Appunti delle lezioni di

Matematica Finanziaria

G. Olivieri ,G. Foschini, M. Staffa

a.a. 2007-2008

I parte

2 Indice Capitolo 1: Le Operazioni Finanziarie Elementari ........................................................................ 5

1 Introduzione ....................................................................................................................................5

2 Operazioni Finanziarie Elementari...............................................................................................6

2.1 Operazioni finanziarie di investimento ..................................................................................6

2.2 Operazioni Finanziarie di anticipazione ..............................................................................10

2.3 Relazioni tra le grandezze finanziarie ..................................................................................13

Esempio 2.1 ................................................................................................................................15

Esempio 2.2 ................................................................................................................................15

Esempio 2.3 ................................................................................................................................16

Esempio 2.4 ................................................................................................................................16

3 Leggi di capitalizzazione e di attualizzazione .............................................................................17

3.1 La funzione del montante unitario .......................................................................................18

Esempio 3.1 ................................................................................................................................18

Esempio 3.2 ................................................................................................................................19

3.2 La funzione dellinteresse unitario .......................................................................................19

Esempio 3.3 ................................................................................................................................20

Esempio 3.4 ................................................................................................................................20

3.3 La funzione del valore attuale unitario ................................................................................20

Esempio 3.5 ................................................................................................................................21

Esempio 3.6 ................................................................................................................................21

3.4 La funzione dello sconto unitario .........................................................................................21

4 I regimi finanziari .........................................................................................................................23

4.1 Regime dellinteresse Semplice .............................................................................................23

Esempio 4.1 ................................................................................................................................26

Esempio 4.2 ................................................................................................................................27

Esempio 4.3 ................................................................................................................................27

Esempio 4.4 ................................................................................................................................28

Esempio 4.5 ................................................................................................................................29

4.2 Regime dello Sconto Commerciale .......................................................................................31

Esempio 4.7 ................................................................................................................................35

Esempio 4.8 ................................................................................................................................35

Esempio 4.9 ................................................................................................................................35

3

Esempio 4.10 ..................................................................................................................................... 35

4.3 Regime della Capitalizzazione Composta ............................................................................... 39

4.4 Tassi equivalenti.....................................................................................................................42

Esempio 4.11 ..............................................................................................................................43

Esempio 4.12 ..............................................................................................................................43

Esempio 4.13 ..............................................................................................................................44

Esempio 4.14 ..............................................................................................................................47

Esempio 4.15 ..............................................................................................................................47

Esempio 4.16 ..............................................................................................................................48

Esempio 4.17 ..............................................................................................................................50

Esempio 4.18 ..............................................................................................................................51

Esempio 4.19 ..............................................................................................................................52

4.5 Il regime di capitalizzazione semplice come approssimazione del regime di

capitalizzazione composta ..........................................................................................................54

4.6 Tassi nominali.........................................................................................................................57

Esempio 4.20 ..............................................................................................................................57

Esempio 4.21 ..............................................................................................................................58

Esempio 4.22 ..............................................................................................................................64

Esempio 4.23 ..............................................................................................................................65

4.7 Intensit istantanea di interesse e di sconto.........................................................................65

Esempio 4.24 ..............................................................................................................................67

Esempio 4.25 ..............................................................................................................................67

Esempio 4.26 ..............................................................................................................................69

Esempio 4.27 ..............................................................................................................................69

Esempio 4.28 ..............................................................................................................................70

5 La struttura per scadenza dei tassi di interesse .........................................................................71

Esempio 5.1 ................................................................................................................................73

Esempio 5.2 ................................................................................................................................78

Esempio 5.3 ................................................................................................................................83

6 Arbitraggio ....................................................................................................................................85

Esempio 6.1 ................................................................................................................................89

Esempio 6.3 ................................................................................................................................91

Esempio 6.4 ................................................................................................................................91

4

7 Uniformit e Scindibilit delle leggi finanziarie ........................................................................ 92

Esempio 7.1 ....................................................................................................................................... 95

Esempio 7.2 ................................................................................................................................95

Esempio 7.3 ................................................................................................................................96

Esempio 7.4 ................................................................................................................................97

8.1 Il teorema di Cantelli ..............................................................................................................98

Esempio 7.5 ..............................................................................................................................100

Esempio 7.6 ..............................................................................................................................101

Esempio 7.7 ..............................................................................................................................101

Esempio 7.8 ..............................................................................................................................102

5 Capitolo 1: Le Operazioni Finanziarie Elementari

1 Introduzione Oggetto fondamentale dello studio della matematica finanziaria una coppia di valori: un importo

(espresso in termini monetari) e lepoca di esigibilit. Quindi importi monetari di uguale valore ma

esigibili in epoche diverse non sono immediatamente confrontabili, importi di diverso valore

monetario esigibili nella stessa epoca sono comunque grandezze diverse.

La matematica finanziaria una materia in continua evoluzione e strettamente correlata al mercato

dei capitali1. Se osserviamo la pagina finanziaria di un giornale economico possiamo osservare le

quotazioni del MOT2, da cui si ricavano le seguenti informazioni:

Prezzo dasta del titolo osservato; Scadenza del titolo; Codice identificativo del titolo (codice ISIN) Date di esigibilit delle cedole; Rendimento effettivo lordo e netto (sia per lanno solare -365 giorni- che per lanno

commerciale -360 giorni-)

A titolo di esempio, si consideri un titolo le cui caratteristiche sono riassunte in Tabella 1:

Prezzo dasta scadenza Codice ISIN Date di esigibilit cedole

98,50 15/06/.. IT00. -

Tabella 1

1 Per una definizione di mercato dei capitali si veda oltre. 2 MOT: mercato secondario dei Titoli di Stato; il mercato secondario perch vengono trattati titoli emessi in precedenza. I titoli di stato sono titoli del debito pubblico, quindi emessi dal ministero del welfare: sono dunque privi del rischio di default (rischio di fallimento dellente emittente). Tali titoli rappresentano una modalit di finanziamento per lente emittente e contemporaneamente un possibile investimento per il sottoscrittore.

6

2 Operazioni Finanziarie Elementari

2.1 Operazioni finanziarie di investimento

Si prenda in considerazione un Buono Ordinario del Tesoro (BOT). Un titolo di questo tipo

rappresenta una operazione finanziaria elementare: infatti tale tipologia di titoli si caratterizzano

per lassenza di flusso cedolare (da qui la denominazione di titolo a capitalizzazione integrale o di

zero coupon bond, ZCB). Il BOT riportato in Tabella 1 scade il 15/06/.. ed identificato

univocamente dal codice ISIN. La durata residua di tale BOT pari a 159 giorni (ottenuto contando

i giorni dalla data cui fa riferimento la quotazione -07/01/..3- alla data di esigibilit del titolo). Il

prezzo dasta quanto oggi paghiamo per acquistare il titolo. Possiamo schematizzare quanto

detto in Figura 1.

Px My

-98,5 +100

07/01/.. 15/06/.. x y

Figura 1

In particolare, indichiamo con:

x (nellesempio il 7 gennaio): data di investimento;

y (nellesempio il 15 giugno): scadenza o data di disinvestimento;

Px (nellesempio pari a 98,5 ): il prezzo che paghiamo per acquistare il titolo o somma

investita;

My (nellesempio pari a 100,00): quanto ci viene restituito alla scadenza, prende il nome

di montante maturato allepoca y.

Acquistando il titolo abbiamo posto in essere unoperazione finanziaria con la quale si scambia una

somma disponibile oggi (Px) con una disponibile ad unepoca futura y (My). Tale operazione di

scambio prende il nome di operazione finanziaria elementare, definibile come un contratto mediante

3 Ipotizzando un anno non bisestile.

7

il quale un soggetto scambia un importo Px disponibile allepoca x con un importo My

disponibile allepoca y.

E evidente che tra due capitali disponibili alla stessa epoca sempre preferito quello di importo

maggiore, e tra due importi della stessa entit sempre preferito quello disponibile prima. E

dunque evidente che

xyPM xy (1-2.1)

Loperazione finanziaria posta in essere di acquisto dei BOT unoperazione finanziaria di

investimento, il cui compenso la differenza tra My e Px:

( ) xy PMyxI =, (1-2.2)

Quindi I(x,y) linteresse prodotto, dallepoca x allepoca y , per aver investito Px unit monetarie

in t=x. Nellesempio

( ) 5,15,98100/06/15,/01/07 == I

Nella realt dei mercati finanziari non possibile acquistare un solo titolo ma si devono acquistare

dei blocchi di titoli, ovvero tagli minimi, che per i BOT corrispondono a 500,00 di valore

nominale di rimborso. Nellesempio, se decidiamo di acquistare 10 tagli minimi, qual il nostro

cash flow?

Il numero minimo di BOT acquistabili (quindi il numero di titoli per ciascun taglio minimo) dato

dal rapporto tra il valore nominale del taglio minimo (TM) e il valore nominale di ciascun titolo

(VN):

5100500 ==

VNTM

Il prezzo pagato per ogni taglio minimo pari al prezzo di un titolo per il numero di titoli che lo

compongono:

8

5,4925,9855 === xTM PP

Poich vogliamo acquistare n=10 tagli minimi lesborso totale

925.4105,492 === nPP TMTOT

dove n indica il numero di tagli minimi acquistati.

A fronte di tale spesa (sostenuta allepoca x) ricaviamo, allepoca y, la somma di 5.000, ottenuta

dalla moltiplicazione del valore nominale di rimborso di ciascun titolo per il numero totale di titoli

acquistati (N4):

000.51005010 === VNnVNN

Quindi linteresse maturato nelloperazione finanziaria ( ) 75925.4000.5, ==yxI .

