Appunti di Matematica e tecnica finanziaria · 2013-07-05 · Appunti di Matematica e tecnica...

LIUC eBook

Appunti di Matematica e tecnica finanziaria

Ettore CuniLuca Ghezzi

LIUC eBook, 2


Ettore Cuni, Luca Ghezzi

LIUC Università Cattaneo Castellanza 2013

Appunti di Matematica e tecnica finanziaria Ettore Cuni, Luca Ghezzi

Copyright 2013 © Università Carlo Cattaneo - LIUC – C.so Matteotti, 22 - 21053 Castellanza (VA) Data di pubblicazione: Luglio 2013 - ISBN 978-88-908806-1-2

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Indice

Premessa ...................................................................................................................................... 7 Ringraziamenti ............................................................................................................................ 9 1. Calcolo finanziario di base ................................................................................................... 11

1.1. Principi finanziari: accumulazione e sconto di ammontari di denaro ............................. 11 Interesse semplice............................................................................................................... 13 Interesse composto ............................................................................................................. 15 Obbligazioni (senza cedola) ............................................................................................... 17 Sconto commerciale ........................................................................................................... 19

1.2. Contratti e mercati finanziari ........................................................................................... 20 1.3. Tassi equivalenti di interesse composto .......................................................................... 31

Principio di scindibilità ...................................................................................................... 33 Fattori di montante in 2 variabili e esclusione dell’arbitraggio ......................................... 36

1.4. Rendite annue immediate: valori attuali, montanti e valori............................................. 42 Rendite annue immediate: proprietà .................................................................................. 43 Rendite annue immediate con rate costanti........................................................................ 43 Rendite periodiche immediate con rate costanti ................................................................ 44 Rendite perpetue annue immediate .................................................................................... 45

2. Ripagamento rateale di un prestito ..................................................................................... 51 2.1. Il piano di ammortamento................................................................................................ 51 2.2. La locazione finanziaria (leasing).................................................................................... 55 2.3. Legislazione italiana sul credito al consumo e sui mutui ipotecari ................................. 68

3. Valutazione degli investimenti reali .................................................................................... 73 3.1. Sull’uso dei bilanci pro-forma......................................................................................... 73 3.2. Il valore attuale netto (VAN)........................................................................................... 78 3.3. Il tasso interno di rendimento (TIR) ................................................................................ 83

Sull’uso congiunto di VAN e TIR...................................................................................... 87 3.4. Il valore attuale rettificato................................................................................................ 91 3.5. Sulla valutazione di un’impresa nella pratica professionale ........................................... 96

4. Obbligazioni a tasso fisso...................................................................................................... 99 4.1. Apprezzamento di obbligazioni a tasso fisso e con cedole annue...................................99

Apprezzamento di obbligazioni con cedole semestrali (trimestrali) ................................ 101 La funzione rendimento a scadenza-prezzo ..................................................................... 101 Sul tasso di rendimento effettivo...................................................................................... 103

4.2. Durata media finanziaria................................................................................................ 109 Convessità ........................................................................................................................ 114

4.3. La stima del rischio di credito da parte delle agenzie specializzate .............................. 124 4.4. La cartolarizzazione di crediti non trasferibili............................................................... 133 4.5. Sulla gestione attiva di portafogli obbligazionari.......................................................... 139

5. Struttura a termine dei tassi di interesse .......................................................................... 145 5.1. Sui tassi di interesse a trascurabile rischio di credito.................................................... 145

Sulla rilevazione della struttura a termine dei tassi Euribor ............................................ 148 Tassi di interesse a termine .............................................................................................. 149 Apprezzamento di obbligazioni a tasso variabile............................................................. 151

Riferimenti bibliografici......................................................................................................... 161


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Appunti di Matematica e tecnica finanziaria Ettore Cuni

1, Luca Ghezzi

2

Orandum est ut sit mens sana in corpore sano

Decimus Iunius Iuvenalis, I-II secolo d.C.

Premessa

La Matematica finanziaria concerne l’impiego di strumenti scientifici nelle attività di

investimento e finanziamento. Più precisamente, essa riguarda modelli e procedimenti

quantitativi convalidati, utilizzabili per prendere decisioni nell’ambito

• della valutazione e del confronto di piani di investimento reale;

• del confronto di operazioni bancarie e parabancarie, quali un deposito vincolato, un

mutuo immobiliare ipotecario a tasso fisso e/o variabile, un prestito di titoli contro

garanzia, o una locazione finanziaria di beni strumentali;

• della progettazione di contratti finanziari, quali un’obbligazione strutturata o una polizza

assicurativa sulla vita a capitale o rendimento garantito;

come pure

• dei processi di gestione di rendimenti e rischi finanziari, per esempio nel caso di un

portafoglio di prestiti bancari, di un fondo pensione, o di un fondo comune di

investimento;

• dei processi di supervisione e controllo dei rischi finanziari.

Questi appunti, concepiti per gli studenti di un corso universitario di Matematica finanziaria,

sono stati originariamente stesi come complemento, conforme alla tradizione italiana, del libro

di testo Luenberger (1998), un’opera di ben più ampio respiro, compiutamente riuscita nella

compenetrazione di rigore metodologico e di chiarezza espositiva. Essi si basano soprattutto su

una traduzione parziale degli Handouts for Financial modelling, redatti in inglese dal secondo

autore; grazie all’esperienza professionale del primo autore, il materiale proposto è stato

corredato di riferimenti a e di esempi e esercizi coerenti con la prassi operativa.

L’apprendimento e la ritenzione della disciplina potrebbero quindi essere agevolati dall’uso di

una duplice chiave di lettura: quella logica, relativa alle proprietà dei procedimenti analitici e

1 Analisi rischi, Credito Bergamasco–Gruppo Banco Popolare, 24100 Bergamo.

2 Associato di Ingegneria economico gestionale, Università Carlo Cattaneo, 21053 Castellanza (Va).


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alle peculiarità dei procedimenti empirici, e quella operativa, relativa ai contratti, alle

operazioni e ai processi finanziari. La comprensione di questi ultimi non deve illudere;

l’esposizione, spesso a carattere introduttivo, è propedeutica ai corsi specialistici. Tuttavia, il

quadro d’insieme tacitamente proposto, sebbene parziale, è strutturato e desumibile mediante

una lettura attiva.

Gli appunti sono organizzati in 5 distinte sezioni, tutte le successive essendo sviluppate a

partire dalla prima

1. Calcolo finanziario di base

2. Ripagamento rateale di un prestito

3. Valutazione degli investimenti reali

4. Obbligazioni a tasso fisso

5. Struttura a termine dei tassi di interesse

La corrente versione è priva di una sezione finale sui fondamenti della gestione di portafogli

azionari, invece presente negli Handouts for Financial modelling; al lettore interessato si

segnalano, oltre al già menzionato Luenberger (1998), le opere Farrell (1997), Keasey et alii

(1998), Cornell (1999) e Jackson (2003).

Ogni sezione può comprendere

• una schematica spiegazione di nozioni teoriche, accompagnata da esempi illustrativi, e di

procedimenti empirici;

• un’essenziale presentazione di procedimenti operativi come pure una sintetica citazione

di norme di legge. Ove possibile, si menzionano pure gli specifici tassi annui di interesse

usati nella prassi operativa;

• alcuni esercizi e le loro soluzioni, i quali si aggiungono agli esempi proposti nel libro di

testo Luenberger (1998). Oltre a esemplificare un procedimento analitico, un esercizio

offre, a volte, l’occasione per descrivere un contratto finanziario e delle regole operative.

Tutti gli esercizi sono stati risolti al calcolatore, mediante dei fogli elettronici, ove

possibile programmati e convalidati; per esempio, nel caso dell’ammortamento

all’italiana, una volta inseriti i dati (il capitale prestato C, il numero di rate n, la loro

cadenza m, il tasso periodale di interesse applicato mi ), il foglio elettronico restituisce

l’intero piano di ammortamento (una tabella di 1+n righe e 5 colonne: il tempo t, la

quota di capitale tC , la quota di interesse tI , la rata tR e il debito residuo tD ),

effettuando gli arrotondamenti con la precisione richiesta.


9

L’approccio è orientato alle applicazioni e dunque multidisciplinare, con possibili

riferimenti ai principi teorici e alle nozioni pratiche di altre discipline, quali la contabilità,

l’economia industriale, l’economia dei mercati e degli intermediari finanziari.

Si tenga presente che un serio esame finale dovrebbe concernere sia la teoria sia la pratica;

gli autori condividono infatti con altri colleghi la convinzione che una proficua teoria riposa su

solide basi pratiche, e viceversa. Per imparare bene e senza troppa fatica la Matematica

finanziaria , come pure per non dimenticarla assai presto, bisogna quindi acquisire allo stesso

tempo un po’ di dimestichezza con la Tecnica finanziaria. Pertanto, con riferimento ai

principali punti di un programma analitico, occorre sapere

• dove e quando un problema finanziario emerga nella pratica professionale;

• chi siano le controparti e gli intermediari finanziari;

• come e per mezzo di quali dati si possa risolverlo;

• quale sia il significato finanziario dei più importanti passaggi analitici e, se richiesto,

perché il procedimento risolutivo è appropriato (una dimostrazione può rivestire

interesse, in quanto aiuta a ricordare meglio un procedimento analitico e le sue

proprietà).

Si rammenta che la Matematica finanziaria si basa su ragionamenti passo a passo. Qualora

tale capacità non sia tra le doti di uno studente, la frequenza alle lezioni dovrebbe essere

considerata come un agevole e proficuo modo di apprendere.

Grazie alla duplice chiave di lettura, all’orientamento alle applicazioni e al taglio agile, gli

appunti sono fruibili anche da un lettore che, operando già nel mondo del lavoro, desideri

rinfrescare e/o aggiornare le proprie cognizioni di Matematica e tecnica finanziaria. Numerose

sono le estensioni e le integrazioni rispetto a una più tradizionale trattazione, ormai un po’

datata; si segnalano, a questo proposito, le sezioni 2.3, 3.1, 3.4, 4.3, 4.4, 4.5 e 5.1.

Bergamo - Castellanza, 11 febbraio 2013

Ringraziamenti

Si ringraziano sentitamente i professori Franco Cesarini (già Università Cattolica del Sacro

Cuore, Milano) e Lorenzo Peccati (Università Luigi Bocconi, Milano) per i loro preziosi

commenti e suggerimenti in merito a precedenti versioni.

Nondimeno, la responsabilità di ogni eventuale errore è degli autori. Ulteriori commenti e

suggerimenti sono graditi e possono essere inviati all’indirizzo elettronico [email protected].


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11

1. Calcolo finanziario di base

1.1. Principi finanziari: accumulazione e sconto di ammontari di denaro

Il tempo t sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante. Si supponga che un ammontare di

denaro C sia prestato per uno spazio di tempo [ ]0;t e sia ripagato mediante un unico

ammontare. Poiché l’esercizio del credito è attività remunerata, il creditore riceverà dal

debitore un più elevato valore futuro o montante ICFV += in cambio del prestito del

capitale C nello spazio di tempo [ ]0;t . La differenza I è l’interesse maturato, ossia il

compenso per il creditore, il quale è, coeteris paribus, tanto maggiore quanto più distante è la

scadenza t. Poiché si ha

( ) ( ) 0 ogniper 0)(

e 10con ≥>== tdt

tdfftCfFV

dove ( )tf è un fattore di montante, l’accumulazione di denaro (o capitalizzazione) è un

processo nel quale l’interesse si accumula al passare del tempo

capitale C )(tCfICFV =+=

tempo 0 tempo t dall’avvio

Per il momento si prescinde sia dal rischio di tasso sia dal rischio di credito. In altre

parole, non si tiene conto del fatto che le previsioni insite nell’iniziale struttura a termine del

mercato monetario possano non trovare riscontro nel successivo andamento temporale dei

diversi tassi di interesse, quali l’Eonia, gli Euribor e i tassi swap introdotti più avanti; inoltre,

si suppone che il debitore assolva sicuramente tutti i propri obblighi contrattuali. Infine, non si

considerano esplicitamente giorni di differimento , commissioni e tasse, di cui si tiene invece

conto in alcuni esercizi. Pertanto, la teoria viene sviluppata in un contesto deterministico,

essendo certi per ipotesi sia gli ammontari di denaro, sia i tassi di interesse, presenti e futuri.

Si supponga che un credito con valore nominale C e scadenza t sia venduto al tempo 0 a un

minore valore attuale DCPV −= , essendo la differenza D lo sconto. Il compratore diviene

creditore; pertanto, riceverà un più elevato montante C, comprendente un compenso per il

prestito PV nello spazio di tempo [ ]0;t . Poiché si ha

( ) ( ) ( ) 0 ogniper 0)(

e 10con dunque e ≥>=== tdt

tdff

tf

CPVCtPVf


12

dove ( ) 1−tf è un fattore di sconto coniugato, lo sconto di denaro (o attualizzazione) è un

procedimento inverso al precedente, secondo cui un ammontare esigibile a una successiva data

è ridotto a un minore ammontare esigibile a una precedente data, quest’ultimo essendo, coeteris

paribus, tanto minore quanto più distante è la scadenza t del credito.

1−=−= Cf(t)DCPV valore nominale C

tempo 0 scadenza: tempo t

Il montante e il valore attuale sono 2 operatori lineari negli ammontari di denaro. Pertanto,

se 2 ammontari di denaro 1C e 2C sono prestati per degli spazi di tempo [ ]tt ;1 e [ ]tt ;2

rispettivamente, il loro montante al tempo t sarà ( ) ( )2211 ttfCttfCFV −+−= . Inoltre, se due

crediti con valori nominali 1C e 2C sono esigibili ai tempi 1t e 2t rispettivamente, il loro

valore attuale al tempo 0 sarà ( ) ( ) 122

111

−− += tfCtfCPV .

Per effettuare i calcoli finanziari in esame, occorre stabilire una regola di accumulazione o

di sconto di modo che il fattore di montante ( )tf e il fattore di sconto coniugato ( ) 1−tf

assumano una specificazione analitica. Siano i un tasso annuo di interesse e d un tasso annuo di

sconto commerciale; nel prosieguo esamineremo le 3 regole usate nella comune pratica, dette

pure regimi finanziari :

• l’ interesse semplice, per cui ( ) ( )ittf += 1 ;

• l’ interesse composto, per cui ( ) ( )titf += 1 ;

• lo sconto commerciale, per cui ( ) ( )dttf −=− 11 .

In linea di principio, le regole dell’interesse semplice e dello sconto commerciale dovrebbero

essere applicate solamente alle operazioni di breve termine, le quali durano meno di 18 mesi.

La regola dell’interesse composto dovrebbe invece essere applicata alle operazioni di medio e

lungo termine; le prime durano tra i 18 mesi e i 5 anni mentre le seconde durano più di 5 anni.

Ove non diversamente specificato, si assumerà in tutta la sezione che ogni mese abbia 30

giorni, coerentemente con la regola di calcolo dei giorni 30/360 europea introdotta nell’esempio

1 insieme alle regole di calcolo dei giorni effettivi/360 e effettivi/365. Pertanto, come mostrato

nell’esempio 2, uno spazio di tempo di 1 anno, 6 mesi e 18 giorni è espresso come

55,1360

18

12

61 =++=t anni; il calcolo inverso è svolto negli esercizi 1 e 9.


13

Interesse semplice

Il tempo t sia misurato in anni, 0 sia il corrente istante, e i sia il tasso annuo di interesse

semplice, vale a dire l’interesse annuo su un’unità di capitale. Si supponga che un capitale C sia

prestato per uno spazio di tempo [ ]0;t . Poiché l’interesse semplice si accumula linearmente al

passare del tempo secondo l’equazione

CitI =

il montante

( )itCCitCICFV +=+=+= 1

verrà pagato dal debitore al creditore al tempo t in cambio del prestito di C nello spazio di

tempo [ ]0;t . Pertanto, il montante di C al tempo t è pari al capitale C moltiplicato per il fattore

di montante lineare ( ) ( )ittf += 1 .

Esempio 1. €100.000 sono prestati da mercoledì 16 settembre a mercoledì 16 dicembre al

tasso annuo dell’1%; si trovi l’interesse semplice applicando la regola di calcolo dei giorni: a)

effettivi/360 o effettivi/365; b) 30/360 europea.

Le 5 regole di calcolo dei giorni sono spiegate in Cherubini-Della Lunga (2002, pag. 146); il

primo (l’ultimo) giorno di un prestito è sempre escluso (incluso).

Svolgimento.

a) Poiché il prestito dura effettivamente 9116303114 =+++ giorni, si ha

€ ,78522360

91*01,0*000.100 === CitI

€ ,32492365

91*01,0*000.100 === CitI

b) Il prestito dura convenzionalmente 9016303014 =+++ giorni, in quanto si suppone che

ogni mese abbia 30 giorni; se la data iniziale o finale cadesse il 31 del mese, sarebbe

spostata al 30. Si ha quindi

€ 250,00360

90*01,0*000.100 === CitI

OSSERVAZIONE. A un divisore pari a 360 corrisponde l’anno commerciale mentre a un

divisore pari a 365 corrisponde l’anno civile.


14

Esempio 2. €25.000 sono prestati per 1 anno, 6 mesi e 18 giorni al tasso annuo del 6%. Si

trovino l’interesse semplice e il montante nell’ipotesi che ogni mese abbia 30 giorni.

Svolgimento. Si ha

€ 325.255,1*06,0*000.25360

18

12

61*06,0*000.25 ==

++== CitI

( ) ( ) € 325.2755,1*06,01000.25325.2000.251 =+=+=+=+= itCICFV

Esempio 3. All’inizio di un certo anno e dopo 9 mesi, €5.000 e €2.500 sono rispettivamente

prestati al tasso annuo del 4%. Si trovino l’interesse e il montante dopo altri 12 mesi.

Svolgimento. La linearità dell’interesse semplice rispetto al tempo comporta che gli

interessi delle 2 operazioni possano essere sommati. Inoltre, anche i montanti delle 2 operazioni

possono essere sommati, in quanto il montante è un operatore lineare negli ammontari di

denaro. Si ha dunque

€ 45004,0*500.212

21*04,0*000.5 =+=+= BA III

( ) ( ) € 7.950 04,1*500.207,1*000.5450500.2000.5 =+=++=++= ICCFV BA

OSSERVAZIONE. A causa della linearità dell’interesse semplice, il suo ammontare

semestrale 5,0Ci è metà dell’ammontare annuo Ci , il suo ammontare trimestrale 25,0Ci è un

quarto dell’ammontare annuo Ci , etc. Le stesse proporzioni valgono per i tassi periodali di

interesse semplice, vale a dire gli interessi periodici su un’unità di capitale: il tasso semestrale è

5,0i , il tasso trimestrale è 25,0i , etc.

Esempio 4. €50.000 sono prestati per 1 anno e 3 mesi a interesse semplice. Il montante dopo

3 mesi ammonta a €50.500. Si trovino a) il montante annuo; b) il montante finale; c) il tasso

trimestrale di interesse; d) il tasso annuo di interesse i.

Svolgimento. Poiché l’interesse trimestrale è € 500000.50500.50 =− ,

a) l’interesse annuo e il montante annuo sono rispettivamente € 000.24*500 = e

€ 52.000 000.2000.50 =+ ;

b) l’interesse finale e il montante finale sono rispettivamente € 500.25*500 = e

€ 52.500 500.2000.50 =+ ;

c) il tasso trimestrale di interesse è %1000.50/500 = ;

d) si ha %4%1*4000.50/500*4 ===i , cioè 4 volte il tasso trimestrale.


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Interesse composto

Il tempo t sia misurato in anni, 0 sia il corrente istante, e i sia il tasso annuo effettivo di

interesse composto. Si supponga che un capitale C sia prestato per uno spazio di tempo [ ]0;t .

Qualora l’interesse sia composto annualmente secondo la convenzione esponenziale, il

montante FV al tempo t di un capitale pari a C vale

( )1 tFV C i= +

di modo che l’importo ( )1 tC i+ verrà restituito al tempo t in cambio del prestito di C nello

spazio di tempo [ ]0;t . Pertanto, il montante di C al tempo t è pari al capitale C moltiplicato per

il fattore di montante esponenziale ( ) ( )titf += 1 . L’interesse composto I al tempo t vale

( ) ( )1 1 1t tI FV C C i C C i = − = + − = + −

Per %5=i , l’interesse composto su un’unità di capitale 105,1 −= tI importa

05000,0105,1 =− dopo 1 anno

10250,011025,1 =− dopo 2 anni

15763,011025,1 =− dopo 3 anni

...

62889,016289,1 =− dopo 10 anni

DIMOSTRAZIONE. Quando l’interesse è composto annualmente, esso viene aggiunto al

capitale alla fine di ciascun anno. Pertanto, alla fine del primo anno l’interesse maturato Ci

viene aggiunto al capitale, che diviene ( )iCCiCFV +=+= 1 . Inoltre, alla fine del secondo

anno l’interesse maturato ( ) 21 CiCiiiC +=+ , dove 2Ci è interesse sull’interesse, viene

aggiunto al capitale, che diviene ( ) ( ) ( )2111 iCiiCiCFV +=+++= . Si comprende

immediatamente (e si dimostra mediante induzione matematica) che ciascuna composizione

annua dell’interesse equivale a una moltiplicazione del capitale per il fattore di montante

( )i+1 , da cui si ottiene ( )tiCFV += 1 alla fine del t-imo anno. Sebbene il tempo t sia intero nel

nostro ragionamento, esso può assumere qualsiasi valore reale non negativo in forza della

convenzione esponenziale.


16

Esempio 5. €25.000 sono prestati per 1 anno, 6 mesi e 18 giorni al tasso annuo del 6%,

come nell’esempio 2. Si trovino il montante e l’interesse composto nell’ipotesi che ogni mese

abbia 30 giorni.

Svolgimento. Si ha

( ) € 023632706,1*000.251 55,1 ,.iCFV t ==+=

( ) € 023632000.2502,363.271 ,.CiCCFVI t =−=−+=−=

Si considerino i montanti a interesse semplice e composto allo stesso tasso annuo i; i

corrispondenti fattori di montante sono allora ( )it+1 e ( )ti+1 . Come si osserva nel seguente

diagramma, dove %100=i , l’uno cresce linearmente mentre l’altro cresce esponenzialmente

(geometricamente) con ( ) ( )tiit +>+ 11 per ogni 10 << t e ( ) ( )tiit +<+ 11 per ogni 1>t a

causa del pagamento dell’interesse sull’interesse.

1,0000

2,0000

3,0000

4,0000

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

interesse semplice interesse composto

Pertanto, per qualsiasi dato tasso annuo di interesse i e qualsiasi scadenza distante più di 1

anno, il montante a interesse composto è maggiore di quello a interesse semplice. Per esempio,

si ha ( ) iiii 21211 22 +>++=+ per 2=t , la differenza 2i essendo l’ interesse sull’interesse.

Qualora il tempo t non sia intero, si può pure fare uso della convenzione lineare e quindi

della capitalizzazione mista, secondo la quale il montante FV al tempo t di un capitale pari a C

vale

( ) ( )1 1nFV C i iδ= + +


17

dove t n δ= + con n intero e 0 1δ≤ ≤ . Se, per esempio, 3n = anni e 0,25 anni 3 mesiδ = = ,

il fattore di montante vale ( ) ( )31 1 0,25i i+ + e discende dall’applicazione dell’interesse

composto per un periodo di 3 anni seguita dall’applicazione dell’interesse semplice per un

periodo di 3 mesi. Poiché la funzione esponenziale ( )1 ti+ è convessa, si ha

( ) ( ) ( )1 1 1n ni i i δδ ++ + ≥ +

ovvero per qualunque durata intera ( 0δ = e t n= ) si ottiene lo stesso montante con entrambe

le convenzioni; per qualunque durata non intera la capitalizzazione mista fornisce un montante

maggiore. I grafici dei due fattori di montante per 100%i = sono riportati nel diagramma sotto

1,0000

2,0000

3,0000

4,0000

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

esponenziale lineare

Esempio 6. All’inizio di un certo anno e dopo 9 mesi, €5.000 e €2.500 sono rispettivamente

prestati al tasso annuo del 4%, come nell’esempio 3. Si trovino il montante e l’interesse

composto dopo altri 12 mesi, facendo uso della convenzione lineare e della capitalizzazione

mista.

Svolgimento. I montanti delle 2 operazioni possono essere sommati, in quanto il montante è

un operatore lineare negli ammontari di denaro. Si ha dunque

( ) 7.956,75 € 12

91

12

31

12

911 =

+

++

++= iiCiiCFV BA

( ) € 75,456500.77.956,75 =−=+−= BA CCFVI

Obbligazioni (senza cedola)

Se un prestito prende la fattispecie di un titolo, viene diviso in obbligazioni di modo che

può essere contemporaneamente concesso da più obbligazionisti/creditori, con conseguente


18

frazionamento del credito e del rischio di credito. Poiché le obbligazioni sono dei titoli, ogni

obbligazionista/creditore ha la facoltà di rivendere il proprio credito successivamente. In

cambio del credito, il debitore, vale a dire l’emittente delle obbligazioni, si impegna legalmente

ad effettuare degli opportuni ripagamenti alle scadenze contrattuali. Il rischio di credito

riguarda una perdita finanziaria per gli obbligazionisti dovuta all’inadempienza dell’emittente

delle obbligazioni in merito a dei ripagamenti contrattuali.

Le obbligazioni sono emesse, tra gli altri, dai tesori degli stati sovrani, dagli enti

sovranazionali (per esempio, la World Bank, la European Investment Bank e l’Asian

Development Bank, fondate nel 1944, 1958 e 1966 da un certo numero di paesi membri, con

sede centrale a Washington, nel Lussemburgo e a Manila rispettivamente), dagli enti locali (per

esempio, le città), dalle banche e dalle società quotate. Inoltre, come spiegato nella sezione

4.4, le obbligazioni possono essere pure emesse a fronte di un’operazione di cartolarizzazione.

Come invece spiegato nella sezione 4.3, il merito di credito degli emittenti di obbligazioni è

determinato dalle agenzie internazionali di valutazione del credito. Se il merito di credito dello

Stato è opportuno, i titoli di Stato possono essere ritenuti privi di rischio di credito; le

obbligazioni societarie incorporano invece del rischio di credito in un qualche grado.

Naturalmente, un prestito obbligazionario risulta meno personalizzabile e elastico di un

prestito bilaterale concesso da una sola banca a un solo prestatario. Tuttavia, se il prestatario è

una grande e importante impresa, il prestito può essere concesso da un sindacato di banche

internazionali.

Esistono diversi tipi di obbligazioni, fra cui le obbligazioni senza cedola, le obbligazioni a

tasso fisso e le obbligazioni a tasso variabile, introdotte più sotto, nella sezione 4 e nella

sezione 5 rispettivamente. Le obbligazioni a tasso fisso o variabile pagano delle cedole annue,

semestrali o trimestrali a titolo di interesse sul capitale preso a prestito; inoltre, rimborsano di

solito il capitale preso a prestito in un’unica soluzione al momento della loro scadenza. Alcune

obbligazioni a tasso fisso possono essere rimborsate anticipatamente dall’emittente, a partire da

una prestabilita data e a un prestabilito prezzo, che di solito comprende un premio.

Poiché un’obbligazione senza cedola non stacca alcuna cedola, essa quota sempre a sconto;

il suo prezzo è dunque minore del valore nominale e pari al valore attuale di quest’ultimo,

calcolato mediante un tasso annuo di rendimento a scadenza. Giorni di differimento ,

commissioni e tasse sono considerati esplicitamente negli esercizi 4, 5 e 6, i quali concernono

operazioni su BOT o CTZ, le obbligazioni senza cedola emesse dal Tesoro italiano.


19

Esempio 7. Un risparmiatore sottoscriva oggi, all’emissione, delle obbligazioni senza cedola

con valore nominale di €10.000 e durata di 6 mesi. Il prezzo percentuale di sottoscrizione sia

98,058. Si trovino

a) l’esborso del risparmiatore;

b) il tasso annuo di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse semplice;

c) il tasso annuo di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse composto.

Svolgimento. Il tempo t sia misurato in anni, ogni mese abbia 30 giorni e y indichi il tasso

annuo incognito.

a) L’esborso del risparmiatore ammonta a € 80,805.9100

058,98*000.10 = .

b) Risolvendo l’equazione yt

CPV

+=

1 ovvero

5,01

10098,058

y+= , dove ( ) 15,01 −+ y è un

fattore di sconto semestrale, si ricava %961,31058,98

1002 =

−=y .

c) Risolvendo l’equazione ( ) tyCPV −+= 1 ovvero ( ) 5,0110098,058 −+= y , dove ( ) 5,01 −+ y

è un fattore di sconto semestrale, si ricava %41058,98

1002

=−

=y .

Sconto commerciale

Siano t il tempo, misurato in anni, 0 il corrente istante e d il tasso annuo di sconto

commerciale, vale a dire lo sconto annuo su un valore nominale pari a 1. Si supponga che un

credito C esigibile al tempo t sia venduto a una banca al tempo 0. Poiché lo sconto commerciale

cresce linearmente col tempo secondo l’equazione

CdtD =

il valore attuale PV

( )dtCCdtCDCPV −=−=−= 1

è l’ammontare pagato dalla banca al tempo 0. Pertanto, il valore attuale di C al tempo 0 è pari al

valore nominale C moltiplicato per il fattore di sconto ( ) ( )dttf

−= 11

; affinché PV sia positivo,

si deve avere d

t1

< .


20

Esempio 8. Un neopensionato cede il proprio esercizio commerciale. L’acquirente emette,

tra l’altro, una cambiale pagherò avente il neopensionato quale beneficiario; si tratta di una

promessa di pagamento con valore nominale di €70.000 e con scadenza a 4 mesi e 15 giorni

da adesso. Per disporre immediatamente del proprio credito, il neopensionato fa scontare il

pagherò dalla propria banca, la quale applica un tasso annuo dell’8%. Si trovi l’ammontare

incassato dal neopensionato nell’ipotesi che ogni mese abbia 30 giorni.

Svolgimento. Si ha

€ 100.2375,0*08,0*000.70360

15

12

4*08,0*000.70 ==

+== CdtD

( ) ( ) € 900.67375,0*08,01000.70100.2000.701 =−=−=−=−= dtCDCPV

OSSERVAZIONE. La cessione del credito è salvo buon fine; in altre parole, se l’emittente

della cambiale pagherò fosse insolvente e la cambiale pagherò rimanesse quindi insoluta, il

beneficiario, ossia il neopensionato, dovrebbe rifondere la banca. Per questa ragione, la banca

si premunirà al momento dello sconto, accertando se si possa concedere al neopensionato un

fido con cifra di castelletto non minore del valore nominale del credito. Lo sconto di pagherò è

operazione bancaria oggi poco frequente mentre lo sconto di cambiali tratte è caduto in

disuso.

1.2. Contratti e mercati finanziari

Il sistema finanziario di un’economia è composto dagli intermediari finanziari, dagli

investitori istituzionali, dai mercati finanziari e dalle autorità di vigilanza. Tra gli intermediari

finanziari figurano: le banche commerciali, di investimento e di affari, le banche cooperative e

le casse rurali, le società di intermediazione mobiliare, le società di credito al consumo, le

società di locazione finanziaria e di riscossione dei crediti. Tra gli investitori istituzionali

figurano: le compagnie di assicurazione, i fondi pensione, i gestori di patrimoni, i fondi comuni

di investimento, i fondi immobiliari, i fondi speculativi, i fondi di private equity e venture

capital. Tra le autorità di vigilanza italiane figurano: la Banca d’Italia, istituita nel 1893, la

CONSOB (acronimo di Commissione nazionale per le società e la borsa), istituita nel 1974,

l’IVASS (acronimo di Istituto per la vigilanza sulle assicurazioni) e la COVIP (acronimo di

Commissione di vigilanza sui fondi pensione).

Un sistema finanziario consente agli operatori di effettuare i propri pagamenti e ai fondi di

fluire dagli operatori in surplus di risparmio agli operatori in deficit di risparmio; più

precisamente, i fondi possono fluire lungo il canale indiretto che passa attraverso gli


21

intermediari finanziari e gli investitori istituzionali o lungo il canale diretto che passa

attraverso i mercati finanziari . In entrambi i canali, al flusso dei fondi si accompagnano la

stipula di contratti finanziari o la negoziazione di titoli; in entrambi i casi, i datori di fondi

assumono dei rischi di mercato e di credito. Certi specifici rischi di mercato o di credito

possono essere mitigati o coperti stipulando degli opportuni contratti derivati; in altre parole,

essi possono essere trasferiti alle controparti dei contratti derivati. Le famiglie sono nel

complesso operatori in surplus di risparmio, ossia datori netti di fondi, mentre le imprese sono

nel complesso operatori in deficit di risparmio, ossia prenditori netti di fondi.

L’amministrazione pubblica è un operatore in deficit di riparmio ogni volta che il suo bilancio è

in deficit, perché le spese superano le imposte e le tasse. Il resto del mondo può essere nel

complesso sia un datore netto di fondi sia un prenditore netto di fondi. I processi testé

menzionati avvengono grazie al supporto di sofisticate reti telematiche. Infatti, una miriade di

pagamenti e una miriade di negoziazioni vengono quotidianamente eseguite nei rispettivi

circuiti.

Quando il finanziamento è diretto, le imprese raccolgono capitale di debito e/o mezzi propri,

in quanto le loro obbligazioni e/o azioni sono sottoscritte all’emissione. Le obbligazioni e le

azioni sono emesse nei mercati primari e negoziate nei mercati secondari. I secondi possono

essere costituiti da una borsa valori, o da un mercato over the counter, o da un sistema

multilaterale di negoziazione.

Una borsa valori come NYSE (acronimo di New York Stock Exchange), LSE (acronimo di

London Stock Exchange) e BI (acronimo di Borsa italiana) è un mercato regolamentato,

autorizzato e controllato dalla competente autorità di vigilanza come la statunitense SEC

(acronimo di Securities and exchange commissions), la britannica FSA (acronimo di Financial

services authority) e la nostra CONSOB. Le azioni quotate sono più liquide e più volatili di

quelle non quotate. Ogni società quotata soddisfa specifici requisiti; i suoi bilanci annuali sono

certificati da una società di revisione contabile. Il sistema di negoziazione di una borsa valori

può basarsi sugli ordini o sulle quotazioni denaro-lettera. Nel primo sistema di negoziazione,

gli ordini di acquisto e di vendita dei titoli sono accoppiati elettronicamente; nel secondo

sistema di negoziazione, gli specialisti dei diversi titoli quotati propongono le proprie

quotazioni denaro-lettera e accoppiano gli ordini. Un ordine al meglio è eseguito al miglior

prezzo possibile mentre un ordine con limite di prezzo è eseguito al prezzo richiesto o a uno

migliore. L’esecuzione di un ordine è garantita solo dagli specialisti, i quali sono pronti a

comprare (vendere) titoli al prezzo denaro (lettera) per ovviare a squilibri tra gli ordini di

acquisto e gli ordini di vendita. Una cassa di compensazione e garanzia garantisce il


22

regolamento di tutte le negoziazioni. Entrambi i sistemi di negoziazione sono impiegati da

NYSE e LSE.

Un mercato over the counter, come il NASDAQ (acronimo di National Association of

Securities Dealers Automatic Quotations) in passato, i mercati dei cambi, larga parte del

mercato delle eurobbligazioni e del mercato delle obbligazioni USA, non ha una sede ed è

composto da intermediari connessi da telefoni e da reti di calcolatori. Di solito le conversazioni

telefoniche sono registrate e riscoltate nel caso di un conflitto sulle condizioni concordate.

Ciascuna negoziazione avviene direttamente tra due intermediari, un broker che opera per conto

terzi e un dealer che opera in conto proprio; tuttavia, c’è un piccolo rischio che il suo

regolamento non abbia luogo.

Un sistema multilaterale di negoziazione è un sistema di negoziazione elettronico, privato,

autorizzato dalla competente autorità di vigilanza e accessibile tramite Internet; il registro

elettronico degli ordini con limite di prezzo pendenti è generalmente a disposizione di tutti gli

utenti.

OSSERVAZIONE. NYSE (LSE) è la più grande e la più importante borsa valori americana

(europea). NYSE si fuse con Euronext nel 2007 mentre LSE si fuse con BI nello stesso anno. Il

gruppo Euronext, fondato nel 2000, è costituito dalle borse valori di Amsterdam, Bruxelles,

Parigi e Lisbona (dal 2002) come pure dal London International Financial Futures and Options

Exchange (dal 2002).

Sono mercati finanziari : i mercati monetari, i mercati dei capitali, i mercati dei contratti

derivati, i mercati dei cambi e i mercati delle merci. I contratti finanziari di breve termine, vale

a dire con durata originaria non maggiore di 1 anno, sono negoziati in un mercato monetario.

Esse includono: i buoni ordinari del Tesoro italiano (si vedano gli esercizi 4 e 5), i pronti contro

termine (si veda l’esercizio 2), i certificati di deposito (si veda l’esercizio 3), le accettazioni

bancarie, le cambiali finanziarie come pure i depositi e i prestiti interbancari, il Libor e lo

Euribor (si veda l’esercizio 7) essendo i principali tassi interbancari lettera. Ciascun mercato

dei capitali è diviso in 2 segmenti: il mercato obbligazionario, detto anche del reddito fisso, e il

mercato azionario. Le obbligazioni con durata all’emissione maggiore di 1 anno sono negoziate

nel primo segmento mentre le azioni sono negoziate nel secondo segmento.

I titoli di Stato italiani sono emessi attraverso delle periodiche aste elettroniche tenute

dalla Banca d’Italia e sono quotati su BI. Le obbligazioni societarie sono invece collocate

pubblicamente o privatamente.


23

Un’offerta pubblica può essere condotta da un consorzio di banche d’affari, banche di

investimento, banche universali; come spiegato in Forestieri (2007, cap. 8), la banca

coordinatrice organizza il consorzio (per esempio, nei 7-10 giorni successivi al ricevimento del

mandato), tiene il registro della domanda totale e opera insieme alla società emittente per stilare

il prospetto informativo e determinare il prezzo di offerta (per esempio, in 5 ulteriori giorni

lavorativi). Il prospetto informativo fornisce informazioni accurate ma ridondanti sulle

prospettive della società emittente e sui termini dell’operazione; esso deve essere approvato

dalla competente autorità di vigilanza, vale a dire la CONSOB in Italia. La stima iniziale del

prezzo di offerta viene rivista via via che il registro viene aggiornato. Tale prezzo viene

applicato nel mercato primario (per esempio, per 15 ulteriori giorni). Le banche collocatrici

possono effettuare un collocamento a fermo, un collocamento con assunzione di garanzia o

un collocamento semplice. Nel primo caso esse comprano a sconto dall’emittente tutte le

obbligazioni di nuova emissione e cercano di rivenderle al prezzo di offerta. Nel secondo caso,

esse si impegnano a comprare le obbligazioni non sottoscritte. Ad ogni modo, poiché

l’emittente è di solito una società importante con un buon merito di credito, esse sono esposte al

rischio di collocamento, vale a dire di una perdita dovuta a un’insufficiente domanda per le

obbligazioni societarie al prezzo di offerta. Nel terzo caso, le banche collocatrici non si

assumono il rischio di collocamento, in quanto agiscono da mediatori, limitandosi a fare del

loro meglio per vendere l’intera nuova emissione al prezzo di offerta. L’emittente retrocede alle

banche il margine lordo, per esempio l’1% del capitale raccolto; esse beneficiano così di una

considerevole remunerazione per le loro azioni di marketing diretto e indiretto. Il margine lordo

comprende 3 componenti: le commissioni di gestione incassate dalle banche coordinatrici del

consorzio, le commissioni di sottoscrizione incassate dalle banche che prestano la garanzia, le

commissioni di collocamento incassate dalle banche che collocano le obbligazioni societarie.

Una stessa banca può svolgere più ruoli. Un’offerta pubblica viene tipicamente quotata in una

borsa valori e una della banche collocatrici ne diviene di solito uno specialista.

I collocamenti privati, per esempio di prestiti obbligazionari di più piccola taglia, sono più

semplici, più veloci e meno costosi, i potenziali sottoscrittori, quali banche, compagnie di

assicurazione, fondi pensione e fondi comuni di investimento, essendo direttamente contattati

da un intermediario finanziario. La maggior parte delle obbligazioni societarie sono collocate

privatamente; anche le eurobbligazioni, il cui valore di mercato è di almeno $100 milioni, sono

collocate privatamente da sindacati di banche internazionali. Le eurobbligazioni sono di solito

titoli al portatore.


24

&——&——&

Esercizio 1. All’inizio di un certo anno, un capitale di €5.000 è dato in prestito al tasso

annuo del 4% nel regime dell’

a) interesse semplice;

b) interesse composto secondo la convenzione esponenziale;

c) interesse composto secondo la convenzione lineare.

Quanto tempo occorre affinché il montante importi €7.000?

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e ogni mese abbia 30 giorni.

a) Poiché dall’equazione ( )t,. 04010005000.7 += si trae

anni 1004,0

11

0005

0007 =

−=.

.t

il periodo incognito nel regime dell’interesse semplice è uguale a 10 anni.

b) Poiché dall’equazione ( )t,. 04010005.0007 += si trae

( )( ) giorni 209 e anni 8giorni 360*0,579anni 8anni 8,579

04,1log

0005/0007log =+=== ..t

approssimando per eccesso, il periodo incognito nel regime dell’interesse composto

secondo la convenzione esponenziale è uguale a 8 anni, 6 mesi e almeno 29 giorni.

c) Poiché dall’equazione ( ) ( )t,t, 040185,842.604011,04*.0005 7.000 8 +=+= si trae

giorni 207 giorni 360*0,574anni 574,004,0

11

85,8426

0007 ===

−=.

.t

approssimando per eccesso, il periodo incognito nel regime dell’interesse composto

secondo la convenzione lineare è uguale a 8 anni, 6 mesi e almeno 27 giorni.

Esercizio 2. Un pronti contro termine è un contratto finanziario che prevede una vendita a

pronti di titoli e un loro contemporaneo riacquisto a termine; si tratta di solito di obbligazioni

che hanno un soddisfacente merito di credito e che non staccano una cedola tra i 2 regolamenti.

Il venditore si impegna a riacquistare le stesse obbligazioni dal compratore a una precisa data

futura, per esempio dopo 1-6 mesi, e a un preciso prezzo tel quel. Il rischio di credito insito nel

contratto è modesto; in caso di insolvenza del prestatore di titoli, il prestatore di denaro

disporrà dei titoli obbligazionari; in caso di insolvenza del prestatore di denaro, il prestatore di

titoli non restituirà il denaro preso in prestito. I pronti contro termine sono stipulati da società e


25

da intermediari finanziari per prendere o dare denaro in prestito a breve termine; inoltre, sono

utilizzati dalle Banche centrali per influenzare i tassi di interesse.

Si consideri la seguente negoziazione: una banca italiana venda a un cliente delle

obbligazioni per €80.000, la data di regolamento essendo 3 giorni lavorativi dopo la data di

negoziazione; la banca si impegni contestualmente a riacquistare le obbligazioni 91 giorni dopo

il regolamento per €80.875, anche nel caso di insolvenza dell’emittente. L’interesse lordo

ammonta dunque a €875; poiché è tassato alla fonte con aliquota fiscale del 20%, l’interesse

netto e il montante netto ammontano a €700 e a €80.700. Si trovi il tasso annuo netto di

interesse implicito nell’operazione monetaria; si usino l’interesse semplice e la regola

effettivi/365 per il calcolo dei giorni, come avviene in Italia nel caso dei pronti contro termine

su obbligazioni.

