LABORATORIO di DIDATTICA DELLA...

S.S.I.S. a.a. 2006/07

LABORATORIO

di DIDATTICA DELLA MATEMATICA

Percorso didattico sulle

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Laura Recine

Laura Recine – SSIS 2006/07

Le trasformazioni geometriche

1. Trasformazioni lineari.

Premettiamo alcune definizioni. Sia 22: RRT → una trasformazione che faccia corrispondere ad ogni elemento 2),( Ryxu ∈= un elemento 2)','( Ryxv ∈= . Tale legge si dice applicazione lineare se per ogni scelta di u e v e per ogni α reale si ha

)()()( vTuTvuT +=+

)()( uTuT αα = .

Quindi definiamo trasformazione geometrica del piano in sé ogni applicazione tra le coordinate di punti del piano. Le trasformazioni biunivoche sono suddivise in: affinità, similitudini ed isometrie. Queste ultime comprendono le traslazioni, le rotazioni e le simmetrie.

I percorsi didattici possibili sono due. Si può introdurre inizialmente lo studio delle isometrie e, poi, generalizzare alle similitudini ed alle affinità oppure riconoscere che considerare tutte le trasforma-zioni geometriche biunivoche sono affinità eventualmente dotate di ulteriori proprietà. Nella tratta-zione seguiremo quest’ultimo percorso.

2. Le affinità.

Definizione 2.1. Si definisce affinità la trasformazione del piano in se stesso che, ad ogni punto ),( yxP associa il punto ),(' YXP definito dalla relazione

++=++=

222

111

cybxaYcybxaX

ovvero, in forma matriciale,

+

=

qp

yx

AYX

con

=

22

11

baba

A

tali che A abbia determinante non nullo (cioè )0)det( 1221 ≠−= babaA , 1c e 2c siano costanti. Se )01221 >− baba l’affinità si dice diretta, altrimenti inversa.

Osserviamo che, per quanto sopra, l’affinità si dice diretta se viene mantenuta l’orientazione degli angoli. Inoltre, definita )det(Ak = , la costante di affinità, la condizione 0≠k è condizione neces-saria e sufficiente affinché il sistema ammetta una ed una sola soluzione o, equivalentemente, che la trasformazione sia biunivoca e, quindi, invertibile. Illustriamo ciò con un esempio. Sia data la tra-sformazione definita da

2


+=++=yxY

yxX36

12

Otteniamo 33 −= XY ossia l’immagine della trasformazione è la retta trovata.

Dimostriamo la proprietà caratteristica delle affinità.

Teorema 2.2 Le affinità trasformano rette in rette e conservano il parallelismo fra rette.

Dim. Le affinità trasformano rette in rette per la linearità della trasformazione. Per dimostrare che mantengono il parallelismo procediamo per assurdo. Supponiamo, pertanto che, date due rette r ed s parallele fra loro siano )(' rTr = , )(' sTs = e ''' srP ∩= . Pertanto risulterebbe srPTP ∩== − )'(1 e, quindi, si ha la tesi.

Un’ulteriore proprietà delle affinità discende immediatamente dalla linearità.

Teorema 2.3 Le affinità conservano il punto medio di un segmento.

Dimostriamo che le affinità conservano il rapporto fra segmenti paralleli e quello fra le aree.

Teorema 2.4 Le affinità conservano il rapporto tra segmenti allineati (o paralleli).

Dim. Poiché una traslazione non altera le lunghezze dei segmenti, possiamo limitarci al caso in cui 021 == cc e, analogamente, provare la tesi solo nel caso di segmenti paralleli all’asse x. Infatti sia-

no )0,( 1xA = e )0,( 2xB . Allora 12 xxAB −= . Pertanto, indicati con ),(' 11 YXA = e ),(' 22 YXB = , i rispettivi punti corrispondenti, si ha

==

121

111

xaYxaX

e

==

222

212

xaYxaX

da cui segue

ABaaxxaaxxaxxaBA ⋅+=−+=−+−= 22

2112

22

2112

22

212

21 )²()('' .

Analogamente se il segmento dato fosse parallelo all’asse y, troveremmo ABbbBA ⋅+= 22

21'' .

Teorema 2.5 In un’affinità è costante il rapporto fra le aree. Inoltre se S è l’area di una regione li-mitata F del piano e sia S’ l’area della sua trasformata affine F’ si ha kSS =' .

