Generalità sulle trasformazioni geometriche · Grafici trasformati Consideriamo una funzione y =...

Prof. G. Frassanito – Liceo scientifico “E. Medi” - Galatone Pag. 1

Trasformazioni geometriche

Generalità sulle trasformazioni geometriche

Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca, quindi una funzione, che associa

a un punto P del piano in un punto P’. Indicando con t una generica trasformazione, con le

notazioni utilizzate nelle funzioni, avremo:

( ) ( ) ( )

Essendo t una trasformazione biunivoca esiste anche la trasformazione inversa che trasforma P’ in P

Spesso le coordinate di P’ sono esprimibili mediante funzioni matematiche di x e di y, dette equazioni di

trasformazione:

{ ( )

( )

Si chiama trasformazione identica o identità la trasformazione che ad ogni punto del piano fa

corrispondere il punto stesso.

In una trasformazione t non identica, chiameremo punto unito un punto che è trasformato in se stesso e

figura unita una figura che è trasformata in se stessa. Se tutti i punti di una figura sono punti uniti anche la

figura è unita; non sempre è vero il viceversa: i punti di una figura unita, rispetto ad una trasformazione t,

possono non essere punti uniti. Ad esempio la trasformazione che associa ad un punto P di una

P(x ; y)

P’(x’ ; y’)

𝑡 1

𝑡


circonferenza il punto P’ tale che PP’ sia diametro trasforma la circonferenza in se stessa anche se i punti

non sono uniti.

Poiché le trasformazioni sono funzioni si possono fare composizioni di trasformazioni come in figura

( ) ( )

( )

Quindi

( ) → ( )

Esempio

Si considerino le trasformazioni:

1 {

{

Si determini l’immagine di P(1, -3) nelle trasformazioni 1 1 . Si scrivano quindi le espressioni

analitiche di tali trasformazioni composte.

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Quindi

( ) → ( )

𝑡 𝑡 𝑡1

𝑡

P(x ; y)

P’(x’; y’) 𝑡1

P’’(x’’ ; y’’)


( ) → ( )

Considerando un generico punto P(x; y) determiniamo le espressioni analitiche delle trasformazioni

composte

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Quindi

1 {

1 {

Osservazione

Dall’esempio si evince che la composizione delle trasformazioni non è commutativa ossia in generale

1 1

Trasformazione involutoria

Una trasformazione si dice involutoria se, componendola con se stessa, ossia applicandola due volte, si

ottiene lo stesso punto di partenza, cioè tale composizione è una identità. Pertanto una trasformazione

involutoria coincide con la sua inversa.

( ) ( )

( )

La trasformazione che associa ad un punto P di una circonferenza il punto P’ tale che PP’ sia diametro è

involutoria; infatti applicandola due volte si ottiene lo stesso punto di partenza.

Proprietà invarianti rispetto ad una trasformazione

P’(x’; y’) P(x; y)


Si dice che una certa proprietà geometrica è invariante rispetto ad una trasformazione t se,

comunque si scelga una figura geometrica F che gode di tale proprietà, anche la figura F’ = F(t),

trasformata di F, gode di tale proprietà.

Affinità

Si dice affinità una trasformazione biunivoca che muta rette in rette; conserva l’allineamento (per

questo vengono anche dette trasformazioni lineari) e il parallelismo. Non conserva le distanze né

gli angoli, cioè non conserva la forma delle figure.

Le trasformazioni delle affinità sono date dalle seguenti equazioni lineari:

{

Fissata , viceversa, una coppia di valori (x’ ; y’), è possibile ricavare (x ; y), cioè la trasformazione

inversa risolvendo il sistema:

{

la cui soluzione è garantita dalla condizione .

Se una figura ha area S e la sua trasformata nell’affinità ha area S’, allora risulta:

| |

Il numero è detto rapporto di affinità o costante di affinità.

Proprietà invarianti delle affinità

1. L’allineamento: le immagini di tre punti allineati sono allineati

2. L’appartenenza ad segmento: se C appartiene ad un segmento AB anche C’ immagine di C

appartiene al segmento A’B’ immagine di AB

3. Il parallelismo: le immagini di due rette parallele sono ancora parallele


4. L’incidenza: le immagini di due rette incidenti sono ancora incidenti e il loro punto di

intersezione è l’immagine del punto d’intersezione delle rette date

5. Il rapporto tra aree: se α e β sono le aree di due figure e α’ e β’ sono le aree delle loro

rispettive trasformate si ha che: α : β = α’ : β’

Esempio 1

Dato il triangolo ABC di vertici A(0; 0), B(1; 0), C(0; 1), determinare i vertici del suo trasformato

A’B’C’ nell’affinità di equazioni:

{

Determinare poi gli eventuali punti uniti nella trasformazione assegnata.

