APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

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APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti. MENU. Numeri Polinomi Frazioni algebriche Equazioni Sistemi Disequazioni Geometria. 1. NUMERI. Insiemi numerici Criteri di divisibilità Addizione Sottrazione Moltiplicazione Divisione Potenza Radice. MENU. INSIEMI NUMERICI. - PowerPoint PPT Presentation

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  • APPUNTI DI MATEMATICAschema degli appunti

  • MENUNumeriPolinomiFrazioni algebricheEquazioniSistemi DisequazioniGeometria

  • 1. NUMERI Insiemi numericiCriteri di divisibilitAddizioneSottrazioneMoltiplicazioneDivisionePotenzaRadice MENU

  • INSIEMI NUMERICINaturali ={0,1,2,3,4}Interi ={-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3}Razionali ={interi, decimali finiti, decimali illimitati periodici} ={x|x=p/q, p e q*} Reali ={razionali, irrazionali} (irrazionali: decimali illimitati non periodici)Complessi={reali, i}i=-1 unit immaginaria

  • +positivi -negativies. -={-1,-2,-3} *escluso lo zeroes. *={-3,-2,-1,+1,+2,+3}aassoluti es. a={0,1,2,3}= 0con laggiunta dello zero es. -o={0,-1,-2,-3}

  • CRITERI DI DIVISIBILITA2: ultima cifra multipla di 2 (0,2,4,6,8)5: ultima cifra multipla di 5 (0,5)4: ultime due cifre multiplo di 4 (00,04,16,52,76sono 25)25: ultime due cifre multiplo di 25 (00,25,50,75)8: ultime tre cifre multiplo di 8 (000,432,520sono 125)125: ultime tre cifre multiplo di 125 (000,125,250,375,500,625,750,875)

  • 3:somma delle cifre multiplo di 3 (357,84)9:somma delle cifre multiplo di 9 (927,801)11:la differenza tra la somma delle cifre di posto pari con la somma delle cifre di posto dispari, multiplo di 11 (71533)Nota: 7 e 13 esiste ma non utilizzata

  • ADDIZIONEOperazione internaCommutativaAssociativaEsiste 0 elemento neutroEsiste il simmetrico di a: -a (opposto)

  • SOTTRAZIONEInvariantiva: se si somma o si sottrae uno stesso numero sia al minuendo che al sottraendo, la differenza non cambia

  • MOLTIPLICAZIONEOperazione internaCommutativaAssociativaDistributiva rispetto alladdizione e alla sottrazioneEsiste 1 elemento neutroEsiste il simmetrico di a (se a0): 1/a (reciproco)Esiste 0 elemento assorbenteLegge di annullamento del prodotto

  • DIVISIONEInvariantiva: se si moltiplicano o si dividono sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero diverso da zero, il quoziente non cambia mentre il resto se c viene moltiplicato o diviso per lo stesso numeroDistributiva (solo da una parte)MENU

  • POTENZADefinizioniPropriet Note

  • ana base n esponente an potenzan se n=0 e a0:a0 = 1 se n=1: a1 = a se n2: an = aaa a (n volte) se n
  • PROPRIETAIl prodotto di due o pi potenze con ugual base una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponentiIl quoziente di due potenze con ugual base una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti

  • Il prodotto di due o pi potenze con ugual esponente una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponenteOppure Propriet distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione: la potenza di un prodotto uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori.Il quoziente di due potenze con ugual esponente una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponenteOppure Propriet distributiva della potenza rispetto alla divisione: la potenza di un quoziente uguale al quoziente delle potenze del dividendo e del divisore

  • La potenza di una potenza una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti

  • NOTEIn una espressione si applicano prima le propriet delle potenze o si calcolano con la definizione, poi si eseguono le moltiplicazioni e le divisioni, cos come si presentano, e infine le addizioni e le sottrazioni Se nelle espressioni ci sono delle parentesi bisogna cominciare a risolvere da quelle pi interne

  • Le propriet delle potenze sovvertono le priorit delle operazioni. Bisogna dare sempre la precedenza alle propriet piuttosto che alle definizioniSe non c la parentesi lesponente riferito solo al numero immediatamente alla sua sinistraUna potenza con esponente pari sempre positiva; una potenza con esponente dispari conserva il segno della base

  • RADICEDefinizioniProprietNote

  • DEFINIZIONInaa radicando n indice na radicale

    na = b se e solo se bn = a

    a,bn*radicali algebricia,ba n*radicali aritmetici

  • se n=0: 0apriva di significato se n=1: 1a= a se n=2: 2a=a radice quadratase n=3: 3aradice cubica se n>0: n0=0

  • PROPRIETAPropriet invariantiva: il valore di un radicale aritmetico non cambia se si moltiplicano o si dividono lindice della radice e lesponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da 0Il prodotto di due o pi radicali aventi lo stesso indice un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandiOppure Propriet distributiva della radice rispetto alla moltiplicazione: la radice di un prodotto uguale al prodotto dei singoli radicali