Se si vogliono acquistare solo 2 tagli minimi si ottiene

( ) 15,000.1

985

==

=

yxIMP

TOT

TOT

Il frutto dellinvestimento dunque varia in funzione del numero di titoli che si vuole acquistare, pur

essendo riferito sempre alla stessa tipologia di titoli. E pertanto opportuno calcolare il rendimento

delloperazione finanziaria in proporzione al capitale che si vuole investire, dividendo linteresse

I(x,y) per il capitale investito Px:

( )x

xy

x PPM

PyxIyxi

== ),(, (1-2.3)

Se investiamo in un solo titolo linteresse unitario i(x,y)

4 Indichiamo con n il numero di tagli minimi acquistati e con N il numero di titoli acquistati.

9 ( ) %52284,10152284,0

5,985,1/06/15,/01/07 ===i

Se acquistiamo 10 tagli minimi linteresse unitario risulta

( ) %52284,10152284,0925.4

75/06/15,/01/07 ===i

Analogamente, acquistando 2 tagli minimi otteniamo sempre lo stesso interesse unitario:

( ) %52284,10152284,0985

15/06/15,/01/07 ===i

Linteresse unitario, normalmente indicato in forma percentuale, indica il guadagno ottenuto per

ogni unit monetaria investita. Poich ottenuto come rapporto tra capitali un numero puro.

Quindi:

( ) 1, ==x

y

x

xy

PM

PPM

yxi (1-2.4)

Il rapporto x

y

PM

il montante unitario5, ovvero il montante prodotto da ogni unit di capitale

investita e si indica con il simbolo r(x,y):

( )x

y

PM

yxr =,

E quindi possiamo scrivere che

( ) 1),(, = yxryxi (1-2.5)

Nel nostro esempio

5 Anche il montante unitario, cos come linteresse unitario, un numero puro in quanto rapporto tra due unit monetarie.

10

( ) 0152284,1

5,98100/06/15,/01/07 ==r

La conoscenza del montante unitario r(x,y) ci permette di calcolare il montante di qualsiasi importo6

purch investito allepoca x e disinvestito allepoca y. Cos, ad es., noto r(x,y)=1,0152284, il

montante allepoca y di 500,00 investite allepoca x :

6142,5070152284,100,500 ==yM

In generale

( )yxrPM xy ,= (1-2.6)

Inoltre, per costruzione, linteresse prodotto dal capitale Px investito allepoca x e disinvestito

allepoca y,

( ) ( )yxiPyxI x ,, = (1-2.7)

2.2 Operazioni Finanziarie di anticipazione

Cambiamo punto di vista: lente emittente (lo Stato nel caso dellemissione di un BOT) incassa oggi

la somma Px impegnandosi a pagare allepoca y la somma My. Quindi il cash flow , in valore

assoluto, uguale a quello relativo alloperazione finanziaria di investimento, ma con segno opposto

(si veda la Figura 2).

Px My +98,5 -100

07/01/.. 15/06/.. x y

Figura 2

6 In ipotesi di proporzionalit dagli importi.

11

Con tale operazione lo Stato si finanzia: sapendo di avere a disposizione allepoca y la somma

My, e avendo bisogno di liquidit allepoca x, emette titoli (BOT nel nostro esempio) ed incassa

subito la somma Px. Tale operazione prende il nome di operazione finanziaria di finanziamento o di

anticipazione.

In entrambe le operazioni finanziarie esaminate si deve sempre partire, per la determinazione degli

altri elementi, dalle somme in uscita (quindi lelemento noto Px se parliamo di operazioni

finanziarie di investimento, mentre My se consideriamo operazioni finanziarie di anticipazione).

Nelle operazioni finanziarie di anticipazione, definiamo:

My il capitale disponibile (o esigibile) allepoca y;

Px il capitale da anticipare allepoca x, o valore attuale, o valore scontato;

y data di disponibilit del capitale;

x data di anticipazione.

Deve, ovviamente, risultare xy PM con xy . Definiamo sconto la differenza tra My e Px:

( ) xy PMyxD =, (1-2.8)

D(x,y) rappresenta dunque la somma cui lente emittente deve rinunciare per farsi anticipare

allepoca x il capitale My disponibile allepoca y. Nel nostro esempio risulta

( ) 5,1, =yxD

Se dividiamo lo sconto per il capitale da scontare (My) otteniamo lo sconto unitario, ovvero lo

sconto per ciascuna unit monetaria di capitale anticipata:

( ) ( )y

x

y

xy

y MP

MPM

MyxDyxd === 1,, (1-2.9)

Nellesempio risulta:

( ) %5,1015,0100

5,98100/06/15;/01/07 ===d

12

Ovviamente, anche lo sconto unitario, poich il rapporto tra due importi, risulta essere un

numero puro.

Osservazione

( ) ( ) ( ) ( )yxiyxdyxDyxI ,, ma ,, = , perch? Da un punto di vista matematico linteresse unitario e lo sconto unitario sono evidentemente diversi

avendo lo stesso numeratore ma denominatori diversi.

Da un punto di vista finanziario sono diversi perch d(x,y) lo sconto unitario pagato subito,

allinizio delloperazione finanziaria7, viceversa i(x,y) linteresse incassato solo a scadenza (e

dunque alla fine delloperazione finanziaria8).

Definiamo

( )y

x

MPyxv =, (1-2.10)

il valore attuale unitario9, ovvero il numero di unit monetarie anticipate allepoca x per ciascuna

unit monetaria disponibile allepoca y.

Nel nostro esempio

( ) 985,01005,98/06/15;/01/07 ==v

Noto v(07/01/..;15/06/..) possibile calcolare il valore attuale alla data 7 gennaio di qualsiasi

importo monetario esigibile alla data 15 giugno; se, ad es. M15/06/03=500, il suo valore attuale

( ) 5,492985,0500/06/15;/01/0703/06/1503/01/07 === vMP (sempre in ipotesi di proporzionalit dagli importi).

7 Viene talvolta definito, infatti, interesse unitario anticipato. 8 Da qui il nome di interesse unitario posticipato. 9 Anche il valore attuale unitario un numero puro, ottenuto dividendo due importi.

13

2.3 Relazioni tra le grandezze finanziarie

Dalla (1-2.4) e dalla (1-2.5) otteniamo che

( ) ( )yxiyxr ,1, += (1-2.11)

( ) ( ) 1,, = yxryxi (1-2.12)

Combinando insieme la (1-2.9) e la (1-2.10) si ottengono le relazioni tra valore attuale unitario e

sconto unitario:

( ) ( )yxdyxv ,1, = (1-2.13)

( ) ( )yxvyxd ,1, = (1-2.14)

Dalla (1-2.5) e dalla (1-2.10) si ricava la relazione tra il montante unitario e il valore attuale

unitario:

( ) ( )yxvyxr ,1, = (1-2.15)

( ) ( )yxryxv ,1, = (1-2.16)

Il montante unitario e il valore attuale unitario sono coniugati per prodotto:

( ) ( ) 1,, = yxvyxr (1-2.17)

Infatti, calcolando il montante di 1 allepoca y otteniamo r(x,y), il cui valore attuale nuovamente

1.

14

Se mettiamo a sistema la (1-2.16) e la (1-2.11), ricaviamo il valore attuale unitario in funzione

dellinteresse unitario:

( ) ( )yxiyxv ,11, += (1-2.18)

Per la (1-2.13) possiamo inoltre scrivere:

( ) ( )yxiyxd ,11,1 += (1-2.19)

da cui

( ) ( )( )yxiyxiyxd,1

,, += (1-2.20)

Inoltre, dalla (1-2.13) e dalla (1-2.15) possiamo calcolare il montante unitario in funzione dello

sconto unitario:

( ) ( )yxdyxr ,11, = (1-2.21)

Infine, linteresse unitario in funzione dello sconto unitario ((1-2.11) e (1-2.13)):

( ) ( )( )yxdyxdyxi,1

,, = (1-2.22)

Le relazioni esaminate sono riassunte nella Tabella 2:

15

r(x,y) i(x,y) v(x,y) d(x,y)

r(x,y) ( )yxi ,1+ ( )yxv ,1 ( )[ ]yxd ,11 i(x,y) ( ) 1, yxr ( ) 1,1 yxv ( ) ( )[ ]yxdyxd ,1, v(x,y) ( )yxr ,1 ( )[ ]yxi ,11 + ( )yxd ,1 d(x,y) ( )yxr ,11 ( ) ( )[ ]yxiyxi ,1, + ( )yxv ,1

Tabella 2 Osservazione:

Utilizzando le grandezze r(x,y), v(x,y), i(x,y), e d(x,y), implicitamente si ipotizza una

proporzionalit diretta tra gli importi. Nella realt tale ipotesi giustificata (e si riscontra realmente)

quando si opera con titoli, per le altre operazioni finanziarie non sempre accettabile (si pensi alle

diverse condizioni ottenibili depositando in banca una somma di 100 o una di 1.000.000),

essendo linvestimento unitario funzione sia della durata delloperazione finanziaria sia di altri

fattori (importo investito, Paese in cui si effettua loperazione finanziaria, etc.). Nel prosieguo si

ipotizzer sempre la proporzionalit degli importi.

Esempio 2.1

Sia r(x,y)=1,0152284. Calcolare le altre grandezze finanziarie.

( ) ( ) ( ) %5,1,11,1,

985,0),(

1),(

%52284,11),(),(

===

====

yxryxvyxd

yxryxv

yxryxi

Esempio 2.2

Con i dati dellesempio 2.1 calcolare il montante allepoca y di 1.000,00 disponibili allepoca x.

23,015.1),(00,000.1 == yxrM y

16

Esempio 2.3

Con i dati dellesempio 2.1 calcolare il valore attuale allepoca x di 850,00 disponibili allepoca y.

( ) 25,837,00,850 == yxvPx

Esempio 2.4

Sviluppare su un foglio excel gli esempi 2.1, 2.2 e 2.3.

