Appunti Di Storia Della Matematica

8/17/2019 Appunti Di Storia Della Matematica

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LICEO CLASSICO “F. SCADUTO” – BAGHERIA

APPUNTI DI STORIA DELLA MATEMATICA

A CURA DEL PROF. CIRO SCIANNA

LA MATEMATICA ANTICA :

DAI BABILONESI AGLI EGIZIANI.

LA MATEMATICA GRECA CLASSICA.


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IndiceIndiceIndiceIndice

LLLLa matematica antica: dai babilonesi agli egiziania matematica antica: dai babilonesi agli egiziania matematica antica: dai babilonesi agli egiziania matematica antica: dai babilonesi agli egiziani

1. Quando nasce la matematica? p. 3

2. Storia e preistoria della matematica p. 5

3.

La storia politica della Mesopotamia p.7


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11. La matematica egizia e le s$e %onti p.17

1. Le applicazioni egiziane della matematica p.18

13. La matematica dell’antichit&: l’eredit& com$ne p.0

•••• 'esti cons$ltati p.

La creazione della matematica greca classicaLa creazione della matematica greca classicaLa creazione della matematica greca classicaLa creazione della matematica greca classica

1.

Lo s%ondo p.3

. Le %onti generali p.!


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5

3. Le principali sc$ole del periodo classico p.!

!. La sc$ola ionica p.5

5. La sc$ola pitagorica p.6

6. La sc$ola eleatica e la sc$ola atomista p.(

7. La sc$ola so%istica p.31

8.

La sc$ola platonica p.3!

(. La sc$ola di #$dosso p.36


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6

10. L’astronomia e$dossiana p.38

11. La sc$ola aristotelica p.!0

La matematica greca ellenisticaLa matematica greca ellenisticaLa matematica greca ellenisticaLa matematica greca ellenistica

1. Il periodo a$reo della matematica greca p.!3

•••• 'esti cons$ltati p.!5

LA MATEMATICA ANTICA: DAI BABILONESI AGLI EGIZIANI

1. Quando nasce la matematica?

La matematica, se intesa come disciplina organizzata e indipendente, non esisteva prima dell’entrata

in scena dei Greci del periodo classico compreso fra il 600 e il 300 a.C.; se intesa invece

genericamente come l’impiego di numeri e figure geometriche, essa cominciò a svilupparsi migliaia

di anni prima dell’opera compiuta dai greci dell’età classica. In senso lato, il termine matematica

include il contributo di molte civiltà anteriori, tra le quali il posto più importante spetta a quellababilonese e a quella egiziana. Presso tutte queste civiltà, la matematica non possedeva una propria


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metodologia e non era impiegata se non per fini immediatamente pratici. Essa era uno strumento,

una serie di regole semplici e tra loro non collegate che permetteva di superare i problemi della vita

di tutti i giorni: il computo del calendario, l’agricoltura, il commercio. A queste regole si giunse per

tentativi ed errori, attraverso l’esperienza e la semplice osservazione; per di più molte di esse erano

solo approssimativamente corrette. Potremmo caratterizzare la matematica di queste civiltà antiche

definendola una matematica empirica. La matematica empirica dei babilonesi e degli egiziani servì

solo come base preliminare all’opera dei greci.

Benché la cultura greca non fosse del tutto libera da influenze esterne (i greci colti viaggiavano e

studiavano in Egitto e in Babilonia), ciò che i greci crearono è tanto diverso da quello che

ereditarono quanto l’oro dall’orpello.

Perché avvenne questo ? Fu l’irreprimibile desiderio dei Greci di comprendere il mondo fisico che

li spinse a creare e ad apprezzare la matematica. Essa era una parte dell’investigazione della natura

e costituiva la chiave per la comprensione dell’universo in quanto le leggi matematiche sono

l’essenza della sua organizzazione. La matematica era, per i Greci, lo strumento per scoprire la

verità. Come tale, essi non potevano più basarsi sui risultati rozzi, empirici, limitati, confusi e

spesso approssimativi che erano stati raccolti dai loro predecessori, specialmente dagli egiziani e dai

babilonesi.

Ogni civiltà degna di questo nome ha ricercato la verità. L’uomo intelligente non può fare a meno di

cercare di capire la molteplicità dei fenomeni naturali, di risolvere il mistero della presenza

dell’uomo sulla terra, di comprendere lo scopo della vita e di interrogarsi sul destino umano. In tutte

le civiltà antiche erano i capi religiosi a rispondere a questi interrogativi, e tutti accettavano le loro

parole; l’unica eccezione è costituita dall’antica civiltà greca. I greci scoprirono, e questa fu la più

grande scoperta compiuta dall’uomo, il potere della ragione. Furono i greci dell’età classica a

rendersi conto che l’uomo è dotato di un’intelligenza, di una mente che, talvolta aiutata

dall’osservazione e dalla sperimentazione, può scoprire la verità.

Non è ancora chiaro che cosa condusse i greci a questa scoperta. Fu nella Ionia, una colonia grecadell’Asia Minore, che per la prima volta alcuni uomini cominciarono ad applicare la ragione in

ambito umano. Molti storici hanno cercato di spiegare questo processo analizzando le condizioni

politiche e sociali: per esempio gli ionici erano molto meno condizionati da quei vincoli religiosi

che invece dominavano la cultura greca in Europa. In ogni caso abbiamo una conoscenza tanto

frammentaria della storia greca anteriore al 600 a.C. da non poter giungere ad una spiegazione

definitiva.

Col passar del tempo i greci indagarono con strumenti razionali i sistemi politici, l’etica, lagiustizia, l’istruzione e numerosa altre attività umane. Il loro contributo principale che influenzerà


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in maniera decisiva tutte le civiltà posteriori, fu di accettare la più grande sfida lanciata alla ragione:

la comprensione delle leggi naturali. Prima di dare questo contributo, sia i greci sia le altre civiltà

antiche consideravano la natura qualcosa di caotico, d’incostante e di terrificante. Gli eventi naturali

o non venivano spiegati oppure erano attribuiti alla volontà arbitraria degli dei che poteva essere

resa propizia solo con preghiere, sacrifici e altri rituali. I babilonesi e gli egiziani, le cui civiltà

erano a un livello molto alto già dal 3000 a.C., avevano notato delle periodicità nei movimenti della

luna e del sole e, pur basando su di esse i loro calendari, non vi scorsero alcun significato profondo.

I maggiori pensatori greci rifiutarono le dottrine tradizionali, le forze soprannaturali, le

superstizioni, i dogmi, e ogni altra cosa che potesse essere di ostacolo al pensiero.

Essi furono i primi a esaminare e a tentare di capire gli aspetti multiformi, misteriosi e complessi

della natura. Contrapposero le capacità della loro mente al caos di eventi apparentemente casuali

dell’universo e si assunsero il compito di illuminarli con la luce della ragione. Bandirono tanto la

mitologia quanto la credenza che gli dei governassero a loro arbitrio l’uomo e il mondo fisico.

Essi giunsero infine a elaborare la dottrina secondo cui la natura è ordinata e agisce secondo un

grandioso disegno. Tutti i fenomeni percepibili dai sensi, dai moti planetari allo stormire delle

foglie, possono essere inseriti in una struttura precisa, coerente e intellegibile; insomma la natura

segue un disegno razionale e l’uomo, sebbene non possa modificarlo, può nondimeno comprenderlo

con la mente.

L’applicazione della matematica fu il passo decisivo che fugò dai processi naturali ogni ombra di

mistero, di misticismo e di apparente caos, e li sostituì con un modello comprensibile. In ciò i greci

mostrarono un intuito fecondo e originale, pari quasi a quello che li guidò alla scoperta del potere

della ragione. L’universo segue un disegno matematico e attraverso la matematica l’uomo può

impadronirsi del segreto di tale disegno.

I greci ricercarono quindi con determinazione la verità, specialmente sulla struttura matematica

della natura. E quindi anche la matematica, con i suoi elementi fondamentali del numero e delle

figure geometriche, doveva essere un corpo di verità. Il ragionamento matematico, volto a stabilireverità valide anche per i fenomeni fisici (per esempio per il moto degli astri), doveva condurre a

conclusioni assolutamente certe. Come potevano essere raggiunti questi obiettivi ? Come si può

ricercare la verità, assicurandosi nello stesso tempo che ciò che si è trovato sia vero ? Anche per

questo i greci idearono un progetto risolutivo. Tale progetto si sviluppò gradatamente nel periodo

che va dal 600 al 300 a.C., culminando nella formalizzazione del cosiddetto metodo assiomatico-

deduttivo da parte di Euclide.

2. Storia e preistoria della matematica


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La prima forma di matematica utilizzata dall’uomo primitivo era quella legata al conteggio.

Nel 1937, in Cecoslovacchia, sono state rinvenute delle lunghe ossa di lupo con tacche incise,

databili attorno al 30.000 a.C., nelle quali è chiaramente ravvisabile la traccia di un conteggio. In

esse sono riportate cinquantacinque tacche, suddivise a gruppi di cinque, e ciò sembra indicare che

il 5 sia da considerare come base di un sistema primitivo di numerazione. Intorno al 25.000 a.C. alla

rudimentale aritmetica si affiancò un’iniziale forma di geometria: in quell’epoca comparvero infatti

le incisioni di disegni geometrici primitivi.

Le civiltà primitive non andavano al di là della distinzione fra uno, due e molti; altre possedevano i

numeri interi più grandi ed erano in grado di effettuare operazioni su di essi; altre ancora giunsero a

riconoscere i numeri come concetti astratti, ad adottare speciali parole per indicare i singoli numeri,

ad introdurre dei simboli per i numeri e anche ad usare basi quali dieci, venti o cinque per denotare

unità di quantità più grandi. Si possono anche trovare le 4 operazioni dell’aritmetica, per quanto

limitate a numeri piccoli, e il concetto di frazione, ristretto tuttavia a 1/2, 1/3 e simili ed espresso a

parole. In aggiunta a ciò, vennero anche riconosciute le nozioni geometriche più semplici, quali

quelle di retta, cerchio ed angolo. E’ forse interessante notare che il concetto di angolo deve essere

sorto dall’osservazione dell’angolo formato dalle parti inferiore e superiore della gamba o del

braccio umani, perché in molte lingue la parola che indica il lato di un angolo coincide con quella

che indica il braccio o la gamba. Le applicazioni della matematica in queste civiltà primitive si

limitavano alle più semplici operazioni legate al commercio, al calcolo grossolano delle aree dei

campi, alla decorazione geometrica sulle ceramiche, al ricamo di disegni sui tessuti e alla

registrazione del tempo.

