Elementi Di Matematica Finanziaria

8/22/2019 Elementi Di Matematica Finanziaria

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ELEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA

9.1 OPERAZIONI FINANZIARIE

La Matematica Finanziaria ha per oggetto di studio le operazioni finanziarie, cio leoperazioni di scambio di somme di denaro disponibile in tempi diversi. Gli elementifondamentali di un'operazione finanzaria sono importi e scadenze. Sulla base di questidue elementi si effettua una prima distinzione:

operazioni finanziarie certe: sono quelle i cui importi si rendono disponibili concertezza,

operazioni finanziarie aleatorie: sono quelle i cui importi si rendono disponibili solose si verificano degli eventi aleatori.

La Matematica finanziaria classica si occupa delle operazioni finanziarie certe, mentre laMatematica attuariale si occupa delle operazioni finanziarie aleatorie.

Esempi di operazioni finanziarie certe.1) Depositando denaro sul c/c bancario da cui si preleveranno capitale e interessi si

scambia il versamento odierno con un prelevamento futuro.2) Comprando oggi BOT che si rivenderanno fra un mese, si scambia la somma oggi

investita con il ricavo della vendita fra un mese.3) Stipulando oggi un mutuo con rimborso graduale si scambia la disponibilit che oggi si

riceve per effetto del contratto di mutuo con i versamenti che si faranno alle scadenzeconvenute.

4) Stipulando oggi un acquisto di un'auto con pagamento rateale, si scambia la sommaricevuta subito in natura (valore dell'auto), con le rate che si verseranno alle scadenze

dovute.

Per introdurre alcuni concetti fondamentali si consideri una operazione finanziariaelementare consistente nello scambio fra due individui A e B di due capitali,rispettivamente C ed M con M > C, in due successivi tempi x e y .

Il soggetto A cede a B il capitale C disponibile al tempo x ; in cambio B cede ad A ilcapitale M disponibile al tempo y > x .

Se l'operazione di scambio dell'importo C al tempo x contro l'importo M al temposuccessivo y accettata dai due individui, si dice che C e M sono finanziariamenteequivalenti fra loro e che l'operazione equa.Avendo supposto x < y si ha che:

A detto creditore o mutuante;B detto debitore o mutuatario;C il capitale impiegato, anticipato o investito;M il capitale dovuto alla scadenza;x la data di investimento;y la data di scadenza;[x,y] il periodo di impiego.

x

C M

y


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Parte 9 OPERAZIONI FINANZIARIE________________________________________________________________________________________________________________________

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La descrizione di un'operazione finanziaria si pu fare associando alle varie scadenzenelle quali si hanno movimenti di cassa gli ammontari di tali movimenti. Di norma lescadenze si misurano in anni e gli ammontari in entrata e in uscita sono dotati

rispettivamente di segno ++++ (eventualmente omesso) e di segno .Quindi per descrivere un'operazione finanziaria basta assegnare delle coppie di numeri

(scadenza, flusso di cassa), (ts , xs) con s = 1,,n e ove ts , in un'appropriata unit dimisura, la scadenza alla quale si manifesta il flusso di cassa xs (valori positivisegnalano entrate, valori negativi segnalano uscite).

Esempio.Oggi concedo un prestito di 3000 ; fra un anno mi rimborsano 1000 , fra 1 anno emezzo altri 1200 e fra due anni altri 1300 .

Scadenza(tempo)

Flusso di cassa(importo)

0 -3000

1 1000

1,5 1200

2 1300

Si pu anche usare una rappresentazione geometrica, detta retta dei tempi.

9.1.1. OPERAZIONI DI CAPITALIZZAZIONE

Si parla di un'operazione di capitalizzazione quando il denaro portato avanti neltempo ossia si trasforma una disponibilit immediata C al tempo x , in una disponibilitfutura M al tempo y ; noti C , x , y si deve determinare M .In questa operazione finanziaria l'elemento fondamentale il capitale C ; M dettomontante, al tempo y , del capitale C impiegato al tempo x .

Si definisce

interesse nel periodo [x,y] la quantit I = M C

fattore di montante :C

Mr =

Esso misura il montante per unit di capitale impiegato, ossia se C = 1 , allora r = M .

Dalle definizioni poste segue anche:

ICM += IMC = ,C

Mr = , rCM= ,

r

MC = , 1)(rCI = ,

C

I1r += .

t0 1 1,5 2 3

-3000 1000 1200 1300


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Esempio.Oggi investo 1000 , fra tre anni riscuoto 1800 .

1000 capitale1800 montante1800 1000 = 800 interesse

1,81000

1800= fattore di montante

9.1.2. OPERAZIONI DI ATTUALIZZAZIONE

Si parla di un'operazione di attualizzazione o di anticipazione o di sconto quando ildenaro portato indietro nel tempo; noti M , x , y si deve determinare C .In questa operazione finanziaria l'elemento fondamentale il capitale M ; la somma C sidice valore attuale al tempo x del capitale M , detto valore nominale, dovuto altempo y .

Si definisce

sconto sul capitale M la quantit D = M C .

fattore di sconto o di anticipazione :M

Cv = .

Esso rappresenta il valore in x corrispondente ad una unit di montante in y , ossiase M = 1 , v = C .

Dalle definizioni poste segue anche

DMC = , DCM += ,M

Cv = , vMC = ,

v

CM = .

Esempio.Oggi posso pagare 1000 per acquisire il diritto a riscuotere 1800 fra tre anni

1000 valore attuale o scontato1800 valore nominale1800 1000 = 800 sconto

0,551800

1000= fattore di sconto

0

1000 1800

3

0

-1000 1800

3


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9.1.3. LEGGI E REGIMI FINANZIARI

A parit di ogni altra condizione ragionevole aspettarsi che nelle operazioni dicapitalizzazione e di attualizzazione, il fattore di montante e il fattore di sconto dipendanodalla durata dellinvestimento.

Quando si vuole segnalare che i fattori di montante e di sconto sono funzione della duratat della operazione finanziaria si indicano, rispettivamente, con r(t) e v(t) .

La funzione r(t) rappresenta il montante in t equivalente al capitale C = 1 ; essa dettafunzione fattore di montante o di capitalizzazione.La funzione v(t) rappresenta il valore attuale in t = 0 equivalente al montante M = 1 int ; essa detta funzione fattore di sconto o di attualizzazione.

Si suppone che le operazioni finanziarie siano regolate da funzioni fattore cherappresentano il comportamento di un individuo razionale (colui che preferisce tanto apoco) e pertanto le propriet di una funzione fattore di montante e di una funzione fattoredi sconto si possono riassumere come segue.

Funzione fattore di montante una funzione r(t) tale che1) r(0) = 1 ,

2) r(t) 0 ossia r(t) crescente,

3) r(t) 1 .

Funzione fattore di sconto una funzione v(t) tale che1) v(0) = 1 ,

2) v(t) 0 ossia v(t) decrescente,

3) 0 < v(t) 1 .

r(t)

t

1

0

t

1

0

v(t)


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Abbiamo introdotto la funzione fattore di capitalizzazione r(t) e la funzione fattore disconto v(t) perch, di norma, le operazioni finanziarie di capitalizzazione e diattualizzazione dipendono dalla durata t dellinvestimento. Considerando r(t) e v(t)possiamo allora esprimere in funzione di t anche le altre grandezze.

Nelle operazioni di capitalizzazione, detto C il capitale investito per un periodo t , siha:

M(t) = C r(t) , I(t) = M(t) C = C (r(t) 1) , inoltre

C

tIti

)()( =

il tasso di interesse periodale relativo al periodo t . Esso linteresse prodotto daun capitale unitario nel periodo t .

Si faccia attenzione che di norma con il simbolo i si indica linteresse prodotto da uncapitale unitario in un periodo unitario di tempo (di solito un anno).

Dalle formule precedenti segue: r(t) = 1 + i(t)

Nelle operazioni di attualizzazione, detta M la somma da scontare (valore nominale) et il periodo di differimento, si ha:

C(t) = M v(t) , D(t) = M C(t) = M (1 v(t)) , inoltre

M

tD

td

)(

)( =

il tasso di sconto periodale relativo al periodo t . Esso lo sconto per ogni unitdi valore nominale nel periodo t di differimento.

Con il simbolo d si indica invece, di norma, lo sconto per ogni unit di montantequando il periodo di differimento lunit di tempo (di solito un anno).

Dalle formule precedenti segue: v(t) = 1 d(t)

Esempio.Si consideri loperazione finanziaria rappresentata da

Se si interpreta come operazione di capitalizzazione risulta:C = 100 capitale investitoM = 110 montanteI = 10 interesse totale

10%10010i(2) == tasso di interesse periodale relativo a t = 2 anni.

0

C = 100 M = 110

2 anni


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Se si interpreta come operazione di attalizzazione risulta:C = 100 valore attualeM = 110 valore nominaleD = 10 sconto totale

09%911010d(2) ,== tasso di sconto periodale relativo a t = 2 anni.

Nella pratica le operazioni di capitalizzazione e di attualizzazione sono regolate da fattoriche dipendono dal tempo secondo alcune formule matematiche. Queste formule, inlinguaggio finanziario, si chiamano regimi finanziari (di capitalizzazione o diattualizzazione) e contengono non soltanto il tempo ma anche altri parametri cheregolano la velocit con cui

nella capitalizzazione il montante cresce con il passare del tempo,

nellattualizzazione il valore nominale si contrae in valore scontato allallontanarsi della

scadenza.

Quando in un regime si specifica numericamente il valore del parametro, aventeusualmente la natura di tasso di interesse o di sconto, si ottiene una formula matematicache consente di capitalizzare o di attualizzare univocamente una somma, qualunque sia lascadenza. Questa formula con parametro precisato si chiama legge finanziaria(rispettivamente di capitalizzazione o di attualizzazione).