Soluzione

Sostituendo nelle equazioni della trasformazione le coordinate dei punti si ottengono le

coordinate dei punti trasformati:

{

( )

{

( )

{

( )

Per determinare gli eventuali punti uniti dell’affinità basta porre nelle equazioni della

trasformazione: x’ = x e y’ = y:

{

{

{

Esempio 2

Verificare che, nell’affinità di equazioni:

{

l’asse x è una retta unita e che il punto P(1; 0) è unito. Sapendo poi che il trasformato C’ di un

cerchio C ha l’area che misura 24π, si chiede di determinare la misura del raggio di C.


Soluzione

Un qualunque punto dell’asse delle x ha coordinate (x; 0). Sostituendo tali coordinate

nell’equazioni si ottiene:

{

Un punto di coordinate (2x – 1; 0) appartiene ancora all’asse delle x. L’asse delle x è, quindi, una

retta unita, anche se non è fatta di punti uniti. Il punto (1; 0) è unito. Infatti sostituendolo

nell’equazioni si ottiene lo stesso punto

( ) {

( )

L’area di C’=24π;

;

; ; ; .

Esempio 3

Una retta ha equazione y = 3x + 1. Scrivere l’equazione della retta trasformata nell’affinità:

{

Soluzione

Ci ricaviamo x e y dalle due equazioni e le sostituiamo nella retta.

{

{

{

Sostituendo nella retta la soluzione del sistema si ottiene la retta x + 2y – 4 = 0.


Grafici trasformati

Consideriamo una funzione y = f(x) e sia ϒ il suo grafico. Una trasformazione t applicata a tutti i

punti del grafico trasforma ϒ in ϒ’ di equazione y = g(x) diversa da y = f(x)

Esempio

Data la trasformazione

{

si determini l’equazione trasformata della circonferenza di equazione .

{

{

( ) ( ) ( )

Dove {

indica la trasformazione e

indicano le sostituzioni da

effettuare nell’equazione per ottenere l’equazione trasformata.

Isometrie

Tra le affinità ci sono le trasformazioni isometriche o isometrie, cioè trasformazioni che

conservano le distanze e gli angoli. Tra le isometrie considereremo la traslazione e le simmetrie

rispetto al centro e ad una retta

y = f(x)

y = g(x) 𝑡


Traslazione

Si definisce traslazione τ di vettore la trasformazione che al punto P(x; y) fa corrispondere il

punto P’(x’; y’) tale che PP’ = . Il vettore può essere un qualsiasi vettore equipollente a per cui

possiamo supporre che abbia il primo estremo di coordinate (0, 0), cioè nell’origine O del

sistema di riferimento, e secondo estremo di coordinate (a; b).

L’espressione analitica di τ è: {

Per a = 0 e b = 0 si ha la trasformazione identica

Se a ≠ 0 e b = 0 si ha una traslazione orizzontale di vettore ( ) (verso destra se a > 0 e

verso sinistra se a < 0)

P’(x’; y’)

��

b

a

b

a

P(x; y)

P’(x’; y’)

��

a

a

P(x; y) a > 0

P(x; y)

��

a

a

P’(x’; y’) a < 0


Se a = 0 e b ≠ 0 si ha una traslazione verticale di vettore ( ) (verso l’alto se b > 0 e

verso il basso se b < 0)

La traslazione è una corrispondenza biunivoca e quindi esiste la traslazione inversa di equazioni:

1 {

Grafici traslati

Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una traslazione τ di vettore ( ) lo trasforma

nel grafico ϒ’ e anche la sua equazione subisce una trasformazione:

( ) {

( ) ( )

y = f(x)

y = f(x-a) + b

��

ϒ

ϒ’

P’(x’; y’)

��

b

b

P(x; y) b > 0

P(x; y)

��

b

b

P’(x’; y’) b < 0


Esempio 1

Dimostrare che una generica traslazione non ha punti uniti.

Soluzione

Per determinare i punti uniti bisogna sostituire x’ a x e y’ a y nell’equazioni {

che

sono impossibili e per cui non esistono punti uniti.

Esempio 2

Data la curva di equazione √ scrivere l’equazione di quella traslata secondo il vettore

( ) e si disegnino i rispettivi grafici.

Soluzione

√ {

√ √

√

√


Esempio 3

Una traslazione τ trasforma il grafico della funzione 1

in quello della funzione

.

Individuare la traslazione.

Soluzione

{

( )

( )

( )

Applicando il principio d’identità dei polinomi abbiamo:

{

{

La traslazione cercata è:

{

Esercizi proposti

1. Dopo aver tracciato il grafico della funzione dedurre i grafici delle seguenti funzioni:

( ) ( ) ( )

2. Dopo aver tracciato il grafico della funzione √ dedurre i grafici delle seguenti

funzioni:

√ √ √ √

3. Tracciare il grafico della funzione operando sul grafico della parabola


Simmetrie

Definizioni fondamentali

Si definisce simmetria rispetto ad una retta generica r (simmetria assiale di asse r), e la si indica

con σr, la corrispondenza biunivoca che ad ogni punto del piano P(x; y) fa corrispondere il punto

P’(x’; y’) in modo tale che la retta r sia perpendicolare al segmento PP’ e passi per il suo punto

medio in modo che r sia l’asse del segmento PP’.