Dim. Analogamente al teorema precedente possiamo limitarci al caso in cui 021 == cc e, analoga-mente, provare la tesi solo nel caso di triangoli rettangoli in quanto ogni triangolo è suddivisibile in due triangoli rettangoli. Inoltre possiamo supporre che i cateti del triangolo dato giacciano sugli

assi coordinati. Pertanto, posto )0,( 1xA = e ),0( 2yB , segue 2121 yxS = , ( )1211 ,' xaxaA e

( )1211 ,' ybybB . Vediamo tre diverse dimostrazioni del teorema, di cui solo le prime due presentabili in classe secondo i programmi svolti (del triennio), mentre l’ultima utilizza gli integrali doppi.

3


1. L’area di un triangolo è data dalla seminorma del prodotto vettoriale. Pertanto

( ) SkyxbabaS21

21' 211221 =−= .

2. Poiché il coefficiente angolare della retta '0A è 1

21 a

am = e quello della retta '0B è 1

22 b

bm = , posto

'0' BA=α , si ha

2121

1221

21

12

1tan

bbaababa

mmmm

+−

=+

−=α

Dalla formula

ααα

2tan1

tansin+±

=

essendo 0sin >α si ottiene

21

22

22

21

22

21

22

21

1221sinbababbaa

baba

+++

−=α .

Dalla formula 'ˆ'sin''021 BOAOBAS ⋅= , svolgendo i calcoli, si ha la tesi.

3. Indicato con J lo jacobiano della trasformazione, si ha

122122

11detdet babababa

yY

xY

yX

xX

J −=

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

da cui segue

∫ ∫ ∫ ∫ ==='

'F F

SkdxdyJdXdYS

Pertanto è costante il rapporto fra le aree di una regione e quella della sua trasformata.

Il risultato precedente permette di dimostrare facilmente che l’area della regione racchiusa da un’ellisse di semiassi a e b è data dalla formula abS π= . Infatti si considerino il cerchio C di cen-tro l’origine e raggio a, e il quadrato ad esso circoscritto, Q. Il rapporto fra le aree è

44)()(

2

2 ππ ===aa

QSCSr .

4


Sia T l’affinità definita da:

=

=

yabY

xX

Allora T(Q) è il rettangolo R centrato nell’origine di lati 2a e 2b, mentre T(C) è la regione interna all’ellisse. Pertanto risulta

.4

4)( ababrRSS ππ ===

Definizione 2.6 Un figura F si dice convessa se, per ogni coppia di punti FBA ∈, , il segmento AB è interamente contenuto in essa.

Ad esempio il cerchio è convesso, mentre non lo è la circonferenza. Poiché in un’affinità i segmenti si trasformano in segmenti, la convessità è una proprietà invariante delle affinità.

Vediamo alcuni esercizi che possono essere inseriti all’interno di un percorso scolastico.

Esempio 1. Data l’affinità T di equazioni

−=++=

yxYyxX 132

il trapezio rettangolo di vertici )1,1(A , )1,5(B , )3,2(C e )3,1(D , il rettangolo di vertici ABED ove )3,5(E , calcolare:

• i rispettivi trasformati (nella figura il trapezio e il suo trasformato),• le aree delle figure piane date• le aree delle figure trasformate.

Verificare le proprietà delle affinità e, poi, introdurre tali trasformazioni in generale.

Figura 1

Esempio 2. Data l’affinità T di equazioni

5


+=+=

yxYyxX

2 da cui si ricava

−=−=XYy

YXx 2

e calcoliamo T(C) ove C è il cerchio di centro l’origine e raggio unitario, ossia di equazione .1²² =+ yx

Sostituendo, si ottiene

1625 22 =−+ XYYX

che rappresenta un’ellisse ruotata, come è evidenziato nella figura 2.

Figura 2

Osserviamo che riconoscere il carattere di una conica ruotata esula dai programmi scolastici, ma con l’utilizzo di un software idoneo, si possono rappresentare graficamente, anche senza saper fare i relativi calcoli algebrici. Studiare il carattere della forma quadratica non sarebbe sufficiente, ma possiamo elencare alcuni esempi, pensati al fine di ampliare l’argomento:

1) l’equazione 0²2² =−− yxyx rappresenta le rette xy −= e xy21= ;

2) l’equazione 1²2² =−− yxyx rappresenta l’iperbole in figura 3;3) l’equazione 0²22 =−+− yyxyx rappresenta la parabola in figura 4;4) l’equazione 0²22 =+− yxyx rappresenta la retta xy = contata due volte.

