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Dispense di Matematica Finanziaria

Giacomo Scandolo

2 marzo 2011

c⃝ 2011 - Giacomo Scandolo

Avvertenza 1. Le pagine che avete in mano (o davanti allo schermo), pur nei limiti di una dispensa, vi

permettono di affrontare il corso senza dover acquistare ulteriori testi. Mi farebbe molto piacere se la som-

ma che risparmiate nell’acquisto di un libro (10 Euro? 20 Euro? fate voi) andasse ad aiutare qualche ente

benefico che vi sta a cuore. Se siete indecisi vi suggerisco una donazione all’Ospedale pediatrico Meyer di

Firenze: trovate tutti i dettagli su www.meyer.it/categoria_1_col.php?IDCategoria=339

Avvertenza 2. Queste dispense contengono senz’altro molti errori: mi sara utile avere un feedback da

parte vostra allo scopo di aggiornare una lista di errata/corrige che mettero a vostra disposizione.

Matematica Finanziaria - Parte 1 1

Parte 1: Operazioni e regimi finanziariIn questa prima parte presentiamo gli oggetti fondamentali della Matematica Finanziaria (classi-

ca), ovvero le operazioni finanziarie. Ci muoviamo qui, cosı come in tutta la prima parte del corso,

in condizioni di certezza, ovvero assumiamo che tutti gli importi e i tempi siano perfettamente

fissati fin dall’inizio.

1.1 Contratti finanziari

Un contratto finanziario e un accordo tramite il quale due parti si impegnano a scambiarsi una

serie di importi ad una serie di date. Le controparti possono essere di diversa natura: privati cit-

tadini, aziende, istituzioni finanziarie, enti pubblici, lo Stato. La diffusione e la varieta di contratti

finanziari risponde a varie esigenze, tra cui quella di posticipare (capitalizzare) o anticipare (attua-

lizzare) la disponibilita di denaro e dunque, in ultima analisi, di consumo. Possiamo affermare

che i contratti finanziari consentono il fluire di denaro dalle unita cosiddette in surplus, ovvero

che dispongono piu di quanto riescono a spendere, a quelle in deficit, ovvero che spendono piu

di quanto dispongono. In questa prima parte ci occupiamo di contratti in cui importi e date sono

quantita certe, non soggette ad aleatorieta. Facciamo qualche semplice esempio:

1. Un deposito in conto corrente in cui un risparmiatore (in surplus) posticipa la disponibilita

di denaro, cedendola temporaneamente ad una banca (in deficit).

2. Un mutuo, tramite il quale l’acquirente di un immobile (in deficit) anticipa la disponibilita

di denaro e a questo bisogno provvede una banca (in surplus).

3. Un prestito concesso da una banca (in surplus) ad una piccola azienda (in deficit).

4. L’acquisto di un BOT da parte di un cittadino (in surplus), grazie al quale lo Stato (in deficit)

raccoglie fondi.

Dai pochi esempi fatti si capisce che una unita (p.e. un cittadino) non e sempre in surplus o sempre

in deficit, ma il suo status varia a seconda del momento. Resta il fatto che generalmente:

• i cittadini sono in surplus: prestano soldi alle banche (conti correnti), alle aziende e allo Stato

(obbligazioni, titoli di Stato)

• le banche sono neutre: quanto ricevono dai cittadini lo prestano alle aziende

• le aziende sono in deficit: si fanno prestare dai cittadini (obbligazioni) e dalle banche (presti-

ti)

• lo Stato e in deficit: si fa prestare dai cittadini (titoli di Stato)


Va inoltre sottolineato che nei 4 esempi fatti sopra c’e spesso una componente di discrezionalita:

p.e. un correntista puo scegliere la data a cui estinguere il conto oppure l’acquirente del BOT puo

sempre decidere di vendere il titolo in anticipo. A volte, come nel caso del BOT, tale discrezionalita

introduce anche aleatorieta (il prezzo di vendita anticipata del BOT sara noto solo in futuro.)

1.2 Rappresentazione come operazione finanziaria

Consideriamo un contratto in cui A riceve da B 1000 e in data odierna, e in cambio si impegna a

pagargli 3 rate da 400 e tra 1, 2 e 3 anni. Possiamo rappresentare tale contratto, dal punto di vista

di A, tramite la corrispondente operazione finanziaria:

x/t = (1000,−400,−400,−400)/(0, 1, 2, 3) (1.1)

Il vettore1 x = (x0, . . . , xN) descrive gli importi, mentre t = (t0, . . . , tN) descrive le relative

scadenze. Naturalmente, vista da B, l’operazione finanziaria diventa:

y/t = (−1000, 400, 400, 400)/(0, 1, 2, 3); (1.2)

in altre parole, lo scadenzario rimane invariato, mentre il flusso degli importi cambia di segno.

Un contratto si dice a pronti (in inglese spot) se il primo importo viene scambiato in data odierna,

ovvero se per le corrispondenti due operazioni finanziarie (una di A e l’altra di B), t0 = 0. Se

invece t0 > 0, allora si parla di contratti a termine (in inglese forward).

Esempio. L’operazione:

x/t = (−2000, 1500, 700)/(0, 0.5, 2) (1.3)

e il flusso per A di un contratto a pronti in cui A paga oggi a B 2000 e e ricevera da B le due somme

1500 e 700 e tra 6 mesi e 2 anni, rispettivamente. Invece:

x/t = (1000,−2000, 800)/(1, 2, 3) (1.4)

e l’operazione per A corrispondente ad un contratto a termine in cui A riceve da B 1000 e tra 1 anno

a partire da oggi, data in cui il contratto e stipulato, si impegna a ripagargli 2000 e tra 2 anni e infine

riceve ancora da B 800 e tra 3 anni.

1.3 Prestiti elementari

La maggior parte dei contratti si presenta naturalmente nella forma di un prestito ovvero prevede

un esborso iniziale da A (il creditore) a B (il debitore), seguito da uno o piu pagamenti nel verso

opposto, ovvero da B ad A. Dal punto di vista del creditore un contratto di prestito da luogo ad

un’operazione finanziaria di investimento, in cui il flusso degli importi ha segni del tipo:

x ∼ (−,+, . . . ,+).

1Un vettore, dal punto di vista matematico, e un insieme ordinato di numeri (reali)


Al contrario, dal punto di vista del debitore l’operazione e un finanziamento, ovvero e del tipo:

x ∼ (+,−, . . . ,−).

In un prestito elementare il rimborso da parte del debitore avviene in un’unica data (detta sca-

denza). Un classico esempio e l’acquisto di un BOT seguito dal possesso fino alla sua scadenza.

Visto dalla parte del creditore, un prestito elementare consiste nell’operazione2

x/t = (−C, M)/(0, T)

dove C > 0 e il capitale prestato in 0 e M > C e il capitale rimborsato in T > 0.

Possiamo interpretare un contratto di prestito elementare sotto tre angolazioni diverse:

1. dal punto di vista del creditore, si tratta di capitalizzare la somma iniziale C, detta capitale,

che cresce e diventa M, detto montante

2. dal punto di vista del debitore, si tratta di attualizzare la somma M, detta valore nominale,

che riportata in 0 diventa C, detta valore attuale

3. da entrambe le parti (creditore e debitore) si conviene nell’equivalenza tra la somma C in 0 e

M in T. Questa equivalenza non e universale, ma si limita al contratto stipulato.

Schematicamente:

capitalecapitalizzazione−−−−−−−−−−−→ montante

valore attuale attualizzazione←−−−−−−−−−−− valore nominale

I contratti di prestito prevedono, naturalmente, che il montante sia maggiore del capitale. La

differenza

I = M− C > 0

e detta interesse, mentre i due rapporti

m =MC

> 1 e c =CM

=1m

< 1

sono detti, rispettivamente, fattore montante e fattore di attualizzazione. Valgono le ovvie ugua-

glianze:

M = m · C e C = c ·M.

Esempio. Il prezzo odierno di un BOT, con scadenza fra 6 mesi, e 970 Euro e il capitale rimborsato

alla scadenza (chiamato, appunto, valore nominale) e 1000 Euro. In questo caso C = 970 e il valore

attuale di M = 1000, oppure M = 1000 e il montante del capitale iniziale C = 970. L’interesse e

I = M − C = 30, il fattore montante e m = 1000/970 = 1.0309 e il fattore di attualizzazione e

c = 1/m = 0.97

2Per il momento, ci limitiamo ai contratti spot.


1.4 Leggi e regimi finanziari

Spesso, per velocizzare e uniformare la definizione dei contratti, si ha bisogno di stabilire una

formula con la quale, nota la durata del prestito e il capitale, sia possibile calcolare il montante.

La stessa esigenza si ha anche quando ci siano delle discrezionalita da parte del debitore e/o del

creditore; pensiamo, ad esempio, alla discrezionalita del correntista che puo scegliere la data in

cui chiudere il conto, ovvero la scadenza t del prestito concesso alla banca. Tale formula si chiama

legge finanziaria e, dal punto di vista matematico, si rappresenta come una funzione

M = M(C, t) C > 0, t > 0.

che esprime il montante M in dipendenza dal capitale C e dalla scadenza t del prestito. Per

semplificare l’analisi, facciamo l’ipotesi che la legge sia omogenea negli importi, ovvero che:

M(C, t) = C ·M(1, t) = C ·m(t),

dove m(t) e il montante relativo ad una unita di capitale iniziale, ovvero il fattore montante. In

altre parole, assumiamo che lo stesso trattamento (in termini relativi) sia riservato al capitale in-

vestito, indipendentemente dalla sua entita. Anche se a volte cio non e esattamente vero (p.e. in

alcuni depositi in conto corrente il tasso di interesse puo crescere leggermente con l’entita del ca-

pitale), tale ipotesi e una buona approssimazione della realta. Dunque possiamo pensare ad una

legge finanziaria direttamente in termini di una funzione

m = m(t)

che descrive l’evoluzione del montante a partire da un capitale di 1 Euro, ovvero l’evoluzione

del fattore montante. Ovviamente, la funzione m dovra perlomeno soddisfare alle seguenti due

proprieta:

• m(0) = 1

• m e strettamente crescente

Per questioni puramente tecniche, richiediamo inoltre che m sia derivabile. La quantita

ie =M(C, 1)− C

C= m(1)− 1,

che di solito e espressa come percentuale, e detta tasso (di interesse) annuo effettivo della legge

finanziaria m ed e una misura di quanto velocemente cresce il montante.

E’ ovvio che per specificare una legge finanziaria si puo anche descrivere come varia il valore at-

tuale di 1 e con la scadenza a cui sara disponibile, ovvero esprimendo il fattore di attualizzazione

in funzione del tempo:

c(t) =C

M(C, t)=

1m(t)

.


La funzione c sara strettamente decrescente e soddisfera c(0) = 1.

Un regime finanziario e una classe di leggi finanziarie, tutte della stessa forma, le quali dipendono

da un parametro. Esso puo essere il tasso annuo effettivo, oppure un cosiddetto tasso annuo

nominale. Specificato dunque il regime e uno dei due tassi, e individuata la legge finanziaria che

si sta usando. Assieme alla convenzione per il calcolo dei tempi, di cui parleremo tra breve, questo

e un secondo elemento che per legge deve essere sempre esplicitato nei contratti. Illustriamo qui

sotto i 4 regimi finanziari piu importanti:

1. regime dell’interesse semplice

2. regime dell’interesse composto k volte l’anno

3. regime dell’interesse composto (continuamente)

4. regime dello sconto commerciale (o dell’interesse anticipato)

1.5 Il regime dell’interesse semplice

Nel regime dell’interesse semplice si assume che l’interesse cresca in modo proporzionale al tempo

trascorso, secondo una costante di proporzionalita i > 0 che si chiama tasso (di interesse) annuo:

I = iCt.

Equivalentemente, assumiamo che la legge finanziaria, che indichiamo con ms (s per semplice)

sia:

ms(t) = 1 + it

E’ immediato vedere che il tasso annuo effettivo ie coincide con i. Il fattore di attualizzazione

evolvera secondo

cs(t) =1

1 + it

Esempio. In regime di interesse semplice con tasso annuo i = 8%, il montante dopo 2 anni del

capitale iniziale C = 2000 Euro e M = C(1 + 2i) = 2320; il valore attualizzato di M = 10000 Euro

disponibili fra 6 mesi e C = M/(1 + i/2) = 9615

Nelle figure 1.5 possiamo vedere che, a parita di scadenza, maggiore e il tasso di interesse, mag-

giore e il montante e minore e il valore attuale. Il regime dell’interesse semplice e utilizzato in

genere per calcolare interesse e montante per scadenze ravvicinate e, comunque, che non su-

perino 1 anno. Oltre tale scadenza (o anche scadenze inferiori), scatta in genere la clausola di

capitalizzazione degli interessi, che modifica il regime, come andiamo a vedere nel prossimo

paragrafo.


0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

(a) i = 5%

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

(b) i = 30%

Figura 1.1: Montante (linea continua) e valore attualizzato (tratteggiata) in regime di interesse semplice per due

valori di i

1.6 Il regime dell’interesse composto k volte l’anno

Quando il prestito arriva alla scadenza, gli interessi maturati dal creditore possono essere liquidati

(sotto forma ad esempio di cedole di un’obbligazione) oppure reinvestiti in un prestito analogo al

precedente. In questo secondo caso si dice che gli interessi vengono capitalizzati, ovvero vanno a

far parte del capitale. Spesso un contratto prevede che tale pratica sia automaticamente eseguita

a favore del creditore e che le condizioni (ovvero il tasso di interesse) rimangano invariate: basta

pensare ad un deposito in conto corrente in cui la banca capitalizza periodicamente gli interessi,

senza che il correntista debba fare alcuna operazione. Vediamo ora come evolve il montante,

supponendo che gli interessi siano capitalizzati 1 volta l’anno, al 31 dicembre come spesso accade,

e che il tasso di interesse in regime di interesse semplice sia i. In questo contesto, i e detto tasso

annuo nominale. Se investiamo 1 Euro il 1 gennaio, il montante, che indichiamo con m1 (1 e il

numero di capitalizzazioni annue) sara

m1(t) = ms(t) = 1 + it se t ∈ [0, 1];

gli interessi vengono calcolati sul capitale 1 per il tempo t. Si vede subito che il tasso annuo

effettivo ie coincide con quello nominale i. Dopo la prima capitalizzazione, ovvero per t ∈ [1, 2], il

capitale diventa 1 + i e gli interessi vengono calcolati per il tempo t− 1, ovvero:

m1(t) = (1 + i)ms(t− 1) = (1 + i)(1 + i(t− 1)) se t ∈ [1, 2],

e cosı via. Se introduciamo la parte intera3 ⌊t⌋ di t:

⌊t⌋ = maxn ∈N : n 6 t,

3In breve, ⌊t⌋ e il numero t senza la virgola, p.e. ⌊2.31⌋ = 2.


possiamo riscrivere l’evoluzione del montante come:

m1(t) = (1 + i)⌊t⌋(1 + i(t− ⌊t⌋))

Infatti, ⌊t⌋ corrisponde al numero di capitalizzazioni prima di t, (1 + i)⌊t⌋ e il capitale su cui si

calcolano gli interessi al tempo t e t− ⌊t⌋ e il tempo passato dall’ultima capitalizzazione.

Si vede subito che

m1(2) = (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = ms(2) + i2,

ovvero che dopo 2 anni, in presenza di capitalizzazione, il montante cresce piu velocemente

rispetto al regime dell’interesse semplice. La differenza m1(2)− ms(2) = i2, piccola (se i = 5%,

i2 = 0.0025) ma positiva, e dovuta proprio al calcolo degli interessi sugli interessi. Analogamente

per il montante dopo n anni4

m1(n) = (1 + i)n > 1 + ni = ms(n).

Nel grafico seguente viene confrontato il montante secondo il regime dell’interesse semplice e

composto 1 volta, a parita di tasso annuo effettivo. Consideriamo ora una capitalizzazione piu

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

Figura 1.2: Montante secondo l’interesse semplice e la capitalizzazione 1 volta l’anno a parita di tasso annuo

nominale i = 30%. I cerchi evidenziano le date di capitalizzazione.

frequente, ovvero k > 2 volte l’anno. Questo e quello che succede nella pratica per alcuni conti

corrente che capitalizzano ogni 3 mesi (k = 4) oppure ogni 6 mesi (k = 2). Se i e il tasso annuo

nominale5, essendo il periodo tra due capitalizzazioni pari a 1/k, il montante, che indichiamo con

4Dimostrare la disuguaglianza (1 + i)n > 1 + ni, i > 0, n > 2 per induzione su n5Che spesso nei contratti viene chiamato tasso nominale convertibile k volte l’anno, per sottolineare la frequenza

di capitalizzazione.


mk (k e il numero di capitalizzazioni annue) e:

mk(t) = 1 + it se t ∈ [0, 1/k]

= (1 + i/k)(1 + i(t− 1/k)) se t ∈ [1/k, 2/k]

= (1 + i/k)2(1 + i(t− 2/k)) se t ∈ [2/k, 3/k]

e cosı via

che possiamo facilmente riscrivere come:

mk(t) = 1 + it se kt ∈ [0, 1]

= (1 + i/k)(1 + i(kt− 1)/k) se kt ∈ [1, 2]

= (1 + i/k)2(1 + i(kt− 2)/k) se kt ∈ [2, 3]

e cosı via

ovvero, in forma compatta:

mk(t) =(

1 +ik

)⌊kt⌋ (1 +

ik(kt− ⌊kt⌋)

)(1.5)

All’istante della n-esima capitalizzazione, ovvero in t = n/k avremo:

mk(n/k) =(

1 +ik

)n

;

in particolare, dopo 1 anno abbiamo

mk(1) =(

1 +ik

)k

e dunque il tasso annuo effettivo e

ie = mk(1)− 1 =

(1 +

ik

)k

− 1,

che e diverso da quello nominale i (se k > 2) e dipende da k.

Esempio. In regime di interesse composto 2 volte l’anno con tasso annuo nominale i = 6%, il mon-

tante dopo 1 anno del capitale iniziale C = 700 Euro e M = C(1 + i)2 = 786.5; il valore attualizzato

di M = 3000 Euro disponibili fra 8 mesi e (t = 2/3 e kt = 2t = 4/3)

C =M

(1 + i/2)⌊4/3⌋(1 + i/2(4/3− ⌊4/3⌋))=

M(1 + i/2)(1 + i/6)

= 2884

Si puo dimostrare, usando un po’ di algebra (e pazienza...) che mk(1), e dunque anche ie, e stretta-

mente crescente in k. Giungiamo dunque ad una conclusione naturale, ma importante: maggiore

e la frequenza di capitalizzazione, piu velocemente cresce il montante. Vedi la tabella e i grafici

alla fine del prossimo paragrafo per un’illustrazione numerica di questi fatti.


Il termine anatocismo, dal greco ana (di nuovo) e tokos (interesse), viene spesso usato per indicare

la pratica di capitalizzare periodicamente gli interessi. In passato tale pratica era espressamente

vietata dal codice civile, soprattutto per tutelare il debitore. Successivamente, la prassi di capi-

talizzare gli interessi e stata consentita a livello normativo. Si e pero osservata una tendenza da

parte delle banche a differenziare la frequenza di capitalizzazione per gli interessi passivi e attivi

(per il cliente): i primi venivano di solito capitalizzati trimestralmente, mentre i secondi solo an-

nualmente. Nel 2004 una sentenza della Corte di Cassazione ha posto fine (per ora) alla vicenda,

imponendo che la frequenza di capitalizzazione sia la stessa per entrambi i tipi di interessi. Per

un approfondimento, vedi l’articolo Anatocismo su Wikipedia.

1.7 Il regime dell’interesse composto (continuamente)

Che cosa succede se la frequenza delle capitalizzazioni diventa grande? Siamo qui interessati al

limite per k → ∞ del montante espresso in (1.5). Il limite che otterremo, che indichiamo con

m∞, definisce la legge finanziaria con tasso annuo nominale i secondo il regime dell’interesse

composto (continuamente). Tale regime e anche chiamato regime esponenziale. Iniziamo con il

montante dopo 1 anno, per cui si ha:

m∞(1) = limk→∞

mk(1) = limk→∞

(1 +

ik

)k

= exp(i);

abbiamo applicato la definizione di funzione esponenziale (vedi appendice). Analogamente:

m∞(n) = limk→∞

(1 +

ik

)kn

=

(limk→∞

(1 +

ik

)k)n

= (exp(i))n = exp(in)

Ci aspettiamo allora che

m∞(t) = exp(it), (1.6)

per ogni t > 0, ed e effettivamente cio che accade: la dimostrazione e in appendice. Essendo

la successione mk(t) strettamente crescente in k, il regime dell’interesse composto e quello che

garantisce il massimo montante a parita di tasso annuo nominale. Il tasso annuo effettivo e

ie = m∞(1)− 1 = exp(i)− 1, (1.7)

un facile conto mostra che si puo esprimere m∞ in termini di tasso annuo effettivo:

m∞(t) = (1 + ie)t

Nel seguito si utilizzera maggiormente questa seconda formulazione della funzione montante.

Dalla (1.7) e dalla (1.14) (appendice), se i e piccolo in confronto a 1 (e i tassi comunemente lo sono)

possiamo scrivere:

ie ≃ (1 + i)− 1 = i.


Teniamo comunque presente che exp(i) ≃ 1 + i e un’approssimazione per difetto di exp(i) e

dunque ie > i.

Nella seguente tabella vengono riportati, per un dato valore del tasso annuo nominale (i = 10%),

il tasso annuo effettivo e il montante sotto varie frequenze di capitalizzazione, da 0 (interesse

semplice) a ∞ (interesse composto).

k ie m(1) m(2) m(5) m(10)

0 10% 1.1 1.2 1.5 2

1 10% 1.1 1.210 1.610 2.594

2 10.25% 1.102 1.215 1.629 2.653

4 10.38% 1.104 1.218 1.639 2.685

12 10.47% 1.1047 1.220 1.645 2.707

∞ 10.52% 1.1052 1.2214 1.6487 2.7183

I due grafici nella Figura 1.3 evidenziano la differenza tra varie frequenze di capitalizzazione. Nel

primo e comune il tasso annuo nominale, nel secondo il tasso annuo effettivo6

0 0.5 1 1.5 21

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

(a) Tasso annuo nominale i = 80%, k = 0, 1, 2, 4, ∞

0 0.5 1 1.5 21

1.5

2

2.5

3

3.5

(b) Tasso annuo effettivo ie = 80%, k = 0, 1, ∞

Figura 1.3: Montante per alcune frequenze k di capitalizzazione. I cerchi evidenziano le date di capitalizzazione. Il

regime di capitalizzazione continua e la linea tratteggiata.

Il fattore di attualizzazione nel regime dell’interesse composto e:

c∞(t) =1

exp(it)= exp(−it)

=1

(1 + ie)t = (1 + ie)−t,

dove la prima riga e espressa in termini di tasso annuo nominale, la seconda di tasso annuo

effettivo.6Si sono assunti tassi esageratamente alti per rendere piu chiare le figure.


Esempio. In regime di interesse composto con tasso annuo nominale i = 4%, il montante di C = 900

Euro dopo 1 anno e 6 mesi e M = C exp(i · 1.5) = 955.6. Il tasso annuo effettivo e ie = exp(i)− 1 =

4.08% e ritroviamo M = C(1 + ie)1.5 = 955.6. Il valore attualizzato di M = 12000 Euro disponibili

fra 2 mesi e C = M exp(−i/12) = M(1 + ie)−1/12 = 11960

1.8 Il regime dello sconto commerciale

Nel regime dello sconto commerciale gli interessi vengono pagati in anticipo, secondo un tasso

annuo nominale i. In altre parole, si modella il fattore di attualizzazione come:

csc(t) = 1− it.

Per attualizzare ad oggi 1 Euro disponibile al tempo t, si decurta tale Euro della quantita it, che puo

essere interpretata come un interesse anticipato (infatti il regime e anche chiamato degli interessi

anticipati). Il montante e

msc(t) =1

1− ite si vede subito che tale formula ha senso finche t < 1/i, ovvero per tempi sufficientemente brevi.

Il tasso annuo effettivo e

ie =1

1− i− 1 =

i1− i

= i + i2 + i3 + . . .

Nel grafico seguente vengono riportati il montante e il valore attualizzato nel caso in cui i = 10%.

Si puo osservare che, all’avvicinarsi di t a 1/i = 10 anni, c va a zero e m diverge all’infinito.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

2

4

6

8

10

12

Figura 1.4: Montante (linea continua) e valore attualizzato (linea tratteggiata) in regime di sconto commerciale con

i = 10%

Esempio. In regime di sconto commerciale con tasso annuo nominale i = 7%, il valore attuale

di M = 2000 Euro disponibili tra 6 mesi e C = M(1 − i/2) = 1930. Il tasso annuo effettivo e

ie = i/(1− i) = 7.53%


1.9 Tassi impliciti

Data una singola operazione di prestito (−C, M)/(0, T) non e chiaramente possibile determinare

quale regime finanziario e stato utilizzato per la sua definizione. Tuttavia, una volta fissato un

regime, e possibile ricavare in modo univoco il tasso annuo (nominale o effettivo) compatibile con

l’operazione. Possiamo chiamare tale tasso annuo implicito nell’operazione di prestito data. In

particolare:

• In regime di interesse semplice, il tasso implicito (nominale o effettivo, e lo stesso) i e tale

che M = C(1 + iT). Risulta

i =1T

M− CC

Esso viene comunemente chiamato tasso annuo di rendimento semplice dell’operazione.

