ELETTROSTATICA E FORZA DI COULOMB...Problemi: forza di Coulomb 1. Due particelle fisse di carica q 1...

EELETTROSTATICA E FFORZA DI COULOMB

RACCOLTA DI ESERCIZI CON SOLUZIONE

Lorenzo Andreassi PUOI TROVARE ALTRO MATERIALE DIDATTICO SU

www.lorenzoandreassi.it

Ecco a voi una raccolta di esercizi sull’elettrostatica e sulla forza di Coulomb. Sono tutti esercizi da svolgere con soluzione finale.

BUON LAVORO!

Esercizi risolti

Esercizio 1 Come varia l’intensita della forza F se una delle due cariche elettriche raddoppia la sua intensita?

Risoluzione

Se nella formula della legge sostituiamo al posto di Q1 la quantita 2Q1, otteniamo:

F ′ = k(2Q1)Q2

r2= 2k

Q1Q2

r2= 2F

Concludiamo che l’intensita della forza elettrica F raddoppia.

Esercizio 2 Come varia l’intensita della forza F se entrambe le cariche elettriche raddoppiano la loro intensita?

Risoluzione

Se nella formula della legge sostituiamo al posto di Q1 e Q2, rispettivamente, le quantita 2Q1 e 2Q2, otteniamo:

F ′ = k(2Q1)(2Q2)

r2= 4k

Q1Q2

r2= 4F

Concludiamo che l’intensita forza elettrica F quadruplica.

Esercizio 3 Come varia l’intensita della forza F se la prima carica raddoppia e la seconda carica triplica?

Risoluzione

Se nella formula della legge sostituiamo al posto di Q1 e Q2, rispettivamente, le quantita 2Q1 e 3Q2, otteniamo:

F ′ = k(2Q1)(3Q2)

r2= 6k

Q1Q2

r2= 6F

Concludiamo che l’intensita forza elettrica F diventa 6 volte maggiore.

Esercizio 4 Come varia l’intensita della forza F se le cariche Q1 e Q2 diventano, rispettivamente, m · Q1 en ·Q2?

Risoluzione

Se nella formula della legge sostituiamo al posto di Q1 e Q2, rispettivamente, le quantita m · Q1 e n · Q2,otteniamo:

F ′ = k(n ·Q1)(m ·Q2)

r2= (m · n) · kQ1Q2

r2= (m · n)F

Concludiamo che l’intensita forza elettrica F diventa n ·m volte maggiore.


Esercizio 5 Come varia l’intensita della forza F se l’intensita di una delle due cariche viene dimezzata?

Risoluzione

Se nella formula della legge sostituiamo al posto di Q1 la quantita 12 ·Q1, otteniamo:

F ′ = k( 12 ·Q1)Q2

r2=

1

2kQ1Q2

r2=

1

2F

Concludiamo che l’intensita della forza elettrica F si dimezza.

Esercizio 6 Come varia l’intensita della forza F se entrambe le cariche elettriche dimezzano la loro intensita?

Risoluzione

Se nella formula della legge sostituiamo al posto di Q1 e Q2, rispettivamente, le quantita 12 · Q1 e 1

2 · Q2,otteniamo:

F ′ = k( 12 ·Q1)(

12 ·Q2)

r2=

1

4kQ1Q2

r2=

1

4F

Concludiamo che l’intensita forza elettrica F diventa 4 volte inferiore.

Esercizio 7 Come varia l’intensita della forza F se la distanza tra le cariche raddoppia?

Risoluzione

Se nella formula della legge sostituiamo al posto di r la quantita 2r, otteniamo:

F ′ = kQ1 ·Q2

(2r)2=

Q1Q2

4r2=

1

4F

Concludiamo che l’intensita forza elettrica F diventa 4 volte minore.

Esercizio 8 Come varia l’intensita della forza F se la distanza tra le cariche viene dimezzata?

Risoluzione

Se nella formula della legge sostituiamo al posto di r la quantita 12r, otteniamo:

F ′ = kQ1 ·Q2

( 12r)2

=Q1Q214r

2= 4F

Concludiamo che l’intensita forza elettrica F diventa 4 volte maggiore.