Figura 3

6


Figura 4

Osserviamo che l’iperbole può essere vista come ottenuta dalla deformazione di una coppia di rette, mentre la parabola può essere ottenuta piegando una retta. Infatti notiamo che le equazioni 1) e 2) hanno la stessa forma quadratica e così pure le equazioni 3) e 4). La differenza, da un punto di vista algebrico, è che nei casi 1) e 4) la matrice associata alla conica è degenere. Infatti, data una conica nella forma

0222²: 3323132

221211 =+++++ ayaxayaxyaxaγ ,

si costruiscono la matrice associata alla conica

=

332313

232212

131211

1

aaaaaaaaa

A

e quella associata alla forma quadratica

=

2212

1211

aaaa

A .

Allora se ( ) 0det 1 =A , la conica è degenere, quindi, se è a punti reali, rappresenta una coppia di ret-te. Se la conica non è degenere, siano 1λ , 2λ gli autovalori della matrice A, allora:

se 021 <λλ si ha un’iperbole, se 021 >λλ si ha un’ellisse (da verificare se a punti reali), se esiste 0=λ si ha una parabola.

Inoltre se 021 ≠λλ , in un opportuno sistema di riferimento, la conica assume la forma

δλλ =+ 22

21 YX ove

( )21

1detλλ

δ A−= .

3. Similitudini e omotetie.

Definizione 3.1 Si definisce similitudine la trasformazione del piano che conserva il rapporto fra ogni segmento ed il suo trasformato; tale rapporto si dice rapporto di similitudine.

7


Le similitudini sono un caso particolare di affinità e studiamo la struttura delle corrispondenti matri-ci. Dalla definizione, segue che la similitudine conserva anche gli angoli e, quindi, anche la perpen-dicolarità. Le equazioni, in forma vettoriale, risultano

+

=

2

1

22

11

cc

yx

baba

YX

con le condizioni:

02211 =+ baba ∧ 22

21

22

21 bbaa +=+ .

Si prova che il rapporto di similitudine è ²² ba +=ρ .

Definizione 3.2 Fissato 0≠λ , si definisce omotetia di centro ),( βα=C e rapporto λ la trasfor-mazione del piano che, ad ogni vettore CP − associa il vettore ( )CPCP −=− λ' . L’omotetia si dice diretta se 0>λ , in caso contrario inversa. Se 1>λ , l’omotetia viene detta dilatazione, se

1<λ contrazione.

Pertanto le omotetie rappresentano un sottoinsieme delle similitudini e ogni similitudine può essere ottenuta dalla composizione di una omotetia e di un’isometria (come definita nel paragrafo seguen-te). La matrice associata è diagonale cioè del tipo

λ

λ0

0.

4. Le isometrie

Definizione 4.1 Si definisce isometria ogni trasformazione del piano che mantiene inalterate le lun-ghezze.

Come noto, le isometrie mantengono, conseguentemente, anche gli angoli e possono essere viste come una particolare similitudine con rapporto .1=ρ Pertanto le equazioni delle isometrie sono dei seguenti tipi:

+α±α=+αα=

q)cos(y)sin(xYp)sin(y)cos(xX

Osserviamo che comprendono le roto-traslazioni. Infatti si hanno:

le traslazioni se 0=α , le rotazioni se 0== qp , la simmetria centrale di centro ),( qpC = se πα = , l’identità se 00 ==∧= qpα .

In particolare la simmetria assiale rispetto all’asse x ha equazione

8


=−=yYxX

mentre rispetto all’asse y ha equazione

−==

yYxX

Le simmetrie assiali rispetto ad assi paralleli agli assi coordinati possono essere viste come compo-sizione di una traslazione e di una simmetria rispetto agli assi coordinati.

