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Appunti delle lezioni di

Matematica Finanziaria

a.a. 2007/2008

G. Olivieri, G. Foschini, M. Staffa

II parte

2

Indice

Capitolo 2: Le operazioni finanziarie composte............................................. 3

1 Introduzione.................................................................................................... 3

2 Le rendite ........................................................................................................ 3

2.1 Valore capitale di una rendita.................................................................... 4

3 Il Bootstrapping............................................................................................ 10

4 Classificazione delle rendite ........................................................................ 13

6 Valutazione di rendite con rate costanti a tassi costanti .......................... 14 6.1 Il Valore attuale di rendite intere e periodiche............................................................. 14 6.2 Il Montante di rendite intere e periodiche.................................................................... 19 6.3 Il Valore attuale e montante di rendite frazionate e periodiche ................................... 21

7 Valutazione di rendite con rate variabili secondo leggi assegnate .......... 24 7.1 Valutazione di rendite con rate variabili in progressione geometrica.......................... 24 7.2 Valutazione di rendite con rate variabili in progressione aritmetica ........................... 27

8 Principali problemi sulle rendite ................................................................ 29 8.1 La ricerca di n ............................................................................................................ 30 8.2 La ricerca di i ............................................................................................................. 33

8.2.1 Il metodo iterativo............................................................................................... 34 Esercizi proposti .............................................................................................. 36

3

Capitolo 2: Le operazioni finanziarie composte

1 Introduzione

Unoperazione finanziaria composta un contratto di scambio tra n (n2) importi esigibili in

epoche diverse. Se n=2 lo scambio tra due importi e dunque loperazione finanziaria posta

in essere unoperazione finanziaria semplice.

Per identificare unoperazione finanziaria composta necessario definire univocamente:

il vettore dei cash flows (rate) { }nRRR ;;; 10 K ; il vettore delle scadenze (scadenzario) { }nttt ;;; 10 K ; il vettore dei segni, con cui si identificano le poste in entrata (contraddistinte con il

segno +) e quelle in uscita (contraddistinte con il segno -).

Ci soffermeremo, nel prosieguo, sulle operazioni finanziarie composte contraddistinte da un

solo cambiamento nel vettore dei segni.

2 Le rendite

Si vuole valutare allepoca x (y) una serie di capitali disponibili in date diverse (si veda la

Figura 1), dette scadenzario o epoche di esigibilit.

R0 R1 R2 Rn-1 Rn

t0 t1 t2 tn-1 tn

Figura 1

Le date di esigibilit sono ordinate:

nn tttt 110 K

Per ciascuna epoca sono esigibili gli importi, detti rate:

4

nn RRRR ,,, 110 K

Loperazione finanziaria descritta, ipotizzando almeno una delle rate con segno negativo1, ,

per quanto detto, unoperazione finanziaria composta. In particolare se le rate sono tutte

dello stesso segno, e sono precedute (seguite) da un importo di segno opposto, loperazione

finanziaria prende il nome di rendita.

Se [ ]1,01 =+ nktt kk la rendita si dice periodica, inoltre, se =1, la rendita periodica di periodo 1.

2.1 Valore capitale di una rendita

Definiamo valore capitale di una rendita la somma delle rate riportate finanziariamente

allepoca h di valutazione (con [ ]nh ,0 ):

( ) ( )khvRhsrRW nhk

k

h

ssh ,,

10+=

+== (2-2.1)

In particolare, se h=0, il valore capitale dato dalla somma dei valori attuali delle rate, e

prende il nome di valore attuale della rendita:

( )=

==n

kk kvRAW

10 ,0 (2-2.2)

Se h=n, il valore capitale dato dalla somma dei montanti delle rate, e prende il nome di

montante2 della rendita:

( )=

==n

ssn nsrRMW

0, (2-2.3)

1 Dunque si ipotizza almeno unuscita e una serie di flussi in entrata: infatti lo scambio di capitali esigibili su epoche diverse a definire loperazione finanziaria. 2 Come si vedr pi avanti, non sempre possibile calcolare il montante di una rendita (si pensi, ad esempio, ad una rendita perpetua).

5

Inoltre, definiamo holding period return (HPR3) la variazione relativa del montante di una

rendita rispetto al suo valore attuale:

AAMHPR = (2-2.4)

Loperazione finanziaria di rendita consiste nello scambio tra due soggetti del valore attuale

(montante) in cambio della successione delle rate.

Osservazione

Le (2-2.1), (2-2.2) e (2-2.3) sono state definite a prescindere dal regime finanziario.

Ricordando che una qualsiasi operazione finanziaria in equilibrio quando le entrate

valutate ad una data epoca sono equivalenti alle uscite valutate alla stessa epoca, se

utilizziamo un regime finanziario scindibile, stabilita lequit delloperazione finanziaria ad

una data epoca h, loperazione rimane in equilibrio per qualsiasi epoca [ ]nk ,0 . Per questo motivo il regime prescelto per la valutazione finanziaria delle rendite quello della

capitalizzazione composta.

Esempio 2.1

I due vettori e ta illustrano unoperazione finanziaria di rendita in cui un soggetto investe

la somma A=100,00 in cambio della successione delle rate. Il vettore a rappresenta il

vettore degli importi (rate), il vettore t lo scadenzario.

{ }{ }7;6;5;4;3;2;1;0

00,30;00,30;00,10;00;10;00,10;00,10;00,8;00,100

==

t

a

3 Per come definito lholding period return su base periodale: se la rendita ha durata n anni, il rendimento calcolato ha come periodo di riferimento n. Se si vuole calcolare il rendimento su base annua si possono utilizzare i tassi equivalenti.

6

Esempio 2.2

Scrivere il cash flow di un BTP biennale, cedola semestrale al tasso nominale annuo

convertibile del 6%, valore nominale di rimborso pari a 100,00, prezzo 98,00.