Indichiamo i dati di input utilizzando lo sfondo giallo. Nellesempio 2.1 si ricavano tutte le funzioni

finanziarie a partire da r(x,y) (si veda la Figura 3).

Nellesempio 2.2 e nellesempio 2.3 abbiamo bisogno di altri due dati di input, rispettivamente il

capitale investito Px=1.000,00 ed il capitale esigibile a scadenza My=850,00 (si veda la Figura 4).

Figura 3: Esempio 2.1

17

E importante notare che,in excel, ogni qualvolta si vuole inserire una formula necessario

inserire = nella barra della formula.

Figura 4: Esempi 2.2 e 2.3

3 Leggi di capitalizzazione e di attualizzazione

Le operazioni finanziarie descritte si svolgono nel mercato dei capitali, ovvero quel complesso di

operazioni di scambio fra importi aventi diverse epoche di disponibilit in base a leggi di natura

giuridica, economica e finanziaria che regolano tali scambi.

In particolare, ci riferiamo a mercati dei capitali perfetti, che hanno quindi le seguenti

caratteristiche:

1. perfetta efficienza informativa (tutti gli operatori hanno le stesse informazioni nello stesso

istante);

18

2. ciascun operatore un price taker (ogni operatore che pone in essere unoperazione

finanziaria non conosce le conseguenze prodotte da tale operazione sul mercato);

3. non esistono costi di transazione n oneri fiscali;

4. le operazioni sono comunque divisibili e possono effettuarsi in ogni istante;

5. gli operatori sono massimizzatori del profitto (essi sceglieranno sempre loperazione pi

conveniente; questo ha come diretta conseguenza il fatto che nel momento in cui un

operatore abbia un avanzo di cassa immediatamente lo vada ad investire nel mercato).

Se il mercato dei capitali ha tali caratteristiche allora esiste sempre un prezzo per ciascun contratto

scambiabile in ogni istante e tale prezzo unico. Quindi, noto r(x,y) possiamo ricavare il montante

My di un qualsiasi capitale Px (e viceversa, noto il valore attuale unitario). E possibile pensare di

fissare una delle due date e far variare laltra: otteniamo cos delle funzioni che variano al variare

della data di disinvestimento (y) fissata quella di investimento (x) o viceversa. Tali funzioni ci

permettono di capitalizzare (attualizzare) un capitale Px per diverse scadenze (y1, y2, , yn).

Quali caratteristiche devono avere tali funzioni per poter essere utilizzate per calcolare il montante

(valore attuale) di un capitale?

3.1 La funzione del montante unitario

Una funzione f(x,y), definita per yx , pu considerarsi una funzione del montante unitario se: a) monotna crescente al crescere di y, quindi, se derivabile, la sua derivata prima rispetto

alla data di disinvestimento positiva: ( ) 0,

yyxf : maggiore la durata delloperazione

finanziaria e tanto pi grande il montante ottenuto (a parit delle altre condizioni);

b) se x=y allora f(x,x)=1: se la durata delloperazione finanziaria pari a zero, il montante

ottenuto coincide col capitale (unitario) investito;

c) ( ) 1, yxf : per durate non nulle delloperazione finanziaria, il montante ottenuto deve essere sempre maggiore o uguale del capitale investito.

Esempio 3.1

Data la funzione ( ) ( ) ( )[ ] 1107,0, ++= xyxyyxf , verificare se una funzione del montante unitario.

Verifichiamo le condizioni a)-b)-c):

19

a) calcoliamo la derivata prima rispetto a y:

( ) ( ) xyxyy

yxf >+= 0114,0,

b) se y=x allora ( ) 1, =xxf c) ( ) 1, yxf per qualsiasi xy

Poich le condizioni a)-b)-c) sono verificate, la funzione studiata una funzione del montante

unitario e dunque possiamo scrivere ( ) ( ) ( )[ ] 1107,0, ++= xyxyyxr .

Esempio 3.2

Per quali valori del parametro a la funzione ( ) ( )2ln3, += xyayxf , definita per xy , una funzione del montante unitario?

Verifichiamo le condizioni a)-b)-c):

a) calcoliamo la derivata prima rispetto a y:

( ) 0 e 0 2

3, >>+= axy

xya

yyxf

b) se y=x allora ( ) ( ) 04809,02ln3

1per 12ln32ln3, >===+= aaxxaxxf

c) ( ) 1, yxf per qualsiasi 0 e > axy Quindi per

2ln31=a la funzione studiata una funzione del montante unitario. Quindi possiamo

scrivere ( ) ( )2ln

2ln, += xyyxr

3.2 La funzione dellinteresse unitario

Analogamente a quanto detto nel 3.1, una funzione f(x,y), definita per xy una funzione dellinteresse unitario se verifica le seguenti condizioni:

a') monotna crescente, quindi, se derivabile, la sua derivata prima rispetto alla data di

disinvestimento positiva: ( ) 0,

yyxf : linteresse prodotto crescente rispetto alla durata

delloperazione finanziaria;

20

b') se x=y allora f(x,x)=0: linteresse prodotto per unoperazione finanziaria di durata nulla

, ovviamente, pari a zero;

c') ( ) 0, yxf per qualsiasi xy : linteresse prodotto non pu essere negativo.

Esempio 3.3

Data la funzione del montante unitario calcolata nellesempio 3.2, determinare la funzione

dellinteresse unitario.

Per quanto illustrato nella Tabella 2, possiamo scrivere:

( ) ( ) ( )2ln

2ln2ln1,, +== xyyxryxi

La i(x,y) verifica le condizioni a)-b)-c), infatti ha derivata prima parziale rispetto ad y positiva,

sempre positiva per ogni xy , e per x=y risulta i(x,x)=0.

Esempio 3.4

Data la funzione del montante unitario calcolata nellesempio 3.2, posto Px=10,00, calcolare My sapendo che x=3 e y=6.

Poich My=Px r(x,y), possiamo scrivere:

( ) 22,232ln

236ln00,106 =+=M

3.3 La funzione del valore attuale unitario

Una funzione f(x,y), definita per yx , pu considerarsi una funzione del valore attuale unitario se: a'') monotna decrescente, quindi, se derivabile, la sua derivata prima rispetto alla data di

esigibilit del capitale negativa: ( ) 0,

yyxf : pi lontana lepoca di esigibilit del

capitale e pi piccolo il suo valore attuale;

21

b'') se x=y allora f(x,x)=1

c'') ( ) 1, yxf d'') ( ) 0, >yxf Le condizioni b) c) - d) possono essere riassunte nella

e'') ( ) ( ]1,0, yxf : il valore attuale non pu essere negativo ed ha come limite superiore il capitale da scontare (unitario).

Esempio 3.5

Data la funzione del montante unitario calcolata nellesempio 3.2, calcolare la funzione del valore

attuale unitario e verificare se idonea a rappresentare il fenomeno dellattualizzazione.

Per quanto illustrato nella Tabella 2, possiamo scrivere:

( ) ( ) ( )2ln2ln

,1, +== xyyxryxv

Tale funzione verifica le condizioni a)- e), infatti ha derivata parziale rispetto a y negativa, ed

sempre appartenente allintervallo (0,1].

Esempio 3.6

Data la funzione del valore attuale unitario calcolata nellesempio 3.5, posto My=100,00, calcolare

Px sapendo che x=3 e y=6.

Poich Px=My v(x,y), possiamo scrivere:

( )( ) 07,43236ln

2ln00,1003 =+=P

3.4 La funzione dello sconto unitario

Analogamente a quanto detto nel 3.2, una funzione f(x,y), definita per xy una funzione dello sconto unitario se verifica le seguenti condizioni:

22

a''') monotna crescente, quindi, se derivabile, la sua derivata prima rispetto alla data di

esigibilit del capitale positiva: ( ) 0,

yyxf : maggiore la durata delloperazione

finanziaria di anticipazione e pi grande lo sconto richiesto per lanticipazione stessa;

b''') se x=y allora f(x,x)=0

c''') ( ) 1,

23

4 I regimi finanziari

Consideriamo nuovamente loperazione finanziaria di acquisto di un BOT il 7 gennaio con

scadenza 15 giugno (la cui durata quindi pari a 159 giorni10). Supponiamo di voler rivendere tale

BOT dopo 30 giorni dalla data di acquisto (quindi il 6 febbraio), al prezzo P06/02/.. incognito (si veda

la Figura 5).

Px My -98,5 Px=? 100

07/01/.. 06/02/.. 15/06/.. x X y

Figura 5 Qual il prezzo di vendita? Sicuramente possiamo affermare che Px>Px, altrimenti lacquirente del

titolo non avrebbe percepito alcun interesse nei 30 giorni in cui ha detenuto il titolo. Analogamente

risulter Px

24

( ) ( )

( ) ( ) 28302,01593015930

cui da30:30159:159

==

=

II

II

Infatti, si osserva che chiaramente I(159) maggiore di I(30).

Il prezzo di vendita del BOT in data 6 febbraio risulter dalla somma del prezzo di acquisto e degli

interessi maturati:

( )',' xxIPP xx += (1-4.2)

ovvero:

( ) 78302,9828302,05,9830../01/07../02/06 =+=+= IPP

Dividiamo la (1-4.2) per il capitale investito:

xx

x

PxxI

PP )',(1' +=

in altri termini

( ) ( )',1', xxixxr +=

In particolare, per come abbiamo costruito linteresse unitario, possiamo scrivere:

( ) ( ) ( )xyxxyxi

xyxx

PyxIxxi

x =

= ',',',

Posto

k=y-x

t=x-x

si ricava:

25

( ) ( )

ktkiti = (1-4.3)

Se k=1 la (1-4.3) diviene

( ) titi = (1-4.4)

Quindi, se ipotizziamo la proporzionalit dellinteresse prodotto alla durata delloperazione

finanziaria, dato i tasso di interesse effettivo e t la durata delloperazione finanziaria, linteresse

prodotto da un capitale unitario in regime di interesse semplice dato dalla (1-4.4).

