Studi qualitativi per problemi di Cauchy

Riccarda Rossi

Universita di Brescia

Analisi II

Es. 1.Dimostrare che la soluz.(

y 0(t) = sin(t + y2)

y(1) = 0

esiste ed e unica, e che il suo dominio massimale di definizione eR.

yche fa giti

Perapplicare iter di z localeglobale

devo studiare fctyfsinltYI.domlfl.HRfa coca

fecciao kilter 7 locale

Possa applicare anche Terri 7 globaledomi ftp.xte strisciaverticale

f hacrescita sublineereiIfeti g 1 E 1 theyIERI

L'intervallomassimale di definizioneè E te

Es. 2.Studiare al variare di ↵ 2 R esist. locale per

(y 0 = 3

py � t

y(1) = ↵

Studio l'applicabilità delterredi 7locale al variare di ER

farglidef su TEfelice 4

jugsÈ l I Kinder

tegt ca se toy

TI verificareche titoYdtalechetopoDI to gottay

f li f toto

Quindiyè bendefinita econtinua

su DID conD filiale

Quindi il tea di 7 locale si applicaal nostro problema di Cauchy

cheesalute 1 a EREDL 1

Es. 3.Determinare l’intervallo massimale di definizione per le soluz. di

(y 0(t) = t +

py2 + 2

y(0) = 1(y 0(t) = 1

t � 1 +p

y2 + 2

y(0) = 1

Dobbiamostudiareapplicabilità deltour di 7 globalefctryl.tt Èèdefinita su TREstrisciavoltialefeceCira les Ig ECERTI

Rimane da vedere se f hacrescitasublimare in y cioè

7kmka o KHey E1221far g e KeeKaiyi

lfitiyst.lt ÈRicordo

ti teneroe Hit ly I E treno

eraQuestastimaci diceche lacondizionedi

crescitasublineare èsoddisfattaquando restringiamof a Enid xD Allora

ti ltylcem.msxDflags1 E Mt Rt Ifl

CIDI applichiamo iltour di 7 GLOBfilmµ Concludiamoche

l'intervallo massimale di esistenzaè ilpiùgrandepossibile cioè

EM in

Ma in questoargomento µ o èarbitrarioQuindi la salute è def su

FM M tenso

m b fuQuindi la salutemassimale èdef sututto la

g'Ha 1

i IaKE

fattigli f tifadonifle Rita xDIter siapplicano a f definitesu A I Ià è

intervalloPrendiamo intervallo Ie Riditale che o c I ed _fa 1

Considero f def su faidatePerES strisciaI f e CIC fa Date votate

Crescitasublimare tetto a 9ER

Etherealse teta sifede fenile

Cojoni completareperesercizio

L'ipotesidi crescitasublineareèverificata da

talif Ita atteIl probe di lonely haunUnicasalma massimaledel su

C a A taceLasalutemassimale è definitasu C ca 1

Es. 4.Verif. che la sol. di

(y 0 = (y + 1)3 sin(y)

y(0) = 12

e limitata e strettamente crescente.

fitlyle liti since CC'CTE siapplica iltour di II locale

don f èunastrisciaverticaleMI y farg non hacrescita

sublimare compareiy.cn

ora come ora nonpossiamoapplicare il Tea di 7 globale

pieghi7 soluzione definitasu uncertointervallo massimale

TwinImaxperverificare che yayCH èlimitatasulsuodominio didefinizione uso ilconfrontoconlesalierestazionariefltiyl.meN'sinceI suoipuntidiannullamentosono 4 1 e yoke perKc 2Quindi l'egodiff

