LA FORZA DI COULOMB A.1 q - UniBg · 2014. 3. 7. · LA FORZA DI COULOMB A.1. Date le due cariche...

Fisica generale II, a.a. 2012/2013 ESERCITAZIONE A: ELETTROSTATICA

1

LA FORZA DI COULOMB

A.1. Date le due cariche fisse della figura dove q1 = 0.2 C e

q2 = 0.5 C la posizione di equilibrio lungo l'asse x di una terza

carica mobile q3 = 0.01 C si trova nel punto con ascissa

(A) 1.721 m (B) 0.387 m (C) 0.500 m (D) 0.613 m (E) 2.721 m

SOLUZIONE. All'interno del segmento (0,1) non vi può essere punto di equilibrio perché le forze

esercitate su q3 da entrambe le cariche fisse hanno lo stesso verso (a destra nel nostro caso). Se si

impone l'uguaglianza in modulo delle forze su q3 si ottiene una equazione di secondo grado in x

02)1(

11

2

212

32

2

31

qxqxqqx

qkq

x

qkq

√ | |

| |

√

| |

| |

√

La posizione x2 deve essere scartata perché interna al segmento. La posizione di equilibrio di q3 è

perciò x1: q3, posta a sinistra di q1, è respinta da q1 e attratta da q2 con forze uguali in modulo. x2

rappresenta la posizione di equilibrio di una carica puntiforme q4 = | q3|= 0.01 C.

A.2. Tre cariche puntiformi q = 3C sono poste ai tre vertici di un

quadrato con lato l = 4 m; nel quarto vertice è posta la carica 2q. La

componente lungo x della forza agente su di una carica di 12 C posta al

centro del quadrato vale approssimativamente

(A) 0.114 N (B) 0.0286N (C) 0.0095 N

(D) 0.0286 N (E) 0.114 N

SOLUZIONE . Le forze attrattive che le

cariche q poste in C e in A esercitano sulla

carica posta in O al centro del quadrato hanno

somma nulla. La carica 2 q attrae la carica posta

in O con una forza doppia rispetto alla forza

attrattiva della carica q posta in D. Il sistema

equivale a una carica Q = 12C posta in O

attratta da una carica q = 3C posta in B; la

forza risultante è diretta lungo la diagonale del quadrato e la sua componente lungo l’asse x vale

quindi:

| |

√

1 m x

0

q2 q1

x

q3 q1 q2

F1,3 F2,3

(2,2)

(0,0)

q 2q

q q

x

y

B

S x

y

D

S A

S

B

S

C

S

O

S

y

x

B

S

O

S


2

qA qB

q A B

C

25 cm

Q2 Q1

p

5 cm

A.3. Agli estremi A, B di un segmento lungo 100 cm sono

vincolate due cariche positive con qA = 1 nC e qB = 3 nC. Una

terza carica positiva q = 6 nC è libera di muoversi lungo il

segmento AB e all’equilibrio raggiunge un punto C compreso tra

A e B. La distanza CB vale circa (arrotondare)

(A) 50 cm (B) 59 cm (C) 69 cm (D) 76 cm (E) 63 cm

SOLUZIONE. La posizione di equilibrio della carica q è quella in cui essa subisce da qA e qB forze

repulsive uguali in modulo. Essendo |AB|= 1m, detta x la distanza (espressa in metri) tra q e qB si ha

√

La posizione x2 è esterna al segmento e non corrisponde a una posizione di equilibrio. Dunque

CB 0.63 m= 63 cm.

NB. Viene naturale assumere A come origine dell’asse delle ascisse; in questo caso però la x è la

distanza |AC| mentre il problema chiede (in metri) |CB|=1x. Anche se il procedimento è corretto,

scambiare x con 1x è una disattenzione molto costosa.

A.4. Una carica q = 4.1(106

)C è nell’origine. Se si vuole che su una carica Q = 1.6(107

)C si

eserciti una forza di intensità 6.3(106

) N nella direzione positiva dell’asse x questa carica deve

essere posta nel punto di ascissa

(A) 3.14 m (B) 30. 6 m (C) ________ (D) 18. 4 m (E) 30.6 m

SOLUZIONE. Tra le due cariche, concordi, si esercita una forza repulsiva; Q deve quindi stare a

destra di q (ascissa positiva) a una distanza x tale che

√

A.5. Una carica Q1 = 1 C è posta su di una sferetta metallica di

massa m = 30 g appoggiata a un estremo di una bacchetta isolante

lunga L = 30 cm. All’altro estremo della bacchetta è incollata una

seconda sferetta, identica alla prima, con una carica di Q2 = 0.1 C.

Se la bacchetta ruota in un piano orizzontale attorno all’asse

verticale p della figura, per quale periodo di rotazione la prima

sferetta si staccherà dalla bacchetta?