La (1-4.4) rappresenta la legge dellinteresse in regime di capitalizzazione semplice. Dalla (1-4.4)

possiamo ricavare, in base alla Tabella 2, la legge di capitalizzazione, di attualizzazione e di sconto,

dove con t indichiamo la durata delloperazione finanziaria:

( ) ( ) tititr +=+= 11 (1-4.5)

( ) ( ) tititv +=+= 11

11 (1-4.6)

( ) ( )( ) titi

tititd +

=+= 11 (1-4.7)

Landamento grafico delle (1-4.4), (1-4.5), (1-4.6) e (1-4.7) rappresentato in Figura 6.

Inoltre, per la (1-2.22), possiamo esprimere la legge del valore attuale e dello sconto in funzione del

tasso di sconto:

( ) ( )tdd

ddt

tv =

+=

111

11

1 (1-4.8)

e

26

( ) ( )tdtd

ddt

ddt

td =

+=

111

1

1 (1-4.9)

La (1-4.9) prende il nome di sconto razionale.

Regime di Capitalizzazione Semplice

i(t)

r(t)

v(t)

1 d(t)

t

Figura 6: Regime di Capitalizzazione Semplice

Osservazione: In regime di Interesse Semplice si ipotizza la formazione dellinteresse in

proporzione alla durata delloperazione finanziaria. Da tale ipotesi si ottiene un andamento lineare

sia della funzione dellinteresse unitario che del montante unitario (in particolare si tratta di due

(semi)rette parallele). Dalla stessa ipotesi si ricava la legge del valore attuale unitario e dello sconto

unitario che sono invece iperboliche. In particolare v(t) ha un asintoto orizzontale in zero, mentre

d(t) presenta un asintoto orizzontale in uno.

Esempio 4.1

Sapendo che il tasso di interesse giornaliero i=0,0095776%, calcolare:

1. il prezzo di un BOT annuale

2. linteresse prodotto in un anno (365 giorni) da un capitale unitario.

In regime di interesse semplice, posto t=365, poich il valore nominale di rimborso di un BOT

pari a 100,00, il prezzo richiesto

27

( ) 62,96365%0095776,01

00,10000,100 =+== tvP

Il tasso su base annua

( ) %4958,3365%0095776,0365 === tii

Esempio 4.2

Sapendo che il tasso su base annua i=3,4958%, calcolare il montante e linteresse ottenuto

investendo un capitale P=100,00 per t=5 anni.

In regime di interesse semplice il montante

( )tiPM += 1 quindi otteniamo:

( ) 48,1175034958,0100,100 =+=M

Per calcolare linteresse prodotto possiamo procedere in due modi alternativi:

( )

( ) 48,175034958,000,1005oppure

48,1700,10048,1175

===

===

tiPI

PMI

ovviamente otteniamo lo stesso risultato.

Esempio 4.3

Calcolare il valore attuale di un capitale M=500,00, esigibile fra due anni, sapendo che il tasso

annuo di sconto d=3%.

28

Per la (1-4.8) possiamo calcolare direttamente il valore attuale richiesto:

( ) ( ) 87,47094174757,000,50011100,500200,500 ==

==td

dvP

In alternativa, possiamo calcolare il tasso di interesse equivalente a quello di sconto dato e calcolare

il valore attuale utilizzando la (1-4.6):

87,47006185748,1

100,5001

100,500

quindi e

%092784,397,003,0

1

==+=

===

tiP

ddi

Esempio 4.4

Se il tasso annuo pari al 5%, dopo quanto tempo il capitale P investito in regime di interesse

semplice raddoppia?

Si tratta di risolvere il seguente sistema:

( )

+==

tiPMPM1

2

da cui 2005,01 ==t anni.

La caratteristica essenziale del regime dellinteresse semplice lipotesi di proporzionalit tra la

durata delloperazione finanziaria e linteresse prodotto, con fattore di proporzionalit pari al tasso

di interesse per periodo unitario; dunque linteresse, per costruzione, calcolato sempre sul capitale

iniziale, e sempre con lo stesso tasso. Se il capitale investito unitario e la durata delloperazione

finanziaria pari ad n, la formazione dellinteresse sintetizzata in Figura 7.

1 r(n)

i i i

0 1 2 n-1 n

Figura 7

29

Quindi se investo 1, per ogni periodo unitario ottengo linteresse i, e dunque allepoca n:

( ) ( ) ( )niiiinr +=++++= 1111 K

Se i tassi osservati sul mercato non sono costanti, la (1-4.5) non pu, ovviamente essere utilizzata.

1 r(t)

i1 i2 in

t1 t2 tn

0 t

Figura 8

Se i tassi di interesse per periodo unitario sono variabili, e rispettivamente supponiamo che valga il

tasso i1 per il periodo t1, il tasso i2 per il periodo t2 e cos via con la condizione che t1+t2++tn=t il

montante diviene:

( ) ( )nn titititr ++++= K221111

Se i tassi osservati variano per ciascun periodo unitario, possiamo indicare con:

i(0,1) il tasso di interesse per periodo unitario osservato sul mercato nel periodo [ ]1,0 ; i(1,2) il tasso di interesse per periodo unitario osservato sul mercato nel periodo [ ]2,1 ;

i(n-1,n) il tasso di interesse per periodo unitario osservato sul mercato nel periodo [ ]nn ,1 . Per quanto detto il montante unitario dopo n periodi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

+=++++=n

sssinniiinr

1,11,12,11,01 K (1-4.10)

La (1-4.10) rappresenta la legge di capitalizzazione in regime di interesse semplice in ipotesi di tassi

di mercato non costanti.

Esempio 4.5

Sul mercato si osservano i seguenti tassi:

30

i(0,1)=5%

i(1,2)=4%

i(2,3)=4,5%

Calcolare il montante dopo 3 anni di 100,00 investite allepoca t=0.

Per la (1-4.10) possiamo scrivere:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 5,113045,004,005,0100,1003,22,11,0100,100 =+++=+++= iiiM

Con quale tasso unico si sarebbe ottenuto lo stesso risultato?

Per la (1-4.5) possiamo scrivere:

( )3100,1005,113 += mi da cui

%5,43

1100

5,113

=

=mi

Generalizzando abbiamo scritto:

( )n

ssii

n

sm

=

= 1

,1 (1-4.11)

Quindi il tasso ottenuto la media aritmetica dei tassi osservati sul mercato.

Esempio 4.6

Sul mercato si osservano i seguenti tassi annui:

i(0,6m)=5% (tasso annuo in vigore tra lepoca t=0 e t=6 mesi)

i(6m,18m)=4% (tasso annuo in vigore tra lepoca t=6 mesi e t=18 mesi)

i(18m,24m)=4,5% (tasso annuo in vigore tra lepoca t=18 mesi e t=24 mesi)

Calcolare il tasso medio su base annua.

In questo caso i tassi si riferiscono a periodi non unitari dellanno, quindi ognuno di essi andr

ponderato per la durata in cui sono in vigore. Pertanto la media diviene una media aritmetica

ponderata, con pesi pari alle durate:

31

( ) ( ) ( )

%375,4

24

2118,12112,6

216,0

=++

=mmimmimi

im

Il regime della capitalizzazione semplice, per, non coerente con lipotesi di mercati (finanziari)

perfetti, caratterizzati, come gi detto, dallesistenza di un unico prezzo per ciascuna operazione

finanziaria. Consideriamo i dati gi illustrati nella Figura 5. Abbiamo calcolato il prezzo allepoca

x=06/02/.. come capitalizzazione del prezzo di acquisto relativo allepoca x=07/01/..:

( ) 78302,98';' == xxrPP xx Se il mercato perfetto, per assicurare lequilibrio necessario che tale prezzo sia identico a quello

ottenuto anticipando dallepoca y allepoca x il valore nominale di rimborso:

( ) 779565,983651291

100;'*' =+

==i

yxvMP yx

Come si pu osservare i due prezzi sono diversi. Questo creerebbe pressioni11 sulla domanda e

lofferta di titoli tali da riportare in equilibrio il mercato. Per tale motivo al regime dellinteresse

semplice da preferire un regime diverso, coerente con le ipotesi fatte.

4.2 Regime dello Sconto Commerciale

Ipotizziamo che lo sconto prodotto dal capitale esigibile a scadenza sia proporzionale alla durata

delloperazione finanziaria di anticipazione; se D(x,y)=1,5 lo sconto prodotto in 159 giorni (y-x),

per calcolare relativo a 129 giorni (da x a y) impostiamo una semplice proporzione:

( ) ( ) ( ) ( )':,':, xyyxDxyyxD = (1-4.12)

Nel nostro esempio si ottiene:

11 Tutti gli operatori (razionali) del mercato perfetto acquisterebbero il titolo al prezzo pi basso per rivenderlo contestualmente al prezzo pi alto, realizzando un profitto certo e immediato, ovvero ponendo in essere una operazione di arbitraggio. Per una definizione di operazione di arbitraggio si veda oltre, 7.