Nella simmetria assiale tutti i punti dell’asse r sono uniti; r è, quindi, una retta unita; inoltre tutte

le rette perpendicolari ad r sono rette unite ma non luogo di punti uniti; inoltre la simmetria

rispetto ad una retta è involutoria e perciò coincide con la sua inversa.

Particolarmente importanti sono le simmetrie rispetto agli assi cartesiani, rispetto alle rette

parallele a uno di essi e rispetto alle bisettrici del 1° - 3° quadrante e del 2° - 4° quadrante. Le loro

equazioni e le relative sostituzioni associate, si possono ottenere in base a considerazioni

geometriche di carattere elementare.

asse P’(x’; y’)

P(x; y)

𝜎𝑟 𝑃 𝑃

P(x; y) P’(x’; y’)

asse

Retta unita ma

non formata da

punti uniti


Simmetria rispetto ad una retta parallela all’asse delle x

La simmetria rispetto ad una retta parallela all’asse delle x è la trasformazione del piano, indicata

con e che associa al punto P(x; y) il punto P’(x’; y’) simmetrico di P rispetto alla retta y = y0.

I punti P e P’ hanno la stessa ascissa; mentre y0 è l’ordinata del punto medio del segmento PP’.

Pertanto le equazioni della trasformazione sono:

{

Nel caso in cui y0 = 0 l’asse di simmetria coincide con l’asse delle x.

X

Y

Y’ P’(x’; y’)

Y0

P(x; y)

x

Y

-Y P’(x; -y)

0

P(x; y)


In questo caso, le equazioni della trasformazione sono:

Esempio

Si consideri la circonferenza ϒ di centro C(-1; 2) e raggio √ . Determinare l’equazione di ϒ’

simmetrica di ϒ rispetto alla retta passante per A(0; 2) e parallela all’asse y.

Soluzione

Equazione della circonferenza:

( ) ( )

Equazione della retta passante per A e parallela all’asse y: y = 2

Equazioni della simmetria:

{

{

Facendo tali sostituzioni nell’equazione della circonferenza determiniamo ϒ’

( ) ( )

Avendo trovato la stessa equazione significa che la circonferenza è simmetrica rispetto a tale retta.

{


Simmetria rispetto ad una retta parallela all’asse delle y

La simmetria rispetto ad una retta parallela all’asse delle y è la trasformazione del piano, indicata

con e che associa al punto P(x; y) il punto P’(x’; y’) simmetrico di P rispetto alla retta x = x0.

I punti P e P’ hanno la stessa ordinata; mentre x0 è l’ascissa del punto medio del segmento PP’.

Pertanto le equazioni della trasformazione sono:

{

Nel caso in cui x0 = 0 l’asse di simmetria coincide con l’asse delle y e quindi la simmetria è rispetto

a questo asse.

X X’ X0

P(x; y) P’(x’; y’)

-X X’ 0

P(-x; y) P’(x’; y’)

y=2


Le equazioni della trasformazione sono:

{

Esempio

La retta r ha equazione x + y - 2 = 0 determinare la retta s simmetrica di r rispetto alla retta di

equazione x = 4.

Soluzione

Equazioni della simmetria: {

{

{

Facendo tali sostituiamo nell’equazione della retta otteniamo la retta s simmetrica di r

Simmetria rispetto alla bisettrice del 1° - 3° quadrante

La simmetria rispetto alla bisettrice del 1° - 3° quadrante è la trasformazione del piano, indicata

con σy=x e che associa al punto P(x; y) il punto P’(x’; y’) simmetrico di P rispetto alla retta y = x.


I triangoli OPH e OP’K sono congruenti avendo l’ipotenusa e un angolo acuto congruenti. Pertanto

si ha:

{

L’espressione analitica della simmetria rispetto alla bisettrice del 1° - 3° quadrante è:

{

Esempio

Determinare l’equazione della curva simmetrica rispetto alla bisettrice del 1° - 3° quadrante della

curva di equazione .

Soluzione

{

H(0, y)

K(x’, 0)

y= x

O

P’(x’; y’)


Simmetria rispetto alla bisettrice del 2° - 4° quadrante

La simmetria rispetto alla bisettrice del 2° - 4° quadrante è la trasformazione del piano, indicata

con σy=-x e che associa al punto P(x; y) il punto P’(x’; y’) simmetrico di P rispetto alla retta y = - x.