(A) 1.40 s (B) 2.43 s (C) 3.15 s (D) 5.44 s (E) _____

SOLUZIONE. La sferetta con carica Q1 subisce, oltre alla forza coulombiana attrattiva FCoulomb

dell’altra sferetta distante L = 0.3 m, la forza centrifuga Fcentr dovuta al moto circolare piano a

distanza di 0.05 m dall’asse p. La condizione di distacco è quindi

| |

√


3

A.6. Secondo il modello atomico di Bohr, l’elettrone dell’atomo d’idrogeno (con massa

me 9.11 1031

kg, carica q = e 1.6 1019

C) percorre un’orbita circolare di raggio

r 5.3 1011

m attorno al suo nucleo con frequenza pari a circa

(A) 107 Hz (B) 13.5 10

12 Hz (C) 6.6 10

15 Hz (D) 3.0 10

8 Hz (E) 9.0(10

16)Hz

SOLUZIONE. Secondo il modello di Bohr, l’elettrone ruota attorno al nucleo su un’orbita di

raggio tale che la forza attrattiva coulombiana uguagli in modulo la forza centrifuga repulsiva:

√

√

IL CAMPO ELETTRICO

A.7. Due cariche Q1 = 3.5 C e Q2 = 1.2 C sono tenute fisse su due punti

diametralmente opposti di una circonferenza mentre la carica q = 1.1 C è

libera di muoversi solo sulla stessa circonferenza. Nel punto in cui la carica

q è in equilibrio l’angolo 1 della figura vale circa

(A) 55° (B) 35° (C) 74°

(D) 16° (E) 45°

SOLUZIONE. La carica q è in equilibrio se e solo se il campo risultante

E1+E2 ha componente tangenziale nulla lungo la circonferenza (cioè è

diretto come la retta qC). Poiché il triangolo Q1qQ2 è inscritto in una semicirconferenza, esso è

rettangolo; 1 e 2 sono angoli complementari e d2 = tan(1) d1.

Osservando che i triangoli qCQ1 e qCQ2 sono isosceli e utilizzando

l’uguaglianza di angoli opposti al vertice si ricavano le relazioni

angolari rappresentate nella figura. Uguagliando il modulo delle

componenti tangenziali di E2 e di E1 si ha:

√

(√

)

A.8. Nei vertici A e B di un triangolo equilatero sono state poste le cariche QA e

QB. Nel terzo vertice C si trova che il campo elettrico è normale a CB e diretto

nel verso indicato. Se la carica QA vale +1 C, la carica QB vale

(A) 1 C (B) 0.5 C (C) 0.87 C

(D)0.87 C (E) non esiste

SOLUZIONE. Poichè il campo totale ha componente nulla

lungo la retta CB, QB deve essere tale che

| | | | | |

| |

| |

| |

Perciò la carica in B è negativa e pari alla metà di quella in A: QB = 0.5 C.

1

C

q

Q 2

E1

Q 1

E2

d1 d2

1

1

C

q

Q 2

E1

Q 1

d1 d2

E2

C E

B A

EA

B A

EB

Etot

C


4

A.9. Sui sei vertici di un esagono di lato d = 0.25 nm sono collocati tre ioni

ossigeno (cerchi neri, O2

; carica 2e = 3.21019

C) e tre ioni cesio (cerchi

bianchi, Cs+; carica e = 1.610

19 C). Se la distanza massima tra gli atomi di

ossigeno vale 3 d e la minima d, il modulo del campo elettrico nel centro

dell’esagono vale (k = costante elettrica =1/40)

(A) 0 (B) 2

3

d

ke (C)

2

27

d

ke

(D) 2

6

d

ke (E)_____

SOLUZIONE. Il campo creato al centro dell’esagono dalla coppia di ioni ossigeno-cesio B-B è la

somma dei campi equiversi creati dai singoli ioni: è diretto lungo la diagonale B-B e di modulo

Le altre due coppie di ioni creano al centro dell’esagono campi uguali in modulo a EBB e formanti

con esso angoli di 60°. Il campo risultante è quindi diretto da B a B e pari in modulo a

A.10. Due cariche Q1 = 0.3 C e Q2 = 0.4 C si trovano agli estremi

di un diametro di una circonferenza di raggio 0.5 m. Il punto P

della circonferenza dove il campo elettrico è normale al diametro

ha ascissa x (vedi figura) pari a

(A) 0.10 m (B) 0.20 m (C) 0.36 m

(D) 0.64 m (E) 0.80 m

SOLUZIONE. Poichè il triangolo Q1PQ2 è inscritto in una

semicirconferenza, esso è rettangolo; e sono complementari e

tan() = d2/d1. Inoltre, esso è simile al triangolo rettangolo avente per cateti E2 ed E1:

Dalle relazioni precedenti ricaviamo

(

)

e per x si ha

A.11. Un grammo di idrogeno atomico viene separato in NA 6.02(1023

) protoni, ciascuno con

carica e = 1.6(1019

) C e in altrettanti elettroni (con uguale carica negativa); i protoni vengono

portati al polo Nord e gli elettroni al polo Sud. Se il raggio terrestre è RT 6340 km, il campo

elettrico al centro della Terra vale (in N/C)

