I Criteri di Resistenza

Abbiamo fin ora analizzato la verifica di resistenza di elementi strutturali sottoposti a stati di sollecitazione semplice.

I Criteri di Resistenza

Ad esempio, in un caso come quello mostrato a sx la conoscenza dello sforzo di snervamento (o di rottura) ottenuto da una prova di trazione uniassiale sarebbe sufficiente a risolvere il problema

Tuttavia in un caso lievemente più complesso (presenza contemporanea di sollecitazioni normali e tangenziali), l’approccio visto in precedenza non è più applicabile

Se fosse possibile eseguire prove sperimentali per ogni materiale in ogni stato di sollecitazione, la verifica consisterebbe nel semplice confronto:

Nella quale la sollecitazione limite è relativa ad una prova nella quale il provino è sollecitato esattamente come la nostra struttura.

In realtà le grandezze σlim vengono misurate in prove monoassiali di trazione o compressione semplice, mentre le sollecitazioni agenti σ si riferiscono a situazioni di carico generalmente molto più complesse per le quali in ogni punto del sistema sono presenti componenti di sforzo sia normali che tangenziali, ossia uno stato di sollecitazione composto.

I Criteri di Resistenza

ξ

σσσ lim=≤ amm

1. Dato un generico stato di sollecitazione complesso….

2. Dati i risultati di prove uniassiali di trazione….

È possibile che la sollecitazione produca il cedimento del materiale?

Ovviamente non è possibile pensare di sottoporre il materiale a n possibili combinazioni di tensione!!!

N.B. in questo contesto la σ ha il significato generico di “un insieme di sollecitazioni”

I Criteri di Resistenza NB 1ksi = 6.89 MPa

La filosofia che sta alla base dei criteri di resistenza… Qualunque sia la causa del cedimento nella prova di trazione la stessa causa sarà

responsabile del cedimento in tutte le altre possibili condizioni di carico statico

Si introduce il concetto di «stato tensionale ugualmente pericoloso», o «stato monoassiale equivalente». La differenza tra i vari criteri consiste essenzialmente nel modo in cui questo stato equivalente viene calcolato

I criteri si avvalgono di considerazioni di tipo teorico, ma spesso vengono “calibrati” sulla base delle evidenze sperimentali

Classificazione dei criteri

Criteri di Resistenza

Materiali Duttili (snervamento)

• Massima Tensione Tangenziale

(Tresca, Guest- St. Venant)

• Massima Energia di Distorsione

(Huber-Von Mises, Hencky)

Materiali Fragili (rottura fragile)

• Massima Tensione Normale

(Rankine)

• Mohr

Si fa riferimento a stati tensionali PIANI

Rappresentazione dei criteri

I risultati dell’applicazione di un criterio di resistenza possono essere ottenuti Per via analitica (confronto tra la sollecitazione massima e una sollecitazione di riferimento che tiene conto della combinazione delle sollecitazioni alle quali è sottoposto l’elemento della struttura) Per via grafica mediante rappresentazione di un «dominio di resistenza» che rappresenta l’insieme degli stati di sforzo ammissibili

Sul piano di Mohr Sul piano delle sollecitazioni principali

Criterio della Massima Tensione Normale

Formulato da W.J.M. Rankine, ipotizza che il cedimento (per rottura) avvenga ogni volta che la tensione di trazione (compressione) a cui è sottoposto il materiale superi la resistenza uniassiale di rottura a trazione (compressione)

>

<

uc

ut

S

S

2

1

σ

σ

Il componente resiste se:

Rappresentazione nel piano di Mohr

(il cerchio di Mohr deve stare all’’’’interno dei limiti fissati)

Rappresentazione nel piano delle sollecitazioni principali

(il punto di coordinate σ1, σ2 deve stare all’’’’interno del dominio di resistenza)

Criterio della Massima Tensione Normale

È stato dimostrato che questo criterio si correla ragionevolmente bene con i dati sperimentali relativi a materiali fragili e non è adatto alla previsione di rotture duttili

Le “linee di carico” (semirette che congiungono l’origine degli assi con il punto le cui coordinate sono le sollecitazioni principali esistenti nell’intorno del punto in esame, per poi proseguire fino ai limiti del dominio di resistenza) consentono di visualizzare anche graficamente il coefficiente di sicurezza

Calcolo grafico del Coefficiente di Sicurezza

• Il coefficiente di sicurezza rappresenta la «distanza» dal limite di resistenza (ossia dai confini del dominio di resistenza).