Invece nel caso di simmetria rispetto a rette non parallele agli assi la trasformazione complessiva comprenderà anche una rotazione. Quindi cerchiamo le equazioni delle simmetrie assiali rispetto ad una retta r non parallela agli assi, cioè del tipo pmxy += con 0≠m . Innanzitutto operiamo una traslazione nel punto ),0( pP = . Pertanto segue

−==

pyYxX

Ruotiamo gli assi in modo che l’asse X coincida con la retta r e, quindi la rotazione è secondo l’an-golo )arctan(m=α e poi concludiamo con la simmetria rispetto al nuovo asse delle ascisse.

Possiamo riassumere le trasformazioni geometriche viste con il seguente schema:

Vediamo alcune applicazioni delle trasformazioni geometriche ai grafici delle funzioni

5. Grafici di funzioni e simmetrie.

Definizione 5.1 Sia data RDf →: . Allora f si dice dispari se Dx ∈∀ si ha )()( xfxf −−= , cioè se è simmetrica rispetto all’origine; si dice pari se Dx ∈∀ si ha )()( xfxf −= , cioè se è simmetri-ca rispetto all’asse y. Studiamo l’eventuale esistenza di un centro di simmetria. In generale nel piano sia data la curva grafico dell’equazione implicita 0),( =yxf . Allora cerchiamo se esiste un punto ( )CC yxP , rispet-to a cui la curva sia dispari.

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Esempio 3. Sia data la curva di equazione xxxy 44 23 +−= rappresentata in figura e determiniamo algebricamente il centro di simmetria ( )CC yxP , .

Pertanto eseguiamo una traslazione di assi nel punto P, ottenendo

+=+=

C

C

yYyxXx

.

Sostituendo, risulta( ) ( ) ( )CCCC xXxXxXyY +++−+=+ 44 23

da cui, imponendo la condizione che la funzione sia dispari rispetto alle nuove coordinate, segue( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CCCCCCCC yxXxXxXyxXxXxX ++−−+−++−−=−+++−+ 4444 2323

Pertanto, semplificando e ricordando che il punto P giace sulla curva ovvero CCCC xxxy 44 23 +−= , si

conclude

=

2716,

34P .

Osserviamo che, in generale, se ( )CC yxP , è il centro di simmetria, denotate con X e Y le nuove coordinate, possiamo considerare P come il punto medio fra i punti generici delle curve ),( yx e

),( YX cioè

+=

+=

2

2Yyy

Xxx

C

C

da cui si ha

−=−=

YyyXxx

C

C

22

che sostituite, forniscono l’equazione della nuova curva.

Esempio 4. Data la parabola di equazione ²xy = , si determini il grafico simmetrico rispetto al pun-to ( ).2,3P

Svolgendo i calcoli come sopra descritto proviamo che la curva richiesta è la parabola di equazione 32122 −+−= xxy ; i grafici sono rappresentati nella figura sottostante.

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6. Grafici di funzioni e rotazioni.

Nel primo esempio vediamo la trasformazione dell’equazione di una conica con una rotazione; nel secondo utilizziamo le formule di rotazione degli assi per ridurre una conica in forma canonica nel caso in cui i suoi assi di simmetria non siano paralleli a quelli coordinati.

Esempio 5. Sia data l’ellisse di centro l’origine e semiassi 1=a e 2=b e si consideri la rotazione

dell’angolo 6πα = . Pertanto l’equazione data è 4²²4 =+ yx . Dalle formule di rotazione si ha

−=

−=

yx

yx

YX

3113

21

cossinsincos

αααα

da cui si ha

−=

YX

yx

3113

21

Sostituendo segue

423

21

21

234

22

=

+−+

+ YXYX

da cui concludiamo01673613 22 =−++ YXYX .

Esempio 6. Data la conica di equazione 01673613 22 =−++ yxyx , si determinino i suoi assi di simmetria.

Applichiamo le formule di rotazione degli assi, ottenendo

⋅⋅

⋅−⋅=

−=

YXYX

YX

yx

αααα

αααα

cossinsincos

cossinsincos

da cui, sostituendo e imponendo la condizione che il coefficiente del termine XY sia nullo, risulta ( ) ( ) 02sin2cos3 =− αα , da cui si conclude °= 30α .

Sostituendo il valore trovato nell’equazione data, si ha( ) ( )( ) ( ) 064373336313

22=−+++−+− yxyxyxyx

che, semplificata, diventa 44 22 =+ yx ; è l’equazione dell’ellisse iniziale.

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7. Grafici di funzioni trasformati secondo un’affinità.

