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LICEO CLASSICO “F. SCADUTO” – BAGHERIA

APPUNTI DI STORIA DELLA MATEMATICA

A CURA DEL PROF. CIRO SCIANNA

LA MATEMATICA ANTICA :

DAI BABILONESI AGLI EGIZIANI.

LA MATEMATICA GRECA CLASSICA.

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IndiceIndiceIndiceIndice

���� LLLLa matematica antica: dai babilonesi agli egiziania matematica antica: dai babilonesi agli egiziania matematica antica: dai babilonesi agli egiziania matematica antica: dai babilonesi agli egiziani

1. Quando nasce la matematica? p. 3

2. Storia e preistoria della matematica p. 5

3. La storia politica della Mesopotamia p.7

3

4. La matematica babilonese p.8

5. Le operazioni aritmetiche p.11

6. L’algebra babilonese p.10

7. La geometria babilonese p.12

8. Le applicazioni della matematica in Mesopotamia p.14

9. La storia politica dell’Antico Egitto p.15

10. Le origini della matematica egizia p.16

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11. La matematica egizia e le sue fonti p.17

12. Le applicazioni egiziane della matematica p.18

13. La matematica dell’antichità: l’eredità comune p.20

•••• Testi consultati p.22

���� La creazione della matematica greca classicaLa creazione della matematica greca classicaLa creazione della matematica greca classicaLa creazione della matematica greca classica

1. Lo sfondo p.23

2. Le fonti generali p.24

5

3. Le principali scuole del periodo classico p.24

4. La scuola ionica p.25

5. La scuola pitagorica p.26

6. La scuola eleatica e la scuola atomista p.29

7. La scuola sofistica p.31

8. La scuola platonica p.34

9. La scuola di Eudosso p.36

6

10. L’astronomia eudossiana p.38

11. La scuola aristotelica p.40

���� La matematica greca ellenisticaLa matematica greca ellenisticaLa matematica greca ellenisticaLa matematica greca ellenistica

1. Il periodo aureo della matematica greca p.43

•••• Testi consultati p.45

LA MATEMATICA ANTICA: DAI BABILONESI AGLI EGIZIANI

1. Quando nasce la matematica?

La matematica, se intesa come disciplina organizzata e indipendente, non esisteva prima dell’entrata

in scena dei Greci del periodo classico compreso fra il 600 e il 300 a.C.; se intesa invece

genericamente come l’impiego di numeri e figure geometriche, essa cominciò a svilupparsi migliaia

di anni prima dell’opera compiuta dai greci dell’età classica. In senso lato, il termine matematica

include il contributo di molte civiltà anteriori, tra le quali il posto più importante spetta a quella

babilonese e a quella egiziana. Presso tutte queste civiltà, la matematica non possedeva una propria

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metodologia e non era impiegata se non per fini immediatamente pratici. Essa era uno strumento,

una serie di regole semplici e tra loro non collegate che permetteva di superare i problemi della vita

di tutti i giorni: il computo del calendario, l’agricoltura, il commercio. A queste regole si giunse per

tentativi ed errori, attraverso l’esperienza e la semplice osservazione; per di più molte di esse erano

solo approssimativamente corrette. Potremmo caratterizzare la matematica di queste civiltà antiche

definendola una matematica empirica. La matematica empirica dei babilonesi e degli egiziani servì

solo come base preliminare all’opera dei greci.

Benché la cultura greca non fosse del tutto libera da influenze esterne (i greci colti viaggiavano e

studiavano in Egitto e in Babilonia), ciò che i greci crearono è tanto diverso da quello che

ereditarono quanto l’oro dall’orpello.

Perché avvenne questo ? Fu l’irreprimibile desiderio dei Greci di comprendere il mondo fisico che

li spinse a creare e ad apprezzare la matematica. Essa era una parte dell’investigazione della natura

e costituiva la chiave per la comprensione dell’universo in quanto le leggi matematiche sono

l’essenza della sua organizzazione. La matematica era, per i Greci, lo strumento per scoprire la

verità. Come tale, essi non potevano più basarsi sui risultati rozzi, empirici, limitati, confusi e

spesso approssimativi che erano stati raccolti dai loro predecessori, specialmente dagli egiziani e dai

babilonesi.

Ogni civiltà degna di questo nome ha ricercato la verità. L’uomo intelligente non può fare a meno di

cercare di capire la molteplicità dei fenomeni naturali, di risolvere il mistero della presenza

dell’uomo sulla terra, di comprendere lo scopo della vita e di interrogarsi sul destino umano. In tutte

le civiltà antiche erano i capi religiosi a rispondere a questi interrogativi, e tutti accettavano le loro

parole; l’unica eccezione è costituita dall’antica civiltà greca. I greci scoprirono, e questa fu la più

grande scoperta compiuta dall’uomo, il potere della ragione. Furono i greci dell’età classica a

rendersi conto che l’uomo è dotato di un’intelligenza, di una mente che, talvolta aiutata

dall’osservazione e dalla sperimentazione, può scoprire la verità.

Non è ancora chiaro che cosa condusse i greci a questa scoperta. Fu nella Ionia, una colonia greca

dell’Asia Minore, che per la prima volta alcuni uomini cominciarono ad applicare la ragione in

ambito umano. Molti storici hanno cercato di spiegare questo processo analizzando le condizioni

politiche e sociali: per esempio gli ionici erano molto meno condizionati da quei vincoli religiosi

che invece dominavano la cultura greca in Europa. In ogni caso abbiamo una conoscenza tanto

frammentaria della storia greca anteriore al 600 a.C. da non poter giungere ad una spiegazione

definitiva.

Col passar del tempo i greci indagarono con strumenti razionali i sistemi politici, l’etica, la

giustizia, l’istruzione e numerosa altre attività umane. Il loro contributo principale che influenzerà

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in maniera decisiva tutte le civiltà posteriori, fu di accettare la più grande sfida lanciata alla ragione:

la comprensione delle leggi naturali. Prima di dare questo contributo, sia i greci sia le altre civiltà

antiche consideravano la natura qualcosa di caotico, d’incostante e di terrificante. Gli eventi naturali

o non venivano spiegati oppure erano attribuiti alla volontà arbitraria degli dei che poteva essere

resa propizia solo con preghiere, sacrifici e altri rituali. I babilonesi e gli egiziani, le cui civiltà

erano a un livello molto alto già dal 3000 a.C., avevano notato delle periodicità nei movimenti della

luna e del sole e, pur basando su di esse i loro calendari, non vi scorsero alcun significato profondo.

I maggiori pensatori greci rifiutarono le dottrine tradizionali, le forze soprannaturali, le

superstizioni, i dogmi, e ogni altra cosa che potesse essere di ostacolo al pensiero.

Essi furono i primi a esaminare e a tentare di capire gli aspetti multiformi, misteriosi e complessi

della natura. Contrapposero le capacità della loro mente al caos di eventi apparentemente casuali

dell’universo e si assunsero il compito di illuminarli con la luce della ragione. Bandirono tanto la

mitologia quanto la credenza che gli dei governassero a loro arbitrio l’uomo e il mondo fisico.

Essi giunsero infine a elaborare la dottrina secondo cui la natura è ordinata e agisce secondo un

grandioso disegno. Tutti i fenomeni percepibili dai sensi, dai moti planetari allo stormire delle

foglie, possono essere inseriti in una struttura precisa, coerente e intellegibile; insomma la natura

segue un disegno razionale e l’uomo, sebbene non possa modificarlo, può nondimeno comprenderlo

con la mente.

L’applicazione della matematica fu il passo decisivo che fugò dai processi naturali ogni ombra di

mistero, di misticismo e di apparente caos, e li sostituì con un modello comprensibile. In ciò i greci

mostrarono un intuito fecondo e originale, pari quasi a quello che li guidò alla scoperta del potere

della ragione. L’universo segue un disegno matematico e attraverso la matematica l’uomo può

impadronirsi del segreto di tale disegno.

I greci ricercarono quindi con determinazione la verità, specialmente sulla struttura matematica

della natura. E quindi anche la matematica, con i suoi elementi fondamentali del numero e delle

figure geometriche, doveva essere un corpo di verità. Il ragionamento matematico, volto a stabilire

verità valide anche per i fenomeni fisici (per esempio per il moto degli astri), doveva condurre a

conclusioni assolutamente certe. Come potevano essere raggiunti questi obiettivi ? Come si può

ricercare la verità, assicurandosi nello stesso tempo che ciò che si è trovato sia vero ? Anche per

questo i greci idearono un progetto risolutivo. Tale progetto si sviluppò gradatamente nel periodo

che va dal 600 al 300 a.C., culminando nella formalizzazione del cosiddetto metodo assiomatico-

deduttivo da parte di Euclide.

2. Storia e preistoria della matematica

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La prima forma di matematica utilizzata dall’uomo primitivo era quella legata al conteggio.

Nel 1937, in Cecoslovacchia, sono state rinvenute delle lunghe ossa di lupo con tacche incise,

databili attorno al 30.000 a.C., nelle quali è chiaramente ravvisabile la traccia di un conteggio. In

esse sono riportate cinquantacinque tacche, suddivise a gruppi di cinque, e ciò sembra indicare che

il 5 sia da considerare come base di un sistema primitivo di numerazione. Intorno al 25.000 a.C. alla

rudimentale aritmetica si affiancò un’iniziale forma di geometria: in quell’epoca comparvero infatti

le incisioni di disegni geometrici primitivi.

Le civiltà primitive non andavano al di là della distinzione fra uno, due e molti; altre possedevano i

numeri interi più grandi ed erano in grado di effettuare operazioni su di essi; altre ancora giunsero a

riconoscere i numeri come concetti astratti, ad adottare speciali parole per indicare i singoli numeri,

ad introdurre dei simboli per i numeri e anche ad usare basi quali dieci, venti o cinque per denotare

unità di quantità più grandi. Si possono anche trovare le 4 operazioni dell’aritmetica, per quanto

limitate a numeri piccoli, e il concetto di frazione, ristretto tuttavia a 1/2, 1/3 e simili ed espresso a

parole. In aggiunta a ciò, vennero anche riconosciute le nozioni geometriche più semplici, quali

quelle di retta, cerchio ed angolo. E’ forse interessante notare che il concetto di angolo deve essere

sorto dall’osservazione dell’angolo formato dalle parti inferiore e superiore della gamba o del

braccio umani, perché in molte lingue la parola che indica il lato di un angolo coincide con quella

che indica il braccio o la gamba. Le applicazioni della matematica in queste civiltà primitive si

limitavano alle più semplici operazioni legate al commercio, al calcolo grossolano delle aree dei

campi, alla decorazione geometrica sulle ceramiche, al ricamo di disegni sui tessuti e alla

registrazione del tempo.

Ora, se consideriamo che le popolazioni primitive crearono i primi insediamenti costruendo

abitazioni e praticando l’agricoltura e l’allevamento del bestiame fin dal 10.000 a.C., ci si può

rendere conto di quanto lenti furono i primi passi mossi dalla matematica più elementare. Circa

cinque millenni fa, finalmente, fecero la propria comparsa le prime forme di matematica sviluppata

presso i Babilonesi e gli Egiziani.

Intorno al 3.000 a.C. può essere datata la prima testimonianza matematica scritta conosciuta: sulla

sommità dello scettro di Menes, rappresentante della prima dinastia dei Faraoni, troviamo registrate

numericamente con la scrittura a geroglifici, alcune prede di guerra. Gli Egiziani si mostrarono

pienamente in grado di rappresentare grandi quantità attraverso i numeri: 400.000 buoi, 1.422.000

capre e 120.000 prigionieri.

Nel Vicino Oriente Antico, una vasta area che comprende la Mesopotamia, l’invenzione del calcolo

precedette quella della scrittura; ciò è dimostrato dal rinvenimento, nei siti archeologici della vasta

area geografica compresa tra le coste del Mediterraneo e l’Iran orientale e tra la Turchia e Israele, di

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oggetti di forme diverse che servivano a svolgere operazioni di calcolo, i cosiddetti “contrassegni”.

I contrassegni sono piccoli oggetti d’argilla che rappresentavano unità di calcolo, come, per

esempio, una certa misura di cereali o un capo di bestiame.

Gli scavi stratigrafici e la datazione dei materiali reperiti hanno consentito d'inserire in una cornice

cronologica l'evoluzione di questo sistema di calcolo. I primi contrassegni apparvero verso l'8000,

contemporaneamente all'addomesticamento degli animali e delle piante; la loro distribuzione

geografica corrisponde a quella dei primi insediamenti sedentari in Siria e in Iraq. Sembra quindi

che la consuetudine di registrare gli oggetti dotati di un valore economico possa essere correlata alla

nascita dell'agricoltura. La necessità di tenere i conti nacque dal nuovo modo di vita basato sulla

pianificazione del raccolto e sull'immagazzinamento del cibo; i contrassegni furono inventati per

soddisfare questa necessità. Verso il 6000 essi erano già diffusi in tutto il Vicino Oriente,

rimanendo sostanzialmente immutati per due millenni. Nel periodo preistorico, tra l'8000 e il 4500,

il repertorio dei contrassegni era composto da forme semplici e includeva poche forme geometriche,

in particolare coni, sfere, cilindri, tetraedri e ovoidi; la superficie dei manufatti era in generale priva

di segni incisi. Questi primi contrassegni semplici rappresentavano prodotti della terra e

dell'allevamento, vale a dire, quantità di cereali e capi di bestiame.

I vari sistemi per denotare i numeri nella scrittura cuneiforme, che vide la luce intorno al 3.300 a.C.,

si possono interpretare proprio come una continuazione diretta dei contrassegni.

I testi cuneiformi trovati nell’area templare dell’Eanna, nella città di Uruk, risalenti al 3.200 circa

facevano uso di una famiglia accuratamente elaborata di sistemi numerici interrelati: un sistema

sessagesimale e uno bisessagesimale (cioè 60x60) di numeri per contare, un sistema di numeri per

misurare capacità, uno per misurare aree e uno per misurare il tempo.

La complessità della famiglia di sistemi numerici, e la complessità di numerosi tipi di testi

amministrativi risalenti al periodo dei primi documenti scritti, rendono evidente che già 5.200 anni

fa l’insegnamento della numerazione deve aver svolto un ruolo importante nelle scuole scribali

mesopotamiche. Come mostrano i testi che ci sono pervenuti, il curriculum scolastico degli scriba

nel primo periodo della scrittura doveva comprendere gli elementi fondamentali dell’aritmetica,

semplici calcoli di aree, divisioni e la risoluzione di alcuni sistemi di equazioni lineari. E’ questo

l’inizio della tradizione matematica in Mesopotamia.

Proprio in considerazione della prima presenza di una scrittura matematica, cominceremo il nostro

viaggio attraverso la storia della matematica, dall’esame dell’aritmetica e della geometria che

fiorirono nelle civiltà dell’Antico Egitto e dell’Antica Mesopotamia.

3. La storia politica della Mesopotamia

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I Babilonesi furono i primi, insieme agli Egiziani, a portare un contributo al corso principale della

matematica.

