PROLUSIONE AD UN CORSO DI GEOMETRIASUPERIORE

letta nell’Universita di Bologna. Novembre 1860.1

Il Politecnico, volume X (1861), pp. 22-42.

Le scienze esatte, per la prodigiosa attivita di geometri stranieri ed ita-liani di altissimo ingegno, tale incremento s’ebbero ne’ dodici lustri di questosecolo, quale non s’era visto mai in sı breve giro di tempo2. I giornali scien-tifici e gli atti delle piu operose accademie attestano ad esuberanza quantenuove teorie siano state create, quante altre mirabilmente ampliate3. Le me-morie nelle quali quegli illustri pensatori deposero i loro nuovi concetti ele loro scoperte sparse qua e la in tante e diverse collezioni scientifiche, simoltiplicarono per guisa che divenne impossibile anco ai piu diligenti cultoritener dietro al rapido e multiforme allargarsi della scienza4. Fu allora cheper opera di benemeriti scrittori si pubblicarono libri, accessibili alla studiosagioventu, ne’ quali si rivelavano sotto forme compendiose gli ultimi progressidelle matematiche. Non e a dire di quanta utilita riescano si fatti lavori che

1Luigi Cremona fu chiamato a ricoprire la cattedra di Geometria superiore all’Univer-sita di Bologna nel 1860. Si tratta di una delle nuove cattedre istituite dal ministro dellaPubblica istruzione Terenzio Mamiani con l’intento di migliorare la qualita dell’istruzioneuniversitaria ed avvicinarla agli standard tedeschi e francesi. Una seconda cattedra digeometria superiore fu istituita a Napoli ed affidata a Giuseppe Battaglini.

2Per la geometria, si veda la prima parte di questo volume.3Numerose sono le nuove riviste dedicate alla matematica che vedono la luce in questo

periodo. Gli Annales de Gergonne, la prima rivista interamente dedicata alla matematica,fu fondato dal matematico francese Joseph-Diaz Gergonne nel 1810 e furono pubblicatifino al 1832. Il giornale di Crelle, fondato da August Leopold Crelle nel 1826, continuaancor oggi le pubblicazioni, come Journal fur die reine und angewandte Mathematik. InItalia, gli Annali di scienze matematiche e fisiche furono fondati da Barnaba Tortolini nel1850 e divennero nel 1859 gli Annali di matematica pura e applicata, sotto la direzionecongiunta di Betti, Brioschi, Genocchi e Tortolini.

4Fino al 1800 la matematica era geometria euclidea, calcolo differenziale e teoria delleequazioni algebriche. Nell’800 nascono molte nuove teorie, tra cui le Geometrie non eu-clidee, la Geometria proiettiva, la teoria dei Gruppi, la teoria degli Invarianti, il Calcolodelle Probabilita, ecc.. Alcune di queste teorie, come la Geometria proiettiva sintetica e laTeoria degli invariati, passano rapidamente di moda. Il caso della teoria degli invariantie particolarmente interessante. Dopo essere stata proclamata definitivamente morta inseguito ai fondamentali risultati di Hilbert sulla finita generazione dell’algebra degli in-varianti (1890) e risorta con i lavori di Mumford sulla teoria geometrica degli invarianti(1960) e con quelli di Gian Carlo Rota e della sua scuola che hanno dato origine alla teoriacombinatoria dei monomi standard.

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diffondono il sapere anche fra coloro che per condizione di luogo o per difettodi mezzi pecuniari sono costretti a rimanere lontani dal movimento scientificoche si traduce nelle pubblicazioni periodiche e nei rendiconti accademici. Efra noi pure sono valenti matematici5 che concorsero efficacemente alla be-nefica impresa, benche pur troppo le male signorie non aiutassero qui alcunnobile conato, eppero togliessero che or l’Italia possa contare sı numerosi isacerdoti della scienza, quanti li vantano le piu civili nazioni d’ Europa.

Ma non bastava pubblicare opere destinate a raccogliere in brevi volumicio che non era possibile rinvenire che con grave spreco di tempo e faticane’ polverosi scaffali delle biblioteche. La vastita o la recondita profonditadi alcune fra le nuove dottrine richiedeva imperiosamente ch’esse venisserobandite da apposite cattedre create nelle universita o in altri istituti superio-ri. Ed anche a questo bisogno della crescente civilta si soddisfece in Francia,in Germania, in Inghilterra, non pero in Italia. Le nostre scuole per veritaebbero sempre parecchi e valenti professori che partecipando all’odierno pro-gresso scientifico perfezionarono i metodi di ricerca e di dimostrazione; mai retrivi ordinamenti scolastici, la brevita del tempo concesso alle piu im-portanti materie e il picciol numero di cattedre impedirono che si allargasseil campo dell’istruzione universitaria, che si atterrassero le colonne erculeede’ programmi ufficiali6. Che se la scienza cammina pur sempre avanti sen-za curarsi di pastoie governative, non era consentito a que’ nostri docenti, iquali nel silenzio de’ domestici studi seppero tener dietro al maestoso proce-dere delle matematiche, di far penetrare la nuova luce nelle aule del pubblicoinsegnamento. Da molto tempo nelle universita d’ Italia non si poteronoinsegnare fuor che i primi rudimenti delle scienze esatte ed i buoni ingegni

5NdA. Servan d’esempio: Brioschi per l’aureo suo opuscoletto di statica, per la teoricade’ determinanti ch’ebbe traduttori i Francia ed in Germania, e per quella de’ covarianti,in corso di pubblicazione; Bellavitis per molte importanti memorie in parte originali ein parte dirette a far conoscere ai nostri giovani i progressi della scienza fuor d’Italia; Faadi Bruno, per la sua teoria dell’eliminazione; Betti per una monografia sulle funzioniellittiche, in parte pubblicata; ecc., ecc.

6Nel pensiero di Cremona e fondamentale l’importanza assegnata allo sviluppo deglistudi scientifici, come premessa necessaria per lo sviluppo industriale del Paese. Nona caso Cremona, seguendo le orme del suo maestro Brioschi, si impegno strenuamenteper riorganizzare ed elevare il livello degli studi di Ingegneria, anche dedicando partedei suoi interessi scientifici alle applicazioni della Geometria alla Statica. Bisogna tenerpresente che in quegli anni la soluzione grafica di un problema di Statica era la soluzionecomputazionalmente piu efficiente e che i metodi della statica grafica, strettamente legataalla geometria descrittiva, erano fondamentali per gli ingegneri.

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ne uscivano questo solo sapendo, esistere vaste e meravigliose dottrine di cuiera lor noto appena l’alfabeto. Se non che ove cessava la scuola, soccorrevatalvolta l’opera generosa d’alcun professore; che con consigli, con libri, coneccitamenti, indirizzava i giovani a quegli studi che non si eran potuti farenella pubblica scuola. Cosı chi apprese un po’ di scienza lo dovette menoall’universita che ai famigliari colloqui nelle domestiche pareti del maestro.Questo so essere accaduto a molti ed accadde a me; e qui io colgo l’occasioneper rendere pubblica testimonianza di gratitudine all’illustre Brioschi, alquale devo tutto quel poco che per avventura non ignoro.

Le nostre facolta universitarie, insomma, non possedettero sin qui alcu-na cattedra da cui si potessero annunciare alla gioventu italiana le novellee brillanti scoperte della scienza. Ognun vede quanto fosse indecoroso chel’istruzione, data dallo Stato, non fosse che una piccola parte di quella recla-mata dalle odierne condizioni di civilta; ma a cio non potevan provvedere neun governo straniero, ne governi mancipii7 dello straniero, pei quali l’igno-ranza pubblica era arte potentissima di regno. Quest’era un compito serbatoal governo nazionale; ed il governo nazionale tolse a sdebitarsene instituendocattedre d’ insegnamento superiore8; ne vuolsi muover dubbio che i buoniprincipii sian per riuscire a splendida meta, or che all’Italia sorride sı beni-gna la fortuna, e che alle cose della publica istruzione presiede TerenzioMamiani9.

