PROLUSIONE AD UN CORSO DI GEOMETRIASUPERIORE

letta nell’Universita di Bologna. Novembre 1860.Il Politecnico, volume X (1861), pp. 22-42.

Le scienze esatte, per la prodigiosa attivita di geometri stranieri ed ita-liani di altissimo ingegno, tale incremento s’ebbero ne’ dodici lustri di questosecolo, quale non s’era visto mai in sı breve giro di tempo. I giornali scien-tifici e gli atti delle piu operose accademie attestano ad esuberanza quantenuove teorie siano state create, quante altre mirabilmente ampliate1. Le me-morie nelle quali quegli illustri pensatori deposero i loro nuovi concetti ele loro scoperte sparse qua e la in tante e diverse collezioni scientifiche, simoltiplicarono per guisa che divenne impossibile anco ai piu diligenti cultoritener dietro al rapido e multiforme allargarsi della scienza2. Fu allora cheper opera di benemeriti scrittori si pubblicarono libri, accessibili alla studiosagioventu, ne’ quali si rivelavano sotto forme compendiose gli ultimi progressidelle matematiche. Non e a dire di quanta utilita riescano si fatti lavori chediffondono il sapere anche fra coloro che per condizione di luogo o per difettodi mezzi pecuniari sono costretti a rimanere lontani dal movimento scientificoche si traduce nelle pubblicazioni periodiche e nei rendiconti accademici. Efra noi pure sono valenti matematici3 che concorsero efficacemente alla be-nefica impresa, benche pur troppo le male signorie non aiutassero qui alcun

1Numerose sono le nuove riviste dedicate alla matematica che vedono la luce in questoperiodo. Gli Annales de Gergonne, il primo giornale interamente dedicato alla matematica,furono fondati dal matematico francese Joseph-Diaz Gergonne nel 1810 e furono pubblicatifino al 1832. Il giornale di Crelle, fondato da August Leopold Crelle nel 1826, continuaancor oggi ad essere pubblicato, come Journal fur die reine und angewandte Mathematik.In Italia, gli Annali di scienze matematiche e fisiche furono fondati da Barnaba Tortolininel 1850 e divennero nel 1859 gli Annali di matematica pura e applicata, sotto la direzionecongiunta di Betti, Brioschi, Genocchi e Tortolini.

2Fino al 1800 la matematica era stata geometria euclidea e calcolo differenziale, conun po’ di teoria delle equazioni algebriche. Nell’800 nascono le Geometrie non euclidee,la Geometria proiettiva, la teoria dei Gruppi, la teoria degli Invarianti, il Calcolo delleProbabilita. Per alcune di queste teorie si assiste alla nascita ma anche alla estinzione, ilpiu delle volte temeporanea, come per la Geometria proiettiva e la teoria degli invariati.

3NdA. Servan d’esempio: Brioschi per l’aureo suo opuscoletto di statica, per la teoricade’ determinanti ch’ebbe traduttori i Francia ed in Germania, e per quella de’ covarianti,in corso di pubblicazione; Bellavitis per molte importanti memorie in parte originali ein parte dirette a far conoscere ai nostri giovani i progressi della scienza fuor d’Italia; Faadi Bruno, per la sua teoria dell’eliminazione; Betti per una monografia sulle funzioniellittiche, in parte pubblicata; ecc., ecc.

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nobile conato, eppero togliessero che or l’Italia possa contare sı numerosi isacerdoti della scienza, quanti li vantano le piu civili nazioni d’ Europa.

Ma non bastava pubblicare opere destinate a raccogliere in brevi volumicio che non era possibile rinvenire che con grave spreco di tempo e faticane’ polverosi scaffali delle biblioteche. La vastita o la recondita profonditadi alcune fra le nuove dottrine richiedeva imperiosamente ch’esse venisserobandite da apposite cattedre create nelle universita o in altri istituti superio-ri. Ed anche a questo bisogno della crescente civilta si soddisfece in Francia,in Germania, in Inghilterra, non pero in Italia. Le nostre scuole per veritaebbero sempre parecchi e valenti professori che partecipando all’odierno pro-gresso scientifico perfezionarono i metodi di ricerca e di dimostrazione; mai retrivi ordinamenti scolastici, la brevita del tempo concesso alle piu im-portanti materie e il picciol numero di cattedre impedirono che si allargasseil campo dell’istruzione universitaria, che si atterrassero le colonne erculeede’ programmi ufficiali4. Che se la scienza cammina pur sempre avanti sen-za curarsi di pastoie governative, non era consentito a que’ nostri docenti, iquali nel silenzio de’ domestici studi seppero tener dietro al maestoso proce-dere delle matematiche, di far penetrare la nuova luce nelle aule del pubblicoinsegnamento. Da molto tempo nelle universita d’ Italia non si poteronoinsegnare fuor che i primi rudimenti delle scienze esatte ed i buoni ingegnine uscivano questo solo sapendo, esistere vaste e meravigliose dottrine di cuiera lor noto appena l’alfabeto. Se non che ove cessava la scuola, soccorrevatalvolta l’opera generosa d’alcun professore; che con consigli, con libri, coneccitamenti, indirizzava i giovani a quegli studi che non si eran potuti farenella pubblica scuola. Cosı chi apprese un po’ di scienza lo dovette menoall’universita che ai famigliari colloqui nelle domestiche pareti del maestro.Questo so essere accaduto a molti ed accadde a me; e qui io colgo l’occasioneper rendere pubblica testimonianza di gratitudine all’illustre Brioschi, alquale devo tutto quel poco che per avventura non ignoro.

Le nostre facolta universitarie, insomma, non possedettero sin qui alcu-na cattedra da cui si potessero annunciare alla gioventu italiana le novellee brillanti scoperte della scienza. Ognun vede quanto fosse indecoroso chel’istruzione, data dallo Stato, non fosse che una piccola parte di quella recla-

4E assolutamente centrale per il pensiero di Cremona l’importanza dello sviluppo deglistudi scientifici, come premessa necessaria dello sviluppo industriale del Paese. Non a casoCremona, come Brioschi prima di lui, si impegno strenuamente per l’innalzamento dellivello degli studi di Ingegneria, cercando di garantire, sul modello delle scuole francesi edtedesche, un’istruzione matematica di prim’ordine agli ingegneri.

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mata dalle odierne condizioni di civilta; ma a cio non potevan provvedere neun governo straniero, ne governi mancipii5 dello straniero, pei quali l’igno-ranza pubblica era arte potentissima di regno. Quest’era un compito serbatoal governo nazionale; ed il governo nazionale tolse a sdebitarsene instituen-do cattedre d’ insegnamento superiore; ne vuolsi muover dubbio che i buoniprincipii sian per riuscire a splendida meta, or che all’Italia sorride sı beni-gna la fortuna, e che alle cose della publica istruzione presiede TerenzioMamiani6.