Esempio.

Sia f(t) = 1 + t2 con > 0 . Poich f(0) = 1 e f'(t) = 2t > 0 per ogni t > 0 , la

funzione f(t) = 1 + t2 rappresenta un possibile regime finanziario di capitalizzazione. Se

si assegna ad il valore 0,01 , la funzione f(t) = 1 + 0,01t2

rappresenta una legge dicapitalizzazione di tale regime. Al variare del valore del parametro , cambia la leggenell'ambito dello stesso regime finanziario.

E ragionevole supporre che se riteniamo equivalenti due importi C in t0 e M in t , doveM ottenuto capitalizzando C , allora attualizzando M dovremmo ottenere C . Nella

pratica finanziaria un contratto avviene fra due controparti, per esempio A e B e seper A l'operazione si identifica in un'operazione di capitalizzazione, allora per B lastessa un'operazione di attualizzazione. Ad esempio: il direttore di una banca faun'operazione di investimento (capitalizzazione) quando presta a un'impresa il capitale Cal tempo t0 che gli sar restituito al tempo t e varr M . Per l'impresa l'operazione puessere vista come un'operazione di sconto in quanto si impegna a rendere M in t echiede che le venga anticipato (scontato) il capitale C in t0 .Da quanto detto, segue che per essere entrambe d'accordo due controparti usano regimidi attualizzazione e di capitalizzazione soddisfacenti le relazioni:

C r(t) v(t) = C , M v(t) r(t) = Mossia

r(t) v(t) = 1 , t 0 .

DEFINIZIONE. Due regimi finanziari di capitalizzazione e di attualizzazione aventi come

funzioni fattore di montante e fattore di sconto r(t) e v(t) , rispettivamente, si dice chesono coniugati se sono tali che:


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1v(t)r(t) = , t 0 ; ossiar(t)

1v(t) = ;

v(t)

1r(t) = .

Le leggi finanziarie di capitalizzazione pi usate per calcolare interessi e montanti sibasano su tre tipi di funzioni fattori di montante: di tipo affine (o lineare), di tipo

esponenziale, di tipo iperbolico. Questi tre tipi di leggi corrispondono nellordine ai seguentitre tipi di regime:

regime dell'interesse semplice (RIS), regime dell'interesse composto (RIC), regime dell'interesse anticipato (RIA).

Le leggi finanziarie di attualizzazione pi usate sono quelle dei regimi coniugati al RIS,RIC, RIA; esse corrispondono rispettivamente ai seguenti tre tipi di regime:

regime dello sconto semplice o razionale, regime dello sconto composto,

regime dello sconto commerciale.

A conclusione del paragrafo, si noti che facendo riferimento alla stessa operazionefinanziaria, le grandezze i , r , d , v si possono esprimere una in funzione dellaltracome riportato nella seguente tabella.

i r d v

i r-1d1

d

v

v1

r 1+i d1

1

v

1

di1

i

+

r

1r 1-v

vi1

1

+

r

1 1-d

Si noti che per ogni operazione finanziaria, in un medesimo periodo di riferimento

t = y x, il tasso d'interesse i sempre maggiore del tasso di sconto d corrispondente:i > d . Inoltre d funzione crescente di i .

i

d

i

id

+=

1

0,5

1,0

0 5 10


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9.1.4. LA VARIABILE TEMPO

E importante sottolineare che in tutte le formule il tempo deve sempre essere espressocon lunit di tempo alla quale si riferisce il tasso delloperazione finanziaria.

Lunit di misura della variabile tempo che di norma si considera e rispetto alla qualevengono riferiti i vari tassi lanno.

Si utilizza lanno civile considerato di 365 giorni (o 366 per gli anni bisestili), oppurelanno commerciale considerato di 360 giorni (12 mesi di 30 giorni ciascuno). Diconseguenza si ha un intervallo temporale esatto se si contano gli effettivi giornicompresi fra due date (per esempio, tra il 15/04/1994 e il 18/07/1994 vi sono 94 giorni:15 + 31 + 30 + 18), e un intervallo temporale commerciale se si considera lannocommerciale e quindi tutti i mesi di 30 giorni.

Quando nelle operazioni finanziarie si considerano tassi annuali, occorre esprimere iltempo in anni anche se il periodo da considerare non un numero intero di anni.Ricordiamo che:

il tempo espresso in giorni si riporta in anni mediante la frazione

365

giornideinumero(anno civile) o

360

giornideinumero(anno commerciale),

il tempo espresso in mesi si riporta in anni mediante la frazione12

esimdeinumero.

Esempi.

1) t = 2 anni e 47 giorni significa365472 + (anno civile).

2) t = 5 anni e 4 mesi significa12

45 + .

3) t = 3 anni, 4 mesi e 20 giorni significa360

20

12

43 ++ (anno commerciale).

Il tempo espresso in anni mediante un numero razionale si riporta ad una espressionein anni, mesi, giorni usando le formule inverse di quelle precedenti. In generale si trova

dapprima il numero di giorni corrispondenti usando le formule

n giorni = anni x 360 oppure n giorni = anni x 365

e successivamente si esprime questo numeri di giorni in anni, mesi, giorni.

Esempi.1) t = 12,343 anni significa 12 anni, 4 mesi, 3 giorni perch, limitandoci a considerare

la parte decimale, si ha 0,343 x 360 = 123,480 giorni e 123 giorni significano 4 mesie 3 giorni.

2) t = 2,1284 anni significa 2 anni e 0,1284 x 360 = 46,224 giorni; poich 46 giornisono 1 mese e 16 giorni, in definitiva t = 2,1284 anni significa 2 anni, 1 mese, 16giorni.


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9.1.5. TASSI PERIODALI

Abbiamo gi incontrato in 1.3 due tassi definiti periodali:

i(t) tasso di interesse periodale relativo al periodo t . E il tasso di interesseprodotto da un capitale unitario nel periodo t di investimento.

d(t) tasso di sconto periodale relativo al periodo t . E lo sconto per ogni unit dimontante nel periodo t di differimento.

Molte operazioni prevedono il pagamento di rate che non sono annuali ma riferite afrazioni di anno (semestrali, quadrimestrali, trimestrali, mensili, etc.). Analogamente cisono operazioni di investimento che garantiscono il riconoscimento degli interessi pi volte

nel corso dellanno. Il tasso di interesse riferito adm

1esimo di anno viene indicato con im.

im tasso periodale relativo adm

1esimo di anno.

Ad esempio i2 indica un tasso di interesse semestrale, i3 indica un tasso di interessequadrimestrale, i4 indica un tasso di interesse trimestrale, etc.

Di norma il tasso di interesse annuo si indica con i .


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9.2 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE.

Esaminiamo i regimi di capitalizzazione, e le rispettive funzioni di montante, pi usati percalcolare interessi e montanti.

9.2.1. REGIME DELLINTERESSE SEMPLICE (RIS)

Gli interessi semplici si definiscono come quelli direttamente proporzionali al capitale e altempo di impiego. In altre parole, raddoppiando il capitale gli interessi raddoppiano,triplicando il capitale si triplicano, cos come raddoppiando il tempo si raddoppiano,triplicando il tempo si triplicano etc. .Pertanto nel regime degli interessi semplici, linteresse prodotto da un capitale C nel

tempo t sar espresso da una formula del tipo I = C t con costante.In particolare un capitale unitario C = 1 impiegato per un tempo unitario t = 1 , produrr

un interesse uguale ad e quindi questa costante il tasso di interesse i .Se il capitale C impiegato per un tempo t , il montante prodotto risulta

M = C + I = C + C t i = C (1 + i t)

e quindi la funzione fattore di montante che caratterizza il regime finanziariodellinteresse semplice

r(t) = 1 + i t

ossia una funzione di tipo lineare affine.

Il grafico di r(t) una retta e mostra come il montante prodotto da C = 1 crescalinearmente nel tempo con pendenza uguale al tasso di interesse.

Riassumendo: Indicando con i il tasso effettivo di interesse, le funzioni checaratterizzano il RIS , espresse in funzione della durata t della operazione finanziaria,sono

r(t) = 1 + it , M(t) = Cr(t) = C(1 + it) ,

t

1

r(t)

0

pendenza = i


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Parte 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE

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- 11 -

tiCCt)iC(1CMI(t) =+== , tiC

I(t)i(t) == .

Si noti che i(t) indica linteresse prodotto da una unit di capitale nellintero periodo t ditempo ed dato dal prodotto del tasso di interesse i moltiplicato per il periodo t :

i(t) = i t .

Le funzioni r(t) = 1 + it , M(t) =C(1 + it) , I(t) = Cit

hanno come grafici una retta di pendenza rispettivamente i , Ci , Ci . Si pu notareche M(t) e I(t) hanno la stessa pendenza e quindi in uno stesso riferimento cartesianosono rappresentate da due rette parallele.

Se si precisa che il tasso di interesse i vale 10 % (i = 0,1) e si sostituisce nella formulaal simbolo i il valore 0,1 , il fattore di montante r(t) = (1 + 0,1 t) caratterizza non pi unregime di capitalizzazione ma la legge di capitalizzazione degli interessi semplici a tasso10 % . Questa legge di capitalizzazione consente di calcolare il montante M di

qualunque capitale C per qualunque durata t dellimpiego:

M = C (1 + 0,1 t) .

E importante ricordare che nelle formule precedentemente trovate il tempo deve sempreessere espresso con lunit di tempo in cui dato il tasso effettivo di interesse i . Peresempio se i il tasso di interesse annuo allora il tempo t si deve esprimere in anni; sei il tasso di interesse semestrale allora il tempo t si deve esprimere in semestri; e cos

via.

