CORSO BASE DI MATEMATICA FINANZIARIA

CHE COSA E’ LA MATEMATICA FINANZIARIA?

BISOGNO FABBISOGNO

Non esiste una relazione perfettaappartamento Soldi per acquistare l’appartamento

Dalla imperfetta correlazione tra bisogno e fabbisogno

NASCE

IL MERCATO FINANZIARIO

La matematica finanziaria studia il comportamento degli operatori in questo grande mercato che ha come merce di scambio il denaro.

• MERCATO DI CAPITALI PERFETTO

• OPERAZIONI FINANZIARIE E NOMENCLATURA

• REGIMI FINANZIARI

• TASSI EQUIVALENTI E TASSI NOMINALI

• COSTITUZIONE DI UN CAPITALE E RENDITE.

• PROGETTI ECONOMICO-FINANZIARI E CRITERI DI VALUTAZIONE DI UN INVESTIMENTO

• DURATION DI UN TITOLO E DI UN PORTAFOGLIO DI TITOLI

• ESERCIZI APPLICATIVI

INDICE

MERCATO DEI CAPITALI PERFETTO

• Informazione unitaria equamente distribuita.

• L’operatore non conosce le conseguenze delle sue operazioni.

• Non si pagano imposte sul trasferimento dei titoli.

• Gli operatori sono massimizzatori del profitto.

• Esiste in ogni istante UN UNICO PREZZO.

OPERAZIONE FINANZIARIE

OPERZIONI FINANZIARIE ELEMENTARI (a capitalizzazione integrale)

OPERZIONI FINANZIARIE COMPOSTE

OPERAZIONI FINANZIARIE ELEMENTARI

-P M

P

X

X

Y

Y

-M

OPERAZIONE FINANZIARIA DI INVESTIMENTO.

OPERAZIONE FINANZIARIA DI FINANZIAMENTO.

P= capitale investito.M=montante.X=data investimento.Y=data disinvestimento.

P= valore attuale.M= capitale dovuto a scadenza.X=data investimento.Y=data disinvestimento.

I=M-P (interesse prodotto nell’operazione=utile)

D=M-P (sconto prodotto nell’operazione)

NOMENCLATURA

Unitari rispetto agli importi

Unitari rispetto al tempo (sono riferiti ad un periodo di durata 1)

My/Px = r(x,y)Montante unitario

Py/Mx= v(x,y)Valore attuale unitario

Ix,y/Px= i(x,y)Interesse unitario

Dx,y/My= d(x,y)Sconto unitario

r fattore di capitalizzazione

v fattore di attualizzazione

i tasso di interesse

d tasso di sconto

Queste funzioni

 In funzione di

queste

 r(x,y)

 v(x,y)

 i(x,y)

 d(x,y)

 r(x,y)

 /

 1 / r (x,y)

 r (x,y) - 1

 (r(x,y)–1)/r(x,y)

 v(x,y)

 1 / v (x,y)

 /

 (1–(x,y))/v(x,y)

 1 - v(x,y)

 i(x,y)

 1 + i (x,y)

 1/(1 + i (x,y))

 /

 i(x,y)/(1+i(x,y)

 d(x,y)

 1/(1 – d(x,y))

 1 - d(x,y)

 d(x,y)/(1–d(x,y))

 /

Basta conoscere una delle 4 funzioni ed è possibile ricavare le altre

Va fatto notare che è possibile esprimere il montante, il valore attuale, lo sconto e l’interesse con le seguenti espressioni

My=Px * r(x,y) con questa si può riportare finanziariamente l’importo P all’epoca y. Si dice che si sta capitalizzando l’importo P.Px=My * v(x,y) con questa si può riportare finanziariamente l’importo M all’epoca x. Si dice che si sta attualizzando l’importo M.

P M

X Y

CAPITALIZZARE P

ATTUALIZZARE M

Ix,y=Px * i(x,y)

Dx,y=My* d(x,y)

Si è fatto riferimento a operazioni che presentano due solo epoche.

Ad esempio si è studiata la funzione v(x,y), che può rappresentare il prezzo di un titolo, all’epoca x, che mi garantisce un capitale unitario, all’epoca y.