Esercizio 9 Come varia l’intensita della forza F se la carica Q1 triplica e la distanza r tra le cariche raddoppia?

Risoluzione

Se nella formula della legge sostituiamo al posto di Q1 la quantita 3 · Q1 e al posto di r la quantita 2r,otteniamo:

F ′ = k(3 ·Q1) ·Q2

(2r)2=

3

4· kQ1Q2

r2=

3

4F

Concludiamo che l’intensita forza elettrica F si riduce di 34 .

Esercizio 10 Due cariche puntiformi Q1 = 3C e Q2 = 5C sono poste a una distanza di 2m. Calcolare ilmodulo della forza elettrica.

Risoluzione

Se nella formula della legge sostituiamo i dati, otteniamo:

F = kQ1 ·Q2

r2= 9 · 109 · 3 · 5

4= 9 · 109 · 15

4= 33, 75 · 109 = 3, 37 · 1010N


Esercizio 11 Due cariche puntiformi Q1 e Q2 = 7C sono poste a una distanza di 3m. Calcolare l’intensitadella carica Q1 sapendo che il modulo della forza elettrica e di F = 1 · 106N .

Risoluzione

Dall’espressione della legge di Coulomb si ottiene:

F = kQ1 ·Q2

r2⇒ Q1 =

F · r2k ·Q2

Sostituendo i dati si ha:

Q1 =106 · 9

9 · 109 · 7 =106

7 · 109 =1

7· 10

6

109= 0, 14 · 106−9 = 0, 14 · 10−3 = 1, 4 · 10−4C

Esercizio 12 Determinare la distanza tra due cariche puntiformi Q1 = 6C e Q2 = 5C sapendo che interagis-cono con una forza pari a F = 1 · 1012N .

Risoluzione


F = kQ1 ·Q2

r2⇒ r2 = k

Q1 ·Q2

F⇒ r =

√kQ1 ·Q2

F


r =

√9 · 109 · 6 · 5

1012=

√270 · 109−12 =

√270 · 10−2 =

√20 · 10−2 = 5, 1 · 10−1 = 0, 51m = 51cm

Esercizio 13 Determinare il modulo della forza elettrica che si esercita fra le cariche Q1 = 6C e Q2 = 5Csapendo che interagiscono con una forza pari a F = 1 · 1012N .

Risoluzione


F = kQ1 ·Q2

r2⇒ r2 = k

Q1 ·Q2

F⇒ r =

√kQ1 ·Q2

F


r =

√9 · 109 · 6 · 5

1012=

√270 · 109−12 =

√270 · 10−2 =

√20 · 10−2 = 5, 1 · 10−1 = 0, 51m = 51cm

Esercizio 14 Determinare il modulo della forza elettrica che si esercita fra le cariche Q1 = 3C e Q2 = 7Cposte a una distanza di 6m e che interagiscono nell’acqua (εr = 80).

Risoluzione

Sostituendo i dati nell’espressione della legge di Coulomb si ottiene:

F =k

εr

Q1 ·Q2

r2=

9 · 10980

· 3 · 736

= 0, 065 · 109 = 6, 5 · 107N


Problemi: forza di Coulomb1. Due particelle fisse di carica q1 = + 8q e q2=-2q sono poste rispettivamente

nell’origine dell’asse x ed in un punto di coordinata x = L.In che punto, a distanza finita, si può collocare un protone p in modo che resti inequilibrio ?

Idea chiave:Per avere equilibrio, la forza netta sul protonedeve essere nulla, cioè

con F1 = forza esercitata da q1 su pF2 = forza esercitata da q2 su p

da cui

Il punto di equilibrio può essere solo sull’asse x. Ne determino la posizione con il seguente ragionamento:

1) il punto di equilibrio NON può trovarsi tra le cariche, dato che F1 ed F2 avrebberoversi concordi (vedi figura b));

2) NON può trovarsi a sinistra di q1: sebbene in tale zona F1 ed F2 abbiano versi discordi,F1 è sempre maggiore di F2, essendo generata da carica maggiore posta a distanza minore

3) alla destra di q2 le forze hanno ancora versi opposti e posso quindi cercare in taleregione una posizione di equilibrio, essendo la carica maggiore più lontana:

021 FF

2121 FFFF

20

20

21 )(2

418

41

Lxqq

xqq

FF pp N.B. le cariche appaiono qui in modulo

Lxx

Lxx

Lx

221412


2. Tre cariche puntiformi sono poste ai vertici di un triangolo equilatero, comemostrato in figura. Calcolare la forza elettrica risultante sulla carica di 7.00 C

NjiFFF )436.0755.0(21

La forza netta sulla carica di 7.00 C è datadalla somma vettoriale delle forze F1 ed F2dovute rispettivamente alle cariche di 2.00 C e -4.00 C.

