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Matematica Finanziaria

Andrea Consiglio

Palermo 2003

c©Andrea Consiglio — Tutti i diritti sono riservati. Questo testo e distribuito

gratuitamente. Nessun uso commerciale e permesso.

Spiegamelo e lo dimentichero.Mostramelo e lo ricordero.Coinvolgimi e lo imparero.

(Proverbio cinese)

i

Indice

1 Misure del Rendimento 11.1 Operazioni finanziarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Operazioni finanziarie a pronti . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Operazioni finanziarie a termine . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Interesse Semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Basi finanziarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Sconto Semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Valore Attuale e Futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Il modello lineare d’interesse . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Il modello lineare di sconto . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.3 Il modello esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.4 Tassi equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.5 Intensita istantanea d’interesse . . . . . . . . . . . . . 36

1.5 Flussi e portafogli finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.5.1 Valore di un flusso finanziario . . . . . . . . . . . . . . 391.5.2 Valore di un portafoglio finanziario . . . . . . . . . . . 40

1.6 Rendite ed Ammortamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.6.1 Piani d’ammortamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.7 Criteri di scelta finanziaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.7.1 Il valore attuale netto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.7.2 Il tasso interno di rendimento . . . . . . . . . . . . . . 55

1.8 Titoli a cedola fissa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.8.1 Il rendimento a scadenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.9 Titoli indicizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.9.1 Titoli a cedola nulla indicizzati . . . . . . . . . . . . . 631.9.2 Titoli a tasso variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.9.3 Mutui indicizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2 Prezzi e struttura dei tassi 732.1 Ipotesi caratteristiche del mercato . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2 Teoremi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

ii

2.3 Grandezze caratteristiche del mercato . . . . . . . . . . . . . . 812.4 La struttura per scadenza dei tassi di interesse . . . . . . . . . 84

3 Misure della dispersione 873.1 La Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2 Semielasticita e Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4 Metodi per la misurazione della struttura dei tassi 994.1 Metodi grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2 Metodo bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3 Strategie di speculazione sulla struttura a termine . . . . . . . 103

5 Strategie di hedging 1095.1 Definizione di hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 Long e short position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.3 Dedication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.4 Hedging utilizzando la duration . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.5 Immunizzazione Finanziaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6 Futures 1296.1 Definizione di future . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2 Caratteristiche di un future . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.3 Il meccanismo del mark–to–market . . . . . . . . . . . . . . . 1386.4 Prezzi future e forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.5 Hedging con future sui tassi a breve . . . . . . . . . . . . . . . 1456.6 Hedging con future sui tassi a lungo . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.6.1 Fattore di conversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.6.2 Cheapest–to–delivery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7 Swaps 1577.1 Definizione di Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.2 Gli swap per la gestione del rischio di tasso . . . . . . . . . . . 1587.3 Swaps e credit arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.4 Valutazione degli swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.5 Il bootstrap della curva dei tassi swap . . . . . . . . . . . . . . 165

Formulario 167

Glossario 174

iii

Elenco delle figure

1.1 Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria spot. . . 11.2 Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria forward. 31.3 MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BTP del 31/07 (Fonte: Il

Sole 24 ORE del 01/08/2001 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Evoluzione del rateo di un BTP in funzione del periodo di

godimento della la cedola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Tassi LIBOR ed EURIBOR (Fonte: Il Sole 24 ORE del 01/08/2001

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BOT del 31/07 (Fonte: Il

Sole 24 ORE del 01/08/2001 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BOT del 24/09 (Fonte: Il

Sole 24 ORE del 27/09/2001 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8 Flusso di cassa, per un euro di valore facciale, di un investitore

che acquista il BOT ISIN IT0003145742. . . . . . . . . . . . 201.9 FRA e tassi a breve. (Fonte: Il Sole 24 ORE del 27/09/2001 ) 241.10 Condizioni contrattuali conto corrente . . . . . . . . . . . . . . 351.11 Rappresentazione grafica di flusso finanziario. . . . . . . . . . 391.12 Valore temporale di un f.f. in tk. . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.13 Valore attuale netto di un f.f. in funzione del tasso i. . . . . . 551.14 Ratings del debito di alcuni paesi (fonte: Moody’s – 9 agosto

2002). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.15 Rappresentazione grafica del flusso finanziario che caratterizza

un BTP ed, in generale, un titolo a reddito fisso. In questocaso c e la cedola espressa in unita di valore facciale; V e ilvalore facciale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.16 Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria spot perun titolo a cedola nulla indicizzato. . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.17 Flusso di cassa equivalente al flusso di cassa di un FZCB. . . . 641.18 Flusso di cassa di una cedola unitaria indicizzata. . . . . . . . 641.19 Flusso di cassa equivalente ad una cedola unitaria indicizzata. 651.20 Rappresentazione grafica dello schema di pagamento di un CCT. 67

iv

1.21 Flusso di cassa equivalente ad una CCT. Gli importi oppostisi cancellano e rimane soltanto l’importo in t0. . . . . . . . . . 67

1.22 Rappresentazione grafica dello schema di ammortamento diun mutuo a tasso variabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1 Variazioni del prezzo in funzione dello YTM. . . . . . . . . . . 883.2 La duration rappresenta il baricentro dei valori attuali dei pa-

gamenti futuri. Uno ZCB concentra tutta la sua massa allascadenza (alto). All’aumentare della cedola (medio e basso) laduration si riduce in quanto il baricentro si sposta verso sinistra. 91

3.3 Prezzo di un CBB in funzione del tasso. Il quadrato indica iltasso che prezza il CBB alla pari. . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.4 Prezzo di uno ZCB in funzione della variazione del tasso edapprossimazione tramite modified duration. . . . . . . . . . . 95

4.1 La struttura degli YTM in funzione delle maturity e delleduration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2 La struttura degli YTM in funzione delle duration e curvainterpolante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3 Confronto fra le strutture ottenute con gli YTM e tramite ilmetodo bootstrap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4 Struttura dei tassi a pronti il 26/11/2001 e la sua evoluzionedeterministica in t + τ = 0.5 anni. . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.1 Payoff in T di una posizione lunga (sopra) e di una posizionecorta (sotto). Il prezzo iniziale, V (t), e pari a 100; il payoff edato dalla differenza V (T ) − V (t). . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2 Variazioni assolute del valore delle posizioni in V1, V2 e V3 . . . 121

6.1 Specifiche di un contratto future sull’EURIBOR a tre mesi. . . 1316.2 Specifiche di un contratto future sul BTP a 10 anni denomi-

nato in euro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.3 Specifiche di un contratto future sul Bund a 10 anni denomi-

nato in euro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.4 Quotazioni di future sui tassi a breve e sui tassi a lungo in data

25/09/2001 (sinistra) ed in data 05/10/2001 (destra). (Fonte:Il Sole24ORE.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.5 Profitti/perdite di una posizione lunga in un future sull’EU-RIBOR a tre mesi alla data di consegna. Con L(T, T + τ) si eindicato il prezzo spot in T di un deposito al tasso EURIBORcon scadenza τ = 3 mesi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

v

6.6 Profitti/perdite di una posizione corta in un future sull’EU-RIBOR a tre mesi alla data di consegna. Con L(T, T + τ) si eindicato il prezzo spot in T di un deposito al tasso EURIBORcon scadenza τ = 3 mesi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.7 Flusso di cassa dell’operazione di investimento nel depositoEURIBOR + 40 bp. Al montante finale deve essere aggiuntoil guadagno ottenuto dalla compravendita di future. . . . . . . 149

6.8 Flusso cedolare per il calcolo del fattore di conversione. . . . . 1516.9 Titoli candidati per consegna Settembre 2002 del future sul

Bund con cedola al 6%. (Fonte: LIFFE 22/08/02). . . . . . . 152

7.1 Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS. . . . 1577.2 Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS con

un intermediario finanziario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.3 Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS fra

due istituzioni con diverso rating creditizio. . . . . . . . . . . . 1627.4 Rappresentazione grafica di uno swap scomposto in una posi-

zione long in un CBB ed in una posizione corta in un FRN. . . 1627.5 Le strutture dei tassi swap e spot osservate il 05/10/2001. . . 166

vi

Elenco delle tabelle

1.1 Tasso equivalente all’aumentare della frequenza di capitalizza-zione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.2 Generico piano d’ammortamento. . . . . . . . . . . . . . . . . 501.3 Piano d’ammortamento con rata semestrale costante. . . . . . 521.4 Piano d’ammortamento con preammortamento a pagamenti

zero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.5 Piano d’ammortamento con preammortamento in cui sono ver-

sate le quote interessi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1 Prezzi e scadenze BOT del 04/10/2001. . . . . . . . . . . . . . 82

4.1 Prezzi osservati il 26/11/2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.2 Prezzi, tassi spot e forward in data 26/11/2001. . . . . . . . . 107

6.1 Prezzi future sull’EURIBOR a tre mesi. Quotazioni LIFFEdel 01/06/01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.2 Prezzi future sull’EURIBOR a tre mesi. Quotazioni LIFFEdel 03/07/01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.3 Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori di merca-to e volatilita sono riferite al 08/01/2002. (Fonte: Il Sole24Ore).155

6.4 Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori di merca-to e volatilita sono riferite al 08/05/2002. (Fonte: Il Sole24Ore).156

7.1 Flussi originati da un contratto swap plain vanilla fixed/float. 1607.2 Tassi fissi e variabili per due istituzioni con rischio di credito

differenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.3 Tassi di parita swap per diverse scadenze. Il tasso Mid e

la media del tasso denaro e lettera. (Fonte: Il Sole24Ore05/10/2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.4 Struttura dei prezzi spot osservata il 05/10/2001. . . . . . . . 165

vii

Informazioni sul Corso

Il corso di di Matematica Finanziaria permettera agli studenti di acquisirele conoscenze basilari per operare nel mercato monetario, finanziario e deiderivati sui titoli a reddito fisso.

• Lezioni: Lunedı, Martedı e Mercoledı, 15.00–17.00, Aula 4.

• Ricevimento Mercoledı, 11.00–13.00, Ex–Istituto di Matematica.

Non e richiesto alcun libro di testo. Si consiglia comunque di approfondiregli argomenti trattati con i seguenti testi:

• M. Caliri. Matematica Finanziaria – Nuova edizione. GiappichelliEditore, Torino, 2002.

• P.C. Cartledge. Financial Arithmetic. Euromoney Publication, Lon-don, 1993.

• E. Castagnoli e L. Peccati. La Matematica in Azienda: Strumentie Modelli, volume I – Calcolo finanziario con applicazioni. EGEA,Milano, 1995.

• F. Moriconi. Matematica Finanziaria. Il Mulino, Bologna, 1994.

• Il Sole 24 ORE, editor. Come si Legge il Sole 24 ORE per Capirel’Economia del 2000. Il Sole 24 ORE S.p.A., Milano, Quinta edition,2000.

• M. De Felice e F. Moriconi. La Teoria dell’Immunizzazione FinanziariaIl Mulino, Bologna, 1991.

• J.C. Hull. Futures and Options Markets. Prentice–Hall International,London, 1998.

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Capitolo 1

Misure del Rendimento

1.1 Operazioni finanziarie

Si definisce operazione finanziaria (o.f.) lo scambio di importi monetariin istanti differenti di tempo. Tale scambio si effettua a fronte del pagamentodi un interesse.In ambito finanziario si distinguono o.f. a pronti o spot ed o.f. a termineo forward.

1.1.1 Operazioni finanziarie a pronti

Una o.f. e detta a pronti o spot se la stipula del contratto coincide conl’istante in cui avviene la transazione. Se si indica con t l’istante di stipuladel contratto e con s la scadenza dello stesso (t < s), in t uno dei contraentiricevera V (t) unita di capitale e restituira V (s) unita di capitale alla scadenzas.Se si riportano gli istanti temporali sull’asse dei tempi, l’o.f. spot e rappre-sentata in Figura 1.1.

t

V (t)

s

−V (s)

Figura 1.1: Rappresentazione grafica di un’operazione finanziariaspot.

E evidente che la stessa operazione spot puo essere vista in maniera speculare

1.1 Operazioni finanziarie 2

da parte del contraente che ha versato V (t) unita di capitale in t e riceveraV (s) alla scadenza s del contratto.Nel primo caso, l’o.f. spot e un’operazione di finanziamento e gli interessipagati rappresentano un costo; nel secondo caso, l’o.f. e un’operazione diinvestimento e gli interessi incassati rappresentano la remunerazione delcapitale investito.Un esempio di o.f. spot e l’acquisto di un BOT. Alla stipula del contrat-to (l’acquisto del BOT), l’investitore versa un ammontare pari a V (t); allascadenza, l’investitore sara rimborsato di un ammontare pari a V (s) (p. es.:t = 0 ed s = 90 giorni). In questo caso lo Stato italiano e il contraente chericevera V (t) unita di capitale in t (finanziamento del debito pubblico) edavra un esborso pari a V (s) a scadenza.Se si indica con M(t, s) il valore in s di una unita di capitale disponibile in t,per ottenere V (s) unita di capitale alla scadenza del contratto, dovra essere:

V (s) = M(t, s) V (t) (1.1)

La (1.1) definisce l’equivalenza temporale che esiste fra capitali disponibili inistanti diversi di tempo.Tramite la (1.1) e anche possibile determinare il valore in t di una sommadi denaro disponibile in s. Infatti, con semplici passaggi algebrici si ottieneche,

V (t) =1

M(t, s)V (s) = B(t, s) V (s). (1.2)

Il fattore B(t, s) = 1/M(t, s) rappresenta il valore in t di una unita di capitaledisponibile in s.I fattori M(t, s) e B(t, s) hanno un significato strettamente economico. Ilfattore M(t, s) puo essere visto come il prezzo che un investitore e dispostoad accettare in s per rinunciare a consumare una unita di capitale in t. Inmaniera analoga, B(t, s) rappresenta il prezzo che un investitore e dispostoa pagare in t per entrare in possesso di una unita di capitale in s.Dato il prezzo M(t, s), la (1.1) determina il valore monetario in s, V (s),equivalente ad un quantita di capitale, V (t), disponibile in t. In manieraanaloga, dato il prezzo B(t, s), la (1.2) determina il valore monetario in t,V (t), equivalente ad una quantita di capitale, V (s), disponibile in s.I fattori M(t, s) e B(t, s), oltre ad assumere il significato di prezzo per unitadi capitale, rappresentano i fattori di scambio fra due capitali esigibili inistanti di tempo diversi. In altri termini, applicando il fattore M(t, s) adun capitale V (t), disponibile in t, e possibile determinarne il suo valore in s.Analogamente, applicando al capitale V (s), esigibile nell’istante futuro s, ilfattore B(t, s) e possibile determinarne il valore t.

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1.1 Operazioni finanziarie 3

In questi casi i termini M(t, s) e B(t, s) permettono, rispettivamente, di“spostare” in avanti (posticipare) capitali disponibili in t, o di “spostare”indietro (attualizzare) capitali disponibili in s. Nella letteratura finanziariaM(t, s) e anche noto come fattore montante per unita di capitale, mentreB(t, s) e noto come fattore di sconto per unita di capitale.Da un punto di vista matematico, M(t, s) e B(t, s) sono funzioni di duevariabili reali. Inoltre, B(t, s) e una funzione reciproca di M(t, s). Questaproprieta e importante in quanto permette di concentrare il nostro studiosulle caratteristiche di una delle due funzioni.Un soggetto razionale e disposto a rinunciare ad una somma di denaro oggise e solo se ricevera in cambio un ammontare maggiore nel futuro. Per questomotivo deve essere

V (s) > V (t).

Dalla relazione (1.1) discende che,

M(t, s) > 1 (1.3)

e di conseguenza,B(t, s) < 1. (1.4)

Come si vedra in seguito, nella pratica, le funzioni M(t, s) e B(t, s) dipendonosoltanto dalla differenza s − t, ossia, dall’intervallo di tempo che intercorrefra l’istante di stipula e la scadenza del contratto.

1.1.2 Operazioni finanziarie a termine

Una o.f. e detta a termine o forward se lo scambio di importi monetariavviene in un istante successivo a quello di stipula. Se si indica con t l’istantedi stipula del contratto, con s la scadenza dello stesso e con T l’istante in cuiavviene la transazione (t ≤ T < s), in T uno dei contraenti ricevera V (T )unita di capitale, ed in s restituira V (s) unita di capitale. Se si riportano gliistanti temporali sull’asse dei tempi, l’o.f. forward e rappresentata in Figura1.2.

t T

V (T )

s

−V (s)

Figura 1.2: Rappresentazione grafica di un’operazione finanziariaforward.


1.2 Interesse Semplice 4

Si osservi che in t non avviene alcun movimento di capitali. La transazionee effettuata in T e la restituzione del capitale in s. Una volta trascorso ilperiodo T − t l’o.f. a termine ha le stesse caratteristiche di una o.f. a pronti.Si possono estendere le considerazioni fatte per le o.f. spot alle o.f. forward.In particolare, se si indica con M(t, T, s) il valore in s, pattuito in t, di unaunita di capitale disponibile in T , per ottenere V (s) unita di capitale allascadenza del contratto, deve essere,

V (s) = M(t, T, s) V (T ). (1.5)

In maniera analoga, ponendo B(t, T, s) = 1/M(t, T, s), si ottiene che,

V (T ) = B(t, T, s) V (s). (1.6)

Essendo V (s) > V (T ), si deduce che

M(t, T, s) > 1 (1.7)

B(t, T, s) < 1. (1.8)

1.2 Interesse Semplice

In termini finanziari l’interesse o rendimento (yield) di una attivita(asset) e dato da un reddito periodico o dalla variazione del prezzo del titoloo entrambi. Per esempio, se si acquista oggi un BOT che e quotato a 96.170e lo si rivende fra una settimana a 97.22, il rendimento o interesse e datodalla variazione del prezzo. Nel caso dei BTP l’interesse e composto dallacedola pagata semestralmente e dalla variazione in conto capitale.L’interesse semplice rappresenta il reddito prodotto da un investimento (oil costo sopportato da un debitore nel caso di passivita o liability) per ogniperiodo dell’o.f. in essere. Il tasso a cui si effettuano tali o.f. e detto tassodi interesse.In una o.f. spot, il capitale finale, V (s), e costituito dal capitale iniziale, V (t),piu gli interessi maturati nell’intervallo di tempo s− t (si ricorda che affinchel’operazione di scambio abbia significato finanziario deve essere V (s) > V (t)).Se si indicano con I(t, s) gli interessi maturati nell’intervallo s − t, sara,

V (s) = V (t) + I(t, s) da cui,

I(t, s) = V (s) − V (t). (1.9)

Si definisce tasso d’interesse la remunerazione per ogni unita di capitale,in simboli,

i(t, s) =I(t, s)

V (t)=

V (s) − V (t)

V (t). (1.10)



Sostituendo nella (1.10) la (1.1), si ottiene che,

i(t, s) =V (t) [M(t, s) − 1]

V (t)= M(t, s) − 1. (1.11)

Si osservi che intervalli di tempo di ampiezza diversa possono contemplarediversi tassi d’interesse.Con semplici passaggi algebrici si ha che,

I(t, s) = V (t) i(t, s). (1.12)

Esempio 1.1: Un conto corrente paga l’1.37% annuale sulle giacenze. Il05/07/2001 sono stati versati 100,000e. A quanto ammonta l’interessematurato al 15/09/2001?Si osservi che il tasso d’interesse e espresso su base annuale, cioe per un’o.f.di durata pari ad un anno. Il quesito richiede l’interesse maturato nel pe-riodo 05/07/2001–15/09/2001, quindi t=05/07/2001 ed s=15/09/2001. Inquesto esempio si ipotizzera (potrebbe essere stabilito contrattualmente) che laremunerazione per unita di capitale sia una frazione del tasso annuale. In ge-nerale potrebbe essere necessario stabilire un tasso d’interesse per l’intervallo[t, s], che non dipende dal tasso annuale. Si osservi che l’interesse corrispostodipende soltanto dall’intervallo di tempo che intercorre fra gli istanti t ed s.Se si ipotizza una valuta a decorrere dal giorno successivo al deposito, uti-lizzando come calendario quello commerciale, composto da 360 giorni e mesidi 30 giorni, il numero di giorni su cui deve essere corrisposto l’interesse epari a τ = s − t = 69 (contro i 72 del calendario solare).Nel nostro esempio, V (t) = C =100,000e, il rendimento annuale (cioe ilrendimento per una giacenza di un anno) e pari a

I(0, 1) = C i(0, 1) = 100000 ·1.37

100= 1,370e. (1.13)

La frazione di anno e data da,

τ

n=

69

360= 0.192, (1.14)

e gli interessi maturati da,

I(0, 69) = C i(0, 1)τ

n= 100000 ·

1.37

100· 0.192 = 262.58e (1.15)



Figura 1.3: MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BTP del 31/07 (Fonte:Il Sole 24 ORE del 01/08/2001 )

La relazione che e stata utilizzata per determinare I(0, 69) non e diversa daquella per I(0, 1), o, in generale, dalla (1.12). Infatti, nell’ipotesi contrattualeche gli interessi per intervalli di tempo inferiori ad un anno siano una frazionedel tasso annuale, si e implicitamente posto,

i(t, s) = is − t

n. (1.16)

Esempio 1.2: Il BTP con codice ISIN IT0000366762 (si veda Fig. 1.3) pagauna cedola annua pari ad i = 8.50% del valore facciale. La cedola e pagata indue rate semestrali il 01/01 ed il 01/07, quindi l’interesse percepito in ognidata e i(0, 0.5) = 8.50/2 = 4.25%1. Se il titolo e acquistato il 01/08/2001,con valuta il 03/08/2001, il compratore dovra corrispondere al venditore laquota interesse maturata dal 01/07 (data godimento ultima cedola) al 03/08.Il titolo IT0000366762 e quotato al MOT ad un corso secco (clean price)pari a Pcs = 109.470, a quanto ammonta l’esborso totale del compratore?Si ipotizzi che la quantita di valore facciale acquistata sia C = 100,000e. Peri titoli di stato italiano ed, in generale, per tutti gli eurobond, i giorni sonocalcolati sulla base del calendario solare. Dal 01/07 al 03/08 intercorrono 33

1Anche in questo caso e stabilito contrattualmente che i(0, 0.5) = i(0, 1) · 1

2, ovvero che

il tasso semestrale sia la meta di quello annuale.



giorni. Il semestre in esame (01/07–01/01) e composto da 184 giorni. Gliinteressi maturati (anche detti, rateo o accrued) sono dati da,

I(0, 33) = C i(0, 0.5)τ

n= 100000 · 0.0425 · 0.179348 = 762.23e, (1.17)

dove τ/n = 33/184. Il rateo e riportato sui quotidiani finanziari o fornito daiprovider (Bloomberg, DataStream, etc.) in percentuale del valore facciale. Inquesto caso sarebbe,

R(f) = i(0, 0.5)τ

n= 0.0425 · 0.179348 = 0.762229%, (1.18)

dove f = τ/n e la frazione di temporale di effettivo godimento della cedola.Dalla (1.18) si evince che il rateo e funzione lineare della frazione temporalef = τ/n. Il valore del rateo raggiunge il suo valore massimo ogni sei mesi(stacco cedola). In ogni periodo intermedio il compenso ricevuto e dato dal-l’ordinata nell’istante di acquisto (o vendita) del BTP (si veda Figura 1.4).

0 1f

R(f)R

Figura 1.4: Evoluzione del rateo di un BTP in funzione del periododi godimento della la cedola.

Il prezzo del titolo comprensivo del rateo, o prezzo tel quel (dirty price), edato da,

Ptq = Pcs + R(f) = 109.47 + 0.7623 = 110.2323 (1.19)

Si osservi che il prezzo di un titolo e anch’esso espresso in percentuale delvalore facciale, quindi 110.2323, deve essere inteso come il 110.2323% di C.Il costo sostenuto dall’acquirente e pari a,

C Ptq = 100000 ·110.2323

100= 110,232.3e (1.20)



1.2.1 Basi finanziarie

Nei mercati finanziari le convenzioni temporali per il calcolo degli interessi,anche dette basis o basi, possono assumere diverse forme, e sono rappresen-tate sinteticamente da:

Act

Act;

E30

360;

30

360;

Act

360; etc.

Al numeratore e indicata la modalita di conteggio dei giorni fra i due eventifinanziari (Act sta per Actual, E30 sta per Europeo30), al denominatore lamodalita di conteggio dei giorni di un anno o dell’intervallo su cui insistel’operazione finanziaria. Per esempio, [E30/360] indica la base per i depositieuropei (si veda Esempio 1.1), mentre, [Act/Act] e la convenzione utilizzataper il calcolo degli interessi nei mercati obbligazionari (si veda Esempio 1.2).L’ammontare effettivo di interessi puo differire a secondo della base adot-tata. Di solito i tassi quotati sono tassi nominali. Cio implica che duetassi nominali identici possono produrre interessi effettivi diversi tali daneutralizzare il guadagno previsto, o addirittura causare perdite. Per questomotivo, prima di effettuare speculazioni finanziarie, e bene determinare iltasso effettivo dell’operazione pianificata.Il concetto di tassi equivalenti, nominali ed effettivi e molto importantee sara approfondito nei capitoli successivi.

Esempio 1.3: Sul mercato monetario americano sono offerte le seguentipossibilita di investimento a breve periodo:

• Un deposito che paga il 5% annuo [Act/365].

• Un T–Bond che paga il 5% annuo [Act/360].

Qual e l’investimento che offre un rendimento effettivo maggiore?Si noti che entrambe le o.f. hanno lo stesso numero di giorni in quantoil numeratore della base e identico. Si consideri un investimento pari a10,000,000 $ per due mesi (gennaio e febbraio). In entrambi i casi il numerodi giorni e pari a 59. I rendimenti effettivi sono dati da:

10000000 · 0.05 ·59

365= 80,821.92 $

10000000 · 0.05 ·59

360= 81,944.44 $

Sebbene i due tassi siano nominalmente identici, il T–Bond ha un rendimentoeffettivo maggiore.



Figura 1.5: Tassi LIBOR ed EURIBOR (Fonte: Il Sole 24 ORE del01/08/2001 )

Esempio 1.4: Il tasso LIBOR per o.f. in euro con scadenza una settimanae quotato a 4.54138%, base [Act/360]. Si ipotizzi che sul mercato sia possibilereperire denaro per scadenze non superiori ad una settimana ad un tasso parial 4.58%, base [Act/365]. Qual e il tasso piu conveniente?Per effettuare un confronto e necessario esprimere i tassi in esame nellastessa base. Si supponga di trasformare il tasso LIBOR nella base [Act/365].Il nostro obiettivo e determinare quel tasso con base [Act/365] che produce unammontare di interessi identico a quello che si otterrebbe con il tasso LIBORcon base [Act/360], ovvero,

iAct

365= 4.54138

Act

360

da cui si ricava,

i = 4.54138365

360= 4.60445.

Il tasso LIBOR al 4.54138% nella base [Act/360] e equivalente ad un tassodel 4.60445% nella base [Act/365]. L’operazione di finanziamento al 4.58% esicuramente piu conveniente (circa 2.5 basis point meno costosa) in quanto4.58% < 4.60445%. Utilizzando la stessa logica, per passare da un tasso


1.3 Sconto Semplice 10

con base [Act/365] ad uno con base [Act/360] basta moltiplicare per 360/365,quindi,

4.58360

365= 4.5172.

Di solito i giornali finanziari quotano i tassi nelle due basi piu comuni. Peresempio i tassi LIBOR ed EURIBOR (si veda Fig. 1.5) sono quotati conbase 360 e 365 (si assume Act).

1.3 Sconto Semplice

Un creditore puo richiedere che l’interesse pattuito sia corrisposto alla stipuladel contratto. In tal caso il creditore dedurra gli interessi dall’ammontare dicapitale stabilito nell’operazione di finanziamento. Un tipico esempio sono lecambiali commerciali che possono essere scontate ad un tasso prefissatopresso gli istituti bancari. I T–Bill (debito del Tesoro Americano) pagano inanticipo gli interessi. Le cambiali finanziarie (commercial papers) sonostrumenti che permettono alle imprese di finanziare il debito a breve periodopagando un interesse anticipato. Il tasso a cui si effettua un’operazione disconto e detto tasso di sconto.Come visto nel paragrafo 1.2, il pagamento degli interessi alla scadenza delcontratto implica che,

V (s) = V (t) + I(t, s) =

= V (t) + V (t) i(t, s), (1.21)

e, come si puo notare, l’interesse e calcolato sul capitale iniziale. Nel caso dio.f. di sconto (spot o forward), gli interessi sono calcolati sul capitale finaleed il valore iniziale, V (t), si ottiene detraendo dal capitale finale l’ammontaredi interessi ottenuto, quindi,

V (t) = V (s) − D(t, s) =

= V (s) − V (s) d(t, s). (1.22)

Con semplici passaggi algebrici si verifica facilmente che,

d(t, s) =V (s) − V (t)

V (s). (1.23)

Si osservi che, sia nelle operazioni di sconto che in quelle d’interesse semplice,la remunerazione del capitale, in termini assoluti, e identica. Infatti,

I(t, s) = V (s) − V (t) = D(t, s).



La differenza fondamentale e nelle remunerazioni per unita di capitale, ovve-ro nel tasso di sconto e nel tasso d’interesse. Come si vedra in seguito, tassidi sconto e d’interesse identici determinano interessi (in senso di remunera-zioni assolute) differenti, quindi per confrontare tassi di sconto e d’interessee necessario effettuare un’appropriata conversione.Come nelle o.f. di interesse semplice, nelle o.f. di sconto valgono le equi-valenze finanziarie (1.1) e (1.2). Sostituendo la (1.1) nella (1.23), si hache,

d(t, s) =V (s) − V (t)

V (s)=

=V (t) [M(t, s) − 1]

V (t) M(t, s)=

= 1 − B(t, s).

Si osservi che i fattori M(t, s) e B(t, s) svolgono la stessa funzione vista perl’interesse semplice: il primo e un fattore montante, mentre il secondo e unfattore di sconto. Purtroppo la terminologia puo creare confusione e si tendea confondere il tasso di sconto con il fattore di sconto. La distinzione chebisogna cogliere e che un fattore di sconto serve a “spostare” indietro uncapitale esigibile alla scadenza dell’o.f. e questo e possibile utilizzando sia untasso d’interesse che un tasso di sconto.

Esempio 1.5: Una cambiale di 5,000e con scadenza il 12/05/2001 epresentata all’incasso presso un istituto bancario il 22/02/2001. Il tasso disconto praticato e pari al 13.8%. A quanto ammonta l’introito del creditore?La base utilizzata e E30/360 che corrisponde all’anno commerciale. Con ri-ferimento alla base adottata, il numero di giorni che intercorre fra le due datee pari a 80, quindi la frazione di anno su cui vanno computati gli interessi eτ/n = 80/360 = 0.222. Gli interessi che saranno dedotti dal valore faccialesono pari a,

D(0, 80) = C dτ

n= 5000 · 0.138 · 0.222 = 153.18e,

quindi, il creditore incassera una somma pari a 5000− 153.18 = 4,846.82e.

Anche in questo caso si e ipotizzato che per frazioni di anno il tasso di scontoe dato da

d(t, s) = dτ

n. (1.24)

Come accennato in precedenza, le cambiali finanziarie (c.f.) sono strumentiche permettono alle imprese di reperire liquidita a breve periodo ricorrendodirettamente al mercato.



Esempio 1.6: Una societa di import–export deve procurarsi liquidita a breveperiodo per finanziare l’acquisto di merce. Fra tre settimane potra ripagareil debito contratto grazie ad un introito di 1,000,000e dovuto alla vendita dialcuni prodotti. Il prestito ha una durata di tre settimane a decorrere da oggi.Il tesoriere della ditta si rivolge ad una banca per emettere una c.f. Il tassodi riferimento su base annuale per tali prodotti e d = 4.5% annuo. L’ope-razione ha un nominale di 1,000,000e, quindi l’impresa paghera a scadenza1,000,000e al portatore del titolo. Il valore scontato e dato da:

D(0, 21) = 1000000 · 0.045 ·21

360= 2,625e

V (0) = V (s) − D(0, 21) = 1000000 − 2625 = 997,375e

La somma di 997,375e servira a finanziare la liquidita necessaria. Fra tresettimane l’impresa paghera il valore facciale della c.f. pari a 1,000,000e.Il costo per l’impresa e pari a D(0, 21) = 2,625e.

Il portatore della c.f. vorrebbe potersi disfare del titolo acquistato senzaaspettare la fine delle tre settimane. Il mercato secondario permette di sod-disfare tale necessita e se il mercato e liquido il portatore potra vendere iltitolo senza pagare costi aggiuntivi.

Esempio 1.7: Il portatore della c.f. decide di vendere il titolo al mercatosecondario dopo 10 giorni. Il costo per l’acquisto del titolo (la c.f.) e statodi 997,375e. Se si ipotizza che il tasso di sconto sia rimasto invariato, ilvalore del titolo puo essere calcolato come nell’Esempio 1.6 considerando peroi giorni che rimangono prima della scadenza,

D(0, 11) = 1000000 · 0.045 ·11

360= 1,375e

V (0) = 1000000 − 1375 = 998,625e.

Quindi, chiunque sia interessato ad acquistare la c.f. dovra pagare al vendi-tore 998,625e. La differenza 998,625e - 997,375e = 1,250e rappresentail reddito per colui che ha detenuto il titolo per 10 giorni. Questo reddito eanalogo al rateo calcolato per le cedole dei BTP. La differenza principale eche nei BTP il tasso e sicuramente costante (il tasso delle cedole e fissatoall’emissione), mentre in questo caso l’ipotesi che il tasso di sconto sia co-stante raramente corrisponde alla realta (anche per soli 10 giorni!!!). Se il



tasso di sconto si incrementa di 20 bp (0.2%), d = 4.7%, si ha che:

D(0, 11) = 1000000 · 0.047 ·11

360= 1,436.11e

V (0) = 1000000 − 1436.11 = 998,563.89e.

Il guadagno per il portatore si riduce a 998,563.89e - 997,375e = 1,188.89e,rispetto ai 1,250e se i tassi fossero rimasti invariati. Una riduzione del tas-so di sconto di 20 bp, d = 4.3%, determina un guadagno pari a 1,311.11e >1,250e. Questa semplice simulazione e un tipico esempio di rischio da

tasso d’interesse.Nel caso il tasso di sconto crescesse fino all’8.59% (un improbabile balzo di409 bp in 10 giorni!!) il guadagno dell’ o.f. si annullerebbe completamente.


1.4 Valore Attuale e Futuro 14

1.4 Valore Attuale e Futuro

Nell’Esempio 1.1, a fronte di un versamento iniziale di capitale, si ottienealla fine del periodo di vincolo il capitale iniziale piu gli interessi dovuti.Nell’Esempio 1.2 il possessore del BTP, che ha pagato per acquistare il titolo,e quindi ha immobilizzato il suo capitale per un certo intervallo di tempo,ha diritto alla quota di interessi che corrisponde al periodo di detenzione deltitolo.Da un punto di vista economico, gli interessi rappresentano la remunerazio-ne per aver rinunciato (oggi) a consumare un certa quantita di capitale, e,possibilmente, a postdatare tale consumo nel futuro. Da un punto di vistamatematico, tale equivalenza si traduce nella (1.1), dove, il fattore montante,M(t, s), determina l’accrescimento del capitale iniziale V (t) nell’intervallo ditempo [t, s]

1.4.1 Il modello lineare d’interesse

L’obiettivo di questo paragrafo e quello di determinare un modello matemati-co (una formula, se si vuole) per M(t, s) in modo che dato il capitale iniziale,V (t), sia possibile determinarne il valore futuro, V (s). Partendo dalle pro-prieta di M(t, s), qualsiasi funzione di due variabili tale che M(t, s) > 1 puoessere inclusa nell’insieme dei modelli possibili. Negli esempi illustrati nelparagrafo precedente si e visto che, una volta fissato l’intervallo di tempo, edil tasso d’interesse o sconto, il livello degli interessi dipende soltanto dall’am-piezza dell’intervallo di tempo [t, s]. Quindi, in pratica, si possono escluderequei modelli di M(t, s) tali che, per esempio, sia

M(t, s) = 1 + i(t2 + s2) oppure

M(t, s) = eδ(t+3s)

Un possibile modello per M(t, s), che sintetizza le caratteristiche succitate,consiste nel definire il tasso d’interesse come,

i(t, s) = i (s − t). (1.25)

Per costruzione, la funzione M(t, s) e data dalla (1.11), da cui si ottienefacilmente,

M(t, s) = 1 + i(s − t). (1.26)

Un modello di questo tipo implica che, fissato il parametro i (tasso d’inte-resse annuale, mensile, giornaliero, etc.), il fattore montante per intervallidi tempo diversi si ottiene moltiplicando il tasso d’interesse per l’ampiezza



dell’intervallo di tempo s − t. Si osservi che s − t deve essere espresso nellastessa unita temporale con cui e stato assegnato il tasso d’interesse i. Cioimplica che s − t sara un numero maggiore di uno, nel caso in cui l’ampiez-za dell’intervallo [t, s] e maggiore dell’unita di misura temporale del tasso i,minore di uno, nel caso contrario.La (1.26) prende il nome di modello di capitalizzazione ad interessesemplice o modello lineare d’interesse. Se si pone τ = s − t si ottieneche,

M(τ) = 1 + iτ, (1.27)

quindi, M(τ) e una funzione lineare di τ , con pendenza (coefficiente angolare)pari ad i ed intercetta M(0) = 1.Data la (1.27), il valore futuro, V (s), di un capitale, V (t), impiegato per unperiodo pari ad τ = s − t si ottiene dalla seguente relazione:

V (t + τ) = V (t)(1 + iτ). (1.28)

Alcune importanti considerazioni sono:

• il parametro τ misura l’intervallo di tempo che intercorre fra due istantitemporali. Per questo motivo e importante che il tasso d’interesse i edil parametro τ siano espressi nella stessa unita di tempo.

• L’utilizzo di una modello per il computo degli interessi e un aspettoche deve essere esplicitato nell’accordo fra le parti. Non e l’o.f. chedetermina il modello d’interesse da utilizzare. Per meglio focalizzarequesto concetto, come si evince dalla Figura 1.5, il tasso EURIBORper o.f. a sei mesi, i(0, 0.5), e pari al 4.336% su base annua. Se si vuoledeterminare il montante per una o.f. ad un anno non si puo utilizza-re il modello lineare d’interesse con τ pari ad un anno. In tal caso ilmontante deve essere calcolato utilizzando il tasso per o.f. ad un anno,i(0, 1) = 4.26%, a meno che non sia stabilito contrattualmente che pero.f. superiori a sei mesi il montante sara calcolato utilizzando il mo-dello lineare d’interesse ed il tasso semestrale i(0, 0.5). In altri termini,sono gli accordi fra le parti che determinano il modello matematico dautilizzare per M(t, s).

Esempio 1.8: Un istituto bancario italiano propone prodotti finanziari conla formula:“Garanzia del capitale + rendimento minimo dell’8% dopo 4 an-ni. Se si acquistano 100,000e di tale prodotto, quale sara il valore minimodell’investimento dopo 4 anni?



La garanzia del capitale implica la conservazione dell’ammontare di denaroinvestito, quindi V (0) = 100,000e e V (4) ≥ 100,000e. Il rendimento mi-nimo dell’8% dopo 4 anni implica che il tasso applicato al capitale iniziale edell’8% ogni 4 anni. Utilizzando la simbologia dell’interesse semplice si hache V (0) = C = 100,000e, i = 8% ed τ = 1. Si noti che i e τ sono espres-si nella stessa unita di tempo: i = 8% quadriennale, τ = 1 quadriennio.Applicando la (1.28) si ha che,

V (4) = 100000 · (1 + 0.08) = 108,000e.

Quindi, il valore minimo promesso dopo 4 anni e V (4) = 108,000e.Si ipotizzi che dopo due anni e sette mesi il detentore del suddetto prodottodesideri liquidare la sua posizione vendendo il titolo nel mercato (non e dettoche cio sia possibile in quanto non esiste un mercato secondario per taliprodotti). Sicuramente dovra essere remunerato per gli anni che ha detenutoil titolo, quindi e necessario determinare quella frazione di quadriennio sucui dovranno essere corrisposti gli interessi. Come sottolineato sopra, sia iltasso d’interesse che l’intervallo di tempo devono essere espressi nella stessaunita di misura temporale. In questo caso il tasso d’interesse e quadriennale,quindi τ deve essere espresso in multipli o frazioni di quadrienni. A quantiquadrienni equivalgono due anni e sette mesi? Sicuramente e τ < 1 in quantoil periodo di investimento e minore di un quadriennio. Due anni e sette mesicorrispondono a s − t = 31 mesi, mentre un quadriennio equivale a n = 48mesi , da cui τ = s− t/n = 31/48 = 0.64583 quadrienni (la regola del polliceconsiste nel trasformare numeratore e denominatore nell’unita di tempo piupiccola, mesi in questo esempio). Pertanto si ha che,

V (s) = 100000 · (1 + 0.08 · 0.64583) = 105166.67

La (1.28) puo essere riscritta esplicitando l’intervallo di tempo s − t in cuie stato impiegato il capitale iniziale. Se si indica con n l’unita di misuratemporale del tasso d’interesse (espressa nella stessa unita di misura di s−t),si ha che:

V (s) = V (t)

(

1 + is − t

n

)

. (1.29)

Con semplici passaggi algebrici la (1.29) puo essere espressa in modo che iltasso d’interesse abbia la stessa unita di misura dell’intervallo di tempo s− t(p. es.: tasso mensile e tempo misurato in mesi). La logica da seguire none differente da quella vista per la conversione dei tassi con basi differenti.L’obiettivo e determinare quel tasso in tale che, il valore futuro di V (t),



capitalizzato al tasso in per s − t periodi, sia uguale al valore futuro di V (t)capitalizzato al tasso i, per τ periodi. Quindi, deve essere,

(1 + in τ) =(

1 + iτ

n

)

da cui (1.30)

in =i

n(1.31)

Con riferimento all’esempio precedente, si puo determinare il tasso annuale i4equivalente al tasso quadriennale i. In questo caso n = 4 anni ed applicandola (1.31) si ottiene che,

i4 =i

4=

0.08

4= 0.02 = 2%. (1.32)

Se si esprime l’intervallo s − t in anni, si ha che s − t = 2 + 7/12 = 2.583anni, il valore garantito dopo due anni e sette mesi e dato da,

V (s) = V (0) [1 + i4 (s − t)] =

= 100000 · (1 + 0.02 · 2.583) = 105166.67

Si noti che, essendo il tasso i4 espresso su base annuale, e che l’impiegodel capitale e pari a due anni e sette mesi, quindi per un periodo maggioredell’anno, s − t e un numero maggiore di uno. Dato che, sia il tasso i4 chel’ampiezza dell’intervallo di tempo s − t sono espressi nella stessa unita ditempo, allora τ = s − t. In questi casi, essendo s = t + τ , si ha che,

V (t + τ) = V (t) (1 + i τ) . (1.33)

Tramite il modello di capitalizzazione semplice descritto dalla (1.33) si edeterminata l’equivalenza temporale fra due quantita di denaro disponibiliin istanti di tempo diversi: V (t) euro disponibili in t sono equivalenti aV (t+τ) euro in t+τ . Quindi, tramite la capitalizzazione semplice e possibile“spostare in avanti” (t ⇒ t+ τ) il capitale disponibile in t. Si osservi che perV (t) = 1, quindi per un euro di capitale iniziale, il valore futuro e dato da

V (t + τ) = M(t, t + τ) =1

B(t, t + τ). (1.34)

Dalla (1.34) si evince che ogni euro di capitale disponibile in t “costeranno”M(t, t + τ) = 1/B(t, t + τ) euro in t + τ .Utilizzando lo stesso schema e possibile determinare un modello per “spostareindietro” (t ⇐ t + τ) un capitale disponibile in t + τ . In particolare, se int + τ e disponibile un euro di capitale, dalla (1.33) si ottiene che,

V (t) =1

M(t, t + τ)= B(t, t + τ), (1.35)



Figura 1.6: MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BOT del 31/07 (Fonte:Il Sole 24 ORE del 01/08/2001 )

quindi, un euro disponibile in t + τ “costa” B(t, t + τ) = 1/M(t, t + τ) euroin t. Il fattore B(t, t + τ) rappresenta il valore attuale di un euro esigibilein t + τ .In generale, per ottenere il valore attuale di un capitale bastera applicarel’operatore B(t, s) alla somma disponibile in s. Dato che B(t, s) = 1/M(t, s),nel caso di capitalizzazione semplice, il valore attuale e dato da,

V (t) =V (s)

1 + i s−tn

, (1.36)

ed il fattore di sconto e dato da,

B(t, s) =1

M(t, s)=

1

1 + i s−tn

(1.37)

Di solito la capitalizzazione semplice e utilizzata per titoli con scadenza in-feriore ad un anno. I BOT sono un tipico esempio di titoli a breve periodo(strumenti del mercato monetario). Il BOT promette di pagare il 100% delvalore facciale (1,000e, dal 4 gennaio 1999) a scadenza, a fronte del paga-mento di un prezzo inferiore a 100. Il reddito di tale titolo deriva soltanto dalguadagno di capitale (capital gain) in quanto non paga cedole. Per questacaratteristica il BOT fa parte di quella classe di titoli a reddito fisso notacome titoli a cedola nulla (zero coupon bond), in breve ZCB. Gli ZCB



Figura 1.7: MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BOT del 24/09 (Fonte:Il Sole 24 ORE del 27/09/2001 )

sono presenti in tutti i mercati monetari del mondo: negli Stati Uniti sonochiamati Treasury Bill o T–Bill, in Germania sono noti come Bund edin Gran Bretagna come Sterling Guilders. Dopo l’assegnazione all’MTS,riservata agli investitori istituzionali (banche, SIM, finanziarie), la contratta-zione dei BOT si sposta al MOT dove le quotazioni telematiche permettonoalla domanda ed all’offerta di incontrarsi e di formare il prezzo di ogni titolodi stato in circolazione. La quotazione del BOT determina il rendimento deltitolo. Tale rendimento (di solito quello a tre mesi) e assimilato al cosiddettotasso non–rischioso o tasso a breve (risk free o short rate). In verita,anche i BOT sono soggetti al cosiddetto rischio di mercato, cioe quel rischioconnesso all’incertezza sulle quotazioni future dei ZCB. Comunque, data labreve durata e l’autorevolezza dell’emittente (il Tesoro italiano) si assumeuna rischiosita nulla (o quasi).

