberi, dalla deformazione della linea dei fianchi e dagli errori di elica propri del dente, sul funzionamento di un tipico ingranaggio cilindrico a denti dritti per impieghi aerospaziali. Il disallineamento può essere causato dal montaggio degli organi o dei supporti della trasmissione ovvero da condizioni di carico del sistema. Sulla resistenza di ruote dentate cilindriche a denti dritti il disallineamento può produrre effetti molto significativi, perché i fianchi dei denti tendono ad entrare in contatto sullo spigolo dell’estremità di fascia e le conseguenti locali sovrasollecitazioni possono portare localmente il fianco al rapido deterioramento.

Nel presente studio è stato utilizzato un codice di calcolo che integra soluzioni analitiche del contatto e modelli FEM [2]. Il codice permette di modellare ogni singolo dente dell’ingranaggio, con modifiche di profilo, errori di spaziatura e d’elica nonché la bombatura dei fianchi. Il codice risolve in modo completo il Loaded Tooth Contact Analysis (LTCA), fornendo le sollecitazioni durante l’ingranamento, tenendo conto delle deformazioni sotto carico [3]. L’ingranaggio è modellato in modo tridimensionale e con carico statico. Le ruote sono state caratterizzate macrogeometricamente e microgeometricamente, definendo la modifica di profilo che permette di evitare il contatto non coniugato di testa e ottimizzate in modo da avere il minimo errore di trasmissione e sollecitazioni ottimali di contatto. Partendo da una condizione ideale di denti perfettamente allineati per fianchi bombati e non bombati, viene valutato l’effetto della bombatura sulle pressioni di contatto e sull’errore di trasmissione. Successivamente, è preso in esame l’errore di allineamento, quantificato in base alle deformazioni dell’albero, alle cedevolezze dei cuscinetti, ai difetti di montaggio e agli errori di elica dei denti. I risultati in termini di pressione, sollecitazione a piede dente e errore di trasmissione indicano valori ottimali di bombatura da scegliere in relazione al tipo di trasmissione. Infine i risultati ottenuti sono confrontati con la normativa AGMA 2001-C95 in termini di KM (fattore di distribuzione del carico).

Il presente studio si inserisce in una più ampia attività di ricerca nella quale, oltre alle analisi LTCA, sono previste prove sperimentali atte a definire le caratteristiche di resistenza di nuovi materiali per impieghi in trasmissioni aerospaziali. Tali attività sono svolte presso il Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Nucleare e della Produzione dell’Università di Pisa in collaborazione con AVIO Propulsione Aerospaziale S.p.A..

2. Metodologia

2.1. Definizione geometrica della trasmissione e caratteristiche operative L’ingranaggio oggetto dello studio è definito nella tabella 1 dove sono indicate le caratteristiche operative nominali rispetto alle quali l’analisi è stata condotta.

3

Modulo normale m 1.75 mm Angolo di pressione αn 22.5°

Numero denti pignone/ruota Z1/Z2 80/80 Larghezza di fascia b 11 mm Coppia al pignone Mt 500 Nm

Tabella 1. definizione geometrica dell’ingranaggio e condizioni operative

2.2. Definizione della modifica di profilo Come primo passo dell’ottimizzazione, si effettua una modifica di profilo (spoglia) che consiste nell’asportazione di materiale in testa dente secondo lo schema di figura 1

Figura 1. definizione parametrica della modifica di profilo

La spoglia è definita dalle seguenti caratteristiche:

- entità dello scarico in testa dente (ve) determinato in modo da evitare il contatto non coniugato di testa in ingresso ed in uscita dell’ingranamento;

- Roll Angle di inizio spoglia (θP), che definisce il punto PS in cui la spoglia inizia;

- equazione descrivente spoglia v(θ ) per θ > θP lungo il profilo.

Lo scarico massimo ve è calcolato sulla base della massima distorsione subita dal dente in condizioni di coppia massima. Tale valore corrisponde all’interferenza massima in condizioni di profilo non modificato.

Utilizzando il criterio del Consecutive Start Relief Roll Angle (CSRRA) descritto in [4], le modifiche di profilo della dentatura possono essere ottimizzate per ottenere la minima escursione dell’Errore di Trasmissione (PPTE), parametro che può essere considerato per quantifica la rumorosità dell’ingranamento. L’applicazione di tale criterio porta alla configurazione della figura 2, in cui si mostrano gli andamenti delle spoglie, in funzione dell’ascissa angolare, lungo gli evolventi nominali del pignone e della ruota, in posizione corretta di funzionamento.