I triangoli OPH e OP’K sono congruenti avendo l’ipotenusa e un angolo acuto congruenti. Pertanto

si ha:

H(0; y)

K(x’; 0)

y= -x

O

P’(x’; y’)


{

L’espressione analitica della simmetria rispetto alla bisettrice del 2° - 4° quadrante è:

{

Esempio

Una curva ϒ ha equazione 1

. Determinare l’equazione della curva ϒ’ simmetrica di ϒ rispetto

alla bisettrice del 2° - 4° quadrante.

Soluzione

{


Simmetria rispetto ad una retta non parallela agli assi

A causa della loro complessità non formuleremo le equazioni di una generica simmetria assiale ma

illustreremo, con un esempio, un metodo che consenta, data l’equazione di una retta r, di

determinare le equazioni della simmetria rispetto a essa.

Esempio

Determinare le equazioni della simmetria rispetto alla retta r di equazione: 2x – y -2 = 0

Il punto medio M di PP’ ha coordinate:

(

)

Il coefficiente angolare di PP’ è:

Il punto M appartiene alla retta r e quindi le sue coordinate devono soddisfare l’equazione della retta r:

Inoltre dev’essere ; questo vuol dire che:

Ponendo a sistema le due equazioni trovate e risolvendolo rispetto alle incognite x’ e y’, si

ottengono le equazioni della simmetria assiale σr

M

r:asse P’(x; y)

P(x; y)


{

{

Grafico simmetrico rispetto all’asse x di un grafico dato

Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una simmetria rispetto all’asse della x lo

trasforma nel grafico ϒx e la sua equazione subisce la seguente trasformazione:

( ) {

( )

Per determinare il grafico simmetrico rispetto all’asse delle x è sufficiente cambiare di segno la

funzione.

ϒx

ϒ

0

y=- f(x)

y = f(x)


Esempio

Determinare il grafico simmetrico rispetto all’asse delle x della parabola di equazione

Soluzione

La parabola simmetrica rispetto all’asse delle x ha equazione

Grafico simmetrico rispetto ad una parallela all’asse x di un grafico dato

Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una simmetria rispetto ad una retta di equazione

y = y0 lo trasforma nel grafico e la sua equazione subisce la seguente trasformazione:

( )

{

( ) ( )

y0

𝛾𝑦 𝑦

ϒ

0

y=2y0- f(x)

y = f(x)


Esempio

Determinare l’equazione del grafico simmetrico rispetto alla retta di equazione y = 4 della

parabola di equazione

Soluzione

La parabola simmetrica rispetto alla retta di equazione y = 4 ha equazione

( )

Grafico simmetrico rispetto all’asse y di un grafico dato

Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una simmetria rispetto all’asse della y lo

trasforma nel grafico ϒy e la sua equazione subisce la seguente trasformazione:

( ) {

( )

ϒy ϒ

0

y= f(-x) y = f(x)


Per determinare il grafico simmetrico rispetto all’asse delle x è sufficiente cambiare di segno la

variabile x.

Esempio

Determinare l’equazione del grafico simmetrico rispetto all’asse delle y della parabola di

equazione .

Soluzione

Per determinare l’equazione richiesta è sufficiente cambiare di segno la variabile x

( ) ( ) ( )

Grafico simmetrico rispetto ad una parallela all’asse y di un grafico dato

Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una simmetria rispetto ad una retta di equazione

x = x0 lo trasforma nel grafico e la sua equazione subisce la seguente trasformazione:

( )

{

( )


Esempio

Determinare l’equazione del grafico simmetrico rispetto alla retta di equazione x = 2 della

parabola di equazione

Soluzione

La parabola simmetrica rispetto alla retta di equazione x = 2 ha equazione

( ) ( ) ( )

𝛾𝑥 𝑥 ϒ

x0

y= f(x) y = f(2x0-x)


Grafico simmetrico rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante di un grafico dato

Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e 3°

quadrante lo trasforma nel grafico ϒy=x e la sua equazione subisce la seguente trasformazione:

( ) {

( )

Esempio

Determinare l’equazione del grafico simmetrico rispetto alla bisettrice del 1° - 3° quadrante della

curva di equazione 1

1

Soluzione

La curva simmetrica richiesta ha equazione:

{

𝛾𝑦 𝑥

ϒ

y= f(x)

x = f(y)

y= x


Grafico simmetrico rispetto alla bisettrice del 2° e 4° quadrante di un grafico dato

Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una simmetria rispetto alla bisettrice del 2° e 4°

quadrante lo trasforma nel grafico ϒy=-x e la sua equazione subisce la seguente trasformazione:

( ) {

( )

y= -x

𝛾𝑦 𝑥

ϒ

y= f(x)

-x = f(-y)