Il termine “babilonese” copre una serie di popolazioni che, contemporaneamente o successivamente

occuparono l’area situata fra i fiumi Tigri ed Eufrate e nelle loro vicinanze; questa regione è cono-

sciuta come Mesopotamia e fa ora parte del moderno Iraq.

Queste popolazioni vivevano in città indipendenti quali Babilonia, Ur, Nippur, Susa, Assur, Uruk,

Lagash, Kish e altre. Intorno al 4000 a.C. i Sumeri, popolazione di razza diversa dai Semiti e dagli

Indoeuropei, si insediarono in una parte della Mesopotamia. La loro capitale era Ur e la parte dei

territori che essi controllavano venne chiamata Sumeria. Sebbene la loro cultura raggiungesse il suo

culmine intorno al 2250 a.C., già prima, nel 2500 a.C. circa, i Sumeri vennero sottomessi

politicamente dagli Accadi, una popolazione semitica la cui città principale era Accad e che era

allora guidata dal sovrano Sargon. La civiltà sumera fu sopraffatta da quella accadica. Un periodo di

alto livello culturale si ebbe durante il regno del re Hammurabi (1700 a.C. circa), che è noto per

essere stato il promulgatore di un famoso codice di leggi.

Intorno al 1000 a.C. le migrazioni e l’introduzione del ferro provocarono ulteriori cambiamenti.

Successivamente, nell’Ottavo secolo a.C., la regione cadde sotto il dominio degli Assiri, che si

stabilirono principalmente nella regione del Tigri superiore. Per quanto ne sappiamo, essi non

aggiunsero nulla di nuovo alla cultura già esistente.

Un secolo dopo l’impero assiro venne spartito tra i Caldei e i Medi, i quali ultimi erano assai vicini

ai Persiani che stavano più a est. Questo periodo della storia mesopotamica (VII secolo a.C.) viene

spesso citato come periodo caldeo. Il Vicino Oriente venne conquistato dai Persiani guidati da Ciro

intorno al 540 a.C. I matematici persiani, quali Nabu-rimanni (c.490 a.C.) e Kidim (c.480 a.C.),

divennero così noti ai Greci.

Nel 330 a.C. Alessandro Magno conquistò la Mesopotamia. Il periodo che va dal 300 a.C. alla

nascita di Cristo viene detto “seleucidico”, dal nome del generale greco Seleuco che s’impadronì

per primo del controllo della regione dopo la morte di Alessandro avvenuta nel 323 a.C.

Tuttavia la fioritura della matematica greca aveva già avuto luogo e dall’epoca di Alessandro

Magno fino al VII secolo d.C., quando entrarono in scena gli Arabi, l’influenza greca fu

predominante in tutto il Vicino Oriente. La maggior parte dei contributi apportati dai babilonesi alla

matematica appartengono all’epoca che precede il periodo seleucidico. Nonostante i numerosi

cambiamenti di dominazione succedutisi in Mesopotamia, vi fu, per quel che riguarda la

Matematica, una continuità di cultura, tradizioni e pratica dai periodi più antichi fino almeno

all’epoca di Alessandro Magno.

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4. La matematica babilonese

Le nostre principali informazioni concernenti la civiltà e la matematica babilonesi sia antiche sia più

recenti provengono dai testi scritti su tavolette di argilla. Queste tavolette venivano incise quando

l’argilla era ancora morbida ed erano poi sottoposte a cottura. Per questo motivo quelle che sono

sopravvissute alla distruzione sono in buono stato di conservazione. Esse risalgono principalmente a

due periodi: quello intorno al 2000 a.C. e, in numero maggiore, quello che va dal 600 a.C. al 300

d.C. Le tavolette più antiche sono le più importanti per la storia della matematica. La lingua e la

scrittura delle tavolette più antiche sono quelle accadiche, appartenenti al gruppo semitico, che

avevano soppiantato la lingua e la scrittura antecedenti dei Sumeri. Le parole della lingua akkadica

erano costituite da una o più sillabe e ogni sillaba era rappresentata da un insieme di segmenti

rettilinei. Gli Accadi usavano uno stilo a sezione triangolare che veniva appoggiato con una certa

angolazione sull’argilla e produceva incisioni a forma di cuneo che potevano essere orientate in

modo diversi. Per tale motivo questo tipo di scrittura è diventato noto con il nome di scrittura

cuneiforme .

La ricerca sulla matematica mesopotamica conobbe il suo periodo pionieristico a partire dalla

seconda metà dell’800, quando cominciarono a essere comprese la metrologia e le notazioni

numeriche usate nei testi amministrativi cuneiformi. Tra il 1916 e il 1945 si ebbe un rapido aumento

di testi matematici cuneiformi provenienti dai musei del Vecchio e Nuovo Mondo, individuati e

pubblicati (anche se, spesso ritrovati nel corso di scavi non autorizzati, non avevano una

provenienza nota), dei quali cominciò a essere compresa la difficile e particolare terminologia. A

partire dagli anni settanta del novecento si è avuta una ripresa di questi studi, che si sono allargati ai

testi matematici e metro-matematici del III millennio, sono state rimesse in questione traduzioni e

interpretazioni consolidate dei testi già pubblicati, e sono apparsi i primi studi generali sull’intero

corpus dei testi matematici mesopotamici.

L’aritmetica più progredita della civiltà babilonese è quella akkadica. I numeri interi venivano

scritti nel modo seguente:

Due fattori sembrano aver favorito uno sviluppo sorprendentemente rapido della matematica nel

periodo compreso tra il 1.900 e il 1.600 (periodo paleobabilonese). Innanzitutto l’invenzione di un

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sistema di notazione posizionale per il sistema di numerazione sessagesimale, nel quale uno stesso

simbolo ha diverso valore se scritto prima di altri, avvenuta probabilmente intorno al 2.500.

Importante fu anche un mutamento nel clima culturale, cioè il passaggio da uno Stato centralizzato

e da una burocrazia onnipresente e presumibilmente caratterizzata, per quanto attiene all’in-

segnamento delle tecniche di calcolo, da un approccio meramente utilitaristico, a una burocrazia

meno onnipresente e più aperta alle istanze individuali.

5. Le operazioni aritmetiche e le tavole matematiche e metrologiche

Nel sistema babilonese i simboli che denotavano 1 e 10 erano fondamentali. I numeri da 1 a 59

venivano formati combinando fra loro un numero maggiore o minore di questi simboli. I processi di

addizione e sottrazione consistevano perciò semplicemente nell’aggiungere o togliere simboli. Per

indicare l’addizione i Babilonesi accostavano i numeri l’uno all’altro come , che significa 16.

La sottrazione veniva spesso indicata con il simbolo . Così, significa 40 – 3. Nei testi

astronomici di un periodo successivo compare la parola “tab”, che significa “addizione”. Veniva

anche effettuata la moltiplicazione di interi e le divisioni tra numeri interi. Poiché dividere per un

intero n è la stessa cosa che moltiplicare per il suo inverso 1/n, venivano usate in questo contesto le

frazioni. I Babilonesi convertivano i reciproci 1/n in frazioni sessagesimali non usando però simboli

speciali per le frazioni. Le frazioni sessagesimali, cioè numeri minori di uno espressi mediante gli

inversi delle potenze di 60, ma con denominatori sottintesi, continuarono ad essere usate dai greci

Ipparco e Tolomeo e poi nel Rinascimento e fino al XVI secolo, quando furono sostituite dai

decimali in base 10.

L’inizio dell’uso del sistema di notazione posizionale per i numeri sessagesimali è strettamente

legato alla compilazione delle prime tavole cuneiformi matematiche e metrologiche, le quali a loro

volta si rivelarono uno strumento di fondamentale importanza per risolvere i problemi relativi alla

misurazione, facilitando i calcoli relativi.

I tipi più comuni di tavole matematiche sono le tavole di moltiplicazione, le tavole di quadrati o di

radici quadrate e le tavole di reciproci o inversi. In queste tavole si trovano soltanto numeri

sessagesimali, scritti in notazione posizionale.

Le tavole metrologiche, invece, elencano le notazioni tradizionali, in ordine crescente, per un

assortimento scelto di numeri che rappresentano misure appartenenti a uno dei sistemi di capacità,

di metallo, di area, di lunghezza: per ognuna delle misure selezionate la tavola metrologica indica

anche il suo valore come multiplo sessagesimale di una certa unità di base.

6. L’algebra babilonese

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Distinti dai testi che contengono le tavole e che forniscono molte informazioni sul sistema numerico

babilonese e sulle operazioni con i numeri sono i testi che trattano problemi algebrici e geometrici.

Il più antico documento di probabile significato algebrico, anche se la sua interpretazione ha

suscitato varie polemiche, risale ad una civiltà riportata alla luce nel 1975 da una spedizione

italiana: la civiltà di Ebla, città dell’attuale Siria.

La tavoletta scritta in cuneiforme, trovata negli scavi di Ebla, fa parte del cosiddetto “archivio

reale”, ricco di circa 20.000 tavolette risalenti al 2.500 a.C. circa. La tavoletta in questione è stata

decifrata da Giovanni Pettinato ed interpretata dal matematico Tullio Viola e dalla sua allieva

Isabella Vino. Essa è stata redatta da un certo Jsma-Ja (che potremmo considerare il nome del primo

matematico a noi noto), scriba di Kish, città sumera della Mesopotamia. Alla fine della tavoletta

(parte sinistra), prima del nome (o della firma) del “professore-scriba”, si trova scritto

come ad indicare un vero e proprio esercizio assegnato agli studenti di Ebla.

Secondo la traduzione più attendibile, viene in sostanza richiesto per quale numero deve essere

moltiplicata la base 60 della numerazione sumera per ottenere i vari numeri presentati; cioè la

tavoletta presenta le seguenti equazioni:

……………..

La circostanza che sia stato uno studioso di un’altra città a redigere la tavoletta, consente di

accentuare il carattere algebrico della tavoletta poiché probabilmente si trattava di una esercitazione

volta ad insegnare agli studenti di Ebla ad esprimere in numerologia sumerica alcuni numeri

significativi. Infatti, tutto il problema è basato su un sistema di scrittura sessagesimale proprio della

Mesopotamia sumerica, mentre il sistema vigente ad Ebla era quello decimale, sicché gli studenti,

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oltre a risolvere il problema puramente matematico, lo dovevano pensare e scrivere secondo un

sistema di scrittura a loro non congeniale.

Possiamo anche pensare che i sumeri mostrassero agli eblaiti la maggiore praticità del loro modo di

scrivere i numeri in una forma sostanzialmente posizionale che rappresenta, per il più importante

studioso di matematica antica Otto Neugebauer (1899-1990),

Un problema fondamentale dell’algebra babilonese più antica chiede di trovare un numero che,

aggiunto al suo reciproco, fornisca un numero dato. In notazione moderna, i Babilonesi cercavano

e tale che

,

Queste due equazioni sono equivalenti a un’equazione quadratica in x, e precisamente:

Essi formavano , poi ed infine

,

che forniscono la risposta cercata. In effetti i Babilonesi conoscevano la formula per la risoluzione

delle equazioni di 2° grado. Altri problemi, come quello di trovare due numeri aventi somma e

prodotto assegnati, venivano ricondotti al problema precedente.

E’ ormai opinione comune, in seguito ai notevoli studi di Otto Neugebauer e di altri studiosi che

hanno consentito di avere traduzioni sicure di molte tavolette con incisi numerosi problemi

(dell’ordine delle centinaia), che i contenuti delle tavolette babilonesi,(1900-1.600 a.C. circa), si

trovassero già ad un notevole livello algebrico.

L’algebricità dei problemi babilonesi si ricavava principalmente dalla circostanza che poteva

accadere di trovare la somma di un’area con una lunghezza; l’incongruità di una tale operazione

fece infatti dedurre che allorché si parlava di sommare “un quadrato con un lato” in realtà si

usavano nomi geometrici intesi soltanto come numeri, distaccati da un originale significato

geometrico, così come oggi si somma “un cubo con un quadrato” senza pensare alle

figure geometriche da cui provenivano i nomi usati. Ma questo svincolo mutava l’esercizio

7. La geometria babilonese

La geometria come noi la conosciamo ha avuto origine in Mesopotamia, sviluppandosi

gradualmente nel corso di tre millenni e più. Un'affermazione così decisa è sostenuta da un'analisi

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precisa di quali risultati siano dovuti ai “geometri” della Mesopotamia (che erano poi scribi o

insegnanti), a quali concetti geometrici abbiano dato vita e in che senso ciò che facevano merita di

essere chiamato geometria.

A quanto sembra, i primi oggetti geometrici, già nel periodo degli esordi della scrittura o anche

prima, furono campi di forma rettangolare o quasi, la cui superficie era misurata in termini di unità

d'area. L'idea di misura dell'area nacque in modo naturale in una società agricola come era quella

della Mesopotamia: si trattava di una grandezza che poteva essere calcolata come la lunghezza del

solco prodotto dall'aratro moltiplicata per il numero dei solchi e per la distanza costante tra i solchi.

È significativo il fatto che ancora nel periodo babilonese, (1900-1.600 circa), nei testi matematici i

rettangoli misuravano di solito 30 corde (una corda era circa 60 m) per 20 corde, cioè la grandezza

di un campo il cui prodotto era sufficiente a nutrire una famiglia.

Mezzo millennio più tardi il quadrato fece il suo ingresso nei testi matematici paleosumerici (2900-

2370). L'idea di quadrato può essere di origine metrologica, perché le unità di misura più piccole

per le aree nel sistema sumerico erano le unità di “giardino”, l'area di un quadrato di lato 1 pertica

(6m circa), e l'unità di “diga (di terra)”, l'area di un quadrato di lato 1 corda.

Nel periodo paleosumerico compaiono anche per la prima volta i cerchi, in un disegno su una

tavoletta d'argilla (rinvenuta all’inizio del XX secolo nella città sumerica di Shuruppak) che mostra

quattro cerchi inscritti in un quadrato. L'idea di cerchio doveva nascere naturalmente come

immagine della Luna, o del Sole, o come il segno numerico D del contrassegno di argilla per

misurare quantità di orzo e di altri cereali.

Doveva poi essere noto da molto tempo che l'area del triangolo è la metà dell'area del rettangolo

avente la stessa base e la stessa altezza; non abbiamo però testi che ci permettano di verificare

questa ipotesi. Sono state inoltre trovate un paio di tavolette neosumeriche (2.200-2.000) con mappe

di campi, nelle quali un campo di forma irregolare è suddiviso in settori rettangolari, trapezoidali e

triangolari, e l'area totale è determinata come somma delle aree di questi. Un’altra tavoletta

dell’epoca paleoaccadica (2.600-2.350) che riporta il disegno di un trapezio equidecomposto è

notevole non soltanto perché si tratta del più antico testo che riguarda trapezi decomposti, ma anche

perché è il più antico testo matematico in cui è considerata una figura troppo piccola per

rappresentare un vero campo coltivato: si tratta infatti di un trapezio di area uguale a 1 pertica

quadrata.

