DispensediMatematicaFinanziariaannoaccademico2010-20112Indice1 Introduzionealleoperazioninanziarie 71.1 Situazioni nanziarie e criteri di preferenza . . . . . . . . . . . 71.2 Operazioni nanziarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 I titoli di Stato come operazioni nanziarie . . . . . . . . . . . 111.3.1 Il rateo e la quotazione dei titoli con cedole . . . . . . . 132 Legginanziarieintertemporali 152.1 Capitalizzazione e attualizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Regime dellinteresse semplice . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Regime dello sconto commerciale . . . . . . . . . . . . . 202.1.3 Regime dellinteresse composto . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Tassi dinteresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Tasso nominale dinteresse . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Nozioni complementari sulla capitalizzazione . . . . . . . . . . 252.3.1 Le leggi di capitalizzazione come soluzioni di equazionidierenziali del I ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.2 Capitalizzazione mista e confronto tra montanti . . . . . 293 Rendite 313.1 Valore di unoperazione nanziaria in regime composto . . . . . 313.2 Generalita sulle rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.1 Formule fondamentali delle serie geometriche . . . . . . 343.2.2 Valore attuale e montante di una rendita . . . . . . . . 353.2.3 Caso delle rendite frazionate . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.4 Caso delle rendite perpetue . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Problemi connessi alle rendite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.1 Determinazione della durata . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.2 Determinazione del tasso . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 Ammortamentievalutazionedeiprestiti 454.1 Generalita sullammortamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4534 INDICE4.2 Ammortamento francese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Ammortamento tedesco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Ammortamento italiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5 Altri casi di ammortamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.5.1 Preammortamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.5.2 Ammortamento con periodicita frazionata. . . . . . . . 574.5.3 Ammortamento con cambiamento nelle condizioni di rim-borso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.4 Cenni sullammortamento americano. . . . . . . . . . . 594.6 Valutazione dei prestiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 Criteridisceltaincondizionidicertezza 615.1 Il Criterio del REA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Il TIR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2.1 Esistenza del TIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2.2 Il criterio del TIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.3 Il TAN e il TAEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 Strutturaperscadenzadeitassidinteresse 736.1 Ipotesi fondamentali del mercato nanziario. . . . . . . . . . . 736.2 Proprieta dei ZCB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 Prezzi a pronti e prezzi a termine. . . . . . . . . . . . . . . . . 766.3.1 Struttura dei tassi e quotazione di un titolo . . . . . . . 816.4 La determinazione della struttura per scadenza . . . . . . . . . 827 Principidiimmunizzazionenanziaria 877.1 Indici temporali di un usso di pagamenti . . . . . . . . . . . . 877.2 La durata media nanziaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.2.1 Durata media nanziaria con struttura piatta. . . . . . 907.3 Indici di variabilita di un usso di pagamenti . . . . . . . . . . 937.4 Risultati principali sullimmunizzazione . . . . . . . . . . . . . 957.4.1 Immunizzazione ad ununica uscita. . . . . . . . . . . . 957.4.2 Immunizzazione a pi u uscite . . . . . . . . . . . . . . . . 978 Elementidicalcolodelleprobabilita 998.1 Spazi di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.1.1 Denizioni e proprieta preliminari . . . . . . . . . . . . 998.1.2 Probabilita condizionata. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.1.3 Indipendenza tra eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.2 Variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.2.1 Variabili aleatorie discrete. . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.2.2 Variabili aleatorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . 116INDICE 5Bibliograaconsigliata 1216 INDICECapitolo1IntroduzionealleoperazioninanziarieIniziamoquestocompendiodiMatematicaFinanziariaconunapprocciomorbidoesenzaformule, perpermettereallelettriciedailettoriditoccarecon mano n da subito le tematiche di questa materia e i modelli nanziari checi troveremo ad analizzare. Gradualmente, la trattazione si fara pi u formale.Asecondadellanecessita, inquestedispenseverrannoforniti alcuni richia-mi di MatematicaGenerale, noneccessivamenteapprofonditi, chechi leggepotra sviluppare nei testi consigliati nella bibliograa nale. In ogni capitolohocercatodi inserirealcuni esercizi svolti di variogenere, senzalapretesadiesaurirnetutteletipologie: essendocivarilinguaggi, notazioniedespres-sioni allabasedellaMatematicaFinanziaria, edesucienteleggereanchesoltanto due diversi testi per rendersene conto, il mio appassionato consiglio ecomunque quello di consultare anche ulteriori eserciziari e libri di teoria, chesaranno suggeriti volta per volta in ogni Capitolo.1.1 SituazioninanziarieecriteridipreferenzaCominciamo ad inquadrare alcune situazioni della vita reale in cui ci possiamotrovare a contatto con delle situazioni nanziarie e a formulare delle domandein proposito. La formalizzazione matematica di queste situazioni, e le risposteai problemi, saranno successivamente descrivibili con gli strumenti che via viaacquisiremo.Esempio1. UnBoT(BuonoordinariodelTesoro) a6mesi euntitoloob-bligazionario emesso e venduto in aste periodiche dal Ministero dellEconomiaedelleFinanze. Ci sonoBoTda3, 6o12mesi, evengonorimborsati in78 CAPITOLO1. INTRODUZIONEALLEOPERAZIONIFINANZIARIEununicasoluzione, allascadenza. Adesempio, possiamoacquistareunBoTal tempot1 = 0 a 965 euro che garantisce alla scadenzat2 = 1/2 (6 mesi vuoldire la meta di un anno) il rimborso di 1.000 euro. Come possiamo valutare ilvalore di pi u titoli con varie scadenze?La valutazione in che modo dipende daltasso dinteresse applicato?E in che modo dipende dallistante di valutazione?Esempio 2.Alla Banca Popolare di Tassarolo, accendiamo un conto correntedepositando2.000euro, eci vienegarantitountassoannuodinteressedel2, 2% (molto ricco, rispetto ai tassi correnti). Le uniche spese che ci vengonorichiesteinquestocontrattosono5europeri bolli annuali e3europerilrilascioelutilizzodi unacartaBancomat. Qual eil saldosul nostrocontoalla ne dellanno?E come crescera negli anni successivi?Esempio 3. Vogliamo acquistare un immobile e, dal momento che costa pocoe siamo in possesso della somma per comprarlo in contanti, possiamo sceglierese contrarre un mutuo (ad un certo tasso dinteresse sso), quindi pagando arate per alcuni anni, oppure pagando tutto immediatamente al momento dellavendita. Quale delle due alternative e la pi u conveniente?E cosa puo accaderese il tasso che ci viene proposto e variabile?Gli esempi precedenti mostranocomeinquesti problemi ci sianodiversidati rilevanti perlalorodiscussioneerisoluzione, masoprattuttoduesonoi dati cruciali: gli importi ei tempi. InMatematicaFinanziaria, nonsipuodenireunordinedipreferenzasenzaspecicareentrambi, adesempio,intuitivamente, un gran numero di persone, compreso chi scrive, preferirebberodi gran lunga 50.000 euro disponibili oggi a 5 milioni di euro disponibili tra 37anni. La prima denizione proposta e proprio quella di situazione nanziaria,intesa come punto dello spazio denaro-tempo,o come importo monetario aduna data pressata.Denizione 4. Chiamiamo situazione nanziaria (o prestazione -nanziaria) una coppia ordinata (x, t) consistente nella disponibilita del cap-italex al tempot 0.Mentre il tempo ha comunque un valore positivo, in generale ammettiamoanche la possibilita che il segno dix possa essere negativo, intendendo chexsia un importo in uscita, da dover pagare.Siccome ogni soggetto o agente economico denisce, consciamente o meno,unordinedi preferenzasullesituazioni nanziarie, qui di seguitoelenchere-moalcuni postulati, basati sullenormali ipotesi dellarazionalitaumanaedeconomica, che assumeremo validi in condizioni di certezza. Per condizioni dicertezza, intendiamo il fatto che tutto sia perfettamente deterministico e nes-sun fenomeno di natura aleatoria possa accadere. In altre parole, tutto cio acui ci riferiamo e vero con probabilita 1, o anche, come da linguaggio comune,1.1. SITUAZIONIFINANZIARIEECRITERIDIPREFERENZA 9al 100%. I postulati suddetti (per una trattazione pi u approfondita vedi [V],Capitolo 1) sono i seguenti:1. Il possesso di un capitale di segno positivo e vantaggioso per chi lo de-tiene, ossia per ogni soggetto avere questo bene e preferibile al non averlo,qualunque sia limporto.2. La disponibilita temporanea diun capitale altrui e un serviziovantag-gioso che, come tale, ha un prezzo. Il soggetto economico che si avvale ditale disponibilita (puo anche trattarsi di una banca,di una compagniaassicurativa, ecc.) devepagareuncosto, commisuratoallammontaredel capitaledisponibileeai dati temporali acui questaoperazionesiriferisce. Per dati temporali si intendono tempo iniziale e nale, oppurela durata. Generalmente, questo costo e deciso da un contratto stipula-to dalle due parti in causa: chi presta e chi prende a prestito (lender eborrower).3. Date due situazioni nanziarie (x1, t) e (x2, t) allo stesso istantet,diimporti positivix1 ex2, e preferita quella di importo maggiore.4. Dateduesituazioni nanziarie(x, t1)e(x, t2), di ugualeimportox,valutate ad una data antecedente t0 (ad esempio, t0< t1< t2), se x > 0,epreferita(x, t1), ossialadisponibilitadi x econsideratamiglioreseavvieneprima. Simmetricamente, sex 0. Detto T> 0 il periodoche intercorre tra un pagamento di cedola e il suo successivo, dettot1 listantedi acquistoedettonil numerodellecedoletotali daincassare, loperazionenanziaria dal punto di vista del sottoscrittore si potra scrivere come segue:x/t = P, I, I, . . . , I, C +I/t1, t1 +T, t1 + 2T, . . . , t1 +nT.Vanotatoil fattoche, asecondadellarelazionecheintercorretraPeCsiutilizza una specica terminologia: seP= C, si dice che il titolo e quotato, oemesso, alla pari, mentre seP< C, e sotto la pari, seP> Ce sopra la pari(questultimo caso e decisamente raro).Inoltre, il rapportoI/C e dettotassocedolare del titolo, mentre iltassonominaleannuo corrisponde al prodotto tra il tasso cedolare e il numero dicedole staccate in un anno.1.3. ITITOLIDISTATOCOMEOPERAZIONIFINANZIARIE 13Esercizio14. DatounBTpdi durata3anni, di prezzodacquistoP= 945euroevalorenominaleC = 1.000euro,calcolareil valorediognicedolaeloscartodemissioneseiltassonominaleannuoedel10%.Essendoil pagamentodellecedoledel BTpsemestrale, loscriviamoinforma delloperazione nanziaria seguente:x/t = 945, I, I, I, I, I, 1.000 +I/0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3.Poiche ogni annovengono incassate 2 cedole,il valore della singolacedola siricava dallequazione:2I1.000=10100=I = 50 euro.Lo scarto di emissione e invece dato dalla dierenzaC P= 55 euro.1.3.1 IlrateoelaquotazionedeititoliconcedoleQuandolaperiodicitadi untitoloconcedolenoncoincideesattamenteconlesigibilitadellestesse,ma esfasata,ilpagamentodellacedolanonavvienealladatadiscadenza,maallinternodelperiodo. Valeadire,selemissioneavviene in t0, e il periodo e T, la prima cedola non viene staccata in t1 = t0+Tma in unaltra data t1< t1. In questo caso, il periodo di godimento della cedolasara sempre comunque di lunghezzaT, per lesattezza sara compreso tra t1et1 +T, a sua volta minore dit2, e via dicendo.Denizione15. Sichiamarateo(orateodinteresse)dellacedolaIaltempo di acquistot il seguente importo:Ri = I _1 t1t0T_. (1.3.1)Il rateodunquequanticail vantaggioperil sottoscrittoredi avereunacedolastaccatainanticipo,echequindiassumeunasuaimportanzaalmo-mentodellavalutazione, ossiadellaquotazione, di untitolo. I titoli ob-bligazionari vengono acquistati sul mercato primario tramite unasta, ma poipossono venire successivamente venduti e comprati su un mercato secondario(laddove possono avvenire, e avvengono, manovre speculative). Il valore, pi uspesso denominato quotazione, di un titolo sui listini, non e in generale quellodi acquisto al primo istante, ma quello sul mercato secondario, che e decurtatodal rateo, riferito alla dierenza temporale tra istante di acquisto e istante didistacco della prima cedola. Chiaramente, se essi coincidono, il rateo e nullo.14 CAPITOLO1. INTRODUZIONEALLEOPERAZIONIFINANZIARIEQuindibisognaconsiderare2diversequotazioni: ilcosiddettocorsotelquel, che e il prezzo eettivamente da pagare per il titolo, e il corsosecco,quello che appare sui listini ed e la dierenza tra corso tel quel e rateo.Pi u estensivamente, lo scambio a corso secco e soltanto sul valore nominaledel titolo, senzaconsideraregli interessi parziali maturati, mentrequelloacorso tel quel tiene conto anche delle cedole staccate no a quellistante, se cene sono, e del rateo relativo al periodo trascorso.Esempio16. Consideriamo il seguente titolo con 4 cedole semestrali, di cuila prima viene staccata dopo 4 mesi dallacquisto in t0 = 0, di valore nominale100, e determiniamone tutte le caratteristiche:x/t = 95, 2, 2, 2, 102/0, 4/12, 10/12, 16/12, 22/12.Cominciamo col vedere che il titolo e quotato sotto la pari, in quanto 95 < 100,e che il suo tasso cedolare e il suo tasso nominale sono rispettivamente del 2%e del 4% (2 cedole allanno). 