I regolamenti scolastici erano per la scienza un vero letto di Procuste. Im-possibile agli insegnanti anche di buona volonta andar oltre i primi elementidella teoria delle equazioni, della geometria analitica, del calcolo sublime,della meccanica razionale, della geometria descrittiva.10 La nostra gioventu

7Servi.8Tra le quali due cattedre di Geometria superiore. Una a Bologna, assegnata a

Cremona; l’altra a Napoli, assegnata a Battaglini.9Filosofo, politico scrittore e patriota italiano, fu tra i protagonisti di maggior rilievo

del Risorgimento.10Per avere un’idea degli argomenti insegnati in questi corsi e possibile guardare ai libri

di testo adottati. Quella che segue e una prima indicazione, che riguarda libri pubblicatidopo il 1860. Teoria delle equazioni: Todhunter, Trattato elementare sulla teoria delleequazioni (1872). Geometria analitica: Briot, Lezioni di geometria analitica, (1863). Cal-colo sublime: Brunacci, Corso di matematica sublime (1804); Bordoni, Lezioni di Calcolosublime (1831); Todhunter, Trattato sul calcolo differenziale (1870). Meccanica razionale:D. Chelini Elementi di meccanica razionale, con appendice sui principii fondamentali dellematematiche, (1860). Geometria descrittiva: Bellavitis, Lezioni di Geometria descrittiva,(1851). Inoltre: Alberto Gabba, Lezioni di matematica elementare in 3 voll ; Bordoni,

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non giungeva nelle publiche scuole a conoscere i principali risultati della teo-rica de’ determinanti, meraviglioso stromento di calcolo algebrico, che ope-ra prodigi non mai sospettati; della teorica delle forme binarie che tantopromosse la risoluzione delle equazioni; della teorica delle forme ternarie equaternarie, potentissimo ausilio per la geometria delle curve e delle super-ficie; dell’aritmetica trascendente, per cui s’acquistarono fama non perituraGauss, Dirichlet, Hermite, Kummer, Eisenstein, Genocchi...; dellateorica delle funzioni ellittiche ed iperellittiche nella quale brillo il genio delnorvego Abel e del prussiano Jacobi, ed or ora apparvero mirabili lavori diWeierstrass, di Hermite, di Brioschi, di Betti e di Casorati, teoricastupenda che si collega a un tempo colle parti piu elevate del calcolo inte-grale, colla risoluzione delle equazioni, colla dottrina delle serie e con quella,sı ardua e sı attraente, de’ numeri. Ebbene, ciascuno di questi magnificirami di scienza potra in avvenire essere svolto con alternata successione dalprofessore di analisi superiore.

Nelle nostre scuole l’angustia del tempo dato allo insegnare e la non pro-porzionata coltura de’ giovani studenti non concedevano d’addentrarsi moltonelle applicazioni dell’ analisi alla geometria delle superficie; eppero quantequistioni rimanevano intatte. La teorica delle coordinate curvilinee, iniziatada Bordoni e da Gauss e poi grandemente promosse da Lame la ricercadelle superficie che supposte flessibili e inestensibili riescano applicabili soprauna data; il problema di disegnare con certe condizioni sopra una superficiel’imagine di una figura data su di un’altra superficie, il problema insommadella costruzione delle carte geografiche; la trigonometria sferoidea; la teori-ca delle linee geodetiche: tutto cio sara quind’innanzi esposto nella scuola dialta geodesia insieme colla dottrina de’ minimi quadrati e con altri gravissimiargomenti.

Ma di queste scienze, vo’ dire dell’analisi superiore e dell’alta geodesia, iprimi elementi potevano essere abbozzati nei corsi d’introduzione e di calcolosublime, onde le nostre universita furono sempre dotate; forse in quelle dot-trine i nostri giovani ricevevano anche prima d’ora un avviamento ad erudirsida se. Ma in quale scuola si adombrava anche da lungi questa vastissimascienza che chiamasi geometria superiore?11 Oh diciamolo francamente: in

Trattato di geodesia elementare.11La Geometria superiore cui allude Cremona e la Geometria proiettiva sintetica. Cre-

mona non si rende ancora conto che ormai l’interesse per questa branca della matematicasta venendo meno, non solo per l’affermarsi inarrestabile dei metodi analitici, ma ancheperche l’interesse per i problemi della Geometria proiettiva sta svanendo a vantaggio di

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nessuna. La moderna geometria, che sotto varie forme s’insegna da moltianni in Francia, in Germania, in Inghilterra, e per le nostre universita unospite affatto nuovo; nulla ha potuto preconizzarlo finora, nemmeno farnesentire il desiderio. Ed invero, quale insegnamento geometrico hanno i nostriistituti superiori? Dopo gli elementi insegnati nei licei, piu non accade che siparli di geometria pura. Che se in alcune universita si assegna pure un annoalla geometria descrittiva, essa e pero una scienza affatto speciale, e benchemirabile nelle sue applicazioni, non puo per se dare i metodi di ricerca cheappartengono esclusivamente alla geometria razionale12. Quanto rimane del-l’istruzione matematica e soltanto analitico, e a stento si riserbano alcunelezioni per le applicazioni del calcolo alla scienza dell’estensione13,

La necessita di rompere questo soverchio esclusivismo dell’insegnamentosuperiore e di rimettere in onore i metodi geometrici senza nulla detrarreall’algoritmo algebrico voleva adunque che si instituisse una cattedra di pu-ra geometria. E cio era voluto anche da un’altra causa cui ho gia fattoallusione. Se il nostro secolo ha procacciato all’analisi straordinari aumen-ti, la geometria non e certamente rimasta immobile, Poncelet Steiner,Mobius, Chasles co’ loro meravigliosi metodi di derivazione hanno rivelatomondi sconosciuti, hanno creato una nuova scienza. Si e questa giovane figliadel genio del secolo attuale, questa splendida geometria impropriamente det-ta superiore e che assai meglio appellerebbesi moderna, ch’io son chiamato afarvi conoscere primo in questa gloriosa sede degli studi, onorato da un’altafiducia della quale io vorrei non riuscissero troppo minori le mie forze.

Giovani studenti! Io non vi so ben dire quanto tempo sara mestieri impie-gare per isvolgere un corso completo di geometria superiore. Sono le primeorme che stampiamo in questo campo non per anco tentato fra noi, ne valeora il precorrere col pensiero i risultati dell’esperienza. Ben mi piace, in que-sto primo giorno, in cui mi e concesso l’onore di favellare a voi intorno a taleargomento, delinearvi brevemente il programma della prima parte del mede-simo corso, il programma di una delle principali plaghe di cui si compone ilvastissimo dominio della nostra scienza, e studiarmi di porgervi un’imaginedell’estensione, della ramificazione, della maestosa bellezza delle sue dottri-ne. In me non sento altra forza che l’amore alla scienza, ma quest’amore e

quelli della Geometria birazionale, la nuova branca che lo stesso Cremona contribuira acreare con la sua scoperta delle trasformazioni birazionali, cfr. [50].

12NdA. Chasles, Discours d’inauguration du cours de geometrie superieure, p. LXXV.13NdA. Si eccettui pero l’Universita di Pavia, ove il chiarissimo prof. A. Gabba, mio

maestro, insegna la geometria superiore gia da parecchi anni.

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vivissimo, e me beato se esso mi dara potenza d’infondere in voi, o giovani,quella sete di studii senza la quale nulla si fa di bello e di grande!

Oggetto de’ primi nostri studi saranno le proprieta projettive delle piusemplici forme geometriche, quali sono: una serie di punti in linea retta oretta punteggiata; una stella ossia fascio di rette poste in un piano e passantiper uno stesso punto; un fascio di piani passanti per una stessa retta14.Ciascuna di queste forme e il complesso di piu elementi in numero indefinito,soggetti ad una determinata legge: nella prima forma gli elementi sono puntiallineati sopra una retta; nella seconda sono rette in un piano incrociantisi inuno stesso punto (centro della stella); nella terza sono piani vincolati dallacondizione di tagliarsi fra loro lungo una stessa retta (asse del fascio)15.