Il concetto generale di angolo era sconosciuto nella geometria babilonese, o comunque tenuto in

scarsa considerazione, secondo quanto risulta dai documenti conosciuti. D'altra parte, almeno nel

caso tridimensionale, la pendenza uniforme dei lati di un canale, di un muro o di una piramide era

regolarmente espressa dalla variazione orizzontale corrispondente allo spostamento verticale di

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un'unità di lunghezza. Inoltre, anche in assenza di un concetto generale di angolo, il concetto di

triangoli simili era ben chiaro ed era utilizzato in molte situazioni. È molto importante osservare che

le tavole babilonesi di costanti per figure geometriche usano in modo essenziale i concetti gemelli

di similitudine 'lineare' e 'quadratica', ossia il fatto che, in figure simili di qualunque tipo, lunghezze

corrispondenti sono proporzionali e le aree sono proporzionali ai quadrati di queste lunghezze.

Inoltre, in una società nella quale i mattoni costituivano il principale materiale da costruzione,

doveva risultare ovvio che i volumi di solidi simili sono proporzionali ai cubi delle altezze.

Il concetto di figura inscritta in un'altra era noto, come pure quello di linea tangente, retta o curva.

Fin dagli inizi nel periodo degli esordi della scrittura alla fine del IV millennio, e per tutta la sua

storia, la matematica mesopotamica sembra orientata verso le applicazioni; essa aveva lo scopo di

insegnare a futuri scribi e amministratori come trattare in modo efficace e corretto calcoli

complicati con numeri e misure espresse in tutti i diversi sistemi cuneiformi di notazione. A quanto

pare, la geometria non era studiata per sé stessa, ma soltanto perché era una fonte di problemi

interessanti che sollecitavano l'intuizione visiva. Non c'è traccia di impostazione assiomatica nella

geometria babilonese; non sono mai dati né definizioni né assiomi, e né enunciati o dimostrati

teoremi. Vi sono tuttavia molte indicazioni che mostrano come la matematica, e in particolare la

geometria, fossero insegnate in modo metodico nelle scuole paleobabilonesi.

8. Le applicazioni della matematica in Mesopotamia

I Babilonesi usavano la loro conoscenza dell’aritmetica e dell’algebra elementare per esprimere

lunghezze e pesi, per scambiare manufatti, per computare interessi semplici e composti, per

calcolare tasse e per dividere le quote di un raccolto fra il contadino, la Chiesa e lo Stato. La

divisione dei campi e delle eredità conduceva a problemi algebrici. Non esiste possibilità di dubbio

circa l’influenza dell’economia sullo sviluppo dell’aritmetica nel periodo più antico.

Canali, argini ed altri progetti d’irrigazione richiedevano calcoli. L’uso di mattoni sollevava

numerosi problemi numerici e geometrici. Dovevano essere determinati i volumi dei granai e degli

edifici e le aree dei campi. La stretta connessione fra la matematica babilonese e i problemi pratici è

esemplificata dal seguente problema.

Si doveva scavare un canale la cui sezione era un trapezoide e le cui dimensioni erano note. Pure

noti erano quanto un uomo poteva scavare in una giornata e la somma del numero degli uomini

impiegati e delle giornate da essi lavorate. Il problema consisteva nel calcolare il numero degli

uomini e il numero delle giornate di lavoro.

18

Poiché la connessione fra matematica e astronomia è diventata fondamentale dal tempo dei Greci in

poi, metteremo in rilievo le conoscenze e i risultati astronomici babilonesi. Nulla è noto dell’astro-

nomia sumerica e l’astronomia del periodo accadico era rozza e puramente qualitativa; lo sviluppo

della matematica precedette lo sviluppo dell’astronomia.

Nel periodo assiro (intorno al 700 a.C.), l’astronomia incominciò ad includere la descrizione

matematica dei fenomeni e la compilazione sistematica dei dati delle osservazioni. L’uso della

matematica si estese negli ultimi tre secoli prima di Cristo e fu applicato specialmente allo studio

dei moti lunari e planetari. La maggior parte dei testi astronomici risalgono a questo periodo

seleucidico. Essi si ripartiscono in due gruppi, testi procedurali ed effemeridi, cioè tavole delle

posizioni dei corpi celesti nei vari momenti.

L’astronomia serviva a molti scopi, ma essa era principalmente necessaria per tenere un calendario,

che è determinato dalle posizioni del Sole, della Luna e delle stelle. L’anno, il mese e il giorno sono

quantità astronomiche che dovevano essere determinate accuratamente per conoscere i periodi delle

semine e le festività religiose. A Babilonia, in parte per la connessione del calendario con le

festività religiose e in parte perché i corpi celesti erano ritenuti dèi, il calendario era tenuto dai

sacerdoti. Il calendario era lunario, cioè segnava le fasi della Luna. Fu usato dagli ebrei, dai greci e

dai romani fino al 45 a.C., quando venne adottato il calendario giuliano.

9. La storia politica dell’Antico Egitto

Nel mondo ellenistico, l'Egitto era considerato la culla della scienza. Nel I sec. a.C. Diodoro Siculo

scriveva, nel primo libro della sua Bibliotheca (I, 69), che gli Egizi sarebbero stati gli inventori non

soltanto della scrittura, ma anche della geometria. Quattro secoli prima, Erodoto, il padre della

storiografia, aveva visitato l'Egitto e aveva riferito (Historiae, II, 109) che sotto il re Sesostri per

assicurare le imposte statali l'intero paese era stato lottizzato e che, dopo ogni straripamento del

Nilo, i terreni, a causa dei cambiamenti subiti, erano subito rimisurati; in questo modo, secondo la

sua opinione, era stata scoperta l'arte dell'agrimensura.

Mentre la Mesopotamia sperimentò molti cambiamenti nelle popolazioni che la governarono, la

civiltà egiziana si sviluppò senza essere toccata da influenze straniere. Le origini di questa civiltà

sono sconosciute, ma essa esisteva già prima del 4000 a.C. L’Egitto, come dice Erodoto, è un dono

del Nilo. Questo fiume, che scorre da sud a nord, una volta all’anno allaga tutto il territorio che

circonda le sue rive e lascia dietro di sé un limo fertilissimo. La maggior parte della popolazione

traeva e trae il suo sostentamento coltivando questo limo. Il resto del paese è desertico.

19

Vi erano due regni, uno nella parte settentrionale e uno in quella meridionale dell’odierno Egitto. In

un certo periodo compreso fra il 3500 e il 3000 a.C. il faraone Mena o Menes, unificò l’Alto e il

Basso Egitto. Da allora in poi i periodi principali della storia egiziana vengono ripartiti secondo le

dinastie regnanti; Menes è considerato il fondatore della prima dinastia. Il periodo di maggiore

splendore della cultura egiziana venne raggiunto durante la terza dinastia (2500 a.C. circa), lo stesso

periodo in cui i faraoni costruirono le piramidi. La civiltà egiziana continuò la sua strada fino a

quando Alessandro Magno conquistò l’Egitto nel 332 a.C.

Dopo di allora, e fino al 600 d.C. circa, la sua storia e la sua matematica fanno parte della civiltà

greca.

Gli antichi egiziani crearono dei sistemi di scrittura originali. Il primo di essi, i geroglifici, era un

sistema pittografico, cioè ogni simbolo rappresentava un oggetto. I geroglifici furono usati nei

monumenti fino all’inizio dell’era cristiana. A partire dal 2500 a.C. circa, gli Egiziani usarono per

gli scopi quotidiani quella che viene detta scrittura ieratica. Il sistema usava dei simboli

convenzionali, che all’inizio erano semplicemente delle semplificazioni dei geroglifici. La scrittura

ieratica è sillabica: ogni sillaba è rappresentata da un ideogramma e una parola intera è una

collezione di ideogrammi. Il significato della parola non è legato ai singoli ideogrammi.

A partire dal VII secolo a.C. dalla scrittura ieratica si sviluppa, a seguito di un’ulteriore limatura dei

segni grafici, una terza scrittura, la scrittura demotica, che nell’epoca tolemaica e romana era la

scrittura ordinaria della vita quotidiana. La scrittura veniva tracciata mediante inchiostro su fogli di

papiro, che venivano prodotti pressando e tagliando il midollo della pianta omonima. Poiché il

papiro secca e si sbriciola, ci sono rimasti pochissimi documenti dell’antico Egitto, se si eccettuano

le iscrizioni geroglifiche scolpite sulla pietra.

10. Le origini della matematica egizia

L'Egitto è una delle aree del mondo antico in cui si sono riscontrati i primissimi segni di esistenza

della matematica, o meglio, di una tecnica di calcolo. Gli albori si perdono nell'oscurità dell'epoca

predinastica, precedente la scrittura, quando nella Valle del Nilo l'agricoltura era diventata un im-

portante sistema economico, si erano sviluppati dei comuni rurali ed erano nati dei centri politici,

quali le antiche circoscrizioni (nomoí). A capo di questi territori, i più antichi documentabili alla

fine del IV millennio, erano posti i sovrani e i principi, con le loro corti di funzionari religiosi e

laici. Essi riscuotevano le imposte dai villaggi, che garantivano la celebrazione dei riti rivolti agli

dèi, il mantenimento della corte e l'organizzazione di lavori di interesse collettivo, come la

costruzione di templi e di argini, o l'espletamento delle funzioni difensive.

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A questo periodo risale la formazione di centri abitati nei quali risiedevano i sovrani e la loro corte,

che possono essere considerati una forma antica di capitali.

Un esempio documentato archeologicamente è l'insediamento di Ieraconpoli, situato 780 km ca. a

sud del Cairo: su un'area di 2,5 km2 si trovavano vasti spazi urbani formati da abitazioni

rettangolari, l'area templare, quella palatina e diversi cimiteri.

A partire dal 3300 ca. in poi può essere ricostruita la storia di queste aree, che continua anche in

epoca dinastica sino all'inizio del III millennio. Per gli abitanti della Valle del Nilo la costruzione

delle tombe regali (le più antiche delle quali sono state scoperte ad Abido, 550 km ca. a sud del

Cairo, e a Saqqara) è stata una notevole impresa collettiva, basata su concezioni religiose. Per

realizzare queste gigantesche costruzioni, fatte di mattoni ricavati dai sedimenti del Nilo, di legno e

di canne, era indispensabile l'impegno collettivo di grandi masse di uomini. Il personale necessario

proveniva dai villaggi, come per una sorta di leva al servizio della collettività, personificata dal

sovrano, il quale fungeva da mediatore tra il mondo degli uomini e quello degli dèi.

La precisa costruzione ad angolo retto dei primi templi, dei palazzi e delle tombe regali mostra che

si era in grado di misurare con precisione i terreni fabbricabili e di determinare gli assi degli edifici

in base a un orientamento stabilito. Dovevano quindi essere noti i tratti caratteristici del’agri-

mensura, dalla quale è nata la geometria. Inoltre, la raccolta dei tributi in natura nei diversi villaggi,

sotto forma di alimenti per la corte e per le maestranze, oppure di materiali edili,

l'immagazzinamento e la distribuzione di questi beni, ma anche l'organizzazione degli uomini

nell'attività edile, presuppongono la disponibilità di una forma primitiva di tecniche di calcolo. È

dunque in questo contesto che deve essere rintracciata l'origine dell'aritmetica. Partendo da questa

constatazione, Diodoro Siculo (Bibliotheca, I, 81) racconta che i sacerdoti egizi, i detentori del

sapere, avrebbero impiegato l'aritmetica solo per scopi pratici e come sussidio per la geometria.

11. La matematica egizia e le sue fonti

In Egitto, a partire da 3.000 a.C., si sviluppò una notevole competenza in matematica, competenza

riservata alle caste più potenti, i sacerdoti e gli scribi.

Le fonti considerate più autentiche ed autorevoli per queste ricerche sono costituite da alcuni famosi

papiri e rotoli; se ne sente sempre parlare e perciò vale la pena dedicare qualche riga a quelli più

noti.

Il più citato documento dell’antico Egitto è certo il cosiddetto papiro Rhind; esso fu rintracciato nel

1858 dall’antiquario scozzese Alexander Henry Rhind (1833-1863) a Luxor (l’antica Tebe).

Il papiro si trova in eccezionale stato di conservazione, è lungo 550 cm ed alto 33. Dalla morte di

Rhind si trova esposto nella III sala egizia nel British Museum di Londra. Il papiro è datato 1650

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a.C., firmato dallo scriba Ahmes; si tratta però di una copia di un papiro scritto circa 2 secoli prima,

come dichiara lo stesso scriba. Contiene, tra l’altro, 87 problemi di matematica. E’ interessante

conoscere il titolo di questo papiro che si trova proprio al suo inizio:

Anche il cosiddetto papiro di cuoio o rotolo di pelle fu comprato da Rhind ed è conservato nello

stesso museo; secondo molti studiosi è ancora più antico del precedente, dato che è noto che

l’abitudine di scrivere sul papiro sostituì quella di scrivere sulla pelle, troppo costosa e deperibile.

Per questo si considera che esso consenta di analizzare conoscenze precedenti degli Egizi sulla

matematica.

Altro famoso documento storico della matematica egizia è il cosiddetto papiro di Mosca, acquistato

da W. Golemischaff a Luxor e conservato ora nel Museo delle Belle Arti di Mosca. Le sue

dimensioni curiose sono di 560 cm di lunghezza per 8 cm di altezza. Anche in questo caso si tratta

di una ricopiatura di un testo precedente, pare contemporaneo a quello di Rhind, in base ai

contenuti.

La sua traduzione è stata completata nel secolo scorso ad opera di W.W. Struve.

Importante è anche il papiro di Berlino, sempre del 1800 a.C., conservato al Museo di Berlino, è

stato tradotto alla fine del XIX secolo.

Oltre ai detti papiri , possiamo fare affidamento su varie tavole matematiche conservate soprattutto

al Museo del Cairo.

Interessanti reperti a carattere matematico si trovano anche al Museo Egizio di Torino.

Tutti questi documenti non sono altro che raccolte di problemi relativi a specifiche situazioni, nelle

quali è possibile identificare con chiarezza le procedure di calcolo utilizzate dallo scriba.

Si tratta di testi orientati verso l'esperienza pratica, che non attribuiscono alcun valore all'indagine

della legittimità delle procedure descritte. Tale modo di organizzare e di trasmettere il sapere è

caratteristico dell'Antico Egitto e si ritrova anche nell'ambito della medicina, della veterinaria e dei

testi magici; esso si ripropone ancora in testi demotici e giuridici nel III sec. a.C.

La descrizione dei casi si sviluppa secondo lo schema seguente: "qualora si presenti questo e

quest'altro problema" ‒ sono nominati esempi concreti ‒ "tu (lo scriba) devi operare così e così" ‒

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seguono concrete istruzioni di calcolo ‒ "e troverai questo e quel risultato, tu (lo) hai trovato

esattamente".

I problemi, quindi, venivano enunciati verbalmente, insieme con delle semplici regole per ottenere

le soluzioni, ma senza spiegare perché venissero usati quei metodi e perché essi funzionassero.

Nei papiri si trovano soluzioni di problemi contenenti un’incognita che sono nel complesso

paragonabili alle nostre equazioni lineari in un’incognita. Tuttavia, i procedimenti erano puramente

aritmetici e non facevano parte, secondo gli Egizi, di un capitolo distinto della matematica

concernente la soluzione delle equazioni. La limitata algebra egiziana non usava praticamente alcun

simbolismo.