Tali forze valgono in modulo:

Proietto tali forze su x ed y:

La forza totale è quindi:

Posso anche scriverla come:

xassesottotgFF

tg

NNNFFF

x

y

yx

011

2222

0.30755.0436.0

872.0)436.0()755.0(


3. Due piccole sfere di massa m sono appese a delle funicelle di lunghezza l chesono collegate in un punto comune, come mostrato in figura.Una sfera ha carica Q e l’altra ha carica 2Q. Si assuma che gli angoli 1 e 2 che lefunicelle formano con la verticale siano piccoli.

a) come sono correlati 1 e 2 ?b) dimostrare che la distanza e fra le sfere è data da:

c) quanto vale Q se l= 120 cm, m =10 g e r = 5.0 cm ?

3/124mg

lQkr e

a) Le sfere hanno cariche diverse,ma ciascuna esercita una forza uguale econtraria sull’altra di modulo:

ove r è la distanza fra esse. Dato che le masse sono uguali deve essere

1 = 2

2

2r

QQkF ee

1 2

r2Q Q

mg

Fe

T Tcos

Tsin

b) Perché ci sia equilibrio per ogni sfera il bilancio delle forze deve essere nullo:

a piccoli angoli quinditg sin

tgmgmgF

mgT

TFFmgTF

TFFF

eex

y

ge

cossin

cos/

0sin

0cos

0

lr2

3/1232

2

2 4422

sinmg

lQkrmgrlQkrQk

lrmgmgF e

eedefe

c) Esplicito Q:

CmCNm

msmkglk

mgrQ

mgrlQk

e

e

82/1

2229

32232/13

32

1068.1)10120)(/109(4

)100.5)(/8.9)(1010(4

4


Problemi: campi elettrici4. Un dipolo elettrico è costituito da una carica puntiforme positiva q ed una negativa –q

separate da una distanza 2a.

a) trovare il campo elettrico E docuto al dipolo lungo l’asse y nel punto P a distanza ydall’origine.

b) trovare il campo nei punti y >> a lontani dal dipolo.

22221 yaqk

rqkEE ee

a) In P i campi E1 ed E2 generati dalle cariche hanno uguale intensità, essendo le cariche poste alla stessa distanza da P:

il campo totale

ha componente y nulla, dato che i campi dovuti alle due cariche hanno componenti y uguali ed opposte.La componente x del campo E totale è invece parial doppio della componente x di ciascun campo:

b) A grandi distanze dal dipolo posso trascurare il termine a2 nel denominatore, ottenendo:a grandi distanze il campo del dipolo va ha zero piùvelocemente del campo prodotto da una carica puntiforme(E 1/y2) , dato che i campi prodotti dalle singole cariche(positiva e negativa) tendono ad elidersi

21 EEE

2/322222222

22

22

22cos2

//cos

cos2

yaqak

yaa

yaqk

yaqkE

yaara

yaqkE

eee

e

33

12yy

qakE e

N.B. molte molecole, come HCl, possono essere descritte come dipolipermanenti: uno ione positivo (H+) è infatti combinato con uno ione negativo (Cl-). Inoltre atomi e molecole, quando posti in campi elettrici, si comportano come dipoli.


5. Un anello di raggio a ha una densità lineare di carica positiva uniforme, con caricatotale Q. Calcolare il campo elettrico lungo l’asse dell’anello, in un punto P posto a distanza x dal centro dell’anello stesso.

