Alcuni strumenti per le trasformazioni geometriche

con Derive

Sebastiano CappuccioMathesis - Forlì

Un argomento spesso trattato nella Scuola Secondaria Superiore, sia al biennioche al triennio, con varie impostazioni, è quello delle trasformazionigeometriche. L'elaboratore si presta bene ad essere utilizzato, grazie alle suacapacità grafiche, per dare un contributo nella trattazione di questo argomento.Nell'ambiente scolastico circola molto materiale su questo tema con i tipi piùsvariati di soluzioni: pacchetti ad hoc già pronti, di pubblico dominio o allegati alibri di testo; "materiale grigio" (ad esempio dispense di corsi PNI) con listati, disolito in Pascal, e perfino sotto forma di fogli di lavoro di un foglio elettronico.

Naturalmente anche con Derive si possono presentare esempi di trasformazioni,forse con qualche vantaggio in più rispetto ad altre soluzioni: questo ambiente sipresta molto bene a operare con operazioni tra vettori e matrici: ad esempio unatraslazione può essere effettuata oltre che con le apposite formule, come sommatra vettori; una rotazione può esplicitamente messa sotto forma di prodotto diun vettore per una opportuna matrice.Da non trascurare inoltre la comodità di operare in un ambiente già familiare perchi, studente o docente, usa già Derive in modo più o meno sistematico.

Qui di seguito viene descritto un modo di realizzare alcune trasformazionigeometriche utilizzando le capacità di calcolo simbolico di Derive. Il Lettorenoti l'estrema semplicità con cui ciò viene realizzato, rispetto all'uso di unlinguaggio di programmazione: l'alunno potrà così concentrarsi sui soli aspettigeometrici e matematici del problema senza perdersi nelle minuzie di unlinguaggio di programmazione.

Si farà riferimento alla versione di Derive 2.5 o ad una successiva. Nellascrittura dei "listati" si seguiranno le convenzioni indicate in [1] ed in [2].

Derive è un marchio registrato della Soft Warehouse Inc.

1 - Inizializzazione

{Options Input Mode Word}{Author v:=[[1,1],[1,0],[0,0],[0,1],

[1,1],[1,2],[2,3],[1,4],[1,2]]}

1: =

{Plot Overlay Options State}{Mode Connected Size Small}

{Plot}{<F10>}

Il primo comando serve per fare accettare da Derive come identificatori divariabili anche parole (Word) oltre che singoli caratteri.Viene successivamente definita la matrice v delle coordinate dei vertici dellapoligonale che sarà successivamente utilizzata per gli esempi; naturalmente ilLettore potrà definire un altro insieme di vertici, dato che le successive funzionidi trasformazione saranno definite in modo da essere indipendenti dal numerodei vertici.Il successivo comando, Plot Overlay Options State, serve per accederealle opzioni dell'ambiente di grafica.Si procede successivamente a selezionare Mode Connected e Size Smallper far sì che Derive disegni i vertici indicati nella matrice v in formato piccolo ecollegati tra loro, nell'ordine dato, da segmenti.L'ultimo comando Plot provvede a tracciare la poligonale indicata.Il comando <F10> corrisponde alla pressione del corrispondente tasto funzioneper modificare la scala affinché la figura compaia per intero nello schermo.

2 - I casi più semplici: alcune simmetrie

In questa sede conveniamo di rappresentare i punti come vettori-riga, cioè nellaforma [x, y], invece della più consueta forma di vettori-colonna:

xy

Questo avviene per rendere più semplice la digitazione dei vettori con Derive: èpossibile rappresentare i punti anche nel secondo formato, ma per poterlo fare ènecessario digitare la matrice sotto forma di vettore di vettorimonodimensionali, cioè nella forma [[x], [y]].Per ottenere il corrispondente del punto (x, y) nella simmetria assiale rispettoall'asse delle ascisse, è sufficiente cambiare il segno dell'ordinata.