E che dire della geometria egiziana ? Gli Egiziani non separavano l’aritmetica e la geometria. Nei

papiri si trovano problemi che rientrano in entrambi i campi. Come i Babilonesi, gli Egiziani

consideravano la geometria una questione pratica. Essi applicavano semplicemente l’aritmetica e

l’algebra ai problemi concernenti aree, volumi e altre situazioni geometriche. Erodoto dice che la

geometria egiziana ebbe origine dalla necessità di rideterminare annualmente i confini cancellati

dallo straripamento del Nilo. Tuttavia, i Babilonesi svilupparono altrettanta geometria senza avere

questa necessità. Gli Egiziani avevano delle ricette per determinare le aree di triangoli, rettangoli e

trapezoidi. Il loro calcolo dell’area del cerchio, sorprendentemente buono, seguiva la formula

A=(8d/9)2, dove d è il diametro. Ciò equivale a usare 3,1605 come valore di π. Non siamo certi che

gli Egiziani conoscessero il teorema di Pitagora. Sappiamo che vi erano tenditori di corda, cioè

agrimensori, ma nessun documento conferma la leggenda seconda la quale essi usavano una corda

annodata a intervalli tali da dividerne la lunghezza totale in parti che stavano fra loro nei rapporti di

3 a 4 a 5 e che potevano poi essere usate per formare un triangolo rettangolo.

12. Le applicazioni egiziane della matematica

Come a Babilonia, l’applicazione principale della matematica era l’astronomia, che risale alla prima

dinastia. Per l’egiziano il Nilo era la linfa vitale. Egli traeva il suo sostentamento coltivando il

terreno che il Nilo ricopriva di fertile limo nel corso delle sue inondazioni annuali. Tuttavia, egli

doveva essere ben preparato per evitare gli aspetti pericolosi della piena. La sua casa, le sue

masserizie e il suo bestiame dovevano essere temporaneamente spostati dall’area interessata

all’inondazione ed egli doveva essere pronto a seminare immediatamente dopo. Era quindi

23

necessario predire l’arrivo dell’ondata di piena e ciò era reso possibile dalla conoscenza degli eventi

celesti che lo precedevano.

L’astronomia permise anche la compilazione di un calendario. Essi pervennero alla stima della

lunghezza dell’anno solare osservando la stella Sirio. In un certo giorno dell’estate questa stella

diveniva visibile sopra l’orizzonte proprio prima del sorgere del Sole. Nei giorni successivi essa era

visibile per un periodo più lungo prima che la luce del Sole nascente la oscurasse. Il primo giorno in

cui essa era visibile proprio prima del sorgere del Sole era noto come il sorgere eliaco di Sirio e

l’intervallo fra due di questi giorni era di circa 365 giorni; per questo motivo gli egiziani adottarono

un calendario civile di 365 giorni per anno.

La concentrazione dell’attenzione su Sirio è certamente dovuta al fatto che le acque del Nilo

cominciavano a crescere proprio in quel giorno, che venne scelto come primo giorno dell’anno.

L’anno di 365 giorni veniva diviso in 12 mesi di 30 giorni ciascuno, più 5 giorni supplementari alla

fine. Sebbene la determinazione dell’anno e il calendario egiziano fossero risultati di valore, essi

non derivavano da un’astronomia ben sviluppata. In effetti, l’astronomia egiziana era rozza e molto

inferiore a quella babilonese.

Gli egiziani combinarono le loro conoscenze astronomiche e geometriche per costruire i loro templi

in una posizione tale che in certi giorni dell’anno il Sole li colpisse in modo particolare. In effetti,

alcuni furono costruiti in modo tale che nel giorno più lungo dell’anno il Sole illuminasse

direttamente l’interno del tempio e i suoi raggi colpissero il dio posto sull’altare. Questa

orientazione dei templi può essere trovata in qualche misura anche presso i babilonesi e i greci.

Anche le piramidi furono orientate verso speciali direzioni celesti e la Sfinge è rivolta verso est. Le

piramidi rappresentano un’altra applicazione della geometria egiziana. Essi si preoccupavano molto

di dare alle basi delle piramidi la forma corretta; anche le dimensioni relative della base e

dell’altezza avevano un importante significato (legato, pare, alla sezione aurea). Non si deve però

esagerare eccessivamente la complessità o la profondità delle idee implicate. La matematica

egiziana era semplice e rozza e non vi era sottinteso nessun principio profondo, contrariamente a

quanto viene spesso asserito.

13. La matematica dell’antichità: l’eredità comune

Riesaminiamo la stato della Matematica prima dell’ingresso in scena dei Greci. Nelle civiltà

babilonese ed egiziana troviamo un’aritmetica degli interi e delle frazioni, compresa la notazione

posizionale, i primi rudimenti dell’algebra e alcune formule geometriche empiriche. Non vi era

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quasi simbolismo, né riflessione cosciente intorno all’astrazione, né alcuna formulazione di una

metodologia generale e nessun concetto di dimostrazione o anche soltanto di un argomento

plausibile che potesse convincere della correttezza di un procedimento o di una formula. In effetti,

non vi era alcuna concezione di una scienza teoretica di alcun tipo.

La matematica delle due civiltà non era una disciplina distinta, né veniva studiata di per sé. Essa era

uno strumento che si presentava sotto la forma di un insieme di semplici regole prive di connessione

fra loro, rispondenti a problemi che nascevano nella vita quotidiana della gente.

Negli ultimi due decenni del secolo scorso è stata avanzata, da alcuni storici della matematica,

l’ipotesi di un’influenza della tradizione mesopotamica sulla matematica in Egitto, in Grecia e in

Cina. Tale ipotesi si fonda su un confronto punto per punto degli argomenti trattati e dei metodi

usati nei testi matematici mesopotamici ed extramesopotamici.

I più antichi testi matematici egizi conosciuti, i papiri matematici ieratici, sono all'incirca del

periodo del Medio Regno (2000-1630), come dire coevi dei testi paleobabilonesi. Le differenze più

evidenti risiedono nell'uso della scrittura ieratica, nel sistema di numerazione (è usato quello

decimale), negli algoritmi per la moltiplicazione e la divisione e nel modo di contare con le frazioni

(si usano somme di unità frazionarie). I più ampi testi ieratici conosciuti, il papiro Rhind e i papiri

matematici di Mosca, sono però, com'è il caso per i più noti testi cuneiformi di una certa mole,

raccolte di parti di altre opere. In questi papiri sono cioè riuniti, in modo piuttosto caotico, parti di

varia lunghezza tratte da opere più strutturate. Non sono perciò manuali che contengono

un'esposizione particolareggiata della matematica egizia, né possono servire a dare un'idea precisa

della portata di questa matematica nel II millennio. Tuttavia, anche in questa prospettiva limitata vi

sono riscontri che permettono di concludere che le idee e i metodi dell'antica matematica babilonese

erano in larga misura conosciuti anche in Egitto.

Il problema 17 del papiro di Mosca, per esempio, su un triangolo avente una data area e un dato

rapporto tra i lati, può essere confrontato con un esercizio simile che si trova nel testo di una tavo-

letta paleobabilonese appartenete alla Collezione Babilonese dell’Università di Yale negli Stati

Uniti; o, ancora, nel problema 53 del papiro Rhind un triangolo è diviso in tre strisce parallele, e

una divisione analoga compare nella tavoletta paleobabilonese appartenente al Museo Nazionale

dell’Iraq a Baghdad.

È notevole il fatto che i problemi considerati nei papiri demotici (periodi ellenistico e romano)

coincidono largamente con problemi molto comuni della matematica babilonese: sistemi di

equazioni lineari o quadratiche; problemi del tipo 'palo contro un muro', che fanno intervenire

triangoli rettangoli; figure dentro figure; volume di una piramide; suddivisioni di trapezi in strisce

parallele; approssimazioni di radici quadrate, e così via.

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In ultimo, nei papiri matematici greci trovati in Egitto, in genere molto simili ai papiri demotici, i

problemi considerati appartengono quasi senza eccezione al repertorio dei problemi comuni della

matematica babilonese.

In conclusione, anche se non sono stati ancora scoperti testi matematici egizi del IV o del III

millennio, è ragionevole supporre che lo sviluppo delle tecniche di calcolo sia avvenuto di pari

passo in Egitto e in Mesopotamia. Possono addirittura esserci stati scambi di idee e metodi, come

suggerisce il fatto che le differenze più rilevanti tra i molti testi matematici paleobabilonesi e i pochi

papiri matematici egizi dello stesso periodo riguardano essenzialmente il ricorso a basi di numeri

differenti. Del periodo tardobabilonese (1.000-330 a.C.) ci sono pervenuti solo pochi testi, ma sono

sufficienti a dimostrare che la tradizione matematica paleobabilonese si era conservata essen-

zialmente intatta, subendo solo qualche variazione superficiale di stile. Un ampio testo matematico

demotico egizio del III sec. a.C. dimostra in modo piuttosto chiaro che la matematica egizia di quel

periodo aveva molto in comune con la matematica tardobabilonese, compreso il contare con

frazioni sessagesimali. I Greci, che secondo la leggenda da loro stessi tramandata avevano appreso

la geometria dagli Egizi, ebbero una notevole familiarità con gran parte della tradizione matematica

babilonese, anche se la relegavano nel ruolo ancillare di matematica pratica. Se si ammette che i

matematici greci lavorassero all'interno della tradizione mesopotamica, vengono meno alcune

difficoltà che nascono nello studio della matematica greca, come la questione delle origini oppure la

scelta degli argomenti trattati. È inoltre possibile che questa tradizione mesopotamica abbia

interagito con la matematica cinese intorno al I millennio, come suggerisce la scelta degli argomenti

e dei metodi del classico Nove capitoli, il più antico testo cinese di matematica a noi pervenuto, il

quale si può far risalire all'epoca della dinastia Han (206 a.C. - 220 d.C.). Nella forma in cui ci è

noto questo testo contiene materiale più avanzato di quanto non sia quello del corpus babilonese in

nostro possesso. Gli argomenti trattati sono però gli stessi, e il tipo di problemi e i metodi di

risoluzione si corrispondono in modo così puntuale che è ovvio supporre una notevole interazione

tra la matematica cinese e quella babilonese in qualche periodo storico. Deboli ma innegabili tracce

di quella tradizione si possono ancora trovare nell'opera di alcuni grandi matematici islamici, come

pure, in Occidente, in numerosi e ben noti testi matematici prerinascimentali.

Testi consultati

• Storia della Scienza, Enciclopedia Treccani, Vol. I

• Storia della Matematica, G. T. Bagni, Vol. I, Pitagora Editrice Bologna

• Storia del pensiero matematico, M. Kline, Vol. I, Giulio Einaudi Editore

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• Storia dell’Algebra, S. Maracchia, Liguori Editore

LA CREAZIONE DELLA MATEMATICA GRECA CLASSICA.

1. Lo sfondo

Nella storia della civiltà i Greci occupano un posto preminente; nella storia della matematica sono

l’evento supremo. Sebbene abbiano subito l’influenza delle civiltà che li circondavano, i Greci

costruirono una civiltà e una cultura che sono le più stupefacenti fra tutte le civiltà, le più influenti

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sullo sviluppo della cultura occidentale moderna e quelle decisive per la fondazione della

matematica quale noi la concepiamo oggi. Uno dei grandi problemi della storia della civiltà è il dar

conto della brillantezza e della creatività degli antichi Greci.

Sebbene la nostra conoscenza della loro storia primitiva possa essere soggetta a correzione e ad

ampliamento con il proseguire delle ricerche archeologiche, abbiamo oggi ragione di credere, sulla

base dell’Iliade e dell’Odissea di Omero, della decifrazione delle lingue e degli scritti antichi e delle

ricerche archeologiche, che la civiltà greca risalga al 2800 a.C. I Greci si stabilirono in Asia Minore,

che potrebbe essere il loro luogo d’origine, nell’area della Grecia moderna, nell’Italia meridionale,

in Sicilia, a Creta, a Rodi, a Delo e nell’Africa settentrionale. Intorno al 775 a.C. i Greci

sostituirono i vari sistemi geroglifici di scrittura fino allora usati con l’alfabeto fenicio (che era

usato anche dagli Ebrei). Con l’adozione di un alfabeto i Greci divennero più letterati e più

facilmente in grado di registrare la loro storia e le loro idee. Non appena raggiunta una certa

stabilità interna, i Greci cominciarono a visitare l’Egitto e la Mesopotamia e a commerciare con

questi paesi. L’influenza degli Egiziani e dei Babilonesi fu quasi certamente avvertita a Mileto, città

ionica dell’Asia Minore e culla della filosofia, della matematica e della scienza greche.

Mileto era una grande e ricca città commerciale situata sulle sponde del Mediterraneo. Alle

banchine del suo porto attraccavano navi provenienti dalla Grecia, dalla Fenicia e dall’Egitto;

Babilonia era collegata attraverso le strade carovaniere che si dirigevano a est. La Ionia cadde sotto

il dominio della Persia intorno al 540 a.C., benché a Mileto venisse lasciato un certo grado

d’indipendenza. Dopo che una rivolta ionica contro i Persiani venne soffocata nel 494 a.C.,

l’importanza della Ionia incominciò a declinare. Essa divenne nuovamente greca nel 479 a.C.

quando la Grecia sconfisse l’impero persiano, ma già allora l’attività culturale si era spostata nella

Grecia continentale e aveva il suo epicentro ad Atene.

Sebbene la civiltà greca antica sia durata fino al 600 d.C., dal punto di vista della storia della

matematica è conveniente distinguere due periodi, quello classico, che va dal 600 al 300 a.C., e

quello alessandrino o ellenistico, che va dal 300 a.C. al 600 d.C.

L’adozione dell’alfabeto, già menzionata, e il fatto che il papiro sia stato introdotto in Grecia

durante il VII secolo a.C. possono essere giustificazioni sufficienti del fiorire dell’attività culturale

intorno al 600 a.C. La disponibilità di questo tipo di supporto scrittorio favorì indubbiamente la

diffusione delle idee.

2. Le fonti generali

Le fonti della nostra conoscenza della matematica greca sono stranamente meno autentiche e meno

attendibili di quelle di cui disponiamo per le molto più antiche matematiche babilonese ed egiziana,

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perché non ci è pervenuto nessun manoscritto originale dei matematici greci più importanti. Uno dei

motivi è che il papiro è deperibile; è vero che anche gli egiziani usavano il papiro, ma per un caso

fortunato alcuni dei loro documenti matematici sono sopravvissuti. Alcune opere greche sarebbero

potuto giungere fino a noi se le loro grandi biblioteche non fossero state distrutte.

Le nostre principali fonti per le opere matematiche greche sono codici bizantini scritti da 500 a

1500 anni dopo la composizione delle opere originali. Questi codici non sono riproduzioni

letterarie, ma edizioni critiche, cosicché non possiamo sapere quali cambiamenti potrebbero essere

stati introdotti dai curatori. Abbiamo anche traduzioni arabe delle opere greche e versioni latine

derivate da quelle arabe. Qui di nuovo non è possibile sapere quali cambiamenti i traduttori possono

avere apportato o quanto bene essi abbiano compreso i testi originali. Inoltre anche i testi greci usati

dagli autori bizantini e arabi erano discutibili.