32

( ) ( )

( ) ( ) 21698113,1159129159129

cui da129:129159:159

==

=

DD

DD

E quindi il prezzo del BOT in data 6 febbraio risulter dalla differenza tra il valore nominale di

rimborso allepoca 15 giugno e lo sconto appena calcolato:

( )yxDMP yx ,'' += (1-4.13) ovvero:

( ) 78302,9821698113,100,100129/06/15/02/06 === DMP

Se indichiamo con d lo sconto applicato ad 1 per effetto dellanticipazione di 1 periodo unitario,

ipotizzare che lo sconto sia proporzionale al tempo vuol dire che lo sconto ottenuto da y a x pari a

( ) )(, xydyxd = e quindi con queste ipotesi il valore attuale in x di 1 esigibile in y ( ) )(1,1),( xydyxdyxv ==

In altri termini, se dividiamo ambo i termini della (1-4.13) per My:

( ) ( )yxdM

yxDMP

yy

x ,'1,'1' == (1-4.14)

Moltiplicando e dividendo la (1-4.14) per la durata delloperazione finanziaria si ottiene:

( ) ( )'1,' xydyxv =

dove d il tasso periodale di sconto. Posto t=y-x, possiamo scrivere:

( ) tdtv = 1 (1-4.15)

La (1-4.15) la funzione del valore attuale in regime dello sconto commerciale. Dalla (1-4.15)

ricaviamo la legge di formazione del montante in regime di sconto commerciale r(t), la legge di

formazione dello sconto d(t) e quella dellinteresse i(t):

33

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 11

11

1111

11

=====

==

tdtrti

tdtdtvtdtdtv

tr

Il regime dello sconto commerciale valido solo per durate inferiori a d1 , infatti, come visto nel

3.3, la funzione del valore attuale deve essere sempre positiva, dunque:

( )d

t

tdtv1

01

=

Se la durata fosse superiore a d1 il valore attuale sarebbe negativo, ovvero lo sconto applicato

risulterebbe maggiore del capitale da scontare! (si veda la Figura 9).

Osservazione: In regime di Sconto Commerciale si ipotizza la formazione dello sconto in

proporzione alla durata delloperazione finanziaria. Da tale ipotesi si ottiene un andamento lineare

sia della funzione dello sconto unitario che del valore attuale unitario (in particolare si tratta di due

(semi)rette). Dalla stessa ipotesi si ricava la legge del montante unitario e dellinteresse unitario che

sono invece iperboliche (e parallele). In particolare entrambe le funzioni hanno un asintoto verticale

in d

t 1= :

( ) ( ) +==

titrd

td

t 11limlim

34

Regime dello sconto commerciale

v(t)

d(t)

r(t)

i(t)

t

Figura 9

v(t) 1

d1 d2 dn

t1 t2 tn

0 t

Figura 10

Se i tassi di sconto per periodo unitario sono variabili, e rispettivamente supponiamo che il valga il

tasso d1 per il periodo t1, il tasso d2 per il periodo t2 e cos via (si veda la Figura 10) con la

condizione che t1+t2++tn=t la (1-4.15) diviene:

( ) nntdtdtdtv = ...1 2211

35

Nel caso poi che il tasso cambi ogni periodo unitario la formula sopra scritta facilmente

generalizzabile

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )=

=+++=t

sssdttdddtv

1,11,12,11,01 K

con d(s-1,s) tasso di sconto che si osserva sul mercato nel periodo [s-1,s].

Esempio 4.7

Sapendo che d=5%, calcolare il valore attuale di 150,00 esigibili fra 4 periodi in regime di sconto

commerciale.

( ) ( ) 00,120405,0100,150 === tvMP

Esempio 4.8

Calcolare il montante di 300,00 tra 2 anni in regime di sconto commerciale, sapendo che d=4%.

( ) ( ) 09,326204,0100,300 ==== tv

PtrPM

Esempio 4.9

Calcolare il montante dopo 4 anni in regime di sconto commerciale di un capitale P=200,00

sapendo che i=3%.

Poich %913,203,103,0

1==+= i

id , il montante richiesto

37,226402913,01

00,200 ==M

Esempio 4.10

Si vuole investire la somma di 200,00 ad un tasso i=5,5% per un periodo di 3 anni. Verificare

quale tra il regime dellinteresse semplice e quello di sconto commerciale risulta essere pi

conveniente.

36

Indichiamo con MS il montante ottenuto in regime di interesse semplice, e con MC quello

ottenuto in regime di sconto commerciale:

MS=P(1+it)=200,00 ( ) =+ 305,01 233,00

MC=P ( ) 07,2371

1

12001

12001 =

+== t

iidttv

In questo caso preferibile investire in regime di sconto commerciale perch MC> MS. Tale

risultato dipende strettamente dalla durata delloperazione finanziaria: sia la durata

dellinvestimento pari a 5 mesi, calcoliamo i due montanti:

MS=P(1+it)=200(1+ ) =12505.0 204,58

MC= ( ) 44,204125

05.0105.01

1200

11

12001

12001 =

+=

+== t

iidttv

P

In questo secondo caso sar preferibile investire in regime di interesse semplice perch MS>MC.

Possiamo generalizzare tali conclusioni? In altri termini, nei limiti di applicabilit del regime di

sconto commerciale, quale regime preferibile tra il regime di interesse semplice e quello di sconto

commerciale in caso di operazioni finanziarie di investimento?

E sufficiente calcolare per quali durate t il montante unitario ( )RIStr prodotto in regime di capitalizzazione semplice risulta maggiore di quello prodotto in regime di sconto

commerciale ( )RSCtr :

( ) ( )RSCRIS trtr >

ovvero:

37

iit

ti

+>+

11

11

( ) 01

11 22 >++++

tiiititititii

Ricordando che il denominatore sicuramente diverso da zero, in quanto per ipotesi d

t 1< e quindi

iit + 1 , possiamo studiare il segno del numeratore e del denominatore:

numeratore: ( ) 022 > titi per t (0,1); denominatore: 01 >+ tii per

iit +< 1 (e quindi sempre, visto che per durate maggiori il

regime dello sconto commerciale non pu essere applicato).

rRIS(t)

rRSC(t)

0 1 t

Figura 11: confronto fra montanti unitari in RIS e in RSC

38

vRIS(t)

vRSC(t)

1

0 1

Figura 12: confronto fra valori attuali unitari in RIS e in RSC In conclusione, il regime dellinteresse semplice produce un montante maggiore di quello prodotto

in regime di sconto commerciale nel caso di operazioni finanziarie con durata inferiore allunit di

tempo. Per durate nulle, o pari ad uno, i due regimi producono lo stesso montante12.

Il discorso si inverte se parliamo di operazioni di anticipazione: il valore attuale prodotto in regime

di sconto commerciale maggiore di quello prodotto in regime di interesse semplice per t (0,1), infatti, indicato con v(t)RSC il valore attuale unitario in regime di sconto commerciale e con v(t)RIS,

risulta13

( ) ( ) ( )1,0> ttvtv RISRSC

Ovviamente, per t=0 e t=1 il valore attuale unitario nei due regimi coincide.

12 Si veda la Figura 11. 13 Si veda la Figura 12.

39

4.3 Regime della Capitalizzazione Composta

Si gi sottolineato che il regime finanziario della capitalizzazione semplice non coerente con le

ipotesi effettuate di mercato di capitali perfetto14, portando alla formazione di prezzi diversi per la

medesima attivit finanziaria.

P0 P*s MT

t0 ts T

Figura 13

Consideriamo loperazione finanziaria descritta in Figura 13. Vogliamo determinare il prezzo Ps*

scegliendo opportunamente la legge di capitalizzazione/attualizzazione in modo da ottenere lo

stesso risultato sia se consideriamo il nuovo prezzo come valore capitalizzato di P0, sia che lo

calcoliamo come valore attuale del valore rimborsato alla scadenza MT. Ovvero:

( )( )

==

TtvMPttrPP

sTs

ss

;

;*

00*

sapendo che:

( )( )

( ) ( ) 1;;

00

00

0

0*

===

>

vrTtvMPTtrPM

TttPPM

T

T

s

sT

Pertanto:

( ) ( ) ( )( ) ( )ss

ss

tTtttTTtrTtrttr

+==

00

00 ;;;

Una delle funzioni che gode della propriet matematica che a noi interessa15 la funzione

esponenziale (positiva)16. Pertanto:

( ) ( ) 01;0 tTiTtr += (1-4.16a) 14 Si veda il 4.1. 15 ovvero che associa alla somma (per la variabile indipendente) il prodotto (per la variabile dipendente). 16 infatti, posto a>1 e s>0, risulta sempre ssxx aaa = .

40

La (1-4.16a) rappresenta la legge di capitalizzazione nel Regime dellInteresse Composto.

Posto17 t0=0 e T=t la (1-4.16a) diviene

( ) ( )titr += 1 (1-4.16)

Si perviene alle stesse conclusioni anche considerando il problema da un punto di vista

(parzialmente) differente.

Consideriamo loperazione finanziaria descritta in Figura 14. Se il tasso di interesse annuo i=6%,

in regime di capitalizzazione semplice il montante allepoca t=3

( ) 00,118306,0100,1003 =+=M .

100,00 M=?

0 1 2 3

Figura 14

Come cambia il montante finale se interrompiamo loperazione e reinvestiamo immediatamente il

montante ottenuto?

Se, ad esempio, si capitalizza il montante per ciascun anno di durata delloperazione finanziaria, si

ottiene:

( )( )( ) 10,1191

36,112100,1061

00,100

23

12

01

0

=+==+=

=+==

iMMiMM

iPMP

Il montante finale ottenuto allepoca t=3 maggiore del montante ottenuto alla stessa epoca con

ununica operazione finanziaria, infatti spezzando loperazione di investimento andiamo a

capitalizzare anche gli interessi prodotti in ciascun periodo. Infatti, per costruzione, possiamo

scrivere:

17 Le implicazioni finanziarie e le propriet matematiche implicite nella sostituzione proposta verranno esaminate nel 8.

41

( )( )[ ] ( )( )[ ] ( ){ } ( )

( )300

1

23

1

11111

1

iP

iiiPiiM

iMM

+==+++=

=++==+=

Linteresse unitario prodotto in ogni periodo sempre proporzionale al capitale investito allinizio

di ciascun intervallo temporale. Indicando rispettivamente con i1 , i2, e i3 linteresse unitario

prodotto nel primo, secondo e terzo anno dellinvestimento, si ottiene:

( )( )( ) i

MMiM

MMMi

iM

MiMM

MMi

iP

PiPP

PMi

=+==

=+==

=+==

2

22

2

233

1

11

1

122

0

00

0

011

1

1

1

La propriet descritta definisce il regime finanziario della capitalizzazione composta.