-data investimento x-data disinvestimento y

Esistono, però, anche altri tipi di operazioni che presentano tre epoche o istanti:

-istante u nel quale si stipula il contratto e si stabilisce il prezzo.

-istante x nel quale si regola il prezzo del contratto.

-istante y nel quale scade il contratto.

Questo tipo di contratti viene detto a termine; si indica con v(u,x,y) il prezzo di un titolo che viene stipulato all’epoca u, regolato all’epoca x e che mi restituisce un capitale unitario all’epoca y.

CONTRATTI A TERMINE

Un contratto a termine è detto anche contratto future. L’effettuazione dei contratti future deriva da tre esigenze diverse:

COPERTURA

SPECULAZIONE

ARBITRAGGIO

REGIME FINANZIARIO DELL’INTERESSE SEMPLICE

r(t) = 1 + i * t

i (t) = i * t

v(t) = 1 / (1 + i * t)

d(t) = i * t / (1 + i * t)

La caratteristica fondamentale di questo regime è quella di avere l’interesse prodotto, periodo per periodo, proporzionale al capitale inizialmente investito e alla durata dell’investimento.

I = P * i * t

REGIME FINANZIARIO della capitalizzazione composta

La caratteristica fondamentale del regime della capitalizzazione composta e cioè il disinvestimento ad ogni epoca e quindi il successivo, immediato, reinvestimento, della somma ricavata dal disinvestimento, per l’epoca successiva (roll over) può essere espresso dal fatto che l’interesse prodotto tra t e t+1 è proporzionale al capitale investito all’inizio del periodo. Questo regime è scindibile e ciò comporta l’indifferenza tra l’attuare un’operazione unica o n operazioni più piccole.

r(t) = ( 1 + i )t

i (t) = ( 1 + i )t – 1

v(t) = 1 / ( 1 + i )t

d(t) = 1 - ( 1 + i )-t

REGIME FINANZIARIO dello sconto commerciale

La caratteristica fondamentale di questo regime è quella di avere lo sconto prodotto periodo per periodo proporzionale al capitale da scontare e alla durata dell’investimento.

D = M * d * t

r(t) = 1 / (1 – d *t)

i (t) = 1 – 1 / ( 1 – d *t)

v(t) = 1 – d * t

d(t) = d * t

ATTENZIONE!!Validità del regime:

0 < t < 1/d

CONFRONTO FRA I 3 REGIMI

Calcoliamo il montante di un investimento nei 3 regimi considerati:

Investiamo 100 euro in un fondo di investimento che ci garantisce il 2% annuo. Il direttore del fondo ci da l’opportunità di scegliere il regime con cui capitalizzare i soldi investiti.

Essenzialmente bisogna studiare 3 casi:

-Investimento per un periodo minore dell’anno.

-Investimento per un periodo uguale all’anno.

-Investimento per un periodo maggiore dell’anno.

1° CASOSupponiamo di volere investire 100 euro per 8 mesi con i=2% (questo tasso è annuale)La prima operazione da fare è quella di ricondurre alla stessa unità di misura il tempo e il tasso. i=2%t=8/12 anniP=100

Capitalizzazione sempliceM= 100*(1 + 2% * 8/12) =101,3333333

Capitalizzazione compostaM=100*( 1 + 2% )(8/12)=101,3289279

Sconto commercialed=i/(1+i)=0,019607843M=100/(1-0,019607843*8/12)=101,3245033

2° CASOSupponiamo di volere investire 100 euro per 1 anno con i=2% . i=2%t=1 annoP=100

Capitalizzazione sempliceM= 100*(1 + 2% * 1) =102,00000

Capitalizzazione compostaM=100*( 1 + 2% )1= 102,00000

Sconto commercialed=i/(1+i)=0,019607843M=100/(1-0,019607843*1)= 102,00000

3° CASOSupponiamo di volere investire 100 euro per 6 anni con i=2% (questo tasso è annuale)i=2%t=6 anniP=100

Capitalizzazione sempliceM= 100*(1 + 2% * 6) = 112,0000

Capitalizzazione compostaM=100*( 1 + 2% )(6)= 112,61624193

Sconto commercialed=i/(1+i)=0,019607843M=100/(1-0,019607843*6)=113,33333333

TASSI EQUIVALENTI

0 1/m 2/m (m-1)/m m/m=1

immaginiamo di dividere l’anno in m parti:Si definirà m come il frazionamento dell’anno

Due tassi si dicono EQUIVALENTI se, applicati ad uno stesso regime finanziario, producono lo stesso montante nello stesso periodo di tempo.