Le notizie sul periodo classico della matematica greca le abbiamo da commenti agli Elementi di

Euclide, a libri di Archimede e di Apollonio. Fra questi molto notevole è il Commento di Proclo

(410-485 d.C.) al 1° libro degli Elementi di Euclide; in esso si trova un intermezzo storico, assai

ricco di notizie, che forse l’autore trasse da un’opera di maggiore mole scritta da Eudemo di Rodi,

nel 335 a.C. circa. Da quest’opera di Proclo, da altri commenti, dalle Vite di Plutarco (50-120 d.C.)

e da altri lavori storici si è potuto costruire il periodo pre-euclideo della matematica greca.

La ricostruzione della storia della matematica greca, basata sulle fonti che abbiamo descritto, è stata

un’impresa enorme e complicata. A dispetto dei grandi sforzi degli studiosi, vi sono ancora delle

lacune nella nostra conoscenza e alcune conclusioni sono discutibili. Ciò nonostante i fatti

fondamentali sono chiari.

3. Le principali scuole del periodo classico

La matematica greca classica si sviluppò in numerosi centri che si susseguirono l’un l’altro

costruendo ciascuno sull’opera dei predecessori. In ogni centro un gruppo informale di studiosi

portava avanti le sue attività sotto la guida di uno o più grandi maestri.

La prima di queste scuole, quella ionica, fu fondata da Talete a Mileto (c.624-c.546 a.C.) e che ebbe

tra i suoi allievi i filosofi Anassimandro e Anassimene. Anche Anassagora apparteneva a questa

scuola e si suppone che Pitagora abbia imparato la matematica da Talete. Pitagora fondò poi la sua

grande scuola nell’Italia meridionale. Verso la fine del VI secolo, Senofane di Colofone (Ionia)

emigrò in Sicilia e fondò una scuola a cui appartenevano i filosofi Parmenide e Zenone. Questi

ultimi risiedevano a Elea, nell’Italia meridionale, dove si era trasferita la scuola e così il gruppo

divenne noto come scuola eleatica. I Sofisti, attivi dalla seconda metà del V secolo in poi, erano

concentrati soprattutto ad Atene. Ma la scuola più celebre di tutte è l’Accademia di Platone ad

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Atene, di cui fu allievo Aristotele. L’Accademia ha avuto un’importanza senza pari per il pensiero

greco. I suoi allievi furono i più grandi filosofi, matematici e astronomi della loro epoca; la scuola

conservò la sua preminenza nella filosofia anche dopo che il ruolo di guida nella matematica passò

ad Alessandria. Eudosso, che imparò la matematica principalmente da Archita di Taranto, fondò la

propria scuola a Cizico, una città dell’Asia Minore settentrionale.

Aristotele, dopo avere lasciato l’Accademia platonica, fondò un’altra scuola ad Atene, il Liceo, che

viene comunemente detta scuola peripatetica.

4. La scuola ionica

Il capo e il fondatore di questa scuola fu Talete. Sebbene non possediamo conoscenze sicure sulla

vita e sull’opera di Talete, egli probabilmente nacque e visse a Mileto. Viaggiò a lungo e per un

certo periodo soggiornò in Egitto, dove si dedicò agli affari e imparò molte cose intorno alla

matematica egiziana. Incidentalmente, pare sia stato un astuto uomo d’affari.

Talete è ricordato specialmente per avere saputo sfruttare le proprietà dei triangoli simili. Dice

Diogene Laerzio:

«Talete ha misurato l'altezza delle piramidi mediante l'ombra, osservando il momento in cui la

nostra ombra è della stessa altezza di noi». E Plutarco nel Banchetto dei sette saggi immagina un

dialogo tra Nilosseno e Talete; Nilosseno dice a Talete, parlando del re egiziano Amasi: «Benché

egli ti ammirò anche per altre cose, pure pregia sopra tutte la misura delle piramidi, giacché tu,

senza fatica alcuna e senza ricorrere ad istrumenti, ma col solo infiggere il bastone all'estremo

dell'ombra proiettata dalla piramide hai dimostrato, servendoti dei due triangoli risultanti dai

contatti col raggio luminoso, che un'ombra ha rispetto all'altra lo stesso rapporto che l'altezza della

piramide a quella del bastone». Proclo attribuisce a Talete la conoscenza di altre proprietà, come ad

es., l'eguaglianza degli angoli opposti al vertice o degli angoli alla base di un triangolo isoscele o

che un diametro divide il cerchio in due parti eguali; ma queste proprietà sono troppo semplici e

troppo facilmente sperimentabili per dare a Talete il merito della loro scoperta. Talete è rimasto

celebre per avere predetto un'eclissi solare, sembra che sia stata quella avveratasi il 28 maggio 585;

ma è dubbio se egli avesse conoscenze profonde di astronomia; è più probabile che egli avesse

appreso tali predizioni da qualche astronomo caldeo o egiziano o da qualche effemeride usata da

quegli astronomi.

Si attribuisce a Talete l’idea che una proposizione matematica espressa con precisione si potesse

dimostrare logicamente con un ragionamento formale, innovazione che segnò la nascita del

teorema, ora pietra miliare della matematica. Con questo passaggio la matematica cesserà di essere

una raccolta di tecniche di misurazione, di conteggio e contabilità, per diventare un’area di studio

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astratto. Per i greci questo nuovo modo di affrontare la matematica culminerà nella pubblicazione

degli Elementi di Euclide, il libro più diffuso di tutti i tempi dopo la Bibbia.

Sono attribuite a Talete anche la scoperta del potere di attrazione dei magneti e quella dell’elettricità

statica.

La scuola ionica merita soltanto una breve citazione per quel che riguarda i suoi contributi alla

matematica vera e propria, ma la sua importanza per la filosofia, e in particolare per la filosofia

della scienza, è senza pari.

L’importanza della scuola declinò quando la regione fu conquistata dai Persiani.

5. La scuola pitagorica

La scuola pitagorica rappresenta un movimento di pensiero di livello scientifico molto superiore a

quello della scuola ionica. Membri eminenti di questa scuola furono Filolao e Archita. Non esistono

opere scritte dei Pitagorici e quanto sappiamo di loro proviene dagli scritti di altri autori, fra cui

Platone ed Erodoto.

Nato a Samo, un’isola situata al largo delle coste dell’Asia Minore, Pitagora abbandonò circa a

quarant’anni la propria patria per trasferirsi nella Magna Grecia, e precisamente a Crotone in

Calabria. Qui fondò una scuola che ebbe un notevole peso nella vita politica della città, essendo

legata al partito aristocratico. Era organizzata sulla base di regolamenti molto rigorosi, che, tra

l’altro, esigevano dagli scolari un lungo periodo di tirocinio prima di essere ammessi ai segreti più

profondi della setta. Su questa base si creò assai presto la divisione fra <<acusmatici>>, ascoltatori,

e <<matematici>>, partecipi degli insegnamenti più profondi. Verso la fine del sesto secolo, una

sommossa provocata dal partito democratico cacciò i pitagorici da Crotone. Pitagora riparò nella

vicina Metaponto, dove fu assassinato nel 497 a.C.

La dottrina pitagorica s’imperniava su di un pensiero fondamentale: i numeri sono il principio di

tutte le cose. << Tutte le cose che si conoscono hanno un numero; senza questo nulla sarebbe

possibile pensare, né conoscere. >>

Col termine “numeri” i pitagorici intendevano soltanto i numeri interi, concepiti come le collezioni

di più unità. Non fecero particolari indagini sulla natura di queste unità, limitandosi a rappresentarle

con punti, circondati ciascuno da uno spazio vuoto. Proprio questa rappresentazione spaziale facilitò

il passaggio dalla concezione del numero in rapporto alle cose, alla sua concezione come costituente

fisico elementare delle cose.

Il problema essenziale diventava allora, per i pitagorici, quello di cogliere il modo con cui dalla

collezione di più unità si generano tutti gli esseri. Le leggi della formazione dei numeri venivano

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considerate come leggi della formazione delle cose, e si riteneva di poter trovare in esse la vera

ragione esplicativa del mondo fisico e morale.

La più importante di tali leggi era costituita – secondo i pitagorici – dall’opposta struttura dei

numeri dispari e di quelli pari. L’antitesi dispari-pari veniva così assunta a principio di una serie di

altre nove opposizioni, che spezzano il mondo in due: limitato-illimitato; uno-molti; destra-sinistra;

maschio-femmina; luce-tenebra; buono-cattivo; immobile-mobile; retto-curvo; quadrato-rettangolo.

Tutto questo finiva con l’infondere ai numeri in generale, e a certuni di essi in particolare, un vero e

proprio valore magico-simbolico. Così il numero 5 veniva assunto a rappresentare il matrimonio,

essendo la somma del primo numero dispari, il 3, con il primo numero pari, il 2 (l’1 veniva

considerato come “parimpari” servendo a generare sia i numeri pari che i dispari); il 4 e il 9

venivano presi come simboli della giustizia; il 7 dell’opportunità; e così via.

I pitagorici classificavano i numeri a seconda delle forme che si ottenevano disponendo nei vari

modi i punti. Così, i numeri 1, 3, 6, 10 erano detti triangolari perché i corrispondenti punti potevano

essere disposti a triangolo. Al numero triangolare 10 veniva attribuita un’importanza speciale, come

somma dei primi quattro numeri naturali. I numeri 1, 4, 9, 16,… venivano chiamati numeri quadrati

perché intesi come punti potevano essere disposti in un quadrato.

Questa particolare concezione dei numeri spinse i pitagorici a studiare la geometria per via

aritmetica. Ne sorse una disciplina che, per il suo doppio carattere, fu chiamata <<aritmo-

geometria>>. Essa ebbe vita breve e la sua crisi fu causata dalla scoperta che le figure geometriche

sono costituite non da un numero finito, ma da una infinità di punti. Il primo <<fatto geometrico>>

che costrinse i pitagorici a riconoscere che le figure sono costituite da infiniti punti, è proprio

connesso a quel medesimo teorema che porta il nome di Pitagora. Ed infatti, applicando detto

teorema ad uno dei due triangoli isosceli in cui è diviso un quadrato, si dimostra facilmente che il

lato e la diagonale di tale quadrato non possono avere alcun sottomultiplo comune, cioè sono

incommensurabili. Orbene, proviamo a supporre che un segmento sia generato dall’accostamento di

una serie finita di punti (piccoli ma non nulli, e tutti eguali fra loro, come allora si immaginava): ne

seguirebbe che uno qualunque di questi punti risulterebbe contenuto un numero intero, e finito, di

volte (per esempio m volte) nel lato e un altro numero intero, e finito, di volte (per esempio n volte)

nella diagonale. Lato e diagonale avrebbero dunque un sottomultiplo comune, e non sarebbero –

come si era dimostrato – incommensurabili. La loro incommensurabilità esige pertanto che essi

siano costituiti da una infinità di punti.

La leggenda racconta che il fatto scandaloso, ora riferito, fu gelosamente custodito per vari anni tra i

segreti più pericolosi della setta. Esso fu rivelato fuori della scuola pitagorica da Ippaso di

Metaponto, una delle figure più notevoli dell’antico pitagorismo. Per questo fu cacciato

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ignominiosamente dalla scuola, di cui era un acusmatico, ed a lui anzi i pitagorici avrebbero eretto

una tomba come ad un morto. Secondo la tradizione su di lui sarebbe caduta anche l’ira di Giove, il

quale lo fece perire in un naufragio; la sua triste morte non impedì tuttavia che lo scandalo si

diffondesse rapidamente tra i cultori di matematica e finisse per scuotere dalle fondamenta l’intera

concezione pitagorica.

Questa crisi verrà resa ancor più acuta – come vedremo – dalla scoperta delle antinomie di Zenone

sul movimento e sulla divisibilità. Per uscire da essa, i maggiori scienziati greci non troveranno

altra via se non quella di scindere completamente la geometria dall’aritmetica, interpretando la

prima come studio del continuo e la seconda come studio del discontinuo.

La scuola pitagorica fiorì per più di un secolo, e i pitagorici fondarono anche a Taranto una scuola

filosofica e matematica. Della scuola di Taranto merita particolare menzione Archita, filosofo

insigne che ebbe la gloria di annoverare Platone fra i propri discepoli, celebrato da Orazio in una

delle sue Odi (la 28° del 1° libro), dove è detto che sia perito in un naufragio. Archita fu uno dei

primi che si occuparono del problema di Delo o della duplicazione del cubo, e la sua geniale

soluzione ci è stata tramandata da Eutocio (V-VI sec. d.C.) nel suo commento al 2° libro di

Archimede sulla sfera e sul cilindro.

Archita visse a Taranto tra la fine del V secolo e la prima metà del IV, ultima figura di statista

pitagorico che resse per lungo tempo la sua città incrementandone la prosperità e la potenza

militare, facendone la prima della Magna Grecia. Si ritiene che Archita abbia applicato la propria

dottrina matematica alla meccanica militare, e, poiché sappiamo pure che fece uso di strumenti

meccanici per risolvere problemi geometrici, si può dire che per primo (e sfortunatamente con pochi

imitatori per molto tempo) egli intuì la fecondità teorica e pratica di una relazione fra matematica e

meccanica. Profonda fu l'impressione che la personalità di Archita suscitò in Platone in occasione

del suo soggiorno a Taranto nel 389.

In campo matematico, Archita riprese il problema di Delo secondo le linee tracciate da Ippocrate di

Chio, e lo portò a soluzione mediante la rappresentazione strumentale di figure geometriche in

movimento. La soluzione di Archita è troppo complessa per essere qui riportata: da essa risulta

comunque che egli era familiare con i processi mediante cui si generano cilindri, coni e altri solidi

di rivoluzione, e che fu il primo ad usare consapevolmente il concetto di luogo geometrico. In

questo modo, Archita offriva il primo esempio di applicazione della geometria dello spazio alla

soluzione dei problemi di geometria piana, e insieme dava inizio alle ricerche che concluderanno

alla teoria delle coniche. Ma quello che va messo in maggiore rilievo, è lo spregiudicato coraggio

con il quale Archita faceva ricorso a tutti i metodi e gli strumenti che permettessero di far

progredire la ricerca.

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Particolarmente ardite furono le sue concezioni in aritmetica e in acustica: quanto alla prima egli

contribuì a sviluppare il concetto che il numero è essenzialmente un rapporto, perciò indipendente

dalle condizioni di commensurabilità e razionalità, e potè quindi tornare a rivendicare la supremazia

dell'aritmetica fra le scienze matematiche; quanto alla seconda, egli scoprì che il suono è dovuto al

movimento e all'urto dei corpi, che l'aria è un corpo atto a ricevere la vibrazione e a propagarla e

propose anche una teoria delle scale musicali.

La tradizione, che fa di Archita uno dei maestri di Eudosso, anche se dubbia, vale certamente a

simboleggiare la funzione del tarantino nel passaggio dalla matematica del V secolo alla grande

fioritura che ebbe luogo nel IV.

Da tutto quanto si è detto la conclusione che si può trarre è semplice e breve: è per opera di Pitagora

e della sua scuola che la matematica assurge veramente a maestà di scienza.