ESEMPIDeterminare il valore del montante (capitale finale) che si ottiene investendo un capitale Cper un tempo t allinteresse i .

Esempio 1Se C = 1000 , t = 5 anni, i = 10 % annuo allora si haM = C(1+it) = 1000 (1+0,10 5) = 1500 , I(5) = 1000 0,10 5 = 500 .

Esempio 2Se C = 1000 , t = 45 giorni, i = 10 % annuo allora si ha

M = C(1 + it) = 1000(1 + 0,10 365

45) = 1012,32876 .

Esempio 3

Se C = 1000 , t = 13 mesi, i = 10 % annuo allora si haM = C(1+it) = 1000 (1+0,10

12

13 ) = 1108,333 .

r(t)

0 t

i1

M(t)

0

CiC

t

I(t)

0

Ci

t

C

M(t)

I(t)

0Ci

t

Ci


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- 12 -

Esempio 4Se C = 1000 , t = 18 mesi, i = 5 % semestrale allora si haM = C(1+it) = 1000 (1+0,05 3) = 1150 .

Esempio 5

Se C = 1000 , t = 14 mesi, i = 10 % semestrale allora si ha

M = C(1+it) = 1000 (1+0,106

14 ) = 1230 .

Esempio 6Si consideri un periodo di 78 giorni e sia 0,0063578gi =)( . Determinare, in RIS, il tasso

annuo equivalente a 0,0063578gi =)( ossia determinare il tasso di interesse annuo che

su un capitale C = 1 in 78 giorni produce un interesse di 0,00635 .SOLUZIONE: Per rispondere basta ricordare che i(t) = i t ed esprimere il periodo di 78giorni in anni; si ha

36078i0,00635 = da cui 0,0293

783600,00635i == , 2,93%i = .

Esempio 7Dato un tasso di interesse annuo i = 3,34 % , determinare il tasso equivalente relativo adun periodo t di 128 giorni, in altre parole determinare linteresse prodotto da un capitaleC = 1 in 128 giorni se il tasso di interesse annuo i = 3,34 % .

SOLUZIONE: Da i(t) = i t otteniamo 0,01187360

1280,0334(128g)i == .

Negli esempi 6 e 7 si parla di tassi equivalenti, questo argomento sar ripreso ecompletato nella PARTE 4 .

OSSERVAZIONE 1In questo regime vantaggioso effettuare operazioni di capitalizzazione intermedie, ossiaritirare il montante (capitale iniziale + interessi) e reinvestire il tutto. Confrontiamo imontanti M e M'' ottenuti investendo C per un periodo t1 + t2 senza operazione dicapitalizzazione intermedia e con capitalizzazione intermedia. Se i il tasso d'interesse,si ha:

M = C(1 + i(t1 + t2))

M' = C(1 + it1)

M'' = C(1 + i t1) (1 + it2)

Risulta M'' > M e per questo, essendo M M, si dice che il RIS un regime nonscindibile.

tt0 = 0 t1+t2

CMM

t1

M


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OSSERVAZIONE 2Consideriamo un periodo annuale di impiego di un capitale unitario che non sianecessariamente il primo anno. Le epoche iniziale e finale di questo periodo sianorispettivamente, t e (t + 1) . Il montante dell'impiego del capitale unitario C = 1 dopo tanni M = C + Cit = 1 + it = r(t) , dopo (t + 1) anni M = 1 + i(t + 1) = r(t + 1) ,

cosicch la differenza r(t + 1) r(t) rappresenta gli interessi prodotti dal capitale unitarioin quell'anno. Risulta:

r(t+1) r(t) = 1 + i(t + 1) (1 + it) = 1 + it + i 1 it = i .

Ne segue che i l'interesse prodotto nel generico anno di impiego di un capitale unitario(e non solo nel primo anno d'impiego). Questa propriet del RIS non posseduta da altriregimi.

9.2.2. REGIME DELLINTERESSE COMPOSTO (RIC)

E naturale l'impiego della capitalizzazione semplice quando tra due parti di un contrattofinanziario viene predeterminata la durata dell'operazione. Quando questo non avvieneviene applicata la capitalizzazione degli interessi: si suddivide la durata dell'impiego inperiodi, generalmente uguali, e, alla fine di ciascuno dei periodi vengono computati gliinteressi semplici relativamente a quel periodo. Tali interessi sono immediatamentetrasformati in capitale e gi dal periodo successivo cominciano a loro volta a produrreinteressi.

Sia i il tasso effettivo di interesse nell'unit di tempo; supponiamo di investire un capitaleunitario C = 1 al tempo t = 0 e che le epoche di capitalizzazione siano equidistanti.Calcoliamo quanto si realizza al tempo t = 1 , t = 2 , ... t = n , effettuando l'operazione di

capitalizzazione alla fine di ogni periodo. Per il fattore di montante, si ottiene la seguentesuccessione geometrica:

r(0) = 1r(1) = r(0) (1 + i) = 1 + i

r(2) = r(1) (1 + i) = (1 + i)2

r(n) = r(n 1) (1 + i) = (1 + i)n .

Se generalizziamo la relazione appena trovata ad ogni tempo t 0 e non solo perscadenze intere, si dice che si opera mediante convenzione esponenziale e si ottiene:

r(t) = (1 + i)t , t 0 .

La precedente formula un fattore di montante, infatti:

r(0) = 1 , r(t) = (1 + i)t ln (1 + i) > 0 .

Dunque il regime finanziario di capitalizzazione a interesse composto o regime

esponenziale caratterizzato da una funzione fattore di montante esponenziale:

r(t) = (1 + i)t


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o equivalentemente

r(t) = e t

dove e = 1 + i . Per il significato di si veda 9.2.5 . Le costanti e i sono legate fraloro dalla precedente uguaglianza ed sempre possibile ricavare l'una nota l'altra:

i= e 1 , = ln (1 + i) .

Il significato di i quello di tasso di interesse nell'unit di tempo mentre = ln (1 + i) lintensit istantanea di interesse (o tasso istantaneo d'interesse, o forza d'interesse).

Riassumiamo le relazioni che abbiamo fin qui trovato per il RIC e riportiamo i grafici perr(t) , M(t) e I(t) :

r(t) = (1 + i)t , M(t) = C(1 + i)t

==C

tIti

)()( (1 + i)t 1 , I(t) = M(t) C = C[(1 + i)

t 1]

INTERESSE COMPOSTO CON CONVENZIONE LINEARENel caso in cui il tempo t di capitalizzazione non sia espresso da un numero intero ma siat = n + f , con n numero naturale e 0 < f < 1 , il montante pu essere calcolato

mediante convenzione lineare. Con ci si intende che si considera la funzione fattore dimontante

)1()1()( fiitr n ++=

ossia, considerando un capitale unitario, alla fine del n-esimo anno il capitale che si formato (1 + i)n e rappresenta il capitale iniziale per lintervallo di tempo [n, n + f] nel

quale si applica linteresse semplice e quindi il capitale finale prodotto da un capitaleunitario nel tempo t = n + f )1()1( fii n ++ .

1

0 t

r(t)

1+i

1 t

I(t)

M(t)

C


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- 15 -

Dunque considerando un periodo di investimento di t = n + f con n intero e 0 < f < 1 , ilfattore di montante :

)1()1()( fiitr n ++= con la convenzione lineare

fnt iitr ++=+= )1()1()( con la convenzione esponenziale.

Esempio.Una somma di 1000 euro viene impiegata al tasso annuo i = 10 % per 5 anni e 3mesi in regime di interesse composto. Determinare il capitale finale nelle due convenzioni(lineare ed esponenziale).SOLUZIONE.In convenzione lineare si ha:

773,165012

310,01)10,01(1000 5 =

++=M .

In convenzione esponenziale si ha:

365,1649)10,01(1000 123

5

=+=+

M .

Come mostra lesempio, il montante ottenuto con la convenzione lineare maggioredi quello ottenuto con la convenzione esponenziale che rappresenta comunque unabuona approssimazione del primo, ma per il creditore pi conveniente il regime adinteresse composto con convenzione lineare.

Le locuzioni convenzione lineare e convenzione esponenziale fanno riferimenetoallinterpretazione geometrica dei fattori di montante che si ottengono nei due casi. Ilgrafico del fattore di montante della convenzione lineare la spezzata inscrittanellesponenziale rappresentante il fattore di montante della convenzione esponenziale.

Concludiamo con le seguenti due osservazioni.

t

1

0 1 2

4

8

3


16/46


________________________________________________________________________________

- 16 -

OSSERVAZIONE 1Il RIC l'unico regime in cui il montante generato in un intervallo di tempo lo stesso chesi ottiene effettuando un qualunque numero di capitalizzazioni intermedie (regimescindibile). Infatti

Si ha21 tti)(1M ++=

1ti)(1M +=

21212 ttttt i)(1i)(1i)(1i)(1MM ++=++=+=

Poich risulta M = M'', si dice che il RIC un regime scindibile.

OSSERVAZIONE 2Su un impiego unitario nel primo anno gli interessi prodotti sono:

r(1) r(0) = (1 + i)1 (1 + i)0 = 1 + i 1 = i .

Per contro, quando si consideri un generico anno, da t a t + 1 (con t intero o, se nonintero, lavorando con la convenzione esponenziale), gli interessi prodotti da un impiegooriginariamente unitario sono:

r(t + 1) r(t) = (1 + i)t+1 (1 + i)t = (1 + i)t (1 + i 1) = (1 + i)t i i .

