Calcolo differenziale II -...

Calcolo differenziale II

Hynek Kovarik

Universita di Brescia

Analisi Matematica 1

Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Derivate – (II) Analisi Matematica 1 1 / 36

Massimi e minimi

Definizione

Sia A ⊆ R, f : A→ R, x0 ∈ A. Si dice che

x0 e un punto di massimo RELATIVO , se esiste un intorno Iε(x0)di x0 tale che

∃Iε(x0) : ∀x ∈ A ∩ Iε(x0) si ha f (x) ≤ f (x0).

x0 e un punto di minimo RELATIVO se esiste un intorno Iε(x0) dix0 tale che

∃Iε(x0) : ∀x ∈ A ∩ Iε(x0) si ha f (x) ≥ f (x0).

x0 e un punto di estremo relativo se e punto di massimo o diminimo relativo.


Definizione

Sia A ⊆ R, f : A→ R, x0 ∈ A. Si dice che

x0 e un punto di massimo ASSOLUTO , se

∀x ∈ A : f (x) ≤ f (x0).

x0 e un punto di minimo ASSOLUTO se

∀x ∈ A : f (x) ≥ f (x0).

N.B.: Se x0 e punto di massimo (risp. minimo) assoluto, allora x0 e anchepunto di massimo (risp. minimo) relativo.


Teorema di Fermat

Siano f : A→ R e x0 un punto interno a A. Se f e derivabile in x0 e sex0 e un punto di estremo relativo per f , allora f ′(x0) = 0.

Dimostrazione:Supponiamo che x0 sia un punto di minimo relativo per f . Allora ∃ δ > 0tale che

x0 − δ < x < x0 + δ ⇒ f (x)− f (x0) ≥ 0.

Quindi

f (x)− f (x0)

x − x0

{≤ 0 se x0 − δ < x < x0

≥ 0 se x0 + δ > x > x0

Dunque passando al limite per x → x0± si ha

f ′−(x0) ≤ 0, f ′+(x0) ≥ 0.


Siccome f e derivabile in x0 vale

f ′−(x0) = f ′+(x0).

Quindi deve essere f ′(x0) = 0. Il caso del massimo relativo: esercizio.


Definizione

Sia f : A→ R e x0 punto interno ad A. Diciamo che x0 e puntostazionario (o critico) per f se

f e derivabile in x0

e

f ′(x0) = 0.

Quindi, condizione necessaria perche x0, punto di derivabilita , sia puntodi estremo relativo, e che x0 sia un punto stazionario per f .

Esempio

f (x) = x2, x ∈ R


Il teorema di Fermat fornisce solo una condizione necessaria, manon sufficiente per avere in x0 un punto di estremo relativo.

Esempio

Sia f : R→ R data da

f (x) = x3, dom f = R.

Allora f ′(0) = 0, ma non e punto di estremo relativo.


“Candidati” a punti di estremo relativo

Sia f : [a, b]→ R.Per il Teor. di Fermat, i punti “candidati” a essere di estremo relativoricadono, in queste tre categorie:

1 gli estremi a, b dell’intervallo di definizione;

2 i punti interni x ∈ (a, b) tali che @ f ′(x);

3 i punti interni x ∈ (a, b) tali che esiste f ′(x) = 0.


Teorema di Rolle

Sia f : [a, b]→ R una funzione

1 continua in [a, b],

2 derivabile in (a, b),

3 tale che f (a) = f (b).

Allora esiste un punto c ∈ (a, b) tale che

f ′(c) = 0 .


Dimostrazione: Per il teorema di Weierstrass f ammette un punto diminimo assoluto xmin ∈ [a, b], e un punto di massimo assolutoxmax ∈ [a, b]. Consideriamo le seguenti possibilita :

1 se xmin 6∈ {a, b}, allora f ′(xmin) = 0, per il Teorema di Fermat, da cuila tesi.

2 se xmin ∈ {a, b} e xmax 6∈ {a, b}, allora per il Teorema di Fermat, valef ′(xmax) = 0, da cui la tesi.

3 se xmin ∈ {a, b} e xmax ∈ {a, b}, allora per ipotesi del Teorema si haf (xmax) = f (xmin). Quindi f e costante e f ′(x) = 0 per ognix ∈ (a, b)


N.B.: non si puo indebolire l’ipotesi di derivabilita in (a, b): la funzione fdata

Esempio

f (x) = 1− |x |, x ∈ [−1, 1]

soddisfa f (−1) = f (1), ma non esiste alcun c ∈ (−1, 1) per cui f ′(c) = 0.