La cosa può essere presentata sotto forma di prodotto "righe per colonne" tra ilvettore [x, y] e una opportuna matrice di trasformazione:

.[x, y].

1 00 − 1

= [x, −y]

Naturalmente si tratterà di un "prodotto a destra" della matrice.

È quindi facile costruire le funzioni di Derive per ottenere questa ed altretrasformazioni:

{Algebra} {Author simmx(v):= v.[[1,0],[0,-1]]}

2: SIMMX(v) := v . −

{Author simmy(v):= v.[[-1,0],[0,1]]}

3: SIMMY(v) := v .

−

{Author simmbis(v):= v.[[0,1],[1,0]]}

4: SIMMBIS(v) := v .

{Author simmo(v):= v.[[-1,0],[0,-1]]}

5: SIMMO(v) := v .

−−

Sono così definite le funzioni SIMMX, SIMMY, SIMMBIS e SIMMO cheapplicano alla poligonale definita dalla matrice v, rispettivamente, una simmetriaassiale rispetto all'asse delle ascisse, una simmetria assiale rispetto all'asse delleordinate, una simmetria assiale rispetto alla bisettrice del primo e terzoquadrante ed, infine, una simmetria centrale rispetto all'origine del sistema diriferimento.Si noti che il prodotto tra matrici con Derive deve essere esplicitamente indicatocon il carattere di "punto".

D'ora in poi useremo le parole "vettore" e "punto" come sinonimi.

Applichiamo alla matrice v, ad esempio, la simmetria assiale rispetto all'assedelle ordinate:

{Author simmy(v)}6: SIMMY(v)

{Simplify # 6}7: . . . . . . . . . . . .

Nella linea 7, che si ritiene inutile riportare, si ottiene la matrice delle coordinatedei vertici della poligonale ottenuta dalla trasformazione applicata.

{Delete Last}{Algebra}

{Author simmx(simmbis(v))}8: SIMMX(SIMMBIS(v))

{Simplify # 8}9: . . . . . . . . . . .

{Algebra}{Author simmbis(simmx(v))}

10: SIMMBIS(SIMMX(v)){Simplify # 10}

11: . . . . . . . . . . .{Plot}

Ecco come appare lo schermo di grafica selezionando il comando Plot relativoalle espressioni n. 1 e n. 11:

Si può far notare agli alunni la possibilità di applicare direttamente lacomposizione di due (o più) trasformazioni e, come è ovvio, la noncommutatività della composizione.

3 - La rotazione intorno all'origineVogliamo ora ottenere le coordinate del vettore che si ottiene applicando alvettore [x, y] una rotazione di un angolo α in senso antiorario intornoall'origine.Il problema è di facile soluzione e potrebbe essere proposto agli alunni comeesercizio.

Indicando con x, y e con x', y', rispettivamente, le coordinate di P e di P', e conρ la misura della lunghezza dei segmenti OP e OP', avremo:

x = ρ cos β, y = ρ sin β (1)x' = ρ cos(α + β) = ρ cos α cos β − ρ sin α sin βy' = ρ sin(α + β) = ρ sin α cos β + ρ cos α sin β

e quindi, in virtù delle (1),

x' = x cos α − y sin αy' = x sin α + y cos α.

La matrice relativa alla trasformazione desiderata sarà quindi:

cos α sin α−sinα cos α

P

P '

O AA '

αβ

{Delete All}(Algebra}

{Author rot(v,α):=v.[[cosα,sinα],[-sinα,cosα]]}

12: ROT(v,α):=v.

(α) s (α)−s (α) c (α)

{Author rot(v,π/6)}13: ROT(v,π/6)

{Simplify # 13}14: . . . . . . . . . . . .