6. La scuola eleatica e la scuola atomista

Contemporanea alla scuola pitagorica fu la scuola eleata, fondata ad Elea (nell’antica Lucania, oggi

Basilicata) da Senofane di Colofone (città della Ionia). Il suo principio fondamentale era quello

dell’unità (indivisibilità )e immutabilità dell’essere, e questo principio fu sostenuto, dopo Senofane,

da Parmenide che diede grande sviluppo alle dottrine eleatiche; il principio stesso condusse alla

concezione dello spazio quale fu espressa da Anassagora di Clazomene, celebre filosofo vissuto tra

il 500 e il 428 a.C., che influenzò con le sue idee la scuola ionica e quella eleatica.

Anassagora giunge ad una concezione profonda dello spazio, precorrendo così Euclide e la moderna

geometria.

<<Lo spazio – egli dice – non soltanto è infinito nel senso che non ha termine in nessun luogo, ma è

anche infinito, per così dire, internamente, in quanto si accosta ad ogni suo punto senza alcuna

interruzione: gli elementi dello spazio non sono staccati l’uno dall’altro come se fossero tagliati

dall’accetta>>.

Contro questa concezione insorgeva la teoria atomistica propugnata da Democrito di Abdera (460-

370 circa). Secondo questa teoria la sostanza fondamentale è costituita da numerosissime particelle

indivisibili (atomi), ed è unica, presentando diversità solo apparenti, che dipendono dalla posizione

e dal moto di queste particelle. Democrito, in uno dei frammenti che ci sono rimasti, si esprime

così: <<Sono semplici opinioni il dolce, l’amaro, il caldo, il freddo, il colore; realmente esistenti

non vi sono che gli atomi e il vuoto>>.

Ma dalla concezione dello spazio, secondo Anassagora, e cioè come illimitato internamente,

nasceva quella della sua illimitata suddivisibilità, che trovava appoggio nella scoperta delle

grandezze incommensurabili, fatta dai pitagorici; ma anche contro l’illimitata suddivisibilità dello

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spazio insorgeva Democrito con questa argomentazione: <<Si vuole assumere che la divisione è

possibile, ebbene si accetti, che la divisione è possibile sempre, e lo si ammetta pure; ma che resta

infine ? Niente. Non può restare un corpo, altrimenti esso sarebbe divisibile e la divisione non

sarebbe stata spinta all’estremo; potrebbero rimanere soltanto dei punti, ma questo è

manifestamente assurdo>>.

Si noti che Pitagora aveva concepito il punto come unità avente posizione e quindi senza grandezza

alcuna, e i pitagorici ne avevano dedotto che ogni corpo geometrico è una somma di unità.

Ma non meno accanita contro gli atomisti e i pitagorici si dimostra la scuola eleatica a sostegno dei

suoi principi fondamentali. Dopo Parmenide è il suo allievo Zenone che con i suoi famosi

paralogismi lancia strali infuocati alle due scuole. Ecco alcuni argomenti contro la pluralità

dell’essere, sostenuta da Democrito. Se

Se l’essere fosse multiplo dovrebbe essere nello stesso tempo infinitamente piccolo ed infinitamente

grande. Infatti, pluralità è serie di unità indivisibili, le unità indivisibili non hanno grandezza

(perché tutto ciò che ha grandezza è divisibile all’infinito). Ciò che non ha grandezza può essere

aggiunto o tolto ad una grandezza senza che questa si alteri, per conseguenza la pluralità è

infinitamente piccola. Ma la pluralità è anche infinitamente grande. Infatti ciò che non ha grandezza

non esiste, cosicché la pluralità per esistere deve avere una grandezza, e però le sue parti devono

essere discoste e tra esse ci deve essere una grandezza, applicando a questa lo stesso ragionamento

si conclude che la pluralità è infinitamente grande.

(Si noti la confusione che fa Zenone tra grandezze nulle e grandezze infinitesime; egli poi non

riflette che la riunione di grandezze infinitesime può dar luogo ad una grandezza finita).

Zenone fa un analogo ragionamento per dimostrare che, rispetto al numero, ciò che è multiplo è, ad

un tempo, limitato ed illimitato.

A sostegno dell'immutabilità dell'essere e perciò contro il movimento è celebre il paralogismo di

Zenone che il piè veloce Achille non può raggiungere la tartaruga e quello della freccia che

lanciata nello spazio si muove e non si muove nel tempo stesso.

Zenone dice così: quando Achille sarà arrivato al posto dov'era la tartaruga, questa non vi è più

perché si è mossa, quando egli arriverà al posto dov'era ora, la tartaruga non vi sarà più, e così via

indefinitamente; dunque Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Una freccia che vola è in ogni istante in una posizione determinata e quindi in riposo; la freccia è

dunque in ogni istante in riposo e perciò il suo moto è apparente.

Zenone nel primo paralogismo mostra di conoscere che una serie di tempuscoli infinitesimi può

formare un tempo finito, nel secondo confonde la quiete istantanea con quella assoluta. Oggi i suoi

λóγoι appaiono sciocchi e ridicoli; ma noi dobbiamo riferirci all'epoca in cui furono formulati, cioè

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quando le concezioni di tempo e di spazio erano nebulose, com'erano imprecise le nozioni di

infinitesimo e d'infinito. E però notevole il fatto che queste due nozioni, come anche quelle del

continuo, cominciano già a manifestarsi, sebbene passerà più di un millennio perché esse divengano

ciò che oggi sono: il fondamento della matematica (moderna). In queste discussioni noi vediamo il

travaglio della filosofia naturale dei Greci dinanzi alle concezioni matematiche che acquistano una

sempre maggiore astrattezza. Né le argomentazioni della scuola eleatica né quelle della scuola

atomista potevano scuotere le salde basi della geometria secondo la concezione di Anassagora e

della scuola italica, concezione che non poteva essere compresa subito e dalla generalità dei filosofi,

che si lasciavano offuscare dall’ intuizione; ma il significato di quella concezione non poteva

sfuggire ad una mente acuta come quella di Aristotele. Infatti osserva lo Stagirita che << le linee

sensibili non sono quali il geometra le concepisce, perché nessuna fra esse è perfettamente retta o

rotonda»; e in un altro luogo: «Nel continuo sono invero parti senza limiti, ma non secondo la

realtà, ma secondo la possibilità».

E’ veramente meraviglioso che in queste parole del grande filosofo greco del IV sec. a.C. è l'essenza

della concezione moderna del continuo, secondo Dedekind, ma più ancora secondo Hilbert.

7. La scuola sofistica

Dopo la sconfitta finale dei Persiani a Micale nel 479 a.C., Atene divenne la città più influente della

lega delle città greche e un importante centro commerciale. La ricchezza acquisita attraverso il

commercio fu usata da Pericle per ampliare e abbellire la città. Gli Ionici, i Pitagorici e tutti gli

intellettuali in genere, erano attratti da Atene, dove veniva data la preminenza al ragionamento

astratto e posto l’obiettivo di estendere il dominio della ragione su tutta la natura e sull’uomo.

La prima scuola ateniese, quella sofistica, comprendeva colti maestri di grammatica, di retorica, di

dialettica, di eloquenza, di morale e – ciò che è più importante per noi – di geometria, di astronomia

e di filosofia. Uno dei loro principali obiettivi era l’uso della matematica per capire il

funzionamento dell’universo.

Molti dei risultati matematici ottenuti scaturirono dallo sforzo per risolvere i tre famosi problemi di

costruzione: costruire un quadrato avente un’area uguale a quella di un cerchio dato; costruire il lato

di un cubo il cui volume sia doppio di un cubo di lato dato; trisecare un angolo qualsiasi. Tutte e tre

le costruzioni dovevano essere effettuate servendosi soltanto di riga e compasso.

Sono state date diverse interpretazioni circa la restrizione di usare nelle costruzioni soltanto riga e

compasso. La linea retta e il cerchio erano, secondo i Greci, le figure fondamentali e la riga e il

compasso sono i loro analoghi fisici. Le costruzioni effettuate con questi strumenti erano perciò

preferibili.

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L’origine di questi famosi problemi di costruzione viene riferita in vari modi. Sulla duplicazione del

cubo ci è stata tramandata un’interessante leggenda: a Delo esisteva un celebre tempio consacrato

ad Apollo con un altare a forma di cubo. Essendo una volta scoppiata nella città una grave

pestilenza fu interpellato l’oracolo onde sapere quale dono il dio esigesse per far cessare la grave

sciagura. Fu risposto che egli desiderava l’erezione di un altare, sempre di forma cubica, ma con

volume doppio del precedente. Gli abitanti credettero di ottemperare la richiesta costruendo un

altare con spigolo doppio; la pestilenza però, anziché cessare, subì una notevole recrudescenza. Ce

cosa era accaduto ? Semplicissimo! La richiesta del dio non era stata eseguita; il volume dell’altare

era stato infatti moltiplicato per otto, non per due!

A parte la leggenda ora riferita, è chiaro che il problema della duplicazione del cubo non costituì

altro che un ampliamento del problema della duplicazione del quadrato, che aveva potuto venir

facilmente risolto per mezzo del teorema di Pitagora (è chiaro infatti che se il quadrato primitivo ha

per lato l’unità, il quadrato doppio deve avere lato √2, cioè la diagonale del quadrato stesso). Ma il

problema della duplicazione del cubo risultò subito assai più difficile, portandoci dal campo delle

radici quadrate a quello delle radici cubiche.

Il primo tentativo noto per risolvere uno dei tre famosi problemi fu effettuato da Anassagora,

appartenente alla scuola ionica, che si dice abbia lavorato sulla quadratura del cerchio mentre era in

prigione. Non sappiamo nulla di più della sua opera.

Chi nel V secolo diede comunque il maggior contributo alla soluzione di questi problemi fu il

matematico Ippocrate di Chio (da non confondere con il celebre medico Ippocrate di Cos), uno dei

più notevoli ingegni della sua epoca.

Si racconta che egli fosse un commerciante, ma, avendo perduto tutto quanto possedeva, si recò ad

Atene dove <<si mise a frequentare i filosofi>> ed insegnò la geometria, probabilmente fra il 450 e

il 430. Fu per l’appunto la necessità di dare un ordine preciso alla propria materia di insegnamento

che lo indusse a scrivere quello che oggi diremmo un <<libro di testo>>; tale libro ebbe il titolo

generico di Elementi (Stoichéia) e aprì la strada ai futuri Elementi di Euclide.

Volendo accennare al contributo dato da Ippocrate allo studio del problema della duplicazione del

cubo, basta ricordare che egli dimostrò l’equivalenza fra tale problema e un altro, a prima vista

completamente diverso, riguardante le proporzioni. Questo secondo problema consiste nella ricerca

di una doppia media proporzionale da inserirsi fra due segmenti, di lunghezza a e 2°; si tratta in altri

termini i trovare due segmenti incogniti x ed y tali che a : x = x : y = y : 2a. Con le nostre

conoscenze di algebra, basta poco per ricavare da questa proporzione il valore di x: x3 = 2a3, e

quindi si comprende senza difficoltà l’equivalenza dei due problemi. Partendo invece dagli scarsi

mezzi matematici posseduti nel V secolo, la scoperta di Ippocrate presenta una notevole difficoltà;

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essa suscitò pertanto un forte interesse. Non riuscì tuttavia a far risolvere il problema della

duplicazione del cubo, poiché si vide ben presto che quello della ricerca di una doppia media

proporzionale era altrettanto difficile quanto il primo. Ebbe, comunque, il vantaggio di

familiarizzare i matematici dell’epoca con il concetto di riducibilità di un problema all’altro.

La parte più originale dell’attività matematica di Ippocrate è quella da lui dedicata alla quadratura

del cerchio. Lo studio di questo problema lo indusse ad indagare l’area delle lunule (che sono

porzioni di piano racchiuse da due archi di cerchio, di raggio diverso, ma con i medesimi estremi)

dimostrando fra l’altro un risultato veramente notevole: la somma delle aree delle due lunule

tratteggiate in figura è equivalente all’area del triangolo ABC.

Alcune antiche testimonianze ci narrano che Ippocrate avrebbe ritenuto possibile dedurre che, in

generale, tutte le lunule sono quadrabili (qualunque sia il rapporto fra il raggio del primo ed il

raggio del secondo arco che le delimitano), e, partendo da questo risultato erroneo, si sarebbe illuso

di giungere alla quadratura del cerchio.

Sembra strano che un ingegno così sottile come il suo sia caduto in questo equivoco, ed è probabile

(non essendo giunto fino a noi il testo originale) che si tratti più di una inesattezza di chi riferisce i

risultati di Ippocrate, che non di un errore di Ippocrate stesso; comunque, esso non diminuirebbe il

merito di avere attratto l’interesse dei matematici sulle lunule e di aver provato che alcune di esse

godono effettivamente di proprietà molto eleganti.

Anche i sofisti Ippia e Antifonte si cimentarono intorno al problema della quadratura del cerchio: il

primo ideò, per risolverlo, una « curva meccanica », la quadratrice, che riesce indubbiamente allo

scopo voluto (anzi, riesce pure a risolvere il problema della trisezione dell'angolo) ma ha il difetto

di non prestarsi a venir disegnata con la medesima esattezza delle figure tracciabili con riga e

compasso; il secondo suggerì una strada ottima, quella di giungere alla circonferenza partendo da

un poligono regolare inscritto in essa e via via raddoppiandone il numero dei lati, ma commise

l'errore di ritenere che, a un certo punto, questo poligono avrebbe dovuto senz'altro coincidere col

cerchio. Malgrado l'imperfezione logica di qualche ragionamento, come appunto quest'ultimo, gli

studi matematici dei due sofisti furono, come quelli di Ippocrate, fecondi di ampi sviluppi e

contribuirono in modo molto serio al progresso della cultura matematica della loro epoca.

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8. La scuola platonica

La scuola platonica succedette a quella sofistica nella leadership dell’attività matematica. I suoi

precursori, Teodoro di Cirene (nato intorno al 470 a.C.) e Archita di Taranto (428-347 a.C.), erano

pitagorici e furono entrambi maestri di Platone. I loro insegnamenti devono essere stati la causa

della profonda influenza pitagorica su tutta la scuola platonica.

Teodoro è noto per aver dimostrato che i rapporti che noi indichiamo con , , ,…, sono

incommensurabili con l’unità. Di Archita ne abbiamo già parlato nel paragrafo sulla scuola

pitagorica.

La scuola platonica era capeggiata da Platone e comprendeva Menecmo, suo fratello Dinostrato e

Teeteto. Molti altri suoi membri ci sono noti soltanto di nome.

Platone (427-347 a.C.) era nato da una nobile famiglia e nella sua giovinezza nutrì ambizioni

politiche. Ma la sorte di Socrate (suo maestro, fu accusato di empietà e di opera corruttrice sui

giovani, fu condannato a bere la cicuta nel 399) lo convinse che non vi era posto nella politica per

un uomo di coscienza. Platone fece suo il fondamento della dottrina pitagorica. I suoi contatti con

gli ultimi pitagorici furono molto stretti. Dopo la morte di Socrate, egli viaggiò lungamente.

