I

I

I,

! i

I, '

!I '

r-! : 1 1

JGG.-

RICHIAMI DI MATEMATICA

FINANZIARIA

La matematica finanziaria è una applicazione

della matematica alle studio delle operazioni finan-

ziarie.ln particolare questa parte della matematica

applicata rig;uard,a •

le operazioni di prestito e di sconto

le valutaziopi delle rendite

la co st i tuz ione di un capitale

- le operazioni di rim"llorsCil,diun prestito

la valutazione dei prestiti

- le 0p!'lrçl.zioni di leasing

- l' indicizzazionedel:J,e operazioni finanziarie.

Nel:J,'çl.IlI3.1;if;l;i econ()mica,dei progetti si appli-,-.,' .

cano i principi della matematiça finanziaria poiçhè

essi consentonCil d;i calcolape lçl. v(l.r;i,abili-tÌl nel tempa

del valore del denar@ in flJIlZ;!.one di un interesse pre-J

f::tssato. I calcoli p0Ss0nQ essere effettuati sia con

le, tavo],e lCil!;'ari tmiche, sia can quelle finanz iarie

oppure facendo ricarsG ad un calcolçl.t@re ta,J3cabile

sc i •• tiiiclt CTS. In propo sito è da ri,levare Giuante

segue :

a) l'uso delle tavole logaritmiche è sempre possi-

bile, mentre quello delle tavole finanziarie non

sempre lo è.

1J) In Cilgni caso l'uso di dette tavole molto spesso

richiede ilricQrsll, çl.ll' interpolazione lineare.

c) il ricorso al CTS, sempre p09si1ilile, rapPre!;leIlta

,cert(lJllente la viapill cOmoda e rapida.

e---'

DEFINIZIONI E FORIVIULE (o)

Il taSsCil d'interesse semplice.

;!:lmon-tante

367.-

Il tassCil di interesse semplice è il compenso che

il demitore deve ,pagare al creditore per l,',uso,fa,t-:-

to del capitale prestatogli per un determinat0 perio-

do di tempo. In partico;t,ar~ stdiçe -t

è come dire che l'unità di cB:pi tale è, la lira e la y'-;J

unità di temp0 l'anno civJ1E;l o~' anl}CIl commerciale.

L'interesse i è dunque p~p(llrzionaJ,e al capitale in-. . -~. - .~. ~ vestito ed al tempo necessario al suo recuper@ in ba-

S!3 ad"un coefficiente di proporzionalità i, per cu;j.,

se indichiamO con

I l' interesse maturato sul capitale P impiegato per

n PElriod:ii

p il capitale investito al tempo ° (zer@) i il taSSQ annuo unitario (per unità di capitale e

per unità di tempCil)

n la durata o periodo dell' invest iment0 o del presti tCll

si ha I = P i n Si ha dunque l'interesse semplice quand@ l'inte-

resse è proporzionale al capitale ed al tempo.L'in-

teresse maturato sul capitale investito rappresente-.. -"" ~', _. ' . -- - -,' :-.-.

(o) _ Si utilizzano in parte i simmsli riportati nel-l'opera di F.J. STERMOLE (I982)

".- c'" '

li !'

! i

368.-

rebllre per l'investitore un premio per aver rinun-

ci,a1:;1iI !l-d ~Jli~i!are diversamentE1cc:).l denarG,per il

rischÌ!\l chettale rinuncia CQmP0rta. e per il mancata • , 0,0.

guada~na che poteva derivar~li dalla possibilità di

investimenti alternativi.

Nelle operazioni d'investimento si presenta,

oltre al problema della determinazione dell' interes-

se, anche quella del montante F (O) che è costituito

dalla somma del capitale investitI!> P e degli interes-

si maturati I, cioè F = P + I e tenuto conto della equazione I = P i n si avrà F= P + P i n = P(I + in)

che rappresenta il montante o capitale finale di un

investimento in regime di interesse semplice.

L'interesse e quindi il montante., può essere

calcolato secondo diverse modalità

montante ad interesse semplice

- montante ad interesse composto Il fattore ( I + in ) prende il nome di fattore di

montante ad interesse sem}21ice , essa esprime. il montante ad fulteresse semplice di una lira al tasso

per il tempo n.Infatti da F = P (I + in) posto P =1

F = I + in. Quindi per ottenere il montante del capi-tale P al taSSG i, per il tempo n, occorre moltipli-

i

care il capitale P per il fattore di montante (I + in) •

Affinchè la relazione }

a)

L

369.

maturato dopo 8 mesi di una somma iniziale di 4 milio-

ni di lire depositata ad un tasso di interesse del 3%

bimestrale si dovrà riferire il tempo n al bimestre,

cioè ad un'unità di.misura coerente con la periodici-

tà del tasso. Il mont~te dopo 4 bimestri sarà pert~-

te .: -

F(4) = 4.106

(1 + 0,03 .4) = 4,48 milioni di lire

Volendo invece calcolare l'interesse semplice su un

capitale iniziale di 130 milioni di lire per la dura-

ta di due anni al tasso del 7 % (0,07) avremo 6

1=130.10 .0,07.2 = 18,2111ilioni di lire.

Dato l'interesse il mont~te F(2) dopo due anni

sarà 6

= 130 • IO + 18,2 106 = 148,2 milioni di lire

oppure non avendo calcolato l'interesse maturato I

si avrà, direttamente :

F(2) = 130 • 106

(I + 0,07 .2) = 148,2 milioni di lire

Risoluzione di problemi inversi

Dalla I = F i n si possono ricavare le seguenti formule di risoluzione di problemi inversi

1" = l/in n = I/Fi ed i = I/Pn Si tratta delle formule che permettono di risolvere

rispettivamente i seguenti problemi inversi :

calcolo del capitale P quando siano noti I, i ed n.

calcolo della durata n quando siano noti I, P ed i.

- calcolo del tasso i quando siano noti I, P ed n.

Inol t.I;/l dalla formula F = P (I + in) del mon-

tante si ottengono, essendo note tre delle guattro

variabili

1" = F / I + in (Capitale) n = F - P /Fi (Numero di periodi)

ed i = F - p / Pn (Tasso di interesse)

370.-F

e dalla in = - I ,si ha anche

La capitalizzazione degli interessi

Il tasso di interesse composto

i =

F 1"

- I

m

SidJ~"j;ingu()no d~'i!ll,El. due regimi di capi talizza-

zione :

il regime di capitalizzazione semplice ed

il regime di c/l.pi talizzazione composta

Nel regilne di capitalizzazione semplice gli in-

. teressi matur.&t:i, .. alla fine di ogni p~riodo unitario

di tempo (l'anno, il semestre, il trilnestre) resta-

no infruttiferi, cioè non vengono aggiunti al capita-

le che li ha generati per produrre nu,ovi interessi.

Ne regi1lle. di capitaliz.zazione composta invece

,gli interessi maturati alla fine di ogni periodo

unitario (per es. l'anno, il.semestr,e, Jl mese,ecc·)

non yengonoIRgati ma vanno ag~iunti al capitale che

li ha generati.In tal modo gli interessi diventano

. essi stessi capitale e come capitale producono essi

stessi nuovi interessi nei periodi successivi di

tempo •.

In sintesi con ~uesto regime di capitalizzazio-

ne composta il capitale aumenta ad ogni periodo uni-

tario di tempe per.~:f'f'.ettodegl i intere Slèi m,aturat i

nel periodo stesso.

La capitalizzazione può dun~ue essere annua o

frazionata (ossia periodica).lù}pua quando gli inte-

ressi vepgono capitaJ,izzati annualmente, frazionata

(o periodica) quando .il periodo. d~,J,la capit,alizzazio-

ne .è. inferiore .all'annQ (mensile, tri1llestrale, seme-:-

strale) •

VALORE

ATT UA LE

F

EVOLUZIONE DELL'INTERESSE

COMPOSTO .. -::"::j p (1-+ i )3

", ... , ....... . ...... . . ... , p(1+ . . "......... I

o •• s.s·.· •••

- -- /P(1+i) ..• 1° 2° I o I 3

P I I A ~ o I AnpnO I A~nO I ecc

p

I N T E RE S S 1M A T U R A T I

ANNUALMENTE

Fig80 - Incremento della somma originaria Rer mezzo del tasso di i nteresse composto.

-o

:, -j

371.

Infatti il montante ,il valore di una determi-

nata sOlllllla ad un certomoment9del fl1.turG, (O)F(I)

del capitale F alla fine del primo anno al tasso i

èE(I) = l? (1+ 1.1) =.1' (I+i) . (Fig. 80)

Il montante F(2) al:l:a.fine del secondo anna,

sempre al. tasso i, si calcola, per effetto della

capitalizzazione degli interessi, su E(I) (e non

su P),e sa~ dato dalla

F(2) :;F(I) (I +1-1) = P (I + i) (I + i) = P (I + i)2

Il montante F(3),alla fine del terzo anno, sempre al

tasso.i, si calcola ,per effetto della capitalizza-

z ione degli interessi, su F( 2) e.ql1.indi si ha

FO )·=l!\2) (1+1.1) =1" (I+i)2(I+i) _p (1+ i)3

e così procedendo dopo n anni si ottiene l'equazione

F = P (I + i)n,Se la durata è frazionata la formula

per il calcolo del mo:p.tante diventaF. = P (I + i) t

dove t indica. una generica durata, inte1:'a o f1:'azionata.

SE;l la dlJ.r'l,ta è. fraz ionata si pone t= n + jj' ove

O ~. fl ~ I e ricordando che F :; P (I + i) t avremo F = P CI + i)n+f = p (I +i)n (I + i)f,A volte si

applica la formula F. = (I + i)n ( 1+ if).

1'oichè il fattore (I + i)f è lunzione esponenziale

di f ed il fattore (I + if) è funzione lineare di f,

si parla di ca:l.colo del montante con formula esponen-

ziale e di calcCllCl del montante con formula lineare.

-Poich~ il processo diyalutazione degli inves1Ji-

menti è un processo a lungo termine si opera unica-

(O) Esempi0.-se un capitale di 500.000 lire è stato investito per un periodo di5 anni al tasso di interesse cOmjJosto del 6 %,

.1a somma di lire 669.112 sarà il mon-tante di 500 .000 lire per· 5 anni al tasso d'interesse composto del 6 %.

372.-

mente in regime di capitalizzazione ad interesse

c cnnp o sto.

Esempi.- Supponiamo di aver impiegato un capitale di

5 milioni di lire per 12 anni e 3 mesi al tasso del

6% (0,06) E.ssendo P = 5.000.000 t = 12 + 3/12 i = 0,06 ed f = 3/12 applicando la formula

F = 1" (I . )n +~ (I + if) avreme 12

= 5.000.000 (I + 0,06) (I + 0,06. 3/12)

= 5.000.000 . 2,012I9 .1,015 = 10.21I.864 lire

Nel caso di un capitale iniz.iale di due milieni

di lire ed un tasso del IO % annuo, gli interessi maturati alla fine del primo anno daranno un montante

F(I) = 2.000.000 (I + o,ro . I) = 2,2 milioni di lire

Nel caso di capitalizzazione composta alla fine

del secondo anno gli interessi maturati daranno luo-

go al seguente montante :

I) = 2.200.000 • I, I

cioè F(2) = 2.420.000 lire

Fattore di montante ad interesse compostQ annU(l) o

fattore di capi taliz zazione

La relazione F· = P (I + i)n si può scrivere anche più semplicemente

dove

F=P. F. ~,n

F = Capitale finale " montante dopo n periodi p = Capitale investito al tempo O (Capitale iniziale) i = Tass0 di interesse del period@ n = Durata dell' investimento F. = Fattore di montante ad interesse composto an-~,n

nu@ Q fattore di capitalizzazione che rappresen-

ta il capitale finale di una lira disponibile.

i --

e

re

e)

en-

373.-

dopo n periodi ed impiegata ad un tasso annue

di interesse i.