Esempio 1.9: Il BOT con codice ISIN IT0003145742 e scadenza il 15-07-02 (si veda Figura 1.6) e quotato a 96.170 (Prezzo d’asta 31-07, Valuta02-08). Il numero di giorni che mancano alla scadenza e pari a 347 (siricorda che i giorni vanno conteggiati dal giorno di valuta). Nelle colonnesuccessive sono riportati i rendimenti effettivi e lordi con base 360 e 365.Come si determinano tali rendimenti? E cosa rappresentano?Si ricorda che il prezzo di un titolo a reddito fisso e quotato sempre in percen-tuale del suo valore facciale. Quindi, P = 96.170 significa che l’investitorepaghera per l’acquisto il 96.170 per cento del valore facciale, per ottenereil 100 per cento del valore facciale a scadenza. Quindi, se si sono acqui-stati 1,000,000e di valore facciale, si pagheranno 1000000 · 96.170/100 =



0

−0.9617

347

1

Figura 1.8: Flusso di cassa, per un euro di valore facciale, di uninvestitore che acquista il BOT ISIN IT0003145742.

961,700e per ottenere 1,000,000e fra 347 giorni. Per facilitare la no-stra analisi, il prezzo sara espresso in unita di valore facciale, quindi P =96.170/100 = 0.9617.L’acquisto di un BOT e una o.f. con V (t) = P , il prezzo di emissione, eV (s) = 1, il valore facciale. Acquistare un BOT consiste nell’entrare in unao.f. spot dove a fronte del pagamento di V (t) euro in t si ottengono V (s) = 1euro alla scadenza s (si veda Figura 1.8). In altri termini, V (t) e il valoreattuale di euro esigibile in s, e pertanto, il prezzo del BOT rappresenta ilfattore di sconto di un’o.f. a pronti, P = V (t) = B(t, s)2.Utilizzando la (1.29) e sostituendo a V (t) e V (s) i rispettivi valori, l’unicaincognita dell’equazione e il tasso d’interesse su base annuale (le frazioni dianno su cui vanno computati gli interessi sono, rispettivamente, s − t/360 es − t/365 ) , quindi,

1 = B(t, s)

(

1 + i ·347

360

)

, da cui, (1.38)

i =[1 − B(t, s)] · 360

B(t, s) · 347. (1.39)

Il tasso ip, relativo al periodo di impiego, si ottiene con s − t = n = 347, dacui,

ip(t, s) =1 − B(t, s)

B(t, s). (1.40)

Si noti che il tasso espresso nella (1.39) e il tasso annuale equivalente ad ip,

i(t, s) = ip(t, s)n

s − t= ip(t, s)

n

τ; (1.41)

in questo caso la frazione n/s− t e maggiore di uno in quanto si passa da untasso a periodicita inferiore ad un anno, ip, ad un tasso, i, con periodicita

2In letteratura il prezzo di un titolo a cedola nulla unitario e indicato in diversi modi.Le simbologie piu ricorrenti sono: P (t, s), B(t, s), v(t, s).



annuale. I tassi lordi su base 360 e 365, sono, rispettivamente,

ip =1 − 0.9617

0.9617= 0.0398

i360 = ip360

347= 0.0398 · 1.0375 = 0.0413

i365 = ip365

347= 0.0398 · 1.0519 = 0.0419

Come si puo notare dalla Figura 1.6 BOT con diverse scadenze hanno rendi-menti diversi. Per meglio sottolineare la dipendenza del tasso dalla scadenzadel titolo, si preferisce esplicitare la scadenza s come indice temporale,

ip(t, s) =1 − B(t, s)

B(t, s)(1.42)

i(t, s) =1 − B(t, s)

B(t, s)

n

s − t, (1.43)

dove, B(t, s) e il prezzo al tempo t dello ZCB unitario con scadenza in s. Sesi pone t = 0, dalla Figura 1.6 si evince che B(0, 347) = 96.170/100 = 0.9617e B(0, 43) = 0.9949, etc.Il BOT addebita ai sottoscrittori l’imposta del 12.50% sul disaggio di emissio-ne, cioe sulla differenza fra il prezzo lordo di aggiudicazione, Pe, ed il prezzodi rimborso, 100. Per ottenere il prezzo netto si deve aggiungere al prezzolordo l’imposta calcolata sul disaggio di emissione. Il rendimento che siottiene utilizzando quest’ultimo prezzo e il rendimento netto. Nella colon-na imposta sostit. si puo leggere, in corrispondenza del titolo in esame, ilvalore dell’imposta calcolato sul disaggio di emissione, ossia:

imp = (100 − Pe) 0.1250τ

n. (1.44)

L’imposta e aggiunta al prezzo lordo in modo da ottenere il prezzo netto. Aquesto punto il BOT puo essere scambiato sul mercato secondario come senon fosse gravato da alcuna imposta. Se si indica con B∗(t, s) il prezzo netto,e con i∗(t, s) il rendimento netto, si ha che,

B∗(t, s) = B(t, s) + imp/100 (1.45)

i∗(t, s) =1 − B∗(t, s)

B∗(t, s)

n

s − t. (1.46)

Il calcolo dei rendimenti netti per il titolo in esame e lasciato allo studenteper esercizio.



E importante sottolineare che il BOT non e un titolo di sconto. Sebbenesia emesso ad un valore inferiore al prezzo di rimborso (sotto la pari), gliinteressi sono corrisposti alla scadenza e sono calcolati sull’importo monetarioiniziale. Titoli di puro sconto sono i T-bills americani.

Esempio 1.10: Si ipotizzi che in data 16/09/02 si debba effettuare un pa-gamento di 1,500,000e. In data 24/09/01 e disponibile sul mercato il BOTIT0003164545 con scadenza proprio il 16/09/02. Quanto valore facciale delBOT IT0003164545 e necessario acquistare per ottenere il flusso di cassadesiderato?Il rendimento netto, i∗(0, 355), e pari al 2.94% su base 365, V (τ) = V (355) =1,500,000e, V(0) e dato da,

V (0) =1500000

(1 + 0.0294 · 355/365)= 1,458,300.59e

L’Esempio 1.10 chiarisce ulteriormente il concetto di tasso d’interesse ed illegame con le leggi di capitalizzazione o sconto.Si ipotizzi che sia necessario effettuare il pagamento in data 01/03/02. Inquesto caso non e possibile utilizzare la (1.36) e scontare per un periodominore. Il rendimento del BOT e relativo al periodo 24/09/01–16/09/02.In tal caso e necessario investire in un BOT (se esiste) con scadenza il01/03/02. In altri termini, ogni tasso e riferito ad un periodo ben defini-to, per questo motivo di solito si sente parlare di tasso “a tre mesi”, “a seimesi”, “a 5 anni”, etc.In alternativa, le parti possono concordare un tasso d’interesse ed un modelloper calcolare gli interessi attivi e/o passivi. In tal caso e l’accordo, stipulatocontrattualmente, che descrive il meccanismo con cui sono capitalizzati oattualizzati capitali che sono esigibili in istanti diversi di tempo.Sebbene i BOT siano considerati titoli non–rischiosi, le fluttuazioni del tas-so d’interesse nelle date successive all’acquisto del titolo possono causareguadagni o perdite in conto capitale. Si consideri il seguente esempio.

Esempio 1.11: Il BOT IT0003145742 in data 24/09/01, 53 giorni dopol’acquisto, e quotato a B(53, 347) = 0.97655 (si veda Fig. 1.7); se si decidedi vendere, il rendimento su base 365 e dato da (valuta 26/09):

h(0, 55) =B(55, 347) − B(0, 347)

B(0, 347)

365

55= 0.1025 (1.47)

Sebbene la formula (1.47) sia formalmente identica a quella descritta dalla(1.43), esiste una differenza sostanziale fra i(t, s) ed h(t, s). In particolare,



i(t, s) e noto in t e rappresenta il rendimento se si mantiene il titolo fino ascadenza (noto anche come rendimento a scadenza); h(t, s) sara invecenoto soltanto in s in quanto dipende dal prezzo futuro B(s, s + τ) (aleatorioin t).Il rendimento h(t, t + τ) e noto come rendimento periodale o holding

period return. Si noti che h(t, t + τ) puo anche essere negativo, al con-trario di i(t, s) che e sempre positivo (nessuno acquisterebbe in t un titoloche garantisce un rendimento negativo o nullo). Per i BOT, h(t, t + τ) eoriginato soltanto da variazioni in conto capitale (capital gain or loss).Alla data di acquisto (31/07/01) il rendimento lordo del BOT e pari al 4.19%su base 365. In altri termini, se si mantiene il titolo fino a scadenza, ilrendimento assicurato e proprio il 4.19%. Come e possibile realizzare unrendimento del 10.25% se si vende il titolo dopo 55 giorni? In questo casospecifico, nei 55 giorni in questione si e verificata una riduzione del TUSda parte della BCE. Tale riduzione ha iniettato liquidita nei mercati ridu-cendo i rendimenti dei BOT. Si osservi che (Figura 1.7) in data 24-09-01 ilrendimento del titolo IT0003164545 con scadenza fra 355 giorni (quindi conle stesse caratteristiche del titolo IT0003145742 in data 31-07-01) e pari al3.45% su base 365, circa 74bp in meno.

Una o.f. in cui e possibile fissare in anticipo il tasso d’interesse (e di conse-guenza il prezzo) relativo ad un periodo futuro e una o.f. a termine o forward.Il tasso d’interesse per una o.f. forward si calcola in maniera analoga a quelloper una o.f. spot, con la sola differenza che il valore iniziale e riferito ad unperiodo futuro T . In particolare, dati tre istanti temporali t ≤ T < s, il tassoforward e dato da,

i(t, T, s) =V (s) − V (T )

V (T ). (1.48)

Se t = T , si ottiene il tasso spot i(t, s),

i(t, s) =V (s) − V (t)

V (t). (1.49)

Si noti che per il tasso forward l’istante t non compare nel calcolo del tassoin quanto lo scambio di capitali avviene fra T ed s. Nel caso di ZCB unitariil tasso forward e dato da,

ip(t, T, s) =1 − B(t, T, s)

B(t, T, s), (1.50)

e su base annuale,

i(t, T, s) = ip(t, T, s)n

s − T= ip(t, T, s)

n

τ(1.51)



Figura 1.9: FRA e tassi a breve. (Fonte: Il Sole 24 ORE del27/09/2001 )

dove B(t, T, s) e il prezzo in t di uno ZCB unitario che e scambiato in T edha scadenza in s. Il tasso forward puo essere visto come il tasso per unao.f. spot che ha luogo nell’intervallo [T, s]. E importante sottolineare cheil prezzo B(t, T, s) non e una previsione del prezzo futuro. Si tratta di unprezzo che e fissato oggi sulla base di contrattazioni fra le parti. I prezzied i tassi forward sono contratti over–the–counter (OTC) che avvengono inmercati informali o tramite semplici scritture private fra le parti.Un contratto forward del mercato monetario e il Forward Rate Agreement(FRA).

Esempio 1.12: Una societa decide di investire su un progetto a breveperiodo. Per far cio deve effettuare un pagamento fra sei mesi con scadenzasei mesi dopo, quindi T = 6 ed s = 12. Il tasso LIBOR spot a sei mesi epari al 3.58%. Il tesoriere della societa prevede un aumento dei tassi e perevitare costi ulteriori decide di acquistare un FRA6x12 al 3.35% (si veda Fig.



1.9), per un nozionale pari a 5,000,000e. La prima cifra, espressa in mesi,indica il numero di mesi che mancano al fixing (T = 6); la seconda cifraindica la scadenza del contratto (s = 12).Come funziona un FRA? Se alla data del fixing il tasso LIBOR e maggioredel tasso fisso, indicato dalla quotazione del FRA (3.35%), allora il com-pratore del FRA (la societa in questione) sara rimborsata della differenza(attualizzata) fra il tasso LIBOR ed il FRA. In caso contrario, l’acquirentedel FRA rimborsera al venditore la stessa differenza attualizzata. Si ipotizziche il tasso LIBOR con scadenza 6 mesi alla data del fixing sia effettivamen-te aumentato e quoti a 4.2%. La societa in questione prendera in prestitoal 4.2%, ma sara liquidata della differenza fra i due tassi. Se si indica conΛ(T, s) la somma che sara liquidata, in conseguenza dell’aumento del tassoLIBOR l(6, 12), si ha che,

Λ(T, s) = C[l(T, s) − FRATxs] τ

n

1

1 + l(T, s) τ/n. (1.52)

Sostituendo nella (1.52) i valori corrispondenti, la societa sara liquidata peril maggiore costo dovuto all’incremento dei tassi per un ammontare pari a,

Λ(T, s) = 5000000 ·(0.042 − 0.0335) · 6

12·

1

1 + 0.042 · 6/12= 20,812.93e.

Come si puo notare dalla (1.52) la differenza fra il tasso FRA6x12 ed il tassol(6, 12) e attualizzata al tasso spot l(6, 12). Cio e dovuto al fatto che gli in-teressi saranno pagati alla fine del periodo, quindi per determinare il valoreattuale da liquidare alla societa e necessario attualizzare l’ammontare di in-teressi per un periodo pari a 6 mesi con il tasso spot per l’impiego richiesto,l(6, 12).

Nell’esempio appena visto, il prezzo forward, B(t, T, s), e il valore attuale inT di un euro esigibile in s, al tasso FRA fissato in t. In particolare,

B(t, T, s) =

[

1 + FRA6x12(s − T )

n

]

−1

B(0, 6, 12) =

(

1 + 0.0335 ·6

12

)

−1

= 0.983526,

quindi, acquistando il FRA, in effetti si sta fissando il prezzo a termine perogni euro preso in prestito. In questo caso, per ogni euro di prestito da pagarea fine periodo, la societa riceve 0.983526e. Se al fixing il tasso l(6, 12) (chee il tasso a cui effettivamente la societa prendera in prestito) e pari al 4.2%,



il prezzo spot B(6, 12) e 0.9794, quindi, per ogni euro di prestito da pagarea fine periodo, la societa riceve 0.9794e e sara rimborsata della differenza0.983526 − 0.9794 = 0.00413e. Se i tassi fossero risultati inferiori al tassoFRA, allora la societa avrebbe pagato la differenza fra il prezzo a termineed il prezzo spot futuro. In tal caso la societa non potra usufruire del calodei tassi. Rimane, comunque, il vantaggio di poter pianificare in anticipo ilcosto dell’operazione. Da questo esempio si evince che i tassi forward nonsono una previsione dei tassi futuri: rispecchiano soltanto le aspettative suitassi futuri, che possono non verificarsi.

1.4.2 Il modello lineare di sconto

Negli esempi precedenti si e utilizzato l’interesse semplice per determinare ilcompenso (interesse) per le o.f. in esame. Il concetto di valore attuale e divalore futuro e stato quindi associato all’interesse semplice. In generale, unmodello di capitalizzazione puo far uso del tasso di sconto ed esistono o.f.in cui il tasso di sconto e determinato in maniera intrinseca. In particolare,come visto nel paragrafo 1.3, se il compenso sono gli interessi ottenuti dallosconto di un capitale esigibile in s, l’ammontare V (t) e il valore attuale diV (s) in t e si ha che,

V (t) = V (s) B(t, s), (1.53)

dove,B(t, s) = 1 − d(t, s). (1.54)

Se si definisce il tasso di sconto come,

d(t, s) = d (s − t), (1.55)

e ponendo τ = s − t si ottiene il modello di sconto lineare,

B(τ) = 1 − dτ (1.56)

Si osservi che la (1.56) possiede le proprieta del generico fattore di scontoB(t, s). Infatti, B(t, s) e minore di uno, quindi, V (t) < V (s); inoltre, B(τ) euna funzione lineare dell’ampiezza dell’intervallo τ , con coefficiente angolared ed intercetta in τ = 0 pari ad uno. Il valore in t, con t < s, di un capitaleV (s), disponibile in s, e dato dato,

V (t) = V (s)(1 − dτ). (1.57)

Dalla relazione fra fattore di sconto e fattore montante si ha che,

M(τ) =1

B(τ)=

1

1 − dτ, (1.58)



ossia, il fattore montante nel caso si stia utilizzando il tasso di sconto. Ilmodello di capitalizzazione che si ottiene applicando l’operatore in (1.58) enoto come modello di capitalizzazione a sconto semplice:

V (t + τ) =V (t)

1 − dτ(1.59)

Esempio 1.13: Nell’Esempio 1.6 la somma ricevuta dall’impresa e il valoreattuale di 1,000,000e da ripagare dopo tre settimane, quindi dato il tasso disconto d = 4.5% ed applicando la (1.57), si ha che,

V (0) = 1000000 ·

(

1 − 0.045 ·21

360

)

= 997,375e.

Si ipotizzi adesso che la liquidita necessaria all’impresa sia pari ad 1,000,000e,quindi deve essere V (0) = 1,000,000e. A quanto deve ammontare il nomi-nale?In questo caso e necessario determinare il valore futuro V (t + τ) tale che ilsuo valore attuale, al tasso del 4.5%, sia pari a 1,000,000e. Si osservi chenon e possibile utilizzare il fattore montante del modello lineare d’interessein quanto il tasso e quello di sconto. Per determinare V (t + τ), noto V (t),si deve ricorrere al fattore montante del modello lineare di sconto, quindi:

V (t + τ) =V (t)

1 − d τ/n=

1000000

1 − 0.045 · 21/360= 1,002,631.91e

Come accennato nel paragrafo 1.3, nelle o.f. di sconto il tasso e calcolatorispetto al capitale finale V (s), mentre, per le o.f. di interesse semplice, iltasso e calcolato rispetto al capitale iniziale V (t). Cio implica che tassi disconto e d’interesse nominalmente identici producono interessi effettividiversi. Di conseguenza, il valore attuale di un flusso attualizzato con d(t, s)e senz’altro diverso da quello che si ottiene attualizzando con i(t, s).

Esempio 1.14: Una societa ha due opportunita per finanziare il suo debito:

1) emettere una c.f. al tasso del 4.5% annuo da estinguere dopo un anno;

2) chiedere un prestito al tasso LIBOR con scadenza un anno al 4.5%.

Qual e l’o.f. piu conveniente?Per 100e di capitale preso in prestito, l’ammontare di interessi pagati dal-l’o.f. 1) e pari a D = 100 · 0.045 = 4.5e. Il valore attuale del nominale edato da,

V (0) = 100 · (1 − 0.045) = 95.5e. (1.60)



Nell’o.f. 2) l’ammontare di interessi e pari a I = 100 · 0.045 = 4.5e. Ilvalore futuro del nominale e dato da,

V (1) = 100 · (1 + 0.045) = 104.5e. (1.61)

In ambedue i casi gli interessi pagati sono identici ma il costo effettivo delfinanziamento e sostanzialmente differente. Infatti, il tasso d’interesse per ledue o.f. e, rispettivamente,

i1 =100 − 95.5

95.5= 0.047

i2 =104.5 − 100

100= 0.045,

quindi, un tasso di sconto del 4.5% annuo e equivalente ad un tasso d’inte-resse del 4.7% annuo.

Per confrontare tassi di sconto e d’interesse e necessario determinare il tassoequivalente. La logica da seguire e la stessa utilizzata per i tassi espressisu diverse basi o per tassi con diversa periodicita. In particolare, un tassodi sconto e d’interesse sono equivalenti se producono lo stesso valore futuro(attuale):

(

1 + iτ

n

)

=(

1 − dτ

n

)

−1

,

da cui si ricavano le formule per convertire, rispettivamente, un tasso disconto in tasso d’interesse e viceversa:

i =d

1 − d (τ/n)(1.62)

d =i

1 + i (τ/n)(1.63)

Esempio 1.15: Un T–Bill con scadenza fra 91 giorni e quotato a 99.2([Act/360]). Il tasso dei BOT per un investimento a 91 giorni e pari al 3.5%([Act/365]). Ipotizzando che il rischio dovuto alle variazioni del tasso dicambio e/$ sia stato neutralizzato, qual e l’investimento piu redditizio?Il T-Bill e un titolo di sconto in quanto il prezzo e ottenuto deducendo dalvalore facciale gli interessi calcolati. In altri termini e come se gli interessifossero pagati in anticipo. Di conseguenza il tasso si calcola rapportando gliinteressi al valore finale del titolo, ossia 100. Nel caso si consideri uno ZCBunitario, si ha che,

dT-bill(0, 91) = (1 − 0.992) ·360

91= 0.0316



Il rendimento dei BOT e un tasso d’interesse, quindi, per effettuare un con-fronto, e necessario trasformare il rendimento dei BOT nell’equivalente tassodi sconto, o viceversa. Inoltre, il tasso sui BOT e espresso su base 365, per-tanto e necessaria la conversione in una delle due basi ([Act/365] oppure[Act/360]):

dBOT(0, 91) =0.035

1 + 0.035 · (91/365)= 0.034697231.

Utilizzando la formula di conversione su base 360, si ottiene che,

d360BOT

(0, 91) = dBOT(0, 91)360

365= 0.034221926.

Si puo pertanto concludere che l’investimento in BOT e piu conveniente inquanto garantisce un tasso di sconto maggiore di quello fornito dal T-Bill dicirca 26bp. Si lascia allo studente la determinazione del tasso d’interesse chee equivalente al tasso di sconto garantito dal T-Bill.



1.4.3 Il modello esponenziale

I modelli di capitalizzazione (attualizzazione) visti nei precedenti paragrafipermettono di determinare il valore futuro (attuale) di capitali esigibili inepoche diverse.La remunerazione e rappresentata dagli interessi che sono corrisposti allascadenza o alla stipula del contratto. Nell o.f. descritte gli interessi sonocalcolati soltanto sul capitale iniziale (interesse semplice) o sul capitale finale(sconto semplice). Gli interessi maturati non sono utilizzati per incrementareil capitale a disposizione.Invero, un investitore non esaurisce le sue scelte d’investimento in un sin-golo periodo ed e logico pensare che, estinta una o.f., gli interessi ottenutinon siano consumati ma reinvestiti (composti o compounded) in un’altrao.f. In maniera analoga, una posizione debitoria potrebbe essere rinnovataprendendo in prestito il capitale piu gli interessi dovuti per l’o.f. appenaestinta.In entrambi i casi l’o.f. finanziaria potrebbe avere caratteristiche diversedalla precedente in termini di modello di capitalizzazione, in termini di tassod’interesse e/o di intervallo di tempo.Si ipotizzi che le due parti invece concordino di rinnovare la stessa o.f. perm periodi ad un tasso costante i. Qual e il modello per M(t, s) con lecaratteristiche appena descritte?Innanzitutto, le parti potrebbero convenire che gli interessi siano pagati allafine di ogni periodo (come nella capitalizzazione ad interesse semplice). Se iltasso d’interesse e espresso nella stessa unita temporale dell’m–esimo periodo(p. es.: tasso mensile e periodicita mensile), il componimento della posizionecreditoria (debitoria) produce i seguenti valori futuri:

V (t + 1) = V (t)(1 + i)

V (t + 2) = V (t)(1 + i) + V (t)(1 + i) i = V (t)(1 + i)2

V (t + 3) = V (t)(1 + i)2 + V (t)(1 + i)2 i = V (t)(1 + i)3

· · · · · · · · ·

V (t + m) = V (t)(1 + i)m−1 + V (t)(1 + i)m−1 i = V (t)(1 + i)m.

Se si pone m = s − t, si ottiene che,

V (s) = V (t)(1 + i)s−t, (1.64)

quindi, V (t) euro di capitale in t equivalgono a V (s) euro di capitale ins, secondo un modello di capitalizzazione ad interessi composti contasso costante. Il fattore montante che, come visto nel precedente paragrafo,



rappresenta il prezzo o costo di una unita di capitale esigibile a scadenza, edato da,

M(t, s) = (1 + i)s−t, (1.65)

mentre, il fattore di sconto e,

B(t, s) =1

(1 + i)s−t= (1 + i)−(s−t) (1.66)

Il modello di capitalizzazione composta e abbastanza intuitivo se m ∈ N.Nel caso in cui τ = s − t ∈ R

+ la (1.65) puo essere interpretata come lacomposizione di una infinita di o.f. di durata infinitesima. Si osservi cheM(t, s) dipende dall’ampiezza dell’intervallo di tempo [t, s], da cui,

M(τ) = (1 + i)τ . (1.67)

La (1.67) e una funzione esponenziale dell’intervallo di tempo τ . Come lostudente puo facilmente verificare, la derivata prima della (1.67) e sempremaggiore di zero, quindi il fattore montante e una funzione crescente di τ ,con intercetta M(0) = 1. Il fattore espresso dalla (1.67) possiede le proprietache caratterizzano un fattore montante; in particolare, il fatto che M(τ) e unafunzione monotona crescente assicura che V (s) > V (t). La (1.67) definisce ilmodello esponenziale di capitalizzazione degli interessi.Ponendo (1 + i) = eδ la (1.67) diventa,

V (s) = V (t) eδ(s−t). (1.68)

Le relazioni (1.67) e (1.68) sono assolutamente equivalenti. L’unica differen-za consiste in una diversa parametrizzazione. Come si vedra in seguito, ilmodello esponenziale espresso tramite la (1.68) permette di chiarire meglioil concetto di capitalizzazione continua accennato sopra.Un’altra parametrizzazione del modello esponenziale si ottiene ponendo

p = (1 + i)−1 = e−δ,

dove p e noto come fattore di attualizzazione per periodi di lunghezzaunitari o fattore di sconto uniperiodale.Sostituendo nella (1.67) si ha che,

V (s) = V (t)

(

1

p

)s−t

= V (t) p−(s−t). (1.69)

Il valore attuale sara invece dato da,

V (t) = V (s) p s−t. (1.70)



Esempio 1.16: Il tesoriere di una societa opta per l’investimento di 1,000,000ein un deposito che paga il 3% annuo. A quanto ammonteranno 1,000,000efra 5 anni?Il fattore di capitalizzazione per un investimento annuale e dato da,

p−1 = 1 + 0.03 = 1.03,

che rappresenta il il valore futuro di un euro per un investimento uniperiodale.Dato che s = 5, t = 0 e V (0) = 1,000,000e, applicando la (1.69) si ottiene,

V (s) = V (t)(

p−1)s−t

= 1000000 · 1.035 = 1,159,274.07e

Ricordando che (1 + i)−1 = e−δ, si ricava facilmente che δ = ln(1 + i) =ln(1 + 0.03) = 0.0295588. Applicando la (1.68) si ottiene lo stesso risultato,

V (5) = 1000000 · e0.0295588·5 = 1,159,274.06e.

A quanto ammonteranno 1,000,000e se il tasso offerto e il 3% semestrale?In questo caso gli interessi sono composti ogni sei mesi. Se si pone m = 5e si indica con n = 2 il numero di semestri in un anno, i periodi su cuisara pagato l’interesse sono n ·m = 10. Per ottenere il valore futuro basteraapplicare la (1.69) per s = n · m semestri, quindi:

V (10) = 1000000 · 1.0310 = 1,343,916.38e

Il valore futuro e notevolmente piu alto di quello ottenuto nel precedente esem-pio. Cio e dovuto al fatto che gli interessi sono pagati con un frequenzamaggiore, amplificando l’effetto dovuto al componimento degli interessi.Si consideri adesso il caso in cui una societa ottiene un prestito per un am-montare pari a 500,000e al 5.3% annuo, da estinguere in unica soluzionefra 4 anni ed 8 mesi. A quanto ammonta l’esborso in interessi?In questo caso s = 4 + 8/12 = 4.67 e p−1 = 1.053; il valore futuro (capitale+ interessi) e dato da,

V (4.67) = 500000 · 1.053 4.67 = 636,371.17e,

con un costo per interessi pari a I = 636371.17 − 500000 = 136,371.17e.Si noti che con un modello di capitalizzazione semplice il tasso i(0, 4.67) chegenera lo stesso valore futuro e pari a,

i(0, 4.67) =636371.17 − 500000

500000= 0.2727.



Si ipotizzi adesso che l’esborso a scadenza debba essere non superiore a 620,000e.Quanto capitale si puo prendere in prestito?Dato il valore finale V (4.67) = 620000, il valore attuale di 620,000e al tassodel 5.3% si ottiene utilizzando la (1.70), quindi,

V (0) = V (4.67) p 4.67 = 620, 000 · 0.949668 4.67 = 487,137.088e,

dove p = (1 + 0.053)−1 = 0.949668 e il valore attuale uniperiodale.Se e necessario prendere in prestito l’ammontare esatto di 500,000e, man-tenendo il limite di 620,000e, il tasso d’interesse che permette questa equi-valenza finanziaria si ricava facilmente considerando p l’incognita dell’equa-zione (1.70). Infatti, noti V (t) e V (s), si ha che,

V (t) = V (s) ps−t da cui,

p =

[

V (t)

V (s)

]1/(s−t)

.

Ricordando che p = (1 + i)−1 si ottiene che,

i =1

p− 1.

Sostituendo in maniera opportuna, si ha che,

p =

(

500000

620000

)1/4.67

= 0.955

i =1

0.955− 1 = 0.047.

1.4.4 Tassi equivalenti

Nelle operazioni di capitalizzazione ed attualizzazione e necessario che il tassod’interesse sia espresso nella stessa unita di misura del tempo. Nell’Esempio1.16 il tempo e riportato in modo che sia consistente con il tasso d’interesseutilizzato.In generale, data la frazione temporale 1/n, se si indica con in il tassocon periodicita 1/n (semestrale, nell’esempio), la formula di capitalizzazionediventa,

V (s) = V (t) (1 + in)n m . (1.71)

Come per la capitalizzazione semplice, si puo essere interessati a determinarequel tasso i che e equivalente al tasso periodale in. Affinche i sia equivalente



ad in, il valore futuro ottenuto utilizzando i ed in deve risultare identico,quindi:

V (t) (1 + i)m = V (t) (1 + in)n m ,

da cui,

i = (1 + in)n − 1 (1.72)

in = (1 + i)1/n − 1 (1.73)

Di solito nelle clausole contrattuali non e esplicitato il tasso periodale in.Nella Figura 1.10 sono riportate le condizioni contrattuali di un C/C. Iltasso a credito ed a debito sono su base annuale, mentre la capitalizzazionedegli interessi e effettuata con periodicita trimestrale. In particolare, se siconsidera il tasso a debito, la dicitura riporta:“tasso a debito nominale annuo:8.875%”.Un tasso nominale o convertibile puo essere trasformato in un tasso conperiodicita 1/n come se si trattasse di un tasso per modelli di capitalizzazionesemplice.

Quindi, se si indica con jn il tasso annuale (o con altra periodicita) si ha che,

jn = n in da cui (1.74)

in =jn

n. (1.75)

Dati il numero di periodi, m = s − t, e la frequenza di capitalizzazione, n, ilvalore futuro si ottiene come,

V (s) = V (t)

(

1 +jn

n

)n m

. (1.76)

Il tasso i equivalente al tasso periodale convertibile jn si ottiene eguagliandoi valori futuri ottenuti capitalizzando al tasso i e in = jn/n, ovvero,

V (t) (1 + i)m = V (t)

(

1 +jn

n

)n m

,

da cui,

i =

(

1 +jn

n

)n

− 1 (1.77)

jn = n[

(1 + i)1/n − 1]

. (1.78)



Figura 1.10: Condizioni contrattuali conto corrente



In ambedue i casi il tasso i determina gli interessi effettivi che si ottengonoda un tasso nominale periodale in. Se non e espressamente dichiarato cometasso nominale o convertibile, il tasso dell’o.f. e da considerarsi un tassoeffettivo.

Esempio 1.17: Le condizioni contrattuali riportate in Figura 1.10 prevedo-no “un tasso a debito capitalizzato su base annua” pari al 9.1748%. Quest’ul-timo e il tasso effettivo per posizioni debitorie. Come riportato nelle stessecondizioni, la periodicita di capitalizzazione degli interessi e trimestrale. Iltasso nominale i4 si ottiene dal tasso nominale annuo j4 = 8.875% tramitela (1.75), i4 = 0.08875/4 = 0.0221875. Applicando la (1.77), ma anche la(1.72), si ottiene,

i =

(

1 +0.0875

4

)4

− 1 = 0.091748.

Lo stesso procedimento puo essere utilizzato per determinare il tasso attivoeffettivo. Si ipotizzi pero che quest’ultimo sia dato, quindi i = 1.3869%.Si osservi che i e il tasso effettivo annuo, che e ben diverso da quellonominale o convertibile. Il tasso trimestrale i4 equivalente ad i si ottieneapplicando la (1.73),

i4 = (1 + 0.013869)1/4 − 1 = 0.0034493.

Essendo il tasso nominale annuo jn = n in si ha che jn = 4 · 0.0034493 =0.013797, come riportato nelle condizioni contrattuali.

1.4.5 Intensita istantanea d’interesse

E interessante osservare il comportamento della (1.78) al crescere di n, lafrequenza con cui si capitalizzano gli interessi. Se si pone x = n/jn, la (1.77)diventa,

1 + i =

[(

1 +1

x

)x]jn

. (1.79)

Nella Tabella 1.1 sono riportati n, jn/n ed il termine fra parentesi quadredel secondo membro della (1.79). Si noti che quest’ultimo, al crescere di n,tende la valore di 2.7182, il numero di Nepero e. Sicuramente, chi ha studiatoMatematica Generale, avra riconosciuto il limite notevole,

limx→∞

[(

1 +1

x

)x]δ

= eδ. (1.80)



n jn/n(

1 + 1x

)x

1 0.03 2.678598

2 0.015 2.698171

3 0.01 2.704814

4 0.0075 2.708158

5 0.006 2.710172

. . . . . . . . .

596 5.03356E-05 2.718213

597 5.02513E-05 2.718214

598 5.01672E-05 2.718214

599 5.00835E-05 2.718214

600 0.00005 2.718214

. . . . . . . . .

∞ δ/n e

Tabella 1.1: Tasso equivalente all’aumentare della frequenza dicapitalizzazione.

Quindi, si puo concludere che, il modello esponenziale definito dalla (1.68)rappresenta una legge di capitalizzazione dove gli interessi sono staccati nelcontinuo. Il parametro δ e noto come intensita istantanea di interesse epuo essere interpretato come un tasso nominale convertibile infinite volte.Un’importante proprieta del modello esponenziale e la scindibilita. Dati gliintervalli [t, T ] e [T, s], con t ≤ T ≤ s, si ha che,

B(t, s) = B(t, T )B(T, s). (1.81)

In termini finanziari la (1.81) assicura che il valore attuale di un euro esigibilealla scadenza s e dato da due successive operazioni di attualizzazione definitesu due intervalli di tempo contigui. Il modello esponenziale e scindibile inquanto si verifica facilmente che,

B(t, s) = (1 + i)−(s−t) = (1 + i)−(T−t)(1 + i)−(s−T ) =

= (1 + i)−T+t−s+T = (1 + i)−(s−t).

Si lascia allo studente la dimostrazione che i modelli lineari non sono scindibi-li. Si osservi che la forma funzionale del modello esponenziale non garantiscesempre scindibilita. Da un punto di vista finanziario la proprieta di scindibi-lita implica la conoscenza al tempo t del prezzo spot B(T, s). Cio e possibile



solo se l’o.f. ha un tasso costante i, oppure se in t sono assegnati—adesso eper sempre—i tassi i(t, T ) ed i(t, s). In altri termini i tassi non dipendonoda t ma soltanto dalla scadenza, quindi i(t, T ) = i(T ) ed i(t, s) = i(s).

Esempio 1.18: Il tasso su un deposito bancario e pari al 5% annuo. Sidetermini il valore futuro di 1,000,000e dopo 6 anni utilizzando le seguentidue opzioni:

1) investimento in un’unica o.f. con inizio in t=0 e scadenza in s = 6;

2) investimento in due operazioni finanziarie, di cui, la prima, con inizio int = 0 e scadenza T = 4, la seconda, con inizio in T = 4 e scadenza ins = 6.

Se si sceglie l’opzione 1), ricordando che p−1(0, 6) = (1 + 0.05)6, si ha che,

V (6) = V (0)p−1(0, 6) = 1, 000, 000 · (1.05)6 = 1,340,095.64e. (1.82)

Scegliendo l’opzione 2), dato che i(4, 6) e noto in t, il fattore di sconto edato da p−1(4, 6) = (1 + 0.05)2. Il valore futuro unitario per l’o.f. definitasull’intervallo [0, 4] e dato da p−1(0, 4) = (1 + 0.05)4.Componendo le due o.f. definite negli intervalli contigui [0, 4] e [4, 6], ilmontante che si ottiene e pari a,

V (4) = V (0) p−1(0, 4)

V (6) = V (4) p−1(4, 6) = V (0) p−1(0, 4) p−1(4, 6)

V (6) = 1, 000, 000 · (1.05)4 · (1.05)2 = 1,340,095.64e.

Il valore futuro ottenuto e uguale a quello che e stato calcolato nel caso incui si scegliesse di investire in una o.f. sull’intervallo [0, 6]. Cio e dovutoalla proprieta di scindibilita di cui gode il modello esponenziale. Si dimostriche utilizzando la legge lineare d’interesse le due o.f. non sono equivalenti.Si dimostri inoltre che se sono noti (contrattualmente fissati) in t = 0 i tassii(0, 4) = 4% ed i(4, 6) = 7.029% le due opzioni di investimento sono ancoraequivalenti (a meno di qualche errore di approssimazione).


1.5 Flussi e portafogli finanziari 39

1.5 Flussi e portafogli finanziari

Si definisce flusso finanziario (o cashflow) (f.f) un insieme di o.f., finite oinfinite, di importo V1, V2, . . . , Vm disponibili alle date t1, t2, . . . , tm. Di solitosi indica con

V = {V1, V2, . . . , Vm}

il flusso degli importi (che possono essere positivi o negativi, a secondo chesiano entrate o uscite). Graficamente,

V1 V2 V3 V4. . . . . . Vm

t1 t2 t3 t4 . . . . . . tm

Figura 1.11: Rappresentazione grafica di flusso finanziario.

L’insieme di date cui corrispondono gli importi del f.f. e detto scadenzarioe si indica con

t = {t1, t2, . . . , tm}

Esempio 1.19: Una o.f. e un caso particolare di f.f. con una sola scadenza,

V = {−V (t), V (s)} t = {t, s}

In particolare, per un BOT si ha,

V = {−0.98, 1} t = {0, 91}

Un BTP e un tipico esempio di f.f., dove,

V = {−P, I, I, . . . , I + C} t = {t, t + τ, t + 2τ, . . . , t + mτ}.

Se si pone t = 0 e si sceglie τ come unita di tempo, il f.f. che caratterizza ilBTP e,

V = {−P, I, I, . . . , I + C} t = {0, 1, 2, . . . ,m}.

1.5.1 Valore di un flusso finanziario

Il valore attuale di un importo esigibile in una data futura si ottiene appli-cando l’operatore B(t, s) all’importo in questione. In maniera analoga, ap-plicando l’operatore M(t, s) e possibile spostare alla scadenza s un capitale



V1 V2. . . Vk

. . . Vm−1 Vm

t1 t2 . . . tk . . . tm−1 tm

s

s

+

+

Figura 1.12: Valore temporale di un f.f. in tk.

disponibile in t. I modelli di equivalenza finanziaria permettono di confron-tare capitali esigibili in epoche diverse. Un soggetto razionale rinuncera aconsumare parte del suo reddito solo se il suo risparmio sara remunerato daun interesse. In base a tale legge comportamentale, un soggetto razionalevaluta in maniera differente capitali che sono dislocati nel tempo.Per esempio, se Caio intende monetizzare oggi un f.f. che gli garantira 100efra un anno ed altri 100e fra due anni, il valore monetario di tale f.f., ossial’ammontare di denaro che Caio dovrebbe ricevere oggi, non puo essere paria 200e. Infatti, la controparte, che deve rinunciare a parte del suo redditoper acquistare il f.f. in questione, sara disposta allo scambio solo se riceverauna remunerazione in termini di interessi sul capitale sborsato.Nel valutare un f.f. e innanzitutto necessario riferire gli importi, disponibiliin epoche diverse, nell’istante di valutazione. Come si puo osservare dallaFigura 1.12, dato un generico istante di tempo tk, gli importi Vj ∈ V taleche tj < tk dovranno essere “spostati in avanti” (capitalizzati in tk), mentregli importi Vj ∈ V tale che tj > tk dovranno essere “spostati indietro”(attualizzati in tk). Il valore del f.f. V e dato dalla somma degli importiVj ∈ V , riferiti all’istante tk:

V (tk) = V1pt1−tk + V2p

t2−tk + . . . + Vk + Vk+1ptk+1−tk + . . . + Vmptm−tk (1.83)

Si osservi che, se tj ≤ tk, l’esponente del fattore di sconto uniperiodale, p,e minore di zero, quindi, ptj−tk e il valore futuro di un euro per il periodo[tj, tk]. La (1.83) puo essere espressa in forma sintetica,

V (tk) =m

∑

j=1

Vjptj−tk (1.84)

1.5.2 Valore di un portafoglio finanziario

Si considerino N flussi finanziari, V1, V2, . . . , VN , su uno scadenzario di rife-rimento t = {t1, t2, . . . , tm}, ed un insieme di pesi reali u = {u1, u2, . . . , uN}.Un portafoglio finanziario, Π, e composto da u1 unita del flusso V1, u2 unita



del flusso V2, etc. Se il f.f. Vk non fa parte del portafoglio, cio implica cheuk = 0.Il valore di un portafoglio, nel generico istante di tempo tk, e dato dallasomma dei valori temporali di ogni f.f. nell’istante di valutazione, pesati coni rispettivi pesi, in simboli,

Π(tk) = u1V1(tk) + u2V2(tk) + . . . + uN VN(tk) =

=N

∑

i=1

uiVi(tk), (1.85)

Esempio 1.20: Sullo scadenzario t = {0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3} (si e posto t0 = 0e l’unita di misura τ e pari ad un anno) sono definiti i seguenti f.f. in milionidi euro:

• V1 = {−20, 0, 5, 10,−2, 100};

• V2 = {15, 15, 15, 115, 0, 0};

• V3 = {−40, 0, 10, 0, 0, 180}.

Il tasso d’interesse e pari al 10% annuo. Si determini:

i. il valore temporale in t0 = 0 e tk = 1.7;

ii. il valore del portafoglio in t0 = 0 con u1 = 2.5, u2 = 0 ed u3 = 0.7.

Posto p = 1.10−1 = 0.91, i valori temporali in t0 = 0 e t2 = 1 sono dati da:

V1(0) = −20 · 0.910.5 + 5 · 0.911.5 + 10 · 0.912 − 2 · 0.912.5 +

+100 · 0.913 = 67.08

V1(1.7) = −20 · 0.910.5−1.7 + 5 · 0.911.5−1.7 + 10 · 0.912−1.7 +

−2 · 0.912.5−1.7 + 100 · 0.913−1.7 = 78.88

Si osservi che la (1.84) si modifica limitatamente all’esponente. In partico-lare, nel caso tk = 1.7 e sufficiente esplicitare il periodo in cui deve esserevalutato il flusso V1. Si lascia allo studente di verificare che V2(0) = 135.98,V3(0) = 105.77. Inoltre, V1(1.7) = 78.88, V2(1.7) = 159.90 e V3(1.7) =124.37. Il valore del portafoglio Π(0) e dato da:

Π(0) = u1 V1(0) + u2V2(0) + u3V3(0) =

= 2.5 · 67.08 + 0 · 135.98 + 0.7 · 105.77 = 241.75


1.6 Rendite ed Ammortamenti 42

1.6 Rendite ed Ammortamenti

Le rendite e gli ammortamenti sono particolari f.f. in cui una quantita dicapitale S, detta capitale iniziale o principal, e scambiata con un flussodi rate R = {R1, R2, . . . , Rm}.I mutui sono un esempio molto comune di ammortamento. Il mutuatarioriceve oggi il capitale iniziale S e lo ripaga in m rate (che possono anchenon essere costanti). Le pensioni integrative sono delle particolari renditedove m non puo essere fissato in anticipo. In questo caso il beneficiario hacostituito la somma S negli anni lavorativi pagando una certa rata mensile.Quest’ultima potrebbe essere costante o, per esempio, rivalutata al tassod’inflazione.La costituzione di un capitale si puo anche effettuare tramite un singoloversamento iniziale. Per esempio, ricevuta un’eredita si puo acquistare unarendita che garantisce un reddito periodale R. Un BTP e un tipico esempiodi rendita: si paga un prezzo per acquistare il diritto ad un reddito semestralepari alla cedola C. Dal punto di vista dell’emittente (lo Stato), il BTP e unparticolare ammortamento in cui le rate sono rappresentate dagli interessisemestrali ed il capitale e restituito in unica soluzione alla scadenza.La rata R puo essere pagata all’inizio o alla fine dei periodi identificati dalloscadenzario t = {t0, t1, t2, . . . , tm}. Nel primo caso la rendita si dice antici-pata, nel secondo caso si dice posticipata. Se la rendita ha effetto dopoh periodi si dice differita, al contrario si dice immediata. Per esempio,un soggetto paga una somma S oggi per ricevere una rendita trimestrale frah = 10 anni, per m = 5 anni, in modo da poter pagare gli studi ai suoi figli.