• In regime di interesse composto, vogliamo avere M = C exp(iT) e M = C(1 + ie)T, da cui si

ricava

i =1T

logMC

e

ie =

(MC

)1/T

− 1

Il secondo e spesso chiamato tasso annuo di rendimento composto.

Esempio. Consideriamo un prestito di C = 4000 Euro, che produce il montante M = 4400 Euro tra

1 anno e 3 mesi. Il tasso annuo di rendimento semplice e i = 400/(4000 · 1.25) = 8%, mentre il tasso

annuo di rendimento composto e ie = (4400/4000)1/1.25 − 1 = 7.92%

Abbiamo appena visto un utilizzo inverso di un regime finanziario: qui gli importi e la scadenza

sono fissati e da questi ci si ricava un tasso. Cio puo servire per confrontare la redditivita di due o

piu investimenti, oppure a definire le condizioni di contratti con scadenze simili.

Va fatta un’importante precisazione: in genere i prestiti hanno scadenze fissate e non ammettono

la discrezionalita propria di un deposito bancario. Dunque il tasso implicito e riferito solo alla sca-

denza T del prestito, nel senso che lega il capitale C al montante M in T tramite M = C(1 + iT).

Tuttavia, il montante di C ad un tempo t < T precedente la scadenza potrebbe non essere definito

operativamente (perche non e possibile risolvere il contratto in anticipo), oppure potrebbe essere

determinato dal mercato: si pensi al prezzo di un BOT, che cambia in continuazione e in modo

aleatorio, senza seguire alcuna legge finanziaria precisa.

Fissata una controparte, ad ogni scadenza pattuita corrispondera dunque un tasso specifico. Que-

sto insieme di tassi, al variare della scadenza, si chiama struttura per scadenza (SPS) dei tassi. Nor-

malmente i tassi crescono con l’aumentare della scadenza, e dunque il grafico della SPS e una

curva crescente, ma a volte si possono avere situazioni diverse. Torneremo su questo importante


concetto nella parte dedicata alle obbligazioni. Vedi la figura 1.14 per un esempio di SPS (di tassi

Euribor)

1.10 Tassi equivalenti

A volte e conveniente esprimere il tempo in semestri, o trimestri, o addirittura mesi. Nel primo

caso il tempo t subisce la trasformazione t→ 2t (ad es. 5 anni diventano 2 · 5 = 10 semestri), negli

altri casi le trasformazioni t → 4t e t → 12t. In generale, se l’anno viene diviso in k > 2 parti

uguali, la trasformazione diventa t → kt. Come deve cambiare in corrispondenza il tasso annuo

(nominale o effettivo)? In altre parole, se con m(·, i) indichiamo la legge finanziaria, in un qualche

regime fissato, di tasso annuo i, quale deve essere il nuovo tasso, chiamiamolo ik per cui si abbia

m(kt, ik) = m(t, i)

per ogni t? Chiameremo tale tasso il tasso equivalente ad i sulla frazione di anno 1/k: ad esempio

i2 sara il tasso semestrale equivalente (al tasso annuo i), i4 il tasso trimestrale equivalente, e cosı

via. Il conto e piuttosto semplice: vediamo che cosa succede per l’interesse semplice e composto.

• Per l’interesse semplice si vuole avere 1 + ikkt = 1 + it, da cui

ik =ik

Cosı, ad esempio, il tasso semestrale equivalente e i2 = i/2, il tasso mensile e i12 = i/12.

Ovviamente

i = kik (1.8)

permette di risalire al tasso annuale, noto il tasso equivalente ik.

• Per l’interesse composto si vuole avere exp(ikkt) = exp(it) e (1 + ie,k)kt = (1 + ie)t, da cui

ik =ik

per i tassi nominali e

ie,k = (1 + ie)1/k − 1

per i tassi effettivi. In particolare, il tasso semestrale effettivo e

ie,2 =√

1 + ie − 1,

il tasso trimestrale effettivo

ie,4 = 4√

1 + ie − 1,

e cosı via. L’espressione

ie = (1 + ie,k)k − 1

permette di risalire al tasso annuale, noto il tasso equivalente ie,k.


Esempio. In regime di interesse semplice, se il tasso annuo e i = 11%, il tasso semestrale equivalente

e i2 = i/2 = 5.5%; se il tasso mensile e i12 = 0.8%, il tasso annuo equivalente e i = 12i12 = 9.6%.

In regime di interesse composto, se il tasso annuo effettivo e ie = 11%, il tasso semestrale equivalente e

ie,2 =√

1 + ie − 1 = 5.36%; se il tasso trimestrale effettivo e ie,4 = 2.5%, il tasso annuo equivalente e

ie = (1 + ie,4)4 − 1 = 10.38%

1.11 Inflazione e tasso reale

Quando si parla di tassi di interesse (nominali o effettivi), bisogna sempre considerare l’effetto

dell’inflazione in termini di possibilita di consumo. La diminuzione della capacita di acquisto di

una data somma (o, equivalentemente, l’aumento dei prezzi), e un fenomeno noto con il nome di

inflazione. L’inflazione e misurata dalla variazione di un indice (il cosiddetto indice dei prezzi

dei beni al consumo), il quale e misurato periodicamente dall’Istat e comunicato al pubblico. Tale

indice, J(t), e una media pesata dei prezzi al tempo t di un certo paniere di beni7, che dovrebbe

rappresentare la spesa media di un cittadino. Dunque, 1/J(t) e una misura di quanto paniere

possiamo comperare con 1 Euro al tempo t, ovvero il cosiddetto potere d’acquisto (di 1 Euro).

Il tasso di inflazione (annuo) e allora definito come la variazione percentuale dell’indice J in un

anno (ovvero da t a t + 1):

j = j(t) =J(t + 1)− J(t)

J(t), (1.9)

di modo che J(t + 1) = J(t)(1 + j). Il tasso di inflazione viene di solo rilevato mensilmente: ad

esempio il tasso di inflazione registrato a marzo 2010 si riferisce all’arco di tempo 1 marzo 2009 -

1 marzo 2010; in altre parole, esso e dato dalla (1.9) con t = 01/03/09 e t + 1 = 01/03/10. Il tasso

di inflazione medio in un anno e allora la media dei 12 tassi cosı ottenuti, da gennaio a dicembre.

La figura 1.11 mostra l’andamento del tasso di inflazione medio negli ultimi 55 anni.

In regime di interesse semplice con tasso annuo i, il potere d’acquisto di 1 Euro varia da A(0) =

1/J(0) a

A(1) =1 + iJ(1)

=1 + i

J(0)(1 + j)= A(0)

1 + i1 + j

.

Possiamo notare che il potere d’acquisto puo anche diminuire e questo accade se i < j. La

variazione percentuale del potere d’acquisto, grandezza nota come tasso reale (annuo) e che

indichiamo con iR, e dato, dopo semplici conti, da

iR =i− j1 + j

. (1.10)

Possiamo notare che senz’altro iR < i, non appena il tasso di inflazione (j) sia positivo, e che iR

diventa negativo se i < j, ovvero se il tasso di interesse e piu basso dell’inflazione. Notiamo che

per ottenere il tasso reale non basta sottrarre a i il tasso di inflazione j, ma bisogna anche dividere

per 1 + j, il che porta ad un’ulteriore riduzione se j > 0.

7Il paniere, di tanto in tanto, viene variato


1960 1970 1980 1990 2000

0

5

10

15

20

25

Figura 1.5: Tasso di inflazione medio (×100) negli anni dal 1955 al 2008. (fonte: sito Istat)

Esempio. Supponiamo che il tasso annuo sia i = 7% e che, alla fine dell’anno, si sia registrato un tasso

di inflazione j = 2%. Allora il tasso reale e

iR =7%− 2%1 + 2%

= 4.90%,

che e leggermente inferiore a 5% = 7%− 2%.

Il tasso di inflazione, e dunque anche il tasso reale, e noto solo ex-post. Per ripararsi da questo

rischio, sono stati recentemente introdotti prodotti finanziari (cosiddetti inflation-linked) il cui

rendimento e fissato in termini reali o, in altre parole, e fissato ex-ante il valore che dovra avere iR.

Di conseguenza, il valore del tasso di interesse i (con il quale verra calcolato l’interesse) sara noto

solo in t. Un esempio di tali prodotti sono i BTP indicizzati Euro dei quali parleremo piu avanti.

Esempio. Un’obbligazione di prezzo iniziale 10000 Euro, con scadenza 1 anno, indicizzata al tasso di

inflazione, garantisce un tasso reale iR = 3%. Dunque il tasso di interesse, ottenuto dalla (1.10), e

i = iR(1 + j) + j = 1.03j + 0.03;

Notiamo che il tasso di inflazione j e dunque il tasso di interesse i praticato saranno noti solo ex-post.

Nello scenario in cui il tasso di inflazione (annuo) sia j = 5% (risp. j = 1%), l’interesse pagato sara

I = 10000 · i = 815 Euro (risp. 403 Euro)

1.12 Convenzioni sul calcolo dei tempi

Quando si stipula un contratto, i tempi t di cui e composto lo scadenzario sono sempre delle date

precise (p.e. in formato gma, giorno-mese-anno). In ambito bancario si usa il termine valuta per

indicare una di queste date. Vari calendari sono poi in uso per stabilire in quali date e possibile

regolare i contratti: p.e. spesso non e consentito che una valuta cada in un giorno festivo.


E’ importante poi poter esprimere il tempo che intercorre tra due date d1 e d2 come frazione di

anno. Questo e utile in particolare per:

• poter esprimere gli elementi tn dello scadenzario come dei numeri, una volta convenuto

che l’origine dei tempi e la data odierna; cio semplifica molto l’analisi quantitativa delle

operazioni finanziarie.

• poter calcolare in modo preciso gli interessi su un impiego effettuato in data d1 e che scade

in data d2.

La distanza tra d1 e d2 e in genere definita, in modo del tutto naturale, come

∆t = ∆t(d1, d2) =nN

,

dove

n = numero di giorni tra le due date

N = numero di giorni totali nell’anno

Tuttavia, e cio puo essere un po’ sorprendente, esistono diverse convenzioni per le quali n e N

sono definiti in modo leggermente diverso. La convenzione scelta, che per legge deve essere

riportata esplicitamente nel contratto, specifica allora come si devono determinare i due numeri n

e N. Vediamo le due principali:

1. Secondo la convenzione Act/Act (Act sta per Actual), n sono i giorni effettivamente passati

tra le due date8, mentre N sono i giorni effettivi dell’anno (365 o 366 a seconda che l’anno

sia bisestile o meno).

Esempio. Il tempo intercorso tra il 03-02-2010 e il 23-05-2010 e

∆t =(28− 3 + 1) + 31 + 30 + (23− 1)

365=

109365

= 0.298

Se l’anno fosse stato il 2012, che e bisestile, avremmo avuto

∆t =(29− 3 + 1) + 31 + 30 + (23− 1)

366=

110366

= 0.300

Questa e la convenzione usata nell’area Euro, negli Stati Uniti e in Gran Bretagna per i Titoli

di Stato con scadenze medio-lunghe (p.e. in Italia per i BTP)

2. Secondo la convenzione 30/360 (o dell’anno commerciale), N = 360 indipendentemente

dall’anno considerato e n e calcolato come se tutti i mesi fossero di 30 giorni9.

8Il primo giorno conta, l’ultimo no9Per i pignoli: se la data iniziale cade il 31, si conta comunque un giorno per il primo mese.


Esempio. Riprendendo l’esempio visto sopra:

∆t =(30− 3 + 1) + 30 + 30 + (23− 1)

360=

110360

= 0.305,

da cui si vede che il tempo trascorso tra due date e diverso a seconda della convenzione scelta. La

questione sembra una pura pignoleria, ma in realta non lo e. Se per esempio una banca presta

ad un’azienda C = 1mln e in data 03-02-2010 al tasso annuo del 10%, gli interessi (in regime

di interesse semplice) al 23-05 ammonteranno a 30500 e secondo la convenzione 30/360 e 29800

e secondo la Act/Act: la differenza e di 700 e , pari al costo del pc con cui sto scrivendo.

La convenzione 30/360 e usata per esempio negli Stati Uniti per le obbligazioni societarie

(corporate bonds).

Esistono molte altre convenzioni, ad esempio la Act/360 (usata per i BOT) e la Act/365 (usata

soprattutto in Gran Bretagna), in cui N e fissato, pari a 360 o 365, e n e il numero effettivo di giorni

come nella Act/Act.

Fissata allora una data d0 (p.e. oggi) come punto di partenza, e possibile esprimere una succes-

sione di date future d1, d2, ecc, come una successione crescente di tempi:

tn = ∆t(d0, dn),

ed esprimere lo scadenzario in termini di numeri, anziche date.

Per semplicita, nel seguito non faremo riferimento ad alcuna convenzione in particolare ed espri-

meremo lo scadenzario direttamente in termini dei numeri tn. Nel fare cio, utilizzeremo come

unita di misura 1 anno, come e comune fare.

1.13 Arbitraggi e scindibilita

Introduciamo qui un importante concetto di equilibrio che comparira anche nel seguito e che

consentira di ottenere delle notevoli conseguenze teoriche e pratiche. Si dice che si realizza un

arbitraggio quando e possibile sottoscrivere una serie di contratti in modo tale che la risultante

operazione finanziaria preveda solo introiti, ovvero ogni componente del flusso di importi x sia

positiva. La possibilita di realizzare una tale operazione, in presenza di mercati, e ovviamente in

contrasto con l’equilibrio degli stessi: il portafoglio composto da questi contratti permetterebbe di

realizzare introiti arbitrariamente elevati, senza alcun rischio e senza alcun esborso, ovvero quello

che inglese viene chiamata money pump (pompa di denaro). Chiunque vorrebbe approfittare di

tali condizioni e l’equilibrio presente nei mercati tra domanda e offerta verrebbe compromesso.

L’ipotesi di assenza di arbitraggi, che appare giustificata alla luce di quanto appena detto, con-

duce a delle conseguenze anche molto forti e alcuni esempi verranno dati durante il corso.

Una prima, basilare, conseguenza riguarda l’allineamento dei tassi, a parita di scadenza (e altre

condizioni): se e possibile prestare/farsi prestare al tasso annuo i = 5% con una prima controparte


e i′ = 5.5% con una seconda, e immediato realizzare un arbitraggio facendosi prestare un certo

capitale (p.e. 1000 Euro) dalla prima e prestandolo alla seconda. Se la scadenza comune dei prestiti

e 1 anno, l’operazione finanziaria risultante e10

x/t = (1000,−1050)/(0, 1) ∪ (−1000, 1055)/(0, 1) = (0, 5)/(0, 1),

che e chiaramente un arbitraggio.11

Una seconda conseguenza riguarda il concetto di scindibilita di una legge finanziaria. Una legge

finanziaria m si dice scindibile se per ogni coppia di scadenze s, t, con s < t si ha

m(t) = m(s)m(t− s).

Il membro di sinistra fornisce il montante in t di 1 Euro, senza alcuna capitalizzazione, mentre

nel membro di destra il montante e calcolato ipotizzando di capitalizzare alla data intermedia

s. Se i due montanti non fossero uguali e se fosse possibile prestare/farsi prestare somme arbi-

trarie secondo tale legge, allora sarebbe semplice costruire un arbitraggio. Se ad esempio fosse

m(3) < m(1)m(2) (t = 3, s = 2) basterebbe farsi prestare un certo capitale (p.e. 1000 Euro) con

scadenza 3 anni, investire tale capitale oggi con scadenza 3 anni e capitalizzare gli interessi tra 2

anni. L’operazione finanziaria risultante sarebbe

x/t = (1000,−1000 ·m(3))/(0, 3) ∪ (−1000, 1000 ·m(1)m(2))/(0, 3)

= (0, 1000 · (m(1)m(2)−m(3)))/(0, 3),

che e un arbitraggio. Possiamo notare che in regime di interesse composto, ogni legge e scindibile:

si ha infatti

m∞(s)m∞(t− s) = (1 + ie)s(1 + ie)

t−s = (1 + ie)t = m∞(t).

La stessa cosa non si puo dire per gli altri regimi:

• in regime di interesse semplice si ha

ms(s)ms(t− s) = (1 + is)(1 + i(t− s)) = 1 + it + i2s(t− s) > 1 + it = ms(t)

La cosa non e sorprendente alla luce di quanto abbiamo detto circa gli effetti della capitaliz-

zazione nel paragrafo 1.6

• in regime di sconto commerciale, per contro, si ha

csc(s)csc(t− s) = (1− is)(1− i(t− s)) = 1− is + i2s(t− s) > 1− is = csc(t),

da cui, prendendo i reciproci, si ha

msc(s)msc(t− s) < msc(t).

In questo caso, non e conveniente capitalizzare gli interessi.12

10Con il simbolo ∪ indichiamo l’unione di due operazioni finanziarie, operazione immediata da comprendere.11Evidentemente, l’importo iniziale nullo non ha alcuna influenza sulla definizione di arbitraggio.12E in effetti la clausola della capitalizzazione non e mai attivata sotto questo regime


Sembra dunque vera la seguente affermazione:

III Il regime dell’interesse composto e l’unico sotto il quale le leggi sono scindibili. (1.11)

E’ effettivamente cosı e la dimostrazione, semplice ed estremamente istruttiva, e in appendice.

Ovviamente, nella realta si osservano vari tassi di interesse e si utilizzano regimi diversi dall’inte-

resse composto. Cio sembrerebbe in contraddizione con quanto appena detto. In effetti, abbiamo

fatto, in entrambi i casi delle assunzioni piuttosto forti:

• Nel primo esempio abbiamo assunto che i tassi attivi e passivi fossero uguali, che fosse pos-

sibile capitalizzare o attualizzare somme arbitrarie di denaro, sempre alle stesse condizioni,

e che non ci fosse alcun tipo di rischio di insolvenza della controparte.

• Nel secondo esempio, oltre ad alcune delle assunzioni viste sopra, abbiamo escluso che ci

possano essere costi legati al disinvestimento e successivo reinvestimento nella pratica di

capitalizzazione degli interessi. Questi costi, invece, sono in genere presenti in assenza di

un’apposita clausola di capitalizzazione degli interessi e vanificano la possibilita di costruire

arbitraggi.

Detto questo, lo studio delle conseguenze dell’assenza di arbitraggi rimane di grande importan-

za perche fornisce, sotto ipotesi di mercati perfetti, delle conseguenze forti e precise. Il fatto che

queste conseguenze si riscontrino solo parzialmente in pratica e indice dell’imperfezione dei mer-

cati. In effetti, piu le condizioni di mercato si avvicinano alla perfezione, piu le conseguenze

dell’ipotesi di assenza di arbitraggi sono aderenti alla realta. Torneremo piu avanti su questo

punto.

1.14 Una panoramica sui tassi

Abbiamo appena osservato che esistono svariati tassi di interesse ai quali si puo accedere e abbia-

mo commentato come cio possa accordarsi con l’ipotesi di assenza di arbitraggi. Anche fissato un

regime finanziario, il tasso praticato dipende da molti fattori, tra cui:

• Il fatto che il tasso sia attivo/passivo per la parte che ha maggior potere nel fissare le con-

dizioni (ad esempio, la banca nei confronti del cliente). Ovviamente, i tassi attivi per la banca

(passivi per i clienti) saranno piu alti.

• La qualita creditizia del debitore. In genere, peggiore e la solidita13 finanziaria della con-

troparte debitrice, maggiore sara il tasso praticato.

• L’entita del prestito. Nella pratica bancaria, depositi consistenti vengono remunerati mag-

gioremente (in termini relativi) rispetto a quelli di piccola entita.

13Perlomeno, la solidita per come viene valutata dall’esterno


• La scadenza del prestito, di cui abbiamo parlato nel paragrafo 1.9, introducendo la struttura

per scadenza dei tassi.

Vediamo ora una breve lista di alcuni tassi di riferimento molto usati nella pratica finanziaria,

tenendo presente che il valore di tali di questi tassi e piu o meno variabile nel tempo:

1. Il tasso ufficiale di sconto e il tasso, su varie scadenze, al quale la Banca Centrale (BCE

nell’area Euro, FED negli USA, Bank of England in GB) presta liquidita alle banche. E’ il

tasso base che traina al rialzo o al ribasso tutti gli altri; viene periodicamente rivisto dalle

Banche Centrali sulla base della politica monetaria scelta. E’ ovviamente il tasso piu basso a

cui avvengono transazioni, vista la solidita delle controparti.

2. Il tasso Euribor (EURo InterBank Offer Rate) rappresenta il tasso medio, su varie scadenze

(da 1 settimana a 12 mesi), a cui avvengono i prestiti interbancari nell’area Euro. La figu-

ra 1.14 mostra una tipica SPS per questo tipo di tassi. I mutui a tasso variabile sono di

solito indicizzati all’Euribor. L’analogo nell’area Sterlina e il Libor (London InterBank Of-

fer Rate). Il tasso Eonia (Euro OverNight Index Average) e una media dei tassi interbancari

overnight (ovvero per scadenze a 1 giorno) nell’area Euro e rappresenta una sorta di Euribor

a brevissimo termine.

3. Il rendimento dei BOT fornisce un’indicazione del tasso con cui prestiamo soldi allo Stato.

Attualmente (inizio 2010) il rendimento dei BOT e inferiore a 1% ed ha raggiunto il minimo

storico. La figura 1.14 mette a confronto i rendimenti dei BOT annuali con il corrispondente

tasso Euribor.

4. I depositi bancari vengono remunerati secondo il regime dell’interesse composto in genere

semestralmente o trimestralmente. Tra le banche italiane, i tassi annui nominali medi erano

pari a 1.47% a Febbraio 2009, mentre a Febbraio 2010 sono calati a 0.66% (dati Bankitalia).

Per quanto riguarda i tassi passivi medi, si attestano attorno al 5%, ma anche questi sono in

calo.

5. I tassi (medi) con cui le banche finanziano le aziende sono attualmente attorno al 3%, in

costante calo

6. I tassi soglia, oltre i quali scatta l’usura, variano a seconda delle operazioni e vanno dal 5.1%

nel caso di mutui a tasso variabile al 24% nel caso di acquisti a rate. Essi sono stabiliti dalla

Banca d’Italia e periodicamente rivisti.


1998 2000 2002 2004 2006 2008 20100

1

2

3

4

5

6

Figura 1.6: Tasso (medio) Euribor a 1 anno (linea tratteggiata), Tasso (medio) di rendimento dei BOT annuali (linea

continua), tasso (medio) di inflazione (linea punteggiata) da Gennaio 1999 a Febbraio 2010. Uno degli effetti della

crisi del 2009 e il ben visibile crollo dei tassi. Tutti i tassi sono ×100 (fonte: Istat e Bankitalia)

0 2 4 6 8 10 120.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

Figura 1.7: Grafico della struttura per scadenza dei tassi Euribor (da 1 mese a 12 mesi, ×100) alla data 20/01/2010

(fonte: sito Euribor)


1.15 Appendice

Questa appendice contiene alcune nozioni sulla funzione esponenziale che dovrebbero essere note

dal corso di matematica del primo anno, ma che vengono richiamate. Inoltre, viene fornita la

dimostrazione riguardante il limite (1.6) e la proprieta (1.11).

1.15.1 Definizione della funzione esponenziale

La funzione esponenziale, denotata col simbolo exp, puo essere definita in uno dei tre seguenti

modi, tutti equivalenti tra di loro14:

1. La funzione esponenziale exp : R→ (0,+∞) e definita come

exp(x) = ex, x ∈ R

dove e ≃ 2.718 e il numero (irrazionale) di Nepero15, definito da

e = limk→∞

(1 +

1k

)k

. (1.12)

Il limite esiste, finito, in quanto la successione (1 + 1/k)k e crescente e limitata.

E’ bene ricordare che, per ogni base b > 1 (p.e. b = e) e ogni x ∈ R, bx e definito tramite

• bx = n√

bm se x = m/n ∈ Q (possiamo sempre assumere n > 1)

• bx = supbq : q ∈ Q, q 6 x nel caso generale

La funzione x 7→ bx e continua e strettamente crescente e la sua inversa e il logaritmo in base

b, logb (semplicemente log se b = e). Le funzioni bx e logb sono derivabili e si ha

Dbx = bx log b e D logb(x) =1

x log b

Si vede subito che la base b = e ha qualcosa di speciale, infatti in questo caso (log e = 1):

D exp(x) = exp(x) e D log(x) =1x

2. La funzione esponenziale exp e definita come limite:

exp(x) = limk→∞

(1 +

xk

)k, x ∈ R (1.13)

Il limite vale anche se la variabile k e sostituita da una variabile continua y che tende a +∞.