(A) 98 (B) 0 (C) 43 (D) 4(107) (E) ___________

SOLUZIONE. Il campo elettrico al centro della Terra è la sovrapposizione dei due campi elettrici,

uguali in modulo, direzione e verso, creati da una coppia di cariche opposte pari in modulo a

poste a distanza RT dal centro della Terra. Il verso del campo è dal Polo Nord al Polo Sud e la sua

intensità è pari a

A

A

B

B

C C

E1 E2

E1+E2

P

Q2 Q1

1 xP 0

d1 d2

x


5

A.12. Il campo elettrico nel terzo vertice P di un triangolo equilatero di lato r = 0.2 m, in cui gli altri

due vertici sono occupati ciascuno da una carica q = 15 nC (positiva), vale in modulo

(A) 3375 V/m (B) 5846 V/m (C) 10125 V/m (D) 17537 V/m (E) ______

SOLUZIONE. Se A eB sono i vertici occupati dalle cariche, il campo in C è

verticale e pari in modulo a

A.13. Una carica q1 = 5.5 (108

) C è nell’origine dell’asse x e una carica q2 = 3.3(108

) C si trova

in x2= 0.58 m. A che punto dell’asse x il campo è nullo?

(A) 2.58 m (B) 1.38 m (C) 0.28 m (D) 0.95 m (E) 0.11

SOLUZIONE. Nel segmento compreso tra le due cariche esse producono campi con lo stesso

verso; l’ascissa corrispondente al punto in cui il campo si annulla sarà quindi esterna al segmento e

sarà soluzione dell’equazione:

| |

| |

√

| |

| | | |

L’unica soluzione accettabile è xB. xA corrisponde al punto in cui il campo sarebbe nullo se q1 e q2

fossero cariche concordi.

TEOREMA DI GAUSS

A.14. Calcolare il campo elettrico a distanza r di un filo infinitamente lungo, posto lungo l’asse x,

caricato con una densità lineare di carica lin (in C/m).

SOLUZIONE. Per considerazioni di simmetria, il campo

elettrico generato da un filo di lunghezza infinita:

a) deve avere direzione perpendicolare al filo

b) deve avere lo stesso modulo in punti equidistanti

dal filo.

Per il calcolo del campo, applichiamo la legge di Gauss a

un cilindro di altezza h e di raggio r, che ha per asse il

filo. Per la considerazione a) il flusso di E è diverso da

zero solo attraverso la superficie laterale Slat = (2rh); poiché linh è la carica contenuta nel cilindro

si ha

rrE

hrrhE

0

lin

0

lin

2)()(2)(

E

A B

C EB EA

A

r

Er

Er

h


6

A.15. Due fili paralleli e distanti D = 1.25 m portano la stessa carica positiva con una densità lineare

lin = 3.8∙106

C/m. Il campo in un punto P distante d1 = 0.75 m dal primo filo e d2 = 2 m dall’altro

vale in modulo

(A) 5.7104 V/m (B) 1.2510

5 V/m (C) 8.5510

4 V/m (D) 4.5610

4 V/m (E)3.1410

4 V/m

SOLUZIONE. Per il principio di sovrapposizione, il campo in P è

la somma dei contributi dei due fili:

| |

(

)

(

)

A.16. Calcolare il campo elettrico E(r) in un generico punto P posto a distanza r dal centro di un

sfera isolante di raggio R, caricata con carica Q e densità di carica , funzione della distanza r dal

centro della sfera, secondo la relazione: = R

r0 .

SOLUZIONE. Per il calcolo del campo per r < R utilizziamo la legge di Gauss applicata a una

superficie sferica di raggio r. La carica interna a questa superficie è pari a

∫

∫

∫

Poiché deve essere si trova per 0 l’espressione

e l’espressione precedente può essere scritta come

(

)

Il campo E(r) vale

(

)

Per r R, e

Per r R, quindi, il campo è quello che una carica puntiforme Q posta al centro della sfera

genererebbe a distanza r.

A.17. Una carica elettrica Q = 10 C è distribuita uniformemente, cioè a

densità costante, nel volume di una sfera di raggio RS = 10 cm. Il rapporto

tra il campo elettrico a R1 = 5 cm dal centro e il campo elettrico a R2 = 15 cm

dal centro, E(R1)/E(R2), vale circa

(A) 1/9 (B) 4/9 (C) 3/2

(D) 1.66 (E) 1.125

SOLUZIONE. Per R > RS, il campo è quello di una carica puntiforme Q

posta al centro della sfera:

Filo 1 Filo 2

D d1

P EP

E1

2R1

E2

2RS

2R2


7

Per il calcolo del campo per R< RS utilizziamo la legge di Gauss applicata a una superficie sferica di

raggio R1. La carica interna a questa superficie è pari a

(

)

e il campo E(R1) vale

(

)

Dunque

A.18. Si consideri la superficie chiusa del cubo di lato a

mostrato in figura. Il flusso del campo elettrico attraverso tale

superficie quando è presente un campo elettrico E = E0i

(costante e diretto come l’asse delle x) vale

(A) E0a2 (B) 2 E0a

2 (C) 6E0a

2

(D) (E) 0

SOLUZIONE. Il flusso di E è diverso da zero solo attraverso

le facce A e B del cubo perpendicolari al campo. Il versore normale alla faccia B (nB) ha verso

opposto a quello del campo; il versore normale alla faccia A (nA) ha lo stesso verso del campo e si

ha:

Si può giungere alla stessa conclusione applicando la legge di Gauss e considerando che il cubo non

contiene cariche in quanto il campo uniforme ha divergenza ovunque nulla.