Si consideri una rendita con importi Vj = R equidistanti fra di loro e datainiziale t0 = 0, lo scadenzario e dato da t = {0, 1, 2, . . . ,m}. Il valore attualedella rendita posticipata si ottiene applicando la (1.84), quindi,

V (0) =m

∑

j=1

Vjpj = R

m∑

j=1

p j.

Si ricorda che la somma di m termini in progressione geometrica con ragionep e primo termine p e data da,

m∑

j=1

p j = p1 − pm

1 − p. (1.86)

Ricordando, inoltre, che p = (1 + i)−1 e sostituendo nella (1.86) si ottiene,

am i =1 − (1 + i)−m

i. (1.87)



La (1.87) rappresenta il valore attuale di una rendita unitaria posti-cipata e si legge “a posticipato figurato m al tasso i”. Utilizzando questaconvezione il valore attuale di una rendita con rata pari ad R e dato da,

V (0) = R am i. (1.88)

Si ipotizzi adesso che i pagamenti siano effettuati all’inizio di ogni periodo.Il valore attuale sara dato da,

V (0) =m

∑

j=1

Vjpj−1 = R

1

p

m∑

j=1

p j.

Sostituendo al posto della sommatoria l’espressione (1.86) si ottiene,

V (0) = R1

pam i = R

1 − pm

1 − p= R

1 − (1 + i)−m

d, (1.89)

dove d = i/(1 + i). Il termine

am i =1 − (1 + i)−m

d(1.90)

rappresenta il valore attuale di una rendita unitaria anticipata e silegge “a anticipato figurato m al tasso i”.Nei casi in cui gli accantonamenti periodici servono a creare un capitale chesara utilizzato in un’epoca futura (p. es.: un fondo pensione, un’assicura-zione sulla vita), e necessario determinare il valore futuro delle rate versateperiodicamente. In particolare,

V (m) = R p−(m−1) + R p−(m−2) + . . . + R =

= Rm

∑

j=1

p−(m−j) = R p−m

m∑

j=1

p j =

= R p−m p1 − pm

1 − p= R (1 + i)m 1 − (1 + i)−m

i,

da cui si ottiene,

V (m) = R(1 + i)m − 1

i= R sm i, (1.91)

dove,

sm i =(1 + i)m − 1

i, (1.92)



rappresenta il valore futuro di una rendita unitaria posticipata esi legge “s posticipato figurato m al tasso i”. Si lascia allo studente ladimostrazione che il valore futuro di una rendita anticipata e dato da,

V (m) = R(1 + i)m − 1

d= R sm i, (1.93)

dove,

sm i =(1 + i)m − 1

d, (1.94)

e il valore futuro di una rendita unitaria anticipata.Le rendite perpetue sono rendite costituite da un insieme infinito di paga-menti periodici, in simboli, m → ∞. Per esempio, la valutazione del valorefondamentale di un titolo azionario che paga un certo dividendo periodi-co e assimilabile ad una rendite perpetua. Il valore attuale di una renditaperpetua e dato da,

V (0) = limm→∞

Rm

∑

j=1

p j = R∞

∑

j=1

p j. (1.95)

La convergenza della serie geometrica e garantita dal fatto che 0 < p < 1, dacui si ottiene che,

V (0) = Rp

1 − p= R a

∞ i, (1.96)

dove,

a∞ i =

1

i(1.97)

rappresenta il valore attuale di una rendita perpetua unitaria po-sticipata. Si puo dimostrare che il valore attuale di una rendita perpetuaanticipata e dato da,

V (0) = R a∞ i, (1.98)

dove,

a∞ i =

1

d, (1.99)

e il valore attuale di una rendita perpetua unitaria anticipata.Le rendite differite hanno le stesse caratteristiche delle tipologie di renditeanalizzate sinora. L’unica differenza e che l’epoca in cui avviene il pagamentodella prima rata e differito di h periodi. Il valore attuale di una rendita



posticipata differita di h periodi e dato da,

V (0) = R ph+1 + R ph+2 + . . . + R ph+m =

= Rh+m∑

j=h+1

p j = Rm

∑

j=1

p j+h =

= R ph

m∑

j=1

p j = R ph p1 − pm

1 − p,

da cui si ottiene,V (0) = R ph am i = R ham i, (1.100)

dove ham i rappresenta il valore attuale di una rendita unitaria posti-cipata differita di h periodi e si legge “a posticipato figurato m al tassoi differito h”. Nel caso di rate anticipate si dimostra facilmente che,

V (0) = R ph am i = R ham i, (1.101)

dove,

ham i (1.102)

e il valore attuale di una rendita unitaria anticipata differita di hperiodi e si legge “a anticipato figurato m al tasso i differito h”.I risultati finora ottenuti possono essere facilmente estesi ai casi in cui laperiodicita delle rate e diversa da quella con cui e espressa il tasso d’interesse.In tal caso la rata R invece di essere versata alla fine del periodo e frazionatain n parti, ed e versata alla fine dell’n–esima frazione del periodo considerato(nel caso di rendite anticipate, il pagamento della frazione di rata si effettuaall’inizio di ogni sub–periodo). Pertanto, la rata frazionata e data da R′ =R/n e il numero di periodi sara pari ad m′ = n · m. E evidente che il tassoda utilizzare deve essere riferito al nuovo periodo di frazionamento, quindi,i′ = (1+i)1/n−1. Per determinare il valore attuale o futuro bastera applicarele formule viste sopra con i nuovi parametri R′, m′ ed i′.Un tipico esempio di costituzione di capitale sono i fondi pensione a contri-buzione definita, ossia quei fondi dove il datore di lavoro versa i contributispettanti al lavoratore. Il valore futuro di tale fondo e costituito dalla som-ma dei versamenti rivalutati ad un tasso d’interesse predeterminato oppurelegato a qualche indice di mercato. Tali rendite sono anche dette rendi-te crescenti proprio per la loro caratteristica di accrescimento dovuta aiversamenti periodici effettuati dall’investitore.Una volta costituito il capitale necessario alle esigenze dell’investitore (o delfuturo pensionato), premesso che il capitale costituito fruttera a sua volta



degli interessi, e possibile determinare una sequenza periodica di prelievi taleda azzerare il conto iniziale in un certo numero di anni. In prima approssi-mazione questo meccanismo e identico a quello che avviene per i pagamentidelle pensioni3. In tal caso il capitale costituito rappresenta il valore attualedei prelievi periodici che si effettueranno nel futuro ed, in esattamente mprelievi sara possibile azzerare il conto su cui era stata versata la sommainiziale. Tali rendite sono anche dette rendite decrescenti in quanto de-finiscono il meccanismo attraverso il quale e possibile ridurre un conto chefrutta un certo tasso d’interesse.Per esempio, nei prestiti rateali, in cui il finanziatore eroga una somma didenaro ad un terzo per l’acquisto di un bene, il flusso di pagamenti (le rate)da parte del debitore rappresenta per il creditore un flusso di entrate di unarendita decrescente, dove le rate possono essere considerate alla stessa streguadei prelievi da un fondo, costituito dalla somma data in prestito, che saraazzerato in m rate.

Esempio 1.21: Il sig. Keynes intende istituire un fondo di dotazione dalquale suo figlio possa prelevare 1000e ogni mese per 10 anni. Il fondo prevedeche il capitale investito renda un interesse pari al 6.5% su base annuale e chegli interessi siano capitalizzati mensilmente. Qual e l’investimento inizialeche deve affrontare il sig. Keynes?In questo caso non si tratta di una costituzione di capitale, ma bensı, delladeterminazione della somma iniziale da investire affinche il figlio del sig.Keynes possa in 10 anni, con prelievi mensili, azzerare il fondo in cui e statoversato il valore attuale dei prelievi futuri. Si tratta, quindi, di una renditadecrescente con R = 1000, i = 6.5%, periodicita n = 12, m = 10 anni.Essendo la rendita di tipo frazionato e necessario determinare m′ ed i′, quindi,

m′ = 12 · 10 = 120

i′ = (1 + 0.065)1/12 − 1 = 0.005261694.

L’investimento iniziale che garantisce il prelievo mensile di 1000e e dato da,

V (0) = 1000 ·1 − (1 + 0.005261694)−120

0.005261694= 88806.74929,

quindi, un versamento di 88,806.73e garantira il prelievo mensile di 1000eper 10 anni.Si ipotizzi che l’inizio del prelievo da parte del figlio del sig. Keynes nonavvenga alla fine del mese successivo all’investimento iniziale, ma dopo 3

3Una valutazione piu precisa deve tenere conto della probabilita di morte del soggettoin questione.



anni. In tal caso la rendita decrescente e differita di 3 anni. Il valore attualee dato da,

V (0) = 1000 · (1 + 0.065)−3 ·1 − (1 + 0.005261694)−120

0.005261694= 73518.58674.

Come era ovvio aspettarsi, l’investimento iniziale e minore in quanto il diffe-rimento dei prelievi permette al deposito iniziale di generare un ammontaredi interessi maggiore.Si ipotizzi adesso che il sig. Keynes voglia che il figlio, oltre i prelievi men-sili, alla fine del decimo anno riceva quanto rimasto nel fondo e che talerimanenza ammonti a 8000e. In tal caso, il deposito iniziale consta di duecomponenti: il valore attuale dei prelievi futuri ed il valore attuale della ri-manenza che, alla fine del decimo anno, deve ammontare a 8000e. Quindi,si avra che,

V (0) = 8000·(1+0.065)−10+1000·1 − (1 + 0.005261694)−120

0.005261694= 93068.55757.

Se il sig. Keynes deposita 125,000e, quanti anni sono necessari affinche ilconto sia azzerato? Ed affinche rimangano sul conto 3000e?In questo caso l’incognita e il numero di anni m. Ricordando che

V (0) = R1 − (1 + i′)−n m

i′

definisce quell’ammontare che e necessario depositare affinche nm prelieviazzerino il fondo di dotazione, indicando con x il numero di anni (incogniti)e risolvendo la seguente equazione

125000 = 1000 ·1 − (1 + 0.005261694)−12·x

0.005261694,

si ottiene che,

x = −1

12·log(1 − 0.005261694·125000

1000)

log(1 + 0.005261694)= 17.024,

ossia, circa 17 anni.In maniera analoga e possibile determinare il numero di anni necessari af-finche nel fondo rimangano 3000e. Si lascia allo studente la soluzione.



Esempio 1.22: Il sig. Samuelson decide di integrare la sua pensione condei versamenti semestrali di 5000e ad un tasso i = 5% annuale. Quan-ti versamenti deve effettuare affinche il capitale finale non sia minore di30,000e?Il caso in esame e un tipico esempio di rendita crescente dove il parametromancante e il numero di rate necessario affinche sia possibile costituire uncapitale maggiore od uguale a 30,000e. In particolare, dato che il tassosemestrale e dato da i′ = (1 + 0.05)1/2 − 1 = 0.024695077, basta imporre che,

5000 ·(1 + i′)2·x − 1

i′≥ 30000,

da cui,

x ≥log

[

1 + 0.024695077·300005000

]

2 · log(1 + 0.024695077)= 2.831918547.

Si verifica facilmente che scegliendo x = 3 (quindi, m′ = 6 rate), il valorefuturo dei versamenti semestrali e pari a,

V (6) = 5000 ·(1 + 0.024695077)2·3 − 1

0.024695077= 31914.25614

1.6.1 Piani d’ammortamento

Un ammortamento consiste nel dilazionare un prestito su di un intervallodi tempo. Gli ammortamenti hanno la stessa struttura di una rendita, in-fatti il debitore non attua altro che uno“scambio” fra il flusso di pagamentiR = {R1, R2, . . . , Rm}, da versare all’istituto di credito, e la somma presa inprestito S. La somma S non e altro che il valore attuale del flusso R, scon-tato ad un tasso i, che rappresenta la remunerazione per l’istituto di credito.Redigere un piano d’ammortamento consiste nel distinguere all’internodelle rate Rk una quota capitale ed una quota interesse. Le motivazionisono di carattere prevalentemente pratico. Infatti, le quote d’interesse, a dif-ferenza delle quote capitale, rappresentano un costo per il debitore ed hannoun diverso trattamento fiscale. In caso di contenzioso, dovuto all’insolvenzadel debitore, le quote capitale seguono una corsia preferenziale, a differenzadelle quote interessi su cui grava un giudizio di congruita.Si denoti con A = {S,−R1,−R2, . . . ,−Rm} il piano d’ammortamento delcapitale S sullo scadenzario t = {0, 1, 2, . . . ,m}. Il valore temporale in tk = k



e dato da,

Ak = Sp−k −k

∑

j=1

Rjp−(k−j) −

m∑

j=k+1

Rjp(j−k). (1.103)

Il valore del debito al tempo k e dato da Sp−k, mentre il valore del debitoestinto e dato da,

k∑

j=1

Rjp−(k−j). (1.104)

La differenza fra queste due quantita fornisce l’ammontare del debito resi-duo al tempo k:

Dk = Sp−k −k

∑

j=1

Rjp−(k−j); (1.105)

si osservi che Dk−1 e dato da,

Dk−1 = Sp−(k−1) −k−1∑

j=1

Rjp−(k−j−1). (1.106)

Con semplici passaggi algebrici si ottiene che,

Dk = Sp−k −

k−1∑

j=1

Rjp−(k−j) − Rk =

= p−1

[

Sp−(k−1) −k−1∑

j=1

Rjp−(k−j−1)

]

− Rk.

Il termine fra parentesi quadre e uguale a Dk−1, da cui,

Dk = (1 + i)Dk−1 − Rk = Dk−1 + iDk−1 − Rk.

Ricavando Rk dalla precedente relazione si ha che,

Rk = Dk−1 − Dk + iDk−1. (1.107)

La rata Rk e composta dalla differenza fra il debito residuo al tempo k − 1e quello al tempo k—la quota capitale—e l’interesse sul debito residuo altempo precedente—la quota interessi—,

Ck = Dk−1 − Dk (1.108)

Ik = iDk−1. (1.109)



k Ck Ik Rk Dk

0 − − − D0 = S1 C1 iD0 C1 + I1 D1 = S − C1

2 C2 iD1 C2 + I2 D2 = D1 − C2...

......

......

m Cm iDm−1 Cm + Im Dm = Dm−1 − Cm = 0

Tabella 1.2: Generico piano d’ammortamento.

Si verifica facilmente che la somma delle quote capitale e proprio il capitalepreso in prestito S. Infatti,

m∑

j=1

Cj =m

∑

j=1

(Dj−1 − Dj) =

= D0 − D1 + D1 − D2 + . . . + Dm−1 − Dm =

= D0 − Dm = S,

in quanto D0 = S e Dm = 0.Il capitale preso in prestito S puo essere restituito durante la vita del con-tratto secondo un piano di rimborso qualsiasi, a patto che la condizione dichiusura elementare,

S =m

∑

j=1

Cj

venga rispettata. Gli importi delle rate, esigibili nei tempi descritti dalloscadenzario t, si determinano in base alla relazione,

Rk = Ck + Ik. (1.110)

Nella Tabella 1.2 e riportato un generico piano d’ammortamento.I due tipi di ammortamento piu diffusi sono l’italiano (o uniforme) in cui lequote capitali sono costanti, ed il francese (o progressivo) nel quale invecesono costanti le rate. Nell’ammortamento italiano la condizione di chiusuraelementare impone che

m C = S ⇒ C =S

m.

Le rate Rk si determinano tramite la (1.110) e chiaramente non sono costanti.Per quanto riguarda l’ammortamento francese, la rata costante si determinaricordando che la condizione di chiusura iniziale impone che,

S = R am i ⇒ R =S

am i



Esempio 1.23: Caio prende in prestito 250,000e al tasso i = 7.2% annuoda estinguere in 10 anni. Caio intende ripagare il debito con rate semestralicostanti. Determinare la rata ed il piano di ammortamento.Essendo le rate con periodicita semestrali, si deve trasformare il tasso annualein semestrale equivalente, i2 = (1 + 0.072)1/2 − 1 = 0.0354. La rata costantee data da,

R =S

a20 i2

=250,000

14.164= 17,650e.

Il piano d’ammortamento e riportato nella Tabella 1.3.Il preammortamento consiste nel posticipare il pagamento delle quote capitaliin un istante temporale futuro. Di solito nel periodo di preammortamentopuo essere richiesto il pagamento della quota interesse. Si ipotizzi che Caioper ammortizzare l’acquisto di un nuovo macchinario chieda un prestito di100,000e con un preammortamento di 3 anni. Il prestito sara ripagato conrate trimestrali in un arco di 3 anni. Il tasso praticato e i = 7% annuo.Determinare il piano di ammortamento con le opzioni di preammortamento.Nel caso in cui nel periodo di preammortamento non sia corrisposto alcunpagamento (ne interessi ne quota capitale), l’operazione finanziaria puo es-sere vista come una rendita differita con h = 3 anni. In questo caso, nelperiodo di preammortamento, il debito cresce ad un tasso pari ad i. La ratache rende equa l’operazione e data da,

R =S

ham i4

dove,

ham i4 = (1 + 0.07)−3 1 − (1 + 0.0171)−12

0.0171= 8.791, quindi

R =100000

8.791= 11,375.71e.

Il piano d’ammortamento e riportato nella Tabella 1.4. Si osservi che il debitoresiduo cresce fino al tempo 3 in quanto negli anni di preammortamento nonsono pagati ne interessi ne quota capitale. Nel caso in cui negli anni dipreammortamento sono pagati gli interessi sul debito residuo, e necessarioricalcolare la rata in quanto l’operazione di finanziamento e come se fossedifferita di tre anni. In questo caso il debito rimane costante per i primi treanni, dopodiche, oltre agli interessi, si ripaga il capitale. La rata sara data



k Ck Ik Rk Dk

0 - - - 250000.001 8806.32 8843.58 17649.90 241193.682 9117.84 8532.06 17649.90 232075.843 9440.37 8209.53 17649.90 222635.474 9774.32 7875.58 17649.90 212861.155 10120.08 7529.82 17649.90 202741.076 10478.07 7171.83 17649.90 192262.997 10848.73 6801.17 17649.90 181414.278 11232.49 6417.41 17649.90 170181.779 11629.84 6020.07 17649.90 158551.9410 12041.23 5608.67 17649.90 146510.7011 12467.18 5182.72 17649.90 134043.5212 12908.20 4741.70 17649.90 121135.3213 13364.82 4285.08 17649.90 107770.5014 13837.59 3812.31 17649.90 93932.9115 14327.09 3322.81 17649.90 79605.8216 14833.90 2816.00 17649.90 64771.9217 15358.64 2291.26 17649.90 49413.2818 15901.94 1747.96 17649.90 33511.3419 16464.46 1185.44 17649.90 17046.8820 17046.88 603.02 17649.90 0.00

Tabella 1.3: Piano d’ammortamento con rata semestrale costante.

da,

R =S

am i4

dove,

am i4 =1 − (1 + 0.0171)−12

0.0171= 10.762, quindi

R =100000

10.762= 9285.97.

Il piano d’ammortamento prevede il pagamento degli interessi nei primi treanni (i · S) ed infatti il debito residuo rimane costante. Il piano d’ammorta-mento in questione e riportato nella Tabella 1.5.



k Ck Ik Rk Dk

0 - - - 100000.001 - - - 107000.002 - - - 114490.003 - - - 122504.30

3.25 9285.97 2089.74 11375.71 113218.333.5 9444.38 1931.34 11375.71 103773.953.75 9605.48 1770.23 11375.71 94168.474 9769.34 1606.38 11375.71 84399.13

4.25 9935.99 1439.72 11375.71 74463.144.5 10105.48 1270.23 11375.71 64357.664.75 10277.87 1097.85 11375.71 54079.805 10453.19 922.52 11375.71 43626.61

5.25 10631.51 744.21 11375.71 32995.105.5 10812.87 562.85 11375.71 22182.235.75 10997.32 378.40 11375.71 11184.926 11184.92 190.80 11375.71 0.00

Tabella 1.4: Piano d’ammortamento con preammortamento a paga-menti zero.

k Ck Ik Rk Dk

0 - - - 100000.00

1 - 7000.00 - 100000.00

2 - 7000.00 - 100000.00

3 - 7000.00 - 100000.00

3.25 7580.12 1705.85 9285.97 92419.88

3.5 7709.42 1576.55 9285.97 84710.46

3.75 7840.94 1445.04 9285.97 76869.52

4 7974.69 1311.28 9285.97 68894.83

4.25 8110.73 1175.24 9285.97 60784.11

4.5 8249.08 1036.89 9285.97 52535.02

4.75 8389.80 896.17 9285.97 44145.22

5 8532.92 753.05 9285.97 35612.31

5.25 8678.48 607.49 9285.97 26933.83

5.5 8826.52 459.45 9285.97 18107.31

5.75 8977.09 308.88 9285.97 9130.22

6 9130.22 155.75 9285.97 0.00

Tabella 1.5: Piano d’ammortamento con preammortamento in cuisono versate le quote interessi.


1.7 Criteri di scelta finanziaria 54

1.7 Criteri di scelta finanziaria

La convenienza fra due tipi di investimenti, la scelta fra due forme di finan-ziamento, la stipula di un contratto di assicurazione, etc., sono problemi checonsistono nell’ordinare due o piu f.f. secondo un senso di preferibilita. Co-me osservato nel paragrafo precedente, la valutazione di un f.f. deve essereeffettuata tenendo conto della remunerazione del capitale.In letteratura esistono diversi criteri di scelta. In questo testo si illustrera ilValore Attuale Netto (VAN) o Net Present Value (NPV). Un criteriocomunemente utilizzato e il Tasso Interno di Rendimento (TIR) o In-ternal Rate of Return. In effetti tale criterio presenta delle inconsistenzelogiche che ne inficiano l’applicazione pratica. In finanza, comunque, il TIR eun parametro fondamentale per l’analisi della redditivita dei titoli a redditofisso.

1.7.1 Il valore attuale netto

Scelto un modello di equivalenza finanziaria, si puo procedere alla valuta-zione di un f.f. riportando gli importi dislocati nel tempo alla data di va-lutazione. Il valore ottenuto e cosı confrontabile, in termini monetari, conaltre opportunita di investimento (o finanziamento) riferite alla stessa datadi valutazione.Nella pratica si indica con t0 = 0 l’istante di valutazione, quindi, il valoredel f.f. si ottiene attualizzando gli importi in t0. Dato uno scadenzariot, il f.f. C e definito da una serie di importi (positivi o negativi) futuri,{C1, C2, . . . , Cm}. Il f.f. C e conveniente secondo il criterio del VAN se,

C0 + C(t0) > 0, (1.111)

dove C0 rappresenta l’ammontare ricevuto o versato in t = 0 e la somma sideve considerare in senso algebrico.In un operazione di investimento, a fronte di un esborso iniziale C0, si ottieneun f.f. il cui valore in t0 e dato da C(t0). Se la somma algebrica e positiva,secondo il criterio del VAN, sara conveniente intraprendere l’investimentoproposto.Nel caso in cui si debba effettuare il confronto fra due investimenti, C e D,risultera piu conveniente l’operazione D, se,

D0 + D(t0) > C0 + C(t0). (1.112)

Si osservi che, una volta determinato il valore dei flussi nell’istante di va-lutazione t0, il confronto consiste nello scegliere il flusso che ha un importomonetario maggiore.



-500

0

500

1000

1500

2000

2500

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

i

VAN

Figura 1.13: Valore attuale netto di un f.f. in funzione del tasso i.

I moderni fogli elettronici contengono funzioni che permettono di determinareil VAN per f.f. di qualsiasi tipo. In particolare, Excel fornisce le funzioniVAN() e VAN.X().La maggiore obiezione all’utilizzo del VAN riguarda la soggettivita nella scel-ta del tasso cui attualizzare gli importi futuri. Nella Figura 1.13 e riportatoil VAN in funzione del tasso i. Come si puo notare a secondo del livello di iprescelto il VAN varia sostanzialmente. A questa critica si puo comunque re-plicare facendo notare che la scelta del tasso dipende da fattori che non sonototalmente soggettivi. Per esempio, si potrebbe considerare un tasso per ope-razioni simili, oppure utilizzare la struttura dei tassi osservabile nell’istantedi valutazione.

1.7.2 Il tasso interno di rendimento

Un’operazione finanziaria e equa se il valore delle somme incassate e ugualeal valore delle somme pagate. Sia V un f.f. in cui almeno uno degli importiVj ha segno diverso dagli altri, allora V (tk) e equa in tk se

V (tk) = 0.

Le rendite e gli ammortamenti sono per costruzione operazioni finanziarieeque. Nel caso di una rendita perpetua la rata e determinata in modo che ilvalore attuale dei pagamenti futuri sia uguale al capitale accumulato; negli



ammortamenti la condizione di chiusura iniziale impone che,

m∑

j=1

Rj(1 + i)−j =m

∑

j=1

Cj = S.

In particolare, nell’ammortamento francese si ha che R am i = S.Dato il generico f.f. V , in cui almeno uno degli importi Vj ha segno diversodagli altri, il problema del Tasso Interno di Rendimento (TIR) o Inter-nal Rate of Return (IRR) consiste nel determinare quel tasso i∗ tale chel’o.f. sia equa. Da un punto di vista finanziario il TIR e quel tasso per cui,

Rm pm + Rm−1 pm−1 + . . . + R1 p − S = 0, (1.113)

dove p = (1 + i∗)−1.Da un punto di vista matematico, la determinazione del TIR consiste nelrisolvere l’equazione di m–esimo grado data dalla (1.113). In generale lasoluzione della (1.113) si ottiene numericamente. In commercio esistono nu-merosi prodotti che permettono di determinare la soluzione dell’equazione(1.113). In particolare, su Excel sono disponibili le funzioni TIR.COST() eTIR.X().In alcuni testi il TIR e utilizzato per effettuare scelte fra due o piu flussifinanziari. Come visto sopra, per valutare due o piu f.f. si e calcolato ilvalore temporale in un istante tk e si sono ordinati i valori ottenuti nel sensodella preferibilita dell’investimento.Una delle obiezioni all’uso del VAN e che il risultato finale dipende dal tassod’interesse scelto nell’attualizzazione degli importi. In effetti il TIR si sottraea questo inconveniente in quanto il tasso e soluzione dell’equazione del valoredel flusso.Effettuare una scelta in base al TIR consiste nello scegliere quel f.f. con TIRmaggiore, se si tratta di un’operazione di investimento, o con il TIR minore,se si tratta di un’operazione di finanziamento. Questo approccio pero celaun fattore che e ben piu grave della scelta arbitraria del tasso: il rischiodi reinvestimento. Il TIR, infatti, assume che, nel caso di operazioni diinvestimento, i flussi futuri siano reinvestiti al tasso i∗.Anche per il VAN si assume che gli importi futuri siano investiti al tasso i,ma al contrario del TIR, che e determinato dalla struttura del f.f. in esame, iltasso utilizzato dal VAN proviene da valutazioni economico-finanziario (costodel capitale, tasso di mercato, etc.) che hanno una certa consistenza con ilmercato cui e riferito il flusso finanziario.Un ulteriore vantaggio logico del VAN e che si potrebbero mettere a puntodelle simulazioni con proiezioni sui tassi d’interesse in modo da tenere contodelle possibili configurazioni degli stati di natura futuri.


1.8 Titoli a cedola fissa 57

Esempio 1.24: Si considerino i seguenti flussi: V1 = {−100, 20, 110, 0} eV2 = {−100, 0, 0, 140}. Il TIR del flusso V1 si ottiene risolvendo la seguenteequazione di secondo grado,

110 · p2 + 20 · p − 100 = 0,

da cui i∗1 = 0.154. Per il flusso V2 si trova facilmente che,

i∗2 =

(

140

100

)1/3

− 1 = 0.119.

Secondo il criterio del TIR l’opportunita di investimento V1 e preferibile al-l’opportunita V2 in quanto i∗1 > i∗2. Si ipotizzi adesso che il tasso a cui epossibile reinvestire gli importi V11 e V12 sia pari a j = 6%. Il valore futurodi tali importi al tempo t3 = 3 sara pari a,

20 · (1 + 0.06)2 + 110 · (1 + 0.06) = 139.072.

Quindi, nel caso in cui i proventi dell’investimento V1 non possano esse-re reinvestiti al tasso i∗1, il valore in t3 = 3 e inferiore all’opportunita diinvestimento V2.

1.8 Titoli a cedola fissa

I titoli a reddito fisso (fixed income securities) sono caratterizzati dal pa-gamento periodico di un interesse e dalla restituzione a scadenza del capitaleinvestito. Nella terminologia finanziaria i titoli a reddito fisso sono anchenoti con il nome di obbligazione o coupon bearing bond (CBB). Dalpunto di vista dell’investitore, un’obbligazione e rappresentata da un f.f. diimporti che sono determinati moltiplicando il tasso cedolare (coupon ra-te) per il valore facciale4 (face value). Lo scambio avviene a fronte delpagamento del prezzo, che e anch’esso espresso in percentuale del valore fac-ciale. I titoli a cedola fissa rappresentano una forma di finanziamento per loStato e le imprese. A secondo dell’affidabilita dell’emittente le obbligazionipagano un diverso tasso d’interesse. La differenza fra due categorie crediti-zie e da imputare al cosiddetto rischio di default, ossia il rischio connesso

4Il termine valore facciale deriva dal fatto che nel passato i titoli obbligazionari eranofisicamente stampati e indicavano su di una facciata il valore da rimborsare a scadenzao su cui calcolare la cedola. In particolare, alcuni titoli erano provvisti di una serie ditagliandi da “staccare” ogni volta che maturava il pagamento degli interessi periodici.



alla probabilita che l’emittente non onori in parte o del tutto il suo debito.Le diverse categorie sono indicate da una sigla composta da combinazioni dilettere (maiuscole e minuscole) e numeri. Per esempio, AAA e la categoriacon minore rischio; AAa ed AA2 hanno una maggiore probabilita di default.Seguono le categorie BBB, BB, . . ., CCC, fino a D, che indica lo stato di de-fault. Sulla base di parametri economico–finanziari le societa di rating (p.es.: Moody’s, KPMG) o organi internazionali (p.es.: l’FMI) attribuiscono ilcosiddetto rating score. Nella Figura 1.14 e riportata la lista dei ratingsdi alcuni paesi. Il debito italiano e classificato Aa2, migliore di quello greco(A2), ma peggiore di quasi tutti gli altri paesi EU (Aaa). Si noti che il ratingdell’Argentina e Ca, mentre nel 2001 era Caa1; il declassamento e dovuto almancato pagamento del debito contratto.Si osservi che in data 5/10/2001 (fonte: Il Sole24Ore del 5/10/2001) il rendi-mento di un’obbligazione con scadenza 2010 emessa dall’Argentina era parial 16.46%; nello stesso giorno il rendimento di un BTP con la stessa sca-denza era pari al 4.95%. La differenza e dovuta alla diversa rischiosita deidue paesi. L’investitore che acquista titoli argentini richiede una maggioreremunerazione dovuta al cosiddetto rischio paese.

1.8.1 Il rendimento a scadenza

Come visto nel paragrafo 1.4, la remunerazione per l’investimento in titoli acedola nulla deriva unicamente dal guadagno in conto capitale (si compra,per esempio, a 98 e si ottiene 100 a scadenza). Per questo motivo durante lasua vita il prezzo di uno ZCB sara sempre minore di 100.Il rendimento di un BOT sintetizza la remunerazione, su base annua, perquesto tipo di investimenti. Nell’Esempio 1.9 tale rendimento e stato cal-colato utilizzando il modello d’interesse lineare. Nulla vieta, comunque, diutilizzare il modello esponenziale.L’operazione finanziaria che caratterizza uno ZCB unitario e rappresenta-ta dal f.f. V = {−B(t, s), 1} sullo scadenzario t = {t, s}. L’operazionefinanziaria V e equa per costruzione, infatti,

B(t, s) = [1 + i(t, s)]−(s−t) , (1.114)

ed il tasso i(t, s) si ottiene come soluzione della (1.114). Il tasso i(t, s), oltrea misurare la redditivita del titolo, e anche il tasso che rende equa V ,

i(t, s) =

[

1

B(t, s)

]1/(s−t)

− 1. (1.115)

Il tasso i(t, s) e il rendimento che si ottiene mantenendo il titolo fino a sca-



Ratings ListGovernment Bonds &Country Ceilings

August 9, 2002

• 1 •

Government Bonds Country Ceilings for Foreign CurrencyForeign

CurrencyDomesticCurrency

Bondsand Notes

Bank Deposits

Long

Term

Long

Term

Long

Term

Short[1]

Term

Long

Term

Short[1]

Term

Alderney (Channel Islands) — — Aaa P-1 Aaa P-1Andorra — — [4] [4] [4] [4]Argentina Ca Ca Ca NP Ca NPAustralia Aa2 Aaa Aa2 P-1 Aa2 P-1Austria Aaa Aaa [4] [4] [4] [4]Bahamas A3 A1 A3 P-2 A3 P-2Bahamas - Offshore Banks[2] — — Aaa P-1 Aaa P-1Bahrain Ba1[5] Baa3[5] Ba1 NP Ba2 NPBahrain - Offshore Banks[2] — — A3 P-2 A3 P-2Barbados Baa2 A3 Baa2 P-2 Baa2 P-2Belgium Aa1 Aa1 [4] [4] [4] [4]Belize Ba2 Ba1 Ba2 NP Ba3 NPBermuda Aa1 Aaa[5] Aa1 P-1 Aa1 P-1Bolivia B1 B1[5] B1 NP B2 NPBotswana A2[5] A1[5] A2 P-1 A2 P-1Brazil B1 B1 B1 NP B2 NP Bulgaria B1 B1 B1 NP B2 NP Canada Aaa Aaa Aaa P-1 Aaa P-1Cayman Islands Aa3 — Aa3 P-1 Aa3 P-1Cayman Islands - Offshore Banks[2] — — Aaa P-1 Aaa P-1Chile Baa1 A1 Baa1 P-2 Baa1 P-2China A3 — A3 P-2 Baa1 P-2Colombia Ba2 Baa2 Ba2 — Ba3 NPCosta Rica Ba1 Ba1 Ba1 NP Ba2 NPCroatia Baa3 Baa1 Baa3 P-3 Ba1 NPCuba Caa1[5] — Caa1 NP Caa2 NPCyprus A2 A2 A2 P-1 A2 P-1Czech Republic Baa1 A1 Baa1 P-2 Baa1 P-2Denmark Aaa Aaa Aaa P-1 Aaa P-1Dominican Republic Ba2 Ba2[5] Ba2 NP Ba3 NPEcuador Caa2 Caa1 Caa2 NP Caa3 NPEgypt Ba1 Baa1 Ba1 NP Ba2 NPEl Salvador Baa3[5] Baa2 Baa3 P-3 Baa3 P-3Estonia Baa1[5] A1[5] Baa1 P-2 Baa1 P-2Eurozone — — Aaa P-1 Aaa P-1Fiji Islands Ba2[5] Ba2 Ba2 NP Ba3 NPFinland Aaa Aaa [4] [4] [4] [4]France Aaa Aaa [4] [4] [4] [4]Germany Aaa Aaa [4] [4] [4] [4]Gibraltar — — Aaa P-1 Aaa P-1Greece A2 A2 [4] [4] [4] [4]Guatemala Ba2 Ba1 Ba2 NP Ba3 NPGuernsey (Channel Islands) — — Aaa P-1 Aaa P-1Hong Kong A3[5] Aa3[5] A3 P-1 A3 P-1Honduras B2[5] B2 B2 NP B3 NPHungary A3 A1 A3 P-2 A3 P-2Iceland Aa3 Aaa Aa3 P-1 Aa3 P-1India Ba2[5] Ba2 Ba2 NP Ba3 NPIndonesia B3[5] B3 B3 NP Caa1 NPIreland Aaa Aaa [4] [4] [4] [4]Isle of Man Aaa — Aaa P-1 Aaa P-1Israel A2 A2 A2 P-1 A2 P-1Italy Aa2 Aa2 [4] [4] [4] [4]Jersey (Channel Islands) — — Aaa P-1 Aaa P-1Jamaica Ba3 Baa3 Ba3 NP B1 NPJapan Aa1 A2 Aa1 P-1 Aa1 P-1Jordan Ba3 Ba3 Ba3 NP B1 NP

Figura 1.14: Ratings del debito di alcuni paesi (fonte: Moody’s – 9agosto 2002).



−P c V c V c V . . . . . . (1 + c) V

t t1 t2 t3 . . . . . . tm

Figura 1.15: Rappresentazione grafica del flusso finanziario che ca-ratterizza un BTP ed, in generale, un titolo a redditofisso. In questo caso c e la cedola espressa in unita divalore facciale; V e il valore facciale.

denza. Tale rendimento e anche noto come rendimento a scadenza oyield–to–maturity.Per i titoli a cedola fissa il guadagno dell’investitore deriva dalle cedole fu-ture e da eventuali capital gain. Per esempio, in data 05/10/2001, i titoliargentini con scadenza 2010 pagavano una cedola pari all’8.5% annuo, men-tre il BTP con stessa scadenza pagava una cedola del 5.50%. Il prezzo deidue titoli era rispettivamente, 64 e 104.4. In questo caso chi acquista il BTPsubira addirittura una perdita in conto capitale: si paga 104.4 per ottene-re 100 a scadenza. In effetti tale perdita sara compensata dall’incasso dellecedole rimanenti, producendo un rendimento a scadenza sicuramente positi-vo (in caso contrario nessuno acquisterebbe il titolo). Al contrario, il titoloargentino quota abbondantemente sotto il prezzo di rimborso. Cio e dovutoal fatto che gli investitori non considerano sufficiente come remunerazione lecedole che riceveranno nel futuro, ed accetteranno di comprare il titolo solose otterranno un consistente capital gain.E possibile sintetizzare in unico parametro la redditivita di un titolo a cedolafissa?Come accennato nel paragrafo 1.5, un BTP (lo stesso vale per qualsiasi ob-bligazione) puo essere modellato come un f.f. dove a fronte del pagamentodel prezzo di ottiene un flusso di pagamenti futuri (si veda Figura 1.15). Loscambio sara equo se il prezzo pagato in t e uguale al valore attuale del flussodi cedole, piu il valore attuale del nominale esigibile a scadenza. Il tasso chepermette questa uguaglianza e, per definizione, il TIR,

P =m

∑

j=1

V c (1 + i∗)−(tj−t) + V (1 + i∗)−(tm−t) =

= V

[

cm

∑

j=1

(1 + i∗)−(tj−t) + (1 + i∗)−(tm−t)

]

(1.116)

Ricordando le proprieta del TIR, per i titoli a reddito fisso lo YTM determina



il rendimento che si realizzera se si manterra il titolo fino a scadenza e—fattore non trascurabile—se si rinvestiranno le cedole staccate allo stessotasso dello YTM. Data la volatilita dei tassi d’interesse e evidente che questapossibilita e molto remota. Comunque, lo YTM rimane una misura efficaceper valutare “ad occhio” le performance di una obbligazione.In generale, la 1.116 si puo risolvere tramite metodi numerici. L’unico casoin cui esiste una soluzione analitica si verifica quando il titolo obbligazionarioquota alla pari, ossia quando il prezzo e uguale al valore di rimborso. Se siconsidera un bond con valore facciale pari ad uno (si e posto t = 0), si hache,

1 = cm

∑

j=1

pj + pm

1 = c1 − (1 + i∗)−m

i∗+ (1 + i∗)−m

1 − (1 + i∗)−m = c1 − (1 + i∗)−m

i∗

1 =c

i∗, (1.117)

da cui si ricava che, i∗ = c.Di solito le obbligazioni si emettono alla pari. Si ipotizzi che esista un tasso diriferimento del mercato obbligazionario, iM (questo concetto sara approfon-dito con maggiore cura nei prossimi paragrafi). Il prezzo del titolo a cedolafissa sara determinato dalla valore attuale dei flussi futuri, attualizzati altasso iM (iM e infatti il tasso praticato dal mercato, nessun altro agente ra-zionale praticherebbe un tasso diverso). Per costruzione il TIR di tale f.f.sara pari al tasso di mercato, quindi, iM = i∗. Come dimostrato, affinche ilbond sia emesso alla pari deve essere c = i∗ e pertanto, c = iM .Nei successivi periodi probabilmente si modificheranno le condizioni del mer-cato e di conseguenza il tasso iM . Il nuovo prezzo del titolo sara dato dalvalore attuale delle cedole future scontate al nuovo tasso di mercato, i′M . Sei′M > iM , allora il prezzo del titolo sara quotato sotto la pari; se invecei′M < iM , il prezzo del titolo sara quotato sopra la pari. In altri termini, iltasso cedolare rispecchia il tasso medio di mercato ai tempi in cui fu emessoil titolo.Nel caso in cui si sia verificata una discesa dei tassi, titoli con cedole relativa-mente alte saranno piu appetibili; il prezzo del titolo aumentera fintantochelo YTM si allineera con il livello medio del tasso di mercato. Si osservicome i BTP con cedole del 9–10% quotino abbondantemente sopra la pari(120–140). Tali titoli sono stati emessi 10–15 anni fa nel periodo di maggioreindebitamento e conseguente alta inflazione dello Stato Italiano.



In Excel la funzione REND() permette di determinare il rendimento a scadenzain un qualsiasi istante di tempo.

Esempio 1.25: Il 04/10/2001 (valuta 09/10/01) il BTP con codice ISINIT001444378, cedola C = 6% annuale, scadenza tm = 01/05/2031, e quotatoa 104.480. Utilizzando la funzione Excel REND(), il rendimento a scadenza edato da

REND(09/10/01;01/05/2031;0.06;104.48;100;2,1)=5.68%

Il rendimento netto si determina detraendo dalla cedola l’aliquota del 12.5%,c′ = c(1 − 0.125), ed al valore di rimborso finale l’imposta sostitutiva ripor-tata nella colonna imposta sostit.. Quest’ultima e calcolata sul disaggio diemissione. L’equazione del TIR diventa,

P = c′(1 + i∗)−1 + c′(1 + i∗)−2 + . . . + c′(1 + i∗)−m + (1 − imp)(1 + i∗)−m.

Come rappresentato in Figura 1.15 lo schema contrattuale di un BTP e quellodi un f.f. con importi pari a c V . Se si indica con iM il tasso di mercato cuiscontare i pagamenti alle date future, il prezzo del BTP coincide con il valoredel f.f.,

P = V (t) =

[

c

m∑

i=1

(1 + iM)−(ti−t) + (1 + iM)−(tm−t)

]

V =

= B(t, tm)V

Per un euro di valore facciale il prezzo del titolo a cedola fissa e esattamenteB(t, tm). In effetti, per rendere completa la simbologia, sarebbe necessa-rio esplicitare il coupon pagato periodicamente, quindi si dovrebbe scrivereBc(t, tm). Comunque, per non appesantire la simbologia si omettera il para-metro c. La distinzione fra il prezzo di uno ZCB unitario ed un CBB unitariosara evidenziata da una barra sopra la lettera. Se si pone s = tm, il prez-zo di un CBB unitario sara indicato con B(t, s), mentre quello di uno ZCBunitario da B(t, s).Come visto, per i titoli obbligazionari il rendimento a scadenza e dato dal TIRche rende equa l’operazione finanziaria corrispondente. Per un CBB unitario,il cui prezzo e dato da B(t, s), il rendimento a scadenza si indichera cony(t, s). Si osservi la diversa natura del tasso i(t, s) rispetto ad y(t, s): mentreil primo e originato soltanto dai guadagni di capitale, il secondo contieneanche il reddito prodotto dalle cedole. Si osservi inoltre che i(t, s) = y(t, s)soltanto per gli ZCB.


1.9 Titoli indicizzati 63

1.9 Titoli indicizzati

I titoli indicizzati sono caratterizzati da un flusso di importi aleatorio chenon e noto alla stipula del contratto e lo diverra soltanto in istanti di tempoprestabiliti nel futuro.Il meccanismo di indicizzazione, ossia la regola che determina l’entita del-l’importo, e stabilito da norme contrattuali. In questo testo sara trattata laregola di indicizzazione puntuale e sincrona. L’indicizzazione e puntualese il tasso variabile di rivalutazione e riferito ad una sola data, e sincro-na se il pagamento dell’importo indicizzato avviene alla fine del periodo diriferimento dell’indicizzazione.I principali esempi di contratti indicizzati a tassi di interesse sono i titoli atasso variabile (floating rate notes), in breve FRN, ed i mutui indiciz-zati. I titoli del debito italiano a tasso variabile sono noti come Certificatidi Credito del Tesoro (CCT). Un classe di titoli indicizzati che in questianni ha assunto un ruolo rilevante per la gestione dei portafogli obbligazionarisono gli interest rate swap (IRS).