3. La funzione esponenziale exp e definita come somma di una serie

exp(x) =∞

∑n=0

xn

n!= 1 + x +

x2

2+ . . . , x ∈ R

dove n! = n · (n − 1) · · · 2 · 1 e il fattoriale di n (0! = 1). Se x ≃ 0 (p.e. x = 0.1) si ha

l’importante approssimazione (per difetto):

exp(x) ≃ 1 + x (1.14)14La dimostrazione dell’equivalenza e un po’ lunga, ma si trova su molti libri di Analisi I15John Napier (1550-1617), italianizzato Nepero, matematico scozzese


1.15.2 L’importanza di exp

Abbiamo visto sopra che la funzione exp soddisfa a16

f ′ = f (1.15)

Mostriamo ora che vale il viceversa, ovvero che se f e una funzione (derivabile) che soddisfa

a (1.15), allora f (x) = c · exp(x) per una qualche costante c ∈ R (che non e altro che f (0)).

Brevemente, dalla (1.15) segue

1 =f ′(x)f (x)

=d

dxlog f (x),

da cui, integrando entrambi i membri,

log f (x) = x + d,

ovvero

f (x) = exp(x + d) = exp(d) exp(x),

per una costante d ∈ R. Posto c = exp(d) = f (0) si ottiene la tesi.

Quello appena dimostrato e un fatto di grande importanza, perche la (1.15) e una delle piu elemen-

tari Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO), ovvero equazioni in cui l’incognita e una funzione e

tra le operazioni eseguite c’e la derivazione. E’ facile vedere che altre due semplici EDO:

f ′ = − f , f ′′ = f

hanno come unica soluzione, rispettivamente,

f (x) = c · exp(−x), f (x) = c · exp(x) + d · exp(−x)

dove c, d ∈ R sono costanti. Un’altra semplice EDO e

f ′′ = − f

ed e semplice verificare che

f (x) = c · cos(x) + d · sen(x),

per c, d ∈ R costanti ne e una soluzione. Un po’ meno semplice, ma possibile, e dimostrare che

tali funzioni sono le uniche soluzioni a tale EDO. Questo fatto contribuisce all’importanza delle

funzioni seno e coseno.

16Scrivendo f ′ = f , si intende f ′(x) = f (x) per ogni x ∈ R


1.15.3 Dimostrazione di (1.6)

Mostriamo che si ha

m∞(t) = limk→∞

mk(t) = limk→∞

(1 +

ik

)⌊kt⌋ (1 +

ik(kt− ⌊kt⌋)

)= exp(it)

Essendo kt− ⌊kt⌋ ∈ [0, 1], risulta, per le proprieta dei limiti

1 6 limk→∞

(1 +

ik(kt− ⌊kt⌋)

)6 lim

k→∞

(1 +

ik

)= 1

e dunque

m∞(t) = limk→∞

(1 +

ik

)⌊kt⌋.

Introducendo la variabile y = kt, si ottiene

m∞(t) = limy→∞

(1 +

ity

)⌊y⌋Dalla ovvia disuguaglianza ⌊y⌋ 6 y segue, essendo 1 + it/y > 1:(

1 +ity

)⌊y⌋6(

1 +ity

)y

,

ovvero

m∞(t) 6 limy→∞

(1 +

ity

)y

= exp(it).

Dall’altrettanto ovvia disuguaglianza ⌊y⌋ > y− 1 si ottiene

m∞(t) > limy→∞

(1 +

ity

)y−1

=limy→∞(1 + it/y)y

limy→∞(1 + it/y)=

exp(it)1

= exp(it),

da cui si conclude che m∞(t) = exp(it).

1.15.4 Dimostrazione di (1.11)

Se m = m(t) e una legge finanziaria scindibile, si avra

m(t + τ) = m(t)m(τ) ∀t, τ > 0.

Dunque la derivata17 in t e:

m′(t) = limτ→0+

m(t + τ)−m(t)τ

= limτ→0+

m(t)m(τ)−m(t)τ

= m(t) · limτ→0+

m(τ)− 1τ

= m(t) ·m′(0).

Essendo m(t) > 0 si puo dunque scrivere

m′(t)m(t)

= i, ∀ t > 0,

17Quella che calcoliamo e la derivata destra che pero coincide con la derivata, essendo m derivabile


dove i = m′(0) > 0 e una costante (ricordare che m′ > 0). Il membro di sinistra non e altro che la

derivata della funzione composta g(t) = log m(t) e dunque si ha g′(t) = i. Integrando entrambi i

membri da 0 a t si ottiene

g(t)− g(0) =∫ t

0g′(s) ds =

∫ t

0i ds = it.

Osservato che g(0) = log m(0) = log 1 = 0 si ottiene

g(t) = log m(t) = it,

da cui m(t) = exp(it) e dunque la legge appartiene al regime dell’interesse composto.


Esercizi - Parte 1

Avvertenze:

• Quando e richiesto il tempo in anni-mesi-giorni, si intende che si deve convertire t secondo la

convenzione dell’anno commerciale, secondo cui tutti i mesi sono di 30 giorni. Ad esempio

t = 4.799 = 4a (0.799 · 360)g = 4a 287g = 4a (9 · 30 + 17)g = 4a 9m 17g

Usare sempre 3 cifre decimali per i tempi: usarne solo 2 non e in genere sufficiente ad

individuare il numero corretto di giorni.

• I tassi vanno preferibilmente espressi in forma percentuale con almeno 2 cifre decimali (2

vanno bene). Eseguire i conti intermedi in modo da ottenere la precisione voluta

• Gli importi vanno specificati al centesimo di Euro. In assenza di centesimi, lasciare le cifre

intere: ad esempio scrivere 8 per 8.00 e 5.3 per 5.30

• Se si deve approssimare, da 0 a 4 diventano 0, da 5 a 9 diventano 1. Esempio: 2.374 ≃ 2.37,

3.796 ≃ 3.80

1.1 Esercizi

1. Scrivere l’operazione risultante dall’insieme dei seguenti contratti:

(a) Acquisto oggi di un BOT con scadenza 6 mesi al prezzo iniziale 98 Euro e valore nominale 100

Euro

(b) Investimento tra 6 mesi di 100 Euro con montante 120 Euro dopo 9 mesi

(c) Finanziamento tra 3 mesi di 200 Euro con rimborso di due rate da 120 Euro dopo 1 e 2 anni

2. In regime di interesse semplice, per quale tasso semestrale i2 il montante di 1300 Euro dopo 2 anni e

6 mesi e pari a 1570 Euro?

3. In regime di interesse composto con tasso annuo nominale i = 2.7%, in quanto tempo un capitale di

2000 Euro produce un montante di 2150 Euro?

4. Data l’operazione di finanziamento di 1200 e, con restituzione di 1350 e tra 7 mesi, calcolarne

l’interesse e i tassi di rendimento semplice e composto.

5. Dobbiamo farci finanziare un progetto per un importo di 10000 Euro e classifichiamo le opportunita

di finanziamento in base al tasso di rendimento semplice (minore e, meglio e). Quale delle seguenti e

la migliore?

• restituzione di 11500 e tra 2 anni


• restituzione di 11200 e tra 1 anno e 7 mesi

• restituzione di 12030 e tra 2 anni e 8 mesi

Ripetere con il tasso rendimento composto.

6. In regime di interesse semplice con tasso annuo i = 4.5%, calcolare:

(a) il montante tra 1 anno e 8 mesi di 8000 e oggi

(b) l’interesse per un investimento iniziale di 2000 e con durata 4 anni 3 mesi e 23 giorni, con la

convenzione 30/360 sui tempi.

(c) Il tempo, in anni-mesi-giorni, necessario affinche un investimento iniziale di 1500 e raddoppi

(d) il valore attuale oggi di 350 e disponibili tra 3 anni e 2 mesi

Rispondere alla domanda precedente in caso di regime di interesse composto con tasso effettivo ie =

4.5%.

7. In regime di interesse composto 4 volte l’anno e tasso nominale i = 4%, calcolare il montante di 1000

e dopo 5 mesi e dopo 2 anni. In quanto tempo un capitale iniziale raddoppia?

8. Dato un importo di 4000 e disponibile tra 3 anni, sotto quale delle leggi seguenti esso ha il piu alto

valore attuale ?

(a) interesse semplice con tasso annuo i = 6%

(b) interesse composto con tasso annuo nominale i = 5.2%

(c) interesse composto con tasso semestrale effettivo ie,2 = 3.2%

9. Dato il capitale iniziale C = 2500 e, sotto quale delle leggi seguenti esso ha il piu alto montante tra

2 anni e 3 mesi?

(a) interesse semplice con tasso annuo i = 10%

(b) interesse composto con tasso annuo effettivo ie = 9.4%

(c) interesse composto 2 volte l’anno con tasso annuo nominale i = 9.7%

10. Dire se le seguenti funzioni rappresentano leggi finanziarie e in caso affermativo calcolarne il tasso

annuo effettivo:

(a) m(t) = e2t−t2

(b) m(t) = log(e + t)

(c) m(t) = 2− e−t/4

11. Per quale valore del parametro α > 0 la funzione

m(t) = 1 + αt2

e una legge finanziaria per cui una somma investita oggi triplica di valore in 7 anni e 3 mesi ?


12. In regime di interesse semplice, dato il tasso annuo i = 8.2%, determinare i tassi mensili, trimestrali

e semestrali equivalenti. Ripetere l’esercizio in regime di interesse composto con tasso annuo effettivo

ie = 8.2%.

13. In regime di interesse composto, quale deve essere il tasso annuo nominale i affinche il tasso trimestrale

effettivo sia ie,4 = 2% ?

14. Data una legge ad interesse semplice con tasso annuo i = 12%, determinare il tasso annuo nominale

i′ di una legge ad interesse composto tale che le due leggi abbiano lo stesso montante dopo 2 anni e 4

mesi.

15. In regime di interesse composto, rende di piu, dopo 1 anno, una legge con tasso semestrale effettivo i2

oppure una legge con tasso trimestrale effettivo pari a i′4 = i2/2 ?

16. Alla data 12/01/2009 vengono investiti 20000 Euro. Qual e il montante alla data 27/4/2009, utiliz-

zando il regime dell’interesse semplice con tasso annuo i = 14% e la convenzione Act/Act? E con la

convenzione 30/360? (il 2009 non e bisestile)

17. Il giorno 20/02/09 un c/c bancario presenta un saldo attivo di 12000 euro. La banca utilizza il regime

di interesse composto semestralmente al 01/01 e al 01/07 con tasso annuo nominale i = 2% (al netto

delle imposte) e la convenzione 30/360 per il calcolo dei tempi. Alla data 03/11/09 il conto viene

chiuso, pagando una commissione di 30 Euro e, con l’intero capitale disinvestito, il 06/11/09 ne viene

aperto (senza spese) uno analogo al primo con tasso annuo nominale (netto) i′ = 3%. Non viene

eseguito alcun movimento intermedio. Calcolare il montante al 20/02/2010 e il tasso di rendimento

semplice dell’intera operazione.

18. Con riferimento all’esercizio precedente, se la commissione per la chiusura del primo conto e x, qual e

il valore massimo di x per cui e conveniente (con riferimento alla data 20/02/10) aver cambiato conto.

19. Il capitale C = 3000 Euro viene investito al 01/01/09 in regime di interesse composto 1 volta l’anno

(con capitalizzazione al 01/01) al tasso annuo nominale i = 4%. Sempre alla stessa data, un capitale

di uguale importo viene investito in regime di interesse semplice al tasso annuo i′ = 4.1%. Dopo

quanto tempo (in anni-mesi-giorni) le due operazioni danno lo stesso montante?

20. Un investimento garantisce un tasso annuo i = 8.3% (regime interesse semplice), ma a posteriori,

dopo 1 anno, si osserva un tasso reale iR = 7%. Quanto e stato il tasso di inflazione?

1.2 Soluzioni

1. Le tre operazioni corrispondenti ai tre contratti sono:

(a) x/t = (−98, 100)/(0, 1/2)

(b) y/s = (−100, 120)/(1/2, 5/4)


(c) z/τ = (200,−120,−120)/(1/4, 5/4, 9/4)

da cui otteniamo l’operazione complessiva

x/t ∪ y/s ∪ z/τ = (−98, 200, 0, 0,−120)/(0, 1/4, 1/2, 5/4, 9/4)

= (−98, 200,−120)/(0, 1/4, 9/4)

2. Da M = C(1 + it) otteniamo

i2 =i2=

12t

M− CC

=1

2 · 2.5270

1300= 4.15%

3. Si dovra avere 2000 exp(it) = 2050, da cui

t =1i

log20502000

= 2.678

4. L’interesse e I = 1350− 1200 = 150. Essendo t = 7/12, i due tassi di rendimento sono:

i =1t

IC

= 21.43% (semplice)

e

i =(

MC

)1/t

− 1 = 22.37% (composto)

5. I tassi di rendimento semplice sono, nell’ordine, 7.50%, 7.52%, 7.61%: dunque il progetto

migliore e il primo. I tassi di rendimento composti sono, nell’ordine, 7.24%, 7.42%, 7.18%:

dunque il progetto migliore e il terzo.

6. In regime di interesse semplice con tasso i = 4.5% si ha:

(a) M = C(1 + it) = 8000(1 + 0.045 · 5/3) = 8600

(b) I = Cit = 2000 · 0.045 · 4.314 = 388.26, essendo, secondo la convenzione 30/360

t = 4a 3m 23g = 4 +3 · 30 + 23

360= 4.314.

(c) tale tempo t e soluzione di m(t) = 1 + it = 2 e non dipende dal capitale investito; si ha

t =1i=

10.045

= 22.22 = 22a (0.22 · 360)g = 22a 79g = 22a 2m 19g.

(d) C = 350/(1 + 0.045 · 3.167) = 306.34

In regime di interesse composto con tasso effettivo ie = 4.5% si ha:

(a) M = C(1 + ie)t = 8609

(b) essendo t = 4.314 abbiamo I = C[(1 + ie)t − 1] = 418.23


(c) tale tempo t e soluzione di (1 + ie)t = 2, da cui

t =log 2

log(1 + ie)= 15.74 = 15a (0.74 · 360)g = 15a 266g = 15a 8m 26g.

(d) C = 350(1 + 0.045)−3.167 = 304.46

7. Nel regime di interesse capitalizzato 4 volte l’anno, le capitalizzazioni avvengono ogni tre

mesi e in t = 2 si ha esattamente la ottava capitalizzazione. Dunque

m4(2) = (1 + i/4)8 = 1.018 = 1.083,

e M = 1000m4(2) = 1083. Dopo 5 mesi, sono passati 2 mesi dalla prima capitalizzazione.

Dunque

m4(5m) = (1 + i/4)(1 + i(5m− 3m)) = 1.01(1 + i/6) = 1.017,

ovvero M(5m) = 1017.

Il tempo di raddoppio t∗ soddisfa

m4(t∗) = 2.

Vediamo innanzitutto dopo quale capitalizzazione avviene:

(1 + i/4)n 6 2 ⇔ n 6 log 2log 1.01

= 69.7

Cio significa che alla 69-esima capitalizzazione il montante e inferiore a 2, mentre alla 70-

esima e superiore. Il montante alla 69-esima capitalizzazione e m4(69/4) = (1 + i/4)69 =

1.987. Si dovra allora avere

1.987(1 + i(t∗ − 69/4)) = 2,

da cui

t∗ =1i

(2

1.987− 1)+ 69/4 = 17.41

Nella convenzione 30/360, esso corrisponde a 17a 4m 27g

8. Si ha nell’ordine: C = 4000/(1 + 3i) = 3389.80, C = 4000e−3i = 3422.20 e (attenzione! non

occorre passare al tasso equivalente annuale) C = 4000/(1 + ie,2)6 = 3311.20. La legge con

associato il minor valore attuale e la seconda.

9. Essendo t = 2.25 i tre montanti sono, rispettivamente M = C(1 + it) = 3104.2, M = C(1 +

ie)t = 3106.2 e

M = C(

1 +i2

)4 (1 +

i2

0.25)= 3058.1

Dunque la legge cercata e la seconda (interesse composto).

10. (a) Non e una legge finanziaria, in quanto non e strettamente crescente: m′(t) = 2(1 −t)e2t−t2

< 0 per t > 1


(b) E’ una legge finanziaria con tasso annuo effettivo ie = m(1) − 1 = log(e + 1) − 1 =

31.33%.

(c) E’ una legge finanziaria con tasso annuo effettivo m(1)− 1 = 2− e−1/4 − 1 = 22.12%.

11. Notiamo che per ogni scelta di α > 0, m e una legge finanziaria. Essendo

t = 7a 3m = 7.25,

si deve avere m(7.25) = 1 + α7.252 = 3, ovvero α = 0.038

12. In regime di interesse semplice si ha i12 = i/12 = 0.68% (mensile), i4 = 2.05% (trimestrale),

i2 = 4.1% (semestrale).

In regime di interesse composto e ie,12 = (1 + ie)1/12 − 1 = 0.66% (mensile), ie,4 = (1 +

ie)1/4 − 1 = 1.99% (trimestrale), ie,2 =√

1 + i− 1 = 4.02% (semestrale).

13. Il tasso annuo effettivo e ie = (1 + ie,4)4 − 1 = 8.24% e dunque il tasso annuo nominale e

i = log(1 + ie) = 7.92%

14. Si deve avere 1 + it = exp(i′t), da cui (t = 2a 3m = 2.25)

i′ =log(1 + it)

t= 10.62%

15. Rendera di piu la legge che ha il maggior tasso annuo effettivo. Nel primo caso esso e i =

(1 + i2)2− 1, nel secondo i′ = (1 + i2/2)4− 1. Si ha i < i′ se e solo se (1 + i2)2 < (1 + i2/2)4,

ovvero

1 + i2 < (1 + i2/2)2 = 1 + i2 + i22/4,

disuguaglianza che e sempre verificata. Concludiamo che rende di piu la seconda legge.

16. Secondo la convenzione Act/Act, la distanza tra le due date e

∆t =(31− 12 + 1) + 28 + 31 + (27− 1)

365= 0.287

e dunque il montante e M = 20000(1 + i∆t) = 20804

Secondo la convenzione 30/360 si ha

∆t =(30− 12 + 1) + 30 + 30 + (27− 1)

360= 0.292

e dunque il montante e M = 20818

17. Schematizzando, si ha

• in d0 = 20/02/09 il capitale e C = 12000

• in d1 = 01/07/09 avviene la prima (e unica) capitalizzazione del primo conto


• in d2 = 03/11/09 il conto viene chiuso e viene pagato 30 di commissione

• in d3 = 06/11/09 viene aperto il secondo conto

• in d4 = 01/01/10 avviene la prima (e unica) capitalizzazione del secondo conto

• d5 = 20/02/10 e la scadenza fissata

Essendo

∆t(d0, d1) =(30− 20 + 1) + 30 + 30 + 30 + 30

360= 0.364

e

∆t(d1, d2) =30 + 30 + 30 + 30 + (3− 1)

360= 0.339,

il montante del primo conto alla data d2 (chiusura) e

M(d2) = C(1 + i∆t(d0, d1))(1 + i∆t(d1, d2)) = 12169

Il capitale investito in d3 nel secondo conto e

C′ = 12169− 30 = 12139

Essendo

∆t(d3, d4) =(30− 6 + 1) + 30

360= 0.153

e

∆t(d4, d5) =30 + (20− 1)

360= 0.136,

il montante del secondo conto alla data d5 e

M(d5) = C′(1 + i∆t(d3, d4))(1 + i∆t(d4, d5)) = 12244

Il tasso di rendimento semplice e (T = ∆t(d0, d5) = 1, ovviamente)

1T

M(d5)− CC

= 2.03%

18. Se x e la commissione, il capitale versato nel secondo conto e C′ = 12169 − x e quindi il

montante alla data d5 e

M(d5) = C′(1 + i∆t(d3, d4))(1 + i∆t(d4, d5)) = (12169− x)1.0087

Se si rimane nel primo conto fino alla scadenza d5 si ha invece (attenzione!)

M(d5) = C(1 + i∆t(d0, d1))(1 + i/2)(1 + i∆t(d4, d5)) = 12241

E’ conveniente cambiare conto se e solo se

(12169− x)1.0087 > 12241,

ovvero se e solo se x < 33.57 Euro


19. Essendo il capitale investito uguale, possiamo riferirci all’evoluzione di 1 Euro. Il montante

(di 1 Euro) per la prima operazione e

mA(t) = (1 + i)⌊t⌋(1 + i(t− ⌊t⌋)),

il montante della seconda operazione e

mB(t) = 1 + i′t

Osserviamo che mA(1) = 1 + i < 1 + i′ = mB(1): essendo entrambe le leggi lineari in [0, 1],

concludiamo che mA(t) < mB(t) per ogni t ∈ [0, 1].

Dopo 2 anni si ha mA(2) = (1 + i)2 = 1.0816 < 1.0820 = 1 + 2i′ = mB(2) e per lo stesso

motivo concludiamo che mA < mB su [1, 2]. Dopo 3 anni e

mA(3) = (1 + i)3 = 1.125 > 1.123 = 1 + 3i′ = mB(3)

e dunque esiste t∗ ∈ (2, 3) per cui mA(t∗) = mB(t∗). Per trovarlo dobbiamo risolvere

l’equazione

(1 + i)2(1 + i(t∗ − 2)) = 1 + i′t∗

da cui si ottiene t∗ = 2.177 = 2a 2m 3g

20. Da iR = (i− j)/(1 + j) si ricava

j =i− iR

1 + iR= 1.21%


Parte 2: Prestiti a rimborso gradualeIn questa seconda parte ci occupiamo di prestiti a rimborso graduale, ovvero che vengono rim-

borsati in 2 o piu date. Discuteremo una serie di problemi (valutazione di un flusso di rate, am-

mortamento di un debito e ricerca del tasso interno di rendimento, o TIR) che possono essere visti

come una generalizzazione di semplici problemi gia affrontati nella prima parte.

2.1 Prestiti a rimborso graduale: esempi

Al contrario dei prestiti elementari, studiati nella prima parte, in cui il rimborso avveniva in un’u-

nica data T, la maggior parte dei prestiti, nella pratica finanziaria, prevede che il rimborso avvenga

in due o piu date. Dunque, le operazioni finanziarie che studieremo in questa parte assumono la

forma

(−x0, R1, . . . , RN)/(0, t1, . . . , tN)

per il creditore (per il debitore tutti gli importi sono cambiati di segno). La somma x0 > 0 e il

capitale che creditore versa oggi per ottenere il flusso di rate (un sinonimo molto usato, anche se

un po’ ambiguo, e rendita18):

R/t = (R1, . . . , RN)/(t1, . . . , tN)

L’importo Rn > 0 e l’n-esima rata, ricevuta al tempo tn. Vediamo alcuni esempi, tra i molti che si

possono fare:

1. Un’acquisto a rate, in cui un creditore (la societa finanziaria) anticipa del denaro ad un

debitore (l’acquirente a rate) che si impegnera a estinguere il debito a rate.

2. Un’obbligazione, in cui un creditore (l’emittente) presta una certa somma di denaro ad una

moltitudine di debitori (gli acquirenti dell’obbligazione) i quali a loro volta potranno com-

prare e vendere tale titolo in appositi mercati. La restituzione del debito puo avvenire in

un’unica soluzione (zero coupon bond), oppure, piu spesso, in piu rate (coupon bond)

3. La riscossione di una rendita, in cui una parte riscuote periodicamente degli interessi a fronte

di un pagamento iniziale verso il debitore (tipicamente una banca)

2.2 Prestiti a rimborso graduale: problemi

Quando abbiamo trattato i prestiti elementari, abbiamo affrontato i seguenti naturali problemi:

1. Dato il montante M e la scadenza T, quale deve essere il capitale C? Questo era il problema

della attualizzazione. Esso era risolto introducendo la funzione C = C(M, t) che, sotto

18Annuity e il termine usato in inglese


l’ipotesi di omogeneita negli importi, poteva essere scritta come C = M · c(t), in termini del

fattore di attualizzazione c(t).

2. Viceversa, dato il capitale C e la scadenza del prestito T, quale deve essere il montante in

T? Questo era il problema della capitalizzazione. Esso era il problema speculare del prece-

dente: una volta risolto il primo, ottenendo la funzione c, era risolto anche questo, definendo

il fattore montante come m = 1/c e viceversa.

3. Infine, dati il capitale C, il montante M, la scadenza T e fissato un regime finanziario, per

quale tasso i le somme sono quelle giuste, ovvero si ha

C = C(M, T, regime , i)?

La risposta a tale domanda e molto semplice e ha condotto alle formule per i tassi di rendi-

mento.

Per i prestiti a rimborso graduale, questi problemi diventano:

1. Dato il flusso di rate R/t, quale deve essere il capitale x0?

2. Dato il capitale x0 e il vettore delle scadenze t = (t1, . . . , tN), quale deve essere il vettore

delle rate R = (R1, . . . , RN) ?

3. Infine, dati il capitale x0, il flusso di rate R/t e fissato un regime finanziario, per quale tasso

i le somme sono quelle giuste?

Si vede subito che il primo problema, in cui bisogna determinare una singola somma, e il piu

chiaro e trattabile. E’ cosı e lo vedremo nel prossimo paragrafo dove parleremo del valore attuale

di un flusso di rate. Al contrario, il secondo problema, che nel contesto dei prestiti elementari

era del tutto equivalente al primo, e ora molto meno chiaro, in quanto si tratta di determinare

N importi a partire dal solo input x0 (oltre che dalle date t). Lo affronteremo nel paragrafo 2.4,

quando parleremo di piani di ammortamento (che non sono altro che possibili soluzioni al prob-

lema). Infine, anche il terzo problema sembra per il momento abbastanza nebuloso. Tuttavia,

una volta risolto il primo, vedremo (paragrafo 2.5) che esso e ben posto, anche se in generale la

sua soluzione (il cosiddetto TIR, Tasso Interno di Rendimento) non e esplicita come nel caso dei

prestiti elementari e va ricavata per via numerica.