Ora, se consideriamo che le popolazioni primitive crearono i primi insediamenti costruendo

abitazioni e praticando l’agricoltura e l’allevamento del bestiame fin dal 10.000 a.C., ci si può

rendere conto di quanto lenti furono i primi passi mossi dalla matematica più elementare. Circa

cinque millenni fa, finalmente, fecero la propria comparsa le prime forme di matematica sviluppata

presso i Babilonesi e gli Egiziani.Intorno al 3.000 a.C. può essere datata la prima testimonianza matematica scritta conosciuta: sulla

sommità dello scettro di Menes, rappresentante della prima dinastia dei Faraoni, troviamo registrate

numericamente con la scrittura a geroglifici, alcune prede di guerra. Gli Egiziani si mostrarono

pienamente in grado di rappresentare grandi quantità attraverso i numeri: 400.000 buoi, 1.422.000

capre e 120.000 prigionieri.

Nel Vicino Oriente Antico, una vasta area che comprende la Mesopotamia, l’invenzione del calcolo

precedette quella della scrittura; ciò è dimostrato dal rinvenimento, nei siti archeologici della vastaarea geografica compresa tra le coste del Mediterraneo e l’Iran orientale e tra la Turchia e Israele, di


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oggetti di forme diverse che servivano a svolgere operazioni di calcolo, i cosiddetti “contrassegni”.

I contrassegni sono piccoli oggetti d’argilla che rappresentavano unità di calcolo, come, per

esempio, una certa misura di cereali o un capo di bestiame.

Gli scavi stratigrafici e la datazione dei materiali reperiti hanno consentito d'inserire in una cornice

cronologica l'evoluzione di questo sistema di calcolo. I primi contrassegni apparvero verso l'8000,

contemporaneamente all'addomesticamento degli animali e delle piante; la loro distribuzione

geografica corrisponde a quella dei primi insediamenti sedentari in Siria e in Iraq. Sembra quindi

che la consuetudine di registrare gli oggetti dotati di un valore economico possa essere correlata alla

nascita dell'agricoltura. La necessità di tenere i conti nacque dal nuovo modo di vita basato sulla

pianificazione del raccolto e sull'immagazzinamento del cibo; i contrassegni furono inventati per

soddisfare questa necessità. Verso il 6000 essi erano già diffusi in tutto il Vicino Oriente,

rimanendo sostanzialmente immutati per due millenni. Nel periodo preistorico, tra l'8000 e il 4500,

il repertorio dei contrassegni era composto da forme semplici e includeva poche forme geometriche,

in particolare coni, sfere, cilindri, tetraedri e ovoidi; la superficie dei manufatti era in generale priva

di segni incisi. Questi primi contrassegni semplici rappresentavano prodotti della terra e

dell'allevamento, vale a dire, quantità di cereali e capi di bestiame.

I vari sistemi per denotare i numeri nella scrittura cuneiforme, che vide la luce intorno al 3.300 a.C.,

si possono interpretare proprio come una continuazione diretta dei contrassegni.

I testi cuneiformi trovati nell’area templare dell’Eanna, nella città di Uruk, risalenti al 3.200 circa

facevano uso di una famiglia accuratamente elaborata di sistemi numerici interrelati: un sistema

sessagesimale e uno bisessagesimale (cioè 60x60) di numeri per contare, un sistema di numeri per

misurare capacità, uno per misurare aree e uno per misurare il tempo.

La complessità della famiglia di sistemi numerici, e la complessità di numerosi tipi di testi

amministrativi risalenti al periodo dei primi documenti scritti, rendono evidente che già 5.200 anni

fa l’insegnamento della numerazione deve aver svolto un ruolo importante nelle scuole scribali

mesopotamiche. Come mostrano i testi che ci sono pervenuti, il curriculum scolastico degli scribanel primo periodo della scrittura doveva comprendere gli elementi fondamentali dell’aritmetica,

semplici calcoli di aree, divisioni e la risoluzione di alcuni sistemi di equazioni lineari. E’ questo

l’inizio della tradizione matematica in Mesopotamia.

Proprio in considerazione della prima presenza di una scrittura matematica, cominceremo il nostro

viaggio attraverso la storia della matematica, dall’esame dell’aritmetica e della geometria che

fiorirono nelle civiltà dell’Antico Egitto e dell’Antica Mesopotamia.

3. La storia politica della Mesopotamia


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I Babilonesi furono i primi, insieme agli Egiziani, a portare un contributo al corso principale della

matematica.

Il termine “babilonese” copre una serie di popolazioni che, contemporaneamente o successivamente

occuparono l’area situata fra i fiumi Tigri ed Eufrate e nelle loro vicinanze; questa regione è cono-

sciuta come Mesopotamia e fa ora parte del moderno Iraq.

Queste popolazioni vivevano in città indipendenti quali Babilonia, Ur, Nippur, Susa, Assur, Uruk,

Lagash, Kish e altre. Intorno al 4000 a.C. i Sumeri, popolazione di razza diversa dai Semiti e dagli

Indoeuropei, si insediarono in una parte della Mesopotamia. La loro capitale era Ur e la parte dei

territori che essi controllavano venne chiamata Sumeria. Sebbene la loro cultura raggiungesse il suo

culmine intorno al 2250 a.C., già prima, nel 2500 a.C. circa, i Sumeri vennero sottomessi

politicamente dagli Accadi, una popolazione semitica la cui città principale era Accad e che era

allora guidata dal sovrano Sargon. La civiltà sumera fu sopraffatta da quella accadica. Un periodo di

alto livello culturale si ebbe durante il regno del re Hammurabi (1700 a.C. circa), che è noto per

essere stato il promulgatore di un famoso codice di leggi.

Intorno al 1000 a.C. le migrazioni e l’introduzione del ferro provocarono ulteriori cambiamenti.

Successivamente, nell’Ottavo secolo a.C., la regione cadde sotto il dominio degli Assiri, che si

stabilirono principalmente nella regione del Tigri superiore. Per quanto ne sappiamo, essi non

aggiunsero nulla di nuovo alla cultura già esistente.

Un secolo dopo l’impero assiro venne spartito tra i Caldei e i Medi, i quali ultimi erano assai vicini

ai Persiani che stavano più a est. Questo periodo della storia mesopotamica (VII secolo a.C.) viene

spesso citato come periodo caldeo. Il Vicino Oriente venne conquistato dai Persiani guidati da Ciro

intorno al 540 a.C. I matematici persiani, quali Nabu-rimanni (c.490 a.C.) e Kidim (c.480 a.C.),

divennero così noti ai Greci.

Nel 330 a.C. Alessandro Magno conquistò la Mesopotamia. Il periodo che va dal 300 a.C. alla

nascita di Cristo viene detto “seleucidico”, dal nome del generale greco Seleuco che s’impadronì

per primo del controllo della regione dopo la morte di Alessandro avvenuta nel 323 a.C.Tuttavia la fioritura della matematica greca aveva già avuto luogo e dall’epoca di Alessandro

Magno fino al VII secolo d.C., quando entrarono in scena gli Arabi, l’influenza greca fu

predominante in tutto il Vicino Oriente. La maggior parte dei contributi apportati dai babilonesi alla

matematica appartengono all’epoca che precede il periodo seleucidico. Nonostante i numerosi

cambiamenti di dominazione succedutisi in Mesopotamia, vi fu, per quel che riguarda la

Matematica, una continuità di cultura, tradizioni e pratica dai periodi più antichi fino almeno

all’epoca di Alessandro Magno.


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4. La matematica babilonese

Le nostre principali informazioni concernenti la civiltà e la matematica babilonesi sia antiche sia più

recenti provengono dai testi scritti su tavolette di argilla. Queste tavolette venivano incise quando

l’argilla era ancora morbida ed erano poi sottoposte a cottura. Per questo motivo quelle che sono

sopravvissute alla distruzione sono in buono stato di conservazione. Esse risalgono principalmente a

due periodi: quello intorno al 2000 a.C. e, in numero maggiore, quello che va dal 600 a.C. al 300

d.C. Le tavolette più antiche sono le più importanti per la storia della matematica. La lingua e la

scrittura delle tavolette più antiche sono quelle accadiche, appartenenti al gruppo semitico, che

avevano soppiantato la lingua e la scrittura antecedenti dei Sumeri. Le parole della lingua akkadica

erano costituite da una o più sillabe e ogni sillaba era rappresentata da un insieme di segmenti

rettilinei. Gli Accadi usavano uno stilo a sezione triangolare che veniva appoggiato con una certa

angolazione sull’argilla e produceva incisioni a forma di cuneo che potevano essere orientate in

modo diversi. Per tale motivo questo tipo di scrittura è diventato noto con il nome di scrittura

cuneiforme .

La ricerca sulla matematica mesopotamica conobbe il suo periodo pionieristico a partire dalla

seconda metà dell’800, quando cominciarono a essere comprese la metrologia e le notazioni

numeriche usate nei testi amministrativi cuneiformi. Tra il 1916 e il 1945 si ebbe un rapido aumento

di testi matematici cuneiformi provenienti dai musei del Vecchio e Nuovo Mondo, individuati e

pubblicati (anche se, spesso ritrovati nel corso di scavi non autorizzati, non avevano una

provenienza nota), dei quali cominciò a essere compresa la difficile e particolare terminologia. A

partire dagli anni settanta del novecento si è avuta una ripresa di questi studi, che si sono allargati ai

testi matematici e metro-matematici del III millennio, sono state rimesse in questione traduzioni e

interpretazioni consolidate dei testi già pubblicati, e sono apparsi i primi studi generali sull’intero

corpus dei testi matematici mesopotamici.

L’aritmetica più progredita della civiltà babilonese è quella akkadica. I numeri interi venivano

scritti nel modo seguente:

Due fattori sembrano aver favorito uno sviluppo sorprendentemente rapido della matematica nelperiodo compreso tra il 1.900 e il 1.600 (periodo paleobabilonese). Innanzitutto l’invenzione di un


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sistema di notazione posizionale per il sistema di numerazione sessagesimale, nel quale uno stesso

simbolo ha diverso valore se scritto prima di altri, avvenuta probabilmente intorno al 2.500.