I regolamenti scolastici erano per la scienza un vero letto di Procuste. Im-possibile agli insegnanti anche di buona volonta andar oltre i primi elementidella teoria delle equazioni, della geometria analitica, del calcolo sublime,della meccanica razionale, della geometria descrittiva7. La nostra gioventunon giungeva nelle publiche scuole a conoscere i principali risultati della teo-rica de’ determinanti, meraviglioso stromento di calcolo algebrico, che ope-ra prodigi non mai sospettati; della teorica delle forme binarie che tantopromosse la risoluzione delle equazioni; della teorica delle forme ternarie equaternarie, potentissimo ausilio per la geometria delle curve e delle super-ficie; dell’aritmetica trascendente, per cui s’acquistarono fama non perituraGauss, Dirichlet, Hermite, Kummer, Eisenstein, Genocchi...; dellateorica delle funzioni ellittiche ed iperellittiche nella quale brillo il genio delnorvego Abel e del prussiano Jacobi, ed or ora apparvero mirabili lavori diWeierstrass, di Hermite, di Brioschi, di Betti e di Casorati, teoricastupenda che si collega a un tempo colle parti piu elevate del calcolo inte-grale, colla risoluzione delle equazioni, colla dottrina delle serie e con quella,

5Servi.6Filosofo, politico scrittore e patriota italiano, fu tra i protagonisti di maggior rilievo

del Risorgimento.7Per avere un’idea degli argomenti insegnati in questi corsi e possibile riferirsi ai libri

di testo adottati. Quella che segue e una prima indicazione orientativa, che purtroppo siriferisce spesso a libri immediatamente successivi al periodo cui si riferisce Cremona e chedeve essere complimentata da una bibliografia piu ragionata. Teoria delle equazioni (cfr.Todhunter, Trattato elementare sulla teoria delle equazioni (1872)) della geometria analiti-ca (Briot, Lezioni di geometria analitica, 1863) del calcolo sublime (cfr. Brunacci, Corso dimatematica sublime (1804), Bordoni, Lezioni di Calcolo sublime (1831), Todhunter, Trat-tato sul calcolo differenziale (1870)), della meccanica razionale (cfr. D. Chelini Elementi dimeccanica razionale : con appendice sui principii fondamentali delle matematiche, 1860),della geometria descrittiva (Bellavitis, Lezioni di Geometria descrittiva, 1851). Inoltre:Alberto Gabba, Lezioni di matematica elementare in 3 voll; Bordoni, Trattato di geodesiaelementare;

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sı ardua e sı attraente, de’ numeri. Ebbene, ciascuno di questi magnificirami di scienza potra in avvenire essere svolto con alternata successione dalprofessore di analisi superiore.

Nelle nostre scuole l’angustia del tempo dato allo insegnare e la non pro-porzionata coltura de’ giovani studenti non concedevano d’addentrarsi moltonelle applicazioni dell’ analisi alla geometria delle superficie; eppero quantequistioni rimanevano intatt e La teorica delle coordinate curvilinee, iniziatada Bordoni e da Gauss e poi grandemente promosse da Lame la ricercadelle superficie che supposte flessibili e inestensibili riescano applicabili soprauna data; il problema di disegnare con certe condizioni sopra una superficiel’ imagine di una figura data su di un’altra superficie, il problema insommadella costruzione delle carte geografiche; la trigonometria sferoidea ; la teori-ca delle linee geodetiche : tutto cio sara quind’innanzi esposto nella scuola dialta geodesia insieme colla dottrina de’ minimi quadrati e con altri gravissimiargomenti.

Ma di queste scienze, vo’ dire dell’analisi superiore e dell’alta geodesia, iprimi elementi potevano essere abbozzati nei corsi d’introduzione e di calcolosublime, onde le nostre universita furono sempre dotate; forse in quelle dot-trine i nostri giovani ricevevano anche prima d’ora un avviamento ad erudirsida se. Ma in quale scuola si adombrava anche da lungi questa vastissimascienza che chiamasi geometria superiore? Oh diciamolo francamente: innessuna. La moderna geometria, che sotto varie forme s’insegna da molti an-ni in Francia, in Germania, in Inghilterra, e per le nostre universita un ospiteaffatto nuovo ; nulla ha potuto preconizzarlo finora, nemmeno farne sentireil desiderio. Ed invero, quale insegnamento geometrico hanno i nostri istitutisuperiori? Dopo gli elementi insegnati nei licei elementi ne’ licei, piu nonaccade che si parli di geometria pura. Che se in alcune universita si assegnapure un anno alla geometria descrittiva, essa e pero una scienza affatto spe-ciale, e benche mirabile nelle sue applicazioni, non puo per se dare i metodi diricerca che appartengono esclusivamente alia geometria razionale8. Quantorimane dell’istruzione matematica e soltanto analitico, e a stento si riserbanoalcune lezioni per le applicazioni del calcolo alia scienza dell’estensione9,

La necessita di rompere questo soverchio esclusivismo dell’insegnamentosuperiore e di rimettere in onore i metodi geometrici senza nulla detrarre

8Chasles, Discours d’inauguration du cours de geometrie superieure, p. LXXV.9Si eccettui pero l’Universita di Pavia, ove il chiarissimo prof. A. Gabba, mio maestro,

insegna la geometria superiore gia da parecchi anni.

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all’algoritmo algebrico voleva adunque che si instituisse una cattedra di purageometria. E cio era voluto anche da un’altra causa cui ho gia fatto allusione.Se il nostro secolo ha procacciato all’analisi straordinari aumenti, la geome-tria non e certamente rimasta immobile, Poncelet, Steiner, Mobius,Chasles co’ loro meravigliosi metodi di derivazione hanno rivelato mondisconosciuti, hanno creato una nuova scienza. Si e questa giovane figlia delgeınio del secolo attuale, questa splendida geometria impropriamente dettasuperiore e che assai meglio appellerebbesi moderna, ch’ io son chiamato afarvi conoscere primo in questa gloriosa sede degli studi, onorato da un’altafiducia della quale io vorrei non riuscissero troppo minori le mie forze.

Giovani studenti! Io non vi so ben dire quanto tempo sara mestieri impie-gare per isvolgere un corso completo di geometria superiore. Sono le primeorme che stampiamo in questo campo non per anco tentato fra noi, ne valeora il precorrere col pensiero i risultati dell’esperianza. Ben mi piace, in que-sto primo giorno, in cui mi e concesso l’onore di favellare a voi intorno a taleargomento, delinearvi brevemente il programma della prima parte del mede-simo corso, il programma di una delle principali plaghe di cui si compone ilvastissimo dominio della nostra scienza, e studiarmi di porgervi un’imaginedell’estensione, della ramificazione, della maestosa bellezza delle sue dottri-ne. In me non sento altra forza che l’amore alla scienza, ma quest’amore evivissimo, e me beato se esso mi dara potenza d’infondere in voi, o giovani,quella sete di studii senza la quale nulla si fa di bello e di grande!

Oggetto de’ primi nostri studi saranno le proprieta projettive delle piusemplici forme geometriche, quali sono: una serie di punti in linea retta oretta punteggiata; una stella ossia fascio di rette poste in un piano e passantiper uno stesso punto; un fascio di piani passanti per una stessa retta. Cia-scuna di queste forme e il complesso di piu elementi in numero indefinito,soggetti ad una determinata legge: nella prima forma gli elementi sono puntiallineati sopra una retta; nella seconda sono rette in un piano incrociantisi inuno stesso punto (centro della stella) ; nella terza sono piani vincolati dallacondizione di tagliarsi fra loro lungo una stessa retta (asse del fascio)10.