2rdqkdE e

Idea chiave:• calcolo il campo dE prodotto

da un elemento infinitesimo di carica dq, che posso supporre puntiforme

• sommo i contributi dovute alle cariche dqdistribuite sull’anello

Tale campo ha componenti

delle quali la componente y si cancella con la componente y dell’elemento di carica dq posta sul latoopposto dell’anello. Il campo E in P avrà quindi solo componente x.Sapendo che

Integro ora su tutto l’anello:

sincos

dEdEdEdE

y

x

dqaxxk

rx

rdqkdEdE

rxaxr

eex 2/3222

2/122

)(cos

/cos,)(

QaxxkE

dqaxxkdq

axxkdEE

ex

eexx

2/322

2/3222/322

)(

)()(

N.B. A grandi distanze E 1/x2 (carica puntiforme)


6. Una bacchetta di lunghezza l = 14.0 cm, uniformemente carica, è piegata a forma di semicerchio, come mostrato in figura. Se la bacchetta possiede una carica totaleQ = .7.50 C, trovare modilo, direzione e verso del campo elettrico nel centro del semicerchio.

2rdqkdE e

Idea chiave:• calcolo il campo dE prodotto

da un elemento infinitesimo di carica dq, che posso supporre puntiforme

• sommo i contributi dovute alle cariche dqdistribuite sull’anello

ove

Le componenti y del campo prodotto da elementi di carica dq simmetrici rispetto all’asse x si annullano, mentre le componenti x si sommano:

Integro ora su tutto la bacchetta:

Sapendo che:

Vettorialmente:

drdsdq

rkd

rkd

rrkdEE ee

exx2coscos 2

2

2

cos

0

dEdEE

x

y

)/1016.2()140.0(

)1050.7)(/1099.8(22/,

72

6229

2 CNm

CCNml

QkE

lrlQ

ex

iCNE )/1016.2( 7

r

dq

d


7. Un disco di raggio R possiede una densità di carica positiva uniformeQual è il campo elettrico nel punto P a distanza x dal disco lungo il suo asse?

2/3220

2/3222/322 )(2

4)()2(

)( xrrdrx

xrdrrxk

xrxdqkdE ee

Idea chiave:• scompongo il disco in sottili anelli concentrici • calcolo il campo dE prodotto da ciascun anello• sommo i contributi dovuti a tutti gli anelli

Su un anello di raggio r e spessore radiale deè depositata una carica

la quale genera un campo sull’asse del disco pari a

Integro ora su tutto l’anello:

Tale integrale è della forma

da cui:

R

drrrxxdEE0

2/322

0

)2()(4

drrdXmrxXconmXdXX

mm )2(,

23),(,

122

1

drrdAdq )2(

x

2/122

1)( xrxxER

22000 22/14 Rx

N.B. A grandi dimensioni (R>>x), il disco tende ad un piano infinitoil cui campo è pari a

02E


8. Due strati infiniti, non conduttori, sono paralleli fra loro, come in figura. Calcolare il campo E a destra, al centro ed a sinistra dei due piani nel caso in cui:a) i due piani posseggano distribuzioni di carica superficiale uniformi e di segno opposto;b) i due piani posseggano distribuzioni di carica superficiale uniformi e di ugual segno.

Idea chiave:• il campo E prodotto da un piano infinito

vale

a seconda che la carica su di esso sia positiva o negativa.

• calcolo il campo E totale come somma vettorialedel campi E1 ed E2, prodotti dalle singoledistribuzioni

E i02

a) Distribuzioni di segno opposto: nella regione 1 e 3 i campi prodotti dal piano con densità di carica + e – sono diretti in direzioni opposte, quindi i contributi si cancellano.Nella regione 2 i campi sono invece di verso concorde (lungo asse x)così che si ottiene un campo E di intensità totale

1 2 3

iiE002

2

b) Distribuzioni di segno uguale: regione 2 i campi prodotti dal piano condensità di carica + e – sono diretti in direzioni opposte, quindi i contributi si cancellano.Nelle regioni 1 e 3 i campi sono invece di verso concordecosì che si ottiene un campo E di intensità totale:

1 2 3

iiEiiE00

300

1 22,

22


Problemi: moto di cariche in campi elettrici9. In una stampante a getto d’inchiostro una goccia di massa m = 1.3 10-10 kg e con carica

negativa di modulo Q = 1.5 10-13 C penetra tra i piatti di deflessione, come mostrato infigura . Inizialmente la goccia si muove lungo l’asse x, con velocità v0x = 18 m/s.La lunghezza dei piatti è L = 1.6 cm. I piatti sono carichi e producono un campo elettricouniforme di intensità E = 1.4 106 N/C, diretto verso il basso. Quale è la deflessione verticale della goccia in corrispondenza dell’estremo di destradei piatti ? Si trascuri la forza di gravità.