Importante fu anche un mutamento nel clima culturale, cioè il passaggio da uno Stato centralizzato

e da una burocrazia onnipresente e presumibilmente caratterizzata, per quanto attiene all’in-

segnamento delle tecniche di calcolo, da un approccio meramente utilitaristico, a una burocrazia

meno onnipresente e più aperta alle istanze individuali.

5. Le operazioni aritmetiche e le tavole matematiche e metrologiche

Nel sistema babilonese i simboli che denotavano 1 e 10 erano fondamentali. I numeri da 1 a 59

venivano formati combinando fra loro un numero maggiore o minore di questi simboli. I processi di

addizione e sottrazione consistevano perciò semplicemente nell’aggiungere o togliere simboli. Per

indicare l’addizione i Babilonesi accostavano i numeri l’uno all’altro come , che significa 16.

La sottrazione veniva spesso indicata con il simbolo . Così, significa 40 – 3. Nei testi

astronomici di un periodo successivo compare la parola “tab”, che significa “addizione”. Veniva

anche effettuata la moltiplicazione di interi e le divisioni tra numeri interi. Poiché dividere per un

intero n è la stessa cosa che moltiplicare per il suo inverso 1/n, venivano usate in questo contesto le

frazioni. I Babilonesi convertivano i reciproci 1/n in frazioni sessagesimali non usando però simboli

speciali per le frazioni. Le frazioni sessagesimali, cioè numeri minori di uno espressi mediante gli

inversi delle potenze di 60, ma con denominatori sottintesi, continuarono ad essere usate dai greci

Ipparco e Tolomeo e poi nel Rinascimento e fino al XVI secolo, quando furono sostituite dai

decimali in base 10.

L’inizio dell’uso del sistema di notazione posizionale per i numeri sessagesimali è strettamente

legato alla compilazione delle prime tavole cuneiformi matematiche e metrologiche, le quali a loro

volta si rivelarono uno strumento di fondamentale importanza per risolvere i problemi relativi alla

misurazione, facilitando i calcoli relativi.

I tipi più comuni di tavole matematiche sono le tavole di moltiplicazione, le tavole di quadrati o diradici quadrate e le tavole di reciproci o inversi. In queste tavole si trovano soltanto numeri

sessagesimali, scritti in notazione posizionale.

Le tavole metrologiche, invece, elencano le notazioni tradizionali, in ordine crescente, per un

assortimento scelto di numeri che rappresentano misure appartenenti a uno dei sistemi di capacità,

di metallo, di area, di lunghezza: per ognuna delle misure selezionate la tavola metrologica indica

anche il suo valore come multiplo sessagesimale di una certa unità di base.

6. L’algebra babilonese


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Distinti dai testi che contengono le tavole e che forniscono molte informazioni sul sistema numerico

babilonese e sulle operazioni con i numeri sono i testi che trattano problemi algebrici e geometrici.

Il più antico documento di probabile significato algebrico, anche se la sua interpretazione ha

suscitato varie polemiche, risale ad una civiltà riportata alla luce nel 1975 da una spedizione

italiana: la civiltà di Ebla, città dell’attuale Siria.

La tavoletta scritta in cuneiforme, trovata negli scavi di Ebla, fa parte del cosiddetto “archivio

reale”, ricco di circa 20.000 tavolette risalenti al 2.500 a.C. circa. La tavoletta in questione è stata

decifrata da Giovanni Pettinato ed interpretata dal matematico Tullio Viola e dalla sua allieva

Isabella Vino. Essa è stata redatta da un certo Jsma-Ja (che potremmo considerare il nome del primo

matematico a noi noto), scriba di Kish, città sumera della Mesopotamia. Alla fine della tavoletta

(parte sinistra), prima del nome (o della firma) del “professore-scriba”, si trova scritto

come ad indicare un vero e proprio esercizio assegnato agli studenti di Ebla.

Secondo la traduzione più attendibile, viene in sostanza richiesto per quale numero deve essere

moltiplicata la base 60 della numerazione sumera per ottenere i vari numeri presentati; cioè la

tavoletta presenta le seguenti equazioni:

……………..

La circostanza che sia stato uno studioso di un’altra città a redigere la tavoletta, consente di

accentuare il carattere algebrico della tavoletta poiché probabilmente si trattava di una esercitazione

volta ad insegnare agli studenti di Ebla ad esprimere in numerologia sumerica alcuni numeri

significativi. Infatti, tutto il problema è basato su un sistema di scrittura sessagesimale proprio della

Mesopotamia sumerica, mentre il sistema vigente ad Ebla era quello decimale, sicché gli studenti,


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oltre a risolvere il problema puramente matematico, lo dovevano pensare e scrivere secondo un

sistema di scrittura a loro non congeniale.

Possiamo anche pensare che i sumeri mostrassero agli eblaiti la maggiore praticità del loro modo di

scrivere i numeri in una forma sostanzialmente posizionale che rappresenta, per il più importante

studioso di matematica antica Otto Neugebauer (1899-1990),

Un problema fondamentale dell’algebra babilonese più antica chiede di trovare un numero che,

aggiunto al suo reciproco, fornisca un numero dato. In notazione moderna, i Babilonesi cercavano

e tale che

,

Queste due equazioni sono equivalenti a un’equazione quadratica in x, e precisamente:

Essi formavano , poi ed infine

,

che forniscono la risposta cercata. In effetti i Babilonesi conoscevano la formula per la risoluzione

delle equazioni di 2° grado. Altri problemi, come quello di trovare due numeri aventi somma e

prodotto assegnati, venivano ricondotti al problema precedente.E’ ormai opinione comune, in seguito ai notevoli studi di Otto Neugebauer e di altri studiosi che

hanno consentito di avere traduzioni sicure di molte tavolette con incisi numerosi problemi

(dell’ordine delle centinaia), che i contenuti delle tavolette babilonesi,(1900-1.600 a.C. circa), si

trovassero già ad un notevole livello algebrico.

L’algebricità dei problemi babilonesi si ricavava principalmente dalla circostanza che poteva

accadere di trovare la somma di un’area con una lunghezza; l’incongruità di una tale operazione

fece infatti dedurre che allorché si parlava di sommare “un quadrato con un lato” in realtà si

usavano nomi geometrici intesi soltanto come numeri, distaccati da un originale significato

geometrico, così come oggi si somma “un cubo con un quadrato” senza pensare alle

figure geometriche da cui provenivano i nomi usati. Ma questo svincolo mutava l’esercizio

7. La geometria babilonese

La geometria come noi la conosciamo ha avuto origine in Mesopotamia, sviluppandosi

gradualmente nel corso di tre millenni e più. Un'affermazione così decisa è sostenuta da un'analisi


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precisa di quali risultati siano dovuti ai “geometri” della Mesopotamia (che erano poi scribi o

insegnanti), a quali concetti geometrici abbiano dato vita e in che senso ciò che facevano merita di

essere chiamato geometria.

A quanto sembra, i primi oggetti geometrici, già nel periodo degli esordi della scrittura o anche

prima, furono campi di forma rettangolare o quasi, la cui superficie era misurata in termini di unità

d'area. L'idea di misura dell'area nacque in modo naturale in una società agricola come era quella

della Mesopotamia: si trattava di una grandezza che poteva essere calcolata come la lunghezza del

solco prodotto dall'aratro moltiplicata per il numero dei solchi e per la distanza costante tra i solchi.

È significativo il fatto che ancora nel periodo babilonese, (1900-1.600 circa), nei testi matematici i

rettangoli misuravano di solito 30 corde (una corda era circa 60 m) per 20 corde, cioè la grandezza

di un campo il cui prodotto era sufficiente a nutrire una famiglia.

Mezzo millennio più tardi il quadrato fece il suo ingresso nei testi matematici paleosumerici (2900-

2370). L'idea di quadrato può essere di origine metrologica, perché le unità di misura più piccole

per le aree nel sistema sumerico erano le unità di “giardino”, l'area di un quadrato di lato 1 pertica

(6m circa), e l'unità di “diga (di terra)”, l'area di un quadrato di lato 1 corda.

Nel periodo paleosumerico compaiono anche per la prima volta i cerchi, in un disegno su una

tavoletta d'argilla (rinvenuta all’inizio del XX secolo nella città sumerica di Shuruppak) che mostra

quattro cerchi inscritti in un quadrato. L'idea di cerchio doveva nascere naturalmente come

immagine della Luna, o del Sole, o come il segno numerico D del contrassegno di argilla per

misurare quantità di orzo e di altri cereali.

Doveva poi essere noto da molto tempo che l'area del triangolo è la metà dell'area del rettangolo

avente la stessa base e la stessa altezza; non abbiamo però testi che ci permettano di verificare

questa ipotesi. Sono state inoltre trovate un paio di tavolette neosumeriche (2.200-2.000) con mappe

di campi, nelle quali un campo di forma irregolare è suddiviso in settori rettangolari, trapezoidali e

triangolari, e l'area totale è determinata come somma delle aree di questi. Un’altra tavoletta

dell’epoca paleoaccadica (2.600-2.350) che riporta il disegno di un trapezio equidecomposto ènotevole non soltanto perché si tratta del più antico testo che riguarda trapezi decomposti, ma anche

perché è il più antico testo matematico in cui è considerata una figura troppo piccola per

rappresentare un vero campo coltivato: si tratta infatti di un trapezio di area uguale a 1 pertica

quadrata.

Il concetto generale di angolo era sconosciuto nella geometria babilonese, o comunque tenuto in

scarsa considerazione, secondo quanto risulta dai documenti conosciuti. D'altra parte, almeno nel

caso tridimensionale, la pendenza uniforme dei lati di un canale, di un muro o di una piramide eraregolarmente espressa dalla variazione orizzontale corrispondente allo spostamento verticale di


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un'unità di lunghezza. Inoltre, anche in assenza di un concetto generale di angolo, il concetto di

triangoli simili era ben chiaro ed era utilizzato in molte situazioni. È molto importante osservare che

le tavole babilonesi di costanti per figure geometriche usano in modo essenziale i concetti gemelli

di similitudine 'lineare' e 'quadratica', ossia il fatto che, in figure simili di qualunque tipo, lunghezze

corrispondenti sono proporzionali e le aree sono proporzionali ai quadrati di queste lunghezze.