Un Buono Poliennale del Tesoro (BTP) unoperazione finanziaria di rendita, che, dietro

pagamento del prezzo, assicura una serie di importi prefissati disponibili in epoche

predeterminate (cedole, c ) e il rimborso a scadenza del capitale investito. Le cedole

rappresentano il pagamento per interessi sul valore nominare sottoscritto. Dunque ciascuna

cedola pari al tasso effettivo cedolare per il valore nominale di rimborso (VN):

( ) VNmmjc = (2-2.5)

La cedola del BTP in esame

( ) 300,10022 == jc

Quindi il cash flow richiesto

{ }

= 2;

23;1;

21;0103;3;3;3;00,98tF

Esempio 2.3

Dato un BTP triennale con cedole annue al tasso cedolare j(1)=4%, VN=100,00, calcolare

il prezzo in regime di capitalizzazione composta, sapendo che la struttura per scadenza dei

tassi di interesse :

( )( )( ) %53,0

%3,42,0

%41,0

===

i

i

i

7

Il prezzo del BTP il valore attuale delle rate future, quindi in base alla (2-3.2) possiamo

scrivere, posto ( ) 404,010011 === jVNc :

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]36,97

05,1104

043,14

04,14

3,01

1

2,01

11,01

1

32

32

=++=

=+

+++

++== iVNc

ic

icAP

Se conosciamo i successivi tassi a pronti:

i(0,1)=4%

i(1,2)=4,6009%

i(2,3)=6,4141%

il prezzo richiesto

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]36,97

064161,1046009,104,1104

046009,104,14

04,14

3,212,111,012,111,011,01

=++=

=+++++++++== iii

VNcii

cicAP

In generale dunque, possiamo scrivere, in regime di capitalizzazione composta a tassi

variabili, noti i tassi a pronti:

( )[ ]sn

ss

siRA

,01

10 +

= =

(2-2.6)

( )[ ] snns

s nsiRM

=+= ,1

0

(2-2.7)

( )[ ] ( )[ ] += = +++=n

hshss

h

s

shsh

shiRhsiRW

10 ,1

1,1 (2-2.8)

8

Se conosciamo i tassi a termine (o i successivi tassi a pronti, se lavoriamo in un mercato

perfetto e deterministico) le (2-2.6), (2-2.7) e (2-2.8) divengono, rispettivamente:

( )[ ]=

= ++= s

h

n

ss

hhiRA

0

0 1,,01

1 (2-2.6)

( )[ ]==

++=s

h

n

ss hhiRM

001,,01 (2-2.7)

( )[ ]( )[ ] +=

+== = ++

+++=n

hss

hk

s

h

s

s

ksh

kkiRkkiRW

1

1

0 0 1,,01

11,,01 (2-2.8)

Ovviamente, essendo la struttura a termine implicita in quella a pronti, i risultati ottenuti con

le (2-3.6), (2-3.7) e (2-3.8) coincidono con quelli ottenuti con le (2-2.6), (2-2.7) e (2-2.8).

In ipotesi di struttura piatta, ( ) ( ) [ ]nstissiti ,0,1,,0,0 =+= , le (2-2.6), (2-2.7) e (2-2.8) divengono:

( ) ==

=+=n

s

ss

n

s

ss vRiRA

001 (2-2.9)

avendo posto i

v += 11 .

( )=

+=n

s

sns iRM

0

1 (2-2.10)

( ) hknhk

k

shh

ssh vRiRW

+=

=++=

101 (2-2.11)

9

Osservazione

Ipotizziamo una rendita con rate costanti e pari ad 1. Se i valori attuali calcolati con la (2-

2.6), (2-2.6) e (2-2.9) coincidono, possiamo scrivere:

( ) ( )[ ] 11 01

1,11

= ==

++=+ ns

s

h

n

s

s hhii (2-2.12)

Dunque, per la (2-2.12) il tasso i quellunico tasso che, sostituito ai tassi di mercato,

permette di ottenere lo stesso valore attuale: quindi un tasso medio4. Tale tasso unico ha,

inoltre, la particolarit di rendere il valore attuale delle rate uguale al prezzo pagato

allepoca t=0 per acquistare la successione delle rate, e dunque di rendere equa loperazione

finanziaria di rendita. Tale unico tasso prende il nome di tasso interno di rendimento (TIR).

Esempio 2.4

Data una rendita composta da 4 rate pari a 100,00, disponibili alla fine di ogni anno,

calcolare il valore attuale della rendita sapendo che la struttura dei tassi di mercato :

i(0,1)=4%

i(1,2)=4,2%

i(2,3)=4,5%

i(3,4)=4,9%

In base alla (2-2.6) il valore attuale della rendita :

92,360049,1045,1042,104,1

100045,1042,104,1

100042,104,1

10004,1

100 =+++=A

Verificare che i=4,2435% il TIR della rendita.

Se il tasso dato il TIR, allora deve risultare

( ) ( ) ( ) 92,36004235,1100

04235,1100

04235,1100

04235,1100

432 =+++=A

4 Si tratta di una media funzionale nel senso del Chisini.

10

Esempio 2.5

Fra 3 anni e mezzo si incasser il valore capitale della rendita rappresentata in Figura 2.

Sapendo che i tassi di mercato sono:

%5,527,0 =

i

27,1i finanziariamente equivalente al tasso j(2)=6,4%

5,27i finanziariamente equivalente al tasso effettivo annuo di sconto d=5%

680 1.350 1.350 1.350 850

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Figura 2

Per la (2-2.8) il valore richiesto

( ) [ ] ( ) 54,202.605,01850032,1032,1032,1350.155,01680 5,13455,35,3 =+++=W

3 Il Bootstrapping

Nellesempio 2.3 si ipotizzato di calcolare il prezzo di un titolo con flussi intermedi (BTP)

in base alla struttura dei tassi a pronti, come noto ricavata dalle quotazioni di titoli privi di

cedola. Nella realt operativa non esistono titoli privi di cedole per le scadenze medio

lunghe, dunque necessario ricavare il tasso di un ipotetico zero coupon bond dai titoli con

cedole, trasformandoli in titoli privi di cedole.

Esempio 3.1

Si osservino sul mercato i seguenti titoli:

11

a) ZCB, maturity5 1 anno, prezzo Pa=98,00

b) ZCB, maturity 2 anni, prezzo Pb=95,00

c) CB, maturity 3 anni, cedole annue =cc 4,00, prezzo Pc=93,00, tasso interno di rendimento TIRc=6,6503%

d) CB, maturity 4 anni, cedole annue =dc 5,20, prezzo Pd=92,00, tasso interno di rendimento TIRd=7,5936%

Calcolare la struttura a pronti dei tassi di interesse.