Noi diremo che due forme sono projettive16 quando i loro elementi sonocollegati da tal legge di corrispondenza, che a ciascun elemento dell’una cor-risponda un solo elemento dell’altra ed a ciascun elemento di questa un solodi quella17. Da questa semplice definizione si deduce che fissati ad arbitrio in

14Cfr. [51], p. 12-15.15La geometria proiettiva di cui Cremona traccia sommariamente i fondamenti veniva

sviluppata in maniera puramente sintetica, cioe senza riferimento a un sistema di coordi-nate. L’ideale cremoniano e quello di sviluppare questa geometria in maniera analoga aquella di Euclide, a partire quindi da un insieme di definizioni di oggetti fondamentali dallequali, e dagli assiomi della geometria euclidea, dedurre tutte le proprieta. In quegli annicominciavano a prendere corpo le critiche ai fondamenti della geometria euclidea (Pasch)e la necessita di una maggiore consapevolezza sui fondamenti della geometria cominceraa farsi strada anche nella geometria proiettiva, in Germania con i lavori di von Staudt e,successivamente, in Italia con i lavori di De Paolis e di Enriques. Le preoccupazioni fonda-zioni sono ancora quasi del tutto assenti in Cremona, che sviluppa la geometria proiettivacome un capitolo della geometria di Euclide. Le idee di Cremona sulla geometria proietti-va sono fortemente influenzate dai trattati di Chasles e di Steiner e verranno raccolte edesposte in maniera organica negli Elementi di Geometria proiettiva, pubblicati nel 1873,cfr. [51] , tratti dalle lezioni impartite al politecnico di Milano. Nella prolusione Cremonacomincia col definire la nozione di forma fondamentale di prima specie. Cremona non dauna definizione astratta del concetto ma si limita a considerare i tre esempi di forme diprima specie che si possono definire nell’ambito della geometria euclidea, cioe: i) la rettapunteggiata (che si ottiene dalla retta euclidea con l’aggiunta di un punto all’infinito, co-mune a tutte le rette parallele a quella data, la stella di rette di un piano che passano perun punto e il fascio di piani per una retta. Si tratta di casi particolari di spazi proiettiviunodimensionali.

16NdA. Steiner, Systematische Entwicklung der Abhangigkeit geometrischer Gestaltenvon einander, Berlin 1832.

17Questa definizione e insufficiente. Occorrerebbe aggiungere, per esempio, l’algebricitadella relazione, cfr. p.e. Geiser, Sopra un teorema fondamentale della Geometria, Annali

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due forme tre elementi dell’una e tre elementi dell’altra come corrispondenti,tutto il resto cessa d’essere arbitrario, cioe ad ogni quarto elemento di unaforma corrispondera un determinato elemento dell’altra18. E a questo propo-sito vi saranno apprese facilissime regole grafiche per costruire, dati elementisufficienti, una forma projettiva ad una data19.

Trarremo dalla data definizione un altro corollario che e della piu gran-de importanza. Supponiamo di avere una retta finita e in essa o sul suoprolungamento sia fissato un punto; le distanze di questo dai termini dellaretta data, prese con opportuni segni, rispondenti al senso di lor direzione,dirannosi i segmenti in cui la retta e divisa da quel punto20. Imaginate ora

di matematica, serie II, vol 4, 1870-71, pp. 25-30. Oppure, come fa Cremona negliElementi, e possibile definire la nozione puramente sintetica di proiezione e sezione edefinire la proiettivita come qualunque trasformazione composta di sezioni e proiezioni.Cfr. [51], pp. 20-22.

18Cfr. [51], pp. 22-23.19Siano date due rette sghembe r ed s rispettivamente e su esse due terne ordinate di

punti A, B, C su r e A′, B′, C ′ su s. Per costruire la proiettivita di r in s che trasformal’una terna ordinata nell’altra si considerino le tre rette AA′, BB′ e CC ′. Dato un puntoqualsiasi P ∈ AA′, l’intersezione dei piani PBB′ e PCC ′ e una retta t che si appoggiaalle tre rette. Il fascio di piani per t realizza la proiettivita tra r ed s che ad ogni puntoX di r ai associa l’intersezione del piano Xt con s. Per costruzione, la terna ordinata A,B e C viene trasformata nella terna ordinata A′, B′ e C ′. Se invece le rette r ed s sonocomplanari, e le due terne sono costituite da punti tutti distinti, si prendano su AA′ duepunti S ed S′ rispettivamente. Si considerino i punti B′′ = SB · S′B′ e C ′′ = SC · S′C ′

Sia t la retta B′′C ′′ e sia A′′ = t · SS′. Per ogni X su r si consideri la proiezione X ′′

di X su t da S e sia X ′ la proiezione di X ′′ su s da S′. L’applicazione X → X ′ e unaproiettivita che, per costruzione, trasforma la terna ordinata A, B, C in A′, B′, C ′. Perqueste costruzioni, cfr. [51], pp. 22-23, [69], pp. xx-xx e [155], pp. xx-xx.

20Cremona considera la nozione di rapporto affine di tre punti. Per definire corretta-mente tale rapporto e necessario estendere la geometria euclidea in maniera tale da poterconsiderare grandezze con il segno. Secondo Cremona, (Cfr. Considerazioni sopra la storiadella geometria ecc., p. 186) il primo a introdurre questo principio [dei segni] nella geo-metria e stato il sig, Mobius il quale sino dal 1827 nel suo celebre Calcolo Baricentrico loapplico non solo ai segmenti rettilinei ma anche agli angoli, alle superficie ed ai corpi [...]definendo chiaramente per ciascuna di queste estensioni che cosa si debba intendere persenso positivo e che per senso negativo. Il rapporto affine di tre punti allineati A, B e C,in quest’ordine e allora il rapporto dei segmenti orientati AC e AB, che indicheremo conil simbolo (ABC). Si noti che questo rapporto non dipende dall’ordinamento scelto sullaretta in quanto, cambiando ordinamento, vengono contemporaneamente cambiati i segnidei segmenti AC e AB. Usando la struttura di spazio affine sull’insieme dei numeri realidella retta, il valore numerico di tale rapporto puo anche essere definito come il numeroλ tale che C = A+ λ ·AB, dove AB indica la traslazione che bisogna applicare ad A perottenere B.

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quattro punti in linea retta, considerati in un certo ordine; il rapporto de’segmenti che il terzo punto determina sulla retta avente gli estremi ne’ primidue, diviso pel rapporto de’ segmenti individuati nella stessa retta dal quartopunto e quella espressione che Mobius chiamo dapprima rapporto di doppiasezione de’ quattro punti (ratio bisectionalis)21 poi Steiner piu brevementedoppio rapporto22 e Chasles rapporto anarmonico23: denominazione seguitaora dai piu24.

Se invece di quattro punti in linea retta assumete quattro rette in unpiano incrociantisi in un punto, ovvero quattro piani passanti per una stessaretta, e se invece de’ segmenti compresi fra punti ponete i seni degli angolicompresi da rette o da piani, voi avrete cio che si chiama rapporto anarmonicodi quattro rette o di quattro piani25.

Or bene: in due forme geometriche projettive il rapporto anarmonico diquattro elementi quali si vogliono dell’una e eguale al rapporto anarmonicode’ quattro elementi omologhi dell’altra26. Questa interessante proprieta esuscettibile di mirabili conseguenze in tutto il campo della geometria e servesopra tutto a dedurre le proprieta metriche delle figure dalle loro proprietadescrittive o viceversa27. Noi daremo un’attenzione speciale al caso che ilrapporto anarmonico di quattro elementi sia eguale all’unita negativa; al-

21NdA. Mobius, Der barycentrische Calcul, Leipzig, 1827, p. 244.22NdA.Steiner, Systematiche Entwicklung u.s.w. p. 723NdA. Chasles, Apercu historique sue l’origine et le developpement des methodes en

geometrie, Bruxelles 1837, p. 34.24Indichiamo il birapporto di quattro punti A, B, C e D, nell’ordine dato, con il simbolo

(ABCD). Allora, (ABCD) = (BCD)/(ACD). Manipolando la definizione possiamoanche scrivere,

(ABCD) = (BD/BC) : (AD/AC) = (AC/AD) : (BC/BD) = (AC/BC) : (AD/BD).

