Elementi di Matematica Finanziaria per l’Estimo

1

Paolo Rosato

Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura

Piazzale Europa 1 - 34127 Trieste. Italia

Tel: +39-040-5583569. Fax: +39-040-55835 80

E-mail: paolo.rosato@dia.units.it

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• La matematica finanziaria fornisce gli strumenti necessari per:– Confrontare fatti finanziari che avvengono in momenti diversi;

– Stimare il valor capitale di flussi di redditi futuri;

– Stimare l’ammontare di rendite;

– Determinare l’ammontare di rate di mutui;

– Stimare l’ammontare di interessi su debito;

– Ecc.

La matematica finanziaria

3

Le prestazioni finanziarie

• Le prestazioni finanziarie sono rappresentate da flussi di costo e di ricavo.

• Perché una prestazione finanziaria sia definita univocamente dobbiamo conoscere:

– l’ammontare;

– la scadenza.

4

L’interesse

• L’interesse è il prezzo d’uso del capitale.• Il saggio (tasso) d’interesse (r) può essere espresso in termini

percentuali (r = 5%) o in termini unitari (r = 0,05).L’interesse unitario è l’interesse maturato da una unità dimoneta in una unità di tempo (anno).

• Il saggio di interesse è direttamente proporzionale alrischio (ad un rischio maggiore corrisponde un maggioretasso di interesse).

5

Il montante

• Il montante è la somma del capitale e dei relativiinteressi.

• Il montante unitario (q) è la somma fra uncapitale pari a 1 e degli interessi maturati in unanno:

M = C0 + C0 r = C0 (1 + r ) = C0 q

( es. r = 0,05 q = 1,05).

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Interesse semplice e composto

L’interesse semplice

• gli interessi maturati non maturano a loro volta altri interessi (nella pratica si usa quando si considera un periodo di tempo uguale o inferiore ad 1 anno o quando è previsto per legge).

L’interesse composto

• gli interessi maturati maturano a loro volta altri interessi (si usa quando si considera un periodo di tempo superiore ad 1 anno).

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Interesse semplice: periodo uguale all’anno

•Interesse I = C0 × r •Montante M = C0 × q•Valore scontato C0 = M / q

La somma di 1.000 Euro viene depositata in banca all’interesse del 5%. Si vuol conoscere l’ammontare: a) degli interessi dopo un anno; b) del montante dopo un anno.

I = C0 r = 1.000 × 0,05 = 50 Euro

M = C0 + I = C0 (1+r) = C0 q = 1.000 × 1.05 = 1.050 Euro

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Interesse semplice: periodo inferiore all’anno

• La durata viene indicata come frazione di anno: n = gg/365

• Interesse I = C0 r n

• Montante M = C0 (1 + r n)

• Valore scontato C0 = M / (1 + r n)

La somma di 1.000 Euro viene depositata in banca per 90 giorniall’interesse del 5%. Si vuol conoscere l’ammontare: a) degliinteressi; b) del montante.

I = C0 r n = 1.000 × 0,05 × (90 / 365) = 12,39 Euro.

M = C0 + C0 r n = C0 (1 + r n) = 1.012,39 Euro.

I

C0.r

C0.rC0

Cn

0 1 2 n t

M

rnCrnCCCM on 100

Montante

9

D

t

V

C0

Cn

0 1 2 n

rn

CCV n

10

Sconto

10

Regime di interesse semplice

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 5 10 15 20 25 30

t

V

r = 4 %

r = 6 %

r = 8 %

Sconto

11

12

Interesse composto: la determinazione del montante dopo n anni:

Dopo 1 anno: C1 = C0 + C0 r = C0 (1+r)

Dopo 2 anni: C2 = C1 + C1 r = C1 (1+r)

C2 = C0 (1+r) (1+r)

C2 = C0 q2

Quindi: Cn = C0 qn

C0 C1 C2 Cn.....

0 1 2 n....

13

Interesse composto: esempio

• A quanto ammonterà, tra 10 anni (n), il capitale di 1.000 Euro (C0) investito in titoli al saggio del 5%?

M = C0 qn

1.000 × 1,0510 = 1.629 Euro.

• Se l’interesse non fosse composto, cioè se gli interessi nonmaturassero altri interessi, il montante sarebbe inferiore:1.500 Euro.