Teorema di Lagrange

Sia f : [a, b]→ R una funzione

1 continua in [a, b],

2 derivabile in (a, b).

Allora esiste un punto c ∈ (a, b) tale che

f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a.


Dimostrazione:

Si applica il Teorema di Rolle alla funzione h : [a, b]→ R

h(x) = f (x)− (x − a)f (b)− f (a)

b − a.

Infatti, h e continua in [a, b], derivabile in (a, b) e vale

h(a) = f (a) = h(b).

Quindi esiste c ∈ (a, b) tale che h′(c) = 0. Siccome

h′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)

b − a,

la tesi e dimostrata


Conseguenze del Teorema di Lagrange

Teorema della derivata nulla

Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R derivabile in I . Se f ′(x) = 0 perogni x ∈ I , allora f e costante in I .

Dimostrazione: Siano x1, x2 ∈ I tali che x1 < x2. Applicando il Teoremadi Lagrange alla funzione f sull’intervallo [x1, x2] si deduce che esiste unc ∈ (x1, x2) tale che

f (x2)− f (x1) = (x2 − x1)f ′(c).

Siccome f ′(x) = 0 per ogni x ∈ I , si ha f (x1) = f (x2) per ognix1 < x2, x1x2 ∈ I . Quindi f e costante in I


La tesi e falsa se dom(f ) NON e un intervallo!!

Esempio

Sia f data da

f (x) = arctan x + arctan

(1

x

), domf = R \ {0}.

Alloraf ′(x) = 0 ∀ x 6= 0, (esercizio)

ma f non e costante in R \ {0}: si ha f (x) = π2 per x > 0 e f (x) = −π

2per x < 0.


Teorema su monotonia e derivata

Sia f : (a, b)→ R una funzione derivabile in (a, b). Valgono le seguentiaffermazioni:

1 f ′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b) se e solo se f e crescente in (a, b).

2 f ′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a, b) se e solo se f e decrescente in (a, b).

3 Se f ′(x) > 0 ∀ x ∈ (a, b), allora f e strettamente crescente in(a, b).

4 Se f ′(x) < 0 ∀ x ∈ (a, b), allora f e strettamente decrescente in(a, b).


Dimostrazione: Per dimostrare l’equivalenza (1), supponiamo prima chef ′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b). Siano x1 < x2, x1, x2 ∈ I . Applicando il Teorema diLagrange alla funzione f sull’intervallo [x1, x2] si deduce che esiste unc ∈ (x1, x2) tale che

f (x2)− f (x1) = (x2 − x1)f ′(c) ≥ 0.

Quindi f e crescente in I . Supponiamo ora che f sia crescente in I . Alloraper ogni x ∈ I e ogni t ∈ R con |t| sufficientemente piccolo si ha

f (x + t)− f (x)

t≥ 0

Passando al limite per t → 0 e usando il teorema di confronto si deduceche f ′(x) ≥ 0. Allora l’equivalenza (1) e dimostrata.


Dimostriamo ora l’implicazione (3). Se f ′(x) > 0 ∀ x ∈ (a, b), allora perogni x1 < x2, x1, x2 ∈ I esiste (per il Teorema di Lagrange) un c ∈ (x1, x2)tale che

f (x2)− f (x1) = (x2 − x1)f ′(c) > 0.

Quindi f e strettamente crescente in I .

Le dimostrazioni dell’equivalenza (2) e dell’implicazione (4) sono del tuttoanaloghe (esercizio)


ATTENZIONE:

f strettamente crescente in (a, b)

non implica

f ′(x) > 0 per ogni x ∈ (a, b)

(analogamente per f strettamente decrescente).

Esempio

La funzione f : R→ R data da f (x) = x3 e strettamente crescente in R,ma f ′(0) = 0.


Teorema (del segno della derivata prima)

Sia f : (a, b)→ R derivabile in (a, b) e sia x0 ∈ (a, b). Valgono le seguentiaffermazioni:

1 se esiste ε > 0 tale che f e derivabile sugli intervalli (a, x0) e (x0, b) everifica

f ′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (x0 − ε, x0) e f ′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (x0, x0 + ε) ,

allora x0 e un punto di minimo relativo per f su (a, b).