Profilo spogliato

Circonferenza di base Evolvente

nominale

4

Figura 2. applicazione del criterio CSRRA per la definizione delle modifiche di profile ottimali

La modifica di profilo v(θ ) è stata assunta parabolica. Questa scelta permette di evitare discontinuità di curvatura nominale nel punto di inizio scarico. Tali discontinuità, tipiche della più comune spoglia lineare, generano infatti locali sovra-sollecitazioni di contatto che possono provocare riduzione della vita a fatica a compressione superficiale [5, 6].

2.3. Campo di variazione della modifica trasversale del fianco (bombatura) Definito il profilo, l’ingranaggio è stato modellato in 3D, con i rispettivi corpi ruota. La bombatura è stata parametrizzata tenendo conto dello schema in figura 3.

Figura 3. definizione parametrica della bombatura

Larghezza di fascia

Testa pignone

Testa ruota

mA

5

Anche per la bombatura è stata scelta una forma parabolica. Il massimo valore asportato sulle estremità della fascia, mA, è stato fatto variare da 0 (assenza di bombatura), ad un valore massimo calcolato in relazione all’entità degli errori di disallineamento.

Le cause di disallineamento sono state considerate con i seguenti errori indipendenti dal regime di funzionamento:

- errore di disallineamento degli alberi (posizione e gioco dei cuscinetti);

- errore di realizzazione del dente prodotto dal particolare processo tecnologico usato;

Per l’errore di parallelismo degli alberi, sono state considerate le condizioni più sfavorevoli, combinando il gioco radiale dei cuscinetti, dei supporti e dei centraggi (0.05°).

Per quanto riguarda l’errore di elica del fianco del dente, si è considerato il massimo valore tollerato che vale 0.02°.

Gli errori dipendenti dalle condizioni di carico sono legati principalmente alla deformabilità dell’albero. La freccia flessionale dell’albero, essendo la ruota montata in maniera simmetrica non genera disallineamento, ma aumenta l’interasse effettivo di lavoro. Questo fenomeno influisce sulle prestazioni vibrazionali dell’ingranamento, infatti l’allontanamento delle ruote porta i fianchi dei denti in posizione di contatto diverse da quelle nominali di progetto. Le modifiche di profilo che sono state ottimizzate in funzione del PPTE, hanno pertanto effetti leggermente diversi da quelli nominali; in figura 4 si vede la conseguenza della flessione degli alberi sui parametri di spoglia.

Figura 4. effetto di un aumento di interasse dovuto a flessione degli alberi

Il risultato di tale deformabilità è quindi un aumento del valore del PPTE. Per rimediare a tale inconveniente, una volta stimato il massimo aumento di interasse con riferimento alla figura 4, si potrebbe, in fase di ottimizzazione del profilo, far partire la modifica da un punto più alto di una quantità tale da compensare gli effetti di flessione calcolati. Nella nostra analisi tale

Testa ruota

Testa pignone

6

ridefinizione della spoglia non è stata considerata, essendo, in questo caso, trascurabili gli effetti della freccia flessionale sull’andamento generale del PPTE.

In figura 5 è riportato l’andamento della deformazione torsionale della linea media del fianco del dente, che, invece, influisce direttamente sulla uniformità della distribuzione del carico in termini di riduzione e sbilanciamento assiale della zona reale di contatto.

deformata torsionale lungo la linea del fianco dente

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

larghezza di fascia

valo

re d

ella

def

orm

ata

in m

m

Figura 5. deformata della linea del fianco

3. LTCA parametrica I singoli contributi di disallineamento hanno permesso di stimare l’interferenza globale d’estremità che può verificarsi durante il funzionamento dell’ingranaggio e che dovrà essere compensata da un’opportuna bombatura del fianco. L’interferenza globale è stata considerata per definire il valore medio del range di variazione di mA. Per ogni configurazione di bombatura analizzata sono state considerate le seguenti caratteristiche:

- errore di trasmissione o PPTE (indicatore di rumorosità);

- pressione di contatto (indicatore di fatica superficiale);

- massima tensione principale a piede dente (indicatore di fatica alla base del dente).

Ognuna di queste grandezze è stata calcolata in funzione della lunghezza del contatto durante un periodo di ingranamento. È stata considerata la configurazione ideale senza disallineamenti e la configurazione rappresentativa della peggiore condizione di disallineamento degli assi; questo ha permesso di calcolare un fattore di sovraccarico introdotto da tali errori, che è stato confrontato con il fattore di distribuzione del carico KM, calcolato con il codice GAnS che implementa la normativa AGMA 2001-C95 e sviluppato presso il DIMNP [7].

La scelta della bombatura ottimale è stata effettuata considerando il contatto di testa. Questo fenomeno si manifesta quando la regione di contatto include la zona di raccordo in testa dente. A causa della forte curvatura locale, le sollecitazioni di contatto assumono un valore elevatissimo. Sebbene le ruote siano state spogliate per evitare il contatto di testa, come anticipato nel precedente capitolo, per configurazioni con disallineamento, tale fenomeno può ripresentarsi a causa dell’errore d’elica. Se la bombatura non è efficace infatti tale errore non

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è compensato e i denti possono entrare in contatto di testa. Nelle figure 6 è mostrato uno studio FEM dettagliato del contatto di testa.