A.19. Con riferimento al problema precedente, se il campo elettrico è diretto come l’asse delle x e

vale E = (C∙x) i, con C = costante positiva, la carica contenuta nel cubo vale

(A) 0Ca (B) 0C/a3 (C) 0Ca

3 (D) (E) 0

SOLUZIONE. Il flusso di E è diverso da zero solo attraverso le facce A e B del cubo

perpendicolari al campo.

Per il teorema di Gauss,

Si arriva alla stessa conclusione considerando che

∫

A.20. Su una barra cilindrica di alluminio lunga L = 2 m e avente diametro d = 3 cm viene posta una

carica Q = 5 C. Il campo elettrico alla superficie della barra a distanza uguale dagli estremi vale in

modulo

(A) 0.54 MV/m (B) 3.0 MV/m (C) 5.4 MV/m (D) 13.5 MV/m (E) 25 MV/m

SOLUZIONE. La densità lineare di carica sulla barra conduttrice vale lin = Q/L. Per simmetria, in

ogni punto P equidistante dagli estremi della barra il campo E è perpendicolare alla superficie

cilindrica della barra stessa come nel caso del cilindro conduttore indefinito.

x

y

z

E

a

B

A


8

Utilizzando l’espressione del campo elettrico generato da un cilindro conduttore in un punto P a

distanza r si ha

| |

Sostituendo i dati del problema con r = d/2 si ottiene

| |

A.21. Il modulo del campo elettrico immediatamente sopra il punto centrale di una piastrina

metallica carica a forma di quadrato di lato L = 20 cm e 0.1 mm di spessore è di 150 V/cm. La

carica elettrica complessiva della piastrina vale circa

(A) 2.6 nC (B) 5.1 nC (C) 5.8 nC (D) 10.6 nC (E) 15.4 nC

SOLUZIONE. Per simmetria, il campo elettrico immediatamente sopra il punto centrale di una

piastrina metallica carica è perpendicolare alla piastra stessa come nel caso della lastra conduttrice

infinitamente estesa, e per distanze sufficientemente piccole dalla lastra, indipendente dalla

distanza. Utilizzando l’espressione del campo elettrico generato da una lastra conduttrice

infinitamente estesa (vedi lezione I) si ha:

| |

A.22. Il rivelatore di un contatore Geiger è costituito da un filo lungo L = 0.1 m e diametro

d = 0.1 mm in asse con un cilindro metallico vuoto con diametro interno D = 1 cm. Filo e cilindro

sono sotto vuoto e portano cariche di segno opposto e uguali in valore assoluto. Se il modulo del

campo elettrico in prossimità della superficie interna del cilindro è |E1| = 3(104) V/m, il campo E2 in

prossimità del filo vale in modulo

(A) 6(104) V/m (B) 3(10

4) V/m (C) 3(10

6) V/m (D) 3(10

7) V/m (E) 3(10

4) V/m

SOLUZIONE. Il campo elettrico tra filo e cilindro metallico conduttore, diretto

orizzontalmente nella figura per ragioni di simmetria, è dovuto unicamente al

filo. Il filo carico produce un campo pari in modulo a

| |

dove lin è la densità lineare di carica e r la distanza dal filo. Si ha pertanto:

| ( )|

| ( )|

| (

)|

A.23. Un cubo di spigolo a ha un vertice nell’origine O di un

sistema di riferimento cartesiano ortogonale ed è disposto come in

figura. Si calcoli il flusso del campo elettrico attraverso la superficie

del cubo e la carica Q contenuta nel volume delimitato dal cubo, nei

casi in cui il campo elettrico E sia dato da (, costanti):

a) E = x2 i;

b) E = (x i + y j ).

D

L

x

y

z


9

SOLUZIONE. Nel caso a), il campo elettrico è diretto lungo l’asse x e il flusso di E attraverso la

superficie del cubo è quello attraverso le facce del cubo perpendicolari a tale asse: poiché tuttavia il

campo è nullo in corrispondenza alla faccia del cubo posta sul piano yz (x = 0) si ha

Per la legge di Gauss:

Nel caso b), il flusso di E attraverso la superficie del cubo è quello attraverso le facce del cubo

perpendicolari all’asse x e all’asse y: di nuovo, il campo è nullo in corrispondenza alla faccia del

cubo posta sul piano yz (x = 0) e attraverso alla faccia del cubo posta sul piano xz (y = 0) e quindi


A.24. Un parallelepipedo di spigoli a = 10 cm, b = 15 cm, c = 20 cm, ha un vertice nell’origine O di

un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e gli spigoli coincidenti con gli assi cartesiani. Nella

regione è presente un campo elettrico E = (5x i 4 y j +3z k )·105 V/m. Si calcoli:

a) il flusso del campo elettrico attraverso la superficie del cubo;

b) la carica Q contenuta nel volume delimitato dal cubo;

c) la densità di carica, supponendo sia costante.