Lammontare degli interessi cresce eponenzialmente nel tempo. E pari al tasso diinteresse solo nel primo anno (quando t = 0). Nel caso di capitalizzazione composta non corretto dire che il tasso di interesse annuo linteresse prodotto da una unit dicapitale in un anno, ma occorre dire che linteresse prodotto da una unit dicapitale nel suo primo anno di impiego. Se si vuole fare riferimento al generico anno sideve precisare che i linteresse prodotto da una unit di capitale impiegato allinizio diquellanno, capitale che include gli interessi maturati e capitalizzati nei periodi precedenti.

9.2.3. REGIME DI INTERESSE ANTICIPATO (RIA)

Per introdurre questo regime, ragioniamo dapprima in termini di sconto anzich di interessimettendoci nei panni di chi deve ricevere oggi la somma M scontata.

Illustriamo con un esempio. Il possessore di una cambiale di valore nominale M = 1000euro all'epoca t , chiede di scontare la cambiale ossia vuole incassare subito il valore

t0 = 0 t

C ? M

tt0 = 0 t1+t2

C MM

t1

M


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________________________________________________________________________________

- 17 -

attuale C dell'effetto. Egli si rivolge ad un Istituto di Credito che, dietro trattenuta di uncompenso, accetta di fare l'anticipazione dei mezzi finanziari accollandosi il periodo didifferimento della disponibilit di M . Il compenso trattenuto dall'Istituto di Credito (sconto) direttamente proporzionale all'ammontare nominale dell'effetto e alla sua scadenza

secondo una costante di proporzionalit : D(t) = Mt .

Se M = 1 e t = 1 risulta D = , pertanto lo sconto su un capitale finale unitarioM = 1 in t = 1 e quindi il tasso di sconto d (detto sconto commerciale).In funzione del tempo, possiamo scrivere D(t) = Mtd da cui

C = M D(t) = M Mtd = M(1 dt) ,td1

CM(t)

= .

Esempio.

Se M = 1000 euro, t = 1 mese e d = 18 % , si ha: 1512

1

100

181000D == . Il valore

corrisposto dall'Istituto di Credito allora: C = M D = 1000 15 = 985 .

Torniamo a ragionare in termini di capitalizzazione: se consideriamo l'esempio precedente,dal punto di vista dell'Istituto di Credito, l'operazione cos descrivibile:

per lIstituto di Credito una capitalizzazione e pu pensarsi realizzata applicando allasomma investita di 985 euro, un opportuno fattore di capitalizzazione:

td1

1

t)d(1M

M

C

Mtr

=

==)( .

In funzione del tasso di sconto d si ottiene dunque la funzione fattore di montante:

td1

1r(t)

= .

Contrariamente al solito il fattore di capitalizzazione stato introdotto in funzione di untasso di sconto e non del tasso di interesse. Ci segue dalla tipologia delle operazioni

finanziarie per le quali si opera con questo regime, maggiore chiarezza sar fatta quandosi analizzer il regime dello sconto commerciale. Pi sotto ritroveremo comunque anchele relazioni che si ottengono in funzione del tasso di interesse.

Osserviamo che r(0) = 1 , 0t)d(1

d(t)r

2>

= . Poich per avere significato accettabile

r(t) deve essere positivo e maggiore di 1 , si hanno le limitazioni: 0 < 1 dt e

1 dt < 1 da cui .t

1d0


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________________________________________________________________________________

- 18 -

Si noti che segue anched

1t < ; questo comporta che per un dato tasso di sconto si

possono trattare solo somme con scadenza minore del reciproco del tasso. Se per

esempio d = 20 % annuo allora deve essere%20

1t < = 5 anni .

La rappresentazione grafica del fattore di montante :

Quando la durata dell'impiego si avvicina troppo ad

1 il montante diventa

spropositatamente grande.

Abbiamo gi visto che valgono le relazioni

td1

1r(t)

= ,

td1

CM(t)

= , )1( tdMC = ,

da queste seguono anche

td1

tdCCtMI(t)

== )( ,

td

td

C

I(t)i(t)

==

1.

Rappresentiamo in grafico M(t) e I(t):

r(t)

t

1r(t)

0

d

1

t

C I(t)

0

d

1

M(t)


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________________________________________________________________________________

- 19 -

Indicato con i linteresse prodotto da un capitale unitario nel primo anno di impiego, si ha

d1

d1

d1

1r(0)-r(1)i

=

== , da cui

d1

di

= e

i1

id

+= .

Si possono ora riscrivere tutte le relazioni precedenti in funzione del tasso di interesse i ,

in particolare si ha:

tii1

i1r(t)

+

+= ,

tii1

i)(1CM(t)

+

+= ,

tii

tiCtI

+=

1)(

Concludiamo con le seguenti osservazioni.

OSSERVAZIONE 1Il RIA un regime non scindibile perch al contrario di quello che avviene in RIC , nelRIA la capitalizzazione intermedia degli interessi svantaggiosa per l'investitore. Infatti

confrontiamo i montanti M e M'' ottenuti investendo C per un periodo t1 + t2 senzaoperazione di capitalizzazione intermedia e con capitalizzazione intermedia:

Si ha :

)td(t1

CM

21 +=

212 td11

td11C

td11MM

=

=

ed essendo 0>+>++= )td(t1ttd)td(t1)td(1)td(1 21212

2121 risulta

)td(t1

1

)td(1

1

)td(1

1

2121 + rRIS(t) .

9.2.5. INTENSITA DI INTERESSE

Un procedimento generale per descrivere una data forma di impiego di un capitale in unassegnato intervallo di tempo consiste nel calcolare quale tasso di interesse sempliceavrebbe condotto allo stesso risultato.Per esempio, supponiamo che il signor Rossi investa 100 euro e dopo 3 anni riscuota130 euro, senza aver percepito alcuna entrata nellarco del triennio. Si pu descrivere ilrisultato dellinvestimento dicendo che il signor Rossi ha investito a tasso di interessesemplice del 10% . Infatti da 100 (1 + 3 i) = 130 si ha i = 10 % .Questo tasso si chiama intensit media di interesse nel periodo. Essa pu essereriferita a intervalli di tempo molto lunghi o anche brevissimi. Quando si considera un

0

1+i

1

r(t)

1d

1

RISRICRIA

t


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________________________________________________________________________________

- 21 -

intervallo di tempo cos breve da poter essere considerato istante, la relativa intensitdinteresse detta intensit di interesse o forza di interesse.

Si definisce intensit istantanea di interesse o tasso istantaneo dinteresse o forzadinteresse la quantit

)(ln)( trdt

dt = .

Calcoliamo la forza dinteresse nei regimi considerati.

RIS: r(t) = 1 + it ,ti

iti

dt

dt

+=+=

1)1(ln)( .

RIC: r(t) = (1 + i)t = e t, )1ln(ln)( iedt

dt t +=== .

RIA:td

tr

=1

1)( ,

td

d

tddt

dt

=

=

11

1ln)( .

Si noti che in RIS e in RIA la forza dinteresse dipende da t , mentre nel RIC la forzadinteresse non dipende da t . Si pu dimostrare il seguente teorema:

La forza dinteresse (t) costante se e solo se il regime esponenziale, ossiar(t) = e t .

9.2.6. SCINDIBILITA

Nei paragrafi precedenti si gi esaminato se i regimi di capitalizzazione considerativerificano o no la propriet di scindibilit. Riassumiamo brevemente quanto detto eprecisiamo la definizione di scindibilit.

Si chiamano leggi scindibili quelle leggi finanziarie per le quali le interruzioni

dellinvestimento, con immediata ripresa, non hanno riflessi sul risultato finale.

In un regime scindibile il montante di unoperazione finanziaria dipende solo dalla durata enon da eventuali operazioni di disinvestimento ed investimento intermedie. In un regimescindibile indicato con (x,y) lintervallo di tempo delloperazione finanziaria,

in termini di fattore di montante si ha r(x,y) = r(x,a) r(a,y) per ogni a (x,y) ,

in termini di fattore di sconto si ha v(x,y) = v(x,a) v(a,y) per ogni a (x,y) ,

oppure per scontare una somma da y ad a , si pu prima scontarla da y ad x (con

x < a) e poi capitalizzarla fino ad a : v(a,y) = v(x,y) r(x,a) .


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________________________________________________________________________________

- 22 -

Vale il teorema: un regime r(t) scindibile se e solo se la forza di interesse (t) indipendente da t .

Le sole leggi di capitalizzazione scindibili sono quelle di capitalizzazione composta.

Ricordiamo che la scindibilit del RIC stata dimostrata nellosservazione 1 di 2.2 . Lanon scindibilit di RIS e di RIA stata dimostrata nellosservazione 1, rispettivamente, di2.1 e di 2.3 .

Esempio.Si consideri un impiego a tasso dinteresse annuo del 10% per 5 anni. I fattori di montantesono:

a interessi semplici 1 + 0,1 x 5 = 1,5

a interessi composti (1 + 0,1)5

= 1,6105 a interssi (semplici) anticipati 1,8333

5)(10,11

0,11=

+

+.

Consideriamo leffetto di una interruzione dellimpiego dopo 3 anni con immediataprosecuzione per gli altri 2. Otteniamo un fattore quinquennale pari a:

a interessi semplici (1 + 0,1 x 3) (1 + 0,1 x 2) = 1,56 > 1,5

a interessi composti (1 + 0,1)3 x (1 + 0,1)2 = 1,331 x 1,21 = 1,6105

a interssi (semplici) anticipati 1,83331,68052)(10,11

0,11

3)(10,11

0,11


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________________________________________________________________________________

- 23 -

r(x,y) = r(t) = 1 + i1 t1 + i1 t2 in regime di interesse semplice ;

21 )1()1()(),( 21tt iitryxr ++== in regime di interesse composto ;

22111

1

)(),( tdtdtryxr == in regime di interesse (semplice) anticipato .