95 rappresenta il corso tel quel del titolo, mentreil rateo, poiche la dierenza tra tempo di acquisto e distacco della prima cedolae di 4 mesi e il periodo e 6 mesi, dalla formula (1.3.1) vale:2 _1 4/126/12_=23= 0, 66666 euro,e di conseguenza il corso secco a cui il titolo viene quotato risulta 950, 666666 =94, 333333 euro.Capitolo2LegginanziarieintertemporaliInquesto capitolo introduciamo le nozioni fondamentali delle leggi -nanziarie in condizioni di certezza, cioe non tenendo conto di alcun elementoaleatorio, come se nessun avvenimento esterno al nostro investimento incidessesudi essoesullasuaevoluzione. Parliamodi evoluzione, percheleleggi -nanziarie dipendonodaltempo,edatempiantichissimi limpiegoneltempodi un bene, o di una quantita di denaro, in qualsiasi forma, e compensato daun successivo pagamento in interessi. Sono molte le motivazioni alla base diquesto fatto, e su cui non e il caso di addentrarsi, ci basti pensare alla pi u in-tuitiva: la svalutazione nel tempo del denaro per via dellinazione, che incidedirettamente sul costo della vita di ognuno e ognuna di noi.Quindi ladescrizionedelleleggi nanziariechesi instauranopassaat-traverso la scrittura rigorosa di un legame funzionale tra capitale investito altempo iniziale e importo maturato,comprendente linteresse,in un qualsiasiistantesuccessivo. Nel prosieguodi questocapitolo, incui verraintrodottala terminologia necessaria, ci baseremo in particolare sugli approcci seguiti in([DD] e [R]).2.1 CapitalizzazioneeattualizzazioneDa ora in avanti, indicheremo con: C> 0 il capitaleiniziale investito; I> 0linteresserelativoallimpiegodi Cpertuttaladuratadellin-vestimento;1516 CAPITOLO2. LEGGIFINANZIARIEINTERTEMPORALI M> 0 il montante diCalla scadenza dellinvestimento.Allistante concordato come scadenza dellinvestimento, il debitore dovra ver-sarealcreditorelimportocorrispondentealmontante,legatoalcapitalein-iziale e allinteresse dalla semplice relazione additiva:M= C +I. (2.1.1)La (2.1.1) mette in evidenza la dipendenza del montante dal capitale iniziale,tramiteunaleggedi capitalizzazione, chesuccessivamentedeniremoinmodo formale. Se invece volessimo esplicitare linteresse in funzione degli altridue importi, potremmo attribuirgli il signicato di sconto, espresso come dif-ferenza tra il capitale maturato in caso di investimento e quello non investito.Usiamo la letteraS(nei testi e pi u spesso usata la letteraD, da discount):S = M C. (2.1.2)Questo e un esempio di come, nella Matematica utilizzata nelle varie formaliz-zazioni economiche, uno stesso strumento o concetto possa essere interpretatoin modi dierenti. Abbiamo dunque risposto alla domanda Qual e limportomaturato al tempo nale dellinvestimento dal capitale C?con il montante M.Poniamoci ora la domanda inversa: Quale capitale bisogna investire al tempoiniziale per ottenere un montante naleM?e per rispondere dovremo inver-tire lalegge di capitalizzazione che associaCadMe denire unoperazionedi attualizzazione o di sconto (o anche, con un linguaggio meno moderno,di anticipazione): Csara denito il valore attuale diMal tempo iniziale.C M C Mcapitalizzazione attualizzazioneA questo punto, introduciamo la variabile tempo t e ssiamo lintervallo (con-tenutonellasemirettapositivadei tempi) [t0, t1] comeperiododi duratadellinvestimento. Inquestomodo,laleggedicapitalizzazionecheintrodur-remo rendera equivalenti le situazioninanziarie (t0; C) e(t1; M). Inoltre,indichiamo con:M CClinteresse per unita di capitale iniziale relativo a [t0, t1];M CMlo scontoperunitadimontanterelativoa [t0, t1].Nel caso in cui le date dellinvestimento siano t1 = 1, t0 = 0, e quindi linvesti-mento duri 1 anno, le quantita precedentemente denite sono rispettivamenteiltassoannuodi interessei(danonconfonderecolnumeroimmaginarioi =1 dellinsieme dei numeri complessi) e il tassoannuodiscontod.2.1. CAPITALIZZAZIONEEATTUALIZZAZIONE 17Deniamoorarigorosamentelaleggedi formazionedel montante, con-siderandola come una funzione dipendente dal tempo ma anche, parametrica-mente, dal capitale iniziale.Denizione17. Si chiamaleggedi capitalizzazione(ofunzionemon-tante) ogni funzione continuaM: [0, +) [0, +) R, tale che:1. M(t; C) > 0 per ognit 0 e per ogniC> 0;2. M(t; C +D) = M(t; C) +M(t; D) per ognit 0 e per ogniC, D > 0;3. M(t1; C) < M(t2; C) per ognit2> t1 0 e per ogniC> 0;4. M(0; C) = Cper ogniC> 0.Leipotesi postevengonodallarazionalitadegli agenti economici, opi usemplicemente dal buon senso: la 1) aerma che il montante deve essere pos-itivoadogni istante, la2) cheeadditivorispettoai capitali, la3) chealpassare del tempo il montante aumenta a parita di capitale iniziale, la 4) chese non ce alcun investimento, come dire che la durata dellinvestimento e nul-la, il capitale iniziale resta cos come. Piuttosto intuitivo e anche il seguenterisultato:Proposizione18. Datiicapitali D, C1, C2> 0,conC2>C1,aqualsiasiistantet > 0 si ha:1. M(t; D) > D;2. M(t; C2) > M(t; C1).Dimostrazione. Ladimostrazionedi 1)eimmediata. Dateleipotesi delladenizione di legge di capitalizzazione,si ha,per lipotesi 3),cheM(t; D)>M(0; D) per ogni t >0. Inoltre, per lipotesi 4), M(0; D) =D, quindiM(t; D) >Dinogni istantetsuccessivoallistanteiniziale. Anchela2)epiuttostosemplice, eseguedallaproprietadiadditivita2)delladenizione:seC2> C1, esistera un numero positivoHtale cheC2 = C1 +H. PoicheM(t; C2) = M(t; C1 +H) = M(t; C1) +M(t; H),eM(t; H) > 0 per la positivita dellaM(), alloraM(t; C2) = M(t; C1) +M(t; H) > M(t; C1).18 CAPITOLO2. LEGGIFINANZIARIEINTERTEMPORALIDenizione19. Dataunaleggedi capitalizzazioneM(), si chiamaleggedi attualizzazione(ofunzionedi sconto) associata adM() la funzionecontinuaA: [0, +)[0, +) R, talecheperogni t [0, +)eperogniC> 0, vale la relazione:M(t; A(t; C)) = C.Corollario20. Ogni legge di attualizzazioneA() gode delle proprieta:1. A(t; C) > 0 per ognit 0 e per ogniC> 0;2. A(t1; C) > A(t2; C) per ogni 0 t1< t2e per ogniC> 0;3. A(0; C) = Cper ogniC> 0.Esercizio 21. Dimostrareche,datounqualsiasicapitaleinizialeC>0, lafunzioneM(t; C) = C(t3+ 1)eunaleggedi capitalizzazioneperogni t [0, +).Verichiamo le 4 proprieta della legge di capitalizzazione: C(t3+ 1) e somma di due quantita nonnegative set 0, quindiM() epositiva in [0, +) [0, +); M(t; C + D) = (C + D)(t3+ 1) =C(t3+ 1) + D(t3+ 1) =M(t; C) +M(t; D);dati t1, t2 [0, +), set1>t2si hachet31>t32, dacui M(t1; C)>M(t2; C);sostituendo int = 0, si haM(0; C) = C(03+ 1) = C.Essendo vericate tutte e 4 le proprieta della denizione,M(t; C) e eettiva-mente una legge di capitalizzazione sul semiasse positivo dei tempi.Ripensiamo ora brevemente alla proprieta 2) e alla dimostrazione della suavalidita. Pare abbastanza ovvio che essa e rispettata ogni volta che il capitaleiniziale e un fattore che moltiplica una funzione del tempo. Si puo dimostrare(e per la teoria sottostante vedi [R], capitolo 2) che le leggi di capitalizzazioneM(t; C)sonotutteesolequelledel tipoM(t; C)=Cr(t), laddover(t)edetto fattore di capitalizzazione (o fattore montante). Le proprieta delfattore di capitalizzazione sono analoghe, a parte la dipendenza da C, a quelledella legge di capitalizzazione: positivita, continuita, non decrescenza.Pertanto sussiste unanalogia con la legge di attualizzazione, che sara an-chessa moltiplicativa, ossia A(t; C) = C v(t), laddove v(t) e detto fattore diattualizzazione(ofattoredisconto), e vale la relazione di reciprocita:r(t)v(t) = 1, t [0, +).2.1. CAPITALIZZAZIONEEATTUALIZZAZIONE 19Nel caso dellesercizio precedente,r(t) = t3+ 1,v(t) =1t3+ 1.Bisognafareattenzioneanonconfonderelamoltiplicazionetrafunzioni(inquestocaso)conlacomposizionedi funzioni. Essendolaleggedi capi-talizzazioneunprodottotraCer(t), pertornareindietroconloperazionediattualizzazionealcapitaleinizialeC, enecessariodividereperr(t),quin-di moltiplicareperil fattoredi scontov(t)=1r(t). Nei prossimi paragraintrodurremo le leggi di capitalizzazione e attualizzazione pi u comuni.2.1.1 RegimedellinteressesempliceIl primoregimenanziariocheanalizziamoequelloincui linteresseepro-porzionale sia al capitale iniziale C sia alla durata dellimpiego t, quindi quan-doI = Cit, laddovei > 0 e il tasso annuo di interesse. Annuo perche a 1anno (t = 1) considerando un capitale iniziale normalizzato a 1, i corrisponderaesattamente allinteresse maturato. Questo regime di capitalizzazione e dettosemplice(olineare). Solitamente, i tassi dinteressesononellordinedelcentesimo, e scritti tramite percentuali (ad esempio 0, 13 = 13%, 0, 02 = 2%,ecc.). Il fattore di capitalizzazione risulta essere r(t) = 1+it, e di conseguenzala legge di capitalizzazione in regime semplice prende la forma:M(t) = C(1 +it), t [0, +).Conseguentemente il fattore di attualizzazione ev(t) =11 +it.Esercizio22. Calcolareil montanteottenutodauninvestimentodicapitaleinizialedi 1.000euroal tassoannuodel3%dopo2anni e3mesi nel regimedellinteressesemplice.Useremolaformuladirettadel montante, dopoavertrasformatolaper-centuale in numero razionale o decimale (3% = 3/100 = 0, 03) e i 2 anni e 3mesi in numero, razionale o decimale (2 anni e 3 mesi = 2 + 1/4 di anno =9/4 = 2, 25). Avremo:M= C(1 +it) = 1.000_1 +3100 94_= 1.000_427400_= 1.067, 5 euro.Esercizio23. Inquantotempouncapitaledi 520euro, investitoinregime di capitalizzazione semplice al tassoannuodell1%generaunmontantedi 600euro?In questo caso, dovendo ricavare il tempo, la formula va invertita:M= C(1 +it) =MC1 = it =t =1i_MC1_.20 CAPITOLO2. LEGGIFINANZIARIEINTERTEMPORALISostituendo i dati del problema, otterremo:t =11100_600520 1_= 100 852= 15, 384615 anni.Leserciziopotrebbeesserenitoqui, machiaramentedal puntodivistaop-erativoavereunnumerodecimaledianniserveapoco. Valelapenaquindispenderequalcheparolasucomecambiarelunitadi misuradel risultatoot-tenuto in anni, mesi, giorni (si potrebbe arrivare anche a ore e minuti, ma poiil concetto non cambia). Gli anni trovati sono 15, cioe 15 e la parte intera delnumerotrovato,epoicenesonoulteriori0,384615. Pertrasformarequestonumero in mesi, basta moltiplicarlo per 12, e avremo:0, 38461512 = 4, 61538 mesi.Quindi abbiamo4mesi interi eulteriori 0,61538. Percalcolarequestulti-mo numero decimale in termini di giorni,lo moltiplichiamo per 30,perche ilmese dellanno commerciale e appunto di 30 giorni (e di conseguenza, lannocommerciale e di 360 giorni):0, 6153830 = 18, 4614 giorni.Moltiplicando poi per 24 otterremo le ore, ecc. In denitiva, il tempo richiestodallesercizio e quindi di 15 anni, 4 mesi e 18 giorni.2.1.2 RegimedelloscontocommercialeLa seconda forma di capitalizzazione che incontriamo e quella cosiddetta delregimedelloscontocommerciale, cheadierenzadel regimesemplice,il cui montanteeunafunzionelinearedel tempo, qui hainveceunaformaiperbolica (e infatti in alcuni testi e denominata di capitalizzazione iperbolica).In questo caso lo scontoSviene computato proporzionalmente alla duratat,oltrecheal montanteM. Dettosloscontoperunitadi montante, quindis =i1 +i, si ha:S = Mst =C = M S = M(1 st),da cui la legge di capitalizzazione risulta:M(t) =C1 st, t _0, 1s_.Vanotatoil fattocheil dominiodellaM(t)nel regimedi scontocommer-ciale non e denita su tutto il semiasse positivo dei tempi, ma ha come soglia,2.1. CAPITALIZZAZIONEEATTUALIZZAZIONE 21noncompresa, 1/s, incui haunasintotoverticale, mentrepervalori mag-giori di tale soglia il montante risulta negativo, e quindi perde ogni signicatoeconomico.Volendo fare un minimo di analisi parametrica,possiamo mettere in evi-denza che, data la relazione tras ei, quandoi e molto piccolo e vicino a 0 loe anches, e di conseguenza lintervallo di denizione diM(t) e molto grande.Al limite pers = 0, sarebbe 0 anche lo scontoSe non ci sarebbe alcuna cap-italizzazione, cioe il montante maturato resterebbe uguale al capitale inizialeCin ogni istante.Esercizio24. Datouninvestimentodi 2anni inregimedi scontocommercialealtassoannuodiinteressedell1, 5%,calcolareilvaloreattualedi 1.290euro.Prima di tutto, applicando la relazione tra tasso annuo di interesse e tassoannuo di sconto ricaviamos:s =i1 +i=15/10001015/1000= 0, 014778.Poi applichiamo la formula e la invertiamo:M=C1 st=C = M(1 st) ==C = 1.290(1 20, 014778) = 1.251, 871921 euro.Esercizio25. Calcolareil tassoannuodi interesseacui uninves-timentodi 3.000euroinregimedi scontocommercialeproduceunmontantedi 3.500euroin5anni e5mesi.Cominciamo trasformando il tempo in un numero decimale o frazionario:5 anni e 5 mesi signica 5+512=6512di anno, o anche 5, 416 anni. La formuladello sconto commerciale, mantenendos come incognita, diventa:C = M Mst =s =M CMt=3.500 3.0003.5005, 416666= 0, 026373.Inne, per ricavare i, dobbiamo invertire la formula del tasso annuo di sconto:s =i1 +i=i =s1 s=0, 0263731 0, 026373= 0, 027088,quindi il tassoi richiesto e circa il 2, 7%.22 CAPITOLO2. LEGGIFINANZIARIEINTERTEMPORALI2.1.3 RegimedellinteressecompostoDopoavervistounaleggedi capitalizzazionelineareedunaiperbolica, ve-niamonalmentealregimenanziarioditipoesponenziale. Perfornireunaprima spiegazione intuitiva, immaginiamo una forma di capitalizzazone in cui,istante dopo istante, il montante maturato gioca il ruolo di capitale iniziale ela formazione del montante prosegue continuamente.Denizione 26. Un fattore di capitalizzazioner(t) e dettoscindibile se perognit1, t2> 0, si ha:r(t1 +t2) = r(t1)r(t2).Riferendoci alladenizionedi leggedi capitalizzazione, M(t1 + t2; C)=M(t2; M(t1; C)), vale a dire il montante al tempot1 + t2coincide con quellomaturato no at1, ulteriormente reinvestito no at2.Denizione27. Laleggedi capitalizzazionedegli interessi compostie lunica legge scindibile ed ha la forma:M(t) = C(1 +i)t, (2.1.3)dovei e il tasso annuo di interesse.La proprieta di scindibilita segue in modo piuttosto automatico dalle carat-teristiche di una qualsiasi funzione esponenziale, pi u in generale delle poten-ze. Comeanchenei regimi lineareediperbolico, il montanteadunannocorrispondea M(1) =C(1 +i). Inseguitovedremobrevementecomeilcomportamentodi questefunzioni dierisceprimaedopoil primoannodicapitalizzazione.Esercizio28. Calcolareil valoreattualedi 111euroinunregimeainteressi composti, generati dauninvestimentoa2anni e7mesial tassodinteresse annuodello0, 5%. Successivamente, calcolarelinteressegeneratodaquestoinvestimento.Trasformiamoi2annie7mesiin 2 +712=3112eavremo,invertendolaformula (2.1.3), si ottiene:C = M(1 +i)t= 111(1, 005)31/12= 109, 578996 euro.Inne, linteresseprodottodallinvestimentoeugualeaM C=1, 421004euro.Esercizio 29. Consideriamounregimedicapitalizzazioneainteressicomposti incui il capitaleinizialeinvestitoammontaa1.000eu-ro. Supponendodiapplicareuntassoannuodiinteressedell1, 32%,2.2. TASSIDINTERESSE 23quanto tempo deve durare linvestimento anche il montante prodot-toarrivi a1.400euro?In questo caso lincognita e il tempo, quindi (2.1.3) va invertita nel modoseguente (ricordando la proprieta logaritmica ln((1 +i)t) = tln(1 +i)):(1 +i)t=MC=ln((1 +i)t) = ln_MC_=t =ln_MC_ln(1 +i).Sostituendo i dati dellesercizio, avremo:t =ln(1, 4)ln(1, 0132)=0, 3364720, 013113= 25, 659439 anni.Trasformando ulteriormente in mesi e giorni, troveremo che il tempo richiestorisulta 25 anni, 7 mesi e 27 giorni.2.2 TassidinteresseNellapraticacorrente, si faspessoriferimentoatassi dinteresserelativi aperiodi diversi dal singolo anno. Data la proprieta di scindibilita della leggeesponenziale, risultaparticolarmenteintuitivalanozionedi tassoperiodaleequivalenteadundeterminatotassoannuodinteresse. Il tassodinteresserelativoad1/mdi annoequivalenteal tassounitarioannuoisi indicaconi1/m, ed e legato adi dalla relazione:(1 +i1/m)m= 1 +i. (2.2.1)Invece, inregime di capitalizzazione adinteressi semplici, larelazioneanaloga risulta essere:1 +mi1/m = 1 +i i1/m =im. (2.2.2)Inpratica, inregimedi interessecomposto, il montantedi uncapitaleCimpiegatoperunannoal tassoieugualeaquellodellostessocapitaleimpiegato perm emmesimi di anno al tassoi1/m.La scindibilita del regime di capitalizzazione composta comporta che unaoperazione intermedia di capitalizzazione degli interessi maturati non ha con-seguenze sul montante nale, perche corrisponde ad una fattorizzazione dellalegge di formazione del montante. Essendo infatti la legge di capitalizzazionedella forma: M(t) = Cr(t) = C(1 +i)t, s (0, t), si ha:r(t) = r(s)r(t s) = (1 +i)s (1 +i)ts.24 CAPITOLO2. LEGGIFINANZIARIEINTERTEMPORALIEsercizio30. Determinareil tassotrimestraleequivalenteal tassoannuodi interessedell1, 8%.Se cerchiamo un tasso trimestrale, stiamo dividendo lanno in 4 trimestri,e quindi chiameremoi1/4tale tasso. Applicando e poi invertendo la relazione(2.2.1) coni = 18/1.000, otterremo:(1 +i1/4)4= 1 +i i1/4 =_1 +181.000_1/41 = 0, 004469 = 0, 44%.2.2.1 TassonominaledinteresseNel casoincui uncapitaleCsiainvestitoinregimedi interessecompostoaltassoannuoi, malinteresseprodottovengamessoadisposizionedellin-vestitore ad intervalli regolari,m volte allanno, possiamo scrivere la funzionemontantecomeM(t)=C(1 + i1/m)mt, denendoinquestomodounaltrotasso dinteresse.In questo caso, linteresse maturato ad ogni m-esimo di anno e M(1/m) C = Ci1/m; se ad ogni frazione di anno linvestimento riparte, il capitale messoa frutto torna ad essereCcome allinizio dellinvestimento; di conseguenza, ilmontante prodotto in 1 anno di investimento eC +mCi1/m = C(1 +mi1/m).Denizione31. La quantitaj(m) := m i1/medettatassonominaleannuodinteresse, convertibilemvoltenel-lanno.Dalla relazione sui tassi, ne segue immediatamente unaltra che lega il tassoannuo dinteresse a quello nominale:i =_1 +j(m)m_m1.Si puo dimostrare che se gli interessi staccati ad ogni m-esimo di anno ven-gono via via investiti al tasso i equivalente a j(m), gli interessi totali maturatirisultano uguali. Infatti,I(1) =Ci; daltra parte, frazionando linvestimentocome descritto in precedenza linteresse sara:Ci1/mm