In generale, considerando un investimento unitario:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

0 1

1 0 1 1

2 1 1 1 1 1

1 1 1 n

r

r r i i

r r i i i i

r n r n i i

== + = += + = + + = +

= + = +K

Quindi la legge del montante unitario in regime di capitalizzazione composta, per valori interi di n

( ) ( )1 nr n i= + (1-4.16)

essendo i il tasso effettivo di interesse unitario ovvero linteresse prodotto da una unit monetaria

per un periodo unitario.

42

Si sottolinea che con n si indica la durata delloperazione finanziaria espressa quale numero di

periodi unitari riferiti alla stessa unit temporale di misura rispetto alla quale si definito il

tasso di interesse: se utilizzo un tasso di interesse effettivo annuo, n rappresenta il numero di anni,

se utilizzo un tasso di interesse effettivo mensile, la durata n delloperzione finanziaria espressa

come numero di mesi, etc.

Le funzioni, rispettivamente, del valore attuale, dellinteresse e dello sconto in funzione della sola

durata (intera) nel regime della capitalizzazione composta sono quindi

( ) ( ) ( )1 1n nv n i d= + = (1-4.17)

( ) ( ) 11 += nini

( ) ( ) ( )nn dind +=+= 1111

4.4 Tassi equivalenti

In regime di capitalizzazione composta, si vuole scegliere tra le seguenti due alternative di

investimento:

a) investimento di durata 2 anni al tasso effettivo annuo del 6%;

b) investimento di durata 2 anni al tasso effettivo trimestrale del 2,4%18 .

Calcoliamo i due montanti ottenuti, ipotizzando di voler investire un capitale P=100,00:

( ) ( )( ) 89,120024,100,1001

36,11206,100,1001

88

123

22

==

+=

==+=

iPM

iPM

b

a

Quindi conviene scegliere lalternativa b), che garantisce il montante maggiore.

Per quale tasso annuo le due alternative sono indifferenti? Calcoliamo il tasso annuo che,

investendo il capitale P per 2 anni garantisce il montante Mb:

18 Ricordando la definizione di tasso di interesse (si veda pag. 22) per periodo unitario, il tasso effettivo trimestrale un tasso di interesse definito su un periodo unitario pari a 3 mesi.

43

%95,9100,10089,1201

21

21

=

=

=P

Mi bb

Quindi, anche in termini di tassi di interesse lalternativa b) quella che garantisce linteresse

maggiore. In generale, per ricavare il tasso annuo equivalente al tasso trimestrale dato, si

impostata luguaglianza:

( )242

41 11 biPiP +=

+

che, ipotizzando un capitale P unitario, in generale diventa:

( )iim

m

+=

+ 11 1 (1-4.18)

Se verificata la (1-4.18), allora i due tassi iim

e 1 si dicono equivalenti.

Quindi due tassi di interesse riferiti a periodi diversi sono equivalenti se, data una comune scadenza,

nello stesso regime finanziario, producono lo stesso montante unitario.

Esempio 4.11

Calcolare il tasso effettivo annuo equivalente al tasso trimestrale del 2%.

Se %241 =i , in base alla (1-4.18) il tasso annuo i risulta:

( ) %243216,8102,111 44

41 ==

+= ii

Esempio 4.12

Calcolare il tasso effettivo trimestrale equivalente al tasso effettivo bimestrale dell1%.

44

Poich:

( )

( )

+=

+

+=

+

ii

ii

11

11

4

41

6

61

possiamo scrivere: 4

41

6

61 11

+=

+ ii

da cui

%503744,11146

61

41 =

+= ii

In generale n

n

m

m

ii

+=

+ 11 11

da cui

11 11

+= m

n

nm

ii (1-4. 19)

Esempio 4.13

Calcolare il tasso effettivo mensile di sconto equivalente al tasso effettivo annuo di sconto del 12%.

La (1-4.18) impone luguaglianza tra il montante unitario calcolato con un tasso riferito ad un

emmesimo di anno e quello calcolato con il tasso annuo. Se tale uguaglianza vera per i montanti

unitari vera anche per i valori attuali; ricordando la (1-4.17) possiamo scrivere:

( )ddm

m

=

11 1 (1-4.20)

dove

45

m

m

d

11 il valore attuale di 1 esigibile fra m frazioni di periodo unitario (anno) calcolato

in base al tasso di sconto relativo alla frazione stessa;

( )d1 il valore attuale di 1 esigibile fra un periodo unitario (anno) calcolato in base al tasso di sconto relativo al periodo stesso.

Se la (1-4.20) verificata i due tassi d1/m e d sono equivalenti. Dunque due tassi di sconto si dicono

equivalenti se, data una comune scadenza, applicati allo stesso capitale, nello stesso regime

finanziario, consentono di pervenire allo stesso valore attuale.

Il tasso di sconto richiesto

( ) ( ) %0596241,188,0111 121121121 === dd

Dalla relazione:

( )iim

m

+=

+ 11 1 (1-4.18)

si ricava facilmente:

( ) 111 1 mm

i i+ = + (1-4.21)

Se investiamo un capitale unitario per h periodo unitari, ognuno pari a 1m

al tasso 1m

i si ha:

11h

m

i +

e sostituendo :

46

11m

i+

con:

( ) 11 mi+

si ha:

( )1 hmi+

per cui la (1-4.16) pu essere estesa a valori razionali hm

:

( )( ) 1 hmhr im

= + e per continuit dei numeri razionali con i numeri reali possiamo scrivere:

( )( ) 1 tr t i= + (1-4.22)

La (1-4.22) una legge di capitalizzazione, infatti tutte le condizioni previste al 3.1 sono

verificate:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) tiittr

ttrir

t >++=

>=+=

01ln1

0110 0

Nota la legge di capitalizzazione in regime di capitalizzazione composta, possiamo, in base alla

Tabella 2, ricavare le altre funzioni finanziarie:

( ) ( ) ( )tt ditv =+= 11 (1-4.23)

47

( ) ( ) 11 += titi (1-4.24)

( ) ( ) ( )tt ditd =+= 1111 (1-4.25)

In particolare, la (1-4.23) e la (1-4.25) quando espresse in funzione del tasso di sconto d

rappresentano il regime finanziario dello sconto composto.

In Figura 15 rappresentato landamento delle leggi finanziarie in regime di capitalizzazione

composta.

Regime della Capitalizzazione Composta

r(t)

i(t)

v(t)1

d(t)

t

Figura 15

Esempio 4.14

Calcolare il montante di un capitale P=300,00 dopo 4 anni in regime di capitalizzazione composta

sapendo che il tasso di interesse annuo i=6%.

( ) 74,37806,100,3001 4 ==+= tiPM

Esempio 4.15

Se il montante di un capitale P=1.000.000,00 dopo 3 anni in regime di capitalizzazione composta

M=1.157.625,00, a quale tasso stata effettuata loperazione di investimento?

Poich

48

( )tiPM += 1

il tasso di interesse

11

= tPMi (1-4.26)

Quindi

%5100,000.000.100,625.157.1 3

1

=

=i

Esempio 4.16

Se il montante di un capitale P=1.350.000,00 in regime di capitalizzazione composta

M=1.630.000,00 al tasso di interesse annuo i=6,5%, qual la durata in anni delloperazione

finanziaria?

Poich

( )tiPM += 1 possiamo scrivere

( )tiPM += 1 (1-4.27)

applichiamo i logaritmi ai due termini della (1-4.27):

( )tiPM +=

1lnln

da cui

( )iPM

t +

=

1ln

ln (1-4.28)

49

Quindi la durata richiesta

( ) anni 3...99,2065,1ln135163ln

=

=t

1 r(t)

i1 i2 in

t1 t2 tn

0 t

Figura 16

Se i tassi di interesse per periodo unitario sono variabili, e rispettivamente supponiamo che il valga

il tasso i1 per il periodo t1, il tasso i2 per il periodo t2 e cos via con la condizione che t1+t2++tn=t

il montante diviene:

( ) ( ) ( ) ( ) ntntt iiitr +++= 1...11 21 21 Nel caso poi che il tasso cambi ogni periodo unitario la formula sopra scritta facilmente

generalizzabile.

Consideriamo, infatti, il caso illustrato in Figura 17, in cui i tassi di interesse per periodo unitario

sono comunque variabili.

i(0,1) i(1,2) i(t-1,t)

0 1 2 t-1 t

Figura 17

In particolare, indichiamo con i(0,1) il tasso di interesse relativo al periodo [0,1], i(1,2) il tasso di

interesse relativo al periodo [1,2], , e con i(t-1,t) il tasso di interesse relativo al periodo [t-1, t]. I

montanti unitari per ciascun periodo sono:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2,111,012,111,02,0 iiirr ++=+=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]ttiiittirrtr ,112,111,01,112,11,0,0 +++=+= KK

( ) ( )1,011,0 ir +=

50

ovvero

( ) ( )[ ]=

+=t

s

ssitr1

,11,0 (1-4.29)

La (1-4.29) rappresenta la legge di evoluzione del montante in regime di capitalizzazione composta

a tassi variabili. Dalla (1-4.29) si possono ricavare, in base alla tabella 2, le altre leggi finanziarie.

In particolare, la legge del valore attuale in regime di capitalizzazione composta a tassi variabili

( )( )[ ]

=+

= ts

ssitv

1

,11

1,0 (1-4.30)

Esempio 4.17

Sapendo che i tassi di mercato sono:

( )( )( )( ) %9,34,3

%5,33,2%2,32,1

%31,0

====

iiii

Calcolare il montante di un capitale P=1.500,00 investite allepoca t=0 e disinvestite allepoca t=4

in regime di capitalizzazione composta.