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e i rappresenti il tasso annuo di interesse

incognito. Siano 000.80=C e 70080.FV = . Poiché l’interesse semplice comporta che

365

911 i

C

FV += , si ha

%C

I

C

CFVi 510,3

91

365

91

365 ==

−=

In altre parole, il tasso netto di interesse semplice è del 3,510% annuo.

OSSERVAZIONE. La Banca centrale europea fissa 3+1 tassi di interesse chiave per l’area

€, applicati ai depositi e ai prestiti per una notte, i quali sono operazioni attivabili su

iniziativa delle controparti , come pure alle operazioni di rifinanziamento principale (a più

lungo termine), le quali sono operazioni di mercato aperto. Le operazioni attivabili su

iniziativa delle controparti e le operazioni di rifinanziamento sono svolte dalla BCE per

gestire la liquidità e adeguare i tassi di interesse a breve termine alla propria politica

monetaria, se la liquidità è scarsa (abbondante), i tassi di interesse a breve termine vengono

spinti verso l’alto (il basso) a causa di uno squilibrio tra domanda e offerta nel mercato

monetario. L’obiettivo principe della BCE e della sua politica monetaria è la stabilità dei

prezzi, definita come un tasso di inflazione annuo non maggiore del, ma prossimo al 2%, nel

medio termine e nell’area €. E’ improbabile che la politica monetaria eserciti un effetto diretto

sui tassi di interesse a medio e lungo termine, i quali influenzano le decisioni di investimento da

parte delle imprese e le decisioni di acquisto di case e altri beni durevoli da parte delle famiglie.

Le banche centrali nazionali sono pronte ad accettare depositi per una notte dal e a fornire

prestiti per una notte al sistema bancario ai tassi di interesse menzionati più sopra. I prestiti


26

sono effettuabili contro opportune garanzie collaterali; il sistema bancario comprende tutte le

istituzioni obbligate a detenere riserve presso le proprie banche centrali nazionali. I 2 tassi per

una notte definiscono un corridoio per il tasso di rifinanziamento principale; sono usualmente i

peggiori tassi possibili nell’area € e fungono pure da pavimento e da tetto per il tasso

interbancario per una notte (espresso dallo Eonia, acronimo di Euro OverNight Index Average,

un tasso annuo di interesse semplice dell’area € applicato secondo la regola effettivi/360 per il

calcolo dei giorni; più precisamente ogni Eonia è una media pesata, calcolata dalla BCE, dei

tassi per una notte effettivamente applicati a tutti i prestiti interbancari senza garanzia concessi

da un campione di più di 40 banche).

Gli altri tassi di interesse sono applicati a periodiche operazioni di mercato aperto, iniziate

dalla BCE e svolte attraverso aste standard, tenute ogni settimana (mese) per i pronti contro

termine (o i prestiti con garanzia) aventi durata settimanale (trimestrale). Sebbene le offerte

siano sottoposte alle banche centrali nazionali, le decisioni di riparto sono prese dalla BCE; in

un’asta a tasso e quantità fissi tutte le offerte sono soddisfatte pro-rata, mentre in un’asta a

tasso variabile solo le migliori offerte sono soddisfatte ai loro corrispondenti tassi. Ogni volta

che si tiene un’asta, le banche centrali nazionali prestano denaro al sistema bancario per una

settimana (un mese); più precisamente, esse comprano a pronti e rivendono a termine un

appropriata quantità di opportuni titoli, il cui valore può essere maggiore o minore

dell’ammontare in scadenza. Il sistema bancario riceve liquidità dalla BCE soprattutto

attraverso le operazioni di rifinanziamento principale; tuttavia, la BCE può pure condurre

operazioni di mercato aperto ad hoc o più strutturate, utilizzando anche altri strumenti

finanziari, quali gli swap valutari, o effettuando la compravendita a pronti di titoli.

Tuttavia, per la gestione giornaliera della liquidità le banche si avvalgono soprattutto del

mercato interbancario, dando o prendendo in prestito importi non minori di 1 milione di €. Il

rischio di credito è mitigato mediante un sistema a 2 livelli, secondo cui le banche più grandi e

più conosciute operano tra loro oltre confine come pure con le banche più piccole nel loro

stesso paese.

Esercizio 3. Un certificato di deposito è un titolo negoziabile abbinato a un deposito

vincolato presso una banca. Il certificato di deposito emesso da una banca per un risparmiatore

prevedeva che un capitale di €100.000 si trasformasse in un montante lordo di €140.000 in un

periodo di 5 anni. Pertanto, l’interesse lordo ammontò a €40.000; poiché fu tassato alla fonte

con aliquota fiscale del 12,5%, l’interesse netto e il montante netto ammontarono a €35.000 e


27

€135.000. La banca affermò che il tasso annuo lordo (netto) di interesse era l’8% (il 7%). Quale

regime dell’interesse aveva impiegato?

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e i rappresenti il tasso annuo di interesse

incognito. Siano 100.000C = e 140.000FV = oppure 135.000FV = . Facendo riferimento al

primo (secondo) montante, si ottiene un tasso di interesse lordo (netto).

Nel regime dell’interesse composto si ha: ( )51FV

iC

= + e

15 1 6,961% (6,186%)

FVi

C = − =

.

Nel regime dell’interesse semplice si ha: 1 5FV

iC

= + e 1

1 8% (7%)5

FVi

C = − =

.

Pertanto, vige il regime dell’interesse semplice, che favorisce chi prende denaro in prestito

e quindi la banca in questo caso. La durata e gli importi sono fittizi, ma il fatto è realmente

accaduto (fonte: Basso, A., Pianca, P., Appunti di matematica finanziaria, Padova, CEDAM,

2002, pag. 131).

OSSERVAZIONE. Secondo il decreto legge 323 del 20/6/1996 (138 del 13/8/2011), la

ritenuta fiscale sugli interessi dei certificati di deposito è operata alla fonte con aliquota del

27% (20%), indipendentemente dalla loro durata.

Esercizio 4. Un risparmiatore sottoscriva, all’asta di emissione tenuta dalla Banca d’Italia

lunedì 12 gennaio 2009, dei buoni ordinari del Tesoro italiano 15/1-15/4/2009 per un valore

nominale di €10.000, pari a 10 volte il taglio minimo. Il prezzo percentuale di aggiudicazione

all’asta di tali obbligazioni senza cedola sia 99,587; la ritenuta fiscale è operata all’emissione

con aliquota del 12,50%; la commissione bancaria sia lo 0,10% del valore nominale. La regola

per il calcolo dei giorni è effettivi/360. Si trovino


b) i tassi annui lordo e netto di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse composto.

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e y indichi il tasso annuo incognito di modo che

( ) 360/3651 −+ y è un fattore di sconto annuo.

a) Il prezzo percentuale di sottoscrizione è

739,990010,0*100125,0*)587,99100(587,99 =+−+

di modo che l’esborso del risparmiatore è di € 90,973.9100

739,99*000.10 = .


28

b) Poiché il 15 gennaio 2009 cade di giovedì e il 15 aprile di mercoledì, dall’inizio al termine

dell’operazione monetaria intercorrono effettivamente 9015312816 =+++ giorni. Si ha

( ) 360/90110099,587 −+= y e ( ) 360/90110099,739 −+= y

e quindi il tasso lordo %669,1=y e il tasso netto %051,1=y . Affinché l’1,051% sia pure

il tasso annuo netto di rendimento effettivo, bisogna poter reinvestire, alle condizioni

d’asta e per altri 9 mesi, il montante di €10.000, disponibile dopo 3 mesi.

OSSERVAZIONE. Qualora al risparmiatore occorresse del denaro prima della scadenza

dei suoi BOT, li potrebbe rivendere nel mercato secondario. Il regolamento di una

sottoscrizione all’asta di BOT (di una loro successiva rivendita nel mercato secondario) avviene

con 3 (2) giorni lavorativi di differimento. Il regolamento di una transazione su CTZ avviene

comunque con 3 giorni lavorativi di differimento; la regola per il calcolo dei giorni è

effettivi/365.

I BOT (CTZ) sono emessi con durata di 3, 6 e 12 mesi (24 mesi) attraverso aste elettroniche

periodicamente tenute dalla Banca d’Italia, competitive (marginali ) per i BOT (CTZ). Sono

comunque accolte le migliori offerte per un’obbligazione senza cedola presentate dagli

intermediari finanziari; in un’asta competitiva ogni offerta aggiudicataria è soddisfatta al

rispettivo prezzo proposto, mentre in un’asta marginale tutte le offerte aggiudicatarie sono

soddisfatte al prezzo marginale, quello dell’ultima offerta accolta. Tuttavia, i risparmiatori

sottoscrivono i loro BOT al prezzo medio ponderato d’asta, le commissioni massime dei BOT a

3 / 6 / 12 mesi essendo pari allo 0,10% / 0,20% / 0,30% del valore nominale. Non ci sono

commissioni di sottoscrizione per i CTZ, in quanto esse sono retrocesse dal Tesoro italiano agli

intermediari finanziari aggiudicatari al momento della sottoscrizione. La ritenuta fiscale è

operata al rimborso dei CTZ con aliquota del 12,50%.

Esercizio 5. Un investitore sottoscriva, all’asta di emissione tenuta dalla Banca d’Italia

mercoledì 27 dicembre 2006, dei buoni ordinari del Tesoro italiano 2/1-29/6/2007 per un valore

nominale di €25.000, pari a 25 volte il taglio minimo. Il prezzo percentuale di aggiudicazione

all’asta sia 98,221; la ritenuta fiscale è operata all’emissione con aliquota del 12,50%; la

commissione bancaria sia lo 0,20% del valore nominale. La regola per il calcolo dei giorni è

effettivi/360; l’investitore abbia optato per il regime del risparmio amministrato .

Si trovino

a) l’esborso dell’investitore;

b) il tasso annuo netto di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse semplice.


29

L’investitore rivenda i suoi BOT martedì 27 marzo 2007 al prezzo percentuale di 99,244; la

commissione bancaria sia ancora lo 0,20% del valore nominale. Si trovino

c) l’incasso dell’investitore;

d) il tasso annuo netto di rendimento effettivo, nel regime dell’interesse semplice.

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e y indichi un tasso annuo incognito.

a) Il prezzo percentuale di sottoscrizione è

( ) 643,980020,0*100125,0*221,98100221,98 =+−+

di modo che l’esborso del risparmiatore è di € 75,660.24100

643,98*000.25 = .

b) Poiché il 2 gennaio 2007 cade di martedì e il 29 giugno di venerdì, dall’emissione al

rimborso dei BOT semestrali intercorrono effettivamente 178293130312829 =+++++

giorni. Si ha

1

360

178110098,643

−

+= y

e quindi il tasso annuo netto %782,2=y .

c) Il regolamento della rivendita dei BOT avviene giovedì 29 marzo, 86 giorni dopo la loro

emissione, al prezzo percentuale di

( ) 159,990020,0*100178

86178*125,0*221,98100244,99 =−−−+

il secondo termine essendo il rateo dell’imposta sostitutiva a carico dell’acquirente.

L’incasso dell’investitore è dunque di € 75,789.24100

159,99*000.25 = ; ad esso si

accompagna una minusvalenza pari a

( ) ( ) ( )€ 13,59

100178

86*221,9810020,0221,9820,0244,99

000.25 −=−−+−−

l’ultimo termine del numeratore essendo il rateo di scarto di emissione maturato negli 86

giorni di detenzione.

d) Facendo astrazione dalla minusvalenza, si ha

1

360

861159,9998,643

−

+= y

e quindi il tasso annuo netto %190,2=y . Per non incorrere in una minusvalenza,

l’investitore avrebbe dovuto rivendere i suoi BOT al prezzo percentuale di 99,481; in tale

caso, il tasso annuo netto di rendimento effettivo sarebbe stato pari al 3,195%.


30

Esercizio 6. Un investitore acquisti, nel mercato secondario lunedì 14 febbraio 2005, dei

CTZ 30/7/2004-31/7/2006 aventi prezzo di emissione pari a 94,840. Il valore nominale sia di

€50.000, pari a 50 volte il taglio minimo, mentre il prezzo percentuale sia 96,735, già

aumentato della commissione bancaria; la ritenuta fiscale è operata al rimborso con aliquota del

12,50%. L’investitore abbia optato per il regime del risparmio amministrato . Si trovino

a) l’esborso dell’investitore;

b) il tasso annuo netto di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse composto.

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e y indichi un tasso annuo incognito.

a) Poiché il 30 luglio 2004 cade di venerdì e il 31 luglio 2006 di lunedì, dall’emissione al

rimborso dei CTZ semestrali intercorrono effettivamente 731 giorni. All’emissione si ha

( ) 365/731110094,840 −+= y

e quindi il tasso annuo lordo di rendimento a scadenza %681,2=y .

Il regolamento dell’ acquisto di CTZ avviene giovedì 17 febbraio 2005, 202 giorni dopo la

loro emissione, al prezzo percentuale di

( ) 560,96125,0102681,1840,94735,96 365/202 =−−

il secondo termine essendo il rateo dell’imposta sostitutiva a carico del venditore. L’esborso

dell’investitore è dunque di € 00,280.48100

560,96*000.50 = .

b) Qualora l’investitore detenga i CTZ sino alla loro scadenza, il prezzo percentuale di

rimborso sarà

( ) 355,99125,0840,94100100 =−−

accompagnato da una minusvalenza percentuale pari a

( ) 496,002681,1*840,94100735,96100 365/202 −=−−−

il terzo termine essendo il rateo di scarto di emissione maturato nei 529 giorni di detenzione.

Facendo astrazione dalla minusvalenza, si ha

( ) 365/5291560,9699,355 y+=

e quindi il tasso annuo netto di rendimento a scadenza %988,1=y .

Esercizio 7. Gli Euribor (acronimo di Euro interbank offer rate) sono tassi annui di

interesse semplice proposti nell’area € con riguardo a prestiti interbancari senza garanzia, di

durata pari a 1, 2, 3 settimane o 1, 2, ... , 12 mesi; essi prevedono 2 giorni lavorativi di

differimento e la regola effettivi/360 per il calcolo dei giorni. Lo Euribor per un prestito


31

interbancario senza garanzia di durata mensile proposto lunedì 12 gennaio 2004 fu del 2,082%

(fonte: il Sole 24 Ore, 13/1/2004). Si trovino

a) la data di rimborso e la durata del prestito (si tiene conto dell’ultimo giorno ma non del

primo);

b) il fattore di montante mensile e l’equivalente tasso di interesse composto.

Lo stesso capitale fu nuovamente prestato a un’altra banca alla prima data utile. Si trovi

c) la data di decorrenza del secondo prestito interbancario senza garanzia.

Soluzione.

a) Il primo prestito in esame iniziò mercoledì 14 gennaio; poiché il 14 febbraio 2004 è sabato,

esso terminò lunedì 16 febbraio, durando effettivamente 331617 =+ giorni.

b) Il fattore di montante mensile vale

00191,1360

33*0,020821 =+

Sia i il tasso annuo di interesse composto equivalente allo Euribor per un’operazione in

essere dal 14/1/2004 al 16/2/2004; esso soddisfa l’equazione

( ) 360/331360

33*0,020821 i+=+

dalla quale si trae %,*, i/

10221360

330208201

33360

=−

+= .

c) Il secondo prestito in esame cominciò lunedì 16 febbraio; il tasso di interesse applicato fu

l’opportuno Euribor proposto giovedì 12 febbraio 2004.

1.3. Tassi equivalenti di interesse composto

Siano t il tempo misurato in anni e 0 il corrente istante. Si supponga che un capitale C sia

prestato per uno spazio di tempo [ ]0;t e che l’interesse sia composto m volte all’anno al tasso

periodale m

ji mm = , essendo il tasso contrattuale mj un tasso annuo nominale convertibile

m volte all’anno. Si consideri il caso di un conto corrente; sebbene il tasso contrattuale mj sia

un tasso annuo, l’interesse è composto a un minore tasso periodale m

ji mm = ; 2=m ( )4=m

implica che l’interesse sia composto semestralmente (trimestralmente) al tasso semestrale

(trimestrale) 22

2j

i =

=44

4j

i .


32

Si indichi con i il tasso annuo effettivo di interesse composto; esso è equivalente a mi , in

quanto genera lo stesso interesse (e quindi lo stesso montante) nel corso di un anno (e quindi a

qualsiasi scadenza) senza composizioni intermedie. Poiché secondo la convenzione

esponenziale il montante FV di un capitale C è dopo un anno

( )mm

mm iCm

jCFV +=

+= 11

con m composizioni per anno, come pure

( )iCFV += 1

con un’unica composizione per anno, si ottiene la seguente formula di equivalenza tra tassi

nominali e effettivi di interesse

( ) iim

j mm

mm +=+=

+ 111

essendo Ci l’interesse complessivamente maturato nel corso del primo anno.

Esempio 9. Un conto corrente è remunerato al tasso annuo nominale del 10% convertibile

semestralmente. Si ricavino a) il tasso annuo effettivo di interesse; b) l’interesse maturato nel

corso del primo anno su un deposito di €1.000. Si supponga che la composizione dell’interesse

divenga trimestrale senza alcun cambiamento del tasso annuo effettivo di interesse. Si ricavi c)

il nuovo tasso nominale di interesse.

Svolgimento.

a) Si ha %102 =j e %25,10105,112

1 22

2 =−=−

+=j

i .

b) L’interesse maturato nel corso del primo anno su un deposito di €1.000 è

€ 5,1021025,0*000.1000.1 ==i .

c) Si ha ( )4

14 14

1 ij

+=+ e quindi ( ) ( ) %878,911025,14114 25,04

1

4 =−=

−+= ij .

Per ogni dato i si può accertare che ( )[ ] iij <−+= 112 2/12 , a causa del pagamento

dell’interesse sull’interesse, e che la successione mj decresce al crescere di m, avendo come

limite inferiore il tasso annuo nominale convertibile istantaneamente introdotto più sotto.

Pertanto, qualunque tasso annuo nominale è minore del corrispondente tasso annuo effettivo.


33

Consideriano ora il caso ideale in cui il tasso nominale sia convertibile istantaneamente e

l’interesse sia quindi composto istantaneamente. Si fa riferimento a questo caso, per esempio,

quando si devono apprezzare alcuni strumenti derivati. Si ha

( )ii

ii

t

i

m

ij

t

t

t

t

m

mm

m<+=++=−+=−+==

→→+∞→+∞→)1ln(

1

1ln)1(lim

1)1(lim

/1

1)1(limlim

00

/1δ

dove δ è un tasso annuo nominale convertibile istantaneamente (o composto continuamente) e

teδ

è il corrispondente fattore di montante nell’intervallo di tempo [ ]t;0 .

Esempio 10. All’inizio di un certo anno €25.000 sono collocati in un ideale conto corrente,

dove l’interesse è composto continuamente. Il montante dopo 2,5 anni importa €26.917,40. Si

trovino

a) il tasso annuo effettivo di interesse;

b) il tasso annuo nominale convertibile istantaneamente.

Svolgimento. Il tempo t sia misurato in anni. Siano inoltre € 000.25=C ;

€ 40,917.26=FV ; anni 5,2=t . Da tt CeiCFV δ=+= )1( consegue che

a) %31/1

=−

=t

C

FVi ;

b) ( ) %,i 95621ln =+=δ .

Si osservi che i<δ come affermato più sopra.

Principio di scindibilità

Siano t il tempo misurato in opportune unità e 0 il corrente istante. Si indichi con ( )f t un

fattore di montante che dipende solo dalla durata t dell’operazione finanziaria, invece che dalle

sue date iniziale e finale (per esempio, le date di decorrenza e di scadenza di un prestito

interbancario). Si consideri il seguente diagramma

0 t t τ+

e si ricordi che ( )f t τ+ è il montante al tempo t τ+ di un investimento di 1 nell’intervallo

[ ]0;t τ+ mentre ( ) ( )f t f τ è il montante al tempo t τ+ di un investimento di 1 nell’intervallo

[ ]0;t seguito da un reinvestimento dell’incasso nell’intervallo [ ];t t τ+ .


34

Definizione. Il fattore di montante ( )f t è scindibile se

( ) ( ) ( )f t f f tτ τ= + per qualsiasi , 0t τ ≥

vale a dire se il montante non è influenzato dalla politica di investimento.

Sia i un tasso periodico di interesse semplice (o composto). Si ha

• ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 it i i t it i i tτ τ τ τ+ + = + + + ≠ + + nel regime dell’interesse semplice

• ( ) ( ) ( )1 1 1t ti i iτ τ++ + = + nel regime dell’interesse composto

Pertanto, il fattore di montante ( ) 1f t it= + e il regime dell’interesse semplice non sono

scindibili mentre il fattore di montante ( )( ) 1 tf t i= + e il regime dell’interesse composto sono

scindibili.

Proposizione. Un fattore di montante derivabile ( )f t è scindibile sse (se e solo se) esso è

tale che ( )( ) 1 tf t i= + , vale a dire sse l’interesse è composto.

DIMOSTRAZIONE. Si ha ( ) ( ) ( )ττ +=+ tfftf lnlnln e quindi l’equazione funzionale di

Cauchy ( ) ( ) ( )ττ +=+ tggtg in virtù della sostituzione ( ) ( )tftg ln= . Per 0== τt

l’equazione di Cauchy diviene ( ) ( ) ( )000 ggg =+ e quindi ( ) 00 =g . Derivando l’equazione di

Cauchy rispetto a t si ottiene ( ) ( )

dt

tdg

dt

tdg τ+= di modo che ( ) δ=

dt

tdg. Pertanto, si ha

( ) ttg δ= , in quanto solo una linea retta con intercetta nulla ha derivata costante e è tale che

( ) 00 =g . Infine, ( ) ( ) ttgtf δ==ln equivale a ( ) tetf δ= , vale a dire a un fattore di montante

nel regime dell’interesse composto continuamente al tasso nominale δ convertibile

istantaneamente.

Se ( )f t è scindibile, montanti (e valori attuali) possono essere calcolati in diverse maniere.

Per esempio, poiché la definizione data più sopra può essere così riscritta

( )( )

( )

f tf t

f

ττ+= per qualsiasi , 0t τ ≥

il montante di un investimento di 1 nell’intervallo [ ]0;t può essere pure calcolato come il

valore attuale al tempo t del montante di un investimento di 1 nell’intervallo [ ]0;t τ+ . Questa

proprietà matematica risulta utile nel trattare le rendite; essa implica pure il principio di


35

equivalenza finanziaria delle rendite, secondo cui il confronto di più rendite sulla base dello

stesso tasso di interesse i conduce alle stessa graduatoria, qualunque sia l’istante di valutazione.

Nel caso di un investimento in obbligazioni, i tassi annui di rendimento a scadenza e di

rendimento effettivo sono coerenti tra loro solamente sotto l’ipotesi di scindibilità.

Esempio 11. Un investitore compra delle obbligazioni senza cedola per un valore nominale

di €5.000 e con scadenza dopo 12 mesi. Il tasso di rendimento a scadenza è il 3% annuo.

L’investitore rivende le obbligazioni 8 mesi più tardi, quando il tasso di rendimento a scadenza

è ancora il 3% annuo. Facendo astrazione da commissioni e tasse, si determini il tasso di

rendimento effettivo dell’operazione monetaria, qualora il tasso di rendimento a scadenza sia

espresso nel regime

a) dell’interesse semplice, come avviene nel caso dei buoni del Tesoro italiani;

b) dello sconto commerciale, come avviene nel caso dei buoni del Tesoro britannici e

statunitensi;

c) dell’interesse composto.

Svolgimento. Il tempo t sia misurato in anni e ogni mese abbia 30 giorni. Un’obbligazione

senza cedola quota sempre a sconto; il prezzo di mercato è dunque minore del valore nominale

e pari al suo valore attuale calcolato per mezzo del tasso di rendimento a scadenza.

a) L’appropriato fattore di sconto è t03,01

1

+, dove 3% è il tasso annuo di rendimento a

scadenza e t è la durata residua delle obbligazioni. Pertanto, il prezzo di acquisto è

4.854,371*03,01

000.5 =+

, in quanto la durata residua è 1 anno, mentre il prezzo di rivendita è

4.950,501240301

0005 =+ /*,

. , in quanto la durata residua è 4 mesi. Il tasso annuo effettivo

incognito soddisfa l’equazione

1281

37,854.4

50,950.4

acquisto di prezzo

rivendita di prezzo

capitale

montanter+===

dalla quale si trae 2,970%=r ; si tratta di un tasso di interesse semplice. Poichè l’interesse

semplice non è scindibile e l’investimento viene interrotto prima della scadenza, il tasso di

rendimento effettivo dell’operazione monetaria differisce dal tasso di rendimento a

scadenza, costante per ipotesi.

b) L’appropriato fattore di sconto è t03,01− , dove 3% è il tasso annuo di rendimento a

scadenza e t è la durata residua delle obbligazioni. Pertanto, il prezzo di acquisto è


36

( ) 4.8501*03,01000.5 =− mentre il prezzo di rivendita è 4.95012

4*03,01000.5 =

− . Il tasso

annuo effettivo incognito soddisfa l’equazione

1281

1

850.4

950.4

acquisto di prezzo

rivendita di prezzo

capitale

montante

d−===

dalla quale si trae 3,030%=d ; si tratta di un tasso di sconto commerciale. Poichè lo sconto

commerciale non è scindibile e l’investimento viene interrotto prima della scadenza, il tasso

di rendimento effettivo dell’operazione monetaria differisce dal tasso di rendimento a

scadenza, costante per ipotesi.

c) L’appropriato fattore di sconto è t−03,1 , dove 3% è il tasso annuo di rendimento a scadenza e

t è la durata residua delle obbligazioni. Pertanto, il prezzo di acquisto è

4.854,3703,1*000.5 1 =− mentre il prezzo di rivendita è 9895040310005 124 ,.,*. / =− . Il tasso

annuo effettivo incognito soddisfa l’equazione

( )128

137,854.4

98,950.4

acquisto di prezzo

rivendita di prezzo

capitale

montanter+===

dalla quale si trae 3,000%=r ; si tratta di un tasso di interesse composto. Poichè l’interesse

composto è scindibile, il tasso di rendimento effettivo dell’operazione monetaria coincide

con il tasso di rendimento a scadenza, costante per ipotesi.

Fattori di montante in 2 variabili e esclusione dell’arbitraggio

Siano t il tempo misurato in opportune unità e 0 il corrente istante. Si indichi con );0( tf un

fattore di montante che dipende dalle date iniziale e finale dell’operazione finanziaria (per

esempio, le date di decorrenza e di scadenza di un prestito interbancario).

Definizione. Il fattore di montante in 2 variabili );( τ+ttf è scindibile se

);0();();0( ττ +=+ tfttftf per qualsiasi , 0t τ ≥

vale a dire se il montante non è influenzato dalla politica di investimento.

Proposizione. Un fattore di montante differenziabile );( τ+ttf , funzione di 2 variabili, è

scindibile sse (se e solo se) esso è tale che

= ∫

t

dtttf

0

)(exp);0( δ , vale a dire sse l’interesse è

composto continuamente al tasso nominale )(tδ convertibile istantaneamente. La seguente


37

dimostrazione è alternativa a quella originale del matematico italiano Francesco Paolo Cantelli,

1875-1966, riportata in Cantelli (1914).

DIMOSTRAZIONE. Ponendo τ+= tT , si ha );0(ln);(ln);0(ln TfTtftf =+ e quindi

l’equazione funzionale di Cauchy );0();();0( TgTtgtg =+ per funzioni di 2 variabili in virtù

della sostituzione );0(ln);0( tftg = . Per 0== Tt l’equazione di Cauchy diviene

( ) ( ) ( )0;00;00;0 ggg =+ e quindi ( ) 00;0 =g . Derivando l’equazione di Cauchy rispetto a T si

ottiene ( ) ( )

T

Tg

T

Ttg

∂∂=

∂∂ ;0;

di modo che ( )

)(;

TT

Ttg δ=∂

∂, in quanto

( )T

Tg

∂∂ ;0

dipende solo da T.

Pertanto, si ha ∫==T

t

dTTTtfTtg )();(ln);( δ e quindi

= ∫

t

dtttf

0

)(exp);0( δ , vale a dire un

fattore di montante nel regime dell’interesse composto continuamente. La scindibiltà

dell’interesse composto può essere dimostrata nel più generale caso di misurabilità dei fattori

di montanti in 2 variabili.

Se l’andamento temporale di )(tδ è noto, ci si trova in condizioni di certezza, in quanto

sono pure note le strutture a termine dei tassi di interesse, sia la corrente sia tutte le future. Più

precisamente,

• t

dtt

i

t

t

∫ δ

= 0;0

)(

è il corrente tasso a pronti di interesse per un’operazione finanziaria di

durata t;

• τ

δ

=∫

τ+

τ+

t

ttt

dtt

i

)(

; è il tasso a pronti di interesse vigente al tempo t per un’operazione

finanziaria di durata τ ;

• se )(tδ è funzione crescente / costante / decrescente del tempo t, pure i tassi a pronti di

interesse correnti ti ;0 (futuri τ+tti ; ) crescono / rimangono invariati / decrescono con la

durata t (τ ).

Si consideri un ideale mercato finanziario nel quale

• non ci sono elementi di attrito come commissioni, forbici denaro-lettera, margini, vincoli

sulle vendite allo scoperto e tasse;

• ogni operatore massimizza il proprio profitto e non è in grado di esercitare alcuna

influenza sui prezzi dei titoli;


38

• qualsiasi ammontare di denaro può essere preso o dato in prestito;

• non si verificano insolvenze;

• i tassi di interesse, presenti e futuri, sono certi.

Si rammenta che l’arbitraggio è un insieme di simultanee operazioni finanziarie che non

richiede alcun esborso (netto) e procura o può procurare un qualche incasso. Si dimostra che

l’ arbitraggio è escluso, sse

• esiste un’unica struttura a termine dei tassi di interesse;

• i valori attuali e futuri sono operatori lineari negli ammontari di denaro;

• i fattori di montante in 2 variabili sono scindibili .

Esercizio 8. Un certo conto corrente bancario è remunerato al tasso nominale di interesse

del

a) 3,8% annuo convertibile trimestralmente;

b) 4% annuo convertibile trimestralmente;

c) 3,8% annuo convertibile semestralmente.

Si trovino i corrispondenti tassi annui effettivi di interesse.

Soluzione. Si consideri la formula

mm

m

ji

+=+ 11

dove mj è un tasso annuo nominale di interesse convertibile m volte all’anno e i è il

corrispondente tasso annuo effettivo di interesse.

a) Sostituendo 4=m e %8,34 == jj m nella formula più sopra si ottiene %,i 8543= .

b) Sostituendo 4=m e %44 == jj m nella formula più sopra si ottiene %,i 0604= .

c) Sostituendo 2=m e %8,32 == jj m nella formula più sopra si ottiene %,i 8363= .

Esercizio 9. All’inizio di un certo anno €5.000 sono posti in un ideale conto corrente

remunerato al tasso nominale annuo del 4% convertibile trimestralmente.

a) Quanto tempo occorre affinché il montante importi €5.500?

b) Qual è l’interesse composto?

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e ogni mese abbia 30 giorni.

a) Poiché dall’equazione ( )45.500 5.000 1,01t

= si trae

giorni 143 e anni 2anni 3952011ln4

1

5000

5005ln ==

= ,,

.t


39

approssimando per eccesso, il periodo incognito è uguale a 2 anni e almeno 143 giorni.

b) L’interesse composto ammonta a € 500000.5500.5 =−=−= CFVI .

Esercizio 10. All’inizio di un certo anno €100.000 sono collocati in un conto corrente

bancario che genera interesse al tasso nominale del 5% annuo convertibile semestralmente.

L’aliquota della ritenuta fiscale sull’interesse è del 20%.

a) Tenendo conto dell’onere fiscale, si determini il tasso (lordo) equivalente nel caso di

composizione annua dell’interesse.

b) Si supponga che né il tasso di interesse, né l’aliquota fiscale cambino nel tempo. Si trovi il

massimo prelievo costante che può essere effettuato alla fine di ogni semestre senza che il

conto corrente si esaurisca.

c) Supponendo che tale prelievo avvenga regolarmente, si determini il montante netto dopo 3

anni e 3 mesi (suggerimento: si usino la convenzione lineare e dunque la capitalizzazione

mista).

Soluzione.

a) Il tasso di interesse incognito i soddisfa l’equazione

( ) ( )2,0112,012

05,01

2

−+=

−+ i

secondo la quale il fattore di montante annuo netto è lo stesso in entrambi i casi. La

soluzione dell’equazione è %,i 055= .

b) Il massimo prelievo semestrale possibile è pari all’interesse semestrale netto

( ) € 000.2%2*000.1002,012

05,0000.100 ==−

essendo il tasso semestrale netto di interesse del 2%. Qualsiasi importo maggiore

svuoterebbe prima o poi il conto corrente.

c) Il montante 3 mesi dopo ogni prelievo, e quindi pure alla data richiesta, è

€ 000.101180

9002,01000.100 =

+

Tuttavia, l’interesse trimestrale netto, pari a €1.000, non è ancora stato composto.

OSSERVAZIONE. Secondo il DPR 600 del 29/9/1973 (art. 26, comma 2) e i successivi

aggiornamenti, ivi compreso il decreto legge 323 del 20/6/1996 (art. 7, comma 6), la ritenuta

fiscale sugli interessi dei depositi e conti correnti bancari o postali è operata alla fonte con

aliquota del 27% dalle banche o dalle Poste italiane. Essa è a titolo di imposta per le persone


40

fisiche, a titolo di acconto per gli imprenditori individuali e le società per azioni; per un elenco

più completo si rimanda a Mignarri (2012). Tale distinzione vale pure per i pronti contro

termine e i certificati di deposito introdotti più sopra. Secondo il decreto legge 138 del

13/8/2011 (art. 2, comma 6) l’aliquota della ritenuta fiscale testé menzionata è ridotta al 20%.

Esercizio 11. Un capitale di €200.000 è prestato da martedì 1 marzo a mercoledì 1 giugno al

tasso di interesse semplice del 2% annuo. Il montante netto è nuovamente prestato da

mercoledì 1 giugno al tasso di interesse semplice del 2,2% annuo. Vige la regola effettivi/365

per il calcolo dei giorni, mentre l’interesse è tassato alla fonte con aliquota fiscale del 20%.

Tenendo conto dell’onere fiscale, si trovino

a) la durata e la data di scadenza del secondo prestito alle quali corrisponde un montante netto

di €202.007,24;

b) l’interesse netto delle 2 operazioni monetarie in combinazione.

Soluzione. Il tempo sia misurato in giorni e t rappresenti la durata incognita del secondo

prestito. Siano 000.200=C e 240072022 ,.FV = .

a) Poiché il primo prestito dura effettivamente 921313030 =+++ giorni, il montante netto

alla sua scadenza vale

( ) € 58806200365

922,0102,011 ,.CFV =

−+=

Il montante netto alla scadenza del secondo prestito soddisfa l’equazione

( )

−+=365

2,01022,0112t

FVFV

dalla quale si ricava

giorni 1248,0*022,0

3651

1

2 =

−=

FV

FVt

Poiché il secondo prestito dura effettivamente 124330313129 =++++ giorni, la sua

data di scadenza è lunedì 3 ottobre.

b) L’interesse netto delle 2 operazioni monetarie in combinazione vale € 2400722 ,.CFV =− .

Esercizio 12. All’inizio di un certo anno, un capitale di €150.000 è prestato per 24 mesi al

tasso di interesse composto del 4% annuo. Alla scadenza, il montante è prestato per altri 12

mesi al tasso di interesse composto del 3,75% annuo. Si trovino

a) il montante e l’interesse delle 2 operazioni finanziarie in combinazione;

b) il tasso annuo effettivo di rendimento delle 2 operazioni finanziarie in combinazione.


41

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e r rappresenti il tasso annuo effettivo di

rendimento incognito. Sia 000.150=C .

a) Il montante dopo 24 mesi è

( ) € 0024016204,01 21 ,.CFV =+=

mentre il montante dopo 36 mesi è

( ) € 003241680375,0112 ,.FVFV =+=

Pertanto, l’interesse delle 2 operazioni finanziarie in combinazione è € 00324182 ,.CFV =−

b) Il tasso annuo effettivo di rendimento r soddisfa l’equazione ( )32 1 rCFV += , dalla quale si

trae

3,917%13

1

2 =−

=C

FVr

Si tenga presente che il tasso annuo effettivo di rendimento r soddisfa pure l’equazione

( ) ( ) ( )32 10375,0104,01 r+=++

che esprime l’equivalenza tra i fattori di montante.

Esercizio 13. Il tasso di interesse di un conto corrente bancario è il 2,75% annuo effettivo.

L’aliquota della ritenuta fiscale sull’interesse è del 20%. Il tasso annuo di inflazione è

l’1,188%. Supponendo che né il tasso di interesse, né l’aliquota fiscale, né il tasso di inflazione

cambino nel tempo, si determinino a) il tasso reale di interesse annuo dopo le imposte; b) il

montante reale di €10.000 dopo 7 anni.

Soluzione.

a) Poiché i montanti netti nominale e reale di €1 dopo 1 anno sono

( ) 022,12,010275,01 =−+ e 01,11,01188

022,1 =

il tasso reale di interesse annuo dopo le imposte vale 1,01 1 1%− = .

b) Il montante reale dopo 7 anni è € 35,721.1001,1*000.1001188,1

022,1000.10 7

7

==

.


42

1.4. Rendite annue immediate: valori attuali, montanti e valori

Il tempo t sia misurato in anni. Si supponga che l’interesse sia composto (e le rate siano

scontate) al tasso i annuo effettivo. Una rendita annua immediata stipulata, emessa o

comprata al tempo 0 è una sequenza (o successione finita) di n rate annue posticipate, la prima

01 >R con scadenza dopo 1 anno e la t-ima 0>tR con scadenza dopo t anni, alla fine del t-

imo anno. Tale sequenza di rate positive è rappresentata dal seguente diagramma

1R 2R 1nR − nR

0 1 2 L 1n − n

Per agevolare la comprensione facciamo riferimento a un caso ideale ma significativo.

Un’obbligazione sicura, emessa al tempo 0, prometta di pagare le rate più sopra. Non ci siano

commissioni e tasse. Poiché l’emittente rispetterà sicuramente i propri impegni, il contratto

finanziario non comporta rischio di credito. E neppure comporta rischio di tasso, essendo i il

suo rendimento a scadenza in qualsiasi momento fino alla scadenza finale.

Un investitore compri l’obbligazione sicura all’emissione e la tenga sino alla scadenza; ogni

rata tR sia versata in un conto corrente, remunerato al tasso annuo i di interesse composto.

Il valore attuale al tempo 0 di una rendita annua immediata è

( ) ( ) ( ) ( )1 21 2

1

1 1 1 1n

k nk n

k

R i R i R i R i− − − −

=+ = + + + + + +∑ K

vale a dire la somma dei valori attuali di tutte le n rate come pure, nel nostro esempio, il prezzo

al tempo 0 del contratto finanziario sicuro.

Il montante al tempo n di una rendita annua immediata è

( ) ( ) ( )1 21 2

1

1 1 1n

n k n nk n

k

R i R i R i R− − −

=+ = + + + + +∑ K

vale a dire la somma dei montanti di tutte le rate, come pure, nel nostro esempio, il saldo al

tempo n del conto corrente.

Il valore al tempo t di una rendita immediata con rate annue posticipate è

( ) ( )∑∑>

−−

≤

− +++tk

tkk

tk

ktk iRiR )(11

vale a dire il montante di tutte le rate in scadenza prima del e al tempo t più il valore attuale di

tutte le rate in scadenza dopo il tempo t. Il tempo t può assumere qualsiasi valore reale. Nel


43

nostro esempio i 2 termini sono il saldo al tempo t del conto corrente e il prezzo al tempo t del

contratto finanziario sicuro.

Rendite annue immediate: proprietà

Si osservi che:

(1) valore al tempo 0 = valore attuale al tempo 0

(2) valore al tempo n = montante al tempo n

(3) valore al tempo t ( )1 ti= + ∗ valore al tempo 0

tenendo presente che tali equazioni valgono anche quando le rate hanno differenti segni.

L’equazione (3) è una conseguenza della scindibilità : prima si trasferiscono tutte le rate

all’indietro nel tempo e si calcola il loro valore (attuale) al tempo 0, poi si trasferisce questo

importo avanti nel tempo e si ottiene il loro valore al tempo t. Per 3=n e 2=t si ha

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 1321

233

22

11 111111 −−−− ++++=++++++ iRRiRiiRiRiR

Si supponga che diverse rendite annue (immediate) debbano essere confrontate sulla base

dello stesso tasso di interesse i. Il confronto può avvenire in un qualsiasi istante a causa

dell’equazione (3) e quindi della scindibilità . Se 2 rendite annue hanno lo stesso valore in un

particolare istante, esse sono finanziariamente equivalenti in qualsiasi istante; se una rendita

annua è la maggiore (minore) in valore in un particolare istante, essa è tale in qualsiasi istante.

OSSERVAZIONE. I regimi dell’interesse semplice e dello sconto commerciale non godono

di tale importante proprietà; in tali regimi, a 2 differenti istanti di valutazione possono

corrispondere 2 differenti graduatorie delle rendite annue in esame.

Rendite annue immediate con rate costanti

Si rammenta che il tempo t è misurato in anni e l’interesse viene composto al tasso i annuo

effettivo. Una rendita annua immediata costante stipulata, emessa o comprata al tempo 0 è

una sequenza (o successione finita) di n rate annue R, costanti e posticipate, la prima con

scadenza dopo 1 anno (e la t-ima con scadenza dopo t anni). Tale sequenza di rate positive è

rappresentata dal seguente diagramma

R R R R

0 1 2 L 1n − n


44

Il valore attuale al tempo 0 di una rendita annua immediata costante è

( ) ( ) ( ) ( )1 2|

1 11 1 1

nn

n ii

R i i i Ra Ri

−− − − − + + + + + + + = =

K

dove il simbolo |n ia (a figurato n al tasso i) rappresenta il valore attuale di n rate annue

unitarie, calcolato un anno prima della scadenza della prima rata.

DIMOSTRAZIONE. Si supponga che un prestito di €1 debba essere rimborsato versando n

rate annue posticipate. Le prime 1−n rate sono uguali a i, l’ interesse per l’anno appena

terminato, mentre l’ultima rata è uguale a 1+i , l’ interesse per l’ultimo anno più il capitale.

Affinché i sia un tasso annuo di interesse composto, il prestito deve essere uguale al valore

attuale di tutte le rate: ( ) nin iia −++= 11 | ; ciò implica che

( )i

ia

n

in

−+−= 11| .

Il montante al tempo n di una rendita annua immediata costante è

( ) ( ) ( ) ( )1 2| |

1 11 1 1 1

nn n n

n i n ii

R i i Rs Ra i Ri

− − + − + + + + + = = + = K

dove il simbolo |n is rappresenta il montante di n rate unitarie annue, calcolato alla scadenza

dell’ultima rata. La seconda eguaglianza consegue dalla proprietà (3) delle rendite annue

immediate.

Il valore al tempo t di una rendita immediata costante è il montante di tutte le rate in

scadenza prima del e al tempo t più il valore attuale di tutte le rate in scadenza dopo il tempo t.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )itnit

tntt

intk

tk

tk

kt asRi

iiRiRaiiR ||

)(

|)( 11

111 −

−−

>

−−

≤

− +=

+−+=+=

+++ ∑∑

Il tempo t può assumere qualsiasi valore reale. Tuttavia, se t è un numero intero, il montante

itRs| di t rate in scadenza prima del e al tempo t viene sommato al valore attuale itnRa |− di

tn − rate in scadenza dopo il tempo t. La prima eguaglianza consegue dalla proprietà (3) delle

rendite annue immediate.