10La geometria proiettiva di cui Cremona traccia sommariamente i fondamenti venivasviluppata in maniera puramente sintetica, cioe senza riferimento a un sistema di coordi-nate. L’ideale cremoniano e quello di sviluppare questa geometria in maniera analoga aquella di Euclide, a partire quindi da un insieme di definizioni di oggetti fondamentali dallequali, e dagli assiomi della geometria euclidea, dedurre tutte le proprieta. In quegli annicominciavano a prendere corpo le critiche ai fondamenti della geometria euclidea (Pasch)e la necessita di una maggiore consapevolezza sui fondamenti della geometria comincera

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Noi diremo che due forme sono projettive11 quando i loro elementi sonocollegati da tal legge di corrispondenza, che a ciascun elemento dell’una cor-risponda un solo elemento dell’altra ed a ciascun elemento di questa un solodi quella12. Da questa semplice definizione si deduce che fissati ad arbitrio indue forme tre elementi dell’una e tre elementi dell’altra come corrispondenti,tutto il resto cessa d’essere arbitrario, cioe ad ogni quarto elemento di unaforma corrispondera un determinato elemento dell’altra. E a questo proposi-to vi saranno apprese facilissime regole grafiche per costruire, dati elementisufficienti, una forma projettiva ad una data13.

a farsi strada anche nella geometria proiettiva, con i lavori di De Paolis e di Enriques. Lepreoccupazioni fondazioni sono ancora quasi del tutto assenti in Cremona, che sviluppala geometria proiettiva come un capitolo della geometria di Euclide. Le idee di Cremonasulla geometria proiettiva sono fortemente influenzate dai trattati di Chasles e di Steinere verranno raccolte ed esposte in maniera organica negli Elementi di Geometria proiet-tiva, pubblicati nel 1873 e tratti dalle lezioni impartite al politecnico di Milano. Nellaprolusione Cremona comincia col definire la nozione di forma fondamentale di prima spe-cie. Cremona non da una definizione astratta del concetto ma si limita a considerare itre esempi di forme di prima specie che si possono definire nell’ambito della geometriaeuclidea, cioe: i) la retta punteggiata (che si ottiene dalla retta euclidea con l’aggiunta diun punto all’infinito, comune a tutte le rette parallele a quella data, la stella di rette diun piano che passano per un punto e il fascio di piani per una retta. Si tratta di casiparticolari di spazi proiettivi unodimensionali.

11Steiner, Systematische Entwicklung der Abhangigkeit geometrischer Gestalten voneinander, Berlin 1832.

12Questa definizione e insufficiente. Occorrerebbe aggiungere, per esempio, l’algebricitadella relazione, cfr. p.e. Geiser, Sopra un teorema fondamentale della Geometria, Annalidi matematica, serie II, vol 4, 1870-71, pp. 25-30. Oppure, come fa Cremona negliElementi, e possibile definire la nozione puramente sintetica di proiezione e sezione edefinire la proiettivita come qualunque trasformazione composta di sezioni e proiezioni.Cfr. Cremona, Elementi, numero ..

13Siano date due rette sghembe r ed s rispettivamente e su esse due terne ordinate dipunti A, B, C su r e A′, B′, C ′ su s. Per costruire la proiettivita di r in s che trasformal’una terna ordinata nell’altra si considerino le tre rette AA′, BB′ e CC ′. Dato un puntoqualsiasi P ∈ AA′, l’intersezione dei pianti PBB′ e PCC ′ e una retta t che si appoggiaalle tre rette. Il fascio di piani per t realizza la proiettivita tra r ed s che ad ogni puntoX di r ai associa l’intersezione del piano Xt con s. Per costruzione, la terna ordinata A,B e C viene trasformata nella terna ordinata A′, B′ e C ′. Se invece le rette r ed s sonocomplanari, e le due terne sono costituite da punti tutti distinti, si prendano su AA′ duepunti S ed S′ rispettivamente. Si considerino i punti B′′ = SB · S′B′ e C ′′ = SC · S′C ′

Sia t la retta B′′C ′′ e sia A′′ = t · SS′. Per ogni X su r si consideri la proiezione X ′′

di X su t da S e sia X ′ la proiezione di X ′′ su s da S′. L’applicazione X → X ′ e unaproiettivita che, per costruzione, trasforma la terna ordinata A, B, C in A′, B′, C ′. Perqueste costruzioni, Cfr. Cremona, Elementi, numero ..

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Trarremo dalla data definizione un altro corollario che e della piu gran-de importanza. Supponiamo di avere una retta finita e in essa o sul suoprolungamento sia fissato un punto; le distanze di questo dai termini dellaretta data, prese con opportuni segni, rispondenti al senso di lor direzione,dirannosi i segmenti in cui la retta e divisa da quel punto14. Imaginate oraquattro punti in linea retta, considerati in un certo ordine; il rapporto de’segmenti che il terzo punto determina sulla retta avente gli estremi ne’ primidue, diviso pel rapporto de’ segmenti individuati nella stessa retta dal quartopunto e quella espressione che Mobius chiamo dapprima rapporto di doppiasezione de’ quattro punti (ratio bisectionalis)15 poi Steiner piu brevementedoppio rapporto16 e Chasles rapporto anarmonico17: denominazione seguitaora dai piu18. Se invece di quattro punti in linea retta assumete quattro rettein un piano incrociantisi in un punto, ovvero quattro piani passanti per unastessa retta, e se invece de’ segmenti compresi fra punti ponete i seni degliangoli compresi da rette o da piani, voi avrete cio che si chiama rapporto

14Cremona considera la nozione di rapporto affine di tre punti. Per definire corretta-mente tale rapporto e necessario estendere la geometria euclidea in maniera tale da poterconsiderare grandezze con il segno. Secondo Cremona, (Cfr. Considerazioni sopra la storiadella geometria ecc., p. 186) il primo a introdurre questo principio [dei segni] nella geo-metria e stato il sig, Mobius il quale sino dal 1827 nel suo celebre Calcolo Baricentrico loapplico non solo ai segmenti rettilinei ma anche agli angoli, alle superficie ed ai corpi [...]definendo chiaramente per ciascuna di queste estensioni che cosa si debba intendere persenso positivo e che per senso negativo. Il rapporto affine di tre punti allineati A, B e C,in quest’ordine e allora il rapporto dei segmenti orientati AC e AB, che indicheremo conil simbolo (ABC). Si noti che questo rapporto non dipende dall’ordinamento scelto sullaretta in quanto, cambiando ordinamento, vengono contemporaneamente cambiati i segnidei segmenti AC e AB. Usando la struttura di spazio affine sull’insieme dei numeri realidella retta, il valore numerico di tale rapporto puo anche essere definito come il numeroλ tale che C = A+ λ ·AB, dove AB indica la traslazione che bisogna applicare ad A perottenere B.

15Mobius, Der barycentrische Calcul, Leipzig, 1827, p. 244.16Steiner, Systematiche Entwicklung u.s.w. p. 717Chasles, Apercu historique sue l’origine et le developpement des methodes en

geometrie, Bruxelles 1837, p. 34.18Indichiamo il birapporto di quattro punti A, B, C e D, nell’ordine dato, con il simbolo

(ABCD). Allora, (ABCD) = (BCD)/(ACD). Manipolando la definizione possiamoanche scrivere,

(ABCD) = (BD/BC) : (AD/AC) = (AC/AD) : (BC/BD) = (AC/BC) : (AD/BD).

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anarmonico di quattro rette o di quattro piani19.Or bene: in due forme geometriche projettive il rapporto anarmonico di

quattro elementi quali si vogliono dell’una e eguale al rapporto anarmonicode’ quattro elementi omologhi dell’altra20. Questa interessante proprieta esuscettibile di mirabili conseguenze in tutto il campo della geometria e servesopra tutto a dedurre le proprieta metriche delle figure dalle loro proprietadescrittive o viceversa21. Noi daremo un’attenzione speciale al caso che ilrapporto anarmonico di quattro elementi sia eguale all’unita negativa; al-lora essi costituiscono un sistema armonico22. La divisione armonica eranota anche agli antichi ; anzi in Pappo Alessandrino troviamo parecchieproposizioni differenti solo per l’enunciato da certi teoremi che oggidı fannodipendere dalla considerazione del rapporto anarmonico.