I

C0

Cn

0 1 2 n t

M

Fig. 3

M = f ( t ) in regime di interesse composto

C0.r

m

Cm.r

nn rCC )1(0 n

n qCCM 0

Montante

14

D

C0

Cn

0 1 2 n t

V

Cn.d

m

Cm.d

n

nnn

nn qC

q

C

r

CCV

10

Sconto

15

Fig. 70 1 n

t

V

C = 1

M = C.(1+r.n)

M = C.( 1+r )nM = C.er.n

M

V = C.(1+r.n)-1

V = C.( 1+r )-n

V = C.e-r.n

confronto fra regimi di posticipazione M = f(t)e fra regimi di anticipazione V = f(t)

Confronto

16

17

Tasso Annuo Nominale e Tasso Annuo Effettivo

Interesse k TAN TAE

annuale 1 0,06 0,06000

semestrale 2 0,06 0,06090

trimestrale 4 0,06 0,06136

mensile 12 0,06 0,06168

giornaliero 365 0,06 0,06183

istantaneo + 0,06 0,06183

18

I (er.n

)

C0

C0.er.n

0 1 2 n t

M

Fig. 9

M = f ( t )

Confronto in regime di interesse composto

I

C0.qn

Confronto

19

D

C0

Cn

0 1 2 n t

V

Fig. 10V = f ( t )

Confronto in regime di interesse composto

D ( e-d.n

)

Confronto

20

21

Spostamento di capitali nel tempo

• Non è possibile addizionare, sottrarre o confrontare tra loro valori differiti nel tempo, se prima non sono riportati allo stesso momento.

• E’ necessario individuare le formule che consentono dianticipare o di posticipare ciascun valore.

• Un valore spostato nel futuro si trasforma in montante, spostatonel passato si trasforma in valore scontato.

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Periodi inferiori o uguali all’anno

• Coefficiente di posticipazione: (1 + r n)

• Coefficiente di anticipazione: 1/(1+rn)

Anticipo

1 / (1 + r n)

Posticipo

(1 + r n)C0

0 n

M

23

Esercizio

Il canone annuo del vostro appartamento è suddiviso indue rate anticipate di 6.000 Euro ciascuna. A quantoammonta l’affitto percepito dal proprietario, riferito a fineanno? Sia r = 5%.

Posticipo (1 + r n)

Ca = 6.000 × (1+ 0.05) + 6.000 (1+0.05 ×1/2) = 6.000 × 1.05 + 6.000 (1.025) = 12.450

0 6 mesi 12 mesi

6.000 6.000 0

24

Periodi superiori all’anno

• Coefficiente di posticipazione: qn

• Coefficiente di anticipazione: 1/qn

qn

Posticipo

1 / qn

Anticipo

C0 M

0 n

25

Esercizio

Comperate un nuovo computer che pagate in 2 rate da 2.000 Euro: la prima subito, la seconda fra due anni. Quanto costa il computer al momento attuale (r = 6 %) ?

Anticipo 1 / q2

2.000 + 2.000 × 1 / 1.06 2 = 3.780 Euro

2.000 0 2.000

0 1 2

26

Un milione di Euro tra n anni scontato ad oggi

Saggio 1 anno 2 anni 3 anni 10 anni 20 anni1% 990.099 980.296 970.590 905.287 819.544 2% 980.392 961.169 942.322 820.348 672.971 3% 970.874 942.596 915.142 744.094 553.676 4% 961.538 924.556 888.996 675.564 456.387 5% 952.381 907.029 863.838 613.913 376.889 6% 943.396 889.996 839.619 558.395 311.805 7% 934.579 873.439 816.298 508.349 258.419 8% 925.926 857.339 793.832 463.193 214.548 9% 917.431 841.680 772.183 422.411 178.431

10% 909.091 826.446 751.315 385.543 148.644

All’aumentare del tempo e/o del saggio diminuisce il valore

27

Valore e tasso di sconto

Valore attuale di 1 milione collocato tra vent'anni

-

200.000

400.000

600.000

800.000

1.000.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Saggio

Val

ore

attu

ale

RegimeMontante

M=f(t) per t(0,n)Scindibilità

Interesse semplice no

Interesse composto si

Finanziario istantaneod=r=cost

si

rnCCn 10

nn rCC 10

rnn eCC 0

Posticipazione di capitali

28

RegimeValore scontatoM=f(t) per t(0,n)

Scindibilità

Interesse semplice no

Interesse composto si

Finanziario istantaneod=r=cost

si

Anticipazione di capitali

rn

CC n

10

nn

r

CC

10

dnn eCC 0

29

30

Le annualità

• Le annualità (a) sono quelle prestazioni finanziarie che siverificano ad intervalli annuali.