In questo caso i tassi d1 e d2 non sono di interesse ma di sconto commerciale.

Generalizzando al caso in cui lintervallo di tempo (x,y) sia suddiviso in n intervalli didurata rispettivamente ts , s = 1, , n, nei quali si hanno rispettivamnete i tassi diinteresse is , s = 1, , n, la funzione fattore di montante :

s

n

s

s titryxr =

+==1

1)(),( in regime di interesse semplice ;

=

+==n

s

t

ssitryxr

1

)1()(),( in regime di interesse composto ;

=

==n

s

ss td

tryxr

1

1

1)(),( in regime di interesse (semplice) anticipato .

In questo caso i tassi ds non sono di interesse ma di sconto commerciale.

Esempio 1.

Si abbia un capitale di 800 euro impiegato per un anno, senza interruzione diinvestimento, al tasso i1 = 10% per i primi sei mesi e al tasso i2 = 11% per gli altri seimesi. Il montante prodotto :

886,42

10,11

2

10,101800M =

++= in capitalizzazione semplice ;

( ) ( ) 883,99120,1110,101800M 21

2

1

=++= in capitalizzazione composta .

Esempio 2.

Si consideri un investimento biennale ripartito in tre periodi di durate rispettivamente 1anno, 6 mesi e 6 mesi. Supponiamo che nel primo anno il tasso di interesse siai1 = 10% , mentre nei due semestri che seguono esso sale di mezzo punto (percentuale)

al semestre. Il fattore di montante

1,20752

10,11

2

10,10510,101r(t) =+++= in capitalizzazione semplice ;

( ) ( ) 1,2182470,1110,10510,10)(1r(t) 21

2

11

=+++= in capitalizzazione composta .


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________________________________________________________________________________

- 24 -

Si faccia attenzione a non confondere le funzioni fattore di montante trovate quando si inpresenza di tassi variabili nel tempo, con quelle trovate affrontando il problema dellascindibilt.Trattando della scindibilit di un regime, ci si riferisce ad operazioni finanziarie in cuilinterruzione dellinvestimento e il reinvestimento comporta la capitalizzazione degli

interessi maturati fino al momento dellinterruzione.Quando si parla di operazioni finanziarie con tasso variabile nel tempo, si intende cheloperazione finanziaria sempre la stessa e nel momento in cui varia il tasso dinteresseloperazione non si interrompe e non si ha capitalizzazione degli interessi fino ad alloramaturati.


25/46

9.3 REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO.

Come gi detto nella PARTE 1 lattualizzazione unopearzione finanziaria cheporta indietro nel tempo una somma di denaro, sostituendo al suo valore nominale ascadenza il suo valore attuale o scontato immediatamente disponibile. Il legame tra valorenominale, valore attuale e fattore di sconto rappresentato da

valore attuale = valore nominale x fattore di sconto .Esamineremo i tre regimi di attualizzazione che sono i coniugati dei tre regimi dicapitalizzazione esaminati nella PARTE 2 . Ricordiamo che due regimi aventi comefattore di montante e fattore di sconto rispettivamnete r(t) e v(t) sono coniugati se

r(t) v(t) = 1 ossia)(

1)(

trtv = .

9.3.1. REGIME DELLO SCONTO SEMPLICE O RAZIONALE

Con sconto semplice o razionale o di tipo iperbolico si intende il regime di attualizzazioneconiugato al regime della capitalizzazione semplice (interesse semplice). Esso rappresentato dalla funzione fattore di sconto:

ti1

1v(t)

+= ,

tdd1

d-1v(t)

+=

dove v(t) rappresenta il valore di un capitale unitario disponibile al tempo t .

Si dice anche che v(t) la contrazione del valore nominale M = 1 . Aumentando t ilvalore del capitale unitario diminuisce avvicinandosi indefinitamente a zero.Se t la durata del differimento, i il tasso di interesse della legge coniugata, allora ilvalore attuale C(t) del valore nominale M dato da:

ti1

Mv(t)MC(t)

+== .

Se indichiamo con D(t) lo sconto dell'intero periodo t , d(t) il tasso di sconto dell'intero

periodo t (o sconto nell'intero periodo di un valore nominale unitario) e d il tasso effettivodi sconto di un periodo unitario, si hanno le relazioni:

t

1

0

v(t)


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Parte 9 REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO________________________________________________________________________________________________________________________

26

d(t)Mv(t))M(1v(t)MMC(t)MD(t) ====

ti1

ti

ti1

11v(t)1d(t)

+=

+==

i1

iv(1)1d(1)d

+

=== .

Da quest'ultima formula segued1

di

= e dunque anche:

tdd1

d)M(1

td1

d1

M

ti1

MC(t)

+

=

+

=+

= .

Esempio.Nelloperazione finanziaria sotto rappresentata, calcolare I(t) , i(t) , i , D(t) , d(t) , d .

5CMI(t) == .

%5100

5

C

(t)I(t)i === .

Da ti(120)i = e

360

120t = segue %15

120

3605%

t

1(120)ii === annuo

d(t)Mv(t))M(1v(t)MM5CMD(t) ===== .

0,047619105

5

M

D(t)d(t) === .

0,04761921

1

20

2120

1

3

1

100

151

3

1

100

15

ti1

ti

ti1

11v(t)1d(t) ===

+

=+

=+

== .

0,13043

115

15

15%1

15%

i1

id ==

+

=

+

= annuo.

Notiamo che d(t) dt , infatti 0,047619 0,130433

1 = 0,0434746 ( uno sconto di tipo

iperbolico, non lineare).

9.3.2. REGIME DELLO SCONTO COMPOSTO.

Il regime di attualizzazione detto dello sconto composto il regime coniugato del regimedella capitalizzazione composta (interesse composto).

tt0 = 0

C = 100

t = 4 mesi = 120 iorni

M = 105


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27

Considerando la funzione di scontor(t)

1v(t) = coniugata a r(t) = (1 + i)t = et , si ottiene la

funzione fattore di sconto

ti)(1

1

v(t) += ossiatt

ei)(1tv

=+=)( .

Indicando con d lo sconto su un valore nominale unitario M = 1 e un tempo di

differimento t = 1 , si hai

i

ivd

+=

+==

11

11)1(1 da cui

i

id

+=

1e

d

di

=

1che

esprimono la relazione tra tasso di sconto d e tasso di interesse i .Si pu ora esprimere v(t) in funzione del tasso di sconto:

td)(1tv =)( .

Risulta inoltre:C(t) = Mv(t) = M(1 + i)t ,

D(t) = M C(t) = M M(1 + i)t = M(1 (1 + i)t ) .

Graficamente D(t) e C(t) si possono rappresentare nel modo seguente

Aumentando lo sconto diminuisce C . Quando il tempo di differimento nullo, cio pert = 0 , si ha il valore massimo di C , ossia C = M , e il valore minimo di D , ossia D = 0 .

9.3.3. REGIME DELLO SCONTO COMMERCIALE

Il procedimento di calcolo relativo a questo regime lo stesso di quello analizzato per ilregime di capitalizzazione a interessi (semplici) anticipati del quale il regime dello scontocommerciale il coniugato.Il regime dello sconto commerciale caratterizzato dalla proporzionalit non solo al valorenominale ma anche al tempo dello sconto. Indicato con d il tasso di sconto, con M ilvalore nominale e con t il tempo di differimento, lespressione dello sconto D(t) = M d t

da cui segue tdM

tDtd ==

)()( .

Il valore attuale allora espresso dalla funzione C(t) = M D(t) = M(1 d t) e quindi la

funzione fattore di sconto che caratterizza il regime dello sconto commerciale v(t) = 1 dt

t

M

0

D(t)

C(t)


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28

Considerando i tassi effettivi di sconto e di interesse nellunit di tempo ricordiamo che

vale la solita relazionei

id

+=

1.

Poich la funzione fattore di sconto v(t) deve essere tale che: v(0) = 1 , 0 < v(t) 1 ,

v(t) 0 , come gi visto in 2.3, per le leggi di questo regime deve essere

dt

1< .

Prima di ogni impiego del regime, conviene quindi accertarsi che la durata massima di

differimento sia inferiore alla durata criticad

t1

= .

Ad esempio se si opera con un tasso di sconto del 20% annuo, la durata critica di

differimento di 50,2

1

20%

1== anni. Significa che a 5 anni il valore attuale nullo, ma

attenzione, oltre i cinque anni si ottengono valori attuali negativi!!

Concludiamo facendo notare che le funzioni d(t) , D(t) , M(t) , sono lineari e quindi il lorografico una retta; a valori crescenti di d corrispondono rette maggiormente inclinate.

9.3.4. CONFRONTO TRA FATTORI DI SCONTO

Assumendo che il tasso di interesse per unit di tempo sia i per tutti e tre i regimi diattualizzazione considerati, allora possiamo confrontare le loro funzioni fattore di sconto.

titvRIS

+=

1

1)( ,

tRIC itv

)1(

1)(

+= , t

i

itvRIA

+=

11)( .