2.3 Valore attuale di un flusso di rate

2.3.1 Il caso generale

Sia dunque dato un flusso di rate R/t; siamo qui interessati a determinare x0 = C(R/t) (C per

capitale, come per i prestiti elementari). Supponiamo che il problema sia stato risolto per i prestiti


elementari, ovvero supponiamo di avere stabilito la legge di attualizzazione C = C(M, T). Sembra

allora naturale porre

C(R/t) =N

∑n=1

C(Rn, tn).

Oltre che naturale, questa definizione e anche in accordo con il principio di non-arbitraggio. Se

infatti fosse x0 < ∑n C(Rn, tn), allora potremmo entrare in questo prestito a rimborso graduale

come creditori e in N prestiti elementari come debitori. Ad esempio, se il flusso di rate fosse

R/t = (200, 300, 100)/(1, 2, 3), il valore attualizzato delle rate fosse:

C(200, 1) = 180, C(300, 2) = 250, C(100, 3) = 60,

e il capitale da versare per ottenere tutte le rate fosse x0 = 450 < ∑n C(Rn, tn) = 490, allora

sarebbe immediato realizzare un arbitraggio:

• entrando nel contratto di investimento (−450, 200, 300, 100)/(0, 1, 2, 3)

• entrando nei tre contratti di finanziamento

(180,−200)/(0, 1), (250,−300)/(0, 2) e (60,−100)/(0, 3)

Infatti, l’operazione risultante e

(−450 + 490, 200− 200, 300− 300, 100− 100)/(0, 1, 2, 3) = (40, 0, 0, 0)/(0, 1, 2, 3).

Se invece fosse x0 > ∑n C(Rn, tn) si realizzerebbe un arbitraggio entrando nei 4 contratti nel verso

opposto. Se poi, come abbiamo gia fatto nella prima parte, assumiamo che la legge C = C(M, t)

sia omogenea negli importi e indichiamo con c = c(t) la funzione valore attuale di 1 Euro, si

ottiene

C(R/t) =N

∑n=1

Rnc(tn)

Vediamo i due casi che interessano maggiormente:

• in regime di interesse semplice con tasso annuo i si ha

C(R/t) =N

∑n=1

Rn

1 + itn

• in regime di interesse composto con tasso annuo effettivo ie si ha

C(R/t) =N

∑n=1

Rn(1 + ie)−tn

In tutti i casi, l’osservazione ovvia e che il valore attuale di un flusso di rate e minore della somma

degli importi delle rate (non attualizzati).


2.3.2 Flussi di rate periodici e immediati

Per ottenere delle espressioni piu esplicite, facciamo l’ipotesi, realizzata molto comunemente nella

pratica, che il flusso di rate sia periodico, ovvero che le date tn dello scadenzario siano equidistan-

ziate:

tn+1 − tn = τ, ∀n > 1

L’intervallo τ, detto periodo del flusso di rate, e di solito 1 anno o una frazione di anno: per τ = 1

le rate sono annuali, per τ = 1/2 semestrali e cosı via. Assumiamo poi che la prima rata venga

pagata in t1 = τ: in tal caso il flusso e detto immediato19 e lo scadenzario e del tipo:

t = (τ, 2τ, . . . , Nτ)

Per i flussi periodici e immediati la (2.3.1) diventa

C(R/t) =N

∑n=1

Rnc(nτ),

ovvero

C(R/t) =N

∑n=1

Rn

1 + inτ(interesse semplice) (2.16)

=N

∑n=1

Rn(1 + ie)−nτ (interesse composto) (2.17)

Nel caso dell’interesse composto, possiamo procedere ad un’ulteriore semplificazione formale,

che risultera utile in seguito. Posto

v = (1 + ie)−τ

(notare che v = c∞(τ) e il valore attuale di 1 Euro in τ) si ottiene

C(R/t) =N

∑n=1

Rnvn = R1v + R2v2 + . . . + RNvN . (2.18)

2.3.3 Flussi di rate periodici e posticipati

Pur sotto l’ipotesi di periodicita delle rate, nella pratica accade spesso che il pagamento della

prima rata non avvenga in τ, ma in τ + pτ per p > 1. In questo caso si parla di flusso di rate (pe-

riodico e) posticipato di p periodi. Se le rate sono semestrali, la prima rata di un flusso immediato

viene pagata dopo 6 mesi; se il flusso e posticipato di 3 periodi, la prima rata viene pagata dopo 2

anni. In questo caso lo scadenzario e

t = ((1 + p)τ, (2 + p)τ, . . . , (N + p)τ)

19Notare che immediato non vuol dire che la prima rata viene pagata oggi, ma dopo un periodo.


e le (2.16) e (2.17) diventano, rispettivamente:

C(R/t) =N

∑n=1

Rn

1 + i(n + p)τ(interesse semplice) (2.19)

=N

∑n=1

Rn(1 + ie)−(n+p)τ (interesse composto) (2.20)

Come prima, posto v = (1 + ie)τ la (2.20) si semplifica e diventa

C(R/t) =N

∑n=1

Rnvn+p = vpN

∑n=1

Rnvn;

in altre parole, possiamo prima calcolare il valore attuale di un flusso di rate immediato, come

se la data iniziale fosse pτ e successivamente ne prendiamo il valore attuale al tempo 0 (notare

che vp = c∞(pτ)). Questa puo essere vista come una nozione generalizzata di scindibilita. Al

contrario, come conseguenza diretta della sua non scindibilita, nulla di tutto cio e vero per il

regime dell’interesse semplice.

2.3.4 Flusso di rate costanti

Un’altra ipotesi che consente di ottenere una semplificazione e che in molti casi e verificata e quella

che il flusso di rate sia costante, ovvero che

Rn = R ∀n

Anche senza assumere che il flusso sia periodico, la (2.3.1) diventa

C(R/t) = RN

∑n=1

c(tn) = R · C(1/t),

ottenendo un analogo della proprieta di omogeneita negli importi: il valore del flusso e pari al

prodotto dell’importo (comune) delle rate R per il valore attuale C(1/t) di un flusso di rate uni-

tarie (ovvero Rn = 1) con scadenzario t (1 e il vettore con tutte le N componenti pari a 1). In

regime di interesse composto, se il flusso di rate e periodico di periodo τ e immediato, la (2.18) e

una nota identita (vedi appendice), forniscono

C(1/t) =N

∑n=1

vn = v1− vN

1− v

dove, ricordiamolo, v = (1 + ie)−τ ∈ (0, 1). In particolare, se il periodo e τ = 1 (rate annuali), si

hav

1− v=

(1 + ie)−1

1− (1 + ie)−1 =1

1 + ie − 1=

1ie

e dunque il valore attuale di un flusso di rate unitarie, annuali e immediate e

CN(ie) =1− (1 + ie)−N

ie


a cui assegnamo un nome a se (N e il numero di rate, ie il tasso annuo effettivo), vista la sua

rilevanza20. Di conseguenza, il valore attuale di un flusso di rate annuali, costanti e immediate e

C(R/t) = R · CN(ie) = R1− (1 + ie)−N

ie

La tabella seguente fornisce CN(ie) per alcuni valori di N (sulle righe) e ie (sulle colonne)

ie = 1% 2% 5% 10%

2 1.970 1.942 1.859 1.736

5 4.853 4.714 4.330 3.791

10 9.471 8.983 7.722 6.145

20 18.046 16.351 12.462 8.514

Se il periodo e una frazione di anno, ovvero τ = 1/k per k > 2 (k sara il numero di rate all’anno),

la (2.3.4) vale con v = (1 + ie)−1/k. Essendo 1 + ie = (1 + ie,k)k, in termini di tasso effettivo ie,k

equivalente sulla frazione 1/k, abbiamo

v = (1 + ie,k)−1,

da cui si ottiene, con un facile conto

C(1/t) =1− (1 + ie,k)

−1

ie,k= CN(ie,k)

e quindi

C(R/t) = R · CN(ie,k) (2.21)

In altre parole, se il periodo e una frazione di anno, ci si puo riportare alla soluzione vista per rate

annuali, pur di prendere il tasso equivalente sulla frazione di anno in questione. Per quanto visto

in precedenza, se il flusso di rate e posticipato di p periodi, otteniamo

C(R/t) = R(1 + ie)−pCN(ie) (τ = 1)

= R(1 + ie,k)−pCN(ie,k) (τ = 1/k)

Puo essere infine interessante vedere che cosa succede se il flusso diventa perpetuo21, ovvero se

N → ∞. Essendo v = (1 + ie)−1 ∈ (0, 1) si ha ovviamente

limN→∞

1− vN

ie=

1ie

20Tale somma e spesso indicata con il simbolo aN|iee chiamata a figurato N al tasso ie. Che cosa voglia dire figurato in

questo contesto non lo sa nessuno...21Un tale flusso si dice perpetuity in inglese


e dunque il valore attuale di un flusso di rate perpetuo (costante e periodico) e

C(R/t) =Rie

(2.22)

Ovviamente l’espressione precedente si riferisce al caso di rate annuali; per periodi diversi (t =

1/k), si dovra sostituire ie con ie,k. Infine, nel caso in cui il flusso sia posticipato di p periodi, la

(2.22) diventa

C(R/t) = (1 + ie)−p R

ie.

2.3.5 Flusso di rate non costanti

Nel caso in cui il flusso di rate sia non costante (ma periodico di periodo τ e immediato), la formula

per ottenerne il valore attuale e la (2.18). Capita spesso che le rate siano crescenti nel tempo in

progressione geometrica, ovvero che

Rn = qRn−1,

dove q > 1 e la ragione della progressione. Ad esempio nel modello di Gordon il prezzo corrente S0

di un’azione e modellato come il valore attuale del flusso dei dividendi (le rate) Dn, che vengono

assunti di importo certo e crescenti secondo

Dn = D0(1 + g)n, ovvero Dn = (1 + g)Dn−1,

dove Dn e l’n-esimo dividendo22 e g > 0 e il tasso (fisso) di crescita dei dividendi. Se il tasso

annuo effettivo ie e supposto costante, si ha

S0 =∞

∑n=1

Dn

(1 + ie)n = D0

N

∑n=1

(1 + g1 + ie

)n

.

Ricordando che (w > 0)∞

∑n=1

wn =w

1− wse w < 1,

mentre la serie e divergente se w > 1, si conclude che, affinche S0 sia finito bisogna assumere

g < ie e che in tal caso

S0 = D01 + g1 + ie

11− (1 + g)/(1 + ie)

= D01 + gie − g

2.4 Piani di ammortamento

Passiamo ora al secondo problema descritto nel paragrafo 2.2, ovvero la determinazione delle rate

R noto il capitale iniziale x0, lo scadenzario t e il regime da adottare. Nel seguito adotteremo

22Secondo il modello, sarebbe piu corretto dire il dividendo atteso


sempre il regime dell’interesse composto: abbiamo visto che la sua proprieta di scindibilita sem-

plifica molto l’analisi. Vediamo subito che abbiamo N variabili da determinare, le rate Rn per

n = 1, . . . , N, sulla base della sola relazione (detta di equita)

x0 =N

∑n=1

Rn(1 + ie)−tn (2.23)

La soluzione scelta (tra le infinite a priori possibili) e detta piano di ammortamento. In questo

contesto, x0 e detto debito iniziale e Rn e l’n-esima rata di ammortamento. Consideriamo uno

scadenzario periodico con N rate periodiche, di periodo τ = 1/k, con k = 1 (rate annuali), oppure

k = 2 (rate semestrali), ecc. Tra i tanti piani di ammortamento possibili, ci concentreremo su 3

classi:

1. ammortamenti a rate costanti

2. ammortamenti di tipo obbligazionario)

3. ammortamenti a quote capitale costanti

2.4.1 Quota capitale e quota interesse

Prima di descrivere le tre classi di ammortamenti appena accennati, dobbiamo introdurre gli im-

portanti concetti di quota capitale e quota interesse per un ammortamento generico. Per fare cio

bisogna mettersi in un contesto dinamico e seguire l’andamento del debito nel tempo. Supponi-

amo dunque che il debito iniziale sia x0 e che vengano pagate N rate periodiche Rn, n = 1 . . . , N.

Indichiamo con xn il debito residuo dopo n periodi. Ovviamente, dopo un periodo abbiamo, per

effetto degli interessi passivi (per semplicita poniamo i = ie,k)

x1 = x0(1 + i) = x0 + ix0

prima del pagamento della rata e

x1 = x0 + ix0 − R1

dopo la rata. Di norma, la rata pagata R1 deve servire almeno a coprire gli interessi maturati nel

corso dell’anno, ovvero si ha R1 > ix0; come conseguenza, in questo caso il debito residuo cala:

x1 6 x0. Possiamo allora procedere alla seguente importante scomposizione della rata:

R1 = ix0 + (x0 − x1) = QI1 + QC1, (2.24)

dove

• QI1 = ix0 > 0 e detta quota interesse, perche va a coprire l’interesse maturato sul debito

• QC1 = R1 −QI1 = x0 − x1 > 0 e detta quota capitale, perche va diminuire l’ammontare del

debito residuo.


La scomposizione (2.24) ha formalmente senso anche nel caso in cui R1 < ix0, tenendo presente

che in questo caso la quota capitale e negativa e il debito reisduo cresce.

Possiamo a questo punto continuare, prendendo x1 come debito, calcolandone l’interesse matura-

to da 1 a 2 e cosı via. In generale, se xn−1 e il debito residuo al tempo n− 1 (n = 1, . . . , N) andremo

a calcolare, nell’ordine:

1. la quota interesse

QIn = i · xn−1

2. la quota capitale

QCn = Rn −QIn

3. il nuovo debito residuo

xn = xn−1 −QCn

Come detto, di norma le rate vengono scelte in modo tale che Rn > ixn−1 = QIn ad ogni periodo:

in questo caso la quota capitale QCn e positiva e il debito residuo cala (xn < xn−1).

2.4.2 Condizione di chiusura e tabelle di ammortamento

Possiamo notare che in ogni tipo di ammortamento, deve essere ovviamente rispettata la cosid-

detta condizione di chiusura xN = 0 che, scritta in termini di quote capitale e

x0 =N

∑n=1

QCn (2.25)

Vale il seguente importante risultato:

• Vale la condizione chiusura (2.25) se e solo se vale la condizione di equita (2.23)

La dimostrazione e in appendice. Il precedente risultato ci permette dunque di costruire un piano

di ammortamento in due modi:

1. Fissando le rate R, in modo tale che verifichino la condizione di equita, e procedendo a

calcolare, per ogni passo (nell’ordine) QIn, QCn e xn. La condizione di chiusura xN = 0 e

allora garantita dalla condizione di equita per le rate.

2. Fissando le quote capitale QC, in modo tale che verifichino la condizione di chiusura, e

procedendo a calcolare, per ogni passo (nell’ordine) xn, QIn e Rn e xn. La condizione di

equita e allora garantita dalla condizione di chiusura.

Comunque si proceda, e sempre utile costruirsi una tabella di ammortamento, ovvero una tabel-

la dove sulle righe vengono riportati, periodo dopo periodo, l’importo delle rate, della quota

interesse, della quota capitale e del debito residuo.


Esempio. Il debito x0 = 1000 viene estinto tramite 3 rate annuali di importo R1 = 400, R2 = 300 e

R3 = 517. E’ facile vedere che tale flusso di rate verifica la condizione di equita per i = 10%:

1000 =400

1 + i+

300(1 + i)2 +

517(1 + i)3

Possiamo allora costruirci la tabella di ammortamento, iniziando, al periodo 1 con

QI1 = 1000i = 100, QC1 = R1 −QI1 = 300, x1 = x0 −QC1 = 700,

e proseguendo per gli altri periodi. La tabella che si ottiene e la seguente:

n tn Rn QIn QCn xn

0 0 0 0 0 1000

1 1 400 100 300 700

2 2 300 70 230 470

3 3 517 47 470 0

2.4.3 Ammortamenti a rate costanti

L’ammortamento con rate costanti prevede che, come dice il nome stesso, Rn = R per ogni n =

1, . . . , N. Dunque la relazione di equita e in questo caso sufficiente per descrivere completamente

il piano di ammortamento. Se i = ie,k e il tasso effettivo sul periodo τ, da (2.21) si dovra avere

R =x0

cN(i)=

i · x0

1− (1 + i)−N (2.26)

In questo ammortamento, tutte le rate sono maggiori dell’interesse maturato nel periodo prece-

dente e dunque QCn > 0 per ogni n. La cosa si dimostra immediatamente per induzione su n.

Infatti, per n = 1 e

R1 = R =i · x0

1− (1 + i)−N > i · x0 = QI1,

essendo (1 + i)−N > 0, da cui segue che QC1 = R1 − QI1 > 0. Se poi Rn = R > i · xn−1, segue

subito che QCn > 0 e quindi xn < xn−1. Di conseguenza

Rn+1 = R > i · xn−1 > i · xn,

e quindi

QCn+1 = R−QIn = R− i · xn > R− i · xn−1 = QCn > 0

Abbiamo anzi dimostrato che in questo tipo di ammortamento:

• il debito residuo e la quota interesse sono decrescenti in n

• la quota capitale e (sempre positiva) e crescente in n

Esempio. Costruiamo l’ammortamento a 3 rate annuali costanti del debito x0 = 1000, con tasso

annuo i = 10%. Dalla (2.26) abbiamo

R =ix0

1− (1 + i)−N =1000 · 0.11− 1.1−3 = 402.11


Costruirci poi la tabella di ammortamento, iniziando, al periodo 1 con

QI1 = 1000i = 100, QC1 = R1 −QI1 = 302.11, x1 = x0 −QC1 = 697.89,

e proseguendo per gli altri periodi. La tabella che si ottiene e la seguente:

n tn Rn QIn QCn xn

0 0 0 0 0 1000

1 1 402.11 100 302.11 697.89

2 2 402.11 69.79 332.32 365.57

3 3 402.11 36.56 365.55 0.02

Possiamo notare come la condizione di chiusura x3 = 0 non sia esattamente verificata, ma cio e dovuto

soltanto alle approssimazioni che abbiamo per forza introdotto nei calcoli.

2.4.4 Ammortamenti di tipo obbligazionario

L’ammortamento di tipo obbligazionario, come dice il nome stesso, e tipico del rimborso previsto

dalle obbligazioni (per essere piu precisi, quelle emesse alla pari): esso consiste in un flusso di N−1 rate costanti c (dette cedole) seguito, all’istante tN dal pagamento contemporaneo dell’ultima

cedola e del debito iniziale x0 (detto nominale):

R = (c, . . . , c, c + x0)

Se i = ie,k e il tasso effettivo sul periodo di pagamento delle rate, la relazione di equita e

x0 =N

∑n=1

c(1 + i)−n + x0(1 + i)N = c · cN(i) + x0(1 + i)−N ,

da cui si ricava che l’importo delle cedole deve essere:

c = x01− (1 + i)−N

cN(i)= i · x0.

Possiamo notare come per questo tipo di ammortamento si abbia:

Rn = QIn = ix0, QCn = 0 per n = 1, . . . , N − 1

RN = QIN + x0, QCN = x0

In questo caso il debito residuo, cosı come le quote interesse rimangono costanti fino alla fine

(t = N) quando viene pagata in un’unica soluzione, la quota capitale. In gergo, un’eventuale fase

iniziale in cui vengono pagate le sole quote interesse (nel caso in questione la fase da t1 a tN−1)

si chiama preammortamento. Una fase di preammortamento puo essere prevista anche in altri

tipi di ammortamento, allo scopo di non caricare subito il debitore con pesanti oneri finanziari.

Possiamo notare che per tutta la fase di preammortamento, il debito residuo rimane invariato.


Esempio. L’ammortamento di tipo obbligazionario per estinguere il debito iniziale x0 = 1000 con 3

rate annuali ed un tasso annuo i = 10% si costruisce immediatamente. Infatti, la singola cedola e pari

a c = i · x0 = 100 e la tabella risultante e

n tn Rn QIn QCn xn

0 0 0 0 0 1000

1 1 100 100 0 1000

2 2 100 100 0 1000

3 3 1100 100 1000 0

2.5 Tasso interno di rendimento

2.5.1 Definizione di TIR

Passiamo ora al terzo problema, ovvero: dati il capitale x0, il flusso di rate R/t e fissato un regime

finanziario, per quale tasso i le somme sono quelle giuste? Avendo visto quale deve essere il valore

attuale C(R/t) del flusso di rate, andremo a cercare il valore del tasso per il quale

x0 = C(R/t), (2.27)

ovvero per cui, in un’operazione di investimento, si paga oggi (x0) il valore attuale di cio che si

ricevera in futuro (C(R/t). Anche se l’analisi si potrebbe fare in regime di interesse semplice,

e piu comodo e piu realistico (se le scadenze sono superiori ad 1 anno) considerare il regime

dell’interesse composto con tasso effettivo annuo ie. La relazione (2.27) diventa allora

N

∑n=1

Rn(1 + ie)−tn − x0 = 0, (2.28)

che dobbiamo interpretare come un’equazione da risolvere nell’incognita ie. Se l’equazione prece-

dente ha una sola soluzione ie > 0, tale numero viene chiamato Tasso Interno di Rendimento (o

TIR) dell’operazione.

2.5.2 Calcolo del TIR

Per determinare, almeno in maniera approssimata, il TIR di un’operazione, facciamo la solita

ipotesi che le rate siano periodiche e iniziamo dal caso di rate annuali. Allora l’equazione (2.28)

diventaN

∑n=1

Rn(1 + ie)−n − x0 = 0.

Posto

u =1

1 + ie, (2.29)

la precedente equazione si puo riscrivere come

N

∑n=1

Rnun − x0 = 0,


ovvero nella forma f (u) = 0, dove f e un polinomio di grado N. E’ poi chiaro che tra ie e u c’e

una relazione 1-1 (data dalla (2.29)) e che ie > 0 se e solo se u ∈ (0, 1). Dunque la ricerca del TIR

consistera nei seguenti due passi:

1. ricerca della soluzione u∗ ∈ (0, 1) dell’equazione

f (u) = RNuN + RN−1uN−1 + . . . + R1u− x0 = 0

2. trasformazione per ottenere il TIR

i∗e =1

u∗− 1

Vediamo innanzitutto che nelle situazioni comuni si e gia sicuri che l’equazione f (u) = 0 ha una

e una sola soluzione nell’intervallo (0, 1). Infatti si ha

• f (0) = −x0 < 0 e f (1) = ∑n Rn − x0 > 0 non appena la somma delle rate future (non

attualizzate!) e maggiore del capitale iniziale (cosa del tutto naturale). Dunque la funzione

f cambia di segno da 0 a 1. Essendo f funzione continua, esistera sicuramente (almeno) un

valore u∗ ∈ (0, 1) per cui f (u∗) = 0

• la derivata prima e

f ′(u) = NRNuN−1 + (N − 1)RN−1uN−2 + . . . + 2R2u + R1

ed e senz’altro positiva per u ∈ (0, 1): di conseguenza la funzione f e strettamente crescente

in (0, 1) e u∗ e l’unico zero in u ∈ (0, 1) della funzione f

In genere non esistono formule esplicite per gli zeri di un polinomio di grado maggiore di 3 e

dunque bisogna accontentarsi di approssimare lo zero con un algoritmo. Un algoritmo comune

per la ricerca dello zero di una funzione in un intervallo e il cosiddetto metodo di Newton o delle

tangenti. Questo metodo e particolarmente efficace se la funzione f di cui si voglia trovare lo zero

e strettamente convessa ( f ′′ > 0) nell’intervallo in questione. Questo e il nostro caso, in quanto

f ′′(u) = N(N − 1)RNuN−2 + (N − 1)(N − 2)RN−2uN−3 + . . . + 2R2 > 0 per u ∈ (0, 1)

Il metodo di Newton funziona allora cosı:

1. si parte con una stima iniziale u0 ∈ (0, 1): tale stima deve essere inserita da noi in base a dove

pensiamo potrebbe essere lo zero. Tuttavia, il risultato, anche usando pochi passi dell’algo-

ritmo, dipende molto poco da tale scelta e dunque si puo prendere u0 = 0.95 (corrisponde a

i ≃ 5%)

2. si traccia la retta tangente al grafico di fN nel punto P0 = (u0, f (u0)) (notare che P0 appar-

tiene al grafico di f ). Tale retta ha equazione

y = f ′(u0)(u− u0) + f (u0)


3. si individua l’ascissa u1 del punto in cui tale retta tangente incontra l’asse delle ascisse: si ha

u1 = u0 −f (u0)

f ′(u0)

4. si ripetono i punti 2 e 3 fino ad ottenere una successione di valori u1, u2, . . ., dove un+1 e

ottenuto da un tramite

un+1 = un −f (un)

f ′(un)(2.30)

5. ci si ferma dopo un numero prestabilito di passi (p.e. 5), oppure (meglio) quando la distanza

|un+1 − un| tra due valori successivi e piu piccola di una certa soglia prefissata (p.e. ε =

0.001)

Si dimostra che tale procedimento produce una successione di approssimazioni u1, u2, . . . che con-

vergono allo zero u∗ della funzione. La convergenza e poi, in un senso che puo essere reso preciso,

molto veloce.