25

(αβγδ) =sinαγ

sinβγ:

sinαδ

sinβδ

26Il rapporto anarmonico, senza ricevere un nome specifico, e con riferimento ai segmentinon orientati, era pero gia stato considerato dai geometri greci. In Pappo, Math. Coll,VII, 129, 137, si trova la dimostrazione che ”Un fascio di quattro rette date e segato daqualsivoglia trasversale in quattro punti il cui doppio-rapporto e costante”.

27La separazione della geometria proiettiva dalla geometria metrica e possibile, come fudimostrato da von Staudt e da Enriques. Nelle trattazioni precedenti, in particolare inquella di Cremona, le proprieta proiettive e quelle metriche non sono ancora ben separate.

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lora essi costituiscono un sistema armonico28. La divisione armonica eranota anche agli antichi ; anzi in Pappo Alessandrino troviamo parecchieproposizioni differenti solo per l’enunciato da certi teoremi che oggidı fannodipendere dalla considerazione del rapporto anarmonico.

Lo studio delle forme projettive da luogo a molte ed importanti pro-prieta, parecchie delle quali si connettono colla giacitura relativa delle forme.Di sommo interesse sono quelle che nascono dal considerare due forme dellostesso genere sovrapposte l’una all’altra cioe due serie di punti sulla stessaretta, o due stelle concentriche29, o due fasci di piani collo stesso asse. Dueforme projettive sovrapposte presentano due elementi doppi, cioe due ele-menti che coincidono coi rispettivi corrispondenti: elementi che ponno peroesser anche essere imaginari, ovvero in casi particolari ridursi ad uno solo,appunto come avviene delle radici di un’equazione quadratica30. Le formeprojettive sovrapposte ci condurranno a quella mirabile teoria che e l’invo-luzione31. II celebre Desargues chiamo pel primo con questo vocabolo laproprieta segmentaria de’ sei punti in cui una sezione conica ed i lati di unquadrangolo inscritto sono segati da una trasversale qualunque32. Chaslespero, questo principe de’ moderni geometri francesi, al quale e dovuta tanta

28La costruzione del quarto armonico di una terna ordinata di punti A, B e C su unaretta u e fattibile con il solo utilizzo della riga, come riportato per esempio in [69], p. xx:Si conducano dai punti dati tre rette, contenute in un piano π per u. Esse determinanoun trilatero di vertici L, M ed N dove i lati opposti a L, M e N , passano ordinatamenteper A, B e C; si determini quindi il punto K ≡ (AL.BM) intersezione delle rette AL eBM . Risulta cosı costruito un quadrangolo completo KLMN di cui due lati passano perA, due lati per B, uno per C e l’ultimo KN per un certo punto D della retta u, che vienedefinito appunto come intersezione delle rette u e KN . D e il quarto armonico dopo A, Be C. Una quaterna ordinata di punti A, B, C e D si dice armonica quando D e il quartoarmonico dopo A, B e C.

29E complanari.30Consideriamo il caso particolare di una projettivita di una punteggiata u in se asse-

gnata rispetto ad una trasversale t e due poli S e S′ nella seguente maniera. Sia X ∈ u,si definisca X = SX.t e sia X ′ = S′X.u. La proiettivita e quella che manda X in X ′.Questa ha proiettivita ha due punti fissi, t.u e SS′.u, che possono anche coincidere.

31Si tratta di una speciale proiettivita p : u → u tale che p2 = idu. Un esempio diinvoluzione si puo costruire nel modo seguente. Utilizziamo la proiezione stereografica diuna conica per identificare la conica con una punteggiata u. Trasportiamo tramite questaidentificazione l’involuzione della conica determinata dalle sezioni con il fascio di rette perun punto esterno alla conica.

32Fissato il quadrangolo, considero il fascio di coniche per i suoi quattro vertici. Lecoppie segate dalle coniche del fascio su una trasversale sono le coppie dell’involuzione diDesargues.

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parte de’ recenti progressi della geometria, ha fondato la dottrina dell’invo-luzione sopra nozioni assai piu semplici. Se voi imaginate sovrapposte l’unaall’altra due forme geometriche dello stesso genere, un elemento qualunquepotra indifferentemente considerarsi come spettante all’una o all’altra forma,onde ad esso corrisponderanno in generale due elementi distinti, cioe l’uno ol’altro secondo che quel primo si attribuisca a questa o a quella forma. Mala sovrapposizione puo sempre essere fatta in modo che quei due elementiomologhi al primo immaginato coincidano fra loro, cioe a un dato elementone corrisponda un altro unico, qualunque sia la forma a cui quello si facciaappartenere. A questa speciale sovrapposizione di due forme proiettive si daappunto il nome d’involuzione.

Queste teorie, improntate di tanta generalita, riescono nell’esposizione sısemplici e facili che ad intenderle basta anco la sola conoscenza degli ele-menti di Euclide. Ma e ancor piu mirabile l’estensione e l’importanza delleloro applicazioni. Quelle teorie costituiscono un vero strumento per risolve-re problemi e ricercare proprieta: strumento non meno sorprendente per lasua semplicita che per la sua potente efficacia. E perche l’utilita di questedottrine sia da voi sentita in tutta la sua pienezza, io tentero di svolgervelenon nel solo aspetto delle proprieta descrittive, ma anche in quello non menoimportante delle relazioni metriche: nel quale cammino mi servira di stellapolare il metodo di Chasles. Voi vedrete a dunque, allato ai teoremi diposizione svilupparsi quelle serie di equazioni fra segmenti di rette, di cui ilgrande geometra francese ha fatto un uso veramente magico e che fecero darealla sua geometria l’espressivo epiteto di segmentaria33.

Ho parlato di applicazioni e vo’ citarvene alcuna. Le proprieta armonichee involutorie del quadrilatero e del quadrangolo completo, le relazioni fra isegmenti determinati da un poligono qualunque su di una trasversale, moltiteoremi analoghi ai porismi di Euclide e di Pappo e relativi ad un poli-gono che si deformi sotto condizioni date, il teorema di Desargues su duetriangoli che abbiano i vertici a due a due per diritto con uno stesso puntodato, una serie di teoremi sui triangoli inscritti gli uni negli altri ed analogheproposizioni per la geometria dello spazio: tutto cio voi vedrete emergerecome ovvie conseguenze, quasi senza bisogno di dimostrazioni apposite, dallepremesse teorie. Queste medesime offrono immediatamente le piu semplici egenerali soluzioni di tre problemi famosi appo gli antichi, per ciascun de’ qualiApollonio Pergeo aveva scritto un trattato ad hoc, cioe i problemi della

33NdA. Terquem, Nouvelles Annales de Mathematiques, t. XVIII, p. 445

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sezione determinata, dalla sezione di ragione e dalla sezione di spazio34. Lasoluzione di questi problemi riducesi alla costruzione de’ punti doppi di duepunteggiate proiettive sovrapposte, e rientrano in un metodo che ha moltaanalogia colla regola di falsa posizione in aritmetica: metodo che e suscetti-bile d’essere applicato ad un gran numero di questioni diversissime, e fra lealtre alla seguente: dati due poligoni d’egual numero di lati, costruirne unterzo che sia inscritto nel primo e circoscritto al secondo35.

Finalmente, quelle stesse teorie danno la chiave per isciogliere il famosoenimma de’ porismi d’Euclide, che per tanti secoli ha eccitato invano lacuriosita de’ geometri: enimma che ora ha cessato di esser tale, merce lastupenda divinazione fattane da Michele Chasles 36.