Possiamo calcolarci il TIR dei primi 2 titoli:

TIRa= %0408,2=a

a

PPVN

TIRb= %5978,21 =bP

VN

Possiamo affermare che i 4 TIR sono i tassi ( )ni ,0 ? I due TIR relativi ai due titoli privi di cedole sono, in effetti, i tassi a pronti i(0,1)=2,0408% e ( ) %5978,22,0 =i , ma non possono essere confrontati con i 2 TIR relativi ai CB, in quanto disomogenei. Per la (2-2.6) possiamo

scrivere che:

( ) ( )[ ] ( )[ ]32 3,012,011,01 i VNcicicP cccc + +++++=

ovvero

( ) ( )[ ] ( )[ ]32 3,012,011,01 i VNcicicP cccc + +=++ (2-3.1)

Il termine a sinistra delluguaglianza della (2-2.1) rappresenta il prezzo di un ipotetico ZCB

con maturity 3 anni e valore di rimborso pari a VNcc + :

5 O vita a scadenza.

12

( )[ ]33,01 00,1043,85 i+=

da cui

( ) %8387,6130,8500,1043,0 3 ==i

Ripetiamo la procedura per il titolo d):

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]432 4,013,012,011,01 i VNcicicicP ddddd + +++++++= ovvero

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]432 4,013,012,011,01 i VNcicicicP ddddd + +=+++ (2-3.1)

Il termine a sinistra delluguaglianza (2-3.1) rappresenta il prezzo di un ipotetico ZCB con

maturity 4 anni, valore di rimborso pari a VNcd + :

( )[ ]44,01 20,10570,77 i+=

Il tasso ( )4,0i

( ) %8695,7170,7720,1054,0 4 ==i

Come si nota i tassi ( ) ( )4,0 e 3,0 ii sono diversi dai due TIR relativi ai titoli c) e d): infatti, il TIR di unoperazione finanziaria con flussi intermedi, per come viene calcolato, ipotizza il

13

reinvestimento dei flussi sempre al TIR, mentre i tassi relativi a ZCB non si basano su tale

ipotesi di lavoro.

4 Classificazione delle rendite

Le rendite possono classificarsi, in base allo scadenzario6 in:

rendite periodiche, se = 1kk tt , in particolare, se =1, la rendita si dice periodica di periodo 1.

rendite non periodiche, se la distanza tra due rate successive non costante. In base allepoca cui si riferiscono le rate, si pu distinguere tra:

rendite anticipate, se la rata Rk riferita al periodo [k-1, k] (si veda la Figura 3, in cui rappresentata una rendita anticipata, periodica, di n rate);

rendite posticipate, se la rata Rk riferita al periodo [k, k+1] (si veda la Figura 4, in cui rappresentata una rendita periodica, posticipata, di n rate).

R1 R2 Rn

0 1 n-1 n

Figura 3: rendita periodica anticipata di n rate

R1 Rn-1 Rn

0 1 n-1 n

Figura 4: rendita periodica posticipata di n rate

In base al numero delle rate, si distingue tra:

rendite temporanee, se il numero delle rate finito 6 Si veda anche il 1 di questo capitolo.

14

rendite perpetue, se il numero delle rate illimitato7 In base alla data cui si versa (incassa) la prima rata rispetto allepoca cui si calcola il valore

attuale:

rendite immediate, se le due date coincidono rendite differite, se la prima rata versata (incassata) ad unepoca successiva a quella in

cui si calcola il valore attuale

In base alla periodicit delle rate rispetto allo scadenzario, si distingue tra:

rendite intere, se la periodicit delle rate e quella dello scadenzario coincidono; rendite frazionate, se la periodicit delle rate maggiore di quella dello scadenzario (ad

esempio, se lo scadenzario riferito allunit di tempo anno, e le rate sono pagate ogni

3 mesi, la rendita frazionata trimestrale);

rendite nel continuo, se le rate sono pagate (incassate) senza soluzione di continuit, e dunque costituiscono un flusso continuo di pagamenti.

Infine, si distingue tra rendite con rate costanti e rendite con rate non costanti8. Nel

prosieguo tratteremo il caso di rendite con rate costanti valutate con tassi costanti e il caso di

rendite con rate variabili secondo leggi assegnate.

6 Valutazione di rendite con rate costanti a tassi costanti

6.1 Il Valore attuale di rendite intere e periodiche

Consideriamo una rendita temporanea n anni, intera, posticipata ed immediata. La (2-2.9), se

anche le rate sono costanti, diviene:

=

=n

s

svRA1

(2-6.1)

7 Per una rendita perpetua non si pu, ovviamente, calcolare il montante. 8 A loro volta le rendite con rate variabili possono distinguersi tra rate comunque variabili e rate variabili secondo leggi assegnate.

15

Ipotizzando un tasso di interesse 0i , la somma =

n

s

sv1

la somma di n termini in

progressione geometrica di ragione 1v , possiamo dunque scrivere9:

in

nnn

s

s aiv

vvvv

|1

11

1 ===

= (2-6.2)

La (2-6.2) rappresenta il valore attuale di una rendita immediata, temporanea n anni,

posticipata, con rate unitarie10. Quindi la (2-6.1) diviene semplicemente:

inaRA |= (2-6.3)

Se la rendita perpetua, per calcolarne il valore attuale sufficiente calcolare il limite della

(2-6.3) per n che tende ad infinito:

iR

ivR

n

n=

1lim (2-6.4)

quindi11

iAR =

Se le n rate sono anticipate la (2-6.1) diviene

=

=1

0

n

s

svRA (2-6.5)

9 Ricordiamo che la somma di n termini in progressione geometrica, di ragione q1 e primo termine :

qqS

n

qn =

11

; 10 Il simbolo ina | si legge a temporaneo n, al tasso i. 11 Facciamo notare che la rata risulta essere composta, in caso di rendita perpetua, dal solo pagamento per interessi sul capitale iniziale: da qui la giustificazione finanziaria della durata infinita della rendita stessa. Si veda oltre, capitolo 3: Gli Ammortamenti.