SOLUZIONE. Spezziamo il campo elettrico nelle sue componenti cartesiane

e calcoliamo il flusso attraverso le facce del parallelepipedo ortogonali agli assi:


E, in caso di densità di carica costante,

POTENZIALE ELETTRICO

A.25. Una sfera conduttrice di raggio R1 = 25 cm e carica iniziale q1 = 4 C è posta brevemente in

contatto elettrico con una seconda sfera conduttrice di raggio R2 = 40 cm e carica iniziale

q2 = 2 C posta a d = 3 m di distanza dalla prima sfera. Dopo che il contatto è stato rimosso le due

sfere si respingono con una forza pari a circa

(A) 0 N (B) 0.95 mN (C) 8.0 mN (D) 8.52 mN (E) 9 mN


10

SOLUZIONE. Durante il contatto elettrico, la carica negativa della seconda sfera neutralizza

parzialmente quella della prima; sul sistema, dopo il contatto, c’è una carica totale

QTOT =q1 + q2 = 2 C che si ridistribuisce sulla superficie dello stesso in modo da renderla

equipotenziale. Indicando con q1’ e q2’ le cariche finali delle due sfere, entrambe positive, e

uguagliando i loro potenziali elettrici V1’ e V2’si ha dunque

(

)

e la forza repulsiva coulombiana tra le sfere è pari a

| |

A.26. Due sferette conduttrici cariche di raggio pari a R = 1 cm si attraggono inizialmente con una

forza |F1| = 5 N quando sono alla distanza d1 = 1 m. Dopo essere state poste per un attimo in

contatto elettrico mediante un filo conduttore, le due sferette, sempre alla distanza di 1 m, si

respingono con una forza di intensità |F2| = 1 N. Il rapporto tra le cariche iniziali sulle sfere vale in

valore assoluto (si scelga il rapporto >1)

(A) 1.67 (B) 1.86 (C) 2.38 (D) 3.14 (E) 5.83

SOLUZIONE. Poiché F1 è attrattiva, le cariche iniziali sulle due sferette, qA e qB, hanno segno

opposto. Dall’espressione di |F1| si ha:

| |

| | | |

| | | |

| |

Durante il contatto elettrico, una carica totale pari alla somma algebrica QTOT =qA + qB si

distribuisce sulle due sferette in modo da renderle equipotenziali; poiché le sfere hanno lo stesso

raggio, si avrà qA’ = qB’ = QTOT/2, quindi dall’espressione di |F2| si ha:

| |

(

)

√

| |

L’equazione di secondo grado che ha come soluzioni qA e qB con somma e prodotto noto è la

seguente (si assuma la carica totale positiva):

Poiché qA∙qB < 0, il discriminante dell’equazione è sempre positivo e l’equazione ha due soluzioni

reali:

√

√

Scegliendo |qA| > |qB| si trovano i valori numerici |qA| 3.636∙105

, |qB| 1.528∙105

e | |

| |

Si noti che non è possibile stabilire quale sia la carica negativa e quale quella positiva.


11

A.27. Due sferette cariche, ambedue di 0.15 cm di raggio, si attirano inizialmente con una forza di

intensità 90 N quando sono poste alla distanza di 1 m. Dopo essere state poste per un attimo in

contatto elettrico mediante un sottile filo conduttore, le due sferette, sempre alla distanza di 1 m, si

respingono con una forza di 40 N. Tra le seguenti affermazioni sono vere (segnare con V quelle

vere e con F quelle false)

(A) Le due cariche iniziali hanno segno opposto e valori assoluti diversi.

(B) Le due cariche finali hanno lo stesso valore e lo stesso segno.

(C) Con i dati del problema non è possibile determinare i segni delle cariche iniziali e finali.

(D) Il valore assoluto di una delle due cariche iniziali è di 20 C.

(E) Il valore assoluto di una delle due cariche finali è di 66.7 C.

SOLUZIONE. L’affermazione (A) è vera: il segno opposto delle cariche iniziali dipende dal fatto

che la forza coulombiana è inizialmente attrattiva, e la differenza tra i valori assoluti delle cariche

dipende dal fatto che, in caso contrario, dopo il contatto elettrico il sistema sarebbe neutro.

L’affermazione (B) è vera: forza finale repulsiva implica cariche finali concordi, e poiché, dopo il

contatto elettrico, le due sfere sono equipotenziali, essendo esse identiche devono avere la stessa

quantità di carica.

L’affermazione (C) è vera: si veda il problema precedente come esempio.

L’affermazione (E) è vera: il valore delle cariche finali qf (uguali in modulo e segno, vedi punto B)

si trova imponendo:

√

L’affermazione (D) è falsa: se il valore assoluto di una delle due cariche iniziali fosse di 20 C, il

valore dell’altra sarebbe

√

e il valore di qf sarebbe in modulo pari a |22.360.067|/2 11.15 mC in contrasto con quanto

calcolato in (E).