• Le annualità sono classificate in:

– posticipate o anticipate, in base alla scadenza di ciascuna annualità, rispettivamente alla fine o all’inizio dell’anno;

– costanti o variabili, in base all’ammontare di ciascuna annualità;

– limitate o illimitate, in base alla durata complessiva della serie di prestazioni.

31

Annualità variabili e limitate

Gli strumenti disponibili: coefficienti di anticipazione e posticipazione. Le accumulazioni iniziale e finale assumono rispettivamente la forma:

• A0 = a0 + a1 / q + a2 / q2 + an / qn

• An = a0 × qn + a1 × q n-1 + .... + an

• A0 = An / qn

• An = A0 × qn

a0 a1 a2 ..... an

A0 An

32

Annualità costanti, posticipate, limitate

• Accumulazione finale:

• Accumulazione iniziale:

•Accumulazione intermedia: Am = A0 qm = An / qn-m

r

qaA

n

n

1

n

n

rq

qaA

10

a a .. a

0 1 2 .. n

A0An

33

Annualità costanti, anticipate, limitate

• Accumulazione finale:

• Accumulazione iniziale:

•Accumulazione intermedia: Am = A0 qm = An / qn-m

r

qaqA

n

n

1

n

n

rq

qaqA

10

a a a a

0 1 2 n-1 n

A0 An

34

Annualità costanti e illimitate

• Trattandosi di annualità illimitate:rrq

qn

n

n

11lim

r

aqA 0• Anticipate:

•Accumulazione intermedia: Am = A0 qm

r

aA 0• Posticipate:

a a ..

0 1 2 .. infinito

A0

C = 20

0 20 50 120 n

C

Fig. 14

C = 1 / r

C = qn-1/r.qn

Confronto fra: C = a / r e C = a.(qn-1)/(r.qn) per a = 1

10 100

C = 1 / r

C = qn-1/r.qn

C = 33,33

r = 0,03

70 90

r = 0,03

r = 0,05

r = 0,05

Annualità periodiche costanti illimitate

35

36

Le periodicità (o poliannualità)

Le periodicità o poliannualità (P) sono prestazioni finanziarie che si ripetono ad intervalli regolari (n),

multipli dell’anno.

P P ..... P

0 n 2n 3n tn

0

m n

Fig. 18

Annualità variabili

37

0 n

Fig. 20

2n (t-1)n tn

tn2nnm n+m

PP P

m n n+mn

h k h

Periodicità (Poliannualità)

38

39

Periodicità costanti, posticipate, limitate

• Accumulazione finale:

• Accumulazione iniziale:

1

1

n

tn

tn q

qPA

tnn

tn

qq

qPA

1

10

P P ..... P

0 n 2n ... tn

A0Atn

40

Periodicità costanti, anticipate, limitate

• Accumulazione finale:

• Accumulazione iniziale:

1

1

n

tnn

tn q

qPqA

tnn

tnn

qq

qPqA

1

10

P P P P

0 n 2n (t-1)n tn

A0 Atn

41

Periodicità costanti, posticipate, illimitate

Trattandosi di periodicità illimitate: 1

1

1

1lim

ntnn

tn

t qqq

q

• Posticipate:

• Anticipate:

•Accumulazione intermedia: Am = A0 qm

10

nq

PA

10

n

n

q

PqA

42

Trasformazione di periodicità (P) in annualità (a)

1

nq

rPa

P P ..... P

0 n 2n ... tn

43

Reintegrazione

La quota di reintegrazione (Qre) è quell’annualità costante e posticipata che viene accumulata per un certo numero di anni allo

scopo di costituire/rinnovare un capitale

EQ re 950.70795,0000.100105,1

05,010100

103

1)(

nfire q

rVVQ

Prevedendo di dover ristrutturare un fabbricato tra dieci anni,sostenendo una spesa di Euro 100.000, si vuol conoscere la sommaannua posticipata da accantonare al saggio del 5%.