Rendite periodiche immediate con rate costanti

Se il pagamento delle rate avviene 2=m (o 4=m , o 12=m , o K ) volte all’anno, si usi il

semestre (o il trimestre, o il mese, o K ) quale unità di tempo e quindi il tasso periodale mi tale

che ( ) ii mm +=+ 11 . Per esempio,


45

( )2

211

i

iR

n−+− è il valore attuale al tempo 0 di n rate semestrali, ciascuna pari a R;

( )4

4

1 1niR

i

+ − è il montante al tempo n di n rate trimestrali , ciascuna pari a R;

( ) ( )

+−+ −−

12

)(1212 11

i

iiR

tnt è il valore al tempo t di n rate mensili, ciascuna pari a R.

Rendite perpetue annue immediate

Si rammenta che il tempo t è misurato in anni e l’interesse viene composto al tasso i annuo

effettivo. Una rendita perpetua annua immediata costante emessa o comprata al tempo 0 è

una successione di infinite rate annue R, costanti e posticipate, la prima con scadenza dopo 1

anno (e la t-ima con scadenza dopo t anni). Tale successione di rate positive è rappresentata dal

seguente diagramma

R R R

0 1 2 L t L

Il valore attuale al tempo 0 di una rendita perpetua annua immediata costante è

( ) ( ) ( ) ( )1 2|

1

11 1 1 1t t

it

R i i i R i Ra Ri

∞− − − −

∞=

+ + + + + + + = + = = ∑K K

dove il simbolo |ia∞ rappresenta il valore attuale di un numero infinito di rate annue unitarie,

calcolato un anno prima della scadenza della prima rata.

DIMOSTRAZIONE. Si ha: ( )

| |1 1 1

lim limn

i n in n

iRa Ra R R

i i

−

∞→+∞ →+∞

− += = = .

Una rendita perpetua annua immediata geometrica emessa o comprata al tempo 0 è una

successione di infinite rate annue posticipate, crescenti secondo una progressione

geometrica, dove la prima rata R scade dopo 1 anno (e la t-ima rata ( ) 11 tR g −+ scade dopo t

anni, essendo g il tasso annuo di crescita). Tale successione di rate positive è rappresentata dal

seguente diagramma


46

R ( )1R g+ ( )21R g+ ( ) 11 tR g −+

0 1 2 3 K t K

Il valore attuale al tempo 0 di una rendita perpetua annua immediata geometrica è

( )( )( )

( )( )

( )( )

2 1 1

2 31

1 1 11 1 1

1 1 1 1 1

t t

t tt

g g ggR R R

i i gi i i i

− −∞

=

+ + ++ + + + + + = =

+ − + + + + ∑K K

dove i g> affinché la serie (geometrica) in esame converga. La seguente dimostrazione è

alternativa a quella originale del matematico svizzero Leonhard Euler, 1707-1783.

DIMOSTRAZIONE . Si ha

2 3 1

11 1 1 1

1 1 1 1

tg g g gPV R

i i i i

− + + + + = + + + + + = + + + +

K K

( )( )

( )( )

( )( )

( )2 2

02 3 1

1 11 11 1

1 1 1 1

t

t

g ggR g g PV

i i i i

−

−

+ ++ = + + + + + + = +

+ + + +

K K

dove 0PV ( 1PV ) indica il valore attuale delle rate future al tempo 0 (1). Iterando tale

procedimento, si ottiene agevolmente

( ) 01 PVgPV tt +=

Inoltre, la proprietà (3) delle rendite annue immediate implica che

( )1 01R PV i PV+ = +

Si ha dunque: ( ) ( )0 01 1R g PV i PV+ + = + e quindi, semplificando: 0R

PVi g

=−

, dove i g>

affinché il risultato sia positivo e la serie geometrica in esame converga. Infatti, se la

precedente diseguaglianza non fosse soddisfatta, il termine ( )

( )tt

i

gR

+

+ −

1

1 1 non sarebbe

infinitesimo per t che tende all’infinito.

Esercizio 14. Una rendita immediata costante comprende 5 rate annue di €100 ciascuna.

Sulla base di un tasso di interesse del 4% annuo effettivo, si trovino

a) il valore attuale della rendita all’emissione;

b) il montante della rendita subito dopo il versamento dell’ultima rata;

c) il valore della rendita 3 anni dopo l’emissione;


47

d) il valore della rendita 3 anni e 3 mesi dopo l’emissione.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni. Le sequenza delle rate è rappresentata dal seguente

diagramma

rata 100 100 100 100 100

tempo 0 1 2 3 4 5

a) Il valore attuale della rendita all’emissione è

€ 1844504,0

04,11100100

5

%4|50 ,aPV =−==−

Si tenga presente che %4|5a è il valore attuale a un tasso del 4% di 5 rate unitarie

periodiche, calcolato un periodo prima della scadenza della prima rata.

b) L’ultima rata sarà versata al tempo 5. Il montante della rendita 5 anni dopo l’emissione è

€ 6354104,0

104,1100100

5

%4|55 ,sFV =−==

vale a dire il montante di 5 rate. Si tenga presente che %4|5s è il montante a un tasso del 4%

di 5 rate unitarie periodiche, calcolato alla scadenza dell’ultima rata.

c) Il valore della rendita 3 anni dopo l’emissione è

€ 77500100100 %4|2%4|3333 ,asPVFVV =+=+=

vale a dire il montante di 3 rate più il valore attuale delle 2 successive rate.

d) Il valore della rendita 3 anni e 3 mesi dopo l’emissione è

( ) € 7050510010004,104,1 %4|2%4|325,0

325,0

25,3 ,asVV =+==

Si ha pure %4|75,1%4|25,3025,3

25,3 10010004,1 asPVV +== , ma i 2 fattori %4|25,3s e

%4|75,1a non sono suscettibili di interpretazione finanziaria.

OSSERVAZIONE. Si rammenta che %4|55

%4|5 04,1 as = e %4|53

%4|2%4|3 04,1 aas =+ a

causa della scindibilità; ciò si dimostra utile per rilevare eventuali errori di calcolo.

Esercizio 15. Una rendita costante comprende 6 rate annue di €90 ciascuna, la prima in

scadenza a 3 anni da adesso. Sulla base di un tasso di interesse del 5% annuo effettivo, si

trovino

a) il valore attuale della rendita adesso;


48

b) il montante della rendita 1 anno dopo il versamento dell’ultima rata;

c) il valore della rendita a 6 anni da adesso;

d) il valore della rendita a 6 anni e 6 mesi da adesso.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni. Le sequenza delle rate è rappresentata dal seguente

diagramma

rata 90 90 90 90 90 90

tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a) Il valore attuale della rendita differita è adesso

( ) € 3441405,19005,1* 2%5|6

220 ,aPVPV === −−

Si tenga presente che %5|6a è il valore attuale a un tasso del 5% di 6 rate unitarie

periodiche, calcolato un periodo prima della scadenza della prima rata.

b) L’ultima rata sarà versata al tempo 8. Il montante della rendita a 9 anni da adesso è

( ) € 7864205,19005,1* %5|689 ,sFVFV ===

Si tenga presente che %5|6s è il montante a un tasso del 5% di 6 rate unitarie periodiche,

calcolato alla scadenza dell’ultima rata.

c) Il valore della rendita a 6 anni da adesso è

€ 265559090 %5|2%5|4666 ,asPVFVV =+=+=

vale a dire il montante di 4 rate più il valore attuale delle 2 successive rate.

d) Il valore della rendita a 6 anni e 6 mesi da adesso è

( ) € 97568909005,105,1 %5|2%5|45,0

65,0

5,6 ,asVV =+==

Esercizio 16. Una rendita immediata costante di durata triennale comprende rate mensili

posticipate di €100 ciascuna. Si determini il valore attuale della rendita un mese prima della

scadenza della prima rata sulla base di un tasso di interesse del 12% annuo

a) effettivo;

b) convertibile mensilmente.

Soluzione. Il tempo sia misurato in mesi. Poiché la rendita è costituita da 36 rate mensili

posticipate di €100 ciascuna, il valore attuale incognito soddisfa l’equazione

( )12

3612

36|12

1 1100 100i

ia

i

−− +=


49

dove 12i è il tasso di interesse mensile.

a) Si ha %949,0112,1 12/112 =−=i e quindi € 41037.3100 %949,0|36 ,a = .

b) Si ha 1212%

1%12

i = = e quindi € 75010.3100 %1|36 ,a = .

Esercizio 17. Si supponga che

a) alla fine di ogni semestre un risparmiatore versi €30.000 in un conto bancario che genera

interesse al tasso nominale del 4,5% annuo convertibile semestralmente. L’aliquota della

ritenuta fiscale sull’interesse è del 20%;

b) né il tasso di interesse, né l’aliquota fiscale cambino nel tempo.

Quanto tempo occorre affinché il montante divenga pari a €400.000? (suggerimento: si

impieghino la convenzione lineare e dunque la capitalizzazione mista)

Soluzione. Il tasso di interesse semestrale netto è ( ) %8,12,012

045,02 =−=i . Il numero dei

versamenti necessari n soddisfa l’equazione 000.400000.30 %8,1| =ns . Ciò comporta che

018,03

401018,1 +=n e quindi che

( ) 058120181ln

01803

401ln

,,

,n =

+=

Pertanto, il risparmiatore deve effettuare 12 versamenti semestrali, i quali generano un

montante di € 397.867,55000.30 %8,1|12 =s dopo 6 anni (5,5 anni dal primo versamento). Di

conseguenza, sono necessari 6 anni e t giorni per raggiungere l’obiettivo; l’incognita t soddisfa

l’equazione 400.000180

018,01397.867,55 =

+ t, coerente con la capitalizzazione mista. La

soluzione dell’equazione è

giorni 54018,0

1801

397.867,55

000.400 =

−=t


50


51

2. Ripagamento rateale di un prestito

2.1. Il piano di ammortamento

Si consideri il caso in cui un capitale C venga dato in prestito al tempo 0 e rimborsato

attraverso il pagamento di n rate periodiche posticipate nell’intervallo (0,n) come mostrato

sotto

importo -C 1R 2R 1−nR nR

tempo 0 1 2 L 1−n n

Si può trattare di un prestito bilaterale immobiliare quale un mutuo ipotecario acceso per

l’acquisto di una prima casa. In tale caso, la durata del prestito potrebbe essere compresa tra 7 e

20 anni (ma pure giungere a 30 anni) mentre il capitale mutuato potrebbe non superare il 75%

del valore di mercato dell’immobile, accertato mediante perizia tecnica (il capitale mutuato può

pure essere pari al 100% del valore di un immobile, nel caso il mutuatario sia, per esempio, un

gruppo di società particolarmente liquido). Qualora il mutuatario divenga insolvente, la banca

mutuante procederà all’esproprio e alla vendita dell’immobile, poiché esso funge da garanzia

reale. Quest’ultima si aggiunge alla garanzia generica, insita nella capacità di rimborso del

mutuatario, che dipende pure dalla coerenza tra la rateazione e il suo reddito; per esempio, se le

rate sono mensili e costanti mentre l’ipoteca di primo grado concerne la prima casa di un

insegnante, il loro ammontare non dovrebbe superare il 33% del reddito mensile medio netto

dell’insegnante (o una maggiore percentuale in presenza di una garanzia accessoria, come una

fideiussione per un certo importo rilasciata da un familiare o da un amico/a, della quale

egli/ella risponde con il suo intero patrimonio). Ogni rata tR consta di 2 termini: la quota di

interesse tI relativa all’ultimo periodo e la quota di capitale tC : ttt CIR += per ,n,,t K21= .

La distinzione tra interesse e capitale è importante sia a fini fiscali (la quota di interesse versata

dal mutuatario potrebbe essere fiscalmente deducibile mentre l’interesse incassato dalla banca

mutuante costituisce reddito imponibile) sia nel caso di insolvenza del mutuatario.

OSSERVAZIONE. Per concedere il prestito immobiliare all’insegnante, la banca mutuante

ha condotto un’istruttoria di mutuo , volta a determinare la sua capacità di rimborso come pure

il valore di mercato dell’immobile, mediante perizia tecnica. La capacità di rimborso

dell’insegnante e i rischi dell’operazione bancaria dipendono soprattutto dal suo reddito netto,


52

dalle sue spese, dalla sua ricchezza, dal suo grado di indebitamento, dalla sua moralità e

correttezza. La più recente denuncia dei redditi del richiedente fornisce indicazioni circa il suo

reddito corrente e la sua proprietà immobiliare, mentre le sue spese ammontano

convenzionalmente al 67% del reddito netto. Dal 1964 la Centrale dei rischi fornisce

indicazioni sull’indebitamento dei clienti degli intermediari finanziari vigilati dalla Banca

d’Italia. Gli aderenti comunicano ogni mese e in via confidenziale alla Banca d’Italia i

nominativi dei clienti e il loro complessivo debito, per cassa e/o di firma, se maggiore o uguale

di €30.000, segnalando pure tutte le sofferenze, comprese quelle appena contabilizzate. Circa

40 giorni dopo la fine di ogni mese, la Banca d’Italia rende disponibili agli aderenti i risultati

delle elaborazioni. I crediti per cassa e di firma (garanzie personali e impegni di pagamento)

concessi a ciascun cliente vengono aggregati in 5 e in 2 categorie di censimento, distinguendo

tra credito accordato e utilizzato e evidenziando per differenza ogni eventuale sconfino. Le 5

categorie di censimento dei crediti per cassa sono: rischi autoliquidanti, quali un anticipo su

fatture, rischi a scadenza, quali un mutuo o una locazione finanziaria, rischi a revoca, quale

un’apertura di credito in conto corrente, finanziamenti a procedure concorsuali, sofferenze. Nel

Registro informatico dei protesti, aggiornato dalle Camere di Commercio delle diverse

provincie italiane, compaiono i nomi delle persone e delle società protestate per non aver

onorato una cambiale o un assegno bancario. Ciascun protesto rimane memorizzato per 5 anni,

ma può essere cancellato qualora la cambiale sia pagata entro 12 mesi dalla sua levata.

Avvalendosi magari di una terza parte, si può effettuare la visura degli eventuali protesti a

carico di un nominativo.

OSSERVAZIONE. Le garanzie che un mutuatario può offrire alla banca mutuante sono

generiche, reali, personali e atipiche. L’ipoteca su beni immobili, il pegno su titoli e il

privilegio su impianti e macchinari sono garanzie reali, le quali concernono beni materiali. La

fideiussione, l’avallo e il mandato di credito sono garanzie personali, le quali sono rilasciate da

terze persone.

Un prestito bilaterale concesso ad un individuo potrebbe pure prendere la meno usuale

specie di mutuo chirografario con durata compresa tra 3 e 5 anni e garanzia personale insita

in un pagherò cambiario. L’eventuale garanzia accessoria può essere data da un avallo da

parte di un familiare o di un amico. La scadenza del pagherò cambiario è di poco successiva

alla scadenza del prestito.


53

Il tempo t sia misurato in anni e l’interesse sia composto al tasso i annuo effettivo. Il caso di

tasso fisso di interesse e rate annue è esaminato nel seguito; tuttavia, qualora si sostituisca i

con il tasso periodale mi , lo stesso procedimento matematico è applicabile al caso di m rate

periodiche all’anno. Il fine è di redigere il piano di ammortamento, una tabella che comprende

5 colonne, rispettivamente relative al tempo e agli andamenti temporali delle rate tR , della

quota di interesse tI , della quota di capitale tC , del debito residuo tD . Per cogliere tale fine,

si utilizzano le 3 seguenti equazioni

1−= tt iDI

secondo cui l’interesse dovuto per il t-imo anno (periodo) è funzione del debito residuo

all’inizio dell’anno (periodo),

ttt IRC −=

un’identità contabile, e

C DCDD ttt =−= − 0 1 con

secondo cui il pagamento della quota di capitale tC riduce il debito residuo 1−tD . Il piano di

ammortamento è compilato progressivamente, utilizzando più volte tali equazioni, partendo

dalla prima riga e spostandosi da una riga a quella immediatamente successiva. Per 1=t si ha:

iCiDI == 01 , iCRIRC −=−= 1111 , e quindi ( ) ( ) 11101 1 RCiiCRCCDD −+=−−=−= .

Ripetendo lo tesso procedimento dapprima per 2=t , poi per 3=t , etc., si otterrà la seguente

tabella quale risultato

tempo t, fine del t-imo anno

rata annua

tR interesse

tI quota capitale

tC debito residuo

tD

0 C 1 1R iCI =1 iCRC −= 11 ( ) 11 1 RCiD −+=

2 2R K K K

K K K K K n nR K K 0

Affinché 0=nD , vale a dire affinché il debito sia completamente rimborsato al tempo n, la

sequenza delle rate annue (periodiche) posticipate nRRR ;;; 21 K deve essere finanziariamente

equivalente al capitale mutuato CD =0 . Si può imporre questo vincolo in diverse maniere,

tutte equivalenti grazie all’uso dell’interesse composto. La più immediata è detta condizione di

chiusura iniziale e richiede che il valore attuale di tutte le rate, calcolato al tempo 0 e al tasso i,

sia uguale al capitale mutuato


54

( )∑=

− =+n

t

tt CiR

1

1

Come dimostrato nell’esercizio 19 punto c, quando la condizione di chiusura iniziale è

soddisfatta, tD è il valore attuale di tutte le rate residue per qualsiasi t, con nt ≤≤0 . E’ inoltre

immediato constatare che ( )tt CCCDD +++−= K210 . La prima è l’espressione prospettiva

più importante del debito residuo tD mentre la seconda è la sua espressione retrospettiva più

semplice.

Gli esercizi 20 e 23 riguardano l’ammortamento alla francese e l’ammortamento a rate

variabili , entrambi molto usati nella pratica. L’ammortamento alla francese prevede un tasso

fisso di interesse e rate costanti R, di modo che la condizione di chiusura iniziale si semplifica

così

CRa in =|

Inoltre, come dimostrato nell’esercizio 20 punto c, le quote di capitale crescono

esponenzialmente nel tempo secondo l’equazione ( ) 111 CiC t

t−+= . L’ammortamento a rate

variabili si basa sull’impiego di un tasso variabile di interesse. Secondo l’impostazione più

semplice e più comune, gli andamenti temporali delle quote di capitale e del debito residuo

sono stabiliti una volta per tutte al momento della stipula ( )0=t ; più precisamente, tutte le n

rate sono supposte costanti e determinate in modo che il loro valore attuale al tasso di interesse

iniziale sia uguale al capitale C dato in prestito. Il piano di ammortamento viene aggiornato nel

tempo; più precisamente, una nuova riga viene completata subito dopo un pagamento, quando si

rileva il nuovo tasso di interesse e si calcolano la quota di interesse e la rata per il successivo

periodo.

L’esercizio 21 concerne invece l’ammortamento all’ italiana, meno frequentemente usato

nella pratica. Esso prevede un tasso fisso di interesse e quote di capitale costanti C , di modo

che la condizione di chiusura elementare si semplifica così

∑=

==n

tt CCnC

1

Inoltre, come dimostrato al punto c, le quote di interesse e le rate decrescono linearmente nel

tempo, le prime secondo l’equazione ( )1+−= tnCiI t .

OSSERVAZIONE. Si consideri un mutuo immobiliare, concesso a un impiegato, il cui

piano di ammortamento alla francese preveda il pagamento di m rate periodiche costanti R


55

all’anno per m

n anni; per esempio, rate mensili costanti R per 15 anni ( )180 e 12 == nm . Si

ha allora CRa i =12|180 , dove il tasso contrattuale di interesse 12j , un tasso annuo nominale

convertibile m 12= volte all’anno, potrebbe essere pari al tasso swap a 15=m

n anni

prevalente al momento della stipula del mutuo immobiliare, aumentato del 3%.

Se, coeteris paribus, le rate mensili sono variabili , il tasso annuo nominale convertibile

mensilmente utilizzato per determinare la 1+t -ima quota di interesse mensile 1+tI , in

scadenza alla fine del 1+t -imo mese (per esempio, del tredicesimo mese), potrebbe essere pari

al tasso Euribor a 1 mese registratosi nell’ultimo giorno lavorativo del t-imo mese (per esempio,

del dodicesimo mese), sempre aumentato del 3%.

Alcune informazioni sui tassi swap e sui tassi Euribor sono date nella sezione 5.

OSSERVAZIONE. Nell’ultimo riquadro di questa sezione si propone un esempio realistico

di come commissioni e spese influiscano sul tasso di interesse applicato da una banca mutuante.

2.2. La locazione finanziaria (leasing)

Un’operazione di locazione finanziaria prevede che un’azienda locatrice presti a

un’azienda locataria un proprio bene strumentale o un proprio immobile nello spazio di tempo

[ ]n;0 contro il versamento di una sequenza di 1+n canoni periodici nRRRR ;;;; 210 L , fra i

quali 0R in via anticipata. Al termine dell’operazione l’azienda locataria può

• restituire il bene strumentale o l’immobile all’azienda locatrice, magari perché non più

confacente alle proprie esigenze;

• riscattarlo contro il versamento dell’importo R , pari a una percentuale del suo valore

0PV all’inizio dell’operazione;

• effettuare una nuova operazione di locazione finanziaria, magari con canoni ridotti

rispetto ai precedenti.

Sia mi il tasso periodale di interesse composto che regola l’operazione; si ha

( ) ( ) nm

n

t

tmt iRiRPV −

=

− +++=∑ 110

0

e quindi

( ) nmin iRRaRPV

m

−+++= 1|00


56

nel caso di canoni costanti R.

Le prime operazioni furono di leasing operativo, nelle quali l’azienda locatrice era pure la

casa costruttrice, che effettuava, per esempio, il prestito, di solito senza facoltà di riscatto, di

elaboratori elettronici, vale a dire di beni strumentali a alto contenuto tecnologico, forte

standardizzazione, rapida obsolescenza e elevato costo. Successivamente, presero piede le

operazioni di leasing finanziario, nelle quali l’azienda locatrice è un intermediario finanziario,

che si interpone tra aziende produttrici/fornitrici e aziende locatarie, effettuando un prestito con

facoltà di riscatto. Se il leasing è diretto , l’azienda locatrice compra, diciamo, un bene

strumentale da una società manifatturiera e poi lo presta a un’azienda locataria. Se il leasing è

sale and lease-back, l’azienda locataria vende, diciamo, un proprio immobile a un’azienda

locatrice e poi lo prende in prestito da quest’ultima.

OSSERVAZIONE. Una società può prendere in locazione una frazione del proprio parco

autovetture e camion, facendo effettuare la manutenzione dall’azienda locatrice specializzata.

Per far fronte a una domanda fluttuante, la maggior parte delle compagnie aeree prende in

locazione una frazione dei propri parchi aeroplani, stipulando dei contratti rescindibili ; le

aziende locatrici specializzate sono di solito in grado di prestare ancora ogni aeroplano che sia

loro restituito. Di conseguenza, è molto probabile che gli aeroplani posseduti dalle aziende

locatrici specializzate volino di più degli aeroplani posseduti dalle compagnie aeree.

Per l’intermediario finanziario operante in Italia, a un esborso iniziale 0PV per l’acquisto

del bene fa seguito una sequenza di incassi, i canoni nRRRR ;;;; 210 L e l’eventuale valore di

riscatto R . Il bene viene ammortato; ciascun canone è un ricavo mentre la differenza tra valore

di riscatto e valore contabile netto del bene è una plusvalenza (minusvalenza), se positiva

(negativa). Per l’azienda locataria i canoni nRRRR ;;;; 210 L sono costi fiscalmente deducibili,

se la durata dell’operazione non è inferiore a metà della durata economica del bene stabilita da

apposite tabelle ministeriali (Borroni-Oriani, 2008, sez. 3.4.2), mentre il valore di riscatto R è

un investimento suscettibile di ammortamento.

Le 2 equazioni più sopra consentono

• all’intermediario finanziario di determinare i canoni in funzione del tasso periodale di

interesse mi , qualora possa rivendere il bene al valore di riscatto R , nel caso esso sia

restituito dall’azienda locataria. Ciò può essere previsto da una particolare clausola del


57

contratto di compravendita originariamente stipulato con l’azienda produttrice/fornitrice.

In alcuni casi, il valore di riscatto R è una piccola percentuale di 0PV ;

• alla potenziale azienda locataria di determinare il tasso periodale di interesse mi in

funzione dei canoni. Tale tasso non può essere direttamente confrontato con quello di un

prestito bancario da contrarre per l’acquisto del bene; bisogna infatti tenere conto del

diverso trattamento fiscale dei canoni di una locazione finanziaria e delle rate di un

prestito bancario, il quale consente pure l’ammortamento del bene da parte dell’azienda

acquirente. Un procedimento di comparazione delle 2 alternative è riportato in Benninga

(2000, cap. 5).

Esempio 12. Un nuovo capannone industriale del valore di €1.500.000 è prestato da

un’azienda locatrice a un’azienda locataria per 15 anni contro il versamento di un canone

anticipato, pari al 20% del valore del capannone, come pure di una sequenza di canoni

trimestrali, costanti e posticipati. Il tasso nominale di interesse applicato dall’azienda locatrice

è del 5% annuo convertibile trimestralmente. L’azienda locataria può riscattare il capannone

alla scadenza della locazione finanziaria, versando un importo pari al 10% del valore iniziale

del capannone. Si trovino a) il canone trimestrale costante; b) il debito residuo dopo 5 anni.

Svolgimento. Il tempo sia misurato in trimestri e 0 sia l’istante di valutazione. Il tasso di

interesse trimestrale equivalente è %.25,14

%54 ==i

a) Si ha

( ) nin iRRaRPV −+++= 4|00 14

dove 611 =+n è il numero dei canoni, € 000.500.10 =PV è il valore del capannone,

€ 000.3002,0 00 == PVR è il canone anticipato, R è il canone trimestrale incognito e

€ 000.1501,0 0 == PVR è il valore di riscatto. Risolvendo la precedente equazione

nell’incognita R si ricava

( )€ 4385426

1

4

400 ,.a

iRRPVR

n|i

n=+−−=

−

b) Sia 20D il debito residuo dopo 20 trimestri. Si ha

( ) € 935289321 4044020 4

,.iRRaD |i =++= −

Si tenga presente che nel caso di una locazione finanziaria, ciascun canone non può essere

suddiviso in quota di interesse e quota di capitale.


58

Esercizio 18. Un prestito di €500.000 viene rimborsato in 7 anni pagando 84 rate posticipate

con cadenza mensile; a una fase biennale di pre-ammortamento, nella quale ogni rata è pari

alla quota di interesse, fa seguito una fase quinquennale di ammortamento alla francese.

Durante il pre-ammortamento la rata mensile è minore di modo che il debitore ha tempo per

accrescere il proprio reddito. Sulla base di un tasso nominale di interesse del 6% annuo

convertibile mensilmente si trovino

a) le rate di pre-ammortamento e di ammortamento;

b) il debito residuo subito dopo il pagamento della 48ma rata.

Si supponga che subito dopo il pagamento della 48ma rata la durata del prestito sia allungata

di 2 anni in modo da ridurre la rata di ammortamento. Sulla base dell’originario tasso di

interesse si trovi

c) la nuova rata di ammortamento.

Soluzione.

a) Poiché l’equivalente tasso di interesse mensile è %5,012

%612 ==i , ciascuna delle 24 rate

mensili di pre-ammortamento è pari a

€ ,00005.2005,0*000500 =.

mentre ciascuna delle 60 rate mensili di ammortamento è pari a

€ 9.666,40000500

5060=

%,|a

.

b) Il debito residuo subito dopo il 48mo pagamento è

€ 317.744,39406669 5036 a,. %,| =

vale a dire il valore attuale a quel tempo di tutte le 36 rimanenti rate.

c) Affinché il debito residuo non vari, la nuova rata di ammortamento deve valere

€ 6.142,89317.744,39

5060=

%,|a

Esercizio 19. Un individuo ha bisogno di un ideale prestito bancario. Vorrebbe rimborsarlo

in 3 anni e ritiene di poter versare €14.580 alla fine del primo e del secondo anno, €25.194,24

alla fine del terzo anno. Il tasso di interesse è dell’8% annuo effettivo.

a) Quale capitale può richiedere?

b) Si rediga il piano di ammortamento.


59

c) Con riferimento a un piano di ammortamento del tipo in esame si dimostri che la condizione

di chiusura iniziale, vale a dire debito residuo pari al valore attuale di tutte le (rimanenti)

rate future è soddisfatta in ogni istante.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di valutazione.

a) In virtù delle condizione di chiusura iniziale, il capitale incognito C è pari al valore attuale

al tempo 0 di tutte le rate

€ 000.4608,1

24,194.25

08,1

580.14

08,1

580.1432

=++=C

b) Il piano di ammortamento è riportato nella seguente tabella

tempo t, fine del t-imo anno

rata annua

tR quota interesse

108,0 −= tt DI quota capitale

ttt IRC −= debito residuo

ttt CDD −= −1

0 46.000 1 14.580 3.680 10.900 35.100 2 14.580 2.808 11.772 23.328 3 25.194,24 1.866,24 23.328 0

Per compilare la tabella si pone 1=t ; dato € 000.460 =D si calcola

€ 680.308,0 01 == DI e poi € 900.10111 =−= IRC ottenendo infine

€ 100.35101 =−= CDD . A questo punto si può ripetere il procedimento, dapprima per

2=t e poi per 3=t .

c) Sia ancora C il capitale prestato e sia i il tasso annuo effettivo applicato. L’intera sequenza

delle rate compare nel seguente diagramma

C− 1R 2R tR nR

0 1 2 L t L n

A causa della scindibilità, il versamento 1R al tempo 1 è, per esempio, equivalente al

versamento del suo montante ( ) 111 ti R−+ al tempo t; ne consegue che il debito residuo tD

al tempo t è pure uguale alla differenza tra il montante al tempo t del debito iniziale 0D e il

montante al tempo t di tutte le rate in scadenza tra il tempo 0 e il tempo t. Pertanto si ha


60

=tD ( ) ( ) ( )1 20 1 21 1 1t t t

ti D i R i R R− − + − + + + + + = K

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 2 1 21 1 1 1 1 1t n t t

n ti i R i R i R i R i R R− − − − − = + + + + + + + − + + + + + = K K

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 21 1 1 21 1 1 1 1t n t t t

t t n ti R R i R i R i R i R R− − − − − −+

= + + + + + + + + − + + + + + = K K K

( ) ( ) ( ) ( )1 21 21 1 1 n t

t t ni R i R i R− − − −+ +

= + + + + + +

K

e quindi che il debito residuo tD al tempo t è pure pari al valore attuale al tempo t di tutte le

rate in scadenza tra il tempo 1t + e il tempo n.

Esercizio 20. Un prestito di €16.000 viene rimborsato in 1 anno versando rate costanti

trimestrali posticipate, calcolate sulla base di un tasso nominale di interesse dell’8% annuo

convertibile trimestralmente.

a) Si determini il tasso annuo effettivo del prestito e si stenda il piano di ammortamento alla

francese.

b) Si considerino le rate rimanenti subito dopo il secondo versamento; si estragga il loro valore

attuale dal piano di ammortamento.

c) Si dimostri che le quote di capitale crescono nel tempo in modo esponenziale.

d) Si mostri come la quota di capitale e la quota di interesse possano essere calcolate in un

qualsiasi istante t senza fare uso di un piano di ammortamento.

Soluzione.

a) Il tempo t sia misurato in trimestri . Il tasso di interesse trimestrale equivalente è

%24

%84 ==i

mentre il tasso annuo effettivo è

%243,8108243,1102,1 4 =−=−=i

Poiché, in virtù della condizione di chiusura iniziale, l’importo prestato è il valore attuale

al tempo 0 di tutte le rate previste dal contratto: %|Ra. 2400016 = , la rata trimestrale

posticipata è pari a

€ 4.201,9800016

24==

%|a

.R

Il piano di ammortamento alla francese è riportato nella seguente tabella. Per compilarla si

pone 1=t ; dato € 000.160 =D si calcola € 32002,0 01 == DI e poi

€ 98,881.311 =−= IRC ottenendo infine € 02,118.12101 =−= CDD . A questo punto si


61

può ripetere il procedimento, dapprima per 2=t , successivamente per 3=t e infine per

4t = .

tempo t, fine del t-imo trimestre

rata trimestrale R

quota interesse

14 −= tt DiI quota capitale

tt IRC −= debito residuo

ttt CDD −= −1

0 16.000,00 1 4.201,98 320,00 3.881,98 12.118,02 2 4.201,98 242,36 3.959,62 8.158,40 3 4.201,98 163,17 4.038,81 4.119,59 4 4.201,98 82,39 4.119,59 0,00

b) A causa della scindibilità il debito residuo tD al tempo t è pure uguale alla differenza tra il

montante al tempo t del debito iniziale 0D e il montante al tempo t di tutte le rate in

scadenza tra il tempo 0 e il tempo t; pertanto si ha

( ) ( ) ( )4444444 ||||||4|04 11 itnititnititin

tit

tt RaRsasRRsRaiRsDiD −− =−+=−+=−+=

e quindi che la condizione di chiusura iniziale, vale a dire debito residuotD pari al valore

attuale al tempo t di tutte le rimanenti rate future, è soddisfatta in ogni istante t. Il valore

attuale cercato è dunque € 4015882 ,.D = .

c) Si rammenta che R è la rata costante, tI e tC sono le quote di interesse e di capitale in

scadenza al tempo t, tD è il debito residuo al tempo t. Da 1 1 t t t tC I R C I+ ++ = = + si

ottiene ( ) 1414141 −−++ +=−+=+ ttttttt DiCCDiCDiC e quindi ( )1 41t tC i C+ = + . Poiché la

soluzione dell’ultima equazione è ( ) 11 41 t

tC C i −= + ¸ le quote di capitale crescono nel tempo

in modo esponenziale. Ciò si dimostra utile per rilevare eventuali errori di calcolo; per

esempio, nella precedente tabella si ha ( ) 13

44 1 CiC += , vale a dire

988813021591194 3 ,.*,,. = , come richiesto dalla teoria.

d) Poiché le quote di capitale crescono nel tempo in modo esponenziale, si ha

( ) 11

41 CiC tt

−+=

tt CRI −=

dove 11 IRC −= e CiDiI 4041 == .

Esercizio 21. Un prestito di €16.000 viene rimborsato in 1 anno versando quote di capitale

costanti trimestrali posticipate, calcolate sulla base di un tasso nominale di interesse dell’8%

annuo convertibile trimestralmente.


62

a) Si stenda il piano di ammortamento all’italiana.

b) Si considerino le rate rimanenti subito dopo il terzo versamento; si estragga il loro valore

attuale dal piano di ammortamento.

c) Si dimostri che le quote di interesse decrescono nel tempo in modo lineare.

Soluzione.

a) Il tempo t sia misurato in trimestri . Poiché, in virtù delle condizione di chiusura

elementare, l’importo prestato è pari alla somma di tutte le quote di capitale

CCCCC 4000.16 4321 =+++=

la quote di capitale trimestrale posticipata è pari a

€ 4.0004

00016 == .C

Il piano di ammortamento all’italiana è riportato nella seguente tabella. Per compilarla si

pone 1=t ; dato € 000.160 =D si calcola € 32002,0 01 == DI e poi € 320.411 =+= ICR

come pure € 000.1201 =−= CDD . A questo punto si può ripetere il procedimento,

dapprima per 2=t , poi per 3=t e infine per 4t = .

tempo t, fine del t-imo trimestre

quota capitale

C

quota interesse

14 −= tt DiI rata trimestrale

tt ICR += debito residuo

CDD tt −= −1

0 16.000 1 4.000 320 4.320 12.000 2 4.000 240 4.240 8.000 3 4.000 160 4.160 4.000 4 4.000 80 4.080 0

b) Dall’equazione ttt CDD −= −1 si trae ( ) ( ) tttttt RDiIRDD −+=−−= −− 141 1 e quindi

l’equazione 4

1 1 i

RDD tt

t ++=− . Procedendo a ritroso nel tempo, si ricava la successione finita

( )( )

+==+

++

=+

== ∑=

−−−−

n

t

tt

nnn

nnn iRCD

i

R

i

RD

i

RDD

1402

44

12

41 1;;

11;

1;0 L

La condizione di chiusura elementare implica quindi quella iniziale; poiché quest’ultima è

soddisfatta in ogni istante t, il valore attuale cercato è € 4.0003 =D .

c) Si rammenta che C è la quota di capitale costante, tI e tR sono la quota di interesse e la

rata in scadenza al tempo t, tD è il debito residuo al tempo t. Da CDD tt −= −1 si ottiene

tCCtCDDt −=−= 0 e quindi ( )tnCDt −= come pure

−=n

tnCDt . Poiché si ha


63

inoltre ( )1414 +−== − tnCiDiI tt , le quote di interesse e quindi le rate decrescono nel

tempo in modo lineare. Ciò si dimostra utile per rilevare eventuali errori di calcolo; per

esempio, nella precedente tabella si ha 2*43 CiI = , vale a dire 2*000.4*02,0160= , come

richiesto dalla teoria.

OSSERVAZIONE. I prestiti dei 2 esercizi precedenti differiscono solo per il metodo di

ammortamento, alla francese nell’esercizio 20 e all’italiana nell’esercizio 21. Avvalendosi della

nozione di funzione convessa, si dimostra agevolmente che, in tale caso, all’ammortamento

all’italiana sono associati

• una maggiore rata iniziale 1R e una minore rata finale nR ;

• un minore interesse totale. Infatti, come si evince dal confronto dei 2 piani di

ammortamento, per 1=t la quota di interesse all’italiana è uguale alla quota di interesse

alla francese, mentre per nt ≤<1 ciascuna quota di interesse all’italiana è minore della

corrispondente quota di interesse alla francese (suggerimento: si ha 4|itnRa

n

tnC −<

−

per nt <≤1 ).

Esercizio 22. Un bene durevole avente valore pari a C sia acquistato pagandolo ratealmente.

A un anticipo pari a 0R facciano seguito n rate costanti posticipate, aventi cadenza m, calcolate

sulla base di un tasso annuo di sconto commerciale d tale che n

md < .

a) Si determini la rata costante R in funzione di 0R , n, m e d.

b) Si spieghi come si possa stendere il piano di ammortamento.

Soluzione. Il tempo t sia misurato in m

1 anni.

a) In virtù delle condizione di chiusura iniziale, l’importo prestato 0RC − è il valore attuale al

tempo 0 di tutte le n rate

∑=

−=−n

k

km

dRRC

10 1

Si dimostra mediante induzione matematica che

( )

+−=

+−=−2

11

2

10

n

m

dRn

nn

m

dnRRC

da cui si trae


64

+−

−=

2

11

0

n

m

dn

RCR

b) Se l’acquirente fosse un consumatore, il venditore sarebbe obbligato a dichiarare il tasso

annuo nominale mm mij = , convertibile m volte all’anno, della rateazione; esso andrebbe

determinato risolvendo per via numerica l’equazione minRaRC |0 =− . Sarebbe allora

opportuno stendere il piano di ammortamento alla francese. Nulla vieta alla persona fisica

diversa dal consumatore o alla persona giuridica di calcolare mj per proprio conto,

accertando così che mjd < , ovvero la presenza di uno specchietto per le allodole.

Esercizio 23. Un prestito a tasso variabile di €34.000 viene rimborsato in 2 anni mediante il

versamento di rate semestrali posticipate.

a) Applicando l’ammortamento alla francese, si trovi la prima rata semestrale sulla base di un

tasso nominale di interesse del 6% annuo convertibile semestralmente.

b) Si trovino gli andamenti temporali delle quote di capitale e del debito residuo.

Si supponga che il tasso nominale di interesse sia aggiornato una sola volta al 6,50% annuo

convertibile semestralmente, subito dopo il secondo versamento.

c) Si completi il piano di ammortamento.

Soluzione. Il tempo t sia misurato in semestri.

a) Poiché il primo tasso di interesse trimestrale equivalente è

%32

%61;02 ==i

la prima rata semestrale vale

€ 9.146,9200034

341 ==

%|a

.R

b) Gli andamenti temporali delle quote di capitale e del debito residuo sono riportati nella

seguente tabella. Per compilarla si pone 1=t ; dato € 000.340 =D si calcola

€ 020.103,0 01 == DI e poi € 92,126.811 =−= IRC ottenendo infine

€ 08,873.25101 =−= CDD . Nel caso dell’ammortamento alla francese le quote di capitale

crescono nel tempo in modo esponenziale, come già dimostrato nell’esercizio 20 punto c; si

ha dunque tt CC 03,11 =+ .


65

tempo t, fine del t-imo semestre

rata semestrale

tR quota interesse

tI quota capitale

tC debito residuo

ttt CDD −= −1

0 34.000,00 1 9.146,92 1.020,00 8.126,92 25.873,08 2 8.370,73 17.502,35 3 8.621,85 8.880,50 4 8.880,50 0,00

c) Il piano di ammortamento è riportato nella seguente tabella, dove %32;121;02 == ii e

%25,34;323;22 == ii . Si osservi che %3%25,3 > comporta che 213 RRR => ; in altre

parole, a un aumento (una diminuzione) del tasso semestrale di interesse corrisponde un

aumento (una diminuzione) della rata semestrale, come suggerito dall’intuizione.


rata semestrale

ttt ICR += quota interesse

112 −−= t;ttt DiI quota capitale

tC debito residuo

ttt CDD −= −1

0 34.000,00 1 9.146,92 1.020,00 8.126,92 25.873,08 2 9.146,92 776,19 8.370,73 17.502,35 3 9.190,68 568,83 8.621,85 8.880,50 4 9.169,12 288,62 8.880,50 0,00

OSSERVAZIONE. Affinché il debito residuo tD sia il valore attuale al tempo t e al tasso

periodale 1; +ttmi di tutte le tn − rate residue ntt RRR ;;; 21 L++ , occorre seguire un approccio

teoricamente più saldo, secondo il quale gli andamenti temporali delle quote di capitale e del

debito residuo non sono stabiliti una volta per tutte al momento della stipula. La rata 1+tR come

pure la sua ripartizione in quota di interesse 1+tI e quota di capitale 1+tC sono calcolate al

momento della stipula ( )0=t come pure ad ogni tempo di aggiornamento, subito dopo un

pagamento. Nel fare ciò tutte le rimanenti rate sono supposte costanti e determinate in modo

che il loro valore attuale al nuovo tasso di interesse 1;1 +−+ ttm it|nt aR sia pari al debito residuo

( )tt CCCCD +++−= L21 riportato nella precedente riga del piano di ammortamento.

Esercizio 24. Una società a partecipazione pubblica gestisca un inceneritore da rimodernare.

Per finanziare tale operazione, essa prenda in prestito un capitale di €20 milioni, stipulando un

mutuo ipotecario a tasso variabile della durata di 6,5 anni da rimborsare mediante il

versamento di rate semestrali posticipate indicizzate allo Euribor a 6 mesi aumentato del 4,5%.


66

Nel seguente diagramma è riportato l’andamento delle quote di capitale espresse come

percentuale del prestito lordo

% 5 5 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 9 9 2 semestre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

esso è coerente con le esigenze finanziarie della società mutuataria. Si stendano le prime 3 righe

del piano di ammortamento nell’ipotesi che le prime 3 rilevazioni dello Euribor a 6 mesi siano

0,5%, 0,7% , 0,5% e ogni mese abbia 30 giorni.

Soluzione. Il tempo t sia misurato in semestri. Siano € 000.000.200 =D e

%5,22

%5,4%5,01;02 =+=i , %6,2

2

%5,4%7,02;12 =+=i , %5,2

2

%5,4%5,03;22 =+=i

i primi 3 tassi semestrali di interesse applicati dalla banca mutuante.