{Plot Plot Algebra}{Jump to 1 Plot Plot}

I primi comandi servono per cancellare lo schermo di grafica e tornareall'ambiente di Algebra. Dopo aver definito la funzione ROT, questa vieneutilizzata per ottenere la rotazione di un angolo di 30o della poligonale definitadalla matrice v.

Gli ultimi comandi servono per accedere all'ambiente di grafica, tracciare lanuova poligonale, tornare all'ambiente di Algebra ed infine saltare (Jump to)all'espressione numero 1, cioè la matrice v, poi tornare all'ambiente di grafica edinfine tracciare anche la poligonale di partenza.

Si ricordi che per ottenere le lettere greche α e π in Derive, basta premere ilcorrispondente tasto <a> oppure <p> contemporaneamente al tasto <ALT>.

4 - La simmetria rispetto ad una retta per l'origine

Ci comporteremo in modo simile al caso precedente:

Indichiamo con α l'angolo formato dall'asse di simmetria con il semiassepositivo delle ascisse.Restano valide le (1) viste nel caso della rotazione intorno all'origine.

Essendo A'ÔP' = α + (α − β) = 2α − β, e usando gli stessi simboli dell'esempioprecedente, avremo:

x' = ρ cos(2α − β) = ρ cos 2α cos β + ρ sin 2α sin β = x cos 2α + y sin 2αy' = ρ sin(2α − β) = ρ sin 2α cos β − ρ cos 2α sin β = x sin 2α − y cos 2α.

Quindi la matrice relativa alla trasformazione è:

cos 2α sin2αsin 2α − cos 2α

{Algebra}{Author simmass(v,α):=v.[[cos(2α),sin(2α)],

[sin(2α),-cos(2α)]]}

15: SIMMASS(v,α) :=

( α) s ( α)s ( α) − c ( α)

{Author simmass(v,π/3)}16: SIMMASS(v, π/3)

{Simplify}17: . . . . . . . . . . . .

{Plot Delete Butlast}{Plot}

Gli ultimi comandi cancellano l'ambiente di grafica ad eccezione dell'ultimografico (la poligonale definita in v) e tracciano la figura ottenuta da esso

α β

P

P '

A ' AO

attraverso una simmetria assiale avente per asse la retta di equazione y = mx,ove il coefficiente angolare m è la tangente trigonometrica di α = π/3.

Se lo si desidera, si può anche tracciare l'asse di simmetria:

{Author x tan π/3}18: x tan(π/3)

{Plot Plot}

Ecco invece come appare lo schermo di grafica applicando una simmetria assialerispetto alla retta che forma un angolo di 2/3 π con il semiasse positivo delleascisse:

Sarà facile per lo studente verificare, sia manualmente che sfruttando la graficadi Derive, che con α = 0, α = π/4, α = π/2, si ottengono, rispettivamente, lasimmetria assiale rispetto all'asse delle ascisse, rispetto alla bisettrice del primo eterzo quadrante e rispetto all'asse delle ordinate.

5 - La traslazione

È noto che una traslazione del punto (o del vettore) di coordinate (x, y) èindividuata da un vettore [a, b] che, sommato al vettore dato, fornisce il puntodi coordinate (x + a, y + b).Per ottenere la poligonale traslata secondo il vettore [a, b] dovremo quindisommare il vettore a ciascuno dei vettori che individuano la poligonale v.

{Author trasl(v,a,b) := vector([a,b],k,1,dimension(v)) + v}19: TRASL(v,a,b):= VECTOR([a,b],k,1,DIMENSION(v)) +v

{Author trasl(v,3,1)}20: TRASL(v,3,1)

{Simplify}21: . . . . . . . . . . .

{Plot Plot}

Si noti che la funzione TRASL è stata definita costruendo un "vettore di vettori",cioè una matrice con due colonne e con tante righe (tutte uguali al vettore [a, b]che individua la traslazione) quante sono quelle della matrice v data(DIMENSION(v)).