k=1(1 +i)1(k/m)= Ci1/m(1 +i)m

k=1((1 +i)1/m)k=2.3. NOZIONICOMPLEMENTARISULLACAPITALIZZAZIONE 25= Ci1/m(1 +i)1(1/m)1 (1 +i)11 (1 +i)1/m= Ci1/mi(1 +i)1/m1= Ci,avendo sfruttato la somma delle serie geometrica, valida per ogni ragioneq (0, 1):n

k=1qk= q 1 qn1 q.Poiche j(1) = i, e j(m) = m[(1 +i)1/m1], si vede facilmente che j(m+1) (1 +i)tper 0 < t < 1, 1 +it < (1 +i)tper t > 1.30 CAPITOLO2. LEGGIFINANZIARIEINTERTEMPORALIEsercizio39. Unsoggettodecide di investire uncapitale di 2.500euro nel regime ad interessi composti per 4 anni e 3 mesi ad un tassosemestraledel 2%. Determinareinquanti anni otterrebbelostessomontanteseinvestisselostessocapitaleal tassoannuoequivalenteinregimeadinteressi semplici.Seil tassosemestraleei1/2=2/100, calcoliamoprimadi tuttoil tassoannuo equivalentei con la relazione (2.2.1):i =_1 +2100_21 = 4, 04%.Applichiamo poi la formula di capitalizzazione composta per ottenere il mon-tante a 4 anni e 3 mesi (ossia 4,25 anni):M(4, 25) = 2.500(1 + 0, 404)4,25= 2.958, 294926 euro.Inne, uguagliamo il montante ottenuto al montante che risulterebbe dal-linvestimentoinregimedi capitalizzazionelineareconlostessocapitaledipartenza e ricaviamo il tempot:2.500(1+0, 0404t) = 2.958, 294926t =_2.958, 2949262.5001_10, 0404== 4, 537573 anni, vale a dire 4 anni, 6 mesi e 13 giorni.Capitolo3Rendite3.1 Valore di unoperazione nanziaria in regimecompostoCon le notazioni del paragrafo precedente, consideriamo un regime nanziarioainteressicomposti,quindiconfunzionedicapitalizzazioneesponenziale,lasua relativa inversa come legge di attualizzazione, e la forza dinteresse costante. Dorainavanti, senonspecicatodiversamente, sarasemprequestalaforma funzionale di capitalizzazione usata.Uno dei concetti fondamentali della Matematica Finanziaria, che ora intro-durremo, riguarda la valutazione di una qualsiasi operazione nanziaria x/t,ossia il calcolo del suo valore, ad una qualsiasi data, precedente, intermedia osuccessiva allo scadenzario delloperazione.Denizione 40. Si chiama valore delloperazione nanziariax/t altempot la quantita:W(t, x) =m

k=1xke(ttk)=

tktxke(ttk)+

tk>txke(tkt)= M(t, x)+A(t, x),(3.1.1)doveidueaddendirappresentanorispettivamenteil montantegeneratodagliimportiesigibili(opagabili)allescadenzeanterioriat(M(t, x))eil valoreattuale delle somme esigibili (o pagabili) in date successive at (A(t, x)).Denizione41. Unoperazionenanziariax/t si dice equaal tempot seW(t, x) = 0.Quindilequitacaratterizzaunoperazionediscambioincui, adundatoistante, il valore delle somme incassate si possa valutare uguale al valore dellesomme pagate.3132 CAPITOLO3. RENDITEQuandopoi lavalutazionedi (3.1.1)vieneattuataal primooallultimoistantedelloscadenzario, abbiamosolounodeidueaddendi, cioenelprimocaso avremo soltanto ilvalore attualeenelsecondosoloilmontante,quindipossiamo dare le relative ulteriori denizioni:Denizione42. Si chiamavaloreattuale delloperazionenanziariax/t la quantita:W(t1, x) =m

k=1xke(t1tk)= A(t1, x). (3.1.2)Denizione 43. Si chiamamontantedelloperazionenanziariax/t laquantita:W(tm, x) =m