Inoltre, in una società nella quale i mattoni costituivano il principale materiale da costruzione,

doveva risultare ovvio che i volumi di solidi simili sono proporzionali ai cubi delle altezze.

Il concetto di figura inscritta in un'altra era noto, come pure quello di linea tangente, retta o curva.

Fin dagli inizi nel periodo degli esordi della scrittura alla fine del IV millennio, e per tutta la sua

storia, la matematica mesopotamica sembra orientata verso le applicazioni; essa aveva lo scopo di

insegnare a futuri scribi e amministratori come trattare in modo efficace e corretto calcoli

complicati con numeri e misure espresse in tutti i diversi sistemi cuneiformi di notazione. A quanto

pare, la geometria non era studiata per sé stessa, ma soltanto perché era una fonte di problemi

interessanti che sollecitavano l'intuizione visiva. Non c'è traccia di impostazione assiomatica nella

geometria babilonese; non sono mai dati né definizioni né assiomi, e né enunciati o dimostrati

teoremi. Vi sono tuttavia molte indicazioni che mostrano come la matematica, e in particolare la

geometria, fossero insegnate in modo metodico nelle scuole paleobabilonesi.

8. Le applicazioni della matematica in Mesopotamia

I Babilonesi usavano la loro conoscenza dell’aritmetica e dell’algebra elementare per esprimere

lunghezze e pesi, per scambiare manufatti, per computare interessi semplici e composti, per

calcolare tasse e per dividere le quote di un raccolto fra il contadino, la Chiesa e lo Stato. La

divisione dei campi e delle eredità conduceva a problemi algebrici. Non esiste possibilità di dubbio

circa l’influenza dell’economia sullo sviluppo dell’aritmetica nel periodo più antico.Canali, argini ed altri progetti d’irrigazione richiedevano calcoli. L’uso di mattoni sollevava

numerosi problemi numerici e geometrici. Dovevano essere determinati i volumi dei granai e degli

edifici e le aree dei campi. La stretta connessione fra la matematica babilonese e i problemi pratici è

esemplificata dal seguente problema.

Si doveva scavare un canale la cui sezione era un trapezoide e le cui dimensioni erano note. Pure

noti erano quanto un uomo poteva scavare in una giornata e la somma del numero degli uomini

impiegati e delle giornate da essi lavorate. Il problema consisteva nel calcolare il numero degliuomini e il numero delle giornate di lavoro.


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Poiché la connessione fra matematica e astronomia è diventata fondamentale dal tempo dei Greci in

poi, metteremo in rilievo le conoscenze e i risultati astronomici babilonesi. Nulla è noto dell’astro-

nomia sumerica e l’astronomia del periodo accadico era rozza e puramente qualitativa; lo sviluppo

della matematica precedette lo sviluppo dell’astronomia.

Nel periodo assiro (intorno al 700 a.C.), l’astronomia incominciò ad includere la descrizione

matematica dei fenomeni e la compilazione sistematica dei dati delle osservazioni. L’uso della

matematica si estese negli ultimi tre secoli prima di Cristo e fu applicato specialmente allo studio

dei moti lunari e planetari. La maggior parte dei testi astronomici risalgono a questo periodo

seleucidico. Essi si ripartiscono in due gruppi, testi procedurali ed effemeridi, cioè tavole delle

posizioni dei corpi celesti nei vari momenti.

L’astronomia serviva a molti scopi, ma essa era principalmente necessaria per tenere un calendario,

che è determinato dalle posizioni del Sole, della Luna e delle stelle. L’anno, il mese e il giorno sono

quantità astronomiche che dovevano essere determinate accuratamente per conoscere i periodi delle

semine e le festività religiose. A Babilonia, in parte per la connessione del calendario con le

festività religiose e in parte perché i corpi celesti erano ritenuti dèi, il calendario era tenuto dai

sacerdoti. Il calendario era lunario, cioè segnava le fasi della Luna. Fu usato dagli ebrei, dai greci e

dai romani fino al 45 a.C., quando venne adottato il calendario giuliano.

9. La storia politica dell’Antico Egitto

Nel mondo ellenistico, l'Egitto era considerato la culla della scienza. Nel I sec. a.C. Diodoro Siculo

scriveva, nel primo libro della sua Bibliotheca (I, 69), che gli Egizi sarebbero stati gli inventori non

soltanto della scrittura, ma anche della geometria. Quattro secoli prima, Erodoto, il padre della

storiografia, aveva visitato l'Egitto e aveva riferito ( Historiae, II, 109) che sotto il re Sesostri per

assicurare le imposte statali l'intero paese era stato lottizzato e che, dopo ogni straripamento delNilo, i terreni, a causa dei cambiamenti subiti, erano subito rimisurati; in questo modo, secondo la

sua opinione, era stata scoperta l'arte dell'agrimensura.

Mentre la Mesopotamia sperimentò molti cambiamenti nelle popolazioni che la governarono, la

civiltà egiziana si sviluppò senza essere toccata da influenze straniere. Le origini di questa civiltà

sono sconosciute, ma essa esisteva già prima del 4000 a.C. L’Egitto, come dice Erodoto, è un dono

del Nilo. Questo fiume, che scorre da sud a nord, una volta all’anno allaga tutto il territorio che

circonda le sue rive e lascia dietro di sé un limo fertilissimo. La maggior parte della popolazionetraeva e trae il suo sostentamento coltivando questo limo. Il resto del paese è desertico.


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Vi erano due regni, uno nella parte settentrionale e uno in quella meridionale dell’odierno Egitto. In

un certo periodo compreso fra il 3500 e il 3000 a.C. il faraone Mena o Menes, unificò l’Alto e il

Basso Egitto. Da allora in poi i periodi principali della storia egiziana vengono ripartiti secondo le

dinastie regnanti; Menes è considerato il fondatore della prima dinastia. Il periodo di maggiore

splendore della cultura egiziana venne raggiunto durante la terza dinastia (2500 a.C. circa), lo stesso

periodo in cui i faraoni costruirono le piramidi. La civiltà egiziana continuò la sua strada fino a

quando Alessandro Magno conquistò l’Egitto nel 332 a.C.

Dopo di allora, e fino al 600 d.C. circa, la sua storia e la sua matematica fanno parte della civiltà

greca.

Gli antichi egiziani crearono dei sistemi di scrittura originali. Il primo di essi, i geroglifici, era un

sistema pittografico, cioè ogni simbolo rappresentava un oggetto. I geroglifici furono usati nei

monumenti fino all’inizio dell’era cristiana. A partire dal 2500 a.C. circa, gli Egiziani usarono per

gli scopi quotidiani quella che viene detta scrittura ieratica. Il sistema usava dei simboli

convenzionali, che all’inizio erano semplicemente delle semplificazioni dei geroglifici. La scrittura

ieratica è sillabica: ogni sillaba è rappresentata da un ideogramma e una parola intera è una

collezione di ideogrammi. Il significato della parola non è legato ai singoli ideogrammi.

A partire dal VII secolo a.C. dalla scrittura ieratica si sviluppa, a seguito di un’ulteriore limatura dei

segni grafici, una terza scrittura, la scrittura demotica, che nell’epoca tolemaica e romana era la

scrittura ordinaria della vita quotidiana. La scrittura veniva tracciata mediante inchiostro su fogli di

papiro, che venivano prodotti pressando e tagliando il midollo della pianta omonima. Poiché il

papiro secca e si sbriciola, ci sono rimasti pochissimi documenti dell’antico Egitto, se si eccettuano

le iscrizioni geroglifiche scolpite sulla pietra.

10. Le origini della matematica egizia

L'Egitto è una delle aree del mondo antico in cui si sono riscontrati i primissimi segni di esistenza

della matematica, o meglio, di una tecnica di calcolo. Gli albori si perdono nell'oscurità dell'epocapredinastica, precedente la scrittura, quando nella Valle del Nilo l'agricoltura era diventata un im-

portante sistema economico, si erano sviluppati dei comuni rurali ed erano nati dei centri politici,

quali le antiche circoscrizioni (nomoí ). A capo di questi territori, i più antichi documentabili alla

fine del IV millennio, erano posti i sovrani e i principi, con le loro corti di funzionari religiosi e

laici. Essi riscuotevano le imposte dai villaggi, che garantivano la celebrazione dei riti rivolti agli

dèi, il mantenimento della corte e l'organizzazione di lavori di interesse collettivo, come la

costruzione di templi e di argini, o l'espletamento delle funzioni difensive.


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A questo periodo risale la formazione di centri abitati nei quali risiedevano i sovrani e la loro corte,

che possono essere considerati una forma antica di capitali.

Un esempio documentato archeologicamente è l'insediamento di Ieraconpoli, situato 780 km ca. a

sud del Cairo: su un'area di 2,5 km2 si trovavano vasti spazi urbani formati da abitazioni

rettangolari, l'area templare, quella palatina e diversi cimiteri.

A partire dal 3300 ca. in poi può essere ricostruita la storia di queste aree, che continua anche in

epoca dinastica sino all'inizio del III millennio. Per gli abitanti della Valle del Nilo la costruzione

delle tombe regali (le più antiche delle quali sono state scoperte ad Abido, 550 km ca. a sud del

Cairo, e a Saqqara) è stata una notevole impresa collettiva, basata su concezioni religiose. Per

realizzare queste gigantesche costruzioni, fatte di mattoni ricavati dai sedimenti del Nilo, di legno e

di canne, era indispensabile l'impegno collettivo di grandi masse di uomini. Il personale necessario

proveniva dai villaggi, come per una sorta di leva al servizio della collettività, personificata dal

sovrano, il quale fungeva da mediatore tra il mondo degli uomini e quello degli dèi.

La precisa costruzione ad angolo retto dei primi templi, dei palazzi e delle tombe regali mostra che

si era in grado di misurare con precisione i terreni fabbricabili e di determinare gli assi degli edifici

in base a un orientamento stabilito. Dovevano quindi essere noti i tratti caratteristici del’agri-

mensura, dalla quale è nata la geometria. Inoltre, la raccolta dei tributi in natura nei diversi villaggi,

sotto forma di alimenti per la corte e per le maestranze, oppure di materiali edili,

l'immagazzinamento e la distribuzione di questi beni, ma anche l'organizzazione degli uomini

nell'attività edile, presuppongono la disponibilità di una forma primitiva di tecniche di calcolo. È

dunque in questo contesto che deve essere rintracciata l'origine dell'aritmetica. Partendo da questa

constatazione, Diodoro Siculo ( Bibliotheca, I, 81) racconta che i sacerdoti egizi, i detentori del

sapere, avrebbero impiegato l'aritmetica solo per scopi pratici e come sussidio per la geometria.