Idea chiave:• Dato che la goccia è carica negativamente

ed il campo E è diretto verso il basso, sullagoccia agisce una forza elettrostatica QEdiretta verso l’alto.

• La goccia accelera verso l’alto con accelerazione costante

mQE

mFay

Le equazioni di moto, lungo x ed y sono:

Detto t’ il tempo di transito della goccia tra i piatti, gli spostamenti verticali ed Orizzontali in tale intervallo di tempo sono:

Ricavando t’ dalla seconda equazione e sostituendoli in 1) si ottiene:

0021

210

21

20

20

20

tvtatvxx

taytatvyy

oxxox

yyoy

Ltvx

tayyy

ox

y

')2

'21)1 2

0

mmmsmkg

mCNCvL

mQEtay

vLt

oxy

ox

64.0104.6)/18)(103.1(2

)106.1)(/104.1)(105.1(21'

21

'

410

22615

2

22


10. Una sferetta carica positivamente di massa m = 1.0 g cade da ferma, nel vuoto, da unaaltezza h = 5.00 m, in un campo elettrico uniforme verticale, di intensità E = 1.00 104 N/C. La sferetta colpisce il suolo ad una velocità v = 21.0 m/s. Determinare:a) il verso del campo elettrico;b) la carica sulla sferetta.

Idea chiave:• La sferetta risente di una accelerazione verticale costante, data dalla combinazione della accelerazione di gravità e dalla accelerazione relativa al campo elettrico. Il moto della sferetta è quindi uniformemente accelerato.

Per la velocità della sferetta vale la relazione:

da cui si ricava l’accelerazione:

Questa è l’accelerazione complessiva della sferetta, che inserita nella seconda legge di Newton permette di calcolare il campo E:

a) Sapendo che la sola accelerazione di gravità fornirebbe una velocità finale

per raggiungere la velocità di 21.0 m/s è necessario che il campo E sia verticale ediretto verso il basso, dato che la carica è di segno positivo.

b) La carica q della sferetta vale quindi:

)(20

)(22

22

hav

xxavv

f

ifif

hv

a f

2

2

jh

mvmgEq

jh

mvjqEjmgFFamF

f

fegnet

)2

(

22

2

smmsmghv

xxgvv

f

ifif

/90.9)00.5)(/8.9(22

)(22

22

CCsmsmkggvmq f 43.31043.3/8.9)/0.21(1000.1)( 62

232

y

0h

= 5

m Fg E

mCNhE )00.5(2/100.12 3


Problemi: teorema di Gauss11. Una sfera isolante di raggio a possiede una densità volumetrica uniforme ed una

carica totale Q positiva. Si calcoli:a) intensità del campo E fuori dalla sfera;b) intensità di E all’interno della sfera

Idea chiave:• applico il teorema di Gauss,

sfruttando la simmetria sferica della distribuzione di carica.

• Utilizzo una superficie sferica di raggio r concentrica con la carica, sulla cuisuperficie E è costante e perpendicolare in ogni punto.

a) Calcolo il flusso di E attraverso una superficie sfericaconcentrica con la carica ed esterna ad essa:

00

2 )4( QqrEdAEEdAAdE inE

T. di Gauss)(

41

20

arperrQE il campo esterno è equivalente

a quello di carica puntiforme

b) Calcolo il flusso di E attraverso una superficie sferica di raggio rconcentrica con la carica ed interna ad essa. Per applicare il T. di Gauss devo calcolare la carica qin contenuta all’interno di tale sfera di volume V’:

)34(' 3rVqin

)(43

4

)34(

4

)4(

300

20

3

20

0

2

arperra

Qr

r

r

rqE

qrEdAEEdAAdE

in

inE

T. di Gauss


12. Calcolare il campo elettrico a distanza r generato da un filo uniformemente caricopositivo di lunghezza infinita la cui densità lineare di carica è

Idea chiave:• applico il teorema di Gauss, sfruttando la

simmetria cilindrica della distribuzione di carica.