Lo studio delle forme projettive da luogo a molte ed importanti pro-prieta, parecchie delle quali si connettono colla giacitura relativa delle forme.Di sommo interesse sono quelle che nascono dal considerare due forme dellostesso genere sovrapposte l’una all’altra cioe due serie di punti sulla stessaretta, o due stelle concentriche23, o due fasci di piani collo stesso asse. Dueforme projettive sovrapposte presentano due elementi doppi, cioe due ele-menti che coincidono coi rispettivi corrispondenti: elementi che ponno pero

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(αβγδ) =sinαγ

sinβγ:

sinαδ

sinβδ

20Il rapporto anarminico, senza ricevere un nome specifico, e con riferimento ai segmentinon orientati, era pero gia stato considerato dai geometri greci. In Pappo, Math. Coll,VII, 129, 137, si trova la dimostrazione che “Un fascio di quattro rette date e segato daqualsivoglia trasversale in quattro punti il cui doppio-rapporto e costante??.

21La separazione della geometria proiettiva dalla geometria metrica e possibile, come fudimostrato da von Staudt e da Enriques. Nelle trattazioni precedenti, in particolare inquella di Cremona, le proprieta proiettive e quelle metriche non sono ancora ben separate.

22La costruzione del quarto armonico di una terna ordinata di punti A, B e C su unaretta u e fattibile con il solo utilizzo della riga, come riportato per esempio in Enriques,Lezioni di Geometria proiettiva: Si conducano dai punti dati tre rette, contenute in unpiano π per u. Esse determinano un trilatero di vertici L, M ed N dove i lati opposti a L,M e N , passano ordinatamente per A, B e C; si determini quindi il punto K ≡ (AL.BM)infersezione delle rette AL e BM . Risulta cosı costruito un quadrangolo completo KLMNdi cui due lati passano per A, due lati per B, uno per C e l’ultimo KN per un certo puntoD della retta u, che viene definito appunto come intersezione delle rette u e KN . D e ilquarto armonico dopo A, B e C. Una quaterna ordinata di punti A, B, C e D si dicearmonica quando D e il quarto armonico dopo A, B e C.

23E complanari.

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esser anche essere imaginari, ovvero in casi particolari ridursi ad uno solo,appunto come avviene delle radici di un’equazione quadratica24. Le formeprojettive sovrapposte ci condurranno a quella mirabile teoria che e l’invo-luzione25. II celebre Desrgues chiamo pel primo con questo vocabolo laproprieta segmentaria de’ sei punti in cui una sezione conica ed i lati di unquadrangolo inscritto sono segati da una trasversale qualunque26. Chaslespero, questo principe de’ moderni geometri francesi, al quale e dovuta tantaparte de’ recenti progressi della geometria, ha fondato la dottrina dell’invo-luzione sopra nozioni assai piu semplici. Se voi imaginate sovrapposte l’unaall’altra due forme geometriche dello stesso genere, un elemento qualunquepotra indifferentemente considerarsi come spettante all’una o all’altra forma,onde ad esso corrisponderanno in generale due elementi distinti, cioe l’unoo l’altro secondo che quel primo si attribuisca a questa o a quella forma.Ma la sovrapposizione puo sempre essere fatta in modo che quei dueelementiomologhi al primo immaginato coincidano fra loro, cioe a un dato elementone corrisponda un altro unico, qualunque sia la forma a cui quello si facciaappartenere. A questa speciale sovrapposizione di due forme proiettive si daappunto il nome d’involuzione.

Queste teorie, improntate di tanta generalita, riescono nell’esposizione sısemplici e facili che ad intenderle basta anco la sola conoscenza degli ele-menti di Euclide. Ma e ancor piu mirabile l’estensione e l’importanza delleloro applicazioni. Quelle teorie costituiscono un vero strumento per risolve-re problemi e ricercare proprieta: strumento non meno sorprendente per lasua semplicita che per la sua potente efficacia. E perche l’utilita di questedottrine sia da voi sentita in tutta la sua pienezza, io tentero di svolgervele

24Consideriamo il caso particolare di una projettivita di una punteggiata u in se asse-gnata rispetto ad una trasversale t e due poli S e S′ nella seguente maniera. Sia X ∈ u,si definisca X = SX.t e sia X ′ = S′X.u. La proiettivita e quella che manda X in X ′.Questa ha produttivita ha due punti fissi, t.u e SS′.u, che possono anche coincidere.

25Si tratta di una speciale proiettivita p : u → u tale che p2 = idu. Un esempio diinvoluzione si puo costruire nel modo seguente. Utilizziamo la proiezione stereo grafica diuna conica per identificare la conica con una punteggiata u. Trasportiamo tramite questaidentificazione l’involuzione della conica determinata dalle sezioni con il fascio di rette perun punto esterno alla conica.

26Per definire una involuzione su una retta u possiamo fissare una conica c, assegnareuna coppia A, A′ di punti di u e una trasversale r1 passante per P e che sega la conica neipunti P1 e P2. Sia X ∈ u. Congiungiamo X con P2 e sia P3 l’altra intersezione di XP2

con c. Sia P4 = c.A′P3 e sia X ′ = u.P4P1. L’applicazione X → X ′ e un’involuzione. Se cinterseca u, i punti di intersezione sono una coppia dell’involuzione.

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non nel solo aspetto delle proprieta descrittive, ma anche in quello non menoimportante delle relazioni metriche: nel quale cammino mi servira di stellapolare il metodo di Chasles. Voi vedrete a dunque, allato ai teoremi diposizione svilupparsi quelle serie di equazioni fra segmenti di rette, di cui ilgrande geometra francese ha fatto un uso veramente magico e che fecero darealla sua geometria l’espressivo epiteto di segmentaria27.

Ho parlato di applicazioni e vo’ citarvene alcuna. Le proprieta armoni-che e involutorie del quadrilatero e del quadrangolo completo, le relazionifra i segmenti determinati da un poligono qualunque su di una trasversale,molti teoremi analoghi ai podismi di Euclide e di Pappo e relativi ad unpoligono che si deformi sotto condizioni date, il teorema di Desargues sudue triangoli che abbiano i vertici a due a due per diritto con uno stessopunto dato, una serie di teoremi sui triangoli inscritti gli uni negli altri edanaloghe proposizioni per la geometria dello spazio: tutto cio voi vedreteemergere come ovvie conseguenze, quasi senza bisogno di dimostrazioni ap-posite, dalle premesse teorie. Queste medesime offrono immediatamente lepiu semplici e generali soluzioni di tre problemi famosi appor gli antichi, perciascun de’ quali Apollonio Pergeo aveva scritto un trattato ad hoc, cioei problemi della sezione determinata, dalla sezione di ragione e dalla seziondi spazio. La soluzione di questi problemi riducesi alla costruzione de’ puntidoppi di due punteggiate proiettive sovrapposte, e rientrano in un metodoche ha molta analogia colla regola di falsa posizione in aritmetica: metodoche e suscettibile d’essere applicato ad un gran numero di questioni diver-sissime, e fra le altre alla seguente: dati due poligonid’egual numero di lati,costruirne un terzo che sia inscritto nel primo e circoscritto al secondo28.

Finalmente, quelle stesse teorie danno la chiave per isciogliere il famosoenimma de’ porismi d’Euclide, che per tanti secoli ha eccitato invano lacuriosita de’ geometri: enimma che ora ha cessato di esser tale, merce lastupenda divinazione fattane da Michele Chasles29.