Ne qui lo studio delle forme geometriche piu semplici sara finito per noi;anzi ci restera a svilupparne la parte piu bella e piu attraente. Concepite inun piano due punteggiate o due stelle projettive; subito vi balenera al pensieroquesto problema, quale e la curva inviluppata dalla retta che unisce due puntiomologhi delle due punteggiate, e quale e il luogo del punto ove s’intersecanodue raggi corrispondenti delle due stelle.37? In entrambi i quesiti la curvarichiesta e una sezione conica che nel primo caso tocca le due rette punteggiatee nel secondo passa pei centri dei due fasci38. Reciprocamente: prendeteuna conica qualunque e due sue tangenti fisse, scelte ad arbitrio; quindiuna tangente mobile scorra intorno alla curva pigliando tutte le posizioni

34Cfr. [155], pp. 99-104.35NdA. Chasles, Traite de Geometrie superieure, Paris 1852, p. 212.36NdA. Chasles, Les trois livres se porismes d’Euclide, Paris 1860.37Cfr. Parte I, Cap. ??, p. ??.38Le due generazioni sono duali e si dicono generazioni proiettive della conica. Si veda

p.e. [?], p. 221. Una trattazione analitica si puo fare lungo le seguenti linee. Sianoφ + tψ e φ + tψ due fasci di rette riferiti proiettivamente. Il punto comune a due retteomologhe ha coordinate che risolvono le equazioni φ(P ) + tψ(P ) = 0 e φ(P ) + tψ(P ) = 0e quindi permettono di esprimere t = −φ(P )/ψ(P ) = −φ(P )/ψ(P ). Quindi le coordinateverificano l’equazione φψ−φψ = 0 che e l’equazione di una conica. Una siffatta equazionesi dice determinantale in quanto ottenuta esprimendo la condizione che una data matricepolinomiale abbia fissato rango. In questo caso la condizione impone che la matrice diforme lineari (

φ ψ

φ ψ

)abbia rango uno. Le classe delle varieta determinantali , cioe per cui esistano equazionidi definizione determinantali, costituisce una classe di esempi interessantissima per lageometria algebrica, per le quali si possono considerare costruzioni proiettive analoghealla generazione proiettiva delle coniche, [?], p. xx-xx.

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possibili di una retta toccante; ebbene, i punti di successiva intersezione dellatangente mobile colle tangenti fisse formeranno, su di queste, due punteggiateprojettive. Ovvero imaginate sulla conica due punti fissi ed un punto mobileche percorra la curva: le rette congiungenti i due punti fissi al punto mobilegenereranno due fasci proiettivi.

Nulla v’ha di piu fecondo, per la teoria delle coniche, di questi due meravi-gliosi teoremi, trovati, io credo, simultaneamente da Chasles e da Steiner39. II segreto della grande fecondita de’ due teoremi sta in cio che il primo diessi esprime una proprieta di sei tangenti e l’altro una proprieta di sei puntidi una conica. Dico sei: perche fissate quattro posizioni dell’elemento mobile,e queste vi daranno insieme coi due elementi fissi due sistemi di quattro puntio di quattro rette; scrivete l’eguaglianza de’ rapporti anarmonici ed avretel’espressa la proprieta di cui si tratta40.

Immediate conseguenze delle su enunciate proposizioni sono i due famositeoremi di Pascal e di Brianchon esprimenti quello che i punti d’incontrode’ lati opposti di un esagono inscritto in una conica sono in linea retta, equesto che le rette congiungenti i vertici opposti di un esagono circoscrittoconcorrono in uno stesso punto41.

II secondo teorema si ricava dal primo in virtu del principio di dualita42.Questo principio, in quanto si applichi alle sole proprieta descrittive, e unsemplice assioma, cioe non ha bisogno di alcuna dimostrazione o preparazio-ne, e consiste in cio che ogni teorema di geometria piana da luogo ad un altroche si ricava dal primo permutando le parole punto e retta; ed analogamenteper la geometria nello spazio scambiando punto e piano. Fin dalle primelezioni della scienza di cui qui v’intrattengo, voi vedrete sorgere spontaneo,naturale il concetto di questa dualita delle proprieta geometriche: dualitaper la quale, di due teoremi correlativi basta provarne un solo, perche anchel’altro ne risulti irresistibilmente dimostrato. Cosı le proprieta delle stellee dei fasci di piani si deducono da quelle delle punteggiate e viceversa; idue teoremi di Steiner l’uno dall’altro; il teorema di Brianchon da quel-lo di Pascall o questo da quello. Nulla di piu facile che effettuare questadeduzione di teoremi, la quale si riduce ad un mero meccanismo.

II principio di dualita, invece d’essere assunto come verita intuitiva eprimordiale, puo fondarsi su di un’importante proprieta delle coniche e delle

39Il teorema si attribuisce solitamente a Steiner.40Cfr. [51]41Cfr. Parte I, Cap. ??, p. ??.42Cfr. Parte I, ap. ??, p. ??.

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superficie di second’ordine43. Supponiamo d’avere una conica e nel suo pianoun punto fisso pel quale si conduca una trasversale a segare la curva in duepunti; cerchiamo su questa retta il quarto punto coniugato armonico di quellofisso rispetto alle due intersezioni. Ora, se si fa ruotare la trasversale intornoal punto fisso, il quarto punto cambiando di posizione generera una retta.Consideriamo poi questa retta e da ogni suo punto guidinsi due tangentialla conica, indi trovisi la coniugata armonica della retta stessa rispetto alledue tangenti; or bene, questa coniugata armonica passera costantemente perquel punto fisso, assunto da principio. Dunque ad ogni punto nel piano dellaconica corrisponde una certa retta individuata, e viceversa a questa rettacorrisponde quel punto44. II punto chiamasi polo della retta e la retta polaredel punto. Se il polo si muove generando una retta, la polare ruota intornoad un punto che e il polo di questa. Se il polo varia descrivendo una conica,la polare si muove inviluppando un’altra conica, i punti della quale sono ipoli delle tangenti della prima. In generale, se il polo percorre una curvadell’ordine n (cioe tale che una retta arbitraria la seghi in n punti), la polareinviluppera una curva della classe n (cioe tale che da un punto qualunquele possano esser condotte n tangenti). Cosı ogni figura da luogo ad un’altranella quale i punti sono i poli delle rette nella prima e le rette sono le polari deipunti nella stessa. A tali due figure si da il nome di polari reciproche45. Noile vedremo poi riapparire come caso particolare di una teoria piu generale.

Voi vedete che le polari reciproche dipendono da una conica assunta comedirettrice. Si puo farne senza ove si tratti di proprieta meramente descrit-tive, poiche per queste il principio di dualita e primordiale e assoluto. Maall’incontro le relazioni metriche e le angolari vogliono che si abbia a fissarela natura e la posizione della conica direttrice. Allora cio che si perde insemplicita, si guadagna in fecondita; poiche per ogni conica direttrice si han-no speciali teoremi che servono alla trasformazione di tali relazioni; eppero,data una proposizione involgente lunghezze di rette o aree di figure o funzio-ni goniometriche, si potranno in generale derivare tante proposizioni polarireciproche della data, piu o meno diverse fra loro, quante sono le differenticoniche che si ponno assumere come direttrici46.

La teoria delle polari reciproche si estende allo spazio, pigliando a con-

43Cfr. Parte I, Cap. ??, p. ??.44Cfr. Parte I, Cap. ??, p. ?? e [51], par. 14, pp. 73-82.45NdA. Poncelet, Memoire sue la theorie generale des plaires reciproques; giornale di

Crelle, t. IV.46Cfr. [?], p. xx.

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siderare una superficie di second’ordine. Se per un punto fisso si conduceuna trasversale arbitraria che incontri la superficie in due punti e si cerca ilconiugato armonico di quello fisso, il luogo di questo quarto punto e un pianoche chiamasi piano polare del punto dato (polo).

La superficie sferica poi presenta, nelle figure supplementari, un genere didualita che non ha riscontro nella geometria piana47. La dualita supplemen-tare sferica e certamente la piu perfetta, la piu semplice e la piu elegante ches’incontri nella scienza dell’estensione; la reciprocita vi e assoluta, senz’alcunbisogno di ricorrere a curve direttrici, e la trasformazione si applica collastessa facilita alle proprieta descrittive, metriche ed angolari.