11. La matematica egizia e le sue fonti

In Egitto, a partire da 3.000 a.C., si sviluppò una notevole competenza in matematica, competenzariservata alle caste più potenti, i sacerdoti e gli scribi.

Le fonti considerate più autentiche ed autorevoli per queste ricerche sono costituite da alcuni famosi

papiri e rotoli; se ne sente sempre parlare e perciò vale la pena dedicare qualche riga a quelli più

noti.

Il più citato documento dell’antico Egitto è certo il cosiddetto papiro Rhind ; esso fu rintracciato nel

1858 dall’antiquario scozzese Alexander Henry Rhind (1833-1863) a Luxor (l’antica Tebe).

Il papiro si trova in eccezionale stato di conservazione, è lungo 550 cm ed alto 33. Dalla morte diRhind si trova esposto nella III sala egizia nel British Museum di Londra. Il papiro è datato 1650


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a.C., firmato dallo scriba Ahmes; si tratta però di una copia di un papiro scritto circa 2 secoli prima,

come dichiara lo stesso scriba. Contiene, tra l’altro, 87 problemi di matematica. E’ interessante

conoscere il titolo di questo papiro che si trova proprio al suo inizio:

Anche il cosiddetto papiro di cuoio o rotolo di pelle fu comprato da Rhind ed è conservato nello

stesso museo; secondo molti studiosi è ancora più antico del precedente, dato che è noto che

l’abitudine di scrivere sul papiro sostituì quella di scrivere sulla pelle, troppo costosa e deperibile.

Per questo si considera che esso consenta di analizzare conoscenze precedenti degli Egizi sulla

matematica.

Altro famoso documento storico della matematica egizia è il cosiddetto papiro di Mosca, acquistato

da W. Golemischaff a Luxor e conservato ora nel Museo delle Belle Arti di Mosca. Le sue

dimensioni curiose sono di 560 cm di lunghezza per 8 cm di altezza. Anche in questo caso si tratta

di una ricopiatura di un testo precedente, pare contemporaneo a quello di Rhind, in base ai

contenuti.

La sua traduzione è stata completata nel secolo scorso ad opera di W.W. Struve.

Importante è anche il papiro di Berlino, sempre del 1800 a.C., conservato al Museo di Berlino, è

stato tradotto alla fine del XIX secolo.

Oltre ai detti papiri , possiamo fare affidamento su varie tavole matematiche conservate soprattutto

al Museo del Cairo.

Interessanti reperti a carattere matematico si trovano anche al Museo Egizio di Torino.

Tutti questi documenti non sono altro che raccolte di problemi relativi a specifiche situazioni, nelle

quali è possibile identificare con chiarezza le procedure di calcolo utilizzate dallo scriba.

Si tratta di testi orientati verso l'esperienza pratica, che non attribuiscono alcun valore all'indagine

della legittimità delle procedure descritte. Tale modo di organizzare e di trasmettere il sapere è

caratteristico dell'Antico Egitto e si ritrova anche nell'ambito della medicina, della veterinaria e dei

testi magici; esso si ripropone ancora in testi demotici e giuridici nel III sec. a.C.La descrizione dei casi si sviluppa secondo lo schema seguente: "qualora si presenti questo e

quest'altro problema" ) sono nominati esempi concreti ) "tu (lo scriba) devi operare così e così" )


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seguono concrete istruzioni di calcolo ) "e troverai questo e quel risultato, tu (lo) hai trovato

esattamente" .

I problemi, quindi, venivano enunciati verbalmente, insieme con delle semplici regole per ottenere

le soluzioni, ma senza spiegare perché venissero usati quei metodi e perché essi funzionassero.

Nei papiri si trovano soluzioni di problemi contenenti un’incognita che sono nel complesso

paragonabili alle nostre equazioni lineari in un’incognita. Tuttavia, i procedimenti erano puramente

aritmetici e non facevano parte, secondo gli Egizi, di un capitolo distinto della matematica

concernente la soluzione delle equazioni. La limitata algebra egiziana non usava praticamente alcun

simbolismo.

E che dire della geometria egiziana ? Gli Egiziani non separavano l’aritmetica e la geometria. Nei

papiri si trovano problemi che rientrano in entrambi i campi. Come i Babilonesi, gli Egiziani

consideravano la geometria una questione pratica. Essi applicavano semplicemente l’aritmetica e

l’algebra ai problemi concernenti aree, volumi e altre situazioni geometriche. Erodoto dice che la

geometria egiziana ebbe origine dalla necessità di rideterminare annualmente i confini cancellati

dallo straripamento del Nilo. Tuttavia, i Babilonesi svilupparono altrettanta geometria senza averequesta necessità. Gli Egiziani avevano delle ricette per determinare le aree di triangoli, rettangoli e

trapezoidi. Il loro calcolo dell’area del cerchio, sorprendentemente buono, seguiva la formula

A=(8d/9)2, dove d è il diametro. Ciò equivale a usare 3,1605 come valore di π. Non siamo certi che

gli Egiziani conoscessero il teorema di Pitagora. Sappiamo che vi erano tenditori di corda, cioè

agrimensori, ma nessun documento conferma la leggenda seconda la quale essi usavano una corda

annodata a intervalli tali da dividerne la lunghezza totale in parti che stavano fra loro nei rapporti di

3 a 4 a 5 e che potevano poi essere usate per formare un triangolo rettangolo.

12. Le applicazioni egiziane della matematica

Come a Babilonia, l’applicazione principale della matematica era l’astronomia, che risale alla prima

dinastia. Per l’egiziano il Nilo era la linfa vitale. Egli traeva il suo sostentamento coltivando il

terreno che il Nilo ricopriva di fertile limo nel corso delle sue inondazioni annuali. Tuttavia, egli

doveva essere ben preparato per evitare gli aspetti pericolosi della piena. La sua casa, le sue

masserizie e il suo bestiame dovevano essere temporaneamente spostati dall’area interessataall’inondazione ed egli doveva essere pronto a seminare immediatamente dopo. Era quindi


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necessario predire l’arrivo dell’ondata di piena e ciò era reso possibile dalla conoscenza degli eventi

celesti che lo precedevano.

L’astronomia permise anche la compilazione di un calendario. Essi pervennero alla stima della

lunghezza dell’anno solare osservando la stella Sirio. In un certo giorno dell’estate questa stella

diveniva visibile sopra l’orizzonte proprio prima del sorgere del Sole. Nei giorni successivi essa era

visibile per un periodo più lungo prima che la luce del Sole nascente la oscurasse. Il primo giorno in

cui essa era visibile proprio prima del sorgere del Sole era noto come il sorgere eliaco di Sirio e

l’intervallo fra due di questi giorni era di circa 365 giorni; per questo motivo gli egiziani adottarono

un calendario civile di 365 giorni per anno.

La concentrazione dell’attenzione su Sirio è certamente dovuta al fatto che le acque del Nilo

cominciavano a crescere proprio in quel giorno, che venne scelto come primo giorno dell’anno.

L’anno di 365 giorni veniva diviso in 12 mesi di 30 giorni ciascuno, più 5 giorni supplementari alla

fine. Sebbene la determinazione dell’anno e il calendario egiziano fossero risultati di valore, essi

non derivavano da un’astronomia ben sviluppata. In effetti, l’astronomia egiziana era rozza e molto

inferiore a quella babilonese.

Gli egiziani combinarono le loro conoscenze astronomiche e geometriche per costruire i loro templi

in una posizione tale che in certi giorni dell’anno il Sole li colpisse in modo particolare. In effetti,

alcuni furono costruiti in modo tale che nel giorno più lungo dell’anno il Sole illuminasse

direttamente l’interno del tempio e i suoi raggi colpissero il dio posto sull’altare. Questa

orientazione dei templi può essere trovata in qualche misura anche presso i babilonesi e i greci.

Anche le piramidi furono orientate verso speciali direzioni celesti e la Sfinge è rivolta verso est. Le

piramidi rappresentano un’altra applicazione della geometria egiziana. Essi si preoccupavano molto

di dare alle basi delle piramidi la forma corretta; anche le dimensioni relative della base e

dell’altezza avevano un importante significato (legato, pare, alla sezione aurea). Non si deve però

esagerare eccessivamente la complessità o la profondità delle idee implicate. La matematica

egiziana era semplice e rozza e non vi era sottinteso nessun principio profondo, contrariamente aquanto viene spesso asserito.

13. La matematica dell’antichità: l’eredità comune

Riesaminiamo la stato della Matematica prima dell’ingresso in scena dei Greci. Nelle civiltà

babilonese ed egiziana troviamo un’aritmetica degli interi e delle frazioni, compresa la notazioneposizionale, i primi rudimenti dell’algebra e alcune formule geometriche empiriche. Non vi era


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quasi simbolismo, né riflessione cosciente intorno all’astrazione, né alcuna formulazione di una

metodologia generale e nessun concetto di dimostrazione o anche soltanto di un argomento

plausibile che potesse convincere della correttezza di un procedimento o di una formula. In effetti,

non vi era alcuna concezione di una scienza teoretica di alcun tipo.

La matematica delle due civiltà non era una disciplina distinta, né veniva studiata di per sé. Essa era

uno strumento che si presentava sotto la forma di un insieme di semplici regole prive di connessione

fra loro, rispondenti a problemi che nascevano nella vita quotidiana della gente.

Negli ultimi due decenni del secolo scorso è stata avanzata, da alcuni storici della matematica,

l’ipotesi di un’influenza della tradizione mesopotamica sulla matematica in Egitto, in Grecia e in

Cina. Tale ipotesi si fonda su un confronto punto per punto degli argomenti trattati e dei metodi

usati nei testi matematici mesopotamici ed extramesopotamici.