Tutte sono tali che:

v(0) = 1 ,i1

1v(1)

+= , 0(t)v d


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29

Le funzioni fattori di sconto sono decrescenti e passano per i punti (0;1) e

+1;

i1

1. I

grafici sono riportati in figura:

Assumendo che nel primo anno di impiego il tasso di sconto sia d per tutti e tre i regimi diattualizzazione considerati e facendo riferimento alla stessa operazione finanziaria, dalla

relazioned1

di

= si ottengono le seguenti espressioni delle funzioni fattore di sconto:

tdd

d

tvRIS +

= 1

1

)( sconto semplice o razionale;t

RIC dtv )1()( = sconto composto;

dttdtvRIA

1,)1()(


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9.4 CONVERSIONE FRA TASSI

Quando si trattano le condizioni finanziarie di una operazione finanziaria, frequente chesi ragioni in termini di tasso. Spesso la convenienza di una operazione finanziaria sigiudica sulla base di un tasso ritenuto un parametro finanziario pienamente espressivo.Un tasso d indicazioni sulla velocit con cui un impiego produce interessi, o con quale

velocit un finanziamento grava di interessi. E per fondamentale sapere a quali unit dimisura del tempo i tassi sono riferiti e in quali regimi si opera.Anche se lunit di misura del tempo una frazione di anno (semestre, quadrimestre, etc.),allinterno di uno stesso regime, le formula trovate nella PARTE 2 per la capitalizzazione(e analogamente per lattualizzazione) rimangono sempre le stesse se si fa riferimento aitassi di interesse periodali riferiti allunit di tempo considerata (semestre, quadrimestre,

etc.).

DEFINIZIONE Due tassi di interesse si dicono equivalenti se descrivono la stessalegge finanziaria, ossia sono tali da fornire il medesimo montante quando sono applicatiallo stesso capitale per la stessa durata.

Esaminiamo le relazioni che legano tassi equivalenti nei regimi di capitalizzazione illustratiprecedentemente. Per comodit ragioneremo sempre in termini di capitale unitario, ossiain termini di fattore di montante.

9.4.1. CONVERSIONE FRA TASSI IN REGIME DINTERESSE SEMPLICE

In regime di interesse semplice, come noto, il montante prodotto da un capitale C = 1 inun tempo t espresso dalla funzione fattore di montante r(t) = 1 + it .

Considerati il tasso annuo i e il tasso periodale im , essi sono equivalenti se in un annoproducono lo stesso montante, ossia se risulta 1 + i = 1 + m im, da cui si ottiene

i = mim ,m

iim = (1)

Possiamo confrontare fra loro anche tassi periodali riferiti a frazioni di anno diverse, senzapassare dal tasso annuo. Per esempio, un tasso semestrale i2 e un tasso quadrimestralei3 sono equivalenti se 1 + i2 2 = 1 + i3 3 cio 2i2 = 3i3 .

In regime di interesse semplice due tassi periodali in e im sono equivalenti se

nin = mim ,n

mii mn = . (2)

Se il tempo t espresso in anni, in modo analogo si ottiene la relazione di equivalenza fratasso di interesse periodale i(t) e tasso di interesse annuo i , risulta

i(t) = it , t

ti

i

)(

= . (3)

Le (1), (2) e (3) esprimono le relazioni di equivalenza tra tassi di interesse semplice.


31/46

Parte 9 CONVERSIONE FRA TASSI________________________________________________________________________________________________________________________

31

Esempio 1.In regime di interesse semplice il tasso annuo i = 8% equivalente

al tasso semestrale %42

%82 ==i ,

al tasso quadrimestrale %6,23

%83 =i ,

al tasso trimestrale %24

%84 ==i .

Esempio 2.In regime di interesse semplice il tasso semestrale i2 = 6% equivalente

al tasso annuale %12%62 ==i ,

al tasso quadrimestrale %4%63

23 ==i ,

al tasso trimestrale %3%64

24 ==i .

9.4.2. CONVERSIONE FRA TASSI IN REGIME DINTERESSE COMPOSTO.TASSI NOMINALI.

In regime di interesse composto la funzione fattore di montante r(t) = (1 + i)t .

Affinch il montante di un capitale impiegato per un anno al tasso i sia uguale al montanteprodotto dallo stesso capitale impiegato per un anno al tasso periodale im , deve essere(1 + i)1 = (1 + im)

m . Da questa si ricavano le relazioni che legano i e im :

1)i(1i mm += , ( ) 1i1i m1

m += . (4)

Da queste segue anche la relazione che permette di confrontare tassi periodali riferiti afrazioni di anno diverse senza passare al tasso annuo:

( ) 1i1i mk

km += . (5)

Considerando il tasso periodale i(t) , si pu generalizzare la formula (1 + i)1 = (1 + im)m ad

un qualunque intervallo temporale t .Se t espresso in anni, per determinare la relazione di conversione fra il tasso annuo i eil tasso periodale i(t) , basta porre 1 + i(t) = (1 + i)t . Si ottiene:

( ) 1i(t)1i t1

+= , i(t) = (1 + i )t 1 . (6)

Le (4), (5) e (6) esprimono le relazioni di equivalenza tra tassi di interesse composto.


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32

Ad esempio:

il tasso annuo equivalente al tasso periodale relativo a 27 giorni i (27) = 0,00234

0,0316510,00234)(1i27

360

=+= , 3,165%i = .

dato il tasso annuo effettivo i = 3,6 % , il tasso periodale equivalente relativo a unperiodo di 128 giorni

%1,2650,012651(1,036)(128)i 360128

=== .

9.4.2.1. Applicazioni dei tassi equivalenti ai titoli senza cedola

Operazioni tipiche in cui l'intervallo temporale inferiore ad un anno sono quelle che siriferiscono ai titoli di puro sconto o "zero coupon bond" o titoli a cedola nulla. In Italiasono i BOT (Buoni ordinari del Tesoro) e i CTZ (certificati del Tesoro zero coupon).Sono titoli con cui lo Stato raccoglie fondi indebitandosi con i cittadini. Tali titoli sonodefiniti di puro sconto perch vengono venduti a un prezzo inferiore al valore delrimborso M . Si pu assumere come valore di rimborso M = 1 , ma comunemente siadotta M = 100 . Un titolo emesso in data x al prezzo P rimborsato al tempo y al

prezzo M ( P < M ) un titolo di puro sconto la cui durata t = y x . Solitamente iltempo in queste operazioni finanziarie viene misurato in giorni in quanto sono titoli a brevescadenza (durata massima 2 anni).

Determiniamo il tasso di interesse implicito, detto tasso di rendimento, di questaoperazione finanziaria:

Pr(x,y) = M , P = Mv(x,y) .

Il tasso di interesse periodale i(t) nel periodo t = y x (ossia linteresse prodotto da uncapitale unitario nel periodo t sappiamo che vale:

P

PM

P

Iti

==)( , 1)( =

P

Mti .

Questi titoli hanno di solito periodi di riferimento inferiori allanno, pertanto se il tempo t

espresso in anni occorre esprimerlo in termine di numero di giorni, in questo caso si

utilizza la solita relazione360

gtt = ossia tg = 360t (o le analoghe nel caso si consideri

lanno civile).

Da ( ) 1)(11

+= ttii risulta:

1

365

=

gt

P

Mi .

Riportando i tassi periodali i(t) in tassi annui equivalenti si possono confrontare fra lorooperazioni aventi tassi diversi per periodi diversi.


33/46


33

Esempio.Consideriamo due titoli di puro sconto.

Titolo A : venduto al tempo x per P = 98 e rimborsato dopo 42 giorni, y = x + 42 ,a M = 100 .

Titolo B : venduto al tempo x per P = 97 e rimborsato dopo 75 giorni, y = x + 75 ,a M = 100 .

Determiniamo il rendimento di tali titoli in regime di capitalizzazione composta.

Titolo A : Tasso periodale: %2020,0198

1001)42( ====

P

Mgi ,

Tasso annuo equivalente: %19,191919,0142

365

==

=

P

Mi .

Titolo B : Tasso periodale: %09,30309,0197

1001)75( ====

P

Mgi ,

Tasso annuo equivalente: %9,15159,0175

365

==

=

P

Mi .

Il tasso annuo equivalente in RIC al tasso periodale di un titolo di puro sconto anchedenominato tasso a pronti o tasso spot.

9.4.2.2. Tasso annuo nominale convertibile

Abbiamo visto che in capitalizzazione composta la relazione che esprime lequivalenza fratasso annuo i e tasso periodale im i = (1 + im)

m , ben diversa da i = mim che esprimelequivalenza fra tasso annuo e tasso periodale in regime di interesse semplice.In capitalizzazione composta, il valore

mm imj =

si chiama tasso nominale convertibile m volte nellanno. Esso rappresenta la somma

degli interessi che vengono corrisposti durante un anno per investimento di un capitaleunitario C = 1 quando si convenga che linteresse sia pagato al termine di ogni m-esimodi anno.

t13

2 3

1 0


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34

Ricordando le relazioni di conversione dei tassi precedentemente trovate in questo regime(RIC) e dalla definizione di tasso nominale, si traggono le seguenti formule di equivalenzatra tassi annui effettivi e tassi nominali:

11

+=

m

m

m

j

i , ( )

+= 11

1

mm imj .

Si noti che il tasso nominale jm sempre pi piccolo del tasso effettivo annuo i . Quandosi stabiliscono le condizioni di un finanziamento occorre quindi fare attenzione se il tasso diinteresse proposto quello effettivo o quello nominale. Spesso jm il tasso che vienedichiarato quando un istituto di credito concede un prestito. Enunciando un tassonominale il finanziatore fa credere di applicare un tasso inferiore a quello che

effettivamente sta applicando perch jm < jm1 < < j1 = i .

jm < i .

Esempio 1.Una banca prevede un rimborso attraverso rate mensili ed enuncia un tasso nominalej12 = 10% . Si trovi il tasso effettivo annuo equivalente.SOLUZIONE: Il tasso effettivo annuo equivalente a j12 = 10%

10,47%112

0,11i

12

=

+= .

Esempio 2.Un Istituto di credito enuncia un tasso nominale j4 = 24% con la clausola dicapitalizzazione trimestrale degli interessi. Calcoliamo il tasso effettivo:

%247696,2626247698,01)06,01(14

11)1(4

4

44

4 ==+=

+=+=

jii .