Esempio. Si vuole determinare il TIR dell’operazione

x/t = (−100, 30, 20, 40, 50)/(0, 1, 2, 3, 4)

Innanzitutto notiamo che 30 + 20 + 40 + 50 > 100 e dunque il TIR e ben definito (ovvero esiste ed e

unico). Posto u = (1 + ie)−1, dobbiamo trovare lo zero u∗ ∈ (0, 1) della funzione

f (u) = ∑n

Rnun − x0 = 50u4 + 40u3 + 20u2 + 30u− 100

Partendo da u0 = 0.95 e applicando ricorsivamente la (2.30) si ottiene (per le approssimazioni di u e

sempre bene considerare almeno 4 cifre decimali):

u1 = 0.8880, u2 = 0.8830, u3 = 0.8829 u4 = 0.8829

a cui corrispondono le seguenti approssimazioni del TIR (i = u−1 − 1)

i1 = 12.62%, i2 = 13.25%, i3 = 13.26% i4 = 13.26%

Si puo fissare fin da subito di fermarsi alla quarta iterazione, oppure di fermarsi quando |in+1− in| < ε,

con ε > 0 fissato. Per esempio, per ε = 0.05% ci si ferma a i3.

Se invece vengono pagate k rate in un anno, la (2.28) diventa

N

∑n=1

Rn(1 + ie)−n/k − x0 = 0.

Questa volta possiamo porre

u =1

(1 + ie)1/k ,

di modo che l’equazione da risolvere diventa, come in precedenza,

N

∑n=1

Rnun − x0 = 0. (2.31)


Anche ora ie > 0 corrisponde a u ∈ (0, 1) e, una volta trovata la soluzione u∗ a (2.31), si calcolera

il TIR:

i∗e =1

(u∗)k − 1

Esempio. Consideriamo l’operazione di finanziamento con rate semestrali:

x/t = (100,−20,−40,−50,−10)/(0, 0.5, 1, 1.5, 2)

Il TIR e ben definito perche 20 + 40 + 50 + 10 > 100. Posto

u =1√

(1 + i),

dobbiamo trovare lo zero in (0, 1) della funzione

f (u) = 10u4 + 50u3 + 40u2 + 20u− 100 = 0

Con 4 iterazioni del metodo di Newton, partendo da u = 0.9, otteniamo u4 = 0.9265, a cui corrisponde

i =1u2

4− 1 = 16.50%

2.6 Criteri di scelta tra operazioni finanziarie

Consideriamo le seguenti due operazioni finanziarie di investimento:

x/t = (−1000, 400, 400, 400, 400)/(0, 1, 2, 3, 4)

y/t = (−1000, 750, 400, 300, 100)/(0, 1, 2, 3, 4)

Quale delle due e migliore? Esistono due criteri che vengono comunemente utilizzati:

1. Il criterio VAN (o Valore Attuale Netto). Data un’operazione finanziaria di investimento

x/t = (−C, R1, . . . , RN)/(0, t1, . . . , tN), C, Rn > 0,

il suo valore attuale netto (VAN) al tasso i non e altro che il valore attuale del flusso di rate

meno il capitale versato inizialmente:

VAN(x/t, i) = −C +N

∑n=1

Rn(1 + i)−tn .

Il criterio VAN allora stabilisce di fissare un tasso i, che si assume essere disponibile sul

mercato, e nel calcolare il VAN delle varie operazioni. Quindi si sceglie l’operazione con il

VAN maggiore.

Il criterio si applica, con le stesse modalita, anche ad operazioni di tipo diverso, per esempio

operazioni di finanziamento. Se l’operazione (spot) e

x/t = (x0, x1, . . . , xN)/(0, t1, . . . , tN),

dove gli importi xn hanno segno arbitrario, il relativo VAN e dato, in modo naturale, da

VAN(x/t, i) = x0 +N

∑n=1

Rn(1 + i)−tn


Esempio. Consideriamo le due operazioni di investimento x/t e y/t viste sopra e supponiamo

che il tasso prevalente sul mercato sia i = 4%. Allora:

VAN(x/t, 4%) = −1000 +400

1 + 4%+

400(1 + 4%)2 +

400(1 + 4%)3 +

400(1 + 4%)3 = 451.95

e il VAN della prima operazione, mentre

VAN(y/t, 4%) = −1000 +750

1 + 4%+

400(1 + 4%)2 +

300(1 + 4%)3 +

100(1 + 4%)4 = 443.16

e il VAN della seconda. Al tasso i = 4% viene dunque preferita la prima operazione.

Se invece il tasso utilizzato fosse stato i = 8% sarebbe stata preferibile la seconda (fare i conti)

2. Il criterio TIR. Secondo questo criterio, si stima il TIR delle due operazioni e si sceglie, anche

qui in modo del tutto naturale

• quella con il TIR maggiore se l’operazione e di investimento

• quella con il TIR minore se l’operazione e di finanziamento

Esempio. Sempre con riferimento alle due operazioni di investimento dell’esempio precedente,

si stimano i due TIR, ottenendo (4 passi del metodo di Newton) i∗ = 28.82% per la prima e

i∗ = 21.86 per la seconda. Trattandosi di operazioni di investimento, sara preferibile la prima.

Il criterio del TIR e da preferirsi, in quanto non presuppone l’esistenza di un tasso di mercato a

cui attualizzare i vari importi. Abbiamo infatti visto sopra che le conclusioni del criterio VAN

dipendono dal tasso scelto.

Se pero l’operazione non e un puro investimento o un puro finanziamento, ovvero i segni degli

importi si alternano piu volte, si osserva che il TIR puo essere altamente sensibile agli importi e

dunque il relativo criterio perde di significativita23. In questi casi, il criterio VAN puo ritornare

utile, in quanto piu stabile rispetto a variazioni degli importi.

2.7 Obbligazioni

Un’obbligazione (in inglese bond) e un titolo che conferisce al suo possessore (o portatore) il

diritto a riscuotere, a scadenze periodiche, degli importi detti cedole (in inglese coupon) e, alla

scadenza finale, una somma piu consistente chiamata nominale (oltre all’ultima cedola). Le ob-

bligazioni sono prestiti in cui il debitore e l’emittente dell’obbligazione, ruolo che rimane fisso,

mentre il creditore (il portatore) e un ruolo che puo passare di persona in persona tramite un mer-

cato apposito in cui le obbligazioni vengono comprate e vendute.

Le obbligazioni nascono dall’esigenza degli emittenti (tipicamente lo Stato o aziende di medie-

grosse dimensioni) di finanziarsi per grossi importi: difficilmente riuscirebbero a trovare un cre-

ditore disposto ad accollarsi il rischio di un tale prestito. Dunque, l’importo del prestito viene

23Il paragrafo 6.5 del libro Appunti di Matematica Finanziaria di A.Basso-P.Pianca (9 ed., Cedam, 2007) contiene un

istruttivo esempio al proposito.


suddiviso in vari pezzi e distribuito, tramite l’emissione di obbligazioni, ad una vasto numero di

creditori; il nominale dell’obbligazione rappresenta dunque l’importo del debito contratto. Per

questo motivo, un’obbligazione e anche chiamata un prestito diviso.

2.7.1 Obbligazioni senza cedola

Le obbligazioni piu semplici sono quelle che non prevedono cedole: esse sono anche chiamate

zero coupon bond (zcb). Sono caratterizzate da una data di emissione d0 in cui il titolo viene

emesso ad un prezzo P0 (detto prezzo di emissione) e da una data di scadenza dT, in cui verra

rimborsato il nominale24 F al portatore (alla data dT) dell’obbligazione. Ovviamente P0 < F e la

differenza F − P0 rappresenta l’interesse pagato. Dalla data d0 alla data dT, il titolo viene scam-

biato su un apposito mercato; possiamo dunque pensare che ad ogni istante di tempo25 t ∈ [0, T]

l’obbligazione abbia un prezzo di mercato Pt. Ovviamente dovra essere Pt < F per ogni t < T

(altrimenti nessuno comprerebbe l’obbligazione!) e, banalmente, PT = F. Al di la di queste due

condizioni, non c’e altra restrizione di carattere teorico (eccetto Pt > 0) all’evolvere del prezzo

dell’obbligazione. Dal punto di vista dell’emittente, l’operazione di finanziamento e

(P0,−F)/(0, T),

mentre dal punto di vista di un acquirente possiamo considerare vari casi:

1. se l’obbligazione viene comprata in 0 e tenuta fino alla scadenza l’operazione e

(−P0, F)/(0, T)

2. se l’obbligazione viene comprata in 0 e rivenduta al tempo t < T l’operazione e

(−P0, Pt)/(0, t)

3. se l’obbligazione viene comprata in s > 0 e tenuta fino alla scadenza l’operazione e

(−Ps, F)/(s, T)

4. se infine l’obbligazione viene comprata in s > 0 e rivenduta in t < T, l’operazione e

(−Ps, Pt)/(s, t)

Notiamo che negli ultimi tre casi, l’operazione non e certa in quanto almeno uno degli importi non

e noto al tempo 0. E’ poi da sottolineare che nel secondo e nel quarto caso non e affatto assicurato

24F sta per (valore) facciale, altro nome per il nominale25In precedenza abbiamo visto come, fissata una convenzione per il calcolo dei tempi (p.e. 30/360) e posto d0 come

istante iniziale (t = 0), sia possibile associare ad ogni data successiva un tempo. La scadenza dT corrispondera al tempo

t = T, espresso in anni


che l’operazione garantisca un interesse positivo, potendosi avere P0 > Pt nella seconda e Ps > Pt

nella quarta.

Per le obbligazioni senza cedola, essendo le scadenze in genere al piu di 1 anno, si considera come

tasso di rendimento quello semplice, detto anche tasso alla scadenza. All’inizio (t = 0) il tasso

alla scadenza e

i = i0 =1T

F− P0

P0,

mentre al tempo t ∈ (0, T) sara

it =1

T − tF− Pt

Pt

Le obbligazioni senza cedola di gran lunga piu importanti sono i Buoni Ordinari del Tesoro

(BOT), che rientrano nella categoria dei titoli di Stato, in quanto l’emittente e lo Stato Italiano.

Essi hanno scadenze a 3,6 e 12 mesi e vengono emessi il 15 di ogni mese (a 3 e 12 mesi) e a fine di

ogni mese (a 6 mesi). Il valore nominale minimo (il cosiddetto taglio minimo) e attualmente di 1000

Euro. I Certificati del Tesoro Zero-coupon (CTZ) sono Titoli di Stato senza cedola con scadenza

2 anni. Titoli di Stato (senza cedola) del tutto simili ai BOT sono presenti in tutti gli Stati esteri:

negli USA, ad esempio, si chiamano T-bills (Treasury Bills).

2.7.2 Obbligazioni con cedola

Un’obbligazione con cedole, oltre al pagamento finale del valore nominale F, prevede il paga-

mento intermedio di un flusso di cedole, le quali possono essere di importo costante o variabile.

Una cedola viene pagata anche alla scadenza, andandosi a sommare al nominale. Nella grande

maggioranza dei casi, le cedole vengono pagate ogni sei mesi (sono quindi dette cedole semestrali)

e dunque nel seguito consideriamo solo questo caso. Nel caso di cedole (semestrali) costanti, il

loro importo viene di solito specificato in termini di un tasso cedolare r, che deve essere inteso in

termini annui e sotto il regime di interesse semplice. Cio significa che l’importo della cedola e (F

e il nominale)

c =r2

F

Se la scadenza dell’obbligazione e T = N anni, vengono pagate 2N cedole agli istanti tn = n/2.

Se il prezzo di emissione e P0 e cn e l’importo dell’n-esima cedola, l’operazione, dal punto di vista

dell’emittente e

(P0, c1, . . . , c2N−1, F + cN)/(0, 1/2, . . . , (2N − 1)/2, N),

mentre dal punto di vista del compratore, l’operazione dipendera dal fatto che l’acquisto sia pos-

ticipato e/o la vendita anticipata.

Per il fatto che ora vengono pagate delle cedole intermedie, il prezzo di emissione non e piu

necessariamente inferiore al valore facciale. Si possono infatti presentare le seguenti tre situazioni:

1. P0 < F e si dice che l’obbligazione e emessa sotto la pari

2. P0 = F e si dice che l’obbligazione e emessa alla pari


3. P0 > F e si dice che l’obbligazione e emessa sopra la pari

I due principali Titoli di Stato con cedola sono:

• I Buono del Tesoro Poliennali (BTP). Hanno scadenze pari a 3, 5, 10, 15 e 30 anni e sono

caratterizzati da cedole fisse, determinate tramite un tasso cedolare fissato all’inizio.

• I Certificati di Credito del Tesoro (CCT). Hanno 7 anni come unica scadenza e sono carat-

terizzati da cedole variabili. In particolare, il tasso cedolare (semestrale) e determinato pren-

dendo come base il rendimento dei BOT semestrali (nel semestre in cui si andra a pagare la

cedola) e maggiorandolo di una piccola percentuale fissa.

2.7.3 Imposizione fiscale

La normativa vigente prevede di tassare con l’aliquota fissa del 12.5% (salita da un paio di anni al

20% sulle nuove emissioni):

1. ogni cedola c che diventa, al netto delle tasse, c(1− 12.5%)

2. la eventuale plusvalenza iniziale max(F− PA, 0), ovvero la differenza, se positiva, tra il va-

lore nominale F e quello di acquisto PA. La tassa viene caricata sul prezzo di acquisto che

sale a

PA + max(F− PA, 0) · 12.5%

In realta, solo la tassa pagata dall’acquirente iniziale va allo Stato, mentre le tassazioni

successive vanno al venditore dell’obbligazione, per rimborsarlo della minore plusvalenza

realizzata. In altre parole, il prezzo di vendita PV (se anticipato) diventa

PV + max(F− PV , 0) · 12.5%,

la differenza essendo pagata dall’acquirente come prezzo maggiorato di acquisto26

Esempio. Un BOT, di nominale F = 10000 Euro e scadenza T = 1 anno, al tempo t = 2m e quotato

Pt = 9750 Euro. La plusvalenza iniziale e pari a F− Pt = 250. La tassa e pari a 250 · 12.5% = 31.25

Euro e viene pagata all’atto dell’acquisto. Se il BOT e tenuto a scadenza, l’operazione al lordo delle tasse

e

(−9750, 10000)/(2m, 1a),

mentre l’operazione netta e

(−9781.25, 10000)/(2m, 1a)

I tassi alla scadenza lordo e netto sono, rispettivamente

ilordo =1

1− 1/610000− 9750

9750= 3.08% , inetto = 2.68%

Se invece il BOT viene venduto al tempo τ = 8m, quando il prezzo e Pτ = 9820, il prezzo di vendita

netto (questa volta e maggiore del prezzo di vendita originario) e

9820 + (10000− 9820) · 12.5% = 9842.5

26In effetti qui cio che e prezzo di acquisto per uno e prezzo di vendita per l’altro


Esempio. Un BTP, di nominale F = 30000, scadenza 3 anni e tasso cedolare r = 4%, viene acquistato

al tempo s = 1a9m al prezzo Ps = 29800 e tenuto alla scadenza. L’importo della singola cedola e

c =4%2

30000 = 600

e ne vengono pagate 3 da s a T. Dunque l’operazione al lordo delle tasse e

(−29800, 600, 600, 30600)/(1a9m, 2a, 2a6m, 3a)

L’importo netto della cedola e 600(1− 12.5%) = 525; la plusvalenza iniziale vale 30000− 29800 = 200

e dunque il prezzo di acquisto diventa 29800 + 200 · 12.5% = 29825. L’operazione netta e dunque

(−29825, 525, 525, 30525)/(1a9m, 2a, 2a6m, 3a).

Se il prezzo di acquisto fosse stato Ps = 30100, la plusvalenza iniziale sarebbe stata nulla e l’operazione

netta sarebbe stata

(−30100, 525, 525, 30525)/(1a9m, 2a, 2a6m, 3a).

2.7.4 Prezzo secco e prezzo tel quel

Nel caso di obbligazioni con cedola esistono due prezzi distinti

• il prezzo secco e quello riportato sui listini e sulle pagine dei quotidiani

• il prezzo tel quel e invece quello che effettivamente si paga per comprare l’obbligazione e

che risulta maggiore del prezzo secco

La differenza tra i due prezzi (prezzo tel quel meno prezzo secco) e chiamata dietimo. Il dietimo

e una somma che va a quantificare la parte della cedola, immediatamente successiva all’acquisto,

che e di pertinenza dell’acquirente. Esso e definito da

Dt = ct− tp

ts − tp, t ∈ [tp, ts)

dove tp e l’istante in cui e stata staccata la cedola precedente27 e ts e l’istante in cui sara staccata la

cedola successiva (di importo c). Dunque, all’istante t,

Ptel quelt = Psecco

t + Dt

Notare che agli istanti di stacco della cedola, il dietimo e nullo (ovvero i prezzi secco e tel quel

coincidono); il dietimo poi cresce in modo lineare fino al valore limite Dt = c, un istante prima

dello stacco della cedola.

Esempio. Consideriamo un’obbligazione con scadenza T = 2 anni, nominale F = 1000, cedole

semestrali costanti e pari a c = 150. Al tempo t = 8m si osserva un prezzo secco Pseccot = 920. Al

tempo t, la cedola precedente e stata staccata in tp = 6m e la cedola successiva sara staccata in ts = 1a.

Dunque il dietimo e

Dt = 150 · 8m− 6m1a− 6m

= 50

e il prezzo tel quel risulta

Ptel quelt = 920 + 50 = 970

27tp = 0 se devono ancora essere staccate cedole


2.7.5 Tasso a scadenza

Abbiamo visto che nel caso delle obbligazioni senza cedola, data la scadenza ravvicinata, viene di

solito impiegato il regime dell’interesse semplice, per cui il tasso a scadenza (in inglese yield to

maturity) al tempo t ∈ [0, T) e definito da

it =1

T − tF− Pt

Pt.

Notare che il tasso a scadenza e una quantita perfettamente nota al tempo t, dato che il nominale F

e fissato fin dall’inizio. In effetti, essendoci una relazione 1-1 tra il prezzo Pt e il tasso a scadenza it,

viene spesso riportato il tasso a scadenza, anziche il prezzo. E’ ovviamente importante specificare

a quale scadenza si riferisce tale tasso e se si tratta di tasso lordo o netto.

Nel caso di una obbligazione con cedole, essendo le scadenze in genere superiori ad 1 anno, si

preferisce usare il regime dell’interesse composto e si definisce tasso a scadenza (al tempo t = 0)

come il TIR dell’operazione28

(−P0, c, . . . , c, c + F)/(0, 1/2, . . . , (2N − 1)/2, N).

E’ bene ricordare che il TIR di questa operazione e, per definizione, il tasso (annuo effettivo) i tale

che

P0 =2N

∑n=1

c(1 + i)n/2 +

F(1 + i)N

Abbiamo visto in precedenza come stimare approssimativamente una soluzione i∗ (il TIR) di una

tale equazione.

2.8 Appendice

2.8.1 Sull’identita usata in (2.3.4)

Nel derivare la (2.3.4) abbiamo usato l’identita

N

∑n=1

vn = v1− vN

1− v(2.32)

che fornisce la somma parziale N-esima della serie geometrica di base v = 1. Essa puo essere

dimostrata in almeno tre modi:

• Osservando che

(v + . . . + vN)(1− v) = v + v2 + . . . + vN − v2 − . . .− vN − vN+1,

dove nel termine in mezzo si cancellano tutti gli addendi tranne il primo e l’ultimo. Ricavare

la (2.32) e ora immediato.

28per semplicita assumiamo cedole semestrali costanti


• Per induzione su N > 1 (esercizio)

• Posto sN = ∑Nn=1 vn si ha

sN

v= 1 + v + . . . + vN−1 = 1 + sN−1 = 1 + sN − vN

da cui ci si ricava facilmente la (2.32).

2.8.2 Sulle condizioni di chiusura

Vediamo la dimostrazione se N = 2.

Essendo

QC1 = R1 − ix0

QC2 = R2 − ix1 = R2 − i(x0 −QC1) = R2 − i(x0 − R1 + ix0)

abbiamo

QC1 + QC2 = R1 + R2 − 2ix0 + iR1 − i2x0 = R1(1 + i) + R2 − x0(2i + i2)

e dunque si ha QC1 + QC2 = x0 (chiusura) se e solo se

R1(1 + i) + R2 = x0(1 + i)2

che e la proprieta di equita (dividendo entrambi i membri per (1 + i)2).

Il caso generale si tratta alla stessa maniera, anche se le espressioni diventano (formalmente) piu

complicate. Dalla espressione generale

QCn = Rn − ixn−1 = Rn − i(x0 − (QC1 + . . . + QCn−1)),

si ottiene, con molta pazienza

N

∑n=1

QCn = (1 + i)NN

∑n=1

Rn(1 + i)−n − x0((1 + i)N − 1).

Dunque vale la condizione di chiusura (∑n QCn = x0) se e solo se vale la condizione di equita

(∑n Rn(1 + i)−n = x0)


Esercizi - Parte 2

Avvertenza:

• Se non indicato altrimenti, il regime adottato e quello dell’interesse composto e in questo

caso il tasso annuo effettivo ie verra semplicemente chiamato tasso annuo e indicato con i

Esercizi

1. Dato il flusso di rate

R/t = (200, 150, R3)/(1, 2, 3),

determinare R3 in modo tale che il valore attuale di R/t sia pari a 400, con un tasso annuo i = 8%

2. Dato il flusso di rate

R/t = (700, 500, 100)/(1, 2, τ),

determinare τ > 2 in modo tale che il valore attuale di R/t sia pari a 1200, con un tasso annuo

i = 5%

3. Calcolare il valore attuale di:

(a) un flusso di 5 rate annuali, ognuna di importo 1000 e, assumendo un tasso annuo i = 8%

(b) un flusso di 10 rate semestrali, ognuna di importo 500 e, assumendo un tasso annuo i = 5%

(c) un flusso di 18 rate mensili, ognuna di importo 100 e, posticipate di 4 mesi, assumendo un

tasso annuo i = 8%

(d) un flusso perpetuo di rate trimestrali, ognuna di importo 150 e, assumendo un tasso annuo

i = 7%

4. Il valore attuale di un flusso di 20 rate semestrali, ognuna di importo R e pari a 1200 e. Calcolare R

sapendo che il tasso annuo e pari a i = 12%.

5. Il valore attuale di un flusso di 12 rate mensili, posticipate di 6 mesi e ognuna di importo R, e pari a

3000 e. Calcolare R sapendo che il tasso annuale e pari a i = 15%.

6. Sapendo che il tasso annuo e pari a i = 8%, determinare il massimo numero di rate annuali costanti

di importo 200 e tali che il flusso abbia valore attuale minore o uguale a 1500 e.

7. Costruire la tabella di ammortamento a rata costante, per un debito di 10000 e estinto tramite 4 rate

semestrali, con i = 5%.

8. Costruire la tabella di ammortamento a quota capitale costante, per un debito di 10000 e estinto

tramite 4 rate semestrali, con i = 5%.

9. Completare la seguente tabella di ammortamento, sapendo che i = 7% e R > 0.


n tn Rn QIn QCn xn

0 0 0 0 0 1000

1 6m * * 200 *

2 12m 190 * * *

3 18m R * 0.9 · R *

4 24m * * * *

10. Data l’operazione finanziaria di investimento

x/t = (−500, 200, 300, 100)/(0, 1, 3, 5)

dire perche il TIR esiste ed e unico. Successivamente determinarne un’approssimazione utilizzando il

metodo delle tangenti con 4 iterazioni, usando come stima iniziale i0 = 20%.

11. Data l’operazione finanziaria

x/t = (−10, 3, 3, 3, 3)/(0, 1, 2, 3, 4),

dire perche il TIR esiste ed e unico. Senza usare metodi iterativi, dire se il TIR e maggiore di 5.5%.


x/t = (100,−R,−R)/(0, 0.5, 1),

determinare i valori della rata R > 0 per cui il TIR esiste, unico, ed e maggiore di 4.5%.


x/t = (−S, 180, 300, 200)/(0, 1, 1.5, 2),

determinare il valore del pagamento iniziale S > 0 tale che il TIR sia pari a i∗ = 2.9%


x/t = (1000,−300,−800)/(0, 1, 1 + τ),

determinare i valori di τ > 0 tali per cui il TIR esiste, unico, ed e minore di 7%.

15. Senza fare conti, dire quale delle tre seguenti operazioni finanziarie ha il TIR piu elevato (notare che

per tutte il TIR esiste unico)

x/t = (−100, 30, 30, 20, 40)/(0, 1, 2, 3, 4)

y/s = (300,−90,−90,−60,−120)/(0, 1, 2, 3, 4)

z/τ = (−100, 30, 40, 20, 50)/(0, 1, 2, 3, 4).

16. Per ognuna delle seguenti obbligazioni, scrivere in simboli l’operazione finanziaria intrapresa dal-

l’acquirente:


• BOT appena emesso di valore nominale 5000e e scadenza 6 mesi con tasso a scadenza i = 3.2%

• BOT di scadenza 6 mesi, di prezzo corrente 980 e, valore nominale 1000 e, emesso 4 mesi fa.