• Questo è valido in generale per tutti i criteri quando si lavora nel piano della sollecitazioni principali

• I punti di frontiera sono tutti caratterizzati da un valore del coefficiente di sicurezza unitario

P

A

OP

OA=ξ

Criterio della Massima Tensione Tangenziale

Inizialmente proposto da C.A. Coulomb, ma meglio noto come criterio di Guest-Tresca, ipotizza che il cedimento (per snervamento) si verifica quando la massima tensione tangenziale nel punto considerato raggiunge o supera la massima tensione tangenziale che provoca l’’’’inizio dello snervamento in un provino dello stesso materiale soggetto ad una prova di trazione semplice.

• Lo snervamento nei materiali duttili è

causato dallo scorrimento dei piani

cristallini lungo le superfici di massimo

sforzo tangenziale

• Dunque il materiale, in un certo punto,

è considerato sicuro se lo sforzo

massimo tangenziale in quel punto è

inferiore a quello massimo tangenziale

registrato allo snervamento

Criterio della Massima Tensione Tangenziale

È una teoria facile da usare e si è dimostrata essere in buon accordo con i risultati sperimentali relativi a materiali duttili (ricordiamo che si prende in esame lo snervamento)

In un provino sottoposto a trazione semplice si ha

( )yys SS

2

10

2

1=−=τ

yji S2

1

2

1max =

−σσ

Per uno stato tensionale generico, le tensioni di taglio massime agenti nei piani principali sono date da

( ) jijijiij ≠=−= ;3,2,1,2

1σστ

Lo snervamento si verifica quando τmax = τs ossia:

Criterio della Massima Tensione Tangenziale

• Nel piano delle sollecitazioni principali il criterio della Massima Tensione Tangenziale definisce un dominio di resistenza di forma esagonale

• I punti caratteristici corrispondono alla sollecitazione di snervamento

• Se il punto corrispondente allo stato di sollecitazione esistente cade all’interno dell’area ombreggiata, siamo in condizioni di sicurezza

Criterio della Massima Energia di Distorsione

Stato generico

Stato non pericoloso

Provoca lo snervamento

Criterio della Massima Energia di Distorsione

Le relazioni che descrivono questo criterio sono state formulate in modo indipendente da M.T. Huber, R. von Mises e H. Hencky anche se di recente si è scoperto che già Maxwell a metà ‘800 aveva postulato i principi che stanno alla base del criterio. Considerazioni di partenza • Ogni materiale sollecitato elasticamente subisce un (piccolo) cambiamento di forma, di volume o di entrambi

• L’energia necessaria a produrre tale cambiamento viene immagazzinata nel corpo sotto forma di energia elastica (Ue =1/2σε = 1/2Eσ2).

• Tuttavia, un certo materiale ha una limitata e definita capacità di assorbire energia di distorsione, ossia energia tendente a cambiare la forma ma non il volume

• Ogni tentativo di incrementare l’energia di distorsione ceduta al corpo oltre quel dato limite produce lo snervamento

Criterio della Massima Energia di Distorsione

In breve… Il criterio della Massima Energia di Distorsione assume che lo snervamento avvenga quando l’energia di distorsione per unità di volume raggiunge od oltrepassa l’energia di distorsione per unità di volume necessaria a snervare lo stesso materiale durante la prova di trazione semplice Da cosa nasce…. Materiali duttili soggetti ad uno stato di tensione idrostatico mostrano una resistenza allo snervamento di gran lunga superiore al valore misurabile nella prova di trazione semplice (4-10 volte superiore) Si ipotizza, quindi, che lo snervamento sia legato in qualche modo all’effetto della distorsione del materiale piuttosto che alla trazione o alla compressione semplice.