16

Sviluppiamo la sommatoria:

in

nnn

n

s

s adv

vvvvv

|1

1

0

11

11 &&K ===+++=

= (2-6.6)

La (2-6.6) rappresenta il valore attuale di una rendita anticipata, temporanea n anni, al tasso

i. E possibile mettere in relazione il valore attuale di una rendita anticipata con quello di

una rendita posticipata:

( ) ( ) ( )iaiivi

iv

vva in

nnn

in +=+=++

== 1111

111

11

||&& (2-6.7)

Quindi il valore attuale di una rendita anticipata di durata n anni uguale al valore attuale di

una rendita posticipata di uguale durata capitalizzata per un periodo: osservando lasse dei

tempi rappresentato in Figura 5, si pu notare come la successione delle rate relative alla

rendita anticipata, osservate allepoca t=-1, corrisponda esattamente alla successione delle

rate di una rendita posticipata, il cui valore attuale in tale epoca ina | . Dunque, per ottenere il

valore della rendita anticipata baster riportare finanziariamente tale importo allepoca t=0,

moltiplicando per il fattore di capitalizzazione (1+i).

1 1 1

(-1) 0 1 n-1 n

ina | ina |&&

Figura 5 Continuando lo sviluppo della (2-6.7) si ottiene, inoltre:

17

( ) 111111|1

11

|+=+=+=+=

in

nnn

in aiv

ivii

iva&& (2-6.8)

il valore attuale di una rendita anticipata costituita da n rate unitarie pari al valore attuale di

una rendita di n-1 rate unitarie cui va sommata la prima rata (ovviamente pari ad 1): infatti,

escludendo la prima rata (pagata o riscossa allepoca t=0) i flussi relativi alle due rendite,

luna di durata n e anticipata, laltra di durata n-1 e posticipata, coincidono, dunque anche i

due valori attuali, a meno della prima rata della rendita anticipata, coincidono. Aggiungendo

la prima rata (unitaria e percepita -pagata- esattamente allepoca t=0) si ottiene dunque

luguaglianza espressa dalla (2-6.8).

Il limite per n che tende ad infinito della (2-6.6) rappresenta il valore attuale di una rendita

perpetua e anticipata:

da inn

1lim|

= && (2-6.9)

Anche per il valore attuale della rendita perpetua anticipata valgono le stesse relazioni viste

per la rendita temporanea:

( ) 111111 +=+=+=ii

ii

id

Consideriamo ora il caso di una rendita posticipata, temporanea n anni, e differita di h

periodi12. Il suo valore attuale

++=

=hn

hs

svRA1

Sviluppiamo la sommatoria:

12 n rappresenta il numero delle rate, dunque sempre un numero intero; h, il differimento, un numero non necessariamente intero (si pensi, ad esempio, ad una rendita con rate annue differita di 18 mesi: essendo lunit di misura lanno, il differimento h=1,5 anni).

18

=

+

+====

n

sin

hshhn

hs

sinh avvvva

1|

1|/

(2-6.10)

La (2-6.10) dimostra che, essendo il regime di capitalizzazione composta scindibile,

possibile calcolare il valore attuale di una rendita unitaria posticipata e differita come il

valore allepoca h di una rendita con uguali caratteristiche ma non differita e poi attualizzare

il valore attuale trovato. Lo stesso ragionamento vale se la rendita differita e anticipata:

inh

n

sin

hshhn

hs

sinh avavvvva |

11

0|

1

|/====

=

+

= &&&& (2-6.11)

Esempio 6.1

Allepoca t=0 si acquista un appartamento di prezzo P=200.000,00. Si concorda col

venditore la seguente rateizzazione:

versamento immediato di met del prezzo; versamento di 30.000,00 fra 2 mesi; versamento di 20.000,00 fra 4 mesi; versamento di 14 rate costanti anticipate di importo R pagate a partire dal 5 mese.

Sapendo che il tasso annuo pattuito per la rateizzazione i=8,5%, calcolare la rata.

Si tratta, di fatto, di calcolare la rata di una rendita differita 4 mesi, al tasso effettivo mensile

( ) %6821,01085,01 12112

1 =+=i . Il valore attuale della rendita la parte del prezzo ancora da pagare:

68,941.501

00,000.20

1

00,000.3000,000.10000,000.200 4

121

2

121

=

+

+=

iiA

Per la (2-6.10) possiamo scrivere

19

121|14

4

1211 iaiRA

+=

da cui

( )( ) 11,933.3006821,0006821,11

006821,114

4

== AR

6.2 Il Montante di rendite intere e periodiche

Consideriamo una rendita temporanea n anni, intera, posticipata ed immediata. La (2-2.10),

se anche le rate sono costanti, diviene:

( )=

+=n

s

sniRM1

1 (2-6.12)

Ipotizzando un tasso di interesse 0i , la somma ( )=

+n

s

sni1

1 la somma di n termini in

progressione geometrica di ragione ( ) 11 + i , possiamo dunque scrivere13:

( ) ( )( )( )

in

nnn

s

sn sii

iii

|1

11111111 =+=+

+=+=

(2-6.13)

La (2-6.13) rappresenta il montante di una rendita immediata, temporanea n anni,

posticipata, con rate unitarie14. Quindi la (2-6.12) diviene semplicemente:

13 Ricordiamo che la somma di n termini in progressione geometrica, di ragione q e primo termine :

11

; =

qqS

n

qn 14 Il simbolo

ins

| si legge s temporaneo n, al tasso i.

20

insRM |= (2-6.14)

Alle stesse conclusioni si pu arrivare semplicemente sfruttando la scindibilit del regime

finanziario composto e quindi capitalizzando fino allepoca n il valore attuale:

( ) ( ) ( )iii

ivias

nn

nn

inin

11111||

+=+=+=

Calcoliamo il montante di una rendita temporanea n anni e anticipata:

( ) ( )diias

nn

inin

111||

+=+= &&&& (2-6.15)

ed anche, volendo mettere in relazione il montante di una rendita anticipata con quello di

una rendita posticipata:

( ) 11|1||

=+= + ininin siss&&

Osservazione:

Il montante di una rendita differita, essendo comunque dato dal valore capitalizzato

allepoca n+h delle n rate, disponibili a partire dallepoca h, coincide con il montante di una

rendita immediata (a parit di tasso di interesse).