k=1xke(tmtk)= M(tm, x). (3.1.3)Esercizio 44.Data loperazione nanziaria x/t = 10, 20, 30/1, 2, 3,calcolarne il valore dopo1annoe mezzoal tassoannuodi valu-tazionedell1%.Ricordandoche loscadenzarioe espressoinanni, applichiamolafor-mula(3.1.1) al tempo t =1, 5, quindi capitalizzandoil primoimportoedattualizzando gli altri 2:W(1, 5, x) = 10 (1+0, 01)1,51+20 (1+0, 01)1,52+(30)(1+0, 01)1,53== 10, 049875 + 19, 900743 29, 555560 = 0, 395058 euro.Esercizio45. Dataloperazionenanziariaseguente:x/t = 100, 120, 150, x4/1, 2, 3, 4,determinare lultimo importo x4inmodo che tale operazione siaequa allistante iniziale t1=1 se valutata ad untasso annuo diinteressedel2, 5%.Calcoliamoil valoredelloperazioneconil tassorichiestolasciandocomeincognita limporto da determinarex4:W(1, x) = 100(1+0, 025)11+(120)(1+0, 025)12+(150)(1+0, 025)13++x4 (1 + 0, 025)14= 100 117, 073170 142, 772159 + 0, 928599x4,e successivamente imponiamo lipotesi di equita:W(1, x) = 0 164, 845329+0, 928599x4 = 0 x4 = 177, 520467 euro.Quindi x4=177, 520467eurorisultalultimoimportocheloperazione-nanziariadeveavereanchesiaequaallistanteinizialerispettoal tassodivalutazione del 2, 5%.3.2. GENERALITASULLERENDITE 333.2 GeneralitasullerenditeLoperazione nanziaria, di fondamentale importanza, su cui ci focalizzeremo,e la cosiddetta rendita, intesa come insieme di importi, ognuno corrispondentead una data. Per lesattezza:Denizione 46. Si chiamarendita una successione di capitali da riscuotere(o da pagare) a scadenze determinate.I singoli capitali della rendita si dicono rate. Le rendite certe sono quelleapriori ssate nel numero, nellammontare e nelle epoche di pagamento.Una rendita e detta periodica quando le rate sono equiintervallate tra loro,costante se le rate sono tutte dello stesso ammontare, perpetua se il numerodellerate einnito. Unadistinzioneimportantedafare equellatrarenditecosiddette anticipate, quelle in cui il pagamento delle rate avviene alliniziodi ogni periodo, e quelle posticipate, nelle quali invece avviene alla ne.Per riferirci alle consuetudini della vita quotidiana, in generale il pagamen-to dello stipendio per i dipendenti e eettuato in rate posticipate, mentre pergli inquilini il versamento dellatto ai proprietari di case e in rate anticipate.Si parla inne di rendita unitaria quando tutte le rate, costanti, sono pariad ununita di capitale.Uno dei problemi connessi con lo studio delle rendite e la loro valutazione,cioe la determinazione di una somma che si puo considerare nanziariamenteequivalente alla rendita in un dato istante di tempo. Come nel caso preceden-tementevistodelleoperazioninanziarieingenerale,questasommasidiravalore (o valore capitale) della rendita. Nella teoria delle rendite, lutilizzodel regime nanziario ad interessi composti e standard. Chiameremot0etngli istanti rispettivamente iniziale e nale di decorrenza della rendita.Denizione47. Il montante di una rendita e il suo valore capitale riferitoal tempo naletn.Se si pensa alla rendita come ad una successione di somme in entrata, e ilcapitale che si ottiene se tutte le rate, appena riscosse e no allistante nale,vengono investite al tasso impiegato per la valutazione.Denizione48. Il valore capitale riferito al tempot0o ad un altro istantetantecedente at0si chiamavaloreattualedellarendita.Il valore attuale rappresenta la somma che, impiegata a partire dallistantedi riferimentoedinbaseallaleggeusataperlavalutazionestessa, risultaesattamentesucienteaprodurretutteleratedellarenditaallescadenzepreviste.34 CAPITOLO3. RENDITESe il tempo di riferimento della valutazionet precede quello di decorrenzadella rendita,si parla di rendita dierita della duratat0 t. Se invece lis-tantet scelto per la valutazione coincide con listante inizialet0, la rendita eimmediata. Quindilarendita eimmediataoppuredieritanonacausadicaratteristicheintrinsechesue, mainbaseallistantesceltopereettuarelasuavalutazione. Unarenditaposticipataimmediatapuoessereconsiderataequivalente ad una rendita anticipata dierita del primo periodo.3.2.1 FormulefondamentalidelleseriegeometricheRichiamiamo brevemente le principali formule relative alla serie geometrica, difondamentale importanza nel calcolo dei valori attuali delle rendite e di tuttele ulteriori formule correlate. Per una trattazione esaustiva delle successioni edelle serie geometriche si puo consultare ad esempio il Capitolo 1 di [R].Proposizione49. La serie geometrica di ragionev:n

j=1vj= v +v2+. . . +vnconverge per ognivtale che [v[ < 1, e la somma della serie ev 1 vn1 v.Dimostrazione. Proviamo per induzione sun. Pern = 1 si ha banalmente:1

j=1vj= v = v1 v11 v= v,vericata per ogniv.Il secondo passo della prova per induzione richiede che si prenda la tesi delteorema come ipotesi pern, e si provi la stessa relazione pern + 1. Bisognadunque provare lidentita:n+1

j=1vj= v 1 vn+11 v.Prima di tutto, scriviamo la somma a primo membro, che risulta:n+1

j=1vj=n

j=1vj+vn+1,che per lipotesi induttiva e uguale a:v1 vn1 v+vn+1= v_1 vn1 v+vn_= v_1 vn+vnvn+11 v_,da cui segue evidentemente la tesi.3.2. GENERALITASULLERENDITE 35Passandoal limiteperinniti termini dellaserie, otteniamo2ulterioriformule utili:

j=1vj= limn+n

j=1=v1 v.

j=0vj= v0+

j=1vj= 1 +v1 v=11 v.3.2.2 ValoreattualeemontantediunarenditaIn questo paragrafo, consideriamoi il tasso annuo dinteresse ev = (1 + i)1il fattoreannuodi sconto, esupponiamocheil valoredi ciascunaratasiaunitario (R = 1). Il valore attuale di una rendita rappresenta il capitale che,investitoal tassodinteresseiperladuratadi nanni apartiredallistantediriferimento,generaesattamentetutteleratedellarendita. Daorainpoiuseremo anche la notazione standard di questa teoria.Proposizione 50. Il valore attuale di una rendita annua unitariaimmediataposticipatadi duratananni risulta:an|i =1 (1 +i)ni. (3.2.1)Dimostrazione. EssendoR = 1, la determinazione del valore attuale si riduceal calcolo della serie geometrica la cui ragione e il fattore di scontov:v +v2+v3+. . . +vn=n

j=1vj= v 1 vn1 v==11 +i(1 +i)n1(1 +i)ni1 +i=1 (1 +i)ni,scritto in termini di tasso annuo di interesse.La formula (3.2.1),dinotevole importanzaedaricordare rigorosamente,introduce un nuovo simbolo: an|i (che si legge a guraton al tassoi) e unafunzione crescente inn e decrescente ini. Da questa formula, ne seguirannoalcune altre, per indicare i valori attuali di rendite con caratteristiche dierenti.Nel caso di dierimento di t anni, ossia del caso in cui ogni rata va scontataperulteriori tanni, avremocheil valoreattualedi unarenditaannuaunitariaposticipataedieritaditanni sara:t|an|i = vt+1+vt+2+. . . +vt+n= vtn

j=1vj= vt+1

1 vn1 v= vtan|i.36 CAPITOLO3. RENDITETale relazione vale per ognit positivo ma non necessariamente intero.Pensiamo ora ad una situazione in cui la rendita sia anticipata, ogni ratava scontata un anno in meno rispetto alla rendita posticipata; di conseguenza,il valore attuale di una rendita annua unitaria anticipata immediatadiduratananni sara: an|i = 1 +v +v2+. . . +vn1=1 vn1 v.Si puo facilmente vericare la relazione tra i valori attuali: an|i = (1 +i)an|i.Per quanto riguarda invece il calcolo del montante, le rate vanno ora non pi uanticipate, ma capitalizzate, la prima per n1 anni, la seconda per n2 anni,la penultima per un solo anno e lultima viene pagata nello stesso istante sceltoper il calcolo del valore capitale. Quindi il montante di una rendita annuaunitariaposticipataimmediatadiduratananni sara dato da:sn|i = (1 +i)n1+. . . + (1 +i) + 1 =1 (1 +i)n1 (1 +i)=(1 +i)n1i.Da questa formula segue la facile relazione:sn|i = (1 +i)nan|i.Invece, il valore attuale di una rendita annua unitaria anticipataimmediatadiduratananniedieritaditanni ha la forma:t| an|i = vt+vt+1+. . . +vt+n1= vt1n

j=1vj= vt1 vn1 v= vt an|i.Lultimaformulacheesponiamoequelladel montante di una renditaannuaunitariaimmediataanticipatadiduratananni: sn|i = (1 +i)n+ (1 +i)n1+. . . + (1 +i) == (1 +i)nn1