Criterio della Massima Energia di Distorsione

L’impiego del criterio MED, meno semplice di quello MTT ma anche più aderente alla realtà sperimentale, si basa sull’ introduzione del concetto di tensione equivalente, definita come la tensione uniassiale di trazione che produrrebbe lo stesso livello di energia di distorsione prodotto dall’’’’effettivo stato di tensione in esame. In termini di tensioni principali, l’equazione della tensione equivalente è la seguente (dimostrazione Shigley pag. 190)

( ) ( ) ( )[ ]2

23

2

13

2

122

2σσσσσσσ −+−+−=eq

che si trasforma, per uno stato tensionale piano, nel’equazione di un’ellisse

21

2

2

2

1 σσσσσ −+=eq

Criterio della Massima Energia di Distorsione

Negli stati di tensione piani, è possibile definire una formulazione comoda per la sollecitazione equivalente, basata sulle tensioni σx , σy e τxy come segue:

e, qualora sia presente una sola sollecitazione normale:

2223 xyyxyxeq τσσσσσ +−+=

223 xyxeq τσσ +=

Una volta calcolata la tensione equivalente, si procede al confronto con la sollecitazione di snervamento (Sy) del materiale ottenuta dalla prova uniassiale di trazione. Si ha snervamento quando

yeq S≥σ

Alcune osservazioni

• In figura è riportato il confronto tra il criterio della Massima Tensione Tangenziale e quello della Massima Energia di Distorsione nel piano delle sollecitazioni principali

• L’ellisse passa attraverso i vertici dell’esagono (in questi sei punti i due criteri coincidono)

• Per tutti gli altri punti il criterio della Massima Tensione Tangenziale si rivela più conservativo

• Nel caso di sollecitazioni puramente torsionali (σmin = - σmax, punti sulla bisettrice del secondo e quarto quadrante) lo snervamento avviene per σ1 = - σ2 = ±0.5 σy per il criterio MTT, mentre σ1 = - σ2 = ±0.577 σy , quindi il criterio di Von Mises accredita al materiale una resistenza superiore del 15%

Alcune osservazioni

• La scelta tra MED e MTT è lasciata alla sensibilità del progettista

• Per le esigenze di progetto, il criterio MTT è pratico, semplice da utilizzare e conservatvo

• Nelle analisi di rottura, il criterio MED fornisce risultati più aderenti alla realtà sperimentale

• Come si può osservare anche dalla figura, nel caso di materiali fragili (ghisa, markers triangolari) entrambi i criteri si dimostrano non attendibili, in particolare per combinazioni di sollecitazioni localizzate nel secondo quadrante

Criterio di Mohr

• È stato osservato nella pratica, che non tutti i materiali presentano la stessa resistenza a trazione e a compressione, per es. la tensione di snervamento delle leghe di Mg, in compressione è tipicamente inferiore di circa il 50% rispetto a quella di trazione.

• Dunque appare opportuna la scelta fatta da alcuni scienziati del ‘900 di formulare criteri adattabili a materiali caratterizzati da un diverso comportamento a trazione e compressione.

• Tra questi, un ruolo fondamentale riveste il criterio di Mohr, che si basa sull’esecuzione di prove semplici (trazione, compressione, torsione... ecc.) condotte fino alla rottura.

• Secondo il criterio di Mohr la rottura si verifica quando, durante l’applicazione del carico, i tre cerchi relativi allo stato di sollecitazione esistente si espandono fino a che uno di essi diventa tangente all’’’’inviluppo di guasto (specifico per ciascun materiale utilizzato)

Criterio di Mohr

• Per tracciare le curve di Mohr è necessario eseguire almeno le prove di trazione, compressione e torsione pura

• Ovviamente tutti gli stati tensionali i cui cerchi fondamentali sono tangenti alla curva di Mohr sono stati limite per il materiale

• Il taglio massimo sopportabile dal materiale è maggiore in presenza di uno stato di compressione (sempre nell’ipotesi di resistenza a trazione maggiore di quella a compressione) • Gli inviluppi sono simmetrici rispetto all’asse delle σ perché il cedimento non dipende dal segno delle τ

• Dalla parte delle σ negative gli inviluppi tendono a divergere (per compressione idrostatica non si ha rottura)

Osservazioni

Criterio di Mohr

L’’’’inviluppo non è necessariamente rettilineo!!!

Prova di trazione biassiale

Tensione di rottura a trazione

Criterio di Mohr-Coulomb

Una versione semplificata del criterio di Mohr (definita “Criterio di Mohr-Coulomb” o “teoria degli attriti interni”) definisce una curva limite di Mohr costruita prendendo in considerazione i soli cerchi relativi alle prove di compressione e trazione e dunque approssimando la curva, vista nel caso precedente, con due rette.