1.9.1 Titoli a cedola nulla indicizzati

Il titolo indicizzato con la struttura piu semplice e il titolo a cedola nullaindicizzato. Per coerenza di scrittura si utilizzera l’acronimo dello ZCBpremettendo una F (per floating) per indicare che si tratta di un titoloindicizzato, in breve FZCB.Si considerino tre istanti di tempo, t < T < s, e si ipotizzi che in t siastato stipulato un contratto a tasso variabile che paghera l’importo aleatorioV(s) alla scadenza s, sulla base del tasso i(T, s). Quindi, V(s) non e notoal momento della stipula in quanto dipende da un tasso aleatorio che saranoto soltanto in T . Si presti attenzione al fatto che l’operazione appenadescritta non e un’operazione forward. Quest’ultima infatti prevede che int sia gia noto il prezzo del titolo che sara scambiato in T . In un FZCB, Te l’istante in cui si effettua la rilevazione del tasso (o del prezzo del ZCB)cui sara calcolato l’importo da pagare in s. L’investitore paghera quindi unammontare certo V (t) per ricevere un importo aleatorio V(s), il cui importodipendera dal prezzo del ZCB rilevato in T per l’intervallo [T, s]. Nella Figura1.16 e rappresentato il flusso generato da un FZCB.Si osservi che una volta noto il tasso d’interesse i(T, s), per ogni euro dicapitale investito in T , si otterra in s un importo maggiore di uno, quindi,

V(s) = 1 + i(T, s) = M(T, s) =1

B(T, s), (1.118)



t

−V (t)

s

V(s)

T

Figura 1.16: Rappresentazione grafica di un’operazione finanziariaspot per un titolo a cedola nulla indicizzato.

t

−V (t)

sT

1

Figura 1.17: Flusso di cassa equivalente al flusso di cassa di unFZCB.

quindi, qualunque sia il tasso che si verifichera in T , si avra che, V (T ) =B(T, s)V(s) = 1.Il valore in t di V (T ) euro esigibili in T e dato da,

V (t) = B(t, T )V (T ), (1.119)

da cui, ricordando che V (T ) = 1, si ha che,

V (t) = B(t, T ). (1.120)

Pertanto, il prezzo di un FZCB e pari al prezzo di un ZCB sull’intervallo[t, T ]. Da un punto di vista grafico, il flusso di un FZCB sull’intervallo [t, s]equivale a quello di un ZCB sull’intervallo [t, T ].L’interesse corrisposto a scadenza da un FZCB e dato da,

C(s) = V(s) − 1 = i(T, s),

graficamente, il flusso di cassa e rappresentato nella Figura 1.18.

t

−c(t)

sT

C(s)

Figura 1.18: Flusso di cassa di una cedola unitaria indicizzata.



Il valore in T della cedola corrisposta in s e noto in T , in quanto il FZCB eindicizzato al tasso registrato in T , quindi,

c(T ) = i(T, s) B(T, s) =

= [M(T, s) − 1] B(T, s) =

= 1 − B(T, s). (1.121)

Il valore in t sara dato da,

c(t) = [1 − B(T, s)] B(t, T ) =

= B(t, T ) − B(t, T )B(T, s) =

= B(t, T ) − B(t, s). (1.122)

Come si puo notare la cedola unitaria di un FZCB e equivalente al flussodi cassa di due importi unitari di segno opposto il cui valore attuale e datodalla (1.122). Graficamente,

t

−c(t)

sT

1 −1

Figura 1.19: Flusso di cassa equivalente ad una cedola unitariaindicizzata.

Si osservi, comunque, che la (1.122) e stata derivata ipotizzando che il model-lo d’interesse sia scindibile, e quindi, B(t, s) = B(t, T )B(T, s). Come visto,la proprieta di scindibilita e praticamente impossibile si verifichi nei mer-cati finanziari. In seguito, sara possibile dimostrare che la (1.122) e validanell’ipotesi piu generale di assenza di arbitraggio.Di solito le cedole di un titolo indicizzato sono maggiorate da uno spread θ.Il valore della cedola e quindi,

C(s) = V(s) − 1 + θ = i(T, s) + θ

Si lascia allo studente di dimostrare che il valore attuale della cedola mag-giorata dallo spread θ e dato da,

c(t) = B(t, T ) − B(t, s) + θB(t, s) = B(t, T ) + (θ − 1)B(t, s). (1.123)

Esempio 1.26: Si consideri un FZCB con scadenza fra un anno e valorefacciale pari ad V = 1,000,000e, indicizzato al tasso dei BOT semestrale



che si realizzera fra sei mesi. Se si pone t = 0, si ha che T = 0.5 ed s = 1.Se in T il tasso del BOT con scadenza fra sei mesi e pari a i(0.5, 1) = 4%,l’investitore ricevera in s, per ogni unita di valore facciale, un ammontarepari a M(0.5, 1) = (1+0.04)0.5 = 1.019803903, per un totale pari a 1000000 ·1.019803903 = 1,019,803.90e. La cedola, per unita di valore facciale, e paria C(1) = 1.98%, per un totale di 1000000 · 0.01980 = 19,803.90e.Quanto vale il FZCB in t = 0? Ovvero, quanto paghera un investitore peracquistare V = 1,000,000e di valore facciale del titolo?Se in t = 0 il rendimento di un BOT a sei mesi e i(0, 0.5) = 4.5%, perogni euro di valore facciale, l’investitore paghera B(t, T ) = (1 + 0.045)−0.5 =0.978231976, per un totale di 1000000 ·0.978231976 = 978,231.98e. Il valoredella cedola in t = 0 sara,

c(0) = 0.978231976 − 0.952380952 = 0.025851024,

dove i(0, 1) = 5% e B(0, 1) = (1 + 0.05)−1 = 0.952380952.Si lascia allo studente di determinare il valore della cedola per l’ammontaredi valore facciale specificato e nel caso in cui il tasso sia stato maggiorato diuno spread θ = 0.30% (o 30 bp).

1.9.2 Titoli a tasso variabile

I titoli a tasso variabile o floating rate notes (FRN) rappresentano la classepiu comune di titoli indicizzati in commercio. Lo schema di riferimentoe simile a quello dei CCB con l’unica differenza che la cedola corrispostaperiodicamente e indicizzata ad un tasso a breve (di solito viene aggiuntoanche uno spread). In Italia i FRN emessi dal Tesoro prendono il nome diCertificati di Credito del Tesoro (CCT).Si indichi con t l’istante di valutazione, con t0 la data di emissione del FRN econ tk, per k = 1, 2, . . . ,m, le date in cui saranno pagati gli importi aleatori.I CCT di ultima generazione hanno un meccanismo di indicizzazione di tipopuntuale. In particolare, la cedola futura e collegata al tasso dei BOT a seimesi dell’ultima asta. Se, per esempio, il CCT paga le cedole semestralmenteil 01/08 ed il 01/02, la cedola del semestre 01/08–31/01 (pagata il 01/02)si determina in base al rendimento del BOT a sei mesi rilevato nell’asta difine luglio. La cedola relativa al semestre 01/02–31/07 (pagata il 01/08) edeterminata dal rendimento dei BOT a sei mesi dell’asta di fine gennaio.All’emissione sara nota la cedola che sara pagata in t1. In t1 sara nota lacedola pagata in t2, e cosı via. Graficamente, lo schema di un CCT e riportatonella Figura 1.20.



−V (t) C(t1) V C(t2) V . . . . . . [1 + C(tm)] V

t t0 t1 t2 . . . . . . tm

Figura 1.20: Rappresentazione grafica dello schema di pagamento diun CCT.

−V (t) V V V . . . . . . V

−V −V . . . . . . −V

t t0 t1 t2 . . . . . . tm

Figura 1.21: Flusso di cassa equivalente ad una CCT. Gli importiopposti si cancellano e rimane soltanto l’importo in t0.

Prima di procedere alla valutazione del CCT, si osservi che il valore in t dellagenerica cedola esigibile in tk e dato da,

c(t) = C(tk)B(t, tk) =

= [V(tk) − 1] B(t, tk) =

= V(tk)B(t, tk−1)B(tk−1, tk) − B(t, tk) =

= B(t, tk−1) − B(t, tk), (1.124)

dove con B(t, tk) si e indicato il valore attuale di un euro esigibile in tk, ossiail prezzo di uno ZCB unitario con scadenza tk.Come per i BTP, il valore del CCT e dato da,

V (t) =m

∑

j=1

V C(tj)B(t, tj) + V B(t, tm) =

= V

m∑

j=1

[B(t, tj−1) − B(t, tj)] + V B(t, tm) =

= V [B(t, t0) − B(t, tm)] + V B(t, tm) =

= V B(t, t0). (1.125)

Quindi, un FRN valutato prima dell’emissione (t < t0) e equivalente al prezzodi uno ZCB con scadenza in t0 e valore facciale pari a V . Nella Figura 1.21e mostrato il meccanismo di cancellazione che conduce alla 1.125.



Nel caso in cui t0 < t < t1, l’importo della prima cedola e noto, quindiC(t1) = c1. Il valore del CCT sara dato da,

V (t) = c1 V B(t, t1) +m

∑

j=2

V C(tj)B(t, tj) + V B(t, tm) =

= c1 V B(t, t1) + V [B(t, t1) − B(t, tm)] + V B(t, tm) =

= V B(t, t1)(1 + c1). (1.126)

Il valore di un CCT dopo l’emissione, e prima della scadenza della primacedola (t0 < t < t1), equivale al valore di uno ZCB con valore facciale pari aV (1 + c1).Nel caso in cui t = t0, per il meccanismo di indicizzazione, il tasso cedolaree pari a c1 = i(t0, t1). Il valore del CCT sara dato da,

V (t) = V B(t0, t1)(1 + c1) = V B(t0, t1) [(1 + i(t0, t1)] =

= V B(t0, t1)M(t0, t1) = V.

Quindi, il CCT all’emissione quota alla pari. Questa e un importante pro-prieta dei CCT ed in generale dei FRN. In qualsiasi istante prima dellascadenza il valore di un FRN e dato da uno dei tre casi appena esposti.Come si puo notare il valore del CCT dipende soltanto dal valore facciale deltitolo e, nel caso in cui tk−1 < t < tk, dalla cedola in corso. Nel caso in cuit = tk, il FRN, e quindi il CCT, quotera sempre alla pari.Il motivo di tale comportamento e legato al fatto che il reddito corrispostodipende dai tassi che si verificheranno nel futuro. In altri termini, il CCTnon e soggetto al rischio connesso alle variazioni del tasso di mercato. Peri BTP, essendo la cedola fissa, un incremento del tasso di mercato riduce ilvalore attuale delle cedole future, quindi il BTP quotera sotto la pari perrecuperare la perdita di valore delle cedole. Il CCT e insensibile a questefluttuazioni in quanto la cedola si adeguera al movimento dei tassi.Se le cedole del CCT sono maggiorate di uno spread, nell’istante in cui lacedola e staccata il titolo non sara perfettamente quotato alla pari. Cio edovuto alla maggiorazione θ che ha le stesse caratteristiche di una cedolafissa.In questo caso, il valore attuale del FRN, nei diversi istanti di valutazione, edato da:



V (t) =

V B(t, t0) + V θm

∑

j=1

B(t, tj) se t < t0

V + V θm

∑

j=k+1

B(t, tj) se t = tk

V B(t, tk) (1 + ck + θ) + V θ

m∑

j=k+1

B(t, tj) se tk−1 < t < tk.

(1.127)

Esempio 1.27: In data 09/10/01 la cedola in corso del CCT IT000367356

e pari a c = 2.50%. Tale cedola sara pagata il 01/04/02, quindi se si ponet = 0, si ha che tk − t = 174 giorni. Si ipotizzi che per operazioni suintervalli di ampiezza tk − t il tasso praticato sia i(t, tk) = 3.37% su baseannua. Determinare il prezzo del CCT.In questo caso B(t, tk) = (1 + 0.0337)−174/365 = 0.984369. Il prezzo del CCT,per ogni unita di valore facciale, e dato da,

V (0) = 0.984369 · (1 + 0.025) = 1.008978

1.9.3 Mutui indicizzati

I mutui a tasso variabile (MTV) sono caratterizzati da rate in cui la quotainteresse e indicizzata ad un tasso di riferimento (di solito l’EURIBOR). Datoil debito residuo Dk−1, ed il tasso di riferimento l(tk−1, tk−1 + τ), la quotainteresse riferita al k-esimo periodo sara nota in k − 1 e sara data da,

Ik = C(tk)Dk−1 = l(tk−1, tk−1 + τ)Dk−1.

Dato lo scadenzario t = {t0, t1, . . . , tm}, in ogni istante tk, tale che k =1, 2, . . . ,m, e previsto il pagamento di una rata Rk composta da una quo-ta capitale Ck, nota alla stipula del contratto, ed una quota interesse Ik,aleatoria fino a tk−1,

Rk = Ck + Ik.

In pratica in un MTV e conveniente determinare il flusso di quote capitali(anche costanti) con la condizione che

∑mj=1 Cj = S, e ricordando che D0 = S

e Dk = Dk−1 −Ck sara noto anche il flusso dei debiti residui. A tali importi



S −R(t1) −R(t2) −R(t3) . . . . . . −R(tm)

t0 t1 t2 t3 . . . . . . tm

Figura 1.22: Rappresentazione grafica dello schema di ammortamen-to di un mutuo a tasso variabile.

si applichera il tasso l(tk−1, tk−1 + τ) (noto in tk−1) per determinare la quotainteresse Ik.Come si evince dalla Figura 1.22, un MTV ha la stessa struttura di un FRNin cui le rate Rk sono assimilabili alle cedole aleatorie del FRN.Si ipotizzi il caso in cui l’istante di valutazione preceda la stipula del con-tratto, t < t0. Il valore dell’MTV e dato da,

A(t) =m

∑

j=1

R(tj)B(t, tj) =

=m

∑

j=1

[CjB(t, tj) + C(tj)Dj−1B(t, tj)] =

=m

∑

j=1

{CjB(t, tj) + Dj−1 [B(t, tj−1) − B(t, tj)]} ,

dove B(t, tj) e il valore attuale di un euro esigibile in tj.Sviluppando la sommatoria si ha che,

A(t) = C1B(t, t1) + D0B(t, t0) − D0B(t, t1)+

+ C2B(t, t2) + D1B(t, t1) − D1B(t, t2)+

+ . . . +

+ CmB(t, tm) + Dm−1B(t, tm−1) − Dm−1B(t, tm).

Raccogliendo insieme i termini con lo stesso fattore di sconto si ottiene,

A(t) = D0B(t, t0)+

+ [C1 − (D0 − D1)] B(t, t1)+

+ [C2 − (D1 − D2)] B(t, t2)+

+ . . . +

+ [Cm−1 − (Dm−2 − Dm−1)] B(t, tm−1)

+ (Cm − Dm−1)B(t, tm).



Ricordando che D0 = S, Dk−1 − Dk = Ck e Cm = Dm−1, sostituendo nella(1.128), i termini della somma si annulleranno tutti, tranne il primo, quindi,

A(t) = SB(t, t0). (1.128)

Pertanto, il flusso rateale in un periodo antecedente alla stipula del contrattoe equivalente ad uno ZCB con valore facciale pari al debito S.Nel caso in cui t0 < t < t1, la prima quota interesse e gia nota ed il valoredel flusso di rate e dato da,

A(t) = (C1 + I1)B(t, t1) +m

∑

j=2

{CjB(t, tj) + Dj−1 [B(t, tj−1) − B(t, tj)]} =

= (C1 + I1)B(t, t1) + D1B(t, t1) = (C1 + D1 + I1)B(t, t1),

Ricordando che C1 + D1 = S si ottiene che,

A(t) = (S + I1)B(t, t1). (1.129)

Nel caso limite in cui t = t0, si dimostra facilmente che A(t) = S, quindi unMTV alla stipula del contratto ha un flusso rateale pari al capitale preso inprestito, che e anche la condizione di equita vista per i mutui a tasso fisso.Come si puo notare, a differenza dei mutui a tasso fisso, il valore delle rateresidue in ogni istante t = tk, per k = 1, 2, . . . ,m, e esattamente pari aldebito residuo,

A(t) = Dk.

Questa proprieta garantisce che il valore di mercato delle rate future eesattamente uguale al debito residuo, ove per valore di mercato s’intende ilvalore del flusso di rate restanti attualizzate ai tassi correnti.L’emissione di un muto da parte di una banca e una operazione di impie-go equivalente all’acquisto di un BTP da parte di un investitore: si pagaun prezzo oggi (il capitale richiesto dal mutuatario) e si riceve una cedolaperiodica (la rata) composta in parte dal capitale prestato e in parte dagliinteressi (nei BTP il capitale e restituito a scadenza, quindi le cedole paganosoltanto la quota interesse). Se dopo l’acquisto del BTP il tasso di mercatosi ridurra, il valore di mercato delle cedole restanti aumentera, e pertanto ilBTP quotera sopra la pari.Alla stessa stregua, una riduzione dei tassi implica per l’istituto bancario unaumento del valore del flusso restante. Se il mutuatario intende riscattare ilmutuo, in quanto e piu conveniente accendere un’altro mutuo ad un tassopiu basso, l’istituto bancario richiedera una remunerazione che tenga contodel mancato guadagno. Infatti, se il mutuatario ripagasse soltanto il debito



residuo, l’istituto bancario si troverebbe nella situazione di dover impiegarequesto capitale ad un tasso di mercato piu basso, con conseguente perdita.Utilizzando la metafora del BTP, e come se lo Stato, data una riduzione deitassi, ripagasse all’investitore il capitale preso in prestito ed emettesse unnuovo BTP.D’altro canto, se dopo l’emissione del mutuo si verificasse un’aumento deitassi, sarebbe certamente conveniente per l’istituto bancario richiedere in-dietro il capitale prestato ed investire in mutui piu remunerativi. Cio non epossibile a meno che la banca non risarcisca il cliente per il maggiore costo.Un MTV mette al riparo la banca dai rischi derivanti dall’aumento dei tassi.In tal caso infatti ricevera una “cedola” maggiore grazie al meccanismo diindicizzazione. Per questo motivo i tassi per MTV sono piu bassi. La rischio-sita e limitata alla possibilita che il mutuo non sia ripagato ed all’incertezzadel tasso nell’intervallo fra il pagamento di due rate.Di solito i MTV sono indicizzati al tasso EURIBOR piu uno spread. In talcaso gli spread rappresentano una componente fissa e pertanto la condizioneA(t) = Dk, per k = 1, 2, . . . ,m, non sara piu vera.

V (t) =

S B(t, t0) + θ

m∑

j=1

Dj−1B(t, tj) se t < t0

Dk + θ

m∑

j=k+1

Dj−1B(t, tj) se t = tk

(Dk−1 + Ik) B(t, tk) + θm

∑

j=k+1

Dj−1B(t, tj) se tk−1 < t < tk.

(1.130)


Capitolo 2

Prezzi e struttura dei tassi

In questo capitolo saranno analizzati i meccanismi che determinano la for-mazione del prezzo degli strumenti finanziari analizzati sinora. Basandosi sudi un mercato ideale, caratterizzato da ipotesi che ne regolano il funziona-mento, si descriveranno le relazioni, e le conseguenze in termini finanziari,dei contratti stipulati fra gli operatori.

2.1 Ipotesi caratteristiche del mercato

Le ipotesi che sottendono un mercato finanziario possono essere cosı sinte-tizzate:

• Non frizionalita.

– Non ci sono costi di transazione ne gravami fiscali.

– I titoli sono infinitamente divisibili.

– Sono consentite vendite allo scoperto (short sales), ossia e possibilevendere titoli che non si possiedono. In altri termini, e possibileemettere titoli obbligazionari.

– Non c’e rischio di insolvenza (default).

• Competitivita.

– Gli operatori massimizzano il profitto.

– Gli operatori non possono influenzare i prezzi di mercato.

• Assenza di arbitraggi.

Si definisce arbitraggio un’ o.f. che consente di ottenere un profitto(profitto di arbitraggio) in assenza di rischio sfruttando disallineamentidi prezzo esistenti sul mercato. Si distinguono:

2.2 Teoremi fondamentali 74

– Arbitraggi di tipo A. Si verificano quando a fronte di un costonullo o negativo si acquista un flusso di importi tutti non negativi,con almeno un pagamento positivo:

c ≤ 0; Vj ≥ 0, tj ∈ t, ∃ k : Vk > 0,

dove t = {t1, t2, . . . , tm}.

– Arbitraggi di tipo B. Si verificano quando a fronte di un costonegativo si acquista un flusso di importi futuri tutti non negativi:

c < 0; Vj ≥ 0, tj ∈ t.

2.2 Teoremi fondamentali

Date le suddette ipotesi, e possibile derivare dei teoremi che caratterizzanole proprieta dei ZCB che sono scambiati nel mercato in esame.

Teorema di decrescenza rispetto alla scadenza.In un mercato in cui non e possibile effettuare arbitraggi non rischiosi devesussistere la seguente disuguaglianza:

B(t, s′) > B(t, s′′), t ≤ s′ < s′′. (2.1)

Nella sezione BOT dei titoli di stato (si veda Figura 1.6) si osserva cheall’aumentare della scadenza si riduce il prezzo dei titoli. Questa proprietadei ZCB e formalizzata nella (2.1) e si dimostra ipotizzando per assurdo cheB(t, s′) ≤ B(t, s′′). Si consideri la seguente strategia di compravendita:

(a): acquisto di uno ZCB unitario con scadenza in s′;

(b): vendita allo scoperto di uno ZCB unitario con scadenza in s′′;

(c): acquisto in s′ di uno ZCB unitario con scadenza in s′′.

La strategia e illustrata nella seguente tabella di payoff:

t s′ s′′

−B(t, s′) 1 0

B(t, s′′) 0 −1

0 −B(s′, s′′) 1

B(t, s′′) − B(t, s′) ≥ 0 1 − B(s′, s′′) > 0 0



L’ultima riga della tabella, ottenuta sommando gli importi esigibili alle stessedate, mostra che tale strategia produce un arbitraggio di tipo A. Pertanto, ladisuguaglianza accettata per assurdo viola il principio di arbitraggio e quindie vera la (2.1).In verita, il mercato non riconosce tale proprieta in base al teorema appenadimostrato. Siccome tutti gli operatori hanno le stesse informazioni, nelcaso si verificasse un’opportunita di arbitraggio del tipo esposto sopra, tutticercherebbero di trarne profitto comprando il titolo con scadenza in s′ evendendo allo scoperto il titolo con scadenza in s′′. Di conseguenza B(t, s′) ⇑e B(t, s′′) ⇓. Tale strategia terminera quando B(t, s′) > B(t, s′′).

Teorema di linearita del prezzo.Come visto nel paragrafo 1.8, il valore di un titolo obbligazionario e datodalla somma delle cedole future e del valore facciale, attualizzate al tasso dimercato. I fattori di sconto, B(t, tj), per j = 1, 2, . . . ,m, rappresentano ilvalore attuale di un euro esigibile in ogni scadenza futura. Se si ipotizza untasso di mercato iM , il prezzo di un BTP equivale al valore attuale di unarendita con pagamenti periodici pari a c V e valore finale V . Nella realtail tasso di mercato non e costante e dipende dall’ampiezza dell’intervallo ditempo (si veda la discussione nel paragrafo 1.4.1), quindi ad ogni fattore disconto B(t, tj) corrisponde un tasso relativo all’intervallo [t, tj]. Cio e evi-dente nel mercato dei BOT: ad ogni scadenza corrisponde un diverso prezzoe, di conseguenza, un diverso tasso.Si ipotizzi che per ogni scadenza j = 1, 2, . . . ,m, esista uno ZCB unitariocon prezzo pari a B(t, tj), data l’infinita divisibilita dei titoli sara semprepossibile costruire un portafoglio contenente Vj unita dello ZCB unitario conscadenza in tj. Il valore di tale portafoglio in t sara apri a,

m∑

j=1

VjB(t, tj). (2.2)

L’ipotesi di assenza di arbitraggio impone che il prezzo del CBB deve essereuguale al valore del portafoglio di ZCB, ossia,

V (t) =m

∑

j=1

VjB(t, tj). (2.3)

Si dimostrera il teorema per assurdo ipotizzando che,

V (t) <m

∑

j=1

VjB(t, tj). (2.4)



In questo caso la strategia d’arbitraggio consiste nel vendere allo scoperto glim ZCB unitari, la cui somma dei valori attuali, per l’ipotesi fatta, e maggioredel prezzo V (t). Il flusso di importi originato dal CBB potra essere acquistatocon i proventi della vendita allo scoperto. La tabella di payoff sara costituitadai seguenti valori:

t t1 t2 . . . tm

−V (t) V1 V2 . . . Vm

V1 B(t, t1) −V1 0 . . . 0

V2 B(t, t2) 0 −V2 . . . 0

......

.... . .

...

Vm B(t, tm) 0 0 . . . −Vm

∑

Vjpj − V > 0 0 0 0 0

Quindi, a fronte di un costo negativo (si acquista il titolo V con i proventidella vendita allo scoperto di m ZCB di importo V1, V2, . . . , Vm) si ottiene unflusso non negativo, il che implica un arbitraggio di tipo B.Un analogo arbitraggio si otterrebbe adottando la strategia opposta, qualorail segno della disuguaglianza tra i prezzi venisse invertito. La (2.3) definisceil valore attuale, nonche il prezzo, di un titolo che paga una cedola periodi-ca. In generale, la (2.3) evidenzia che il valore attuale di un f.f. si ottieneattualizzando i singoli importi con il tasso relativo all’istante di tempo in cuie esigibile.Nei capitoli precedenti si e parlato di f.f. e di come sia possibile ordinarli inun senso di preferibilita. In particolare, nel caso del criterio del VAN, si evisto come una delle maggiori critiche riguardava la scelta, ritenuta arbitra-ria, del tasso d’interesse utilizzato per l’attualizzazione dei pagamenti futuri.Seguendo una logica di mercato, per determinare il valore attuale del f.f. sipotrebbero utilizzare i tassi corrispondenti alla scadenza di ogni pagamento.In tal senso il valore del f.f. e determinato ai prezzi di mercato, e quindinessun operatore pagherebbe di piu, o di meno, in modo da evitare arbi-traggi non–rischiosi. Naturalmente essendo i prezzi dei ZCB relativi a titoliemessi dallo Stato, quindi con basso rischio di default, nel caso di operazionidi investimento in cui esiste una maggiore probabilita di fallimento, si puoapplicare uno spread per tenere conto della maggiore rischiosita.



Teorema dei prezzi impliciti.Nel paragrafo 1.1.2 si e definito il concetto di o.f. a termine e tasso a ter-mine. Il f.f. che caratterizza un contratto a termine e rappresentato daV = {0,−B(t, T, s), 1}, sullo scadenzario {t, T, s}. In generale, il prezzo atermine, B(t, T, s), e diverso dal prezzo a pronti, B(T, s), che il mercatopotra fissare in T per la consegna di un euro in s.Esiste una relazione ben precisa fra prezzi a pronti e prezzi a termine. Inparticolare, per evitare arbitraggi non rischiosi deve essere che,

B(t, T, s) =B(t, s)

B(t, T ), t ≤ T ≤ s, (2.5)

in altri termini, in t, il prezzo a termine, con consegna in T e scadenza in s,e dato dal prezzo a pronti di un ZCB con scadenza in s, capitalizzato in Ttramite il fattore montante 1/B(t, T ) corrispondente allo ZCB con scadenzain T . Si osservi che le quantita coinvolte nella (2.5) sono tutte note in t.La dimostrazione della (2.5) si effettua per assurdo. Si ipotizzi che

B(t, s) > B(t, T ) B(t, T, s), (2.6)

e si adotti la seguente strategia di compravendita,

(a): vendita allo scoperto dello ZCB unitario con scadenza in s;

(b): acquisto a pronti di B(t, T, s) unita dello ZCB unitario che scade in T ;

(c): acquisto a termine, per consegna in T , dello ZCB unitario con scadenzain s.

La seguente tabella di payoff mostra che questa strategia condurrebbe ad unarbitraggio di tipo B:

t T s

B(t, s) 0 −1

−B(t, T ) B(t, T, s) B(t, T, s) 0

0 −B(t, T, s) 1

B(t, s) − B(t, T ) B(t, T, s) > 0 0 0



La (2.5) definisce la relazione fra i prezzi a pronti ed i prezzi a termine. Siosservi che la (2.5) e molto simile alla proprieta di scindibilita,

B(t, s) = B(t, T ) B(T, s).

In effetti le due proprieta differiscono sostanzialmente. Infatti, mentre la (2.5)e sempre valida, a meno di arbitraggi non rischiosi, la proprieta di scindibilitain un mercato finanziario non si verifica mai. In tal senso dovrebbe essereB(T, s) = B(t, T, s), ovvero il prezzo di un ZCB unitario in T con scadenzain s dovrebbe essere uguale al prezzo in t (oggi) di uno ZCB con consegna inT e scadenza in s.Secondo alcune teorie il valore atteso del tasso spot futuro e uguale al tassoforward osservato oggi, nel senso che i tassi forward “anticipano” il tasso spotfuturo. Cio, comunque, non implica che si verifichi il livello di tasso predetto.Come si evince dalla (2.5) il prezzo a termine e dato dal rapporto fra dueprezzi spot, che, come e noto, variano giornalmente.

Un’interessante applicazione del teorema dei prezzi impliciti riguarda la de-terminazione del tasso FRA. Si puo dimostrare che quando un contratto FRAe iniziato il tasso FRA e assegnato in modo che,

1

1 + FRATxs τ/n=

L(t, s)

B(t, T ), (2.7)

dove con L(t, s) si e indicato il valore attuale di un euro esigibile in T + s altasso LIBOR l(t, s).La dimostrazione puo essere effettuata utilizzando lo schema di arbitraggioappena visto. Si osservi che la (2.7) e uguale alla (2.5) tranne che il prezzospot al numeratore e ottenuto utilizzando un tasso LIBOR (si lascia allostudente di verificare la dimostrazione).Il motivo di questa differenza risiede nel fatto che uno dei passaggi dellacostruzione del portafoglio di arbitraggio implica la vendita allo scopertodello ZCB con scadenza in s. In pratica tale vendita allo scoperto consiste inuna operazione di finanziamento ad un tasso pari a quello degli ZCB. Nellarealta questa possibilita e molto remota.La strategia “naturale” che conduce alla (2.7) e la seguente:

(a): si acquisti in t uno ZCB unitario con scadenza in T ;

(b): si finanzi tale acquisto prendendo in prestito (1 + X τ/n) euro al tassoLIBOR l(t, s);

Il valore in t del portafoglio composto dalle due o.f. e dato da,

V (t) = B(t, T ) − (1 + X τ/n)L(t, s) = 0 (2.8)



Il valore in T dello stesso portafoglio sara,

V (T ) = 1 − (1 + X τ/n)L(T, s), (2.9)

dove,

L(T, s) =1

1 + l(T, s) τ/n.

Sostituendo per L(T, s) nella (2.9), si ottiene,

V (T ) = 1 − (1 + X τ/n)1

1 + l(T, s) τ/n. (2.10)

Il valore di un FRA nell’istante di consegna e dato dalla (1.52). Ipotizzandoun nozionale pari ad uno, con semplici passaggi algebrici la (1.52) puo essereriscritta come segue,

Λ(T, s) =

{

1 + l(T, s) τ/n − [1 + FRATxs τ/n]

1 + l(T, s) τ/n

}

=

= 1 − [1 + FRATxs τ/n]1

1 + l(T, s) τ/n. (2.11)

Si osservi che il valore del portafoglio in T e identico al valore del FRA allaconsegna, a meno della quantita X.Nell’istante t il valore del portafoglio ed il valore del FRA sono pari a zero.Dato che i valori iniziali sono nulli, per evitare arbitraggi non–rischiosi, anchei pagamenti in T devono essere uguali. Cio e possibile se e solo se X =FRATxs. Sostituendo per X nella (2.8) si ottiene facilmente la (2.7).

Teorema di valutazione dei FZCB.Nel paragrafo 1.9.1 si e visto che il valore di un FZCB con scadenza in s, nelgenerico istante di valutazione t, con t < T ≤ s, e pari a,

V (t) = B(t, T ).

Questo risultato puo essere dimostrato utilizzando l’ipotesi di assenza diarbitraggio. Si ipotizzi che per assurdo,

V (t) > B(t, T ),

e si realizzi la seguente strategia:

(a): vendita allo scoperto in t del FZCB unitario con scadenza in s;

(b): acquisto a pronti dello ZCB unitario che scade in T ;



(c): acquisto in T di 1/B(T, s) unita dello ZCB unitario con scadenza in s.

La tabella di payoff e data da,

t T s

V (t) 0 − 1B(T,s)

−B(t, T ) 1 0

0 −B(T, s) 1B(T,s)

1B(T,s)

V (t) − B(t, T ) > 0 0 0

L’ultima riga della tabella dei payoff mostra che e possibile realizzare unarbitraggio di tipo B. Analogamente, se si ipotizza che V (t) < B(t, T ),e possibile costruire un’analoga strategia non rischiosa, quindi deve essereV (t) = B(t, T )

Teorema di valutazione cedola indicizzata.Si ipotizzi per assurdo che

c(t) > B(t, T ) − B(t, s).

Si puo realizzare un arbitraggio di tipo B impostando la seguente strategia:

(a): vendita allo scoperto in t del valore attuale della cedola indicizzata c(t);

(b): acquisto a pronti del portafoglio di ZCB unitari B(t, T ) − B(t, s);

(c): acquisto in T di M(T, s) unita dello ZCB unitario con scadenza in s.

La tabella di payoff e data da,

t T s

c(t) 0 −i(T, s) = −M(T, s) + 1

−B(t, T ) 1 0

B(t, s) 0 −1

0 −B(T, s)M(T, s) M(T, s)

c(t) − B(t, T ) + B(t, s) > 0 0 0


2.3 Grandezze caratteristiche del mercato 81

2.3 Grandezze caratteristiche del mercato

Dato il prezzo di uno ZCB con scadenza in s, il tasso d’interesse per o.f. suintervalli di ampiezza s − t e pari a,

i(t, s) =

[

1

B(t, s)

]1/s−t

− 1. (2.12)

Se si ipotizza che il periodo di riferimento e l’anno, il tasso i(t, s) e il tassod’interesse per investimenti di ampiezza s − t, su base annuale. Utilizzandola parametrizzazione del modello esponenziale in funzione dell’intensita, epossibile ricavare l’intensita, su base annuale, per impieghi di ampiezza s− t.Ricordando che,

B(t, s) = e−δ(t,s) (s−t),

l’intensita a pronti e data,

δ(t, s) = −ln B(t, s)

s − t. (2.13)

Si osservi che il tempo compare al denominatore, quindi l’intensita e unagrandezza espressa in tempo−1.In maniera analoga, dato il prezzo di uno ZCB con consegna in T e scadenzain s, il tasso i(t, T, s) si ottiene come,

i(t, T, s) =

[

1

B(t, T, s)

]1/s−T

− 1. (2.14)

Se sul mercato sono presenti ZCB unitari con scadenza in T ed in s, dalla(2.5) si ottiene il tasso forward i(t, T, s) “implicito” nei tassi i(t, T ) ed i(t, s).Infatti,

1 + i(t, T, s) = [1 + i(t, T )]−T−ts−T [1 + i(t, s)]

s−ts−T

= [1 + i(t, s)]

[

1 + i(t, s)

1 + i(t, T )

]T−ts−T

da cui,

i(t, T, s) = [1 + i(t, s)]

[

1 + i(t, s)

1 + i(t, T )

]T−ts−T

− 1.

Applicando il teorema dei prezzi impliciti e possibile ricavare l’espressionerelativa all’intensita a termine,

e−δ(t,T,s) (s−T ) =e−δ(t,s) (s−t)

e−δ(t,T ) (T−t)da cui, (2.15)

δ(t, T, s) =δ(t, s) (s − t) − δ(t, T ) (T − t)

s − T. (2.16)



Esempio 2.1: Nella Tabella 2.1 sono riportati i prezzi d’asta dei BOT del04/10/2001. Determinare i tassi spot, i prezzi ed i tassi forward, nonche lerispettive intensita.

Scadenza Giorni a scadenza Anni a scadenza (365) Prezzi31/10/01 27 0.073972603 99.71115/11/01 42 0.115068493 99.6330/11/01 57 0.156164384 99.44514/12/01 71 0.194520548 99.35417/12/01 74 0.202739726 99.32528/12/01 85 0.232876712 99.25515/01/02 103 0.282191781 99.22831/01/02 119 0.326027397 98.9315/08/02 315 0.863013699 97.216/09/02 347 0.950684932 96.985

Tabella 2.1: Prezzi e scadenze BOT del 04/10/2001.

I prezzi forward si ottengono facilmente dalla (2.5). Per esempio,

B(0, 27, 57) =B(0, 57)

B(0, 27)= 0.99733

B(0, 27, 85) =B(0, 85)

B(0, 27)= 0.99543

B(0, 27, 347) =B(0, 347)

B(0, 27)= 0.97266.

Si osservi che anche in questo caso sussiste la decrescenza rispetto alla sca-denza. Si lascia allo studente la dimostrazione che B(t, T, s′) > B(t, T, s′′)con t ≤ T ≤ s′ < s′′.I prezzi forward si possono ottenere anche al variare di T . Ponendo s = 315i prezzi di ZCB unitari per consegna fra T giorni e scadenza fra 315 giorni,sono dati da:

B(0, 57, 315) =B(0, 315)

B(0, 57)= 0.97742

B(0, 85, 315) =B(0, 315)

B(0, 85)= 0.97930

B(0, 119, 315) =B(0, 315)

B(0, 119)= 0.98251.



Come si osserva, al crescere del tempo di consegna T , mantenendo fissa lascadenza s, i prezzi a termine crescono. Si lascia allo studente di dimostrareche B(t, T ′, s) < B(t, T ′′, s) con t ≤ T ′ < T ′′ ≤ s.Per quanto riguarda i tassi e le intensita, si ricorda che l’unita di misura deltempo deve essere consistente con la periodicita scelta (di solito annuale).I tassi spot su base annuale sono dati da,

i(0, 27) =

(

100

99.711

)365/27

− 1 = 0.03990

i(0, 57) =

(

1

0.99445

)365/57

− 1 = 0.03628

i(0, 119) =

(

1

0.9893

)1/0.32603

− 1 = 0.03355.

Si osservi che sono stati utilizzati in maniera indifferente i tempi in anni edin giorni modificando pero in maniera opportuna la relazione del tasso spotin modo da tenere conto della diversa unita temporale. I tassi forward sipossono ricavare sia dai prezzi che dai tassi spot. In particolare,

i(0, 27, 57) =

(

1

0.99733

)365/30

− 1 = 0.03303

i(0, 27, 57) = [1 + i(0, 57)]

[

1 + i(0, 57)

1 + i(0, 27)

]27/30

− 1 = 0.03303.

Le intensita di interesse su base annuale sono date da,

δ(0, 27) = ln [1 + i(0, 27)] = 0.03913 anni−1

δ(0, 57) = −ln B(0, 57)

0.156164384= 0.03564 anni−1

δ(0, 119) = ln [1 + i(0, 119)] = 0.032996 anni−1.

Utilizzando la (2.16) si possono ricavare le intensita implicite:

δ(0, 27, 57) = δ(0, 57)57

30− δ(0, 27)

27

30= 0.03250

δ(0, 57, 119) = δ(0, 119)0.32602

0.16986− δ(0, 57)

0.15616

0.16986= 0.03057.


2.4 La struttura per scadenza dei tassi di interesse 84

2.4 La struttura per scadenza dei tassi di in-

teresse

La struttura dei tassi (term structure) e uno dei piu importanti fattorieconomico-finanziari per coloro che svolgono attivita di contrattazione neimercati monetari e dei capitali. La struttura dei tassi puo essere a pronti(spot term structure) se descrive l’andamento dei tassi a pronti, oppurea termine (forward term structure) se descrive l’andamento dei tassi atermine.Si ipotizzi che nell’istante di osservazione t siano presenti nel mercato titoliobbligazionari con pagamenti negli istanti tk = t + k, k = 1, 2, . . . ,m. Siipotizzi inoltre che in questo mercato siano osservabili i prezzi di m ZCBunitari. L’insieme,

{B(t, t + k), k = 1, 2, . . . ,m}

rappresenta la struttura dei prezzi a pronti. La presenza degli m prezzia pronti rende il mercato completo, quindi, per la proprieta di linearitasara possibile determinare il prezzo di qualsiasi altro titolo a reddito fissoconsiderando quest’ultimo come un portafoglio di ZCB unitari.La struttura dei tassi d’interesse a pronti si ottiene dai prezzi a pronti,secondo le relazioni:

i(t, t + k) =

[

1

B(t, t + k)

]1/k

− 1.

In maniera analoga la struttura delle intensita a pronti e data dall’insieme,

δ(t, t + k) = −1

kln B(t, t + k)

oppure,δ(t, t + k) = ln[1 + i(t, t + k)]

La struttura dei tassi a termine si costruisce considerando ZCB unitari conconsegna in T = t+k−1 e scadenza in s = t+k. Si tratta di tassi a termineuniperiodali, quindi, noto il prezzo a termine, sara,

i(t, t + k − 1, t + k) =1

B(t, t + k − 1, t + k)− 1,

dove per la (2.5),

B(t, t + k − 1, t + k) =B(t, t + k)

B(t, t + k − 1).



Dalla struttura dei tassi a termine e possibile determinare i tassi a pronti.Per la (2.5) si puo scrivere,

1 + i(t, t + k − 1, t + k) =[1 + i(t, t + k)]k

[1 + i(t, t + k − 1)]k−1,

da cui,

[1 + i(t, t + k)]k = [1 + i(t, t + k − 1, t + k)][1 + i(t, t + k − 1)]k−1

[1 + i(t, t + k − 1)]k−1 = [1 + i(t, t + k − 2, t + k − 1)][1 + i(t, t + k − 2)]k−2

[1 + i(t, t + k − 2)]k−2 = [1 + i(t, t + k − 3, t + k − 2)][1 + i(t, t + k − 3)]k−3

. . . = . . .

[1 + i(t, t + 1)] = [1 + i(t, t, t + 1)].

Sostituendo ricorsivamente si ottiene che,

[1 + i(t, t + k)]k =k

∏

j=1

[1 + i(t, t + j − 1, t + j)],

da cui,

i(t, t + k) =

{

k∏

j=1

[1 + i(t, t + j − 1, t + j)]

}1/k

− 1 (2.17)

Come visto nel paragrafo 1.8.1, un CBB quota alla pari se c = iM , dove c eil tasso cedolare ed iM e il tasso di mercato. Un tasso di mercato pari ad iMconsiste nell’ipotizzare che la struttura dei tassi e costante ad un tasso pariad iM , cioe i(t, t + k) = iM , per k = 1, 2, . . . ,m. Nella realta la struttura deitassi puo assumere forma qualsiasi e, pertanto, non esiste un unico tasso dimercato, ma un insieme di tassi rappresentato dalla struttura dei tassi.Il tasso di parita (par yield) e quel tasso cedolare c∗ tale che, data lastruttura dei prezzi osservata in t, il titolo obbligazionario con scadenza int + m quota alla pari. Il tasso di parita e quindi quel tasso soluzione dellaseguente equazione,

c∗m

∑

j=1

B(t, t + j) + B(t, t + m) = 1.

da cui,

c∗ =1 − B(t, t + m)∑m

j=1 B(t, t + j). (2.18)



Come si puo notare il tasso di parita dipende dalla struttura dei prezzi apronti osservata nell’istante di valutazione t e dalla scadenza t+m. L’insieme,

{c(t, t + k), k = 1, 2, . . . ,m}

rappresenta la struttura dei tassi di parita.


Capitolo 3

Misure della dispersione

3.1 La Duration

Nel capitolo 1.8.1 e stato introdotto il rendimento a scadenza come possibilemisura della redditivita di un flusso finanziario. Come visto la validita ditale misura e legata all’ipotesi che il titolo sia mantenuto fino a scadenza eche, soprattutto, le cedole siano reinvestite allo stesso tasso del rendimentoa scadenza. Come osservato quest’ultima ipotesi e molto remota se nonirreale. Un altro problema dello YTM e che non tiene conto della strutturadei pagamenti. Si consideri il seguente esempio.

Esempio 3.1: Sul mercato sono disponibili le seguenti due opportunita diinvestimento:

1. un CBB che paga un coupon del 10% annuale, scadenza sei anni, quotatoa 102.21 (B(0, 6));

2. uno ZCB a sei anni quotato a 58.00 (B(0, 6)).

Lo YTM delle due opportunita di investimento e pari al 9.5%, quindi si po-trebbe concludere che i due titoli sono identici. In verita la struttura deipagamenti rende i due titoli sostanzialmente differenti. Si osservi che seb-bene il CBB sia soggetto al rischio di reinvestimento, gli interessi promessisono pagati durante la vita del titolo. Al contrario per lo ZCB l’interessepromesso si potra incassare solo a scadenza. In questo senso fluttuazioni delmercato, ovvero modificazioni della struttura dei tassi, possono determinareuna riduzione della redditivita dell’investimento.Si ipotizzi che alla fine del secondo anno, dopo il pagamento della cedola, nonsia intervenuta alcuna variazione dello YTM. Il prezzo dei due titoli e dato

3.1 La Duration 88

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%

YTM

Varia

zion

e Pr

ezzo

BulletBond

ZCB

Figura 3.1: Variazioni del prezzo in funzione dello YTM.

dal valore attuale dei pagamenti futuri, attualizzati al tasso del 9.5%. Taliprezzi sono pari a, rispettivamente, B(2, 6) = 101.60 e B(2, 6) = 69.56.Se invece si fosse verificata una variazione positiva del YTM pari a 50 bp(YTM=10%), il prezzo dei titoli si sarebbe ridotto, rispettivamente, a B′(2, 6) =100 e B′(2, 6) = 68.30. Le variazioni percentuali rispetto al prezzo con YTMinvariato, sono pari a,

B′(2, 6) − B(2, 6)

B(2, 6)= −0.01577

B′(2, 6) − B(2, 6)

B(2, 6)= −0.01806

Come si puo notare la variazione percentuale dello ZCB e piu accentuatarispetto al bullet bond, da cui si evince che titoli con identico YTM hannouna diversa “sensibilita” dei prezzi rispetto a variazioni dello YTM. In altritermini, titoli che hanno una diversa struttura dei pagamenti rispondono inmaniera diversa alle variazioni dei tassi. Si ricorda che una variazione delloYTM e legata a fluttuazioni della struttura dei tassi d’interesse.Nella Figura 3.1 sono riportate le variazioni percentuali per un intervallodi tassi che oscilla dal 4.5% al 14.5%. Si osservi che una riduzione delloYTM produce una maggiore apprezzamento dello ZCB rispetto al CBB, e chetale variazione diventa piu accentuata per valori molto distanti dallo YTMiniziale.