j=0((1 +i)1)j= (1 +i)n1 (1 +i)n1 (1 +i)1= (1 +i)n an|i.Consideriamo ora alcuni esercizi svolti in cui utilizziamo le formule enunciate.Esercizio 51.Calcolare il valore attuale ed il montante di una renditaimmediataposticipataannuadi rata1.200euroedurata15anni,nel regimedellinteressecompostoesecondoil tassodi valutazionedel 12%annuo.3.2. GENERALITASULLERENDITE 37Applicando la formula del valore attuale, conn = 15, trasformando il 12%nel tasso annuo di interessei = 0, 12, e successivamente moltiplicando per larataR = 1.200, otteniamo:Ran|i =Ri (1 (1 +i)n) =1.2000, 12 (1 (1, 12)15) = 8173, 037387 euro.Per il calcolo del montante, ci basta capitalizzare a 15 anni il valore attualetrovato, ossia:sn|i = (1 +i)nan|i = (1, 12)15 8.173, 037387 = 44.735, 657592 euro.Esercizio52. Dataunarendita di 4rate, rispettivamentedi im-porti 1.000euro, 1.500euro, 1.600euro, 2.400euroedi scadenze1anno, 1annoe 4mesi, 1annoe 6mesi, 3anni apartiredalmomentoattuale,calcolarneil valoreattualeeil montanteal tassodi interessedel 9,5%annuo.In questo caso, la rendita non e costante, quindi dovremo applicare la for-mula del valore attuale pesata con i singoli capitali Ci, i = 1, . . . , 4 con i rispet-tivi tempi di scadenza, espressi in dodicesimi. Usiamo la scrittura A(0, ), peril valore attuale, indicando con 0 listante di valutazione:A(0, ) = 1.000(1 + 0, 095)1+ 1.500(1 + 0, 095)1612++1.600(1 + 0, 095)1812 + 2.400(1 + 0, 095)3= 913, 242009++1.329, 043207 + 1.396, 364515 + 1.827, 969243 = 5.466, 618974 euro.Il montante della rendita, che indichiamo con A(3, ), si calcola capitalizzandoa 3 anni il valore attuale ottenuto:A(3, ) = (1 + 0, 095)3 V (, 0) = 7.177, 301032 euro.3.2.3 CasodellerenditefrazionateConsideriamoleventualitaincuilenannualitadellarenditavenganotuttefrazionate in m periodi, ad ognuno dei quali corrisponda il pagamento di 1/mdi rata: di fatto ora i periodi sono nm. Il valore attuale relativo a questo casosiindicaa(m)n|i,eglialtrisimbolicorrispondentiaquestocasohannotuttilostesso esponente: a(m)n|i, s(m)n|i. Bisognera considerare il tasso dinteresse i1/m edil relativo fattore di sconto v1/m, ed otterremo lespressione del valore attualedi una rendita annua unitaria immediata posticipata di durata n anniefrazionatainmrateugualiposticipate:a(m)n|i=1m1 (1 +i1/m)nmi1/m.38 CAPITOLO3. RENDITEO anche, ricordando le relazioni:j(m) = mi1/m, i =_1 +j(m)m_m1,a(m)n|i=1 (1 +i)nj(m)=ij(m)an|i.Le formule riguardanti il montante ed il valore attuale nei casi posticipatoed anticipato sono del tutto analoghe a quelle gia viste nel caso non frazionato:s(m)n|i= (1 +i)na(m)n|i, a(m)n|i= (1 +i)1/ma(m)n|i, s(m)n|i= (1 +i)1/ms(m)n|i.Per denizione, una rendita continua e una rendita frazionata in m periodidi durata innitesima, quindi il caso limite per m tendente allinnito. Si puoimmaginare che il pagamento avvenga tramite un usso continuo ed uniforme.Usiamo in questo caso la seguente notazione per il valore attuale:an|i = limma(m)n|i= limm_ij(m)an|i_=ian|i,laddove = ln(1+i) e lintensita istantanea dinteresse denita in precedenza.3.2.4 CasodellerenditeperpetueNel caso in cui il numero delle rate di una rendita sia innito,la renditadatemporaneadiventaperpetua, edi conseguenzapossiamopensarlacomeil casolimiteperntendenteallinnito. Ovviamente, inquestocasononepossibile considerare il montante, non esistendo un istante nale a cui riferirsiper la capitalizzazione, quindi ci si limitera ad analizzare il valore attuale. Perdenizione,a|i = limnan|i = limn1 (1 +i)ni=1i.Tendendon allinnito, si ottengono le seguenti semplici relazioni: a|i = (1 +i)a|i = 1 + 1i,t|a|i = vta|i =vti,3.3. PROBLEMICONNESSIALLERENDITE 39a(m)|i = limna(m)n|i= limn_ij(m)an|i_=1j(m).Inuncertosenso, lacquistodi unbeneincontanti eunoperazione-nanziariasemplicechesipuoconsiderareequivalenteallastipuladiuncon-tratto di atto di durata perpetua. Per cui il prezzo dacquisto dovrebbe rap-presentare il valore attuale della rendita perpetua costituita dalle rate pagateper latto.3.3 Problemiconnessiallerendite3.3.1 DeterminazionedelladurataLegrandezzefondamentali di unarendita(consideriamooralapi uclassica:annuaunitariaimmediataposticipataetemporanea), comevistoinprece-denza,sono dunque lammontare della rata annuaR,il numero di anni n,iltassodi valutazionei, eil valoreattualedellarendita, A. Conoscendotredi queste quattro grandezze, dalla formula fondamentale possiamo ricavare, avolte facilmente a volte con maggiore dicolta, quella ignota. PoicheA = R1 (1 +i)ni= Ran|i,ladeterminazionedi Aoppuredi Rnonpresentacomplicazioni. Vediamoinvece a quali problematiche si puo andare incontro se il nostro obiettivo e ladeterminazione della duratan. Evidentemente,iAR= 1 (1 +i)n=(1 +i)n= 1 iAR=n = ln_1 iAR_ln(1 +i).Questespressionehasensosoloper R>iA, valeadiresoloselaratahaimportomaggioredellinteresseprodotto. Incasocontrario, ilcapitaleafruttonondiminuirebbemai elarenditacontinuerebbeallinnito. Peroingenerale il valore di n non e un numero intero; se consideriamo n = m+f, conm Z+ef (0, 1), si puo dedurre che linvestimento e suciente a pagaremrate,manonm + 1,cioeilresiduodopoilpagamentodellm-esimarata,capitalizzato per un anno al tassoi,produce un montante minore della rataR. Per lesattezza, il capitale che residua ammontera a:A(1 +i)mRsm|i = R1 (1 +i)(m+f)i(1 +i)mR(1 +i)m1i== R1 (1 +i)fi;essendof< 1, questa quantita risulta minore diR.40 CAPITOLO3. RENDITEEsercizio 53. Uncapitaledi8.500euroedepositatoinunfondocherendeinragionedel10,5%annuo,nelregimedellinteressecompos-to. Daquestofondosiprelevano2.000euroallanediognianno.Dopoquantotemposi esaurisceil capitaledi partenza?Il casoinquestioneequellodiunarenditaannuaimmediataposticipatadellaqualesononoti larataR=2.000euroedil valoreattualeA=8.500euro al tasso i = 0, 105. Di conguenza, possiamo scrivere la seguente equazionenellincognitan:8.500 = 2.000an|0,105=17 = 4 1 (1, 105)n0, 105==0, 55375 = (1, 105)n=n = ln(0, 55375)ln(1, 105),quindi n = 5, 919 anni.Conidatiassegnati,allora,epossibileprelevaredalfondorateannualidi2.000europercinqueanniconsecutivi, manonperilsesto.3.3.2 DeterminazionedeltassoUn problema dierente, e di soluzione leggermente pi u elaborata, connesso allostudio delle rendite, e la determinazione del tasso dinteresse in base al qualeuna rendita avrebbe un certo valore attuale, o montante, assegnato. Vediamoun primo esempio elementare per cui abbiamo bisogno soltanto della formularisolutiva delle equazioni di secondo grado.Esercizio54. Unarenditaperiodicaannuale hasolo3rate, dirispettiveentita:1 = 1.200euro, 2 = 1.600euro, 3 = 2.800euro,eil suomontanteeugualea6.400euro. Calcolareil tassoannuodi interessedellarendita.Usandolavariabilechenormalmenteindicail fattoredi capitalizzazione(r = 1 +i), scriviamo la formula del montante:V (, 3) = 1.200r2+ 1.600r + 2.800 = 6.400 =3r2+ 4r 9 = 0,una semplice equazione le cui radici sono (con la formula ridotta):r1,2 = 2 313,3.3. PROBLEMICONNESSIALLERENDITE 41di cui prendiamo soltanto la soluzione positiva, perche laltra, essendo negati-va, non rispetta lassiomatizzazione della capitalizzazione, e quindi e priva dialcun signicato economico. Inne, ricaviamo il tasso annuo di interesse:r = 2 +313=i = r 1 = 5 313 0, 189254,quindi il tasso dinteresse della rendita e circa il 18, 92%.In generale, quindi, il problema della determinazione del tasso di una ren-dita si congura come un altro dei possibili problemi inversi rispetto a quellodiretto del calcolo del suo valore.Ad esempio, puo avere senso chiedersi se sia pi u conveniente lacquisto di unbene mediante pagamento in contanti oppure a rate. Se chiamiamo Pil prezzoin contanti da pagare edR la rata costante di uneventuale rendita, converrapagareanticipatamenteseil costodelloggettosaraminoredel valoredellarendita, cioe seP< Ran|i. Di conseguenza, ricordando che la decrescenza delvalore attuale nellargomento del tasso dinteresse, ossiaan|ij,il tassodinteressejtalecheP=Ran|jsaraquellopercui il pagamentoarate e quello in contanti saranno uguali. Una rendita con tasso dinteresse pi ualto dijavra valore attuale minore, e di conseguenza in quel caso converra ilpagamento a rate. In pratica, j e il massimo tasso dinteresse per cui convieneil pagamento in ununica soluzione piuttosto che quello a rate.Consideriamoadesempiolasituazioneincui, essendonotelequantitaA, R edn, la nostra incognita ei, o anche, equivalentemente,v = (1 + i)1;la formula fondamentale di una rendita annua costante posticipata immediatadiventa dunque unequazione nellincognitav:A = R(v +v2+. . . +vn) =n