Esempio

Determinare l’equazione del grafico simmetrico rispetto alla bisettrice del 2° - 4° quadrante della

curva di equazione 1

1

Soluzione


{


Tabella riassuntiva simmetrie

Simmetria Asse Equazione

asse Equazioni simmetria

Sostituzione associata

Curva simmetrica di

F(x; y) = 0

σx Asse x y = 0 {

{ F(x; -y) = 0

σy Asse y x = 0 {

{ F(-x; y) = 0

Parallela asse x {

F(x; 2y0-y) = 0

Parallela asse y {

F(2x0-x; y) = 0

Bisettrice

1° -3° quadr. y = x {

F(y; x) = 0

Bisettrice

2° -4° quadr. y = -x {

F(-y; -x) = 0

Osservazione

Sia F(x; y) = 0 una curva. Se:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

In F(x; y) compaiono solo potenze pari di x allora la curva è simmetrica rispetto all’asse y

In F(x; y) compaiono solo potenze pari di y allora la curva è simmetrica rispetto all’asse x

In F(x; y) compaiono potenze pari sia di x che di y allora la curva è simmetrica rispetto a

entrambi gli assi e anche rispetto all’origine


Simmetria rispetto a un punto o simmetria centrale

Si definisce simmetria rispetto ad un punto generico C (simmetria centrale, di centro C), e la si

indica con σc, la corrispondenza biunivoca che ad ogni punto del piano P(x; y) fa corrispondere il

punto P’(x’; y’) in modo tale che il punto C sia il punto medio del segmento PP’.

Nella simmetria centrale di centro C il centro è l’unico punto unito e sono unite tutte le rette

passanti per il centro anche se non sono luoghi di punti uniti.

Per determinare le equazioni della simmetria σc basta tenere presente che C è punto medio del

segmento PP’. Ricordando che le coordinate del punto medio di un segmento sono le medie

aritmetiche delle coordinate omonime degli estremi si ha:

{

{

{

Quando il centro di simmetria coincide con l’origine O(0; 0) del sistema di riferimento le equazioni

della simmetria σo rispetto all’origine sono:

{

Anche la simmetria centrale è una trasformazione involutoria e quindi coincide con la sua inversa.

Esempio

Determinare le coordinate del punto P’ simmetrico del punto P(-3; 3) rispetto al punto C(2; -1).

Soluzione

Le coordinate di P’ sono date dalle seguenti formule:

C(xc; yc)

P’(x; y)

P(x; y)

𝜎𝑟 𝑃 𝑃


{

{

{

Grafico simmetrico rispetto ad un punto di un grafico dato

Data una curva ϒ di equazione F(x; y) = 0 e un punto C(xc; yc) il grafico sottoposto ad una simmetria

rispetto al punto C lo trasforma nel grafico ϒc e la sua equazione subisce la seguente

trasformazione:

( )

{

( )

Esempio

Verificare che la curva di equazione è simmetrica rispetto al

punto C(-1; 2).

Soluzione

Una curva è simmetrica rispetto ad un punto C(xc; yc) se ( ) ( )

Sostituiamo, quindi, le equazioni della simmetria centrale nell’equazione data e dovremmo

ottenere la stessa equazione

{

( ) ( ) ( ) ( )

Sviluppando l’ultima equazione si ottiene l’equazione di partenza.

C(xc; yc)

F(2xc-x; 2yc-y) = 0

F(x;y) = 0


Esempio

Determinare il valore del parametro k per il quale la curva di equazione è

simmetrica rispetto all’origine degli assi.

Soluzione

La curva è simmetrica rispetto all’origine degli assi se sostituendo si ottiene la stessa

equazione

Affinché le due equazioni risultino uguali k = -k e questo succede se k = 0.

Grafico simmetrico rispetto all’origine di un grafico dato

Data una curva ϒ di equazione F(x; y) = 0 il grafico sottoposto ad una simmetria rispetto all’origine

del sistema di riferimento lo trasforma nel grafico ϒo e la sua equazione subisce la seguente

trasformazione:

( ) {

( )

F(-x; -y) = 0

F(x;y) = 0


Esempio

Determinare l’equazione del grafico simmetrico rispetto all’origine del sistema di riferimento della

curva di equazione

Soluzione


{


Rotazioni

Dato un punto C e un angolo α, si definisce rotazione di centro C e angolo α la trasformazione che

associa, a un generico punto P del piano, il punto P’ tale che e .