Le quote di capitale assegnate soddisfano la condizione di chiusura elementare; si ha infatti

( ) 000.000.20000.000.20*1000.000.2002,02*09,08*0875,02*05,0 ==+++

Il piano di ammortamento è riportato nella seguente tabella


rata semestrale

ttt ICR += quota interesse

112 −−= t;ttt DiI quota capitale

tC debito residuo

ttt CDD −= −1

0 20.000.000 1 1.500.000 500.000 1.000.000 19.000.000 2 1.494.000 494.000 1.000.000 18.000.000 3 2.200.000 450.000 1.750.000 16.250.000

Esercizio 25. Un prestito di €200.000 viene rimborsato in 10 anni pagando rate annue

costanti posticipate, calcolate sulla base di un tasso di interesse del 4% annuo effettivo. Subito

dopo il 7imo pagamento il debitore prende in considerazione l’estinzione anticipata del debito.

Egli deve scegliere la migliore tra le 2 alternative

a) estinzione anticipata del debito mediante pagamento del 101% del debito residuo;

b) versamento del medesimo importo in un fondo remunerato al tasso del 6% annuo effettivo.

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni.

a) La rata annua vale

€ 24.658,19000200

410==

%|a

.R

Poiché il debito residuo subito dopo il 7imo pagamento è il valore attuale delle 3 rimanenti

rate


67

€ 68.428,72437 == %|RaD

l’estinzione anticipata richiede un esborso di € 69.113,0101,1 7 =D .

b) Se subito dopo il 7imo pagamento un importo € 65.911,64637 == %|RaF fosse collocato in

un fondo remunerato al tasso del 6% annuo effettivo, tutte le rimanenti rate potrebbero

essere pagate attingendo dal fondo F, che evolverebbe secondo l’equazione

RFF tt −=+ 06,11

la quale comporta che ttt DDF 01,1<< per 9,8,7=t come pure 01010 == DF . Tuttavia,

siccome l’iniziale versamento sarà maggiore e pari a €69.113,01, il surplus

€ 3.201,37011 77 =− FD, si trasformerà in un montante di € 3.812,881,06*3.201,37 3 =

subito dopo il 10imopagamento.

Pertanto, l’estinzione anticipata del debito è la peggiore alternativa, in quanto non genera

alcun montante.

Esercizio 26. Un’automobile del valore di €50.000 è prestata per n mesi. Il locatario è

disposto a versare un canone anticipato, pari al 10% del valore dell’automobile, come pure una

sequenza di canoni mensili posticipati, ciascuno non maggiore di €775. Inoltre, egli comprerà

verosimilmente l’automobile alla scadenza della locazione finanziaria, versando un importo

pari all’1% del valore iniziale dell’automobile. Il tasso nominale di interesse applicato

dall’azienda locatrice è del 4,80% annuo convertibile mensilmente. Si trovi la durata della

locazione finanziaria.

Soluzione. Il tempo sia misurato in mesi e 0 sia l’istante di valutazione. Il tasso di interesse

mensile equivalente è %.40,012

%80,412 ==i

Si ha

( ) ( ) nn

iRi

iRRPV −

−+++−+= 12

12

1200 1

11

dove 1+n è il numero incognito dei canoni, € 000.500 =PV è il valore dell’automobile,

€ 000.51,0 00 == PVR è il canone anticipato, € 775=R è il massimo canone mensile

posticipato e € 50001,0 0 == PVR è il valore di riscatto. Risolvendo la precedente equazione

nell’incognita n si ricava


68

( )00

12

12121

PVRi

R

Ri

R

i n

−+

−=+ e quindi ( ) 65,56

1ln

1ln

1200

12

12 =+

−+

−=

iPVRi

R

Ri

R

n

Pertanto, 66=n canoni mensili posticipati, ciascuno pari a

€ 497700041

4066

6600 ,a

,*RRPVR

%,|=−−=

−

devono essere versati in uno spazio di tempo di 5 anni e 6 mesi.

2.3. Legislazione italiana sul credito al consumo e sui mutui ipotecari

Come spiegato in McCutcheon-Scott (1986, pag. 255), “nel recente passato i governi di vari

paesi hanno approvato leggi indirizzate a rendere le persone

a) che prendono in prestito denaro;

b) o comprano beni o servizi con pagamento rateale;

più consapevoli del vero costo del credito, consentendo loro pure di confrontare i veri tassi di

interesse impliciti nei vari schemi di prestito. Esempi di tali leggi sono il Consumer Credit Act

del 1974 (UK) e il Consumer Credit Protection Act del 1968 (USA). … Le regole contenute nel

Consumer Credit Act del 1974 stabiliscono quali elementi vadano considerati come parte delle

spese totali per l’ottenimento del credito e come il tasso di interesse applicato debba essere

calcolato. Il tasso, chiamato APR (annual percentual rate of charge), è definito come il tasso

annuo effettivo di interesse composto della transazione, ottenuto risolvendo l’opportuna

equazione (del valore), tenendo conto di tutti gli elementi costituenti le spese totali per il

credito. Le spese totali per il credito e l’APR devono essere dichiarati nelle pubblicità e nel

proporre contratti di credito al consumo.”

Anche in Italia, nella pubblicità e nei contratti, per esempio di

• acquisto con pagamento dilazionato o rateale (per esempio, di un autoveicolo, di

mobili, o di elettrodomestici) da parte di un consumatore, vale a dire di “una persona

fisica che accede al credito per scopi estranei all’attività imprenditoriale o professionale

eventualmente svolta”;

• prestito per esigenze finanziarie diverse a favore di un consumatore;

• mutuo ipotecario a favore di una persona fisica o di una persona giuridica;

devono essere dichiarati 2 diversi indicatori, denominati TAN (tasso annuo nominale) e TAEG

(tasso annuo effettivo globale) nei primi due casi, TAN e ISC (indicatore sintetico di costo) nel

terzo caso. Ciò discende dall’emanazione


69

• della legge 142 del 19/2/1992 contenente, fra l’altro, norme sul credito al consumo,

sancite in recepimento delle 2 direttive della CEE (oggi UE) 87/102/CEE e 90/88/CEE;

• della legge 154 del 17/2/1992 sulla trasparenza in materia di operazioni e servizi

finanziari;

• del decreto del ministro del Tesoro dell’8/7/1992 e del provvedimento del governatore

della Banca d’Italia del 24/5/1992 in attuazione della legge 154 del 17/2/1992;

• del decreto legislativo 385 del 1/9/1993, il testo unico della banca e del credito, come

pure del decreto legislativo 58 del 24/2/1998, il testo unico dell’intermediazione

finanziaria . Il primo testo unico abroga le norme pertinenti contenute nelle prime 2 leggi

dell’elenco;

• del decreto del comitato interministeriale per il Credito ed il risparmio del 4/3/2003 e del

conseguente provvedimento di attuazione del governatore della Banca d’Italia del

25/7/2003;

• di successivi aggiornamenti come pure di ulteriori provvedimenti.

Tra gli ulteriori provvedimenti figura la legge 108 del 7/3/1996 sulla lotta all’usura , che pone

un tetto al tasso di interesse applicato a un prestito. Più precisamente, all’inizio di ogni

trimestre il ministero del Tesoro rileva, attraverso la Banca d’Italia, il tasso (annuo) effettivo

globale medio, comprensivo di ogni commissione e spesa, imposte e tasse escluse, applicato da

banche e intermediari finanziari nel corso del precedente trimestre ai prestiti della stessa

categoria. I diversi tassi (annui) effettivi globali medi sono pubblicati nella Gazzetta Ufficiale

entro la fine del trimestre di rilevazione; una volta aumentati della metà, costituiscono il limite

oltre il quale si configura il reato di usura nel successivo trimestre. Se, per ipotesi, sono

convenuti interessi usurari, la clausola è nulla e gli interessi sono dovuti solo nella misura

legale.

OSSERVAZIONE. Le operazioni di credito al consumo hanno durata usualmente

compresa tra i 2 e i 5 anni e importo non superiore a €31.000, mentre i mutui ipotecari hanno

durata usualmente compresa tra i 7 e i 20 anni. Come spiegato in Borroni-Oriani (2008, sez.

3.4.3), il credito al consumo è concesso in assenza di garanzie reali; tuttavia, può assumere la

specie di mutuo chirografario , può prevedere una fidejussione, oppure il rischio di credito

può essere mitigato mediante la cessione del quinto dello stipendio o della pensione,

direttamente versato dal datore di lavoro o dall’ente previdenziale del debitore all’intermediario

finanziario. In tal caso, il rischio di infortunio, morte e perdita del lavoro va opportunamente

coperto.


70

Definizione. Il TAN è il tasso interno annuo (di interesse composto) dell’operazione

calcolato sull’importo lordo del prestito. Esso determina, in funzione del capitale prestato e

della durata del prestito, la quota di interesse e la quota di capitale di ciascuna rata presente nel

piano di ammortamento. Nello stabilire il TAN , l’intermediario finanziario tiene conto sia del

rischio di tasso sia del rischio di credito.

Definizione. Il TAEG/ISC è il tasso interno annuo (di interesse composto) dell’operazione

qualora si tenga conto che sul debitore gravano pure oneri accessori quali spese di istruttoria e

di apertura pratica come pure eventuali spese di perizia e di assicurazione, se quest’ultima è

richiesta dalla banca o dall’intermediario finanziario. Le spese di istruttoria e apertura pratica

(di perizia) sono sostenute dalla banca o dall’intermediario finanziario per valutare e gestire la

domanda di finanziamento (per valutare la garanzia reale). Tasse e imposte non vanno prese in

considerazione.

Il TAEG/ISC va indicato con 2 cifre decimali, mentre tutti i passaggi intermedi vanno eseguiti

con una precisione di almeno 8 cifre decimali; la regola per il calcolo dei giorni è effettivi/365.

OSSERVAZIONE. Il contratto di mutuo ipotecario va stipulato in Italia come atto pubblico

davanti a un notaio, il quale provvede pure all’iscrizione dell’ipoteca presso la Conservatoria

dei registri immobiliari e, eventualmente, alla sua cancellazione, sulla scorta di una lettera di

assenso della banca mutuante. L’ipoteca ha una durata legale di 20 anni. Diverse ipoteche a

garanzia di diversi creditori possono essere iscritte sullo stesso immobile; alla prima ipoteca in

ordine di tempo corrispondono il primo grado e quindi la massima priorità in caso di esproprio

e vendita dell’immobile. Nel calcolare l’ISC non si può tenere conto di tali spese notarili.

Esempio 13. Un mutuo ipotecario di €250.000, stipulato da una famiglia per l’acquisto

della propria abitazione, deve essere ripagato in 20 anni attraverso il versamento di 240 rate

mensili costanti posticipate, ciascuna pari a €1.541,43. Inoltre, al momento dell’erogazione del

prestito la famiglia mutuataria versa alla banca mutuante: le spese di istruttoria pari a €875

(0,35% dell’ammontare del mutuo), le spese di perizia pari a €500, l’imposta sostitutiva pari a

€625 (0,25% dell’ammontare del mutuo; per un immobile diverso dalla prima casa, l’aliquota

fiscale sarebbe stata del 2%). Per determinare TAN e ISC del mutuo bancario in esame, si

sceglie il mese quale unità di tempo per poi procedere nel modo seguente.


71

Svolgimento. Per ricavare il TAN i si calcola dapprima il tasso mensile di interesse

composto 12i che soddisfa l’equazione

12|24043,541.1000.250 ia=

secondo la quale il prestito lordo al momento dell’erogazione è pari al valore attuale di tutte le

rate contrattuali. Il TAN (convertibile mensilmente) è allora pari a 12*12ii = ; avvalendosi

della procedura iterativa incorporata in un foglio elettronico si ricava %35,012 =i e

%20,4=i .

Per ricavare l’ISC i si calcola dapprima, con la dovuta precisione, il tasso mensile di

interesse composto 12i che soddisfa l’equazione

12|24043,541.1625.248500875000.250 ia==−−

secondo la quale il prestito al lordo delle imposte al momento dell’erogazione è pari al valore

attuale di tutte le rate contrattuali (un’eventuale spesa di incasso della rata, per esempio €2,

andrebbe sommata alla corrispondente rata). Il prestito netto ammonta invece a

€ 000.248625500875000.250 =−−− . L’ ISC è allora pari a ( ) 11 1212 −+= ii ; avvalendosi

della procedura iterativa incorporata in un foglio elettronico si ricava %355,012 =i e quindi

%35,4=i .

OSSERVAZIONE. Per la banca, a un solo esborso fanno seguito diversi incassi; pertanto,

come spiegato nella sezione 3, il tasso interno di interesse determinato nei 2 casi è unico.

Negli esercizi 27 e 28 si calcolano, rispettivamente, il TAEG di un prestito per esigenze

finanziarie diverse e il TAEG di un acquisto con pagamento rateale.

&——&——&

Esercizio 27. Una banca conceda a un pensionato un prestito per esigenze finanziarie

diverse di €11.000 contro cessione di un quinto della sua pensione. Il piano di ammortamento

preveda il pagamento di 48 rate mensili costanti posticipate, calcolate sulla base di un TAN del

5,40%. Al momento dell’erogazione del prestito il pensionato deve versare alla banca

finanziante: le spese di istruzione della pratica pari a €120, il premio unico dell’obbligatoria

assicurazione sulla vita pari a €880. Il pensionato paga pure la parcella della visita medica

preliminare alla stipula della polizza assicurativa. Si determini il TAEG riportato nel contratto

sottoscritto dal pensionato.


72

Soluzione. Il tempo t sia misurato in mesi, i rappresenti il TAEG incognito e 12i il tasso

mensile equivalente. La rata mensile posticipata vale

€ ,6120900011

%45,048==

|a

.R

Dall’equazione

12|4861,209000.10880120000.11 ia==−−

si trae dapprima, avvalendosi della procedura iterativa incorporata in un foglio elettronico,

%785,012 =i . Procedendo con la dovuta precisione, si ricava poi ( ) %83,911 1212 =−+= ii . Il

prestito netto ammonta a € 000.10880120000.11 =−− .

Esercizio 28. Un impiegato acquisti un’utilitaria al prezzo omnicomprensivo di €16.250

pagandola ratealmente. A un anticipo di €6.250 fanno seguito 48 rate mensili posticipate;

calcolate sulla base di un TAN del 4,50%. Le spese di apertura pratica sono pari a €300, la

spesa di incasso di ciascuna rata è pari a €3 mentre l’imposta di bollo è di €24. Poiché

l’ammontare della rata mensile non deve superare il 33% dello stipendio, l’impiegato consegna

al concessionario una copia della sua più recente busta paga; inoltre, prima di concedere il

prestito, la società finanziaria del gruppo automobilistico accerta il suo grado di indebitamento

e la sua correttezza. Si determini il TAEG riportato nel contratto sottoscritto dall’impiegato.

Soluzione. Il tempo t sia misurato in mesi, i rappresenti il TAEG incognito e 12i il tasso

mensile equivalente. La rata mensile posticipata vale

€ ,0322800010

%375,048==

|a

.R

Dall’equazione

( )12|48303,228300000.10 ia+=− ovvero

12|4803,331700.9 ia=

si trae dapprima, avvalendosi della procedura iterativa incorporata in un foglio elettronico,

%560,012 =i . Procedendo con la dovuta precisione, si ricava poi ( ) %93,611 1212 =−+= ii . Il

prestito netto ammonta a € 676.924300000.10 =−− di modo che il pagamento iniziale è pari

a € 574.6324250.6 =+ .


73

3. Valutazione degli investimenti reali

3.1. Sull’uso dei bilanci pro-forma.

Una società manifatturiera può intraprendere un certo investimento reale per differenti

ragioni; per esempio, una fabbrica può essere realizzata in una località straniera per accrescere

il fatturato, poiché il paese straniero è un interessante mercato, o per ridurre i costi di

produzione, poiché il paese straniero offre una capace manodopera a buon mercato e/o una

favorevole tassazione, o per acquisire competenze, poiché il distretto della fabbrica è

tecnologicamente avanzato. Più in generale, le prestazioni dirigenziale, tecnica, commerciale

e finanziaria della società manifatturiera conseguono dall’attuazione di una strategia

competitiva, la quale, a sua volta, deve essere coerente con la struttura del settore

industriale.

Ad ogni modo, quando si tratta di valutare un progetto di investimento reale da parte di una

società, si deve tenere conto di molti e diversi aspetti attraverso un’esaustiva analisi, la cui

presentazione esula dagli scopi di questa dispensa. Basta qui rammentare che occorre coerenza

tra passato e futuro della società, vale a dire tra le competenze dirigenziali, tecniche e

commerciali come pure i risultati finanziari da un lato e la strategia competitiva dall’altro, che

a sua volta deve essere coerente con i piani di attuazione. Naturalmente, la valutazione

finanziaria fa parte dell’analisi e si basa su una sequenza di bilanci pro-forma, ottenuti

utilizzando il piano di mercato e il piano operativo come fonti di dati, per quanto concerne

rispettivamente i ricavi e i costi. Qualora si stenda un piano d’impresa, una sua sezione deve

riguardare la simulazione dei bilanci. Una schematica delineazione di tale metodo è proposta

più avanti in questo riquadro; il lettore interessato può consultare Benninga-Sarig (1997) per

una più completa presentazione.

Ogni bilancio comprende due costrutti, un conto economico e uno stato patrimoniale

semplificati, che sono simulati per alcuni futuri anni di esercizio di seguito, spesso 53−=n

anni (ma anche 10=n anni, quando si tratta di stendere il piano strategico societario). Nel fare

ciò, la gestione finanziaria della liquidità in eccesso non va presa in considerazione, poiché si

deve prestare attenzione solo alla gestione caratteristica. Per ogni futuro anno di esercizio in

esame si otterrà pure un rendiconto finanziario semplificato, avente un flusso di cassa per i

finanziatori o per gli azionisti nell’ultima posizione. In linea di principio, se si fa riferimento

al primo (al secondo), si considera il punto di vista dei creditori e degli azionisti (degli

azionisti).


74

OSSERVAZIONE. Se il progetto di investimento reale è intrapreso da una società già

esistente, tutte le voci di ciascun bilancio semplificato sono incrementali.

Indicatori finanziari quali il valore attuale netto, il tasso interno di rendimento, l’ indice di

redditività e il tempo di recupero sono calcolati facendo riferimento alla simulata sequenza di

flussi di cassa annui per i finanziatori o per gli azionisti. Sia tx il flusso di cassa simulato per il

t-imo anno; se 0 è l’istante corrente e n è l’orizzonte temporale, la pertinente sequenza è

1x 2x 1−nx nx

0 1 2 L 1n − n

dove l’ultimo importo è la somma di un flusso di cassa e di un valore terminale. I bilanci pro-

forma sono di solito simulati sintantoché ciascuno di essi recepisce un qualche tratto distintivo

del corrispondente esercizio, mentre il valore terminale può essere dato da una formula di

valutazione sotto la convenzionale ipotesi che per nnt ≥> ~ il progetto di investimento reale è

in stato stazionario con i flussi di cassa che crescono a un tasso medio annuo di lungo periodo

coerente con il tasso medio annuo di crescita della corrispondente economia. Qualora il

progetto di investimento reale sia finanziariamente congruo, ciò è segnalato da tutti gli

indicatori finanziari menzionati più sopra.

Quando si proiettano un conto economico e uno stato patrimoniale pro-forma, ci si avvale di

alcuni elementi perno, esprimendo altri elementi come loro percentuali. Per esempio, le scorte e

il credito commerciale possono essere espressi come percentuale del fatturato, mentre il debito

commerciale può essere espresso come percentuale dei costi totali; tutte le percentuali possono

risultare uguali ad opportune medie storiche. Si tenga presente che il conto economico è redatto

sulla base del maturato, mentre il rendiconto finanziario è redatto sulla base della cassa. Gli

elementi del rendiconto finanziario del t-imo anno sono dati da alcuni elementi del conto

economico del t-imo anno come pure da variazioni in alcuni elementi dello stato patrimoniale

del t-imo anno rispetto al precedente anno di esercizio. Il procedimento per ottenere un flusso

di cassa degli azionisti o dei finanziatori è schematizzato nella seguente tabella, dove, per

esempio, 0)(propri mezzi >∆ t discende da un aumento capitale, 0)(propri mezzi <∆ t discende

da un riacquisto di azioni proprie e )1(propri mezzi)(propri mezzi)(propri mezzi −−=∆ ttt . Per

quanto riguarda le correzioni contabili, si rammenta che l’ammortamento viene sommato

all’utile netto, perché è un costo privo di corrispondente esborso; un incremento delle scorte


75

viene dedotto dall’utile netto, perché è un esborso privo di corrispondente costo, mentre un

decremento nelle scorte viene sommato all’utile netto, perché è un costo privo di

corrispondente esborso; un incremento del credito commerciale o dei ratei attivi viene

dedotto dall’utile netto, perché concerne dei ricavi ai quali non corrispondono ancora degli

incassi; un incremento nel debito commerciale, nei ratei passivi o nel debito fiscale viene

sommato all’utile netto, perché concerne dei costi ai quali non corrispondono ancora degli

esborsi; un incremento dei risconti attivi (per esempio, frazioni di premi assicurativi) viene

dedotto dall’utile netto, perché è un esborso anticipato privo di corrispondente costo, mentre un

incremento dei risconti passivi viene sommato all’utile netto, perché è un incasso anticipato

privo di corrispondente ricavo.

+ utile netto

+ ammortamento

– ∆capitale circolante netto

= liquidità operativa

– investimento

+ ∆debito

= liquidità degli azionisti (= dividendo – ∆mezzi propri + ∆cassa)

+ interesse dopo le tasse

– ∆debito

= liquidità dei finanziatori

La rivendita di immobilizzazioni tecniche (immobili, impianti, equipaggiamento) è esclusa; se

non lo fosse, si dovrebbe tenere conto di plusvalenze e minusvalenze di capitale.

OSSERVAZIONE. Il piano d’impresa è uno strumento di pianificazione focalizzato sul

medio termine, vale a dire su un arco temporale di 3-5 anni. Può essere il caso di stenderlo,

qualora si debba amministrare una società, oppure raccogliere mezzi propri o capitale di debito,

oppure intraprendere un nuovo e impegnativo progetto, sia esso di investimento, o di

acquisizione e fusione, o di ristrutturazione. Il piano d’impresa deve essere sobrio e sintetico

come pure bene articolato, pertinente e esaustivo. Ogni affermazione deve essere comprovata

da precisi dati e particolareggiate informazioni; le fonti vanno citate. Le diverse copie

potrebbero essere numerate in modo da facilitare le richieste di restituzione.


76

Per quanto attiene all’amministrazione di una società, la stesura del piano d’impresa è un

processo iterativo, soggetto a periodiche verifiche e revisioni, da cui possono conseguire

adeguamenti nella strategia competitiva della società. In sede di pianificazione, si stabiliranno e

si concorderano prospettivamente gli obiettivi e le linee guida, per poi allocare coerentemente

le risorse nelle diverse unità aziendali; affinché l’attuazione sia possibile, occorre che l’analisi

sia sufficientemente profonda e condivisa. In sede di aggiornamento, si confronteranno tra loro

una prestazione effettiva e una prestazione prevista, mettendo così in evidenza i punti di forza e

di debolezza organizzativa; inoltre, si valuteranno retrospettivamente le diverse capacità

previsive e gestionali lungo un intero arco temporale.

Si supponga che un nuovo e impegnativo progetto di investimento reale stia per essere

intrapreso da una società manifatturiera di recente costituzione. Come spiegato in Ford et alii

(2007), nel piano d’impresa (lungo 30-50 cartelle) figurerano verosimilmente le seguenti

sezioni:

1) indice;

2) riassunto per dirigenti: società (missione aziendale, numero dei dipendenti, sede,

prodotti/mercati/tecnologia, dati di sintesi, proprietari/dirigenti chiave) e strategia

competitiva (visione, pietre miliari, caratteristiche differenzianti, fabbisogno di capitale,

dati di sintesi);

3) succinta descrizione qualitativa della società (missione aziendale, visione, obiettivi, cenni

storici, proprietari/dirigenti chiave);

4) prodotti e servizi: principali caratteristiche, impiego e attrattiva, stadio di sviluppo, proprietà

intellettuale;

5) piano di mercato: analisi di mercato (principali tendenze, segmentazione, attuali e potenziali

clienti), analisi del settore industriale (principali tendenze, concentrazione, differenziazione

del prodotto, barriere all’ingresso) e della concorrenza (attuali e potenziali concorrenti, loro

possibili mosse), analisi swot, strategia di mercato, ivi comprese le proiezioni del fatturato;

6) piano operativo: sviluppo dei prodotti, proprietà immobiliare e attrezzatura, fornitori,

processi e costi aziendali, gestione del magazzino, gestione della qualità, servizio al cliente,

manutenzione, normativa pertinente;

7) organizzazione e direzione aziendale: proprietari/dirigenti chiave e loro curricula vitae,

consulenti chiave, struttura organizzativa, piano del personale;

8) struttura finanziaria: forma giuridica della società, azionariato e struttura finanziaria,

fabbisogno di capitale;


77

9) piano finanziario: prestazione passata (almeno 3 bilanci), ipotesi chiave circa la prestazione

futura, bilanci pro forma, indicatori finanziari e indici di bilancio.

Il riassunto per dirigenti rappresenta la sezione cruciale, che va scritta per ultima. Gli esperti

scartano spesso un piano d’impresa senza andare oltre il riassunto per dirigenti.

OSSERVAZIONE. Nell’esaminare un settore industriale, si può fare un competente uso

delle nozioni di

• ciclo di vita di un prodotto / di un settore industriale, costituito dalle 4 fasi di iniziale

sviluppo, espansione e consolidamento, maturità, declino; gli iniziali fallimenti accadono

in un’elevata percentuale nella prima fase, mentre la liquidità può mancare nella seconda

fase e una considerevole efficienza è essenziale nella terza fase, dove l’innovazione di

processo è importante. Le società più mature si sono spesso dimostrate non in grado di

recepire un’innovazione radicale. Per quanto attiene ai prodotti assemblati, il numero di

società manifatturiere può crescere nella prima fase, quando avviene la sperimentazione,

raggiungendo un picco alla comparsa della configurazione dominante, le probabilità di

sopravvivenza essendo maggiori per le più esperte tra le società entranti. Una drastica

riorganizzazione può allora avere luogo nel settore industriale, dove iniziano a emergere

le società dominanti; contemporaneamente, le probabilità di sopravvivenza diventano più

sfavorevoli per le società nuove entranti. Come mostrato in Suárez-Utterback (1995), la

precedente affermazione trova riscontro negli USA e nei cicli di vita delle macchine da

scrivere, delle automobili, degli apparecchi televisivi, dei tubi catodici e dei transistori, le

date di comparsa delle loro configurazioni dominanti essendo il 1906, 1923, 1952, 1956,

1959.

• le 5 forze competitive secondo Porter, vale a dire 1) i fornitori, 2) i canali distributivi e i

clienti, 3) la concentrazione del settore industriale e i concorrenti; 4) le barriere

all’ingresso e i potenziali concorrenti, 5) i prodotti sostitutivi. Nei settori industriali più

concentrati le società hanno maggiore dimensione e beneficiano di più elevata

redditività, di maggiore facilità di finanziamento (soprattutto le cosiddette blue chips), di

migliori opportunità di imparare facendo e, magari, di più ampia attività di R&S. Le

barriere all’ingresso conseguono da tali caratteristiche distintive quali il marchio (vale a

dire, qualità del prodotto e del catalogo, assistenza al cliente), le economie di scala e di

scopo (dovute alla combinazione di produzione e distribuzione di massa) la

diversificazione, la R&S, le competenze dirigenziali, tecniche e commerciali, i brevetti e

i segreti industriali. Le competenze tecniche e dirigenziali sono state alla base del


78

mondiale successo nel dopoguerra della manifattura tedesca e giapponese come pure dei

produttori americani, i primi soprattutto nei settori industriali più tradizionali, i secondi

pure in quelli più innovativi, quali, per esempio, quello dei microprocessori, del software,

dell’ingegneria genetica.

3.2. Il valore attuale netto (VAN)

Il tempo t sia misurato in anni e 0 sia la data di valutazione. Si consideri la rappresentazione

di un progetto di investimento reale secondo la Matematica finanziaria; si tratta di una

sequenza (o successione finita) di esborsi (annui) previsti −tx (con 0<−

tx ) e incassi (annui)

previsti +tx (con 0>+

tx ), come mostrato nel seguente diagramma.

0 x 1 x 2 x 1−n x n x

0 1 2 L 1n − n

Il valore attuale netto al tempo 0 di un progetto di investimento reale è

( )∑=

−+=n

t

tt rxPV

00 1

dove r è il tasso di rendimento (composto) richiesto, su base annua, se non diversamente

specificato. Il contesto è semideterministico, in quanto tutte le poste sono semicerte; sebbene

siano rappresentate come se fossero certe, non sono tali. Come spiegato in Cuthbertson-

Nitzsche (2001, pag. 82), si può compiere un’analisi di sensitività, per valutare l’effetto

dell’incertezza sul valore attuale netto 0PV , il quale può essere calcolato, per esempio, 3 volte,

con riferimento a uno scenario pessimistico, intermedio e ottimistico. Tale approccio può essere

seguito pure per stimare il tasso interno di rendimento, l’indice di redditività e il tempo di

ripagamento del progetto di investimento.

Si accerta facilmente che il VAN è un operatore lineare: se i 2 progetti di investimento A, con

valore attuale netto APV ;0 , e B, con valore attuale netto BPV ;0 , sono intrapresi insieme, il

risultante valore attuale netto è BABA PVPVPV ;0;0;0 +=+ ; inoltre, raddoppiando tutte le poste

del progetto di investimento A si ha AA PVPV ;02;0 2= .

Nel prosieguo

• considereremo soprattutto investimenti in senso stretto, tutti gli esborsi dei quali si

verificano prima di tutti gli incassi;


79

• assumeremo il punto di vista di un alto dirigente di una società per azioni invece che di

un normale azionista non coinvolto nella gestione della società. Gli alti dirigenti

raccolgono capitale, proprio o di debito, per fare fronte agli esborsi iniziali e utilizzano i

successivi incassi per remunerare i finanziatori, ossia gli azionisti e i creditori.

Come mostrato nell’esercizio 29, il tasso di rendimento richiesto r ha un duplice significato,

essendo sia un costo del capitale sia un tasso di reinvestimento. Ogni società per azioni deve

remunerare i propri finanziatori a un tasso annuo detto costo del capitale, il quale dipende dalla

natura degli affari , dalla passata prestazione finanziaria e dalla corrente struttura

finanziaria . Se tx è un flusso di cassa per i finanziatori (per gli azionisti), r è un costo del

capitale totale (del capitale proprio), vale a dire il tasso di rendimento richiesto dai finanziatori

(dagli azionisti). Detto tasso può essere stimato attraverso un’analisi trasversale di alcune

società per azioni (quotate), che siano confrontabili in termini di natura degli affari (settori

industriali), di tecnologia e di clienti, come mostrato compiutamente da Benninga-Sarig (1997,

cap. 9). Un’idea di massima può essere evinta dalla Tabella 1, dove compaiono alcune stime

empiriche del costo del capitale proprio, ottenute con riferimento a un’impresa idealmente

priva di debito, il settore industriale e la dimensione dell’impresa essendo le 2 determinanti.

Tasso annuo di interesse privo di rischio 4%

Settori industriali a basso rischio (società elettriche e telefoniche,

banche, compagnie di assicurazione)

6-7%

Settori industriali a medio rischio (maturi, con una moderata

dipendenza dal ciclo economico)

8-9%

Settori industriali a elevato rischio (tecnologicamente avanzati) 10-12%

Piccole imprese in un settore industriale maturo 13-15%

Piccole imprese (anche appena costituite) in un settore industriale

innovativo

15-20%

Tabella 1 – Stime empiriche del costo annuo del capitale proprio per un’impresa idealmente priva di debito

(fonte: Massari, M., Zanetti, L., Valutazione finanziaria, Milano, McGraw Hill, 2004, cap. 5)

OSSERVAZIONE. Qualora il progetto di investimento reale sia intrapreso da una società

di nuova costituzione e tx sia un flusso di cassa per i finanziatori (per gli azionisti), il valore

attuale netto 0PV è pari al valore di mercato del capitale totale (del capitale proprio) della

società. Qualora il progetto di investimento reale sia intrapreso da una società già esistente, tali

valori sono incrementali.


80

Come ribadito da Luenberger (1998, pag. 25), “il criterio del valore attuale netto è piuttosto

convincente e in effetti è generalmente ritenuto la migliore singola misura della bontà di un

investimento.” Più precisamente,

• se si esamina la fattibilità di un unico progetto di investimento, l’appropriata regola di

decisione è “intraprendi il progetto, se il suo valore attuale netto 0PV al tasso di

rendimento richiesto r è positivo”;

• se si deve scegliere un solo progetto tra 2 o più progetti alternativi di investimento,

l’appropriata regola di decisione è “intraprendi il progetto con il più elevato valore

attuale netto 00 >PV al tasso di rendimento richiesto r”. Nell’effettuare tale selezione si

possono prendere in considerazione alternative che differiscano per taglia e/o durata,

supponendo tacitamente che il divario sia colmato da progetti integrativi di investimento

aventi valore attuale nullo, perché effettuati al tasso di rendimento richiesto. Tuttavia, ciò

potrebbe non avere senso; un esempio in merito è quello delle attività ripetibili, trattato

in Luenberger (1998, pag. 29). Poiché il rendimento è composto e ogni progetto di

investimento è una rendita immediata, massimizzando il valore attuale netto 0PV si

massimizza pure il valore futuro netto

( ) ( )nn

t

tntn rPVrxFV +=+=∑

=

− 11 00

in virtù della scindibilità ; il primo è calcolato alla data di valutazione, il secondo

all’orizzonte temporale.

• Si considerino più progetti di investimento indipendenti, ciascuno caratterizzato da un

solo esborso seguito da più incassi; si supponga di dover selezionare uno o più di tali

progetti sotto un vincolo di bilancio. Sebbene il fine sia quello di trovare la combinazione

di progetti con massimo valore attuale netto, la graduatoria dei progetti di investimento

deve basarsi sull’indice di redditività, come mostrato nell’esercizio 32.

A nostro avviso, sebbene sia opportuno attenersi a tali regole di decisione, il calcolo del tasso

interno di rendimento e del tempo di ripagamento di ciascun progetto di investimento potrebbe

fornire qualche altra utile informazione.


81

Esercizio 29. Si consideri la seguente sequenza di flussi di cassa per i finanziatori (per gli

azionisti), dove il tempo è misurato in anni e +tx ( −

tx ) indica un incasso (un esborso).

−0x −

1x +2x +

3x

0 1 2 3 tempo

Sia r il tasso annuo di rendimento richiesto dai finanziatori (dagli azionisti). Con riferimento

al procedimento di calcolo del valore attuale netto di questo progetto di investimento, si mostri

che il tasso di rendimento richiesto rappresenta un costo del capitale come pure un tasso di

reinvestimento.

Soluzione. Il valore attuale netto al tempo 0 e il montante netto al tempo 3 valgono

( ) ( ) ( ) 33

22

1100 111 −+−+−−− ++++++= rxrxrxxPV

( ) ( ) ( ) ( ) ++−− ++++++=+= 322

13

03

03 1111 xrxrxrxrPVFV

3FV ha lo stesso segno di 0PV e è proporzionale a 0PV . Pertanto, 3FV , un montante di

esborsi e incassi, può sostituire 0PV come indicatore finanziario. Quando, nella seconda

equazione, un esborso (incasso) viene trasferito avanti nel tempo, r rappresenta un costo del

capitale (tasso di reinvestimento). Questa proprietà vale per una qualsiasi sequenza di poste, a

condizione che il rendimento sia composto.

Esercizio 30. Una società immobiliare può

a) continuare a affittare un complesso di appartamenti di sua proprietà per altri 5 anni,

incassando € 0,6 milioni all’anno al netto delle spese. Presumibilmente, tra 5 anni il

complesso immobiliare potrà essere venduto a € 11 milioni.

b) vendere il complesso immobiliare adesso, in cambio di € 10 milioni, e effettuare un

investimento alternativo al tasso annuo di rendimento dell’8%.

Si dica quale sia l’alternativa migliore, qualora non si tenga conto di ammortamento, inflazione,

e tasse.

Soluzione. Si osservi che quanto pagato in passato per il complesso immobiliare è un costo

affondato, non pertinente ai fini della valutazione. Poiché i valori attuali delle 2 alternative sono

(il tempo è misurato in anni e gli importi sono espressi in € 106 )

9,88208,1*116,0 5%8|5 =+= −aPVA e 10=BPV

la seconda alternativa (vendere adesso) è meglio della prima (vendere tra 5 anni).


82

OSSERVAZIONE. Come mostrato nell’esercizio 29, il criterio del valore futuro netto è

equivalente al criterio del valore attuale netto in virtù della scindibilità. Poiché i valori futuri

netti dopo 5 anni delle 2 alternative sono (il tempo è misurato in anni e gli importi sono espressi

in € 106 )

52014116,008,1 %8|55 ,sPVFV AA =+== e 6931408,1*1008,1 55 ,PVFV BB ===

si ottiene ancora la precedente graduatoria, la seconda alternativa (vendere adesso e reinvestire)

essendo migliore della prima (reinvestire gli incassi e vendere tra 5 anni).

Esercizio 31. Un uomo d’affari sta prendendo in considerazione l’acquisto di alcune

attrezzature per ufficio del valore di €80.000. L’acquisto può avvenire mediante

a) pagamento in contanti, con un conseguente sconto dell’8%;

b) pagamento a rate: a un iniziale versamento di €16.000 fanno seguito 4 rate semestrali

posticipate, ciascuna di €16.000.

Si determinino le condizioni di acquisto più favorevoli, nell’ipotesi (convenzionale) che l’uomo

d’affari possa dare e prendere in prestito denaro al tasso del 6,09% annuo effettivo.

Soluzione. L’equivalente tasso semestrale è %310609,12 =−=i . Le condizioni a) sono

meno onerose, in quanto i valori attuali delle 2 alternative sono

€ 600.73=APV e € 57,473.75000.16000.16 %3|4 =+= aPVB

Esercizio 32. I dirigenti di una società per azioni potrebbero investire al massimo €500.000

in uno o più tra 5 progetti in senso stretto. In ciascun caso, a un iniziale esborso fa seguito una

sequenza di incassi, come riportato nella tabella più sotto.

progetto esborso (€) valore attuale incassi (€)

1 100.000 190.000

2 100.000 180.000

3 200.000 300.000

4 250.000 500.000

5 250.000 400.000


83

Ogni progetto di investimento può essere realizzato solo in piena scala. Avvalendosi di un

metodo euristico, si determinino la combinazione ottima degli investimenti e il suo valore

attuale netto.

Soluzione. I simboli VAN e IR indichino rispettivamente un valore attuale netto e un indice

di redditività, vale a dire un rapporto benefici-costi. Poiché

esborsoincassi attuale valoreVAN −= e esborso

incassi attuale valoreIR =

con 1IR0VAN ≥⇔≥ , la precedente tabella può essere così estesa

progetto esborso (€) valore attuale

incassi (€)

VAN (€) IR

1 100.000 190.000 90.000 1,9

2 100.000 180.000 80.000 1,8

3 200.000 300.000 100.000 1,5

4 250.000 500.000 250.000 2,0

5 250.000 400.000 150.000 1,6

I progetti 4, 1 e 2 posseggono i maggiori indici di redditività IR e richiedono un esborso totale

di €450.000, coerentemente con il vincolo di bilancio di €500.000. Ai progetti 4, 1 e 2 insieme

corrisponde il massimo VAN , pari a €420.000. Nel caso di problemi più articolati, il metodo

euristico appena impiegato restituisce una soluzione approssimata, spesso attendibile. Per

determinare con certezza la soluzione ottima bisogna risolvere un problema di ottimizzazione

zero-uno (si veda Luenberger, 1998, cap. 5).

3.3. Il tasso interno di rendimento (TIR)

Il tempo t sia misurato in anni, 0 sia la data di valutazione e kt sia un numero razionale. Si

consideri un progetto di investimento reale, rappresentato mediante una sequenza di poste

comprendente esborsi ( )0<−kx e incassi ( )0>+

kx previsti, come mostrato nel seguente

diagramma

0 x 1 x 2 x 1−n x n x

0 1 t 2 t L 1−n t n t


84

Il tasso interno di rendimento è un’opportuna radice reale r dell’equazione

( )∑=

−+=n

k

tk

krx0

1 0

tale che 1−>r . Un progetto di investimento reale e un suo multiplo (per esempio, tutte le poste

sono triplicate) hanno lo stesso tasso interno di rendimento r . In alcuni casi la radice r può

non esistere, oppure possono esistere diverse radici reali maggiori di -1; tuttavia, nel caso

dell’importante categoria degli investimenti in senso stretto, la radice reale r esiste, è unica e

può assumere qualsiasi segno. Le seguenti proposizioni sul tasso interno di rendimento (per

anno) possono risultare utili per rilevare eventuali errori di calcolo in un modello finanziario.

Proposizione. Se tutti gli esborsi precedono tutti gli incassi, il tasso interno di rendimento è

ben definito (esiste un’unica opportuna radice, che può essere positiva, nulla o negativa).

Proposizione. Se gli incassi superano gli esborsi

>∑

=0

0

n

kkx e tutti gli esborsi precedono

tutti gli incassi, il tasso interno di rendimento è unico e positivo.

Esempio 14.

tx -5 -5 -5 10 10

t 0 1 2 3 4

Svolgimento. Poichè 15 totaleesborso20 totaleincasso =>= e tutti gli esborsi precedono

tutti gli incassi, il tasso interno di rendimento r è unico, positivo e pari al 12,074% annuo,

come si può verificare utilizzando la funzione TIR incorporata in un foglio elettronico.

CENNO ALLA DIMOSTRAZIONE. Si consideri la precedente sequenza di poste; i

simboli tPV , tFV e tV rappresentino il suo valore attuale, montante e valore al tempo t. Il

valore al tempo 2 di questa sequenza di poste è

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]212222 11101115 −− ++++++++−=+= rrrrPVFVV

Si consideri 2V come funzione di r. Poiché gli incassi superano gli esborsi, si ha

( ) 5201502 +=+−=V . Inoltre, ( )rV2 decresce al crescere di r (sia 2FV sia 2PV si comportano

così) e ( ) −∞=+∞→

rV2rlim . Poiché ( )rV2 è una funzione continua, essa deve attraversare l’asse r


85

una e una sola volta in corrispondenza di un valore positivo r , che è l’unico tasso interno di

rendimento. Infatti, ( ) 02 =rV implica che

( ) ( ) ( ) 01 22

0 =+= − rVrrPV

a causa della scindibilità. E’ agevole rendersi conto che una simile dimostrazione vale per ogni

sequenza di poste che soddisfi le ipotesi.

OSSERVAZIONE. La scadenza media aritmetica di una sequenza di poste è una media

pesata di tutte le scadenze, i pesi essendo i rapporti tra ciascuna posta e la somma di tutte le

poste. Come dimostrato dal matematico italiano Eugenio Levi, 1913-1969, se gli incassi

superano gli esborsi

>∑

=0

0

n

kkx e la scadenza media aritmetica degli esborsi precede la

scadenza del primo incasso, esiste un solo tasso interno di rendimento positivo. Si osservi che

la proposizione non esclude l’esistenza di altre radici, che devono essere negative, come

mostrato nel prossimo esempio. Quando l’ipotesi più sopra sulla scadenza media aritmetica è

soddisfatta, il primo pagamento 0 x è un esborso.