• BTP a scadenza 3 anni, appena emesso alla pari, di valore nominale 100000 e e tasso cedolare

4%

• BTP a scadenza 5 anni, appena emesso sotto la pari con premio di emissione 3000 e (ovvero

differenza tra il valore nominale ed il prezzo di emissione), di valore nominale 100000 e e tasso

cedolare 6%

17. Ripetere il primo esercizio, riportando le operazioni al netto dell’imposizione fiscale. Supponiamo che

le obbligazioni siano detenute fino alla scadenza.

18. Consideriamo un’obbligazione con cedole semestrali, scadenza 2 anni, tasso cedolare 3%, nominale

2000e e prezzo di emissione 1900e. Stimarne il tasso a scadenza (con 4 passi del metodo di Newton,

partendo dalla stima iniziale i0 = 5%).

19. Un’obbligazione con cedole semestrali di valore nominale 1000 e, e tasso cedolare 5% ha un prezzo

secco corrente di 970 e (riportato sul listino). Calcolare il prezzo tel quel, sapendo che sono passati 2

mesi e 25 giorni dallo stacco dell’ultima cedola (utilizzare la convenzione 30/360).

20. Un’obbligazione a cedole annuali e scadenza 4 anni ha valore nominale 2000 e, tasso cedolare 7%

e viene emessa alla pari. Ogni cedola e, alla scadenza, anche il nominale, vengono reinvestiti in un

conto corrente che evolve secondo una legge dell’interesse composto di tasso annuo effettivo ie = 2%.

Calcolare il montante dell’intera operazione dopo 6 anni, ovvero il valore del conto corrente tra 6 anni.

Soluzioni

1. Il valore attuale di R/t e

C(R/t) =200

1 + i+

150(1 + i)2 +

R3

(1 + i)3 = 313.79 + 0.79R3.

L’equazione C(R/t) = 400 fornisce R3 = 109.14.

2. Il valore attuale di R/t e

C(R/t) =700

1 + i+

500(1 + i)2 +

100(1 + i)τ

= 1119.60 + 100 · 0.952τ.

L’equazione C(R/t) = 1200 fornisce 0.952τ = 0.804, da cui

τ =log 0.804log 0.952

= 4.43

3. (a) Essendo le rate annuali si ha

C(R/t) = 1000 · C5(i) = 1000 · 1− (1 + 0.08)−5

0.08= 3992.7


(b) Essendo le rate semestrali, calcoliamo prima il tasso semestrale equivalente: i2 =√

1 + i−1 = 2.47%. Abbiamo allora

C(R/t) = 500 · C10(i2) = 500 · 1− (1 + 0.0247)−10

0.0247= 4382.9

(c) Il tasso equivalente mensile e i12 = (1 + i)1/12 − 1 = 0.64%. Essendo il flusso di rate

posticipato di 4 periodi abbiamo

C(R/t) = 100 · (1 + i12)−4 · C18(i12) = 100 · 1.0064−4 · 1− (1 + 0.0064)−18

0.0064= 1651.6

(d) Il tasso trimestrale equivalente e i4 = (1 + i)1/4 − 1 = 1.71%. Dunque si ha

C(R/t) =150i4

= 8793.3

4. Il tasso semestrale equivalente e i2 = 5.83%. Da 1200 = C(R/t) = R · C20(i2), segue che

R =1200

C20(i2)= 1200 · i2

1− (1 + i2)−20 = 103.18

5. Il tasso mensile equivalente e i12 = 1.17%. Dalla relazione

3000 = C(R/t) = R · (1 + i12)−6 · C12(i12)

segue che

R =3000

(1 + i12)−6 · C12(i12)= 289.02

6. Occorre che

1500 > C(R/t) = 200 · CN(i) = 200 · 1− (1 + i)−N

i= 2500(1− 0.926N),

ovvero 0.926N > 0.4, cioe N log(0.926) > log(0.4) e infine (attenzione al verso della disu-

guaglianza: log(0.926) < 0)

N 6 log(0.4)log(0.926)

= 11.91.

Si conclude che il numero massimo di rate e 11.

7. Innanzitutto calcoliamo il tasso semestrale equivalente: i2 =√

1 + i − 1 = 2.47%. Da

10000 = R · C4(i2) otteniamo che l’importo comune delle rate e

R =10000C4(i2)

= 2656.2

Al passo 1, la quota interesse e QI1 = 10000 · i2 = 247, la quota capitale QC1 = R− QI1 =

2409.2 e il nuovo debito residuo x1 = 10000−QI1 = 7590.8. Proseguendo in questa maniera

si ottiene la tabella:


n tn Rn QIn QCn xn

0 0 0 0 0 10000

1 6m 2656.2 247 2409.2 7590.8

2 12m 2656.2 187.49 2468.7 5122.1

3 18m 2656.2 126.52 2529.7 2592.4

4 24m 2656.2 64.03 2592.2 0.24

(notare che il debito finale e leggermente diverso da zero: cio e causato ad approssimazioni

numeriche)

8. Il tasso equivalente semestrale e i2 = 2.47%, la quota capitale (costante) e QC = 10000/4 =

2500. Calcolando, ad ogni passo, la quota interesse QIn = xn−1i2, la rata R = QC + QIn e il

nuovo debito xn = xn−1 −QC si ottiene la tabella

n tn Rn QIn QCn xn

0 0 0 0 0 10000

1 6m 2747 247 2500 7500

2 12m 2685.25 185.25 2500 5000

3 18m 2623.5 123.5 2500 2500

4 24m 2561.75 61.75 2500 0

9. Innanzitutto calcoliamo il tasso equivalente semestrale i2 = 3.44%. Partiamo dalla seconda

riga in cui possiamo calcolare, nell’ordine, QI1 = x0 · i2 = 34.4, R1 = QI1 + QC1 = 234.4 e

x1 = x0 −QC1 = 800. Si ottiene (in grassetto i nuovi valori)

n tn Rn QIn QCn xn

0 0 0 0 0 1000

1 6m 234.4 34.4 200 800

2 12m 190 * * *

3 18m R * 0.9 · R *

4 24m * * * *

Alla terza riga calcoliamo, nell’ordine QI2 = x1 · i2 = 27.52, QC2 = R2 − QI2 = 162.48 e

x2 = x1 −QC2 = 637.52; quindi

n tn Rn QIn QCn xn

0 0 0 0 0 1000

1 6m 234.4 34.4 200 800

2 12m 190 27.52 162.48 637.52

3 18m R * 0.9 · R *

4 24m * * * *


Alla quarta riga, calcoliamo subito QI3 = x2 · i2 = 21.93. Si ha poi che R = QI3 + QC3 =

21.93+ 0.9R, da cui R3 = R = 219.3, QC3 = 0.9R = 197.37 e x3 = x2−QC3 = 440.15; quindi

n tn Rn QIn QCn xn

0 0 0 0 0 1000

1 6m 234.4 34.4 200 800

2 12m 190 27.52 162.48 637.52

3 18m 219.3 21.93 197.37 440.15

4 24m * * * *

Infine, all’ultima riga si calcola QI4 = x3 · i2 = 15.14; inoltre, dovendo essere x4 = 0 si ottiene

QC4 = x3 = 440.15 e R4 = QI4 + QC4 = 455.29. Si ha

n tn Rn QIn QCn xn

0 0 0 0 0 1000

1 6m 234.4 34.4 200 800

2 12m 190 27.52 162.48 637.52

3 18m 219.3 21.93 197.37 440.15

4 24m 455.29 15.14 440.15 0

Notare che il piano di ammortamento che abbiamo compilato non e a rate costanti, ne a

quote capitali costanti.

10. Il TIR esiste ed e unico in quanto

200 + 300 + 100 > 500.

Posto u = 1/(1 + i), occorre determinare uno zero in (0, 1) della funzione

f (u) = 100u5 + 300u3 + 200u− 500.

Possiamo poi notare che se dividiamo per 100 la funzione, gli zeri rimangono invariati: di

conseguenza, per semplificare i conti, possiamo considerare la funzione

f (u) = u5 + 3u3 + 2u− 5.

Calcoliamone la derivata prima

f ′(u) = 5u4 + 9u2 + 2

e la derivata seconda

f ′′(u) = 20u3 + 18u


da cui segue che f e strettamente crescente e strettamente convessa per u > 0. Di conseguen-

za si puo applicare il metodo delle tangenti.

Si parte dall’approssimazione iniziale (utilizzare 4 cifre decimali per u)

u0 =1

1 + i0= 0.8333

Dalla relazione ricorsiva

un+1 = un −f (un)

f ′(un)= un −

u5n + 3u3

n + 2un − 55u4

n + 9u2n + 2

si ottengono le seguenti 4 approssimazioni successive per u:

u1 = 0.9455, u2 = 0.9325, u3 = 0.9323, u4 = 0.9323.

All’ultima approssimazione corrisponde la seguente approssimazione per il TIR

i =1u4− 1 = 7.26%

11. Il TIR i∗ dell’operazione esiste ed e unico, in quanto 10 < 3 + 3 + 3 + 3. Consideriamo poi

la funzione f che associa ad ogni tasso i il valore attuale netto dell’operazione:

f (i) = VAN(x/t, i) = −10 +3

1 + i+

3(1 + i)2 +

3(1 + i)3 +

3(1 + i)4 .

E’ chiaro che f e strettamente decrescente per i > 0. Essendo poi f (5.5%) = 0.51 > 0 risulta

quindi il TIR i∗ (per cui f (i∗) = 0) e maggiore di 5.5%.

12. Condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza ed unicita del TIR e che R + R > 100,

ovvero che R > 50. Osserviamo poi che la funzione

f (i) = VAN(x/t, i) = 100− R(1 + i)1/2 −

R1 + i

e strettamente crescente. Segue che, al variare di R > 50, il TIR e maggiore di 4.5% se e solo

se f (4.5%) < 0, ovvero se e solo se

100− R(1.045)1/2 −

R1.045

< 0,

da cui R > 51.67.

13. La soluzione e immediata: l’importo iniziale (S) dovra essere pari al valore attuale, al tasso

i = 2.9%, del flusso di rate:

S =180

1.029+

3001.0291.5 +

2001.0292 = 651.22


14. Il TIR esiste ed e unico per ogni valore τ > 0 essendo 1000 < 300 + 800. La funzione

f (i) = C(x/t, i) = 1000− 3001 + i

− 800(1 + i)1+τ

e strettamente crescente. Segue che il TIR e minore di 7% se e solo se f (7%) > 0, ovvero

1000− 3001.07− 800

1.071+τ> 0.

Si ricava 1.07τ > 1.111, da cui

τ >log 1.111log 1.07

= 0.557

15. Prima di tutto si nota che lo scadenzario e comune per tutte le operazioni e che la prima e

la seconda hanno lo stesso TIR, in quanto y = −3z: se moltiplichiamo tutti gli importi di

un’operazione per un numero diverso da 0 il TIR ovviamente non cambia (dimostrarlo). Si

osserva poi che le due funzioni f (i) = VAN(z/τ, i) e g(i) = VAN(x/t, i) sono strettamente

decrescenti ed inoltre per ogni i > 0

VAN(z/τ, i) = VAN(x/t, i) +10

(1 + i)2 +10

(1 + i)4 > VAN(x/t, i).

Segue facilmente che il TIR di x/t e (strettamente) minore di quello di z/τ. Dunque z/τ e,

delle tre, l’operazione con il TIR piu alto.

16. Si ha nell’ordine:

• Essendo T = 0.5 e i = 3.2%, si ha P0 = 5000/(1 + iT) = 4921.3 e e quindi

(x, t) = (−4921.3, 5000)/(0, 0.5)

• La vita residua del BOT e 2 mesi e quindi

(x, t) = (−980, 1000)/(0, 1/6)

• Vengono pagate 6 cedole (ricordarsi che i BTP hanno cedole semestrali), ognuna di

importo 100000 · 0.04/2 = 2000 e; dunque

(x, t) = (−100000, 2000, 2000, 2000, 2000, 2000, 102000)/(0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3)

• Il prezzo di emissione e pari a P0 = 97000 e e le 10 cedole sono ognuna di importo

10000 · 0.06/2 = 3000 e. Dunque

(x, t) = (−97000, 3000, . . . , 3000, 103000)/(0, 0.5, . . . , 4.5, 5)

17. Le operazioni finanziarie nette sono, nell’ordine:

(x, t) = (−4931.14, 5000)/(0, 0.5)

(x, t) = (−982.5, 1000)/(0, 1/6)

(x, t) = (−100000, 1750, . . . , 1750, 101750)/(0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3)

(x, t) = (−97375, 2625, . . . , 2625, 102625)/(0, 0.5, . . . , 4.5, 5)


Attenzione! Nella terza obbligazione il premio di emissione e nullo, visto che l’obbligazione

e emessa alla pari: il nominale e 100000 e non 102000. Nella quarta il premio di emissione e

3000, visto che il nominale e 100000 (e non 103000).

18. Le singole cedole sono pari a 3000 · 1.5% = 45, dunque l’operazione e

(x/t) = (−1900, 45, 45, 45, 2045)/(0, 0.5, 1, 1.5, 2)

Il tasso di rendimento alla scadenza non e altro che il TIR i∗ dell’operazione appena scritta.

Posto u = 1/√

1 + i si deve avere

f (u) = 2045u4 + 45u3 + 45u2 + 45u− 1900 = 0

Partendo da u0 =√

1 + 0.05 = 0.9759 si ottiene, in successione

u1 = 0.9653 u2 = 0.9651 u3 = 0.9651 u4 = 0.9651.

La stima del TIR e dunque

i∗ ≃ u−24 − 1 = 7.36%

19. L’importo della singola cedola e c = 25. Essendo 2m25g = 0.236 = t− tp (tp data di stacco

della cedola precedente), ed essendo ts − tp = 0.5 (cedole semestrali), il dietimo e pari a

D = 250.236

0.5= 11.80

Dunque il prezzo tel quel e

Ptel quel = Psecco + D = 970 + 11.80 = 981.80

20. L’obbligazione garantisce:

• 3 pagamenti intermedi, le prime 3 cedole, di importo pari a 2000 · 7% = 140 alle date 1,

2 e 3

• un pagamento finale, il nominale piu l’ultima cedola, di importo pari a 2140, alla data

4.

Reinvestendo nel conto, il montante in t = 6 e (i = ie = 2%)

M = 140(1 + i)6−1 + 140(1 + i)6−2 + 140(1 + i)6−3 + 2140(1 + i)6−4 = 2681.10


Parte 3: Scelte in condizioni di incertezzaIn questa ultima parte rivolgiamo la nostra attenzione alle situazioni in cui c’e incertezza riguardi

gli importi futuri che determineranno l’operazione finanziaria. Per far questo ci serviranno alcuni

concetti base del calcolo delle probabilita. Studieremo poi il problema della scelta di portafoglio

secondo Markowitz.

3.1 Operazioni con importi incerti

Finora abbiamo sempre supposto che gli importi di un’operazione finanziaria x/t fossero certi,

ovvero noti fin da oggi. E’ evidente che nella maggior parte dei casi non e cosı. Vediamo alcuni

semplici esempi, tra i molti che si potrebbero fare:

1. Se acquistiamo un BOT oggi, al prezzo P0, pianificando di rivenderlo al tempo t, l’operazione

e

(−P0, Pt)/(0, t);

se t e antecedente la scadenza del BOT, abbiamo osservato che l’importo Pt non e noto oggi,

ma e aleatorio. L’unica cosa che sappiamo e che 0 < Pt < F (F valore nominale del BOT.

2. Lo stesso esempio di prima, ma con un’azione al posto di un’obbligazione e con t arbitrario

(un’azione non ha scadenza). Se St e il prezzo in t dell’azione (S per stock, azione), sappiamo

solo che St > 0. Ricordiamo che un’azione e un titolo di partecipazione al capitale di una

societa (ovvero chi possiede un’azione possiede un pezzo della societa). Il suo possesso da

diritto ad avere voce in capitolo circa la gestione della societa (tramite il diritto di voto nelle

assemblee societarie) e nel ricevere periodicamente parte degli utili, sotto forma di dividendi.

L’importo dei dividendi e aleatorio ex-ante.

3. Se acquistiamo un’obbligazione (senza cedole per semplicita) emessa da una societa con

rating basso, ovvero con possibilita di andare in bancarotta, l’operazione e (−P0, F)/(0, T)

se tutto va bene, ma e (−P0, λF)/(0, T) se c’e bancarotta prima della scadenza; λ < 1 e la

frazione di nominale recuperato (nei casi peggiori λ = 0) e viene chiamato recovery rate.

Siamo qui in presenza di rischio di credito.

4. Se accendiamo un mutuo a tasso variabile, gli importi delle rate future non sono note oggi,

ma dipenderanno dai valori futuri dei tassi di riferimento.

Incertezza non e tuttavia sinonimo di ignoranza assoluta. Oltre ad avere comunque dei limiti teorici

agli importi (p.e. 0 < Pt < F nell’esempio dei BOT) siamo in genere in grado di dire quali valori

di Pt riteniamo piu probabili e quali meno. Tutto cio viene formalizzato tramite le definizioni

principali del calcolo delle probabilita.


3.2 Probabilita e variabili aleatorie

3.2.1 Probabilita, stati di natura e eventi

Partiamo da un insieme finito Ω = ω1, . . . , ωK, dove ωk e un possibile stato di natura, ovvero

un possibile risultato di un esperimento o un possibile esito di una situazione incerta. Gli stati di

natura sono mutuamente esclusivi (ovvero se ne verifica solo uno) e esaustivi (ovvero descrivono

tutti i possibili esiti). Una probabilita e un insieme di N numeri (π1, . . . , πK) tali che

1. ogni πk e una percentuale, ovvero

πk ∈ [0, 1] per ogni k

2. le percentuali sommano al 100%, ovvero

K

∑k=1

πk = 1

Interpretiamo πk come la probabilita che si verifichi lo stato di natura ωk. Possiamo anche scrivere

πk = P(ωk).

Esempio. Il risultato del lancio di un dado viene descritto dagli elementi dell’insieme Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.Se pensiamo che il dado non sia truccato, e naturale porre

πk = 1/6 ∀k.

Se pero pensiamo che in realta il dado sia stato truccato in modo da rendere piu probabile il risultato 1,

possiamo porre, ad esempio:

π1 = 0.5, πk = 0.1 ∀k > 2

Possiamo anche pensare a un dado che e stato truccato in maniera tale che e proprio impossibile l’uscita

del numero 1, mentre gli altri numeri hanno le stesse probabilita; in questo caso

π1 = 0, πk = 1/5 ∀k > 2

Notare che in tutti i casi sono verificate le due condizioni date sopra.

Un evento e un sottoinsieme A ⊆ Ω. Tornando all’esempio del dado,

A = 1, 3, 5 = esce un numero dispari

e un possibile evento, ovvero e un’opportuna collezione di stati di natura. Essendo gli stati di

natura mutuamente esclusivi, sembra naturale estendere la definizione di probabilita anche ad un

evento A, ponendo:

P(A) = ∑ωk∈A

πk,

ovvero sommando le probabilita degli stati di natura che lo compongono.


Esempio. Se A e quello definito sopra, utilizzando le probabilita dell’esempio precedente, abbiamo,

rispettivamente

P(A) = 3 · 16= 0.5, P(A) = 0.5 + 0.1 + 0.1 = 0.7, P(A) = 2 · 1

5= 0.4

Possiamo facilmente verificare (esercizio) che cosı facendo abbiamo definito una funzione29

P : P(Ω)→ [0, 1]

tale che

1. P(Ω) = 1

2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) se A e B sono eventi disgiunti (ovvero A ∩ B = ∅)

Se Ac e il complementare di A, essendo i due eventi disgiunti, abbiamo

1 = P(Ω) = P(A ∪ Ac) = P(A) + P(Ac),

da cui P(Ac) = 1− P(A).

E’ poi immediato verificare che se partiamo da una funzione P su P(Ω) che verifica le due con-

dizioni viste sopra e poniamo πk = P(ωk), allora (π1, . . . , πK) e una probabilita su Ω. Dunque,

chiameremo indifferentemente P e (π1, . . . , πK) probabilita su Ω (anche se formalmente sono due

oggetti diversi)

3.2.2 Variabili aleatorie

Dato un insieme (finito) Ω, una variabile aleatoria (v.a.) e una funzione

X : Ω→ R

che assegna ad ogni stato di natura ω un risultato numerico X(ω).

Esempio. Se lanciamo un dado e vinciamo 100 Euro se esce un numero pari e nulla altrimenti, allora

Ω = 1, . . . , 6 e la v.a. che descrive la vincita e definita da

X(2) = X(4) = X(6) = 100, X(1) = X(3) = X(5) = 0.

Se invece vinciamo 150 Euro se esce 5 o 6 e nulla altrimenti, la v.a. e

Y(5) = Y(6) = 150, Y(1) = Y(2) = Y(3) = Y(4) = 0

Assegnata una probabilita P su Ω, ad ogni v.a. X e associata una distribuzione

X ∼ (x1, . . . , xN | p1, . . . , pN)

dove xn, n = 1, . . . , N sono tutti i valori che X puo assumere e

pn = P(X = xn) = P(ω ∈ Ω : X(ω) = xn)

e la probabilita che X assuma il valore xn. E’ immediato verificare che pn ∈ (0, 1] e che ∑n pn = 1.29P(Ω) e l’insieme delle parti di Ω, ovvero l’insieme di tutti i sottoinsiemi (eventi) in Ω


Esempio. Consideriamo le due v.a. X e Y introdotte nell’esempio precedente. Se il dado e non truccato,

la probabilita su Ω e πk = 1/6 per ogni k e le distribuzioni di X e Y sono

X ∼ (0, 100 | 1/2, 1/2) Y ∼ (0, 150 | 2/3, 1/3)

Ad esempio, si ha

P(Y = 150) = P(ω : Y(ω) = 150) = P(5, 6) = π5 + π6 = 2/6 = 1/3

Se invece la probabilita su Ω e data da π1 = 0.5 e πk = 0.1 per k > 2, allora

X ∼ (0, 100 | 0.7, 0.3) Y ∼ (0, 150 | 0.8, 0.2)

E’ importante notare che due v.a. distinte possono benissimo avere la stessa distribuzione. Nel-

l’esempio del dado non truccato, la v.a. che descrive la vincita di 100 Euro se il risultato e pari (e

nulla altrimenti) e la v.a. che invece descrive la vincita di 100 Euro se il risultato e 1, 2 o 3, sono

due v.a. distinte, ma hanno la stessa distribuzione, ovvero (0, 100 | 1/2, 1/2)

Data una v.a. Z con una certa distribuzione, e facile ricavarsi la distribuzione della v.a. trasformata

f (X), dove f : R→ R e una qualche trasformazione; vedi esempio seguente.

Esempio. Se Z ∼ (−2, 0, 2 | 1/7, 3/7, 3/7), allora, ad esempio

Z + 5 ∼ (3, 5, 7 | 1/7, 3/7, 3/7)

e

Z2 ∼ (0, 4 | 3/7, 4/7).

Nel secondo caso, notare che

P(Z2 = 4) = P(Z = −2 oppure Z = 2) = P(Z = −2) + P(Z = 2) = 1/7 + 3/7

Le variabili aleatorie che assumono un solo valore (con probabilita 1) sono dette certe. Nell’eser-

cizio precedente, Z + 5 e la somma di Z con la v.a. certa pari a 5.

3.2.3 Distribuzione congiunta

Date due v.a. X, Y : Ω → R, possiamo anche interessarci a quali valori (e con quali probabilita)

assume la coppia (X, Y). Se X assume i valori x1, . . . , xN e Y assume i valori y1, . . . , yM, la coppia

(X, Y) assumera i valori (xn, ym) al variare di n = 1, . . . , N e m = 1, . . . , M. Indichiamo con rnm la

probabilita che (X, Y) assuma come valore la coppia (xn, ym), o, equivalentemente, che X = xn e

contemporaneamente Y = ym. In altre parole, poniamo

rnm = P(X = xn, Y = ym), n = 1, . . . , N, m = 1, . . . , M.

In questo contesto, le distribuzioni di X e Y prese singolarmente, ovvero

X ∼ (x1, . . . , xN | p1, . . . , pN)

Y ∼ (y1, . . . , yM | q1, . . . , qM),


sono dette distribuzioni marginali, mentre la distribuzione di (X, Y), ovvero

(X, Y) ∼ ((xn, ym)n,m | (rnm)nm)

e detta distribuzione congiunta (di X e Y). Ovviamente, dovra valere rnm ∈ [0, 1] per ogni n e m e

∑n,m

rnm = 1

Esempio. Sempre considerando le due v.a. degli ultimi due esempi, con x1 = 0, x2 = 100, y1 = 0,

y2 = 150, abbiamo30

r11 = P(X = 0, Y = 0) = P(1, 3) = 2/6

e similmente

r12 = P(5) = 1/6, r21 = P(2, 4) = 2/6 ; r22 = P(6) = 1/6

Possiamo descrivere la distribuzione congiunta anche tramite la seguente tabella

(X, Y) 0 150

0 2/6 1/6

100 2/6 1/6

dove sulla colonna di sinistra riportiamo i valori di X e sulla prima riga i valori di Y.