I più antichi testi matematici egizi conosciuti, i papiri matematici ieratici, sono all'incirca del

periodo del Medio Regno (2000-1630), come dire coevi dei testi paleobabilonesi. Le differenze più

evidenti risiedono nell'uso della scrittura ieratica, nel sistema di numerazione (è usato quello

decimale), negli algoritmi per la moltiplicazione e la divisione e nel modo di contare con le frazioni

(si usano somme di unità frazionarie). I più ampi testi ieratici conosciuti, il papiro Rhind e i papiri

matematici di Mosca, sono però, com'è il caso per i più noti testi cuneiformi di una certa mole,

raccolte di parti di altre opere. In questi papiri sono cioè riuniti, in modo piuttosto caotico, parti di

varia lunghezza tratte da opere più strutturate. Non sono perciò manuali che contengono

un'esposizione particolareggiata della matematica egizia, né possono servire a dare un'idea precisa

della portata di questa matematica nel II millennio. Tuttavia, anche in questa prospettiva limitata vi

sono riscontri che permettono di concludere che le idee e i metodi dell'antica matematica babilonese

erano in larga misura conosciuti anche in Egitto.

Il problema 17 del papiro di Mosca, per esempio, su un triangolo avente una data area e un dato

rapporto tra i lati, può essere confrontato con un esercizio simile che si trova nel testo di una tavo-

letta paleobabilonese appartenete alla Collezione Babilonese dell’Università di Yale negli StatiUniti; o, ancora, nel problema 53 del papiro Rhind un triangolo è diviso in tre strisce parallele, e

una divisione analoga compare nella tavoletta paleobabilonese appartenente al Museo Nazionale

dell’Iraq a Baghdad.

È notevole il fatto che i problemi considerati nei papiri demotici (periodi ellenistico e romano)

coincidono largamente con problemi molto comuni della matematica babilonese: sistemi di

equazioni lineari o quadratiche; problemi del tipo 'palo contro un muro', che fanno intervenire

triangoli rettangoli; figure dentro figure; volume di una piramide; suddivisioni di trapezi in strisceparallele; approssimazioni di radici quadrate, e così via.


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In ultimo, nei papiri matematici greci trovati in Egitto, in genere molto simili ai papiri demotici, i

problemi considerati appartengono quasi senza eccezione al repertorio dei problemi comuni della

matematica babilonese.

In conclusione, anche se non sono stati ancora scoperti testi matematici egizi del IV o del III

millennio, è ragionevole supporre che lo sviluppo delle tecniche di calcolo sia avvenuto di pari

passo in Egitto e in Mesopotamia. Possono addirittura esserci stati scambi di idee e metodi, come

suggerisce il fatto che le differenze più rilevanti tra i molti testi matematici paleobabilonesi e i pochi

papiri matematici egizi dello stesso periodo riguardano essenzialmente il ricorso a basi di numeri

differenti. Del periodo tardobabilonese (1.000-330 a.C.) ci sono pervenuti solo pochi testi, ma sono

sufficienti a dimostrare che la tradizione matematica paleobabilonese si era conservata essen-

zialmente intatta, subendo solo qualche variazione superficiale di stile. Un ampio testo matematico

demotico egizio del III sec. a.C. dimostra in modo piuttosto chiaro che la matematica egizia di quel

periodo aveva molto in comune con la matematica tardobabilonese, compreso il contare con

frazioni sessagesimali. I Greci, che secondo la leggenda da loro stessi tramandata avevano appreso

la geometria dagli Egizi, ebbero una notevole familiarità con gran parte della tradizione matematica

babilonese, anche se la relegavano nel ruolo ancillare di matematica pratica. Se si ammette che i

matematici greci lavorassero all'interno della tradizione mesopotamica, vengono meno alcune

difficoltà che nascono nello studio della matematica greca, come la questione delle origini oppure la

scelta degli argomenti trattati. È inoltre possibile che questa tradizione mesopotamica abbia

interagito con la matematica cinese intorno al I millennio, come suggerisce la scelta degli argomenti

e dei metodi del classico Nove capitoli, il più antico testo cinese di matematica a noi pervenuto, il

quale si può far risalire all'epoca della dinastia Han (206 a.C. - 220 d.C.). Nella forma in cui ci è

noto questo testo contiene materiale più avanzato di quanto non sia quello del corpus babilonese in

nostro possesso. Gli argomenti trattati sono però gli stessi, e il tipo di problemi e i metodi di

risoluzione si corrispondono in modo così puntuale che è ovvio supporre una notevole interazione

tra la matematica cinese e quella babilonese in qualche periodo storico. Deboli ma innegabili traccedi quella tradizione si possono ancora trovare nell'opera di alcuni grandi matematici islamici, come

pure, in Occidente, in numerosi e ben noti testi matematici prerinascimentali.

Testi consultati

• Storia della Scienza, Enciclopedia Treccani, Vol. I

•

Storia della Matematica, G. T. Bagni, Vol. I, Pitagora Editrice Bologna

• Storia del pensiero matematico, M. Kline, Vol. I, Giulio Einaudi Editore


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• Storia dell’Algebra, S. Maracchia, Liguori Editore

LA CREAZIONE DELLA MATEMATICA GRECA CLASSICA.

1. Lo sfondo

Nella storia della civiltà i Greci occupano un posto preminente; nella storia della matematica sono

l’evento supremo. Sebbene abbiano subito l’influenza delle civiltà che li circondavano, i Greci

costruirono una civiltà e una cultura che sono le più stupefacenti fra tutte le civiltà, le più influenti


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sullo sviluppo della cultura occidentale moderna e quelle decisive per la fondazione della

matematica quale noi la concepiamo oggi. Uno dei grandi problemi della storia della civiltà è il dar

conto della brillantezza e della creatività degli antichi Greci.

Sebbene la nostra conoscenza della loro storia primitiva possa essere soggetta a correzione e ad

ampliamento con il proseguire delle ricerche archeologiche, abbiamo oggi ragione di credere, sulla

base dell’Iliade e dell’Odissea di Omero, della decifrazione delle lingue e degli scritti antichi e delle

ricerche archeologiche, che la civiltà greca risalga al 2800 a.C. I Greci si stabilirono in Asia Minore,

che potrebbe essere il loro luogo d’origine, nell’area della Grecia moderna, nell’Italia meridionale,

in Sicilia, a Creta, a Rodi, a Delo e nell’Africa settentrionale. Intorno al 775 a.C. i Greci

sostituirono i vari sistemi geroglifici di scrittura fino allora usati con l’alfabeto fenicio (che era

usato anche dagli Ebrei). Con l’adozione di un alfabeto i Greci divennero più letterati e più

facilmente in grado di registrare la loro storia e le loro idee. Non appena raggiunta una certa

stabilità interna, i Greci cominciarono a visitare l’Egitto e la Mesopotamia e a commerciare con

questi paesi. L’influenza degli Egiziani e dei Babilonesi fu quasi certamente avvertita a Mileto, città

ionica dell’Asia Minore e culla della filosofia, della matematica e della scienza greche.

Mileto era una grande e ricca città commerciale situata sulle sponde del Mediterraneo. Alle

banchine del suo porto attraccavano navi provenienti dalla Grecia, dalla Fenicia e dall’Egitto;

Babilonia era collegata attraverso le strade carovaniere che si dirigevano a est. La Ionia cadde sotto

il dominio della Persia intorno al 540 a.C., benché a Mileto venisse lasciato un certo grado

d’indipendenza. Dopo che una rivolta ionica contro i Persiani venne soffocata nel 494 a.C.,

l’importanza della Ionia incominciò a declinare. Essa divenne nuovamente greca nel 479 a.C.

quando la Grecia sconfisse l’impero persiano, ma già allora l’attività culturale si era spostata nella

Grecia continentale e aveva il suo epicentro ad Atene.

Sebbene la civiltà greca antica sia durata fino al 600 d.C., dal punto di vista della storia della

matematica è conveniente distinguere due periodi, quello classico, che va dal 600 al 300 a.C., e

quello alessandrino o ellenistico, che va dal 300 a.C. al 600 d.C.L’adozione dell’alfabeto, già menzionata, e il fatto che il papiro sia stato introdotto in Grecia

durante il VII secolo a.C. possono essere giustificazioni sufficienti del fiorire dell’attività culturale

intorno al 600 a.C. La disponibilità di questo tipo di supporto scrittorio favorì indubbiamente la

diffusione delle idee.

2. Le fonti generali

Le fonti della nostra conoscenza della matematica greca sono stranamente meno autentiche e menoattendibili di quelle di cui disponiamo per le molto più antiche matematiche babilonese ed egiziana,


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perché non ci è pervenuto nessun manoscritto originale dei matematici greci più importanti. Uno dei

motivi è che il papiro è deperibile; è vero che anche gli egiziani usavano il papiro, ma per un caso

fortunato alcuni dei loro documenti matematici sono sopravvissuti. Alcune opere greche sarebbero

potuto giungere fino a noi se le loro grandi biblioteche non fossero state distrutte.

Le nostre principali fonti per le opere matematiche greche sono codici bizantini scritti da 500 a

1500 anni dopo la composizione delle opere originali. Questi codici non sono riproduzioni

letterarie, ma edizioni critiche, cosicché non possiamo sapere quali cambiamenti potrebbero essere

stati introdotti dai curatori. Abbiamo anche traduzioni arabe delle opere greche e versioni latine

derivate da quelle arabe. Qui di nuovo non è possibile sapere quali cambiamenti i traduttori possono

avere apportato o quanto bene essi abbiano compreso i testi originali. Inoltre anche i testi greci usati

dagli autori bizantini e arabi erano discutibili.

Le notizie sul periodo classico della matematica greca le abbiamo da commenti agli Elementi di

Euclide, a libri di Archimede e di Apollonio. Fra questi molto notevole è il Commento di Proclo

(410-485 d.C.) al 1° libro degli Elementi di Euclide; in esso si trova un intermezzo storico, assai

ricco di notizie, che forse l’autore trasse da un’opera di maggiore mole scritta da Eudemo di Rodi,

nel 335 a.C. circa. Da quest’opera di Proclo, da altri commenti, dalle Vite di Plutarco (50-120 d.C.)

e da altri lavori storici si è potuto costruire il periodo pre-euclideo della matematica greca.

La ricostruzione della storia della matematica greca, basata sulle fonti che abbiamo descritto, è stata

un’impresa enorme e complicata. A dispetto dei grandi sforzi degli studiosi, vi sono ancora delle

lacune nella nostra conoscenza e alcune conclusioni sono discutibili. Ciò nonostante i fatti

fondamentali sono chiari.