j=1vj=AR,che per la ben nota teoria delle radici dei polinomi, essendo v> 0, possiede unaedunasolasoluzionerealepositiva. Leeventuali soluzioni negativeoppurecomplessenonhannosignicatoeconomicoequindi possonoesseretrascu-rate. Il problemadelladeterminazione, oquantomenodellapprossimazionedi questaradice, si puoarontareinvari modi, comeil metododelletan-genti di Newtonoppurequellodellecosiddetteapprossimazioni successive.Analizziamo brevemente il secondo, pi u facile ed intuitivo: dettaF(v) = v +v2+. . . +vnAR,il primo passo consiste nel trovare due valoria eb, entrambi positivi, tali cheF(a) < 0 eF(b) > 0; per la continuita diF(v), in questo modo individuiamo42 CAPITOLO3. RENDITEun intervallo della semiretta positiva reale che contiene lo zero della funzione,ossia c (a, b) conF(c) = 0.Successivamente, prendiamo il punto medio dellintervallo, vale a direa +b2,evalutiamoF_a +b2_. Se F_a +b2_ 0,allora Opossiede TIR positivo.Esercizio80. Unoperazione nanziaria 1Rconsiste inunesborsoiniziale di 150 euro, e di 3 rimborsi successivi annuali di entitarispettiveR, 2R, 7R50euro. QuantodevevalerealmenoRanchequestoinvestimentoabbiaTIRpositivo?Successivamente,calcolareil TIRdelloperazionenel casoincui R = 50approssimandoloallasecondacifradecimale.Per applicare il teorema di Norstrm, che ci assicura lesistenza del TIR,prima dobbiamo eettivamente vericare che O sia un investimento, e quindi,oltreallacondizioneovviaR> 0,dobbiamoimporrecheanchelultimaratadi rimborso risulti positiva, quindi7R 50 > 0R >507.Inoltre, dobbiamo vericare lipotesi di positivita della somma di tutti i terminidelloperazione:150 +R + 2R + (7R 50) > 010R > 200R > 20 euro.Fissiamo oraR = 50 e a questo punto linvestimento assume la forma:150 = x/t = 150, 50, 100, 300/0, 1, 2, 3.68 CAPITOLO5. CRITERIDISCELTAINCONDIZIONIDICERTEZZAQuindiperil calcolodel TIRdovremorisolverelequazionediterzogradoinv:150 + 50v + 100v2+ 300v3= 0F(v) = 6v3+ 2v2+v 3 = 0.Prima di tutto, notiamo cheF_12_= 1, 25, F_34_= 1, 40625),di conseguenza possiamo applicare il metodo delle approssimazioni successiveallintervallo_12, 34_. Usando i numeri decimali, avremo:F(0, 625) = 0, 12890625, F(0, 6875) = 0, 58251953;F(0, 65625) = 0, 21331787, F(0, 640625) = 0, 03890228;F(0, 6328125) = 0, 04581928, F(0, 63671875) = 0, 00366389;poiche la soluzione e quindi compresa tra 0,63671875 e 0,640625, dimezziamoquestintervallo e troveremo:F(0, 638671875) = 0, 0175677,eallora, approssimatoa2cifre, v=0, 63, quindi il TIRdelloperazionerisultai =10, 63 1 0, 58.5.2.2 IlcriteriodelTIRGeneralmenteconsideratopi uadeguatodel criteriodel REA, il criteriodelTIR puo essere riassunto come segue:Dati 2 progetti di investimento 11 e 12, rispettivamente dotati di TIR i1ei2, 11 e preferibile a 12 sei1 e maggiore dii2;Dati 2 progetti di nanziamento T1 e T2, rispettivamente dotati di TIRi1 ei2, T1 e preferibile a T2 sei1 e minore dii2.Del criterio del TIR esiste inoltre anche una variante che potremmo denireassoluta, nel senso che invece di confrontare 2 distinte operazioni, si puo ssareun tasso benchmark (una sorta di pietra di paragone) rispetto a cui confrontarelapropriaoperazione: uninvestimentoeconvenienteseil TIResoprailbenchmark, un nanziamento lo e se il TIR e sotto.5.2. ILTIR 69Esercizio81. Consideriamoledueseguenti operazioni di nanzia-mento: T1: si riceveunprestitodi 800euroal tempoinizialeelosirimborsain2ratedistinte,laprimacheammontaa600eurodopounanno, elasecondadi 500eurodopo2anni. T2: siricevonoinprestitoinizialmente700euro,chevengonorimborsatiin3rate,unadi300euroallanedelprimoanno,unadi 300euroallanedel secondoeunadi 1.000euroallanedel terzo.Stabilire col criterio del TIRquale dei due nanziamenti e pi uconveniente.Scriviamo le due operazioni in forma estesa:T1 = 800,600,500/0, 1, 2,T2 = 700,300,300,1.000/0, 1, 2, 3.Calcoliamo ora separatamente i due TIR, se esistono e sono unici.Nel primo caso, avremo:800 600v 500v2= 05v2+ 6v 8 = 0v1,2 = 3 9 + 405=45,avendo scartato la soluzione negativa. Il TIR di T1 e dunque:i1 =10, 8 1 = 0, 25 = 25%.Per quanto riguarda T2, avremo invece:700 300v 300v21.000v3= 010v3+ 3v2+ 3v 7 = 0,da cui, decomponendo:7v3+3v3+3v2+3v 7 = 7(v31) +3v(v2+v +1) = 7(v 1)(v2+v +1)++3v(v2+v+1) = (v2+v+1)[7(v1)+3v] = (v2+v+1)(10v7) = 0 per v =710,che implica il TIRi2 = 3/7 = 42, 85%.Per il criterio del TIR applicato ai nanziamenti, T1 e preferibile a T2inquantoi1< i2.70 CAPITOLO5. CRITERIDISCELTAINCONDIZIONIDICERTEZZAIl criterio del TIR e esattamente quello che inconsciamente applichiamo almomento di contrarre un mutuo per lacquisto di una casa oppure un prestitoper comprare un oggetto a rate.Nonostantelasuaimportanzapratica, anchequestocriteriohaqualcheaspetto discutibile: sotto laspetto tecnico-matematico, esso potrebbe non es-istereononessereunico, mentresottolaspettoapplicativo, possiamofarequestariessione. Il TIRequel tassopercui i valori attuali delleentrateedelleuscitedi unoperazionesi equivalgono, quindi lasuaesistenzarendeessenzialmente uguali loperazione nanziaria e un investimento degli importiaquel tassoal di fuori delloperazione. Maquestopuoesserefattosoloas-sumendo che per un certo periodo di tempo (anche per pi u anni) i capitali sipossano investire sul mercato a quel tasso, e che quel tasso rimanga costanteper tutto quel tempo. Oggettivamente, e una condizione poco realistica.5.2.3 IlTANeilTAEGDue acronimi che abbiamo un po tutti e tutte sentito nominare, e che istinti-vamente associamo allidea di tassi dinteresse senza pero spesso saperne for-malmente il signicato sono il TAN (Tasso Annuo Nominale) e il TAEG(Tasso Annuo Eettivo Globale), che compaiono, per obbligo di legge, inriferimento a qualsiasi acquisto a rate. In particolare, il TAEG e addiritturadenito in una legge (D.M. 8/7/1991), ed e uno dei rarissimi casi in cui unaformula matematica entra in campo giuridico, nel modo seguente: il tasso cherende uguale, su base annua, la somma del valore attuale di tutti gli importiche compongono il nanziamento erogato dal creditore alla somma del valoreattuale di tutte le rate di rimborso. Il fatto importante che distingue i 2 tassie che mentre nelle rate su cui e calcolato il TAEG sono eettivamente inclusetutte le spese aggiuntive del nanziamento (spese assicurative, notarili, costiattuativi egestionali, eviadicendo), il TANvacalcolatoal nettodi tuttiquesti altri oneri.Per questo motivo, la funzione valore attuale relativa al TAEG prende val-ori sempre maggiori di quella relativa al TAN, percio vale sempre la relazione:TAEG TAN. Avolte,addirittura,quandosiparla dinanziamenti cosid-detti a tasso 0, si intende che il TAN sia appunto 0, ma non il TAEG, a partealcuni casi di oerte stracciate, comunque molto rare.Esercizio82. LasignoraAlessandraacquistaunnuovocomputera2.000euro, darimborsarecon2rateannuali da1.200euroluna.La prima rata sara pero gravata da ulteriori 50 euro per laccensionedelnanziamentoeda1,50eurodibollettinopostale,mentreperlasecondaratadovrapagaresoltantoil bollettinopostale. CalcolareilTANeil TAEGdi questonanziamento.5.2. ILTIR 71Primadi tutto, calcoliamoil TAN, valeadireil tassorelativoalloper-azionesenzaconsiderareicostiaggiuntivi. Conlasolitavariabileaccessoriav = (1 +i)1, avremo:2.000 1.200v 1.200v2= 03v2+ 3v 5 = 0,v1 =69 36TAN=9 6969 3 0, 13066238 = 13, 06%.Successivamente, passiamo al calcolo del TAEG. Considerando pure gli oneriaggiuntivi, lequazione da risolvere questa volta e:2.000 (1.251, 5v) (1.201, 5v2) = 0v2 = 1.251, 5 +_(1.251, 5)241.201, 5(2000)2.403 0, 87053239,da cui otterremo:TAEG =10, 87053239 1 = 14, 87%.72 CAPITOLO5. CRITERIDISCELTAINCONDIZIONIDICERTEZZACapitolo6StrutturaperscadenzadeitassidinteresseTorniamo a parlare di titoli obbligazionari,ma questa volta dal punto divistadellalorocollocazioneallinternodi unalogicaeconomicadi mercato.Nelleconomiananziariaassumeunagrandeimportanza, alivellodi valu-tazione dei titoli, la struttura temporale considerata, e la dinamica dei prezziche si evolve su di essa. Come spesso accade nelle formalizzazioni scientiche,limiteremolanostraanalisi adunmercatosemplicato, ideale, incui sonovericate in ogni istante delle ipotesi standard. Allinterno di questo mercato,considereremoportafogli di zerocouponbond(ZCB, daorainpoi), quindipotremo pensarli come BoT o CTz, al ne di ricavarne una valutazione, basa-tasullastrutturadinamicadei tassi dinteresse, chetengacontodellevariescadenze e delle varie quantita di titoli. Quello a cui ci riferiamo e il cosiddet-tomercatosecondario, mentreil mercatoprimarioeproprioquellodelleaste dei titoli.6.1 IpotesifondamentalidelmercatonanziarioLeassunzioni caratteristichesul mercatoinesamepossonoessereriassuntein questa lista (per una trattazione pi u completa, anche degli altri argomenticontenuti in questo Capitolo, vedi [M], capitoli 6, 7, 9):Nonfrizionalitadei titoli: questaipotesiracchiudeinselassenzadi costi edi gravami scali sulletransazioni, lamancanzadilimitazionisullequantitaminimeemassimedititolivendibili,lassenzadi rischi di insolvenza(odefault), elapossibilitaperogni agentedi assumeresempreunaposizionedebitoria(short), ossia7374CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSEsono consentite le short sales (o vendite allo scoperto); per venditaallo scoperto si intende vendita di un titolo che, al momento dellaccordo,non e ancora in possesso del debitore.Competitivitadegli agenti: gli agenti sul mercatosonorazionali equindi tendono a massimizzare il proprio protto, in altri termini la lorofunzione di utilita e crescente, e al tempo stesso sono pricetaker, cioenon possono inuenzare il prezzo dei titoli con la loro attivita.Assenzadi arbitraggi: Gli agenti nonpossonoeettuaremanovredi arbitraggio, valeadire, inquestocontesto(il concettoepi uarti-colatonellananzapi uavanzata), nonpossonoeettuareoperazioninanziarie nelle quali ci siano tutti importi positivi, o tutti nonnegativiconalmenounodi essi strettamentepositivo. Gli anglosassoni, conilconsueto pragmatismo, chiamano questo principio nofreelunch: unqualsiasi agente non puo soltanto arricchirsi e non pagare mai.Nota83. Comesappiamodallattualita, i mercati reali sonoestremamentepi ucomplessi. Lapossibilitadegliagentidigiocaresupi umercatinanziari(materieprime, oro, valutediverse, debitopubblicosovranodivaristatidelmondo)edi dierenziarei propri investimenti rendelassenzadi arbitraggiunipotesi improbabile. Inoltre, le vendite allo scoperto sono state negli ultimitempi oggetto di discussione ed anche di regolamentazione: nel maggio 2010,nel pieno della crisi greca, la cancelliera tedesca Angela Merkel ha proibito leshort sales come misura anti-speculativa (vedi [LS]).Possiamo anche dare dellarbitraggio una denizione formale:Denizione84. Dato il usso di cassax/t = x1, . . . , xm/t1, . . . , tm,diremocheeunarbitraggiose i 1, . . . , m, oxi=0, oxi>0, eseesiste almeno unj 1, . . . , m tale chexj> 0.Quindi,gli importi devono essere tutti nonnegativi,e almeno uno di essipositivo. La proprieta di consistenza che lassenza di arbitraggi impone com-porta limpossibilita di realizzare protti senza lassunzione di alcun rischio.6.2 ProprietadeiZCBChiamiamotlistantecorrente,es tunqualunqueistantesuccessivo. Seper sintendiamoladata,omeglioancoralistantedi scadenzadi unZCB,chiamiamov(t, s)il prezzointdel ZCBunitariochescadeins, ossiache6.2. PROPRIETADEIZCB 75garantisce al tempo s il rimborso di 1 (unita di capitale). Come da denizionedelle obbligazioni di questo tipo, non ci sono cedole intermedie. Ovviamentequesta espressione del prezzo, in termini di fattore di attualizzazione in regimecomposto, e legata ad un tasso di interesse periodale i: v(t, s) = (1 +i)ts, dacui alcune proprieta immediate: v(s, s) = 1;0 < v(t, s) < 1, per 0 t < s.La struttura esponenziale dei prezzi, detto i il tasso di interesse, implica inoltrela proprieta di decrescenza rispetto alla scadenza; sinteticamente, datoun ZCB con scadenza s ma la cui compravendita sia permessa anche al tempo s < s, si ha:v(t, s) = (1 +i)ts< (1 +i)t s= v(t, s).Quindi il prezzo dello ZCB decresce allallontanarsi della scadenza dallistanteiniziale. Oanche, dati dueZCBcondiversescadenze, valutati allostessoistante, precedenteadentrambelescadenze, il prezzodi quellochescadeprima e maggiore dellaltro.Consideriamo ora unestensione rilevante dei ZCB unitari, ossia quelli cheallascadenzasgarantiscanoil rimborsodellammontarexs, nonnecessaria-mente uguale a 1,e indichiamone il prezzo int,istante non successivo ads,con il simboloA(t, xs).Essendo i titoli innitamente divisibili, in un mercato in cui possono esseretrattatisiaiZCBunitarichequellinonunitari, ilpossessodiunaquantitaxsdi ZCB con scadenza ins e prezzov(t, s) equivale al possesso di un unicoZCB il cui valore di rimborso alla scadenza e xs, dunque vale la proprieta diindipendenzadallimporto:A(t, xs) = xsv(t, s), t s.Queste proprieta sono strettamente legate allassenza di arbitraggi nel merca-to, come vediamo nel seguente esempio.Esempio 85.Consideriamo uno scadenzario 0, 1 e un mercato in cui ven-gono comprati e venduti sia ZCB unitari (di cui intendiamo il valore unitario,1, come 1.000 euro) che non unitari.Supponiamo al tempo 0 di compiere 2 diverse azioni:1. acquistare un titolo che scade allanno 1 il cui valore di rimborso ex1 =3.000 euro;76CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSE2. vendere allo scoperto 3 ZCB unitari che scadranno allanno 1, e quindiandranno consegnati in quella data.Per la prima azione, il prezzo da pagare eA(0, 3.000), mentre per la secondaazione la vendita allo scoperto frutta il guadagno 3v(0, 1).Allasecondadata, cioeint=1, si incasserail rimborsodel titolononunitario,quindida3.000euro,masidovrannocontemporaneamenteconseg-narei3ZCB,ognunodeiqualida 1.000euro. Quindi,ilbilanciodellinteraoperazione risultera:A(0, 3.000) + 3v(0, 1) + 3.000 31.000 = 3v(0, 1) A(0, 3.000).Ora, sequestaquantitafossepositiva, avremmocompiutounamanovradiarbitraggio, cioe avremmo ottenuto un guadagno positivo in una situazione ditotale copertura. Quindi la proprieta di indipendenza dallimporto, che implicaA(0, 3.000) = 3v(0, 1) corrisponde allimpossibilita di compiere arbitraggi.Da notare, inne, che se lammontare ottenuto fosse negativo, anche questopotrebbe provocare un arbitraggio, semplicemente scambiando tutti i segni, valea dire comprare anziche vendere e viceversa.Estendendo lidea di ZCB non unitari ad un insieme di pi u titoli con dif-ferenti scadenze, possiamo comporre un portafoglio di titoli obbligazionari, edenotarli esattamentecomeleoperazioni nanziarie, ossiaunasequenzadiimporti, i valori di rimborso dei titoli,e uno scadenzario, con le date di sca-denza di ciascuno di essi. Un portafoglio composto in questo modo puo ancheessere visto come un unico titolo obbligazionario che paghi limportoxkallak-esimadatadi scadenza, einquestocasoil prezzodi untitolodel genereint corrispondera alla sommatoria, o combinazione lineare, dei prezzi dei sin-goli titoli, calcolati alla rispettiva data di scadenza e pesati con i loro rispettiviimporti. In sintesi, il titolo x/t = x1, . . . , xm/t1, . . . , tm avra in t il prezzo:A(t, x) =m