• Utilizzo una superficie cilindrica di raggio re lunghezza l , coassiale con il filo carico

Per simmetria della distribuzione di carica, il campo E deve essere perpendicolare al filo e diretto nel verso uscente.

Sui punti della superficie laterale del cilindro, E è costante in modulo ed è perpendicolarealla superficie in ogni punto.

Sulle basi E è parallelo e quindi perpendicolare a dA, dando così flusso nullo.

Il flusso di E è diverso da 0 solo attraverso la superficie laterale, di area A:

00

lqEAdAEEdAAdE inE

T. di Gauss

rrE

lrlEAE

12

)2(

0

0

il campo esterno varia più lentamente ( 1/r)che non ne caso di una distribuzione sferica ( 1/r2)


13. Trovare il campo elettrico creato da un piano isolante infinito con densità di carica superficiale

Idea chiave:• applico il teorema di Gauss, sfruttando la

simmetria della distribuzione di carica.

• Utilizzo una superficie cilindrica con asse perpendicolare al piano e che attraversa simmetricamente la distribuzione piana.

Per simmetria della distribuzione di carica, il campo E deve essere perpendicolare al pianocon verso uscente

Sui punti della basi del cilindro, E è costante in modulo ed è perpendicolarealla superficie delle basi in ogni punto.

Sulla superficie laterale E è parallelo e quindi perpendicolare a dA, dando così flusso nullo.

Il flusso di E è diverso da 0 solo attraverso le basi del cilindro, ciascuna di area A:

00

222 AqEAdAEEdAAdE in

basebaseE

T. di Gauss

0

0

2

2

E

AAE

il campo esterno è costante in ogni punto,indipendentemente dalla distanza dal piano

E è uniforme


Problemi: potenziale elettrico

14. Si calcoli il potenziale nel punto P, al centro del quadrato di cariche puntiformimostrate in figura. Si assuma d = 1.3 m, q1 = +12nC, q2 = -24 nC, q3 = +31 nC, q4 = +17 nC.

Idea chiave:• calcolo il potenziale elettrostatico in P

come somma algebrica dei potenziali creati dalle quattro cariche.

rq

rq

rq

rq

VVn

ii

4321

0

1

41

Essendo r la distanza fra le cariche, pari a

si ottiene:

2/222

2222 drdddr

Vm

CCNm

dqqqqV

3522/3.1

10)17312412()/1099.8(

2/)(

41

9229

4321

0


15. Le tre cariche in figura sono ai vertici di un triangolo isoscele di base 2.00 cm elati uguali di 4.00 cm. a) Calcolare il potenziale al centro della base, assumendo q = 7.00 C. b) Calcolare il campo elettrico nello stesso punto.

=q1

q2 q3a) Il potenziale in P è dato da:

ove le distanze della cariche da P sono:

da cui si ottiene:

32103

3

2

2

1

1

0

1

11144

1rrr

qrq

rq

rq

VVn

ii

mrr

mmmr2

32

222221

1000.1

1087.3)1000.1()1000.4(

Vmmm

CCNm

rrrqV

6

2226229

3210

100.1110

110

11087.31)1000.7)(/1099.8(

1114

Idea chiave:• calcolo il potenziale elettrostatico in P

come somma algebrica dei potenziali creati dalle quattro cariche.

• calcolo E come somma dei campi prodottidalle singole cariche

b) Le cariche negative producono in P campi E di verso opposto che quindi si annullano. Il campo in P è dato solo dalla carica q1:

jCNj

mCCNm

jrqEP

622

6229

210

102.41087.31)1000.7)(/1099.8(

41


ELETTROSTATICA E FORZA DI COULOMB...Problemi: forza di Coulomb 1. Due particelle fisse di carica q 1...

Documents

Transcript of ELETTROSTATICA E FORZA DI COULOMB...Problemi: forza di Coulomb 1. Due particelle fisse di carica q 1...