In base alla (1-4.29) il montante richiesto

( ) ( ) ( ) ( ) 60,714.1039,1035,1032,103,100,500.1 ==M

Riportiamo di seguito lo schema in excel dellesercizio proposto.

51

Esempio 4.18

In base ai dati dellesempio 4.14, calcolare il montante di un capitale P=300,00 dopo 3 anni e 2

mesi in regime di capitalizzazione composta.

La tipologia di calcolo da effettuare la stessa dellempio precedente, con lattenzione alla durata

delloperazione finanziaria:

( ) ( ) ( ) ( ) 16,332039,1035,1032,103,100,300 122 ==M

In excel:

52

Esempio 4.19

Calcolare il tasso unico che, sostituito ai tassi di mercato, consente di ottenere lo stesso montante

degli esempi 4.14 e 4.15.

Si tratta di calcolare il tasso medio, ovvero quel particolare tasso che, sostituito ai tassi di mercato,

consente di ottenere gli stessi risultati ricavati con i tassi di mercato.

Il tasso medio riferito alloperazione finanziaria descritta nellesempio 4.15 quel tasso im che

verifica luguaglianza

( )

%3994,3100,500.160,714.1

cui da

100,500.160,714.1

41

4

=

=

+=

m

m

i

i

In excel:

53

In generale il tasso medio in regime di capitalizzazione composta

( )[ ] 1,111

1

+= =

tt

sm ssii (1-4.31)

Se aggiungiamo il capitale investito (1) ad ambo i termini della (1-4.31), si nota che il fattore di

capitalizzazione calcolato con il tasso medio in regime di capitalizzazione composta pari alla

media geometrica dei singoli fattori di capitalizzazione.

Il tasso medio riferito alloperazione finanziaria descritta nellesempio 4.15 quel tasso im che

verifica luguaglianza

( )

%2681,3100,30016,332

cui da

100,30016,332

12231

122

3

=

=

+=

+

+

m

m

i

i

54

In excel:

4.5 Il regime di capitalizzazione semplice come approssimazione del regime di capitalizzazione

composta

Ricordiamo lo sviluppo in serie di una funzione f(x) in serie di Taylor19,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xRnxxfxxfxxfxxfxfxf n

nn ++++++=

!!3'''

!2''' 0

3

0

2

000 K

che, come noto, ci consente di approssimare localmente una funzione tramite un polinomio di grado

n commettendo un errore pari ad un infinitesimo di ordine superiore ad n. Si consideri la funzione

del montante unitario in regime di capitalizzazione composta, fissata la durata t, in funzione del

tasso i:

( ) ( ) 1con 1 >+= tiir t (1-4.32) 19 La funzione f(x) deve essere continua e dotata delle derivate necessarie.

55

Applichiamo alla (1-4.32) lo sviluppo in serie di Taylor:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++++++= 2

11112

20

100

iittiitiir ttt (1-4.33)

Posto 00 =i , e arrestando lo sviluppo al II termine si ottiene

( ) tiir += 1

Lerrore commesso inferiore al valore ( ) 2121 itt .

Poich si ipotizzato t>1, il polinomio trovato approssima per difetto la funzione di partenza20:

dunque la funzione del montante in regime di capitalizzazione semplice unapprossimazione per

difetto della legge di capitalizzazione in regime di capitalizzazione composta (si veda la Figura 18).

Avendo approssimato la funzione ( ) ( )tiir += 1 con il polinomio ( ) tiir += 1 , le due funzioni hanno in comune la pendenza (data dal primo termine dello sviluppo in serie) e la concavit

(secondo termine dello sviluppo in serie): infatti, se t>1 entrambe le funzioni sono crescenti ed

hanno un punto di tangenza per i=021. Dallanalisi grafica emerge che il regime di capitalizzazione

composta consente di ottenere un montante maggiore del regime di capitalizzazione semplice per

qualunque tasso di interesse se la durata delloperazione finanziaria maggiore di 1.

Se poniamo t1), se ci arrestiamo ai primi due termini commettiamo un errore inferiore al valore gi visto e lapprossimazione risulta per difetto. 21 Infatti lo sviluppo in serie permette di approssimare la funzione in un intorno del punto x0, man mano che ci allontaniamo da tale punto lerrore di approssimazione appare pi evidente.

56

RCC e RCS per t>1

r(CC)

r(CS)

i

Figura 18

Se la durata delloperazione finanziaria unitaria entrambi i regimi, per qualunque tasso, producono

lo stesso montante (infatti se t=1 ( ) 111 1 +=+ ii ).

RCC e RCS per t

57

4.6 Tassi nominali

In regime di capitalizzazione composta esiste un altro modo per calcolare il tasso relativo ad una

frazione di periodo unitario.

Esempio 4.20

Calcolare il tasso mensile equivalente al tasso effettivo annuo del 5%.

In base alla (1-4.18) otteniamo ( ) 004074124,005,1 121121 ==i .

Se investo al tasso annuo implicitamente sto scegliendo di effettuare ununica operazione con inizio

immediato e durata unitaria ad un tasso noto e certo (si veda la Figura 20), se si investe per un anno

al tasso mensile (equivalente) si dovranno effettuare 12 operazioni di reinvestimento che ipotizzano

sempre lo stesso tasso, cosa non necessariamente vera nella realt dei mercati finanziari.

Dunque lequivalenza espressa dalla (1-4.18) ipotizza implicitamente che i tassi rimangano costanti

per ciascuna frazione di periodo unitario (anno).

0 1/m 2/m (m-1)/m 1

Figura 20

Nella pratica, piuttosto che ipotizzare il reinvestimento di ciascun montante per ogni frazione di

periodo unitario, si preferisce riportare al periodo unitario il tasso riferito ad una sua frazione

semplicemente dividendo il tasso per il periodo di tempo cui esso riferito:

58

( )m

imj m

1

1

= (1-4.34)

Esempio 4.21

Calcolare il tasso annuo sapendo che il tasso effettivo mensile pari all1%.

Se ipotizziamo di reinvestire sempre allo stesso tasso, il tasso su base annua

%6825,121112

121 =

+= ii

Se non si ipotizza il reinvestimento allo stesso tasso, ma semplicemente si riporta allanno il tasso

mensile otteniamo:

( ) %1212121

12121

121

=== ii

j

dove in generale j(m) il tasso22 annuo nominale di interesse convertibile m volte lanno (o

frazionato m volte lanno). E una modalit di rappresentazione del tasso relativo ad una frazione di

periodo unitario; rappresenta lintensit di formazione dellinteresse per un investimento con durata

pari a 1/m di periodo unitario. Nellipotesi di costanza dei tassi si pu ricavare il tasso effettivo

annuo i in funzione del tasso nominale j(m).

Studiamo landamento di j(m) in funzione di m23. In base alla (1-4.18) possiamo scrivere:

( ) ( )m

imjm

111

1 += (1-4.35)

22 In realt j(m) non un tasso (numero puro) ma unintensit, essendo il rapporto tra un tasso ed un intervallo di tempo. 23 Ovviamente, essendo m il numero di volte in cui si suddivide lanno, non ha senso finanziario pensare a m negativi, pur esistendo matematicamente la funzione.

59

Il limite, per m che tende ad infinito, della (1-4.35) :

( ) ( )m

imjm

mm 111limlim

1 += ++ posto ,1 xm

= il limite diviene:

( )xi x

x

11lim0

++

poich una forma indeterminata del tipo 00 applichiamo il teorema di de

LHospital24:

( ) ( ) ( ) =+=+++ iiix

x1ln

11ln1lim

0 (1-4.36)

lasintoto orizzontale della (1-4.34) e rappresenta lintensit istantanea di interesse. Numericamente si riscontra che ( ) 365j , infatti il tasso utilizzato per le operazioni di borsa overnight oppure su prodotti derivati. Calcoliamo il limite25 della (1-4.34) per m tendente a 026:

( )( ) 0lim

lim

0

0

=+=

+

mj

mj

m

m

Calcoliamo la derivata I.

( ) ( ) ( ) 11ln11' 1

++=m

iimj m

Studiamo la derivata prima di j(m) come se fosse una funzione. Il dominio

( ) ( )+ ;00;m

La funzione presenta dunque un punto di discontinuit per m=0. Infatti 24 Allo stesso risultato si perviene, ovviamente, ricordando il limite notevole: a

xa x

xln1lim

0= .

25 La risoluzione del limite del tutto analoga a quella ampiamente illustrata in precedenza. 26 Per completezza calcoleremo il limite per m tendente a zero sia da destra che da sinistra, anche se il secondo non ha interesse finanziario.

60

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) 111ln11ln

lim

11

1ln1lim

111ln1lim'lim

111ln1lim'lim

2

1

2

0

10

1

00

1

00

=

++

+=

=

+

+=

=

+

+=

=

+

+=

++

mii

mi

i

mi

im

imj

im

imj

mm

mm

mmm

mmm

il limite della derivata I per m tendente ad infinito

( ) 0'lim = mjm

Dunque la funzione j(m) ha un asintoto orizzontale in zero. Il grafico della funzione j(m)

rappresentato nella Figura 21.

La derivata seconda

( ) ( ) ( )iim

mj m ++= 1ln11'' 213

Che risulta positiva per m>0 e negativa per m0, la derivata prima negativa, essendo la

derivata seconda positiva e il limite della derivata prima per m tendente ad infinito pari a 0, j(m)

funzione decrescente di m; analogamente, se m

61

-1

m

Figura 21: j'(m)

Figura 22: j(m)

Esempio: Se il tasso effettivo semestrale di interesse il 10%, il tasso effettivo annuo i=21%,

mentre il tasso nominale j(2)=20%. Si osserva che il tasso nominale pi basso del tasso effettivo

equivalente perch si sono persi gli interessi sul 10% maturato nei primi 6 mesi per i successivi 6

mesi. Inoltre si calcolo il tasso nominale convertibile 3 volte lanno j(3), chiaramente questo sar

ancora pi piccolo di j(2) perch gli interessi persi saranno relativi ai 8 mesi e cos via.