Lenunciazione di un tasso nominale ha permesso di nascondere oltre due puntipercentuali di tasso. La differenza fra tasso effettivo e tasso nominale cresce (ma poco

velocemente) allinfittirsi del periodo di capitalizzazione e (pi velocemente) allelevarsi deltasso nominale. Se ad esempio quel 24% nominale fosse convertibile 12 volte allanno(anzich 4 volte), si avrebbe:

%8241795,26112

241

12

=

+=i .

Se invece si raddoppiasse il valore nominale da 24% a 48% , tenendo ferma lacapitalizzazione trimestrale (4 volte lanno), si avrebbe:

%351936,5714

481

4

=

+=i

con una differenza fra tasso nominale e tasso effettivo di oltre 9 punti percentuali !!


35/46


35

9.4.3. CONVERSIONE FRA TASSI IN REGIME DINTERESSE SEMPLICEANTICIPATO

Il problema poco interessente perch raro che venga enunciato un tasso di scontocommerciale con riferimento a frazioni di anno. Se si vuole comunque esaminare questocaso, si procede come in 4.1 ricordando che la funzione fattore di montante che regola

questo regime td

tr

=1

1)( , dove t il tasso di sconto. Per la conversione fra tassi si

trovano le relazioni:

d = m dm ,m

ddm = .


36/46

9.5 RENDITE

Pu presentarsi l'esigenza di considerare pi somme di denaro dello stesso segno (tutteentrate o tutte uscite), ciascuna con una sua scadenza e si vuole riportare tutte questesomme di denaro ad una stessa scadenza, sostituendole con un unico ammontaremonetario.

Si definisce rendita finanziaria una successione di importi Rh , h = 1, 2, ... esigibili alleepoche tk , k = 0, 1, 2, ... . L'importo Rh detto rata, l'epoca tk in cui disponibile larata detta scadenza k-esima.

Ogni intervallo di tempo tr tr1 si chiama periodo di competenza; il periodo di tempo fra

t0 e t1 si chiama primo periodo di competenza. Se il primo termine della rendita disponibile nel primo periodo di competenza, la rendita denominata immediata; seinvece il primo termine della rendita disponibile nel k- esimo periodo, diremo che larendita differita di k periodi. Una rendita detta anticipata se la rata esigibileall'inizio del periodo di competenza; detta posticipata se esigibile alla fine del periododi competenza.

Una rendita si dice costante se Rh = R per ogni h . Si ha una rendita unitaria seRh = R = 1 per ogni h .

Una rendita si dice limitata se ha un numero finito di rate, si dice perpetua se il numerodelle rate non finito.

Di norma le scadenze, ossia le epoche alle quali si riscuoteranno o si pagheranno le ratesono equidistanti ed hanno cadenza mensile, bimestrale, trimestrale, annua, ecc... . Inpresenza di tale genere di regolarit si parla di rendite periodiche ed in particolare,rispettivamente, di rendite mensili, bimestrali, trimestrali, annue, etc... .

Supponiamo che la distanza temporale fra due versamenti (riscossioni) successivi siacostante ed uguale all'unit di tempo secondo la quale diviso l'intervallo [0,T] (periododi durata della rendita); i grafici sotto riportati rappresentano le varie situazioni.

Il seguente grafico rappresenta una rendita immediata posticipata:

tt0=0 t1 t2 tk ... tn=T

primo periodo di competenza

t0=0 t1 t2 tn 1... tn=T t

R1 Rn 1R2 Rn


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Parte 9 RENDITE________________________________________________________________________________________________________________________

37

Il seguente grafico rappresenta una rendita immediata anticipata:

Il seguente grafico rappresenta una rendita differita di k periodi posticipata:

Il seguente grafico rappresenta una rendita differita di k periodi anticipata:

Di particolare interesse pratico calcolare il valore complessivo della rendita ad unascadenza non posteriore a quella della prima rata o non anteriore alla scadenzadell'ultima. Nel primo caso si parla di valore attuale o scontato della rendita, nelsecondo di montante. In generale, per calcolare il montante di una rendita ad unascadenza qualunque, si sommano i montanti delle singole rate a tale scadenza, mentreper calcolare il valore attuale di una rendita si sommano i valori attuali delle singole rate. Imontanti si ottengono ovviamente moltiplicando le singole rate per i fattori di montantecorrispondenti, i valori attuali si ottengono moltiplicando le singole rate per i corrispondentifattori di sconto.Ad esempio consideriamo la seguente rendita:

Valore attuale in t = 0 : per calcolarlo si devono portare indietro le somme disponibilialle scadenze 1, 2 e 4 con una operazione di attualizzazione.

t0=0 t1 t2 tn 1... tn=T t

R1 R2 RnR3

t0=0 t1 tk tk+2... tk+n=T t

R1 RnR2

tk+1

t0=0 t1 ... t

tk tk+2 tk+n1

R1 RnR2

tk+1

R3

tk+n=T

0 1 t2 3 4

1000 5001500

0 1 t2 3 4

1000 5001500


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Parte 9 RENDITE________________________________________________________________________________________________________________________

38

Montante in t = 6 : per calcolarlo si devono portare avanti le somme dalle loroscadenze fino allepoca 6 con una operazione di capitalizzazione.

Eseguiamo i calcoli usando per lattualizzazione una legge di sconto composto(esponenziale) con tasso di interesse i . Mentre per la capitalizzazione usiamo una leggea interessi composti con tasso di interesse i . Quindi:

valore attuale in t = 0 42 i)(1

500

i)(1

1500

i1

1000

V.A. +++++= ,

montante in t = 6 245 i)(1500i)(11500i)(11000M +++++= .

Per quanto riguarda le formule pi generali, consideriamo una rendita caratterizzata da nscadenze t1 , t2 , ... tn (che pensiamo ordinate in senso crescente) e dai corrispondentiammontari delle rate R1 , R2 , ... Rn .

Se la valutazione da farsi con una legge di capitalizzazione con funzione fattore dimontante r(t) o con una legge di attualizzazione con funzione fattore di sconto v(t) , il

montante M(T) ad una scadenza T = ts , T tn , si otterr sommando i montanti dellesingole rate:

=

=n

1k

ks,k )(trRM(T) con ts, k = ts tk

e il valore attuale o scontato ad una scadenza t0 (che precede tutte le tk ), si otterrsommando i valori attuali delle rate:

=

==n

1k

0k,k )(tvRtVV.A. )( 0 con tk, 0 = tk t0 .

Il regime che generalmente si considera per le operazioni di capitalizzazione quellodellinteresse composto, il RIC, l'unico scindibile, mentre quello dello sconto composto(regime coniugato al RIC) per le operazioni di attualizzazione.

t0 t1 t2 tn... T=ts t

R1 RnR2

0 1 t2 3 4 5 6

1000 1500 500flussi

e oche


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Parte 9 RENDITE________________________________________________________________________________________________________________________

39

Nel caso in cui il regime usato sia quello dellinteresse composto (RIC) e dello scontocomposto al tasso di interesse i , le funzioni fattore di montante e fattore di sconto sono

rispettivamente ti)(1r(t) += eti)(1

1v(t)

+= e quindi le formule precedenti diventano:

=

+=n

1k

t

kks,i)(1RM(T) con ts, k = ts tk , T = ts

( )=

==

==+

==n

1k

t

k

n

1k

t

k

n

1kt

k0

0k,0k,

0k,eRzR

i1

R)A(tV.A. con tk, 0 = tk t0

dove si postoi

z+

=1

1e dove, ricordiamo, i1e += .

9.5.1. RENDITE IMMEDIATE (in regime di interesse composto)

La rappresentazione grafica di una rendita immediata costituita da n = T termini riportata nella figura

Valutiamo i vari casi ponendoci in un regime di interesse composto o di sconto composto,al tasso dinteresse i , sia per la capitalizzazione che per lattualizzazione.

Valore attuale di una rendita immediata posticipata all'istante iniziale t = 0 .

T

T

t

t

2

21post

i)(1

C

i)(1

C

i)(1

C

i)(1

CV

+++

+++

++

+= )0( .

Valore attuale di una rendita immediata anticipata al tempo t = 0 .

1T

T

1t

t21ant

i)(1

C

i)(1

C

i)(1

CCV

+

+++

+++

+= )0( .

Dalle relazioni sopra trovate segue:

)0()0( antpost Vi1

1V

+= ossia )0()1()0( postant ViV += .

Valore (montante) di una rendita immediata posticipata al tempo finale T .

C1 C2 C3

T1... T

C1

CT1C2 CT

0 1 2 t

Ct

Ct+1 CT

Rendita immediata posticipata

Rendita immediata anticipata


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Parte 9 RENDITE________________________________________________________________________________________________________________________

40

( ) ( ) ( ) 1T12T

2

tT

t1TTpost i1Ci1Ci1Ci)(1CCTM

++++++++++= )( .

Valore (montante) di una rendita immediata anticipata al tempo finale T .

( ) ( ) ( )

T

1

1T

2

1tT

t

2

1TTant i1Ci1Ci1Ci)(1Ci)(1CTM +++++++++++=

+

)( In analogia a quanto evidenziato per il valore attuale, dalle due relazioni trovate per ilmontante, segue che :

)(1

)( TMi

iTM antpost

+= ossia )()( TMi)(1TM postant += .

Valore di una rendita posticipata ad un istante generico t compreso fra 0 e T ,supponendo che t sia un multiplo intero dell'unit di tempo considerata e la renditasia:

Nella prima parte linsieme {C1,...,Ct-1 , Ct } rappresenta una rendita immediataposticipata di durata (0, t) mentre nella seconda parte linsieme {Ct+1 ,...,CT-1 , CT }rappresenta una rendita immediata posticipata che si sviluppa nell'intervallo (t, T) .