Esempio 15.

tx -20 -20 15 15 15 15 -10

t 0 1 2 3 4 5 6

Svolgimento. Poichè 05 totaleesborso60 totaleincasso =>= e la scadenza media

aritmetica degli esborsi è 26,1102002

01*620*120*0 <=

++++ , c’è un solo tasso interno di

rendimento positivo. Si ha inoltre ( ) 0 0PV 6

00 >= ∑

=kkx e ( ) −∞=

+−→rPV0

1rlim , in quanto l’ultimo

pagamento è un esborso e ( ) 6110 −+− r è il termine dominante di )(0 rPV per +−→ 1r .

Pertanto, ci deve pure essere almeno una radice negativa. Infatti, utilizzando opportunamente la

funzione TIR incorporata in un foglio elettronico, si trovano 2 tassi interni di rendimento,

rispettivamente pari al -58,435% e al 9,307% annuo.

Proposizione (C.J. Norstrøm, 1972). Le scadenze siano periodiche e 0 1 t tB x x x= + + +K

rappresenti il saldo di cassa al tempo t, subito dopo il pagamento dell’importo tx . Se 0tB ≠ per


86

0,1, ,t n= K e la sequenza 0 1, , , nB B BK presenta uno e un solo cambiamento di segno,

l’equazione in esame possiede un’unica radice positiva (si tenga presente che se 0tx ≠ , 0tB =

deve essere considerato come un cambiamento di segno).

Esempio 16.

tx -5 1 -3 8 4

tB -5 -4 -7 1 5

t 0 1 2 3 4

Svolgimento. Come si evince dalla seconda riga della tabella più sopra, la sequenza del

saldo di cassa presenta uno e un solo cambiamento di segno, che avviene tra il tempo 2 e il

tempo 3. Pertanto, il tasso interno di rendimento è unico, positivo e pari al 22,109% annuo,

come si può verificare utilizzando la funzione TIR incorporata in un foglio elettronico.

Le seguenti proprietà di )(0 rPV , il valore attuale netto al tempo 0 di un investimento in senso

stretto, torneranno utili nel prosieguo; esse sono illustrate dalle figure degli esercizi 33 e 34.

Proposizione. Se tutti gli esborsi precedono tutti gli incassi, si ha ( ) 00 >rPV solo per

rr <<−1 , dove r è l’unico tasso interno di rendimento. Infatti, il valore attuale netto )(0 rPV ,

quando positivo, è una funzione decrescente e convessa del tasso di rendimento richiesto r e

tale che ( ) +∞=+−→

rPV01r

lim . Inoltre, )(0 rPV può avere un solo punto di stazionarietà, il quale è

un minimo negativo.

DIMOSTRAZIONE. Quando r tende a +−1 , ( ) ntn rx −+ +1 è il termine di dominante di

)(0 rPV di modo che il limite tende a ∞+ . Sia τ un istante di tempo compreso tra l’ultima

scadenza degli esborsi e la prima scadenza degli incassi. La derivata prima di )(0 rPV rispetto a

r è tale che

( ) ( ) ( ) )(11)(1)()(

011

0

1

0

0 rPVrrxrtxdr

rdPVkk t

n

kk

tn

kkk

−−−

=

−−

=+−=+−<+−= ∑∑ ττ

mentre la derivata seconda di )(0 rPV rispetto a r è tale che

( )( ) ( )( ) ( )( )dr

rdPVrrtxrttx

dr

rPVdkk t

n

kkk

tn

kkkk

)(111111

)( 012

0

2

020

2−−−

=

−−

=++−=++>++= ∑∑ ττ


87

Pertanto, 0)(0 >rPV comporta che 0)(0 <

dr

rdPV e 0

)(20

2

>dr

rPVd. Inoltre, 0

)(0 =dr

rdPV

comporta che 0)(

20

2

>dr

rPVd; in altre parole, ogni punto di stazionarietà è un minimo negativo.

Poiché due minimi sono separati da un massimo, )(0 rPV può avere un solo punto di

stazionarietà.

Sull’uso congiunto di VAN e TIR

Sebbene il riferimento al tasso interno di rendimento sia frequente in sede operativa, il TIR è

più un complemento che un sostituto del VAN. Si tenga presente che il TIR è un costo del

capitale come pure un tasso di reinvestimento; pertanto, esso perde di significato se

particolarmente elevato, in quanto gli incassi non possono essere effettivamente reinvestiti a

tale condizione. A nostro avviso, come precedentemente sostenuto, un decisore avveduto

dovrebbe prendere in considerazione entrambi gli indicatori finanziari, in quanto forniscono

dell’utile informazione; tuttavia, egli dovrebbe privilegiare il VAN ogni volta che i due

rispettivi criteri di decisione siano in contrasto.

TIR e VAN risultano coerenti e danno la stessa indicazione nel seguente importante caso;

ciò consegue dalle precedenti proposizioni. Qualora si esamini la fattibilità di un progetto di

investimento in senso stretto, la regola di decisione “intraprendi il progetto se il suo tasso di

rendimento interno r è maggiore del tasso di rendimento richiesto r” è equivalente alla regola,

enunciata enunciata in precedenza, “intraprendi il progetto, se il suo valore attuale netto 0PV al

tasso di rendimento richiesto r è positivo”.

CENNO ALLA DIMOSTRAZIONE. Come dimostrato più sopra, si ha ( ) 00 >rPV solo

per rr <<−1 , dove r è l’unico tasso interno di rendimento. Ci sono 2 possibilità:

1) se gli incassi non superano gli esborsi ∑=

≤n

kkx

0

0 , l’unico TIR r è non positivo di modo che

( ) 00 <rPV per tutti gli 0>r . Il progetto non va intrapreso: il TIR è minore di ogni tasso di

rendimento richiesto positivo di modo che il VAN a qualsiasi tasso di rendimento richiesto è

negativo;


88

2) se gli incassi superano gli esborsi ∑=

>n

kkx

0

0, l’unico TIR r è positivo di modo che

( ) 00 >rPV for rr <≤0 . Il progetto può essere intrapreso se il TIR è maggiore del tasso di

rendimento richiesto di modo che il VAN al tasso di rendimento richiesto è positivo.

Se si deve scegliere un solo progetto tra 2 o più progetti alternativi di investimento in senso

stretto, la regola di decisione “intraprendi il progetto con il più elevato TIR r , purché

maggiore del tasso di rendimento richiesto r” non è equivalente alla regola, enunciata in

precedenza, “intraprendi il progetto con il più elevato valore attuale netto 00 >PV al tasso di

rendimento richiesto r” e non va utilizzata, come mostrato nell’esercizio 34.

Esercizio 33. Si consideri il seguente progetto di investimento reale in senso stretto, dove il

tempo è misurato in anni e un iniziale esborso −0x è seguito da diversi incassi +kx con

nk ,,2,1 K= .

−0x +

1x +2x +

nx

0 1 2 L n tempo

Il valore attuale netto al tempo 0 del progetto di investimento è ( )∑=

−+− ++=n

k

kk rxxPV

100 1 ,

dove r è il tasso annuo di rendimento richiesto.

a) Si supponga che gli incassi superino l’esborso iniziale: ∑=

+− >+n

kkxx

10 0 ; si determinino le

caratteristiche qualitative del grafico di )(0 rPV (suggerimento: si rammenta che, come

dimostrato nella sezione 3.3, 0)(0 >rPV per rr <<−1 ).

b) Si abbia 3=n , 400.10 −=−x e 550=+tx ; le poste siano espresse in € 103 . Si verifichi che

il tasso interno di rendimento è %688,8=r .

Soluzione. Poiché gli incassi superano l’esborso iniziale per ipotesi e l’esborso iniziale

precede tutti gli incassi, il tasso di rendimento interno è unico e positivo, come dimostrato nel

precedente riquadro e mostrato nel seguente diagramma.

a) Quando un iniziale esborso è seguito da diversi incassi, si ha


89

1) ∑=

+− +=n

kkxxPV

100 )0( ;

2) −+∞→

= 00 )(lim xrPVr

: l’iniziale esborso è un asintoto orizzontale;

3) ( ) 01)()( 1

1

0 <+−= −−

=

+∑ kn

kk rkx

dr

rdPV: )(0 rPV decresce al crescere di r;

4) ( )( ) 011)( 2

120

2>++= −−

=

+∑ kn

kk rkkx

dr

rPVd: )(0 rPV è una funzione convessa.

Poiché )(0 rPV è una funzione continua, 0)0(0 >PV per ipotesi e 0)(lim 0 <+∞→

rPVr

, l’asse

orizzontale r viene attraversato una e una sola volta in corrispondenza di un valore positivo

r , che è l’unico tasso interno di rendimento.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0,0%

2,5%

5,0%

7,5%

10,0

%

12,5

%

15,0

%

17,5

%

20,0

%

PV0(r)

b) Si ha

0550400.1%)688,8( %688,8|30 =+−= aPV

come richiesto dalla definizione di tasso interno di rendimento.

Esercizio 34. I dirigenti di una società per azioni devono decidere se intraprendere l’uno o

l’altro dei 2 seguenti progetti di investimento reale in senso stretto (il tempo è misurato in anni

e le poste sono espresse in 310 € ).


90

A -10 10 1 1

B -10 1 1 12

tempo 0 1 2 3

a) Per ciascun progetto di investimento si tracci il grafico del valore attuale netto )(rPV al

tempo 0 quale funzione del tasso annuo di rendimento richiesto r.

b) Si supponga che il tasso di rendimento richiesto sia l’8% e si determini quale progetto debba

essere finanziato.

Soluzione. I grafici dei )(rPV di entrambi i progetti compaiono nella figura più sotto

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

0,00

%

2,50

%

5,00

%

7,50

%

10,0

0%

12,5

0%

15,0

0%

17,5

0%

20,0

0%

22,5

0%

25,0

0%

27,5

0%

30,0

0%pvA pvB

a) In entrambi i casi,

• poiché un esborso è seguito da diversi incassi, il valore attuale netto )(rPV è una

funzione decrescente e convessa di r; inoltre, l’iniziale esborso è un asintoto orizzontale

000.10)(lim)(lim −==+∞→+∞→

rPVrPV Br

Ar

• poiché gli incassi superano l’esborso iniziale ( 000.2)0( =APV e 000.4)0( =BPV ), il

tasso interno di rendimento è unico e positivo.

Inoltre, i 2 grafici hanno un solo punto comune

%554,10per 603,60 === rPVPV BA

mentre 52,393%)20( −=APV e 78,527.1%)20( −=BPV ; pertanto, si ha

%554,10per << rPVPV BA e %554,10per >> rPVPV BA


91

b) Sebbene procedendo per via numerica si ricavi %937,12%044,16 =>= BA TIRTIR , il

progetto B è più redditizio, poiché gli incassi sono verosimilmente reinvestiti a un tasso

dell’8%

€ 2530918€ 439108 ,.%)(PV,%)(PV BA =<=

3.4. Il valore attuale rettificato

Il procedimento di valutazione proposto in questo riquadro si fonda sulla nozione di valore

attuale rettificato (o adjusted present value); esso può essere coerente con l’ipotesi di

irrilevanza della struttura finanziaria, a condizione che si tenga conto sia delle imposte

societarie sia delle imposte personali. La presentazione è mutuata da Benninga-Sarig (1997,

cap. 8) ma si contraddistingue per il ricorso a una regola euristica bene accetta dagli operatori

bancari e volta a minimizzare il rischio di fallimento. A nostro avviso, si tratta del

procedimento di valutazione più strutturato e meglio definito tra quelli disponibili; è inoltre

quello meglio dominabile da un non specialista.

Il tempo t sia misurato in anni e 0 sia l’istante di valutazione. Si consideri un progetto di

investimento reale, rappresentato mediante una sequenza di flussi di cassa per i finanziatori

comprendente esborsi annui ( )0<−tx e incassi annui ( )0>+

tx previsti, come mostrato nel

seguente diagramma

1 x 2 x 1−n x n x

0 1 2 L 1−n n

dove n è l’orizzonte temporale e l’ultimo importo n x è la somma di un flusso di cassa per i

finanziatori e di un valore terminale.

Per valutare tale progetto di investimento reale si deve

• determinare un’appropriata leva finanziaria (iniziale), procedendo per prove ed errori.

Secondo lo schema contabile della sezione 3.1, ogni volta che si contrae un debito, si usa

meno liquidità e/o si raccoglie meno capitale proprio ma poi seguono utili netti

comparativamente più bassi. Tuttavia, bisogna tenere presente che una leva finanziaria

troppo alta esporrebbe eccessivamente l’impresa al rischio di fallimento. Per accertare se

una data leva finanziaria (iniziale) sia sostenibile, si deve considerare il caso di completo

ripagamento del debito a rate costanti in, diciamo, non più di 10 anni e fare uso di una


92

regola euristica bene accetta dagli operatori bancari. Più specificatamente, occorre

verificare se il seguente rapporto

costante rata

interesseoperativa liquidità tt +

noto come indice di copertura del servizio annuo del debito, giaccia nell’intervallo

[ ]2 ;3,1 per nt ,,2,1 L= ; la liquidità operativa è una voce del rendiconto finanziario ed è

uguale all’utile netto più l’ammortamento meno la variazione del capitale circolante

netto.

• simulare i bilanci pro-forma per n anni di seguito, calcolare i flussi di cassa per i

finanziatori nxxx ;;; 21 L e poi supporre che il progetto di investimento reale sia

finanziato solo da capitale proprio. Di conseguenza, i flussi di cassa per i finanziatori

sono pari ai flussi di cassa per gli azionisti. Tuttavia, quando si introduce la leva

finanziaria, i secondi mutano mentre i primi rimangono generalmente invariati. Sia *r il

tasso di rendimento richiesto, vale a dire l’opportuno costo del capitale proprio per

un’impresa priva di debito estratto dalla Tabella 1. Il valore attuale netto *0PV del

progetto di investimento reale finanziato solo da capitale proprio è

( ) tn

tt rxPV

−

=+=∑ *

1

*0 1

• considerare gli effetti della leva finanziaria. Lo svantaggio insito nell’indebitamento è

dato dal rischio di fallimento da esso generato; il vantaggio insito nell’indebitamento è

dato dallo scudo fiscale prodotto dalla deducibilità dell’interesse. Poiché il valore attuale

netto è un operatore lineare, i flussi di cassa per i finanziatori essendo in generale pari

agli originali flussi di cassa per gli azionisti, si può calcolare il valore attuale rettificato

0PV del progetto di investimento reale come somma di 2 termini

**0

*00 PVPVPV +=

dove *0PV è il valore attuale netto del progetto di investimento reale finanziato solo da

capitale proprio mentre **0PV è il valore attuale netto del debito. Si usa l’appropriato

costo del capitale proprio *r per un’impresa priva di debito per calcolare il primo e il

costo del debito i per calcolare il secondo; in linea di principio, si ha ir >* . Si accerta

agevolmente che il secondo è uguale al valore attuale netto dello scudo fiscale, vale a

dire


93

( ) 01

0 1interesse TSiτPV tn

tt

** ++= −

=∑

dove τ è l’aliquota fiscale dell’imposta societaria e 0TS è il valore attuale al tempo 0

dei risparmi fiscali conseguiti quando nt > . Infatti, ciascun capitale preso a prestito è

uguale al valore attuale al tasso i delle successive quote di interesse e di capitale. Qualora

il rischio di fallimento non sia trascurabile, bisogna sottrarre a **0PV il valore attuale dei

costi attesi del dissesto finanziario. Secondo l’usuale approccio, il valore attuale dei costi

attesi del dissesto finanziario è pari alla probabilità di fallimento moltiplicata per il

valore attuale dei costi del dissesto finanziario. Il procedimento di stima è indiretto e

difficile. Più precisamente, la Tabella 4 è una tipica fonte della probabilità di insolvenza,

a condizione che il merito di credito delle obbligazioni sia stato stimato. Inoltre, studi su

passati dissesti finanziari e fallimenti sono la fonte del valore attuale dei costi del

dissesto finanziario; tuttavia, è verosimile incorrere in considerevoli errori.

Sfortunatamente, questa è una carenza del valore attuale rettificato.

OSSERVAZIONE. Poiché errori di modello sono possibili, la simulazione dei flussi di

cassa per i finanziatori non è completamente affidabile. Nelle scienze ingegneristiche, gli

errori di modello sono compensati da un adeguato margine di sicurezza; pertanto, il valore

attuale rettificato 0PV deve essere adeguatamente maggiore di 0 e ciascun indice di copertura

del servizio annuo del debito deve essere adeguatamente maggiore di 1,3.

OSSERVAZIONE. Sia 0D il valore di mercato del debito netto (=debiti finanziari–cassa e

banca–titoli di pronto smobilizzo–crediti finanziari) al tempo 0. Qualora il progetto di

investimento reale sia intrapreso da una società di nuova costituzione, il valore attuale

rettificato 0PV è pari al valore di mercato del capitale totale della società mentre 00 DPV − è

pari al valore di mercato del capitale proprio della società. Qualora il progetto di investimento

reale sia intrapreso da una società già esistente, tali valori sono incrementali.

OSSERVAZIONE. Qualora il rapporto tra debito e capitale proprio vari considerevolmente

nel tempo, il valore attuale rettificato è una nozione più appropriata del costo medio

ponderato del capitale. Un’operazione di leveraged buy out è un esempio in merito. Come

mostrato in Benninga-Sarig (1997, cap. 8), il costo medio ponderato del capitale WACCr è pari a

( ) ( )τ−−+= 11 iwwr**rWACC


94

dove **r è l’opportuno costo del capitale proprio per un’impresa indebitata, ( )τ−1i è il costo

del debito al netto dell’imposta societaria, il peso w è il rapporto tra il valore di mercato del

capitale proprio e il valore di mercato del capitale totale, il peso ( )w−1 è il rapporto tra il

valore di mercato del debito e il valore di mercato del capitale totale. Si suppone di solito che

**r giaccia sulla security market line, un costrutto del capital asset pricing model di William

F. Sharpe, John Lintner e Jan Mossin, presentato in Luenberger (1998, cap. 7).

Sfortunatamente, il costo medio ponderato del capitale presenta due gravi difetti. In primo

luogo, il valore di mercato del capitale proprio e quindi il valore di mercato del capitale totale

sono spesso incogniti, in quanto sono i risultati del procedimento di valutazione. In tal caso, i

valori di mercato sono spesso sostituiti dai valori di libro. Inoltre, la leva finanziaria, espressa

dal peso ( )w−1 , è costante nel tempo per ipotesi; ciò trova difficilmente riscontro nella realtà.

OSSERVAZIONE. Secondo il diritto tributario italiano, la differenza tra gli interessi

passivi e gli interessi attivi può essere dedotta dal reddito di impresa per un ammontare non

maggiore del 30% del margine operativo lordo (o EBITDA). Qualsiasi eccesso può essere

dedotto nei successivi esercizi, rispettando comunque il vincolo del 30%; il margine operativo

lordo non utilizzato lo può essere successivamente. La norma non si applica, tra l’altro, alle

banche, alle compagnie di assicurazione e alle società pubbliche che forniscono acqua, energia,

teleriscaldamento, o raccolgono i rifiuti o depurano.

Si può pure risolvere un problema inverso, nel quale il valore attuale rettificato 0PV è

assegnato mentre il costo r del capitale totale è da determinare. Il costo del capitale totale

cercato rende il valore attuale di tutti i flussi di cassa per i finanziatori pari a

( ) tn

tt rxPVPVPV −

=+=+= ∑ 1

1

**0

*00 . Tale equazione può possedere radici multiple.

Proposizione. Se i flussi di cassa per i finanziatori nxxx ;;; 21 L sono tali che tutti gli

esborsi dei finanziatori precedono tutti gli incassi dei finanziatori, esiste un unico costo r del

capitale totale, che è minore del costo *r del capitale proprio per un’impresa priva di debito,

vale a dire *rr < .

DIMOSTRAZIONE. Se si assimila il valore attuale rettificato 0PV a un fittizio esborso

iniziale, calcolare r è come calcolare un tasso interno di rendimento. Poiché tutti gli esborsi


95

precedono tutti gli incassi, il tasso di rendimento interno cercato esiste ed è unico; inoltre,

quando è positiva, ( ) tn

tt rx −

=+∑ 1

1

è una funzione decrescente e convessa di r, tale che

( ) +∞=+−→

rPV01r

lim . Poiché

( ) ( ) tn

tt

tn

tt rxPVrxPV

−

=

−

=+=>+= ∑∑ *

1

*0

10 11

si ha *rr < .

Esempio 17. Si fa riferimento ad uno studio di fattibilità effettuato nel 2007 per accertare se

convenga costruire un impianto di cogenerazione a biomassa nella pianura agricola del nord

Italia. Tale impianto è alimentato da legno, scarti delle lavorazioni del legno, rami potati,

cereali e residui di cereali; produce energia rinnovabile, più precisamente 1,1MW di

elettricità verde e 12MW di calore, fornibile entro la distanza massima di km15 attraverso il

teleriscaldamento. Nei mesi più freddi possiede un’elevata efficienza operativa (=energia in

uscita/energia in ingresso) dell’80% al massimo, che si confronta con il 35% al massimo di

un’impianto convenzionale che produca solamente elettricità. La sua emissione netta di 2CO è

nulla: l’anidride carbonica emessa nell’atmosfera è stata precedentemente assorbita da essa

durante la recente crescita della biomassa.

L’attività verrà intrapresa da una nuova società pubblica. Più specificatamente, occorrono 3

anni per progettare l’impianto e ottenere la licenza edilizia; occorre invece 1 anno per costruire

l’impianto, il cui ciclo di vita è di 30 anni. Pertanto, i flussi di cassa per i finanziatori sono

negativi per i primi 4 anni e positivi per i successivi 30 anni, durante i quali la capacità

produttiva non varia e l’investimento è modesto. Si raccoglie capitale proprio e si contrae

debito solo durante i primi 4 anni. Il rapporto tra debito e capitale proprio è costante nel tempo

e pari a 1,5; naturalmente, si considerano valori di libro. Tale leva finanziaria è sostenibile; si

constata infatti che tutto il debito può essere ripagato in 8 esercizi senza correre alcun rischio di

insolvenza. Per semplicità, non vengono mai distribuiti dividendi; gli utili ritenuti accrescono la

cassa, la quale può essere utilizzata per ripagare il debito. Attraverso i certificati verdi, la

produzione di elettricità verde beneficia di sussidi durante i primi 8 anni di esercizio.

Si simulano i bilanci pro-forma per 14=n anni di seguito, utilizzando un rapporto tra

valore del capitale totale e margine operativo lordo (EBITDA) pari a 7,5 per calcolare il valore

terminale del capitale totale della società pubblica. Attraverso tale simulazione si ricava la


96

sequenza di 14=n flussi di cassa per gli azionisti (espressi in 310 €) riportata nella seguente

tabella.

t x -2.078,0 -2.161,1 -2.249,5 -4.421,8 1.670,3 1.959,0 1.959,0

t 1 2 3 4 5 6 7

t x 1.959,0 1.959,0 1.959,0 1.959,0 1.959,0 963,2 11.390,4

t 8 9 10 11 12 13 14

L’appropriato costo del capitale proprio per un’impresa priva di debito è %8* =r . Il costo

del debito è %50,6=i mentre il valore attuale netto dello scudo fiscale è 63,504.10 =**PV .

Si trovino il valore attuale rettificato 0PV e il costo del capitale totale r.

Svolgimento. Scontando la sequenza dei flussi di cassa per gli azionisti al tasso %8* =r , si

ricava 61,497.3*0 =PV . Si ha dunque 24,002.563,504.161,497.3**

0*00 =+=+= PVPVPV ;

tale valore attuale rettificato costituisce una stima del valore di mercato al tempo 0 del capitale

totale della nuova società pubblica.

Il calcolo di r è riconducibile al calcolo del tasso interno di rendimento della seguente

sequenza di flussi di cassa

-7.080,2 -2.161,1 -2.249,5 -4.421,8 1.670,3 1.959,0 1.959,0

t 1 2 3 4 5 6 7

1.959,0 1.959,0 1.959,0 1.959,0 1.959,0 963,2 11.390,4

t 8 9 10 11 12 13 14

Utilizzando la funzione TIR incorporata in un foglio elettronico, si ricava %83,6=r .

Sulla valutazione di un’impresa nella pratica professionale

Tra i metodi di valutazione di un’impresa usati nella pratica professionale spiccano quelli

tradizionali fondati sull’attualizzazione dei flussi di cassa o sui multipli . Molti professori di


97

finanza anglosassoni preferiscono i primi mentre molti esperti di finanza fanno ricorso ai

secondi. Tuttavia, entrambi i metodi dovrebbero essere impiegati e poi riconciliati.

Nel primo caso, la valutazione è analitica e prospettiva. Si proiettano, su un foglio

elettronico, uno stato patrimoniale e un conto economico per 3-5 o più anni nel futuro, cosicché

si può simulare un rendiconto finanziario e ottenere una successione di flussi di cassa dei

finanziatori . Come già spiegato, si considera solo la gestione caratteristica, trascurando invece

la gestione finanziaria della liquidità in eccesso. Si calcola poi un valore terminale dell’impresa

dopo 3-5 o più anni per mezzo di una formula di valutazione o di un multiplo; si ottiene allora

una stima del valore di mercato del capitale totale dell’impresa attualizzando i flussi di cassa

dei finanziatori e il valore terminale a un opportuno costo del capitale totale, spesso un costo

medio ponderato del capitale (si vedano Benninga-Sarig, 1997, cap. 3 e cap. 8).

Alternativamente, si può calcolare un valore attuale rettificato del capitale totale dell’impresa

avvalendosi del procedimento presentato più sopra, che è più saldo sul piano teorico. Infine, si

possono attualizzare i flussi di cassa degli azionisti a un opportuno costo del capitale proprio

(si vedano Benninga-Sarig, 1997, cap. 13), ottenendo così il valore di mercato del capitale

proprio dell’impresa. E’ difficile usare i flussi di cassa dei finanziatori, qualora sia difficile

definire il valore di mercato del debito. E’ invece difficile usare i flussi di cassa degli azionisti,

qualora siano presenti obbligazioni convertibili e warrant.

Nel secondo caso, la valutazione è empirica e può essere retrospettiva, come accade

usualmente nel campo del private equity. Il valore di mercato del capitale totale dell’impresa è

spesso stimato mediante l’una o l’altra delle seguenti equazioni

EBIT totalecapitale del valore k= o EBITDA totalecapitale del valore k=

dove k è il multiplo e EBIT(DA) è una media degli ultimi 3-5 valori o l’ultimo valore

disponibile dell’utile prima degli oneri finanziari, delle tasse (e dell’ammortamento), vale a dire

del margine operativo netto (lordo). Tale calcolo può essere pure svolto con riferimento al

fatturato. Si tenga presente che opportuni aggiustamenti sono apportati al margine operativo

netto o lordo di bilancio. Il multiplo k è un’opportuna media dei multipli relativi alle varie

società comparabili quotate che operano nel settore industriale in esame.

OSSERVAZIONE. Secondo un’affidabile regola euristica, l’obiettivo ideale di

un’operazione di leveraged buy out è un’impresa manifatturiera con una consolidata posizione

in un settore industriale maturo e tale che

EBITDA/fatturato=12-13%, capitale circolante/fatturato=30-35%, investimento/fatturato=1-2%


98

Sebbene la redditività dell’impresa non sia elevata, in coerenza con la sua appartenenza a un

settore industriale maturo, il capitale circolante e l’investimento non pesano troppo di modo che

un moderato incremento del fatturato non farebbe danno. In linea di principio, fintantoché

EBIT/interesse >2 e debito/EBITDA<4,5

si può ottenere ulteriore credito da una banca.

Gli esperti italiani di finanza utilizzano pure il metodo patrimoniale, che è analitico e

retrospettivo. Più precisamente, essi stimano il valore di mercato del capitale proprio di

un’impresa corregendo le voci del più recente stato patrimoniale sotto l’ipotesi convenzionale

che l’impresa cessi la propria attività e sia liquidata . E’ verosimile che emergano differenze tra

i valori di mercato e i valori di libro, per esempio, delle attività intangibili, delle partecipazioni

a causa del metodo di consolidamento, delle immobilizzazioni a causa dell’inflazione e del

divario tra ammortamento ed obsolescenza delle immobilizzazioni, dei crediti e dei debiti non

rappresentati da titoli quotati (per esempio, il valore di libro di un credito esigibile tra 2 anni è

il valore facciale mentre il valore di mercato è il suo valore attuale). Il metodo patrimoniale è

coerente con il caso particolare in cui la redditività media dell’impresa è normale, vale a dire è

proprio quella richiesta dagli investitori. Ciò spiega perché il metodo patrimoniale sia ancillare

e non vada utilizzato da solo, a meno che l’impresa da valutare sia in fase di liquidazione.


99

4. Obbligazioni a tasso fisso

4.1. Apprezzamento di obbligazioni a tasso fisso e con cedole annue

Il tempo sia misurato in anni. Si consideri un prestito diviso in obbligazioni a tasso fisso,

con cedole annue e con valore facciale (o nominale) percentuale pari a 100; siano c il tasso

cedolare annuo e n il numero delle rimanenti cedole. Come mostrato dal seguente diagramma,

ogni obbligazione stacca una cedola c100 alla fine di ogni anno e restituisce il valore facciale

100 alla scadenza n senza pagare alcun premio di rimborso. L’emittente delle obbligazioni

non disponga della facoltà di rimborso anticipato.

c100 c100 c100 ( )c+1100

0 t 1 2 L 1n − n

Se, inoltre, la più recente cedola è stata staccata (o le obbligazioni sono state emesse) al tempo

0, t è il tempo trascorso da allora ( )0 1t≤ < , di modo che i dietimi (o rateo di interesse)

valgono ct100 . Ove non diversamente specificato, si farà astrazione in tutta la sezione da

giorni di differimento , commissioni e tasse, assumendo pure che ogni mese abbia 30 giorni,

coerentemente con la regola di calcolo dei giorni 30/360 europea.

Si supponga che la giornaliera quotazione delle obbligazioni sia pubblicamente disponibile e

riportata, tra l’altro, in una pagina elettronica di un fornitore di informazione e in una pagina

cartacea di un quotidiano finanziario.

Scadenza Tasso cedolare Corso secco Rendimento a scadenza

1/2/2009 3,00% 100,050 2,61% 15/4/2009 3,00% 100,170 2,53% 1/5/2009 4,50% 100,780 2,56% 15/6/2009 3,75% 100,680 2,47% 1/11/2009 4,25% 101,460 2,63%

Tabella 2 – Quotazioni di alcuni BTP rilevate il 27/11/2008; le cedole dei BTP sono semestrali

(Copia parziale da: il Sole 24 Ore, venerdì 28/11/2008)

Sebbene tale quotazione sia un corso secco cleanP , ogni compratore deve pagare un corso tel

quel dirtyP al venditore, dove ctPP cleandirty 100+= ; entrambi i corsi sono espressi come

percentuale dell’effettivo valore facciale di ogni obbligazione.


100

Esempio 18. Un risparmiatore compri oggi delle obbligazioni con valore facciale di

€75.000, cedole annue al tasso cedolare del 9% e durata residua di 14 mesi. L’odierna

quotazione sia 102,13. Si determinino l’odierno corso tel quel e l’esborso del risparmiatore

nell’ipotesi che ogni mese abbia 30 giorni.

Svolgimento. Poiché la durata residua è di 14 mesi, il prossimo stacco di cedola avverrà tra

21214 =− mesi; in altre parole, sono trascorsi 10 mesi dall’emissione o dall’ultimo stacco di

cedola. Pertanto, i dietimi e il corso tel quel valgono

63,10950,713,10250,7 e 50,712

1009,0*100 =+=+== cleandirty PP

Siccome il corso tel quel è espresso come percentuale del valore facciale dell’obbligazione, il

prezzo di un’unità di valore facciale è 100

63,109, mentre l’esborso del risparmiatore per 75.000

unità di valore facciale è € 5022282100

6310900075 ,.

,. = .

Giorni di differimento , commissioni e tasse sono esplicitamente considerati nell’esercizio

35. Sia t il corrente istante ( )0 1t≤ < . Il tasso annuo (lordo) di rendimento a scadenza delle

obbligazioni, comprate al tempo t e detenute sino alla loro scadenza n, è il tasso interno di

rendimento definito dall’equazione

( )( )( )tnyncleandirty yycactPP +++=+= − 11100100100 |

sotto l’ipotesi che l’interesse sia composto annualmente. La sua parte destra può essere

derivata coerentemente con la nozione di scindibilità : tutti i futuri incassi sono dapprima

trasferiti all’indietro al tempo 0; il loro valore attuale è poi trasferito in avanti al tempo t.

All’esborso iniziale dirtyP fanno dunque seguito n incassi, il cui totale ammonta a

dirtyPcn >+100100 , in quanto gli obbligazionisti sono operatori razionali. In virtù della

condizione sufficiente riportata nella sezione 3.3, il tasso interno di rendimento y è unico e

positivo.

Per 0t = l’equazione più sopra coincide con l’equazione (3.1) con 1m= riportata in

Luenberger (1998); per 0 1t< < l’equazione più sopra estende l’equazione (3.1) con 1m=

riportata in Luenberger (1998).

OSSERVAZIONE. La precedente equazione nell’incognita y non possiede una soluzione

analitica. Ciò nonostante, avvalendosi della funzione Goal Seek incorporata nel foglio

elettronico Excel, si può determinare un’affidabile soluzione numerica (approssimata).


101

Un’inizializzazione, spesso superflua, per il procedimento iterativo di calcolo è data dalla

formula approssimata

( )( ) 3/2100

/100100ˆ

clean

clean

P

nPcy

+−+=

Il contesto è semideterministico, in quanto si tiene conto del rischio di tasso e del rischio

credito. Il rendimento effettivo delle obbligazioni è incerto e, in generale, diverso dal

rendimento a scadenza; tutte le poste sono semicerte.

Apprezzamento di obbligazioni con cedole semestrali (trimestrali)

La precedente equazione vale pure per le obbligazioni con cedole semestrali (trimestrali ).

In tal caso, tuttavia, il tempo deve essere misurato in semestri (trimestri ) e sia il tasso cedolare

c sia il tasso di rendimento a scadenza y devono essere espressi su base semestrale

(trimestrale).

La funzione rendimento a scadenza-prezzo

Si consideri un’obbligazione a tasso fisso con valore facciale (o nominale) percentuale di

100 e con n cedole annue pari a 100c. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante di

modo che l’obbligazione quota ex cedola; di conseguenza, i dietimi sono nulli e i corsi secco e

tel quel sono uguali

( ) nyncleandirty ycaPP −++== 1100100 |

Si consideri il corso ex cedola ( )yPclean come funzione del tasso annuo di rendimento a

scadenza y. Si ha

1) ( ) 1001001100100)0( >+=+= nccnPclean ;

2) ( ) ( ) 100110011

100)( =+++−= −−

nn

clean cc

cccP ;

3) ( ) ++∞→

= 0lim yPcleany

di modo che l’asse delle ascisse y è un asintoto orizzontale;

4) ( ) ( ) ( ) 010011001

1

11 <+−++−= ∑=

−−−−n

t

tnclean cytyndy

ydP di modo che il grafico di ( )yPclean

ha inclinazione negativa;

5) 0)(

2

2>

dy

yPd clean di modo che il grafico di ( )yPclean è convesso.


102

Come mostrato nel seguente diagramma, dove %10 o %5=c e 5=n , poiché ( )yPclean è una

funzione continua, si ha, per ogni data scadenza n e tasso cedolare c,

1) ( ) cyyPclean <≤> 0per 100 , ossia l’obbligazione è quotata a premio;

2) ( ) 100=cPclean , ossia l’obbligazione è quotata alla pari ;

3) ( ) ycyPclean << per 100 , ossia l’obbligazione è quotata a sconto.

Inoltre, per ogni data scadenza n e tasso annuo di rendimento a scadenza y, tanto maggiore è il

tasso cedolare c, quanto maggiore è il corso ex cedola ( )yPclean .

0

50

100

150

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40%

Pclean(y) c=5% Pclean(y) c=10%

Le obbligazioni a tasso fisso sono di solito emesse vicino alla pari, vale a dire con tasso

cedolare c vicino al tasso annuo di rendimento a scadenza y allora richiesto dal mercato per la

scadenza n e per il merito di credito dell’emittente. Tuttavia, poiché le condizioni di mercato

mutano al passare del tempo, i corsi secchi delle obbligazioni a tasso fisso possono differire, a

volte pure marcatamente, dal loro valore nominale, pari a 100. Più precisamente, un incremento

(decremento) nel tasso di rendimento a scadenza y produce un decremento (incremento) nel

corso tel quel e dunque nel corso secco ( )yPclean . La reazione del corso ex cedola a ogni dato

y∆ è asimmetrica: un y∆ positivo (negativo) fa sì che ( )yPclean fletta di meno (cresca di più).

Per ogni dato tasso di rendimento a scadenza cy < , si dimostra mediante induzione

matematica che tanto più lontana è la scadenza n, quanto maggiore è il corso ex cedola.

Pertanto, al crescere della scadenza n, la curva prezzo-rendimento ( )yPclean diviene più ripida e

ruota in senso orario attorno al punto alla pari. Un esempio in merito è riportato nel diagramma

sotto, dove %5=c e 01 o 5 o 2=n .


103

0

50

100

150

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40%

Pclean(y) n=2 Pclean(y) n=5 Pclean(y) n=10

Sul tasso di rendimento effettivo

Si supponga che un’obbligazione a tasso fisso sia comprata al tempo t e detenuta sino a

scadenza. Poiché il suo tasso di rendimento a scadenza y è un tasso interno di rendimento, si

suppone pure tacitamente che tutte le cedole siano reinvestite a tale tasso, una circostanza

improbabile. Pertanto, il tasso di rendimento effettivo dell’obbligazione differisce di solito dal

suo tasso di rendimento a scadenza y; l’effetto esercitato dal tasso di reinvestimento è

esaminato nell’esercizio 38, dove si fa riferimento a una scadenza n intermedia e a tassi di

reinvestimento plausibili in un contesto a bassa inflazione.

Ad ogni modo, sebbene i tassi di reinvestimento a medio e lungo termine siano difficilmente

predicibili, gli errori di predizione saranno verosimilmente analoghi per obbligazioni con la

stessa scadenza. Questa è probabilmente la ragione per cui i gestori di fondi obbligazionari

fanno ricorso al tasso di rendimento a scadenza nel confrontare obbligazioni a tasso fisso con

simili scadenze e simili meriti di credito.

OSSERVAZIONE. Il tasso di rendimento a scadenza di un portafoglio obbligazionario non

è una media pesata dei tassi di rendimenti a scadenza delle obbligazioni che lo compongono, i

pesi essendo le percentuali investite nelle obbligazioni.

Si consideri ora la seguente particolare operazione finanziaria, concernente un’obbligazione

a tasso fisso e con cedole annue pari a 100c. Essa sia comprata e poi rivenduta dopo un’anno,


104

sempre a un corso ex cedola e in corrispondenza del medesimo tasso annuo di rendimento a

scadenza y. Poiché l’obbligazione è, in tale circostanza, una rendita con n rimanenti rate annue,

non costanti e posticipate, il tasso di rendimento effettivo è pari a y. Inoltre, la variazione

annua nel corso ex cedola è

( )( ) nclean ycyP −+−=∆ 1100

dove n indica il numero delle rimanenti cedole al momento dell’acquisto. Si ha

• ( ) cyyPclean <≤<∆ 0per 0 . Sebbene l’obbligazione sia quotata a premio, la cedola

incassata è troppo grassa e viene compensata da una minusvalenza di capitale;

• ( ) 0=∆ cPclean , ossia l’obbligazione è comunque quotata alla pari ;

• ( ) ycyPclean <>∆ per 0 . Sebbene l’obbligazione sia quotata a sconto; la cedola incassata

è troppo magra e viene compensata da una plusvalenza di capitale.

OSSERVAZIONE. Qualora y sia sempre lo stesso, ai successivi stacchi di cedola si

registrerà un’analoga situazione. In particolare, per cy ≠ il corso ex cedola ridurrà ogni anno la

sua distanza da 100, annullandola al momento del rimborso; tali variazioni sono causate dal

passare del tempo.

Esercizio 35. Un risparmiatore compri mercoledì 23 giugno dei buoni del Tesoro poliennali

con valore nominale di €25.000, tasso fisso del 3,20% e 3 cedole semestrali residue, in

pagamento il 1/4 e il 1/10. Tali obbligazioni siano state emesse alla pari; la loro quotazione sia

99,83; la data di regolamento è lunedì 28 giugno. Le cedole e l’eventuale plusvalenza di

capitale sono tassate con aliquota del 12,50%. La regola per il calcolo dei giorni è

effettivi/effettivi . Si determini l’esborso del risparmiatore, facendo astrazione dalla

commissione bancaria.

Soluzione. Il tempo sia misurato in semestri. Poiché l’ultima cedola è stata staccata giovedì

1 aprile e la successiva sarà staccata venerdì 1 ottobre, i giorni effettivamente trascorsi dal più

recente stacco sono 88283129 =++ di modo che

183

88=t

Inoltre, poiché il tasso cedolare dei BTP è convertibile semestralmente, le cedole semestrali

lorda e netta valgono

60,12

032,0*100 = e 40,1875,0*60,1 =


105

rispettivamente; nella prassi operativa i dietimi sono netti, in quanto i risparmiatori incassano

cedole nette. Pertanto, i dietimi e il corso tel quel sono pari a

50,10067,083,99 e 0,67 183

88,401 =+== dirtyP

Siccome il prezzo di un’unità di valore facciale è 100

50,100, l’esborso del risparmiatore per

25.000 unità di valore facciale ammonta a € 125.25100

50,100000.25 = .

OSSERVAZIONE. Il regolamento di una sottoscrizione all’asta di BTP o di CCT avviene

con 2 giorni lavorativi di differimento; il regolamento di una compravendita di BTP, di CCT, o

di obbligazioni societarie avviene con 3 giorni lavorativi di differimento. Per le obbligazioni

con cedole emesse dopo il 1/1/1999, la regola per il calcolo dei giorni è effettivi/effettivi .

Le aste elettroniche di emissione di BTP o di CCT periodicamente tenute dalla Banca d’Italia

sono marginali ; in tali aste tutte le migliori offerte degli intermedari finanziari per

un’obbligazione sono soddisfatte al prezzo marginale, quello dell’ultima offerta accolta. Non ci

sono commissioni di sottoscrizione per i BTP e i CCT, in quanto esse sono retrocesse dal

Tesoro italiano agli intermediari finanziari aggiudicatari al momento della sottoscrizione.

Esercizio 36. Un risparmiatore compri oggi delle obbligazioni societarie con valore facciale

di €100.000, cedole annue al tasso cedolare del 5,76% e durata residua di 26 mesi. Tali

obbligazioni siano state emesse alla pari e la loro quotazione odierna sia 101,34. Le cedole e

l’eventuale plusvalenza di capitale sono tassate con aliquota del 20%; la commissione bancaria

sia pari allo 0,25% del valore facciale. Si determinino


b) il tassi annui lordo e netto di rendimento a scadenza.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e ogni mese abbia 30 giorni. Le cedole annue lorda

e netta valgono 76,50576,0*100 = e 608,48,0*76,5 = . Poichè l’ultimo stacco di cedola è

avvenuto 10 mesi fa, i dietimi e il corso tel quel sono

84,312

10608,4 = e 43,10525,084,334,101 =++=dirtyP

a) L’esborso del risparmiatore per 100.000 unità di valore facciale ammonta a

€ 430.105100

79,105000.100 =

b) I tassi incogniti y soddisfano le 2 equazioni


106

( )( )( ) 12/103|3 1110076,514,10680,434,101

12

1076,534,101 yyaP ydirty +++==+=+= −

( )( )( ) 12/103|3 11100608,443,105 yyaP ydirty +++== −

che non possiedono una soluzione analitica. Utilizzando la funzione Goal Seek incorporata

nel foglio elettronico Excel, si possono determinare 2 soluzioni numeriche (approssimate);

il tasso annuo lordo risulta pari a %081,5=y mentre il tasso annuo netto risulta pari a

%823,3=y .