g'chefit ychiha infinitesalutistazionariedate

Yale 1 taceYale ke tacete con KEE

Sia giti lasalvia del mio pb diconiConclusigià 1

Siccome 0 1 citsono idatiinizialidi 2 salutestazionarie

philter di 7 locale avremo che

yih ntteltmin.tn

qs.non jX y.itIÌm neoviolerebbe ne 17 1 le.itlocale

gutter ttectmin.tma.itCon lostessoargomento daredettagliperesercizio I

ylhsottectmin.tnQuindi 4 è limitata su

ctmin.tma.nlInoltre Htectmintmax

1fa y Igetti11 singh 1E 9h 113E it 1 3

D Cingolosolare èverificata lacondite dicrescita sublimare

ora possiamo applicare tea7globale Turintmaxt.pl

2 Dadimostrare chetingiti ècrescente su

infatti osservo

44ha 41141 simileINio 2 o fattori

defaltore o tt et perchéyea o20fattore so Votate perché

04YIN itg'HI so keepy èstreet crescente

Es. 5.Studiare, al variare di ↵ 2 R, la monotonia di sol. di

(y 0 = arctan(t)ey (y � 1)(y � 2)

y(0) = ↵ fai g

f e l'CTE ok leipotdelTar di 71locale

don f strisciacotalema y fateg contiene etD non hocrescita sublinearerisp a fnon possoapplicare tea 7glob

Quindi per ora concludoche

il probe di Cauchy ha un'unicatalealocale g yet def suintervallo massimale TwinImax

ylh.ec con C

fCtideottElIartomlHeeleDCezf.ottt

Ce 1 o C 2

Gite1 è lasalutestazionariacondato gioie1YALE2 è lasalutestare con

gioia2

3casi YIN2 2

È t

La 1 LE 1,2T d 2LE 31 2T cometemaconcludoche

Alti 2 tt ectmin.tnAllora usandoquestoarredalfltiyltD lonctomlhleb.IN ycHe lyHt4

E Tg è lylhillylh.ate

èverificatala crescitasublimarelungo lasalma

y èdef su ctmintmaxt.tkStudio la monotonia

ylltl awctom.es fitta yen atonnoperché

1 Ut casignifichi signlanterna

sign t

g'iho set o

o ateo

4 crescente se fa o

decrescente su o toE o è puntodi massimoAss

2 910121operconfronto con gite1

yihcsttectmin.tnadHI Digiti 2 o a

signg'HD Sign anatomiasigniti

yè decresc.sn Tomin oè arreso se loImax

t.co è fin di min Assocpaychez

7 Layla 1 ttc ctmin.tnadpossoapplicareTed 7globalecomeprima

e ctni.inrtmaxl.tl

d 2 gia 2 HteltmintmaxNoi µ

YINDigiti 2 soI

Sign g'chi signiaietanitisign It

y crescente su loImax1 decrescente su Twin o

Posso solodedurre yCH ate EminImax

Ma NE ho una stima perYINdall'alto yHic

nonriesco adirechehocrescitasubl.hngolasalutenon applico tour7globale

quindi nonpossodire che

trenini tmaxl.tlnon è vero

Es. 6.Dimostrare che la sol. di

(y 0 = �(y � 3) arctan(log(y2 + 1))

y(0) = 1

e definita su tutto R e calcolare

limt!�1

y(t) e limt!+1

y(t).

ftp.fiy

f e Cicr ok ipot.tn 7LocaleTE è strisciaverticale

ytifateyihacrescitasublineareinfattiI fit g t.ly31 certain log 44D

E gli3 EI

E Tzipi 372Ho un'unicasalma def siete

Glue stazi 4 Itto e alte3 tacey 3 arctemllogcq.in 0

ED 4 3 o laghetti 0E441 1 4 0

Siccome la ns saluti verifica

0cgCole1 3YI E Io 3T VIER

g'HE 3gia anatemilog14710 HEER

perchécognitislogato

Sign y'tsign 3 y che èpositivoperchégetta3

y ècrescente suTEallora 7 fingete L EED

7 line o Eh 3

Uso ilTea asintotoperdire che l 3Infatti a QinnoYute L Ete

7 ÈYaog'thefiIm s yHDarctonnlloglqtti.it

13 4 anatemilog IIIIl Tea asintotodice che3 4 arcion log ll Ita o

Le 3 o l 0

Sapevamo già che l E Ch3Allora l 3Con lostessoragionamento sivedeche line 9che

Es. 7.