Secondo Cicerone, andò in Egitto e a Cirene ascoltò le lezioni di Teodoro (di cui parla con grande

venerazione nel celebre suo dialogo Teeteto). Fu anche nella Magna Grecia, conobbe a Locri

Timeo, a Taranto Archita e Filolao; anzi si dice che da questi abbia acquistato tre libri contenenti le

dottrine pitagoriche.

Ritornato ad Atene, intorno al 387, fondò la sua scuola filosofica, la cosiddetta Accademia, perché

sorgeva nel ginnasio di un sobborgo che prendeva il nome di un signore ateniese, Academo.

L’Accademia sotto molti aspetti era simile a una moderna università, aveva cortili, edifici, studenti

e corsi formali impartiti da Platone e dai suoi aiuti. Durante il periodo classico vi fu particolarmente

favorito lo studio della matematica e della filosofia. Sebbene il centro guida per la matematica si

fosse spostato ad Alessandria intorno al 300, l’Accademia conservò la sua preminenza per quel che

riguarda la filosofia durante tutto il periodo alessandrino. La sua vita durò novecento anni, fino a

quando non fu chiusa dall’imperatore Giustiniano nel 529 d.C. perché vi si insegnavano «dottrine

pagane e perverse».

Platone, uno degli uomini più colti del suo tempo, non era un matematico, ma il suo entusiasmo per

l’argomento e la fede nella sua importanza per la filosofia e per la comprensione dell’universo

incoraggiava i matematici a perseguirne lo studio. E’ degno di nota il fatto che quasi tutto il lavoro

matematico importante del IV secolo sia stato fatto da amici e allievi di Platone. Sembra invece che

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Platone dal canto suo si sia dedicato principalmente a migliorare e a perfezionare quanto era già

noto. Egli vide nella matematica caratteri di necessità non soltanto umana, ma anche divina.

«Dio sempre geometrizza»; «Il numero governa il mondo»; «Abolite il numero e voi abolirete le

arti, le scienze; restituitelo e con lui si mostrano le sue due figlie celesti: l’armonia e la bellezza; il

grido diventa canto, il rumore suono, il salto danza, la forza dinamica la linea disegno»; «La

geometria dirige l’anima verso l’essere eterno»;«Non è possibile arrivare ad una vera fede in Dio, se

non si conosce la matematica e l’astronomia, nonché l’intimo legame che queste hanno con la

musica».

La matematica è propedeutica alla conoscenza dell’universo delle idee, e, nell’intendere le cose, «vi

è una celestiale differenza fra uno che abbia studiato la geometria ed uno che non l’abbia studiato»,

anzi «coloro che fin dalla nascita sono abituati all’aritmetica hanno una facoltà di capire più

sviluppata, e le teste più tarde riescono ad intendere con maggiore facilità».

E’ indicativo del ruolo che Platone attribuiva alla matematica l’iscrizione posta all’ingresso

dell’Accademia: “Non varchi questa soglia chi ignora la geometria”.

Sebbene non sia possibile essere certi della misura in cui i concetti matematici fossero trattati come

astrazioni prima dei tempi di Platone, è fuori di dubbio che Platone e i suoi successori li

considerassero tali. Platone dice che i numeri e i concetti geometrici non hanno in sé nulla di

materiale e che sono distinti dalle cose fisiche. I concetti matematici sono indipendenti

dall’esperienza e hanno una realtà loro propria. Essi vengono scoperti, non inventati o modellati. E’

probabile che questa distinzione fra astrazioni e oggetti materiali provenga da Socrate.

I Platonici apprezzavano le idee astratte e privilegiavano le idee matematiche come preparazione

alla filosofia. Le idee astratte con cui la matematica ha a che fare sono simili ad altre, quali il bene e

la giustizia, la cui comprensione è lo scopo della filosofia platonica.

Platone in particolare riteneva che la realtà fosse costituita dalle idee perfette degli oggetti fisici. Il

mondo delle idee e le relazioni fra di esse sono eterne, atemporali, incorruttibili e universali. Il

mondo fisico è una realizzazione imperfetta del mondo delle idee ed è perciò soggetto a

decadimento. Si può avere conoscenza infallibile soltanto nei confronti delle forme intelligibili

pure. Intorno al mondo fisico si possono avere soltanto delle opinioni e la scienza fisica affonda

nelle secche del mondo dei sensi.

Platone affermò con forza la necessità di una organizzazione deduttiva della conoscenza. Il compito

della scienza era quello di scoprire la struttura della natura (ideale) e di articolarla in un sistema

deduttivo. Egli fu il primo a sistematizzare le regole della dimostrazione rigorosa e si suppone che i

suoi seguaci abbiano disposto i teoremi secondo un ordine logico. La matematica organizzata dai

Platonici in modo deduttivo sulla base di espliciti assiomi e l’insistenza sul ragionamento deduttivo

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come unico metodo di dimostrazione in matematica, scardinava tutte le regole, le procedure e i fatti

che erano stati accettati nel corpo della matematica per millenni prima del periodo greco. Questa

esigenza ha caratterizzato dopo di allora la matematica e l’ha distinta da tutti gli altri campi di

conoscenza o di ricerca.

Per quel che riguarda la ricerca matematica, la scoperta più significativa della scuola platonica

furono le sezioni coniche. Questa scoperta è attribuita dall’alessandrino Eratostene a Menecmo,

geometra e astronomo, che fu allievo di Eudosso ma membro dell’Accademia. Sebbene non si

sappia con certezza che cosa abbia condotto alla scoperta delle sezioni coniche, è opinione comune

che essa sia scaturita dalle ricerche sui famosi problemi di costruzione.

9. La scuola di Eudosso

Il più grande dei matematici greci classici, secondo soltanto ad Archimede in tutta l’antichità, fu

Eudosso. Era nato a Cnido nell’Asia Minore intorno al 408 a.C., aveva studiato sotto Archita a

Taranto, viaggiato in Egitto, dove imparò l’astronomia, e fondato infine una scuola a Cizico

nell’Asia Minore settentrionale. Intorno al 368 egli e i suoi seguaci si unirono a Platone. Alcuni

anni più tardi tornò a Cnido dove morì intorno al 355 a. C.

Astronomo, fisico, geometra, legislatore e geografo, è soprattutto noto per la creazione della prima

teoria astronomica dei moti celesti. Nei secoli successivi hanno scritto grandi elogi di lui Eratostene

(che lo qualificò col titolo di «divino»), Cicerone, Tolomeo, Sesto Empirico, Proclo, ecc.

Il suo primo grande contributo alla matematica fu una nuova teoria delle proporzioni.

Il concetto di proporzione come eguaglianza di due frazioni risale al V secolo o a periodi ancora

precedenti. Esso si riduce a dire che quattro grandezze geometriche A, B, C, D (delle quali A

omogenea a B, e C omogenea a D) sono in proporzione quando la frazione numerica che esprime il

rapporto fra A e B eguaglia quello che esprime il rapporto fra C e D. Tale concetto però richiede,

per venire applicato, che A e B siano commensurabili, e così pure lo siano, ovviamente, C e D. In

questa ipotesi la proporzione geometrica si riduce ad una proporzione fra numeri interi.

Il problema difficile consiste nel trovare un’estensione di tale concetto che lo renda applicabile

anche al caso della incommensurabilità. Orbene, il merito fondamentale di Eudosso nella teoria

delle proporzioni sta proprio nell’aver scoperto tale estensione, nell’averci dato cioè una definizione

di proporzione applicabile tanto al caso delle grandezze commensurabili quanto a quello delle

grandezze incommensurabili.

La definizione eudossiana, fatta propria da Euclide nel libro V degli Elementi, è stata ripetuta, tanto

era perfetta, da tutti i testi di geometria fino alla sostituzione, ai nostri giorni, con un’altra che fa

esplicito riferimento ai numeri reali, razionali od irrazionali (ecco la definizione odierna: si dice che

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A,B,C,D sono in proporzione quando il rapporto reale fra le due prime grandezze eguaglia il

rapporto reale fra le due ultime).

Vale la pena di riferire la definizione di Eudosso:

«Quattro grandezze geometriche A,B,C,D si dicono in proporzione quando presi due multipli

qualunque di A e B, per esempio mA ed nB (con m ed n interi) e presi due multipli corrispondenti di

C e D, cioè mC ed nD risulti sempre vero che se mA nB anche mC nD».

Come ognuno vede, la definizione eudossiana è apparentemente espressa in termini pitagorici,

perché fa riferimento soltanto a multipli interi delle grandezze in esame; ciò che la rende applicabile

anche alle grandezze incommensurabili è il fatto nuovo che essa parla non di una determinata

coppia di multipli, ma di due multipli «qualunque» di A e B (e dei due corrispondenti C e D). Senza

dubbio l’introduzione di questi multipli qualunque diminuisce notevolmente l’intuibilità del

concetto definito; è proprio essa, però, che gli fornisce la generalità di cui il geometra ha bisogno.

Come abbiamo detto, essa rende infatti applicabile il concetto di proporzione a tutte le quadruple di

grandezze geometriche A, B, C, D, a due a due omogenee, indipendentemente dal fatto che siano o

no commensurabili. Costruendo su di essa un ampio edificio di teoremi, noi potremo essere pertanto

sicuri (e questa era la garanzia cercata da Eudosso) che tali teoremi risultassero applicabili, senza

contraddizioni o limitazioni, a tutto il campo delle proporzionalità geometriche.

Non è necessario aggiungere altro per illustrare l’importanza del passo compiuto da Eudosso; è

bene però riflettere sulle difficoltà che il grande geometra greco dovette superare per giungere ad un

concetto che oggi può sembrarci ovvio solo perché inserito in un livello molto più alto di cultura

scientifica.

Il secondo importante contributo di Eudosso fu l’invenzione del cosiddetto metodo di esaustione per

determinare le aree e i volumi delle figure curve. Servendosi di esso Eudosso dimostrò, ad esempio,

che le aree di due cerchi stanno fra loro come i quadrati dei loro raggi, che i volumi di due sfere

stanno fra loro come i cubi dei loro raggi, che il volume di una piramide è un terzo del volume di un

prisma avente la stessa base e la stessa altezza e che il volume di un cono è un terzo del volume del

cilindro corrispondente.

Il punto centrale di questo metodo consiste nel dimostrare che due aree o volumi «debbono» essere

uguali perché è assurdo che la loro differenza sia diversa da zero. La prova di questa assurdità si

ottiene, non da un confronto diretto delle due figure che non è possibile, ma dal confronto tra classi

di altre figure (di area o di volume calcolabili) che racchiudono le due date con differenze via via

minori: concezione questa che implica l’illimitata proseguibilità delle classi di figure testé

considerate.

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Qui l’intento di Eudosso era manifestamente quello di evitare la antinomie connesse alla

suddivisione di una figura in una infinità di grandezze infinitamente piccole, antinomie che avevano

provocato tante preoccupazioni a tutta la matematica pitagorica; il metodo di cui si serve è contorto,

artificioso, di scarsissima intuibilità, ma logicamente impeccabile. Sarà il metodo seguito, in questo

genere di ricerche, da tutti i più grandi geometri fino alla scoperta del calcolo infinitesimale

moderno.

10. L’astronomia eudossiana

Passando dalla matematica all’astronomia, va ricordato anzitutto che Eudosso ha il grande merito di

avere liberato questa scienza da ogni infiltrazione teologica. Egli ne ha fatto un sistema matematico

del mondo, sistema che oggi apparirebbe certo inidoneo a rendere conto dei molti fenomeni

astronomici in nostro possesso, ma che nel IV secolo poteva a buon diritto venir considerato come

una spiegazione abbastanza soddisfacente di gran parte dei dati allora conosciuti dagli studiosi. Di

fronte ad essa il nostro giudizio non deve lasciarsi influenzare dalla radicale diversità fra le ipotesi

eudossiane e quelle accettate dall’astronomia moderna: ciò che conta è il carattere scientifico della

teoria ideata dal grande pensatore di Cnido, la formulazione rigorosamente matematica che egli ha

dato alle leggi astronomiche, il potente sforzo razionalistico che sorregge la sua costruzione. Essa

rappresenta senza dubbio uno dei principali capisaldi di tutta la storia dell’astronomia antica.

Oggi il principio generale che sta alla base di tutte le teorie astronomiche è un principio di carattere

dinamico (ad esempio la legge sull’attrazione delle masse di Newton); ai tempi di Eudosso,

mancando ogni nozione esatta di dinamica, tale principio non poteva essere che di carattere

geometrico. Ciò ha fornito al sistema eudossiano l’aspetto di semplice modello teorico ideato per

descrivere l’ordine dei fenomeni celesti, non per indicarcene le cause.

Il corso delle stelle, del Sole, della Luna, ci suggerisce l’idea del moto circolare uniforme. I

pitagorici e Platone avevano accettato in pieno questa idea, stabilendo come assioma generale che

ogni moto celeste debba venir pensato o come moto circolare uniforme o come combinazione di più

moti di tale tipo. Eudosso ereditò da essi questo assioma e ne fece il principio generale (di carattere

geometrico) della sua astronomia. Introdusse però un’importante innovazione: invece di parlare di

anelli celesti, immaginò i vari astri come fissi sopra superfici sferiche ideali, trasparenti, che

ruotano uniformemente intorno a due poli; Sole, Luna e tutti i pianeti (in quei tempi se ne

conoscevano solo cinque) devono avere la propria sfera indipendente dalle altre; un’ultima sfera

(unica) deve essere quella delle stelle fisse. Tutte queste sfere debbono risultare concentriche fra

loro e con la Terra interpretata come centro dell’universo.

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Si constata però agevolmente che, se questo modello può servirci a farci comprendere senza

difficoltà il moto apparente delle stelle fisse, non serve altrettanto bene per quello del Sole e della

Luna, e tanto meno per quello dei pianeti che sembrano avanzare ora più ora meno del dovuto,

piegando ora a destra ora a sinistra nel senso della latitudine. A risolvere la gravissima difficoltà,

Eudosso introdusse un’ipotesi veramente geniale: ognuno di tali astri possiede non una sola sfera,

ma un ordine di più sfere, una interna all’altra, tutte concentriche e ruotanti con moto uniforme, ma

con periodo diverso e intorno ad assi di rotazione differenti, ciascuno dei quali imperniato nella

sfera precedente. Mentre, per la rotazione uniforme della prima sfera di tale ordine, ogni punto di

essa descrive un cerchio, per la rotazione di due sfere collegate nel modo anzidetto ogni punto della

seconda sfera descriverà una curva assai più complicata che un cerchio (Eudosso era in grado, per la

sua competenza geometrica, di farsi un’idea abbastanza precisa di tali curve). Le cose si complicano

ancora maggiormente al crescere del numero di sfere collegate. Ebbene, Eudosso si convinse di

poter dare con questo modello una spiegazione geometrica soddisfacente del moto apparente del

Sole e della Luna, supponendo ciascuno di essi fornito di un ordine di tre sfere; per i pianeti, data la

maggiore complessità del loro moto apparente, suppose che ciascuno possedesse un ordine di

quattro sfere. Si avevano così, in tutto, ventisei sfere, più una ventisettesima delle stelle fisse.