3.1 La Duration 89

Da questo semplice esempio si deduce che alla misura della redditivita enecessario affiancare una misura che tenga conto della diversa struttura deipagamenti di un titolo. Tale misura determina la volatilita e quindi larischiosita del titolo in esame rispetto alle fluttuazioni della struttura deitassi.Si osservi che la grandezza del tasso cedolare gioca un ruolo determinantenella determinazione della volatilita del titolo. A parita di scadenza, all’au-mentare del coupon, la volatilita si ridurra in quanto il capitale ricevuto nelcorso della vita del titolo sara maggiore. Una misura della volatilita devequindi tenere conto dell’importo del coupon.A tal proposito si puo ricorrere ad una analogia per capire il comportamentodi tale misura. Si consideri un asse di legno su cui sono posti quattro con-tenitori. Ogni contenitore rappresenta un pagamento. Una delle estremita(dove sono presenti le frecce) e sottoposta a movimenti che rappresentanole fluttuazioni del prezzo. Per mantenere l’equilibrio si pone sotto l’asse unceppo di legno.Nella Figura 3.2 (alto) e raffigurato il caso dove il pagamento e effettuatosolo alla fine del quarto anno (il quarto contenitore e pieno). Per mantenerel’equilibrio il ceppo deve essere posto proprio sotto il quarto contenitore. Se siaggiunge dell’acqua negli altri contenitori (pagamento di un coupon), affinchesia mantenuto l’equilibrio il ceppo deve spostarsi verso sinistra. Aggiungendoancora acqua—che consiste nell’aumentare l’ammontare del coupon—il cepposi spostera ancora verso sinistra.Il punto di equilibrio rappresenta il baricentro dei contenitori sull’asse, quindila misura che si sta cercando e il “baricentro dei pagamenti futuri”. La mediadei tempi in cui si effettueranno i pagamenti rappresenta il punto di equilibriofra i flussi. Tale media, per tenere conto dell’influenza del coupon, deve esserepesata con pesi pari al valore attuale dei pagamenti.Dato un f.f. V = {V1, V2, . . . , Vm} sullo scadenzario t = {t1, t2, . . . , tm}, se siindica con dj il peso relativo al j–esimo pagamento, tale che,

dj =VjB(t, tj)

∑mj=1 VjB(t, tj)

, (3.1)

la duration rappresenta il punto di equilibrio dei pagamenti futuri ed e datada,

D(t, V ) =m

∑

j=1

(tj − t)dj. (3.2)

Si osservi che il denominatore dei pesi dj e il prezzo del titolo osservato altempo t, ovvero il valore attuale del f.f. valutato in base alla struttura deitassi osservata in t.


3.1 La Duration 90

Dalla Figura (3.2) (alto) si evince che la duration di uno ZCB e pari allascadenza dello ZCB. Uno ZCB e, infatti, un’obbligazione in cui la “massa” econcentrata soltanto a scadenza, quindi,

D(t, V ) = tm − t. (3.3)

Essendo la duration una media dei tempi deve essere,

t1 − t ≤ D(t, V ) ≤ tm − t

Utilizzando sempre l’analogia del baricentro si puo dedurre che maggiore ela scadenza e maggiore sara la duration. Da un punto di vista finanziario untitolo con una scadenza maggiore implica una maggiore rischiosita in quantoil pagamento degli interessi e piu diluito nel tempo e si potrebbe incorrerein variazioni non attese della struttura dei tassi. Di contro, lo scorrere deltempo riduce la duration, sia perche si “accorcia” l’asse (minore rischio diincorrere in variazioni dei tassi), sia perche sono pagati i coupon relativi ascadenze precedenti il nuovo istante di valutazione.Data la struttura dei tassi a pronti osservata in t, la duration (Macaulayduration) si ottiene come,

D(t, V ) =

∑mj=1 j Vj[1 + i(t, t + j)]−j

∑mj=1 Vj[1 + i(t, t + j)]−j

. (3.4)

La duration puo anche essere misurata rispetto ad una struttura piatta (flatyield duration). Come si vedra, se si utilizza lo YTM del titolo per attua-lizzare i pagamenti futuri (y = i(t, t + j) per j = 1, 2, . . . m), il valore delladuration non si modifica sostanzialmente, quindi,

D(t, V ) =

∑mj=1 j Vj(1 + y)−j

∑mj=1 Vj(1 + y)−j

. (3.5)

Utilizzando la flat yield duration e facile osservare che maggiore e lo YTMe minore sara la duration. Infatti all’aumentare dello YTM i pagamenti piulontani nel tempo avranno un peso via via minore.La duration ha dimensione il tempo in quanto e una media dei tempi incui avvengono i pagamenti, quindi se le scadenze sono espresse in anni, laduration sara misurata in anni.Si puo dimostrare che la duration di un portafoglio e data dalla somma pesatadelle duration dei singoli f.f. che compongono il portafoglio. Se si indica conΠ(t) il valore temporale del portafoglio (si veda eqn. 1.85), si ha che,

D(t, Π) =N

∑

i=1

di D(t, Vi), (3.6)


3.1 La Duration 91

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Figura 3.2: La duration rappresenta il baricentro dei valori attuali deipagamenti futuri. Uno ZCB concentra tutta la sua massaalla scadenza (alto). All’aumentare della cedola (medioe basso) la duration si riduce in quanto il baricentro sisposta verso sinistra.


3.2 Semielasticita e Convexity 92

dove,

di =uiV (t)

Π(t)(3.7)

Un importante indice abitualmente utilizzato nelle strategie di hedging ela dollar duration (anche nota come basis point volatility). La dollarduration e data dalla duration moltiplicata per il prezzo o valore del titolo,quindi,

DD(t, V ) = V (t)D(t, V ). (3.8)

Ricordando che V (t) =∑m

j=1 VjB(t, tj), si ottiene che,

DD(t, V ) =m

∑

j=1

(tj − t)VjB(t, tj). (3.9)

Un altro indice di uso comune e la duration di secondo ordine definitacome,

D(2)(t, V ) =m

∑

j=1

(tj − t)2dj, (3.10)

dove i pesi dj sono dati dall’espressione (3.1).La duration di secondo ordine fornisce una misura della dispersione temporaledel flusso V .

3.2 Semielasticita e Convexity

Si consideri il f.f. V = {V1, V2, . . . , Vm} sullo scadenzario t = {t1, t2, . . . , tm},e si ipotizzi una struttura piatta (i = i(t, t + j) per j = 1, 2, . . . m). Il prezzodel f.f. in t = 0 sara dato da,

V (0) =m

∑

j=1

Vj (1 + i)−tj =m

∑

j=1

Vj e−δtj , (3.11)

dove δ = ln(1 + i).Si ipotizzi, inoltre, che la struttura, identificata dall’unico parametro caratte-ristico i, evolva in modo che stati successivi siano caratterizzati da strutture,di tipo ancora piatto, situate ad un livello diverso. La (3.11) puo esserestudiata come funzione del tasso i o dell’intensita δ, il che permettera dianalizzare il comportamento del prezzo al variare della struttura.In particolare, si ricava facilmente che,

V (i) > 0, V (0) =m

∑

j=1

Vj, limi→∞

V (i) = 0.



Analogamente,

V (δ) > 0, V (0) =m

∑

j=1

Vj, limδ→∞

V (δ) = 0,

La derivata prima e la derivata seconda rispetto ad i sono date da,

V ′(i) = −

m∑

j=1

tjVj(1 + i)−tj−1 (3.12)

V ′′(i) =m

∑

j=1

tj(tj + 1)Vj(1 + i)−tj−2; (3.13)

mentre quelle rispetto a δ sono,

V ′(δ) = −m

∑

j=1

tjVje−δtj (3.14)

V ′′(δ) =m

∑

j=1

t2jVje−δtj (3.15)

Se gli importi sono tutti non negativi, la (3.11) ha un grafico dato dalla Figura3.3. La variazione relativa o semielasticita misura la rapidita di variazionedel prezzo per ogni unita di capitale. La semielasticita e definita dal rapportofra la derivata prima e la funzione stessa, quindi,

V ′(i)

V (i)= −

∑mj=1 tjVj(1 + i)−tj−1

∑mj=1 Vj (1 + i)−tj

=

= −1

1 + i

∑mj=1 tjVj(1 + i)−tj

∑mj=1 Vj (1 + i)−tj

= −1

1 + iD(0, V ). (3.16)

In funzione dell’intensita si ottiene,

V ′(δ)

V (δ)= −

∑mj=1 tjVje

−δtj

∑mj=1 Vj e−δtj

= −D(0, V ). (3.17)

La (3.16) e nota come modified duration. Si ricorda che la derivata primapuo essere approssimata dal rapporto incrementale. In particolare,

V ′(i) ≃∆V (i)

∆i;



sostituendo nella (3.16) si ottiene che,

∆V (i)

V (i)∆i= −

1

1 + iD(0, V ),

da cui,∆V (i)

V (i)= −

1

1 + iD(0, V ) ∆i. (3.18)

La (3.18) mostra la relazione fra variazione relativa del prezzo (prezzo telquel) di un titolo e variazioni della struttura dei tassi. In particolare, lamodified duration determina l’ampiezza dell’oscillazione del prezzo che si ve-rifica per shift (traslazioni) paralleli della struttura dei tassi, cioe spostamenticontemporanei verso alto o verso il basso dei tassi.La modified duration e una misura della volatilita del titolo e nelle pagine deigiornali finanziari e riportata insieme alla misura della duration. E impor-tante sottolineare che la (3.18) approssima correttamente l’oscillazione delprezzo per shift della struttura dei tassi non troppo elevati. Per shock deitassi di una certa consistenza la (3.18) sovrastima o sottostima il prezzo deltitolo. La duration e infatti un’approssimazione di primo grado, in quanto,come dimostrato, essere la derivata prima della funzione prezzo.Nella Figura 3.4 sono riportate le curve della funzione prezzo di un titoloobbligazionario e la sua approssimazione tramite la (3.18). Si osservi che pervariazioni superiori al 2% annuo l’approssimazione fornita dalla duration nonstima correttamente la variazione del prezzo.Un’altra misura legata alla distribuzione dei pagamenti e la convexity. Laconvexity e definita dal rapporto fra la derivata seconda della funzione prezzoed il prezzo stesso, quindi,

V ′′(i)

V (i)=

∑mj=1 tj(tj + 1)Vj(1 + i)−tj−2

∑mj=1 Vj (1 + i)−tj

=

=1

(1 + i)2[D(2)(0, V ) + D(0, V )]. (3.19)

Se si esprime il prezzo in funzione dell’intensita, si verifica facilmente che laconvexity coincide con la duration di secondo ordine,

V ′′(δ)

V (δ)=

∑mj=1 t2jVje

−δtj

∑mj=1 Vj e−δtj

= D(2)(0, V ) (3.20)

Esempio 3.2: Si consideri la seguente struttura dei tassi a pronti:



0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3

V(i

)

∑

j Vj

iFigura 3.3: Prezzo di un CBB in funzione del tasso. Il quadrato

indica il tasso che prezza il CBB alla pari.

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

∆i

∆V V

−1

1+iD(0,V )∆i

Figura 3.4: Prezzo di uno ZCB in funzione della variazione del tassoed approssimazione tramite modified duration.



τ i(0, τ)0.5 0.032951 0.034357

1.5 0.0357162 0.037029

2.5 0.0382943 0.039511

Si ipotizzi, inoltre, che nel mercato siano quotati un BTP a 3 anni (V1) chepaga una cedola annuale del 5.5% ed un CTZ a due anni (V2). I prezzi deidue titoli sono pari a B(0, 3) = 1.0451 e B(0, 2) = 0.9299; i rendimenti ascadenza sono pari a y(0, 3) = 0.03931 e y(0, 2) = 0.03703.Calcolare:

i. la Macaulay duration;

ii. la duration rispetto ad una struttura piatta fissata ad un livello pari ad irispettivi YTM;

iii. la duration del portafoglio composto da u1 = 2,000e di valore faccialedel BTP e u2 = 4,500e di valore facciale del CTZ.

Verificare, inoltre, che uno shift additivo in t = 0+ pari a 50bp provoca unariduzione dei prezzi approssimata dalla modified duration.La duration del CTZ, sia quella Macaulay che quella flat, e pari a 2 anniin quanto il CTZ e uno ZCB con unico pagamento a scadenza. Per quantoriguarda il BTP nella tabella di seguito sono riportati, i pesi dj, i prodottifra il tempo ed i pesi stessi, e la duration di Macaulay, rispetto alla strutturaosservata, e quella flat rispetto allo YTM del BTP.

Macaulay Flatτ dj τ · dj dj τ · dj

0.5 0.025891 0.012945439 0.025811 0.0129057381 0.02544 0.025439936 0.025319 0.025318577

1.5 0.024965 0.03744694 0.024835 0.0372526352 0.024468 0.048936712 0.024361 0.048721672

2.5 0.023954 0.059886075 0.023896 0.0597390963 0.875282 2.625845318 0.875778 2.627335151

1 2.810500421 1 2.811272868

Come si puo notare il valore delle due duration non differisce significativa-mente. La modified duration dei due titoli e data da,

MD(0, V1) =2.811

1 + 0.03931= 2.704 MD(0, V2) =

2

1 + 0.03703= 1.929



E importante sottolineare che la relazione approssimata per la semielasticita(eqn. 3.18) e stata ottenuta ipotizzando una struttura piatta e shift paralleli(verso l’alto o verso il basso) della struttura stessa. In questo esempio lastruttura non e piatta, comunque, come si puo dimostrare, se lo shift avvienein modo che le variazioni proporzionali dei tassi della struttura siano ugualifra di loro per ogni k = 1, 2, . . . ,m, allora,

∆V

V= −D(0, V ) δi, (3.21)

dove,

δi =∆i

1 + i=

∆i(0+, kτ)

1 + i(0+, kτ)per k = 1, 2, . . . ,m (3.22)

e D(0, V ) e la duration calcolata rispetto alla struttura osservata. Una va-riazione proporzionale pari a 50bp implica che,

i′(0+, kτ) − i(0+, kτ)

1 + i(0+, kτ)= 0.50% da cui,

i′(0+, kτ) = i(0+, kτ) + [1 + i(0+, kτ)] · 0.50%.

Il tasso i′(0+, kτ) indica che la variazione si e verificata nell’istante 0+.Con i(0+, kτ) si e identificata una struttura che fino all’istante 0+ ha subitoun’evoluzione deterministica.Si osservi che l’oscillazione della struttura e misurata in proporzione al li-vello dei tassi osservati, quindi non si tratta di una variazione assoluta! Alcontrario, la modified duration misura la variazione del prezzo per variazioniassolute dei tassi.Se in 0+ si verificasse uno shift proporzionale dei tassi pari a 50bp, co-me risulta dalla seguente tabella, la variazione reale del prezzo e pari al(1.031 − 1.045)/1.045 = −1.392%, mentre quella prevista dalla duration epari a −2.810500421 · 0.005 = −1.405%,

τ δi i′(0+, τ) i(0+, τ) VjB(0+, j)0.5 0.50% 0.038114526 0.032949777 0.0269904461 0.50% 0.039528571 0.034356788 0.026454299

1.5 0.50% 0.040895027 0.035716445 0.025895382 0.50% 0.042213892 0.037028748 0.025317393

2.5 0.50% 0.043485167 0.038293699 0.0247239013 0.50% 0.044708852 0.039511295 0.901147759

1.030529178

Per il CTZ si verifica facilmente che uno shift della stessa ampiezza generauna variazione reale del prezzo pari a (0.921 − 0.930)/0.930 = −0.993%,mentre quella prevista dalla duration e pari all’ 1%.



La duration del portafoglio si ottiene dalla somma pesata delle duration deidue titoli. Come si ricordera dall’Esempio 1.20, il valore di un portafoglio edato da,

Π(0) = 2000 · 1.0451 + 4500 · 0.9299 = 6,274.75e1.

Applicando la (3.6) si ha che,

D(0, Π) = 0.333112873 · 2.810500421 + 0.666887127 · 2 = 2.269988124,

dove,

d1 =2000 · 1.0451

6274.75= 0.333112873 d2 =

4500 · 0.9299

6274.75= 0.666887127.

I fondi comuni sono portafogli composti da diversi titoli e possono essereacquistati in qualsiasi banca. I fondi obbligazionari sono portafogli compostida titoli obbligazionari con diverse caratteristiche (titoli a breve o a lungotermine, cedola fissa o cedola variabile, emissioni europee ed estere, etc.). Unfondo comune puo essere considerato come un normale titolo obbligazionarioottenuto dalla “media ponderata” dei titoli componenti. Nel caso di fondiobbligazionari la duration misura la volatilita del prezzo del fondo rispetto ashift additivi della struttura dei tassi.Una riduzione dei tassi dell’1% provochera un aumento del prezzo del fondodi circa il 2.2%. E evidente che se la duration del portafoglio fosse piu lunga,si sarebbe potuto trarre un maggiore beneficio dalla riduzione dei tassi. Disolito nelle note informative allegate ad ogni fondo sono riportate le strategiedei gestori. Per esempio: “... essendo attesa una riduzione dei tassi e stataallungata la duration del portafoglio”, oppure, “... data la congiuntura ci siaspetta un rialzo dei tassi e quindi si e preferito accorciare la duration delportafoglio”.

1Per semplicita si e considerato un BTP nell’istante precedente al pagamento dellacedola, quindi il rateo e pari a zero. In caso contrario il valore di mercato del portafogliosi ottiene moltiplicando il valore facciale per il prezzo tel quel.


Capitolo 4

Metodi per la misurazione dellastruttura dei tassi

4.1 Metodi grafici

La struttura dei tassi ricopre un importante ruolo sia per analisi economicadella congiuntura (questi aspetti sono analizzati nel corso di Economia Mo-netaria) sia per la gestione dei titoli obbligazionari e per la valutazione diflussi finanziari.Nei mercati dei titoli a reddito fisso non esistono ZCB per scadenze superiori adue anni. In alcuni casi e possibile trovare quotazioni dei cosiddetti STRIPS,ovvero titoli che sono ottenuti rivendendo le cedole di CBB. Tali titoli sonocomunque limitati e non possono essere considerati dei veri e propri ZCB perovvi motivi di liquidita. In questo capitolo si analizzeranno dei metodi perapprossimare la struttura dei tassi a pronti utilizzando i CBB quotati sulmercato.Una approssimazione grossolana consiste nell’ignorare l’effetto cedola deiCBB assimilando il tasso a pronti, per una dato intervallo di tempo τ , al-lo YTM del corrispondente CBB. Graficamente si potra tracciare la curvadei tassi riportando sul piano (τ, y), con τ = tj − t e per j = 1, 2, . . . ,m, irendimenti a scadenza dei titoli osservati ad una certa data t.Un modo per compensare parzialmente la distorsione dovuta alla cedola con-siste nell’associare i rendimenti a scadenza con la duration del titolo. Comee noto la duration e una misura della durata del titolo, pesata con le cedolefuture, e quindi tiene conto della struttura e della magnitudo dei pagamenti.Esprimendo i tassi in funzione della duration, invece che della maturity, lastruttura risulta accorciata.Nella Figura 4.1 sono riportati i rendimenti a scadenza osservati il 26/11/2001

4.1 Metodi grafici 100

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0 5 10 15 20 25 30 35

Anni

Tass

i

YTM vs Duration

YTM vs Maturity

Figura 4.1: La struttura degli YTM in funzione delle maturity e delleduration.

in funzione della maturity e della duration. Si osservi come la struttura deitassi, in funzione della duration, risulti piu corta, ma piu elevata, rispetto aquella in funzione della maturity.In molti casi pratici e opportuno utilizzare una funzione interpolante cherappresenta la relazione tasso/duration. Tale funzione e data da,

y(D) = α + βD + γD2. (4.1)

I parametri α, β e γ si ottengono minimizzando la somma degli scarti deiquadrati fra il tasso osservato ed il tasso teorico dato dalla (4.1),

Minimizeα, β, γ

1

N

N∑

k=1

[y(Dk) − y(Dk)]2

Utilizzando il risolutore di Excel, i parametri che minimizzando la sommadei quadrati sono: α = 0.031495, β = 0.002956 e γ = −9.4707E − 05.Nella Figura 4.2 si puo osservare la curva interpolante fino a 18 anni. Eimportante sottolineare che estrapolazioni per scadenze superiori ai dati adisposizione non sono attendibili. Si noti infatti che per maturity superioriai 15-16 anni l’estrapolazione prevede tassi decrescenti.


4.2 Metodo bootstrap 101

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0 5 10 15 20 25 30 35

Anni

Tass

i YTM vs Duration

YTM vs Maturity

YTM vs Duration(Interpolazione)

Figura 4.2: La struttura degli YTM in funzione delle duration e curvainterpolante.

4.2 Metodo bootstrap

Un altro metodo per la determinazione della struttura dei tassi e il cosiddettoBootstrap. Tale metodo consiste nell’estrarre i tassi spot sequenzialmenteda un insieme di prezzi di CBB. Come visto nel capitolo 2, l’assenza diarbitraggio implica che il prezzo di un CBB deve essere uguale al prezzo diun portafoglio di ZCB (si veda l’eqn. 2.3).Si indichino con B(0, 1) e B(0, 2), rispettivamente, i prezzi di uno ZCB adun anno ed di uno ZCB a due anni. Inoltre si denoti con τ la discretizzazionescelta. I tassi spot sono dati da:

i(0, 1) =

[

1

B(0, 1)

]

− 1

i(0, 2) =

[

1

B(0, 2)

]1/2

− 1.

(Si e posto τ = 1. In generale, la discretizzazione puo essere differente dallabase con cui e espresso il tasso. Per esempio, i tassi possono essere su baseannuale e la discretizzazione semestrale, quindi τ = 0.5).Si ipotizzi che sul mercato sia quotato il titolo B(0, 3) con scadenza tre annie cedola annuale c3. Per la linearita del prezzo (eqn. 2.3) deve essere,

B(0, 3) = c3[1 + i(0, 1)]−1 + c3[1 + i(0, 2)]−2 + (1 + c3)[1 + i(0, 3)]−3. (4.2)


4.2 Metodo bootstrap 102

I tassi a pronti i(0, 1) ed i(0, 2), ed il prezzo B(0, 3) sono noti, pertanto l’unicaincognita della (4.2) e il tasso spot i(0, 3), quindi,

i(0, 3) =

{

1 + c3

B(0, 3) − c3 {[1 + i(0, 1)]−1 + [1 + i(0, 2)]−2}

}1/3

− 1. (4.3)

Il tasso i(0, 4) si ottiene in maniera analoga. Se si indica con B(0, 4) il prezzodi un CBB con scadenza in kτ = 4, estendendo di un periodo la (4.2) siottiene,

B(0, 4) = c4[1+i(0, 1)]−1+c4[1+i(0, 2)]−2+c4[i+i(0, 3)]−3+(1+c4)[1+i(0, 4)]−4,

da cui,

i(0, 4) =

{

1 + c4

B(0, 4) − c4 {[1 + i(0, 1)]−1 + [1 + i(0, 2)]−2 + [1 + i(0, 3)]−3}

}1/4

−1.

In generale, la formula per l’estrazione del k–esimo tasso spot con discretiz-zazione τ e data da,

i(0, kτ) =

1 + ck

B(0, kτ) − ck

{

∑k−1j=1 [1 + i(0, jτ)]−jτ

}

1/kτ

− 1. (4.4)

Esempio 4.1: Nella Tabella 4.1 sono riportati i prezzi osservati nella gior-nata del 26/11/2001. Determinare al struttura a pronti con discretizzazioneτ = 0.5 anni (sei mesi) utilizzando il metodo bootstrap

k kτ B(0, kτ) ck

1 0.5 0.984220859 0

2 1 0.969000245 0

3 1.5 1.108 0.11

4 2 1.0973 0.085

Tabella 4.1: Prezzi osservati il 26/11/2001.

I primi due prezzi (k = 1, 2) corrispondono a titoli a cedola nulla. I tassispot per kτ = 0.5, 1 (sei mesi ed un anno) su base annuale possono esserecalcolati direttamente,

i(0, 0.5) =

(

1

0.98422

)1/0.5

− 1 = 0.03232

i(0, 1) =

(

1

0.9690

)

− 1 = 0.031991.


4.3 Strategie di speculazione sulla struttura a termine 103

Per la scadenza kτ = 1.5 e stato selezionato un BTP che paga una cedolaannuale c3 = 0.11 ed il cui prezzo e B(0, 1.5) = 1.108. Applicando la (4.4) siottiene,

i(0, 1.5) =

{

1 + 0.11/2

1.108 − 0.11/2 {[1 + 0.03232]−0.5 + [1 + 0.031991]−1}

}1/1.5

− 1 =

= 0.03594.

Una volta determinato il tasso i(0, 1.5) si puo calcolare il tasso i(0, 2) ap-plicando la (4.4) al prezzo B(0, 2). Da un punto di vista pratico convienecalcolare la somma dei prezzi spot ed aggiungere ad ogni passo l’ultimo prezzoottenuto, quindi,

3∑

j=1

[1 + i(0, kj)]−kj =3

∑

j=1

B(0, kj) =

= 0.98422 + 0.969 + 0.948410 = 2.901631,

da cui,

i(0, 2) =

{

1 + 0.085/2

1.0973 − 0.085/2 · 2.901631

}1/2

− 1 = 0.03457711.

Nella Figura 4.3 sono state riportate le strutture degli YTM vs duration,YTM vs scadenza e la struttura ottenuta tramite bootstrap. Si osservi comela struttura bootstrap (triangoli) sia molto piu vicina alla struttura degli YTMvs duration.

4.3 Strategie di speculazione sulla struttura

a termine

Le strutture dei tassi possono assumere diverse forme. Esistono delle teorieeconomiche che tentano di spiegare quali sono i fattori che influenzano laforma della struttura dei tassi. Nell’Esempio 4.1 la struttura ottenuta e ditipo crescente, quindi i tassi a breve risultano piu bassi dei tassi a lungo.Si possono osservare strutture decrescenti, piatte (flat) oppure unimodali(humped). Quest’ultime sono caratterizzate da tassi a medio termine piualti dei tassi a breve ed a lungo termine.A seconda della forma della yield curve e possibile attuare delle strategieper effettuare dei quasi arbitraggi (arbitrage–like). Una delle strategie che



0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0 5 10 15 20 25 30 35

Anni

Tass

i YTM vs Duration

YTM vs Maturity

Spot vs Maturity (Bootstrap)

Figura 4.3: Confronto fra le strutture ottenute con gli YTM e tramiteil metodo bootstrap.

di solito viene implementata dai gestori delle tesorerie e nota come ridingthe yield curve (cavalcare la struttura dei tassi). Tale strategia puo essereattuata se la struttura dei tassi e crescente. L’ipotesi dello speculatore consi-ste nell’assumere che la struttura sia price-preserving, ovvero che i prezziosservati oggi, e quindi la struttura, rimarranno tali nel periodo in cui saraeffettuata la speculazione.

Teorema dei prezzi certi.Si ipotizzi che la struttura nell’intervallo [t, t′] evolva in maniera deterministi-ca. Cio implica che e possibile determinare in t i prezzi dei titoli che sarannoosservati in t′. Si dimostra che l’unica evoluzione consistente con l’assenza diarbitraggi e tale che,

B(t′, tm) =1

B(t, t′)B(t, tm). (4.5)

Infatti, se per esempio fosse,

B(t, tm) > B(t′, tm)B(t, t′)

si potrebbe implementare al seguente strategia:

(a): vendere in t allo scoperto B(t, tm);



(b): comprare in t, B(t′, tm) unita dello ZCB unitario B(t, t′);

(c): comprare B(t′, tm) in t′ .

Si osservi che tale strategia e possibile solo se e noto in t il prezzo B(t′, tm)disponibile in t′, quindi solo per evoluzioni deterministiche della struttura. Ilpayoff di tale strategia rivela un arbitraggio di tipo B:

t t′ tj (j = 1, 2, . . . , m − 1) tm

B(t, tm) 0 −cj −(1 + cm)

−B(t′, tm)B(t, t′) B(t′, tm) 0 0

0 −B(t′, tm) cj (1 + cm)

B(t, tm) − B(t′, tm)B(t, t′) > 0 0 0 0

Se B(t, tm) e uno ZCB con scadenza in s il cui prezzo in t e pari a B(t, s), la(4.5) diventa,

B(t′, s) =B(t, s)

B(t, t′).

Ricordando che B(t, t′, s) = B(t, s)/B(t, t′) si deduce che, in condizione dicertezza, l’evoluzione della struttura deve avvenire in modo che,

B(t′, s) = B(t, t′, s).

Cio implica che un’evoluzione deterministica del tipo price-preserving, dovesi e ipotizzato (scommesso) che B(t + τ, t + 2τ) = B(t, t + τ), permettel’implementazione di strategie d’arbitraggio. Si consideri il seguente esempio.

Esempio 4.2: In una certa data i tassi a 3 e 6 mesi osservati sono, rispet-tivamente, i(0, 0.25) = 3.8% e i(0, 0.5) = 4%. I prezzi corrispondenti sonoB(0, 0.25) = 0.990719 e B(0, 0.5) = 0.980581. Nell’ipotesi di evoluzione de-terministica della struttura dei tassi il prezzo fra tre mesi di un titolo conscadenza 3 mesi dovrebbe essere pari al tasso forward osservato oggi, quindiB(0.25, 0.5) = B(0, 0.25, 0.5) = 0.989766. Se invece si verifica un’evoluzionedel tipo price-preserving, sara B(0.25, 0.5) = B(0, 0.25) = 0.990719. Si ipo-tizzi, quindi, di acquistare 100,000e di valore facciale del titolo con scadenzasei mesi, per una spesa totale pari a 98,058.07e.



Dopo tre mesi il titolo acquistato ha una vita a scadenza pari a tre mesi, e,se l’ipotesi price-preserving era esatta, si potranno rivendere i 100,000e divalore facciale a 99,071.94e. Il rendimento periodale e pari a [(99, 071.94−98, 058.07)/98, 058.07] · (12/3) = 0.042004 = 4.2%, un rendimento maggioredi circa 40 bp rispetto al rendimento a scadenza per il BOT a 3 mesi.L’arbitraggio e piu evidente se si considera la seguente strategia:

(a): si prenda in prestito l’ammontare necessario per acquistare 100,000edi valore facciale del titolo a sei mesi. Il tasso per impieghi a tre mesie pari al 3.8%;

(b): dopo tre mesi si ripaghi il debito e si venda al prezzo di mercato il BOTa 6 mesi come un titolo con vita a scadenza 3 mesi;

Il payoff della strategia appena descritta e illustrato nella seguente tabella:

0 0.25

+98058.068 −98058.068 · (1 + 0.038)0.25 = −98976.631

−98058.068 +99071.939

0 +95.307322

Come osservato tale strategia garantisce (lock–in) un rendimento se e solose la struttura e price-preserving. Se nell’intervallo [t, t′] la struttura si spostaverso l’alto (i prezzi si riducono), il previsto guadagno si puo trasformare inuna perdita netta. Infatti, se il tasso a tre mesi dopo tre mesi si incremen-tasse fino al 4.2% (spostamento verso l’alto della struttura), con un prezzodei titoli a tre mesi pari a B(0.25, 0.5) = 0.989766, il guadagno si annulle-rebbe completamente. Per variazioni maggiori il profitto si trasforma in unaperdita netta. Si osservi che il prezzo B(0.25, 0.5) e pari al tasso forwardin 0 per consegna in 0.25 e scadenza 0.5 anni. Infatti, nel caso di evoluzio-ne deterministica della struttura, la possibilita di arbitraggio si annulla seB(0.25, 0.5) = B(0, 0.25, 0.5). Il prezzo forward rappresenta il break even

della strategia suvvista.

L’esempio appena visto conferma ancora una volta che la proprieta di scindi-bilita si puo verificare nei mercati solo nell’improbabile caso in cui l’evoluzionedei tassi e deterministica e quindi, B(T, s) = B(t, T, s).Nella Tabella 4.2 sono riportati i prezzi ed i coupon dei titoli necessari adeffettuare il bootstrap della struttura del 26/11/2001. Si lascia allo studente



Tempo Prezzi Coupon Tassi Spot Prezzi Spot Prezzi Forward Tassi Forward

(t + τ = 0.5) (t + τ = 0.5)

0.25 0.992176757 0 0.031914712 0.992176757 - -

0.5 0.984220859 0 0.032321257 0.984220859 0.984535368 0.031661814

1 0.969000245 0 0.031991483 0.969000245 0.965547186 0.035682165

1.5 1.0229 0.05 0.034560648 0.95031168 0.94917365 0.035387421

2 1.0973 0.085 0.034620027 0.934196505 0.926950285 0.038656107

2.5 1.0192 0.045 0.037386035 0.912323805 0.904945107 0.04076123

3 1.1586 0.095 0.039349791 0.89066585 0.884315572 0.04183172

3.5 1.025 0.0475 0.040467737 0.870361832 0.861916135 0.043370536

4 1.0415 0.0525 0.041982934 0.848315839 0.840691885 0.044337291

4.5 1.1856 0.0875 0.042995299 0.827426489 0.818619379 0.045478501

5 1.1092 0.0675 0.044155265 0.805702269 0.795726147 0.046760375

5.5 1.1131 0.0675 0.045439425 0.783170272 0.775764323 0.047247005

6 1.0797 0.06 0.045994992 0.763523428 0.757334997 0.047414694

6.5 1.0275 0.05 0.046245867 0.745384901 0.740448258 0.047315994

7 - - 0.046237756 0.72876462 0.715942529 0.048894218

7.5 0.9908 0.045 0.047781123 0.704645571 0.696366811 0.049433503

8 0.9702 0.0425 0.048355725 0.685378741 0.680148541 0.049360056

8.5 - - 0.048350034 0.669416381 0.655796897 0.050888274

9 1.0502 0.055 0.049848067 0.645448985 0.637436281 0.051306251

9.5 1.0302 0.0525 0.050298392 0.627378084 0.620681707 0.051485453

10 1.0098 0.05 0.050518848 0.610887883 - -

Tabella 4.2: Prezzi, tassi spot e forward in data 26/11/2001.

di determinare i tassi a pronti su base annuale. I prezzi dei titoli con scadenza7 ed 8.5 anni non sono riportati in quanto non esistono. I tassi spot per lesuddette scadenze sono stati determinati tramite una semplice interpolazionelineare. Nella penultima ed ultima colonna sono riportati, rispettivamente, iprezzi ed i tassi forward con consegna in T = 0.5 anni. Nel caso di evoluzionedeterministica della struttura fra t = 0 e t+τ = 0.5, per il teorema dei prezzicerti dovra essere che B(t + τ, s) = B(t, t + τ, s), quindi la struttura spot int + τ = 0.5 dovra essere pari ad i tassi forward osservati in t = 0 (oggi) econsegna in t + τ = 0.5.Nella Figura 4.4 sono riportate la struttura dei tassi a pronti osservata il26/11/2001 e la sua evoluzione deterministica in t + τ = 0.5 anni. Si osserviche la curva dei tassi risulta spostata verso l’alto, anche se si e ipotizzato chenessun fattore aleatorio e intervenuto a modificare la struttura.

Esempio 4.3:Si consideri un BTP con scadenza 3 anni (V1), cedola annuale del 6% annuoed un CTZ a 24 mesi (V2). Si determini il prezzo e la duration dei duetitoli utilizzando la struttura osservata il 26/11/2001. Si calcoli, inoltre, ilprezzo e la duration dei due titoli dopo τ = 0.5 anni ipotizzando un’evoluzionedeterministica della struttura osservata il 26/11/2001.Il prezzo del BTP e pari a B(0, 3) = 1.059887 mentre quello del CTZ e paria B(0, 2) = 0.9341965. La duration del BTP e pari a D(0, V1) = 2.796 anni;essendo il CTZ uno ZCB la sua duration e pari alla sua maturity, quindiD(0, V2) = 2 anni.Dopo 0.5 anni il BTP avra una vita a scadenza pari a m = 2.5 anni,



0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Anni

Tass

i a p

ront

i

Struttura osservata

Evoluzione deterministica(0.5 anni)

Figura 4.4: Struttura dei tassi a pronti il 26/11/2001 e la suaevoluzione deterministica in t + τ = 0.5 anni.

mentre, per il CTZ, m = 1.5 anni (18 mesi). Se si ipotizza che in t =0.5 la cedola non sia stata ancora pagata, il flusso finanziario del BTP eB1 = {0.03, 0.03, 0.03, 0.03, 0.03, 1.03}, con uno scadenzario che si e accor-ciato di 0.5 anni. I prezzi in caso di evoluzione deterministica saranno paria B(0.5, 3) = 1.0768797 e B(0, 1, 5) = 0.9491737.Dato che la maturity del CTZ si e ridotta di 0.5 anni, la duration risulteraaccorciata di 0.5 anni, quindi, D(0.5, V2) = 1.5 anni. Per quanto riguarda ilBTP la duration calcolata con la nuova struttura e pari a D(0.5, V1) = 2.296.Si osservi che in questo caso D(0.5, V1) = D(0, V2)−0.5, proprio come succedeper i ZCB. In generale, per evoluzioni non-deterministiche della struttura, laduration di un CBB non si riduce semplicemente dell’ammontare del tempotrascorso.Per quanto riguarda i prezzi si verifica facilmente che,

B(0.5, 3) =B(0, 3)

B(0, 0.5)e B(0.5, 2) =

B(0, 2)

B(0, 0.5).


Capitolo 5

Strategie di hedging

5.1 Definizione di hedging

Una strategia di hedging o copertura e finalizzata alla riduzione delle per-dite derivanti da movimenti avversi dei prezzi di mercato. Tali strategie sirealizzano acquistando o vendendo (anche allo scoperto) attivita finanziariein modo da controbilanciare (offset) le variazioni di valore delle posizioni inessere.L’hedging si dice perfetto (perfect hedging) se e possibile annullare qual-siasi tipo di rischio derivante da un investimentoUna strategia di hedging consiste nell’utilizzare i contratti FRA per proteg-gersi da variazioni del tasso a cui s’intende dare o prendere in prestito in unistante futuro.Nel caso di speculazioni sulla forma della struttura dei tassi (riding of theyield curve) si e visto che una pertubazione aleatoria (ma anche un’evoluzionedeterministica) puo produrre delle perdite in conto capitale. Nell’Esempio4.2, per evitare perdite si potrebbe effettuare un hedging comprando unFRA3x6 al 3.8%: se il tasso a tre mesi, fra tre mesi, sara maggiore del 3.8%si ricevera un pagamento in modo da compensare la perdita realizzata dallavendita del BOT a 6 mesi ad un prezzo minore del previsto; in caso contrariosi e soggetti ad un esborso, ma il profitto preventivato e assicurato e l’esborsosara pagato con il maggiore introito dovuto dalla vendita del BOT ad unprezzo maggiore di 0.990719.Non sempre e possibile effettuare operazioni di copertura con i FRA in quantotali strumenti sono tipici del mercato monetario, quindi per scadenze appenasuperiori ad un anno.

5.2 Long e short position 110

5.2 Long e short position

Una posizione in beni di investimento o strumenti derivati che consente al-l’investitore di trarre profitto dal rialzo dei prezzi e detta posizione lunga olong position. Di solito si effettua l’hedging di posizioni finanziarie lungheper evitare perdite eccessive del valore degli asset (attivita) in portafoglio.Una posizione in beni di investimento o strumenti derivati che consente all’in-vestitore di trarre profitto dal ribasso dei prezzi e detta posizione corta oshort position. Una posizione corta rappresenta una liability (passivita)nei confronti di terzi. In tal caso l’hedging consente di ridurre i maggioriesborsi dovuti a movimenti avversi dei prezzi di mercato.Come accennato, la logica che permette di implementare un hedge consistenel vendere (anche allo scoperto) o acquistare titoli che sono perfettamente (oquasi) correlati al titolo o alla posizione che si vuole proteggere. In tal modovariazioni negative dell’uno saranno compensate dai guadagni del titolo chefunge da hedge.Nella Figura 5.1 sono riportati i grafici del payoff di una posizione lunga(sopra) e di una posizione corta (sotto). Se si e lunghi in un titolo, aumentidel prezzo generano guadagni in conto capitale. Al contrario una posizionecorta produce capital gain per riduzioni del prezzo. Una long position edeterminata dall’acquisto o dal possesso di un titolo. Una short positionconsiste invece nel prendere in prestito, per un certo periodo di tempo, untitolo in possesso di un’altro operatore. Una volta entrati in possesso deltitolo (che non e stato ancora pagato), si puo vendere ed incassare il valoremonetario. Alla fine del periodo di prestito il debitore acquistera il titolo alnuovo prezzo di mercato e lo restituira al creditore. Se, per esempio, il titoloe stato venduto allo scoperto quando valeva 100e e alla scadenza del periodoil titolo vale 90e, la short position ha realizzato un guadagno di 10e. Nelcaso di titoli obbligazionari il pagamento di una cedola deve essere rimborsatoal creditore che essendo virtualmente il possessore del titolo beneficia deglieventuali redditi.

5.3 Dedication

Il gestore di un fondo obbligazionario prevede che nel prossimo mese si verifi-chera un rialzo dei tassi. Come e noto lo shift positivo produce una riduzionedi valore nelle posizioni lunghe. Per fronteggiare la riduzione attesa del prez-zo del titolo si puo (i) vendere il titolo e ricomprarlo dopo lo shift, oppure,(ii) vendere allo scoperto un altro titolo con le stesse caratteristiche.La riduzione dei prezzi provochera una perdita di valore della posizione lunga,


5.3 Dedication 111

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Payo

ff

V (T )

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Payo

ff

V (T )

Figura 5.1: Payoff in T di una posizione lunga (sopra) e di una posi-zione corta (sotto). Il prezzo iniziale, V (t), e pari a 100;il payoff e dato dalla differenza V (T ) − V (t).


5.3 Dedication 112

ma un guadagno dalla posizione corta. Se l’hedge e perfetto le due variazionisaranno uguali e quindi si annulleranno. In generale esistono delle discre-panze che riducono l’efficienza dell’hedge. Un esempio di hedge perfetto e lacosiddetta cashflow creation o dedication.Dato un flusso di liability L = {L1, L2, . . . , Lh} sullo scadenzario t = {t1, t2, . . . , th},tale strategia consiste nell’acquistare un portafoglio di titoli a reddito fissoin modo tale che il flusso dei pagamenti replichi il flusso futuro delle pas-sivita. In tal caso l’hedging e perfetto in quanto il rischio connesso a shiftdella struttura, e quindi la possibilita che l’esborso futuro sia maggiore delflusso garantito dal portafoglio di asset, e annullato dall’acquisto di asset conscadenze uguali a quelle delle liability.

Esempio 5.1: Un gestore di fondi pensione deve garantire il seguente flussodi esborsi annuali, L = {140, 100, 300, 400} (×1000e). Il 26/11/2002 decidedi acquistare un portafoglio di BTP in modo da garantire il flusso L. Perreplicare tale flusso sono necessari titoli con scadenze in t = {1, 2, 3, 4}. Atal uopo sono stati selezionati i seguenti BTP:

k B(0, k) ck

1 1.0986 0.122 1.0973 0.0853 1.1586 0.0954 1.0415 0.0525

Il BTP con scadenza fra 4 anni garantisce 1.0525e per ogni euro di valorefacciale acquistato. L’ammontare di valore facciale da acquistare per ottenerela liability dovuta in t4 = 4 e dato da,

X4 · 1.0525 = 400,000e da cui X4 =400000

1.0525= 380,047.51e.

In t3 = 3 parte della liability puo essere pagata utilizzando il flusso del BTPcon scadenza in t4 = 4. In particolare si ha che,

X3 · 1.095 + 380047.51 · 0.0525 = 300,000e da cui

X3 =300000 − 380047.51 · 0.0525

1.095= 255,751.14e.

Quindi, comprando 255,751.14e di valore facciale del BTP con scadenzain t3 = 3, e con i proventi derivanti dalla cedola del BTP con scadenza int4 = 4 e possibile coprire la liability di 300.000e alla fine del terzo anno.Procedendo a ritroso si possono determinare i valori facciali dei titoli conscadenza in t2 = 2 e t1 = 1 a copertura delle uscite future.


5.4 Hedging utilizzando la duration 113

Da un punto di vista matematico il problema di dedication consiste nel risol-vere un sistema di equazioni lineari. Nel caso specifico,

1.12 X1 + 0.085X2 + 0.095X3 + 0.0525X4 = 140000

1.085X2 + 0.095X3 + 0.0525X4 = 100000

1.095X3 + 0.0525X4 = 300000

1.0525X4 = 400000,

da cui si ottiene che,

X1

X2

X3

X4

=

81592.4551383.54255751.14380047.50

Il costo di tale portafoglio e pari al suo valore di mercato, quindi,

Π(0) = 81592.45 · 1.0986 + 51383.54 · 1.0973 + 255751.14 · 1.1586+

+ 380047.50 · 1.0415 = 838153.388e

Si osservi che l’esborso finale sara maggiore di Π(0) in quanto i prezzi ripor-tati sono al corso secco, al netto del rateo d’interesse.