Si vede subito che, essendo gli eventi X = xn disgiunti ed essendo la loro unione tutto Ω

N

∑n=1

rnm =N

∑n=1

P(X = xn, Y = ym) = P(Y = ym) = qm

eM

∑m=1

rnm =M

∑m=1

P(X = xn, Y = ym) = P(X = xn) = pn.

Le precedenti due relazioni permettono di ricavare le due distribuzioni marginali, data la dis-

tribuzione congiunta.

Esempio. La distribuzione congiunta di X e Y e descritta nella seguente tabella (possiamo notare che

∑n,m rnm = 1)

(X, Y) 0 5 10

3 1/12 5/12 2/12

8 2/12 1/12 1/12

Dalle relazioni precedenti, abbiamo, ad esempio:

p2 = P(X = 8) = r21 + r22 + r23 = 2/12 + 1/12 + 1/12 = 1/3

Possiamo dunque facilmente ricavarci le due distribuzioni marginali (di X sommando sulle righe, di Y

sulle colonne):

X ∼ (3, 8 | 2/3, 1/3)

Y ∼ (0, 5, 10 | 1/4, 1/2, 1/4).

30assumiamo che il dado non sia truccato


E’ importante notare che la conoscenza della distribuzione congiunta e sufficiente per determinare

la due distribuzioni marginali (vedi ultimo esempio), ma il viceversa non e vero. In altre pa-

role, date due distribuzioni marginali, in genere esistono infinite distribuzioni congiunte che sono

compatibili con quelle marginali.

Esempio. Consideriamo il risultato del lancio di due monete (non truccate). I possibili risultati sono

Ω = CC, CT, TC, TT,

dove C sta per Croce e T per Testa. E’ naturale poi porre

P(CC) = P(CT) = P(TC) = P(TT) = 1/4,

visto che le due monete vengono lanciate in modo indipendente. Consideriamo poi le seguenti possibili

vincite

1. 10 Euro se esce Croce nella moneta 1 e nulla altrimenti

2. 10 Euro se esce Testa nella moneta 1 e nulla altrimenti

3. 10 Euro se esce Croce nella moneta 2 e nulla altrimenti

E’ evidente che le tre vincite aleatorie X1, X2 e X3 hanno la stessa distribuzione marginale (0, 10 | 1/2, 1/2).

Quanto alle distribuzioni congiunte abbiamo invece

(X1, X2) 0 10

0 0 1/2

10 1/2 0

(X1, X3) 0 10

0 1/4 1/4

10 1/4 1/4

Con un minimo di riflessione ci si accorge che le distribuzioni congiunte con marginali X, Y ∼ (0, 10 | 1/2, 1/2)

sono tutte e sole quelle del tipo

(X, Y) 0 10

0 p 1/2− p

10 1/2− p p

al variare di p ∈ [0, 1/2]

Possiamo poi notare che per calcolare la distribuzione della somma X +Y di due v.a., e necessario

(e sufficiente) conoscere la distribuzione congiunta e non bastano le due distribuzioni marginali.

Esempio. Rifacendosi alle v.a. dell’ultimo esempio (X1, X2 e X3), dalla tabella delle distribuzioni

congiunte, calcoliamo facilmente

X1 + X2 = 10 (con probabilita 1)

e

X1 + X3 ∼ (0, 10, 20 | 1/4, 1/2, 1/4)

Possiamo notare come la somma ha distribuzioni diverse, pur partendo dalle stesse marginali.


Due v.a. X e Y si dicono indipendenti (e si scrive X ⊥ Y) se

P(X = x, Y = y) = P(X = x) · P(Y = y) ∀x, y

o, in termini di distribuzione congiunta, se

rnm = pn · qm ∀n, m

Grossomodo, esse sono indipendenti se il risultato di una non influenza in alcun modo il risultato

dell’altra: ad esempio, nell’esempio precedente X1 e X3 sono indipendenti (in effetti dipendono

dal lancio di due monete distinte), mentre X1 e X2 non lo sono (dipendono dal lancio della stessa

moneta).

3.2.4 Statistiche di variabili aleatorie

Una statistica di una variabile aleatoria X (meglio, della sua distribuzione) e un numero che ne

riassume alcune caratteristiche. Le due principali statistiche per una variabile aleatoria sono il

valore atteso e la varianza. Richiamiamo le definizioni:

• Il valore atteso (o media) di una v.a. X ∼ (x1, . . . , xN | p1, . . . , pN) e

E[X] =N

∑n=1

pnxn

Il valore atteso e la media, pesata con le probabilita, dei possibili valori assunti dalla v.a.;

esso non e necessariamente un valore che X puo assumere e se anche e cosı, non e detto sia

il valore piu probabile.

Esempio. Il valore atteso di X ∼ (−2, 0, 7 | 1/5, 1/5, 3/5) e

E[X] = −2 · 1/5 + 0 · 1/5 + 7 · 3/5 = 19/5 = 3.8

Valgono le seguenti proprieta (le dimostrazioni mancanti, molto semplici, sono lasciate per

esercizio)

1. E[X + w] = E[X] + w per w ∈ R: la media e detta allora misura di locazione di una

distribuzione. Infatti

E[X + w] = ∑n

pn(xn + w) = ∑n

pnxn + w ∑n

pn = E[X] + w

2. E[aX] = aE[X] per a ∈ R.


3. E[X + Y] = E[X] + E[Y] (indipendentemente dalla distribuzione congiunta di X e Y !)

Infatti, se rnm = P(X = xn, Y = ym) si ha

E[X + Y] =N

∑n=1

M

∑m=1

(xn + ym)rnm

=N

∑n=1

M

∑m=1

xnrnm +N

∑n=1

M

∑m=1

ymrnm

=N

∑n=1

xn

M

∑m=1

rnm +M

∑m=1

ym

N

∑n=1

rnm

=N

∑n=1

xn pn +M

∑m=1

ymqm = E[X] + E[Y].

4. Se X > 0 (ovvero P(X > 0) = 1) allora E[X] > 0 ed inoltre E[X] > 0 a meno che X non

sia la v.a. nulla (costantemente uguale a 0)

• La varianza e definita da

σ2[X] = E[(X−E[X])2] =N

∑n=1

pn(xn −E[X])2

ed e chiaramente una quantita non-negativa. Si puo dunque definire la deviazione standard

come

σ[X] =√

σ2[X]

Usando le proprieta del valore atteso:

σ2[X] = E[(X−E[X])2] = E[X2 − 2XE[X] + E[X]2]

= E[X2]− 2E[X]E[X] + E[X]2,

da cui

σ2[X] = E[X2]−E[X]2

utile espressione alternativa della varianza.

Esempio. La varianza di X ∼ (−2, 0, 7 | 1/5, 1/5, 3/5) e

σ2[X] = E[X2]−E[X]2 = 30.2− 3.82 = 15.76,

essendo E[X2] = 4 · 1/5 + 49 · 3/5 = 30.2; la deviazione standard e

σ[X] =√

15.76 = 3.97

Valgono le seguenti proprieta:

1. σ2[X] (e σ[X]) sono quantita non-negative e sono nulle se e solo se X e una v.a. certa

(vedi ultima proprieta del valore atteso).


2. σ2[X + w] = σ2[X] e σ[X + w] = σ[X] per w ∈ R. Infatti

σ2[X + w] = E[(X + w−E[X + w])2] = E[(X + w−E[X]− w)2]

= E[(X−E[X])2] = σ2[X]

3. σ2[aX] = a2σ2[X] e σ[aX] = |a|σ[X] per a ∈ R. Infatti

σ2[aX] = E[(aX−E[aX])2] = E[(aX− aE[X])2]

= E[a2(X−E[X])2] = a2σ2[X]

Dunque varianza e deviazione standard non sono misure di locazione, ma di disper-

sione. In particolare X e −X hanno la stessa varianza.

Le due principali statistiche della distribuzione congiunta di due variabili aleatorie X e Y sono

la covarianza e l’indice di correlazione:

• La covarianza tra due v.a. X e Y, definite sullo stesso spazio di probabilita, e

cov[X, Y] = E[XY]−E[X]E[Y]

Si verifica subito che cov[X, Y] = E[(X−E[X])(Y−E[Y])]. Valgono le seguenti proprieta

1. Il ruolo di X e Y e simmetrico, ovvero cov[X, Y] = cov[Y, X].

2. La covarianza puo assumere valori positivi o negativi. Nel primo caso significa che

gli scarti dalla media di X tendono ad essere dello stesso segno di quelli di Y: le due

variabili tendono a muoversi nella stessa direzione. Nel secondo caso gli scarti tendono

ad avere segno opposto: le due variabili tendono a muoversi in direzioni opposte. Se

cov[X, Y] = 0 le due v.a. si dicono scorrelate (vediamo sotto il perche di questo nome)

3. Se due variabili sono indipendenti sono scorrelate; se infatti rnm = pnqm si ha

E[XY] = ∑n,m

rnmxnym = ∑n,m

pnqmxnym

= ∑n

∑m(pnxn)(qmym) = ∑

npnxn ·∑

mqmym = E[X]E[Y]

ovvero cov[X, Y] = 0. Il viceversa non e vero, ovvero due variabili possono essere

scorrelate anche se non sono indipendenti (trovare un controesempio per esercizio)

4. E’ immediato verificare che cov[X, X] = σ2[X]. Inoltre si ha cov[aX + b, Y] = acov[X, Y]

per a, b ∈ R (applicare le proprieta dei valori attesi). In particolare cov[−X, Y] =

−cov[X, Y].

5. La covarianza e in un certo senso distributiva, ovvero

cov[X + Y, Z] = E[(X + Y−E[X + Y])(Z−E[Z])]

= E[(X−E[X])(Z−E[Z]) + (Y−E[Y])(Z−E[Z])]

= cov[X, Z] + cov[Y, Z]


6. La covarianza entra nell’espressione della varianza di X + Y

σ2[X + Y] = σ2[X] + σ2[Y] + 2cov[X, Y]

Infatti

σ2[X + Y] = E[(X + Y)2]−E[X + Y]2

= E[X2] + E[Y2] + 2E[XY]− (E[X]2 + E[Y]2 + 2E[X]E[Y])

= (E[X2]−E[X]2) + (E[Y2]−E[Y]2) + 2(E[XY]−E[X]E[Y])

= σ2[X] + σ2[Y] + 2cov[X, Y].

7. valgono le seguenti due disuguaglianze

−σ[X]σ[Y] 6 cov[X, Y] 6 σ[X]σ[Y] (3.33)

Infatti, per ogni a ∈ R si ha

f (a) = σ2[aX + Y] = a2σ2[X] + 2acov[X, Y] + σ2[Y] > 0.

Essendo f una funzione quadratica in a, il suo ∆ dovra essere non positivo:

4cov[X, Y]2 − 4σ2[X]σ2[Y] 6 0,

da cui |cov[X, Y]| 6 σ[X]σ[Y].

• L’indice di correlazione (o semplicemente correlazione) tra due v.a. X e Y (non certe) e

ρ[X, Y] =cov[X, Y]σ[X]σ[Y]

Osserviamo che ρ ha lo stesso segno della covarianza e che si annulla se e solo se X e Y sono

scorrelate (ovvero cov[X, Y] = 0). Inoltre, per via delle disuguaglianze (3.33) si ha

−1 6 ρ[X, Y] 6 1

dunque la correlazione e una versione normalizzata della covarianza. Valgono le seguenti

proprieta

1. si puo dimostrare che

ρ[X, Y] = 1 se e solo se Y = aX + b per a, b ∈ R, a > 0

ρ[X, Y] = −1 se e solo se Y = aX + b per a, b ∈ R, a < 0


2. dalle proprieta di varianze e covarianze si deduce: ρ[X, Y] = ρ[Y, X] e, per a, b ∈ R

ρ[aX + b, Y] =

ρ[X, Y], se a > 0

−ρ[X, Y], se a < 0

Infatti

ρ[aX + b, Y] =cov[aX + b, Y]σ[aX + b]σ[Y]

=acov[X, Y]|a|σ[X]σ[Y]

=a|a|ρ[X, Y]

Esempio. Consideriamo le due variabili X e Y di distribuzione congiunta (la stessa di uno degli

esempi precedenti)

(X, Y) 0 5 10

3 1/12 5/12 2/12

8 2/12 1/12 1/12

Abbiamo gia calcolato

X ∼ (3, 8 | 2/3, 1/3)

Y ∼ (0, 5, 10 | 1/4, 1/2, 1/4),

da cui E[X] = 4.67, E[Y] = 5, σ[X] = 2.36 e σ[Y] = 3.54. La distribuzione del prodotto e

XY ∼ (0, 15, 30, 40, 80 | 1/4, 5/12, 2/12, 1/12, 1/12),

da cui E[XY] = 21.25. Si conclude:

cov[X, Y] = 21.25− 4.67 · 5 = −2.1 e ρ[X, Y] =−2.1

2.36 · 3.54= −0.25

Esempio. Abbiamo visto che le distribuzioni congiunte di marginali X, Y ∼ (0, 10 | 1/2, 1/2) sono

tutte e sole quelle del tipo

(X, Y) 0 10

0 p 1/2− p

10 1/2− p p

al variare di p ∈ [0, 1/2]. Osserviamo che E[X] = E[Y] = 5, σ[X] = σ[Y] = 5 e che E[XY] = 100p,

essendo XY ∼ (0, 100 | 1− p, p). Dunque

cov[X, Y] = 100p− 25 ρ[X, Y] =100p− 25

25= 4p− 1

Possiamo notare che, al variare di p ∈ [0, 1/2], la correlazione assume tutti i valori da −1 a 1

Esempio. Doveste pensare che, fissate le marginali e fissata la correlazione, e determinata anche la

distribuzione congiunta (come accade nell’esempio precedente), ecco un controesempio:

(X1, Y1) -2 0 2

-1 1/6 0 1/3

1 1/6 1/3 0

(X2, Y2) -2 0 2

-1 1/3 0 1/6

1 0 1/3 1/6


Osserviamo che

X1, X2 ∼ (−1, 1 | 1/2, 1/2)

Y1, Y2 ∼ (−2, 0, 2 | 1/3, 1/3, 1/3)

e che E[X1Y1] = E[X2Y2] = −2/3, da cui segue (perche?) che

ρ[X1, Y1] = ρ[X2, Y2].

Tuttavia le due distribuzioni congiunte sono diverse.

3.3 Selezione del portafoglio

3.3.1 Rendimenti

Consideriamo un certo numero N di titoli (p.e. azioni). Siano Sn(0) e Sn(T), per n = 1, . . . , N i

prezzi iniziale e finale (ad un certo orizzonte fissato T, p.e. T = 1 anno). Notare che Sn(0) e noto

oggi, mentre Sn(T) e una v.a. Il rendimento31 (percentuale) del titolo n e la v.a.

Rn =Sn(T)− Sn(0)

Sn(0)

Se abbiamo a disposizione la somma w0 > 0, possiamo specificare la nostra scelta di investimento

tramite un vettore α = (α1, . . . , αN), dove αn ∈ [0, 1] indica la percentuale di w0 investita nel titolo

n. Ovviamente si dovra avereN

∑n=1

αn = 1. (3.34)

Il rendimento del portafoglio cosı ottenuto sara

R(α) =N

∑n=1

αnRn. (3.35)

Infatti, la nostra scelta prevede di investire la somma w0αn nel titolo n: di conseguenza si acqui-

steranno w0αn/sn unita32 del titolo. Quindi il valore finale del portafoglio e

V(α) =N

∑n=1

w0αn

snSn = w0

N

∑n=1

αn(Rn + 1),

da cui (il valore iniziale del portafoglio e w0)

R(α) =V(α)− w0

w0=

N

∑n=1

αn(Rn + 1)− 1 =N

∑n=1

αnRn +N

∑n=1

αn − 1,

31Nella prima parte abbiamo introdotto la quantita

1T

Sn(T)− Sn(0)Sn(0)

e l’abbiamo chiamata tasso annuo di rendimento semplice. Qui non dividiamo per T (che e comunque fissato) e

chiamiamo R rendimento con un leggero abuso di terminologia.32Si ammette, per comodita, che si possano anche comprare quantita frazionarie di azioni


da cui

R(α) =N

∑n=1

αnRn.

Osserviamo che il rendimento del portafoglio non dipende dalla somma investita w0, ma solo dai

pesi α. Possiamo pensare anche che qualcuno degli αn sia negativo (e corrispondentemente, vista

la (3.34), qualche altro sia > 1). Se α1 < 0, significa che stiamo vendendo allo scoperto |α1|w0/s1

unita del titolo 1. Questa operazione, entro certi limiti, e lecita nei mercati finanziari: significa

vendere dei titoli che inizialmente non si possiedono, facendoseli inizialmente prestare da una

terza parte, con l’impegno di acquistarli ad una data fissata T, per renderli al creditore. Vendere

allo scoperto un’unita del titolo 1 significa dunque incassare oggi S1(0) e sborsare in T la somma

S1(T) (per l’acquisto del titolo): il rendimento di quest’operazione e chiaramente −R1, l’opposto

del rendimento del titolo 1. E’ immediato vedere che l’espressione (3.35) vale anche in presenza

di vendite allo scoperto.

Esempio. Sono disponibili due asset di prezzo iniziale S1(0) = 50 e S2(0) = 20. La ricchezza iniziale

w0 = 10000 viene ripartita secondo i pesi (α1, α2) = (30%, 70%): cio significa che vengono acquistati

α1w0/S1(0) = 60 titoli del tipo 1 e α2w0/S2(0) = 350 titoli del tipo 2. Se il valore finale delle azioni

e S1(T) = 50 e S2(T) = 18, il valore finale del portafoglio e V = 60 · 55 + 350 · 18 = 9600. Il

rendimento delle due azioni e, rispettivamente, R1 = 10% e R2 = −10%, mentre il rendimento del

portafoglio e

R =9600− 10000

10000= −4%.

Notare che −4% = α1R1 + α2R2.

Se invece i pesi sono (α1, α2) = (−30%, 130%), cio significa che vengono venduti allo scoperto 60 titoli

del tipo 1 e acquistati 650 titoli del tipo 2. Alla scadenza, il valore del portafoglio e V = −60 · 55 +

650 · 18 = 8400. Il rendimento del portafoglio in questo caso e R = −16%.

3.3.2 Le basi della teoria di Markowitz

Harry Markowitz, economista statunitense (premio Nobel nel 1990), negli anni ’50 sviluppo una

teoria per la selezione dei portafogli di titoli rischiosi. Tale teoria si basa su un paio di semplici

(anche se non del tutto innocenti...) assunzioni e consente di ottenere dei risultati precisi che sono

alla base di una buona parte della Teoria Finanziaria moderna (ad esempio, del modello CAPM).

La teoria di Markowitz e i suoi successivi sviluppi, sono anche alla base delle moderne tecniche

di allocazione del portafoglio. Tale teoria si basa sulle seguenti due assunzioni:

1. Gli investitori si basano, nella loro scelta del portafoglio ottimo, solo sul valore atteso E[R(α)]

(detto rendimento atteso) e sulla deviazione standard σ[R(α)] (detta volatilita) del rendi-

mento.

2. Gli investitori sono avversi al rischio. Diciamo che un individuo e

• avverso al rischio se, per ogni somma aleatoria X (non certa), preferisce E[X] a X (in

simboli, E[X] ≻ X)


• propenso al rischio se, per ogni somma aleatoria X (non certa), preferisce X a E[X] (in

simboli, X ≻ E[X])

L’ipotesi che un individuo sia avverso (o propenso) al rischio, ovvero preferisca sempre E[X]

a X (o il viceversa) e irrealistica: basti pensare ad una persona comune che e avversa al

rischio quando deve investire i propri risparmi o stipulare un’assicurazione ed e propensa

al rischio quando gioca ad una lotteria33. Tuttavia, e del tutto realistico assumere che

• in ambito finanziario e assicurativo gli investitori siano avversi al rischio

• nell’ambito dei giochi e delle lotterie, le scelte siano dettate da propensione al rischio.

3.3.3 Il criterio media-varianza di Markowitz

Diciamo che un portafoglio α domina (in altre parole, e da preferire) un secondo portafoglio β per

il criterio media-varianza se

E[R(α)] > E[R(β)] e σ[R(α)] 6 σ[R(β)]

con almeno una disuguaglianza stretta. Possiamo subito notare che tale criterio di preferenza

traduce perfettamente le due assunzioni della teoria di Markowitz viste nel precedente para-

grafo. Diciamo poi che un portafoglio e efficiente (all’interno di quelli costruibili), secondo il

criterio media-varianza, se non e dominato da nessun altro portafoglio. Altrimenti, diciamo che il

portafoglio e inefficiente.

Markowitz allora propone di eliminare fin dall’inizio i portafogli inefficienti e di restringere la

scelta solo nell’insieme di quelli efficienti (tale insieme e detto anche frontiera efficiente).

3.3.4 Un titolo rischioso e uno non-rischioso

Consideriamo per primo il caso in cui siano disponibili:

• un asset rischioso (p.e. un’azione) con rendimento aleatorio R1 di valore atteso r1 = E[R1] e

volatilita σ1 = σ[R1] > 0

• un asset non rischioso (p.e. un’obbligazione) con rendimento certo r0. Assumiamo r0 < r1,

cosa che si osserva generalmente (ma non sempre) nella realta dei mercati.

Il rendimento del portafoglio (1− α, α) (α e la parte investita nel titolo rischioso) e

R(α) = (1− α)r0 + αR1;

Il suo valore atteso e

r(α) = E[R(α)] = (1− α)r0 + αr1 = (r1 − r0)α + r0,

33Nei giochi a premi come lotterie, Lotto, ecc. il premio atteso e (anche di molto) inferiore al costo della giocata. Chi

gioca preferisce rischiare piuttosto che tenersi i soldi della giocata ed e pertanto propenso al rischio


la sua varianza e deviazione standard sono

σ2(α) = α2σ21 σ(α) = |α|σ1.

Per α = 0 abbiamo (σ, r) = (0, r0) = A, per α = 1 e (σ, r) = (σ1, r1) = B. E’ facile vedere che

l’insieme dei punti (σ(α), r(α)), al variare di α in R e l’unione di due semirette (vedi Figura 1 per

un esempio grafico):

1. la semiretta che parte da A e passa per B di equazione

r =r1 − r0

σ1σ + r0, σ > 0

o equivalentemente

σ =σ1

r1 − r0(r− r0) r > r0

Essa corrisponde agli α > 0 ed e detta Capital Market Line (CML). I valori α > 1 si trovano

nella parte oltre B, e corrispondono a 1− α < 0, ovvero a contrarre un prestito pari a w0(1−α) al tasso (passivo) r0.

2. la semiretta che parte da A e di equazione

r = − r1 − r0

σ1σ + r0, σ > 0

ovvero di pendenza opposta a quella della CML. Equivalentemente

σ = − σ1

r1 − r0(r− r0) r 6 r0

E’ immediato constatare che la prima semiretta e la frontiera efficiente, mentre la seconda e for-

mata da tutti i portafogli inefficienti. In effetti, un portafoglio ne domina un altro se, nel piano

(σ, r), il punto corrispondente al primo si trova in alto a sinistra rispetto al punto corrispondente

al secondo. Dunque, la frontiera efficiente e formata dai punti della frontiera dei portafogli, in

altro-sinistra dei quali non troviamo altri portafogli.

Esempio. Con i dati r0 = 5%, r1 = 10% e σ1 = 0.15, la frontiera efficiente (risp. inefficiente) ha

equazione

r = σ/3 + 0.15, σ > 0

(risp. r = −σ/3 + 0.15, σ > 0). Vedi figura 3.3.4.

3.3.5 Due asset rischiosi

Consideriamo il caso in cui siano presenti 2 asset rischiosi (p.e. due azioni):

1. Il primo titolo ha rendimento aleatorio R1, con rendimento atteso r1 = E[R1] e volatilita

σ1 = σ[R1] > 0


0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Figura 3.8: Frontiera efficiente (linea continua) e inefficiente (tratteggiata) per r0 = 5%, r1 = 10%

e σ = 0.15. Il cerchio e il quadrato corrispondono all’asset non rischioso e a quello rischioso,

rispettivamente.

2. Il secondo titolo ha rendimento aleatorio R2 con rendimento atteso r2 = E[R2] e volatilita

σ2 = σ[R2] > 0

3. I due titoli hanno coefficiente di correlazione pari a ρ ∈ [−1, 1]

Se l’orizzonte temporale e un mese, valori tipici che si possono riscontrare nei mercati azionari

sono r. Assumiamo, senza perdere in generalita, che il primo asset sia il meno rischioso, ovvero

che

σ1 < σ2

Abbiamo a questo punto due situazioni possibili:

• se r1 < r2 allora nessuno dei due asset domina l’altro

• se invece r1 > r2, il primo asset34 domina il secondo

Dato un portafoglio (α, 1 − α) (questa volta α e la frazione investita nella prima azione), il suo

rendimento e R(α) = αR1 + (1− α)R2 e dunque

• il rendimento atteso e

r(α) = αr1 + (1− α)r2 = (r1 − r2)α + r2

34meglio: il portafoglio in cui si investe tutto nel primo asset


• la volatilita e σ(α) =√

σ2[R(α)], dove la varianza e data da

σ2(α) = α2σ21 + (1− α)2σ2

2 + 2α(1− α)ρσ1σ2 (3.36)

= γ2α2 + γ1α + γ0, (3.37)

con

γ2 = σ21 + σ2

2 − 2ρσ1σ2

γ1 = 2(ρσ1σ2 − σ22 )

γ0 = σ22 .