k=1xkv(t, tk).Anche la proprieta di linearita alla base di questa formula e una conseguenzadellassenzadi arbitraggi, eunatipicaspiegazionedi questaformulaeche,sotto le ipotesi di questo mercato, un titolo complesso e replicabile mediantelacomposizionedi opportuni ZCBunitari. Poichequestotitolocomplessoderiva da pi u titoli elementari, qui nasce la ben nota denominazione di titoloderivato.6.3 PrezziaprontieprezziatermineI contratti a cui ci siamo riferiti nora sono contratti strutturati su due soledate, quella di accordo tra le parti per lacquisto di unobbligazione, e quindi6.3. PREZZIAPRONTIEPREZZIATERMINE 77dellacquisto stesso, e quella di scadenza, in cui avviene materiamlente il rim-borso di essa. Passiamo adesso a considerare contratti strutturati su tre date,cosiddetti contrattiatermine(ocontrattiforward), in cui le due partisi accordano alla data iniziale di scambiarsi un titolo che sara consegnato inuna data successiva, e la cui scadenza avverra ad una data ancora successiva.Quindilacquisto, eilpagamentodelprezzodeltitolo, avvienealladatain-termedia. Chiamiamo ancora t la prima data,t la data intermedia e s quelladi scadenza.Denizione86. DatounZCBdi scadenzaslacui venditaedenitaintper consegna int, il suo prezzo sara indicato conv(t, t, s), pert t s, edettoprezzoatermineint perconsegnaint.Per marcare in modo pi u chiaro la dierenza con il prezzo denito prece-dentemente, quandoil contrattoe strutturatosolosulle due date t eds,chiameremov(t, s) prezzoapronti(ospot).Intuitivamente, possiamoconsiderareil contrattoapronti comeuncasoparticolaredel contrattoatermine, quandoleprimeduedatesullequali estrutturato vanno a coincidere, cioe quando la data di stipula e anche quelladi consegna (t = t):v(t, t, s) = v(t, s), t s.In caso contrario, sempre intuitivamente, si puo dedurre che il tempo di attesatra la stipula e la consegna dello ZCB abbia un eetto sul prezzo dello ZCBstesso,inparticolarechequestoprezzorisultimaggiore,comeinunserviziodiprenotazioneapagamento, checomportauncostoaggiuntivoperilbeneacquistato. Tra laltro, questo fatto e coerente con il concetto alla base dellaproprieta di decrescenza rispetto alla scadenza, anche se qui la scadenza e lastessa: lo ZCB per cui intercorre pi u tempo tra la consegna e la scadenza haun prezzo minore.Ilseguenterisultatocaratterizzacompletamentelarelazionetraprezziapronti e prezzi a termine, come sempre sotto lipotesi di assenza di arbitraggi,ed e detto Teoremadeiprezziimpliciti:Teorema 87.In un mercato privo di arbitraggio vale la seguente uguaglianza,ad ogni istantet t s:v(t, s) = v(t, t)v(t, t, s). (6.3.1)Dimostrazione. Supponiamoper assurdocheluguaglianza(6.3.1) nonval-ga, ponendoadesempiov(t, s) >v(t, t)v(t, t, s) (al solito, omettiamoladimostrazione quando la disuguaglianza ha il segno opposto, che e solo legger-mente dierente) e dimostriamo che sotto questa ipotesi si puo sviluppare unastrategia arbitraggista, che contraddirebbe lipotesi del teorema. Infatti, se:78CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSE1. al tempo iniziale, t, un investitore vende allo scoperto uno ZCB di valoreunitario di rimborso per scadenza ins, guadagnandone il costov(t, s);2. contemporaneamente, sempre in t, lo stesso investitore acquista a prontiuna quantita di ZCB unitari scadenti al tempo t, in numero di v(t, t, s),spendendo quindiv(t, t, s)v(t, t);3. inne, sempre int, stipula un contratto a termine per consegna int diuno ZCB unitario scadente al tempos.In conseguenza di questa strategia, alle due scadenze successive accadra quantosegue:1. al tempot, vieneincassatoil valoredi rimborsodei ZCBunitari inscadenza in questa data, cioev(t, t, s)1 = v(t, t, s). Sempre al tempot, allinvestitore viene consegnato lo ZCB il cui contratto a termine erastato stipulato int, e quindi linvestitore ne paga il prezzo: v(t, t, s);2. alla scadenzas, ci sono 2 posizioni da chiudere: la prima e il rimborsodel primissimo ZCB venduto allo scoperto, con cui linvestitore paga 1,mentre la seconda e lincasso del valore di rimborso dello ZCB compratoa termine e consegnato int, con cui linvestitore incassa 1.In denitiva, il bilancio dellintera strategia e:v(t, s) v(t, t, s)v(t, t) +v(t, t, s) v(t, t, s) 1 + 1 == v(t, s) v(t, t, s)v(t, t) > 0,per lipotesi iniziale, quindi il mercato ammette una strategia di arbitraggio,e lipotesi del teorema e contraddetta.Esercizio88. DatounBoTil cui prezzoallistantet = 0e950euroechegaratisceunvaloredi rimborsodi 1.000eurodopo6mesi,eunaltroBoTil cui prezzoin0e980eurochegarantisce1.000eurodopo3mesi, calcolareil prezzoaterminedellostessotitoloperconsegnaa3mesiescadenzaa6mesisottolipotesidiassenzadi arbitraggi.Dalle ipotesi descritte, si hanno i prezzi a pronti seguenti:v(0, 1/2) =9501.000= 0, 95, v(0, 1/4) =9801.000= 0, 98,quindi dal teorema dei prezzi impliciti dovra risultare:v(0, 1/4, 1/2) =v(0, 1/2)v(0, 1/4)=0, 950, 98= 0, 969387.6.3. PREZZIAPRONTIEPREZZIATERMINE 79Ossia, lettointermini di assenzadi arbitraggi, laquantitaesattadi titoliunitari a3mesi daacquistarepercoprirsi dallavenditaalloscopertodi untitolo a 6 mesi in questo mercato e 0,969387.Dallesercizioprecedente, si notapiuttostochiaramentecheseconsideri-amo i prezzi come fattori di sconto esponenziale in regime composto, avremodiversi tassi dinteresse. Usando la stessa terminologia dei prezzi, deniremotassi a pronti (o spot) quelli legati ai contratti a pronti e tassi a termine(oforward) quelli deniti nei contratti a termine.In particolare, in regime esponenziale la relazione tra tassi sara data da:v(t, s) = (1 +i(t, s))ts, v(t, t) = (1 +i(t, t))ttv(t, t, s) =(1 +i(t, s))ts(1 +i(t, t))tt,e questo denira il tassoimplicitodelcontrattoaterminei(t, t, s):i(t, t, s) =_1v(t, t, s)_ 1st1 =_(1 +i(t, t))tt(1 +i(t, s))ts_1st1. (6.3.2)Applicando la formula (6.3.2) allesercizio 88, calcoliamo il relativo tasso im-plicito:i(0, 1/4, 1/2) =_10, 969387_ 11/21/41 = 0, 132429 = 13, 2429%.Leproprietadei prezzi apronti sonoabbastanzafacilmentededucibili dallarelazione (6.3.1): positivita, decrescenza rispetto alla scadenza, eccetera.Avoltesi utilizzaanchelacosiddettastrutturadelle intensitadeirendimentiascadenza, passando ai logaritmi:h(t, t, s) = log[1 +i(t, t, s)], t t s.Il seguente esercizio esemplica il calcolo di una struttura dei prezzi e dei tassiapronti inunmercatoincui sonoosservati i prezzi di diversequantitadiZCB.Esercizio 89. Determinarelestrutturedeiprezziedeitassiaprontiinunmercatostrutturatosu4anni, i cui prezzi osservati int = 0annoperannorisultano(ineuro):A(0, x1) = 80, A(0, x2) = 75, A(0, x3) = 100, A(0, x4) = 90,conleseguenti quantitadi ZCB:x1 = 85, x2 = 90, x3 = 110, x4 = 95.80CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSELa struttura dei prezzi a pronti e facilmente ottenuta dallapplicazione dellaproprieta dellindipendenza dallimporto, ossia:v(0, k) =A(0, xk)xk,perk = 1, 2, 3, 4, quindi:v(0, 1) =8085= 0, 941176, v(0, 2) =7590= 0, 833333,v(0, 3) =100110= 0, 909090, v(0, 4) =9095= 0, 947368,e di conseguenza la struttura dei tassi spot e data da:i(0, 1) =10, 941176 1 = 0, 0625 6, 25%,i(0, 2) =_10, 833333_121 = 0, 095445 9, 54%,i(0, 3) =_10, 909090_131 = 0, 032280 3, 22%,i(0, 4) =_10, 947368_141 = 0, 013608 1, 36%.Esempio 90. Nel linguaggio corrente, anche senza molte competenze nanziarie,siparlaspessodispeculazione. Vediamocomepotrebbecongurarsiunsem-plicecasodispeculazionetramitelusodicontrattispoteforward. Supponi-amocheci siano2traders, GiulioeMario; GiuliovendeaMariounBoTconconsegna6mesidopoescadenzaadunannoaunprezzopressatoA1,concordando con la controparte di ricomprarlo a pronti immediatamente dopo6mesi. Nel frattempo, itassidimercatosimuovonoedopo6mesi, Giulioriacquisterail titolovenduto. Senel frattempoil prezzodi mercatoA2saramaggioredi A1,cioeitassisisarannoabbassati,GiuliopagheraaMarioladierenza A2A1, altrimenti viceversa. Ma se nel periodo successivo i tassi siabbasseranno ulteriormente, Giulio potra di nuovo vendere il titolo, il cui prez-zo sara ulteriormente cresciuto. Unondata di speculazione si verica quandoun grande massa di investitori realizza contemporaneamente delle compraven-dite di questo tipo, o anche ben pi u complesse. Naturalmente, landamento deitassi non puo essere determinato con assoluta certezza, ma soltanto previsto.Quellocheaccadepraticamentesempreintutti i mercati nanziari echeitassi,equindiivalorideititoli,cambianocontinuamente,equestorendelemanovre di arbitraggio possibili nella realt a.6.3. PREZZIAPRONTIEPREZZIATERMINE 816.3.1 StrutturadeitassiequotazionediuntitoloCome possiamo legare la quotazione di un titolo alla sua struttura dei prezzio dei tassi?Nellesempio-guida seguente considereremo un generico titolo concedole costanti (ad esempio un BTp) e ne confronteremo il prezzo dato dallastruttura di mercato in vigore con quello di emissione, ricordando il concettodi quotazione sopra e sotto la pari.Esempio 91.Al tempo t = 0, consideriamo un BTp che garantisce il seguenteusso di pagamenti annuali:x/t = 5, 5, 5, 5, 105/1, 2, 3, 4, 5.Supponiamo che nel mercato sia in vigore una struttura istantanea dei rendi-menti della formah(0, k) =k10,equindi lestrutturedei tassi edei prezzi adessaassociatesonorispettiva-mente:i(0, k) = ek10 1, v(0, k) = ek210.Il prezzo del BTp, calcolato in base a questa struttura, risulta:T = 5_e110 +e410 +e910 +e1610_+ 105e2510= 19, 53693euro, e dunque e quotato sotto la pari, in quanto19, 53693 = T< C = 100.Analizzandolecaratteristichedel titolo, si notafacilmentecheil suotassocedolareedel 5%, mentreil TIR(lacuiesistenzaeassicuratadal Teorema77)isipuocalcolareapplicandoil metododelleapprossimazionisuccessiveper determinare una radice dellequazione:5v+5v2+5v3+5v4+105v5= 19, 53693 21v5+v4+v3+v2+v3, 907386 = 0,da cui si ricava che v 0, 65, e quindi i 53, 84% (spropositatamente alto).Dallultimo esempio, possiamo notare un interessante eetto:quando un titolo con cedole e quotato sotto la pari, il suo TIR e maggioredel suo tasso cedolare;quando invece e quotato sopra la pari, il suo TIR e minore del suo tassocedolare.82CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSEDenizione 92.Si denisce tassodiparit a(oparyield) il tasso cedolareiPdi un titolo obbligazionario a cedola ssa che, valutato in base alla strutturaper scadenza in vigore al tempot, quota il titolo alla pari.Chiaramente, il tasso di parita e uguale al TIR del usso relativo, quindi percalcolarlo possiamo usare la stessa tecnica.Esercizio93. Datoil BTpa3anni di valoredi rimborso100euro,determinarelacedolasemestraleeil tassodi parit aselastrutturadi rendimentoascadenzainvigoresul mercatoedatadai(0, k) = ek100 1.ChiamiamoIla cedola semestrale da calcolare, e Til prezzo di emissionedel titolo; considerando anche listante t = 0, loperazione nanziaria associatapuo essere espressa come segue:x/t = T, I, I, I, I, I, 100 +I/0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3.Se calcoliamo il valore attuale delle poste in entrata del usso usando la strut-tura data, corrispondente ai prezziv(0, k) = ek2100, lasiando indicata la cedolaI, avremo:I_e1400 +e1100 +e9400 +e125 +e25400_++(100 +I)e9100= 100I = 1, 489228euro. QuindiIe la cedola semestrale richiesta e inoltre contemporaneamenteabbiamo anche determinato il tasso di parita, appuntoiP= 1, 489228%.Insintesi,abbiamocostruitountitoloquotatoallapari,ossiaconprezzodi emissionepariaprezzo dirimborso,secondo unastruttura deirendimentidatadal mercato. Il bondottenutohaprezzodi emissione100euro, paga5cedole semestrali di 1,489228 e allo scadere dei 3 anni ha un valore di rimborsodi 101,489228 euro.Leinformazionisuitassidinteressedelmercato, oalmenodiunmerca-tosottoleipotesi cheabbiamodescritto, sonocontenuteallinternodi unacosiddetta struttura dei tassi, che aronteremo nel prossimo paragrafo.6.4 LadeterminazionedellastrutturaperscadenzaConsideriamo il problema della misurazione della struttura per scadenza deitassi di interesse come problema di algebra lineare standard.6.4. LADETERMINAZIONEDELLASTRUTTURAPERSCADENZA 83Supponiamocheal tempotsianotrattati (e, comunque, osservabili)sulmercaton titoli obbligazionari,non necessariamente a cedola nulla. Indichi-amo con t = t1, . . . , tm lo scadenzario comune a tutti i titoli, ottenuto comeinsiemeunionedegli nscadenzaricaratteristicideisingolititoli. Indichiamoinoltre conxi = xi1, xi2, . . . , ximil usso di pagamenti generati dalli-esimo titolo. Nelle date dello scadenzariototaletincui il titolo i-esimononemettepagamenti, il valorechevieneimmessoe0. ChiamiamooraAi=A(t, xi), peri=1, . . . , n, il prezzodeltitoloi-esimo osservato sul mercato al tempot.Il problema che ci si pone e quello di determinare gli m prezzi (o fattori disconto):v(t, tk) := vktali che Ai =m