2 se esiste ε > 0 tale che f e derivabile sugli intervalli (a, x0) e (x0, b) everifica

f ′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (x0 − ε, x0) e f ′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (x0, x0 + ε) ,

allora x0 e un punto di massimo relativo per f su (a, b).


Derivate di ordine successivoSia

f : I → R derivabile su I .

Quindi e ben definita la funzione derivata

f ′ : I → R, x 7→ f ′(x)

Definizione: derivata seconda

Sia x0 ∈ I punto interno. Se esiste la derivata di f ′ in x0 ∈ I , cioe seesiste

limt→0

f ′(x0 + t)− f (x0)

t

allora essa si chiama derivata seconda di f in x0, e si denota con

f ′′(x0) o f (2)(x0).

Diciamo f e derivabile due volte in x0 se ∃ f ′′(x0) ∈ R.


Definizione: derivata k-esima

Sia f : I → R. Le sua derivate di ordine k ∈ N si definiscono perinduzione:

derivata 0-ima di f : si definisce f (0) = f ;

per k ≥ 1, la derivata k-esima f (k) e la derivata (prima) della derivatala (k−1)-esima f (k−1):

f (k)(x0) = D(f (k−1))(x0).

L’indice k e detto l’ordine di derivazione.Diciamo f e derivabile k volte in x0 se ∃ f (k)(x0) ∈ R.


Esempio:

Data f (x) = ax , x ∈ R, con a ∈ R+, si ha ∀k ∈ N

f (k)(x) = ax(log(a))k ∀ x ∈ R.

Esempio:

Data f (x) = sin x , x ∈ R, Allora ∀k ∈ N

f (4k)(x) = sin x f (4k+1)(x) = cos x

f (4k+2)(x) = − sin x f (4k+3)(x) = − cos x


Proprieta di regolarita

Funzioni di classe C k(I )

Sia I intervallo. Per k ∈ N, denotiamo con C k(I ) l’insieme

C k(I ) ={f : I → R : f e derivabile k volte su I , e

f (k) : I → R e continua su I .}

Quindi:

C 0(I ) e l’insieme delle funzioni continue su I ;

C 1(I ) e l’insieme delle funzioni derivabili su I , con f ′ : I → Rcontinua su I ;

C 2(I ) e l’insieme delle funzioni derivabili due volte su I , conf ′′ : I → R continua su I .....


Si ha ∀ k ∈ NC k(I ) ⊂ C k−1(I )

con l’inclusione stretta.


Definizione: C∞(I )

Sia I intervallo. Per k ∈ N, denotiamo con C∞(I )

C∞(I ) =⋂k∈N

C k(I ) ={f : I → R : ∀ k ∈ N f e derivabile k su I , e

f (k) : I → R e continua su I .}

I polinomi, la funzioen esponenziale ax (a ∈ R+ \ {1}), sin x , cos x ,appartengono a C∞(R).

La funzione loga x (a ∈ R+ \ {1}) appartiene a C∞(R+).


Teorema (Criterio della derivata seconda)

Sia f ∈ C 1(I ) e sia x0 ∈ I un punto stazionario per f .

1 Se esiste f ′′(x0) > 0, allora x0 e un punto di minimo relativo per f .

2 Se esiste f ′′(x0) < 0, allora x0 e un punto di massimo relativo per f .

Dimostrazione: dimostriamo (1). Se

f ′′(x0) = limx→x0

f ′(x)− f ′(x0)

x − x0= lim

x→x0

f ′(x)

x − x0> 0,

allora per il teorema della permanenza del segno esiste ε > 0 tale che

f ′(x) < 0 ∀x ∈ (x0 − ε, x0) ∧ f ′(x) > 0 ∀x ∈ (x0, x0 + ε).

Quindi la tesi segue dal Teorema del segno della derivata prima


Questo teorema fornisce un metodo per la classificazione dei puntistazionari per funzioni due volte derivabili.

Le condizioni sul segno di f ′′ sono solo sufficienti e non necessarie: adesempio la funzione f : R→ R data da f (x) = x4 ha un minimorelativo (ed assoluto ) in x0 = 0, ma f ′′(0) = 0.