(y 0 = �(y � 2) arctan2(y)

y(0) = 1

dongleTEocyctlaztzc.iey ècrescentelinegiuC tra 2

L line YINO

Es. 8.Dato (

y 0 = e�y2+ t4

y(0) = 0

(1) Dimostrare che esiste un’unica soluzione definita su tutto R(2) la soluzione y(t) e dispari?(3) Calcolare lim

t!+1y(t).

a fitiyl.tt è e caciook tea 7 locale

f èdef su strisciaverticale

crescitasublineareI fetig I ttf e a

Et 1 teethConsidero laresina di fa Entrarht c Ehm Ifetig 1E di4 1fila crescitasubl.sn Emitterla sdnz.edef.su ente

Siccome µ o èARBITRARIOdeducoche lasalma e'def siete

m che lasalute èDISPARIII gioieo è in acca

è

con la Disparità

yttk ylh h.EE2

YAK y fta

devoquindi dim che ythzlhconzlt.eey ftstrategia fisicamente

per il ter di unicità2lol 4 to già 0

II dal gttfi g l ti yY t

fate e 47T

gift 14 e EHI

lyl HI.phè t A Z risolvestesso

pb Cauchyad y èDISPARIPossostudiarlasolo su lato

poiperdisparità deducocomportarmisuCcoid

fltiyt.tl e e 42non ci sonosaluti stazionarie

y Al ta e e li St 4 zo ta

y è streetcrescente a te7 71 the L E Jo toPoichénon ci sonosaluti stasi mi

aspetto che le co Loposso dimostrare in Iei1 indirettamente Perassurdosia L 2 to poiché e LI

III d'theE Italia.FIio

sono in contraddir con il Tar dellasintoto chediceche clingAKO

tattoAssurdo Letto

2 direttamente primag'ih te t't.ca

Alloraktzoaetfcylhtyid.it kids

Io

SI sa ds5

Siccome ho tentatoallora limyltl.twtata

dedurre per disparità laproprietà di f see to o

Es. 9.Dato (

y 0(t) = arctan(t) (y(t)� arctan(y(t)))

y(0) = y0

studiarne la soluzione al variare del dato y0 2 R.

fltylearetenlti.ly anatomyE a CTE Vota Tar

7 Locdomlft.DZ strisciaverticale

lfltcyl larctomltllyoncteniysls.ttz tyltlarctomcys1

ETGIyltttf.tt zok crescitasublimare

7globale ok houn'unicasalmattyoe.tl def su

tutto teDimostra che tingiti ePARI cioèteeth ylttyl.tt cioè

yltkzchovezlh.lt ftper provarequesto verifichiamo

che 2 risolvelo stesso

problema di CauchyAllora zia la VIER graziealtar di unicitàdellesoluzioniZio yto ylo.gov2 thedalyft y l tifarctomthfyth a.amqttIMarctomlhfzctl arctemlz

antennedispari

ok y èPARI tg.eeSoluzioni stazionarie 4HEC con

c ER tale cheflticl.co ther

A ariana c eiaculai OtterE

c arcion c Oned GOtosschecafz.giyt y artomig.li

èstretticres su g'gligoto

O èl'unicoptodiannullarepaggigi tyro

Abbiamo 3 casi

40 0 D corrisponde alla salma1 stare getto HEER2 4070 ad yIH o HEER3 yo o gia o VIERI ESERCI

poso gia o HER4

YIN arctornigiti softer

Italy sign arcianiHttsign arrtanllN.aesign E

yè crescente su Comoè decrescente ne fa o

tono e'Cunicopto Mintema

DastudiareLi.fijYlHN.I7Lpeiehiy ècrescentePerlastessa ragione E YohoDim che Le tu perassurdoPerassurdo sia to