Figura 6. studio FE del contatto di testa

4. Bombatura ottimale Si riportano di seguito gli andamenti della massima pressione di contatto, della massima tensione principale alla base del dente e del PPTE rilevati su un intero passo di ingranamento, per il range analizzato di bombatura sul pignone e sulla ruota. Sono stati considerati 5 livelli di mA, proporzionali al valore di materiale asportato sulle estremità di fascia, al livello 0 corrisponde un fianco non bombato, al livello 4 la bombatura massima, secondo quanto descritto nel precedente paragrafo.

a)

[MPa]

8

b)

c)

Figura 7. mappe nel dominio di variazione della bombatura in assenza di disallineamento.: a) massima tensione principale a piede dente; b) PPTE; c) massima pressione di contatto.

[mm]

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Sono evidenti gli effetti negativi della bombatura sulle sollecitazioni e sulle prestazioni dell’ingranamento. Per quanto riguarda la pressione di contatto, la bombatura produce infatti una riduzione della fascia efficace. E’ tuttavia interessante notare come per le configurazioni senza bombatura la pressione di contatto non assuma il valore minimo. Questo fatto è spiegato dagli effetti di bordo lungo la larghezza di fascia come notato nella figura 8

Figura 8. aumento della pressione sul bordo del dente in assenza di bombatura

La massima tensione principale a piede dente assume valori crescenti al crescere della bombatura, a causa della dipendenza lineare della tensione dalla larghezza di fascia. L’escursione dell’errore di trasmissione invece si mantiene quasi costante per bassi livelli di bombatura, per poi crescere non linearmente. Questo andamento si spiega, osservando che alla deformazione totale del dente, per elevati mA, diventano significativi anche effetti di locale deformabilità dovute al contatto.

È stata condotta quindi l’analisi dell’ingranamento in presenza dei disallineamenti. Per quanto riguarda la massima pressione di contatto si osserva l’effetto della sovra-sollecitazione dovuto all’interferenza d’estremità, che si manifesta per bassi livelli di bombatura. Tale pressione raggiunge il minimo in corrispondenza di un valore ottimale di bombatura relativa mA

rel, dove

mArel = mA

pignone + mAruota

Oltre tale livello ottimale di bombatura relativa, la sollecitazione di contatto ricomincia a crescere a causa della eccessiva riduzione di fascia e del locale aumento della curvatura sul fianco. La sollecitazione a piede dente segue l’andamento lineare osservato in assenza di disallineamento, mentre per quanto riguarda l’escursione dell’errore di trasmissione si nota un miglioramento globale rispetto alla precedente analisi in assenza di disallineamento [8].

a)

Effetti di bordo

SEMI LARGHEZZA DI FASCIA

10

b)

c)

Figura 9. mappe nel dominio di variazione della bombatura di: a) massima tensione principale a piede dente; b) PPTE; c) massima pressione di contatto. Presenza di disallineamento

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Applicando il limite di accettabilità, rappresentato dal fenomeno del contatto di testa dente, alla mappa della pressione di contatto, sia senza, sia in presenza di disallineamento, si è cercata la configurazione di ottimo che presenti la minima escursione dell’errore di trasmissione.

a b

Figura 10. Mappe della massima pressione di contatto al variare in ascissa della bombatura della ruota ed in ordinata quella del pignone. a) senza disallineamenti; b)con disallineamenti

Figura 11. applicazione del limite di accettabilità e scelta della configurazione di ottimo PPTE nel dominio di variazione della bombatura .

Come si vede in figura 11, la funzione obiettivo PPTE è minima per un livello di mArel

costante e corrispondente ad un valore ottimale di 0.012 mm. Tali configurazioni sono sul

Livello bombatura pignone (mA

pignone)

Configurazioni con la minore escursione dell’errore di trasmissione. PPTE

Livelli bombatura OTTIMA

Zona di non accettabilità

Livelli bomb ruota (mAruota)

Livelli bomb ruota (mAruota)

Livello bombatura pignone (mA

pignone)

Zona di non accettabilità

mArel=cost

mArel = ottima

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limite di accettabilità, oltre il quale cominciano effetti di contatto di testa; inoltre in tali configurazioni la pressione di contatto massima rilevata sul fianco è la minima calcolata nell’intero dominio di variazione delle bombature. Questo risultato suggerisce, inoltre, essendo nullo il gradiente della funzione PPTE lungo il luogo dei punti a mA

rel ottima, di modificare il fianco di una sola delle due ruote. Nelle figure 12 a), b), c) e d) si riportano i risultati del processo di ottimizzazione.