OSSERVAZIONE. Si consideri il caso di una persona fisica residente in Italia che

percepisca dei redditi obbligazionari al di fuori dell’esercizio di un’attività di impresa, avendo

optato esplicitamente per il regime di tassazione più diffuso, quello del risparmio

amministrato, introdotto dal decreto legislativo 461 del 21/11/1997. Egli tenga le proprie

obbligazioni (titoli di Stato e equiparati come pure obbligazioni emesse da banche operanti in

Italia o da società quotate in Italia) in custodia e amministrazione presso una banca o una SIM

senza avere delegato l’attività di gestione. Come spiegato in Mignarri (2012), il prelievo fiscale

è operato dall’intermediario finanziario per conto dell’erario; esso è a titolo di imposta

sostitutiva, sempre con aliquota del 12,5% o del 20%. Più precisamente, l’onere fiscale grava

sulle cedole e sul disaggio (o scarto) di emissione, al momento della loro percezione, come

pure sulle plusvalenze di capitale, al momento della loro realizzazione. Di conseguenza, tali

redditi finanziari non vanno riportati nella dichiarazione dei redditi. L’aliquota fiscale per i

titoli di Stato, sia nazionali sia esteri purché di opportuni paesi, e per le obbligazioni emesse da

enti sovranazionali è del 12,5% mentre l’aliquota fiscale per le obbligazioni societarie è del

20%. Secondo il decreto legge 201 del 6/12/2011, ogni anno si effettua un ulteriore prelievo

fiscale pari allo 0,15% del valore di mercato di tutte le obbligazioni depositate presso banche e

altri intermediari finanziari.

Qualora il risparmiatore del precedente esercizio detenga l’obbligazione sino a scadenza, in

tale momento conseguirà una minusvalenza pari a 101,59-100=1,59, dove 101,59 è il corso

secco di acquisto aumentato della commissione bancaria. Egli potrà dedurre la minusvalenza,

sino alla sua concorrenza, da plusvalenze, anche e non solo su opportune azioni, conseguite

nello stesso anno o nei 4 anni successivi. Se, coeteris paribus, la quotazione odierna

dell’obbligazione, aumentata della commissione bancaria, fosse stata 100<cleanP , alla sua

scadenza il risparmiatore avrebbe conseguito una plusvalenza pari a cleanP−100 , compensabile

con opportune minusvalenze o soggetta a un prelievo fiscale pari a ( ) 20,0100 cleanP− .


107

Più in generale, siano n~ e cleanP~

il numero delle cedole annue e il corso secco

all’emissione di un’obbligazione societaria con valore nominale percentuale pari a 100 e tasso

cedolare annuo c; per 0~ <cleanP si ha un disaggio di emissione pari a cleanP

~100− , sul quale è

operato, alla scadenza dell’obbligazione, un prelievo fiscale pari a ( ) 20,0~

100 cleanP− . Qualora

l’obbligazione non sia mai negoziata, l’imposta sostitutiva è interamente a carico dell’unico

detentore; altrimenti, l’imposta sostitutiva deve essere pagata da ciascun detentore

proporzionalmente al periodo di detenzione.

Per comprendere il caso generale, è sufficiente considerare il caso particolare, ma significativo,

di un risparmiatore che acquisti l’obbligazione in esame successivamente alla sua emissione e

la detenga sino a scadenza. Qualora egli la acquisti al corso secco cleanP comprensivo della

commissione bancaria, n essendo il numero delle rimanenti cedole e t essendo il tempo

trascorso dall’ultimo stacco, il corso secco omnicomprensivo sarà

( ) ( )n

tnnPP cleanclean ~

~20,00;

~100max

−−−−

dove il secondo termine è il rateo dell’imposta sostitutiva sul disaggio di emissione a carico del

precedente detentore, ( )tnn −−~ essendo il tempo trascorso dall’emissione. Il corso tel quel

sarà dunque

( ) ( )tc

n

tnnPPP cleancleandirty 80,0100~

~20,00;

~100max +−−−−=

Alla scadenza dell’obbligazione il risparmiatore

• incasserà l’ultima cedola netta, pari a 80,0100c ;

• incasserà il valore nominale, pari a 100, diminuito dell’intera imposta sostitutiva sul

disaggio di emissione, pari a ( ) 20,00;~

100max cleanP− ;

• conseguirà verosimilmente una plusvalenza o una minusvalenza pari a

( )n

tnPP cleanclean ~0;~

100max100−−−−

da trattare in uno dei 2 modi menzionati più sopra. Il terzo termine è il rateo di disaggio

di emissione maturato nel periodo di detenzione tn − .

Pertanto, per determinare l’eventuale plusvalenza o minusvalenza, al corso secco di vendita si

sottraggono il corso secco di acquisto e il rateo di scarto di emissione maturato tra acquisto e

vendita; ciascun corso secco è pari una quotazione, diminuita o aumentata della commissione

bancaria. Qualora la stessa obbligazione sia acquistata più volte, l’intermediario finanziario farà

uso del corso secco medio ponderato di acquisto.


108

Esercizio 37. Si consideri un’obbligazione con valore facciale percentuale di 100, cedole

semestrali, tasso cedolare del 4,20% e durata residua di 22 mesi. L’odierno tasso di rendimento

a scadenza sia il 4,04 % annuo effettivo. Si determinino

a) l’odierno corso secco;

b) il corso ex cedola tra 4 mesi, nell’ipotesi che il tasso di rendimento a scadenza non vari.

Soluzione. Il tempo sia misurato in semestri. Poiché il tasso cedolare è convertibile

semestralmente, la cedola semestrale vale 10,22

042,0100 = . Inoltre, un rendimento del 4,04%

annuo effettivo è equivalente a un rendimento del 2% semestrale ( )0404,102,1 2 = .

a) A causa della scindibilità il corso tel quel soddisfa l’equazione

( )( )( )tnyndirty yyaP 222| 11*10010,2 +++= −

dove 4=n è il numero delle rimanenti cedole, %22 =y è il tasso di rendimento

semestrale, 3

1

180

60 ==t semestre (ossia 2 mesi) è il tempo trascorso dall’ultimo stacco di

cedola (o dall’emissione dell’obbligazione). Pertanto i corsi tel quel e secco valgono oggi

05,101=dirtyP e 35,10070,005,101 =−=cleanP

dove l’importo 70,03

10,210,2 ==t costituisce i dietimi.

b) Il corso ex cedola tra 4 mesi è

29,10010,202,1*50,10102,1*10010,2 3

23

%2|3 =−=+= −aPclean

Si rammenta che, se il tasso di rendimento a scadenza 2y è costante, l’obbligazione è una

rendita con n rimanenti rate semestrali, non costanti e posticipate. Il valore della rendita tra

4 mesi, pari a ( ) 6/421 yPdirty + , è la somma di un montante, la cedola in pagamento, e di un

valore attuale, il corso ex cedola.


annue, tasso cedolare del 3% e durata residua di 10 anni. Dopo essere stata comprata oggi, alla

quotazione di 91,89, l’obbligazione sia detenuta sino a scadenza, reinvestendo tutte le cedole a

un tasso annuo del 2%, o del 3%, o del 5%, o del 6%. Si determinino il montante tra 10 anni e il

corrispondente tasso annuo di rendimento effettivo.


109

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni. La cedola annua ammonta a 303,0*100 = . Poichè

l’ultimo stacco di cedola è appena avvenuto, i dietimi sono nulli di modo che il corso tel quel è

uguale al corso secco. Il tasso annuo di rendimento a scadenza incognito y soddisfa

l’equazione del montante

( ) 1003189,91 |1010 +=+ ysy

vale a dire l’abituale equazione del valore attuale con entrambe le parti moltiplicate per

( )101 y+ . Avvalendosi della funzione Goal Seek incorporata incorporata nel foglio elettronico

Excel, si ricava %4=y .

Il tasso annuo di rendimento effettivo incognito ACTy soddisfa l’equazione del montante

( ) 10|1010 1003189,91 FVsy iACT =+=+

dove i è il tasso annuo di reinvestimento mentre 10FV è il corrispondente montante tra 10 anni.

Si ha

i 2% 3% 4% 5% 6%

10FV 132,85 134,39 136,02 137,73 139,54

ACTy 3,755% 3,875% 4% 4,130% 4,266%

OSSERVAZIONE. Qualora l’obbligazione sia venduta prima della scadenza, per esempio

tra 4 anni al corso ex cedola cleanP , il tasso annuo di rendimento effettivo ACTy soddisfa

l’equazione del montante

( ) 4|44 3189,91 FVPsy cleaniACT =+=+

In tale caso, al rischio di reinvestimento delle cedole si aggiunge il rischio di prezzo.

4.2. Durata media finanziaria

La durata media finanziaria di un’obbligazione misura in modo approssimato la sensitività

del corso tel quel dirtyP a un’improvvisa e contenuta variazione nel tasso annuo di rendimento

a scadenza y. Il tempo t sia misurato in anni e 0 sia l’istante di valutazione. Si consideri

dapprima il caso generale di una rendita, vale a dire di una sequenza di rate con scadenze

periodiche nttt <<< L21 e valore attuale PV; la durata media finanziaria D della rendita è


110

∑

∑∑

=

=

===

n

kk

n

kkkn

k

kk

PV

PVt

PV

PVtD

1

1

1

dove kPV è il valore attuale della rata con scadenza kt . Mutatis mutandis, si applicano alle

rendite l’analisi di sensitività e le 2 proposizioni riportate più sotto, le quali fanno riferimento

alle obbligazioni.

OSSERVAZIONE. Nel caso particolare di una rendita periodica immediata con n rate

costanti posticipate R, versate m volte all’anno, si ha m

nt

mt

mt n =<<=<= L

2121 e

( )

min

n

k

-kmn

k

kk Ra

iRm

k

PV

PVtD

|

1

1

1∑∑ =

=

+

==

dove mi è il tasso periodale di interesse utilizzato. Si dimostra che la formula generale si

semplifica così

( )anni

1

11

1

mi

n

i

iD

nmm

m

−+−+=

Nel caso di un’obbligazione con cedole i termini della formula generale più sopra diventano

dirtyPPV = e ( )

( )( )

=++<+=

per 11100

per 1100

nk-t

nk-t

kttyc

t tycPV

n

k

in quanto ogni rata è una cedola (annua, semestrale, o trimestrale), accompagnata dal rimborso

del capitale alla scadenza nt dell’obbligazione. Poiché la durata media finanziaria D è una

media pesata di tutte le n scadenze, i pesi essendo dati dai rapporti dirty

k

P

PV, si ha ntDt ≤≤1 con

1tD = per un’obbligazione senza cedola, avente una sola rata, e ntD < per un’obbligazione

con cedole, avente n rate.

Si dimostra che, coeteris paribus,

• tanto maggiore è il tasso cedolare (periodale) c, quanto minore è la durata media

finanziaria D;

• tanto maggiore è il tasso di rendimento a scadenza y, quanto minore è la durata media

finanziaria D;


111

• per +∞→nt la durata media finanziaria D tende a un limite finito. Inoltre, per cy ≤ ,

tanto maggiore è nt , quanto maggiore è D, mentre per cy > e una scadenza nt meno

distante (più distante), tanto maggiore è nt , quanto maggiore (minore) è D. Un esempio

in merito è riportato nel diagramma sotto, dove %4=c annuo, %15=y annuo, mentre

nt varia tra 5 e 75 anni.

4

5

6

7

8

9

10

5 15 25 35 45 55 65 75

durata media finanziaria D(tn)

Si consideri il corso tel quel quale funzione del tasso di rendimento a scadenza: )(yfPdirty = .

Qualora si tronchi al termine del 1° ordine lo sviluppo di Taylor di )(yf

22

2

)~(''

12

)~('')(' y

yf

y

yDPy

yfyyfP dirtydirty ∆+

+∆

−=∆+∆=∆

dove y~ è un punto interno all’intervallo di estremi y e yy ∆+ , si accerta agevolmente che la

sensitività di dirtyP a variazioni di y può essere approssimata dal termine lineare

yDyy

D

P

P

dirty

dirty ∆−=∆+

−≅∆ ~

1

l’errore di approssimazione essendo uguale al resto dello sviluppo di Taylor. Un’improvviso e

contenuto incremento (decremento) di y darebbe origine a una minusvalenza (plusvalenza)

di capitale, grosso modo proporzionale alla durata media finanziaria modificata D~

.

Esempio 19. Si consideri un’obbligazione con cedole annue, tasso cedolare dell’8% e durata

di 8 anni. Si supponga che l’obbligazione sia comprata alla pari all’emissione. Pertanto, il


112

tasso di rendimento a scadenza è dell’8% mentre la durata media finanziaria è 206,6=D . Il

grafico di )(yfPdirty = compare nella figura più sotto, dove il punto alla pari ( )100;08,0=P

indica le condizioni all’emissione.

La linea retta ( )08,008,1

100*206,6100 −−=− yPdirty è tangente alla curva )(yfPdirty = nel

punto P. Per valutare le conseguenze di un’improvvisa e contenuta variazione di y, si può fare

riferimento alla retta tangente, vale a dire a un’approssimazione lineare. Per esempio, se y

crescesse all’8,50%, si verificherebbe una perdita di capitale di 2,873 dovuta a una flessione del

corso tel quel a circa 97,127.

50

100

150

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16%

Pclean(y) retta tangente

P

OSSERVAZIONE. Si constata rapidamente che l’effettivo corso tel quel dopo l’incremento

nel tasso di rendimento a scadenza è pari a 97,180. Pertanto, l’errore di approssimazione è

decisamente modesto e pari a 053,0180,97127,97 −=− ; ciò spiega perché il calcolo riportato

più sopra sia spesso svolto dagli esperti per stimare come una variazione del +1% (-1%) nel

tasso annuo di rendimento a scadenza influenzi il corso tel quel di un’obbligazione. Si accerta

pure agevolmente che, coeteris paribus, tanto più distante è la scadenza n dell’obbligazione,

quanto meno accurata è l’approssimazione.

Ricapitolando, il corso di un’obbligazione può variare per il passare del tempo o a causa di

una variazione nel tasso di rendimento a scadenza; tale affermazione vale anche per la durata

media finanziaria.


113

Proposizione. Qualora y non cambi e non abbia luogo alcun pagamento, D decresce

linearmente al passare del tempo.

DIMOSTRAZIONE. Sia t l’istante di valutazione con 10 tt <≤ . La durata media

finanziaria al tempo t è

( ) ( )

( )

( )tDt

PV

PVt

PV

PVtt

yPV

yPVtt

n

kk

n

kkk

n

kk

n

kkk

tn

kk

n

k

tkk

−=−=

−

=

+

+−

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

1

1

1

1

1

1

1

1

Si supponga che diversi ammontari di denaro siano investiti al tempo 0 in diverse

obbligazioni, tutte aventi lo stesso tasso annuo di rendimento a scadenza y. Sia nt la scadenza

finale più lontana. Il valore del portafoglio obbligazionario PV soddisfa un’equazione quale

dirtyCCdirtyB

BdirtyA

ACBA P C

P

C P

C PV PV PVPV100100100

++=++=

dove AC è il valore facciale delle obbligazioni A presenti nel portafoglio.

Proposizione. La durata media finanziaria del portafoglio obbligazionario è

CCBBAA D w D w D wD ++=

i pesi CBA , w, ww essendo le percentuali investite nelle 3 obbligazioni.


( ) ( )∑∑

== ++++

=++

=n

k CBA

kCkBkAkn

k

kCkBkAk

PVPVPV

PVPVPVt

PV

PVPVPVt D

11

e quindi

=++

+++

+++

= ∑∑ ∑== =

n

k CBA

C

C

kCkn

k

n

k CBA

B

B

kBk

CBA

A

A

kAk

PVPVPV

PV

PV

PVt

PVPVPV

PV

PV

PVt

PVPVPV

PV

PV

PVtD

11 1

CCBBAA D w D w D w ++=

Se il rendimento a scadenza y cambiasse di poco, una variazione approssimata del valore del

portafoglio obbligazionario sarebbe data dall’equazione lineare introdotta più sopra. La nozione

di durata media finanziaria di un portafoglio obbligazionario è usata nella pratica: qualora un

gestore preveda che tutti i tassi di interesse aumentino (diminuiscano), egli ridurrà (accrescerà)

la durata media finanziaria del proprio portafoglio. Infatti, se un portafoglio obbligazionario ha


114

una contenuta (elevata) durata media finanziaria, il suo valore è poco (molto e favorevolmente)

influenzato da tale evoluzione.

Si consideri ora un portafoglio che comprenda crediti e debiti. Tutti i crediti (debiti)

abbiano lo stesso tasso di rendimento a scadenza Ay ( Ly ), essendo APV ( LPV ) il loro valore

attuale e AD ( LD ) la loro durata media finanziaria. Scegliendo opportunamente AD e LD si

ottiene l’immunizzazione dal rischio di tasso. In altre parole, se tutti i tassi di rendimento a

scadenza subiscono la stessa piccola variazione LA ∆y∆y∆y == , si avrà approssimativamente

LA PVPV ∆≅∆ di modo che non si verificherà alcuna perdita di capitale proprio.

Per esempio, un compagnia di assicurazione sulla vita può costruire un portafoglio per fare

fronte ad alcuni impegni futuri, vale a dire alle obbligazioni insite nelle polizze sottoscritte.

Inoltre, una banca può accettare nuovi depositi e emettere nuove obbligazioni per finanziare

nuovi prestiti bilaterali; naturalmente, gli uni sono debiti mentre gli altri sono crediti. Poiché i

depositi possono essere ritirati con breve preavviso mentre molti prestiti hanno lunga durata, la

banca affronta un cosiddetto problema di trasformazione delle scadenze.

Convessità

La convessità di un’obbligazione misura il grado di curvatura della funzione rendimento a

scadenza-prezzo. Può essere usata insieme alla durata media finanziaria per ottenere una

migliore approssimazione della variazione nel corso tel quel dirtyP dovuta a un’improvvisa

variazione nel tasso annuo di rendimento a scadenza y. Il tempo t sia misurato in anni,

nttt <<< L21 siano delle scadenze e 0 sia l’istante di valutazione. La convessità C~

di

un’obbligazione è

( )

( )dirty

n

kkkk

P

PVtt

y

C

∑=

+

+= 1

2

21

1~

dove kPV è il valore attuale della rata con scadenza kt , vale a dire

( )( )( )

=++<+=

per 11100

per 1100

nk-t

nk-t

kttyc

t tycPV

n

kk

in quanto ogni rata è una cedola (annua, semestrale, o trimestrale), accompagnata dal rimborso

del capitale alla scadenza nt dell’obbligazione. Si dimostra che, coeteris paribus,

• tanto maggiore è il tasso cedolare (periodale) c, quanto minore è la convessità C~

;

• tanto maggiore è il tasso di rendimento a scadenza y, quanto minore è la convessità C~

.


115

Inoltre, le obbligazioni senza cedola hanno la convessità minore tra tutte le obbligazioni con

uguale tasso di rendimento a scadenza y e durata media finanziaria D. In effetti, le obbligazioni

con cedola hanno pagamenti più dispersi nel tempo.

Si consideri il corso tel quel quale funzione del tasso di rendimento a scadenza:

)(yfPdirty = . Qualora si tronchi al termine del 2° ordine lo sviluppo di Taylor di )(yf

3232

6

)~('''

2

~

16

)~("'

2

)('')(' y

yfy

PC

y

yDPy

yfy

yfyyfP

dirtydirtydirty ∆+∆+

+∆

−=∆+∆+∆=∆

dove y~ è un punto interno all’intervallo di estremi y e yy ∆+ , si accerta agevolmente che la

sensitività di dirtyP a variazioni di y può essere approssimata dai termini lineare e quadratico

22

2

~~

2

~

1y

CyDy

Cy

y

D

P

P

dirty

dirty ∆+∆−=∆+∆+

−≅∆

l’errore di approssimazione essendo uguale al resto dello sviluppo di Taylor.

OSSERVAZIONE. Si considerino diverse obbligazioni con uguale tasso di rendimento a

scadenza y e durata media finanziaria D. Si accerta agevolmente che tanto maggiore è la

convessità C~

, quanto maggiore è la variazione nel corso tel quel dirtyP dovuta a una variazione

nel tasso di rendimento a scadenza y. Qualora si faccia riferimento a una struttura a termine dei

tassi di interesse non piatta, considerando ancora diverse obbligazioni con uguale durata media

finanziaria D, la precedente proposizione può essere così riformulata: tanto maggiore è la

convessità C~

, quanto maggiore è la variazione nel corso tel quel dirtyP dovuta a una

traslazione parallela della struttura a termine.

Esempio 20. Si consideri un’obbligazione con cedole annue, tasso cedolare dell’8% e durata

di 8 anni, come nell’Esempio 19. Si supponga che l’obbligazione sia comprata alla pari

all’emissione. Pertanto, il tasso di rendimento a scadenza è dell’8% mentre la durata media

finanziaria e la convessità sono 206,6=D e 616,43~ =C . La parabola

( ) ( )208,02

100*616,4308,0

08,1

100*206,6100 −+−−=− yyPdirty

è tangente alla funzione )(yfPdirty = nel punto alla pari ( )100;08,0=P . Per valutare le

conseguenze di un’improvvisa variazione di y, si può fare riferimento a tale parabola tangente,

vale a dire a un’approssimazione quadratica. Per esempio, se y crescesse all’8,50%, si

verificherebbe una perdita di capitale di 2,819 dovuta a una flessione del corso tel quel a circa


116

97,181. Si rammenta che l’effettivo corso tel quel dopo l’incremento nel tasso di rendimento a

scadenza è pari a 97,180.

Nella seguente tabella si fa ancora riferimento a un’obbligazione con cedole annue, tasso

cedolare dell’8% e durata di 8 anni. Si considerano diverse variazioni y∆ nel tasso annuo di

rendimento a scadenza y e si confronta l’effettivo corso tel quel dirtyP con le sue

approssimazioni lineare e quadratica. La prima si basa sulla durata media finanziaria mentre la

seconda tiene pure conto della convessità.

y∆ dirtyP Appr. Lineare Errore Appr. quadratica Errore

-5% 135,098 128,731 -6,367 134,183 -0,915 -3% 119,390 117,239 -2,151 119,202 -0,188 -1% 105,971 105,746 -0,225 105,964 -0,007 -0,5% 102,929 102,873 -0,056 102,928 -0,001 0,5% 97,180 97,127 -0,053 97,181 0,001 1% 94,465 94,254 -0,211 94,472 0,007 3% 84,562 82,761 -1,801 84,724 0,162 5% 76,006 71,269 -4,737 76,721 0,715

Per piccole variazioni y∆ nel tasso annuo di rendimento a scadenza y l’approssimazione

lineare è abbastanza accurata, mentre per maggiori variazioni y∆ l’approssimazione quadratica

è da preferirsi.

Si supponga che diversi ammontari di denaro siano investiti al tempo 0 in diverse

obbligazioni, tutte aventi lo stesso tasso annuo di rendimento a scadenza y. Sia nt la scadenza

finale più lontana. Il valore del portafoglio obbligazionario PV soddisfa un’equazione quale

dirtyCCdirtyB

BdirtyA

ACBA P C

P

C P

C PV PV PVPV100100100

++=++=

dove AC è il valore facciale delle obbligazioni A presenti nel portafoglio.

Proposizione. La convessità del portafoglio obbligazionario è

CCBBAA C w C w C wC~~~~ ++=

i pesi CBA , w, ww essendo le percentuali investite nelle 3 obbligazioni.



117

( )( )( )∑

= +

+++=

n

k

kCkBkAkk PVy

PVPVPVtt C

12

2

1

~

e quindi

( )( )

( )( )

( )( )

=+

++

+

++

+

+= ∑∑ ∑

== =

n

k

C

C

kCkkn

k

n

k

B

B

kBkkA

A

kAkk

PV

PV

PVy

PVtt

PV

PV

PVy

PVtt

PV

PV

PVy

PVttC

12

2

1 12

2

2

2

111

~

CCBBAA C w C w C w~~~ ++=

Se il rendimento a scadenza y cambiasse di poco, una variazione approssimata del valore del

portafoglio obbligazionario sarebbe data dall’equazione quadratica introdotta più sopra. La

nozione di convessità è utilizzata nella gestione di portafogli obbligazionari come pure di

portafogli che comprendano crediti e debiti.


annue al tasso cedolare del 5%, e durata residua di 27 mesi. L’odierno tasso di rendimento a

scadenza sia il 5% annuo effettivo. Si determinino

a) la durata media finanziaria e la convessità.

Si supponga che il tasso annuo di rendimento a scadenza vari improvvisamente dal 5% al

6%. Si determinino

b) un’approssimazione lineare della variazione nel corso tel quel;

c) un’approssimazione quadratica della variazione nel corso tel quel.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e ogni mese abbia 30 giorni.


( )( )( )tnyndirty yyaP +++= − 11*1005 |

dove 3=n è il numero delle rimanenti cedole, %5=y è il tasso di rendimento annuo,

75,0=t anni (9 mesi) è il tempo trascorso dall’ultimo stacco di cedola (o dall’emissione

dell’obbligazione). Pertanto, il corso tel quel è 727,103=dirtyP . Inoltre, la durata media

finanziaria e la convessità sono

==++= anni 109,205110525205152510515250 252251250

dirty

,-,-,-

P

,**,,**,,**,D

giorni 39 e anni 236010902 =+= *,

( ) ( ) ( )6,145

05,1

05110525,2252051525,1251051525,0250~2

252225122502=+++++=

dirty

,-,-,-

P

,**,,**,,**,C


118

b) Il corso tel quel deve diminuire, in quanto tutte le rimanenti poste sono scontate a un

maggiore tasso annuo %6=∆+ yy . Poiché la sua variazione approssimata è

083,205,1

01,0*727,103*109,2

1−=−=

+

∆−≅∆

y

yDPP

dirtydirty

il suo nuovo valore approssimato è pari a 644,101083,2727103 =−≅∆+ ,PP dirtydirty .

c) Si ha

052,22

01,0*727,103*145,6

05,1

01,0*727,103*109,2

2

~

1

22

−=+−=∆

++

∆−≅∆

yPC

y

yDPP

dirtydirtydirty

e quindi la più accurata approssimazione 675,101052,2727,103 =−≅∆+ dirtydirty PP .

Si accerta agevolmente che l’effettivo corso tel quel dopo l’incremento nel tasso di

rendimento a scadenza è pari a 101,675.

OSSERVAZIONE. Si rammenta che quando y non cambia nel tempo e non avviene alcuno

stacco di cedola, la durata media finanziaria decresce linearmente al passare del tempo; ciò si

dimostra utile per rilevare eventuali errori di calcolo. Nel caso in esame si ha

D a 27 mesi dalla scadenza = D a 3 anni dalla scadenza − 9 mesi 10927508592 ,,, =−=


semestrali al tasso cedolare del 6% e durata residua di 9 mesi. L’odierno tasso di rendimento a

scadenza sia il 6,09 % annuo effettivo. Si determinino

a) la durata media finanziaria;

b) un’approssimazione lineare della variazione nel corso tel quel, nell’ipotesi che il tasso

annuo di rendimento a scadenza vari improvvisamente dal 6,09% al 5,59%.

Suggerimento: si usi il semestre (l’anno) quale unità di tempo per determinare il corso tel quel

(la durata media finanziaria e la variazione approssimata nel corso tel quel).

Soluzione. Il tempo sia misurato in semestri e ogni mese abbia 30 giorni. Poiché il tasso

cedolare è convertibile semestralmente, la cedola semestrale vale 32

06,0100 = . Inoltre, un

rendimento del 6,09% annuo effettivo è equivalente a un rendimento del 3% semestrale

( )0609,103,1 2 = .


( )( )( )tnyndirty yyaP 222| 11*1003 +++= −


119

dove 2=n è il numero delle rimanenti cedole, %32 =y è il tasso di rendimento

semestrale, 2

1

180

90 ==t semestre (ossia 3 mesi) è il tempo trascorso dall’ultimo stacco di

cedola (o dall’emissione dell’obbligazione). Pertanto, il corso tel quel è 49,101=dirtyP

Il tempo sia ora misurato in anni. La durata media finanziaria assume il valore

giorni 652360735,0anni 735,006091103750060913250 750250

===+= *P

,**,,**,D

dirty

,-,-

b) Il corso tel quel deve aumentare, in quanto tutte le rimanenti poste sono scontate a un minore

tasso annuo %59,5=∆+ yy . Poiché la sua variazione approssimata è

35,00609,1

)005,0(*49,101*735,0

1

*=−−=

+∆

−≅∆y

yPDP

dirtydirty

il suo nuovo valore approssimato risulta pari a 84,10135,049101 =+≅∆+ ,PP dirtydirty .

Esercizio 41. Un portafoglio comprende le obbligazioni a tasso fisso riportate nella tabella

più sotto. Le cedole sono annue e l’obbligazione A (B) ha un valore facciale di €40.000

(€60.000).

tasso cedolare

durata residua (anni)

corso tel quel

rendimento annuo

durata media finanziaria

convessità

obbl. A 5% 6 105,24 4% 5,349 33,249 obbl. B 4% 3,5 101,98 4% 3,275 13,388

Si trovino

a) il valore del portafoglio, la sua durata media finanziaria e la sua convessità;

Si supponga che il tasso annuo di rendimento a scadenza vari improvvisamente dal 4% al 3,5%.

Si trovino

b) un’approssimazione lineare della variazione nel valore del portafoglio;

c) un’approssimazione quadratica della variazione nel valore del portafoglio.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni. Si rammenta che, secondo la teoria

dell’immunizzazione nella sua versione più semplice, a tutte le obbligazioni deve corrispondere

lo stesso tasso annuo di rendimento a scadenza y.

a) Il valore del portafoglio è

€ 284.103188.61096.42100

98,101000.60

100

24,105000.40 =+=+=PV

mentre la sua durata media finanziaria è


120

anni 120,4275,3284.103

188.61349,5

284.103

096.42 =+=D

e la sua convessità è

483,21388,13284.103

188.61249,33

284.103

096.42~ =+=C

b) Il valore del portafoglio deve aumentare, in quanto tutte le rimanenti poste sono scontate a

un minore tasso annuo %5,3=∆+ yy . Poiché la sua variazione approssimata è

82,045.204,1

)005,0(*284.103*120,4

1

* =−−=+

∆−≅∆y

yPVDPV

il suo nuovo valore approssimato risulta pari a

€ 82,329.10582,045.2284.103 =+≅∆+ PVPV

c) Si ha

( )55,073.2

2

005,0*284.103*483,21

04,1

005,0*284.103*120,4

2

~

1

22=+−−=∆+

+∆−≅∆ yPVC

y

yDPVPV

e quindi la più accurata approssimazione € 55357105550732284103 ,.,..∆PVPV =+≅+ .

Esercizio 42. Un debito di €100.000 in scadenza tra 4 anni deve essere rimborsato gestendo

un ideale portafoglio comprendente le obbligazioni della seguente tabella. Le cedole sono

annue e si può acquistare un qualsiasi ammontare di ciascuna obbligazione.

tasso cedolare

durata residua (anni)

corso ex cedola

rendimento annuo

durata media finanziaria

obbl. A 6% 6 105,08 5% 5,234 obbl. B 5% 4 100,00 5% 3,723

a) Si determini il portafoglio che consegue l’immunizzazione dal rischio di tasso di interesse,

vale a dire da una (piccola) variazione nel tasso di rendimento a scadenza.

b) Si supponga che il tasso annuo di rendimento a scadenza non vari; si trovi il valore del

portafoglio tra 1 anno.

c) Si supponga che il tasso annuo di rendimento a scadenza si riduca dal 5% al 4% subito dopo

aver formato il portafoglio. Si constati che l’immunizzazione è efficace e si determini come

il portafoglio debba essere ribilanciato.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni, PV sia un valore attuale, y un tasso annuo di

rendimento a scadenza, D una durata media finanziaria. Si rammenta che, secondo la teoria

dell’immunizzazione nella sua versione più semplice, a tutti i crediti e debiti deve corrispondere

un unico tasso annuo di rendimento a scadenza.


121

a) Il portafoglio di crediti (obbligazioni) deve avere valore attuale e durata media finanziaria

uguali a quelli del debito. In tal caso, una (piccola) variazione ∆y nel tasso annuo di

rendimento a scadenza indurrebbe la stessa variazione nei valori attuali dei crediti

(obbligazioni) e del debito

y

∆yPVDPV

+−≅

1 ∆

Quando ciò accade (o una cedola viene staccata), il portafoglio obbligazionario deve essere

ribilanciato; poiché non si considerano i costi di transazione, non occorre denaro fresco.

Pertanto, il portafoglio obbligazionario soddisfa la coppia di equazioni lineari

4723,3234,5

25,270.8205,1*000.100 4

=+

===+ −

PV

PV

PV

PVPVPVPV

BA

BA

la cui soluzione è € 2818867 €; 9708115 ,.PV,.PV BA == . In altre parole, 9708115 € ,.

)2818867( ,. devono essere investiti nell’obbligazione A (B).

b) Se il tasso annuo di rendimento a scadenza non varia, il valore attuale del debito PV tra 1

anno sarà

763838605,1*000.10005,1*25,270.82 3 ,.PV === −

In virtù della scindibilità , ciò sarà pure il valore del portafoglio obbligazionario, dato dalla

somma delle prossime cedole e del valore attuale dei successivi incassi.

c) Poiché l’immunizzazione si basa su un’approssimazione lineare, non c’è perfetta copertura.

Si ha

=−+ −404,1*000.10000,100

63,10367.188,28

08,105

48,11015.081,97

€ 813424808521627690285715 ,,.,.,. =−+=

dove 110,48 (103,63) è il corso secco dell’obbligazione A (B) corrispondente a un tasso

annuo di rendimento a scadenza del 4%; sia i crediti (le obbligazioni) sia il debito si sono

dunque apprezzati. In questa circostanza l’immunizzazione risulta efficace. Tuttavia, la

durata media finanziaria dell’obbligazione A (B) al tasso annuo di rendimento a scadenza

del 4% è 5,256 (3,729); l’immunizzazione è persa ma può essere ripristinata ribilanciando il

portafoglio obbligazionario in modo da soddisfare la coppia di equazioni lineari

4729,3256,5

42,480.8504,1*000.100 4

=+

===+ −

PV

PV

PV

PVPVPVPV

BA

BA


122

la cui soluzione è € 0231070 €; 4017015 ,.PV,.PV BA == . Poiché )0231070( 4017015 € ,.,.

devono essere investiti nell’obbligazione A (B), occorrono 2 transazioni: vendere €686,62 di

obbligazioni A e comprare €682,81 di obbligazioni B.

OSSERVAZIONE. Pertanto, se il portafoglio obbligazionario è ribilanciato ove necessario,

crediti e debiti hanno sempre lo stesso valore attuale, sia quando il tasso annuo di rendimento a

scadenza non varia, sia quando varia. Ciò è pure vero quando il debito matura e i crediti (le

obbligazioni) sono venduti per estinguerlo.

OSSERVAZIONE. Si supponga di associare a un’unico debito un portafoglio di crediti con

diverse scadenze ma con lo stesso valore attuale ;y)( PV;y)(PV LA 00 = e la stessa durata media

finanziaria del debito LA DD = . Si dimostra che una qualsiasi variazione finita y∆ del tasso

di rendimento a scadenza y è tale che 10

0 >∆+∆+

+

+

y);y(PV

y);y(PV

L

A .

Come dimostrato in De Felice-Moriconi (1991, cap. 3), questa proprietà sussiste anche, ma non

solamente, nel caso

• di una traslazione parallela di una struttura a termine dei tassi di interesse non piatta;

• di più debiti con diverse scadenze, a condizione che i crediti siano complessivamente più

dispersi nel tempo dei debiti, le dispersioni essendo delle opportune deviazioni medie

assolute.

Tuttavia, l’ipotesi di traslazioni parallele di una struttura a termine dei tassi di interesse non è

realistica e neppure teoricamente salda, qualora si faccia astrazione da elementi di attrito quali

tasse, vincoli alle posizioni corte, commissioni, forbici denaro-lettera. Infatti, si può beneficiare

di opportunità di arbitraggio, per esempio, comprando 2 obbligazioni senza cedola e vendendo

allo scoperto un’obbligazione senza cedola per lo stesso ammontare, a condizione che la durata

media finanziaria del portafoglio di crediti sia pari alla durata residua del debito.

Esercizio 43. Si consideri un ideale portafoglio bancario comprendente dei prestiti ai clienti

da finanziare mediante del debito e del capitale proprio. Il credito concesso sia pari a

€5.000.000 mentre il tasso nominale di interesse applicato sia l’8% annuo convertibile

semestralmente; il piano di ammortamento preveda 20 rate semestrali, ciascuna pari a

€367.908,75, la durata media finanziaria essendo 4,6046 anni. Il debito sia costituito da


123

un’obbligazione, da emettere alla pari, con 12 cedole semestrali al tasso nominale del 4%

annuo, la durata media finanziaria essendo 5,3934 anni.

a) Si determini il valore attuale del debito che consegue l’immunizzazione dal rischio di tasso

di interesse, vale a dire da una medesima piccola variazione in entrambi i tassi di rendimento

a scadenza.

b) Si supponga che i 2 tassi annui di rendimento a scadenza non varino; si trovi il valore del

portafoglio tra 3 mesi.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni, E sia un capitale proprio, PV sia un valore attuale,

y un tasso annuo di rendimento a scadenza, D una durata media finanziaria. Si rammenta che,

secondo la teoria dell’immunizzazione in una sua versione più avanzata, a tutti i crediti (debiti)

deve corrispondere lo stesso tasso annuo di rendimento a scadenza Ay ( Ly ).

a) Si ha 08160,0104,1 2 =−=Ay e 04040,0102,1 2 =−=Ly . Sia LA PVPVE −= ; una piccola

variazione LA ∆y∆y∆y == comporta approssimativamente che

yPVy

DPV

y

DPVPVE L

l

LA

A

ALA ∆

++

+−≅∆−∆=∆

11

Quando ciò accade (o hanno luogo un incasso e un esborso), il portafoglio bancario

dovrebbe essere ribilanciato. Pertanto, per conseguire l’immunizzazione, vale a dire

0≅∆E , occorre soddisfare la seguente equazione

LL

AA

A PVyL

DPV

y

D

+=

+ 11 vale a dire PV

,

,..

,

,L040401

393450000005

081601

60464 =

dalla quale si trae € 1501064 ..PVL = e quindi € 850893.PVPVE LA =−= . Poiché

l’obbligazione è emessa alla pari, € 1501064 ..PVL = è pure il suo valore facciale.

b) Se entrambi i tassi di rendimento a scadenza non cambiano, i valori attuali del credito e del

debito tra 3 mesi saranno

€ 5101909950816010000005 250 ,..,*..PV ,A ==

€ 220081474040601001501064 250 ,..,*,..PV ,L ==

di modo che € 952.011,29=−= LA PVPVE , le loro durate medie finanziarie essendo

3546,42500,06046,4 =−=AD e 1434,52500,03934,5 =−=LD

Pertanto, la forbice tra i tassi genererà una plusvalenza di capitale proprio pari a €58.161,29;

tuttavia, l’immunizzazione viene persa al passare del tempo, rendendo prima o poi

necessario un ribilanciamento del portafoglio bancario.


124

OSSERVAZIONE. Per calibrare il precedente esercizio si è fatto uso di uno sviluppo di

Taylor della funzione ( )LA yyfE ;= troncato al termine del 2° ordine; il segno di tale termine

dipende da APV e Ay , LPV e Ly , come pure dalle convessità del credito e del debito.

4.3. La stima del rischio di credito da parte delle agenzie specializzate

Le agenzie di valutazione del credito raggruppano le obbligazioni societarie in classi di

rischio di credito secondo il loro merito di credito, valutato nella fase intermedia del ciclo

economico, in modo da rendere ogni aggiornamento il più raro possibile. Le agenzie

specializzate più conosciute sono Fitch Ratings, Moody’s Investors Service e Standard &

Poor’s. Le società remunerano i servizi delle agenzie di valutazione del credito per ridurre

l’asimmetria informativa tra i potenziali creditori e i loro alti dirigenti e quindi beneficiare di

più ridotti tassi cedolari quando emettono le proprie obbligazioni societarie. Se più agenzie

specializzate sono incaricate da una società, i loro giudizi possono differire. Un’abituale

rappresentazione, qualitativa e semplificata, delle classi di rischio di credito è riportata nella

tabella più sotto, che comprende 2 metà, quella delle obbligazioni da investimento e quella

delle obbligazioni da speculazione. Gli obbligazionisti più prudenti si interessano solo della

prima metà.

Classe Caratteristiche dell’obbligazione (dell’emittente) AAA Estrema solidità nel pagamento di capitale nominale e interesse AA Molto notevole solidità nel pagamento di capitale nominale e interesse

A Notevole solidità nel pagamento di capitale nominale e interesse, ma con maggiore suscettibiltà agli effetti avversi della congiuntura macro e microeconomica

BBB Adeguata capacità di pagamento di capitale nominale e interesse BB; B CCC; CC

Investimento obbligazionario a carattere speculativo

C Obbligazioni che non pagano più l’interesse D Obbligazioni in mora

Tabella 3 – Classi di rischio di credito secondo S&P’s

La valutazione a medio termine di un emittente di obbligazioni è accompagnata da una

valutazione degli oneri finanziari di breve termine, l’orizzonte temporale dell’una (dell’altra)

essendo pari a 3-5 anni (13 mesi). Una più bassa valutazione di un’emissione obbligazionaria

comporta una peggiore qualità, chiamata merito di credito, a cui corrispondono un più elevato

rischio di insolvenza e un maggiore rendimento a scadenza come compensazione.


125

Alcune stime empiriche dei tassi di insolvenza e di recupero di ciascuna classe di rischio

di credito sono riportate nelle tabelle più sotto. I tassi di insolvenza e di recupero dipendono

pure dalla congiuntura economica; il primo (secondo) tasso aumentando (diminuendo) durante

una recessione come pure prima delle recessioni 7/90-3/91 e 4/01-12/01. Inoltre, i tassi di

insolvenza dipendono pure dal settore industriale; i servizi di pubblica utilità, le banche e le

compagnie di assicurazione mostrano sia le più basse medie annue sia le più basse deviazioni

standard. Anche i produttori di beni di consumo di marca e le società farmaceutiche possono

avere solidi fondamentali.

Anni dall’emissione Giudizio S&P’s 1 2 3 4 5 7 10

AAA 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,13% 0,13% AA 0,00% 0,00% 1,81% 2,20% 2,33% 2,33% 2,46% A 0,00% 0,31% 0,71% 0,71% 0,71% 0,89% 0,93%

BBB 0,04% 0,29% 0,46% 0,46% 0,91% 1,07% 2,12% BB 0,00% 0,62% 1,25% 1,56% 1,84% 6,64% 6,64% B 1,98% 2,88% 3,60% 7,69% 11,53% 18,98% 31,91%

CCC 2,99% 5,78% 9,52% 30,22% 31,17% N/A N/A

Tabella 4a – Tassi medi cumulativi di insolvenza delle diverse classi di rischio di credito. Insolvenze e emissioni dal 1971 al 1987 (fonte: Altman, 1989)

Giudizio iniziale S&P’s

Tasso medio di recupero

Numero di osservazioni

AAA 78,67% 5 AA 79,29% 13 A 45,90% 19

BBB 45,30% 22 BB 35,71% 13 B 42,56% 64

CCC 41,15% 12

Tabella 4b – Tassi medi di recupero delle diverse classi di rischio di credito. Insolvenze e emissioni dal 1971 al 1987 (fonte: Altman, 1989)

Si osservi come sia poco probabile che le obbligazioni societarie da investimento di nuova

emissione passino improvvisamente e inaspettatamente dal paradiso all’inferno, ossia che i

rispettivi emittenti divengano insolventi dal giorno alla notte.