Infatti dalla F = ]'l (I + i)n j posto P = I , F = (I + i)n,

Ne deriva che per ottenere il montante ad interesse

composto annuo del capitale P, al tasso i e per il

tempo n, basta moltiplicare il capitale ]'l per il fat-

l ( I ]..)n d .tore di capita izzazione + o fattore i mon-

tante ad interesse composto.

Esempio.- Si supponga di aver depositato in una banca

2 milioni di lire al tasso annuo dell' 8 % e di voler conoscere l' i2llDlontare, del capita:Lt:l finale dopo 5 anni.

Applicando direttamente la formula F = P (I +i)n

avremo : 5 = 2.000.000 (I + 0,08) = 2.000.000 • 1,469

= 2.938.~56 lire

Una somma di 25 milioni di lire è stata investi-

ta ad un tasso di interesse dell' 8 % (0,08) per un periodo di 5 anni.Essendo .. P = 25.10

6 , n=5 ed i=0,08

alla fine del 5° anno il montante E (5) sarà

6 5 6 = 25.10 (I + 0,08) = 25.10 • 1,4693

= 36,73 milioni di lire.

Allorchè la capitalizzazione degli interessi si

riferisce ad un periodo Ìla13e _frazi.one del.p,e;r-iodl1l di ",' '

investimento, cioè nel casO. in cui le unità di tempo

del periodo considerato e del tasso .di interesse non

coincidono, si avrà la relazione seguente : . sn

J!' = l' ( I + ---l....... ); s . dove s = numero di sottoperiodi nell'amÌlito dell'anno

i = tasso di interesse annuo

n = durata in anni.

I.L.. -------------

J74.-

Esempia.- Si supponga di aver depositato in una 'aanca

1a.s0mma di IO milioni di lire per 5 anni al tass0

annuo .. dell' 8 % con capitalizzazione trimestrale. Si vuol conoscere l'ammontare del capita1~ disponibile

alla fine del terzo anno di deposita. Ayremo dunque

F (3 ) = 10.000.000 (1'1' 04-0 8 ) 4. 3

F(3)= 10.000.000 • 1;268 = 12.680.000 lire

Quindi alla fine del terze anno, dopo 12 periodi

di capitalizzazione, si potrà disporre di un capitale

di 12,68 milioni di li:i;e.

Calcolo dell' interesse maturato

Noto il montante F =1' (I + i)n , I sarà dato

dalla espressione seguente:

1= F - P = P (I + i)!l_!, = F [O + i)n - I] Esempio.- Se P = I l'interesse maturat0 I dopo 7 anni, . al tasso di interesse annU0 del 6 %, sarà

I = I (1,067 - I) =0,~3630 ed il montante F = P + I = I + 0,503 630 per cui

F = I,~J630.

Risoluzione dei problemi inversi

Ana10gaJl).ente al caso del regime di capitalizza-

zione.[lemp1:\-ce anche nel C;;IS0 (iel1!J,_c§lpii;alizglazione

.ad interesse comp

3712. -

(Vedi Appendice Tav. 66 e 67) o ad un calcolat9re

tascabile scientifico (CTS). .. ,. - " -- .. _., Determinazione del capitale F

Noti, che siano F, n ed i dalla equazione F = F( I + i)n

si ha F = . F = F (I + i)-n e ricorrendm 'ct:iP'+ il) n

al calcelo lo,garitmic0 Lo .. F == Leg F - n, • Log (,I + i)

Determinazione della durata n

Noti che siano F, F ed i dalla F = F (I + i)n si ha ricorrendo ai logaritmi :

n =

Log F = Log F + n Log (I + i) Log F - Lo,g P

Log (I +i) oppure

che fornisce il numero dei periodi. Log (I + i)

Determinazione del tasso di interesse i

Noti che, siano F, P ed n dalla F. = P (I + i)n si ha ricorrendo .. ai logaritmi:

Log F = Lo .. P +_JL.lJOg (I + i) dalla liJuale

Leg F - LogP. Lo .. (I '1'- i) :=

n Da questa espressione, per determinare il tasso i,

occorre prima risalire all'antilogaritmo (I + i) e

quindi sottrarre I oppure

i =(

Tassi equivalenti

F P

l/n ) I

Censideriamo il caso in cui le unità di tempo

del periodo di investimento e del tasso d' interesse

non siano concordi.In tal casO si dovrà agire sulla

unità di tempo e sul tassO. Importante per la trasfor-

mazione è la seguente definizione.Il tasso di inte-

resse i( s) con periodicità s (per esempio . .semestrale)

è equivalente al tasso i(n) con periodicità n (per

esempie se annuale = I) quando a parità di tempo (di periodo di investimento) e capitale investito,

376.-

danno origine allo stesso montante .•

Avrelllo dunque per definiz ione . . [I i( S)] s [ I + i(n)l

11:

F(I) = F· + - F assia

[I + jj(.s~s = [I + i(n)] n per cui [ I +

n/s i(s) = i(n) J - I eppure

[I

s/n i(n) = + i(S)] - I

Esempio.- Un deposito di 200 milioni di lire per un

anno è re .. olato ad un tasso di intere·sse semestrale

i(s) = 5% (O,05j.Sivuol calcolare il montante riportando l'unità di misura temporale dell'investi-

mento da annuale a semestrale.Dalla formula

[ I i( s)] s

F = P + in cui s = 2 si avrà

F(I) 3)0 • IO 6 (I + 0, ° 5) 2 = 220,5 milioni di lire Inoltt€ volendo trasformare il tasso di interes-

se da semestrale in annuale dalla relazione

i(n) = avremo :

sin i(S)] - I con s = 2 ed n = I

i(I) = ( 1+ 0,05 )2 - I = 1,1025 - 1=0,1025

Infine per oytenere il

dalla F = P CI + i)n

montante cercato si avrà

6 IO (I + 3)0 0,1025) = 220,5 milioni di lire

+ + + + + +

I -

re

377 .-

Valore attuale

Il valore attuale, 0 "Present Value~ , p è il

valore di una somma al tempo zero.Nel caso di un pro-

getto di investimento il tempo zero può corrisponde-

re alla data del progetto o alla data d'inizio della

produzione regolare o alla data dei primi es~orsi del

capitale investito.

Questo valore che agev@lmente si ricava dalle

tavole finanziarie (Vedi Appendice Tav'; 66 e 67) può

essere calcolato anche rapidamente in base alla rela-

tiva formula matematica.

Si definisce dun

,

"

" 'l' l,

l" iii,!

! i

Il!

ii , I "I l'

Ili

Il, 'I

,

,,:1

l,

'i

378.-

Operazioni di sconto e valore attuale

Si ha un'operazione di sconto ogni qualvolta si

realizza l'anticipato pagamento di una determinata

somma (de~ito) che scade nel futuro.

L'anticipato pagamento del demito viene premia-

to con un cOmpenso che prende nOme di sconto.

Viene definito valore attuale (o somma scontata)

la differenza tra ilçapitale dov:u,to alla scade:t;lza F

e lo sconto S che viene corrisposto come compenso per

l' antic ipato pagamento. Indicando con ]l' il valore at-

tuale e con S lo sconto avremo P == F - S.

Il valore attuale può essere calcoltato secon-

do diverse modalità :

- valore attuale con sconto com~erciale

- valore attuale con sconto semplice (o razionale)

- valore attuale con sconto composto.

Sconto commerciale. Si ha lo sconto commerciale quando

lo sconto è proporzionale al capitale ed al telllpGl di

anticipazione. Indicando con F il valore nominale,con

i il tasso annuo unitario e con n il tempo di antici-

pazione si ha S == F. i n.

Data laproporzionalità dello sconte al capita-

le ed al tempo di anticipazione si ha che se i è il

compenso su una. lira il cui pagamento viene anticipa-

to di Un annCl, all"ra F i è il compenso .su F lire

il cui pagamento viene anticipato di un anno e F i n

è il compense .su F lire il cui pagamento viene anti-

cipato di n anni. Si ha sUÌlito P == F - S == F - F i n

ossia P . == F (I - in). Il fattore (I - in) prende il

nome di fattore di Guonto commerciale,esso esprta.

.il valore attuale con sconto commerciale di una lira

che scade al tempo n.

! I

L

3i

La-

Ga)

F

Jer

ln-

Ido

~i-

L

Ja-

n

L-

n

ra

37Y.-

Infatti P = F (I - in), posto F = I si ha

F = I - in.Ne deriva che per calcolare il valore at-

tuale. con sconto commerciale del capital,e F occorre

moltiplicare il capitale R. per il fattore di scont(l)

(I -in).Lo sco:(rt(l cO;mmercialesi calcola, di solito,

per operaziGmi a Jllr.eve scadenza, In merito alla dura-

w;n di anticipazione e per quanto riguarda i proble-

mi inversi si può ripetere quanto già detto a propo-.. . -si t0 dell' interesse semplice •

Esempio.- Calcolare il valore attuale con sconto

commerciale al tasso del 5,25 % del capitale di 300.000 lire che scade fra I. anno e 6 mesi. Essende

F = 300.000. n = I + .6/12 ed i 0,0525 si ha

S = 300.000 • 0,0525 (L+ 6/12) = 23.625 lire

quindi F = F - S - 300.000 - 23.625 = 276.375 lire.

SConto semplice. Il valore attuale, calcolato con scon-

to sempilice (o razionale) del capitale F per il tem-

po n al tasso isi .. O.t1;.iene applicando la seguente

fOililula F

F = I+in lo sconto semplice è ',~uindi dato da

S=F-P=l'-F _..::...._- =

cioè S = F i n I + in

I + in F + Fin - F

I + in

Esempio.Calcolare il valore attuale con sconto sem-

plice, al tasso del 5,25 % per 3 anni del capitale di lire 350.000. Essendo F= 350.000, n= 3 ed i=0,0525

si ottiene

p 350 .000 lire 1+0,0525.3 =

350 .000 IlO. 847,18 lire = 3,1575

380.-

Sconto composte.Il valore attuale, calcolato con scon-

to composto, del capitale F, per il tempo n ed al tas-

so i, si ottiene applicando la seguente formula :

F =F ( I + i)-:n

cioè F = F CI + i)n

per lo sconto si ha.

Il fattore (I + i)-n

s= F - F (I + i)-n = F [ I

prende il nome di fattore

-nl - (I + i) J

,I ,

di

sconto composto, esso esprime il valore attuale con

sconto composto di una lira che scade al telllpo n.lnfatti

dalla P = F (I + i)-n posto F = I avremo P = (I + i)-n

Ne deriva che per calcolare il valore attuale con scon-

to composto del capitale F occorre moltiplicare il ca-

pitale F per il fattore di sconto (I + i)-n o

I •

I ' (I + i)n

!il

! ~ Esempio. Calcolare il val@re attuale al tasso del ,

~ !

,I I I

I ,

i

l,!