E possibile calcolare il montante differito di una rendita, dato dal valore del montante della

rendita capitalizzato per il periodo del differimento:

( ) ( ) ( ) ( )=

=

+ +=++=+=n

sin

hsnhn

s

shninh siiiis

0|

1|/

1111 (2-6.16)

Esempio 6.2

Allepoca t=0 si programma di versare su un conto corrente bancario una rata semestrale

costante e posticipata pari a R=1.500,00. Dopo aver versato la 5a rata si sospendono i

21

versamenti. Se la banca riconosce il tasso effettivo annuo i=4% in regime di capitalizzazione

composta, quanto si accumulato sul conto corrente dopo 8 anni?

Si tratta di calcolare il montante differito di una rendita di 5 rate costanti semestrali, al tasso

effettivo semestrale %9804,1112

1 =+= ii , con differimento pari a 11 semestri. In base alla (2-6.16) il montante accumulato

( ) ( ) 55,681.9019804,0

1019804,1019804,14

11 == RM

6.3 Il Valore attuale e montante di rendite frazionate e periodiche La rata costante R viene corrisposta in m frazioni di periodo unitario, in modo tale da

verificare la condizione (2-6.17) per ciascun periodo unitario:

RRm

ss =

=1 (2-6.17)

Ipotizziamo una rata periodale unitaria (R=1) e posticipata, la rata corrisposta in ogni

frazione di periodo m1 , essendo m il numero di intervalli in cui si suddivide lanno.

Utilizzando il tasso effettivo per frazione di periodo unitario, il valore attuale diviene:

mimn

min am

a1|

)(|

1= (2-6.18)

ovvero il valore attuale di una rendita frazionata m volte nellanno, di durata n anni, pari

alla rata per il valore attuale di una rendita intera di durata nm calcolata al tasso relativo al periodo 1/m. Sviluppiamo la (2-6.18):

( )mjv

i

i

ma

n

m

mn

mmin

=

+=

1111

1

1)(

| (2-6.19)

22

Come si pu notare, il numeratore della rendita frazionata coincide con quello della rendita

intera, mentre il denominatore caratterizzato dalla presenza del tasso nominale convertibile

m volte nellanno. Inoltre, moltiplicando e dividendo per il tasso dinteresse i, otteniamo:

( ) inmin amjia

|)(

|=

Poich ( ) 11 mmji , il valore attuale di una rendita frazionata posticipata

maggiore del valore attuale di una rendita di uguale durata ma intera.

Studiamo il comportamento asintotico:

( )mja minn1lim )(

|=

Come risulta evidente, anche il valore attuale di una rendita frazionata e perpetua maggiore

del valore attuale di una rendita intera (infatti j(m)i per ogni m1) di durata infinita. Se le rate sono anticipate il valore attuale (2-6.18) diviene:

( )mva

ma

n

inmmin

m ==

111|

)(|

&&&& (2-6.20)

Moltiplicando e dividendo per il tasso di sconto:

( ) inmin amda

|)(

|&&&& =

Poich ( ) 11 mmd

, il valore attuale di una rendita frazionata anticipata minore

del valore attuale di una rendita di uguale durata ma intera.

Studiamo il comportamento asintotico:

23

( )ma minn 1lim )(

|= &&

Come risulta evidente, anche il valore attuale di una rendita frazionata, perpetua e anticipata

minore del valore attuale di una rendita intera (infatti (m)d per ogni m1) di durata infinita.

Osservazione

Cosa avviene se il numero di frazionamenti m tende ad infinito? Studiamo il limite per m

che tende ad infinito della (2.6.19) e della (2-6.20):

( ) ( )

|111lim1lim n

nnn

m

n

maev

mv

mjv ====

(2-6.21)

Ovvero se m diverge ad infinito, la rendita frazionata coincide con quella nel continuo, e,

ovviamente, non vi alcuna differenza tra rendita anticipata e rendita posticipata.

Il montante di una rendita frazionata, posticipata, di durata n periodi, valutata al tasso i :

( )( ) ( ) in

n

m

mn

mmin smj

imj

ii

i

ms

|1

1)(

|

11111 =+=

+

=

Se la rendita anticipata e frazionata, di durata n periodi:

( ) inmin smds

|)(

|&&&& =

24

7 Valutazione di rendite con rate variabili secondo leggi assegnate

7.1 Valutazione di rendite con rate variabili in progressione geometrica Consideriamo una rendita posticipata, temporanea n anni, con rate variabili in progressione

geometrica di ragione q0 e prima rata R (si veda la Figura 6).

R

R q R q2 R qn-2 R qn-1

0 1 2 3 n-1 n

Figura 6

Il valore attuale, calcolato in base alla (2-2.9) :

( ) ( )( ) ( )[ ]12

1322

11

1

1

==

++++==++++==+=

n

nnn

s

ss

n

s

ss

vqvqvqvR

vqRvqRvqRvRvRiRA

K

K (2-7.1)

I termini in parentesi quadra rappresentano la somma di n termini in progressione

geometrica di ragione (q . v). Se la ragione diversa da 1 (quindi se q v 1) possiamo scrivere la (2-7.1) in maniera pi compatta:

( )

=vq

vqvRAn

11 (2-7.2)

Viceversa, se la ragione uguale ad 1, i termini in parentesi quadra della (2-7.1) sono tutti

pari ad 1, e dunque il valore attuale di una rendita con rate in progressione geometrica di

ragione q, valutata ad un tasso i tale che 11

=+ iq , , semplicemente,

25

nvRA = (2-7.3)

Esempio 7.1

Calcolare il valore attuale di una rendita di 10 rate in progressione geometrica, sapendo che

la prima rata pari a 100,00, la ragione della progressione geometrica q=1,05 e il tasso di

valutazione i=3%.

In base alla (2-7.2) il valore attuale richiesto :

25,060.1

03,105,11

03,105,11

03,100,100

10

=

=A

Esempio 7.2 Calcolare il valore attuale di una rendita di 10 rate in progressione geometrica, sapendo che

la prima rata pari a 100,00, la ragione della progressione geometrica q=1,05 e il tasso di

valutazione i=5%.