Oss

cnet.EEaIIIFIEannaDTY Lt arianna2

Il Tur asintoto midicechelimyche0 HA L arcion Lctata D Le 0

Assurdo perché sappiamoche yoyoc o

Con lostessoragionam dim4 co

le si freghi

L co

40LO

ycresce su to odecresce su Cortes

Le L co

Es. 10.Dato il problema di Cauchy

(y 0 = arctan(y)

y(0) = ↵

dimostrare che la soluzione

1. e definita su tutto R2. e strettamente monotona per ↵ 6= 0

3. e convessa se ↵ > 0, concava se ↵ < 0

4. calcolarelim

t!�1y(t), lim

t!+1y(t)

flhyt fcgi.azatomig E C'CTEok 7 locale

domlft.IR strisciaverticale

lfctryilz.kz Con sublimitàok 7 globale

D ctmin.tmaxl.ttSÈTE 441 0 Atei

e'l'unicaRadio ed 4CHE0 ftpCaso a o

a Casa 2 0 esercizio

Supp che I Itti so e

ylltkaraomcya.tl so HEER

y èstreetcrescente su teXDZ lineroyal

7 nato IL_ limitaco

_E 0 a Dim che LEOInfatti esiste fifty

7 ariani quidieta l

Applico il ter asintotolimite O AD L O

E tu questo lo deduciamodalla monotonia

Dimostriamoche li to

Procedo PERAssurdo suppongo cheLt Lines

vedo che 7ftp.jgktleonctomllxApplico ter asintoto

deveessere autori litioLe 0

Assurdo Allora eco

Perstudiare convessità concavitàcalcolo 4 la

y the 1g'Hi

arcianigiftg'Ht 1HUH

certamente1 14411

Poiche 1Aurea

ter

sign 4 signorig Also hate

gèconvessaposso disegnareEgrafico

edEI Yo so

I cy concava

Es. 11.Al variare di 0 < ↵ < 2⇡ studiare la soluzione di

(y 0 = 2 sin(y)

y(0) = ↵

flhyt 2srneyleacrdlfctrg.IE2

7 glob

ctmin.tmaxt.IRa sohu.staz ifltrcl.co Http

sincero e kit KHER

A noi interessa 2 410 E 0,2ftgite 2T

fai

cosI detail LEICate a E it

yltlcT.tt zittiylltl 2sincylhle.coy èstrettodecrescentesu D

EI dimostrarecheL line9ITL se direttamente

E Ìasintoto

Convessità concavità

yHeftyHyeasinina

44hLcostrettiSoche 444co tt ED

signcy CHE sign coscrittiRicordo che piace it zitticos4441 so se YCHEJszit.at

o se YCHEJUTRITI

od gl'Lt 0 te l'HEY zittio se

µheart

eI

Siccome l_ rete Lt it e Y7 ta in cui altalenePermonotoniatoghe 321T per t stagia set per tata

Trovoche

4 è concava per te fa taq è convessa per te tantota è unicop.to diflesso

Non sa dovecollocare ta

potrebbeessereta ca se delicatezzata so se a zit

non ve lo chiediamo

Nel caso a EJO.tt l'unicopuntodi flesso è ta tale che

yltz.ms

Es. 12.

Dimostrare che le soluzioni di(y 0 = ey sin(y)

y(0) = ↵

sono definite su R per ogni ↵ 2 R.

vedi slide del20.12.2017sullapag webmaterialearea

strategianon possoapplicaresubito ilTea 7globaleperchéfitlyle e siney ma hacrescitasublimare

guardo lesoluzistazione

YHEKE KEIPer d KT con KER la miasalute èdef sututto tePer darti Kellerconfrontare la salute conlasalute Stazionarie

perdedurreche Ctmeintmax f R

Un risultato di prolungamento

Nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicita locale, se u e unasoluzione del problema di Cauchy e K ⇢ A un compatto tale che

graf(u) ⇢ K ,

allora il dominio di definizione di u non e massimale.