I; !I,

l" '

i; I, 'I ",

6,55 % (0,0655) del capitale di lire 1.560.000 che scade fra 8

i = 0,0655

anni. Essendo F= 1.560.000, n = 8 -8

sarà 1" = 1.560.000 (I + 0,0655)

ed

quindi p = 1.560.000 .0,60196 = 939.057,60 lire

L El R e n d i t e

Per rendita o annualità si intende un insieme

di prestazioni aventi scadenze diverse.Le singole

prestazioni della rendita prendono il nOllle di rate o

anche di "termini della rendita".

Le rendite. possonCl) derivare da circostanze al-

quanto diverse, quando si vuole accantonare (o ver-

sare) periodicamente una certa somma di denaro (rata)

per costituire (Od estinguere) un determinato capita-

le (debito) dopo un determinato periodo di tempo.ln

altri termini la rendita o annualità è una serie di

381.-

capitali (rate) da pagare (o da riscuotere) a deter-

.minate scadenze.

Prima di procedere alla presentazione delle for-

mule che permettono la valutazione delle rendite è

opportuno 1!ntrodurre alcune fondamentali classifica-

zioni ~elle stesse.

Classificazione secondo la peri@dicità

La rendita è detta periodica quando l'intervallo

di tempo che intercorre tra ciascuna scadenza e la

successiva è costante. Tale intervallo costante di tem-

po prende il nome di periodo.Facendo riferimento al

periodo le rendite si distinguono i :

l. Rendite annue o annualità quando il periodo è part

. ad un annO; le rate scadono di anno in anno.

- Rendite frazionate di freguenzaf,In questo caso

il periodo è uguale ad I/f di anno, le rate scadone

ogni I/f di anno.Nel corso dell'ann0 .. scadono frate •

. - Rendite poliennali quando il periodo è uguale ad un

certo numero di .. ~,i, per esempi€> n anni. Le rate sca-

dono ogni n anni.

- Renditf3 anticipate son0 ,!uelle per le quali, per

ciascun periodo, la rata di competenza del periodo è

esi6l;ibile (o pagai'lile) all' inizio del periodo stess€>.

- Rendite posticipate quando la scadenza di ciascupa

rata cade alla fine di ogni periodo dip~gamento.

Classificazione secondo la durata

eSi o. ist inguono .: ... - Rendite limitate o temporanee sono "luelle che hanno

un numero finito di rate.

- Rendite illimitate o perpetue sono ~uelle rendite

che hanml un numero illimitato di rate.

, , ,

,I:

! '

,I ,

l' ,: I

Il! ,

"l" " :

Il' 'l'' ' -il'l

.lil

382.-

Classificazione secondo la decorrenza

La decorrenza di una rendita è la data a partire

dalla quale decmrronm le prestazioni. Si distinguono :

- Rendite immediate anticip,ate la cui prima rata sca-

de immediatamente all' inizio del primo periodCll ad ini-

ziare dall'istante sta'eiJ,:j,to.,

- Rendite immediate postic ipate la cui prima rata sca-

de ,fra un periodo, oS,$ia alla fine del primo periodo

ad iniziare dall' istante stabilito.

- Rendite dif,feri te diV peJ:'iodi ed anticipatela cui

pr:i..ma rata scade fra p pe:r:iqdi,(contati a partire da

oggi) •

- Rendite differite di p periodi e posticipate sono

tali le rendite la cui prima rata scade fra p + I

p(lriod,i (contati da oggi).

Une. rendii;a differita di p periodi ed anticipata

può essere considerata come una rendita differita di

p - I periodi e posticipata.

Formule di conversione

Data l'equivalenza tra il valmre attuale F, il

montante F e 1;J. rendita ,A è evidente che nO,te due delle

tre variabili si potrà ,ottenere la rimanente.

Montante di rendite annue a;, rate costanti

Inizialmente prendiamo ;in considerazione rendite

annue costanti ed unitarie, mentre successivamente cClln-

sidererelllo il caso di rendite annue le cui rate sono

costanti di importo A.

Montante di una rendita annua unitaria posticipata

e di una rendita annua posticipata a rate non unitarie

SUpponia.Jllo d1lll,'ille dapprima che la .rendita sia co-

stituita da n rate unitarie.

I ----

'e

:

,-

.i-

a-

a

lle

e

I!ln-

'ie

383.-

Il calc010 in n del montante della rendita è

uguale, alla somma dei montanti in n delle singole ra-

te.La prima rata è impiegat~ da I ad n ed il sue m0n-

tante è fn-I, la seconda rata è impiegata da 2 adn

ed il BUO montante è n'i-2

f , .... , la penultima r~ ta è impiegata da n - I ad n ed il suo montante è f,

l'ultima rata infine non frutta interessi ed il suo

montante è I.Indicando il montante della rendita

con S.,. (si legge S figurato n al tasso i) si ot-n,~

tiene :

n-,I n-2 n-3 2 S C1' = f + f + f + ••• + f + f + I n,~

invertendo l'ordine degli addendi si scrive

2 Snl i = I + :Il + f + ••• + f

n- 3 n-2 n-I + f + f

Quest' ultima è la somma di n termini variahili in

progressione geometrica di primo termine I e ragio-

ne f = I + i. Quindi si ha (I + i)n - I cioè (I + i)n Sil· = (I i) Snli = n ~ + - I i

che ,

dungue il montante, calcolato all'atto in cui e

-

scade l'ultima rata ed al tasso i, di una rendita

annua posticipata che ha n rate unitarie.Ovviamente

se le rate non sono unitarie ma di A lire all'anno

allora per ottenere il montante F della rendità basta

moltiplicare A per S . ossia moltiplicare A per il nl~

fattore di capitalizzazione della rendita o annuali-

tà. Si ha cioè

F = A.S_.= nl~

A n

( I + il i

I

I

384.-

Esempi@.- Sia data una rendita costante A di 2 milio~

ni di lire, posticipata (con accantonamento delle ra-

te a fine anno) della durata di IO anni (n = IO) im-

piegata ad un tass~ dell'8 % (i = 0,08) , dalla for-mula :

si ha

FIO,S= 2.000.000. IÒ~g~9 = 2.000.000.14,48

FIO 8 = 28,96 milioni di lire, per cui alla fine del , periodo di investimento si potrà disporre di 28,96

milioni di lire.

Montante di una rendita annua unitaria anticipata e

di una rendita annua anticipata a rate non unitarie

La rendita sia costituita inizialmente da n

rate unitarie. Il montante viene indicato col sim-

I bolo S,." (che si legge S anticipato, figurato n 'I n.l

al tasso i).Precisamente si ha :

"

1.1 __ fn + fn- I n- 2 2 , + f + •••• + f + f che si puo

scrivere anche

f n ... 2 fn-3 + + + .... + f + I). f ed essende

:1 I l'! ' n-I n-2 n-3

= f + f + f + •••• + f + I

I I. ed f = I + i si avrà ! !

"

, '

i i' ,II I

S-" = S- .• (I + i) e ricordando che n l nll

i (I + i)

Si può pertanto affermare che il montante della ren-

dita unitaria anticipata si ottiene moltiplicando

per (I + i) il montante della rendita annua unitaria

posticipata e di uguale durata.

Se invece le rate anzicchè essere unitarie sono

di A lire all' anno, allora per ottenere il montante

della rendita basta moltiplicare A per S _. ed avre-n'l.

mo

F = =

Consideriamo ora il prodotto

S nì i (l + i) = Snì i esso può così essere

trasformato

(l + i) (l + i}n - l (l + i) Snl i = Snìi = i

-. (l + . )n+i (l i) (l i}n+l_ I l. - + + S :l. = = -n l. i i

cioè posto Sn+l l i (l + i)n+l_ l

= i ..

si ha 3 = S - l n'i n+ll i -.

per ottenere il valore di S._,. basta leggere nella n l.

l

tavola finanz iaria il valore di S _. in co rrisponden-n'l.

za della riga n+l e sottrarre da esso l;

Esempi. - 3i ha :

.. S26ì 0,08 = 32010,08 • 1,08 =

ossia

S26l 0,08 = 45,7612

3e invece si ha .. 3 2ÒlO,08 = 32110 ,08 -

I =

33jl 0,08 4 z033833 l = 0,08 - =

(l + 0,08)20 - l 0,08

(1+ Oz08}21 - l 0,08

49,42291 oppure

• 1,08

- I

20

32010,08 = 33)"10,08 (l + 0,08 ) = (l + 0z08) -l

(I + 0,08) 0,08

3201 0 08 3 z 660957 1,08 = 49,42292 = 0,08 • ,

" ' !

I ,,' 'II. i.li

III

: !

I, :: i

r l,i 1':1 ii, , '

I ,I I

I i 1

386.-

Riprendendo l'esempio precedente si consideri

ora una rendita costante A di 2 milioni di lire anti-

cipata (le rate essendo accantonate all'inizio e non

alla fine di ogni anno) per IO anni ad un tasso del-

l' 8 % (i = 0,08).Desiderando conoscere il montante della rendita anticipata avremo :

FIO 8 = 28.960.000 • 1,08 = 31,2768 milioni di lire , Pertanto con un accantonamento anticipato si

avranno a disposizione 31,27 milioni di lire, cioè

2,31 milioni di lire in più rispetto al caso prece-

dente della rendita posticipata.

Riso.luzione dei problemi inversi

Determinazione della rata noto il montante della

rendita posticipata

Dalla F = A Snì i = A (I + i) n _ I

i

noti che siano F, n ed i si ha

A = F =

sarà A =

F I

F ."'_. nll

il reciproco di S _. e nll

la I

=

e posto I

= G' nl i

c io è 6' il. è algebricamente n 1

sarà dunque espresso anche dal-

i

{I + i)n_ I (5' rlI i

i pertanto noto il montante l' importo della rata di una

rendita periodica costante, costituita da n rate,posti-

cipate, non unitarie, al tasso di interesse annuo i

sarà dato dalla

3.1-

una

sti-

387.-

Osservazioni. 6" nli ha un preciso significate finan-ziariCl (costituzione di un capitale).

Se con S indichiamo il capitale che si vuel

costituire., con A la somma da versare annualm.e.nte

(rata) deve essere A 'O. Sn1 i = S , cioè la fDlIIlIla A da versare annualmente deve essere tale che il montan-

te, ,calcolato all' atto dell' ultimo versamento ed ,al

tasso i, della rendita costituita da n rate, ciascu-

na di importo A sia uguale alla sOlllma S ch,g si vuoI

cost.ituire. Si ha quindi

I

posto S = I si ha

c io è A = S • 6' 1. n ).

(5' il. . Ciò vuoI dire che n ). 5' nl i rappresenta la somma costante da versare

annualmente, per n anni, posticipatamente, per co-

sti tuire, al tasso i, la somma di una lira,all' atto

dell' ultimo versamento. Quindi @"" n. i è il termine

di costituzione posticipata, in n anni al tasso i,

del capitale unitario.

Eselllpio.- Si voglia costituire un capitale di 100

miliardi in IO anni versando rate annuali costanti

posticipate. Tenuto conto di un tasso di mercato del

5% (i = 0,05) annuale, si vuoI determinare la rata

annuale necessaria a costituire detto capitale.Dalla

E [ i (I + i)n

A = avrellHi)

O ,0 5 A = 100 • -l,O 5

10 - I

= 7,95 miliardi

Si dovranno effettuare versamenti annuali di 7,95

miliardi di lire per avere al termine di IO anni

la SOmma di 100 miliardi.