In questo caso non possiamo applicare la (2-7.2), infatti 105,105,1

1==+ i

q . Per calcolare il

valore attuale richiesto utilizziamo la (2-7.3):

38,9521005,1100,100 ==A

Osservazione:

E possibile calcolare il valore attuale di una rendita perpetua con rate in progressione

geometrica? Tale valore attuale converge solo se q v

26

( )vq

vRvq

vqvRAn

nn =

= 11

11limlim

Se la rendita ha rate anticipate e variabili in progressione geometrica di ragione q15, la (2-

7.1) diviene:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )[ ] ( )

vqvqRvqvqvqR

vqRvqRvqRRvRiRA

nn

nn

s

ss

n

s

ss

=++++=

=++++==+=

==

1

11

1

12

12

00

K

K (2-7.4)

Alla stessa conclusione possiamo giungere anche ricordando che il valore attuale di una

rendita anticipata uguale al valore attuale di una rendita posticipata di uguale durata

capitalizzata per un periodo; infatti, moltiplicando per il fattore di capitalizzazione (1+i) la

(2-7.2) si ottiene esattamente lespressione della (2-7.4).

Per ottenere il montante di una rendita con rate variabili in progressione geometrica di

ragione q possiamo procedere direttamente alla capitalizzazione delle rate rappresentate in

Figura 6, ovvero possiamo applicare la propriet della scindibilit e calcolare il montante

capitalizzando il valore attuale. Applichiamo il secondo approccio per il calcolo del

montante della rendita posticipata e, poi, per quella anticipata.

Per la propriet di scindibilit del regime della capitalizzazione composta, il montante delle

rate rappresentate in Figura 6 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) qiqiiR

qvqviRiAM

nnn

nnn

+++=

+=+=

111

1111 1

Se invece la rendita anticipata, la (2-7.4) diviene:

15 Nellipotesi che q v1. Se q v=1 il valore attuale cercato nRA = .

27

( ) ( ) ( ) ( )( ) qiqiiR

qvqviRM

nn

nn

+++=

+= +1

111

11 1

7.2 Valutazione di rendite con rate variabili in progressione aritmetica

Ipotizziamo di voler calcolare il valore attuale di una rendita temporanea n anni, con rate in

progressione aritmetica di ragione d=1 con prima rata pari ad 1 (si veda la Figura 7). In base

alla (2-2.9) possiamo scrivere:

( ) ( ) ( )( )nnns

ss

n

s

ssin vnvnvvvvRiRIa +++++==+=

==

13211

| 1321 K (2-7.5)

rate 1 2 (n-1) n

epoche 0 1 2 n-1 N

Figura 7

Moltiplichiamo ambo i termini della (2-7.5) per (1+i):

( ) ( ) ( )( )122| 13211 +++++=+ nnin vnvnvvIai K (2-7.6)

Sottraiamo dalla (2-7.6) la (2-7.5):

( ) ( ) nin

nnin vnavnvvvvIai =+++++= |132| 1 &&K

e quindi, il valore attuale cercato

28

( )i

vnaIa

nin

in

= ||&&

(2-7.7)

Esempio 7.3

Calcolare il valore attuale di una rendita perpetua con rate in progressione aritmetica di

ragione d=1, con prima rata pari ad 1, sapendo che il tasso di valutazione i=2,5%.

Per calcolare tale valore attuale sufficiente calcolare il limite per n che tende ad infinito

della (2-2.7):

( )

iiii

i

divn

idv

iIa n

n

n

ninn

1111

11lim11lim1lim

2

|

+=+=

=== (2-7.8)

In base alla (2-7.8) il valore attuale richiesto

00,640.1025,0025,1

2 ==A

Si voglia ora calcolare il valore attuale di una rendita posticipata, temporanea n anni, con

prima rata R1 e ragione D=1. Il valore attuale risulta, ovviamente:

( ) ( ) innn IaRvnvRnvRvRA |12 12 =++++= K

Se la prima rata R1 e la ragione D1 ( si veda la Figura 8), il valore attuale di tale

rendita temporanea n anni :

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ininnn

n

IavDaRvnvvvvDvvvvR

vDnRvDRvDRvRA

|1|

13232

32

13212

+==++++++++=

=+++++++=KK

K (2-7.9)

29

rate R R+D R+(n-2)D R+(n-1)D

epoche 0 1 2 n-1 N

Figura 8

Esempio 7.4

Calcolare il valore attuale di una rendita perpetua con rate in progressione aritmetica di

ragione D=300,00, prima rata R=250,00, tasso annuo di valutazione i=3%.

Calcoliamo il limite, per n che tende ad infinito, della (2-7.9):

( )[ ] 2|1| 11lim iDiRIavDaR ininn +=+ (2-7.10)

Quindi il valore attuale richiesto :

67,666.34103,0100,300

03,0100,250 2 =+=A

8 Principali problemi sulle rendite

Consideriamo una rendita con rate costanti posticipate valutata a tassi costanti. Abbiamo gi

analizzato come, nota la durata n, il tasso di valutazione i e la rata R, sia possibile calcolare

il valore attuale (A) e il montante (M) utilizzando, rispettivamente, le (2-6.3) e (2-6.14).

E sempre possibile, noto il valore attuale (o il montante), il tasso di valutazione e la durata

n, calcolare la rata costante R:

noto il valore attuale:

30

inaAR

|

= (2-8.1)

noto il montante:

insMR

|

= (2-8.2)

8.1 La ricerca di n

Consideriamo una rendita posticipata di cui conosciamo il valore attuale A, il tasso di

valutazione i e la rata costante R. Vogliamo determinare il numero delle rate n. Dalla (2-6.3)

possiamo scrivere:

( )

( )R

iARi

iiRA

n

n

=+

+=

1

11

Applicando i logaritmi ad ambo i termini e risolvendo rispetto ad n si ottiene:

( )iR

iAR

n +

=

1ln

ln (2-8.3)

Da un punto di vista matematico, lesistenza del logaritmo naturale subordinata alla

positivit dellargomento dello stesso. E ovvio che, essendo i un tasso di interesse non pu

essere negativo, dunque il logaritmo al denominatore della (2-8.3) esiste ed positivo. Il

logaritmo al numeratore della (2-8.3) esiste solo se la rata R risulta maggiore di A i.

Linterpretazione finanziaria di tale osservazione matematica ovvia: se la rata R risulta

maggiore del pagamento per soli interessi sul capitale (A i) la rendita in esame temporanea.