Osservazione

Se la rotazione si riduce all’identità

Se si ottiene la simmetria centrale rispetto al punto C (una simmetria centrale

può essere considerata una rotazione di un angolo piatto attorno al centro di simmetria)

L’unico punto unito è il centro e non vi sono rette unite

Rotazione rispetto all’origine

Nel caso in cui il centro della rotazione coincide con l’origine degli assi, si parla di rotazione

rispetto all’origine le cui equazioni si possono ottenere nel seguente modo

P’ P

α

C

Q(x’; 0)

K(0; y’)

H(x; 0)

θ

ρ

ρ

P’(x’; y’)

P(x; y)

α

O


Nei triangoli rettangoli OPH e OP’K si ha che:

( )

cos( ) ( ) ( )

Applicando alle (2) le formule di addizione di seno e coseno e tenendo conto delle (1), si ottiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Le equazioni della rotazione sono quindi:

{

( )

Equazioni della rotazione rispetto a un centro C(xc; yc)

Per determinare tali equazioni si considera, per prima, il sistema di riferimento XCY rispetto al

quale il centro di rotazione è l’origine. Successivamente tali equazioni si riferiscono al sistema di

riferimento xOy

C

y

x

Y

X yc

xc Q(x’; 0)

K(0; y’)

H(x; 0)

θ

ρ

ρ

P’(x’; y’)

P(x; y)

α

O


Rispetto al sistema di riferimento XCY la rotazione è rispetto all’origine, quindi si ha:

{

Riferendo le precedenti equazioni rispetto al sistema di riferimento xOy e tenendo presenti le

equazioni della traslazione degli assi cartesiani {

{

si otterranno le

equazioni della rotazione rispetto a C

{ ( ) ( )

( ) ( )

{ ( ) ( ) ( ) ( )

Eseguendo le moltiplicazioni

{

e ponendo

avremo:

{

( )

Trasformazione inversa

La trasformazione inversa di una rotazione di un angolo α è sempre una rotazione di un angolo

–α e la si ottiene sostituendo nelle equazioni (3) al posto di α –α:

1 {

( ) ( )

( ) ( )


{

( )

Poiché la rotazione non è una trasformazione involutoria, le sostituzioni da fare nell’equazione

F(x; y) = 0 di una curva ϒ, per ottenere l’equazione della curva ϒ’, immagine di ϒ nella rotazione di

un angolo α rispetto all’origine è:

( )

Esempio 1

Dato il grafico dell’ellisse ϒ di equazione , determinare l’equazione dell’ellisse che si

ottiene ruotando ϒ di 45° rispetto all’origine e le coordinate e le coordinate dei vertici, estremi

dell’asse maggiore.

Soluzione

Applicando la (3) e la (6) abbiamo le equazioni della rotazione e la sostituzione associata:

{

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

(√

√

) (

√

√

)


I vertici, estremi dell’asse maggiore hanno coordinate (-3; 0) e (3; 0). Applicando le equazioni della

rotazione si ha:

( ) → (

√

√ )

( ) → (

√

√ )

Esempio 2

Identificare centro e angolo della rotazione di equazioni:

{

√

√

Soluzione

Metodo 1

Le equazioni sono nella forma (4), con α=60°, a=2, b=0

{

{ cos ( ) ( ) ( ) cos ( )

{

√

√

{ √

√ {

√


Metodo 2

Il centro della rotazione è l’unico punto unito della trasformazione e le sue coordinate non

mutano. Ponendo nelle equazione del testo x al posto di x’ e y al posto di y’ si ottiene un sistema

che fornisce le coordinate del centro

{

√

√

{ √

√ {

√

√ {

√

Esempio 3

Data la retta r di equazione √ , scrivere l’equazione della retta r’ che si ottiene

sottoponendo r a una rotazione di 240° rispetto al punto (0; 3).

Soluzione

La retta data ha una inclinazione di 60° rispetto all’asse delle x; sottoponendola ad una rotazione

di 240° alla fine la retta forma un angolo di 300° rispetto all’asse della x. Il suo coefficiente

angolare è ( ) ( ) √ Sapendo che la retta passa per il

punto (0; 3) si ha:

( ) √ ( ) √

Esempio 4

√

√


Determinare l’equazione della curva che si ottiene sottoponendo l’iperbole di equazione

a una rotazione di 45° rispetto all’origine.

Soluzione

Applicando la (3) e la (6) abbiamo le equazioni della rotazione e la sostituzione associata:

{

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

(√

√

)

( √

√

)

Proprietà invarianti delle isometrie


4. Le lunghezze: se A’B’ è l’immagine del segmento AB in una isometria, allora , cioè i

due segmenti hanno la stessa lunghezza.

5. L’estensione delle superfici: se α’ è l’immagine di una superficie αin un’isometria, allora

, cioè α e α’ hanno la stessa superficie.

Similitudini

Sia t una trasformazione e siano A’ e B’ le immagini in t rispettivamente di due punti qualunque A

e B del piano; se:

( )

Il numero reale r è detto rapporto di similitudine

La figura geometrica ϒ’ ottenuta applicando una similitudine ad una figura ϒ è simile alla

figura data.