La stessa definizione, con gli opportuni cambiamenti può essere data per i tassi di sconto.

i(1/m)

i(1/m) è l’interesse prodotto da un capitale unitario in 1/m di anno.

Capitalizzazione semplice:i(1/m) = i / m

Capitalizzazione composta:(1 + i) = (1 + i(1/m))m

Sconto commerciale:d(1/m) = d / m

In capitalizzazione composta:Tasso annuale=i i=5%Tasso semestrale=? i(1/2)=?In un anno ci sono 2 semestri m=2

Tasso annuale=i i=5%Tasso trimestrale=? i(1/4)=?In un anno ci sono 4 trimestri m=4

(1+5%)=(1+i(1/2) )2

i(1/2)=2,46950766%

(1+5%)=(1+i(1/4) )4

i(1/4)=1,22722344%

TASSI NOMINALIIn regime di capitalizzazione composta esiste un altro modo per calcolare il tasso relativo ad una frazione di periodo unitario.

Se investo al tasso annuo sto scegliendo, implicitamente, di effettuare un’unica operazione con inizio immediato e durata unitaria ad un tasso noto e certo, se si investe per un anno al tasso mensile (equivalente) si dovranno effettuare 12 operazioni di reinvestimento che ipotizzano sempre lo stesso tasso, cosa non necessariamente vera nella realtà dei mercati finanziari.

Dunque l’equivalenza espressa dai tassi equivalenti ipotizza implicitamente che i tassi rimangano costanti per ciascuna frazione di periodo unitario (anno).

j(m) = = i(1/m) *m

dove in generale j(m) è il tasso annuo nominale di interesse convertibile m volte l’anno (o frazionato m volte l’anno).

j(m)=

= = d.

d viene chiamato tasso istantaneo di interesse o tasso nominale annuo convertibile infinite volte. Viene anche indicato come j().

Le stesse considerazioni fatte per il tasso di interesse possono essere fatte per il tasso di sconto. Il tasso nominale di sconto è indicato con r(m).r(m)= m * d(1/m)

Può essere, naturalmente, espresso come

r(m)=

L’asintoto orizzontale r() è il tasso nominale annuo di sconto convertibile infinite volte e viene indicato con .rr= -ln(1-d) = d = ln(1+i)

RENDITE

R0 R1 R2 … Rn-1 Rn

t0 t1 t2 tn-1 tn

Un’operazione finanziaria composta è un contratto di scambio tra n (n≥2) importi esigibili in epoche diverse.

Per identificare un’operazione finanziaria composta è necessario definire univocamente:• il vettore dei cash flows (rate) {R0 ; R1 ; …; Rn }• il vettore delle scadenze (scadenzario) {t0 ; t1 ; …; tn }• il vettore “dei segni”, con cui si identificano le poste in entrata (contraddistinte con il segno “+”) e quelle in uscita (contraddistinte con il segno “-”).

Le operazioni che presentano un solo cambiamento di segno sono chiamate RENDITE.Un esempio classico di rendita è il BTP (buono del tesoro poliennale).Il regime finanziario prescelto nelle rendite è quello della capitalizzazione composta.Si userà la struttura piatta di mercato ovvero con tassi di interesse costanti per tutti il periodo preso in considerazione. Il tasso i preso in considerazione viene chiamato TIR.

VALORE CAPITALE DI UNA RENDITA

VALORE CAPITALE: è la somma delle rate riportate finanziariamente all’epoca h di valutazione (compresa tra zero e n)

Wh=+

VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA

VALORE ATTUALE: è la somma dei valori attuali delle rate. Quindi si può calcolare come valore capitale con h=0

W0=A=

MONTANTE DI UNA RENDITAMONTANTE: è la somma dei montati delle rate. Si può calcolare come valore capitale con h=n

Wh=M=

ANALISI DI UN BTP

Un buono poliennale del tesoro è un’operazione finanziaria di rendita che, dietro pagamento del prezzo, assicura una serie di importi prefissati disponibili in epoche predeterminate (cedole: c) e il rimborso a scadenza del capitale investito.