62

Se consideriamo i tassi effettivi di sconto, possiamo definire la grandezza (m) ovvero il tasso nominale di sconto convertibile m volte nellanno, che rappresenta lintensit di formazione dello

sconto per un finanziamento con durata pari a 1/m di periodo unitario.

Ovvero:

( ) ( )

== mm dmm

dm

11

111

(1-4.37)

Figura 23

E facile verificare che

( ) ( )mmj = Pertanto possiamo ricavare immediatamente il grafico di (m), simmetrico rispetto allasse delle ordinate a quello di j(m).

63

Landamento di (m) rappresentato in Figura 23.

Osservazione:

Nel continuo il tasso istantaneo dinteresse e il tasso istantaneo di sconto coincidono, non esistendo differenza tra un tasso anticipato e uno posticipato quando il riferimento temporale

listante.

Dimostrazione:

( )d= 1ln

ricordando che i

id += 1 possiamo scrivere:

( ) ( ) =+=

+=

+=

+

+=

+==

i

iiiii

iid 1ln

11ln

11ln

11ln

11ln1ln

1

Possiamo rappresentare le grandezze j(m), (m), e sul medesimo grafico (si veda la Figura 24).

64

Figura 24

Esempio 4.22

Noto %321 =i , calcolare i, j(4) e .

( ) ( )%91176,503,1ln21ln

%955663,54103,141144

%09,6103,111

2

21

21

21

41

2

2

21

==

+=

==

+==

==

+=

i

iij

ii

Nota lintensit istantanea di interesse =ln(1+i), possibile esprimere la legge di capitalizzazione in regime di capitalizzazione composta in funzione di . Infatti:

1= ei (1-4.38)

65

e

( ) ( ) tt eitr =+= 1 (1-4.39)

La (1-4.39) la legge di evoluzione del montante in regime di capitalizzazione composta nel

continuo; ed, inoltre, possibile ricavare anche le altre leggi finanziarie:

( ) tetv =

( ) tetd = 1

Esempio 4.23

Calcolare il montante di un capitale P=150,00 investito per 4 anni al tasso istantaneo del 5%.

Per la (1-4.39) possiamo scrivere:

21,18300,150 405,0 === eePM t

4.7 Intensit istantanea di interesse e di sconto

Generalizziamo il concetto di tasso istantaneo di interesse descritto dalla (1-4.36) prescindendo dal

regime finanziario prescelto. Si consideri lasse dei tempi rappresentato in Figura 25.

r(t) r(t +t)

t t +t

t

Figura 25

Avendo investito una somma unitaria allepoca t=0, linteresse prodotto da tale operazione

finanziaria tra lepoca t e lepoca t+t

66

( ) ( ) ( )trttrtttI +=+,

Se moltiplichiamo e dividiamo linteresse per r(t)t otteniamo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ttrttrtrttrtttI

+=+,

Considerando t molto piccoli (infinitesimi) possibile approssimare il rapporto incrementale ( ) ( )

ttrttr

+ con la derivata r(t) commettendo un errore di un infinitesimo superiore a t. Quindi

possiamo scrivere:

( ) ( )( ) ( ) ttrtrtrtttI + ', (1.4-40)

In base alla (1.4-40) si pu osservare che linteresse prodotto nellintervallo di tempo t considerato

proporzionale al capitale investito r(t), alla durata stessa (t) ed alla funzione ( )( )trtr ' che definiamo

forza di interesse la quale ci indica come si formano gli interessi in t.

( ) ( )( ) ( )trdtd

trtrt ln' == (1-4.41)

67

t0 t0+t

r(t0)

r(t0+t)

I(t0,t0+t)

r(t0)+r'(t0)t

Figura 26

Esempio 4.24

Calcolare lintensit istantanea di interesse in regime di capitalizzazione semplice.

Per la (1-4.41) possiamo scrivere:

( )ti

it += 1

In regime di interesse semplice lintensit istantanea di interesse funzione decrescente di t.

Esempio 4.25

Calcolare lintensit istantanea di interesse in regime di capitalizzazione composta.

Per la (1-4.41) possiamo scrivere:

68

( ) ( ) ( )( ) ( )ii

iit tt

+=+++= 1ln

11ln1

In regime di interesse composto lintensit istantanea di interesse costante.

Osservazione:

La forza di interesse in regime di capitalizzazione composta ed il tasso istantaneo di interesse sono

la stessa grandezza finanziaria? I due concetti coincidono numericamente, infatti )1ln( i+= (tasso istantaneo di interesse) e ( ) )1ln( it += (forza di interesse). In base a questultima, pertanto, linteresse prodotto da un capitale unitario in un intervallo dt dt1 . Se consideriamo la somma di tutti gli interessi prodotti in un anno otteniamo:

[ ] == 1010

tdt

ovvero il tasso nominale annuo di interesse pagabile istante per istante gi determinato dalla (1.4-

35).

La (1-4.41) unequazione differenziale lineare a variabili separabili. Integriamo ambo i termini tra

la data di investimento (x=0) e quella di disinvestimento (y=t)

( ) ( )( ) =tt

dssrsrdss

00

'

( ) ( )[ ] ( ) ( )0lnlnln 00

rtrsrdss tt

==

( ) ( )=t

dsstr0

ln

da cui:

( ) ( )=t

dss

etr 0

(1-4.42)

69

La (1-4.42) la legge di capitalizzazione espressa in funzione della forza di interesse. Essendo,

la legge di attualizzazione e quella di capitalizzazione, coniugate per prodotto, dalla (1-4.42) si

ricava immediatamente

( ) ( )= t

dss

etv 0

(1-4.43)

Nota quindi la forza di interesse di un qualche regime, con le formule sopra scritte possibile

ricavare il montante unitario e il valore attuale come funzioni della durata delloperazione

finanziaria

Esempio 4.26

Nota lintensit istantanea ( )ti

it += 1 calcolare la corrispondente legge di capitalizzazione e verificarne lidoneit a rappresentare il fenomeno della capitalizzazione.

Per la (1-4.42) possiamo scrivere:

( ) ( )( ) ( )tie

eetrti

sids

sii

t

t

+=====

+

++

11ln

1ln1 00

La legge trovata sicuramente una legge di capitalizzazione (infatti verifica tutte le condizioni del

3.1), in particolare la legge di capitalizzazione in regime di interesse semplice.

Esempio 4.27

Nota la forza di interesse ( ) ( )it += 1ln , calcolare la corrispondente legge di attualizzazione e verificarne lidoneit a rappresentare il fenomeno dellattualizzazione.

Per la (1-4.43) possiamo scrivere:

70

( ) ( ) ( )( ) ( ) tit

sidsi

ie

eetvt

t

+

++

+=====

11ln

1ln1ln

00

La legge trovata sicuramente una legge di attualizzazione (infatti verifica tutte le condizioni del

3.3), in particolare la legge di attualizzazione in regime di interesse composto.

Esempio 4.28

Nota la forza di interesse ( ) 21 ttt = , calcolare la corrispondente legge di attualizzazione e

verificarne lidoneit a rappresentare il fenomeno della capitalizzazione.

Per la (1-4.43) possiamo scrivere:

( )

[ )( )

+=

======

,11

1,01

1

2

2

21ln21

12

21

1

02

02

02

tt

tt

te

eetvt

tt

s

dsssds

ss

La funzione trovata pu rappresentare il fenomeno dellattualizzazione solo per [ )1,0t . Infatti, (si veda la Figura 27) la funzione ( ) 21 ttf = decrescente solo per [ )1,0t .

Poich ( ) ( )= vr1 possiamo esprimere la (1-4.41) in termini di v(.):

( ) ( )( )tvtvtr 2

'' =

quindi:

71

( ) ( )( )( )( )

( )( )( )tvtv

tv

tvtv

trtrt '

1

'' 2 =

== (1-4.44)

La (1-4.44) rappresenta la forza di sconto in qualunque regime finanziario.

Figura 27

5 La struttura per scadenza dei tassi di interesse

Si osservino sul mercato i seguenti prezzi a pronti per titoli privi di cedole (ad esempio BOT), con

valore nominale alla scadenza pari a 100,00:

P(0,6 mesi)= 98,364

P(0,1 anno)= 97,00

72

E possibile ricavare, sulla base di tali prezzi, i tassi di interesse effettivi di rendimento su base

annua27 ( )ti ,0 ,ipotizzando che il mercato sia regolato dal regime della capitalizzazione composta. Infatti per il primo titolo possiamo scrivere che

[ ] 100)6,0(1)6,0( 21 =+ mimP e quindi ( )( ) %0928,31

00,9700,1001,0

%3541,31364,9800,1006,0

2

==

=

=

ai

mi

Supponendo di conoscere i prezzi di ZCB per ciascuna scadenza possiamo ricavare facilmente il

rendimento di tali operazioni finanziarie. La successione dei tassi ( ){ }ti ,0 prende il nome di struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti (rappresentata graficamente in Figura 28). Tale struttura

si dice crescente se ( ) ( )1,0,0 +< titi , decrescente se ( ) ( )1,0,0 +> titi , costante (o flat) se ( ) ( )1,0,0 += titi .

t

Figura 28 Dunque il tasso rilevato oggi sul mercato, riferito ad un titolo a capitalizzazione integrale di durata

n pu essere diverso dal tasso riferito ad un titolo con le stesse caratteristiche ma durata diversa;

inoltre il tasso riferito ad operazioni finanziarie di durat