A.28. Una carica elettrica q0 = +1 mC si trova nell’origine di un asse mentre una carica negativa

q1= 4 mC si trova nel punto di ascissa x = –1 m. Sia Q il punto dell’asse dove il campo elettrico si

annulla e P il punto di ascissa positiva dove il potenziale elettrico si annulla. Il rapporto xQ/xP vale

(A) 1/3 (B) 1/2 (C) 1 (D) 2 (E) 3

SOLUZIONE. La situazione è schematizzata nella figura.

Trattiamo dapprima il problema dell’annullamento del

campo elettrico. A destra di q0 (ascisse positive) i due campi

E0 ed E1 hanno verso opposto e la loro somma si può

annullare. Tra le due cariche, i due campi hanno lo stesso

verso e non si possono annullare. A sinistra di q1, |E1| è

sempre maggiore di |E0|. Il punto Q in cui il campo elettrico si annulla dovrà quindi avere ascissa

xQ > 0 Uguagliando i moduli dei due campi:

m3/1

m1412

1 Q

Q2

QQ

2

Q2

Q

1

2

Q

0

10 x

xxxx

x

q

x

qEE

Pertanto xQ = 1 m.

Trattiamo ora il problema dell’annullamento del potenziale elettrico, somma dei potenziali

1 0 xQ xP

E0 E1

E0 E1

q1 q0


12

1 e

P

1e1

P

0e0

x

qkV

x

qkV

dovuti alle due cariche. Essendo V0 < 0, V1 > 0 e |q1| > |q2|, anche il punto P dovrà avere ascissa

positiva. Per non lavorare con i valori assoluti delle ascisse uguagliamo i quadrati dei potenziali

m5/1

m3/11612

1 P

P2

PP

2

P2

P

2

1

2

P

2

0

x

xxxx

x

q

x

q

Pertanto xP = 1/3 m e xQ/xP = +3

A.29. Nei dintorni del punto O (origine degli assi cartesiani) dove si annulla, un campo elettrico è

descritto in ogni punto P dalla relazione vettoriale OPE A)P( con A = 25 kV/m2. Se P1 e P2

sono due punti dell’asse delle x con ascisse x1 = 2 cm e x2 = 3 cm la differenza di potenziale

V(P2) V(P1) vale

(A) 6.25 V (B) 12.5 V (C) 0 V (D) 6.25 V (E) 12.5 V

SOLUZIONE. Come mostrato in figura, la forza elettrica in O è di tipo elastico (proporzionale al

modulo del vettore spostamento e con verso opposto ad

esso). Applicando la definizione di differenza di

potenziale fra i punti P1 e P2 appartenenti all’asse x, si ha:

V25.62

dd)P()P( 2

1

2

212

1

2

1

2

xxA

xAxxEVVx

x

x

xx

La differenza di potenziale è positiva: per portare una carica positiva unitaria da P2 a P1 il campo

elettrico e il vettore spostamento sono paralleli ed equiversi; il lavoro è positivo.

A.30. Le cariche +e e e (e = 1.6(1019

) C) sono poste nei tre vertici

di un quadrato di lato L = 2(1010

) m come in figura. Il potenziale

elettrico nel quarto vertice A vale:

(A) 7.2 V (B) 9.3 V (C) 4.65(1010

) V

(D) 1.48 (1010

) V (E) 1.1(1010

) V

SOLUZIONE. Il potenziale in A è la somma dei potenziali dovuti a ciascuna carica. Il contributo

V+ delle due cariche positive vale

mentre quello della carica negativa vale

√

Dunque

(

√ )

(

√ )

A.31. Se nel punto A della figura dell’esercizio precedente si porta una carica +e, l’energia

potenziale del sistema formato dalle quattro cariche vale:

(A) 9.3 eV (B) 9.3 eV (C) 0 eV (D) 7.2 eV (E) 28.8 eV

A +e

e +e

0.2 nm

P2

x

O P1 Q

O O

E E

P1P2

E


13

SOLUZIONE. L’energia potenziale elettrica di una carica q posta

in un punto a potenziale elettrico V vale

e l’energia potenziale di un sistema di n cariche vale

∑

In ogni vertice del quadrato, il potenziale elettrico dovuto alle tre

cariche poste negli altri vertici vale:

(

√ )

(

√ )

(

√ )

e l’energia potenziale del sistema di cariche è perciò

∑

[

(

√ )

(

√ )

(

√ )]

A.32. Due protoni (mp = 1.67 (1027

) kg, q = 1.6(1019

) C) in un nucleo di nickel sono distanti circa

d = 4(1015

) m. La loro energia potenziale vale (in MeV)

(A) 3.92 (B) 0.576 (C) 1.44 (D) 0.36 (E) 0.157

SOLUZIONE. Il potenziale elettrico creato da un protone in un punto a distanza d vale

L’energia potenziale elettrica dei due protoni, pari al lavoro da compiere contro il campo elettrico

per portare il secondo protone a distanza d dal primo, vale

(

)

L’energia potenziale gravitazionale del sistema è trascurabile in quanto inferiore a quella potenziale

elettrica di circa 40 ordini di grandezza.