Il valore in t di una rendita costituita dai termini

TTttt CCCCCC ,,,,,,, 1111 +

ottenibile sommando il montante in t della rendita i cui termini sono gli elementi delprimo insieme con il valore attuale della rendita individuata dal secondo insieme:

tT

T

t1)(T

1T

2

2t1tt1t

1t1post

i)(1

C

i)(1

C

i)(1

C

i1

CCi)(1Ci)(1C(t)V

++

++

+++

++

+++++++= .

Se la rendita anticipata si procede in modo analogo.

Esempio.Data la rendita:

Noto che in t = 0 il valore attuale di una rendita V0 = 600 , determinare, in regime di

sconto composto, lammonatre di X essendo i = 11 % . Si ha:

t+1

C1

Ct1

T1 T

CT1 CT

0 1 t1 t

Ct Ct+1

t

02

1

t

V0

2

3 2

100 200X

1


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Parte 9 RENDITE________________________________________________________________________________________________________________________

41

( ) ( ) ( )2

2

3

2

1

i1

200

i1

X

i1

100600

+

+

+

+

+

=

++=+

22

1

2

3

i)(1200i)(1100600i)(1X

2

322

1

i)(1i)(1200i)(1100600X +

++=

0,511,5 (1,11)200(1,11)100(1,11)600X = .

Esempio.Data la rendita di seguito rappresentata

Determinare in RIC lammontare della rata X affinch il valore della rendita in t = 3 sia di900 euro, sapendo che i = 12 % .

900i)(1Xi)(1150i)(1300i)(1100 0,81,53 =+++++++

900(1,12)X(1,12)150(1,12)300(1,12)100 0,81,53 =+++

(1,12)150(1,12)300(1,12)100900(1,12)X1,530,8

=

215,47(1,12)

(1,12)150(1,12)300(1,12)100900X

0,8

1,53

=

= .

9.5.2. RENDITE DIFFERITE

L'analisi delle rendite differite sostanzialmente simile a quella delle rendite immediatesolo che c' un effetto di differimento di k periodi. La rappresentazione grafica di una

rendita posticipata differita di k periodi :

La rendita considerata in grafico pu essere ricondotta ad una rendita immediataposticipata aggiungendo k somme tutte nulle esigibili alle scadenze 1, 2,, k . Sicalcolano successivamente i montanti e/o i valori attuali nei modi usuali.

Si procede in modo analogo per calcolare i montanti e i valori attuali di una renditaanticipata differita di k periodi.

0 1,5 t2 2,2 3

300 900150 X100

t T1 T

CT1k CTk

0 1 t

C1

k k+1

Ctk


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Parte 9 RENDITE________________________________________________________________________________________________________________________

42

9.5.3. RENDITE COSTANTI (in regime di interesse composto)

Quando le rate di una rendita sono costanti ed equidistanti e quando la legge finanziariautilizzata una legge esponenziale (di interesse composto o di sconto composto), leformule trovate in 9.5.1 per calcolare il valore attuale V e il montante M assumonoespressioni pi semplici.Consideriamo una rendita immediata costante costituita da n termini. Se i il tasso diinteresse nellunit di tempo, calcoliamo, in regime di interesse composto, il valore attualee il montante sia nel caso di una rendita immediata posticipata sia nel caso di una renditaimmedita anticipata.

Valore attuale in t=0 di una rendita immediata posticipata costante di n termini:

=

+++

++

+=

+++

++

+=

1nn2post i)(1

1

i1

11

i)(1

R

i)(1

R

i)(1

R

i1

RV )0(

( )

( )=

+

+

+

+

+=

+

+

+

=1i1

i1

i1

1i1

i1

1R

i1

11

i111

i1

1R

n

n

n

( )

( ) iz1

Ri)(1

11

i

R

i1

1i1

i

R n

nn

n

=

+=

+

+=

dove si postoi1

1z+

= . La quantit in

n

n2 aiz1zzz ==+++ si legge

a posticipato figurato n al tasso i. In sintesi si pu scrivere

in

n

1k

kpost aRzRV

=

== )0( .

Se la rendita perpetua, il valore attuale in t=0 si ottiene facendo ilinn

aRlim+

e poich

i

1

i

i)(1

11

limi

z1limalim

n

n

n

ninn=

+=

=

+++

t0 1 2 n

R RR


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Parte 9 RENDITE________________________________________________________________________________________________________________________

43

si ha che una rendita perpetua immediata posticipata di rata costante R in t = 0 havalore attuale

i

RVpost =)0( .

Valore attuale in t=0 di una rendita immediata anticipata costante di n termini:

=

+

++

+

+=

+

++

+

+

+

+= 1n1n2ant

i)(1

1

i1

11R

i)(1

R

i)(1

R

i1

RRV )0(

( )

( )

++=

+

+

+

+=

+

+

=1nn

nn

i)(1

1i)(1

i

R

1i1

i1

i1

1i1R

i1

11

i)(1

11

R .

Se la rendita perpetua, facendo il limite per n + , si ottiene:

i

i1R

i)(1

1i)(1

i

Rlim

1nn

+=

++

+.

e dunque una rendita perpetua immediata anticipata di rata costante R in t = 0 havalore attuale

i

i1RVant

+=)0( .

Ricordando che )0()1()0( postant ViV += e che si postoi1

1z

+= , si ha:

)0(1

)0( postant Vz

V =

Valore (montante) di una rendita immediata posticipata costante, al tempo finale n (siparla anche di costituzione di un capitale)

0 1 2 n1

R RRR

n t

0 1 2 n1

R RR R

n t


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Parte 9 RENDITE________________________________________________________________________________________________________________________

44

( ) ( ) ( ) ( ) =+++++=+++++= 1n1npost i1i11Ri1Ri1RRnM )(

( )( ) ( ) in

nn

sRi

1i1Ri11i11R =+=+

+=

dove si posto:

( )in

n

si

1i1

=+

.

Il simboloin

s

si legge s posticipato figurato n al tasso i .

Valore (montante) di una rendita immediata anticipata costante, al tempo finale n (siparla anche di costituzione di un capitale)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++++++=++++++= 1nn2ant i1i11i1Ri1Ri1Ri1RnM )(

( )( )( )

( )( )

( )in

nn

si1Ri

1i1i1R

i11

i11i1R

+=

++=

+

++= .

Si noti che per la scindibilit del regime di interesse composto si ha:

( )npostpost i1VnM += )0()( . e ( )n

antant i1VnM += )0()( .

OSSERVAZIONE.Il valore diin

a

e diin

s

pu essere letto su apposite tavole o calcolato con una

calcolatrice finanziaria. Con il simboloin

a

si intende il valore attuale posticipato a sconto

composto, calcolato allepoca t = 0 , di n rate unitarie al tasso di interesse i . Con il

simboloin

s

si intende il valore (capitale) di una rendita immediata posticipata costituita

da n rate unitarie al tasso di interesse i e calcolata in regime di interesse composto.Spesso, quando non occorre indicare il tasso di interesse (per esempio perch

sottinteso), si usa ometterlo e si scrive semplicementen

a en

s .

Esempio.

0 1 2 n1

R RRR

n t


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Parte 9 RENDITE________________________________________________________________________________________________________________________

45

Calcolare, con sconto composto, il valore attuale in t = 0 di una rendita posticipata conrata costante R = 100 , costituita da n = 10 rate annue, al tasso i = 5 % .SOLUZIONE. Con una calcolatrice o con una tavola finanziaria si trova:

7,72173493a5%10

e quindi moltiplichiamo tale valore per lammontare della rata:

772772,1734937,72173493100aR(0)V5%10post

===

.

Se la stessa rendita fosse calcolata anticipata, da )0()0( postant Vi)(1V += si ha:

810,67720,05)(1Vant =+=)0( .

Ci possono essere rendite anche con tassi d'interesse variabili. Vediamo un sempliceesempio.

Esempio.Si vuole costituire un capitale di 3600 euro in 4 anni facendo 4 versamenti posticipati dirata costante R . Sapendo che la banca riconosce interessi del 10 % per i primi 3 annie dell' 8 % il quarto anno, in RIC, si calcoli quale deve essere limporto della rata.

Sia i1=10 % e i2 = 8 % , allora:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

1212 i1i1Ri1i1Ri1RR3600 ++++++++=

( ) 1,08]1,11,081,11,081[R3600 2 +++=

4,5748R3600 =

e quindi

786,9194,5748

3600R == .

0 1 2 3 4

R RR

t

R

i1 i2

M=3600


46/46

Parte 9 RENDITE________________________________________________________________________________________________________________________

0 1 2 3 4 5 t

R R R RR 6500

9.5.4. ESERCIZI.

Esercizio1.

In regime di interesse composto determinare il montante di una rendita costituita da 6 rateannuali posticipate immediate di 200 euro al tasso effettivo annuo del 4% .SOLUZIONE

13260,04

0,04)(1200i

1i1Ri)(1Ri)(1RRM(6)

65

=

+

=

+

=+++++=

6)(

Esercizio2.In regime di interesse composto, calcolare la rata immediata anticipata annua necessariaper costituire in 5 anni al tasso del 2% il capitale di 6500 euro.SOLUZIONE

6500i)(1Ri)(1Ri)(1R 52 =++++++

6500i

1i)(1i)(1R

5

=+

+

65000,02

10,02)(102)0(1R

5

=+

+ ,

1224,548

1)-0,02)((10,02)(1

0,026500R

5=

++

=

0 1 2 3 4 5 6 t

R R R R R

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