Il portafoglio ottenuto e un esempio di hedging perfetto: qualsiasi variazionedella struttura dei tassi a pronti non ha alcun effetto sull’obiettivo del gestore,cioe ripagare le liability con il portafoglio di asset selezionato. Non sempre epossibile creare un portafoglio di questo tipo. I motivi sono principalmentedue:

(i) per alcune scadenze non sono disponibili titoli che possono coprire laliability corrispondente. Si potrebbe effettuare la copertura con titoliche hanno una scadenza vicina a quella del flusso in uscita, ma questosottopone il portafoglio a rischi derivanti dalla fluttuazione aleatoriadella struttura dei tassi.

(ii) Il costo per creare il cashflow potrebbe essere eccessivo (nell’esempio,bisogna sborsare quasi un milione di euro, cash!) rispetto al capitale adisposizione.

5.4 Hedging utilizzando la duration

Di solito si preferisce ricorrere ad hedging non perfetti che abbiano un gradodi efficienza abbastanza elevato da garantire un certo grado di protezione. Siconsideri il seguente esempio.



Esempio 5.2: Un gestore di fondi ha in portafoglio un BTP con scadenzasette anni (V1), coupon 8%, che quota alla pari. Si ricorda che un titoloche quota alla pari ha uno YTM pari al suo tasso cedolare. L’8% annuonominale, equivale ad uno YTM effettivo pari a y(0, 7) = 8.16% su baseannuale, e y2(0, 7) = 4% su base semestrale.Gli analisti prevedono un incremento dei tassi con conseguente perdita divalore del titolo in portafoglio. Si potrebbe vendere il titolo e ricomprarlo dopolo shift, ma cio causerebbe l’uscita da quello specifico segmento di mercato.Un altra alternativa consiste nel vendere allo scoperto un titolo a reddito fissoin modo che la riduzione dei prezzi determini un guadagno sulla vendita shorttale da compensare la perdita che si realizzera nella posizione long.Si ipotizzi di vendere allo scoperto un BTP con scadenza dieci anni (V2),coupon 8%, che quota alla pari e quindi y(0, 10) = 8.16% su base annuale,e y2(0, 10) = 4% su base semestrale. Si ipotizzi che la struttura dei tassi siapiatta al livello dello YTM dei due bond. Affinche l’hedge sia efficiente deveessere che,

∆B(0, 7)

B(0, 7)=

∆B(0, 10)

B(0, 10).

Nel caso di struttura piatta la variazione percentuale del prezzo di un titolo areddito fisso, rispetto a shift paralleli dei tassi, e data dalla (3.16). Affinchele variazioni di prezzo siano uguali deve quindi essere che,

MD(0, V1) = MD(0, V2),

Si ricorda che per una posizione long l’aumento dei tassi produce una perditadi valore dell’asset (capital loss), mentre, per una posizione short, lo shiftverso l’alto dei tassi produce un aumento di valore dell’asset.Nel caso in esame selezionando un titolo con la stessa modified duration sigarantisce che le variazioni di prezzo in valore assoluto siano identiche. Intal modo il guadagno di una posizione compensera la perdita che si ottienedall’altra. Le modified duration dei due titoli sono pari a,

MD(0, V1) =5.49

1 + 0.0816= 5.08 MD(0, V2) =

7.07

1 + 0.0816= 6.53.

Le due modified duration non sono uguali, cio implica che le due posizio-ni avranno variazioni differenti. Se per ogni euro di valore facciale di V1

si vende allo scoperto un euro di valore facciale di V2, un aumento dell’1%dei tassi determinera una variazione negativa della posizione lunga di 5.08 ·0.01 = 0.0508; al contrario la posizione corta produrra un capital gain pari a6.53 · 0.01 = 0.0653. In tal caso la strategia di hedging genera un guadagno



(0.0653−0.0508). Si osservi che in caso di riduzione dei tassi le variazioni sa-ranno di segno opposto, producendo una perdita netta (0.0508−0.0653). Perovviare agli inconvenienti dovuti all’over–hedging o all’under–hedging enecessario vendere allo scoperto un ammontare α di nominale di V2 tale che,

MD(0, V1) = αMD(0, V2),

da cui,

α =MD(0, V1)

MD(0, V2). (5.1)

La quantita α e anche nota come hedge ratio.Si ipotizzi che il gestore di fondi abbia in portafoglio 100,000e di valorenominale di V1. Per effettuare l’hedging di tale posizione, per ogni euro divalore facciale del titolo V1, si dovranno vendere allo scoperto,

α =5.08

6.53= 0.77725e

di valore facciale di V2, per un ammontare totale pari a 100,000 · 0.77725 =77,725e.Si ipotizzi adesso che in un istante successivo si verifichi uno shift della strut-tura di 20 bp su base semestrale, lo YTM passera dal 4% al 4.2% (8.58% subase annua). I nuovi prezzi sono, rispettivamente, B(0+, 7) = 0.97915 eB(0+, 10) = 0.97329. I valori delle due posizioni si possono sintetizzare nellaseguente tabella:

V (0) V (0+) V (0+) − V (0)

long 100000 97915 −2085

short 77725 75649 2076

−9

dove il valore della posizione short si ottiene moltiplicando il prezzo del titoloper l’ammontare di valore facciale venduto allo scoperto, quindi,

V (0) = 100,000 · 0.77725 · 1 = 77,725e (introito)

V (0+) = 100,000 · 0.77725 · 0.97329 = 75,649e (esborso).



Riassumendo, a fronte di una perdita della posizione lunga di 2,085e, laposizione corta ha un guadagno di 2,076e, il risultato netto delle due po-sizioni e pari ad un perdita di 9e. Si verifica facilmente che per uno shiftdi 50 bp (y2(0.7) = y2(0, 10) = 4.5%), il risultato netto delle due posizioni epari a -56e (si lascia allo studente la verifica). Il risultato netto della stra-tegia di hedging e negativo in quanto la duration e un’approssimazione diprimo ordine della variazione del prezzo. Come rappresentato nella Figura3.4, la duration e la tangente alla curva delle variazioni del prezzo (infatti, laduration e la derivata prima della funzione prezzo), quindi, per oscillazionisempre piu consistenti dei tassi, la duration e un previsore grossolano delleoscillazioni reali dei prezzi.Un’altro limite di tali strategie di hedging e la “manutenzione” dell’hedgestesso. Il pagamento di cedole, la variazione dei prezzi, gli shift della struttu-ra, sono tutti fattori che influenzano la duration dei titoli e, di conseguenza,l’hedge ratio.Nell’esempio precedente, lo shift di 20 bp modifica l’hedge ratio dello 0.9%(0.77725 ⇒ 0.78426); per ristabilire l’hedge e necessario vendere allo scoper-to ulteriori 701e di valore facciale di V2. Il disallineamento delle duration(duration gap) rende l’hedge meno efficiente esponendo il portafoglio a per-dite piu consistenti. Nella pratica l’hedge non e ristabilito ad ogni variazionedei prezzi. Di solito ci si limita a monitorare il duration gap intervenendonel caso in cui il disallineamento fra le duration si incrementa.Si osservi che l’hedge e stato costruito con titoli aventi lo stesso prezzo,B(0, 7) = B(0, 10) = 1. L’hedge e stato costruito in modo che la variazio-ni relative dei prezzi siano identiche. Se i prezzi sono differenti, variazionirelative identiche generano variazioni assolute differenti.Per esempio, si ipotizzi che nell’istante di valutazione t le quotazioni deidue titoli (Vm e Vq) siano, rispettivamente, B(t, tm) = 1 e B(t, tq) = 0.85;si ipotizzi, inoltre, che le modified duration siano identiche, MD(t, V1) =MD(t, V2) = 3.Una variazione dell’1% dei tassi determina una variazione dei prezzi del 3%.Le variazioni assolute sono, rispettivamente, ∆B(t, tm) = −1 · 0.03 = -0.03ee ∆B(t, tq) = 0.85 ·0.03 = 0.0255e. Se si fosse venduto allo scoperto un eurodi valore facciale del titolo V2, a copertura del titolo V1, si sarebbe realizzatoun under–hedge pari a -0.0045e.Nel caso di prezzi differenti, l’hedge ratio si determina uguagliando le varia-



zioni assolute del prezzo. Come e noto,

∆B(t, tm)

B(t, tm)= −MD(t, V1)∆i

∆B(t, tq)

B(t, tq)= −MD(t, V2)∆i,

da cui,

∆B(t, tm) = −MD(t, V1) B(t, tm) ∆i

∆B(t, tq) = −MD(t, V2) B(t, tq) ∆i.

L’hedge ratio si ricava dall’uguaglianza delle due variazioni assolute, quindi,

∆B(t, tm) = α∆B(t, tq),

da cui,

α =MD(t, V1)

MD(t, V2)

B(t, tm)

B(t, tq).

Si osservi che la variazione assoluta e data dalle dollar duration dei due titoli(piu precisamente dalle dollar modified duration), quindi l’hedge ratio puoanche essere scritto nella seguente forma,

α =DD(t, V1)

DD(t, V2)(5.2)

Nel caso in cui anche gli YTM dei due titoli si modifichino in manieradifferente, la formula generale per l’hedge ratio e data da,

α =MD(t, V1)

MD(t, V2)

B(t, tm)

B(t, tq)

∆i1∆i2

. (5.3)

La (5.3) e abbastanza generale da permettere l’hedging nel caso in cui lastruttura non sia piatta. Infatti, come visto nel sezione sulla semielasticita,se la struttura non e piatta e lo shift dei tassi avviene nella stessa propor-zione δi (si veda eqn. 3.22), allora la variazione dei prezzi e correttamenteapprossimata dalla (3.21). L’hedge ratio si ottiene uguagliando le variazioniassolute dei prezzi, quindi,

−D(0, V1) B(t, tm) δi = −α[

D(0, V2) B(t, tq) δi]

,

da cui,

α =D(0, V1)

D(0, V2)

B(t, tm)

B(t, tq). (5.4)



Se la variazione degli YTM e identica (∆i1/∆i2 = 1), la (5.4) e la (5.3)differiscono soltanto per un fattore dato dal rapporto fra gli YTM dei duetitoli, (1 + i2)/(1 + i1). Di solito questo fattore non e molto diverso da 1 inquanto l’inclinazione della struttura a termine e abbastanza contenuta. Peresempio, la struttura del 26/11/2001, rappresentata nella Figura 4.1, ha unoYTM massimo pari al 5.42% ed uno YTM minimo pari al 3.13%, quindi,nel caso estremo in cui uno dei due titoli fosse usato per costruire l’hedgedell’altro, il rapporto (1 + i2)/(1 + i1) sarebbe pari a 1.02 (0.98).

Esempio 5.3: Data la struttura del 26/11/2001, riportata nella Tabella 4.2,si determini l’hedge ratio con una posizione corta nel BTP (V2) con scadenzam2 = 7, per una posizione lunga di 1,000,000e nel BTP (V1) con scadenzam1 = 4. I due titoli hanno le seguenti caratteristiche:

• cedola: c1 = 5%, c2 = 8% annuale;

• scadenza: m1 = 4, m2 = 7 anni;

• YTM: y(0, 4) = 4.158%, y(0, 7) = 4.533% su base annua.

I prezzi dei due BTP sono B(0, 4) = 1.0323 e B(0, 7) = 1.2093. Le duration,rispetto alla struttura osservata, sono D(0, V1) = 3.6781 e D(0, V2) = 5.6319anni; le flat yield duration sono FYD(0, V1) = 3.6808 anni e FYD(0, V2) =5.6496 anni (si invitano gli studenti a verificare questi numeri). La strutturanon e piatta, quindi l’hedge ratio deve essere calcolato utilizzando la (5.4),pertanto,

α =3.6781

5.6319

1.0323

1.2093= 0.5575.

Il valore facciale del titolo V2, da vendere allo scoperto, e pari a 1000000 ·0.5575 = 557,496e. L’introito dovuto alla vendita allo scoperto e pari a1.2093 · 557496 = 674,179e.Se si utilizza la (5.3) per il calcolo dell’hedge ratio si ottiene praticamente lostesso risultato,

α =3.6781

5.6319

1.0323

1.2093

1 + 0.04533

1 + 0.04158= 0.5582.

Nell’Esempio 5.2 si e visto che il risultato netto di un hedge puo essere nega-tivo (perdite maggiori dei guadagni) e che tali perdite sono maggiori all’au-mentare del valore assoluto dello shift. Cio e dovuto all’errore di approssima-zione che si verifica utilizzando la duration come previsore della variazionedel prezzo.



Si puo ovviare a questo inconveniente “aggiustando” la fluttuazione del prez-zo tramite la convexity. Se si considera il prezzo di un titolo a reddito fisso,B(i), funzione del tasso i (struttura piatta), utilizzando la formula di Taylortroncata al termine di secondo ordine, si puo scrivere:

B(i + ∆i) = B(i) + B′(i) ∆i +1

2B′′(i) (∆i)2.

Tramite semplici passaggi algebrici si ottiene,

B(i + ∆i) − B(i)

B(i)=

B′(i)

B(i)∆i +

1

2

B′′(i)

B(i)(∆i)2, (5.5)

ricordando che,

B′(i)

B(i)= −

1

1 + iD(0, B) e

B′′(i)

B(i)= C(0, B),

sostituendo nella (5.5) si ottiene,

B(i + ∆i) − B(i)

B(i)= −

1

1 + iD(0, B) ∆i +

1

2C(0, B) (∆i)2. (5.6)

Si osservi che l’aggiustamento apportato dalla convexity e funzione di (∆i)2,quindi per piccoli shift tale aggiustamento e trascurabile.Nella seguente tabella sono riportate le variazioni assolute del prezzo, ∆B,approssimate tramite la duration e con l’aggiustamento operato dalla conve-xity.

bp ∆B(D) ∆B(D,C)

10 −0.006535799 −0.006512576

20 −0.013071598 −0.012978708

50 −0.032678995 −0.032098432

80 −0.052286391 −0.050800151

100 −0.065357989 −0.063035739

150 −0.098036984 −0.092811922

180 −0.11764438 −0.110120291

200 −0.130715978 −0.121426979

250 −0.163394973 −0.148880911

Come si puo notare le differenze fra i due valori diventano apprezzabili pershift della struttura maggiori di 80 bp. Il livello di shift non e univoco



e dipende dalla grandezza della convexity: a parita di coupon, titoli conscadenza maggiore avranno una convexity piu alta; a parita di scadenza,titoli con coupon maggiore avranno una convexity minore. Se i titoli con cuicostruire l’hedge sono piu di uno, la convexity permette di scegliere il titoloche garantisce un hedge piu robusto, ovvero, un hedge il cui risultato finalegarantisce la perdita minore.

Esempio 5.4: Relativamente all’Esempio 5.3, si consideri il caso in cuiper effettuare l’hedging del BTP identificato da V1 si possa utilizzare il BTP(V3) con le seguenti caratteristiche: c3 = 10% annuale, m3 = 5.5 anni,y(0, 10) = 4.43% su base annua. Il prezzo del titolo e B(0, 10) = 1.2720 e lasua flat yield duration FYD(0, V3) = 4.5074.Utilizzando il nuovo titolo l’hedge ratio e pari a β = 0.6645.L’obiettivo di un hedge e quello di neutralizzare le variazioni di valore di unaposizione con variazioni uguali e contrarie in un’altra posizione. Gli hedgeratio sono stati ottenuti in modo che,

∆B(0, 4) = α∆B(0, 7) e

∆B(0, 4) = β∆B(0, 10)

Se si verifica uno shift di 50 bp degli YTM dei tre titoli, per ogni euro divalore facciale, il valore netto delle posizioni e (si ricorda che una riduzionedei prezzi determina un guadagno per le posizioni short),

V2 : −0.0180 + (0.5582 · 0.0321) = −0.0001

V3 : −0.0180 + (0.6645 · 0.0271) = −0.000051

La differenza fra le due perdite nette e trascurabile ed imputabile ad errori diarrotondamento. Per uno shift di 200 bp avremo che,

V2 : −0.0697 + (0.5582 · 0.1219) = −0.0016

V3 : −0.0697 + (0.6645 · 0.1037) = −0.0008.

In questo caso la perdita netta dell’hedge costruito con il V2 e maggiore diquella ottenuta con V3 e non puo essere imputata agli arrotondamenti.Lo stesso risultato si ottiene nel caso di riduzione dei tassi. In particolare,la posizione lunga determinera un guadagno, mentre la posizione corta unaperdita. Per uno shift di 300 bp si ha,

0.1176 − (0.5582 · 0.2188) = −0.0046

0.1176 − (0.6645 · 0.1801) = −0.0021



-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-0.07 -0.05 -0.03 -0.01 0.01 0.03 0.05 0.07

Hedged Bond (V_1)

Hedge Bond (V_2)

Hedge Bond (V_3)

∆i

∆V

Figura 5.2: Variazioni assolute del valore delle posizioni in V1, V2 eV3

Nella Figura 5.2 e riportato il grafico delle variazioni post–shift delle treposizioni per l’intervallo di shift [−0.06, 0.06]. Come si puo notare il titolo conmaggiore curvatura (V2) causa perdite maggiori, sia per shift positivi dei tassiche per shift negativi. La curvatura della funzione prezzo e misurata dallaconvexity: maggiore e la curvatura e maggiore sara la convexity. Quindi,nel costruire un hedge di una posizione lunga e preferibile scegliere titoli aconvexity minore.Se l’hedging che si sta effettuando e quello di una posizione corta (per esem-pio, un pagamento da effettuare nel futuro), l’hedge si costruisce tramite unaposizione lunga in un altro titolo.L’ammontare di valore facciale da acquistare (long position) e dato dall’hedgeratio descritto dalla (5.3) o dalla (5.4).In questo caso, l’aggiustamento per la convexity si effettuera scegliendo titolicon convexity maggiore.

Infatti, se si ipotizza di essere short in V1 e di volere effettuare un hedge conuna posizione lunga su V2 o su V3, osservando la Figura 5.2 si evince che unariduzione dei tassi determina un aumento di valore nelle posizioni long e chequesto aumento e maggiore per i titoli con maggiore curvatura. Per shiftpositivi (aumento dei tassi e conseguente riduzione dei prezzi) le posizionilong generano perdite e queste perdite sono minori per i titoli con curvaturamaggiore.



Le strategie di hedging tramite duration si basano su di una ipotesi fonda-mentale: la struttura dei tassi evolve per shift paralleli di ampiezzaaleatoria. Un duration–hedge non garantisce alcuna protezione da shift nonparalleli. Nella realta i tassi a breve periodo sono di solito piu volatili deitassi a lungo e cio determina shift della struttura non paralleli. In altri casi lastruttura evolve tramite twist che consistono in uno shift negativo dei tassia breve ed in uno positivo dei tassi a lungo.Comunque, studi empirici hanno verificato che in circa il 90% dei casi lastruttura dei tassi evolve per shift paralleli. Questo risultato garantisce lavalidita dei duration–hedge nella maggior parte dei casi. Gli sviluppi in que-sto ambito si basano su modelli stocastici dell’evoluzione della struttura deitassi che forniscono hedge ratio compatibili per evoluzioni di forma qualsiasi.


5.5 Immunizzazione Finanziaria 123

5.5 Immunizzazione Finanziaria

Una strategia di controllo del rischio da tasso d’interesse che e legata alconcetto di hedging e l’immunizzazione finanziaria. In effetti l’immu-nizzazione finanziaria nasce come alternativa alle strategie di dedication ocashflow creation, ma, come si vedra, la trattazione in termini di hedgingdi posizioni finanziarie permette di ricondurre i risultati ottenuti nell’alveodella piu ampia disciplina nota come gestione del rischio.Il tipico problema di immunizzazione e quello di un intermediario finanziario(banche, assicurazioni, etc.) che disponendo di flussi di attivita o asset (peresempio, mutui, prestiti, etc.)—i cosiddetti impieghi—finanziati da flussidi passivita o liability (per esempio, depositi, polizze assicurative, etc.—lacosiddetta raccolta— intende garantire un margine di intermediazione certo(la differenza fra il rendimento degli asset e quello delle liability).Se i flussi di attivita sono perfettamente allineati (perfect matching) a quellidi passivita (si veda l’Esempio 5.1) il margine di intermediazione non e sog-getto alle fluttuazioni della struttura dei tassi. Come osservato nell’Esempio5.1 tale allineamento nei casi pratici e difficile e costoso.Al contrario delle strategie di dedication, che mirano a rendere uguali i flussidi attivo e passivo, l’obiettivo dell’immunizzazione finanziaria e quello direndere le distribuzioni temporali dei flussi di attivo e passivo il piu possibile“simili”. In tal modo le fluttuazioni della struttura dei tassi influenzerannonella stessa maniera il valore attuale della attivita e delle passivita, lasciandoil piu possibile invariato il margine di intermediazione.Il concetto di immunizzazione finanziaria non e quindi diverso da quello dihedging: entrambe le strategie consistono nel determinare posizioni finanzia-rie che varino in maniera opposta, tale che la perdita generata dall’una sianeutralizzata dal guadagno ottenuto dall’altra.L’ipotesi fondamentale che sottende i teoremi di immunizzazione e che lastruttura dei tassi evolva per shift additivi di tipo aleatorio, dove l’aleatorietapesa soltanto sull’ampiezza e sul segno della traslazione.Si consideri un flusso di attivita A = {A1, A2, . . . , Am} ed un flusso di passi-vita L = {L1, L2, . . . , Lm} definiti sullo stesso scadenzario t = {t1, t2, . . . , tm}.Si ipotizzi, inoltre, che nell’istante di valutazione t, nota la struttura deiprezzi, i due flussi siano in equilibrio finanziario,

A(t) = L(t).

I due flussi si dicono immunizzati se in un istante successivo t+, rispetto adun eventuale shift additivo della struttura, il valore post–shift delle attivitae maggiore o uguale del valore post–shift della passivita,

A(t+) ≥ L(t+),



o, in modo equivalente, se e non negativo il valore netto del portafoglio,

N(t+) = A(t+) − L(t+) ≥ 0.

Se il flusso di passivita e costituito da una sola posta L, pagabile al tempoH > t, si dimostra che (Fisher & Weil, 1971) il valore post–shift del flusso diattivita A e non minore del valore delle passivita, A(t+) ≥ L(t+), se e solose, nell’istante di valutazione t, i due flussi sono in equilibrio finanziario,

A(t) = LB(t,H) (5.7)

e la duration del flusso di attivita e uguale a quella delle passivita,

D(t, A) = H − t. (5.8)

La condizione sulle duration (eqn. 5.8), come per le strategie di hedging vistein precedenza, assicura che i due flussi subiranno variazioni assolute ugualinel caso di shift additivi della struttura dei tassi. Per esempio, una riduzionedei tassi determinera un aumento del valore delle liability ed, allo stessotempo, un aumento di valore delle attivita. Se le variazioni assolute sonouguali (e lo sono grazie al matching delle duration) il portafoglio e ancorasolvibile, ossia, A(t+) ≥ L(t+).L’unica differenza con le strategie di hedging consiste nella condizione di equi-librio finanziario (eqn. 5.7). Nell’Esempio 5.3, il valore della posizione longe pari a 1000000 · 1.0323 = 1,032,300e, mentre quello della posizione shorte 1000000 · 0.5575 · 1.2093 = 674,179e. In termini di hedging la condizione(5.7) puo essere imposta effettuando l’hedge con due titoli anziche uno. Co-me e noto, da un punto di vista matematico, imporre due condizioni implicache due equazioni devono essere soddisfatte contemporaneamente. Affinche ilsistema ammetta soluzione, il numero delle incognite deve essere non minoredel numero delle equazioni. In questo caso si dice che il portafoglio detenuto(long + short position) e self–financing.Si indichi con V1 un titolo con scadenza in tp e con V2 e V3 due titoli conscadenza in, rispettivamente, tm e tq. Affinche il portafoglio sia self–financing,il valore di un euro di nominale del titolo V1 deve essere uguale al valore delportafoglio composto da α euro di nominale del titolo V2 e β euro di nominaledel titolo V3, quindi,

αB(t, tm) + βB(t, tq) = B(t, tp) (5.9)

Il primo membro della (5.9) e il prezzo di un portafoglio con pesi α e β(si veda l’Esempio 3.2). I pesi sono stati scelti in modo che il prezzo delportafoglio sia uguale a quello del titolo V1.



Come visto nell’Esempio 5.3, per strutture di tipo qualsiasi, l’hedge ratio siottiene uguagliando le duration dei due titoli, quindi,

D(t, Π) = D(t, V1),

Sostituendo nell’equazione precedente l’espressione per la duration del por-tafoglio (si veda eqn. 3.6), e data da,

α d2 D(t, V2) + β d3 D(t, V3) = D(t, V1)

dove,

d2 =B(t, tm)

Π(t)e d3 =

B(t, tq)

Π(t).

Dato che, Π(t) = B(t, tp), la condizione di matching delle duration diventa,

α B(t, tm) D(t, V2) + β B(t, tq) D(t, V3) = B(t, tp) D(t, V1). (5.10)

Esempio 5.5: Si ipotizzi che i titoli V1, V2 e V3 siano quelli propo-sti negli Esempi 5.2 e 5.3. Sostituendo nella (5.9) e nella (5.10) i valoricorrispondenti, il sistema di equazioni, nell’incognite α e β, e dato da,

1.2093 · α + 1.272 · β = 1.0323

6.8107 · α + 5.7629 · β = 3.7969.

Risolvendo il sistema si ottiene α = −0.6609 e β = 1.4399.Qual e il significato finanziario da attribuire ad un valore di α negativo?Il portafoglio con cui si effettua una strategia di hedge e per costruzione com-posto da posizioni short nei due titoli. In finanza il segno negativo in unaposizione indica la posizione opposta, quindi, essere short di −0.6609 signi-fica, in pratica, assumere una posizione lunga di 0.6609 nel titolo V2. Inmaniera analoga, una posizione lunga di −x euro e equivalente ad una po-sizione short di x euro. Il portafoglio ottenuto e pertanto composto da unaposizione short di 1.4399 nel titolo V3 ed una posizione long di 0.6609 neltitolo V2, per ogni euro di nominale del titolo V1.Se il nominale del titolo V1 e di 500,000e, sara necessario vendere allo sco-perto 500000 · 1.4399 = 719,950.47e di nominale del titolo V2 e comprare500000 · 0.6609 = 330,434.53e di nominale del titolo V3. Lo studente verifi-chi che il valore del portafoglio di hedge uguaglia il valore della posizione neltitolo V1.Il motivo per cui il portafoglio di hedge e composto da posizioni di segnoopposto e dovuto al fatto che la duration del titolo V1 non e compresa fra le



duration dei titoli V2 e V3. Infatti, essendo la duration del portafoglio unacombinazione lineare di D(0, V2) e D(0, V3), ovvero, una media ponderatadelle due duration, per garantire l’uguaglianza con D(0, V1) una delle duequantita deve essere negativa.Lo studente verifichi che per effettuare l’hedge del titolo V3 il portafoglio dicopertura e composto da 0.7168e del titolo V1 e 0.4399e del titolo V2, perogni euro di nominale detenuto del V3

Un’interessante proprieta dei flussi immunizzati e la seguente.Siano A ed L due flussi immunizzati nell’istante di valutazione t. Se nel-l’intervallo [t, t′], con t′ < t1, non si verificano pertubazioni aleatorie dellastruttura, allora i due flussi sono ancora immunizzati.Tale proprieta garantisce che se la struttura subisce un’evoluzione puramentedeterministica, e se non giungono a scadenza poste dei flussi in esame, non enecessario ricalibrare il portafoglio, o, in termini di hedging, non e necessariomodificare le posizioni assunte nel portafoglio di hedge. Questa proprieta siverifica facilmente osservando che nel caso di evoluzione deterministica dellastruttura la condizione (5.7) diventa,

A(t)

B(t, t′)=

L(t)

B(t, t′), (5.11)

mentre, la (5.8),

D(t, A) − (t′ − t) = H − t − (t′ − t). (5.12)

La condizione (5.11) si ottiene applicando il teorema dei prezzi certi; la con-dizione (5.12) deriva dalla proprieta della duration nel caso di evoluzionedeterministica della struttura.Dato che ambo i membri della condizione (5.11) sono divisi per la stessaquantita, in caso di evoluzione deterministica e assicurata la condizione diequilibrio finanziario. Le duration dei due flussi risultano accorciate dellastessa ammontare, garantendo il matching delle duration.Nella realta e molto improbabile che si verifichino evoluzioni deterministichedella struttura dei tassi. Questa proprieta, comunque, suggerisce che se imercati sono abbastanza stabili si puo monitorare il duration gap ed interve-nire nel riallineamento delle duration solo quando si verifica una pertubazionesignificativa dei tassi oppure giungano a pagamento poste dei due flussi.

Esempio 5.6: Un’azienda dovra effettuare un pagamento di L = 10,000,000efra H = 4 anni. Il tesoriere dell’azienda intende immunizzare la passivitacon un portafoglio di BTP. I titoli individuati per lo scopo hanno le seguenticaratteristiche:



• cedola: c1 = 5%, c2 = 8%, c3 = 10% annuale;

• scadenza: m1 = 4, m2 = 7, m3 = 5.5 anni;

• prezzi: B(0,m1) = 1.0323, B(0,m2) = 1.2093, B(0,m3) = 1.2720 perogni euro di nominale;

• duration: D(0, V1) = 3.6781, D(0, V2) = 5.632, D(0, V3) = 4.4953 anni.

L’istante di valutazione e il 26/11/2001 e la struttura osservata e riportatanella Tabella 4.2.Per immunizzare la passivita e necessario un portafoglio con almeno duetitoli. Affinche le soluzioni del sistema siano positive, quindi il portafogliosia composto da due posizioni lunghe in BTP (acquisto), la duration dellapassivita deve essere compresa fra le duration dei titoli che faranno parte delportafoglio. Si ipotizzi che siano state selezionate le coppie di titoli {V1, V2}e {V2, V3}, i sistemi di equazioni che determinano i nominali per i portafogliimmunizzati sono (il problema e stato impostato per un euro di nominaledella liability),

1.0323 · α1 + 1.2093 · α2 = 0.8483

3.6781 · 1.0323 · α1 + 5.632 · 1.2093 · α2 = 0.8483 · 4

1.0323 · α1 + 1.2720 · α3 = 0.8483

3.6781 · 1.0323 · α1 + 4.4953 · 1.2720 · α3 = 0.8483 · 4.

I nominali che garantiscono l’immunizzazione della passivita in t4 = 4 sono,rispettivamente,

[

α1

α2

]

=

[

0.68640.1156

] [

α1

α3

]

=

[

0.49810.2627

]

Per il primo portafoglio, il nominale del titolo V1 e 10000000 · 0.6864 =6,864,000e; il nominale del titolo V2 e 10000000 · 0.1156 = 1,156,000e.Il valore del portafoglio e chiaramente uguale al valore attuale della liability,infatti,

6864000 · 1.0323 + 1156000 · 1.2093 = 8,483,658e

Si ipotizzi che dopo 0.25 anni la struttura subisca uno shift additivo di 30 bp,i prezzi dei titoli saranno:

B(0.25,m1) = 1.0298, B(0.25,m2) = 1.1994, B(0.25,m3) = 1.2658.



Il valore del portafoglio {V1, V2} e dato da,

6864000 · 1.0298 + 1156000 · 1.1994 = 8,454,611e,

mentre quello della liability e 10000000 ·0.8455 = 8,454,540e. Il valore nettopost–shift e pari a,

8454611 − 8454540 = 70.14e.

Si lascia allo studente di dimostrare che per uno shift di 80bp il valore nettopost–shift e pari a 486.92e.

I teoremi di immunizzazione garantiscono che nel caso di singole uscite ilvalore post–shift sia positivo per shift finiti della struttura. Come visto negliEsempi 5.2 ed 5.3, il valore netto delle posizioni dopo lo shift non e positivo.Cio e dovuto al fatto che la posizione su cui e stata effettuato l’hedge prevedeun flusso con pagamenti multipli. Le condizioni che scaturiscono dal teoremadi Fisher & Weil non permettono l’immunizzazione di flussi con piu postepassive (leggi, piu poste attive nel caso di posizioni lunghe).Nell’Esempio 5.3 si e visto che scegliendo un titolo con convexity minore siotteneva un hedge piu “robusto”. Come sottolineato, se l’hedge e effettuatosu una posizione short, tramite posizioni long, sara necessario scegliere queititoli che hanno convexity maggiore.Se si considera il problema classico di immunizzazione, dove tramite unaposizione lunga (flussi dell’attivo) si cerca di neutralizzare gli effetti di shiftadditivi su una posizione corta (flusso del passivo), applicando la stessa logicadell’Esempio 5.3, il valore netto post–shift sara maggiore o uguale a zero see solo se la convexity degli asset e maggiore della convexity delle liability.Quindi, la terza condizione che garantisce che i flussi siano immunizzati e(Redington, 1957),

C(t, A) ≥ C(t, L). (5.13)

Sostituendo la (3.19) nella (5.13) si ottiene,

D(t, A) + D2(t, A)

(1 + iA)2≥

D(t, L) + D2(t, L)

(1 + iL)2. (5.14)

Dato che (1 + iA)/(1 + iL) ≃ 1 e che D(t, A) = D(t, L), la condizione sulleconvexity diventa,

D2(t, A) ≥ D2(t, L) (5.15)

Purtroppo questa condizione assicura che il flusso sia immunizzato solo pershift infinitesimi. Il teorema di Redington non puo essere considerato unageneralizzazione del teorema di Fisher & Weil al caso di passivita multiplein quanto garantisce che i flussi siano immunizzati per shift infinitesimi (nonfiniti) della struttura.


Capitolo 6

Futures

6.1 Definizione di future

Il future e un contratto stipulato tra due controparti, legalmente vincolante,per la consegna oppure per il ricevimento di una particolare attivita finan-ziaria ad una data futura prestabilita ed a un prezzo concordato al momentodella stipula del contratto. L’attivita finanziaria scambiata e anche notacome sottostante o underlying asset.Il contratto future differisce da un contratto forward per alcuni aspetti fon-damentali:

1. i contratti future sono stipulati in un mercato regolamentato ed hannocaratteristiche standard riguardo la quantita, l’attivita sottostante e ladata di consegna. Al contrario, un contratto forward e un accordo fradue parti che puo contemplare date di consegna, quantita e specifiche del-l’attivita finanziaria sottostante, di tipo personalizzato (nel caso di titoliobbligazionari, oggetto del contratto forward potrebbero essere titoli conscadenza e cedola qualsiasi).

2. il valore di un future e aggiornato alla fine di ogni seduta borsistica edeventuali guadagni/perdite sono regolati ogni giorno. Questo meccani-smo e detto mark–to–market. Al contrario, in un contratto forward latransazione monetaria avviene soltanto alla data di consegna T .

3. la posizione aperta in un future (acquisto o vendita a termine) puo esserechiusa in qualsiasi momento prima della scadenza del contratto, attraversoun’operazione di segno opposto. La chiusura di un contratto forwardprima della data di consegna non e automatica ed implica una trattativafra le parti.

6.2 Caratteristiche di un future 130

In questo capitolo si studieranno i future sui tassi a breve (future sull’EURI-BOR a 3 mesi) e sui tassi a lungo (future sul BTP a 10 anni o sul Bund a 10anni). In particolare, si vedra come questi strumenti possono essere utilizzatiper l’hedging di posizioni su titoli a reddito fisso, al fine di ridurre il rischioda tasso d’interesse.

6.2 Caratteristiche di un future

In un contratto future una delle due parti si impegna a comprare, e di con-seguenza l’altra parte si impegna a vendere, una quantita prestabilita delsottostante. Per quanto riguarda i future sui tassi, il sottostante e rappre-sentato da un titolo a lungo periodo con caratteristiche ben definite, o daun tasso d’interesse di a breve periodo. L’ammontare e l’istante in cui saraconsegnato il sottostante contribuiscono a definire in maniera uniforme uncontratto future sui tassi. Nelle Figure 6.1, 6.2 e 6.3 sono riportate, rispet-tivamente, le specifiche contrattuali di un contratto future sull’EURIBOR atre mesi, del future sul BTP a 10 anni e del future sul Bund a 10 anni1.Per entrambi i contratti e specificato l’ammontare di valore facciale che sarascambiato nelle date di consegna (p.es: un contratto future sul BTP implicalo scambio di 100,000e di valore facciale). Le date di consegna sono an-ch’esse specificate (p.es.: il future sull’EURIBOR a tre mesi ha come mesidi consegna Marzo, Giugno, Settembre e Dicembre, piu altri due mesi chepermettono 22 mesi di contrattazioni a cavallo di due anni).Si osservi che, nel caso del future sui BTP (come in tutti i future sui tassi alungo periodo) e specificata anche la cedola del BTP scritto nel contratto.Alcune specifiche possono variare a secondo dei mercati in cui sono contrat-tati i future (luogo e date di consegna), ma nella sostanza, non esiste alcunadifferenza fra un BTP future scambiato al MIF ed uno scambiato al LIFFE(le specifiche riportate nelle precedenti figure sono quelle relative al LIFFE).Il prezzo di un contratto future e ufficialmente pubblicato ogni giorno lavora-tivo dalla societa responsabile del mercato future. Un operatore che acquistaun contratto future assume una long position e s’impegnera a consegnarel’ammontare prescritto per ogni contratto acquistato alla data di consegna.Si osservi che, come per un contratto forward, acquistare un future non im-plica alcun esborso di denaro. Il prezzo di mercato rappresenta il prezzofuturo con cui sara regolamentata la transazione al momento della consegna.

1In seguito, si fara riferimento soltanto al Bund a 10 anni. Dopo la convergenza deitassi europei e l’integrazione monetaria non esiste differenza fra un Bund ed un BTP. Inun futuro prossimo, questi titoli dovrebbero scomparire per far posto ad un titolo della“Federazione Europea”.



Three Month Euribor Interest Rate Future

Unit of trading E1,000,000

Delivery months March, June, September, December, and two serial

months, such that 22 delivery months are available for

trading, with the nearest three delivery months being

consecutive calendar months

Delivery day First business day after the Last Trading Day

Last trading day 10.00

Two business days prior to the third Wednesday of the

delivery month

Quotation 100.00 minus rate of interest

Minimum price movement 0.005 (E12.50)

(Tick size & value)

Trading hours 07.30 – 18.00

Trading Platform: LIFFE CONNECT™ central order book applies a combination of time/price and pro-rata

algorithm, Block Trading Facility.

Contract standard: Cash settlement based on the Exchange Delivery Settlement Price.

Exchange Delivery Settlement Price (EDSP): Based on the European Bankers Federations’ Euribor Offered Rate

(EBF Euribor) for three month Euro deposits at 11.00 Brussels time (10.00 London time) on the Last Trading Day.

The settlement price will be 100.00 minus the EBF Euribor Offered Rate rounded to three decimal places. Where

the EDSP Rate is not an exact multiple of 0.005, it will be rounded to the nearest 0.005 or, where the EDSP Rate

is an exact uneven multiple of 0.0025, to the nearest lower 0.005 (e.g. a EBF Euribor Offered Rate of 2.53750

becomes 2.535).

Unless otherwise indicated, all times are London times.

Figura 6.1: Specifiche di un contratto future sull’EURIBOR a tremesi.



Italian Government Bond (BTP) Future (denominated in Euro)

Unit of trading E100,000 nominal value notional Italian government

bond with 6% coupon

Delivery months March, June, September, December, such that the

nearest three delivery months are available for trading

Delivery day Tenth calendar day of delivery. If such a day is not a

business day for the Stanza Milan, then the Delivery Day

will be the following business day for the Stanza Milan

Last trading day 11.30

Four Stanza Milan business days prior to the

Delivery Day

Quotation Per E100 nominal

Minimum price movement 0.01 (E10)

(Tick size & value)

Trading hours 07.00 - 18.00

Trading platform: LIFFE CONNECT™ central order book applies price/time priority trading algorithm, Basis

Trading Facility, Block Trading Facility.

Contract standard: Delivery may be made of any Buoni del Tesoro Poliennali (BTP) with 8 1/2 to 10 1/2 years

remaining maturity as at the tenth calendar day of the delivery month, provided that any such BTP has a minimum

amount in issue of E2,000,000,000. Delivery will take place through the Stanza Milan and must be made via a

financial institution that has an account in its own name in the Stanza Milan.

Exchange Delivery Settlement Price (EDSP): The LIFFE market price at 12.30 Italian time on the Last Trading

Day. The invoicing amount in respect of each deliverable BTP is to be calculated by the price factor system. A final

List of Deliverable BTPs and their price factors will be announced by the Exchange ten working days prior to the

Last Trading Day of the delivery month. Adjustment will be made for the pro rata gross coupon interest accruing

as at the Delivery Day.


Figura 6.2: Specifiche di un contratto future sul BTP a 10 annidenominato in euro.



German Government Bond (Bund) Future (denominated in Euro)

Unit of trading E100,000 nominal value notional German government

bond with 6% coupon

Delivery months March, June, September, December, such that the

nearest three delivery months are available for trading

Delivery day Tenth calendar day of delivery month. If such a day is

not a business day in Frankfurt then the Delivery Day

will be the following Frankfurt business day

Last trading day 12.30 Frankfurt time

Two Frankfurt business days prior to the Delivery Day

Quotation Per E100 nominal

Minimum price movement 0.01 (E10)

(Tick size & value)

Trading hours 07.00 - 18.00

Trading platform: LIFFE CONNECT™ central order book applies price/time priority trading algorithm, Basis

Trading Facility, Block Trading Facility.

Contract standard: Delivery may be made of any Bundesanleihe with 8 1/2 - 10 1/2 years remaining maturity as

at the tenth calendar day of the delivery month, providing that any such Bund has a minimum amount in issue of

E2,000,000,000 as listed by LIFFE. Delivery may be made via accounts at (i) Deutsche Börse Clearing AG1

(ii) Euroclear; or (iii) Cedel S.A.

Exchange Delivery Settlement Price (EDSP): The LIFFE market price at 12.30 Frankfurt time on the Last Trading

Day. The invoicing amount in respect of each deliverable Bund2 is to be calculated by the price factor system. A

final List of Deliverable Bunds and their price factors will be announced by the Exchange ten market days prior to

the Last Trading Day of the delivery month. Adjustments will be made for full coupon interest accruing as at the

Delivery Day.


Figura 6.3: Specifiche di un contratto future sul Bund a 10 annidenominato in euro.



Nella Figura 6.4 sono riportate le quotazioni del future sull’EURIBOR a tremesi (Liffe). Se si indica con lK il tasso future, come si evince dalle specifichecontrattuali, il future e quotato a 100 − lK . L’acquirente di un contrattofuture con consegna in Dicembre, “acquistera” un deposito EURIBOR altasso lK = 100 − 96.59 = 3.41%. Acquistare un deposito EURIBOR equiva-le ad un’operazione finanziaria di investimento (come acquistare un BOT).Pertanto, alla consegna sara versato un ammontare pari a K, per ricevereil valore facciale del deposito scritto nel contratto future dopo tre mesi. Ilprezzo del deposito si ottiene attualizzando al tasso lK il valore facciale deldeposito,

K = C(

1 + lKτ

n

)

−1

. (6.1)

Gli operatori con una posizione lunga sono obbligati a depositare alla conse-gna (Dicembre) un ammontare pari a,

K = 1000000 ·

(

1 + 0.0341 ·90

365

)

−1

= 991,661e,

per ricevere 1,000,000e dopo tre mesi.Se si indica con L(T, T + τ) il valore attuale in T di un euro esigibile inT + τ , alla consegna l’operatore con una posizione lunga subira una perditanetta se L(T, T + τ) < K, ovvero, se il tasso EURIBOR spot nell’istante Te maggiore di lK .Alla data di consegna T , l’operatore con una posizione lunga nel future sie impegnato ad investire al tasso lK . Se in T il tasso spot EURIBOR emaggiore di lK , il deposito realizzera una perdita dovuta ai minori interessipercepiti. Il risultato monetario L(T, T + τ) − K e noto come payoff delcontratto derivato.Nella Figura 6.5 e riportato il payoff in funzione dei prezzi L(T, T + τ). Sinoti che il grafico del payoff di una posizione lunga in un future e uguale aquello per una posizione lunga spot, con la sola differenza che il prezzo diriferimento e il prezzo future K.In maniera speculare vendere un future consiste nell’assumere una posizionecorta. Nel caso dei future sull’EURIBOR vendere un contratto comporta lavendita di un deposito a tre mesi remunerato al tasso EURIBOR. In questocaso l’operazione finanziaria e equivalente ad un’operazione di finanziamentoa tre mesi al tasso lK , prefissato al momento della vendita del future. L’ope-ratore con una posizione corta sul future con scadenza Dicembre ricevera unasomma pari a 991,661e e s’impegnera a pagare 1,000,000e dopo tre mesi.Se alla consegna, T , il tasso spot per operazioni EURIBOR a tre mesi,l(T, T + τ), e maggiore del tasso scritto sul contratto future, lK , l’operatore



Figura 6.4: Quotazioni di future sui tassi a breve e sui tassi a lun-go in data 25/09/2001 (sinistra) ed in data 05/10/2001(destra). (Fonte: Il Sole24ORE.)