OSSERVAZIONE. I tassi medi cumulativi di insolvenza della Tabella 4a furono stimati

mediante un metodo mutuato dalle scienze attuariali. Nell’esaminare una classe di rischio di

credito, diciamo la AA, si prese in considerazione il periodo storico 1971-1987 e si associò a

ciascuno anno in esame una coorte, vale a dire un portafoglio di obbligazioni societarie AA


126

emesse in tale anno. Quando definiscono le loro coorti, le agenzie internazionali di valutazione

del credito scelgono delle obbligazioni con un assegnato merito di credito in un’assegnata data,

indipendentemente dal merito di credito iniziale e/o dal tempo trascorso dall’emissione. La

dimensione di ciascuna coorte venne espressa dal valore nominale totale delle obbligazioni

costituenti. Alternativamente, essa avrebbe potuto essere espressa dal numero degli emittenti.

La dimensione di ciascuna coorte decresce al passare del tempo, in quanto alcuni emittenti

divengono insolventi e i valori nominali delle obbligazioni sopravvissute vengono prima o poi

rimborsati. Nel seguire l’evoluzione di ciascuna coorte si tenne quindi conto delle obbligazioni

rimborsate.

In primo luogo, si stimarono i tassi annui marginali di insolvenza 1021 ,,, mdrmdrmdr K

relativi a ciascuna coorte mediante l’equazione

t

tmdrt annodell' inizioall' coorte della dimensione

emissionedall' annonell' insolventi niobbligazio delle nominale valore=

Si calcolò poi una media ponderata tmdr , tra le diverse coorti, di ciascun tasso annuo

marginale di insolvenza tmdr , i pesi essendo dati dai rapporti tra la dimensione di ciascuna

coorte e la dimensione totale di tutte le coorti, entrambe rilevate all’inizio del t-imo anno

dall’emissione. Infine, si stimarono i tassi medi cumulativi di insolvenza

1021 ,,, cdrcdrcdr K mediante l’equazione

( )∏=

−−=t

k

kt mdrcdr1

11

che può essere così riscritta

( ) ( )( ) ( )∏−

=−++−−+−+=

1

1213121 1111

t

k

ktt mdrmdrmdrmdrmdrmdrmdrmdrcdr L

Si osservi che 1mdr e ( )11 mdr− sono i tassi di insolvenza e di sopravvivenza della coorte

media nel primo anno dall’emissione, ( )12 1 mdrmdr − e ( )( )21 11 mdrmdr −− sono i tassi di

insolvenza e di sopravvivenza della coorte media nel secondo anno dall’emissione, mentre

( )( )213 11 mdrmdrmdr −− è il tasso di insolvenza della coorte media nel terzo anno

dall’emissione. Di conseguenza, tcdr è il tasso di insolvenza della coorte media di obbligazioni

societarie AA nei primi t anni dall’emissione.

Ciascun tasso di recupero della Tabella 4b è una media dei prezzi di mercato di obbligazioni

da poco divenute insolventi. I tassi di recupero si mostrarono indipendenti dall’età

dell’emissione obbligazionaria.


127

OSSERVAZIONE. Le agenzie specializzate valutano pure l’affidabilità dei vari paesi e dei

loro governi. Secondo Standard & Poor’s, l’attuale pagella a lungo termine di Germania e UK

è AAA , quella di Francia e USA è AA+ , quella del Giappone è AA–, quella dell’Italia è BBB+,

quella della Spagna è BBB–, mentre quella del Portogallo è BB. Un basso merito di credito

sovrano è verosimilmente un tetto per tutti i meriti di credito societari.

La valutazione di ciascuna società è svolta da più analisti finanziari, esperti del settore

industriale e della regione, i quali si avvalgono di linee guida euristiche e effettuano sia

un’analisi economica sia un’analisi finanziaria . L’una muove dai fondamentali (vale a dire il

paese, il settore industriale, la strategia competitiva e il piano finanziario, la moralità e

l’impegno della dirigenza) per valutare la presenza e le determinanti di un vantaggio

competitivo. L’altra verte sugli indici di bilancio , che sono derivati da bilanci passati,

intermedi e pro forma, e confrontati con standard storici, relativi allo specifico settore

industriale. Più precisamente, si fa uso dei bilanci pro forma

• ogni volta che si debba valutare l’impatto di una nuova emissione obbligazionaria;

• nell’effettuare un’analisi del caso peggiore (chiamata stress test), costruendo dapprima

uno scenario particolarmente avverso, magari basandosi su qualche caso storico

particolarmente critico, per poi valutarne l’impatto sul conto economico e lo stato

patrimoniale della società emittente.

Nell’usare gli indici di bilancio bisogna distinguere tra disponibilità di liquidità nel breve

termine e presenza di sostenibilità nel medio termine, vale a dire tra capacità di fare fronte ai

debiti nel breve e nel medio termine. Come spiegato in Benninga-Sarig (1997, cap. 11), la

prima capacità è misurata da indici di liquidità quali gli indici corrente (=attivo

corrente/passivo corrente) e acido (=cassa e equivalenti+altri titoli a breve termine+credito

commerciale/passivo corrente), mentre la seconda capacità è misurata dagli indici di copertura

(MON/oneri finanziari; liquidità operativa/oneri finanziari), di redditività

(ROS=MON/fatturato; ROI=MON/capitale totale medio; ROE=utile netto/capitale proprio

medio) e di solidità patrimoniale (debito totale/capitale totale; capitale

proprio/immobilizzazioni nette – mutui immobiliari). La copertura è il punto più importante, a

meno che non vi sia carenza di liquidità; gli indici di liquidità e copertura misurano l’equilibrio

finanziario, quelli di redditività l’equilibrio economico, quelli di solidità patrimoniale

l’equilibrio patrimoniale.


128

Le stesse agenzie specializzate rendono regolarmente disponibili alcune disaggregazioni, per

settore industriale e classe di rischio, dei valori mediani di indici di bilancio scelti; il quadro

riassuntivo riportato nella tabella più sotto può essere utilizzato solo a fini statistici. All’analisi

degli indici di bilancio può fare seguito un’analisi dei flussi finanziari , delle fonti e degli

impieghi più in generale, delle variazioni di liquidità e di capitale circolante più in particolare.

AAA AA A BBB BB B CCC MON/oneri finanziari 23,8 19,5 8,0 4,7 2,5 1,2 0,4 MOL/oneri finanziari 25,5 24,6 10,2 6,5 3,5 1,9 0,9 (Liquidità operativa– investimento)/debito totale (% )

127,6 44,5 25,0 17,3 8,3 2,8 –2,1

Debito totale/MOL 0,4 0,9 1,6 2,2 3,5 5,3 7,9 MON/capitale totale medio (% ) 27,6 27,0 17,5 13,4 11,3 8,7 3,2 Debito totale/capitale totale (% ) 12,4 28,3 37,5 42,5 53,7 75,9 113,5

Tabella 5 – Indici di bilancio chiave per classe di rischio di credito;

mediane triennali di società industriali: 2002-2004 (fonte: Corporate Ratings Criteria, Standard & Poor’s, 2006)

Gli analisti finanziari di Standard & Poor’s si concentrano usualmente su uno o due settori

industriali. Nel monitorare una società, essi ne incontrano gli alti dirigenti almeno una volta

all’anno. Di conseguenza, essi possono confrontare i piani finanziari e i bilanci nel tempo,

individuando deviazioni come pure aggiornamenti e cercando di comprenderne le ragioni. Le

valutazioni delle società vengono rivedute in seguito a importanti operazioni finanziarie o

inattesi sviluppi.

Seguendo Altman (1968) e il suo modello a punteggio z fondato sull’analisi discriminante

(si veda l’esercizio 46), i tecnici bancari possono costruire il loro modello di punteggio che

converte i diversi indici finanziari in un punteggio composito. Tali modelli possono fare

comodo quando si debba valutare il merito di credito di una società non ancora censita o si

debbano prevedere con anticipi dei cambiamenti nelle valutazioni date dalle agenzie

specializzate. Inoltre, le azioni delle società con fosche prospettive sono idonee alla vendita allo

scoperto. I modelli a punteggio possono pure fondarsi sull’analisi degli azzardi.

Nel costruire la Tabella 6 più sotto si considerò un investimento iniziale pari a $100 in

ciascuna classe di rischio di credito e si riportò l’evoluzione temporale del suo eccesso di

montante, il termine di paragone essendo costituito dai titoli di Stato USA. Si suppose che le

obbligazioni societarie venissero comprate all’emissione e detenute, reinvestendo ogni cedola

nella corrispondente coorte; si suppose inoltre che ogni emissione divenuta insolvente fosse

venduta, reinvestendo l’incasso nella corrispondente coorte sopravvissuta. I margini medi di


129

credito nel periodo 1971-1987 furono 0,47% (AAA), 0,81% (AA), 1,08% (A), 1,77% (BBB),

3,05%(BB), 4,09%(B) e 7,07% (CCC).

Se le probabilità di insolvenza implicite nei margini di credito e nei prezzi delle obbligazioni (si

vedano gli esercizi 44 e 45) fossero risultate uguali agli effettivi tassi di insolvenza, tutte le

perdite da insolvenza sarebbero state precisamente compensate dagli eccessi di rendimento

delle obbligazioni societarie sopravvissute. Di conseguenza, tutti gli eccessi di montante

sarebbero svaniti nel lungo termine. Tuttavia, ciò non accadde, come mostrato dalla Tabella 6.

Merito di credito all’emissione delle obbligazioni Anni dalla emissione AAA AA A BBB BB B CCC

1 0,45% 0,76% 1,04% 1,71% 3,26% 3,82% 5,19% 2 1,00% 1,68% 2,23% 3,66% 6,84% 8,61% 11,74% 3 1,65% 2,43% 3,67% 6,09% 11,29% 14,60% 20,62% 5 3,44% 5,15% 7,82% 12,50% 24,19% 21,60% 15,61% 7 5,98% 9,49% 13,66% 22,86% 35,85% 33,65% N/A 10 12,45% 20,28% 28,85% 45,77% 76,37% 44,67% N/A

Tabella 6 – Eccesso di montante per le obbligazioni societarie confrontate con i titoli di Stato USA.

Insolvenze e emissioni dal 1971 al 1987 (fonte: Altman, 1989)

Pertanto, i margini di credito incorporarono verosimilmente più che le perdite da insolvenza

attesa, comprendendo pure un premio per il rischio di credito e una compensazione per le

imposte. In altre parole, il principio di compensazione tra i rischi, un fondamento delle scienze

attuariali risultò opportunamente riformulato. Si tenga presente che gli interessi delle

obbligazioni societarie USA sono soggetti sia a un’imposta federale sia a un’imposta statale,

mentre gli interessi dei titoli di Stato USA sono esenti dall’imposta statale.

Esercizio 44. Si considerino 2 ideali portafogli di grande taglia che comprendono obbligazioni

senza cedola di diversi emittenti ma con durata all’emissione sempre di 1 anno. Ciascun

portafoglio ha un valore nominale di €10.000.000 e un tasso di rendimento a scadenza del 4%

(4,25%). Si supponga che qualora si manifesti un’insolvenza, il capitale nominale delle

corrispondenti obbligazioni sia ripagato alla scadenza secondo un tasso di recupero del 50%.

Tutte le obbligazioni del primo (secondo) portafoglio appartengano alla classe di rischio di

credito AAA (BBB); nelle obbligazioni AAA non è insito alcun rischio di insolvenza. Si

trovino

a) il prezzo corrente di ciascun portafoglio obbligazionario;


130

b) lo scarto di rendimento sp proprio delle obbligazioni BBB con durata all’emissione di 1

anno;

c) la probabilità di insolvenza delle obbligazioni BBB nel primo anno dopo l’emissione.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante.

a) Il prezzo corrente del primo portafoglio è 629.615.384,04,1*000.000.10 1 == −AAAP mentre

il prezzo corrente del secondo portafoglio è 149.592.326,0425,1*000.000.1 1 == −BBBP .

b) Poiché nelle obbligazioni AAA non è insito alcun rischio di insolvenza, il tasso a pronti di

interesse 1;0i è pure del 4%. Lo scarto di rendimento cercato è allora

%25,0%00,4%25,4 =−=sp

c) Per converso, nelle obbligazioni BBB è insito un rischio di insolvenza; tuttavia, se il numero

degli emittenti e dei settori industriali è opportuno, ha verosimilmente luogo una

compensazione dei rischi, che attenua il rischio di insolvenza. Infatti, qualora i numeri

siano grandi, e passato e futuro siano gli stessi in termini probabilistici , ipotesi che

potrebbe risultare infondata nella pratica, il futuro tasso di insolvenza sarà simile alla

corrispondente probabilità come pure alla passato tasso di insolvenza, magari registratosi

negli ultimi 7 anni. Di conseguenza, l’incasso effettivo alla scadenza varrà circa

( ) BBBBBB ππ *000.000.51*000.000.10 +−

dove BBBπ è la probabilità di insolvenza delle obbligazioni BBB nel primo anno dopo

l’emissione. Pertanto, qualsiasi opportunità di arbitraggio è preclusa se

( )( ) 149.592.326,04,1*000.000.51000.000.10 1 =+− −BBBBBB ππ

da cui consegue che 23.980,81000.000.5 =BBBπ e quindi %480,0=BBBπ .

Esercizio 45. Si consideri ancora il contesto delineato nell’esercizio 44 come pure 2 ideali

portafogli di grande taglia che comprendono molte obbligazioni a tasso fisso di diversi

emittenti, tutte con cedole annue e durata all’emissione di 2 anni. Ciascun portafoglio ha un

valore nominale di €10.000.000, un tasso cedolare del 4% (4,50%) e un tasso di rendimento a

scadenza del 4% (4,50%). Si supponga che qualora si manifesti un’insolvenza, le rimanenti

cedole delle corrispondenti obbligazioni non vengano pagate e il tasso di recupero sia del 50%.

Tutte le obbligazioni del primo (secondo) portafoglio appartengano alla classe di rischio di

credito AAA (BBB); nelle obbligazioni AAA non è insito alcun rischio di insolvenza.

Si trovino

a) il prezzo corrente di ciascun portafoglio obbligazionario;


131

b) lo scarto di rendimento sp proprio delle obbligazioni BBB con durata all’emissione di 2

anni;

c) le probabilità di insolvenza delle obbligazioni BBB nel secondo anno dopo l’emissione.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante.

a) Poiché ciascun tasso di rendimento a scadenza è pari al corrispondente tasso cedolare medio,

il prezzo corrente del primo portafoglio è 000.000.10=AAAP mentre il prezzo corrente del

secondo portafoglio è 000.000.10=BBBP .

b) Poiché nelle obbligazioni AAA non è insito alcun rischio di insolvenza, i tassi a pronti di

interesse 1;0i e 2;0i sono pure del 4%. Lo scarto di rendimento cercato è allora

%50,0%00,4%50,4 =−=sp

essendo pure la soluzione dell’equazione

( ) ( ) 22;0

11;0 1*50,1041*50,4100 −− +++++= spispi .

c) Per converso, nelle obbligazioni BBB è insito un rischio di insolvenza; tuttavia, se il numero

degli emittenti e dei settori industriali è opportuno, ha verosimilmente luogo una

compensazione dei rischi, che attenua il rischio di insolvenza. Infatti, qualora i numeri

siano grandi, passato e futuro siano gli stessi in termini probabilistici , ipotesi che potrebbe

risultare infondata nella pratica, i futuri tassi di insolvenza saranno simili alle

corrispondenti probabilità come pure ai passati tassi di insolvenza, magari registratisi negli

ultimi 7 anni. Di conseguenza, gli effettivi incassi varanno circa

471.8400048,0*000.000.59952,0*000.450 =+

dopo un 1 anno e

( ) 22 ;2 ;1 ; 000.450.510.399.840*000.000.51*000.450.10 BBB; BBBBBBBBB π −=+−− πππ

dopo 2 anni, dove tBBB ;π è la probabilità di insolvenza delle obbligazioni BBB nel t-imo

anno dopo l’emissione e %,πBBB; 48001 = . Pertanto, qualsiasi opportunità di arbitraggio è

preclusa se

( ) 22

1 041000.450.510.399.840041840.47100000010 −− −+= ,*π ,*.. BBB;

da cui si trae che 74.553,60000.450.5 2 ; =BBBπ e quindi %368,12 ; =BBBπ .

OSSERVAZIONE. Le probabilità di insolvenza 1 ;BBBπ e 1 ;

2 ;

1 BBB

BBB

ππ−

possono essere

confrontate con le medie ponderate storiche 1mdr e 2mdr dei tassi annui marginali di


132

insolvenza delle obbligazioni BBB. Più in generale, la probabilità di insolvenza

( )1- ;2 ;1 ;

;

1 tBBBBBBBBB

tBBB

ππππ

+++− L può essere confrontata con tmdr . I precedenti calcoli

valgono pure per singole obbligazioni, nella tacita ipotesi che esse facciano parte di portafogli

obbligazionari ben diversificati e eventualmente eterogenei.

OSSERVAZIONE. L’ analisi retrospettiva delle insolvenze di può basarsi sia su dati

statistici che su modelli statistici. Fanno parte della prima classe la Tabella 4 come pure

analoghe tabelle costruite dalle agenzie di valutazione del credito. Secondo tali tabelle, i primi

2 anni di vita sono particolarmente critici per le obbligazioni con basso merito di credito come

CCC; inoltre, i cambiamenti di merito di credito comportano che i tassi marginali medi di

insolvenza delle obbligazioni da speculazione non crescano al passare del tempo

dall’emissione. Fanno parte della seconda classe i modelli di classificazione basati sull’analisi

discriminante o sull’analisi degli azzardi.

Nell’effettuare un’analisi prospettiva dei tassi annui di insolvenza occorre tenere presente

che le probabilità di insolvenza implicite nei prezzi delle obbligazioni dipendono dalla

congiuntura economica e, soprattutto nel caso di una recessione, sono generalmente più elevate

dei tassi marginali medi empirici. Ciò sarebbe causato dalle difficoltà incontrate dagli operatori

nell’ottenere portafogli obbligazionari ben diversificati; inoltre, durante le fasi di recessione ha

luogo una meno efficace compensazione degli errori a causa di concatenamenti tra i fallimenti.

Tuttavia, a una maggiore probabilità di insolvenza corrispondono un maggiore rendimento a

scadenza e, magari, un maggiore rendimento effettivo.

Esercizio 46. Una società italiana quotata alla Borsa valori di Milano produce altoparlanti.

Nell’esercizio 2011 essa ebbe un fatturato di 27.693, un margine operativo netto di 5.658, un

capitale circolante di 11.331, un attivo netto di 20.270, riserve da utili di 7.575, un valore di

libro del debito totale di 2.531, e un valore di mercato medio del capitale proprio di 38.000 (i

dati sono espressi in 310 € ). Si accerti che era probabile che la società rimanesse solvente nel

2012, come accadde effettivamente.

Soluzione. Le società prossime al fallimento hanno indici di bilancio e indici finanziari

diversi da quelli delle società in buona salute. Secondo Altman (1968), gli indici di bilancio e

gli indici finanziari possono essere convertiti nel seguente punteggio composito

54321 999,06,03,34,12,1 xxxxxz ++++=


133

dove 1x è il rapporto tra capitale circolante (=attivo corrente–passivo corrente) e attivo netto,

2x è il rapporto tra riserve da utili e attivo netto, 3x è il rapporto tra margine operativo netto e

attivo netto, 4x è il rapporto tra valore di mercato del capitale proprio e valore di libro del

debito totale, mentre 5x è il rapporto tra fatturato e attivo netto. Se

• z<99,2 , è probabile che la società in esame rimanga solvente;

• 99,2675,2 ≤< z , si è in una zona grigia;

• 675,281,1 ≤< z , è probabile che la società in esame fallisca entro un anno;

• 81,1≤z , è molto probabile che la società in esame fallisca entro un anno.

Qualora si forzi un poco tale modello a punteggio e lo si applichi alla società italiana, si

ricava

559,01 =x ; 374,02 =x ; 279,03 =x ; 014,154 =x ; 366,15 =x

di modo che 49,12=z . Pertanto, era probabile che la società rimanesse solvente

OSSERVAZIONE. Altman (1968) utilizzò l’analisi discriminante per stimare il suo

modello a punteggio. Il campione di dati compreva 66 società manifatturiere quotate negli

USA; 33 di tali società fallirono nel periodo 1946-1965, mentre le rimanenti 33 erano ancora in

esercizio nel 1966.

Furono commessi modesti errori di I e II tipo: solo il 6% (3%) delle società fallite (solventi)

furono classificate in modo errato. Nel complesso, il modello a punteggio si dimostrò affidabile

sino a 2 anni prima del fallimento. Quando i fallimenti furono previsti con 2 anni di anticipo,

furono commessi errori di I e II tipo del 28% e del 6% rispettivamente. Inoltre, il modello a

punteggio riportato più sopra si mostrò accurato anche quando fu esaminato un secondo

campione di dati.

Infine, le medie dei 5 rapporti furono calcolate tra le società fallite nei 5 anni precedenti il

fallimento. Tutti i rapporti mostrarono una tendenza al deterioramento, la loro maggiore

diminuzione avvenendo 2 anni prima del fallimento in 3 casi su 5.

4.4. La cartolarizzazione di crediti non trasferibili

Un’operazione di cartolarizzazione rende trasferibili e quindi negoziabili dei crediti che non

lo sono. Essa viene effettuata su un ampio portafoglio di crediti non trasferibili aventi

ripagamento pluriennale e caratteristiche simili, quali, per esempio, i mutui ipotecari

residenziali o commerciali, i crediti al consumo, i contratti di locazione finanziaria come pure i

crediti in sofferenza. Anche le imprese (gli enti pubblici) compiono operazioni di


134

cartolarizzazione, per esempio di crediti commerciali su base rotativa (di contributi

previdenziali e assistenziali). Le prime cartolarizzazioni ebbero luogo negli Stati Uniti negli

anni 70.

OSSERVAZIONE. La presentazione in questo riquadro è coerente con il caso dell’Italia,

dove le operazioni di cartolarizzazione sono regolate dalla legge 130 del 30/4/1999,

successivamente aggiornata dalla legge 80 del 14/5/2005. La presentazione ha carattere

introduttivo; per un approfondimento si rimanda a Forestieri (2007, cap. 18).

I crediti non trasferibili, per esempio i mutui ipotecari residenziali di una banca italiana,

sono ceduti pro soluto a una società veicolo autorizzata, che è esclusivamente dedicata a una o

più operazioni di cartolarizzazione. Qualora i crediti non trasferibili siano di buona qualità, il

loro valore (attuale) di cessione sarà maggiore del valore nominale. La società veicolo ha scarso

capitale proprio, è priva di dipendenti, e svolge la propria attività avvalendosi di servizi esterni;

essa emette titoli obbligazionari a tasso fisso o variabile nei mercati primari, collocandoli di

solito presso gli investitori istituzionali. In tal modo, essa raccoglie i fondi necessari per

rilevare i mutui ipotecari residenziali dalla banca. Un fiduciario rappresenta gli interessi degli

obbligazionisti. Le obbligazioni possono ripagare ratealmente il loro valore nominale; esse sono

divise in alcune classi aventi differente merito di credito, generalmente certificato da una o più

agenzie internazionali di valutazione del credito. Qualora le obbligazioni siano collocate

pubblicamente, tale certificazione è obbligatoria; in linea di principio, essa dovrebbe fornire

dell’affidabile informazione a tutti i potenziali sottoscrittori. Tanto peggiore è il merito di

credito, quanto maggiori sono il grado di subordinazione e il tasso cedolare; le obbligazioni

della prima (ultima) classe hanno il migliore (peggiore) merito di credito e sono remunerate per

prime (ultime). Il valore nominale delle obbligazioni diminuisce a seguito delle insolvenze; le

obbligazioni dell’ultima (prima) classe ne risentono per prime (ultime).

Il portafoglio ceduto viene di solito gestito dalla banca cedente, la quale monitora i mutui

ipotecari residenziali ceduti, riceve i ripagamenti di interesse e di capitale dai debitori ceduti e

li gira alla società veicolo cessionaria, gestendo gli incagli e le sofferenze. In tal modo, la banca

cedente mantiene i rapporti con i debitori ceduti e incassa delle commissioni periodiche. La

società veicolo cessionaria destina i ripagamenti alle diverse classi di obbligazioni secondo

l’ordine di priorità prestabilito.

Come già indicato, il rischio di insolvenza grava sulla società veicolo e quindi sugli

obbligazionisti. Il portafoglio ceduto è ben diversificato per area geografica. Inoltre, è


135

granulare, ogni singolo debitore avendo un piccolo peso; per esempio, potrebbe comprendere

più di 10.000 mutui ipotecari residenziali. Tuttavia, la qualità del credito viene accresciuta in

diversi modi. In primo luogo, le obbligazioni sono divise in alcune classi; poiché la prima

classe è protetta da più classi subordinate, essa è verosimilmente certificata come AAA (Aaa).

Inoltre, il rischio di insolvenza può essere mitigato attraverso la costituzione di riserve o di

garanzie accessorie. Le riserve sono presenti quando il valore nominale dei mutui ipotecari

residenziali eccede opportunamente il valore nominale delle obbligazioni. Le garanzie

accessorie sono generalmente fornite da altre banche, mediante lettere di credito, o da

compagnie di assicurazione contro il pagamento di commissioni periodiche o premi periodici.

Infine, la banca cedente sottoscrive di solito le obbligazioni dell’ultima e più rischiosa classe.

OSSERVAZIONE. Per strutturare o giudicare le diverse classi di obbligazioni bisogna

prevedere l’andamento temporale della perdita attesa del portafoglio ceduto. L’operazione di

cartolarizzazione in esame è di tipo tradizionale, in quanto il portafoglio ceduto è granulare.

Per quanto concerne il rischio di insolvenza, i singoli mutui ipotecari residenziali possono

essere ritenuti tra loro indipendenti. Pertanto, le probabilità di insolvenza e i tassi di di recupero

possono essere stimati applicando ai rispettivi dati storici i metodi di derivazione attuariale. In

particolare, le medie ponderate empiriche dei tassi annui marginali di insolvenza approssimano

le probabilità di insolvenza. La perdita attesa nel t-imo anno dall’emissione è pari al prodotto

della corrispondente probabilità di insolvenza per la perdita da insolvenza, la quale dipende

dall’esposizione e dal tasso di recupero.

Se invece l’operazione di cartolarizzazione fosse di tipo innovativo, il portafoglio ceduto

potrebbe essere costituito da prestiti commerciali concessi a meno di 200-300 debitori. Poiché i

singoli prestiti commerciali risultano tra loro dipendenti, bisogna tenere conto delle correlazioni

tra le insolvenze. Di conseguenza, sia il calcolo finanziario sia i procedimenti di stima risultano

meno agevoli.

Tale operazione di cartolarizzazione è complessa e molto costosa; pertanto, il portafoglio di

mutui ipotecari residenziali è ampio e l’operazione è coordinata da un intermediario finanziario

specializzato, quale una banca d’affari, una banca di investimento, o una banca universale.

OSSERVAZIONE. Le spese iniziali derivano dalla consulenza dell’intermediario

finanziario, dalla costituzione della società veicolo, dalla certificazione del merito di credito e

dal collocamento delle obbligazioni. Se un’impresa italiana effettuasse un’operazione di


136

cartolarizzazione con durata di 5 anni e base rotativa costituita da crediti commerciali con

valore nominale di €100 milioni, tali spese potrebbero essere pari rispettivamente allo 0,25%,

0,10%, 0,02% e 0,25% del capitale inizialmente raccolto. Si tenga presente che nella prima fase

di una cartolarizzazione rotativa, la società veicolo utilizza parte degli incassi per rilevare

ulteriori crediti non trasferibili.

L’intermediario finanziario consulente opera insieme alla banca mandante, ai suoi revisori

contabili, a avvocati e commercialisti, svolgendo diversi compiti. Più precisamente, vengono

individuati i mutui ipotecari residenziali da cartolarizzare; vengono determinate alcune opzioni

circa la struttura dell’operazione, vale a dire le varie categorie di obbligazioni e le loro

caratteristiche; vengono scelti, sulla base delle loro reputazioni, gli intermediari finanziari che

forniscono le garanzie accessorie. Una volta individuati i mutui ipotecari residenziali da

cartolarizzare, l’intermediario finanziario consulente li vaglia sul piano legale, accertando, per

esempio, i diritti della banca cedente, il valore degli immobili ipotecati e la possibilità di

sostituire i beneficiari delle polizze assicurative contro i danni agli immobili ipotecati. I revisori

contabili devono certificare che tali mutui ipotecari residenziali sono idonei alla

cartolarizzazione.

L’intermediario finanziario consulente sottopone poi alle agenzie internazionali di valutazione

del credito incaricate il portafoglio di mutui ipotecari residenziali e le diverse opzioni sulla

struttura dell’operazione; negoziando eventuali modifiche, raggiunge un accordo di massima

coerente con gli obiettivi di certificazione. A questo punto risulta possibile prevedere con

maggiore accuratezza gli incassi della banca cedente, i quali derivano dal collocamento delle

obbligazioni e dalla gestione del portafoglio di crediti ceduti. Il merito di credito delle

obbligazioni viene ufficialmente certificato solo dopo che le obbligazioni sono state emesse

dalla società veicolo. L’intermediario finanziario consulente si occupa di solito del

collocamento delle obbligazioni.

OSSERVAZIONE. Attraverso la cartolarizzazione dei mutui ipotecari residenziali, la banca

italiana in esame consegue diversi benefici: diversifica le proprie fonti di finanziamento,

aumentando il proprio potere negoziale; accresce la propria liquidità, rendendo mobili dei

capitali altrimenti vincolati; ha più agio nell’allineare le scadenze dei crediti e dei debiti e nel

gestire il rischio di tasso; riduce sensibilmente il rischio di credito e quindi il costo della

raccolta; riduce temporaneamente il fabbisogno di capitale regolamentare; migliora la propria

visibilità nei mercati finanziari.


137

Le obbligazioni garantite sono direttamente emesse da una banca con un opportuno

patrimonio di vigilanza. Esse godono di una duplice protezione. In primo luogo, sono garantite

da un portafoglio di copertura separato, costituito da crediti non trasferibili di elevata qualità,

vale a dire da mutui ipotecari o da prestiti a enti pubblici erogati dalla banca stessa (o da

un’altra banca con un opportuno patrimonio di vigilanza). Inoltre, e in contrasto con una

cartolarizzazione, gli obbligazionisti possono esercitare un’azione di rivalsa nei confronti della

banca. Prima di emettere le obbligazioni garantite, la banca cede il portafoglio di copertura a

un’apposita società veicolo, che a sua volta garantisce il prestito obbligazionario. Di

conseguenza, se la banca divenisse insolvente, solo gli obbligazionisti potrebbero aggredire il

portafoglio di copertura separato. La banca ha l’obbligo di fare in modo che i valori nominale e

attuale del portafoglio di copertura siano sempre almeno pari ai valori nominale e attuale delle

obbligazioni garantite. Se le insolvenze nel portafoglio di copertura fossero di più del previsto,

la banca dovrebbe cedere altri crediti non trasferibili alla società veicolo. Pertanto, e in

contrasto con una cartolarizzazione, il rischio di insolvenza grava sulla banca. L’operazione è

monitorata da una società di revisione contabile, la quale verifica il rispetto delle norme e

l’adeguatezza del portafoglio di copertura. Poiché il portafoglio di copertura separato è

costituito da crediti non trasferibili di elevata qualità, le obbligazioni garantite vengono

considerate da investimento dalle agenzie internazionali di valutazione del credito e giudicate

AAA o Aaa in molti casi. Le obbligazioni garantite rimborsano tipicamente il valore nominale

alla loro scadenza.

OSSERVAZIONE. La cartolarizzazione di mutui ipotecari residenziali giocò un importante

ruolo nella crisi finanziaria avvenuta negli USA nel biennio 2007-2008 e quindi divenuta una

crisi finanziaria globale.

A partire dagli anni 90, i tassi di interesse di mercato negli USA divennero bassi e i mutui

ipotecari residenziali subprime vennero concessi a debitori con basso reddito e basso merito

creditizio, in precedenza esclusi dal mercato del credito. Parallelamente, agenzie pubbliche

come Fannie Mae (Federal National Mortgage Association) e Freddie Mac (Federal Home

Loan Mortgage Corporation) rendevano liquidi i mutui ipotecari, procedendo alla loro

cartolarizzazione; le obbligazioni emesse erano garantite contro il rischio di insolvenza. I prezzi

degli immobili iniziarono a salire alla fine degli anni 90, per poi quasi triplicare nel decennio

1997-2006. La cartolarizzazione riguardò inizialmente i mutui ipotecari residenziali più sicuri

ma successivamente venne estesa da altri intermediari finanziari ai mutui ipotecari subprime;


138

nel secondo caso, le obbligazioni emesse non erano di solito garantite contro il rischio di

insolvenza, che veniva dunque trasferito dagli intermediari finanziari mutuanti agli

obbligazionisti.

A causa della rapida e ampia diffusione di queste ultime cartolarizzazioni, si registrò una

considerevole crescita dei mutui ipotecari subprime tra il 2000 e il 2006. Purtroppo, molte

istruttorie di mutuo condotte dai mortgage brokers, vale a dire da intermediari non bancari,

divennero troppo superficiali: le informazioni fornite dal debitore non venivano

(sufficientemente) verificate; il rapporto tra capitale mutuato e valore di mercato dell’immobile

era spesso troppo elevato. Inoltre, i mutui ipotecari subprime potevano prevedere dei bassi tassi

fissi per i primi 2 o 3 anni seguiti da più elevati tassi variabili di mercato, per esempio il tasso

dei buoni del Tesoro USA più 3%, troppo onerosi per dei debitori ingenui e a basso reddito.

Questi ultimi accettavano le condizioni contrattuali nella speranza di poterle rinegoziare

successivamente. Nonostante ciò, nelle cartolarizzazioni di mutui ipotecari subprime, la

migliore classe di obbligazioni veniva frequentemente giudicata AAA o Aaa dalle agenzie

internazionali di valutazione del credito. Con il senno di poi, si può affermare che esse

sottostimarono i possibili tassi di insolvenza, anche perché utilizzarono dati storici relativi a un

periodo molto favorevole e a mutui ipotecari residenziali più sicuri. Parallelamente, alcune

controparti nei credit default swap come AIG (acronimo di American International Group)

vendettero troppa assicurazione contro il rischio di insolvenza rispetto al capitale disponibile.

Le società veicolo precedentemente menzionate stipulavano tali swap per accrescere la qualità

del credito. Negli anni 2005 e 2006 sarebbero stati concessi mutui ipotecari subprime per un

ammontare complessivo di $1.200 miliardi, cartolarizzati nella misura dell’80%.

Nel 2006 cominciò una prolungata fase di contrazione nei prezzi degli immobili,

accompagnata da più elevati tassi variabili dei mutui ipotecari subprime, in crescita sin dal

2004. Tali prezzi si sarebbero contratti di circa un terzo entro il 2009. Venne così meno la

possibilità di rifinanziarsi a condizioni più favorevoli e il valore di mercato dell’immobile

ipotecato potè risultare minore del debito residuo. Poiché le insolvenze da parte dei debitori

ingenui o opportunisti aumentarono vertiginosamente, gli espropri fecero lo stesso di modo che

un grande numero di immobili finì sul mercato, causando un ulteriore ribasso dei loro prezzi e

alimentando così un circolo vizioso. Conseguentemente, anche le obbligazioni AAA o Aaa

menzionate più sopra subirono delle forti perdite nel corso del 2007 e del 2008 di modo che il

capitale di importanti banche come Citigroup e Wachovia Bank risultò significativamente

eroso. Iniziò così la crisi di liquidità culminata nel settembre 2008, quando ebbero luogo i

commissariamenti di Fannie Mae e Freddie Mac, la vendita di Merrill Lynch, sull’orlo della


139

bancarotta, a Bank of America, il fallimento di Lehman Brothers e il salvataggio di AIG da

parte del governo USA. Ciò diede luogo a una stretta creditizia globale, con conseguente

rallentamento della crescita economica in tutto il mondo e parallela contrazione del commercio

internazionale.

4.5. Sulla gestione attiva di portafogli obbligazionari

La gestione attiva di portafogli obbligazionari muove dalla distinzione tra nazioni e tra classi

di rischio (di credito), 10 secondo le classificazioni delle agenzie Fitch, Moody’s e Standard &

Poor’s; in linea di principio, ciascuna delle 10 classi di rischio di una data nazione è

rappresentata, in ogni giorno lavorativo, da una specifica curva dei rendimenti a scadenza,

che associa a ogni scadenza in ordinata un tasso annuo di rendimento a scadenza in ascissa.

Poiché, come spiegato più sotto, i tassi annui di rendimento a scadenza dei titoli di Stato

(obbligazioni senza cedola, a tasso fisso, a tasso variabile) riflettono le prospettive

macroeconomiche di una nazione, la corrispondente curva costituisce il quotidiano termine di

paragone. Se il merito di credito dei titoli di Stato è AAA o AA secondo le agenzie Fitch e

Standard & Poor’s, oppure Aaa o Aa secondo l’agenzia Moody’s, il rischio di credito insito in

essi è modesto e il minore possibile. Le determinanti del rendimento a scadenza di

un’obbligazione societaria sono, a grandi linee, 3: la nazione e le sue prospettive

macroeconomiche, il merito di credito della società emittente (che dipende a sua volta dalle

caratteristiche del settore industriale e della società), la scadenza del contratto. Data una certa

scadenza futura, la differenza tra i rendimenti a scadenza di un’obbligazione societaria e di un

titolo di Stato, vale a dire il premio per il rischio di credito nella sua espressione elementare,

sarà tanto maggiore quanto minore è il merito di credito della società emittente.

I lavori scientifici sui fondi obbligazionari e le loro prestazioni sono molti di meno di quelli

sui fondi azionari. Secondo tali analisi empiriche, le prestazioni passate dei gestori di fondi

obbligazionari sarebbero state in generale modeste e prive di persistenza nei risultati. D’altra

parte, il nocciolo della gestione attiva di portafogli obbligazionari risiede nella capacità di fare

previsioni migliori di quelle di consenso, implicite nelle varie curve dei rendimenti a scadenza.

Nel caso dei titoli di Stato, la curva dei rendimenti a scadenza cambia forma nel tempo, in

generale secondo il ciclo economico, essendo determinata dalle previsioni di consenso

sull’economia come pure da squilibri tra domanda e offerta. In linea di principio, le previsioni

di consenso dovrebbero concernere il quadro macroeconomico di una nazione, definito

magari come nelle tabelle proposte dal settimanale The Economist, vale a dire dal tasso di

crescita del prodotto interno lordo, dal tasso di inflazione, dal tasso di disoccupazione, dal tasso


140

di cambio, dal saldo della bilancia commerciale come pure dai rapporti partite correnti-PIL e

deficit di bilancio–PIL. Il primo tratto della curva dei titoli di Stato, con scadenze minori di 2

anni, potrebbe riflettere le previsioni di consenso circa la politica monetaria della Banca

centrale; inoltre, qualora si prevedano espansione e quindi maggiore inflazione (recessione e

quindi minore inflazione) nel breve-medio termine, la curva dei titoli di Stato dovrebbe essere

inclinata verso l’alto (il basso). Poiché gli obbligazionisti sono avversi al rischio, la curva dei

titoli di Stato è di solito inclinata verso l’alto; tuttavia, essa muta nel tempo in modo che i

rendimenti a breve scadenza risultino molto più variabili di quelli a lunga scadenza.

Per quanto attiene alle obbligazioni societarie, i premi per il rischio di credito risentono del

ciclo economico, aumentando (diminuendo) nella fase di contrazione (espansione), quando le

insolvenze sono più (meno) frequenti e i corrispondenti tassi sono più elevati (contenuti). Il

rapporto tra i rendimenti a scadenza delle obbligazioni BBB e AAA a 10 anni è un valido

indicatore della percezione generale del rischio di credito.

Secondo alcuni studi basati sull’analisi delle componenti principali, larga parte della

variabilità dei rendimenti a scadenza dei titoli di Stato, diciamo il 95% di essa, è riconducibile a

3 soli fattori comuni, che sono convenzionalmente interpretati come una traslazione parallela,

un cambiamento di inclinazione e una cambiamento di curvatura della curva dei rendimenti a

scadenza dei titoli di Stato.

OSSERVAZIONE. Come spiegato in Golub-Tilman (2000, cap. 3) e nei riferimenti

bibliografici ivi citati, un’analisi delle componenti principali degli eccessi di rendimento delle

obbligazioni può comprendere

• il riferimento alle obbligazioni senza cedola emesse dal Tesoro USA o create dagli

intermediari finanziari rivendendo separatamente, nel mercato secondario, ciascuna

cedola e il capitale nominale di un titolo di Stato (Separate Trading of Registered Interest

and Principal Securities, procedimento introdotto dal Tesoro USA nel 1985). Per

esempio, un vettore di eccessi di rendimento a scadenza 1;ner rispetto al tasso pronti

contro termine per una notte è rilevato settimanalmente per 5 anni in modo da

determinare una matrice reale e simmetrica di varianza-covarianza nn;Σ . Nel fare ciò ci

si può avvalere dello smorzamento esponenziale;

• un cambiamento di variabili 1;;1; nnnn erpc Ω= , dove Ω è una matrice ortogonale.

Qualora gli n autovalori di Σ siano positivi e distinti, ossia tali che

021 >>>> nλλλ L , le colonne di 1−Ω=ΩT sono i corrispondenti autovettori


141

ortogonali di Σ , ciascuno normalizzato in modo che la somma dei quadrati dei suoi

coefficienti sia pari a 1. Di conseguenza, si ottiene un vettore 1;npc di componenti

principali ortogonali (e quindi incorrelate), la cui matrice diagonale di varianza-

covarianza è TΩΣΩ ; la somma delle loro varianze nλλλ +++ K21 è pertanto uguale a

222

21 nσσσ +++ K . Solo 2-3 componenti principali sono di solito importanti; esse

spiegano mediamente, diciamo, l’85%, il 7% e il 3% della variabilità degli eccessi di

rendimento, vale a dire

95,003,007,085,021

3

21

2

21

1 =++=+++

++++

++++ nnn λλλ

λλλλ

λλλλ

λKKK

L’interpretazione finanziaria di tali fattori comuni è quella data più sopra; tuttavia, i pesi

del primo fattore comune 1pc dipendono dalle scadenze quasi come nel caso della

struttura a termine delle volatilità. Si ha

332211 pcω pcω pcωer ;k;k;kk ++=

dove i coefficienti del primo autovettore ;n;; ωωω 12111 ≅≅≅ L descrivono una

traslazione e i coefficienti del secondo autovettore ;n;; ωωω 22212 ≥≥≥ L (o

;n;; ωωω 22212 ≤≤≤ L ) descrivono una rotazione oraria (antioraria) non rigida. E’

agevole constatare che la varianza di ciascun eccesso di rendimento settimanale è

pressochè completamente spiegata dai 3 fattori comuni;

• il riferimento a delle obbligazioni con cedola emesse dal Tesoro USA. E’ verosimile

accertare nel campione che pure le varianze degli eccessi di rendimento settimanali di tali

obbligazioni sono pressochè completamente spiegate dai 3 fattori comuni menzionati più

sopra.