I due teoremi di Steiner e Chasles, che vi ho dianzi enunciati, hannoi loro analoghi nella geometria solida, benche questi non presentino, sottoun certo aspetto, la stessa generalita di quelli. Siano date due punteggiateprojettive non situate nello stesso piano: quale e la superficie luogo dellaretta che unisce due punti omologhi? Ovvero siano dati due fasci projettividi piani: qual e la superficie luogo della retta intersezione di due piani corri-spondenti? In entrambi i problemi la superficie richiesta e di second’ordine,cioe un iperboloide ad una falda in generale, ma in casi speciali un para-boloide iperbolico o un cono o un cilindro48. Questi teoremi somministranoimmediatamente i due sistemi di generatrici rettilinee delle superficie gobbedi second’ordine. Viceversa due generatrici, dello stesso sistema, di una su-perficie gobba di second’ordine sono divise projettivamente dalle generatricidell’altro sistema, e con queste danno luogo anche a due fasci projettivi dipiani.

L’illustre Chasles, ha trovato inoltre che la linea luogo geometrico delpunto intersezione di tre piani omologhi in tre fasci projettivi e del terz’or-dine a doppia curvatura49, cioe l’intersezione di due coni di second’ordineaventi una generatrice rettilinea comune. In virtu del principio di dualita, daquesto teorema si conclude quest’altro che il piano determinato da tre puntiomologhi in tre punteggiate projettive nello spazio inviluppa una superficiesviluppabile della terza classe (e del quart’ordine), eppero per un altro teo-rema dello stesso autore, e osculatore di una linea a doppia curvatura delterz’ordine50.

47Cfr. Comessatti A., Dualita in [164].48Cfr. [?], p. xx49NdA. Compte Rendu, 19 agosto 1857.50Cfr. [?], p. xx.

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Da questi teoremi fondamentali discende immediatamente tutta la teoriadelle superficie rigate di second’ordine e delle curve gobbe del terzo.

Sin qui non abbiamo considerate che le piu semplici forme geometriche:rette punteggiate, stelle e fasci di piani. Ora saliamo allo studio di forme piucomplesse.

Un piano puo considerarsi come luogo di punti e rette, cioe come unaforma geometrica, gli elementi della quale siano punti e rette. Due pianisi diranno projettivi quando ad ogni punto e ad ogni retta in ciascun diessi corrisponda nell’altro un punto ed una retta, ovvero una retta ed unpunto rispettivamente. Nel primo caso i piani projettivi diconsi omograficio collineari, nel secondo correlativi51. In due piani projettivi, ad una curvadell’ordine n52 corrisponde un’altra curva che e dell’ordine n pur essa se ledue forme sono omografiche, e invece e della classe n se le due forme sonocorrelative. Per quanto sia generale la definizione di due piani projettiviomografici, pure ha luogo questa interessante proprieta: i due piani si ponnosempre (in infiniti modi) talmente situare che le rette congiungenti a due adue i punti omologhi concorrano in uno stesso punto; nella qual giacitura ledue forme sono l’una la prospettiva dell’altra.

Se due piani projettivi omografici non giacciono prospettivamente macomunque, due rette omologhe non sono in generale nello stesso piano; purevi sono infinite coppie di rette omologhe che hanno tale proprieta, e i pianida esse individuati sono tutti osculatori di una curva gobba del terz’ordine53.

Se si sovrappongono i piani di due figure omografiche, in modo affattoarbitrario, sempre avverra che almeno uno e in generale al piu tre punti coin-cidano coi rispettivi corrispondenti. Questi tre punti formano un triangoloi cui lati sono rette sovrapposte alle loro omologhe. E interessante il tenerdietro alle successive variazioni che subisce questo triangolo quando si facciascorrere l’un piano sull’altro. Ma la sovrapposizione de’ due piani puo sempreessere fatta in modo che le rette congiungenti i punti omologhi concorrano inuno stesso punto; allora i punti d’ intersezione delle rette omologhe cadono sudi una stessa retta. Tale disposizione delle due figure o de’ due piani omogra-

51Cfr. Parte I, Cap. ??, p. ??.52L’ordineOrdine di una curva di una curva si puo definire come il numero dei punti di

intersezione con una generica retta del piano, mentre la classe e uguale al numero delletangenti che si possono condurre alla retta da un punto generico.

53NdA. Seydewitz, Grunert’s Archiv, t. X. - Schroter, giornale di Crelle, t. 56.

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fici, che ha la piu perfetta analogia colla prospettiva54, dicesi omologia55; quelpunto e quella retta appellansi centro e asse d’omologia. Se l’asse d’omologiae a distanza infinita, si ha un’omotetia. Se invece e il centro di omologia adistanza infinita, le due figure sono derivabili l’una dall’altra mediante unadeformazione consistente in un aumento o decremento proporzionale delleordinate relative ad un asse fisso.

Quando due piani omografici sono sovrapposti, ossia quando due formeomografiche sono in uno stesso piano, ad un punto qualunque di questo pia-no corrispondono due punti distinti, l’uno o l’altro cioe secondo che quello sirisguardi come appartenente alla prima o alla seconda forma. Ma v’ha uncaso speciale e interessantissimo, compreso nell’omologia, nel quale que’ duepunti coincidono, cioe ad ogni punto del piano ne corrisponde un’altro uni-co, a qualunque forma venga quello attribuito. Questo caso dicesi omologiaarmonica (Bellavitis) od Involuzione nel piano (Mobius).

Voi avrete frequenti occasioni di incontrare quest’ incontestabile verita,la quale a primo aspetto sembra un paradosso: che tutt’i punti dello spazioi quali siano a distanza infinita si ponno risguardare come appartenenti adun unico piano, e per conseguenza i punti a distanza infinita di un dato pia-no giacciono in linea retta. In due forme omografiche, questa verita emergeconfermata dal fatto che ad un sistema di rette parallele nell’una forma cor-risponde nell’altra un sistema di rette concorrenti in un punto; il qual punto,ove si muti la direzione di quelle rette parallele, genera una linea retta, checorrisponde per conseguenza all’ infinito della prima forma. Ciascuna for-ma ha dunque in generale una retta a distanza finita, i punti della qualecorrispondono ai punti a distanza infinita nell’altra. Ma vi ha un caso parti-colare dell’omografia al quale al’infinito dell’una forma corrisponde l’infinitonell’altra, cioe a rette parallele corrispondono rette parallele. Tale specie diomografia chiamasi affinita (Eulero), e per essa ha luogo la proprieta che ilrapporto delle aree di due porzioni corrispondenti delle date forme e costante.Quando questo rapporto sia l’unita, si ha l’equivalenza.

Si considerino ora due piani projettivi correlativi e si suppongano sovrap-posti l’uno all’altro in modo del tutto arbitrario. Allora, se si ricerca il luogodei punti che vengono a cadere nelle rispettive rette omologhe, si trova chequei punti sono in una conica e che le rette ad essi corrispondenti inviluppano

54Cfr. Frajese, Prospettiva in [164]55Cfr. Parte I, Cap. ??, p. ??.

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un’altra conica56. Le due coniche hanno doppio contatto (reale o imagina-rio), e i due punti di contatto col punto di segamento delle tangenti comunisono i soli che, considerati come appartenenti all’una o all’altra forma, ab-biano in entrambi i casi la stessa retta corrispondente. Quei due punti poiche corrispondono alla retta all’ infinito, attribuita questa or alla prima edora alla seconda forma, chiamansi centri delle due forme e danno luogo aimportanti considerazioni57. Noi avremo a studiare l’alterarsi di forma e diposizione delle due coniche fondamentali, quando i due piani correlativi sifacciano scorrere l’uno sull’altro. Se la sovrapposizione e tale che i due centricoincidano in un punto solo, questo riesce il centro comune delle due conicheche sono in tal caso anche omotetiche. Messi i piani in tal posizione l’unosull’altro, se mantenendo fisso il primo, si fa ruotare il secondo intorno ai cen-tro comune, le due coniche si vanno deformando pur mantenendosi sempreconcentriche ed omotetiche; ma la rotazione puo esser fatta di tale ampiezzache le due coniche vengano a ridursi ad una sola. Allora un punto qualunqueavra per corrispondente un’unica retta, sia esso aggiudicato all’uno o all’al-tro piano; e questa retta non sara altro che la polare del punto relativamentealla conica suaccennata. Dunque due sistemi piani correlativi ponno sempreessere sovrapposti in guisa da riuscire polari reciproci58.