44

Esercizio

Un immobile di civile abitazione richiede, per poter fornire un reddito costante, le seguenti spese periodiche :

a) spese per tinteggiatura ogni 5anni (15 €/mq);

b) spese per rinnovo impianti ogni 25 anni (150 €/mq);

c) spese per ristrutturazione interna ogni 80 anni (1000 €/mq).

Calcolare la quota annua relativa alle suddette spese.

11000

1150

115

80255

q

r

q

r

q

rQa

45

Ammortamento

La quota di ammortamento (Qam) è quell’annualità costante, posticipata e limitata che deve essere corrisposta per estinguere un

debito contratto inizialmente

1

n

n

iam q

rqDQ

La Qam può essere disaggregata in due distinte componenti:

quota capitale (Qc);

quota interessi (Qi).

46

Esercizio

Si costruisca il piano di ammortamento di un debito di E. 10.000 da estinguere in tre anni al saggio del 10%, con

rate annue, costanti e posticipate.

021.44021,0000.101

n

n

iam q

qrDQ

Anno Rata Quota capitale Quota interessi Debito estinto Debito residuo0 - - - - 10,0001 4,021 3,021 1,000 3,021 6,9792 4,021 3,323 698 6,344 3,6563 4,021 3,656 365 10,000 0

47

Esercizio A

61,689.4506,1

000.20

126

06,01

000.40

121

06,01

000.1120

A

La situazione finanziaria di un’impresa è la seguente:- 11.000 € da incassare fra un mese;- 40.000 € da versare fra sei mesi;- 20.000 € da restituire fra due anni.Assumendo un tasso di interesse pari al 6 % annuo, calcolare:- l’indebitamento totale all’attualità;- la rata semestrale posticipata che estingue il debito in sette anni.

Indebitamento:

48

Esercizio A

65,4044103,1

03,103,061,689.45

14

14

asQ

71.8186106,1

06,106,061,689.45

7

7

aaQ

Convertibilità semestrale:

Convertibilità annua:

71.818612

606,01

aaasas QQQ

86,403203,2

71.8186asQ

49

Esercizio B

53,1906,1

4

06,106,0

106,153

43

3

0

A

La costruzione di un complesso immobiliare richiede i seguenti esborsi:- 3 mln di € da versare subito;- 5 mln di € all’anno da versare per i prossimi 3 anni;- 4 mln di € da versare fra 4 anni.Assumendo un tasso di interesse pari al 6 %, calcolare la rata annua posticipata del mutuo decennale che finanzia la costruzione.

Fabbisogno finanziario:

Quota ammortamento:

65,2106,1

06,106,052,19

10

10

aQ

50

Esercizio CCompilare il piano di ammortamento triennale, con rate annue posticipate, di un

mutuo pari a 15.000€ al tasso di interesse del 4 %.

Quota ammortamento: 23,5405104,1

04,104,0000.15

3

3

aQ

Anno Qa Qi Qc De Dr0 15000,001 5405,23 600,00 4805,23 4805,23 10194,772 5405,23 407,79 4997,44 9802,67 5197,333 5405,23 207,89 5197,33 15000,00 0,00

51

Esercizio D

La manutenzione di un fabbricato richiede le seguenti spese:- 2000 € ogni 4 anni;- 100 € ogni 6 mesi;- 6000€ ogni 10 anni.

Assumendo un tasso di interesse pari al 10 %, calcolare la quota di manutenzione annua.

Quota manutenzione:

41,101211,1

1,0000.6

12

61,01100100

11,1

1,02000

104

mQ

52

Alcuni saggi di uso comune

• Saggio interesse (r): Prezzi d’uso (costo) dei capitali (posticipazione)

• Saggio di sconto (d): Costo dell’anticipazione di un capitale (d=r/(1+r)

• Saggio di capitalizzazione: Rapporto fra reddito e valore di un bene

• Saggio di interesse legale (rl): Saggio fissato per norma con cui si regolano i rapporti (debiti/crediti) fra cittadino e pubblica amministrazione (sl= Inflazione + Rendimento medio titoli di stato (BOT) a 12 mesi

• Tasso ufficiale di riferimento (TUR): Tasso al quale la BCE finanzia le banche per le operazioni principali

• EURIBOR: European Interbank Offered Rate, tasso di rifinanziamento interbancario a

• breve, riferimento per i tassi praticati nei mutui a tasso variabile

• IRS: Interest Rate Swap, tasso di riferimento nei mutui a tasso fisso