Lmale anche se don f non è

striscia verticale

Es. 13. (Tema d’esame del 14/01/2013)

Dato il problema di Cauchy

(y 0 = t 4�y2

y

y(0) = y0

determinare al variare di ↵ 6= 0 se il problema ammette esistenza eunicita locale e globale. Studiare monotonia, eventuali simmetriedella soluzione, e i limiti agli estremi del dominio di definizione.

Yo

flteykt 4jEe1CRxyo3D0k7l.hoealaIon èstriscia Vernate

non possoapplicare

ten 7globale7 saluti locale con dominiomassimale TurinImax 70

sdnz staz i.fct.cc FEEDcost 4 tt

e 2 o Ce 2

EY yiaezysso.IEYo

iene 2Ho yih.ae unValoreproibito

40 2 perlasalute240 0 non e'unaOsYoon2 ES salveYo 2 ES stazione

Esercizio dimostrare che Kyotola salute è PARI

Caso yoc 2 GIA c 2

tott minima

signCullen signLEI cioè

y èdecrescente su tonocrescente sucorteo

Pert.co homin ass

ed yosylhe 2tteltmm.tn aase Ctmintmax Te allora

grafly starebbein uncompatto

Quindi punturedi prolungarmitminitmaal non sarebbe

dominiomassimaleAssurdo

ctmin.tmaat.tlPermonotonia

7 Le Inzayett7 l zona I trincia

ter asintoto

caso2 foto2cg IH O tt cCtmintmax7h o4L o

ghiro

sign4 sign Itt.co èpto di

1 ratesO Ase

2 CHE yoktectmin.tnaxTwin ca tmax.eu

comeprimaten prolungava

Sonoautorizzata a parlare diline ylhljz.my ehtra

l tra ca I

t 2 L es asini

Es. 14. (Tema d’esame del 10/04/2011)

Studiare il problema di Cauchy(y 0 = log

�log2(y) + 1

2

�

y(0) = y0

con y0 > e�1/p2. toy

doni ftp.x Io no no striscia

feci credo to Ok 7 localenon applico tea 7globale

Saluti stazionarie YHI.ec Azericon

log laghettologica 11am Gekko

e TE

g ce KE èdifficile

case e ergo e E

cose g settecose e Eythaete

ft ectmim.tnadParterre di prolungarmi

Tomin tmax.tlCose ylhsekrttectmin.tnnon posso applicare il tour di prolungarmiperché non ho inscatolato yVediamo se monotonia aiuta

yhtt logllogtyitD.iq

44ft o toggling 1

laghetti I4dyihce.kz o

YIN cheQuindi in questo caso

g'HI o Ktectmintmax

loTwin

Possiamo dire cheTomin co

se tornino perassurdoallora il grafico di fristretta a timi o starebbe inun compatto Assurdo

Nonpossoconcludere che tmax.toPerché so soloche

4 IH yo su JoTmaxla discussione si fermaqui

convessità concavità

Il teorema del confronto

Siano u e v le soluzioni di(u0 = f (t, u(t)),

u(t0) = y0,

(v 0 = g(t, v(t)),

v(t0) = y0,

con f e g soddisfacenti le ipotesi del teorema di esistenza e unicitalocale. Supponiamo che

g(t, y) � f (t, y) 8 t 2 I , y 2 R.

Allorav(t) � u(t) 8 t 2 I , t � t0,

v(t) u(t) 8 t 2 I , t t0 .

Es. 15.

Dimostrare che il dominio massimale di definizione di(y 0 = y2 + t2,

y(0) = 0

non e tutto R.

Es. 16.

Studiare (y 0 = yey

3

y(0) = ↵

al variare di ↵ 2 R.

Es. 17.

Studiare (y 0 = (ey � 1)(y � 1)

y(0) = ↵

al variare di ↵ 2 R.

Es. 18. (ASSEGNATO)

Studiare(y 0 = (1� exp(y2))(y � 2) tanh(y � 4) arctan

�y � 1

5

�

y(0) = ↵

al variare di ↵ 2 R.

Es. 19. (ASSEGNATO)

Studiare (y 0 = cosh

⇣t2

6

⌘+ y arctan(2y)

y(0) = 0