Ormai è giunto il momento di salvare il lavoro finora svolto:{Algebra Transfer Save Derive TRASFOR.MTH}

6 - Alcuni esempi di composizioni

Si possono utilizzare le funzioni "primitive" sopra definite per costruire nuovefunzioni attraverso la loro composizione. Ad esempio la simmetria centrale dicentro [a, b] può essere realizzata come composizione tra:

una traslazione di [−a, −b]; una simmetria centrale rispetto all'origine; una traslazione di [a, b].

{Plot Delete All Algebra Jump to 1}{Plot Plot Algebra}

{Author simmcen(v,a,b) := trasl(simmo(trasl(v,-a,-b)),a,b)}22: SIMMCEN(v,a,b):= TRASL(SIMMO(TRASL(v,-a,-b)), a,b)

{Author simmcen(v,4,1)}23: SIMMCEN(V,4,1)

{Simplify)24: . . . . . . . . . . . .

{Plot Plot}

Come ormai è noto, i primi comandi servono per cancellare l'ambiente di graficae tracciare ancora la poligonale v.Chi lo desidera, può tracciare con il comando Plot anche il centro disimmetria, indicato nella forma [a, b].

Ancora utilizzando le funzioni TRASL e SIMMASS, può facilmente essere definitala funzione SIMMASS2 che fornisce il risultato di una simmetria assiale aventecome asse la retta di equazione y = mx + q.

Sarà sufficiente applicare al vettore v, nell'ordine: una traslazione individuata dal vettore [0, − q]; una simmetria assiale avente come asse la retta, passante per l'origine, di

equazione y = mx e che forma, quindi, un angolo di ampiezzaarctang(m) con il semiasse positivo delle ascisse;

una traslazione individuata dal vettore [0, q].{Delete All Algebra Jump to 1}

{Plot Plot Algebra}{Author simmass2(v,m,q):=trasl(simass

(trasl(v,0,-q),atan(m)),0,q)}25: SIMMASS2(v,m,q):=TRASL(SIMASS (TRASL(v,0,-q), ATAN(m)),0,q)

{Author simmass2(v,3,2)}26: SIMMASS2(v,3,2)

{Simplify}27: . . . . . . . . . . . .

{Plot Plot}

Chi lo desidera, può tracciare con il comando Plot anche l'asse di simmetria,nella forma y = mx + q.Naturalmente la funzione SIMMASS2 non potrà essere utilizzata nel caso di assedi simmetria parallelo all'asse delle ordinate. Costruiremo ora una terzafunzione, SIMMASS3, per ottenere il risultato anche in quest'ultimo caso.È molto facile trovare l'ascissa del punto A' simmetrico di A rispetto a C:

O CA A'

Indicando rispettivamente con a e con k le ascisse di A e di C, avremo:

OA' = OC + CA' = OC + AC = k + (k − a) = 2k − a

L'ascissa di A' può quindi essere ottenuta cambiando il segno all'ascissa a di Aed aggiungendo 2k; di conseguenza la trasformazione desiderata potrà essereottenuta con la composizione di una simmetria assiale rispetto all'asse delleordinate a cui viene successivamente applicata una traslazione secondo il vettore[2k, 0].

{Delete All Algebra Jump to 1}{Plot Plot Algebra}

{Author simmass3(v,k):= trasl(simmy(v),2k,0)}28: SIMMASS3(v,k):=TRASL(SIMMY(V),2K,0)

{Author simmass3(v,4)}29: SIMMASS3(v,4)

{Simplify}30: . . . . . . . . . . . .

{Plot}{Algebra}

Anche in questo caso potrebbe essere utile visualizzare l'asse di simmetria;poichè non è possibile visualizzare direttamente con Derive una retta aventeequazione x = k, si potrebbe ricorrere ad un piccolo trucco definendo laseguente funzione:

{Author retta(k):=[[k, -100],[k, 100]]}

31: RETTA(k) :=

k −

{Author retta(4)}32: RETTA(4)

{Plot Plot}

In realtà così non viene tracciata la retta desiderata ma solo il segmentocongiungente i punti di coordinate (k, − 100), (k, 100): si ricordi che è tuttoraattiva l'opzione State Mode Connected.