A.33. Tre elettroni sono collocati ai vertici di un triangolo equilatero di lato L = 0.2 nm. Il

potenziale elettrico nel baricentro del triangolo vale

(A) 21.6 V (B) 37.4 V (C) 43.2 V (D) 24.9 V (E) 49.9 V

SOLUZIONE. Detto M il baricentro del triangolo, i tre elettroni distano da M

√

Quindi

A.34. Un lungo cavo coassiale ha come conduttore interno un cilindro di raggio R1 = 0.1 cm e come

conduttore esterno un cilindro cavo di raggio interno R2 = 0.3 cm ed esterno R3 = 0.5 cm. Il

conduttore interno porta una carica di densità lineare 1 = 5(106

) C/m mentre quello esterno porta

una carica di densità 2 = 5 (106

) C/m. La differenza di potenziale tra un punto a distanza

d = 0.3 cm dall’asse del cavo e un punto sull’asse del cavo vale

(A)98.8 kV (B)62.4 kV (C) 0 (D)31.4 kV (E) ______

A

+e

e +e

0.2 nm

B

C D

+e

C

B A

M

H


14

SOLUZIONE. Il filo conduttore interno e il cilindro esterno dividono lo spazio in

tre regioni: a) tra filo interno e Rint, b) tra Rint e Rext, c) regione esterna al cavo

coassiale. Nella regione a), il filo interno è a potenziale costante e genera a distanza

r un campo elettrico perpendicolare al proprio asse che vale in modulo

Nella regione b), il campo elettrico è nullo poiché anche il cilindro è un conduttore

a potenziale costante. Nella regione c) il campo è nullo perché 1 = 2

La differenza di potenziale tra un punto a distanza d = 0.3 cm dall’asse del cavo e un punto sull’asse

del cavo è dunque pari al lavoro compiuto dal campo elettrico generato dal cavo per spostare una

carica unitaria positiva da un punto P di ascissa xP = 0.3 cm a un punto Q sulla superficie esterna del

cavo con xQ = 0.1 cm:

∫

(

)

A.35. Una carica q1 = 1.75 (106

) C è nell’origine di un sistema di riferimento e una carica

q2 = 8.6 (107

) C è nel punto di ascissa x2 = 0.75 m. Nel punto dell’asse x a metà tra le due cariche

il potenziale elettrico vale

(A) 2.14 (104) V (B) 5.46 10

4V (C) 3.68 10

4V (D) 2.74 10

3 V (E) 8.29 10

3V

SOLUZIONE. Il punto medio M tra le due cariche ha ascissa xM = 0.75/2 = 0.375 m. Il potenziale

in M vale:

A.36. Due cariche puntiformi q1 = 107

C e q = 107

C sono poste alla distanza d = 1 cm. Il modulo

del vettore momento di dipolo vale

(A) 107

Cm (B) 109

Cm (C) 2107

Cm (D) 2105

Cm (E) 106

Cm

SOLUZIONE. Il momento di dipolo è un vettore orientato dalla carica positiva alla carica negativa

e il suo modulo è

| | | |

A.37. Il dipolo del problema precedente è posto in un campo elettrico uniforme di modulo

E = 2(105) V/m diretto verso la direzione positiva dell’asse y ed è mantenuto nella direzione che

forma un angolo di 30° con l’asse x. L’energia potenziale del dipolo vale

(A) 1.73(104

)J (B) 104

J (C) 1.73(104

)J

(D) 104

J (E)_____

SOLUZIONE. L’angolo tra il momento di dipolo d e il campo elettrico

E è di 60°, e l’energia potenziale del dipolo vale

Rint

Rext

x

y

x

E

Q+

Q

30°


15

A.38. Un dipolo elettrico, inizialmente orientato lungo

l’asse x, è costituito da uno ione monovalente positivo,

e = 1.6(1019

) C, e uno negativo (e) alla distanza

d = 3(1010

) m. Il dipolo viene posto in un campo elettrico

uniforme diretto verso la direzione positiva dell’asse y di

modulo E = 2(105) V/m. Se il dipolo può orientarsi nel

campo elettrico la sua energia potenziale diminuisce di

(A) 2eEd (B) eEd (C) eEd/2

(D) eEd/3 (E) eEd/4

SOLUZIONE. L’energia potenziale di un dipolo d in un campo elettrico E è

Inizialmente, dipolo e campo sono perpendicolari e l’energia potenziale è nulla (cos() = 0). Il

dipolo si orienterà in modo da minimizzare la propria energia potenziale (cos() = 1), disponendosi

parallelamente al campo; l’energia potenziale finale del dipolo è quindi

e la diminuzione di energia potenziale è pertanto e∙d∙E.