.1

li

li

II·' :'1 Il' . "

,. l,

il i:1 l,Ii

'I

"I ,

I· i

,

l'i

'l'i I i ~ I

,

I j'

i

388.-

Determinazione del tasso n~to il montante della rendita

post ic ipata

. Nell' ipotesi di conoscere il montante della

rendita periodica costante, costituita da n rate

p0sticipate d' importo A è poss;i.bile dete:rminare

utilizzando la fo:rmula i ,] A - F (I + i)n ~ - ,

il tasso di interesse i

i = ~ [(I + i)n - IJ att'averso un procedimento i terat ivo, in base al

quale il tasso di interesse i può essere determinato

mediante successivi tentativi (come v~drelno in segui-

tonel caso del tasso interno di rendimento TIR).

Oppure dalla F = A • Snli

ricordando che E A

si ha F Sn' i = --=-A-

Si cerCa sulla tavola finanziaria, in corrispondenza

della durata. n il valore F/A.Se il valore non si leg-

ge direttamente sulla tavola si procederà per inter-

polazione fra i valori del tasso.

Determinazione del numero delle rate (durata della

rendita) noto iJ,IDontante della rendita posticipata

Si devono distinguere due Casi a seconda che il

tasso sia indicato sulla tavola o meno.

A) Il tasso è indiCato sulla tavola.ln tal caso dalla

F = A [--'(:...:I:....+.:.......;~~· )_n_----....:I=--J

noti che sian~ E, A ed i si ha

.-

lita

L-

l

la

F = --'::.....-A =

(I + i)n _ I i

389.-

allera sulle tavole di Snl i' in corrispondenza del

tasse i, si cerca il valore F/A.Se il valere F/A

non si legge direttamente sulla tavola si procede

per interpolazione fra i valori di n, giungendo cosi

ad una durata frazionaria.

B) Il tasso non è indicato sulla tavola.In ~uesto

case dalla

F =

F i = A (I + i) n - A da cui (I + i)n =

da questa passando ai logaritmi si ricava

Lo&?; (F i + A) - LCilg A n = Log (I + i)

ossia

Log ( I F i) + A n = (numero Log (I + i)

F i + A A

delle rate)

Determinazione del valore attuale di una rendita

periodica costante

Il valore attuale P di una serie di rate (paga-

menti o

attùali

incassi) A(k) è dato dalla somma dei valori

delle singole rate attualizzate con in de-

ten!J.inato tasso di valutazione i . . P -

AI A2 A3 == + + + •••••

(I + ilI (I + i)2 (I + i)3 A

. . . . . + n (I + 1)n

Nel caSE> ipotizzato di una rendita costante in

cui si ha

: q

, , I I :

,i, l,

" i'

'i ':'1

r ,: :......

390 .-

dove

l' ~I ]k (I + i)

p = Montante della rendita della durata n al tasso di interesse i

A = Rendita o rata costante o pagamento periodico n = Durata della rendita i ~ Tasso di attualizzazione

k = Feriodo cui si riferisce il pagamento periodico (rata) (k = I, 2, 3, •••• ,n)

Poichè per ottenere i fattori di sconto o di

att1ilalizzazione della rendita va ripresa l' equazio-

ne

F (I + i)n - I

= A i

e risultand0

p = F I

(I + i)n

sostituendo F nella P avremo:

p =

F = A dove (I + i)n_ I

i(I+ i)n =a."nli

(si legge Q,posticipato, figurato n al tasso i) è il

fattore di attua~izzazione della rendita A.Esso rap-

presenta il valore attuale di una serie di versamen:ti

posticipati di una lira -per n periodi attualizzati al

tasso i.

Esempio 10._ SUpponiamo di avere ogni anno entrate per

15(,) milioni di lire per un periodo di IO anni, durata

di vita utile di un certo progetto. Si vuole definire

I --

391.-

il valore attuale della rendita nell' ipotesi di un

tasso. dell' 8% (0,08) ,Data l' e~uazione

1" = A [(~(; - I

1" = 150 • . o,08.~

i)n_ I J. " )n + J.

avremID

= ,150 • 6,7I04 = 1.006,56 milioni di lire

che è il valore attuale cercato.

Esempio.IIo.,..Supponiamo di ricevere 250 milioni di

lire alla fine di ogni anno per un periodo di 7 anni e

150 milioni .di lire alla fine di ognuno dei successi-

vi 3 anni. Si vuoI determinare il valore attuale del-

la rendita. ad un tasso di attualizzazione del 12 %. Utilizzando il fattore

(I + i)n _ I =

i(I + i)n

possiamo costruire. la seguente taÌ!ella

Anni

1-7

8 - IO

Incassi (x 10 6 )

250

150

Fattore di attualizzazione

(12 '!b.n)

Valore attuale

(x 10 6 )

4,56378

1,08644

1.140,94

162,96 Totale 1.303.90

Il fattore di attualizzazione relativo al perio-

do 8 - IO a.np.i si Può ottenere sottraeIldo dal fatt0re

di attualizzazione del periodo I -IO il fattore del

period

;:i i"

"

I

!

i! I

"

I ! : ~

I

" !i

I

,·i " .il

Il. I

! Illt! l,. ".1 :1" !,

I

Il' ",,

"

,

I

:i

l !II"'! ii !'::

'il: ! LJi

392.-

di una rendita periodica costante differita di ~ anni.

Determinazione della rendita (rata) noto il valore

attuale della rendita posticipata e immediata

Cono scende. il valore attuale,' calcolate al tasso

di interesse D, di una rendita periodica costante, CEl-

stituita da n rate posticipate di importo A, si può

determinare l'importo della rata A ricorrendo alla

eliluazione

F = A P cui A = i}n

+ i)n_ 'j per p f i(1 + i (I + i)n

(I + i) n _ b

dove i(I + i)n d.. (si legge alfa figurato n = riii . )n (:E + ~ - I al tasso i)

]

è il fattore di attualizzazione

che ha anch'esso un preCiso significato finanziario

(Vedi ammortamento di un prestito a rate costanti) •

Inol tre dalla F = A • a.-si ha p

A = = F • Q" nl i

si scrive

nli noti che siane.' P, n

I

(L nl i

I posto a..nli

i (.1 + i)n

(I + i)n_ I

=rA.

ed i

nli

Esempio.-Nel caso di un esempio riportato nelle pagine

precedenti lire 500.000 all'anno zero (Valore attuale p)

eliluivalgono a Lit. 669.112 all'anno 5 o ad una rendita

di l'ire 118.698 ca. alla fine di ogni annI'! e per la

durata di 5 anni.

Fermo restando sempre l'interesse prefissato

del 6 % (0,06 = i).

I

Infatti dall' e~uazione A = p i (1:'+ i)n

(I + i)n_ I

A :DO .000 °1°6. 1 133822 per cui = • 0,33822

A = 500.000 • 0,237396 = 1W.698 lire

393.-

avremo

Determinazione del numero delle rate. (durata della

rendita) noto il valore attuale della rendita posti~

cipata ed immediata

SUpponendo di conoscere i~ valore attuale,calco-

lato al tasso d'interesse annuo, di una rendita

periodica costante, costituita da n rate posticipate

di importo A, ricorrendo alla espressione

p =

se il tasso non è indicato dalla tavola f'inanziaria

in questo caso dalla

[I - (I + i)-n] p = A jj si ha P i A - A (I i)-n da cui (I . )-n A - P = + + l = A Da questa, considerando il reciproco di entrambi i

membri, si ha

(I + i)n = A da cui infine A- Pi

passando ai logaritmi

Log A - Lo&!: (A - p i) n' = Lo .. (I + i)

Log A A - Pi

= Log; (I i) +

Se il tasso è invece indicato dalla tavola finanziaria

dalla P=A.O"":-J. n,l

GVnli p

= A

noti che siano P, A ed i si ha

= (I + i)n - I

i(l + i)n

SUlle tavole di.... si cerca il valore P/A in '>uV n'li

corrispondenza del tasso i.Se questo valore non si

i

I

I

I

394.-

legge direttamente sulla tavola, si dovrà procedere

per interpolazione_ fra i valori di n, pervenendo c®-

si ad una durata frazionaria.

Determinazione del tasso noto il valoF~ attuale della

rendita posticipata immediata

Nell' ipotesiin cui si conosca il valore attua-

le, calcolato al tasso d'interesse annuo i , di una

rendita periodica costante, costituita da n rate. po-

sticipate di importo A è possibile determinare il

tasso stesso dalla formula

p = A [( I + i)ru - I] i (1+ i)n dalla quale. si ha i -= p []l - ( I + i) -n]

P A

oppure dalla P = A • Q n 1 i s i ha Q, n 1 i =

ed ancora a- n1i In tal CasO si cerca

= (I + i)n_ I

i(I + i)n sulla tavola in corrispondenza

dell.a durata n, il valore piA. Se il valore pIA non si

legge direttamente sulla tavola si procederà per inter-

polazione fra i valori del tasso.

Esempio.- Abb±amo ottenuto dalla manca un prestito di

250 milioni di lire che intendiamo restituire in 15

anni a rate annuali costanti capitalizzate ad un tas-

so del 12 %.Vogliamo conoscere l'ammontare della ra-

ta annuale. Dalla equazione

t-i( I

A = P avremo

250 ~

- (I , 15

0,12 (I + 0,12) = 250 • 0,14682 (I + 0,12)15_ I

= 36,705 milioni

di lire

La rata annuale costante sarà di circa 37 milioni

di lire (Ammortamento di capitale).

395.-

ProBlemi inversi nel caso delle rendite anticipate

Deterninaz ione della ratta noto il montante .. I· • ~ Dalla F = A S"' ,n ). siha A ="R! Sn1i = F • Il S nljj .. • o

posto I I s 1 = 6" rili n i ..

si avrà A = F ~C;-ri1i -.

i valori di e1 nli (sigilla anticipato, figurato n al tasso i) sono riportati nelle tavole finanziarie e

se il tasso è compreso fra due tassi indicati dalla • r

tavola, il calcCi))lo di e- nl jj andrà fatto per interpola-zione o

Determinazione, della rata noto il valore attuale , .

Dalla P =: A • or

o..-- :-t. nt).

si ha A = P /Q,nli = p ·I/O--nli

guidi posto .. •• I/O-. ri1 i = o{ nli si avrà A=P 'o(nli

•• Anche i valori di t:A " (alfa anticipato, figurato

n ). n, al tasso i) sono riportati nelle tavole finanziarie

(Vedi Appendice Tavo 66 e 67 ).se il tasso è compreso

fra due tassi il calcolo di d. '1' va fatto per inter-n ).

polazione.

Detenninazione del numero delle rate o del tasso

noto il montante . -,Dalla F = A • S l' n ).

s i ha F = A ( Sn+ I I i - I)

.. ricordando che Srìli= Sn+I I i - ]'

dalla quale si ricava

S ~I . = F /A + I n+ I ,). Si procede poi come nel caso in cui è dato il montante

della rendita posticipata.

Determinazione del nUlllero delle ratie. o del tlasso notw

il valore attuale '0

Dalla P = A • (l.. :-t. ricordando che o.... -.. = (l.. -l'' + I n I ). n , ). n-).