Ne qui lo studio delle forme geometriche piu semplici sara finito per noi;anzi ci restera a svilupparne la parte piu bella e piu attraente. Concepite inun piano due punteggiate o due stelle projettive; subito vi balenera al pensieroquesto problema, quale e la curva inviluppata dalla retta che unisce due puntiomologhi delle due punteggiate, e quale e il luogo del punto ove s’intersecano

27Terquem, Nouvelles Annales de Mathematiques, t. XVIII, p. 44528Chasles, Traite de Geometrie superieure, Paris 1852, p. 212.29Chasles, Les trois livres se porismes d’Euclide, Paris 1860.

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due raggi corrispondenti delle due stelle? In entrambi i quesiti la curvarichiesta e una sezione conica che nel primo caso tocca le due rette punteggiatee nel secondo passa pei centri dei due fasci30. Reciprocamente: prendeteuna conica qualunque e due sue tangenti fisse, scelte ad arbitrio; quindiuna tangente mobile scorra intorno alia curva pigliando tutte le posizionipossibili di una retta toccante; ebbene, i punti di successiva intersezione dellatangente mobile colle tangenti fisse formeranno, su di queste, due punteggiateprojettive. Ovvero imaginate sulla conica due punti fissi ed un punto mobileche percorra la curva: le rette congiungenti i due punti fissi al punto mobilegenereranno due fasci proiettivi.

Nulla v’ha di piu fecondo, per la teoria delle coniche, di questi due mera-vigliosi teoremi, trovati, io credo, simultaneamente da Chasles e da Stei-ner31. II segreto della grande fecondita de’ due teoremi sta in cio che il primodi essi esprime una proprieta di sei tangenti e l’altro una proprieta di sei puntidi una conica. Dico sei: perche fissate quattro posizioni dell’elemento mobile,e queste vi daranno insieme coi due elementi fissi due sistemi di quattro puntio di quattro rette; scrivete l’eguaglianza de’ rapporti anarmonici ed avretel’espressa la proprieta di cui si tratta.

Immediate conseguenze delle su enunciate proposizioni sono i due famositeoremi di Pascal e di Brianchon esprimenti quello che i punti d’incontrode’ lati opposti di un esagono inscritto in una conica sono in linea retta, equesto che le rette congiungenti i vertici opposti di un esagono circoscrittoconcorrono in uno stesso punto.

II secondo teorema si ricava dal primo in virtu del principio di dualita.

30Le due generazioni sono duali. Si veda p.e. [?], p. 221. Una trattazione analitica si puofare lungo le seguenti linee. Siano φ+ tψ e φ+ tψ due fasci di rette riferiti proiettivamente.Il punto comune a due rette omologhe ha coordinate che risolvono le equazioni φ(P ) +tψ(P ) = 0 e φ(P ) + tψ(P ) = 0 e quindi permettono di esprimere t = −φ(P )/ψ(P ) =−φ(P )/ψ(P ). Quindi le coordinate verificano l’equazione φψ−φψ = 0 che e l’equazione diuna conica. Una siffatta equazione si dice determinantale in quanto ottenuta esprimendola condizione che una data matrice polinomiale abbia fissato rango. In questo caso lacondizione impone che la matrice di forme lineari(

φ ψ

φ ψ

)abbia rango uno. Le classe delle varieta determinanti costituisce una classe di esempiinteressantissima per la geometria algebrica, per le quali si possono considerare costruzioniproiettive analoghe alla generazione proiettiva delle coniche.

31Il teorema si attribuisce solitamente a Steiner.

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Questo principio, in quanto si applichi alle sole proprieta descrittive, e unsemplice assioma, cioe non ha bisogno di alcuna dimostrazione o preparazio-ne, e consiste in cio che ogni teorema di geometria piana da luogo ad un altroche si ricava dal primo permutando le parole punto e retta; ed analogamenteper la geometria nello spazio scambiando punto e piano. Fin dalle primelezioni della scienza di cui qui v’intrattengo, voi vedrete sorgere spontaneo,naturale il concetto di questa dualita delle proprieta geometriche: dualitaper la quale, di due teoremi correlativi basta provarne un solo, perche anchel’altro ne risulti irresistibilmente dimostrato. Cosı le proprieta delle stelle edei fasci di piani si deducono da quelle delle punteggiate e viceversa; i dueteoremi di Steiner l’uno dall’altro; il teorema di Briancon da quello di Pa-scal o questo da quello. Nulla di piu facile che effettuare questa deduzionedi teoremi, la quale si riduce ad un mero meccanismo.

II principio di dualita, invece d’essere assunto come verita intuitiva eprimordiale, puo fondarsi su di un’importante proprieta delle coniche e dellesuperficie di second’ordine. Supponiamo d’avere una conica e nel suo pianoun punto fisso pel quale si conduca una trasversale a segare la curva in duepunti; cerchiamo su questa retta il quarto punto coniugato armonico di quellofisso rispetto alle due intersezioni. Ora, se si fa ruotare la trasversale intornoal punto fisso, il quarto punto cambiando di posizione generera una retta.Consideriamo poi questa retta e da ogni suo punto guidinsi due tangenti allaconica, indi trovisi la coniugata armonica della retta stessa rispetto alle duetangenti ; or bene, questa coniugata armonica passera costantemente perquel punto fisso, assunto da principio. Dunque ad ogni punto nel piano dellaconica corrisponde una certa retta individuata, e viceversa a questa rettacorrisponde quel punto. II punto chiamasi polo della retta e la retta polaredel punto. Se il polo si muove generando una retta, la polare ruota intornoad un punto che e il polo di questa. Se il polo varia descrivendo una conica,la polare si muove inviluppando un’altra conica, i punti della quale sono ipoli delle tangenti della prima. In generale, se il polo percorre una curvadeH’ordine n (doe tale che una retta arbitraria la seghi in n punti), la polareinviluppera una curva. della classe n (cioe tale che da un punto qualunquele possano esser condotte n tangenti). Cosı ogni figura da luogo ad un’altranella quale i punti sono i poli delle rette nella prima e le rette sono le polari deipunti nella stessa. A tali due figure si da il nome di polari reciproche32. Noi

32Poncelet, Memoire sue la theorie generale des plaires reciproques; giornale di Crelle,t. IV.

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le vedremo poi riapparire come caso particolare di una teoria piu generale.Voi vedete che le polari reciproche dipendono da una conica assunta come

direttrice. Si puo farne senza ove si tratti di proprieta meramente descrit-tive, poiche per queste il principio di dualita e primordiale e assoluto. Maall’incontro le relazioni metriche e le angolari vogliono che si abbia a fissarela natura e la posizione della conica direttrice. Allora cio che si perde insemplicita, si guadagna in fecondita; poiche per ogni conica direttrice si han-no speciali teoremi che servono alla trasformazione di tali relazioni; eppero,data una proposizione involgente lunghezze di rette o aree di figure o funzio-ni goniometriche, si potranno in generale derivare tante proposizioni polarireciproche della data, piu o meno diverse fra loro, quante sono le differenticoniche che si ponno assumere come direttrici.

La teoria delle polari reciproche si estende allo spazio, pigliando a con-siderare una superficie di second’ordine. Se per un punto fisso si conduceuna trasversale arbitraria che incontri la superficie in due punti e si cerca ilconiugato armonico di quello fisso, il luogo di questo quarto punto e un pianoche chiaimasi piano polare del punto dato (polo).

La superficie sferica poi presenta, nelle figure supplementari, un genere didualita che non ha riscontro nella geometria piana. La dualita supplementaresferica e certamente la piu perfetta, la piu semplice e la piu elegante ches’incontri nella scienza dell’estensione; la reciprocita vi e assoluta, senz’alcunbisogno di ricorrere a curve direttrici, e la trasformazione si applica collastessa facilita alle proprieta descrittive, metriche ed angolari.