-0.0005

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.00050.

9921

0.99

22

0.99

23

0.99

24

0.99

25

0.99

26

0.99

27

0.99

28

0.99

29

0.99

3

0.99

31

L(T, T + 3)

L(T

,T

+3)−

K

Figura 6.5: Profitti/perdite di una posizione lunga in un future sul-l’EURIBOR a tre mesi alla data di consegna. ConL(T, T +τ) si e indicato il prezzo spot in T di un depositoal tasso EURIBOR con scadenza τ = 3 mesi.

con una posizione corta beneficiera della riduzione del prezzo del deposito.Vendendo il future si e praticamente fissato il tasso a cui e possibile inde-bitarsi in Dicembre. Se al momento della consegna il tasso EURIBOR atre mesi e maggiore di quello pattuito con il future, il finanziamento al tas-so lK < l(T, T + τ) procurera un guadagno in termini di minori uscite perinteressi.Nella Figura 6.6 e riportato il payoff a scadenza di una posizione shortsull’EURIBOR a tre mesi.Si osservi che il grafico del payoff di una posizione corta in un future e ugualea quello per una posizione short spot. In questo caso i profitti/perdite sonocalcolati rispetto al prezzo future e non rispetto la prezzo spot (si veda Figura5.1).Si indichera con F (t, T ) il prezzo in t di un future con consegna in T . Comesi puo notare e stato omesso il parametro s che indica la scadenza del titolosottostante. In effetti, un future ha interesse finanziario fino alla data di con-segna T . Inoltre, i future sono contratti standardizzati e l’asset sottostante(p.es: BTP a 10 anni) e implicitamente definito nelle specifiche contrattuali.Una volta entrati in un future, il prezzo del sottostante e fissato ed e pari a



-0.0005

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.00050.

9923

0.99

24

0.99

25

0.99

26

0.99

27

0.99

28

0.99

29

0.99

3

0.99

31

0.99

32

0.99

33

L(T, T + 3)

L(T

,T

+3)−

K

Figura 6.6: Profitti/perdite di una posizione corta in un future sul-l’EURIBOR a tre mesi alla data di consegna. ConL(T, T +τ) si e indicato il prezzo spot in T di un depositoal tasso EURIBOR con scadenza τ = 3 mesi.

K. Se si esplicita l’istante in cui avviene la negoziazione sara,

K(t) = F (t, T ).

Nelle date successive il prezzo del future evolve secondo gli andamenti deltitolo sottostante. Un operatore che in una data successiva entrera nellostesso future fissera il prezzo di consegna al livello,

K(t + 1) = F (t + 1, T ).

Nella Figura 6.4 sono riportate le quotazioni dei futures sui tassi relativi alladata di contrattazione del 05/10/2001. In data 25/09/2001, il prezzo futureper un Bund a 10 anni consegna Dicembre e F (t1, T ) = 107.52. Gli operatoriche assumeranno una posizione nel future in questione, fisseranno il prezzodi consegna a K(t1) = F (t1, T ) = 107.52. In data 05/10/2001, il prezzo dellostesso future e F (t2, T ) = 108.11, quindi K(t2) = F (t2, T ) = 108.11.Di solito un contratto future non viene mantenuto fino alla consegna. Hedgerse speculatori mantengono il contratto fino a quando e conveniente per lerispettive strategie. La chiusura di un contratto future consiste nell’assumereuna posizione uguale e contraria. Per esempio, se Tizio e short su 5 contrattifuture, la chiusura di tale posizione implica l’acquisto di 5 contratti future.


6.3 Il meccanismo del mark–to–market 138

In questa maniera i proventi della posizione short si annullano con quelli dellanuova posizione long.Alla fine di ogni giornata di negoziazione, la societa che gestisce il mercatodei future cancella le posizioni uguali e contrarie di ogni operatore. La som-ma delle operazioni long rimanenti (specularmente, la somma delle posizionishort) determina la consistenza del mercato ed e nota come open interest.

6.3 Il meccanismo del mark–to–market

Il mark–to-market e uno degli aspetti che maggiormente caratterizza ed in-fluenza il prezzo di un future. Tale meccanismo permette di ridurre il ri-schio di default dovuto a movimenti avversi del mercato, ovvero il rischioche, eventi rari (ma possibili), producano perdite tali che gli operatori nonpossano onorare il contratto sottoscritto. Per esempio, se si vende un con-tratto sull’EURIBOR a 95 ed alla consegna il prezzo spot di un depositoEURIBOR e pari a 100, la perdita (5 euro), moltiplicata per il numero dicontratti future, puo essere consistente. Anche in presenza del meccanismodi mark–to–market numerosi sono gli esempi di societa fallite per operazioniavventurose in future.Alla fine di ogni sessione di mercato, la Cassa di Compensazione e Ga-ranzie (Clearing House) indica il prezzo ufficiale per ogni tipologia difuture contrattato. Tale prezzo e anche noto come prezzo di chiusura odaily settlement price.Il settlement price e utilizzato per regolare le posizioni aperte di ogni opera-tore presente nel mercato. In particolare, se si indica con F (t−1, T ) il prezzodi chiusura al tempo t − 1, con F (t, T ) il prezzo di chiusura al tempo t, conC il nozionale del contratto e con n il numero di contratti, il flusso generatoda una posizione short o long e dato da,

MTM(t − 1, t) = nC [F (t, T ) − F (t − 1, T )] . (6.2)

Per una short position, n e un numero negativo, mentre per una long position,n e positivo. Dalla (6.2) si evince che un aumento del prezzo future implicauna perdita per le posizioni short (F (t, T ) − F (t − 1, T ) > 0), quindi, laposizione short sara obbligata al pagamento dell’ammontare dato dalla (6.2).In maniera speculare la long position ricevera l’ammontare corrispondenteper ogni contratto sottoscritto.In ogni contratto future e specificato il movimento minimo del prezzo (tick)che e significativo per il calcolo del flusso mark–to–market, nonche il valoredi tale movimento. Per esempio, il tick del future sul Bund a 10 anni e pari


6.3 Il meccanismo del mark–to–market 139

allo 0.01% del valore facciale2 ed il valore di ogni tick e pari a 10e (si vedaFigura 6.3).Se si indica con η(t− 1, t) il numero di tick e con σ l’ampiezza del tick, si hache,

η(t − 1, t) =F (t, T ) − F (t − 1, T )

σ. (6.3)

Il flusso mark–to–market generato da una posizione in n contratti future edato da,

MTM(t − 1, t) = n η(t − 1, t) φ, (6.4)

dove φ e il valore di un singolo tick.Per costruzione la (6.2) e la (6.4) forniscono lo stesso flusso mark–to–market.La (6.4), comunque, e utilizzata piu frequentemente in quanto per talunicontratti future l’applicazione della (6.2) necessita una modifica dei dati diinput.In particolare, si ricorda che il future sull’EURIBOR e quotato a 100 − lKdove lK e un tasso a tre mesi su base annuale. Nel computo del flussoMTM(t−1, t) e necessario riportare il tasso su base trimestrale, quindi lK/4.Cio comporterebbe la modifica dei prezzi future della (6.2). Per ovviare atale inconveniente nelle specifiche contrattuali di ogni future e specificato ilvalore di ogni tick. Nel caso del future sull’EURIBOR a tre mesi il valore deltick dovrebbe essere pari a 0.005% ·1000000 = 50e. Riportando il valore deltick su base trimestrale si ottiene 50/4 = 12.5e (si veda Figura 6.1).

Esempio 6.1: In data 25/09/2001 un operatore ha una posizione long inn1 = 5 contratti future sull’EURIBOR a tre mesi consegna Dicembre 2001 eduna posizione short su n2 = 3 contratti future sul Bund a 10 anni consegnaMarzo 2002. L’evoluzione del settlement price dei due contratti e riportatanelle tabelle di seguito. Il flusso mark–to–market di ogni posizione e riportatonell’ultima colonna. Si osservi che il flusso totale fra la prima e l’ultimadata di contrattazione e uguale alla somma algebrica dei mark–to–marketgiornalieri,

η(1, 6) =0.9628 − 0.95654

0.00005= 125,

da cui,MTM(1, 6) = 5 · 125 · 12.5 = 7,812.5e

2In pratica il tick e pari ad 1 bp (0.01/100 = 0.0001)


6.4 Prezzi future e forward 140

t F (t, T ) F (t − 1, T ) φ η(t − 1, t) n1 MTM(t − 1, t)1 95.523 95.654 12.5 -26 5 -16252 95.73 95.523 12.5 41 5 2562.53 95.5 95.73 12.5 -46 5 -28754 96.235 95.5 12.5 147 5 9187.55 96.634 96.235 12.5 80 5 50006 96.28 96.634 12.5 -71 5 -4437.5

totale 96.28 95.654 12.5 125 5 7812.5

Per applicare la (6.2) e necessario modificare i prezzi dei future riportando iltasso su base trimestrale. Si verifica facilmente che i prezzi future utilizzandotassi trimestrali sono, F (1, T ) = 0.989135 e F (6, T ) = 0.9907, da cui,

MTM(1, 6) = 5 · 1000000 · (0.9907 − 0.989135) = 7,825e3.

t F (t, T ) F (t − 1, T ) φ η(t − 1, t) n2 MTM(t − 1, t)1 109.26 109.47 10 -21 -3 6302 109.825 109.26 10 56 -3 -16803 110.2 109.825 10 38 -3 -11404 110.156 110.2 10 -4 -3 1205 110.057 110.156 10 -10 -3 3006 110.567 110.057 10 51 -3 -1530

totale 110.567 109.47 10 110 -3 -3300

6.4 Prezzi future e forward

Come visto nei capitoli precedenti, il prezzo di un contratto forward e identi-ficato da tre parametri che indicano, rispettivamente, l’istante di valutazione,la consegna e la scadenza del titolo. Quando non e importante specificare lascadenza del titolo il parametro corrispondente si puo omettere. In tal casoil simbolo B(t, T, s) diventa Bf (t, T ). In questo caso l’apice e importante pernon confondere il prezzo forward con un prezzo spot. Nella letteratura finan-ziaria di solito si preferisce utilizzare una simbologia piu semplice e quindi siindica il prezzo di un contratto forward con f(t, T ).D’ora innanzi, quando non e importante specificare la scadenza del titolosottostante in un contratto forward, per identificare il prezzo forward si uti-lizzera il simbolo f(t, T ). Di conseguenza, si indichera con B(t) il prezzo spotdel titolo sottostante.

3La differenza e dovuta ad errori di arrotondamento.



Come visto nel paragrafo 1.4.1, un FRA definisce implicitamente il prezzoforward di un’operazione di finanziamento o investimento a termine. Il mec-canismo finanziario che sottende un FRA e simile a quello di un contrattofuture sui tassi a breve. In pratica, un EURIBOR a tre mesi consegna Di-cembre 2001 (data di negoziazione 5/10/2001) permette di fissare il tasso atre mesi per un’o.f. che avra inizio fra due mesi, proprio come un FRA2x5.La differenza principale e che un contratto FRA e regolato alla data di fixinge nessun pagamento e previsto prima di questa data.Nel paragrafo 2.2 si e dimostrata la relazione che lega i prezzi a pronti ed iprezzi a termine. Dato che un contratto future non e sostanzialmente diversoda un contratto forward, un FRA ed un future sul tasso a breve, con le stessecaratteristiche, dovrebbero avere lo stesso prezzo. Come si dimostrera inseguito, i prezzi future e forward coincidono solamente nel caso di evoluzionedeterministica della struttura dei tassi.Nella realta i prezzi future e forward differiscono. Il principale responsa-bile di questa discrepanza e il meccanismo di mark–to–market associatoall’aleatorieta dei tassi d’interesse.La relazione fra prezzi a pronti e forward assicura che,

B(t, T, s) = B(t, s) M(t, T ),

dove M(t, T ) = 1/B(t, T ). Utilizzando il modello esponenziale con intensitapari a δ, la precedente relazione puo essere scritta come,

B(t, T, s) = B(t, s) eδ (T−t).

Alla luce della simbologia appena introdotta, si ha che,

f(t, T ) = B(t) eδ (T−t) (6.5)

Il prezzo forward dato dalla (6.5) e anche noto come prezzo cash–and–carry. Dalla (6.5) si evince che: (i) il prezzo forward si ottiene capitalizzandoil prezzo spot al tasso di mercato, identificato in questo caso da una strutturacostante pari a δ, (ii) il prezzo forward e maggiore del prezzo spot, a menoche non siano previsti pagamenti certi del sottostante prima della consegna(per es.: il pagamento di cedole), (iii) alla consegna, t = T , il prezzo forwarde spot devono coincidere, quindi, il prezzo spot del sottostante convergera alprezzo future via via che ci si avvicina alla data di consegna.La (6.5) si puo derivare analizzando il valore del contratto forward primadella consegna.Si consideri un contratto forward negoziato in t0 con consegna in T e siindichi con f(t0, T ) il prezzo sottoscritto. Alla consegna il valore del contratto



forward e dato dalla differenza fra il prezzo spot B(T ) ed il prezzo sottoscrittoK = f(t0, T ). In ogni istante t, con t0 ≤ t ≤ T , il valore del payoff e datoda,

V (t) = [B(T ) − K] e−δ (T−t).

Ricordando che B(t) = B(T )e−δ (T−t), si ottiene che,

V (t) = B(t) − K e−δ (T−t).

Come e noto nell’istante di sottoscrizione il valore del future e pari a zero.Quindi, data l’ipotesi di assenza di arbitraggi non–rischiosi, deve essere,

V (t0) = B(t) − K e−δ (T−t) = 0,

da cui si ricava facilmente la (6.5).Come gia accennato il prezzo di un contratto future e diverso da quello diun contratto forward similare. Tale differenza e imputabile al meccanismodi mark–to–market, associato alla fluttuazione aleatoria della struttura deitassi.Si puo dimostrare che l’uguaglianza fra i prezzi forward e future si realizzasoltanto nel caso (molto improbabile) in cui la struttura dei tassi evolva inmaniera deterministica.Nel caso di evoluzione deterministica della struttura si verifica che,

B(T, s) =B(t, s)

B(t, T ). (6.6)

Ricordando che M(t, s) = 1/B(t, s) e M(t, T ) = 1/B(t, T ), sostituendo nella(6.6) con semplici passaggi algebrici si ottiene che,

M(t, s) = M(t, T ) M(T, s)

Si considerino tre istanti temporali t ≤ t1 ≤ T e si assuma che la struttura deitassi evolva in maniera deterministica, quindi M(t, T ) = M(t, t1) M(t1, T ).Si ipotizzi inoltre che nel mercato siano negoziati dei contratti forward efuture sullo stesso underlying asset, e che nell’istante t1 sia valutato il flussomark–to–market dei future.Si consideri la seguente strategia:

(a): vendita allo scoperto in t di n contratti forward con consegna in T alprezzo f(t, T ), dove n = M(t, T );

(b): acquisto in t di m contratti future con consegna in T al prezzo F (t, T ),dove m = M(t, t1);



(c): acquisto in t1 di h contratti future con consegna in T al prezzo F (t1, T ),dove h = m [M(t1, T ) − 1].

Nell’istante t1 il flusso mark–to–market del future e dato da,

m [F (t1, T ) − F (t, T )] .

Se si indica con B(T ) il prezzo spot alla consegna dell’underlying asset, ilvalore delle tre posizioni finanziarie nell’istante di consegna T e riassunto neiseguenti tre punti:

(a): payoff della posizione short in forward,

A(T ) = −n [B(T ) − f(t, T )] =

= −M(t, T ) [B(T ) − f(t, T )] ;

(b): payoff della posizione long in future,

B(T ) = m [B(T ) − F (t, T )] + h [B(T ) − F (t1, T )] =

= M(t, t1)M(t1, T ) [B(T ) − F (t1, T )] ;

(c): valore in T del flusso generato in t1,

C(T ) = {m [F (t1, T ) − F (t, T )]}M(t1, T ) =

= M(t, t1)M(t1, T ) [F (t1, T ) − F (t, T )] .

La somma dei tre flussi genera il seguente payoff totale,

A(T ) + B(T ) + C(T ) = −M(t, T ) [B(T ) − f(t, T )] +

+ M(t, t1)M(t1, T ) [B(T ) − F (t1, T )] +

+ M(t, t1)M(t1, T ) [F (t1, T ) − F (t, T )] .

(6.7)

Data l’ipotesi di evoluzione deterministica della struttura, con semplici pas-saggi algebrici la (6.7) diventa,

A(T ) + B(T ) + C(T ) = M(t, T ) [f(t, T ) − F (t, T )] . (6.8)

Il portafoglio che genera la (6.8) e composto da contratti forward e future.Ricordando che nell’istante di stipula sia i forward che i future hanno valorepari a zero, per evitare arbitraggi non–rischiosi, anche il valore finale delportafoglio deve essere nullo. Essendo M(t, s) > 1, affinche A(T ) + B(T ) +C(T ) = 0 deve essere,

f(t, T ) − F (t, T ) = 0,



da cui scaturisce l’uguaglianza fra i prezzi future e forward.Si osservi che questo risultato e stato ottenuto soltanto in virtu dell’ipotesidi evoluzione deterministica della struttura. Come piu volte sottolineato, ilmercato dei tassi e soggetto a fluttuazioni aleatorie continue, il che relegal’ipotesi di evoluzione deterministica nel campo dell’irrealta.Riassumendo, dal punto di vista teorico non e corretto utilizzare la formulacash–and–carry per determinare il prezzo di un future. Comunque, analisiempiriche hanno trovato che la differenza fra un prezzo future e forward etrascurabile per contratti su brevi periodi, e che tali discrepanze sono piu con-sistenti nei mercati dei future sulle materie prime. Per questo motivo moltiautori utilizzano la formula cash–and–carry come una valida approssimazionedei prezzi future.

Esempio 6.2: In data 19/10/2001 il future sul tasso EURIBOR a tre mesi,consegna Novembre (esattamente il 19/11/2001), e quotato a 96.51. Il tassofuture implicito e pari a 100− 96.51 = 3.486%. Verificare che il tasso futuresull’EURIBOR a tre mesi e dato dalla formula cash–and–carry.Fra un mese, una o.f. spot a quattro mesi avra vita a scadenza pari a tre mesi.Si indichi con B(0) il prezzo, per ogni euro di nominale, di tale deposito. Itassi EURIBOR ad un mese ed a quattro mesi, su base 360, rilevati in data17/10/2001, valuta 19/10/2001, sono, rispettivamente, l(0, 1) = 0.03821 el(0, 4) = 0.03578. Le intensita equivalenti ad i tassi l(0, 1) ed l(0, 4) sonodate da,

δ(0, 1) = ln(1 + 0.03821 · 30/360) = 0.003179108

δ(0, 4) = ln(1 + 0.03578 · 120/360) = 0.011856104.

Il prezzo B(0) si ottiene facilmente come,

B(0) = e−0.011856104 = 0.988213902

Per la formula cash–and–carry il prezzo del future sara,

F (0, 1) = B(0) eδ(0,1) = 0.988213902 · e0.003179108 = 0.99136054.

Il tasso implicito nel prezzo F (0, 1) e pari a,

lK = 100 ·

(

1

0.99136054− 1

)

·

(

360

90

)

= 3.4859003.

La quotazione del future e quindi,

F (0, 1) = 100 − lK = 100 − 3.4859003 = 96.51409969


6.5 Hedging con future sui tassi a breve 145

Dato che le o.f. utilizzate nel calcolo del prezzo del future sono riferite aperiodi molto brevi, di solito si ricorre al modello lineare per il calcolo deltasso future. In particolare si avra,

lK = 100 ·

[

1 + l(0, 4) 120/360

1 + l(0, 1) 30/360− 1

]

360

90=

= 100 ·

[

1 + 0.03578 · 120/360

1 + 0.03821 · 30/360− 1

]

360

90= 3.485900312

Lo studente verifichi che in data 17/10/20014, il prezzo future con conse-gna Dicembre (esattamente il 17/12/2001) e dato dalla formula cash–and–carry utilizzando gli opportuni tassi EURIBOR. I dati necessari possono es-sere scaricati dalla banca dati de Il Sole24Ore disponibile presso la bibliotecacentrale.

6.5 Hedging con future sui tassi a breve

Come piu volte sottolineato, l’obiettivo di una strategia di hedging consistenel proteggere il valore corrente o futuro di una posizione finanziaria damovimenti avversi del mercato.L’operatore che implementa una strategia di hedging agira in modo da bilan-ciare l’effetto della fluttuazione dei tassi sulla propria posizione finanziariacon la variazione dei prezzi nella posizione di hedging.Il meccanismo di hedging e identico a quello analizzato nel paragrafo 5.4. Unaumento dei tassi produce una perdita nel valore di una posizione lunga. Intal caso sara necessario vendere allo scoperto un certo ammontare di futurein quanto la posizione corta beneficia della riduzione dei prezzi (si ricordache un aumento dei tassi riduce i prezzi). In maniera analoga, la costruzionedi un hedge di una posizione corta si realizza tramite l’acquisto di future.Se si indica con ∆F la variazione del prezzo del future, l’hedge ratio si ottienerisolvendo la seguente equazione,

∆V = α∆F, (6.9)

da cui,

α =∆V

∆F. (6.10)

4La formula cash–and–carry e sempre valida. Si sono considerati periodi con frequenzamensile in quanto i dati a nostra disposizione sono per scadenze con frequenza mensile(la struttura dei tassi EURIBOR). Gli analisti hanno a disposizione i valori dei tassi confrequenza minore di un mese (giornaliera, settimanale, etc.).



Come e noto la variazione del valore della posizione da coprire e data da,

∆V = −V MD(0, V ) ∆i

La variazione assoluta del prezzo di un future dipende dall’andamento delsottostante. La modified duration di un future sui tassi a breve e data dal-la misura della volatilita del tasso sottostante, per esempio, l’EURIBOR atre mesi. Se si indica con MD(0, L) la modified duration di un depositoEURIBOR a tre mesi, si ha che,

∆F = −F MD(0, L) ∆i

Sostituendo nella (6.10) si ha che,

α =V

F

MD(0, V )

MD(0, L)(6.11)

Esempio 6.3: In data 01/06/01 la John Hull s.r.l. ha avuto la confer-ma che il 01/09/01 ricevera un pagamento di 10,000,000e. La direzionefinanziaria intende investire l’intero ammontare in un deposito a sei mesiremunerato al tasso EURIBOR + 40 bp. In data 01/06/01 il tasso EURI-BOR a 6 mesi e l(0, 6) = 4.446%. Gli analisti della societa si aspettanouna riduzione dei tassi e decidono di limitare l’eventuale mancato guadagnooperando una copertura con future sul tasso EURIBOR.La probabile riduzione dei tassi provochera un aumento del prezzo del depo-sito EURIBOR. Per esempio, se il tasso EURIBOR rimanesse costante al4.446%, in data 01/09/01, per ogni euro investito, cioe per ogni euro di ca-pitale che si ricevera a scadenza, si pagheranno (1 + 0.04446 + 0.004)−0.5 =0.976616521. Se il tasso EURIBOR subisse una flessione di 80 bp, per ognieuro investito si pagheranno (1 + 0.04446 − 0.004)−0.5 = 0.980363888.Per controbilanciare il mancato guadagno (o i maggiori costi) e necessarioassumere una posizione in future in modo da beneficiare dalla riduzione deitassi. Una riduzione dei tassi implica un aumento dei prezzi, quindi, unaposizione long in future produrra quell’offset necessario a limitare la perditadovuta alla riduzione attesa dei tassi.In data 01/06/01 i futures sul tasso EURIBOR quotati al LIFFE sono ri-portati nella Tabella 6.1.Come si puo notare non sono quotati future con consegna in date posteriorial 01/09/2001. In questo caso e necessario acquistare un future con scadenzaanteriore al 01/09/2001, e riproporre la strategia di copertura per il rima-nente periodo. Come accennato, le posizione in future non sono condotte fino



Scadenza Apertura Chiusura Chiusura preced.Giugno 95.53 95.53 95.54Luglio 95.6 95.61 95.62Agosto - 95.67 95.69

Tabella 6.1: Prezzi future sull’EURIBOR a tre mesi. QuotazioniLIFFE del 01/06/01.

alla consegna. Di solito si preferisce chiudere la posizione con una operazioneuguale e contraria prima della consegna.Si ipotizzi di acquistare dei future con consegna Luglio5 e di rivenderli indata 03/07/01. Nella stesso giorno si acquisteranno dei future con scadenzaSettembre che saranno a loro volta rivenduti il 01/09/01. Questa strategia eanche nota come rolling the hedge forward.Il numero di contratti future che e necessario acquistare e dato dalla (6.11).La modified duration del sottostante e quella del deposito EURIBOR a tremesi, quindi,

MD(0, L) =0.25

1 + 0.04531= 0.239163502,

dove, i(0, 0.25) = 0.04531 e il tasso EURIBOR a tre mesi.Se si indica con MD(0, E6) la modified duration di un deposito EURIBOR a6 mesi, e facile verificare che essa e data da,

MD(0, E6) =0.5

1 + 0.04446= 0.478716274,

dove, i(0, 0.5) = 0.04446.Il prezzo del deposito a sei mesi e dato dal valore attuale di un euro esigibilealla scadenza, quindi,

B(0, 0.5) = (1 + 0.04446)−0.5 = 0.978484823.

Applicando la (6.11) si ha che,

α =0.978484823

0.956

0.478716274

0.239163502= 2.048705296 ≃ 2.

Quindi, per ogni euro di capitale nel deposito a sei mesi e necessario assumereuna long position di 2 euro in future sull’EURIBOR a tre mesi. Si osserviche il rapporto fra le modified duration e praticamente uguale al rapporto fra

5Come specificato nel contratto la consegna si effettua due giorni prima del terzomercoledı del mese di consegna. Per il future in esame la consegna e prevista il 16/07/01.



Scadenza Apertura Chiusura Chiusura preced.Luglio 95.63 95.63 95.62Agosto - 95.73 95.70

Settembre 95.75 95.79 95.75

Tabella 6.2: Prezzi future sull’EURIBOR a tre mesi. QuotazioniLIFFE del 03/07/01.

le duration, infatti, (1 + 0.04531)/(1 + 0.04446) = 1.000813818. Anche ilrapporto fra i prezzi si puo approssimare ad ad uno, quindi, l’hedge ratio ein effetti funzione soltanto del rapporto delle duration.Il valore facciale di contratti future che e necessario acquistare e pari a10000000 · 2 = 20,000,000e, ovvero 20 contratti future. Molti autori ripor-tano direttamente la formula per determinare il numero di contratti futureda acquistare. Tenendo conto delle approssimazioni suvviste, il numero dicontratti future e dato da,

nf =FVV

FVL

D(0, V )

D(0, L), (6.12)

dove FVV ed FVL sono, rispettivamente, il valore facciale della posizione dacoprire ed il valore facciale di un contratto future.La strategia di copertura prevede la vendita in data 03/07/01 dei 20 contrattifuture con consegna Luglio. Nella Tabella 6.2 sono riportati i prezzi relativialla data in questione.La vendita dei 20 contratti future a al prezzo di 95.63 produce un profittodella posizione long. Il numero di tick maturato nel periodo [01/06–03/07] epari a,

η(0, 0.088) =0.9563 − 0.956

0.00005= 6;

il flusso mark–to–market e dato da,

MTM(0, 0.088) = 6 · 20 · 12.5 = 1,500e

Nella stessa data saranno acquistati 20 contratti future con consegna in Set-tembre6.La strategia di hedging terminera il 01/09/01, quando la John Hull s.r.l.effettuera il deposito di 10,000,000e remunerato al tasso EURIBOR + 40bp. In tale data il tasso EURIBOR a sei mesi e pari a l(0, 0.5) = 4.123%,il che conferma le attese degli analisti dell’azienda. Il prezzo di un contratto

6Il giorno di consegna e previsto per il 17/09/01.


6.6 Hedging con future sui tassi a lungo 149

0

-10,000,000

0.5

10,226,150 + 5,000

Figura 6.7: Flusso di cassa dell’operazione di investimento nel depo-sito EURIBOR + 40 bp. Al montante finale deve esse-re aggiunto il guadagno ottenuto dalla compravendita difuture.

future con consegna Settembre e pari a 95.82. Il numero di tick ed il flussomark–to–market sono, rispettivamente,

η(0, 0.164) =0.9582 − 0.9575

0.00005= 14

MTM(0, 0.164) = 14 · 20 · 12.5 = 3,500e.

Dalla compravendita dei contratti future si e ottenuto un guadagno pari a3500 + 1500 = 5,000e. Il flusso originato dall’operazione di investimentonel deposito EURIBOR e riportato nella Figura 6.7. In particolare,

V (0.5) = 10000000 · [1 + (0.04123 + 0.0004) · 0.5] + 5000 = 10,231,150e7.

L’holding period return e pari a,

hpr(0, 0.5) =10231150 − 10000000

10000000·360

180= 0.04623.

La strategia di hedging ha limitato il mancato guadagno dovuto alla riduzionedei tassi. Infatti, il rendimento percentuale ottenuto e circa 10 bp maggioredel tasso a cui e stato effettuato il deposito (0.04523).E importante sottolineare che l’obiettivo della strategia di hedging e quello dilimitare le eventuali perdite. Se, per esempio, si fosse realizzato un aumen-to dei tassi, la posizione long avrebbe prodotto delle perdite. In tal caso lemaggiori entrate dovute all’aumento dei tassi sarebbero state assorbite dalleperdite nella posizione long in future.

6.6 Hedging con future sui tassi a lungo

Le strategie di hedging sui tassi a lungo non differiscono sostanzialmente daquelle viste per i tassi a breve. Nei prossimi due paragrafi si analizzeranno

7Si osservi che il guadagno ottenuto dalla vendita dei future potrebbe essere a sua voltainvestito in un deposito a sei mesi.



alcune caratteristiche peculiari dei future sui tassi a lungo e le modifichenecessarie per correggere la relazione per il calcolo dell’hedge ratio.

6.6.1 Fattore di conversione

Come si evince dallo schema contrattuale del future sul Bund a 10 anni (siveda fig. 6.3), una posizione short in un future obbliga il venditore a conse-gnare 100,000e di nominale di un Bund con coupon pari al 6%. Nella praticaun titolo con tali caratteristiche e difficilmente reperibile sul mercato, soprat-tutto per quanto riguarda la scadenza. Di solito il venditore ha l’opzione discegliere fra un insieme di titoli con scadenza fra 8 anni e mezzo e 10 anni emezzo. Per neutralizzare l’effetto dovuto a coupon e scadenze differenti, laLIFFE, come tutti i mercati di future, fornisce un fattore di conversione chepermette di equiparare un qualsiasi bond al titolo specificato nel contrattofuture.Il fattore di conversione e dato dal valore attuale delle cedole future attua-lizzate al tasso del coupon riportato dal contratto. Come e noto, se il tassocedolare e pari allo yield utilizzato per scontare il flusso, l’obbligazione prezzaalla pari, quindi, il fattore di conversione e pari ad uno. In effetti, se il titoloche sara consegnato ha un coupon pari a quello specificato nel contratto,nessuna conversione e necessaria.Per ogni euro di nozionale, l’importo monetario che ricevera il venditore delfuture e dato da,

V (T ) = EDSP CF + R(f), (6.13)

dove, EDSP e il cosiddetto exchange delivery settlement price del fu-ture alla data di consegna (fissato dalla clearing house), CF e il fattore diconversione ed R(f) e il rateo.

Esempio 6.4: Si ipotizzi che il titolo scelto per la consegna sia un Bund conscadenza 9 anni e tre mesi e cedola c = 6.5% annuale. Il numero di mesi chemancano alla scadenza sono esattamente 9 ·12+3 = 111. Il numero di cedolepiene che saranno pagate dal titolo e pari a m = 18 (il quoziente di 111/6),mentre la prossima cedola e pagata fra tre mesi (il resto di 111/6). Se siindica con T la data di consegna del sottostante, con tS la data di pagamentodella cedola successiva e con tP la data dell’ultima cedola pagata, il fattore diconversione e dato da,

CF = (1 + ys)−

tS−T

tS−tP

{

c

2+

c

2

[

1 − (1 + ys)−m

ys

]

+ (1 + ys)−m

}

+

−c

2

(

T − tPtS − tP

)

,

(6.14)



dove ys e il tasso cedolare del sottostante specificato nel contratto future (nelcaso di future sul Bund e sul BTP, ys = 0.06/2).

tP

c/2 c/2 c/2

T tS tS + τ tS + 2 τ

Figura 6.8: Flusso cedolare per il calcolo del fattore di conversione.

Se si ipotizza che tS − tP = 180 e tS − T = T − tP = 90, il fattore diconversione e pari a,

CF = (1 + 0.03)−0.5 ·

[

0.0325 + 0.0325 ·1 − (1 + 0.03)−18

0.03+ (1 + 0.03)−18

]

+

− 0.0325 · 0.5 = 1.034981827

Si osservi che il fattore di conversione e superiore ad uno in quanto il bondche sara consegnato ha un coupon maggiore del 6% annuale.Se si ipotizza che l’EDSP = 0.9846, il venditore allo scoperto ricevera, perogni euro di nominale, un ammontare pari a,

V (T ) = 0.9846 · 1.034981827 + 0.01625 = 1.035293107,

per un totale di 100000 · 1.035293107 = 103,529.31eLo studenti verifichi che un titolo con scadenza 9 anni e sette mesi e cedolac = 5% ha un fattore di conversione CF = 0.927862421.

6.6.2 Cheapest–to–delivery

L’investitore che ha assunto una short position in un future ha la possibilitadi scegliere fra un insieme di titoli a lungo periodo per effettuare la consegnacui si e impegnato sottoscrivendo il contratto in questione.In ogni istante prima della consegna (t ≤ T ), il valore della posizione shorte dato da,

V (t, T ) = F (t, T ) CF + R(f).

Il costo sostenuto per acquistare il titolo al prezzo spot B(t) e pari a:

V (t) = B(t) + R(f).



LIST OF DELIVERABLE BUNDS

DELIVERY MONTH: SEPTEMBER 2002

Last Trading Day: 6 September 2002

Delivery Day: 10 September 2002

BUND ISIN* CODES COUPON (%) MATURITY PRICE FACTORGROSS ACCRUED INTEREST (EUR)

DE0001135184 5.000 04 Jul 2011 0.932840 931.51

DE0001135192 5.000 04 Jan 2012 0.929856 3,410.96DE0001135200 5.000 04 Jul 2012 0.927195 931.51

Key: * International Securities Identification Number

Price Factor: price factor expressed as a fraction of par

Invoicing Amount: (1,000 x EDSP x price factor) + Accrued Interest

Issue Date: 22 August 2002

GERMAN GOVERNMENT BOND (“BUND”) CONTRACT (DENOMINATED IN EURO) (6% COUPON) - PRICE FACTORS AND ACCRUED INTEREST

Accrued Interest: gross accrued interest on euro 100,000 face value as at Delivery Day rounded to the nearest euro-cent

Figura 6.9: Titoli candidati per consegna Settembre 2002 del futuresul Bund con cedola al 6%. (Fonte: LIFFE 22/08/02).

Il rendimento netto e quindi,

F (t, T ) CF − B(t). (6.15)

La parte short scegliera quel titolo che massimizza la (6.15), ovvero, il titolomeno costoso da consegnare. Tale titolo e noto con il nome di cheapest–to–delivery, in breve CTD. Chiaramente, in ogni istante t < t′ ≤ T l’identitadel titolo CTD cambia. L’individuazione del CTD dipende da numerosifattori fra cui la struttura dei tassi. Di solito, se la parte finale della strutturae abbastanza piatta ed e posizionata su tassi superiori al 6%, il CTD sarail titolo con il coupon minore. Nel caso contrario, il CTD sara il titolo conil coupon maggiore. Nella Figura 6.9 sono riportati i titoli CTD in data22/08/02 per il Bund con cedola 6% per consegna Settembre 2002.Il concetto di CTD e molto importante per la determinazione dell’hedge ratio.Si osservi che il titolo effettivamente consegnato sara proprio il CTD, quindiil prezzo del future dipende da un sottostante che e il CTD. Nei future suitassi a breve, il sottostante e ben identificato ed e dato dal tasso sul depositoEURIBOR a tre mesi.Data la correlazione fra prezzo del future e prezzo spot del CTD, la variazione



assoluta del prezzo del future sara data da,

F CFCTD MD(0, F ) = VCTD MD(0, VCTD). (6.16)

Se si indica con V il titolo da coprire tramite una posizione in future, l’hedgeratio e dato da,

α =V MD(0, V )

F MD(0, F ). (6.17)

Dalla (6.16) si ricava che,

F MD(0, F ) =VCTD MD(0, VCTD)

CFCTD

.

Sostituendo nella (6.17) si ottiene che,

α =V

VCTD

MD(0, V )

MD(0, VCTD)CFCTD. (6.18)

Di solito gli operatori preferiscono utilizzare direttamente la dollar duration(anche nota come basis point volatility). In tal caso l’hedge ratio e dato da,

α =BPV (0, V )

BPV (0, VCTD)CFCTD, (6.19)

dove con BPV (·, ·) si e indicata la basis point volatility dei titoli coinvolti.

Esempio 6.5: Un gestore di fondi obbligazionari e preoccupato per il pos-sibile rialzo dei tassi che avrebbe come conseguenza la riduzione del valore dimercato del proprio portafoglio. Per questo motivo decide di implementareuna strategia di copertura con future sul Bund. La posizione in future devebeneficiare dell’aumento dei tassi, ossia della riduzione dei prezzi, quindi, enecessario vendere dei contratti future in modo da coprire la posizione longnel portafoglio. Il valore nominale del portafoglio (la somma dei valori nomi-nali dei singoli titoli componenti il portafoglio) ammonta a 100,000,000e e lasua BPV (0, Π) = 5.82. Il nominale di un contratto future sul Bund ammontaa 100,000e, la basis point volatility del suo CTD e BPV (0, VCTD) = 5.19 edil fattore di conversione e CFCTD = 1.2237128.Per ogni euro di valore nominale del portafoglio sara necessario vendere alloscoperto,

α =5.82

5.19· 1.2237128 = 1.372255972

di valore nominale del contratto future. Il numero di contratti future e datoda,

nf =100000000

100000· 1.372255972 = 1372.255972 ≃ 1372.



Come accennato nell’Esempio 3.2, alterando la duration del portafoglio epossibile avvantaggiarsi delle variazioni attese della struttura dei tassi. Ac-quistando o vendendo contratti future e possibile modificare la duration diun portafoglio senza ricorrere alla vendita o acquisto di titoli, che in alcunicasi potrebbe essere onerosa. Per esempio, se gli analisti prevedono una ri-duzione dei tassi (shift parallelo della struttura verso il basso), acquistandofuture e possibile aumentare la duration del portafoglio e quindi beneficiaremaggiormente dall’incremento atteso dei prezzi.Si indichi con BPV (0, ΠT ) il target di BPV per il portafoglio in esame. Acqui-stando un certo ammontare di valore facciale in future e possibile aumentarela BPV attuale in modo da raggiungere l’obiettivo prefissato, quindi,

BPV (0, ΠT ) = BPV (0, Π) + γBPV (0, F ),

dove con BPV (0, F ) si e indicata la BPV del future (si veda la relazione6.16). Per ogni euro di valore nominale del portafoglio e necessario acquistarepertanto

γ =BPV (0, Π) − BPV (0, ΠT )

BPV (0, F ), (6.20)

euro di valore nominale di contratti future. Dalla (6.16) si deduce che,

BPV (0, F ) =BPV (0, VCTD)

CFCTD

.

Sostituendo nella (6.20) si ottiene che,

γ =BPV (0, ΠT ) − BPV (0, Π)

BPV (0, VCTD)CFCTD. (6.21)

Esempio 6.6: Il fondo obbligazionario della Polifemo SGR ha un valorenominale di 12,800,000e. Il fondo e composto da titoli di stato italiani amedio–lungo periodo. Nella Tabella 6.3 sono riportate le caratteristiche diogni titolo in portafoglio.Gli analisti non sono certi dell’aumento dei tassi, quindi, invece di effettuareuna copertura totale, che annullerebbe un eventuale guadagno nel caso dishift della struttura in senso contrario, si decide di ridurre la duration delportafoglio. Come e noto una duration piu bassa attenua le oscillazioni delvalore del portafoglio. La basis point volatility del portafoglio e pari a,

BPV (0, Π) = 3.031 · 0.210 + 7.225 · 0.270 + 15.653 · 0.520 = 10.73



IT0000367091 IT0001448619 IT0001174611 Totale

Scadenza 01/01/2005 01/11/2010 01/11/2027Nominale 2,600,000e 3,700,000e 6,500,000e 12,800,000eRend. Netto 2.91 4.46 4.87Rateo 0.0023619 0.0106354 0.0125691Prezzo 1.1458 1.0305 1.1275Val. di Merc. 2,985,220.94e 3,852,200.98e 7,410,449.15e 14,247,871.07e

Pesi 0.209520491 0.270370286 0.520109223 1MD 2.64 6.94 13.73BPV 3.031147416 7.225479676 15.65314874 10.72998953

Tabella 6.3: Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori dimercato e volatilita sono riferite al 08/01/2002. (Fonte:Il Sole24Ore).

ed il gestore decide per una BPV target pari a 5. Nel caso si realizzasse l’au-mento previsto dei tassi, la perdita di valore del portafoglio sarebbe contenutaper un 50% dalla posizione short in future.Gli analisti prevedono che il periodo di instabilita dei tassi potrebbe estendersifino maggio. Si decide pertanto di vendere dei contratti future sul Bund a 10anni con consegna in Giugno.Da alcune analisi si deduce che il CTD potrebbe essere il Bund DE0001135168

con scadenza il 04/01/2011, cedola del 5.25%, fattore di conversione CFCTD =0.950491 e basis point volatility BPV (0, VCTD) = 7.621401018Per ogni euro di nominale del portafoglio, il valore nominale di contrattifuture e dato da,

γ =5 − 10.72998953

7.621401018· 0.950491 = −0.714606601.

Il numero di contratti future da vendere e pari a,

nf =12800000

100000· 0.714606601 = 91.46964498 ≃ 91.

In data 08/01/2002 il prezzo di un future sul Bund a 10 anni, consegnaGiugno, quotato all’EUREX e F (0, 0.5) = 107.54 (Fonte: Il Sole24Ore del08/01/2002).In Maggio gli analisti considerano terminata la fase di instabilita dei tassi,quindi l’hedge puo essere rimosso. In data 08/05/2002, 4 mesi dopo, vienechiusa la posizione short acquistando lo stesso numero di contratti sul Bundconsegna Giugno al prezzo di F (0.3, 0.5) = 1.0621. La discesa del prezzofuture garantisce un guadagno per le posizioni short. Il numero di tick e pari



IT0000367091 IT0001448619 IT0001174611 Totale

Scadenza 01/01/2005 01/11/2010 01/11/2027Nominale 2,600,000e 3,700,000e 6,500,000e 12,800,000eRend. Netto 3.13 4.56 4.98Rateo 0.0338536 0.0013451 0.0015897Prezzo 1.1238 1.0208 1.1096Val. di Merc. 3,009,899.36e 3,781,936.87e 7,222,733.05e 14,014,569.28e

Pesi 0.214769309 0.269857517 0.515373174 1MD 2.31 6.77 13.73BPV 2.674179816 6.919922327 15.25663458 10.72998953

Tabella 6.4: Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori dimercato e volatilita sono riferite al 08/05/2002. (Fonte:Il Sole24Ore).

a,

η(0, 0.3) =1.0621 − 1.0754

0.0001= −133.

Ogni tick vale 10e ed il flusso mark–to–market produce un guadagno pari a,

MTM(0, 0.3) = 133 · 91 · 10 = 121,030e

Nella Tabella 6.4 sono riportati i valori di mercato del portafoglio in data08/05/2002. Si osservi che i rendimenti netti registrano una variazione per-centuale pari a circa il 2%. Il rendimento del BTP a 5 anni ha subito unaaumento relativo piu consistente che si attesta intorno al 7%. Il valore delportafoglio si e ridotto in termini assoluti di circa 233,000e, pari ad unavariazione relativa del 1.6%. Grazie al guadagno ottenuto dalla posizione infuture le perdite sono state contenute. Il risultato finale consiste in una per-dita netta di circa 78 bp, contro i 160 bp che si sarebbero realizzati senza lacopertura parziale attuata.

L’ipotesi fondamentale che sottende le strategie illustrate in questo capitolo eche la struttura evolva per shift paralleli. Come visto nell’esempio precedentetale ipotesi non sempre si verifica nella realta. Lo shift non proprio parallelodella struttura dei tassi non ha avuto conseguenze deleterie sull’hedge, inquanto il titolo a cinque anni ha un contributo residuale rispetto a quellodegli altri titoli in portafoglio.


Capitolo 7

Swaps

7.1 Definizione di Swap

Uno swap e contratto stipulato tra due controparti per lo scambio di flussifinanziari, secondo specifiche modalita. In questo capitolo si studierannoswap i cui flussi finanziari si riferiscono ad interessi periodici denominati inuna stessa valuta (interest rate swap, in breve IRS).Il contratto swap piu comune e il cosiddetto “plain vanilla” IRS. In talicontratti la controparte A paghera alla controparte B un importo a tasso fissocalcolato su di un nozionale per un certo numero di anni. Allo stesso tempo,la controparte B paghera alla controparte A un importo al tasso variabilecalcolato sullo stesso nozionale e per lo stesso numero di anni. Questo tipodi swap e caratterizzato dallo scambio di un flusso a tasso variabile con unoa tasso fisso. Tali contratti sono anche detti fixed/float swap. Di solito iltasso fisso e annuale mentre quello variabile e il LIBOR o EURIBOR a seimesi. Graficamente, il flusso originato da un plain vanilla IRS e rappresentatonella Figura 7.1.