390.-

si ha F = A ( Ov n-II i+ I) dalla quale si ricava la

espressione ()., n-Ili = P/A - I procedendo poi come nel case in cui è dato il valora attuale della rendi-

i ta postic ipata. h"

I ~ 'I

,! , , I

I

l'

Infatti il valore attuale di una rendita immedia-

ta anticipata si ottiene moltiplicando per (I + i)

il valore attuale di una rendita immediata posticipata ••

e di uguale durata si ha pertanto CL::1- = CL ::-l-(I + i) nl. nl. ossia

i)-n - (I + i) = I - (I + =

i (I + i) =

i

(I + i)-Con-I) =

l._)-(n-I) I - (I + _ jj

+ i)-(n-I)

+-jj

corrisponde I - (I

i pOichè la frazione

alla formula di GlI -. _ n'l.

in cui al posto di n si pone

(n-I) .Pertanto:

.. = Cl-=---:;:-]1 - + I n- l. Il valore di (1 ~ i si ottiene leggendo sulla ta-..

vola il valore di et ~. in corrispondenza della ri-n l.

ga n-I ed aggiungere ad esso I • .. Esempio .- (1,--

10 10,05 = (l., 910,05 + I =

= 0,551328 0,077 566 + L = 8,10785 oppure dalla espressione ..

= Q; nJ i ( I + 1:)

" O-- IDlO,05 _ (I + 0,05)IO_I

IO ,0,05 (I + 0,05) , \

= 7,72I747 • 1,05 = 8,I0783

+++++++ +

CI+O,05) =

397.-

Rendite poliennali e rendite perpetue

SOvente si suole confrontare, nell'esaminare un

progetto di investimento, la successione dei flussi

di rendite future (Future Inc0me Flows) con l'inve-

stimento iniz iale.

Se AI' A2' A3

, •••• , An sono i futuri flussi

delle rendi te riferiti alla fine di ogni periodl9.

di tempo 0, I, 2, 3, ••• ,n ed i è un adeguato tasso

di interesse, allora il valore attuale P di questi

flussi di rendite sarà da~ dalla espressione:

AI A2 A3 A P

n -

ilI +

.)2 +

i)3 + • •• +

(I + (I + Jj. (I + (I +

per cui, se indichiamo con t = 0, I , 2,3, •• ,n il periodo cui si riferisce il pagamento periodico (la

rata) avrema :

p =

Somma che va confrontata con l'investimento attuale

per valutare l'interesse del proge.tto.

i)n

Quando i flussi delle rendite sono costanti per

tutti i periodi di tempI) (generalmente per anni) qu.e-

sti sono definiti come annualità. Per il calco10

del valore attuale dei flussi futuri delle rendite si

ricorre alla formula della annualità

p = A [ 1- (1/ i)-n]

[I - I l A L (ii + j)n 'J

dove il termine I - (I + ~)-n/i rappresenta

o meglio

p = il fatte-

re del valore attuale di una annualità per n periodi

al tasso d'interesse i per periodo.

i! l' , 'I ,

,

i' !

I:, ';,

i .I '

"i,

''l'''' i , " : " i-li .1

398.-

Esempi.- Un impianta viene affittate per IO anni

per un cQmpense annuale di 65.000 US 4, al tassO d'in-teressedell' 8 % (0,08 = i) all'anno.Il valore attua-le di questa annualità sarà :

F = 65.000 - IO] l I - (I +, O ,08)-0,08 ,

p = 65.000 'LI -o,

illimitati si hanno le rendite perpetue caratteriz-

zate da pagamenti (o incassi) periodici di durata

illimitata, cioè con n tendente all' infinito.

L'esempio tipico di una rendita perpetua è il

vitalizio il cui valore attuale è dato dalla seguente

relazione A F . =

00 ,l i

perchè n tende all' infinito, -n (I + i) tende a zero

ed il fattore di attualizzazione P/A che è uguale a

F A =

I - (I + i)-n i

tende a l/i.

= (i,I + i)IL - I

i(I + i)n

Esempio.- Se A = 1.500.000 lire ed i = IO % (i= 0,10) il valore attuale di una rendita perpetua sarà:

A 1. 500.000 p = = O, IO = 15 milioni di lire 00 ,i i Cià significa che un investitore, che si sia fissato

cOme obiettivo minimo un rendimento del IO %, dovrenr be pagare 15 milioni di lire per ottenere una rendita

annuale perpetua di 1,5 milioni di line.

Vice-irèrsa chi assicura una rendita annuale, per-

petua di I, 5 milioni di lire deve esigere subito il

versamento di 15 milioni di lire nell'ipotesi di

investire i fondi al IO %.

Principali fermule di conversione e fattori

di capitalizzazione o attualizzazione

399.-

In Ìlase alla. equivalenza del valore attuale.

(Present worth) P, del montante (Future worth) F e

della rendita (Annual werth) A è Jp.,ssililile passare

agevolmente dall' uno all'al tro valore median~e

formule di conversione.

Si riportano ~ui sia i simboli adottati da F.J.

STERMOLE sia quelli riportati nelle tavole finanzia-

rie.

Montante F dato il valore attuale F

F = P (I + i)n dove (I + i)n è il fattore di montan-te ad interesse composto annu~, essendo i l'interesse

prefissato ed n il numero dei periodi.

Indicando simbolicamente con F/P. il rappor~ l,n

= (I + i)n avremCl F F F = p F = p • F/P.

l,n

Montante F data la rendita A - n

F = A '- (I + ii - I-J dove è il montante della rendita annua unitaria posticipa-

ta, indicato col simbolo 8,..,. (S posticipata, figurate n n I l

al tasse i).

•• ACI+ ~)n_ IJ(I+ i)

(1+ i)n_ I i

«(I + i) è il montante della ren-dove

.. dita annua u'rtitaria anticipata, indicato con Sn' (S an-n l ticipato, figuratI!) n al tassG) .. i)

Indicando simbolicamente con F/A

. il rapporto

Fr A

= (I +

i e con

l,n .. F/ A. il rapportGl

l, n

I. ,

I:,

"

l'I " l!:

" .,

400.-

.~

i)n _ F (I + I (I i) = + A i Avreme F = F A • A = A • F/Ai,n

., .. F •• = ed F A . = A . F/A. A l, n a rendita posticipata ed

anticipata rispettivamente.

Valore attuale P dato il montante F "

F[ i)n] p I dove I è il valtllre =

(I + (I + i)n cllln sct':mte composto annuG, indicato cé.n ~ o l'n,

Indicando simbolicamente con

p/F. il rapporto l,n F F

I si avrà =

p = F • p -'-- = F

F • P/F. l, n

Valore attuale P data la rendita A

[(I + i)n_ I] (I + . )n I dove l -P = A

i (I + i)n i (I + i)n , il valore attuale della rendita annua indicattG e

Q.- il' (et; posticipatGl, figurato n al tass~ i), n 1.

Indicand0 simmolicamente con P I A. il rapporto l,n

--L (I + i)n _ I = = A i (I i)n + si avrà

p p = A '-A = A • pIA.

l, n

Rendita A dato il montante F

dove (I +

I - (I + i)-n i

i (I + i)lI _ I \

con

è il fattore di attualizzazione indicato con ~ nl i

( signa figurate n al tasso i)

attuale,

Assumendo come coefficiente simmolico

A I F. = l,n

A F

A F

'" F

:ii =

Rendita A dato il valore attuale P

A = P [ i ( I + i)n] deNe i (I + i)n (1+ i)n_:l! (1+ i)n_ I

401.-

si avrà

è il fattore di attualizzazione indicato con ~ nli (Alfa figurato n, al tasso i).Indicando simbolicamen-

te con AI p i, n A p

A =

T a b e l l a

Valori da calcolare

Future WCllrth _ 'F,

Future Worth cc·B

Present Worth P

Present Worth p

Annual Worth A

Annual Worth A

il rapporto

i (I + i)n = (I + i)n I si avrà

P A P AlP. • = • P l,n

r i a s su li t i wa

Valori Fattori di attualizzazione noti (a prefissati valori di i

= P

= A

= F

= :El

= A = P

x

x

x

x

x

x

+ + + + + +

F/P. l, n F/Ai ,n P/F. l,n A/F. l, n P/A. l,n A/P. l,n

Un ••

Sn-' i ed Snl i yll o pn

UnIi

a..nl i

o( nli

ed n)

i ' I

I.

i !'

'!

.' , , ,

402.-

Interesse nominale, interesse effettivo ed interesse

semplice a confronto

Si forniscono qui di seguito alcuni cenni sugli

interessi. diversi da quello composto che è stato

utilizzato nella compilazione delle principali tabel-

le finanz iarie.

Interesse nominaleSe la durata di ciascun periodo è

inferiore all'anno(per esempio il trimestre) si chia-

ma interesse nominale annuo quell'interesse che, divi-

so per i periodi compresi in un anno, determina l'in-

teresse da applicare a ciascun periodo.

Esempio.- Se il periodo è il trimestre, essendo 4 i

periodi trimestrali in un anno, con un interesse no-

minale dell' 8 % ( 0,08 = i), l'interesse di un pe-riodo (trimestre) sarà 8/4 = 2 ~b interesse del perio-

do.Inversamente, dato l'interesse del periodo si ri-

cava quello nominale moltiplicando il primo per il

numero dei periodi compresi nell'anno.Nel nostro ca-

SO avremo 2 x 4 = 8 % interesse nominale, e gli in-teressi percepiti in un annli, sono superiori a "luelli

relativi al normale interesse composto annuo.Infatti

a partire dal secondo periodo dell'anno il capitale

si accrescerà dell' interesse del primo periodo.

Interesse effettivo. Si chiama interesse effettivo E

(Effective Annual Interest) l'interesse composto

annuo che genera alla fine di ogni annoi gli stessi

interessi che si ottengono calcolandoli separatamen-

te per ciascun periodo di suddivisione dell' anno.Es-

so si determina mediante la formùla E = (I + i)m_ I dove

r è l'interesse nominale annuo

m il numero dei periodi dell'anno

ed i = r/m è l'interesse del periodo.

L'interesse effettivo aumenta conl' aumentare

del numero dei periodi in cui è suddiviso l'anno.

L'interesse maggiore si avrà con un numero infi-

nito di suddivisioni. Si ha allora l' interesse coniti-

~ ("Continous 1nterest").

Esempio.- L'interesse composto nominale del 16 %,

suddiviso in 12 mesi, origina un interesse mensile

Interesse del periodo i; 16/12 ; I + 1/3 ; 1,333 %

(0,01333) .L' interesse effettivo sarà dato dalla:

E ; ( I + ~ ) 12 _ I ; (I + 0, ° 1333) 12_ I 12

E;0,I7222 ossia 17,22%controilI6%di

quello nominale.

Interesse semplice.- L'interesse semplice, già de-

finito in precedenza (Simple 1nterest o Add-on o

Flat Interest) si ha quando l'interesse è proporzio-

nale al capitale ed al tempo.Gli interessi vengono

recuperati ad ogni scadenza o se lasciati in deposi-

to assieme al capitale non generano nuovi interessi.

Indicando con P il capitale iniziale, con i il

tasso annuo unitario e con n la dU;r'é.ta'de1,prèstlitQ

si ha I ; P ~ n dove I è l'interesse accumulato

nel periodo n.Data la proporzionalità dell'interesse

I al capitale P ed al tempo n si ha che l'interesse

del capitale P per un anno è p i e per n anni è p i n.