C = * VN Dove VN è il valore nominale

Cash flow di un BTP biennale, cedola semestrale al tasso nominale annuo del 6%, valore di rimborso pari a 100 e prezzo del BTP=98.

-98 3 3 3 103

0 1/2 1 3/2 2

Voglio acquistare BTP per un valore nominale di 20.000, che scadono tra 2 anni, che prevedono un pagamento di cedole semestrali al 4% nominale annuo e rimborso alla pari. Ipotizzando un tasso di rendimento del 5% effettivo annuo, costante per i prossimi due anni a quale prezzo posso acquistare questi titoli?

Per trovare il prezzo che è il valore attuale del BTP si calcola la somma dei valori attuali degli importi alle varie epoche.X=

VN 20000j(2) 4%i 5%i(1/2) 2,470%

01234

Valori attuali degli importi

La somma di questi valori attuali mi da il prezzo del BTPP=19646,48523

40040040020400

390,3600292380,952381371,771456418503,40136

NOMENCLATURA DELLE RENDITE

Le rendite possono classificarsi: in base allo scadenzario:• rendite periodiche• rendite non periodicheIn base all’epoca cui si riferiscono le rate:• rendite anticipate• rendite posticipate In base al numero delle rate:• rendite temporanee• rendite perpetue

In base alla data cui si versa (incassa) la prima rata rispetto all’epoca cui si calcola il valore attuale:• rendite immediate• rendite differiteIn base alla periodicità delle rate rispetto allo scadenzario:• rendite intere• rendite frazionate• rendite nel continuoInfine, si distingue tra rendite con rate costanti e rendite con rate non costanti

Valori attuali delle rendite (in formule compatte)

intereImmediate

intere, differite(di h periodi)

Frazionate(immediate)

Frazionate(differite di h

periodi)

posticipate

*R *R* *R *R*

anticipate

*R *R* *R *R*

intereImmediate

Frazionate(immediate)

posticipate

*R *R

anticipate

*R *R

Montanti delle rendite (in formule compatte)

Il montante di una rendita differita coincide con quello di una rendita immediata (a parità di tasso di interesse).

COSTITUZIONE DI UN CAPITALE

La costituzione di un capitale parte dal concetto di rendita. Vogliamo avere fra 20 anni un capitale di 100.000. Ci viene garantito, da un fondo di accumulazione, che il tasso di costituzione del capitale è del 5%. Quale deve essere l’importo da versare alla fine di ogni mese per avere dopo 20 anni quella somma?

DATI:Rendita:• Immediata• Frazionata• Periodica• PosticipataM=100.000n=12*20=240i=5%i(1/12)=(1+ i)(1/12) – 1 = 0,407412 %Questa è il tasso mensile equivalente all’annuale

La formula che ci serve per risolvere il problema è *R=MSi ricava R=246,4240875

Il problema poteva essere risolto ugualmente utilizzando *R, sapendo che j(12)=12*0,41=4,889%Si ricava la rata annuale R=2957,08905Dividendola per 12 si ottiene la rata mensileR=246,4240875

PROGETTI ECONOMICO-FINANZIARI E CRITERI DI VALUTAZIONE DI UN INVESTIMENTOUn progetto è un’operazione finanziaria. Indichiamo un generico progetto con A=[a, t], con a e t vettori (riga):a= (a0, a1, …, an ) vettore degli importi o vettore dei cash flowt= (t0, t1, …, tn ) vettore delle scadenze o scadenzario.Un progetto è un’operazione finanziaria in cui il vettore dei segni dei cash flow può avere un numero qualsiasi di cambiamenti di segno. Il numero dei cambiamenti di segno presenti nel vettore dei cash flow del progetto permette di classificare i progetti in:

• PROGETTI DI INVESTIMENTO

• PROGETTO DI FINANZIAMENTO

• PROGETTI MISTI

L’algebra dei progetti è quella classica dei vettori con la solo accortezza che nella somma o differenza di progetti per quanto riguarda lo scadenzario si prende l’unione di questi.