  • Il quoziente di due o pi radicali aventi lo stesso indice un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandiOppure Propriet distributiva della radice rispetto alla divisione: la radice di un quoziente uguale al quoziente dei singoli radicaliLa potenza di un radicale uguale a un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando la potenza del radicandoLa radice di una radice una radice che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicando

  • NOTESviluppare lespressione sotto radiceLavorare con il radicaleOperare tra i radicali

    Non si lasciano radici al denominatore e denominatori sotto radice

    MENU

  • 2. POLINOMIProdotti notevoliDivisioniScomposizioni

    MENU

  • PRODOTTI NOTEVOLIProdotto somma per differenza(A+B)(A-B)=A2-B2Quadrato di binomio (A+B)2=A2+2AB+B2 Quadrato di trinomio (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BCCubo di binomio (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

  • Prodotto somma (differenza) per il suo falso quadrato (A+B)(A2-AB+B2)=A3+B3 (A-B)(A2+AB+B2)=A3-B3 Potenza di binomioil polinomio consta di n+1 termini, ciascuno il prodotto del coefficiente (preso dal triangolo di Tartaglia) per le potenze decrescenti del primo termine (da n a 0) per le potenze crescenti del secondo (da 0 a n)

  • DIVISIONIDivisione tra due polinomiDivisione con la regola di Ruffini

  • DIVISIONE TRA DUE POLINOMIIl dividendo deve essere ordinato e completoIl divisore ordinatoIl grado del quoziente uguale alla differenza dei gradi del dividendo e del divisoreIl grado del resto minore del grado del divisoreLa divisione termina quando il grado del resto diventa minore del grado del divisoreProva B.Q+R=A A dividendoB divisore Q quozienteR resto

  • DIVISIONE CON RUFFINIIl dividendo A(x) deve essere ordinato e completoIl divisore (x-a) deve essere un binomio ordinato di primo grado con il primo coefficiente uguale a 1Il resto R un termine di grado 0Nella regola di Ruffini si utilizzano solo i coefficientiTeorema del resto: R=A(a) (il resto il valore che il dividendo assume in a, cio il valore che si ottiene sostituendo a al posto di x)Se il primo coefficiente non 1 possibile effettuare la divisione con Ruffini dopo averla opportunamente modificata applicando la propriet invariantiva

  • SCOMPOSIZIONIDefinizioniUso

  • DEFINIZIONIRaccoglimento a fattor comune AM+BM+CM=M(A+B+C)Regola. Si individua il MCD; si mette in evidenza e si moltiplica per il polinomio ottenuto divedendo ciascun termine per il MCD. linverso della propriet invariantiva.Raccoglimenti successivi AM+BM+AN+BN=M(A+B)+N(A+B)=(A+B)(M+N)Regola. Si effettua quando non possibile raccogliere a fattor comune ma solo a 2 a 2 oppure a 3 a 3. Ci deve essere un numero pari di termini o 9. Il secondo passaggio sempre il raccoglimento a fattor comune.

  • Differenza di due quadrati A2-B2 =(A+B)(A-B)Regola. Si moltiplica la somma delle basi per la loro differenza.Trinomio quadrato di binomioA2+2AB+B2=(A+B)2Quadrinomio cubo di binomioA3+3A2B+3AB2+B3=(A+B)3Polinomio quadrato di trinomioA2+B2+C2+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)2

  • Somma o differenza di due cubiA3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2)Trinomio notevoleX2+(A+B)X+AB=(X+A)(X+B)Regola. un trinomio ordinato in cui il primo termine ha grado doppio del secondo e il terzo noto. Il primo coefficiente 1; il secondo la somma di due termini e il terzo il prodotto degli stessi.

  • Ruffini. Si applica in presenza di un polinomio ordinato. E la prova di una divisione di cui si conosce solo il dividendo A(x) (il polinomio da scomporre); il divisore (x-a) si cerca per tentativi; il quoziente Q(x) si trova con la regola di Ruffini; il resto R deve essere zero. prova: A(x)=Q(x)(x-a)+R, R=0a: si cerca tra i divisori del termine noto o tra le frazioni aventi al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del primo coefficiente in modo che R=0

  • USODue termini: - raccoglimento a fattor comune- differenza di due quadrati- somma o differenza di due cubi- RuffiniTre termini:- raccoglimento a fattor comune - trinomio quadrato di binomio- trinomio notevole- Ruffini

  • NOTESe ci sono delle frazioni spesso conviene fare il denominatore comune e poi scomporre il numeratoreSi raccoglie il primo segno che si incontraLe parentesi quadre diventano tonde e le tonde si eliminano facendo i calcoliPer iniziare e per finire una scomposizione necessario scomporre i polinomi dentro le parentesi

  • Quattro termini:- raccoglimento a fattor comune- raccoglimenti successivi- quadrinomio cubo di binomio- misto- RuffiniCinque o pi termini:- raccoglimento a fattor comune- raccoglimenti successivi (solo con sei, otto, nove termini )- polinomio quadrato di trinomio- misto- Ruffini

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  • 3. FRAZIONI ALGEBRICHESemplificazioneMoltiplicazione e divisionePotenzaSomma