7 - Oltre le isometrie

Tutte le trasformazioni finora viste sono isometrie. Accenneremo ora ad alcunetrasformazioni non isometriche: l'omotetia e l'affinità.Per realizzare una omotetia sulla matrice v sarebbe sufficiente moltiplicare v peruno scalare k (rapporto di omotetia) . Per coerenza con le precedentiesposizioni preferiremo realizzarla con il prodotto di v per la matrice

.

k 00 k

{Delete All Algebra Jump to 1}{Plot Plot Algebra}

{Author omot(v,k):=v.[[k,0],[0,k]]}

Essendo il prodotto per uno scalare, non è necessario il simbolo di operazione"punto".

33: OMOT(v,k):=vk

{Author omot(v,2)}34: OMOT(v, 2)

{Simplify}35: . . . . . . . . . . . .

{Plot Plot}

Lasciamo al Lettore il facile compito di costruire la funzione DILAT (v,k,h)che realizza la "dilatazione" della poligonale v di un fattore k lungo la direzionedell'asse delle ascisse e di un fattore h lungo la direzione dell'asse delle ordinate.Concludiamo accennando alla costruzione della funzione che realizza unaaffinità, cioè una trasformazione che fa corrispondere rette a rette e checonserva il parallelismo. Questa trasformazione comprende tutte le precedenticome casi particolari e può essere considerata come ottenuta attraverso ilprodotto della matrice v per una matrice m 2 × 2 (non singolare) a cui è stataapplicata la traslazione individuata dal vettore z.

{Delete All Algebra Jump to 1}{Plot Plot Algebra}

{Author affin(v,m,z):=trasl(v.m,element(z,1),element(z,2))}

36: AFFIN(v,m,z):=TRASL(v.m,ELEMENT(z,1), ELEMENT(z,2))

{Author m:=[[4,3],[1,2]]}

37: m:=

{Author z := [-3,-6]}38: z := [-3, -6]

{Author affin(v,m,z)}39: AFFIN(v,m,z)

{Simplify}39: . . . . . . . . . . . .

{Plot Plot)

La funzione ELEMENT(z,k) fornisce il k-esimo elemento del vettore z.Le linee 37 e 38 servono per definire un esempio su cui operare.Questo è il risultato che appare sullo schermo con i valori proposti:

8 - Cambiamo poligonale

Tutti gli esempi finora visti facevano riferimento alla poligonale v definitaall'inizio, ma potrebbe essere interessante esaminare altre poligonali. Un caso particolarmente interessante e utile è quello in cui si opera con unaconica, in particolare con una circonferenza; ad esempio una circonferenza concentro nell'origine e raggio unitario può essere così "simulata" con unaopportuna poligonale:

{Algebra}{Author circ := vector([cosθ, sinθ], θ ,0,2π,π/12)}

40: CIRC := VECTOR([COS(θ), SIN(θ)],θ,0,2π,π/12){Author circ}

41: CIRC{approX}

42: . . . . . . . . . . . . {Plot Plot Algebra}

{Author affin(circ,a,z)}41: AFFIN(CIRC,a,z)

{approX}42: . . . . . . . . . . . .

{Plot Plot}

Si consiglia di usare il comando approX invece del comando Simplify perrendere più veloce l'esecuzione dei calcoli da parte di Derive.