A: a=(-5,2,3,4) B: b=(1,2,9) t= (0,1,2,3) t= (1,2,6)

A+B: a+b= (-5,3,5,4,9) ta+tb= (0,1,2,3,6)

L’uguaglianza tra due progetti comporta lo stesso scadenzario e l’ordinata corrispondenza di ciascun importo

A: a=(-5,2,3,4) B: b=(-5,2,3,4) t= (0,1,2,3) non sono uguali t= (0,1,2,4)

A: a=(-5,2,3,4) B: b=(-5,2,3,4) t= (0,1,2,3) sono uguali t= (0,1,2,3)

Vettore dei saldiIl vettore dei saldi s=[s1; s2; …; sn] relativo ad un progetto A=[a; t] è un vettore le cui componenti sono la somma algebrica della componente relativa all’epoca precedente ed il flusso del progetto A

s0=a0

s1=s0+a1

…

Sn=sn-1+an

Il vettore s si definisce vettore dei saldi a tasso “0” o vettore dei saldi contabili perché non tiene conto dei tassi di interesse.

Se teniamo conto dei tassi di interesse (in ipotesi di struttura piatta) il vettore dei saldi s(i) è dato dal valore capitalizzato della componente precedente cui viene sommata la componente dell’epoca in corso del vettore dei cash flows del progetto:S0=a0

S1=s0*(1+i)+a1

…

Sn=sn-1*(1+i)+an

Il vettore s(i) prende il nome di vettore dei saldi a tasso “i”; ovviamente il saldo sn (i) è diverso dal saldo sn.

Se la struttura dei tassi non è piatta il vettore dei saldi s(i(t-1,t)) è definito dalla:S0=a0

S1=s0*(1+i(0,1))+a1

…

Sn=sn-1*(1+i(n-1,n))+an

Il vettore s(i(t-1,t)) prende il nome di vettore dei saldi a tassi variabili.

Nella realtà operativa si utilizzano, piuttosto che i tassi di mercato, due tassi: un tasso y per i saldi attivi ed un tasso x per i saldi passivi. Il vettore dei saldi s(x,y) è:S0=a0

s0*(1+x)+a1 se a0 < 0S1= s0*(1+y)+a1 se a0 > 0

… sn-1*(1+x)+an se an-1 < 0Sn= sn-1*(1+y)+an se an-1 > 0

Per poter confrontare (e quindi scegliere) tra diversi progetti è necessario verificare che essi siano:

1. Completi (o omogenei): due o più progetti sono completi se hanno la stessa dimensione (esborso iniziale) e stessa durata. I progetti possono essere resi completi tramite progetti integrativi.

2. Ammissibili: un progetto è ammissibile se il soggetto economico è in grado di attuarlo

3. Alternativi: l’operatore deve scegliere un solo progetto

4. Indipendenti: due (o più progetti) sono indipendenti se l’accettazione o il rifiuto di un progetto non ha alcuna influenza né sull’ammissibilità né sugli elementi che descrivono gli altri progetti.

CRITERI DI VALUTAZIONE DI UN PROGETTO DI INVESTIMENTOUn criterio di valutazione di un progetto è funzione f che, applicata al vettore dei cash flows del progetto A, restituisce uno scalare: f (A) = λ.Tra più progetti si sceglierà quello che presenta il valore massimo della f( ):⋅A preferito B ⇔ f (A) > f (B)A = B ⇔ f (A) = f (B)

Un generico criterio di scelta f gode di alcune proprietà: ♦ Deve essere applicabile ad una certa classe di progetti; ♦ Se aumentano le entrate del progetto A deve aumentare anche la f (A); ♦ Se anticipiamo un ricavo o posticipiamo un costo la f aumenta; ♦ Se cambiamo l’unità di misura dei progetti (ad esempio da dollari in euro)

l’ordinamento tra progetti generato dalla f ( ) non cambia:⋅se f (A) > f (B), dato α >0, anche f (α Α )> f (α Β).