Esempio 7. Tracciare il grafico della funzione

−−=

32sin3 πxy .

Consideriamo la funzione XY sin= e sia T l’affinità definita da

−=

−=

yY

xX

31

32 π

Pertanto l’affinità T trasforma il grafico della funzione XY sin= nel grafico richiesto. Quindi, per ottenere il grafico richiesto, tracciamo i grafici delle funzioni elencate:

1) )sin(xy = ,

2)

−=

6sin πxy ottenuta traslando la 1) verso destra di

6π

,

3)

−=

62sin πxy ottenuta dalla 2) con la contrazione delle ascisse secondo il fattore 2,

4)

−=

32sin3 πxy ottenuta dalla 3) con la dilatazione delle ordinate secondo il fattore 3,

5)

−−=

32sin3 πxy ottenuta dalla 4) con la simmetria rispetto all’asse delle ascisse.

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8. Un’applicazione della simmetria assiale: lo specchio parabolico.

Uno specchio parabolico convoglia nel fuoco tutti i raggi incidenti che giungano parallelamente all’asse dello specchio.Per dimostrarlo utilizziamo un sistema di assi cartesiani con il vertice nell’origine e l’asse delle or-dinate coincidente con l’asse della parabola che rappresenta lo specchio. Pertanto la parabola ha equazione 2axy = con .0a > Consideriamo un raggio incidente in un punto ( )00 y,xP = . La retta tangente alla parabola in P ha equazione

200 axxax2y −=

e la normale ha equazione 20

0

axa2

1xax21y ++−=

Per la proprietà della riflessione, l’angolo incidente e l’angolo riflesso sono uguali. Osserviamo che, se P coincide con il vertice non vi è nulla da dimostrare. Altrimenti l’angolo di incidenza è dato da

0ax21arctani −=

Quindi l’equazione della retta che rappresenta il raggio riflesso ha coefficiente angolare m tale che

( ) ( )( )

( ) 0

20

22

ax41xa4

i2tan2itan1

i2tan1i2coti2

2tanm −=−−=−=−=

+π=

Pertanto il raggio riflesso ha equazione

a41x

ax41xa4

y0

20

2

+−

=

quindi passa per il fuoco

=

a41,0F . Il grafico riportato

illustra quanto descritto.

Lo specchio parabolico viene utilizzato nei fari delle auto e delle moto. Infatti i raggi luminosi incidenti, che giungono paralleli all’asse del faro, vengono convogliati in un unico punto. Facendo ruotare la parabola attorno al suo asse, si ottie-ne un paraboloide di rotazione. Posto l’asse z coinciden-te con l’asse della parabola e supponendo che la parabo-la abbia equazione 2axy = , il paraboloide ottenuto ha equazione ( )22 yxaz += . Questa superficie è il modello matematico delle antenne satellitari, dette comunemente “parabole”. Infatti la loro orientazione permette ai se-gnali provenienti dai satelliti artificiali in orbita geosta-zionaria di giungere all’antenna secondo una traiettoria rettilinea e, quindi, di venir convogliati nel punto corrispondente al fuoco per essere poi trasmessi al ricevitore.

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9. Strutture algebriche e trasformazioni geometriche.

Richiamiamo le definizioni di struttura algebrica ed in particolare di gruppo.

Definizione. Siano A un insieme e sia AAxA: →ϕ un’applicazione. Allora AAxA: →ϕ si defi-nisce legge di composizione in A e scriviamo baba =),(ϕ ; ϕ si dice associativa se, per ogni

Ac,b,a ∈ , risulta )cb(ac)ba( = . L’insieme A, dotato della legge di composizione ϕ, si defi-nisce monoide. Se esiste un elemento Ae ∈ tale che aeea = per ogni Aa ∈ , allora e si defini-sce identità e A si dice monoide con identità.

Definizione.. Si dice che Aa ∈ è invertibile se esiste un (unico) elemento b, indicato, rispettiva-mente, con a− oppure 1−a tale che eabba == .

Definizione. Un monoide A si definisce gruppo se verifica le seguenti proprietà:• esiste un’unica identità,• ogni elemento Aa ∈ è invertibile.

Si definisce commutativo se, per ogni coppia di elementi Ab,a ∈ risulta abba = .