I due teoremi di Steiner e Chasles, che vi ho dianzi enunciati, hannoi loro analoghi nella geometria solida, benche questi non presentino, sottoun certo aspetto, la stessa generalita di quelli. Siano date due punteggiateprojettive non situate nello stesso piano: quale e la superficie luogo dellaretta che unisce due punti omologhi? Ovvero siano dati due fasci projettividi piani: qual e la superficie luogo della retta intersezione di due piani corri-spondenti? In entrambi i problemi la superficie richiesta e di second’ordine,cioe un iperboloide ad una falda in generale, ma in casi speciali un para-boloide iperbolico o un cono o un cilindro. Questi teoremi somministranoimmediatamente i due sistemi di generatrici rettilinee delle superficie gobbedi second’ordine. Viceversa due generatrici, dello stesso sistema, di una su-perficie gobba di second’ordine sono divise projettivaimente dalle generatricidell’altro sistema, e con queste danno luogo anche a due fasci projettivi dipiani.

L’illustre Chasles ha trovato inoltre che la linea luogo geometrico del

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punto intersezione di tre piani omologhi in tre fasci projettivi e del terz’ordinea doppia curvatura33, cioe l’intersezione di due coni di second’ordine aventiuna generatrice rettilinea comune. In virtu del principio di dualita, da questoteorema si conclude quest’altro che il piano determinate da tre punti omologhiin tre punteggiate projettive nello spazio inviluppa una superficie sviluppabiledella terza classe (e del quart’ordine), eppero per un altro teorema dello stessoautore, e osculatore di una linea a doppia curvatura del terz’ordine.

Da questi teoremi fondamentali discende immediatamente tutta la teoriadelle superficie rigate di second’ordine e delle curve gobbe del terzo.

Sin qui non abbiamo considerate che le piu semplici forme geometriche:rette punteggiate, stelle e fasci di piani. Ora saliamo allo studio di forme piucomplesse.

Un piano puo considerarsi come luogo di punti e rette, cioe come unaforma geometrica, gli elementi della quale siano punti e rette. Due pianisi diranno projettivi quando ad ogni punto e ad ogni retta in ciascun diessi corrisponda nell’altro un punto ed una retta, ovvero una retta ed unpunto rispettivamente. Nel primo caso i piani projettivi diconsi omograficio collineari, nel secondo correlativi. In due piani projettivi, ad una curvadell’ordine n34 corrisponde un’altra curva che e dell’ordine n pur essa se ledue forme sono omografiche, e invece e della classe n se le due forme sonocorrelative. Per quanto sia generale la definizione di due piani projettiviomografici, pure ha luogo questa interessante proprieta: i due piani si ponnosempre (in infiniti modi) talmente situare che le rette congiungenti a due adue i punti omologhi concorrano in uno stesso punto; nella qual giacitura ledue forme sono l’una la prospettiva dell’altra.

Se due piani projettivi omografici non giacciono prospettivamente macomunque, due rette omologhe non sono in generale nello stesso piano; purevi sono infinite coppie di rette omologhe che hanno tale proprieta, e i pianida esse individuati sono tutti osculatori di una curva gobba del terz’ordine35.

Se si sovrappongono i piani di due figure omografiche, in modo affattoarbitrario, sempre avverra che almeno uno e in generale al piu tre punti coin-cidano coi rispettivi corrispondenti. Questi tre punti formano un triangoloi cui lati sono rette sovrapposte alle loro omologhe. E interessante il tener

33Compte Rendu, 19 agosto 1857.34Geometricamente l’ordine di una curva e uguale al numero dei punti di inversione

con una generica retta, mentre la classe e uguale al numero delle tangenti che si possonocondurre alla retta dal punto generico.

35Seydewitz, Grunert’s Archiv, t. X. - Schroter, giornale di Crelle, t. 56.

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dietro alle successive variazioni che subisce questo triangolo quando si facciascorrere l’un piano sull’altro. Ma la sovrapposizione de’ due piani puo sempreessere fatta in modo che le rette congiungenti i punti omologhi concorrano inuno stesso punto; allora i punti d’ intersezione delle rette omologhe cadonosu di una stessa retta. Tale disposizione delle due figure o de’ due piani omo-grafici, che ha la piu perfetta analogia colla prospettiva, dicesi omologia; quelpunto e quella retta appellansi centro e asse d’omologia. Se l’asse d’omologiae a distanza infinita, si ha un’omotetia. Se invece e il centro di omologia adistanza infinita, le due figure sono derivabili l’una dall’altra mediante unadeformazione consistente in un aumento o decremento proporzionale delleordinate relative ad un asse fisso.

Quando due piani omografici sono sovrapposti, ossia quando due formeomografiche sono in uno stesso piano, ad un punto qualunque di questo pia-no corrispondono due punti distinti, l’uno o l’altro cioe secondo che quello sirisguardi come appartenente alla prima o alla seconda forma. Ma v’ha uncaso speciale e interessantissimo, compreso nell’omologia, nel quale que’ duepunti coincidono, cioe ad ogni punto del piano ne corrisponde un’altro uni-co, a qualunque forma venga quello attribuito. Questo caso dicesi omologiaarmonica (Bellavitis) od involuzione nel piano (Mobius).

Voi avrete frequenti occasion! d incontrare quest’ incontestabile verita,la quale a primo aspetto sembra un paradosso: che tutt’i punti dello spazioi quali siano a distanza infinita si ponno risguardare come appartenenti adun unico piano, e per conseguenza i punti a distanza infinita di un dato pia-no giacciono in linea retta. In due forme omografiche, questa verita emergeconfermata dal fatto che ad un sistema di rette parallele nell’una forma cor-risponde nell’altra un sistema di rette concorrenti in un punto; il qual punto,ove si muti la direzione di quelle rette parallele, genera una linea retta, checorrisponde per conseguenza all’ infinito della prima forma. Ciascuna for-ma ha dunque in generale una retta a distanza finita, i punti della qualecorrispondono ai punti a distanza infinita nell’altra. Ma vi ha un caso parti-colare dell’omografia al quale al’infinito dell’una forma corrisponde l’infinitonell’altra, cioe a rette parallele corrispondono rette parallele. Tale specie diomografia chiamasi affinita (Eulero), e per essa ha luogo la proprieta che ilrapporto delle aree di due porzioni corrispondenti delle date forme e costante.Quando questo rapporto sia l’unita, si ha l’equivalenza.

Si considerino ora due piani projettivi correlatiyi e si suppongano sovrap-posti l’uno all’altro in modo del tutto arbitrario. Allora, se si ricerca il luogodei punti che vengono a cadere nelle rispettive rette omologhe, si trova che

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quei punti sono in una conica e che le rette ad essi corrispondenti inviluppanoun’altra conica. Le due coniche hanno doppio contatto (reale o imaginario),e i due punti di contatto col punto di segamento delle tangenti comuni sonoi soli che, considerati come appartenenti all’una o all’altra forma, abbiano inentrambi i casi la stessa retta corrispondente. Quei due punti poi che corri-spondono alia retta all’ infinito, attribuita questa or alla prima ed ora allaseconda forma, chiamansi centri delle due forme e danno luogo a importanticonsiderazioni. Noi avremo a studiare l’alterarsi di forma e di posizione delledue coniche fondamentali, quando i due piani correlativi si facciano scorrerel’uno sull’altro. Se la sovrapposizione e tale che i due centri coincidano inun punto solo, questo riesce il centro comune delle due coniche che sono intal caso anche omotetiche. Messi i piani in tal posizione l’uno sull’altro, semantenendo fisso il primo, si fa ruotare il secondo intorno ai centro comune,le due coniche si vanno deformando pur mantenendosi sempre concentricheed omotetiche; ma la rotazione puo esser fatta di tale ampiezza che le dueconiche vengano a ridursi ad una sola. Allora un punto qualunque avra percorrispondente un’unica retta, sia esso aggiudicato all’uno o all’altro piano;e questa retta non sara altro che la polare del punto relativamente alla co-nica suaccennata. Dunque due sistemi piani correlativi ponno sempre esseresovrapposti in guisa da riuscire polari reciproci36.

