Trasformazioni geometriche

Trasformazione

È una corrispondenza tra punti del piano Noi ci occuperemo solo delle trasformazioni che sono

corrispondenze biunivoche

I punti trasformati della figura F formano una nuova figura F’, detta figura trasformata

A seconda del tipo di corrispondenza, alcune caratteristiche di F rimangono inalterate, altre no

PPT :

FTF '

Invariante Si dice invariante ogni proprietà che rimane

inalterata a seguito di una trasformazione

Felix Klein (1849-1925)matematico tedesco

descrive la geometria come lo studio delle proprietà delle figure aventi carattere invariante rispetto ad un particolare gruppo di trasformazioni

Quindi classificare i vari gruppi di trasformazioni equivale a classificare le varie geometrie

Geometria euclidea

La geometria euclidea del piano, per esempio, è lo studio delle proprietà delle figure che si mantengono invarianti rispetto ad un particolare gruppo di trasformazioni le cosiddette trasformazioni rigide (movimento rigido)

Isometrie

Iso (uguale) metria (distanza) Dette anche congruenze (movimenti rigidi)

Def.: “una trasformazione che lascia invariata la distanza è detta isometria”

Un caso particolare di isometria è la trasformazione identica che associa ad ogni punto del piano sé stesso

Isometrie Simmetrie

Centrale Assiale Proprietà delle simmetrie: scheda di lavoro

Elementi uniti di una trasformazione

Traslazioni

Rotazioni

'PPO 'PPa

Simmetria centrale

La simmetria centrale di centro O è quella trasformazione che associa ad ogni punto P del piano un punto P’, tale che O sia il punto medio del segmento PP’

E quindi:

Scheda di lavoro

'PPO'OPOP

Simmetria centrale

La simmetria centrale conserva La distanza L’allineamento (e l’ordinamento) dei punti L’ampiezza degli angoli

La conservazione dell’allineamento e degli angoli è una conseguenza della conservazione della distanza, perciò valgono per qualsiasi isometria

Due rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono parallele

Simmetria centrale nel piano cartesiano

Simmetria rispetto all’origine

yy

xx

'

'

Simmetria centrale nel piano cartesiano

Simmetria rispetto ad un punto M M è il punto medio di AA’

yyy

xxx

M

M

2'

2'

Simmetria assiale (riflessione) La simmetria assiale di asse a è quella

trasformazione che associa ad ogni punto P del piano un punto P’, tale che a sia asse del segmento PP’

E quindi:

Scheda di lavoro

'PPa CPPC '

Simmetria assiale nel piano cartesiano

Simmetria rispetto all’asse delle x

yy

xx

'

'

Simmetria assiale nel piano cartesiano

Simmetria rispetto all’asse delle y

yy

xx

'

'

Simmetria assiale nel piano cartesiano

Simmetria rispetto a una retta di equazione y=h

Da fare

yy

xx

'

'

Simmetria assiale nel piano cartesiano

Simmetria rispetto a una retta di equazione x=k

Da fare

yy

xx

'

'

Simmetria assiale nel piano cartesiano

Simmetria rispetto alla bisettrice I e III quadrante

xy

yx

'

'

Simmetria assiale nel piano cartesiano

Simmetria rispetto alla bisettrice II e IV quadrante

xy

yx

'

'

Elementi uniti di una trasformazione Un punto P è unito se il suo trasformato P’

coincide con P

In una simmetria centrale ci sono punti uniti? centro di simmetria

In una simmetria assiale ci sono punti uniti? punti dell’asse

Elementi uniti di una trasformazione Una retta r è unita se la sua trasformata r’ coincide

con r

In una simmetria centrale ci sono rette unite? ogni retta passante per il centro di simmetria

In una simmetria assiale ci sono rette unite? asse di simmetria (caso particolare) ogni retta perpendicolare all’asse

In generale una figura F è unita se la sua trasformata F’ coincide con F (viene trasformata in se stessa)

Elementi uniti di una trasformazione

Rispetto a quali simmetrie sono uniti: Un angolo

assiale: bisettrice Un segmento

centrale: punto medio; assiale: asse Un parallelogramma

centrale: punto di incontro delle diagonali Una circonferenza

centrale: centro; assiale: ogni diametro

Traslazione

La traslazione di vettore è quella trasformazione che associa ad ogni punto P del piano un punto P’, tale che

Scheda di lavoro

Composizione di due simmetrie centrali

v

vPP

'

Traslazione nel piano cartesiano

Da fare Simmetria rispetto alla

bisettrice II e IV quadrante

xy

yx

'

'