Passeremo poi a studiare le forme geometriche piu generali, composte dipunti, rette e piani disposti nello spazio secondo leggi quali si vogliano. Duetali forme (o sistemi) diconsi projettive quando ad un punto, ad una retta,ad un piano in ciascuna d’esse corrispondano nell’ altra rispettivamente unpunto, una retta ed un piano (omografia o collineazione), ovvero un piano,una retta ed un punto (correlazione).

L’omografia comprende un caso interessantissimo ed e la cosı detta omo-logia o prospettiva in rilievo59 che ha luogo quando due punti corrispondentisono costantemente in linea retta con un punto fisso (centro d’omologia), edue piani corrispondenti si segano in una retta posta in un piano invariabile(piano d’omologia). Nell’omologia, in generale, a ciascun punto dello spazione corrispondono due distinti, secondo il sistema a cui quel punto si riferisce.Ma, come caso particolare, se si suppongono coincidenti i due piani che cor-rispondono all’infinito, allora ad ogni punto e ad ogni piano non corrisponde

56Questa osservazione e alla base della definizione sintetica di Steiner di conica. Cfr.Parte I, Cap. ??, p. ??.

57Cfr. [?], p. xx58NdA. Plcker, System der analyt. Geometrie, Berlin 1835; p. 78 e seg.59Cfr. [55]. Anche [107], p. 175 e [108].

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che un punto od un piano, a qualunque sistema si faccia appartenere quelpunto o quel piano. Questa omologia speciale dicesi armonica od involuto-ria60. Dicesi armonica perche la retta congiungente due punti coniugati edivisa armonicamente dal centro e dal piano di omologia, e l’angolo di duepiani coniugati e diviso armonicamente dal piano d’omologia e dal piano con-dotto pel centro d’omologia e per la retta comune ai due piani anzidetti61. Ladenominazione involutoria poi esprime il concetto che un punto qualunque,sia riferito all’uno o all’altro sistema, ha sempre lo stesso corrispondente.

V’ha un’altra specie di omografia involutoria nello spazio, che non e com-presa nel- omologia, e che il signor Mobius62 denomina involuzioni di secondaspecie63, per distinguerla dall’omologia armonica ch’ei chiama involuzione diprima specie. Mentre nell’ involuzione di prima specie i punti doppi, cioe ipunti che coincidono coi loro coniugati, sono, oltre il centro d’omologia, tuttiquelli del piano d’omologia; invece nell’ involuzione di seconda specie i puntidoppi sono in due rette (reali o imaginarie) non situate in uno stesso pia-no. Ogni retta congiungente due punti coniugati e incontrata dalle due rettedoppie, e da esse divisa armonicamente; e cosı pure ogni retta intersezione didue piani coniugati incontra le rette doppie e con esse determina due pianiche dividono armonicamente l’angolo de’ due piani coniugati64.

Dati nello spazio due sistemi correlativi, d’una costruzione affatto gene-rale, ad un punto qualunque corrispondono due piani diversi, secondo chequello si risguardi appartenente al primo o al secondo sistema. Ricercandose ed ove siano i punti situati nei loro propri piani omologhi, si trova il luogodi tali punti essere una superficie di second’ordine, mentre i piani corrispon-denti ai punti stessi inviluppano un’altra superficie dello stesso ordine. Ledue superficie hanno in comune quattro rette, formanti un quadrilatero gob-bo, le quali hanno se stesse per rispettive rette corrispondenti65. In un casospeciale di sistemi correlativi le due superficie menzionate ponno coinciderein una sola; allora i due sistemi sono polari reciproci66: ad ogni punto dellospazio, a qualunque sistema si riferisca, corrisponde un solo piano, il quale e

60Cfr. [?], p. xx.61Cfr. [?], pp. xx62NdA. Berichte uber die Verhandlungen der K. Sachsischen Gesellschaft der

Wissenschaften zu Leipzig; Mathematisch-physische Classe. 1856, Heft 2.63Cfr. [?], p. xx.64Cfr. [?], p. xx65Si ha in questo modo la definizione di quadrica secondo Von Staudt, cfr, [?], p. xx.66Cfr, [?], p. xx.

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precisamente il piano polare del punto rispetto a quell’unica superficie di se-cond’ordine. Oltre le polari reciproche, v’ha un altro genere interessantissimodi sistemi correlativi reciproci, tali cioe che ogni punto abbia un solo pianocorrispondente. Questi altri sistemi correlativi che primo Mobius67 fece sco-po di sue ricerche, e che Cayley68 denomino reciproci gobbi, hanno questocarattere distintivo che ogni punto giace nel piano che gli corrisponde69. Lameccanica razionale e la geometria offrono parecchie e diverse costruzioni ditali sistemi70.

Nel discorso che or qui vi tengo non ho fatto allusione che alle proprietadescrittive de’ sistemi projettivi nel piano e nello spazio come quelle chesi lasciano enunciare assai facilmente, senza bisogno di ricorrere a simbolialgebrici. Ma nelle lezioni a cui preludo avro un riguardo ancor maggiorealle relazioni metriche, essendo io convinto della verita di queste parole delgrande geometra di Francia ”in generale, le relazioni metriche delle figure sonoancora piu importanti e piu utili a conoscersi che le loro relazioni puramentedescrittive, perche quelle sono suscettibili di piu estese applicazioni e delresto esse bastano quasi sempre da se sole per arrivare alla scoperta delleproprieta descrittive71. E le relazioni metriche, mentre sono inesauribilmentefeconde di importantissimi risultati, sono pur facilissime a trovarsi, e tutte,in sostanza, si deducono da quest’unico teorema:

Dati due sistemi projettivi, il rapporto anarmonico di quattro punti inlinea retta o di quattro raggi di una stella o di quattro piani di un fascio in unsistema e eguale al rapporto anarmonico de’ quattro elementi corrispondentinell’altro sistema.

Questo teorema72, cosı semplice, eppure cosı universalmente fecondo, e labase, e il tipo di tutte le relazioni metriche trasformabili projettivamente ed ead un tempo l’anello di congiunzione fra le proprieta metriche e le descrittive.

La teoria delle figure correlative contiene in se un principio generate ditrasformazione delle figure - il principio di dualita - principio che e un verostrornento di ricerche, potentemente efficace in tutta l’estensione dello sci-

67NdA. Giornale di Crelle, t. X, p. 317.68NdA. Giornale di Crelle, t. XXXVIII, p. 317.69Si tratta dei sistemi nulli , Cfr. [89], par. 37, p. 45.70Cfr. [?], p. xx.71NdA. Chasles, Memorie su deux principe generaux de la science, la dualite et

l’homographie (che fa seguito all’Apercu historique, p. 775.72Cfr. parte I, cap. ??, p. xx.

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bile geometrico73. Dato un teorema risguardante un certo sistema di entigeometrici, applicategli un metodo di trasformazione e voi n’avrete un altroteorema, in generale non meno importante. In questo modo dalle proprietadei sistemi di punti voi potrete dedurre quelle de’ sistemi di rette o di piani;dalla teoria delle curve e delle superficie, considerate come luoghi di punti,si ricava la dottrina delle curve e delle superficie risguardate come invilup-pi di rette o di piani; e i teoremi concernenti le linee a doppia curvaturasomministrano teoremi relativi alle superficie sviluppabili; e reciprocamente.