Se R=A i la rendita perpetua: pagando solo interessi e non restituendo mai il capitale la il

31

numero delle rate da pagare diverge. Infatti il limite della (2-8.3) per A i che tende a R

risulta:

( ) +=+

i

RiA

RiA 1ln

1lnlim

Dunque condizione necessaria e sufficiente affinch una rendita abbia un numero di rate

finito R>Ai. Il problema non si pone se, per calcolare n conosciamo il montante della

rendita, infatti lesistenza stessa del montante ci assicura che la rendita in esame non pu

essere perpetua. In particolare, partendo dalla (2-6.14), possiamo scrivere:

( )

( )R

RiMi

iiRM

n

n

+=+

+=

1

11

Passando ai logaritmi e risolvendo rispetto ad n:

( )iR

RiM

n +

+=

1ln

ln (2-8.4)

Come si osserva, infatti, gli argomenti dei logaritmi della (2-8.4), sono entrambi sicuramente

positivi.

Esempio 8.1

Calcolare la durata n di una rendita con rate costanti e pari a 80,00, sapendo che il valore

attuale calcolato col tasso i=5% pari a 1.000,00.

In base alla (2-8.3) n risulta:

32

( ) 103,2005,1ln00,8000,501ln

=

=n

Ma, ricordando il procedimento che ci ha permesso di scrivere la (2-6.3), risulta evidente

che + Nn , dunque dobbiamo procedere ad aggiustare il problema per rendere intero n. La prima alternativa quella di arrotondare n allintero pi vicino e adeguare di

conseguenza la rata. Nellesempio possiamo pagare 20 rate, ma poich il loro valore attuale

calcolato al tasso i=5% deve essere comunque pari a 1.000,00, la rata viene ricalcolata e

risulta

24,8000,000.1'%5|20

==a

R

Una seconda alternativa possibile, non volendo pagare rate di importo superiore a 80,00,

quello di scegliere la durata intera approssimando per eccesso. Quindi, posto n=21, la rata

costante diviene:

00,7800,000.1''%5|21

==a

R

Se lesigenza principale , invece, quella di pagare esattamente la rata R, in esattamente 20

pagamenti annuali non riusciamo a rimborsare il capitale A=1.000,00 preso in prestito,

quindi si deve calcolare una micro rata R, che serve a rimborsare proprio il residuo:

02,3'''%5|200

== aRAR

Tale importo, calcolato allepoca t=0, pu essere corrisposto in qualsiasi epoca. Se viene

pagato in t=0 come se si prendesse in prestito il capitale A-R0=996,92. Se viene pagato

allepoca t=20, lultima rata pari a R+R0(1+i)20=88,01; se si conviene di pagare la differenza allepoca t=21 si avr una rata pari a R21=R0(1+i)21=8,41.

33

8.2 La ricerca di i

Sia noto il valore attuale, la durata e le rate di una rendita posticipata16. Da un punto di vista

analitico la funzione definita dalla (2-6.3) una funzione decrescente del tasso i, tenendo

costante le altre grandezze (si veda la Figura 9). Dunque la soluzione al problema posto

dato dallintersezione della curva del valore attuale con lasse delle ascisse. Posta la rata

costante pari ad 1, la (2-6.3) pu essere riscritta nella forma

01

|=

=

n

s

sin va (2-8.5)

Dunque si tratta di risolvere unequazione di grado n, tenendo conto del problema

dellesistenza e dellunicit delle soluzioni. Per il teorema fondamentale dellalgebra,

unequazione di grado n pu ammettere fino ad un massimo di n soluzioni reali e distinte;

per il teorema di Cartesio, unequazione i cui flussi hanno h cambiamenti di segno, e che

ammette k soluzioni positive17, risulter sempre che 0 kh ovvero kh . Quindi, data unequazione di grado n, affinch ci sia almeno una soluzione positiva lequazione di

partenza deve avere almeno una variazione di segno nei coefficienti delle variabili. Se h=0,

anche k pari a zero e dunque non esistono soluzioni positive. Se h>1, anche il numero delle

soluzioni positive pu essere maggiore di uno: in tal caso, non essendo la soluzione

finanziariamente accettabile unica, perde di significativit finanziaria. Se h=1, anche k sar

pari ad uno. Dunque, condizione necessaria affinch unequazione di grado n abbia una sola

soluzione positiva, che il numero dei cambiamenti di segno nei coefficienti della variabile

sia esattamente uno. Nel caso di operazioni finanziarie di rendita tale condizione

sicuramente verificata18.

16 Le considerazioni che seguono sono facilmente estendibili a rendite con rate anticipate. 17 Poich si vuole cercare il tasso di attualizzazione della rendita, non avrebbe senso calcolare tassi di interesse negativi, dunque siamo interessati a soluzioni strettamente positive. 18 Si veda la definizione di rendita, 1 del II capitolo.

34

Figura 9

Il secondo problema nella ricerca del tasso di una rendita che, se il grado dellequazione

maggiore di 4, non esistono metodi analitici per la risoluzione del problema19, ma si deve

ricorrere ai cosiddetti metodi numerici, che consentono di giungere ad una soluzione

approssimata del problema stesso. Illustriamo di seguito il metodo iterativo, descrivendo poi

la tecnica risolutiva utilizzabile su un foglio di calcolo.

8.2.1 Il metodo iterativo

Illustriamo questo semplice metodo a partire da un esempio. Sia A=2.500,00, n=3 anni, e

R=1.000,00. Calcoliamo il tasso i con cui stata valutata tale rendita. Per la (2-6.3)

possiamo scrivere:

0|3

= AaR i (2-8.6)

Fissiamo arbitrariamente un tasso (i0=5%) e calcoliamo con tale tasso la (2-8.6):

19 In base al teorema di Ruffini-Abel.

35

( ) ( ) 029,3100,500.209,009,1100,000.1%9

3

>==f

Poich la f(9%) positiva, il tasso i0 scelto troppo basso, dunque dobbiamo scegliere un

tasso pi alto (i1=11%) e ricalcoliamo la (2-8.6):

( ) ( ) 02858,5600,500.211,011,1100,000.1%11

3

36

A B C D E

1 A= 2.500,00 t Flussi(t)

2 n= 3 0 -2.500,00

3 R= 1.000,00 1 1.000,00

4 2 1.000,00

5 3 1.000,00

6 i= 9,701025%

Si dunque descritta la rendita per ciascun flusso ad essa associata nella colonna D, la cella

D2 ha un flusso negativo in quanto rappresenta lesborso iniziale pagato per ottenere in

cambio le tre rate costanti pari a 1.000,00. Per calcolare il tasso della rendita, nella cella D6

si digitato il seguente comando: =TIR.COST(D2:D5).