Se il rapporto di similitudine è 1, la similitudine è una isometria (le isometrie sono delle

particolari similitudini)

Omotetia con centro nell’origine

Si definisce omotetia con centro nell’origine di rapporto k, numero reale diverso da zero, e si

indica con , la trasformazione che associa ad un punto P(x; y) il punto P’(x’; y’) tale che:

{

( )

O

P(kx; ky)

P(x; y)

k>0

H’ H

H’

H

P(kx; ky) K<0


Equazioni della trasformazione inversa dell’omotetia

Dalle (1) si ricavano facilmente le equazioni della trasformazione inversa dell’omotetia

{

{

La trasformazione inversa dell’omotetia di rapporto con centro nell’origine è ancora una

omotetia di rapporto 1

e centro nell’origine

1

1 {

La sostituzione associata all’omotetia di rapporto k con centro nell’origine è

Omotetia con centro in un punto C

Per ottenere le equazioni dell’omotetia con centro in un generico punto C e rapporto k, che si

indica con , è sufficiente considerare il sistema di riferimento XCY, traslato rispetto a xOy, con

l’origine nel punto C. Rispetto a tale sistema di riferimento l’omotetia ha equazioni:

{

( )


Essendo (equazioni della traslazione del sistema di riferimento), nel

sistema di riferimento xOy le equazioni dell’omotetia diventano:

{ ( )

( ) { ( ) ( )

{

( )

Posto

( )

{

( )

Se le equazioni dell’omotetia sono date nella forma (4) dalle (3) è possibile ricavare il centro

dell’omotetia:

(

)

Osservazione

Se k = 1 l’omotetia è una identità

Se k = -1 l’omotetia è una simmetria rispetto all’origine

Se l’unico punto unito è il suo centro e sono unite (ma non formate da punti uniti)

tutte le rette passanti per il centro dell’omotetia.

Il rapporto tra l’immagine A’B’ di un qualsiasi segmento AB e il segmento AB stesso è

sempre uguale | | (l’omotetia è una similitudine).

C

y

x

Y

X yc

xc

P’(x’; y’)

P(x; y)

O


In un’omotetia con centro nell’origine, l’origine O, il punto P e la sua immagine P’ sono

allineati. Infatti le rette OP e OP’ passano per l’origine e hanno lo stesso coefficiente

angolare

Esempio 1

Si consideri la trasformazione di equazioni

{

Verificare che è un’omotetia, determinandone l centro.

Soluzione

Le equazioni sono date nella forma

{

E sono quindi le equazioni di una omotetia di rapporto k = 3.

Determiniamo le coordinate del centro

Metodo 1

Applichiamo le formule

(

) (

) ( )

Metodo 2

Poiché il centro è l’unico punto unito è sufficiente sostituire nelle equazioni dell’omotetia

{

{

Esempio 2

Determinare l’equazione della curva che si ottiene sottoponendo la parabola di equazione

a un’omotetia di rapporto -1/2 e centro nell’origine.


1 {

( )

Composizione di similitudini

Diamo il seguente teorema senza dimostrazione

Teorema

Componendo due similitudini di rapporto, rispettivamente, r1 e r2 si ottiene una similitudine di

rapporto r1 r2.

Osservazione

Essendo le isometrie particolari similitudini, dal teorema precedente segue che

componendo una isometria e una similitudine si ottiene una similitudine.

Si potrebbe dimostrare che ogni similitudine si può ottenere componendo un’opportuna

isometria con un’omotetia

Esempio

Verificare che una generica parabola di equazione è simile alla parabola di

equazione

Soluzione

Sottoponiamo la parabola di equazione prima a un’omotetia di rapporto 1/a e

successivamente ad una traslazione che porti l’origine nel vertice della parabola

1 {

( )


{

(

)

Qualunque parabola può essere trasformata mediante un’opportuna rotazione in una parabola

con asse di simmetria parallelo all’asse delle y e poiché queste sono tutte simili possiamo

affermare che tutte le parabole sono simili tra di loro.

Proprietà invarianti delle similitudini

1. I rapporti tra lunghezze: se A’B’ e C’D’ sono le immagini di AB e CD in una similitudine, si ha

che

.

2. Le ampiezze degli angoli: se è l’immagine di un angolo , allora i due angoli sono

congruenti.

3. La perpendicolarità: le immagini di due rette perpendicolari in una similitudine, per la

precedente proprietà, sono anch’esse perpendicolari.

Dilatazioni con centro nell’origine

Assegnati due numeri reali h e k entrambi non nulli, si dice dilatazione con centro nell’origine e si

indica con quella trasformazione che associa a un generico punto P(x; y) il punto P’(x’; y’) tale

che

{

( )

Osservazione

Se h = k la dilatazione è un’omotetia

Se h = k = 1, la dilatazione si riduce all’identità

Se h = k = -1, la dilatazione coincide con la simmetria rispetto all’origine

Se h = -1 e k = 1 la dilatazione è una simmetria rispetto all’asse y

Se h = 1 e k =- 1 la dilatazione è una simmetria rispetto all’asse x

Se h 1 e k =1 la dilatazione è detta orizzontale

Se h = 1 e k 1 la dilatazione è detta verticale

Se una dilatazione non è l’identità l’unico punto unito è l’origine e le uniche rette unite

sono gli assi cartesiani


Esempio

Determinare e rappresentare graficamente il trasformato del segmento di estremi A(1; 1) e B(2; 2)

nelle seguenti dilatazioni:

1 {

{

{

{

Soluzione

Notiamo che 1 e sono dilatazioni orizzontali e e sono dilatazioni verticali. Inoltre 1 e

sono vere e proprie dilatazioni mentre e sono delle contrazioni.