Esempio.- Si vuole evidenziare l'importanza della

scelta del tipo di interesse prescelto.Sia dato in

prestito per 3 anni al tasso dell' 8 % un capitale

di IaD milioni di lire.

a) Al tasso d'interesse semplice dell'8 % peF 3

anni l'interesse accumulato I sarà :

404.-

I = 120 • 0,08 3 = 28,8 milioni di lire

ed il montante E = P + I = F + P i n = F (I + in)

è dato dalla espressione

E = 120 + 28,8 = ;r4Él~8 milioni di lire

b) Al tasso.d' interesse composto annUQ dell' 8 % per 3 anni il llIontantle E sarà dato invece dalla

E = P • E/P8,3 = Ial (I + 0,08)3 = 15I,Hi milioni di lire

Il capitale in quest' ultimo caso è superiore al pre-

cedente di 2.360 .000 lire.

L' INTERPOLAZIONE

Sovente le tavole finanziarie non contengono i

valori calcolati per cui bisogna ricorrere all' in-

terpolaz ione.

A) Determiniamo il montante E dato un capitale ini-

ziale P = I milione di lire in 8 anni all' 8 % nominale in trimestri.

Gli n periodi complessivamente sono n = 8 • 4 ~ 32

ed i = 8/4 = 2 %.Pertanto si avrà

1irl E=P • E/P 3 = 1(1+0,02)

2, 2 lire. Se però l'interesse fosse

= 1,884540 milioni

del 7, 5 % nominale

annuo si deve effettuare l' interpolazione fra il

6 e l' 8 %. Avremo pertante = (I + 0;(8)8 = I,8'JJ930 milioni di lire

(I + Oj(l)lu) 8 = 1,593848 " " "

E/P7 ,5,8= (I + 0,U75)8= 1,783477 " " " per cui E = ro 6 • 1,783477 = I.783.477 lire

B) Determiniamo gli anni necessari per triplicare il

capitale iniziale di I milione di lire al tasso di

interesse annuo composto del IO %.Si ha, calcolando

per tentativi diversi rapporti E/P, che il numero di

di

40 5.-

ann~ necessario per triplicare il capitale suddette

è compreso fra II e 12 con i coefficienti 2,853IIm

e 3, 138428. Infatti

F/P ro II = (I + Op )Il = 2,853IIEa , / ( )

12 FP ;;c 1+0,1 =

IO 12 , 3,138428

per cui interpolando si avrà :

3,000 - 2,853II6 n = II + 3,138428 2,853II6 = II *' n = II + 0,514818 = II,51 anni.

TASffi DI REDDITIVITA'

0,146884 0,285312

Anche la soluzione dell' incognita i va fatta

per tentativi.

Il tasso cercato (nelle tavele finanziarie) sa-

rà 'luel tasso per il 'luale il valore iniziale coinci-

de con il valore finale attualizzato ( o con le ren-

dite attualizzate).Diversamente il tasso cerca~o è

~uel tasso per il quale la differenza tra il valore

iniziale ed il valore finale attualizzato è uguale

a zero.

Esempio.-SUpponiamo che il valore iniziale ammonti

ad I milione di US ~.Si vuoI determinare il tasse

di interesse i che produca una rendita di 176.984,25

US ~ all' anmll per un periodo di IO anni.

Per tentativi ( o dalle tabelle) si ricava

P/AI2,IO ì:= 1,1210 - I

0,12 IO

1,12 = 5,65022

per cui avremo 1.000.000 = A • 5,650 22 dalla quale

si ha A = 176.984,25 ed infine l'interesse del 12 % è veramente l'interesse cercato, infatti

1.000.000 - 17 6.984,25 • 5,6500:22 = O

'.

"

. .'

l,'

III

I

"I l' ,II,; !' .

!, :

i', ' l'',

l': i!',;

l''

; I

1'1'

I '.

406.-

Si può verificare non sele ricavando A dato P

al 12 % per n = IO, ma anche ricavando P date A al 12 % relativamente allo stesso periodo di tempo.

Un problema analogo si presenta allorchè, oltre,

ad avere un valore iniziale all~anno zero, che rap-

prese~ta il capitale iniziale di un determinato pro-

getto, si ricaveranno diverse somme in periodi (an-

ni) successivi a quello zero.

Tali semme sono gli utili di gestione che servn-

ranno a recuperare il capitale iniziale ed a fornire

un certo utile d'impresa.

Volendo conoscere l'interesse al quale è stato

investito quel capitale,le varie somme, ognuna per

il periodo di competenza, dovranno essere attualiz-

zate ad un determinato interesse, scelto per tentla-

tivi.La somma dei valori attualt dovrà essere uguale

al capitale iniz iale, dell' anno zero.

L' interesse cerca~o sarà quella che soddisfa

l'eguaglianza

p 123 «p IFI 1+ P IF~ 2 + p IF3. 3 + ..• ) = O ~,n ~,n ~,n

Su questo principio si fondano, come si vedrà

in seguita,i calcoli della redditività mediante la

applicazione del "Cash-flow" ossia del flussO di

cassa.

INFLUENZA DEL TAS3) D'INTERESSE E DEL TEMPO

Valore attuale di una serie di entrate

Si desidera calcolare il valore attuale del

capitale che deve essere investito all'anno zero

per o ttenere una serie di entrate (Present Value o

Present Worth Revenue Calculation).

~---------

407.-

Siano I~ , 1 2 , ]3 ed 14 le entrate degli anni

I, 2, 3 e 4.

Posto 11= 25) , 12= 300 ; 13 = 350 ed 14 =

Il

i'l

ii ,l' ,

i

i #e!±

408.-

; I = 350 2 ; 13 = 300 ed I .. = 2~

la ~ I è sempre uguale a lo 300

F8, .. ? II 12 I~ ]4

409.-

APPLICAZIONE DELLE FORMUL.tE DI CONVERSIONE

Applicando le diverse formule di conversione

ed i rispettivi fattori di attualizzaziona si desi-

dera determinare, per esempio, il valore attuale di

un progetto che rende I milione di us ~ all'anno per IO anni al IO % e che dopo tale periodo di tempo ha ancora un valore residuo (Salvage Value) di 15

milioni di USo, (Vedi la 2 A parte del corso). Il problema viene risolto nei modi seguenti fra

loro equivalenti (essendo sempre P incognito).

a) Con il valore attuale. 6 . 6

PIO,IO = I • IO (P/Aro IO) + 15 .ro (P/FIO IO) , , PIO ro = 1.10

6 (1,593742/0,259374) + 15. ro

6• ,

• ( 1/2,5~3742) = 6.144.571 + 5.783.145 = II.927.716

h) Con il montante. 6

(F/P ro ,10) = I. IO (F/AIO ,10) + 15

2,59374 = I • IO 6 • 15,93742 + 15

PIO,IO = 30.937.420/2,59374 = 11.927.726

c) Con la rendita annuale .• 6

(A!P ro IO) = I • IO 106 (A! ) + 15 • Fro IO , ,

Pro, IO 0((0,259374/1,593742) = I .ro6

+ 15 • 106

\0,1/1,593742)

PIO, IO 0,162745 = I • ro6

+ 15 • 106

• 0,062745

Pro,IO =(1.000.000 + 941.175)/0,162745 = 11.927.709

Conoscendo i tne valori P, F ed A con gli stessi

tre metodi si può determinare il tasso di redditivi-

tà i.Ovviamente si dovrà procedere per tentativi.

SUpponendo che il valore attiale P sia uguale a

IO • IO 6 avremo:

.

410.-

a) applicando il valore attuale.

6 6 6 10.10 = I • IO (P/AIO, IO) + 15 • IO (P/FIO, IO)

sappiamo che per i IO % (0,10) PIO,IO = 11.927.716

con i = 13 (0,13) si avrà : 6

P I3 , IO = I • IO (p/ An, IO) + 15 • 106

(P/E'I3, IO)

P I3 , IO = I • 106

(2,394567/0,441293 ) + 15 • 106

•

6 6 • (1/3,394567) = I. IO .5,426251 + 15 • IO •

0,294588 = 5.426.251 + 4.418.820 = 9.845.071 Per interpolazione si avrà :

i 10% 3% 11.927.716 or IO .000 .000 = + 11.927.716 - 9·845.071

i 10% + 3~~ I. 927.716

10% + 3% .0.925609 = 2.082.645 = pertanto i = 12,77 % ca.

b) applicando il montante.

IO • IO 6 (E/P IO , IO) = I • IO 6 (F / AIO , IO) + 15 . lO ti

avendo determinato in precedenza per i = IO %

= 11.927.726 con i = 13 % (0,13) si avrà 6 6

(F/P I3 ,IO) = I • IO (F/AI3 ,IO) + 15 .10

P I3 , IO' 3,394567 = I • 106

(2,394567/0,13) + 15 • 106

P I3 ,ro' 3,394567 = 18.419.749 + 15.000.000

Pn,IO = 33.419.749/3.394567 = 9.845.069 arre 9.845.070 Per interpolazione si ha :

i 10% 3 % II. 927.726 - IO .000 .000 = + II.927.726 - 9.845.070

i 10% + 3 % 1.927.726

10% + 3% .0,925609 12,7768 = 2.082.656 = = i = 12,77 %

-

411.-

c) applicando la rendi"ta annuale.

6l IO • IO (AlFIO IO) = I ,

6 6 AI IO + 15 • IO «( FIO IO) , per i = IO % (O, IO) si è 0ttenuto in precedenza

FIO IO = 11.927.709 , per i = 13 % (0,13) si avrà

6l 6 1"13,10 (AlPI3,IO) = 1.10 + 15 • IO (A!FI3 ,10)

6 ti 1"13, IO (0,441293/2,394567) = I • IO + 15 • IO •

• (0,13 / 2,394567)

6 6 1"13,10. 0,184289 = 1.10 + 15 • IO .0,054289

1"13,10 = (1.000.000 + 814.335)/0,184289 =

= 1.814.335 / 0;184289 = 9.845.05~ per interpolazione si ha

i = 10% + 3% II. 927 .709 - IO .000 .000 = 11.927.709- 9.845.053 10a!. 3oto I. 927 • 70 9 l° + l' 2.082.656

i = 10% + 3 % .0,925601 = 12,7768 cioè 12,77 %.

IL VALORE FIN.AN61ARIO DEL FAT'lDRE TEMPO

Il lungo periodo di tempo che nel settore mine-

rario intercorre tra l'investimento iniziale,desti-

nato soprattutto all' esplorazione, e lo sviluppo dei

giacimenti individuati e quindi il flussQ) delle ent.ra-

te al10rchè le miniere song state completamente atti-

vate, richiede l'introduzione del concetto del valore

tempo del denaro, ossia del valore finanziario del fat-

tore tempo.A tale scopo si vuole qui illustrare bre-

vemente i principi fondamentali dei metodi di attua-

lizzazione e capitalizzazione e quindi spiegare il

significato del valore da attribuire al fattore tem-

p0.Gli strumenti che la matematica finanziaria ci

fornisce per confrontare valori monetari definiti

, i , ,

l' ;ji

, ,

" " , ,; I I.i I , '

;:"i I Il' ,,'II 1,'

,

> i

l', '

!

l, "

,

, '''I :ii!I-I, 4H,1

412.-

in istanti temporali diversi sono dunque quelli dell@

sponto e della capitalizzazione.Con queste due opera-

zioni si possono finanziariamente confrontare flussi

in entrata ed in uscita relativi a progetti d'investi-

mento alternativi, valutando li allo stesso momento

temporale.