Teorema di de l’Hopital

Teorema di de l’Hopital

Sia x0 ∈ R e siano f , g due funzioni derivabili in un intorno di x0 tali che

limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x) = L, L ∈ {0,+∞,−∞}.

Se g ′(x) 6= 0 in un intorno di x0 e se esiste il limite

limx→x0

f ′(x)

g ′(x)∈ R ,

allora esiste anche il limite limx→x0

f (x)g(x) e vale

limx→x0

f (x)

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g ′(x).


OsservazioneNotare che l’uguaglianza

limx→x0

f (x)

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g ′(x)=

e condizionata al fatto che ESISTA il limx→x0

f ′(x)g ′(x) !

Esempio:

Per f , g : (−1, 1) \ {0} → R date da

f (x) = x2 sin1

x, g(x) = sin x

vale

limx→0

f (x)

g(x)= lim

x→0

x2 sin 1x

sin x= lim

x→0x sin

1

x= 0,

ma

limx→0

f ′(x)

g ′(x)@ (esercizio)


Applicazione di de l’Hopital I: limiti notevoli

limx→0

sin x

x

(H)= lim

x→0

cos x

1= 1

limx→0

ex − 1

x

(H)= lim

x→0ex = 1

limx→0

log(1 + x)

x

(H)= lim

x→0

1

1 + x= 1

limx→0

1− cos x

x2

(H)= lim

x→0

sin x

2x= 2

limx→+∞

log x

xα(H)= lim

x→+∞

1

α xα= 0 ∀ α > 0


A volte e necessario applicare il Teorema di del’Hopital piu volte...

Esempio

Calcolare il limite

limx→0

(1

x− 1

sin x

)Si ha

limx→0

(1

x− 1

sin x

)= lim

x→0

sin x − x

x sin x

(H)= lim

x→0

cos x − 1

sin x + x cos x

(H)= lim

x→0

− sin x

2 cos x − x sin x= 0.


Un’applicazione teorica del teorema di de l’Hopital

Il teorema del limite della derivata

Sia f : [a, b[→ Rcontinua in [a, b[

derivabile in (a, b).

Se ESISTE (finito o no) limx→a+

f ′(x), allora esiste anche f ′+(a) e vale

f ′+(a) = limx→a+

f ′(x).

Dimostrazione: Consideriamo le funzioni h(x) := f (x)− f (a) eg(x) = x − a. Il Teorema di de l’Hopital implica

f ′+(a) = limx→a+

f (x)− f (a)

x − a= lim

x→a+

h(x)

g(x)= lim

x→a+f ′(x)


Differenziabilita

Sia I intervallo aperto, f : I → R derivabile in x0 ∈ I .L’equazione della retta tangente al grafico di f in (x0, f (x0)) e

y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0).

Poniamog(x) = f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x − x0)

differenza tra l’ordinata del punto (x , f (x)) ∈ graf(f ) e il punto(x , f (x0)− f ′(x0)(x − x0)) appartenente alla retta tangente al grafico di fin (x0, f (x0)).Si ha

limx→x0

Λ(x)

x − x0= lim

x→x0

f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x − x0)

x − x0

= limx→x0

[f (x)− f (x0)

x − x0− f ′(x0)

]= 0.


Quindi,approssimando f (x) con f (x0) + f ′(x0)(x − x0)

si commetteun errore che e o(x − x0) per x → x0

cioe

f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x − x0) = g(x) = o(x − x0) x → x0

Definizione

Sia I intervallo, f : I → R e x0 ∈ I . Diciamo che f e differenziabile in x0

quando esiste λ(x0) ∈ R tale che si abbia

f (x) = f (x0) + λ(x0)(x − x0)+o(x − x0) per x → x0,

cioe

limx→x0

f (x)− f (x0)− λ(x0)(x − x0)

x − x0= 0.


Teorema:

Sia f : A→ R e x0 un punto interno di A. Allora

f e differenziabile in x0 ⇐⇒ f derivabile in x0.

In tal caso λ = f ′(x0).

Dimostrazione:

f (x) = f (x0) + λ(x0)(x − x0) + o(x − x0) per x → x0 ⇐⇒

limx→x0

f (x)− f (x0)− λ(x0)(x − x0)

x − x0= 0⇐⇒

limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0= λ(x0)


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