L’omografiaPrincipio di omografia e lo sviluppo di un principio assai ge-nerale di deformazione delle figure, il quale e un altro potentissimo mezzod’ invenzioni geometriche74. Mentre il principio di dualita serve a trovareproprieta affatto differente da quelle che sono proposte, invece I’omografia eun metodo di generalizzazione delle proprieta dell’estensione. Sı fatta gene-ralizzazione puo esser fatta in due maniere distinte che danno luogo a questidue enunciati:

“Conoscendo le proprieta di una certa figura, concluderne le analogheproprieta di un’altra figura dello stesso genere ma di una costruzione piugenerale. Conoscendo alcuni casi particolari di una certa proprieta generaleincognita di una figura, concluderne questa proprieta generale”75

La straordinaria potenza di questi due stromenti d’ invenzione, la dualitae l’omografia, apparira luminosamente dimostrata dalle applicazioni che nefaremo alla teoria delle coniche e delle superficie di second’ordine. Vedremocome i due principi di trasformazione e di deformazione servono a generaliz-zare le note proprieta de’ fuochi e dei diametri coniugati e conducano aliafecondissima teoria degli assi coniugati relativi ad un punto, teoria dovutaper intero all’illustre Chasles. Le proprieta delle coniche, che si connettonoalle rette coniugate, ai triangoli coniugati , alle rette di sintosi , ai centri diomologia; la teoria delle coniche omofocali, e delle coniche circoscritte ad unostesso quadrangolo o inscritte in uno stesso quadrilatero; la teoria degli archidi sezione conica a differenza rettificabile; le proprieta de’ poligoni inscrittio circoscritti; la teoria delle superficie di second’ordine omologiche; quelladelle coniche focali od eccentriche nelle superficie di second’ordine; le pro-prieta de coni di second’ordine e delle coniche sferiche; la traslazione delle

73Cfr. Parte I, Cap. ??, p. ??.74Talvolta ci si riferisce a questo principio come al principio di proiezionePrincipio

di proiezione— vedi Principio di omografia, cfr, [?], pp. xx-xx. Il terzo principiofondamentale della geometria proiettiva e il principio di continuita, cfr. [?], p. xx.

75NdA. Apercu historique, p. 262.

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proprieta della sfera allo sferoide schiacciato; la costruzione de’ bassorilievi:eccovi una magnifica serie di studi che tutti si presentano non altrimenti chequali applicazioni de’ due grandi principii di dualita e d’omografia. 76

Voi avete cosı un programma che abbraccia una grande divisione dellageometria superiore, In ulteriori corsi di lezioni vi potranno essere svoltealtre parti della scienza: quali sono la teoria generale delle trasformazionigeometriche, delle quali I’omografia e la correlazione sono due semplici esem-pi; la teoria generale delle curve piane ed in ispecie di quelle del terz’ordine;le proprieta delle linee a doppia curvatura e delle superficie di terz’ordine;ecc.

lo m’avviso che scopo della istituzione di questa cattedra sia quello nonpur di sviluppare alcune serie di proprieta di curve e di superficie, ma si an-che d’ammaestrare l’italiana gioventu in que’ meravigliosi metodi puramentegeometrici che sinora non si esposero mai nelle nostre universita, eppure sonouna delle piu belle glorie della scienza odierna. I metodi algoritmici vennerocoltivati sinora esclusivamente, ed e necessario che si continui ad insegnarli,perche in quell’immenso campo di ricerche, per le quali e propria l’analisialgebrica, null’altro vale ad emularne la potenza e la rapidita. Ma, la Diomerce, anche la geometria cominciera pur una volta ad essere studiata nonsolo per isbieco nelle applicazioni del calcolo, ma con metodi suoi propri, coimetodi che costituiscono l’essenza delle grandiose scoperte del nostro seco-lo. Di quest! metodi geometrici io faro uso nell’insegnamento giovandomidi quanto scrissero i grandi maestri Steiner, Chasles e Mobius, i qualiai nostri tempi hanno rinnovato i miracoli de’ piu famosi antichi, Euclide,Archimede, Apollonio.

Giovani alunni, che v’accingete a seguirmi in questo corso di geometriamoderna, non v’accostate che con saldo proposito di studi pertinaci. Senzaun’ incrollabile costanza nella fatica non si giunge a possedere una scienza.Se questo nobile proposito e in voi, io vi dico che la scienza vi apparira bellae ammiranda, e voi l’amerete cosı fortemente che d’allora in poi gli studiintensi vi riusciranno una dolce necessita della vita. Me fortunato se potessiraggiungere lo splendido risultato d’invogliare questa generosa gioventu allostudio ed al culto di una grande scienza che ha gia procacciato tanta gloriaagli stranieri e che fra noi non ha che rarissimi e solitari cultori!

76NdA. Veggansi le Note 4, 28, 31 e 32 dell’Apercu e la Memoria che vi fa seguito,indi due Memorie del medesimo autore, sui coni e sulle coniche sferiche, nel tomo VI 77,Bruxelles 1830. Inoltre si legga l’aureo libro del sig. Jonquieres: Melanges de Geometriepure, Paris, 1856.

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Respingete da voi o giovani, le malevole parole di coloro che a confortodella propria ignoranza o a sfogo d’irosi pregiudizi vi chiederanno con ironi-co sorriso a che giovino questi ed altri studi, e vi parleranno dell’impotenzapratica di quegli uomini che si consacrano esclusivamente al progresso di unascienza prediletta. Quand’anche la geometria non rendesse, come rende, im-mediati servigi alle arti belle, all’industria, alla meccanica, all’astronomia,alla fisica; quand’anche un’esperienza secolare non ci ammonisse che le piuastratte teorie matematiche sortono in un tempo piu o meno vicino applica-zioni prima neppur sospettate ; quand’anche non ci stesse innanzi al pensierola storia di tanti illustri che senza mai desistere dal coltivare la scienza pura,furono i piu efficaci promotori della presente civilta ancora io vi direi: questascienza e degna che voi l’amiate; tante sono e cosı sublimi le sue bellezze ch’es-sa non puo non esercitare sulle generose e intatte anime dei giovani un’altainfluenza educativa, elevandole alla serena e inimitabile poesia della verita Isapientissimi antichi non vollero mai scompagnata la filosofia, che allora erala scienza della vita, dallo studio della geometria, e Platone scriveva sulportico della sua accademia: Nessuno entri qui se non e geometra. Lungidunque da voi questi apostoli delle tenebre; amate la verita e la luce, abbiatefede ne’ servigi che la scienza rende presto o tardi alla causa della civilta edella liberta. Credete all’avvenire! questa e la religione del nostro secolo.

O giovani felici, cui fortuna concesse di assistere ne’ piu begli anni dellavita alla risurrezione della patria vostra, svegliatevi e sorgete a contemplareil novello sole che fiammeggia sull’orizzonte! Se la doppia tirannide dellosgherro austriaco e del livido gesuita vi teneva oziosi e imbelli, la libertainvece vi vuole operosi e vigili. Nelle armi e ne’ militari esercizi rinvigoriteil corpo; negli studi severi e costanti spogliate ogni ruggine di servitu e allaluce della scienza imparate ad esser degni di liberta. Se la voce della patria vichiama al campo, e voi accorrete, pugnate, trionfate o cadete, certi sempre divincere: le battaglie della nostra indipendenza non si perdono piu. Ma se learmi posano, tornate agli studi perocche anche con questi servite e glorificatel’ltalia. L’avvenir suo e nelle vostre mani; il valore de suoi prodi la strapperatutta dalle ugne dello straniero, ma ella non durerebbe felice e signora di seove non la rendesse onoranda e temuta il senno de’ suoi cittadini. Ancorauna volta dunque, o giovani, io vi dico: non la turpe inerzia che sfibra animae corpo, ma i militari e li scientifici studi vi faranno ajutatori alla grandezzadi questa nostra Italia, che sta per rientrare, al cospetto dell’attonita Europa,nel consorzio delle potenti e libere nazioni, con una sola capitale, Roma, conun solo re, Vittorio Emanuele, con un solo e massimo eroe, Garibaldi.

22

Bologna, novembre 1860.

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Siano a e b due tangenti a una conica, P un suo punto e t la tangente alla conica in P .Siano A = a ∩ t e B = b ∩ t. Al variare di P l’applicazione che manda A in B e una

proiettivita.

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