Affronteremo ora tre problemi, che si pongono in maniera naturale:

1. Qual e il portafoglio meno rischioso, ovvero quello per cui che la volatilita piu piccola? Se

l’investitore e avverso al rischio nel modo piu assoluto, non prendera nemmeno in con-

siderazione il rendimento atteso, ma cerchera semplicemente di minimizzare la volatilita.

Vedremo che tale problema avra una soluzione ben precisa (chiamata MVP o Minimum

Variance Portfolio). Al contrario, l’altro problema estremo, ovvero quello di massimizzare il

rendimento atteso (l’investitore in questo caso non e minimamente avverso al rischio, anzi,

si dice che e neutrale al rischio) e invece banale: bisogna investire il piu possibile nell’asset

con rendimento atteso maggiore. Se le vendite allo scoperto sono ammesse, e evidente che

non esiste alcuna soluzione (il peso ottimo va a +∞ o −∞)

2. Che forma ha, nel piano (σ, r), la frontiera dei portafogli, ovvero la curva formata dai punti

(σ(α), r(α)) al variare di α ∈ R? In particolare, quale parte di questa curva e la frontiera

efficiente?

3. Se un investitore ha un certo grado di avversione al rischio, quale portafoglio scegliera sulla

frontiera efficiente?

Portafoglio a varianza minima

Osserviamo subito che, essendo ρ 6 1, si ha γ2 > (σ1 − σ2)2 > 0. Quindi la funzione (quadratica)

f (α) = σ2(α) e strettamente convessa, dunque un suo punto stazionario e un minimo (globale). Si

ha

f ′(α) = 2γ2α + γ1 = 0 se e solo se α = − γ1

2γ2.

Dunque il portafoglio a varianza minima (Minimum Variance Portfolio o MVP) e (α∗, 1 − α∗),

dove

α∗ =σ2

2 − ρσ1σ2

σ21 + σ2

2 − 2ρσ1σ2

Alcune osservazioni:


• Innanzitutto, notiamo che il MVP non consiste nell’investire tutto nell’asset meno rischioso,

come verrebbe spontaneo di pensare: si puo fare meglio investendo in un mix dei due as-

set. Ovviamente tale mix dipendera dalla correlazione che esiste tra i due titoli. Questo

risultato, semplice, ma cruciale, sottolinea l’importanza della diversificazione nelle scelte di

portafoglio.

• Osserviamo poi che, essendo γ2 > 0 e σ22 > ρσ1σ2 (da ρ 6 1, σ1 < σ2), si ha

α∗ > 0

ovvero il MVP non prevede mai di vendere allo scoperto l’asset meno rischioso, il che e

molto intuitivo. Invece, un facile conto mostra che

α∗ > 1 se e solo se ρ > σ1/σ2;

in altre parole, il MVP prevede di vendere allo scoperto l’asset piu rischioso se la correlazione

e sufficientemente alta (osservare che σ1/σ2 ∈ (0, 1))

• se ρ = 1 abbiamo

σ2(α) = α2σ21 + (1− α)2σ2

2 + 2α(1− α)σ1σ2 = (ασ1 + (1− α)σ2)2

e

α∗ =σ2

σ2 − σ1

Si vede subito che σ(α∗) = 0, dunque e possibile creare un portafoglio a volatilita nulla,

ovvero con rendimento certo. Inoltre, si vede subito che α∗ > 1 e dunque il MVP prevede di

vendere allo scoperto l’asset piu rischioso.

Esempio. Se r1 = 0.05, r2 = 0.1, σ1 = 0.15, σ2 = 0.25 e ρ = 1, abbiamo

α∗ =0.25

0.25− 0.15= 250%

e dunque il MVP e (250%,−150%): esso prevede di vendere allo scoperto il secondo asset (quello

piu rischioso). Si ricava subito

r(α∗) = (0.05− 0.1)α∗ + 0.1 = −2.50%

mentre e ovviamente σ(α∗) = 0.

• Se ρ = −1 abbiamo

σ2(α) = (ασ1 − (1− α)σ2)2

e

α∗ =σ2

σ2 + σ1

Anche ora σ(α∗) = 0; questa volta, tuttavia, si ha sempre α∗ ∈ (0, 1): di conseguenza in

questo caso il MVP non prevede vendite allo scoperto.


Esempio. Con gli stessi dati dell’esercizio precedente, ma con ρ = −1, il MVP e (62.5%, 37.5%),

con r(α∗) = 6.87% (e σ(α∗) = 0)

• Se ρ = ±1 si ha sempre σ(α∗) > 0 e dunque anche il MVP sara rischioso (anche se il meno

rischioso di tutti). Infatti, essendo la funzione σ2(α) quadratica, basta osservare che γ2 > 0

e che il discriminante e strettamente negativo:

∆ = γ21 − 4γ0γ2 = 4(ρσ1σ2 − σ2

2 )2 − 4σ2

2 (σ21 + σ2

2 − 2ρσ1σ2)

= 4σ21 σ2

2 (ρ2 − 1) < 0

(ricordarsi che ρ2 < 1 se ρ = ±1).

Esempio. Sempre stessi dati, ma con vari valori di ρ otteniamo i seguenti valori (rifare i conti per

esercizio)

ρ MVP σ(α∗) r(α∗)

−0.9 (63.1%, 36.9%) 4.19% 6.84%

−0.5 (66.3%, 33.7%) 9.28% 6.68%

0 (73.5%, 26.5%) 12.86% 6.32%

0.5 (92.11%, 7.89%) 14.90% 5.39%

0.9 (164.3%,−64.3%) 12.36% 1.79%

Per potersi fare un’idea intuitiva sulle possibili posizioni del MVP, nei due grafici seguenti ne

vengono riportate alcune per vari valori di ρ, nei due casi r1 < r2 e r1 > r2

Frontiera dei portafogli

Vogliamo ora determinare la forma della frontiera dei portafogli nel piano (σ, r). Innanzitutto

osserviamo che necessariamente tale curva dovra passare per i tre seguenti punti

A1 = (σ(1), r(1)) = (σ1, r1)

A2 = (σ(0), r(0)) = (σ2, r2)

A∗ = (σ(α∗), r(α∗))

Vediamo i tre casi separatamente:

• Se ρ = 1 l’insieme dei portafogli e dato daσ(α) = |(σ1 − σ2)α + σ2|

r(α) = (r1 − r2)α + r2

Si puo vedere che tale luogo e l’unione di due semirette uscenti dal punto A∗ (che si trova

sull’asse delle ordinate in quanto σ(α∗) = 0):

1. una passa per i punti A1 e A2 (in effetti in questo caso i tre punti A1, A2 e A∗ sono

necessariamente allineati)


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

(a) r1 < r2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

(b) r1 > r2

Figura 3.9: Posizione del MVP (simbolo ∗) nel piano (σ, r) al variare di ρ da −1 (simbolo ) a 1 (simbolo ).

Andando verso l’alto nel primo grafico (risp. verso il basso nel secondo) il valore di ρ cresce (di passo 0.1). Sono

riportati anche il titolo 1 (cerchio) e il titolo 2 (quadrato).


2. l’altra ha coefficiente angolare opposto alla prima.

La frontiera efficiente e ovviamente data dalla semiretta che ha pendenza positiva, mentre

la semiretta con pendenza negativa e formata da portafogli inefficienti. Dunque, se r1 < r2

(e allora A2 sta in alto a destra di A1), la frontiera efficiente e la prima semiretta, mentre se

invece r1 > r2 (e allora A2 sta in alto a sinistra di A1), la frontiera efficiente e la seconda

semiretta. Nella figura seguente sono riportate le frontiere relative ai due

• Se ρ = 1 l’insieme dei portafogli e dato daσ(α) = |(σ1 − σ2)α + σ2|

r(α) = (r1 − r2)α + r2

• se ρ = ±1, ricavando α dall’espressione di r(α) si ha (assumiamo r1 = r2)

α =r− r2

r1 − r2, r = r(α)

e sostituendo nell’espressione per σ(α) si ottiene

σ2(α) = γ2

(r− r2

r1 − r2

)2

+ γ1r− r2

r1 − r2+ γ0

= δ2r2 + δ1r + δ0,

per opportune costanti (rispetto a r) che non calcoliamo. Tale curva35 e un ramo di iperbole

nel piano (σ, r) (con σ > 0). Essa ha asintoti obliqui (e di pendenza uno l’opposto dell’altra)

ed ha vertice nel punto A∗ = (σ(α∗), r(α∗)).

La frontiera efficiente corrisponde al pezzo del ramo di iperbole che sta sopra il punto A∗,

ovvero per cui r > r∗. E’ immediato infatti vedere che tali punti sono esattamente quelli che

non hanno nulla in alto-sinistra. Vedi figure 3.3.5 e 3.3.5.

Possiamo notare che in ogni caso (anche nel problema del paragrafo precedente):

• Fissato un valore per il rendimento atteso r, esiste un unico portafoglio α tale che r(α) = r

• Fissato un valore per la volatilita σ (maggiore di quella del MVP), esistono due portafogli

che hanno σ come volatilita, uno efficiente e l’altro inefficiente.

Scelta del portafoglio ottimo

Se l’investitore e avverso al rischio, potra scegliere il suo portafoglio cercando di risolvere, per una

costante fissata λ > 0, il seguente problema36

maxα

r(α)− λσ2(α) (3.38)

35Nel piano (σ, r), una curva di equazione σ2 = ar2 + br + c e un’iperbole se a > 0; si puo dimostrare che nel nostro

caso si ha sempre δ2 > 036E’ anche possibile usare la volatilita σ(α) invece della varianza nel problema che segue. La struttura delle soluzioni

rimane simile, anche se i conti si complicano un po’ (la funzione da massimizzare non e piu quadratica)


0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

Figura 3.10: Frontiere efficienti (linee continue) e inefficienti (tratteggiate), nel piano (σ, r), per 2

asset rischiosi con r1 = 5%, r2 = 10%, σ1 = 0.15, σ2 = 0.25 e alcuni valori di ρ. Frontiere efficienti

da sx a dx (nella zona centrale): ρ = −1, 0, 0.5, 0.8, 1.

La costante λ > 0 fa sı che il rendimento atteso venga piu o meno penalizzato dalla varianza del

portafoglio, traducendo dunque il grado di avversione al rischio dell’investitore37. Il caso limite

λ = 0 corrisponde ad un investitore neutrale al rischio e dunque interessato al solo rendimento

atteso, mentre l’altro caso limite λ → ∞ corrisponde ad un investitore totalmente avverso al

rischio che andra semplicemente a minimizzare la varianza (ottenendo il MVP). Il problema (3.38)

e semplice, in quanto la funzione da massimizzare e quadratica in α:

g(α) = r(α)− λσ2(α) = (r1 − r2)α + r2 − λ(γ2α2 + γ1α + γ0)

= −λγ2α2 + (r1 − r2 − λγ1)α + r2 − λγ0

dove le costanti γ2, γ1 e γ0 sono state calcolate in precedenza. Essendo γ2 > 0 e dunque−λγ2 < 0,

la funzione da massimizzare e concava. Di conseguenza il portafoglio ottimo e dato da

αott =r1 − r2 − λγ1

2λγ2

Possiamo osservare come αott → α∗ = −γ1/2γ2 se λ→ 0, mentre se λ→ ∞, αott → +∞ se r1 > r2,

αott → −∞ se invece r1 < r2. Inoltre, possiamo osservare come il portafoglio ottimo trovato sia

necessariamente efficiente. Se cosı non fosse esisterebbe un altro portafoglio α tale che

r(αott) 6 r(α) σ2(αott) > α2(α),

37e infatti e talvolta chiamato coefficiente di avversione al rischio dell’investitore


0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

Figura 3.11: Frontiere efficienti (linee continue) e inefficienti (tratteggiate), nel piano (σ, r), per 2

asset rischiosi con r1 = 10%, r2 = 5%, σ1 = 0.15, σ2 = 0.25 e alcuni valori di ρ. Frontiere efficienti

da sx a dx (nella zona centrale): ρ = −1, 0, 0.5, 0.8, 1. Per ρ = 1 e rappresentata solo una parte

della frontiera inefficiente: la frontiera efficiente si trova in alto, fuori quadro.

con almeno una disuguaglianza stretta; ma allora si avrebbe

r(α)− λσ2(α) > r(αott)− λσ2(αott),

in contraddizione con l’ottimalita di αott. In effetti, e possibile dimostrare che, al variare di λ > 0 si

ottiene l’intera frontiera efficiente (tranne il MVP che, come abbiamo visto, corrisponde a λ→ ∞).

Questo risultato e molto significativo: ogni punto sulla frontiera efficiente e il portafoglio ottimo

per un investitore caratterizzato da un opportuno grado di avversione al rischio.

Se poi consideriamo il problema (3.38) con il vincolo α ∈ [0, 1], ovvero sono proibite vendite

allo scoperto, il portafoglio ottimo sara dato da (perche?)

• αott se αott ∈ [0, 1] (ovvero rispetta il vincolo)

• 0 se αott < 0

• 1 se αott > 1

Esempio. Con i soliti dati (r1 = 5%, r2 = 10%, σ1 = 0.15 e σ2 = 0.25) e assumendo ρ = 0.8, il

portafoglio ottimo αott associato alla costante λ e soluzione di

maxα−0.025λα2 + (0.05 + 0.065λ)α + 0.1− 0.0625λ,


ovvero

αott =r1 − r2 − λγ1

2λγ2=

0.05 + 0.065λ

0.05λ

La tabella seguente mostra la soluzione per alcuni valori di λ

λ port. ottimo σ(αott) r(αott)

0.5 (−70%, 170%) 34.7% 13.5%

1 (30%, 70%) 21.3% 8.5%

2 (80%, 20%) 16.3% 6%

5 (110%,−10%) 14.6% 4.5%

Si nota come al crescere di λ, ovvero del grado di avversione al rischio, il portafoglio si faccia via via

meno rischioso (con conseguente diminuzione anche del rendimento atteso). Il grafico seguente mostra

la posizione dei portafogli della tabella sulla frontiera efficiente (abbiamo visto che ogni portafoglio ottimo

e efficiente)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Figura 3.12: Portafogli ottimi (triangoli) corrispondenti a λ = 0.5, 1, 2, 5 (da dx a sx sulla frontiera

efficiente). Sono riportati anche il titolo 1 (cerchio) e il titolo 2 (quadrato).


Esercizi - Parte 3

Esercizi

1. In una scatola ci sono 4 palline numerate con 1, 2, 3 e 4. Ne vengono estratte 2 a caso. Qual e la

distribuzione della v.a. X, somma dei numeri estratti? Calcolarne valore atteso, varianza e deviazione

standard.

2. In una scatola ci sono 20 palline, di cui N (= 0, . . . , 20) con il numero 20 e il resto con il numero 0.

Ne viene estratta una a caso e sia X il numero estratto. Per quali valori di N la deviazione standard

di X e minore di 8?

3. Ricavare la covarianza e il coefficiente di correlazione delle seguenti coppie di v.a.

(a) X e Y di distribuzione congiunta data dalla seguente tabella

(X, Y) 2 4

-1 0.1 0.3

0 0.2 0.1

1 0.1 0.2

(b) X e X3, dove X ∼ (0, 1, 2 | 1/2, 1/3, 1/6)

(c) X corrisponde alla vincita di 1 Euro se esce un numero pari al lancio di un dado, Y alla vincita

di 2 Euro se esce 1, 2, 3 nel lancio dello stesso dado

4. Si sa che X ∼ (0, 2 | 1/4, 3/4) e Y ∼ (−1, 0, 1 | 1/3, 1/6, 1/6). Determinare quali sono i possibili

valori di a = r11 = P(X = 0, Y = −1) e b = r12 = P(X = 0, Y = 0) e, successivamente,

determinare la distribuzione congiunta di X e Y in dipendenza da a e b.

5. Si estrae un numero intero a caso X tra 2 e 21 (estremi inclusi) e siano X1, X2 e X3 le variabili aleatorie

che corrispondono alla vincita di 1 Euro se X e un numero pari, dispari, primo (rispettivamente).

Determinare le covarianze e le correlazioni tra le tre possibili coppie di variabili distinte.

6. Sono disponibili un asset non-rischioso di rendimento certo r0 = 3% e un asset rischioso di rendimen-

to atteso r1 = 7% e volatilita σ1 = 15%. Scrivere l’equazione della frontiera dei portafogli e tracciarla

nel piano (σ, r), evidenziando quelli efficienti. Quali punti corrispondono a portafogli senza vendite

allo scoperto? Infine, determinare la composizione del portafoglio che ha rendimento atteso 8% e di

quello efficiente che ha volatilita 10% e riportarli graficamente sulla frontiera.

7. Con riferimento ai dati dell’esercizio precedente, trovare la composizione del portafoglio ottimo (αott, 1−αott), ovvero del portafoglio che massimizza r− λσ2, quando il coefficiente di avversione al rischio e

λ = 3. Che cosa cambia se non sono ammesse vendite allo scoperto?

8. Sono disponibili 2 asset rischiosi di rendimenti attesi r1 = 5% e r2 = 8% e volatilita σ1 = 20% e

σ2 = 35%.


(a) Tracciare l’insieme dei portafogli, evidenziando la frontiera efficiente, per ρ = −1, 0, 0.8, 1 (in

un unico grafico). Indicare quali portafogli non prevedono vendite allo scoperto.

(b) Se ρ = 0.5, determinare la composizione del portafoglio a varianza minima e del portafoglio che

ha rendimento atteso doppio rispetto a quello a varianza minima

(c) Sia ρ = 0.8. Il portafoglio ottimo (ovvero quello che massimizza r − λσ2) per un investitore

con coefficiente di avversione al rischio λ ha rendimento atteso 7%. Qual e il rendimento atteso

del portafoglio di un investitore con avversione al rischio 2λ?

Soluzioni

1. Ci sono sei possibili coppie estratte, tutte evidentemente equiprobabili e dunque di proba-

bilita 1/6. I possibili valori della somma sono 3 (= 1 + 2), 4 (= 1 + 3), 5 (= 1 + 4 = 2 + 3),

6 (= 2 + 4) e infine 7 (= 3 + 4). Pertanto la distribuzione di X e (notare che 5 corrisponde a

due coppie)

X ∼ (3, 4, 5, 6, 7 | 1/6, 1/6, 1/3, 1/6, 1/6)

Il valore atteso e

E[X] = 3 · 1/6 + 4 · 1/6 + 5 · 1/3 + 6 · 1/6 + 7 · 1/6 = 5,

la varianza e la deviazione standard sono

σ2[X] = E[X2]−E[X]2 = 80/3− 25 = 5/3, σ[X] =√

5/3 = 1.29.

2. Essendo X ∼ (0, 20 | 1− N/20, N/20), la varianza e

σ2[X] = E[X2]−E[X]2 = 400 · N20−(

20 · N20

)2

= 20N − N2

Dunque si ha σ2[X] < 82 = 64 se e solo se

20N − N2 < 64

ovvero se e solo se N2 − 20N + 64 > 0. Si ha x2 − 20x + 64 > 0 se e solo se x < 4 o x > 16.

Ricordando che N deve essere intero, i valori di N cercati sono N = 0, 1, 2, 3, 17, 18, 19, 20.

3. (a) Essendo

X ∼ (−1, 0, 1 | 0.4, 0.3, 0.3)

Y ∼ (2, 4 | 0.4, 0.6)

XY ∼ (−4,−2, 0, 2, 4 | 0.3, 0.1, 0.3, 0.1, 0.2),

si ha E[X] = −0.1, E[Y] = 3.2, σ[X] = 0.83, σ[Y] = 0.98 e E[XY] = −0.4. Dunque

cov[X, Y] = E[XY]−E[X]E[Y] = −0.08 ρ[X, Y] =cov[X, Y]σ[X]σ[Y]

= −0.098


(b) Si ha X3 ∼ (0, 1, 8 | 1/2, 1/3, 1/6) e

X · X3 = X4 ∼ (0, 1, 16 | 1/2, 1/3, 1/6)

Si ottiene cov[X, X3] = E[X4]−E[X]E[X3] = 1.89 e ρ[X, X3] = 0.801

(c) Abbiamo X = (0, 1 | 1/2, 1/2), Y = (0, 2 | 1/2, 1/2) e XY = (0, 2 | 5/6, 1/6). Dunque

cov[X, Y] = 1/3− 1/2 = −1/6 e, essendo σ[X] = 1/2 e σ[Y] = 1, ρ[X, Y] = −1/3.

4. Dovendo essere r11 6 p1, q1, r12 6 p1, q2 e r11 + r12 6 p1 si ottiene

0 6 a 6 1/4, 0 6 b 6 1/6, a + b 6 1/4.

La distribuzione congiunta e

(X, Y) −1 0 1

0 a b 1/4− a− b

2 1/3− a 1/6− b a + b− 1/4

5. Ci sono 8 numeri primi tra 2 e 21 e solo uno e pari (2). Abbiamo dunque X1X2 = 0, X1X3 =

(0, 1 | 19/20, 1/20) e X2X3 = (0, 1 | 13/20, 7/20); inoltre E[X1] = E[X2] = 1/2 e E[X3] =

8/20 e, essendo X2n = Xn (n = 1, 2, 3), σ2[Xn] = E[Xn] − (E[Xn])2. Dunque le covarianze

sono

cov[X1, X2] = −0.25, cov[X1, X3] = −0.15, cov[X2, X3] = 0.15,

e le correlazioni

cov[X1, X2] = −1, cov[X1, X3] = −0.612, ρ[X2, X3] = 0.612

6. L’equazione della frontiera efficiente e

r =r1 − r0

σ1σ + r0 = 0.267σ + 0.03, σ > 0,

mentre la frontiera inefficiente ha equazione

r = −0.267σ + 0.03, σ > 0.

Da r(α) = (r1 − r0)α + r0 = 8% otteniamo

α =8%− r0

r1 − r0= 1.25;

dunque il portafoglio con rendimento atteso 8% e (125%,−25%). Per i portafogli efficienti

la volatilita e σ(α) = ασ1. Dunque la volatilita e 10% se α = 10%/σ1 = 0.8 e il portafoglio

cercato e (80%, 20%). Vedi figura nella pagina seguente.


0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Figura 1.13: Frontiera efficiente (linea continua) e inefficiente (tratteggiata). Cerchio: asset non-

rischioso, quadrato: asset rischioso, stella: portafoglio con rendimento atteso 8%, triangolo:

portafoglio con volatilita 10%

7. Il portafoglio ottimo e soluzione del problema

maxα

(r1 − r0)α + r0 − λα2σ21 ;

si ottiene subito

αott = −r1 − r0

−2λσ21= 29.63%

e il portafoglio cercato e (29.63%, 71.37%). Se non sono ammesse vendite allo scoperto non

cambia nulla, in quanto il portafoglio trovato gia rispetta tale vincolo.

8. (a) Per ρ = −1 il MVP e

α∗ =σ2

σ1 + σ2= 63.64%

il quale ha rendimento atteso r(α∗) = (r1 − r2)α∗ + r2 = 6.09% e ovviamente volatilita

nulla. Se ρ = 1 il MVP e

α∗ =σ2

σ2 − σ1= 233%

che ha rendimento atteso 1% e volatilita nulla. Se ρ = 0 il MVP e

α∗ =σ2

2 − ρσ1σ2

σ21 + σ2

2 − 2ρσ1σ2= 75.38%

che ha rendimento atteso 5.74% e volatilita 17.36%. Infine, se ρ = 0.8 il MVP e 131.68%

con rendimento atteso 4.05% e volatilita 18.69%. Vedi figura nella pagina seguente.


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Figura 1.14: Frontiere efficienti (linee continue) e inefficienti (tratteggiate). Da sx a dx (nella zona

centrale): ρ = −1, 0, 0.8, 1. Cerchio: asset 1, quadrato: asset 2, triangoli: MVP. I portafogli senza

vendite allo scoperto sono quelli con rendimento atteso compreso tra 5% e 8%

(b) Se ρ = 0.5 il MVP e α∗ = 94.59% che ha rendimento atteso pari a 5.16%. Il portafoglio

con rendimento atteso doppio risolve

(r1 − r2)α + r2 = 2 · 5.16%,

da cui

α =10.32%− r2

r1 − r2= −77.33%

(c) Sappiamo38 che il portafoglio ottimo e dato da

αott =r1 − r2 − 2λ(ρσ1σ2 − σ2

2 )

2λ(σ21 + σ2

2 − 2ρσ1σ2)=−0.030 + 0.133λ

0.045λ

Inoltre, sappiamo che il portafoglio di rendimento atteso 7% e

α =7%− r2

r1 − r2= 1/3.

Risolvendo−0.030 + 0.133λ

0.045λ=

13

si ottiene il coefficiente di avversione al rischio λ = 0.254. Il portafoglio ottimo per un

investitore di avversione 2λ = 0.508 e αott = 164.32%, che ha rendimento atteso 3.07%.

38Non e necessario ricordarsi questa formula: l’importante e sapersela ricavare massimizzando r− λσ2

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