ControparteA

ControparteB

Tasso Fisso

EURIBOR

Figura 7.1: Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS.

7.2 Gli swap per la gestione del rischio di tasso 158

7.2 Gli swap per la gestione del rischio di

tasso

Il principale utilizzo degli swap e il controllo del rischio da tasso d’interesse.Gli swap possono efficacemente, ed a basso costo, trasformare una posizionea tasso variabile in una a tasso fisso, e viceversa. I contraenti di prestiti atasso variabile possono beneficiare di tali trasformazioni quando e previsto unaumento dei tassi. Alla stessa maniera, attivita finanziarie a tasso variabilepossono produrre perdite sostanziali nel caso di un declino dei tassi. In questocaso i titoli in portafoglio possono essere integrati con uno swap in modo datrasformare il flusso a tasso variabile in un flusso a tasso fisso. Strategiesimilari si possono implementare nel caso in cui un aumento atteso dei tassirende piu conveniente passare da un tasso fisso ad un a tasso variabile.Nella realta le controparti non entrano direttamente in contatto per la stipuladi un determinato contratto swap. Di solito esiste un intermediario finanzia-rio o una banca che cura la domanda e l’offerta della componente fissa e diquella variabile di uno swap.Nella Figura 7.2 e rappresentato il flusso swap delle due controparti conl’intermediario finanziario.

ControparteA

ControparteB

IntermediarioFinanziario

TassoVariabile

TassoVariabile

TassoVariabile

TassoVariabile

TassoFisso

TassoFisso

Figura 7.2: Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRScon un intermediario finanziario.

Esempio 7.1: Nella Figura 7.2 sono rappresentati flussi swap delle due con-troparti. La controparte A ha contratto un prestito a tasso variabile (frecciaverso il basso in uscita). La societa prevede un rialzo dei tassi e decide dientrare in uno swap per trasformare il prestito a tasso variabile in un prestitoa tasso fisso.Si ipotizzi che il debito sia stato contratto al tasso EURIBOR + 40bp perun nozionale di 2,500,000e e per una durata di 5 anni. La societa decidedi entrare in uno swap a tre anni in cui paghera un importo, calcolato sulnozionale, al tasso fisso swap isw = 3.86% annuo e ricevera un importo,sempre calcolato sul nozionale, al tasso variabile EURIBOR. Il contratto swap


7.2 Gli swap per la gestione del rischio di tasso 159

e stipulato in data 01/10/99 ed i flussi di cassa sono scadenzati ad intervallidi sei mesi. Il primo scambio di flussi avviene sei mesi dopo, il 01/04/00.Il flusso a tasso variabile e calcolato utilizzando il tasso EURIBOR a seimesi registrato alla stipula del contratto swap, ossia il tasso EURIBOR del01/10/99, in particolare, l(0, 0.5) = 3.3% su base annua.In generale, per ogni euro di nozionale, i flussi originati dal prestito e dalloswap sono i seguenti:

1. pagamento del tasso variabile l(t − 1, t) + 40bp;

2. incasso del tasso variabile l(t − 1, t);

3. pagamento del tasso fisso isw.

Il tasso netto che si ottiene e un tasso fisso pari a,

in(t) = −[l(t − 1, t) + 40] + l(t − 1, t) − isw = −(isw + 40). (7.1)

Ricordando che le o.f. al tasso EURIBOR utilizzano come convezione tempo-rale la base [Act/360], mentre per il tasso swap si utilizza la stessa convezionedei titoli di stato, [Act/Act], i flussi in data 01/04/00 (primo semestre) sonodati da,

V (1) = 2500000 · 0.0386 ·183

365= 48,382e

V(1) = 2500000 · 0.033 ·183

360= 41,938e,

dove con V (1) si e indicato il flusso a tasso fisso e con V(1) il flusso a tassovariabile. Il flusso netto dei pagamenti, Vn(1), e dato da,

Vn(1) = −2500000 · (0.033 + 0.004) ·183

360+ (41938− 48382) = −53,464.83e.

Il tasso netto in(1), su base annuale, si ottiene come,

in(1) =53464.83

2500000·365

183= 0.042655004,

ossia, isw + 40.Nella Tabella 7.1 sono riportati i flussi scambiati nel corso della vita delloswap. Lo studente verifichi che il tasso netto e costante in ogni periodo.Si osservi che l’obiettivo della controparte A e quello di trasformare il tassovariabile in un tasso fisso. Cio implica che, nel caso in cui il tasso EURIBORe minore del tasso fisso swap, la controparte A dovra pagare la differenza. Il


7.3 Swaps e credit arbitrage 160

k tk τk EURIBOR V(k) V (k) Flusso Netto0 01/10/99 0.0331 01/04/00 183 0.032 41938 -48382 -64442 01/10/00 183 0.035 40667 -48382 -77153 01/04/01 182 0.039 44236 -48118 -38824 01/10/01 183 0.045 49563 -48382 11815 01/04/02 182 0.047 56875 -48118 87576 01/10/02 183 0.05 59729 -48382 11347

Tabella 7.1: Flussi originati da un contratto swap plain vanillafixed/float.

meccanismo e uguale a quello dei contratti FRA. In effetti un FRA puo essereassimilato ad uno swap con un solo pagamento nella data di liquidazione. Loscambio realizzato e quello fra un flusso al tasso costante FRATxs ed uno altasso variabile l(T, s).

7.3 Swaps e credit arbitrage

Uno dei motivi della grande popolarita degli swap e il cosiddetto creditarbitrage. E noto che alcune istituzioni hanno un vantaggio comparativoquando prendono in prestito al tasso fisso anziche al tasso variabile. Altreistituzioni trovano invece piu conveniente prendere in prestito ad un tassovariabile anziche ad un tasso fisso.Utilizzando gli swap e possibile creare opportunita di finanziamento ad uncosto piu basso di quello che si riuscirebbe ad ottenere nel mercato dove lasocieta ha un maggiore vantaggio comparativo.

Esempio 7.2: Si ipotizzi che la Regione Sicilia, che ha un rating A2, possaprendere in prestito ad un tasso fisso pari al 5.8% annuo ed a un tasso varia-bile pari ad EURIBOR + 60 bp. Lo Stato Italiano, che ha un rating Aa2, puoaccedere a finanziamenti ad un tasso fisso pari al 4.7% annuo ed a un tassovariabile pari ad EURIBOR + 20 bp. Dalla Tabella 7.2 si evince che la Regio-ne Sicilia, essendo un ente con qualita creditizia minore, pagherebbe un pre-mio maggiore se si rivolgesse al mercato a tasso fisso. Ricorrendo agli swap epossibile effettuare un arbitraggio sul credit spread—nel senso che e possibileappropriarsi di parte dello spread per ridurre il costo del finanziamento— frail premio a tasso fisso e quello a tasso variabile.Il tasso swap denaro per un operazione a 10 anni e idsw = 4.99% annuo,


7.3 Swaps e credit arbitrage 161

Stato Italiano Regione Sicilia Premio (bp)

Tasso Fisso 4.7% 5.8% 110

Tasso Variabile EURIBOR + 20 EURIBOR + 60 40

Differenza 70

Tabella 7.2: Tassi fissi e variabili per due istituzioni con rischio dicredito differenti.

quindi, la controparte che ricevera il tasso fisso incassera un flusso al tassoidsw, per ogni euro di nozionale. Il tasso lettera per lo stesso contratto swap eilsw = 5.01%, quindi, la controparte che paghera il tasso fisso dovra sborsareilsw per ogni euro di nozionale.Lo Stato Italiano, avendo un rating migliore, prendera in prestito al tassofisso i = 4.7%. I flussi originati dalla posizione debitoria e dallo swap sono:

1. pagamento del tasso fisso i;

2. pagamento del tasso variabile l(t − 1, t);

3. incasso del tasso fisso idsw.

Il tasso netto che si ottiene e un tasso variabile pari a,

iAn (t) = idsw − i − l(t − 1, t) = −[l(t − 1, t) − 29], (7.2)

con un risparmio pari 49 bp.Per il vantaggio comparativo nel mercato a tasso variabile, la Regione Siciliaprendera in prestito al tasso variabile EURIBOR + 60 bp. I flussi originatidalla posizione debitoria e dallo swap sono:

1. pagamento del tasso variabile l(t − 1, t) + 60;

2. pagamento del tasso swap ilsw;

3. incasso del tasso variabile l(t − 1, t).

In questo caso il tasso variabile e trasformato in un tasso fisso ed e dato da,

iBn (t) = l(t − 1, t) − [l(t − 1, t) + 60] − ilsw = −[ilsw + 60] = −5.61, (7.3)

con un risparmio pari 19 bp.


7.4 Valutazione degli swap 162

StatoItaliano

RegioneSicilia

IntermediarioFinanziario

EURIBOR + 60

EURIBOREURIBOR

4.7%

4.99% 5.01%

Figura 7.3: Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRSfra due istituzioni con diverso rating creditizio.

−V v(t0) −C(t1) V −C(t2) V −C(t3) V . . . . . . − [1 + C(tm)] V

V f (t0) isw V isw V isw V . . . . . . [1 + isw] V

t0 t1 t2 t3 . . . . . . tm

Figura 7.4: Rappresentazione grafica di uno swap scomposto in unaposizione long in un CBB ed in una posizione corta in unFRN.

7.4 Valutazione degli swap

Si consideri un operatore che e entrato in uno swap in cui riceve un tassofisso e paga un tasso variabile. La posizione nello swap e equivalente adun posizione long in un CBB, dove la cedola fissa e rappresentata dal tassoswap ricevuto, ed in una posizione short in un FRN, dove la cedola variabilee rappresentata dal tasso EURIBOR (o LIBOR) semestrale (si veda Figura7.4).Se si indica con V v(t0) il valore della componente variabile e con V f (t0) ilvalore della componente fissa, per l’ipotesi di assenza di arbitraggio, il valoredello swap nell’istante t0 e dato da:

V sw(t0) = V f (t0) − V v(t0). (7.4)

Data la struttura dei tassi spot osservata in t0, il valore della componentefissa e dato da,

V f (t0) = isw Vm

∑

j=1

B(t0, tj) + V B(t0, tm).



Il valore di un FRN nell’istante di emissione, o in ogni istante di pagamentodel flusso, e pari al nozionale dello swap, quindi,

V v(t0) = V,

Il valore dello swap nell’istante t0 (inizio del contratto) e dato da,

V sw(t0) = isw Vm

∑

j=1

B(t0, tj) + V B(t0, tm) − V. (7.5)

Nelle date in cui sono effettuati i pagamenti il valore dello swap e,

V sw(tk) = isw Vm

∑

j=k+1

B(tk, tj) + V B(tk, tm) − V, (7.6)

per k = 1, 2, . . . ,m − 1.Come tutti i contratti derivati, nell’istante di stipula lo swap ha valore paria zero. Il tasso swap e quel tasso per cui,

V sw(t0) = 0,

da cui,

isw(t0, tm) =1 − B(t0, tm)∑m

j=1 B(t0, tj). (7.7)

Il tasso isw(t0,m) e anche noto come tasso di parita swap o par swap ratee dipende soltanto dalla struttura dei tassi vigente nell’istante di valutazionet0 e dalla scadenza della componente fissa. Nella pagina finanziaria de IlSole24Ore sono quotati i tassi swap per diverse scadenze (si veda la Tabella7.3). Di solito il tasso swap e indicato con una notazione che evidenzia laperiodicita del tasso variabile. Per esempio, 5Y/6M indica un tasso swap acinque anni e tasso variabile a 6 mesi.

Esempio 7.3: Nell’ottobre del 1999 il Banco del Capo e entrato in unoswap al fine di trasformare degli asset a tasso fisso in tasso variabile. Allastipula il contratto swap a 4 anni prevedeva il pagamento di un tasso fissopari a isw = 4.80% contro un tasso EURIBOR + 20bp, su di un nozionale di10,000,000e. Determinare il valore dello swap due anni dopo.Si ipotizzi che in data 05/10/2001 i pagamenti swap rimanenti siano 4 (duepagamenti per ogni anno rimasto prima della scadenza). Si ipotizzi inoltreche la struttura dei prezzi spot vigente nell’istante di valutazione sia quellariportata nella Tabella 7.4.



Scadenze Denaro Lettera Tasso Mid1Y/6M 3.37 3.38 3.3752Y/6M 3.59 3.61 3.63Y/6M 3.86 3.88 3.874Y/6M 4.08 4.1 4.095Y/6M 4.31 4.33 4.326Y/6M 4.49 4.51 4.57Y/6M 4.65 4.67 4.668Y/6M 4.79 4.81 4.89Y/6M 4.9 4.92 4.9110Y/6M 4.99 5.01 512Y/6M 5.16 5.18 5.1715Y/6M 5.35 5.37 5.3620Y/6M 5.53 5.55 5.5425Y/6M 5.6 5.62 5.6130Y/6M 5.61 5.63 5.62

Tabella 7.3: Tassi di parita swap per diverse scadenze. Il tasso Mid ela media del tasso denaro e lettera. (Fonte: Il Sole24Ore05/10/2001).

Dal punto di vista del Banco del Capo lo swap consiste in una posizioneshort in un titolo a cedola fissa ed in una posizione long su un FRN che pagaEURIBOR + 20bp. Il valore della componente fissa e dato da,

V f (0) = 10000000 ·[

B(0, 2) + 0.048 ·182

365· B(0, 0.5)+

+ 0.048 ·182

365· B(0, 1) + 0.048 ·

182

365· B(0, 1.5)+

+ 0.048 ·182

365· B(0, 2)

]

= 10,233,461.58e.

Ipotizzando per semplicita che l’istante di valutazione sia posto in un istantesuccessivo al pagamento dell’ultimo flusso swap, il valore della componentevariabile coincide con il valore del nozionale piu il valore attuale dello spreadsull’EURIBOR (si veda la 1.127), quindi,

V v(0) = 10000000 ·[

1 + 0.002 ·182

360· B(0, 0.5)+

+ 0.002 ·182

360· B(0, 1) + 0.002 ·

182

360· B(0, 1.5)+

+ 0.002 ·182

360· B(0, 2)

]

= 10,038,742.77e


7.5 Il bootstrap della curva dei tassi swap 165

Ad un anno dalla stipula del contratto, il valore dello swap e pari a,

V sw(0) = −10233461.58 + 10038742.77 = -194,718.81e1.

τ 0.5 1 1.5 2B(0, τ) 0.98288 0.967352 0.949834 0.931637

Tabella 7.4: Struttura dei prezzi spot osservata il 05/10/2001.

7.5 Il bootstrap della curva dei tassi swap

Utilizzando una procedura ricorsiva simile al bootstrap, e possibile ricavaredalla struttura dei tassi swap la curva dei tassi spot.Si denoti con t l’istante di valutazione e con isw(t, t + k) il tasso swap perscadenze pari a k anni. La relazione di parita impone che,

isw(t, t + k) =1 − [1 + i(t, t + k)]−k

∑kj=1 B(t, t + j)

.

Con semplici passaggi algebrici si ricava che,

isw(t, t+k)k−1∑

j=1

B(t, t+j) + isw(t, t+k) [1 + i(t, t + k)]−k = 1−[1 + i(t, t + k)]−k .

Mettendo in evidenza il fattore di sconto [1 + i(t, t + k)]−k, si ottiene,

[1 + i(t, t + k)]−k [1 + isw(t, t + k)] = 1 − isw(t, t + k)k−1∑

j=1

B(t, t + j),

da cui si ricava facilmente il tasso spot per o.f. di lunghezza k anni,

i(t, t + k) =

[

1 + isw(t, t + k)

1 − isw(t, t + k)∑k−1

j=1 B(t, t + j)

]1/k

− 1. (7.8)

La (7.8) e applicata ricorsivamente partendo dal tasso swap per scadenzepari ad un anno, isw(t, t + 1). In particolare, si dimostra facilmente chei(t, t + 1) = isw(t, t + 1).

1In entrambi i casi si e ipotizzato che i pagamenti fossero scadenzati ad intervalli di182 giorni.


7.5 Il bootstrap della curva dei tassi swap 166

3

3.5

4

4.5

5

5.5

0 2 4 6 8 10 12

Scadenze (anni)

Tass

i (%

)

Tassi Mid Swap

Tassi Spot

Figura 7.5: Le strutture dei tassi swap e spot osservate il 05/10/2001.

Esempio 7.4: Data la struttura dei tassi swap riportata nella Tabella 7.3,i tassi spot per i primi tre anni sono dati da,

i(0, 1) = 0.03377

i(0, 2) =

(

1 + 0.036

1 − 0.036 · 0.967328481

)1/2

− 1 = 0.03604

i(0, 3) =

[

1 + 0.0387

1 − 0.0387 · (0.93164 + 0.96733)

]1/3

− 1 = 0.03883

Nella Figura 7.5 sono riportati i tassi spot e swap per scadenze fino a 10anni.


Formulario

1. Frazione o multiplo della periodicita del tasso:

τ

n=

s − t

n

2. Interesse semplice:

I(t, s) = I(τ

n

)

= C is − t

n

3. Sconto semplice:

D(t, s) = D(τ

n

)

= C ds − t

n

4. Tasso d’interesse e sconto:

i(t, s) =V (s) − V (t)

V (t)

d(t, s) =V (s) − V (t)

V (s)

5. Formule di conversione da base 360 a base 365 e viceversa:

i360 = i365360

365

i365 = i360365

360

6. Formule di conversione da tasso d’interesse a tasso di sconto e viceversa:

i =d

1 − d (τ/n)

d =i

1 + i (τ/n)

Formulario 168

7. Valore attuale e futuro modello lineare d’interesse:

V (t) = V (t + τ) (1 + i τ)−1

V (t + τ) = V (t) (1 + i τ)

8. Valore attuale e futuro modello di sconto semplice:

V (t) = V (t + τ) (1 − i τ)

V (t + τ) = V (t) (1 − i τ)−1

9. Valore attuale e futuro modello esponenziale:

V (t) = V (s)(1 + i)−(s−t)

V (s) = V (t)(1 + i)s−t

10. Valore attuale e futuro modello esponenziale data l’intensita:

V (t) = V (s) e−δ (s−t)

V (s) = V (t) eδ (s−t)

11. Fattore di sconto uniperiodale:

p = (1 + i)−1 = e−δ

12. Tassi equivalenti modello lineare:

i = in n

in =i

n

13. Tassi equivalenti modello esponenziale:

i = (1 + in)n − 1

in = (1 + i)1/n − 1

14. Tassi equivalenti modello esponenziale dato il tasso nominale convertibilen volte:

i =

(

1 +jn

n

)n

− 1

jn = n[

(1 + i)1/n − 1]


Formulario 169

15. Valore temporale flusso finanziario:

V (tk) =m

∑

j=1

Vjptj−tk

16. Valore temporale portafoglio di flussi finanziari:

N∑

i=1

uiVi(tk)

17. Valore attuale rendita unitaria con rate posticipate ed anticipate:

am i =1 − (1 + i)−m

i

am i =1 − (1 + i)−m

d

18. Valore futuro rendita unitaria con rate posticipate ed anticipate:

sm i =(1 + i)m − 1

i

sm i =(1 + i)m − 1

d

19. Valore attuale rendita unitaria perpetua con rate posticipate ed anticipa-te:

a∞ i =

1

i

a∞ i =

1

d.

20. Valore attuale rendita unitaria differita di h periodi con rate posticipateed anticipate:

ham i = ph am i

ham i = ph am i

21. Valore attuale cedola indicizzata con spread:

c(t) = B(t, T ) + (θ − 1)B(t, s)


Formulario 170

22. Valore attuale titolo indicizzato con spread:

V (t) =

V B(t, t0) + V θm

∑

i=1

B(t, ti) se t < t0

V + V θ

m∑

i=k+1

B(t, ti) se t = tk

V B(t, tk) (1 + ck + θ) + V θm

∑

i=k+1

B(t, ti) se tk−1 < t < tk.

23. Valore mutuo indicizzato con spread:

V (t) =

S B(t, t0) + θ

m∑

i=1

Di−1B(t, ti) se t < t0

Dk + θm

∑

i=k+1

Di−1B(t, ti) se t = tk

(Dk−1 + Ik) B(t, tk) + θ

m∑

i=k+1

Di−1B(t, ti) se tk−1 < t < tk.

24. Tassi a pronti ed a termine:

i(t, s) =

[

1

B(t, s)

]1/s−t

− 1.

i(t, T, s) =

[

1

B(t, T, s)

]1/s−T

− 1.

25. Intensita a pronti ed a termine:

δ(t, s) = −ln B(t, s)

s − t

δ(t, T, s) =δ(t, s) (s − t) − δ(t, T ) (T − t)

s − T.

26. Formula per determinare i tassi a termine dai tassi a pronti su scadenzariodiscreto:

i(t, t + k − 1, t + k) =[1 + i(t, t + k)]k

[1 + i(t, t + k − 1)]k−1− 1


Formulario 171

27. Formula per determinare i tassi a pronti dai tassi a termine su scadenzariodiscreto:

i(t, t + k) =

{

k∏

j=1

[1 + i(t, t + j − 1, t + j)]

}1/k

− 1

28. Tasso di parita:

c∗ =1 − B(t, t + m)∑m

j=1 B(t, t + j)

29. Macaulay duration in funzione dei tassi e delle intensita

D(t, V ) =

∑mj=1 j Vj[1 + i(t, t + j)]−j

∑mj=1 Vj[1 + i(t, t + j)]−j

D(t, V ) =

∑mj=1 jVje

−δ(t,t+j) j

∑mj=1 Vj e−δ(t,t+j) j

30. Flat yield duration in funzione del tasso e dell’intensita

D(t, V ) =

∑mj=1 j Vj(1 + i)−j

∑mj=1 Vj(1 + i)−j

D(t, V ) =

∑mj=1 jVje

−δj

∑mj=1 Vj e−δj

31. Duration di secondo ordine in funzione del tasso e dell’intensita

D(2)(t, V ) =

∑mj=1 j2 Vj(1 + i)−j

∑mj=1 Vj(1 + i)−j

D(2)(t, V ) =

∑mj=1 j2Vje

−δj

∑mj=1 Vj e−δj

32. Duration di un portafoglio

D(t, Π) =N

∑

i=1

di D(t, Vi)

di =uiV (t)

Π(t)


Formulario 172

33. Semielasticita in funzione del tasso e dell’intensita

V ′(i)

V (i)= −

1

1 + iD(0, V )

V ′(i)

V (i)= −D(0, V )

34. Convexity in funzione del tasso e dell’intensita

V ′′(i)

V (i)=

1

(1 + i)2[D(2)(0, V ) + D(0, V )]

V ′′(δ)

V (δ)= D(2)(0, V )

35. Formula per estrarre i tassi spot (metodo Bootstrap)

i(0, kτ) =

1 + ck

B(0, kτ) − ck

{

∑k−1j=1 [1 + i(0, jτ)]−jτ

}

1/kτ

− 1.

36. Payoff di un FRA:

Λ(T, s) = C[L(T, s) − FRATxs] τ

n

1

1 + L(T, s) τ/n.

37. Mark–to–market di una posizione long su n contratti future:

MTM(t − 1, t) = nC [F (t, T ) − F (t − 1, T )] .

38. Numero di tick:

η(t − 1, t) =F (t, T ) − F (t − 1, T )

σ.

39. Mark–to–market di una posizione long su n contratti future in funzionedel numero di tick:

MTM(t − 1, t) = n η(t − 1, t) φ.

40. Formula cash–and–carry per i prezzi forward:

f(t, T ) = B(t) eδ (T−t).


Formulario 173

41. Tassi swap di parita:

isw(t, t + m) =1 − B(t, t + m)∑m

j=1 B(t, t + j).

42. Formula per estrarre i tassi spot dai tassi par swap:

i(t, t + k) = isw(t, t + k) k = 1

i(t, t + k) =

[

1 + isw(t,t+k)

1− isw(t,t+k)∑k−1

j=1 B(t,t+j)

]1/k

− 1 k > 1


Glossario

A

alla la pari Modalita di determinazione del prezzo di sottoscrizione di untitolo caratterizzato dall’uguaglianza tra il valore di emissione eil valore nominale del titolo stesso. Il termine “alla pari” vieneusato anche in riferimento al valore di rimborso di un titolo e alsuo prezzo di mercato: si dice che il titolo e rimborsato alla parise il valore di rimborso e pari al valore nominale; si dice alla pariun titolo con valore di mercato pari al valore nominale.

arbitraggio Operazione finanziaria che consente di ottenere un profitto (pro-fitto di arbitraggio) in assenza di rischio, sfruttando disallinea-menti di prezzo esistenti sul mercato.

ask price (ask) Termine anglosassone per indicare un prezzo lettera.

B

Banca Centrale Europea (BCE) A partire dal 1 Gennaio 1999 i Paesi chepartecipano all’Unione economica e monetaria (UEM) hanno per-so la loro sovranita monetaria; le competenze in materia di politicamonetaria e di cambio sono passate alla BCE, organismo dell’UEprevisto dal trattato di Maastricht.

basi Convenzioni temporali utizzate nel calcolo degli interessi. (Mer-cati obbligazionari Act/Act, depositi europei E30/360, mercatiamericani 30/360, etc.).

basis point (bp) Unita di misura corrispondente ad un centesimo di pun-to percentuale (0.01=100bp) con cui si indicano le variazioni deitassi.

bid-ask spread (spread) La differenza fra l’ask price ed il bid price. Diffe-renze consistenti fra il prezzo di ask ed il prezzo di bid sono spesso

Glossario 175

indicative di una forte illiquidita del titolo in esame. In tal casol’investitore corre il rischio di non riuscire ad acquistare o venderein tempi brevi e ad un prezzo conveniente il titolo.

bid price (bid) Termine anglosassone per indicare un prezzo denaro.

bond Termine anglosassone equivalente ad obbligazione.

bullet bond (bullet) Termine anglosassone che definisce un titolo che pagacedola periodica.

buoni del tesoro poliennali (BTP) Titoli di Stato a tasso fisso di medio-lungo termine (tre, cinque, dieci e trenta anni). Si tratta di titolial portatore. Sono emessi dal Tesoro con cadenza mensile per iBTP trentennali e quindicinale per gli altri BTP. Il collocamento esvolto dalla Banca d’Italia e all’asta partecipano solo gli investitoriistituzionali. Possono essere collocati alla pari, sotto la pari, osopra la pari. Sono ammessi alla quotazione di Borsa il giornosuccessivo all’asta. Sul mercato secondario sono negoziati a corsosecco. Gli interessi sono fissi e vengono corrisposti semestralmentein via posticipata attraverso lo stacco di una cedola. Gli interessied il disaggio di emissione sono soggetti ad un’aliquota del 12.5%.Il rimborso avviene in un’unica soluzione alla scadenza. Il tagliominimo e pari a 1,000 euro. Costituiscono il sottostante per icontratti future (BTP future) negoziati sul MIF e sul LIFFE.

buoni ordinari del tesoro (BOT) Titoli di Stato a breve termine (tre, sei,dodici mesi). Si tratta di titoli al portatore con un importo mi-nimo sottoscrivibile di 1,000 euro. Sono emessi con frequenzaquindicinale (a meta e alla fine di ogni mese) con decreto del Mini-stero del Tesoro, che ne definisce la scadenza, la quantita massimacollocabile e la durata dell’operazione di collocamento. Il colloca-mento e svolto dalla Banca d’Italia attraverso un’asta competitivasul prezzo cui partecipano gli investitori istituzionali. I risparmia-tori possono sottoscrivere i titoli presso questi operatori o pressogli uffici postali. I BOT sono ammessi alla quotazione di Borsa(MOT) il giorno successivo all’asta. Gli investitori istituzionalipossono negoziare i BOT anche sull’MTS, dove i quantitativi mi-nimi sono pari a 2.5 milioni di euro. Sul mercato secondario sonoquotati a prezzo tel quel. Sono titoli zero coupon emessi sotto lapari e rimborsati, in un’unica soluzione, alla pari.


Glossario 176

C

capital gain Guadagno in conto capitale. Guadagno che si realizza venden-do un titolo ad un prezzo maggiore di quello di acquisto.

capital loss Perdita in conto capitale. Perdita che si realizza vendendo untitolo ad un prezzo minore di quello di acquisto.

CBOT Chicago Board of Trade.

cedola Tagliando allegato al certificato rappresentativo di un titolo che,staccato dal certificato, consente al possessore la riscossione degliinteressi (titoli a reddito fisso) maturati.

certificati del tesoro zero–coupon (CTZ) Certificati di credito del Teso-ro privi di cedole. Sono titoli a tasso fisso di durata pari a 18o 24 mesi. Il rendimento e dato dalla differenza tra il valore dirimborso (pari al valore nominale) e il prezzo di emissione. Sonocollocati attraverso un’asta cui partecipano le banche e gli altrioperatori autorizzati. I risparmiatori possono acquistare i tito-li presso questi operatori istituzionali o presso gli uffici postali, oacquistare i CTZ sul mercato secondario successivamente all’emis-sione. Sono emessi sotto la pari. Sul mercato secondario i CTZsono negoziati al corso tel quel. Sono soggetti ad una ritenutafiscale del 12.5% sul disaggio di emissione, applicata al momen-to del rimborso. Hanno le stesse caratteristiche dei BOT, ma ladurata e maggiore.

certificati di credito del tesoro (CCT) Titoli di Stato a medio-lungo ter-mine (da tre a sette anni). Sono titoli a tasso variabile, con gliinteressi indicizzati al rendimento dei BOT semestrali o annuali,emessi nel bimestre che precede il mese antecedente allo staccodella cedola. Per i CCT a cedola annuale il tasso di interesse edeterminato in base ai rendimenti dei BOT annuali emessi 14 o 15mesi prima del pagamento della cedola; per i CCT con cedola se-mestrale si considerano i rendimenti in sede di emissione dei BOTannuali collocati 8 o 9 mesi prima della data di pagamento dellacedola. Gli interessi sono corrisposti posticipatamente, con cedolasemestrale o annuale. Dal 1987 si emettono solo CCT con cedolasemestrale. Nel 1995 e stato introdotto un nuovo metodo di indi-cizzazione degli interessi: la prima cedola e fissa e viene definitain sede di emissione; dal sesto mese in poi il valore delle cedole se-mestrali dipende dal rendimento dei BOT a sei mesi collocati con


Glossario 177

l’asta immediatamente precedente alla data di decorrenza dellacedola. Il valore della cedola sara quindi pari al rendimento deiBOT aumentato di uno spread percentuale variabile dallo 0.3%all’1%, a seconda della durata del CCT. L’emissione dei CCT av-viene attraverso un’asta in genere con frequenza quindicinale, cuipartecipano le banche e le SIM iscritte in un apposito albo tenu-to presso la Consob. L’operazione di collocamento e affidata allaBanca d’Italia. Sono ammessi alla quotazione di Borsa il giornosuccessivo all’asta e la quotazione e a corso secco. Sono emessi al-la pari o sotto la pari. Il prezzo di emissione dipende dalla duratadel titolo: quanto maggiore e la durata, tanto minore e il prezzo.Il taglio minimo e di 1,000 euro dal 1/01/99. Sono rimborsati,in un’unica soluzione, alla pari. Dal punto di vista fiscale, si di-stingue tra: CCT esenti da imposta, emessi prima del settembredel 1986; CCT soggetti ad aliquota del 6.25%, emessi tra ottobre1986 e agosto 1987; CCT soggetti ad aliquota del 12.5%, emes-si dopo il mese di agosto del 1987. L’imposta e applicata, sottoforma di ritenuta alla fonte, sul valore delle cedole e, al momentodel rimborso, sul disaggio di emissione.

certificato di deposito (CD) Depositi vincolati presso le banche con du-rate che possono estendersi fino a 5 anni.

copertura Operazione di copertura dal rischio di variazioni indesiderate neiprezzi delle merci, delle attivita finanziarie, delle valute e dei tassidi interesse.

corso Prezzo attribuito ad un titolo per effetto della contrattazione.

corso secco Corso di un titolo che non include il rateo di interesse.

coupon Si veda cedola.

D

data provider Fornitore dei dati relativi a titoli scambiati nei mercati. Idata provider piu noti sono: Bloomberg, Datastream, Reuters.

E

EUREX European Financial Futures Exchange.


Glossario 178

EURO InterBank Offered Rate (EURIBOR) Tasso di interesse a brevetermine (1 settimana e da 1 a 12 mesi), utilizzato come riferi-mento per gli scambi interbancari a livello europeo. E calcolatodalla European Banking Federation come media aritmetica di uninsieme di tassi “orientativi” a cui un gruppo campione di bancheeuropee e disposto a negoziare.

eurobbligazione Obbligazione emessa da societa, enti nazionali o esteri,nonche da Stati o enti sovranazionali, assoggettata ad una nor-mativa diversa da quella a cui e sottoposto l’emittente e collocatain due o piu Stati. In Italia le eurobbligazioni sono negoziatepresso il mercato EuroMot.

eurobond Si veda eurobbligazione.

F

future Strumento derivato costituito da un contratto a termine stan-dardizzato, relativo ad un’operazione di acquisto/vendita di unamerce o attivita finanziaria (sottostante) in una data futura, adun prezzo fissato al momento della stipula del contratto.

H

hedging Termine anglosassone per indicare un’operazione di copertura. Siveda copertura.

I

interest rate future (IRF) Strumento derivato, appartenente alla catego-ria dei financial futures, costituito da un contratto a termine, stan-dardizzato, relativo ad un’operazione di acquisto/vendita di titolia tasso fisso (Titoli di Stato, obbligazioni), in una data futura, adun prezzo prefissato al momento della stipula del contratto.

ISIN International Security Identification Number. Codice internazio-nale che identifica un titolo quotato nei mercati ufficiali.

L

leverage Facolta di controllare un elevato ammontare di risorse finanzia-rie, attraverso il possesso di una piccola parte di tali risorse, con


Glossario 179

un basso impiego di capitale. La leva finanziaria e espressa dalrapporto tra il valore delle posizioni aperte ed il capitale investi-to. Gli strumenti finanziari derivati consentono all’investitore diacquistare o vendere attivita finanziarie per un ammontare supe-riore al capitale posseduto e di beneficiare, grazie all’effetto leva,di un rendimento potenziale maggiore rispetto a quello derivan-te da un investimento diretto nel sottostante (underlying). Adesempio, chi sottoscrive un contratto di opzione, un warrant o uncovered warrant, acquisisce, a fronte del pagamento di un premiolimitato, il diritto all’acquisto o alla vendita di un ammontare distrumenti finanziari di entita superiore.

LIFFE London International Financial Futures & Options Exchange.

London InterBank Offered Rate (LIBOR) E il tasso prevalente sul mer-cato dei depositi interbancari per per le valute piu importanti. Iltasso e rilevato dalla British Bankers Association.

long position (long) Posizione in beni di investimento o strumenti derivatiche consente all’investitore di trarre profitto dal rialzo dei prezzi.

M

MATIF Marche a Terme International de France.

mercato all’ingrosso dei titoli di stato (MTS) Mercato telematico dovesi negoziano i Titoli di Stato quotati e non quotati in Borsa. Visi negoziano, sulla base di importi minimi, Titoli di Stato (emessidallo Stato italiano e da Stati esteri) e titoli garantiti dallo Sta-to. Si tratta di un mercato secondario all’ingrosso (l’ammontareminimo di negoziazione e fissato a 2,5 milioni di euro) in cui pos-sono operare solo operatori specializzati, i cosiddetti investitoriistituzionali Il regolamento del mercato stabilisce che possono es-sere ammessi alle negoziazioni le banche nazionali, comunitarie edextracomunitarie, le imprese d’investimento italiane, comunitarieed extracomunitarie, il Ministero del Tesoro e la Banca d’Italia.Tali soggetti possono svolgere la funzione di primary dealer (ope-ratore principale) con funzione di market maker, dealer (si ponecome controparte dei primary dealers) e specialista. La societa diGestione del Mercato tiene un registro degli operatori principa-li; questi devono presentare i seguenti requisiti: patrimonio netto


Glossario 180

equivalente almeno pari a 75 miliardi di lire; svolgimento nel-l’anno solare precedente alla domanda di ammissione di attivitadi acquisto e/o vendita di Titoli di Stato quotati sull’MTS perun valore complessivo almeno pari a 75,000 miliardi di lire e perun adeguato numero di titoli; adeguata struttura organizzativa.Inoltre, l’iscrizione in tale registro comporta il rispetto di specificiobblighi in termini di immissione delle proposte di negoziazione.Sull’MTS si negoziano:

• BTP, BOT, CTZ, CCT, CTE;

• dal giugno 1998 l’Italy bond 5% denominato in ECU, conscadenza maggio 2008;

• da settembre 1998 il titolo BEI con scadenza aprile 2008,denominato in lire con cedola annuale del 5%

• dal 15/09/1998 titoli emessi dal Governo Federale tedesco(Bund) con vita residua superiore a 2 anni, cedola fissa an-nuale e scadenze comprese tra il 2000 ed il 2008;

• Eurobond;

• titoli emessi da organismi internazionali partecipati da Stati.

.

mercato obbligazionario telematico (MOT) Comparto della Borsa Ita-liana S.p.A. dove si negoziano, in quantitativi minimi (lotto mi-nimo) o loro multipli, obbligazioni (non convertibili) e Titoli diStato. Si tratta di un mercato ad asta, in cui il sistema di negozia-zione accoppia gli ordini sulla base del prezzo (si da priorita a chie disposto a pagare di piu) e della quantita ed, a parita di prezzo,in base all’ordine che e stato emesso per primo. Gli strumentifinanziari negoziati sul MOT sono suddivisi in cinque segmenti dimercato, in base alla natura dell’emittente e del tipo di interesse:

• BOT, BTP, CTE e CTZ;

• CCT e CTO;

• obbligazioni denominate il lire;

• obbligazioni denominate in euro;

• obbligazioni denominate in valuta estera.

.

MIF Milan International Financial Futures Exchange.


Glossario 181

N

nozionale Valore nominale usato per il calcolo dei flussi di cassa sugli swap,i forward e, in generale, altri derivati liquidabili attraverso som-me di denaro. Tale valore costituisce un capitale fittizio; infatti,non si ha scambio di capitale tra le controparti contrattuali, masoltanto la liquidazione degli interessi differenziali, derivanti dalladifferenza tra l’ammontare degli interessi definiti dal contratto egli interessi al momento della scadenza di quest’ultimo. Questiinteressi sono calcolati sul capitale nozionale.

O

obbligazione Titolo di credito emesso da una societa per azioni. Un’obbli-gazione e costituita da un certificato che rappresenta una frazione,di uguale valore nominale e con uguali diritti, di un’operazione difinanziamento. Le obbligazioni sono emesse allo scopo di repe-rire, direttamente tra i risparmiatori e a condizioni piu vantag-giose rispetto a quelle dei prestiti bancari, capitali da investire.Contrariamente all’azionista, l’obbligazionista si assume il rischiod’impresa ma non partecipa all’attivita gestionale dell’emittente,non avendo diritto di voto nelle assemblee. Mentre le azioni attri-buiscono ai possessori un diritto al dividendo, che e subordinatoalla realizzazione di utili, le obbligazioni attribuiscono un dirittodi credito. Chi sottoscrive un’obbligazione diventa, infatti, cre-ditore della societa emittente ed ha diritto alla riscossione di uninteresse e al rimborso del capitale a scadenza, o sulla base di unpiano di ammortamento predefinito. L’interesse puo essere fisso ovariabile, pagabile con una cedola avente periodicita trimestrale,semestrale, o annuale. Le obbligazioni possono essere emesse allapari, sotto la pari e sopra la pari. Le obbligazioni possono esse-re quotate sul mercato primario e sul mercato secondario, dovevengono negoziate a corso secco, o a prezzo tel quel.

obbligazioni convertibili Sono titoli obbligazionari la cui caratteristica prin-cipale consiste nel diritto alla conversione in azioni della societaemittente, o di una societa appartenente allo stesso gruppo. Aseguito della conversione si cessa di essere obbligazionista diven-tando azionista ed acquistando, quindi, tutti i diritti relativi.

Over–the–Counter (OTC) Mercato finanziario dove si effettuano le tran-sazioni “fuori Borsa”, ossia fuori dai mercati ufficialmente ricono-


Glossario 182

sciuti. I mercati OTC sono caratterizzati dall’assenza di un luogofisico, o logico, di svolgimento e accentramento delle negoziazioni,dalla mancanza di una specifica regolamentazione, dall’assenza diquotazioni ufficiali, dalla presenza di contrattazioni non standar-dizzate relativamente agli importi unitari ed alle scadenze, dallamancanza di organismi centrali di compensazione. La trattativatra acquirente e venditore avviene in modo diretto, con la determi-nazione del prezzo basata sulla legge dell’offerta e della domanda.Rispetto ai mercati regolamentati, i mercati OTC implicano unmaggiore rischio per gli investitori a causa di un’informativa me-no trasparente sulle quotazioni dei diversi prodotti e per l’assenzadi organismi istituzionali di garanzia (Cassa di Compensazione eGaranzia, organi di vigilanza). Esempi di mercati OTC sono ilmercato degli swaps, dei forwards, il Terzo Mercato e il mercatodei Titoli di Stato agli sportelli bancari.

P

prezzo denaro (denaro) Nel gergo di Borsa, il prezzo denaro e il prezzomassimo di acquisto che un operatore di mercato e disposto apagare per uno strumento finanziario negoziato. In genere, il mi-glior prezzo in acquisto, che compare sul book di negoziazione, edi poco inferiore al miglior prezzo in vendita (prezzo lettera) perogni strumento finanziario negoziato.

prezzo lettera (lettera) Nel gergo di Borsa, il prezzo lettera e il prezzominimo di vendita che un operatore di mercato e disposto adoffrire per uno strumento finanziario negoziato. In genere, il mi-glior prezzo in vendita, che compare sul book di negoziazione, esuperiore al miglior prezzo in acquisto (prezzo denaro), per ognistrumento finanziario nogoziato.

R

rating delle obbligazioni (rating) Valutazione di un titolo obbligazionariofornita dalle societa di analisi finanziaria. Il rating costituisceuna valutazione del rischio di credito di una societa emittente diobbligazioni, ovvero una valutazione della capacita dell’emitten-te di assolvere agli impegni di pagamento (rimborso del capitalee corresponsione delle cedole di interesse) assunti a seguito del-l’emissione delle obbligazioni. Il rating viene espresso attraverso


Glossario 183

un codice appartenente a scale che variano a seconda dell’agenziache ha effettuato la valutazione. Ad esempio, il rating emesso daStandard & Poor’s e da Moody’s varia tra un valore AAA (va-lore massimo di affidabilita dell’emittente) e un valore D (valoreminimo, attribuito ad emittenti in condizione fallimentare).

S

short position (short) Posizione in beni di investimento o strumenti deri-vati che consente all’investitore di trarre profitto dal ribasso deiprezzi.

sopra la pari Espressione che indica che il prezzo di emissione di un titoloo la sua quotazione di Borsa sono superiori al valore nominale deltitolo stesso.

sotto la pari Espressione che indica che il prezzo di emissione di un titoloo la sua quotazione di Borsa sono inferiori al valore nominale deltitolo stesso.

sottostante Strumento di investimento sottostante ad un contratto deri-vato. Puo essere costituito da materie prime, valute, tassi diinteresse, titoli, o indici azionari.

swap Strumento derivato, costituito da un contratto stipulato tra duecontroparti per lo scambio di flussi finanziari, secondo specifichemodalita. Nel mercato dei capitali uno swap (interest rate swap)si riferisce allo scambio di flussi di interessi periodici, denominatiin una stessa valuta.

T

tasso overnight Tasso interbancario applicato al trasferimento di fondi tradue controparti con restituzione il giorno lavorativo successivo.

tel quel Prezzo di negoziazione di un titolo comprensivo del rateo di in-teresse maturato dal giorno dell’ultimo godimento al giorno dellanegoziazione: Corso tel quel = corso secco + cedola in matura-zione.

TIFFE Tokyo International Financial Futures Exchange.


Glossario 184

treasury bill (T–Bill) Titoli di Stato americano a breve termine. Si trattadi ZCB con scadenze ad un mese, tre mesi, fino ad un anno. Adifferenza dei BOT i T–Bill sono quotati a sconto.

treasury bond (T–Bond) Titoli di Stato americano a tasso fisso di medio-lungo termine. Appartengono alla classe dei titoli di stato emessiper finanziare il debito pubblico. La tipologia e identica a quelladei BTP italiani, dei Bund tedeschi e dei Gilt britannici.

V

valore facciale (facciale) Si veda valore nominale.

valore nominale (nominale) Per le azioni e la frazione di capitale socialerappresentata da un’azione. Per i titoli obbligazionari e il valo-re al quale l’emittente si e impegnato a rimborsare il titolo allascadenza. In generale, il valore nominale e l’importo su cui sicalcolano gli interessi.

valuta La data da cui sono conteggiati gli interessi o il giorno in cuil’investitore entra in possesso del titolo acquistato.

Z

Zero Coupon Bond Si tratta di un’ obbligazione a tasso fisso il cui ren-dimento e garantito dal fatto che e emessa a prezzi piu bassi delvalore nominale (sotto la pari). Il rendimento e quindi pari alladifferenza tra il prezzo di sottoscrizione e il valore di rimborso (va-lore nominale). Questa obbligazione garantisce agli investitori uninvestimento effettivo in tutto il periodo di impegno del capitale,senza il problema del reinvestimento degli interessi periodici.


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