Un criterio di scelta si dice relativo o dimensionale sef (A) = f ( α A) ∀ α > 0Si dice assoluto o adimensionale sef (αA) = α f (A) ∀ α > 0

CRITERIO DEL VAN

Il VAN (valore attuale netto) è la somma algebrica dei valori attuali dei flussi di cassa associati ad un progetto:

f(A)=VAN(A)=

Se valutiamo due progetti di investimento sceglieremo quello con il VAN più elevato.Il VAN misura il guadagno associato ad un progetto riportato finanziariamente all’epoca t0.

CRITERIO DEL VFN

f(A)=VFN(A)=

Se si vuole valutare il guadagno associato ad un progetto di investimento non all’epoca iniziale t0, ma a quella finale, tn, capitalizzando fino all’epoca tn i flussi si ottiene un nuovo criterio di scelta: il VFN (valore finale netto).

Se i due tassi usati nelle equazioni precedenti coincidono, i due criteri assegnano lo stesso ordine di preferibilità tra progetti alternativi. Inoltre, per la scindibilità della legge finanziaria usata (la capitalizzazione composta):

VFN(A)=VAN(A) * VAN e VFN sono due criteri assoluti e soggettivi (dipende strettamente dal tasso utilizzato) e sono lineari rispetto al vettore dei capitali.

CRITERIO DEL TIR

Il TIR è quel tasso i che rende pari a 0 il VAN.

f(A):=0

Problema del TIR:

-Il TIR è un criterio oggettivo, utilizzabile però solo per quei progetti il cui vettore dei segni presenta una sola inversione (quindi non è applicabile ai progetti misti).- Il TIR non è lineare rispetto al vettore dei capitali

CRITERIO DEL SALDO FINALE O TRM

E’ possibile utilizzare il saldo finale associato ad un progetto come criterio di scelta: tra due o più progetti alternativi si sceglie quello con il saldo finale maggiore.Tale saldo può essere calcolato con un unico tasso (in tal caso si ottiene il medesimo risultato ottenuto col criterio del VFN), in base alla struttura per scadenza dei tassi di mercato o utilizzando due tassi distinti per i saldi positivi e quelli negativi. Il criterio del saldo finale a due tassi prende il nome anche di criterio del TRM, ha il vantaggio rispetto al VFN di tener conto delle diverse esigenze di scelta dei tassi per i progetti che alternano entrate ed uscite.Questo criterio è assoluto ma non lineare rispetto al vettore dei capitali

Un individuo ha a disposizione un capitale di € 41.000 ed intende mettere in atto il più conveniente tra due progetti di impiego,

descritti rispettivamente dai seguenti flussi di entrate ed uscite alle scadenze indicate in anni:

Progetto A: At = [- 41.000; +15.000; +13.000; +15.000]

t = [ 0 ; 1 ; 2 ; 3 ]

Progetto B: Bt = [-45.000; + 23.500; + 12.000; +13.000]

t = [ 0 ; 1 ; 2 ; 3 ]

Se mancano i capitali, può accedere ad un finanziamento, descritto dal seguente progetto F:

Progetto F: Ft = [+S; - 1/4 S; -S]

t = [ 0 ; 1; 2 ]

in cui S rappresenta l’importo del capitale che occorre prendere a prestito e le scadenze sono espresse in anni.

In t=0 si osserva la seguente struttura per scadenza dei tassi effettivi annui:

i(0,1) = 3,5%

i(0,2) = 3,62%

i(0,3) = 3,75%

a)    Nell’ipotesi in cui il creditore impieghi tutte le eccedenze ai tassi vigenti di mercato in regime di capitalizzazione composta,

calcolare l’alternativa più conveniente in base al criterio del saldo finale.

a)    Calcolare inoltre il TIR ed il REA al tasso del 2% associato ai due progetti d’investimento.