L’analisi delle componenti principali può essere pure svolta con riferimento a variazioni

giornaliere, settimanali o mensili dei tassi di rendimento a scadenza dei titoli di Stato o dei tassi

di interesse a pronti del mercato monetario. La persistenza della relazione può essere accertata

suddividendo il campione di dati in sottointervalli.

La gestione attiva di portafogli obbligazionari si basa sulla previsione delle variazioni nei

rendimenti a scadenza dei titoli di Stato e nei margini di credito delle obbligazioni societarie

come pure sull’individuazione di apprezzamenti temporaneamente erronei di obbligazioni e

insiemi di obbligazioni. Per quanto attiene ai titoli di Stato, un gestore dovrebbe prevedere la

loro evoluzione nel breve termine, prima o meglio del mercato, una sfida che può scoraggiare.


142

Figura 1 – Tipiche evoluzioni delle curva dei rendimenti a scadenza dei titoli di Stato USA (fonte: Jones, 1991)

Per esempio, qualora la curva dei rendimenti a scadenza dei titoli di Stato sia inclinata verso

l’alto ed egli ritenga che rimarrà sostanzialmente invariata, egli sostituirà cautamente le

scadenze più brevi con scadenze più lunghe, assumendo così del rischio di tasso in cambio di

più elevati rendimenti a scadenza. Inoltre, come mostrato nella precedente figura, un gestore

può pure prevedere che tutti i rendimenti a scadenza dei titoli di Stato aumentino

(diminuiscano) a causa di una traslazione verso l’alto (il basso) della curva dei rendimenti a

scadenza, accompagnata magari da una riduzione (un aumento) dell’inclinazione positiva e

quindi del divario tra rendimenti a lungo e a breve termine. In tale circostanza, egli ridurrà

(accrescerà) la durata media finanziaria del proprio portafoglio. Infatti, se le obbligazioni hanno

durata media finanziaria contenuta (elevata), i loro prezzi sono poco (molto e favorevolmente)

influenzati da tale evoluzione.


143

OSSERVAZIONE. Come riportato in Jones (1991), le 2 evoluzioni testé menzionate

spiegherebbero circa il 91,6% dei rendimenti effettivi dei titoli di Stato USA. Inoltre, esse sono

verosimilmente caratterizzate da considerevoli variazioni nei rendimenti a scadenza; una

traslazione verso l’alto (il basso) dell’1% è coerente con una riduzione (un aumento) del divario

tra rendimenti a lungo e a breve termine dello 0,25%. Tuttavia, gli effetti del cambiamento di

inclinazione possono pure risultare più forti degli effetti della traslazione.

Più in generale, un gestore potrà delineare almeno 3 differenti scenari, assegnando loro le

rispettive probabilità di accadimento; ciascuno scenario, sia esso ottimistico, intermedio o

pessimistico, descriverà un peculiare andamento della curva dei rendimenti a scadenza dei titoli

di Stato, per esempio alla fine dell’anno. Egli cercherà allora un compromesso tra rendimento

effettivo e rischio, propendendo verso un portafoglio obbligazionario con un’accettabile

prestazione in ogni scenario, magari meno brillante nello scenario ottimistico ma più

soddisfacente in quello pessimistico.

Tra le obbligazioni societarie, un gestore privilegerà quelle male apprezzate a suo avviso,

per le quali attenda, nel breve termine, un miglioramento del merito di credito, con conseguente

incremento dei loro corsi secchi. Inoltre, egli sfrutterà anche la possibilità di sostituire alcune

obbligazioni in portafoglio con altre, che abbiano complessivamente le stesse caratteristiche ma

siano meno costose. Infine, la sua scommessa potrà pure riguardare parte di una classe di

rischio, qualora egli si aspetti, nel breve termine, una riduzione del corrispondente margine di

credito, dilatato magari da timori non giustificati, a suo avviso, dalle correnti caratteristiche

degli emittenti. In linea di principio, le scommesse sui margini di credito delle obbligazioni

societarie devono essere coerenti con l’obiettivo di durata media finanziaria del portafoglio.

OSSERVAZIONE. Secondo i dati storici, le obbligazioni da investimento sono più spesso

declassate che promosse di classe dalle agenzie di valutazione del credito. Inoltre, gli eccessi di

rendimento delle obbligazioni male apprezzate sono di solito decisamente minori di quelli delle

azioni male apprezzate. Tuttavia, ci si può esporre al rischio di credito, comprando e detenendo

un ampio e ben diversificato portafoglio di obbligazioni con non elevato merito di credito.

Secondo la Tabella 6, poiché i margini di credito potrebbero più che compensare le perdite da

insolvenza, si potrebbero conseguire degli eccessi di rendimento. Comunque, se tali

obbligazioni non fossero opportunamente scelte a causa di una carente analisi fondamentale

delle società emittenti, le perdite da insolvenza potrebbero essere maggiori del previsto. Inoltre,


144

potrebbero registrarsi delle minusvalenze di capitale di breve termine dovute a un aumento dei

margini di credito.

Il lettore interessato può consultare Farrell (1997, cap. 14) per una più organica trattazione

della gestione di portafogli obbligazionari, concernente pure

• le obbligazioni con facoltà di rimborso anticipato da parte dell’emittente, che

incorporano quindi un’opzione call esercitabile dall’emittente, generalmente pagando un

premio per il rimborso anticipato;

• le obbligazioni estere, le quali consentono una più ampia diversificazione del portafoglio

obbligazionario ma lo espongono al rischio di cambio. In tale circostanza, un gestore

deve pure decidere se mitigare o coprire tale rischio, stipulando periodicamente degli

opportuni contratti derivati.


145

5. Struttura a termine dei tassi di interesse

5.1. Sui tassi di interesse a trascurabile rischio di credito

Qualora il merito di credito dei titoli di un certo Stato sia AAA o AA secondo le agenzie

Fitch e Standard & Poor’s, oppure Aaa o Aa secondo l’agenzia Moody’s, esistono più tassi di

interesse, nei quali, in condizioni operative ordinarie, è insito un bassissimo rischio di credito,

ossia di insolvenza del debitore

• i tassi (impliciti nei prezzi) dei titoli di tale Stato;

• i tassi interbancari;

• i tassi swap, i tassi impliciti in certi contratti futures e i tassi di riporto.

Alcuni dei valori assunti dagli Euribor e dai tassi Irs in un particolare giorno sono riportati

nelle 2 seguenti tabelle.

tasso lettera (%) 3,159 3,209 3,251 3,610 3,805 3,879 3,928 3,963 3,978

durata 1s 2s 3s 1m 2m 3m 6m 9m 1a

Tabella 7 – Tassi Euribor rilevati il 27/11/2008


Gli Euro Interbank Offered Rate sono tassi annui di interesse semplice proposti nell’area € e

applicabili, con 2 giorni lavorativi di differimento e con la regola effettivi/360 per il calcolo dei

giorni, a prestiti interbancari in € senza garanzia; essi sono riservati di solito a controparti

con soddisfacente merito di credito (almeno AA o Aa, in linea di principio), prendono la forma

di deposito e hanno durata di 1, 2, o 3 settimane, o da 1 a 12 mesi. Più precisamente, ogni

Euribor è una media troncata, calcolata da Reuters, delle condizioni proposte da un campione di

più di 40 banche di riferimento. La maggior parte di tali operazioni bancarie ha durata non

superiore a un mese.

tasso denaro (%) 3,33 3,14 3,23 3,35 3,46 3,94 4,05 3,64 3,31

tasso lettera (%) 3,35 3,16 3,25 3,37 3,48 3,96 4,07 3,66 3,33

durata 1a 2a 3a 4a 5a 10a 20a 30a 50a

Tabella 8 – Tassi IRS su € contro Euribor a 6 mesi rilevati il 27/11/2008



146

Un tasso annuo Irs (interest rate swap) concerne un contratto derivato stipulabile tra 2

controparti e relativo a scambi di rate semestrali posticipate per 1 o più anni; le 2 sequenze di

rate semestrali posticipate, dette gambe dagli operatori, sono determinate in funzione di un

capitale convenzionale, che non è scambiato. La data di decorrenza segue di 2 giorni lavorativi

la data di rilevazione. La gamba variabile è costituita da rate semestrali variabili, ciascuna

delle quali dipende dal capitale convenzionale e dal tasso variabile, lo Euribor a 6 mesi avente

regolamento nel primo giorno del rispettivo semestre di maturazione. La gamba fissa è

costituita da rate semestrali costanti, ciascuna delle quali è pari al capitale convenzionale

moltiplicato per metà del tasso fisso, il tasso Irs prevalente al momento della stipula del

contratto. Più precisamente, si applica il tasso Irs denaro (lettera), se le rate semestrali costanti

sono versate (incassate) dall’intermediario finanziario proponente; le differenze lettera-denaro

remunerano l’attività degli intermediari finanziari.

Per risolvere problemi quali la misurazione del premio per il rischio di credito insito in un

prestito obbligazionario e la valutazione dei contratti derivati, bisogna disporre di una struttura

a termine di tassi di interesse omogenei e a trascurabile rischio di credito. Secondo il

linguaggio matematico, una struttura a termine è una sequenza (o successione finita) di termini

Tti ; , con t assegnato e T variabile, dove il generico termine Tti ; è un tasso annuo di interesse

a pronti , concernente un prestito con inizio al tempo t, durata tT − e rimborso globale alla

scadenza al tempo T; a tali tassi annui devono inoltre corrispondere dei fattori di montante

( )tTi Tt −+ ;1 e/o ( ) tTTti

−+ ;1 crescenti al crescere della durata tT − . Ove non diversamente

specificato, si farà astrazione in tutta la sezione da giorni di differimento , commissioni e

tasse, assumendo pure che ogni mese abbia 30 giorni, coerentemente con la regola di calcolo

dei giorni 30/360 europea.

Se si fa riferimento a un’opportuna valuta e ai tassi annui di interesse menzionati più sopra,

si possono rilevare ogni giorno 2 tipi di struttura a termine a trascurabile rischio di credito,

l’una relativa al mercato monetario, l’altra relativa al mercato dei titoli di Stato . La prima

(seconda) indica, per ogni durata, il tasso a pronti al quale un intermediario finanziario con

soddisfacente merito di credito (lo Stato con merito di credito AAA o AA) potrebbe prendere

denaro in prestito in quel giorno, concretamente (in linea di principio) per le durate più brevi

(lunghe), quali quelle minori di 1 anno. I procedimenti di rilevazione sono comunque

approssimati; il più semplice è quello del laccio dello scarpone (bootstrap). Il suo impiego è

più agevole nel caso del mercato monetario, considerato più sotto; nel caso dei titoli di Stato

esso richiede la scelta di un paniere di obbligazioni (si vedano gli esercizi 49 e 50).


147

OSSERVAZIONE. Sia Tty ; il tasso di rendimento a scadenza al tempo t di un titolo di

Stato che scade al tempo T. La curva dei rendimenti Tty ; differisce dalla struttura a termine

dei tassi di interesse Tti ; , a meno di prendere in considerazione solo obbligazioni senza cedola.

Se, come avviene di solito nella prassi operativa, i contratti derivati sono valutati per mezzo

dei tassi del mercato monetario, si determineranno dei prezzi teorici che escludono ogni

opportunità di arbitraggio sia per gli operatori bancari con soddisfacente merito di credito sia

per gli altri operatori, in quanto per questi ultimi valgono condizioni peggiori (minore

remunerazione dei depositi e maggiore onerosità dei prestiti).

Il mercato interbancario funziona grazie a un circuito telematico che collega tra loro gli

operatori abilitati. Per ciascuna durata minore dell’anno, ogni giorno vengono rilevate le

quotazioni del tasso denaro (bid rate), applicato ai depositi, e del tasso lettera (ask rate),

applicato ai prestiti; nella prassi operativa si fa riferimento soprattutto al secondo, che è

maggiore del primo. Poiché la probabilità di insolvenza di ogni banca è maggiore della

probabilità di insolvenza dello Stato, ciascun tasso interbancario lettera è, in teoria ma non

sempre in pratica, maggiore del corrispondente tasso di interesse a pronti (implicito nei prezzi)

dei titoli di Stato. La struttura a termine dei tassi interbancari di interesse, vale a dire del

mercato monetario, può essere ricavata, per le durate maggiori di 1 anno, utilizzando i tassi

swap, come mostrato più sotto.

OSSERVAZIONE. In realtà, come spiegato in Hull (2012, cap. 6), il tratto intermedio della

struttura a termine del mercato monetario, con durate comprese, per esempio, tra 3 e 15 mesi,

potrebbe essere rilevato avvalendosi di informazioni desunte dai contratti futures su tassi di

interesse a breve termine (per esempio, lo Euribor a 3 mesi), perché tali contratti derivati sono

molto liquidi. Il rischio di credito insito in un contratto futures è nullo, in virtù del ruolo svolto

dalla cassa di compensazione (e garanzia) di una borsa futures attraverso il meccanismo dei

margini.

OSSERVAZIONE. Per semplicità, le precedenti considerazioni prescindono dalla

possibilità

• di stipulare dei contratti swap aventi l’Eonia (Euro OverNight Index Average) quale

tasso variabile;


148

• di finanziarsi attraverso a un contratto di riporto (detto pure contratto pronti contro

termine), ossia mediante una vendita a pronti e un contemporaneo riacquisto a termine

delle stesse obbligazioni, usualmente a un prezzo a termine maggiore del prezzo a pronti,

come nell’esercizio 2. Il tasso di interesse implicito nel contratto, detto tasso di riporto, è

usualmente di poco maggiore del corrispondente tasso (implicito nei prezzi) dei titoli di

Stato, in quanto il rischio di credito insito nel contratto è molto basso.

Sulla rilevazione della struttura a termine dei tassi Euribor

Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione; Ti ;0 e Ti ;0~

indichino un Euribor

e un tasso swap, rilevati al tempo 0 e concernenti un’operazione di durata T, con scadenza al

tempo T. Ogni Euribor noto (incognito) Ti ;0 con 1≤T (con 1>T ) sia un tasso annuo di

interesse composto secondo la convenzione lineare (esponenziale).

Facendo riferimento ai dati presenti nelle Tabelle 7 e 8 e avvalendosi solo dei tassi swap, sulla

falsariga di Hull (2012, cap. 7), si presenta ora il procedimento di misurazione della struttura

termine dei tassi Euribor per le durate maggiori di 1 anno. Esso prevede 3 passi

1) per ciascuna durata disponibile, si ricava il corrispondente tasso swap, pari alla media dei

tassi IRS denaro e lettera. Si ottiene, per esempio,

%36,3~

%;24,3~

%;15,3~

%;34,3~

4;03;02;01;0 ==== iiii

2) per ciascuna durata non disponibile, pari a 1,5 / 2,5 / 3,5 anni etc., si ricava il tasso swap

mancante mediante interpolazione lineare, introdotta più sotto nell’esercizio 47 punto b. Si

ottiene, per esempio,

%300,32

~~~

%;195,32

~~~

%;245,32

~~~ 4;03;0

5,3;03;02;0

5,2;02;01;0

5,1;0 =+

==+

==+

=ii

iii

iii

i

3) facendo riferimento a degli interest rate swaps stipulabili al tempo 0, con durata dapprima di

1,5 anni, poi di 2 anni, quindi di 2,5 anni, etc., si calcola un Euribor incognito alla volta. Si

tenga presente che, al momento dello stipula di ogni interest rate swap, i valori attuali delle

2 gambe, calcolati per mezzo degli Euribor nel caso in esame, devono essere uguali. Se si

finge che il capitale convenzionale sia scambiato alla scadenza del contratto derivato, la

gamba variabile (la gamba fissa) è assimilabile a un’obbligazione a tasso variabile

(un’obbligazione a tasso fisso) e, mutatis mutandis, può essere valutata come nell’esercizio

54 punto a (nell’esercizio 47 punto c). Si ha, per esempio,

( ) ( ) ( )( ) ( ) =+++++++= −−−− 1100 1 1 5,012

~100100 5,1

5,1;05,1

5,1;01

1;01

5,0;05,1;0 iiii

i


149

( ) ( ) 1101,6225 ,039781 01964,16225,1 5,15,1;0

11 −−− +++= i

da cui si trae %260,35,1;0 =i come pure

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) =+++++++++= −−−−− 1100 11 1 5,012

~100100 2

2;02

2;05,1

5,1;01

1;01

5,0;02;0 iiiii

i

( ) ( ) 1101,575 ,032601 ,039781 01964,1575,1 22;0

5,111 −−−− ++++= i

da cui si trae %164,32;0 =i .

Tassi di interesse a termine

Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante. Un tasso di interesse a termine

Ttf ;;0 pattuito oggi è un tasso stabilito oggi con riguardo a uno spazio di tempo [ ]Tt; che

comincia nell’istante futuro t. Si applica al tempo T a un capitale C prestato nello spazio di

tempo [ ]Tt; e rimborsato mediante un unico ammontare.

I tassi di interesse a termine sono impliciti in una struttura a termine di tassi di interesse a

pronti ;ti0 . Affinché l’arbitraggio sia escluso, lo stesso rendimento deve essere associato a

tutte le politiche di investimento sicure che sono attuabili oggi e hanno lo stesso termine T con

0 t T< < . Si ha pertanto

( ) ( )( )tTftiTi TttT −++=+ ;;0;0;0 111 nel regime dell’ interesse semplice

( ) ( ) ( ) tTTt

tt

TT fii −++=+ ;;0;0;0 111 nel regime dell’ interesse composto

( )tTftiTi TttT −+= ;;0;0;0 nel regime dell’ interesse composto continuamente

Poiché i correnti tassi a pronti sono noti, i correnti tassi a termine possono essere ricavati

risolvendo le 3 precedenti equazioni, le quali escludono qualsiasi opportunità di arbitraggio .

Secondo tali equazioni, le 2 seguenti operazioni finanziarie, concordate al tempo 0, sono

equivalenti: prestare un capitale C per T anni al tasso a pronti Ti ;0 oppure prestare dapprima

un capitale C per t anni al tasso a pronti ti ;0 e in seguito il suo montante ( )tiC ;01+ per altri

tT − anni al tasso a termine Ttf ;;0 . Se così non fosse, l’arbitraggio sarebbe conseguibile,

prendendo a prestito alle condizioni meno favorevoli un elevato ammontare di denaro, per poi

prestarlo alle condizioni più favorevoli. A un esborso nullo al tempo 0 corrisponderebbe così un

considerevole incasso al tempo T, pari alla differenza tra i montanti delle 2 operazioni

finanziarie.

I tassi di interesse a termine possono essere pattuiti stipulando dei contratti derivati come

debitori o creditori di un capitale (convenzionale) in un futuro spazio di tempo.


150

Esempio 21. Alcuni tassi annui di interesse semplice a pronti in un particolare giorno

siano come segue

tasso(%) 3,00 3,10 3,20 3,30

termine 3 mesi 6 mesi 9 mesi 1 anno

Si vogliano determinare i tassi di interesse a termine 3x6, 6x9, and 6x12 che possono essere

pattuiti in un FRA (forward rate agreement); l’intervallo temporale 3x6 comincia (finisce) 3

(6) mesi dopo la stipula. Per ridurre il rischio di credito insito in un FRA, non si ha scambio di

capitale e una liquidazione per contanti ha luogo all’inizio dell’intervallo temporale pattuito.

Svolgimento. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante. Si ha

%3,3 %;2,3 ;%1,3 ;%3 1;075,0;05,0;025,0;0 ==== iiii . Sostituendo tali valori nelle 3 equazioni

che escludono l’arbitraggio

( )( )25,0125,015,01 5,0;25,0;025;05,0;0 fii ++=+

( )( )25,015,0175,01 75,0;5,0;05;075,0;0 fii ++=+

( )( )5,015,011 1;5,0;05;01;0 fii ++=+

e semplificando, si ricava %447,3 ;%348,3 ;%176,3 1;5,0;075,0;5,0;05,0;25,0;0 === fff .

Secondo la prima equazione, prestare un capitale C per 6 mesi al tasso a pronti %1,35,0;0 =i

equivale a prestare dapprima un capitale C per 3 mesi al tasso a pronti %325,0;0 =i e in

seguito il suo montante ( )25,01 25,0;0iC + per altri 3 mesi al tasso a termine

%176,35,0;25,0;0 =f .

Sebbene non siano stati presi in considerazione elementi di attrito quali le tasse, gli scarti

denaro-lettera e le commissioni di intermediazione, le equazioni che escludono l’arbitraggio

forniscono una ragionevole approssimazione nel caso del montante lordo di un grande capitale,

in quanto gli elementi di attrito costituiscono un piccola frazione dell’esborso totale.

OSSERVAZIONE. Qualora l’evoluzione temporale dei tassi di interesse a pronti fosse

nota, ogni tasso di interesse a termine Ttf ;;0 , stabilito al tempo 0, sarebbe pari al futuro tasso di

interesse a pronti Tti ; , stabilito al tempo t e vigente nello spazio di tempo [ ]Tt; . In tali


151

condizioni di certezza, le equazioni che escludono l’arbitraggio definirebbero la nozione di

scindibilità per un fattore di montante in 2 variabili. Come dimostrato in precedenza, un fattore

di montante in 2 variabili è scindibile, sse (se e solo se) vige il regime dell’interesse composto;

si ha, per esempio

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )3;22

2;02

3;11;03;22;11;03

3;0 11111111 iiiiiiii ++=++=+++=+

Tuttavia, secondo l’evidenza empirica i tassi di interesse a termine Ttf ;;0 sarebbero pari ai

valori medi dei corrispondenti tassi a pronti futuri Tti ; , aumentati di un modesto premio per la

liquidità (quindi tanto maggiore, quanto maggiore è la durata tT − del prestito). La conoscenza

incompleta circa l’evoluzione temporale dei tassi di interesse a pronti comporta appunto che la

condizione di esclusione dell’arbitraggio possa essere pure formulata nel regime dell’interesse

semplice.

Apprezzamento di obbligazioni a tasso variabile

Il tempo sia misurato in anni e t sia l’istante di valutazione, con 10 <≤ t . Si consideri un

prestito diviso in obbligazioni a tasso variabile, con n rimanenti cedole annue e con valore

facciale percentuale pari a 100; il tasso cedolare sia indicizzato allo Euribor a 1 anno. Come

mostrato dal seguente diagramma, ogni obbligazione stacca una cedola tti ;1100 − alla fine

dell’anno t, la quale diviene nota al tempo 1−t , in quanto tti ;1− è lo Euribor pattuito in 1−t

per prestiti interbancari senza garanzia di durata annuale. Ogni obbligazione restituisce inoltre

il valore facciale 100 alla scadenza n senza pagare alcun premio di rimborso.

1;0100i 2;1100i 1;2100 −− nni ( )nni ;11100 −+

0 t 1 2 L 1n − n

Proposizione. Il prezzo dell’obbligazione in esame risulta pari a 100 all’emissione e subito

dopo lo stacco di ogni cedola.

DIMOSTRAZIONE. Poniamoci al tempo 1−n ; dopo un anno, alla scadenza

dell’obbligazione, verrà pagato l’importo 100100 ;1 +− nni , il cui valore attuale al tempo 1−n

calcolato al tasso nni ;1− è proprio 100. Poniamoci ora al tempo 2−n ; dopo un anno maturerà la

penultima cedola, pari a 1;2100 −− nni mentre il prezzo dell’obbligazione sarà 100. Il valore


152

attuale al tempo 2−n dell’importo 100100 1;2 +−− nni calcolato al tasso 1;2 −− nni è nuovamente

100. Ripetendo 2−n volte questo ragionamento si può raggiungere il tempo 0.

Il corso tel quel al tempo t delle obbligazioni a tasso variabile è

( )( ) 11;1;01;0 )1(11100100 −−++=+= tiitiPP tcleandirty

in quanto la durata t−1 è non maggiore di un anno e lo Euribor 1;ti è un tasso di interesse

semplice.

OSSERVAZIONE. Qualora le cedole delle obbligazioni a tasso variabile siano semestrali

(trimestrali) e quindi staccate 2=m ( )4=m volte all’anno, la precedente proposizione è

ancora vera, purché i tassi di interesse adoperati siano semestrali (trimestrali). Sia m

t1

0 <≤ ;

la precedente formula diviene

1

/1;/1;0

/1;0 )1

(11100100−

−+

+=+= t

mi

m

itiPP mt

mmcleandirty

&——&——&

Esercizio 47. Alcuni tassi annui di interesse a pronti per prestiti interbancari in un

particolare giorno siano come segue (per semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano

giorni di differimento)

tasso (%) 3,00 3,10 3,30 3,40 3,50 3,50 3,80

durata 1 mese 3 mesi 6 mesi 1 anno 2 anni 3 anni 5 anni

a) Si trovi il fattore di montante per un deposito interbancario con durata di 6 mesi, facendo

astrazione dallo scarto denaro-lettera.

b) Si ricorra all’interpolazione lineare per trovare un fattore di sconto approssimato da

applicare a un importo in scadenza dopo 9 mesi.

c) Si consideri un’obbligazione societaria con merito di credito AA, avente cedole annue, tasso

cedolare del 4% e scadenza dopo 3 anni. Il suo corso ex cedola sia 100,70. Si trovi il

margine di credito.


153

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione. Sia ti ;0 il tasso di

interesse a pronti per operazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t.

a) Poiché %3,35,0;0 =i , il fattore di montante richiesto è 1,016505,01 5,0;0 =+ i .

b) Per interpolare linearmente i tassi di interesse a pronti disponibili, si associa a ciascuna

coppia (durata; tasso) della tabella più sopra un punto del piano ( )tit ;0; e si collegano

mediante segmenti i punti corrispondenti a coppie contigue; il risultante grafico è lineare a

tratti. Dato che la scadenza 9 mesi è compresa tra le scadenze 6 mesi e 1 anno, il tasso a

pronti incognito 75,0;0i è una funzione di 033,05,0;0 =i e 034,01;0 =i . Più specificatamente,

esso giace sulla linea retta

t,,iti

;tt 00200320 dire a vale

5,01

5,0

033,0034,0

033,00

;0 +=−−=

−−

che passa per i punti ( )033,0 ; 5,0 e ( )034,0 ; 1 del piano ( )tit ;0 ; .

Poiché 0335,075,0*00200320 75,00 =+= ,,i ; per 75,0=t , il fattore di sconto richiesto è

( ) ( ) 0,9754975,0*0335,0175,01 1175,0;0 =+=+ −−i .

c) Il margine di credito incognito sp soddisfa l’equazione

( ) ( ) ( ) =++++++++ −−− 33;0

22;0

11;0 11041414 spispispi

( ) ( ) ( ) € 70,100035,1104035,14034,14 321 =+++++ −−− spspsp

che non possiede una soluzione analitica. Un valore approssimato dell’unico margine di

credito è %25,0=sp .

Esercizio 48. Alcuni tassi annui di interesse a pronti per prestiti interbancari in un

particolare giorno siano come segue (per semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano

giorni di differimento)

tasso (%) 3,00 3,10 3,30 3,40 3,50 3,50 3,80

durata 1 mese 3 mesi 6 mesi 1 anno 2 anni 3 anni 5 anni

a) Si trovino gli equivalenti tassi annui nominali composti continuamente per durate di 6

mesi, 1 anno e 2 anni.


154

b) Si usi il tasso annuo nominale composto continuamente e si trovi il fattore di montante per

un deposito interbancario con durata di 6 mesi, facendo astrazione dallo scarto denaro-

lettera.

c) Si ricorra all’interpolazione esponenziale per trovare un fattore di sconto approssimato da

applicare a un importo in scadenza dopo 9 mesi.


interesse a pronti per operazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t sotto l’ipotesi di

composizione continua dell’interesse.

a) Si ha

( ) ( ) 4403035,01ln ;3433034,01ln ;27332

033,01ln2 2;01;05,0;0 %,i%,i%,i =+==+==

+=

b) Poiché %273,35,0;0 =i , un deposito semestrale di €1 genera un montante di

1,016505,0*5,0;0 =i

e €. A causa dell’equivalenza tra tassi di interesse, non c’ è alcuna

differenza con il punto a) del precedente esercizio.

c) Per interpolare esponenzialmente i tassi di interesse a pronti disponibili, si considera una

tabella di tassi annui nominali composti continuamente, si associa a ciascuna coppia

(durata; tasso) della tabella un punto del piano ( )tit ;0; e si collegano mediante segmenti i

punti corrispondenti a coppie contigue. Il risultante grafico è lineare a tratti. Dato che la

scadenza 9 mesi è compresa tra le scadenze 6 mesi e 1 anno, il tasso a pronti incognito

75,0;0i è una funzione di 03273,05,0;0 =i e 03343,01;0 =i . Più specificatamente, esso giace

sulla linea retta

t,,iti

;tt 00140032030 dire a vale

5,01

5,0

03273,003343,0

03273,00

;0 +=−−=

−−

che passa per i punti ( )03273,0 ; 5,0 e ( )03343,0 ; 1 del piano ( )tit ;0 ; .

Poiché 03308,075,0*00140032030 75,00 =+= ,,i ; per 75,0=t , il fattore di sconto

richiesto è 0,9755075,0*75,0;0 =−i

e .

Esercizio 49. I prezzi di alcune obbligazioni senza cedola in un particolare giorno d’asta

siano

prezzo 98 96 94 92

durata (mesi) 3 6 9 12


155

Inoltre, il prezzo secco di un’obbligazione con cedole annue, tasso cedolare del 10%, e 18 mesi

alla scadenza sia 101,40. Tutte le obbligazioni sono titoli di Stato emessi dal Tesoro; per

semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano giorni di differimento.

Si trovino i tassi di interesse a pronti (annui effettivi) impliciti in tali prezzi.


interesse a pronti per transazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t. Dall’equazione

( ) t;ti −+= 01100prezzo si trae

tti

1

;0 prezzo

1001

=+

dove prezzo

100 è un fattore di montante periodale. Sostituendo i prezzi più sopra nella seconda

equazione, si ricava la seguente tabella

tasso periodale 2,041% 4,167% 6,383% 8,696%

tasso effettivo ti ;0 8,417% 8,507% 8,600% 8,696%

durata (anni) 0,25 0,5 0,75 1

Il prezzo tel quel dell’obbligazione a tasso fisso è 40,1062/1040,101 =+ ; dall’equazione di

apprezzamento ( ) 5,15,1;0

5,0 1*11008507,1*1040,106 −− ++= i si trae %896,85,1;0 =i .

Esercizio 50. I prezzi di alcune obbligazioni senza cedola in un particolare giorno siano

prezzo 99,25 97,00 94,75 92,50

durata (giorni ) 30 120 210 300

Inoltre, il prezzo secco di un’obbligazione con cedole annue, tasso cedolare del 9% e 390 giorni

alla scadenza sia 99,05. Tutte le obbligazioni sono titoli di Stato emessi dal Tesoro; per

semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano giorni di differimento.

Si trovino

a) i tassi di interesse a pronti (annui effettivi) impliciti in tali prezzi;

b) il tasso di interesse a pronti a 1 anno, per mezzo dell’interpolazione lineare.


156


interesse a pronti per transazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t.

a) Dall’equazione ( ) t;ti −+= 01100prezzo si trae

tti

1

;0 prezzo

1001

=+

dove prezzo

100 è un fattore di montante periodale. Sostituendo i prezzi più sopra nella

seconda equazione, si ricava la seguente tabella

tasso periodale 0,756% 3,093% 5,541% 8,108%

tasso effettivo ti ;0 9,455% 9,568% 9,686% 9,807%

durata (anni) 1/12 4/12 7/12 10/12

Il prezzo tel quel dell’obbligazione a tasso fisso è 30,10712/11*905,99 =+ ; dall’equazione

di apprezzamento

( ) 12

13

12/13;012

1

1*10909455,1*930,107 −−++= i

si trae %938,912/13;0 =i .

b) Si ha ( ) %894,93

2%131,0%807,9

12/3

12/212/1012/1312/101;0 =+=−+= iiii .

OSSERVAZIONE. Il metodo del laccio dello scarpone (bootstrap) presentato negli ultimi

2 esercizi consente di rilevare sequenzialmente la struttura a termine dei tassi di interesse insita

in un paniere di n obbligazioni, ciascuna con lo stesso merito di credito ma con una differente

scadenza, ogni data di pagamento essendo una delle n scadenze. Il risultato finale, un insieme di

n punti ( )tit ;0; interpolati linearmente, risente della scelta del paniere. Qualora si voglia

rilassare l’ipotesi sul paniere, come accade soprattutto nell’ambito dell’analisi economica,

bisogna ricorrere all’ottimizzazione, per stimare i parametri incogniti di una funzione della

durata, sia essa una funzione parsimoniosa oppure una funzione polinomiale (o esponenziale)

a tratti, detta spline.

Un ben noto esempio di funzione parsimoniosa è proposto in Nelson-Siegel (1987); la

risultante struttura a termine può avere andamento monotono, con gobba, sigmoidale


157

−+

−−+=τττt

ctt

bai t exp exp1 ;0

dove ti ;0 è un tasso annuo nominale continuamente composto, mentre a, b, c e τ sono i

parametri incogniti.

Nel caso di una spline, i diversi tratti in generale, e i tassi a breve e a lungo termine ti ;0 in

particolare, risultano relativamente indipendenti. Per motivi legati alla gestione del rischio di

tasso, in sede operativa si prendono spesso in considerazione i tratti aventi come estremi le

scadenze a 1, 3, 5, 7, 10 e 30 anni. Per un approfondimento dell’argomento si rimanda a

Marangio et alii (2002).

Esercizio 51. I tassi annui di interesse a pronti in un particolare giorno siano come segue

tasso (%) 5,00 5,10 5,30 5,40 5,50 5,50 5,80

termine 1 mese 3 mesi 6 mesi 1 anno 2 anni 3 anni 5 anni

Si calcoli il tasso annuo a termine 3x12 nel caso i dati in tabella rappresentino

a) tassi annui di interesse composto secondo la convenzione lineare;

b) tassi annui di interesse composto secondo la convenzione esponenziale;

c) tassi annui nominali di interesse continuamente composto.


interesse a pronti per transazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t; sia Ttf ;;0 il

tasso di interesse a termine vigente al tempo 0 per transazioni che iniziano al tempo t e

terminano al tempo T. L’intervallo 3x12 comincia (termina) 3 (12) mesi dopo la stipula.

Sostituendo i valori %1,525,0;0 =i ; %4,51;0 =i nella condizione che esclude l’arbitraggio

a) ( )( ) 1;01;25,0;025,0;0 175,0125,01 ifi +=++

b) ( ) ( ) 1;075,0

1;25,0;025,0

25,0;0 111 ifi +=++

c) 1;01;25,0;025,0;0 75,025,0 ifieee =

e semplificando, si ricava

a) %431,5125,01

1

75,0

1

25,0;0

1;01;25,0;0 =

−

++

=i

if


158

b) ( ) %500,511

1 75,0

1

25,025,0;0

1;01;25,0;0 =−

+

+=

i

if

c) %500,575,0

25,01 25,0;01;01;25,0;0 =

−=

iif

Si rammenta che il tasso a termine di interesse semplice %431,51;25,0;0 =f può essere pattuito

al tempo 0 dalle 2 controparti di un FRA (forward rate agreement).

Esercizio 52. Sei mesi fa fu stipulato un FRA 6x12 con un capitale convenzionale di

€100.000. Alcuni tassi annui di interesse a pronti sono riportati nella tabella più sotto

(l’interesse è semplice; per semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano giorni di

differimento). Si descriva il regolamento per contanti che ha luogo oggi.

durata 6 mesi 1 anno tasso (6 mesi fa) 4,00% 5,00% tasso (oggi) 4,50% 5,50%

Soluzione. Se il capitale fosse scambiato, ciò avverrebbe due volte, 6 e 12 mesi dopo la

stipula (da cui l’espressione 6x12). Tuttavia, lo scambio di capitale è sostituito da un

regolamento per contanti 6 mesi dopo la stipula.

Il tempo sia misurato in anni, 0 sia l’istante della stipula e 0,5 sia l’istante del regolamento

(che cade oggi). Sia ti ;0 il tasso di interesse a pronti per transazioni che iniziano al tempo 0 e

terminano al tempo t; sia Ttf ;;0 il tasso di interesse a termine vigente al tempo 0 per

transazioni che iniziano al tempo t e terminano al tempo T. Sostituendo i valori %45,0;0 =i ;

%51;0 =i nella condizione che esclude l’arbitraggio

02,1

05,1

5,01

15,01

5,0;0

1;01;5,0;0 =

++

=+i

if

si ricava il tasso a termine concordato: 5,882%1;5,0;0 =f . Poiché ,50%41;5,0 =i , il debitore

deve pagare

( ) ( )79,675

5,0*%5,41

5,0%500,4%882,5000.100

5,01

5,0000.100

1;5,0

1;5,01;5,0;0 =+

−=+

−i

if €

al creditore. Tuttavia, se € 675,97.100 sono presi in prestito per 3 mesi al vigente tasso a pronti

1;5,0i , a scadenza si dovrà restituire


159

( ) ( )0,5*5,882%1000.100102.941,000,5*4,5%1675,79.100 +==+ €

come è implicito nel FRA. Se 1;5,0i fosse stato maggiore di 5,882%, il creditore avrebbe dovuto

versare l’importo ( )

5,01

5,0000.100

1;5,0

1;5,0;01;5,0

i

fi

+−

al debitore.

Esercizio 53. Per saldare un debito di €96.000 tra 1 anno, una società per azioni potrebbe

depositare in banca un incasso di €40.000 tra 6 mesi come pure un incasso di €55.000 tra 9

mesi. Alcuni odierni tassi annui di interesse a pronti sono riportati nella tabella più sotto

(l’interesse è semplice). Il rischio di tasso verrebbe coperto stipulando un FRA 6x12 e un FRA

9x12. Si verifichi se l’operazione finanziaria sia efficace.

tasso (%) 4,00 4,10 4,20 4,30 termine 3 mesi 6 mesi 9 mesi 1 anno

Soluzione. L’operazione finanziaria è efficace. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il

corrente istante. Sia ti ;0 il tasso di interesse a pronti per transazioni che iniziano al tempo 0 e

terminano al tempo t; si ha 043,0 ;042,0 ;041,0 1;075,0;05,0;0 === iii . Si rammenta che un

ideale arbitraggio è costituito da un insieme di operazioni simultanee che non richiede alcun

esborso e che procura o potrebbe procurare un qualche incasso. Affinché l’arbitraggio sia

impossibile nel nostro caso, qualsiasi insieme di operazioni simultanee e sicure, pattuite oggi e

relative agli incassi menzionati più sopra, deve generare lo stesso montante tra 1 anno. Di

conseguenza, le stipule di un FRA 6x12 e di un FRA 9x12 equivalgono allo sconto al tempo 0

di entrambi gli incassi seguito da un deposito sino al tempo 1 del risultante valore attuale

( ) ( )( )( ) € 00096€ 1149596175,01000.555,01000.40 1;01

75,0;01

5,0;0 .,.iii >=++++ −−

OSSERVAZIONE. Questo è il più semplice procedimento possibile per il calcolo di un

montante certo di incassi futuri certi, sulla base dei tassi a pronti vigenti in un dato giorno.

Esercizio 54. Si consideri un’obbligazione a tasso variabile con merito di credito AA,

valore facciale percentuale di 100, cedole annue e 15 mesi alla scadenza. Alcuni tassi annui di

interesse a pronti per prestiti interbancari , vigenti 9 mesi fa e oggi, sono riportati nella

tabella più sotto


160

durata 3 mesi 6 mesi 1 anno 2 anni 3 anni 5 anni tasso (9 mesi fa, %) 2,60 2,80 3,00 3,10 3,10 3,15 tasso (oggi, %) 2,70 2,90 3,10 3,20 3,20 3,25

Si trovi l’odierno corso secco dell’obbligazione, nell’ipotesi che il tasso cedolare sia pari a un

tasso a pronti per prestiti interbancari a 1 anno

a) senza alcuna maggiorazione;

b) con una maggiorazione di 20 punti base, ossia dello 0,20%.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni, 0,75 sia il corrente istante e 2 sia la scadenza

dell’obbligazione. L’ultimo stacco di cedola avvenne 9 mesi fa al tempo 0. Siano

%i ; 000,3 10 = il tasso a pronti a 1 anno vigente 9 mesi fa, e %,i ;, 7002 1750 = il tasso a pronti a

3 mesi vigente oggi.

a) Poiché la prossima cedola, pari a 3100 1;0 =i , maturerà tra 3 mesi, il corso secco

dell’obbligazione sarà allora 100, come è già accaduto all’emissione e subito dopo lo stacco

delle precedenti cedole. Gli odierni corsi tel quel e secco dell’obbligazione sono

( )( ) ( ) 102,310,25*0,027110325,011100 111;75,01;0 =+=++ −−ii e 100,062,25- 102,31 =

dove l’importo 25,275,0100 1;0 =i costituisce i dietimi.

b) Siano %;125,31

25,0%1,0%1,3 ;700,2 2;7501;75,0 =+== ;i%i i tassi a pronti applicati oggi a

un’operazione di durata di 3 o 15 mesi; il secondo tasso a pronti è ottenuto mediante

interpolazione lineare. All’obbligazione a tasso variabile del punto a) si aggiunge ora una

rendita con 2 poste, ciascuna di ammontare 20,00020,0*100 = , in scadenza a 3 e a 15 mesi

da adesso. Gli odierni corsi tel quel e secco dell’obbligazione sono pertanto

( ) ( )( ) 102,70125,0120,0 02,311 25,12;75,0

11;75,0 =++++ −− ii e 30,1002,40 102,70 =−

dove l’importo ( ) 40,275,00020,0100 1;0 =+i costituisce i dietimi.

OSSERVAZIONE. Come già accennato, il regolamento di una sottoscrizione all’asta di

CCT avviene con 2 giorni lavorativi di differimento; il regolamento di una compravendita di

CCT o di obbligazioni societarie a tasso variabile avviene con 3 giorni lavorativi di

differimento. Per le obbligazioni emesse dopo il 1/1/1999, la regola per il calcolo dei giorni è

effettivi/effettivi .


161

Riferimenti bibliografici

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ISBN 978-88-908806-1-2

Ettore Cuni

Luca Ghezzi

E’ dottore in Economia e commercio e supervisore del credito presso la direzione generale del

Credito Bergamasco. E’ esperto di tecnica bancaria, analisi di bilancio e analisi del rischio di

credito.

E’ dottore di ricerca in Ingegneria informatica e professore associato di Ingegneria economico

gestionale presso l’Università Carlo Cattaneo. La sua attività di ricerca concerne l’impiego dei

metodi dell’ingegneria in problemi di natura economica e finanziaria, quali il funzionamento dei

mercati finanziari, la gestione dei portafogli finanziari, la valutazione delle imprese.

A partire dal 1971, anno di transizione dal regime di cambi fissi di Bretton Woods al regime di

cambi flessibili, sia la Matematica sia la Tecnica finanziaria hanno attraversato una stagione di

straordinario sviluppo, alimentato e facilitato dalla liberalizzazione e globalizzazione dei mercati

finanziari, dalla diffusione delle tecnologie informatiche e telematiche, dai progressi compiuti dai

fornitori di informazione finanziaria.

Pur non rinunciando al rigore delle tradizionali trattazioni, gli Appunti di Matematica e tecnica

finanziaria sono più decisamente orientati alle applicazioni. Coerentemente con lo sviluppo

menzionato più sopra, essi offrono una duplice chiave di lettura della disciplina: quella logica,

relativa ai procedimenti analitici o empirici, e quella operativa, relativa a contratti, operazioni e

processi finanziari. L’approccio è non solo pragmatico ma anche multidisciplinare, con riferimenti

alla contabilità, all’economia industriale, all’economia dei mercati e degli intermediari finanziari.

Appunti di Matematica e tecnica finanziaria · 2013-07-05 · Appunti di Matematica e tecnica...

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