Il criterio di Mohr-Coulomb può essere applicato sia ai ai materiali duttili (che presentano differenti valori di Sy a trazione e compressione) che a quelli fragili (per i quali Sut ≠Suc)

Nel piano delle σ principali…

Il criterio di Mohr può essere idealmente considerato come un’estensione del criterio della massima tensione tangenziale a materiali con differenti comportamenti per sollecitazioni di trazione e compressione. È stata proposta una ulteriore variante (definita ““““Criterio di Mohr modificato””””) che ben si accorda con i risultati delle sperimentazioni effettuate su materiali fragili. In essa il dominio di resistenza viene esteso prendendo in considerazione l ’ intersezione della “ diagonale del taglio” (retta a 45° passante per 2° e 4° quadrante di equazione σ2/ σ1 = -1 ) con le rette parallele ad ascisse e ordinate σ1 = σuc e σ2 = σuc

Massima Tensione Tangenziale

Mohr-Coulomb Mohr Modificato

Nel piano delle σ principali…

)0(1

2121 σσ

η

σσ≥≥=−

ucut SSP .

)0( 211 ≥≥≤ σση

σ utS

)0(212

σση

σ ≥≥≥ ucS

Mohr-Coulomb

Un confronto (materiali fragili)

• Ghisa di classe 30 ASTM (resistenza a compressione 751 MPa, a trazione 213 MPa)

• Prove biassiali (a rottura)

• Nel primo quadrante i criteri MTN, Mohr-Coulomb (verde) e Mohr-modificato (giallo) coincidono e approssimano bene le osservazioni sperimentali

• Nel quarto quadrante il criterio di Mohr –modificato rappresenta meglio i dati sperimentali

• I dati relativi al terzo quadrante (punti A, B, C e D) sono troppo esigui per giustificare una qualunque congettura sull’andamento della curva in quella zona.

In sintesi…

Massima tensione normale

(MTN)

Scelta del criterio ottimale

Materiali duttili • Di solito si utilizza il criterio della Massima Energia di Distorsione

• Scelta più comoda e conservativa: Massima Tensione Tengenziale

• Nei casi di asimmetria nelle proprietà del materiale: Mohr-Coulomb Duttile Materiali fragili • Mohr costruito con 3 prove (trazione, compressione e torsione) è il più preciso ma anche di difficile applicazione

• Si sceglie Mohr-Coulomb (fragile) o Mohr modificato

• Il criterio della Massima Tensione Normale è quello meno conservativo

Un esempio…

Materiale: Acciaio AISI 1035, Sy = 560 MPa, Su = 560 MPa, εr = 0.08 Diametro variabile tra 26 e 38 mm Determinare l’entità della forza F che produrrebbe snervamento nella leva

Azioni interne che interessano il tratto OC Flessione (max in O) Mf = 0.400F [Nm] Torsione (costante in tutto il tratto) Mt = 0.375F [Nm] Sollecitazioni

][..

.MPaF

F

d

M f

x 23100260

403232

33=

⋅

⋅=

⋅=

ππσ

][..

.MPaF

F

d

M txy 1090

0260

3750161533

=⋅

⋅=

⋅=

ππτ

Un esempio…

Momento flettente

Momento torcente

Un esempio…

Applicazione del criterio di Resistenza: occorre calcolare la sollecitazione equivalente che tiene conto della contemporanea presenza di σ e τ

Applicando il criterio di Huber-Von Mises (MED)

223 xyxeq τσσ +=

( ) ( ) 089004010903231022

... FFFeq =+=σ

Uguagliando la tensione equivalente così ottenuta alla tensione di snervamento si ottiene

MPaFeq 5600890040 == .σ

NF 18790890040

560==

.N.B. Quanto vale il coefficiente di sicurezza?

Esercizio….

Lo stato di tensione piana mostrato in figura, si sviluppa in un punto critico di uno stelo di endoprotesi d’anca. Il materiale impiegato per realizzare la struttura è un acciaio AISI 316L, per il quale è stata misurata una resistenza allo snervamento pari a 250 MPa Determinare il coefficiente di sicurezza dello stelo applicando: a)Il criterio della massima tensione tangenziale b)Il criterio della massima energia di distorsione

Suggerimenti per lo svolgimento: Tracciare i cerchi di Mohr, determinare le tensioni principali

Applicare il criterio della massima tensione tangenziale

Applicare il criterio della massima energia di distorsione in entrambe le formulazioni

Spiegare come mai i coefficienti di sicurezza calcolati per i due casi sono differenti

(diagrammare i criteri sui piani delle tensioni principali)