Figura 12. risultati dell’analisi nelle condizioni: a) ruote non bombate non disallineate; b) ruote non bombate disallineate; c) ruote con bombatura ottimale non disallineate; d) ruote con bombatura ottimale

disallineate

Nel grafico di figura 13 è riportato il confronto tra l’errore di trasmissione nel caso di bombatura ottimale in presenza e in assenza di errore di allineamento. È evidente il sensibile miglioramento in termini di escursione dell’errore di trasmissione, che l’introduzione di un errore di allineamento ha sull’ingranamento di due ruote con mA

rel ottimizzata proprio per quel valore del disallineamento.

13

0.044

0.045

0.046

0.047

0.048

0.049

0.05

0.051

0.00E+00 2.00E-05 4.00E-05 6.00E-05 8.00E-05 1.00E-04 1.20E-04

i st a nt i di i ngr a na me nt o

TE assenza di disallineamento PPTE(0.005697 mm) TE presenza di disallineamento PPTE(0.005379 mm)

Figura 13. confronto dell’Errore di Trasmissione in presenza e non di errore di disallineamento

Infine si è confrontato il rapporto tra, la massima tensione principale ottenuta con il modello 3D in assenza di bombatura in configurazione di disallineamento e quella ottenuta in un modello 2D, con il fattore di distribuzione del carico KM, che tiene conto della non uniformità di distribuzione della forza sul dente lungo l’arco di contatto, dovuto all’accuratezza di produzione, allineamento degli assi di rotazione, deformazioni elastiche degli elementi che sostengono le ruote (alberi, cuscinetti e loro sedi, ecc.), deformazioni superficiali per effetto del contatto Hertziano e inflessione dei denti sotto carico. Il KM è stato calcolato con il codice GAnS che implementa la normativa AGMA 2001-C 95:

Dax

Dax

2Im

3Im

σσ =1.053

KM=1.158

Come si vede nel caso esaminato la normativa AGMA sovrastima del 10% tali effetti.

5. Conclusioni In questo lavoro è stato sviluppato un metodo per l’ottimizzazione delle principali caratteristiche dell’ingranamento di ruote dentate cilindriche a denti dritti e bombati.

Un accurato ed efficiente codice ibrido che combina soluzioni FEM con soluzioni semianalitiche del contatto è stato utilizzato per le analisi statiche dell’ingranamento.

L’ingranaggio è stato dapprima ottimizzato lungo il profilo delle dentature, ricavando i parametri che definiscono la spoglia minimizzante l’escursione dell’errore di trasmissione e tale da evitare il contatto non coniugato di testa.

Sono state quindi condotte analisi di tipo estensivo sul dominio di variazione delle bombature. Queste hanno evidenziato come le principali caratteristiche (pressione di contatto, massima tensione principale a piede dente e PPTE) presentino gradienti nulli lungo i luoghi dei punti a bombatura relativa, mA

rel, costante. Questo risultato riduce alla sola variabile mArel

l’ottimizzazione del problema. Tra tutti i valori di mArel ricavati, si scelgono quelli che non

presentano contatto di testa e che inoltre minimizzano l’escursione dell’errore di trasmissione.

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Bibliografia [1] Manfredi E., Presicce F., Santus C., “Strumenti Software per la progettazione di

ingranaggi”, in Progettare VNU Business Publications, Oct, Nov, Dec, 2003.

[2] Vijayakar S., “A combined surface integral and finite element solution for a three dimensional contact problem”. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 31:525-545, 1991.

[3] Beghini M., Facchini M., Presicce F., Santus C., “Analisi LTCA mediante metodi FEM per lo studio di ingranaggi cilindrici a denti dritti”, in Atti del XXXIII Congresso AIAS, Bari, Settembre, 2004.

[4] Beghini M., Presicce F., Santus C., “A method to define profile modfication of spur gear and minimize the Transmission Error” in Proc. Of AGMA Fall Technical Meeting, Milwaukee, Oct., 2004.

[5] Beghini M., Bragallini G.M., Presicce F., Santus C., “ Influence of the linear tip relief modification in spur gears and experimental evidence”, in Proc. Of ICEM XII, Bari, Sept., 2004.

[6] Beghini M., Santus C., “Analysis of plane contact with discontinuous curvature”, International Journal of Mechanical Sciences, 2004 (in press).

[7] Cumbo F., Presicce F., “GAnS – Un software per la progettazione e la verifica delle ruote dentate”, Organi di Trasmissione, Tecniche Nuove S.p.A. editore, Luglio, Settembre, 2004.

[8] Niemann G., Winter H., “Machinelemente Band II“, Getriebe allgemain, Zahnradgetribe, volume 2. Grundhlagen, Stirnradgetriebe, Springer-Verlag, Berlin, 1983.