1 {

{ ( ) ( )

( ) ( )

{

{

( ) (

)

( ) ( )

{

{ ( ) ( )

( ) ( )

{

{

( ) (

)

( ) ( )

B’

A’

B

A 1

2

1 2 4

𝛿1 {𝑥 𝑥𝑦 𝑦

Dilatazione orizzontale

B’

A’

B

A 1

2

1 2

𝛿 {𝑥

𝑥

𝑦 𝑦

Contrazione orizzontale


Equazioni della trasformazione inversa della dilatazione

Dalle (1) si ricavano facilmente le equazioni della trasformazione inversa della dilatazione

{

{

B’

A’ B

A 1

2

1 2

4

𝛿 {𝑥 𝑥𝑦 𝑦

Dilatazione verticale

B’

A’

B

A

1/2

1

2

1 2

𝛿 {𝑥 𝑥

𝑦

𝑦

contrazione verticale


La trasformazione inversa della dilatazione di rapporti con centro nell’origine è

ancora una omotetia di rapporto 1

1

e centro nell’origine

1 1

1 {

La sostituzione associata alla dilatazione di rapporti h e k con centro nell’origine è

Dilatazione di Grafici

Se si applica una dilatazione a una curva ϒ di equazione y = f(x), si ottiene la curva ϒ’d dilatata

la cui equazione è

( ) {

(

) (

)

Esempio 1

Determinare equazione e grafico ϒ’ della parabola di grafico ϒ e di equazione , sottoposta

alla dilatazione orizzontale di equazioni:

1 {

Soluzione


1 {

(

)

Esempio 2

Dal grafico ϒ della funzione di equazione √ dedurre quello ϒ’d di √ .

Soluzione

L’equazione √ si può scrivere come

√ che si ottiene da √ mediante la

sostituzione

Che è la sostituzione associata alla dilatazione

1 {

ϒ’

𝑦 √ 𝑥

6


Il grafico ϒ’d si otterrà da ϒ facendo corrispondere ad ogni punto P di ϒ un punto P’ che ha ascissa

un terzo di quella di P e ordinata doppia.

Esempio 3

Dal grafico della funzione di equazione √ dedurre quello di √ applicando

opportune trasformazioni.

Soluzione

Per ottenere il grafico richiesto occorre effettuare sul grafico √ prima una traslazione di una

unità verso sinistra; poi, sul grafico trasformato una dilatazione orizzontale di rapporto ½; infine

sul grafico così ottenuto una simmetria rispetto all’asse delle y.

√ {

√

{

√ {

√


√

√

-1

𝑦 √𝑥

𝑦 √𝑥

2

1

2 1

-1

2

1

-0,5 1 2


Esempio 4

Dal punto P( √ ) condurre le tangenti all’ellisse di equazione

Soluzione

Applichiamo all’ellisse la dilatazione

1 1 {

Che trasformerà l’ellisse in una circonferenza

𝑦 √ 𝑥 𝑦 √ 𝑥

0,5

2

1

-0,5 1 2


{

Il trasformato del punto P( √ ) è P’(√ )

Determiniamo le tangenti alla circonferenza condotte dal punto P’.

Scriviamo l’equazione del fascio di rette passante per P’

( √ ) √ √

Imponiamo che la distanza di tale retta dal centro della circonferenza C(0; 0) sia uguale al raggio

r = 1

| √ |

√

Le rette tangenti cercate hanno equazioni:

1 √ √

Applicando a r1 e r2 la dilatazione inversa otterremo le equazioni delle tangenti all’ellisse

√ 1 {

√

( √ )

√ 1 {

√

( √ )

Dilatazioni con centro diverso dall’origine

Le equazioni delle dilatazioni con centro diverso dall’origine, ricavate con considerazioni analoghe

a quelle svolte per le omotetie sono

{ ( )

( ) { ( ) ( )

{

{ ( )

( )


Posto ( ) ( )

{

Le coordinate del centro sono date dalle seguenti formule

(

)

Bibliografia

N. Dodero – P. Baroncini – R. Manfredi: Elementi di matematica vol. 3 e Nuovi elementi di

matematica vol A - Ghisetti e Corvi Editori

Generalità sulle trasformazioni geometriche · Grafici trasformati Consideriamo una funzione y =...

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