Analogamente può essere definito, ad esempio, un opportuno vettore per"simulare" una parabola con il vertice nell'origine:

para:= vector([x,x^2],x,-10,10,0.2)

9 - Un cenno sulla proiettività

Ci limiteremo, vedi [3], a considerare il caso particolare descritto nella seguentefigura in cui al punto P sul piano π viene fatto corrispondere sul piano π' ilpunto P' allineato con esso e con il centro S; si noti in particolare che sul pianoπ l'asse delle ascisse è la retta limite, cioè la retta appartenente al piano per Sparallelo a π'; analogamente l'asse delle ascisse sul piano π' è la retta limite, valea dire la retta appartenente al piano per S parallelo a π. Le rette limite sono lerette, rispettivamente di π e di π', a cui non corrisponde sull'altro piano alcunaretta. L'asse delle ordinate, rispettivamente su π e su π', è la retta individuata dal pianoper S perpendicolare a π ed a π'.

P

S

P '

O

O '

x

y

x '

y '

π

π

'

È possibile dimostrare (v. ancora [3]) che le coordinate di P' sono

x = b xy

y = a by

ove a e b indicano rispettivamente le misure dei segmenti OS ed O'S.Ecco come costruire una funzione di Derive per realizzare questo tipo diproiettività applicata alla poligonale v:

PROIETT(v,a,b):=VECTOR([ELEMENT(v,k,1)b/ELEMENT(v,k,2),ab/ELEMENT(v,k,2)],k,1,DIMENSION(v))

Viene così costruito una nuova poligonale, cioè un nuovo "vettore di vettori"avente la stessa dimensione di v e le cui componenti sono i corrispondenti deipunti di v stesso.

Una applicazione interessante potrebbe essere quella di sottoporre a questatrasformazione le circonferenze di raggio unitario e centro, rispettivamente,(0,0), (0,1), (0,2), (0,3).

Ecco ciò che appare sullo schermo di grafica con a = 1 e b = 3:

10 - Come utilizzare questi strumenti

Se si segue una impostazione di tipo "tradizionale" sarà opportuno utilizzarequeste funzioni come "scatole nere", senza indagare su come sono statecostruite; se invece si segue una impostazione che potremmo chiamare"vettoriale", la costruzione di queste e di altre funzioni sarà esercizio facile manon banale per applicare le cose viste a lezione. Ad esempio l'insegnantepotrebbe proporre ai propri alunni come esercizio, dopo aver commentato lafunzione SIMMBIS, la costruzione della simmetria rispetto alla bisettrice delsecondo e quarto quadrante.Le funzioni viste si prestano ad una impostazione induttiva basata sulla scopertaguidata: ad esempio ci si potrebbe chiedere per tutte le isometrie (tranne latraslazione) di esaminare il valore del determinante della matrice corrispondentee di formulare ipotesi sui valori ottenuti per giungere così al concetto diisometria diretta o inversa.Si potrebbero inoltre proporre esperimenti per arrivare al prodotto tra matricicome matrice corrispondente alla composizione delle corrispondentitrasformazioni.Insomma, come sempre l'unico limite è la fantasia dell'insegnante.....

Bibliografia

[1] G. C. Barozzi, DERIVE: un sistema di calcolo simbolico al servizio delladidattica, La matematica e la sua didattica, n. 2, 1990.

[2] S. Cappuccio, Per un uso "creativo" del laboratorio di informatica, Lamatematica e la sua didattica, n. 4, 1993.

[3] Castelnuovo, Gori Giorgi, Valenti, Matematica oggi, vol. 2, La NuovaItalia, Firenze, 1992.

[4] C. Mammana, B. Micale, Gruppi di trasformazioni geometriche egeometria elementare - Geometria del piano, La matematica e la sua didattican. 2 1991.

Summary

Subject of this paper is "Geometric Transformations with Derive".

A vector-oriented study of Geometry is assumed.

Some Derive functions are built to execute isometric transformations

like: axial symmetry, central symmetry, rotation, translation.

Examples are given about composite transformations.

There is also some information about functions for non-isometric

transformations like particular cases of homothety, affine and

projective transformations.

Finally the paper gives teachers some suggestion and proposal about

the use of these functions in classrooms.