Passeremo poi a studiare le forme geometriche piu generali, composte dipunti, rette e piani disposti nello spazio secondo leggi quali si vogliano. Duetali forme (o sistemi) diconsi projettive quando ad un punto, ad una retta,ad un piano in ciascuna d’esse corrispondano nell’ altra rispettivamente unpunto, una retta ed un piano (omografia o collineazione), ovvero un piano,una retta ed un punto (correlazione).

L’omografia comprende un caso interessantissimo ed e la cosı detta omo-logia o prospettiva in rilievo che ha luogo quando due punti corrispondentisono costantemente in linea retta con un punto fisso (centro d’omologia), edue piani corrispondenti si segano in una retta posta in un piano invariabile(piano d’omologia). Nell’omologia, in generale, a ciascun punto dello spazione corrispondono due distinti, secondo il sistema a cui quel punto si riferisce.Ma, come caso particolare, se si suppongono coincidenti i due piani che cor-rispondono all’infinito, allora ad ogni punto e ad ogni piano non corrispondeche un punto od un piano, a qualunque sistema si faccia appartenere quelpunto o quel piano. Questa omologia speciale dicesi armonica od involu-

36Plcker, System der analyt. Geometrie, Berlin 1835; p. 78 e seg.

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toria. Dicesi armonica perche la retta congiungente due punti coniugati edivisa armonicamente dal centro e dal piano di omologia, e l’angolo di duepiani coniugati e diviso armonicamente dal piano d’omologia e dal piano con-dotto pel centro d’omologia e per la retta comune ai due piani anzidetti. Ladenominazione involutoria poi esprime il concetto che un punto qualunque,sia riferito all’uno o all’altro sistema, ha sempre lo stesso corrispondente.

V’ha un’altra specie di omografia involutoria nello spazio, che non e com-presa nel- Tomologia, e che il signor Mobius37 denomina involuzioni di secon-da specie, per distinguerla dall’omologia armonica ch’ei chiama involuzionedi prima specie. Mentre nell’ involuzione di prima specie i punti doppi, cioe ipunti che coincidono coi loro coniugati, sono, oltre il centro d’omologia, tuttiquelli del piano d’omologia; invece nell’ involuzione di seconda specie i puntidoppi sono in due rette (reali o imaginarie) non situate in uno stesso pia-no. Ogni retta congiungente due punti coniugati e incontrata dalle due rettedoppie, e da esse divisa armonicamente; e cosı pure ogni retta intersezione didue piani coniugati incontra le rette doppie e con esse determina due pianiche dividono armonicamente l’angolo de’ due piani coniugati

Dati nello spazio due sistemi correlativi, d’una costruzione affatto gene-rale, ad un punto qualunque corrispondono due piani diversi, secondo chequello si risguardi appartenente al primo o al secondo sistema. Ricercandose ed ove siano i punti situati nei loro propri piani omologhi, si trova il luogodi tali punti essere una superficie di second’ordine, mentre i piani corrispon-denti ai punti stessi inviluppano un’altra superficie dello stesso ordine. Ledue superficie hanno in comune quattro rette, formanti un quadrilatero gob-bo, le quali hanno se stesse per rispettive rette corrispondenti. In un casospeciale di sistemi correlativi le due superficie menzionate ponno coinciderein una sola; allora i due sistemi sono polari reciproci : ad ogni punto dellospazio, a qualunque sistema si riferisca, corrisponde un solo piano, il qualee precisamente il piano polare del punto rispetto a quell’unica superficie disecond’ordine. Oltre le polari reciproche, v’ha un altro genere interessantis-simo di sistemi correlativi reciproci, tali cioe che ogni punto abbia un solopiano corrispondente. Questi altri sistemi correlativi che primo Mobius38

fece scopo di sue ricerche, e che Cayley39 denomino reciproci gobbi, hannoquesto carattere distintivo che ogni punto giace nel piano che gli corrisponde.

37Berichte uber die Verhandlungen der K. Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaftenzu Leipzig; Mathematisch-physische Classe. 1856, Heft 2.

38Giornale di Crelle, t. X, p. 317.39Giornale di Crelle, t. XXXVIII, p. 317.

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La meccanica razionale e la geometria offrono parecchie e diverse costruzionidi tali sistemi.

Nel discorso che or qui vi tengo non ho fatto allusione che alle proprietadescrittive de’ sistemi projettivi nel piano e nello spazio come quelle chesi lasciano enunciare assai facilmente, senza bisogno di ricorrere a simbolialgebrici. Ma nelle lezioni a cui preludo avro un riguardo ancor maggiorealle relazioni metriche, essendo io convinto della verita di queste parole delgrande geometra di Francia ”in generale, le relazioni metriche delle figure sonoancora piu importanti e piu utili a conoscersi che le loro relazioni puramentedescrittive, perche quelle sono suscettibili di piu estese applicazioni e delresto esse bastano quasi sempre da se sole per arrivare alla scoperta delleproprieta descrittive40. E le relazioni metriche, mentre sono inesauribilmentefeconde di importantissimi risultati, sono pur facilissime a trovarsi, e tutte,in sostanza, si deducono da quest’unico teorema:

Dati due sistemi projetivi, il rapporto anarmonico di quattro punti inlinea retta o di guattro raggi di una stella o di quattro piani di un fascio in unsistema e eguale al rapporto anarmonico de’ quattro elementi corrispondentinell’altro sistema.

Questo teorema, cosı semplice, eppure cosı universalmente fecondo, e labase, e il tipo di tutte le relazioni metriche trasformabili projettivamente ed ead un tempo l’anello di congiunzione fra le proprieta metriche e le descrittive.

La teoria delle figure correlative contiene in se un principio generate ditrasformazione delle figure - il principio di dualita - principio che e un verostrornento di ricerche, potentemente efficace in tutta l’estensione dello scibilegeometrico. Dato un teorema risguardante un certo sistema di enti geometri-ci, applicategli un metodo di trasformazione e voi n’avrete un altro teorema,in generale non meno importante. In questo modo dalle proprieta dei sistemidi punti voi potrete dedurre quelle de’ sistemi di rette o di piani; dalla teoriadelle curve e delle superficie, considerate come luoghi di punti, si ricava ladottrina delle curve e delle superficie risguardate come inviluppi di rette odi piani; e i teoremi concernenti le linee a doppia curvatura somministranoteoremi relativi alle superficie sviluppabili; e reciprocamente.

L’omografia e lo sviluppo di un principio assai generale di deformazionedelle figure, il quale e un altro potentissimo mezzo d’ invenzioni geometriche.Mentre il principio di dualita serve a trovare proprieta affatto differente da

40Chasles, Memorie su deux principe generaux de la science, la dualita et l’homographie(che fa seguito all’Apercu historique, p. 775.