j=1xijvj, i = 1, 2, . . . , n.Detti rispettivamente A e v i vettori:A =t(A1, . . . , An), v =t(v1, . . . , vm),econXlamatricedeipagamenti, di nrighe, corrispondentiaititoli, edmcolonne, corrispondenti alle scadenze:X = (xij), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m,abbiamo unsistema lineare di nequazioni in mincognite, che informamatriciale e della forma:Xv = A.Ilrangodellamatrice, rank(X)individuailmassimonumerodiussidipagamenti linearmente indipendenti tra loro. Invece, la dierenza nrank(X)indica il numero di titoli che possono essere considerati ridondanti, ossia il cuiusso si puo ottenere tramite una combinazione lineare di ussi di altri titoli.Possono vericarsi diverse situazioni, in base al tipo di sistema che abbiamoed in base al numero delle sue soluzioni, ben noto grazie al Teorema di Rouche-Capelli.La presenza di titoli ridondanti, quindi ottenibili come portafogli costruiticonglialtrititoli, puodareluogoadunasituazioneincui, seunodeititoliemalprezzato,ossiaselasuaquotazionenoncoincideconlacombinazionelineare delle quotazioni dei titoli che ne costituiscono il portafoglio, il sistemadi equazioni risultaincompatibile. Ciosignicachenonesisteunsistemadiprezzidititoliacedolanullaunitarichepossasoddisfaretutteleipotesi84CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSEdel mercato, equestopotrebbeportareadunaviolazionedel principiodiarbitraggio.Invece, nel casoincui untitoloridondantesiabenprezzato, allorale-quazioneassociatanonproducealcunaviolazionedelleproprietadelmerca-to, manonaggiungealcunacondizionenelladeterminazionedellastrutturadi prezzi, ossianoncontribuisceinalcunmodoal sistema, comenei casi disistemi indeterminati, cioe con innite soluzioni.Assumiamocheinognicason m, percheincasocontrariocisarebbela certezza di averen m titoli ridondanti. Pero anche in questo caso,spe-cialmente sem > n, il sistema e indeterminato, ed e percio possibile sceglierearbitrariamente mndiverse strutture per scadenza che non violano il prin-cipio di arbitraggio. Invece, lipotesi che la soluzione del sistema coincide conquelladi completezzadel mercato, cherichiedecheil numerodei titoli nonridondanti sia uguale al numero di date sullo scadenzario t.Esempio94. Calcoliamolastrutturaperscadenzadei tassi dinteresse, apronti e a termine, in un mercato in cui al tempot = 0 siano trattati quattrotitoli obbligazionari, caratterizzati dai ussi seguenti:titolo 1: 8, 8, 8, 108/1, 2, 3, 4,titolo 2: 5, 5, 105/1, 2, 3,titolo 3: 5, 105/1, 2,titolo 4: 100/1,ai prezzi:A1 = 98 euro, A2 = 97 euro, A3 = 95 euro, A4 = 93 euro.Lo scadenzario comune et = 1, 2, 3, 4,contempi espressi inanni, ei ussi dei titoli, rideniti sulloscadenzariocomune, sono i seguenti:x1 = 8, 8, 8, 108, x2 = 5, 5, 105, 0,x3 = 5, 105, 0, 0, x4 = 100, 0, 0, 0,da cui, la matrice 4 4 assume la forma:X =____8 8 8 1085 5 105 05 105 0 0100 0 0 0____,di conseguenza il sistema lineare associato diventa:6.4. LADETERMINAZIONEDELLASTRUTTURAPERSCADENZA 85X____v1v2v3v4____=____98979593____=___8v1 + 8v2 + 8v3 + 108v4 = 985v1 + 5v2 + 105v3 = 975v1 + 105v2 = 95100v1 = 93.Questo sistema ammette ununica soluzione in quantodet(X) = (108)105(105)100 ,= 0rank(X) = 4.Le soluzioni sono facilmente calcolabili:v1 = 0, 93, v2 = 0, 860476, v3 = 0, 838548, v4 = 0, 712664.La struttura dei tassi a pronti si ricava dalle relazioni:ij =_1vj_ij1, j = 1, 2, 3, 4,quindii1 =10, 93 1 = 0, 075268 7, 52%,i2 =_10, 860476_121 = 0, 078029 7, 8%,i3 =_10, 838548_131 = 0, 060451 6, 04%,i4 =_10, 712664_141 = 0, 088375 8, 83%.Perquantoriguardainvecelastrutturadei prezzi atermine, laformuladautilizzare per i prezzi e data ancora dalla (6.3.1):v(0, k, k + 1) =v(0, k + 1)v(0, k)=vk+1vk, k = 1, 2, 3. (6.4.1)Applicando (6.4.1), avremo i seguenti:v(0, 1, 2) =v(0, 2)v(0, 1)=0, 8604760, 93= 0, 925243;v(0, 2, 3) =v(0, 3)v(0, 2)=0, 8385480, 860476= 0, 974516;v(0, 3, 4) =v(0, 4)v(0, 3)=0, 7126640, 838548= 0, 849878.86CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSEInne, la struttura dei tassi impliciti risulta dallapplicazione di (6.3.2):i(0, 1, 2) =10, 925243 1 = 0, 080797 8, 07%;i(0, 2, 3) =10, 974516 1 = 0, 02615 2, 61%;i(0, 3, 4) =10, 849878 1 = 0, 176639 17, 66%.Capitolo7PrincipidiimmunizzazionenanziariaLideaallabasedellimmunizzazionenanziaria, oanchedellacosid-detta copertura, nasce dallesigenza di possedere, in qualsiasi istante duranteunoperazionenanziaria, unaquantitadi capitalesucienteafarfronteaeventuali necessita. In ambito nanziario, immunizzarsi nei confronti di varirischi (di tasso, ecc.) signica ad esempio costruire dei portafogli di copertu-ra, che siano possibilmente privi di rischio. In ambito attuariale le compagnieassicurative che stipulino dei contratti di assicurazione devono accantonare lacosiddetta riserva matematica, ossia un ammontare che copra tutte le possibilispese aleatorie e che sia disponibile in ogni istante di tempo.Qui ci occuperemo soltanto dellimmunizzazione delle operazioni nanziariegiatrattateinprecedenza, edenunceremoqualcherisultatostandarddellateoria dellimmunizzazione, nei casi ad una o pi u uscite.7.1 IndicitemporalidiunussodipagamentiConsideriamo nuovamente una generica operazione nanziariax/t = x1, . . . , xm/t1, . . . , tm.A volte risulta utile usare degli indici sintetici che riassumano certe caratter-istiche speciche del usso nanziario.Denizione95. Si deniscescadenza (omaturity) il tempotm, evitaascadenza (otimetomaturity) al tempot la vita residua, cioe la dierenzatmt.8788 CAPITOLO7. PRINCIPIDIIMMUNIZZAZIONEFINANZIARIADenizione96. Si deniscescadenzamediaaritmeticat la media dellescadenze pesate con le poste del usso, assumendo che siano tutte non negative,cioe:t :=

mk=1xk(t tk)

mk=1xk;t rappresenta, sicamente parlando, la distanza dallistante t del baricentrodella distribuzione delle massemk := xk/

mj=1xjsullasse dei tempi.7.2 LaduratamediananziariaSe ssiamo un tasso di valutazione j e quindi un regime a interessi composti confattore di attualizzazione v(t, tk) = (1+j)ttk, possiamo denire un importanteindice sintetico che tiene conto della struttura dei prezzi a pronti in vigore sulmercato:Denizione97. Si denisceduratamediananziaria(oduration)altempot la seguente quantita:D(t, x) =

mk=1(t tk)xkv(t, tk)

mk=1xkv(t, tk). (7.2.1)Ricordando la proprieta di linearita dei prezzi e la relazioni tra prezzi deititoli a cedola nulla unitari e non unitari:A(t, xs) = xs v(t, s), A(t, x) =m

k=1xkv(t, tk),possiamo esprimere la durata media nanziaria come segue:D(t, x) =

mk=1(t tk)V (t, xk)V (t, x).D(t, x) rappresenta la media aritmetica delle vite a scadenza, questa volta peropesata con i valori attuali delle poste del usso calcolati secondo la strutturaa scadenza in vigore il mercato al tempot.Ovviamente, vale la catena di disuguaglianze:t1t D(t, x) tmt,con le uguaglianze che valgono soltanto se lunica posta non nulla del usso ex1 al tempot1 oppurexm al tempotm.Ladurationetalvoltaanchedettatempoottimodi smobilizzo, inriferimentoal fatto, peril Teoremadi Fisher-Weil chesuccessivamenteve-dremo, che indica listante in cui il proprio portafoglio e immunizzato e quindi7.2. LADURATAMEDIAFINANZIARIA 89conviene smobilizzare il proprio investimento. Il concetto di smobilizzo e vari-amente usato in Economia e in Finanza per denotare le operazioni di cessionecrediti per ottenere liquidita immediata.Esempio98. Ricordando la relazione data dalla struttura dei tassi a pronti:i(t, s) =_1v(t, s)_ 1st1,consideriamo int = 0 una struttura delle intensita di rendimento a scadenzadel tipo:h(t, t +) =1log(v(t, t +)) = 0.05;dato il ussox/t = 10, 20, 30/1, 2, 5, 3, 3,la scadenza media aritmetica e data da:t =101 + 202, 5 + 303, 310 + 20 + 30= 2, 65 anni,valeadire2anni, 7mesie24giorni, interminidiannocommerciale. Laduratamediananziariavalutataallistanteinizialevainvececalcolatadopoaver ricavato preliminarmente la struttura dei prezzi a pronti:v(t, s) = eh(t,s)(st)=v(t, t +) = eh(t,t+)= e0,052;allora possiamo facilmente calcolare:v(0, 1) = e0,05= 0, 9512;v(0, 2, 5) = e0,05(2,5)2= 0, 7316;v(0, 3, 3) = e0,05(3,3)2= 0, 581.AlloraA(0, x) = x1v(0, 1) +x2v(0, 2, 5) +x3v(0, 3, 3) = 41, 547 euro,e allora la durata media nanziaria al tempo 0 risulta:D(0, x) =110v(0, 1) + 2, 520v(0, 2, 5) + 3, 330v(0, 3, 3)41, 547== 2, 492 anni, 5 mesi, 27 giorni.Risulta ancora pi u semplice il calcolo della durata media nanziaria quan-do abbiamo un tasso di valutazione ssato e non abbiamo quindi bisogno dicalcolare la struttura dei prezzi a pronti, come nel seguente caso.90 CAPITOLO7. PRINCIPIDIIMMUNIZZAZIONEFINANZIARIAEsercizio99. Calcolare la scadenza media aritmetica e la duratamediananziariadel ussox/t = 1.000, 2.000, 3.500, 5.000/3, 6, 9, 12,laddovelepostesonoespresseineuroei tempi inmesi, al tempoinizialet = 0eal tassodi valutazionedel4%.Essendolescadenzeespresseinmesi, saraespressainmesipurelasca-denza media nanziaria:t =1.0003 + 2.0006 + 3.5009 + 5.000121.000 + 2.000 + 3.500 + 5.000= 9, 26 mesi = 9 mesi e 7 giorni.Nelladuratamediananziaria, al denominatore ce il valore attuale delleposte, dunque:A(0, x) = 1.000(1, 04)312 +2.000(1, 04)612 +3.500(1, 04)912 +5.000(1, 04)1== 11.157, 641513 euro. Il numeratore e invece dato dalla quantita:31.000(1, 04)312 +62.000(1, 04)612 +93.500(1, 04)912 +125.000(1, 04)1= 103.016, 91007155 mesieuro, e di conseguenza la durata media nanziariaammonta a:D(0, x) =103.016, 9100715511.157, 641513= 9, 23 mesi = 9 mesi e 6 giorni.7.2.1 DuratamediananziariaconstrutturapiattaSi possono vericare diversi casi di ussi nanziari, ad esempio in condizionidi struttura dei tassi dinteresse costante ad un livelloi, ossia:i(t, s) = i =costante, t s.Questo e il caso di duration a struttura piatta (o at yield curve dura-tion):D(t, x) =

mk=1(tk t)xk(1 +i)(tkt)

mk=1xk(1 +i)(tkt).Esempio 100. Consideriamo ora il caso di una rendita posticipata imme-diatadi mrateannuecostantiugualiadR. Ponendot = 0, inquestocasolespressionedelladuratamediananziariadellarenditasipuoscrivereconxk = R,tk = k,k = 1, 2, . . . , m:D(0, ) =

mk=1Rk(1 +i)k

mk=1R(1 +i)k,7.2. LADURATAMEDIAFINANZIARIA 91erisultaevidentementeindipendentedallentitadellarataR. Calcoliamoneesplicitamente la formula risolutiva.Il denominatore di questa formula e il valore attuale am|i = v(1vm)/1vdi una rendita posticipata immediata annua unitaria dim rate.Perquantoriguardainveceil numeratore, possiamocalcolarelarelativaserie nel modo seguente, riordinandone i termini:m

k=1kvk=m

k=1vk+_m

k=1vkv_+_m

k=1vkv v2_+. . . ==m

k=1kvk+m1

j=1_m

k=1vkj

i=1vi_= mv1 vm1 vm1

j=1_j

i=1vi_== mv1 vm1 vm1

j=1v1 vj1 v=v1 v__m(1 vm) m1

j=1(1 vj)__==v1 v_mvm+ 1 +mvm+1vm1 v_=v1 v_1 vmmvm(1 v)1 v_,e di consegenza la duration diventa:D(0, ) =v1 v_1 vmmvm(1 v)1 v_v1 vm1 v=11 v mvm1 vm,ed espressa in termini di tasso annuo di interesse:D(0, ) =1 +iim(1 +i)m1. (7.2.2)Dalla formula (7.2.2) si possono dedurre esplicitamente alcune caratteris-tichedelladuratamediananziaria: anzitutto, eunafunzionecrescentenelnumerodi rate, cioenellascadenzadel usso . Comespessoaccadenellateoriaeconomica, si puovalutareil comportamento, olasensibilita, di unaquantita rispetto ad una qualsiasi variabile (o parametro) che essa contiene cal-colandone le derivate parziali. In questo caso, la positivita di questa derivatae semplice da valutare:D(0, )m= (1 +i)m+ 1 +m2(1 +i)m1((1 +i)m1)2,che e sempre positiva in quanto al numeratorem2(1 +i)m1 +i> (1 +i)mm 2.92 CAPITOLO7. PRINCIPI