Osservazione:

Il tasso trovato ha la stessa dimensione temporale della periodicit dei flussi: se i flussi sono

annuali il tasso calcolato annuale, se i flussi sono semestrali il tasso su base semestrale e

cos via. In tal caso se si vuole ottenere il tasso su base annua si dovr ricorrere ai tassi

equivalenti.

Esercizi proposti 1. Voglio acquistare BTP per un valore nominale di 20.000, che scadono tra 2 anni,

prevedono il pagamento di cedole semestrali al 4% nominale annuo e rimborso alla pari.

Ipotizzando un tasso di rendimento del 5% effettivo annuo, costante per i prossimi due

anni, determinare a quale prezzo posso acquistare questi titoli. (P = 19.646,49 )

2. Dei BTP triennali di valore nominale 100 prevedono il pagamento di cedole semestrali

al tasso nominale annuo del 6% e rimborso alla pari. Supponendo di operare in un

mercato perfetto e deterministico, e che i tassi di rendimento annui che oggi si trovano

sul mercato siano i seguenti: i(0,1) = 3%, i(0,2) = 3,5%, i(0,3) = 4%,

a. Determinarne il prezzo in t=0; (P = 105.80 )

37

b. Determinarne il prezzo in t=1,5. (P3= 102.23 )

3. Con il capitale di 100.000 euro, in t=0 acquisto dei BTP quinquennali che prevedono

cedole annuali del 6%, valore nominale di rimborso pari a 100, tasso di rendimento

dell8,16%.Calcolare il prezzo di acquisto dei BTP. ( P = 99.913,31 ).Tutti i surplus

che via via si vengono a formare li deposito in una Banca al 5% effettivo annuo

dinteresse. Dopo tre anni vendo i BTP al tasso del 7% e ritiro il capitale accumulato

fino a quel momento in Banca. Calcolare:

a. Il prezzo di vendita dei Titoli. ( P = 107.323,84 )

b. Il capitale di cui potr disporre in t=3. ( .128.098,29 )

4. Limporto complessivo di un contratto di affitto decennale pari a .100.000. Se il tasso

di mercato i=6% effettivo annuo, qual limporto del canone mensile?

(R1/12=1.102,24 )

5. Calcolare il valore attuale e il montante di una rendita immediata posticipata di 6 rate

costanti annue di 100 al tasso dinteresse annuo dell11%. (A=423,05; M=791,29)

Se la rendita fosse anticipata, quale sarebbe il valore attuale? E il montante?

(A=469,59; M=878,33). Se la rendita differita di 3 anni, qual il valore attuale?

(Adiff,post=309,33, Adiff,ant=343,36).

6. Si devono riscuotere 200 allinizio di ciascun anno dal 2002 al 2012. Qual il valore

attuale di tale rendita all1.1.2001, in base al tasso annuo del 3%? (1.850,52)

7. Qual il valore attuale al 5% anno dinteresse di una rendita bimestrale anticipata di 30

rate di 700 ciascuna? (18.710,57) E se la rendita fosse posticipata? (18.559,04) E se

fosse differita di 4 anni e 3 mesi? (anticipata 15.206,61, posticipata 15.083,46)

8. Calcolare il valore attuale al tasso del 4,5% di una rendita posticipata annuale e perpetua

di 7.500 euro (166.666,67). E se fosse anticipata? (174.166,67) E se fosse differita di

11 anni? (post. 102.699,79; ant. 107.321,28)

9. Un Istituto di Credito ci ha proposto il versamento di somme semestrali posticipate

costanti in un fondo ad accumulazione che rende il 21% allanno. Se dopo 5 anni

abbiamo accumulato 200.000 euro, quale stato lammontare di ogni versamento?

38

(11.505,65) Con lo stesso tasso quale versamento avrebbe fornito il capitale a scadenza

di 250.000 euro? (14.382,06).

10. Ho acquistato per 3.000 euro il diritto a riscuotere annualmente in perpetuo, inizialmente

tra 1 anno, 270 euro. Qual il tasso di valutazione? (i=9%)

11. Un fondo gravato da un canone perpetuo posticipato annuo di 4.000 euro. Il possessore

per liberarsi propone al concedente il pagamento di 8 rate annue di 16.000 euro luna. A

quale tasso effettivo annuo viene considerata loperazione? (i=3,66146%)

12. Vogliamo prendere in prestito 10.000 euro che vogliamo rimborsare con rate annue

costanti di 2.000 euro ciascuna. Se il tasso di remunerazione del prestito del 15%

annuo, quante rate dovremo pagare per estinguere il prestito? (n=9,91897; quindi

possiamo pagare 9 rate di importo R=2.095,74, oppure 10 rate di importo

R=1.992,52, o ancora possiamo mantenere costanti le rate e pagare una rata

integrativa allepoca 9. In tal caso la rata in t=9 diviene R9=3.607,08).

13. Un risparmiatore versa in un fondo ad accumulazione 10.000 euro allinizio di ciascun

anno, allo scopo di costituire un capitale di 150.000 euro. Quanti versamenti annuali

dovr effettuare se il tasso con cui si costituisce il capitale dell8%? (n=9,708995, si

veda lesercizio precedente per laggiustamento delle rate o di n).

14. Abbiamo comprato un miniappartamento del valore di 200.000 euro pagando la quarta

parte in contanti ed il resto contraendo un prestito da rimborsare in 15 anni mediante

mensilit posticipate costanti al tasso effettivo annuo dinteresse del 12%. Dopo 7 anni e

4 mesi vendiamo lappartamento a 450.000 euro e con il ricavato estinguiamo il prestito.

Qual la somma che ci resta se il tasso dinteresse di mercato in quel momento del

18%? (C=359.860,13)