Con ovvie notazioni, segue che sono gruppi commutativi:

1. le affinità,2. le similitudini,3. le isometrie,4. le traslazioni, 5. le rotazioni di centro O.

1. È evidente che le affinità formano un gruppo. Infatti, date le equazioni,

++=++=

222

111

cybxaYcybxaX

la condizione 0baba 1221 ≠− equivale ad avere il determinante della matrice non nullo e, quin-di, è una matrice invertibile. In forma matriciale data l’affinità definita da

+

=

qp

yx

AYX

con

=

22

11

baba

A

Pertanto l’affinità inversa è data da

−−

=

−

qYpX

Ayx 1 .

2. Si verifica subito che le similitudini formano un gruppo commutativo procedendo in modo ana-logo a quanto visto per le affinità.

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Invece non esiste il gruppo delle omotetie, ma quello “delle omotetie e delle traslazioni” in quanto il prodotto di due omotetie può essere una traslazione. Infatti sia data l’omotetia σ di centro l’origine equazioni

==

σky'ykx'x

:

e sia data l’omotetia ϕ di centro ),( baP definita da

−=−

−=−ϕ

)by(k1b'y

)ax(k1a'x

:

Quindi la trasformazione σϕ è definita dalle equazioni

−+=

−+=

)bky(k1b'y

)akx(k1a'x

ossia

+=+=

hby'yhax'x

ove k11h −=

che è una traslazione secondo il vettore )hb,ha(v = .

3. E’ evidente che le isometrie formano un gruppo commutativo. Vediamo il caso particolare delle simmetrie.

Dimostriamo che le simmetrie ad assi perpendicolari formano un gruppo commutativo, studian-do il prodotto di due di esse. Il risultato che si ottiene è una simmetria centrale di centro il punto di intersezione degli assi considerati. Per vedere che si tratta di una simmetria centrale basta pensare che gli assi siano quelli cartesiani; in tal caso si opera una simmetria prima rispetto ad un asse poi all’altro e si verifica che si ottiene la simmetria rispetto all’origine. E’ importante notare che la trasformazione ottenuta non dipende dalla scelta delle due perpendicolari, ma sol-tanto dal punto O della loro intersezione; pertanto è la simmetria centrale di centro O.

Inoltre le simmetrie centrali possono essere viste come rotazioni di 180° e, viceversa ogni rota-zione può essere ottenuta come prodotto di due simmetrie assiali ad assi concorrenti (basta che l’angolo formato dagli assi sia la metà dell’angolo di rotazione).

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Tuttavia non tutti i tipi di trasformazioni geometriche danno origine ad un gruppo. Infatti com-ponendo due simmetrie ad assi paralleli si ottiene una traslazione di ampiezza doppia della di-stanza fra gli assi. Pertanto ogni traslazione si può considerare il prodotto di due simmetrie ad assi paralleli. Inoltre la composizione di una simmetria assiale con una traslazione dà origine a una trasformazione detta glissosimmetria.

4. Dimostriamo che le traslazioni formano un sottogruppo delle isometrie. Infatti sia vt la trasla-zione definita dal vettore v e sia wt quella definita dal vettore w. Allora:• l’elemento nullo è rappresentato dalla traslazione nulla,• la traslazione wvwv ttt =+ è definita dal vettore somma wv + ,• l’elemento inverso è la traslazione vt − .

5. Il prodotto di due rotazioni con lo stesso centro O è una rotazione ancora di centro O; pertanto l’insieme delle rotazioni di centro O è un gruppo. Inoltre fissata una rotazione R, le sue potenze

2R , 3R , 1−R ,… formano un gruppo. Se l’ampiezza della rotazione R è la n-esima parte dell’an-golo giro, questo gruppo ha n elementi. Più in generale, se il rapporto tra l’ampiezza di rotazio-ne e quella di un angolo giro è un numero razionale, il gruppo ha un numero finito di elementi; in caso contrario il gruppo ha infiniti elementi essendo le potenze di R tutte distinte l’una dal-l’altra.

10. Punti fissi delle isometrie

Un punto P si dice punto fisso di una trasformazione f del piano se PPf =)( . Un’altra classifica-zione delle isometrie del piano è quella fatta in base al luogo dei loro punti fissi.

Proposizione. Se un’isometria lascia fissi 3 punti non allineati, essa lascia fissi tutti i punti del pia-no ed è perciò l’identità.