Con il termine di attualizzazione si intende un

processo di omogenizzazione che consente di confron-

tare tra loro grandezze finanziarie disponibili in

tempi diversi e quindi non direttamente confronta-

bili.

Per risolvere questo problema si utilizza la

formula del valore attuale di una successione di

somme disponibili in periodi diversi t

P = F I o meglie P. t= l, ~

F(n)

dove

n=l

P. t = Valore attuale di una successione di ~ l,

somme F(n) disponibili alla fine del

periodo n ed attualizzate al tasso di

interesse i.

F(n) = Somma disponiblile alla fine del periodo

n (Montante)

i = Tasso di attùalizzazione

t = Durata del progetto d'investimento.

L'attualizzazione, ossia la ponderazione dei

flussi futuri aventi diversa origine temporale, si

attua attraverso il fattore di attualizzazione

P/F. l,n I =

che rappresents il valore attuale di una lira di-

sponibile tra n anni al tasso d'interesse i.

413.-

Il valore attuale delle somme disponibili fra n anni

si ottiene moltiplicando i flussi disponibili in epo-

che diverse per il relativo fattore di attualizzazio-

ne.Riportando tutti i valori attuali all'anno zero si

possono valutare grandezze finanziarie riferite al

tempo di valutazione del progetto.

Se i flussi di cassa di epoche diverse sono co-

stanti ed uguali ad A (Rendita) per attualizzare t

somme costanti al tasso di attualizzazione i si ri-

corre al fattore di attualizzazione della rendita

che rappresenta il valore attuale di una rendita co-

stante di I lira della durata di t anni al tasso d'in-

teresse i , precisamente

P. t= A (P/A. t) l, l,

ove P/A. t = l,

(I + i) t _ I

i(I + i) t

Spesso invece d'effettuare un confronto tra

somme disponibili in epoche diverse mediante il

calcolo del lqro valore attuale al tempo zero si

riferiscono tutte le somme ad un periodo futuro.

In tal caso non sieffettua l'attualizzazione del-

le somme ma la l@ro.. capitalizzazione mediante la

formùla del montante o del valore futuro.

Il montante o valore futuro F corrisponde alla

somma disponibile fra t anni generata da una succes-

sione di somme F(n) disponibili al tempo n ed inve-

stite al tasso i. Si avrà pertanto t

F. t = ~. F(n) (I + i) t-n l, n=I

Con il termine di capitalizzazione si determina il

valore che un investimento, oggi ad un determinato

tasso di rendimento, avrà in un certo momento del

futuro.

ii

I

, ;

" -

414.-

Il proèlema della capitalizzazione si risolve

utilizzando la formula del montante F fondata sul-

la legge dell'interesse composte.

dove

F. = P. O (I + i)n 1.,n 1.,

F. = Valore al tempo n di un capitale 1.,n investito al tempo zero

·P. O = Valore del capitale investito al tempo 1., zero (Valore attuale)

i = Tasso di capitalizzazione relativo alla unità di tempo considerata

n = Periodo di tempo considerato. L'operazione di sconto è l'operazione inversa

della capitalizzazione. Essa permette, come si è vi-

sto, di calcolare il valore attuale di somme disponi-

mili in futuro ossia il valore che somme future avree-

mero in un qualsiasi momento del passato.

Algeèricamente la formula da applicare in regime

di interesse composto è

dove

I

P. O = F. l, l, n

P. O = Valore attuale di una somma disponibile 1., al tempo n

F. = Valore di una somma disponibile al 1.,n tempo n (Montante)

i = Tasso di sconto relativo all'unità di tempo considerata

n = Periodo di tempo considerato. Le operazioni di capitalizzazione e sconto ven-

gono applicate al flusso di cassa (Vedi seconda parte

del corso).Si determinerà il flusso di cassa netto di

4I5.-

ogni singolo anno, cioè la differenza, anno per

anno,tra entrate ed uscite monetarie e si porteranno

tutti i valori allo stesso periodo di tempo capita-

lizzando e scontando ognuno di essi per il numero di

unità di tempo che le separano dal momento prefissa-

to per la stima.

Stamilito per un investimento uno sviluppo tem-

porale di 5 anni, come nella tamella che segue,appli-

cando un determinato tasso di sconto, è possibile

confrontare in ogni periodo il valore dei flussi in

entrata con quelli in uscita per mezzo delle formule

di capitalizzazione e sconto (si sconta o capitaliz-

za ogni singolo flusso di cassa netto ad un determi-

nato anno e si somma il loro valore)

A n n i

Entrate

Uscite

I

~

-IOO

Flusso netto - 80

2

60

-30

30

70

-20

50

4 5

80 IOO

80 IOO

Le caratteristiche comuni dei metodi di attua-

lizzazione e capitalizzazione sono le seguenti :

- tutti utilizzano i flussi di cassa in entrata ed

in uscita prodotti dall' investimento a differen-

za del tasso medio di redditività che si fonda sui

dati di costo e ricavo.

- per tutti va fissato un tasso di riferimento,ossia

un tasso minimo di redditività accettabile (defini-

to anche come soglia di accettazione o di rifiuto del-

le proposte d'investimento).

+ + + + + +

416.-

Il valore tempo del denaro ed i metodi di valutazione

economica di un progetto

Dun~ue già intuitivamente ognuno di noi sa cos'è

il valore tempo del denarò.

Supponiamo di aver investito l'anno scorso 50

milioni di lire e di aver ottenuto dopo un anno la

cifra di 55 milioni di lire. Supponiamo di ottenere

invece la stessa cifra dopo cinque anni.E' evidente

che un profitto di 5 milioni di lire in un anno è

notevolmente più alto di un analogo profitto dopo

c inque anni.

Sappiamo che il fattore tempo del denaro viene

calcolato in base alle formule dell'interesse compo-

sto, per cui se viene fatto oggi un investimento di

50 milioni di lire ad un tasso di interesse del 10%

il suo valore sarà

'" dopo I anno • I (I + i) = 50 (I + 0,1)=55 milioni • dopo 2 anni · I ( I .) 2 50 (I +iO,I)2=60,5 " · + ]. = dopolO anni I (I + i) 1~ 50 (I + O, IfO = 129,687

e quindi dopo n anni sarà I (I + . )n ]. . Ad un interesse del IO % in IO anni, 50 m i !I: ioni

di lire acquisteranno il valore di 129.687.123 lire.

di

"

"

Il procedimento può essere invertito; pertanto quale

somma si dovrà investire per IO anni al tasso del IO %

per ottenere la cifra di 129.687.123 lire?

L'investimento I sarà dato dalla relazione :

lire

"

"

I R 129.687.123 129.687.123

50 milioni di = i) IO

= = 2,5~37.4246.

= (1,1)10 (I +

In altri termini, se in IO anni si ottengono

129.687. 123di lire, il valore attuale ad un tasso di

interesse del IO % è di 50 milioni di lire. Quindi 50

417 .-

milioni di lire è il valore attuale di 129.687.123

lire ad un tasso di interesse del IO % in IO anni. Il fattore (I + i)n è detto fattone compost~

(indicato con Un nelle tavole finanziarie e con F/P

da F. J. STERlVIOLE - Il Compounding Factor"). Volendo

pro iettare il valore di R nel futuro e sapere quant,o

vale R oggi si dovrà scontare R in base al fattore

I

(I + i)n ( indicato

o (I + i)-n detto fattore di sconto q-n

n con 1/ nelle tavole finanziarie e con P/F

da F.J. STERlVIOLE - "Discounting Factor"). che verrà

ampliamente applicato nei calcoli della economicità

di un progetto.

Valutate le entrate (ed il reddito) che un dato

progetto minerario potrebbe produrre, determinata la

vita utile della miniera (ossia del giacimento),defi-

niti i costi del capitale e quelli operativi in base

ad una prefissata capacità produttiva,si è in gradO

di effettuare la valutazione economica del progetto

fondandosi su due metodi : i metodi statici e quelli

dinamici (o). 'Mentre, i primi vengono raramente appli-

cati, quelli dinamici (Illetodi :DCF - Discounted Cash-

-Flow) trovano invece ampia applicazione al livello

internazionale nella valutazione economica dei gia-

cimenti minerari poichè prendono in considerazione

i~ fattore tempo degli investimenti e dei ritorni,

cioè il valore tempo del denarO.

Queste tecniche :DCF,che comportano nella defini-

zione del cash-flow il calcolo del Net Present Value

(O) L' argomento verrà trattato diffusamente nei prossimi capitoli.

418.-

NPV (o ViIN' - Valore Attuale Netto) ed il calcolo

dell' IRR o IIDR -Internal Rate of Return (O TIR

- Tasso Interno di Rendimento),sintetizzano gli stu-

di di prefatti9ilità e fatti9ilità che costituiscono

la base per le decisioni finanzmarie e per gli inve-

stimenti che le aziende devono affrontare.

Questi studi tecnico-economici, basati su dati

più o meno accurati e su diverse ipotesi,sono desti-

nati ad accertare la validità economica del progetto

ed eventualmente a sollecitare ulteriori dettagliate

indagini o addirittura suggerire l'avvio alla pro-

duzione e talvolta consigliare la rinuncia del pro-

getto d'investimento.

Importanza del fattore temporale

Considerazioni ed esempi

L'importanza del fattore temporale si deduce

dal fatto che una somma disponibile oggi vale più

di una SOmma uguale disponibile in un dato momento

futuro. Infatti la disponibilità immediata di una.

certa somma può consentire di realizza.re un investi-

mento forse produttivo.Non bisogna inoltre dimenti-

care che ogni investimento ha un costo-opportunità,

cioè l'investitore perde la possibilità di ottenere

un utile oggi con la speranza di avere un'utilità

maggiore nel futuro. Inoltre col passare del tempo

cresce il rischio di non avere la somma oggi dispo-

nibile.Infine l ' inflazione, se presente, riduce sen-

sibilmente il valore futuro della moneta.

Appare evidente che nelle operazioni di

Mining Financing, dove la vita utile del progetto

può essere a.nche molto lunga, la variabile tempo

assume sempre un ruolo fondamentale.

419.-

Dai seguenti calcoli del valore attuale (Pre-

sent Value o Present worth) di due flussi di entrate

a due diversi tassi di ritorno risaltano chiaramente

l'importanza e l'effetto del valore tempo del de-

naro. Vogliamo calcolare dunque il valore attuale di

due flussi di entrate nei due casi A e E al minimo

tasso di ritorno (tasso di interesse) del IO e del

20 % rispettivamente.

100 200 300 400 C a s o A

O I 2 3 4

C a s o 400 300 200 100

O I 2 3' 4

C a s o A

IO) per i = IO % (O, IO) dove P /F. = 1/n delle tavole l, n

p A = 100 • P /F IO, I + 200 P /F IO, 2 + 300 P /F IO, 3 + 400 • P /F IO, 4

PA

= 100 I + 200 I --2 + 300 I, IO

I + 400

I, IO

p = 90,90 + 165,28 + 225,39 + 273,20 = 754,77 A

oppure anche dalla espressione seguente

dove

I

AlG. = l,n I i

n i

(AlF. ) è l'Aritmetic Gradien~ Serief l,n Factor (o)

e dal, fattore P/A. = a.,.1 l,n 1 n ricaviamo dapprima A!G IO ,4 e

I 4 0,1 0,1

delle tavole finanziarie

po i P/AIO, 4 • Avremo dunque

• AlFIO ,4

(O) - Vedi il capitolo sulle "Serie a gradiente aritmetico.