Il sistema ora accennato dava risultati indubbiamente buoni per i pianeti Saturno, Giove e Mercurio;

assai meno soddisfacenti per Venere, e ancora meno per Marte. I continuatori di Eudosso si

trovarono quindi di fronte al compito di migliorare le spiegazioni del maestro, senza abbandonare

però il modello generale da lui tracciato. Fu così che Callippo e Polemarco aumentarono il numero

delle sfere da ventisette a trentatré. In questo modo essi riuscirono pure a determinare con maggiore

esattezza i solstizi e gli equinozi e la durata delle stagioni.

Malgrado la sua meravigliosa simmetria, il sistema di Eudosso si trovò tuttavia, fin dall’inizio, di

fronte ad una difficoltà insolubile: quella del diverso splendore dei pianeti (specialmente di Marte e

di Venere) nei diversi periodi della loro rotazione. Tale variabilità è invero assolutamente

inconciliabile con l’ipotesi che le sfere dei pianeti risultino concentriche alla Terra, perché questa

ipotesi avrebbe come conseguenza la costanza della loro distanza dalla Terra e quindi la costanza

del loro splendore. Fu un discepolo di Platone, Eraclito Pontico (contemporaneo di Eudosso), a far

perno su tale difficoltà per respingere l’edificio del matematico e astronomo di Cnido. Studiando i

moti di Mercurio e di Venere, Eraclide intuì che il loro centro di rotazione doveva essere non la

Terra ma il Sole; suppose pertanto che, mentre il Sole gira intorno alla Terra, i due pianeti in

questione girano nello stesso senso intorno al Sole secondo sfere di raggio minore. Spiegato in

questo modo il diverso splendore di Venere, restava l’analogo problema per Marte; esso fu risolto

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un po’ più tardi (non si sa con sicurezza se dallo stesso Eraclito o da qualche pitagorico a lui

vicino).

Senza insistere oltre sull’argomento, basta solo osservare che l’astronomia di Eraclito, anche se

assai meno rigorosa di quella di Eudosso, rivela un’orientazione nuova, un carattere che l’avvicina a

concezioni molto più moderne. Tanto è vero che un sistema simile verrà ripreso, diciannove secoli

più tardi, da Tycho Brahe.

Sarà un continuatore di Eraclito, Aristarco di Samo, a formulare l’ipotesi che vada collocato nel

Sole il centro, non solo del moto di alcuni pianeti, ma di tutto l’universo.

11. La scuola aristotelica

Aristotele nacque a Stagira, città della Macedonia, nel 384 a.C., studiò ad Atene e fu allievo di

Platone. Ad Atene rimase fino alla morte del maestro, poi fu chiamato dal re Filippo di Macedonia

a dar lezioni al figlio Alessandro. Quando questi salì al trono, Aristotele ritornò ad Atene nel 335,

fondò nel Liceo la sua scuola (detta dei peripatetici); dodici anni dopo, in seguito alla morte di

Alessandro il Grande, per sfuggire alle persecuzioni contro i macedoni, riparò a Calcide, nell’isola

Eubea, dove morì a 63 anni, nel 322. C’è chi dice che si sia ucciso con il veleno per non cadere in

potere del governo di Atene.

Aristotele è una delle menti più vaste, più profonde che abbia avuto l’umanità: egli fu filosofo e

scienziato, e seppe riunire, anzi organizzare in un sistema veramente meraviglioso, quasi tutto lo

scibile del suo tempo, sistema che per quasi duemila anni costituì l’ossatura della scienza. L’autorità

del grande Maestro, l’ammirazione immensa dei posteri per il suo genio universale permisero che

l’edificio aristotelico si reggesse per così lungo tempo. Ma era fatale che anch’esso crollasse; nuove

scoperte nel campo scientifico dovevano fatalmente porre in contrasto la scienza ufficiale

aristotelica con la scienza nuova, perché la scienza è progresso del pensiero umano e non fissazione

e cristallizzazione.

L’importanza del Liceo nella storia del pensiero scientifico-filosofico non dipende soltanto dal

contenuto delle dottrine ivi insegnate, ma è pure legata all’organizzazione veramente nuova e

notevole della scuola, che aveva, alla morte di Aristotele, circa duemila allievi.

Potremmo dire che il Liceo per l’ampiezza dei programmi di lavoro, per l’ordinata suddivisione

delle indagini fra i vari gruppi di ricercatori, per la raccolta sistematica del materiale di studio,

ecc. ci abbia fornito il primo esempio di istituto scientifico nel senso moderno della parola.

La sua grandiosa biblioteca costituì il modello per le più celebri biblioteche dell’antichità. Venne

impostato un ampio programma di studi intorno alla filosofia e alla scienza. E’ noto che la stessa

Metafisica di Aristotele inizia con un rapido quadro dello sviluppo antecedente del pensiero

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filosofico; ma molto precise dovevano essere le ricerche storiche sulle singole scienze speciali:

quelle sulla matematica furono affidate ad Eudemo; le ricerche storiche sulla fisica furono affidate a

Teofrasto, che sarà il successore di Aristotele nella direzione della scuola; quelle sulla medicina a

un certo Menone, ecc. Un lavoro particolarmente preciso e paziente fu richiesto dagli studi

biologici: Aristotele stesso diresse le indagini intorno alla vita degli animali, mentre dopo di lui

Teofrasto diresse quelle sulla vita delle piante. Né meno interessanti e notevoli furono i contributi

della scuola su discipline di tipo completamente diverso: quelli per esempio riguardanti la filologia,

che in seguito passarono essi pure, come il resto della tradizione aristotelica, al Museo di

Alessandria. Per gli studi politici basti ricordare che Aristotele, con la collaborazione di vari

discepoli, descrisse la costituzione di centocinquantotto città greche (purtroppo ne giunse fino a noi

soltanto una, ritrovata in un papiro egiziano nel 1890: l’analisi della costituzione di Atene, dovuta

allo stesso Aristotele). Fu proprio il carattere enciclopedico della scuola, l’enorme varietà dei

problemi trattati, a richiedere la suddivisione del lavoro di cui abbiamo poco sopra fatto parola. E’

un carattere che ritroveremo in tutta la cultura ellenistica, e che dimostra la profonda differenza tra

essa e la cultura propriamente ellenica.

Dopo Aristotele la direzione della scuola passò a Teofrasto; dopo di lui a Stratone di Lampsaco.

Questi però, all’inizio del III secolo, si trasferì ad Alessandria con vari discepoli, causando il rapido

declino della fortuna del Liceo, che finì col perdere ogni peso sulla cultura del mondo antico.

Aristotele non si rivela come un cultore speciale della matematica; ma egli è un grande amico della

matematica. Nella sua Metafisica dice: «E’ a torto, dunque, che i geometri vengono accusati di non

insegnare che delle chimere e di non avere nella loro scienza nulla di buono e di bello. Io invece

sostengo che essi senza farne pompa, insegnano delle cose che sono ad un tempo buonissime e

bellissime. Giacché ogni bontà e bellezza, non risulta forse dall’ordine e dalla proporzione? Ora, di

che cosa si occupano i geometri, se non di ordine e proporzione?».

La principale realizzazione di Aristotele fu la fondazione della scienza della logica e rappresenta il

suo maggiore contributo, seppure indiretto, alla matematica. Fornendo leggi corrette al

ragionamento matematico i greci avevano posto le basi della logica, ma toccò ad Aristotele

codificare e sistematizzare queste leggi in una disciplina separata. Gli scritti di Aristotele

chiariscono al di là di ogni dubbio che egli derivò la logica dalla matematica. I suoi principi

fondamentali della logica – il principio di non contraddizione (due proposizioni contraddittorie,

cioè l’affermazione e la negazione dello stesso predicato di uno stesso soggetto, non possono essere

vere contemporaneamente e sotto lo stesso rispetto), e il principio del terzo escluso (tra due

proposizioni contraddittorie è necessario che una sia vera e l’altra falsa, cioè non si dà una terza

possibilità) – sono il cuore del metodo di dimostrazione indiretto o “per assurdo” in matematica.

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Questo consiste nel dimostrare una tesi assumendo come premessa la tesi a essa contraddittoria e

deducendo da questa conseguenze impossibili, cioè contrastanti con altri principi ammessi come

veri. L’impossibilità delle conseguenze rivela infatti, per il principio di non contraddizione, la

falsità della premessa da cui discendono e la falsità di essa rivela a sua volta la verità di quella a

essa contraddittoria, per il principio del terzo escluso.

Inoltre, Aristotele usava esempi matematici tratti dai testi contemporanei per illustrare i suoi

principi del ragionamento. La logica aristotelica rimase senza rivali fino al XIX secolo.

Sebbene fosse derivata dalla matematica, la logica giunse infine ad essere considerata indipendente

ed antecedente alla matematica e applicabile a ogni tipo di ragionamento. Già Aristotele, come

abbiamo notato, considerava la logica preliminare alla scienza e alla filosofia. In matematica egli

mise l’accento sulla dimostrazione deduttiva come unica base per stabilire i fatti. Per Platone, che

considerava le verità matematiche preesistenti o esistenti in un mondo indipendente dall’uomo, il

ragionamento non era la garanzia della correttezza dei teoremi; le facoltà logiche svolgevano

soltanto un ruolo secondario. Esse rendevano esplicito, per così dire, ciò che già si sapeva essere

vero.

Un membro della scuola di Aristotele, già citato all’inizio e particolarmente degno di nota, è

Eudemo di Rodi, che visse nell’ultima parte del IV secolo a.C. e che fu autore di storie della

geometria, dell’aritmetica e dell’astronomia, purtroppo persa nei secoli, che la principale fonte di

quel «riassunto storico» scritto da Proclo, che costituisce uno dei testi fondamentali per la

ricostruzione della storia della matematica greca da Pitagora ad Euclide. Eudemo si può considerare

il primo storico della scienza a noi noto. Ciò che è però più significativo è che il corpus di

conoscenze dell’epoca fosse già così esteso da giustificare delle storie.

Il periodo storico su cui ci siamo intrattenuti in questi paragrafi, dal sesto al quarto secolo, relativo

al periodo classico della storia greca, è un periodo di grande attività scientifica. La matematica,

innalzata a dignità di scienza per opera di Pitagora e della scuola italica, si è andata rapidamente

sviluppando. I pitagorici, non più costretti al silenzio, fondano delle scuole e v’insegnano; alla

diffusione della cultura contribuiscono pure i sofisti che girano di città in città tenendo lezioni a

pagamento; Platone prima e Aristotele poi, con la loro autorità, incitano gli studiosi a coltivare la

matematica; Aristotele vuole che i risultati delle ricerche scientifiche non vadano dispersi, ma

raccolti e pubblicati; egli stesso dà l’esempio. Tutto ciò fa ritenere che si prepari per la scienza e per

la matematica in particolare un periodo di grande sviluppo. Ed infatti nel secolo che segue, e cioè

nel III secolo a.C., la matematica greca tocca il suo apice con Euclide ed Archimede.

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LA MATEMATICA GRECA ELLENISTICA

1. Il periodo aureo della matematica greca

Come abbiamo visto, nel IV sec. a. C., il maggiore centro della cultura ellenica fu Atene, risorta a

nuova vita dopo che Trasibulo l'aveva liberata dal dominio dei Trenta tiranni; ma non soltanto

queste ragioni d'indole politica influirono a dare ad Atene il primato della cultura greca, ma ancor

più il fatto che lì, successivamente, due grandi pensatori divennero centro d'attrazione per gli

studiosi: Platone ed Aristotele. Abbiamo già detto che il contributo di Platone ed Aristotele allo

sviluppo della matematica fu quasi del tutto indiretto; ma la matematica ebbe assidui cultori e fra

questi, come abbiamo visto, fu celebre Eudosso da Cnido che studiò in Egitto, a Taranto e ad Atene,

fondò a Cizico una scuola e contribuì allo sviluppo di alcune parti delicate della matematica come la

teoria delle proporzioni e della misura, mentre con i suoi allievi di Cizico, fra i quali primeggia

Menecmo, iniziò lo studio delle sezioni coniche.

Ma dopo la morte di Alessandro il Grande (323 a. C.) Atene è teatro di fiere lotte politiche;

Aristotele è costretto a sfuggire alle persecuzioni contro i macedoni riparando a Calcide, dove

presto finisce i suoi giorni. La scuola ateniese languisce, mentre si sviluppa e diviene assai famoso

un altro centro di cultura, che non è in Grecia, ma in Egitto: Alessandria.

Alessandria era stata fondata da Alessandro il Grande in seguito alla conquista dell'Egitto (332 a.C.)

per farne la capitale e togliere ogni prestigio a Tebe che si era dimostrata ribelle. Morto Alessandro,

l'immenso impero fu ripartito fra i suoi generali e il dominio dell'Egitto passò a Tolomeo Lagi

(Soter). Fu questi il fondatore della dinastia dei Tolomei, detta anche dei Lagidi, che elevarono

l'Egitto a grande splendore. A Tolomeo I Lagi successe il figlio Tolomeo II (Filadelfo) che nei 37

anni di pacifico governo promosse attivamente le scienze, le lettere e le arti, ordinando la traduzione

in greco della Bibbia e fondando il famoso museo e la non meno famosa biblioteca d’Alessandria.

Questi istituti fiorirono per 9 secoli, ma raggiunsero l'apice nei primi tre secoli, sotto la protezione

dei Lagidi, cioè fino a quando l’Egitto non perdette la sua indipendenza (30 a.C., morte di Cleopatra

VII), divenendo provincia romana. Nel 640 d.C. l’Egitto veniva conquistato dagli Arabi e unito al

regno dei Califfi; si racconta che la biblioteca, che racchiudeva circa 2.000.000 di opere, fosse

incendiata per ordine di Amru, luogotenente del califfo Omar.

Nel museo non soltanto s'insegnava, ma gli studiosi trovavano aiuti e incoraggiamenti nelle loro

ricerche. Le scienze in genere, e le scienze esatte in particolare, vi fecero progressi notevoli, e

specialmente le matematiche, che raggiunsero altezze veramente elevate, confrontabili solo con

quelle toccate dopo l’invenzione del calcolo infinitesimale. Ma si noti, benché la scienza fiorisca

ora in terra egiziana, essa è sempre essenzialmente greca, ed è per questo che il periodo che ora

tratteremo e che costituisce il periodo aureo della matematica greca è indicato col nome di periodo

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greco alessandrino. Esso abbraccia 5 secoli: dal III a. C. al II d. C. Nei primi due secoli è la

geometria che tocca il suo apogeo con Euclide, Archimede ed Apollonio Pergeo, negli altri due

secoli successivi è l'astronomia, con Ipparco e Tolomeo, che raggiunge le alte vette, e nell'ultimo

l'aritmetica con Diofanto.

PERIODO AUREO DELLA MATEMATICA GRECA

(III sec. a.C. – II sec. d.C.)

Testi consultati

• Storia del Pensiero Filosofico e Scientifico, di L. Geymonat, Vol. I, Garzanti Editore

• Storia della matematica, G. T. Bagni, Vol. I, Pitagora Editrice Bologna

• Storia del pensiero matematico, M. Kline, Vol. I, Giulio Einaudi Editore

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• Storia della matematica, M. Cipolla, Istituto Euro Arabo di Studi Superiori