Un’isometria che lasci fissi due punti distinti lascia fissa tutta la retta passante per essi; pertanto è l’identità o la simmetria rispetto alla retta.

Data una retta a indichiamo con aσ la simmetria attorno alla retta a. Cerchiamo i punti fissi della isometria ottenuta componendo due simmetrie. Abbiamo:

Proposizione. Siano a e b due rette distinte del piano. Se esse sono incidenti, il loro punto comune O è l’unico punto fisso dell’isometria ba σσ . Se esse sono parallele allora l’isometria ba σσ non ha punti fissi.

Dimostrazione. Dimostriamo che O è un punto fisso dell’isometria ba σσ . Infatti risulta ( ) ( ) OOO ba =σσ da cui segue O)O())O(( aba =σ=σσ . Per vedere la seconda parte, supponia-

mo che P sia un punto fisso dell’isometria ba σσ . Sia )P(Q bσ= . Se P=Q, allora bP ∈ perché i punti lasciati fissi dalla simmetria bσ sono tutti e soli i punti della retta b. Inoltre, poiché

)P())P((P aba σ=σσ= , il punto P è lasciato fisso anche dalla simmetria aσ e dunque aP ∈ . Quindi le rette a e b hanno in comune il punto P ed essendo distinte sono incidenti in P. Se fosse

QP ≠ , allora la b sarebbe l’asse del segmento PQ. Analogamente per la retta a e quindi dovrebbe-ro coincidere, contro l’ipotesi che fossero distinte.

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Vediamo che la rotazione di centro O può essere considerata come composizione di due simmetrie intorno a rette passanti per O. Pertanto, diversamente da quanto abbiamo fatto, si possono porre le seguenti definizioni:

Sia O un punto del piano. Definiamo rotazione di centro O la composizione di due simmetrie assia-li intorno a rette passanti per O. Definiamo traslazioni le composizioni di due simmetrie intorno a rette parallele.

Osserviamo che sia nella definizione delle rotazioni intorno ad un centro O che in quella delle tra-slazioni non si è esclusa la possibilità di effettuare le due simmetrie intorno alla stessa retta: ciò per-mette di considerare l’identità sia come una rotazione (rotazione nulla rispetto a qualsiasi centro), che come traslazione (traslazione nulla).

Definizione. Definiamo antitraslazione la composizione della simmetria assiale rispetto ad una ret-ta e di una rotazione non nulla.

Proposizione. Le antitraslazioni sono isometrie prive di punti fissi.

Si ha il seguente risultato che non dimostriamo.

Proposizione. Ogni isometria del piano appartiene ad uno solo dei seguenti tipi:• l’identità;• simmetrie rispetto ad una retta;• rotazioni proprie, che sono composizioni di due simmetrie rispetto a rette incidenti;• traslazioni proprie, che sono composizioni di due simmetrie rispetto a rette parallele distinte;• antitraslazioni, che sono composizioni di una simmetria e di una rotazione rispetto ad un cen-

tro non appartenente all’asse del ribaltamento.

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11. Le trasformazioni geometriche negli Esami di Stato di Liceo Scientifico.

In questo paragrafo esaminiamo alcuni dei quesiti che sono stai proposti negli Esami conclusivi di Scuola Secondaria di secondo grado per il Liceo Scientifico, in corsi di ordinamento oppure speri-mentali: Piano Nazionale Informatica e Brocca indirizzo Scientifico Tecnologico.

1) Ordinamento – 2004 – Problema 1 (estratto)Sia f la funzione definita da: 332)( xxxf −= .

1. Disegnate il grafico G di f.

2. Determinate la funzione g il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta 94=y .

Soluzione

1. La funzione 332)( xxxf −= è definita in tutto l’asse reale e si mostra che il grafico è come in figura.

2. Osserviamo che, per ogni x, il punto

94,x è il punto medio del segmento di estremi

( ))(, xfx e ( ).)(, xgx Pertanto si ha 94

2)()( =+ xgxf

da cui 9823)(

98)( 3 +−=−= xxxfxg .

2) Sperimentali - 2004 – Quesito 3. Un solido viene trasformato mediante una similitudine di rapporto 3. Come varia il suo volume? Come varia l'area della sua superficie?