3. Le principali scuole del periodo classico

La matematica greca classica si sviluppò in numerosi centri che si susseguirono l’un l’altro

costruendo ciascuno sull’opera dei predecessori. In ogni centro un gruppo informale di studiosi

portava avanti le sue attività sotto la guida di uno o più grandi maestri.La prima di queste scuole, quella ionica, fu fondata da Talete a Mileto (c.624-c.546 a.C.) e che ebbe

tra i suoi allievi i filosofi Anassimandro e Anassimene. Anche Anassagora apparteneva a questa

scuola e si suppone che Pitagora abbia imparato la matematica da Talete. Pitagora fondò poi la sua

grande scuola nell’Italia meridionale. Verso la fine del VI secolo, Senofane di Colofone (Ionia)

emigrò in Sicilia e fondò una scuola a cui appartenevano i filosofi Parmenide e Zenone. Questi

ultimi risiedevano a Elea, nell’Italia meridionale, dove si era trasferita la scuola e così il gruppo

divenne noto come scuola eleatica. I Sofisti, attivi dalla seconda metà del V secolo in poi, eranoconcentrati soprattutto ad Atene. Ma la scuola più celebre di tutte è l’Accademia di Platone ad


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Atene, di cui fu allievo Aristotele. L’Accademia ha avuto un’importanza senza pari per il pensiero

greco. I suoi allievi furono i più grandi filosofi, matematici e astronomi della loro epoca; la scuola

conservò la sua preminenza nella filosofia anche dopo che il ruolo di guida nella matematica passò

ad Alessandria. Eudosso, che imparò la matematica principalmente da Archita di Taranto, fondò la

propria scuola a Cizico, una città dell’Asia Minore settentrionale.

Aristotele, dopo avere lasciato l’Accademia platonica, fondò un’altra scuola ad Atene, il Liceo, che

viene comunemente detta scuola peripatetica.

4. La scuola ionica

Il capo e il fondatore di questa scuola fu Talete. Sebbene non possediamo conoscenze sicure sulla

vita e sull’opera di Talete, egli probabilmente nacque e visse a Mileto. Viaggiò a lungo e per un

certo periodo soggiornò in Egitto, dove si dedicò agli affari e imparò molte cose intorno alla

matematica egiziana. Incidentalmente, pare sia stato un astuto uomo d’affari.

Talete è ricordato specialmente per avere saputo sfruttare le proprietà dei triangoli simili. Dice

Diogene Laerzio:

«Talete ha misurato l'altezza delle piramidi mediante l'ombra, osservando il momento in cui la

nostra ombra è della stessa altezza di noi». E Plutarco nel Banchetto dei sette saggi immagina un

dialogo tra Nilosseno e Talete; Nilosseno dice a Talete, parlando del re egiziano Amasi: «Benché

egli ti ammirò anche per altre cose, pure pregia sopra tutte la misura delle piramidi, giacché tu,

senza fatica alcuna e senza ricorrere ad istrumenti, ma col solo infiggere il bastone all'estremo

dell'ombra proiettata dalla piramide hai dimostrato, servendoti dei due triangoli risultanti dai

contatti col raggio luminoso, che un'ombra ha rispetto all'altra lo stesso rapporto che l'altezza della

piramide a quella del bastone». Proclo attribuisce a Talete la conoscenza di altre proprietà, come ad

es., l'eguaglianza degli angoli opposti al vertice o degli angoli alla base di un triangolo isoscele o

che un diametro divide il cerchio in due parti eguali; ma queste proprietà sono troppo semplici e

troppo facilmente sperimentabili per dare a Talete il merito della loro scoperta. Talete è rimastocelebre per avere predetto un'eclissi solare, sembra che sia stata quella avveratasi il 28 maggio 585;

ma è dubbio se egli avesse conoscenze profonde di astronomia; è più probabile che egli avesse

appreso tali predizioni da qualche astronomo caldeo o egiziano o da qualche effemeride usata da

quegli astronomi.

Si attribuisce a Talete l’idea che una proposizione matematica espressa con precisione si potesse

dimostrare logicamente con un ragionamento formale, innovazione che segnò la nascita del

teorema, ora pietra miliare della matematica. Con questo passaggio la matematica cesserà di essereuna raccolta di tecniche di misurazione, di conteggio e contabilità, per diventare un’area di studio


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astratto. Per i greci questo nuovo modo di affrontare la matematica culminerà nella pubblicazione

degli Elementi di Euclide, il libro più diffuso di tutti i tempi dopo la Bibbia.

Sono attribuite a Talete anche la scoperta del potere di attrazione dei magneti e quella dell’elettricità

statica.

La scuola ionica merita soltanto una breve citazione per quel che riguarda i suoi contributi alla

matematica vera e propria, ma la sua importanza per la filosofia, e in particolare per la filosofia

della scienza, è senza pari.

L’importanza della scuola declinò quando la regione fu conquistata dai Persiani.

5. La scuola pitagorica

La scuola pitagorica rappresenta un movimento di pensiero di livello scientifico molto superiore a

quello della scuola ionica. Membri eminenti di questa scuola furono Filolao e Archita. Non esistono

opere scritte dei Pitagorici e quanto sappiamo di loro proviene dagli scritti di altri autori, fra cui

Platone ed Erodoto.

Nato a Samo, un’isola situata al largo delle coste dell’Asia Minore, Pitagora abbandonò circa a

quarant’anni la propria patria per trasferirsi nella Magna Grecia, e precisamente a Crotone in

Calabria. Qui fondò una scuola che ebbe un notevole peso nella vita politica della città, essendo

legata al partito aristocratico. Era organizzata sulla base di regolamenti molto rigorosi, che, tra

l’altro, esigevano dagli scolari un lungo periodo di tirocinio prima di essere ammessi ai segreti più

profondi della setta. Su questa base si creò assai presto la divisione fra , ascoltatori,

e , partecipi degli insegnamenti più profondi. Verso la fine del sesto secolo, una

sommossa provocata dal partito democratico cacciò i pitagorici da Crotone. Pitagora riparò nella

vicina Metaponto, dove fu assassinato nel 497 a.C.

La dottrina pitagorica s’imperniava su di un pensiero fondamentale: i numeri sono il principio di

tutte le cose. >Col termine “numeri” i pitagorici intendevano soltanto i numeri interi, concepiti come le collezioni

di più unità. Non fecero particolari indagini sulla natura di queste unità, limitandosi a rappresentarle

con punti, circondati ciascuno da uno spazio vuoto. Proprio questa rappresentazione spaziale facilitò

il passaggio dalla concezione del numero in rapporto alle cose, alla sua concezione come costituente

fisico elementare delle cose.

Il problema essenziale diventava allora, per i pitagorici, quello di cogliere il modo con cui dalla

collezione di più unità si generano tutti gli esseri. Le leggi della formazione dei numeri venivano


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considerate come leggi della formazione delle cose, e si riteneva di poter trovare in esse la vera

ragione esplicativa del mondo fisico e morale.

La più importante di tali leggi era costituita – secondo i pitagorici – dall’opposta struttura dei

numeri dispari e di quelli pari. L’antitesi dispari-pari veniva così assunta a principio di una serie di

altre nove opposizioni, che spezzano il mondo in due: limitato-illimitato; uno-molti; destra-sinistra;

maschio-femmina; luce-tenebra; buono-cattivo; immobile-mobile; retto-curvo; quadrato-rettangolo.

Tutto questo finiva con l’infondere ai numeri in generale, e a certuni di essi in particolare, un vero e

proprio valore magico-simbolico. Così il numero 5 veniva assunto a rappresentare il matrimonio,

essendo la somma del primo numero dispari, il 3, con il primo numero pari, il 2 (l’1 veniva

considerato come “parimpari” servendo a generare sia i numeri pari che i dispari); il 4 e il 9

venivano presi come simboli della giustizia; il 7 dell’opportunità; e così via.

I pitagorici classificavano i numeri a seconda delle forme che si ottenevano disponendo nei vari

modi i punti. Così, i numeri 1, 3, 6, 10 erano detti triangolari perché i corrispondenti punti potevano

essere disposti a triangolo. Al numero triangolare 10 veniva attribuita un’importanza speciale, come

somma dei primi quattro numeri naturali. I numeri 1, 4, 9, 16,… venivano chiamati numeri quadrati

perché intesi come punti potevano essere disposti in un quadrato.

Questa particolare concezione dei numeri spinse i pitagorici a studiare la geometria per via

aritmetica. Ne sorse una disciplina che, per il suo doppio carattere, fu chiamata . Essa ebbe vita breve e la sua crisi fu causata dalla scoperta che le figure geometriche

sono costituite non da un numero finito, ma da una infinità di punti. Il primo

che costrinse i pitagorici a riconoscere che le figure sono costituite da infiniti punti, è proprio

connesso a quel medesimo teorema che porta il nome di Pitagora. Ed infatti, applicando detto

teorema ad uno dei due triangoli isosceli in cui è diviso un quadrato, si dimostra facilmente che il

lato e la diagonale di tale quadrato non possono avere alcun sottomultiplo comune, cioè sono

incommensurabili. Orbene, proviamo a supporre che un segmento sia generato dall’accostamento di

una serie finita di punti (piccoli ma non nulli, e tutti eguali fra loro, come allora si immaginava): neseguirebbe che uno qualunque di questi punti risulterebbe contenuto un numero intero, e finito, di

volte (per esempio m volte) nel lato e un altro numero intero, e finito, di volte (per esempio n volte)

nella diagonale. Lato e diagonale avrebbero dunque un sottomultiplo comune, e non sarebbero –

come si era dimostrato – incommensurabili. La loro incommensurabilità esige pertanto che essi

siano costituiti da una infinità di punti.

La leggenda racconta che il fatto scandaloso, ora riferito, fu gelosamente custodito per vari anni tra i

segreti più pericolosi della setta. Esso fu rivelato fuori della scuola pitagorica da Ippaso diMetaponto, una delle figure più notevoli dell’antico pitagorismo. Per questo fu cacciato


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Particolarmente ardite furono le sue concezioni in aritmetica e in acustica: quanto alla prima egli

contribuì a sviluppare il concetto che il numero è essenzialmente un rapporto, perciò indipendente

dalle condizioni di commensurabilità e razionalità, e potè quindi tornare a rivendicare la supremazia

dell'aritmetica fra le scienze matematiche; quanto alla seconda, egli scoprì che il suono è dovuto al

movimento e all'urto dei corpi, che l'aria è un corpo atto a ricevere la vibrazione e a propagarla e

propose anche una teoria delle scale musicali.