'.,i

420 .-

dove A/F i,n =

42I.-

Ira) per i = 20 % (0,2)

P:J = ( 400 - 100 A/ G 20 , 4- ) • p! A20 , 4

essendo A/G20 ,4 = 1,2744 e P!A20 ,4 = 2,5888

sostituendo questi valori nell' equazione precedente

si avrà

PD

= ( 400 - 127,44) .2,5888 = 705,60

Si osserva che per avere un tasso di ritorno del

IO % si viene a pagare 166 US $ in più rispetto ai

588,79 US ~ che si dovrebbero pagare per ottenere un

tasso di ritorno del 20 %.Da notare che, se si deve

pagare di più per ottenere un tasso di ritorno del

10% di quanto si debba pagare per ottenere un tasso

di ritorno del 20%, il costo per il flusso di red-

dito ~ ad un determinato tasso di ritorno è maggiore

del corrispondente costo per il flusso del reddito A.

Essendo identico il reddito cumulativo per A e E la

diff'erenza è dovuta esclusivamente al valore tempo

del denaro.

L'ottenere più rapidamente il reddito in B

giustifica economicamente il maggior pagamento ini-

z iale.

Nella valutazione. economica dei costi e delle

entrate è dunque importante interpretare correttamen-

te il valore tempo del denaro.

0000000 o

,;",',: 'j' ,

~ ~ i~ !'II!.,:'

422.-

LE SERIE A GRADIENTE ARITMETICO

L'aumento o la diminuzione delle entrate e dei

costi operativi, che si realizzano col passare del

tempo, sono strettamente connessi con gli effetti

dell' inflazione e della domanda e del l 'offerta. Essi

sono riferibili, in prima approssimazione, ai valori

di una serie a gradiente aritmetico.

Per semplificare il calcolo si trasforma questa

serie a gradiente aritmetico in una serie uniforme

di valori (versamenti) uguali che consentirà di de-

terminare il valore attuale ed il montante mediante

i fattori finanziari P/A. ed F/A. (altrimenti :L,n :L,n

indicati nella tavole finanziarie con i simboli o.. ., :L n

ed ~ il n) • L'equivalenza tra le due serie è data dalla equa-

zione che fornisce gli" Uniform Eqùal Payments" :

dove

essendo

A = .ii + g ( A/G. ) :L,n

A/G. = :L, n I i

n i

(A/F. ) :L,n

i = il tasso di interesse n = il periodo di tempo li! il primo termine della serie

g = il gradiente aritmetico della serie (che è positivo se la serie è crescente e negativo

se la serie è decrescente).

:Il .l4g .B+2g ••••••••• liI+ (n-2)g lil+ (n-I)g ~-----~~----~~----~~~--------------~I=---------~I O I 2 3.~ • • • • • • • •• n- I n

423.-

Esempio.- SUpponiamo che il primo termine di una

serie sia E = 1.000 US $ e che il gradiente aritmetic0 sia ~ = 100, il tasso di interesse i = IO % (0,10) per un periodo di IO anni.

Dall' equazione A = :2+ g (A/G. ) avremo . • l, n A roDO + roo (

I ro OzI ) = 67 D,I O, I) ro (I + - I A = rooo + roo ( ro 6,27454) = rooo + roo • 3,7255

A = roDO + 372, 55 = 1.372,55 per cui avremo

A = 1.372,55 US ~ ed A/GIO , ro = 3,7255

roDO lroO 1200 1300 ........ 1800 1900 • O I 2 3 ........ ':) ro

che equivale alla serie a gradiente aritmetico ~ = 100 Pertanto la somma, impiegata al tasso del IO %, alla fine del decimo anno equivale esattamente alla origi-

naria serie a gradiente aritmetico.Dunque la serie

uniforme di versamenti uguali sarà

1.372,55 1. 372, 55

O I 2 3 ••••••••• 9 ro

Da ricordare che il gradiente g è positivo o ne-

gativo a seconda se la serie è crescente o decrescen-

te e che il fattore aritmetico della serie viene cal-

colato per un periodo n e non viene applicato il

gradiente per periodi n - I.

Esempio.- Un tale investe quest'anno 10.000 US ~ ed

investirà II.000 US ~ l'anno successivo. Inoltre ogni

anno successivo investirà 1.000 U S & in più dell' an-no precedente per 15 anni, riuscendo ad ottenere un

tassa di ritorno dell' 8 % (0,08).

Vogliamo conoscere il valore dell'investimento

15 anni dopo.

1.1.' ! i ,

,'I Il i

li: , I '''l' d,il

'iii , .

424.-

j----------r---------,----------r---------,----------, o I

10.000

2

II. 000

3

12.000

14

22.000

15

23.000

F = (10.000 + 1.000 • A/G8,I5) • F/A8 ,I5

dOve F/A =-6 i,n delle tavole finanziarie.

Calcoliamo

dove

per cui

A/Fi = G ,n fin

15 0,08

A/G8 ,I5 = 12,5 - 187,5 • 0,08

(1,08)15 - I

A/G8 ,I5 = 12,5 - 187,5 • 0,0368295 = 5,60 15

5 60) (1,08) - I , • 0,08 = (10.000 + 1.000 • F

F = (10.000 + 5.600) • 27,152113 = 423.573 us $

Esempio.- Si vuoI trovare il valore attuale P d~ una

serie di versamenti pari a 1.000 US $/anno nei primi

5 anni ed a gradiente aritmetico g= 100 negli anni

successivi per 15 anni, per un periodo complessivo di

19 ann1.E' assicurato un tasso di ritorno del IO % (0,10). • i

O I 2 3 4 5 6 • " • 18 19

1000 1000 1000 rooo 1000 IlOO 2300 2400 La conversione della ser:iJ.e a gradiente aritmetico

alla serie uniforme a versamenti uguali che si estende a

partire dal 5 o anno sino al 19 o anno (essendo anni 5 _ 19

i = IO % (0,1) ed n =15) è data d~la relazione:

A = 1.000 + 100 A/Gro,I5

dove I

= 0, IO 15

0, IO

425.-

essendo A/F. = ~., nelle tavole finanziarie si ha ~,n ~ n

= IO - 150 • ( I, IO) 15 - I

0, IO

= IO - 150 • 0,0314737

= IO - 4,721055 = 5,7289 pertanto

A = 1.000 + 100 5,2789 = I.527,89 us ~

p = 1.000 P/AIU ,4 + 1.527,89 P/AIO, 15 • P/F1O ,4

dove e P /Ji' . ~,n

n =.1)' nelle tavole

finanziarie. Avremo pertanto

p = 1.000 (1,10)4_ 1

4 0,10 .(1,10) + lo 527,89

( I, IO) 15 _ I 15 0,10 • (l,IO)

I •

p ~ 1.000 • 3,168783 + 1.527,89.7,606180 .0,683013

p = 11.106,35 US ~.

+ + + + + +

•

r ,

,'I Il

I 'I

'!I

l',

i

il 'I,' , !!:IIII '~:,' :,:

'"I Jii![,

426.-

Considerazioni conclusive.

Sono stati presentlati ed illustrati sette fatto-

ri che vengono comunemente impiegati nel calcolo di

tre fondamentali indici finanziari. In sintesi :

Indici finanziari

Present Value (o Present worth)

Future Value (o Future Worth)

Annual Value (o Annual Worth)

Fattori

P/F. l, n o P/A. l,n,

F/P. l,n o F/A. l,n A/P. , l,n A/F. o A/G. l.,n l,n

L' uso di questi sette fattori nel calcolo delle

equazioni del Present Value, Future Value ed Annual

Value è il presupposto indispensabile per una gene-

rale conoscenza dei metodi che consentiranno di pren-

dere delle decisioni sugli investimenti (Investment

Decision Methods )che verranno illustrati diff'usamente

in seguito.

+++++++ + + +

+

r ,----- u_ --.., ,

Tutti puntiche giacciono

su questa linea rappresentan"o

campioni il cui contenuto in

Cu eW deI13%.

/ /

Pb% 10 20 30 40

Cu%

I I

I I

I

I

I I

I

I-

Tutti punti che giaccio no

su questa linea rappresen

tano campioni il cui conte

nutc in Zn é"del 53 %.

- - 0- - - - - - - - - -

l,' I

I

50 60

Fi 9. 81 a

70 80 90 Zn%

427.-

ULTERIORI U T I L I RICHIAMI

I diagrammi temari

Molti giacimenti minerari polimetallici, come i

depositi vulcanogenici a solfuri, contengono diversi

metalli che vengono in gran parte recuperati nei con-

centrati mercantili prodotti negli impianti di trat-

tamento mineralurgico.

Per mettere in evidenza la relazione quantitati-

va che intercorre tra i diversi elementi si ricorre

molto spesso ai diagrammi te mari usati ampiamente in

petrologia.

SUpponiamo che il rinfuso prodotto in una minie-

ra abbia il seguente contenuto metallico

8 % Zn 2 % Gu e 5 % Pò Per determinare il rapporto che intercorre tra

questi elementi si deve verificare la relazione :

Zn + Cu + Pb = 100 % per cui avremo : Zn = 53 % Cu = 13% Plil = 34 %

T o t a l e 100 % I vertici del diagramma ternario (Fig. 81 a) cor-

rispondono a tenori del 100 % in Zn, Cu e PÒ rispetti-vamente ; in altri termini rappresentano minerali che

contengono un solo metallo. Il mineralre che si trova

sul lato opposto al vertice Gu per esempio,tra Pb e

Zn, non contiene Gu ma può contenere Pb e Zn i pro-

porzioni variabili tra lo zero ed il 100 %. Per individuare il punto che corrisponde alle coor-

dinate 53, 13 e 34 sarà sufficiente tracciare la li-

nea del 53 % in Zn e la linea del 13 % in Cu. Il pun-

428.-

to di intersezione tra le due rette è il punto ce.rca-

to poichè automaticamente rimane individuato anche il

tenore del 34 % in Pb ed i tre elementi raggiungono il 100 %.

Se i tenori di campioni raccolti in uno stesso

giacimento o di un gruppo di depositi connessi fra

loro giaccionè, tutti in un' area del diagramma terna-

rio molto prossima ad un vertice si riporta il detta-

glio della sola parte in questione evidenziando la

relativa posizione del vertice selezionato come in-

dicato della Fig. 81 m. Se tutti i campioni,relativamente ricchi in Zn,

hanno tenori superiori al 50 %, si potrà tracciare un altro diagramma i vertici del quale corrispondono

al 50 % in Cu e 50 % in Pb come indicato nella Fig. 81 b.

Analogamente per rappresentare i dati rilevati

dei componenti di costo di alcune fasi operative o

di alcuni prodotti si può utilizzare la proprietà del

diagramma ternario ossia del triangolo equilatero per

cui la somma delle distanze da un punto interno al

triangolo dai tre lati è costante ed è uguale alla

altezza del triangolo posta in tal caso pari a 100.

Componenti di costo in % del costo totale Componenti Fasi operative o prodotti di cOsto

A :a C D E Manodopera MO 50- 25 80 15 65

Consumi e Materiali CM 30 40 15 IO

Spese generali SG al 35 5 ·25 25

T o t a l i IOO 100 mo mo leG

O C')

• • ~ O Il) • ::J () • •

... , ... , ... ... , ... ...

o

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