SoluzioneIndicati, rispettivamente, con V ed A il volume e l’area della superficie del solido dato e con V’ e A’ quelli del solido trasformato, si ha VV 27' = e AA 9'=

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3) Sperimentali - 2004 – Quesito 10. Nel piano è data la seguente trasformazione:

33yxy

yxx+→

−→

Di quale trasformazione si tratta?

SoluzionePer semplicità, indichiamo le nuove coordinate con x’ e y’. Allora il sistema dato può essere ri-scritto nella forma

+=

−=

≡+=

−=

yxy

yxx

yxyyxx

23

212'

21

232'

3'3'

Pertanto è la composizione di una dilatazione secondo il fattore 2 lungo entrambi gli assi e di una rotazione di un angolo di 30° in senso antiorario; la trasformazione risultante è, quindi, una similitudine con rapporto .2=kLa soluzione può essere svolta anche in modo alternativo. Siano ( )0,11 =e ed ( )1,02 =e i verso-ri degli assi coordinati. Indicata con σ la trasformazione si ha ( ) ( )1,31 =eσ e

( ) ( )3,12 −=eσ . Poiché ( ) ( )21 ee σσ ⊥ ed inoltre ( ) ( ) 211 == ee σσ , la trasformazione data conserva gli angoli ed è una dilatazione secondo il fattore 2; pertanto è una similitudine con

.2=k

4) Sperimentali - 2005 – Quesito 3. Si determinino le equazioni di due simmetrie assiali σ e ϕ la cui composizione ϕσ dia luogo alla traslazione di equazione:

−=+=

5'5'

yyxx

Si determinino poi le equazioni della trasformazione che si ottiene componendo le due simme-trie in ordine inverso σϕ .

Soluzione

Il vettore della traslazione risulta 'v OO= dove ( )5,5' −=O da cui 52v ==d ; inoltre la retta 'OO è la bisettrice del II e IV quadrante. Quindi, poiché componendo due simmetrie assia-li ad assi paralleli si ottiene una traslazione di ampiezza doppia della distanza fra gli assi, consi-deriamo le simmetrie assiali rispetto alle rette, indicate con a e b, parallele alla bisettrice del I e

III quadrante, passanti per i punti

−=

45,

45A e

−=

453,

453B . Pertanto gli assi di

simmetria sono le rette:

a: 25xy −=

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b: 2

53xy −= .

La retta r, passante per ( )000 y,xP = e parallela al vettore v , ha equazione:r: 00 yxxy ++−= .

Indicati, rispettivamente con H e K i punti di intersezione di r con a e b,, si ha:

−

++

+=

45

2yx

,45

2yx

H 0000

−

++

+=

453

2yx

,4

532

yxK 0000 .

Il punto simmetrico di 0P rispetto all’asse a è ( )111 y,xP = tale che H sia il punto medio del

segmento 10PP , da cui segue

−+=

25x,

25yP 001 . Quindi la simmetria assiale ϕ è defini-

ta dalle equazioni:

−=

+=ϕ

25xy

25yx

:

1

1

Analogamente la simmetria assiale σ è definita dalle equazioni:

−=

+=σ

253xy

253yx

:

1

1

Si verifica che ( )( ) ( )5,5P0 −=ϕσ . Applicando le trasformazioni ϕ e σ in senso inverso si

ha ( )( ) ( )5y,5x2

53x,2

53yP0 +−=

−+ϕ=σϕ , da cui segue che la trasformazione ot-

tenuta è traslazione simmetrica di quella data, ovvero ha equazione:

+=−=

5y"y5x"x

Il grafico sotto riportato evidenzia quanto esposto.

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5) Sperimentali - 2005 – Quesito 6. Le rette r e s d’equazioni rispettive xy 21+= e 42 −= xy si corrispondono in una omotetia σ di centro l’origine O. Si determini σ .

Soluzione

Si tratta di un’omotetia di centro l’origine con costante 1k −< . Per determinare tale parametro consideriamo il punto ( )1,0P = ; la sua immagine è il punto ( )4,0'P − . Quindi si ha .4k −= Per-tanto σ è definita da

σ :

−=−=

y4'yx4'x

Verifichiamo che le rette r e s si corrispondono in σ . Infatti ogni punto di r è del tipo ( )1x2,xA += , il cui corrispondente è ( )4x8,x4'A −−−= che giace sulla retta s. Concludiamo

con il relativo grafico.

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