La tradizione, che fa di Archita uno dei maestri di Eudosso, anche se dubbia, vale certamente a

simboleggiare la funzione del tarantino nel passaggio dalla matematica del V secolo alla grande

fioritura che ebbe luogo nel IV.

Da tutto quanto si è detto la conclusione che si può trarre è semplice e breve: è per opera di Pitagora

e della sua scuola che la matematica assurge veramente a maestà di scienza.

6. La scuola eleatica e la scuola atomista

Contemporanea alla scuola pitagorica fu la scuola eleata, fondata ad Elea (nell’antica Lucania, oggi

Basilicata) da Senofane di Colofone (città della Ionia). Il suo principio fondamentale era quello

dell’unità (indivisibilità )e immutabilità dell’essere, e questo principio fu sostenuto, dopo Senofane,

da Parmenide che diede grande sviluppo alle dottrine eleatiche; il principio stesso condusse alla

concezione dello spazio quale fu espressa da Anassagora di Clazomene, celebre filosofo vissuto tra

il 500 e il 428 a.C., che influenzò con le sue idee la scuola ionica e quella eleatica.

Anassagora giunge ad una concezione profonda dello spazio, precorrendo così Euclide e la moderna

geometria.

.

Contro questa concezione insorgeva la teoria atomistica propugnata da Democrito di Abdera (460-370 circa). Secondo questa teoria la sostanza fondamentale è costituita da numerosissime particelle

indivisibili (atomi), ed è unica, presentando diversità solo apparenti, che dipendono dalla posizione

e dal moto di queste particelle. Democrito, in uno dei frammenti che ci sono rimasti, si esprime

così: .

Ma dalla concezione dello spazio, secondo Anassagora, e cioè come illimitato internamente,

nasceva quella della sua illimitata suddivisibilità, che trovava appoggio nella scoperta dellegrandezze incommensurabili, fatta dai pitagorici; ma anche contro l’illimitata suddivisibilità dello


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spazio insorgeva Democrito con questa argomentazione: .

Si noti che Pitagora aveva concepito il punto come unità avente posizione e quindi senza grandezza

alcuna, e i pitagorici ne avevano dedotto che ogni corpo geometrico è una somma di unità.

Ma non meno accanita contro gli atomisti e i pitagorici si dimostra la scuola eleatica a sostegno dei

suoi principi fondamentali. Dopo Parmenide è il suo allievo Zenone che con i suoi famosi

paralogismi lancia strali infuocati alle due scuole. Ecco alcuni argomenti contro la pluralità

dell’essere, sostenuta da Democrito. Se

Se l’essere fosse multiplo dovrebbe essere nello stesso tempo infinitamente piccolo ed infinitamente

grande. Infatti, pluralità è serie di unità indivisibili, le unità indivisibili non hanno grandezza

(perché tutto ciò che ha grandezza è divisibile all’infinito). Ciò che non ha grandezza può essere

aggiunto o tolto ad una grandezza senza che questa si alteri, per conseguenza la pluralità è

infinitamente piccola. Ma la pluralità è anche infinitamente grande. Infatti ciò che non ha grandezza

non esiste, cosicché la pluralità per esistere deve avere una grandezza, e però le sue parti devono

essere discoste e tra esse ci deve essere una grandezza, applicando a questa lo stesso ragionamento

si conclude che la pluralità è infinitamente grande.

(Si noti la confusione che fa Zenone tra grandezze nulle e grandezze infinitesime; egli poi non

riflette che la riunione di grandezze infinitesime può dar luogo ad una grandezza finita).

Zenone fa un analogo ragionamento per dimostrare che, rispetto al numero, ciò che è multiplo è, ad

un tempo, limitato ed illimitato.

A sostegno dell'immutabilità dell'essere e perciò contro il movimento è celebre il paralogismo di

Zenone che il piè veloce Achille non può raggiungere la tartaruga e quello della freccia che

lanciata nello spazio si muove e non si muove nel tempo stesso.Zenone dice così: quando Achille sarà arrivato al posto dov'era la tartaruga, questa non vi è più

perché si è mossa, quando egli arriverà al posto dov'era ora, la tartaruga non vi sarà più, e così via

indefinitamente; dunque Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Una freccia che vola è in ogni istante in una posizione determinata e quindi in riposo; la freccia è

dunque in ogni istante in riposo e perciò il suo moto è apparente.

Zenone nel primo paralogismo mostra di conoscere che una serie di tempuscoli infinitesimi può

formare un tempo finito, nel secondo confonde la quiete istantanea con quella assoluta. Oggi i suoiλóγoι appaiono sciocchi e ridicoli; ma noi dobbiamo riferirci all'epoca in cui furono formulati, cioè


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quando le concezioni di tempo e di spazio erano nebulose, com'erano imprecise le nozioni di

infinitesimo e d'infinito. E però notevole il fatto che queste due nozioni, come anche quelle del

continuo, cominciano già a manifestarsi, sebbene passerà più di un millennio perché esse divengano

ciò che oggi sono: il fondamento della matematica (moderna). In queste discussioni noi vediamo il

travaglio della filosofia naturale dei Greci dinanzi alle concezioni matematiche che acquistano una

sempre maggiore astrattezza. Né le argomentazioni della scuola eleatica né quelle della scuola

atomista potevano scuotere le salde basi della geometria secondo la concezione di Anassagora e

della scuola italica, concezione che non poteva essere compresa subito e dalla generalità dei filosofi,

che si lasciavano offuscare dall’ intuizione; ma il significato di quella concezione non poteva

sfuggire ad una mente acuta come quella di Aristotele. Infatti osserva lo Stagirita che


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L’origine di questi famosi problemi di costruzione viene riferita in vari modi. Sulla duplicazione del

cubo ci è stata tramandata un’interessante leggenda: a Delo esisteva un celebre tempio consacrato

ad Apollo con un altare a forma di cubo. Essendo una volta scoppiata nella città una grave

pestilenza fu interpellato l’oracolo onde sapere quale dono il dio esigesse per far cessare la grave

sciagura. Fu risposto che egli desiderava l’erezione di un altare, sempre di forma cubica, ma con

volume doppio del precedente. Gli abitanti credettero di ottemperare la richiesta costruendo un

altare con spigolo doppio; la pestilenza però, anziché cessare, subì una notevole recrudescenza. Ce

cosa era accaduto ? Semplicissimo! La richiesta del dio non era stata eseguita; il volume dell’altare

era stato infatti moltiplicato per otto, non per due!

A parte la leggenda ora riferita, è chiaro che il problema della duplicazione del cubo non costituì

altro che un ampliamento del problema della duplicazione del quadrato, che aveva potuto venir

facilmente risolto per mezzo del teorema di Pitagora (è chiaro infatti che se il quadrato primitivo ha

per lato l’unità, il quadrato doppio deve avere lato √2, cioè la diagonale del quadrato stesso). Ma il

problema della duplicazione del cubo risultò subito assai più difficile, portandoci dal campo delle

radici quadrate a quello delle radici cubiche.

Il primo tentativo noto per risolvere uno dei tre famosi problemi fu effettuato da Anassagora,

appartenente alla scuola ionica, che si dice abbia lavorato sulla quadratura del cerchio mentre era in

prigione. Non sappiamo nulla di più della sua opera.

Chi nel V secolo diede comunque il maggior contributo alla soluzione di questi problemi fu il

matematico Ippocrate di Chio (da non confondere con il celebre medico Ippocrate di Cos), uno dei

più notevoli ingegni della sua epoca.

Si racconta che egli fosse un commerciante, ma, avendo perduto tutto quanto possedeva, si recò ad

Atene dove ed insegnò la geometria, probabilmente fra il 450 e

il 430. Fu per l’appunto la necessità di dare un ordine preciso alla propria materia di insegnamento

che lo indusse a scrivere quello che oggi diremmo un ; tale libro ebbe il titolo

generico di Elementi (Stoichéia) e aprì la strada ai futuri Elementi di Euclide.Volendo accennare al contributo dato da Ippocrate allo studio del problema della duplicazione del

cubo, basta ricordare che egli dimostrò l’equivalenza fra tale problema e un altro, a prima vista

completamente diverso, riguardante le proporzioni. Questo secondo problema consiste nella ricerca

di una doppia media proporzionale da inserirsi fra due segmenti, di lunghezza a e 2°; si tratta in altri

termini i trovare due segmenti incogniti x ed y tali che a : x = x : y = y : 2a. Con le nostre

conoscenze di algebra, basta poco per ricavare da questa proporzione il valore di x: x 3 = 2a3, e

quindi si comprende senza difficoltà l’equivalenza dei due problemi. Partendo invece dagli scarsimezzi matematici posseduti nel V secolo, la scoperta di Ippocrate presenta una notevole difficoltà;


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8. La scuola platonica

La scuola platonica succedette a quella sofistica nella leadership dell’attività matematica. I suoi

precursori, Teodoro di Cirene (nato intorno al 470 a.C.) e Archita di Taranto (428-347 a.C.), erano

pitagorici e furono entrambi maestri di Platone. I loro insegnamenti devono essere stati la causa

della profonda influenza pitagorica su tutta la scuola platonica.

Teodoro è noto per aver dimostrato che i rapporti che noi indichiamo con , , ,…, sono

incommensurabili con l’unità. Di Archita ne abbiamo già parlato nel paragrafo sulla scuola

pitagorica.

La scuola platonica era capeggiata da Platone e comprendeva Menecmo, suo fratello Dinostrato e

Teeteto. Molti altri suoi membri ci sono noti soltanto di nome.

Platone (427-347 a.C.) era nato da una nobile famiglia e nella sua giovinezza nutrì ambizioni

politiche. Ma la sorte di Socrate (suo maestro, fu accusato di empietà e di opera corruttrice sui

giovani, fu condannato a bere la cicuta nel 399) lo convinse che non vi era posto nella politica per

un uomo di coscienza. Platone fece suo il fondamento della dottrina pitagorica. I suoi contatti con

gli ultimi pitagorici furono molto stretti. Dopo la morte di Socrate, egli viaggiò lungamente.

Secondo Cicerone, andò in Egitto e a Cirene ascoltò le lezioni di Teodoro (di cui parla con grande

venerazione nel celebre suo dialogo Teeteto). Fu anche nella Magn

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