Capitale a disposizione € 41.000

t Cap. a disp. Flussi Prog. A i(0,t) i(t-1,t) Saldi A

0 € 41.000,00 -€ 41.000,00     € 0,00

1   € 15.000,00 3,50% 3,50% € 15.000,00

2   € 13.000,00 3,62% 3,74% € 28.561,02

3   € 15.000,00 3,75% 4,01% € 44.706,46 = Saldo finale

TIR 2,4202%

REA € 335,91 tasso valutazione REA 2,00%

Somma mancante=   € 4.000,00

t Cap. a disp. Flussi Prog.B Flussi Prog. F. Prog(B+F) i(t-1,t) Saldi B

0 € 41.000,00 -€ 45.000,00 € 4.000,00-€ 41.000,00   € 0,00

1   € 23.500,00 -€ 1.000,00 € 22.500,00 3,50% € 22.500,00

2   € 12.000,00 -€ 4.000,00 € 8.000,00 3,74% € 31.341,53

3   € 13.000,00   € 13.000,00 4,01% € 45.598,48 = Saldo finale

TIR 3,403%

tasso valutazione REA 2,00% REA € 998,36

Scelgo l'alternativa B, sia in base al criterio del TIR, sia in base al criterio del REA, sia in base al criterio del saldo finale.  

DURATION DI UN TITOLO E DI UN PORTAFOGLIO DI TITOLI

Durata dell’operazione finanziaria

Nelle operazioni a capitalizzazione integrale la durata dell’operazione coincide con la data di disinvestimento (y). Viene detta anche SCADENZA o MATURITY.

Nelle operazioni composte la durata dell’operazione è data dalla durata media finanziaria o anche DURATION.

∑𝒔=𝟏

𝒏

𝒔∗𝑹𝒔∗𝒗 𝒔

∑𝒔=𝟏

𝒏

𝑹𝒔∗𝒗 𝒔=𝑷

La duration

Epoca ottima di smobilizzo

RISCHIO DI REALIZZO = RISCHIO DI REINVESTIMENTO

Duration come indicatore di scelta tra progetti

La duration può essere utilizzata come criterio di selezione tra progetti alternativi e confrontabili. Ci riferiamo ancora a progetti di investimento.

Abbiamo già definito la duration come epoca ottima di smobilizzo, epoca quindi in cui l’investimento risulta immunizzato dal rischio di variazione dei tassi di interesse; dunque, un progetto con duration più elevata implica un’epoca ottima di smobilizzo più “lontana” nel tempo, e quindi meno conveniente se i tassi di mercato sono crescenti. Viceversa è preferibile un progetto con duration elevata se i tassi di mercato sono decrescenti, un tale investimento infatti viene mantenuto più a lungo in portafoglio, beneficiando di tassi maggiori rispetti a quelli di mercato.Tale discorso vale per i progetti di investimento. Se consideriamo progetti di finanziamento il ragionamento è del tutto speculare a quanto illustrato.

Consideriamo un’operazione finanziaria che a fronte di un investimento iniziale di 650 € garantisce 4 ritorni annui che

diminuiscono in progressione aritmetica di ragione -30 € e di primo importo pari a 230 €. Calcolare il tir del progetto

e la Duration. Verificare inoltre che la Duration è l’epoca ottima di smobilizzo

(ipotizzare uno shift del TIR dell'1% sia in aumento sia in diminuzione)

A= € 650,00 D(ragione)= -€ 30,00 R1= € 230,00

n= 4

t F(t)

0 -€ 650,00

1 € 230,00

2 € 200,00

3 € 170,00

4 € 140,00

TIR= 5,898%

    shift

D= 2,2286 1,00% -1,00%

i=TIR i'>TIR i''<TIR

t F(t) F(t) in t=D F(t) in t=D F(t) in t=DValori di ciascun flusso all'epoca Duration

0 -€ 650,00      

1 € 230,00 € 246,78 € 249,64 € 243,92 Valori di reinvestimento in

t=D2 € 200,00 € 202,64 € 203,07 € 202,20

2,22861346 € - € - € - € - +

3 € 170,00 € 162,65 € 161,47 € 163,84 Valori di realizzo in t=D4 € 140,00 € 126,49 € 124,40 € 128,63

€ 738,55 € 738,59 € 738,59 =Valore di smobilizzo in t=D

5,9% 5,9% 5,9% HPR

GRAZIE PER L’ATTENZION

E