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quelle che sono proposte, invece I’omografia e un metodo di generalizzazionedelle proprieta dell’estensione. Sı fatta generalizzazione puo esser fatta indue maniere distinte che danno luogo a questi due enunciati:

“Conoscendo le proprieta di una certa figura, concluderne le analogheproprieta di un’altra figura dello stesso genere ma di una costruzione piugenerale. Conoscendo alcuni casi particolari di una certa proprieta generaleincognita di una figura, concluderne questa proprieta generale”41

La straordinaria potenza di questi due stromenti d’ invenzione, la dualitae l’omografia, apparira luminosamente dimostrata dalle applicazioni che nefaremo alia teoria delle coniche e delle superficie di second’ordine. Vedremocome i due principi di trasformazione e di deformazione servono a generaliz-zare le note proprieta de’ fuochi e dei diametri coniugati e conducano aliafecondissima teoria degli assi coniugati relativi ad un punto, teoria dovutaper intero all’illustre Chasles. Le proprieta delle coniche, che si connettonoalle rette coniugate, ai triangoli coniugati, alle rette di sintosi, ai centri diomologia; la teoria delle coniche omofocali, e delle coniche circoscritte aduno stesso quadrangolo o inscritte in uno stesso quadrilatero; la teoria de-gli archi di sezione conica a differenza rettificabile; le proprieta de’ poligoniinscritti o circoscritti; la teoria delle superficie di second’ordine omologiche;quella delle coniche focali od eccentriche nelle superficie di second’ordine; leproprieta de coni di second’ordine e delle coniche sferiche; la traslazione delleproprieta della sfera allo sferoide schiacciato; la costruzione de’ bassorilievi:eccovi una magnifica serie di studi che tutti si presentano non altrimenti chequali applicazioni de’ due grandi principii di dualita e d’omografiaVeggansile Nate 4, 28, 31 e 32 dell’Apercu e la Memoria che vi fa seguito, indi dueMemorie del medesimo autore, sui coni e sulle coniche sferiche, nel tomo VIdes Nouveaux Memoires de I’Academie royal des sciences et belles-lettres,Bruxelles 1830. Inoltre si legga l’aureo libro del sig. Jonquieres: Melangesde Geometrie pure, Paris1856.

Voi avete cosı un programma che abbraccia una grande divisione dellageometria superiore, In ulteriori corsi di lezioni vi potranno essere svoltealtre parti della scienza: quali sono la teoria generale delle trasformazionigeometriche, delle quali I’omografia e la correlazione sono due semplici esem-pi; la teoria generate delle curve piane ed in ispecie di quelle del terz’ordine;le proprieta delle linee a doppia curvatura e delle superficie di terz’ordine;ecc.

41Apercu historique, p. 262.

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lo m’avviso che scopo della istituzione di questa cattedra sia quello nonpur di sviluppare alcune serie di proprieta di curve e di superficie, ma si an-che d’ammaestrare l’italiana gioventu in que’ meravigliosi metodi puramentegeometrici che sinora non si esposero mai nelle nostre universita, eppure sonouna delle piu belle glorie della scienza odierna. I metodi algoritmici vennerocoltivati sinora esclusivamente, ed e necessario che si continui ad insegnarli,perche in quell’immenso campo di ricerche, per le quali e propria l’analisialgebrica, null’altro vale ad emularne la potenza e la rapidita. Ma, la Diomerce, anche la geometria cominciera pur una volta ad essere studiata nonsolo per isbieco nelle applicazioni del calcolo, ma con metodi suoi propri, coimetodi che costituiscono l’essenza delle grandiose scoperte del nostro seco-lo. Di quest! metodi geometrici io faro uso nell’insegnamento giovandomidi quanto scrissero i grandi maestri Steiner, Chasles e Mobius, i qualiai nostri tempi hanno rinnovato i miracoli de’ piu famosi antichi, Euclide,Archimede, Apollonio.

Giovani alunni, che v’accingete a seguirmi in questo corso di geometriamoderna, non v’accostate che con saldo proposito di studi pertinaci. Senzaun’ incrollabile costanza nella fatica non si giunge a possedere una scienza.Se questo nobile proposito e in voi, io vi dico che la scienza vi apparira bellae ammiranda, e voi l’amerete cosı fortemente che d’allora in poi gli studiintensi vi riusciranno una dolce necessita della vita. Me fortunato se potessiraggiungere lo splendido risultato d’invogliare questa generosa gioventu allostudio ed al culto di una grande scienza che ha gia procacciato tanta gloriaagli stranieri e che fra noi non ha che rarissimi e solitari cultori!

Respingete da voi o giovani, le malevole parole di coloro che a confortodella propria ignoranza o a sfogo d’irosi pregiudizi vi chiederanno con ironi-co sorriso a che giovino questi ed altri studi, e vi parleranno dell’impotenzapratica di quegli uomini che si consacrano esclusivamente al progresso di unascienza prediletta. Quand’anche la geometria non rendesse, come rende, im-mediati servigi alle arti belle, all’industria, alla meccanica, all’astronomia,alla fisica; quand’anche un’esperienza secolare non ci ammonisse che le piuastratte teorie matematiche sortono in un tempo piu o meno vicino applica-zioni prima neppur sospettate ; quand’anche non ci stesse innanzi al pensierola storia di tanti illustri che senza mai desistere dal coltivare la scienza pura,furono i piu efficaci promotori della presente civilta ancora io vi direi: questascienza e degna che voi l’amiate; tante sono e cosı sublimi le sue bellezze ch’es-sa non puo non esercitare sulle generose e intatte anime dei giovani un’altainfluenza educativa, elevandole alla serena e inimitabile poesia della verita I

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sapientissimi antichi non vollero mai scompagnata la filosofia, che allora erala scienza della vita, dallo studio della geometria, e Platone scriveva sulportico della sua accademia: Nessuno entri qui se non e geometra. Lungidunque da voi questi apostoli delle tenebre; amate la verita e la luce, abbiatefede ne’ servigi che la scienza rende presto o tardi alla causa della civilta edella liberta. Credete all’avvenire! questa e la religione del nostro secolo.

O giovani felici, cui fortuna concesse di assistere ne’ piu begli anni dellavita alla risurrezione della patria vostra, svegliatevi e sorgete a contemplareil novello sole che fiammeggia sull’orizzonte! Se la doppia tirannide dellosgherro austriaco e del livido gesuita vi teneva oziosi e imbelli, la libertainvece vi vuole operosi e vigili. Nelle armi e ne’ militari esercizi rinvigoriteil corpo; negli studi severi e costanti spogliate ogni ruggine di servitu e alialuce della scienza imparate ad esser degni di liberta. Se la voce della patria vichiama al campo, e voi accorrete, pugnate, trionfate o cadete, certi sempre divincere: le battaglie della nostra indipendenza non si perdono piu. Ma se learmi posano, tornate agli studi perocche anche con questi servite e glorificatel’ltalia. L’avvenir suo e nelle vostre mani; il valore de suoi prodi la strapperatutta dalle ugne dello straniero, ma ella non durerebbe felice e signora di seove non la rendesse onoranda e temuta il senno de’ suoi cittadini. Ancorauna volta dunque, o giovani, io vi dico: non la turpe inerzia che sfibra animae corpo, ma i militari e li scientifici studi vi faranno ajutatori alia grandezzadi questa nostra Italia, che sta per rientrare, al cospetto dell’attonita Europa,nel consorzio delle potenti e libere nazioni, con una sola capitale, Roma, conun solo re, Vittorio Emanuele, con un solo e massimo eroe, Garibaldi.

Bologna, novembre 1860.

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Bibliografia

[1] Enriques F., Geometria projettiva.

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