A.39. Un dipolo elettrico è costituito da uno ione monovalente positivo e = 1.6(1019

) C, e da uno

negativo e alla distanza d = 1010

m. Il dipolo viene posto in un campo elettrico uniforme diretto

verso la direzione positiva dell’asse y di modulo E = 2(105) V/m dove si orienta parallelamente al

campo E. Per orientare il dipolo in modo che formi un angolo di 60° con la direzione positiva

dell’asse y il campo in cui E deve compiere un lavoro pari a

(A) 2.77(1024

)J (B) 1.6(1024

)J (C) 2.77(1024

)J (D) 3.2(1024

)J (E)_____

SOLUZIONE. L’aumento di energia potenziale del dipolo è uguale e opposto al lavoro compiuto

dal campo:

(

)

(

)

A.40. In una regione dello spazio il potenziale elettrostatico è espresso dalla funzione

V(x) = (x36x

2+3) V. Calcolare a) in quali punti il campo elettrico si annulla; b) in quale punto il

campo elettrico è massimo; c) il valore massimo del campo elettrico.

SOLUZIONE. Calcoliamo il campo elettrico partendo dal potenziale:

Per trovare i punti in cui E = 0 risolviamo l’equazione

Per trovare in quale punto il campo elettrico è massimo, possiamo per esempio osservare che

l’espressione analitica del campo è quella di una parabola rivolta verso il basso con vertice V di

coordinate

(

)

Dunque il campo è massimo per x = 2 m e il suo valore è Ex,max(x = 2) = 12 V/m.

ed

E

d/2

ed

e e

y

x


16

A.41. In una regione dello spazio il potenziale elettrostatico è dato da V(x,y,z) = (xz4y+2z2) V.

Calcolare le componenti del campo elettrico nel punto P(1; 2; 1) (coordinate in metri).


Pertanto in P l’espressione del campo è (in V/m)

A.42. Il potenziale elettrico lungo la retta y = a di un piano xy è descritto dalla funzione

V

1

1

1

19)(

2222

axaxxV

La componente Ex del campo elettrico nel punto (0, a =0) vale (tutte le coordinate sono espresse in

metri)

(A) 0.257 V/m (B) 0.569 V/m (C) 1.61V/m (D) 6.36 V/m (E) 18.0 V/m

SOLUZIONE. Calcoliamo la componente Ex del campo elettrico partendo dal potenziale. Per a = 0

l’espressione del potenziale diventa

(

√

√ ) (

| |

| |)

Poichè il punto di interesse ha ascissa x = 0 possiamo riscrivere V(x) eliminando i valori assoluti

come

(

)

e per il campo elettrico si ha quindi

(

)

Pertanto nel punto di ascissa 0 il valore del campo è

A.43. Nei punti di una data regione il potenziale è dato da V = a(xy+4y2),

con a = 10 V/m2. Calcolare la carica contenuta in un cubo di lato

L = 10 cm, disposto come in figura. (Suggerimento: usare la divergenza

di E)


dunque

e la carica contenuta nel cubo è

x

y

z


17

A.44. Il potenziale elettrico è nullo nel baricentro di un triangolo equilatero di

lato L =1 cm e nei tre vertici A, B, C della figura vale VA 7 V, VB = 2 V,

VC = 9 V; se il campo elettrico è uniforme, la componente Ex del campo

elettrico è stimata essere

(A) 0 kV/m (B) 1.1 kV/m (C)1.2 kV/m

(D)1.2 kV/m (E) 1.6 kV/m

SOLUZIONE. Calcoliamo la componente Ex del campo elettrico partendo dal potenziale:

A.45. Tre cariche con il segno mostrato in figura e con

Q = 106

C sono fisse sull’asse x. La carica centrale è a

una distanza d = 1 m dalle cariche laterali. Un corpo

puntiforme, di carica q e massa m libero di muoversi

normalmente all’asse x, si trova inizialmente nel punto

di ordinata y0 = 1 m.

La carica mobile

(A) si muove verso la carica centrale fino a

raggiungerla.

(B) si allontana indefinitamente lungo l’asse y.

(C) sta ferma.

(D) si allontana inizialmente dall’asse delle x ma poi torna nella posizione iniziale compiendo

un moto oscillatorio.

(E) si avvicina inizialmente all’asse delle x ma poi torna nella posizione iniziale compiendo un

moto oscillatorio.

SOLUZIONE. Quando la carica q è o vicina all'asse delle x (y<d) prevale la repulsione della

carica negativa centrale; quando è molto lontana (y>>d), prevale l’attrazione essendo

complessivamente la carica sull’asse x positiva. Poiché il campo elettrico cambia direzione, vi è

certamente un punto di equilibrio lungo l’asse delle y dove il campo si annulla e in tale punto si

potrebbe avere l’equilibrio. Poiché per y=d la

forza è ancora repulsiva, la carica mobile

inizialmente si allontana (risposte B e D). Poiché

per y=d l’energia potenziale è negativa, la carica

non può raggiungere l’infinito dove il potenziale

si annulla. Perciò la carica si allontana, torna

indietro, si allontana di nuovo compiendo un

moto oscillatorio. Calcoliamo il punto di

equilibrio lungo il semiasse positivo delle y

calcolando il potenziale lungo questo asse,

derivandolo rispetto a y per ottenere la

componente Ey e annullando tale derivata:

dd

yydyydy

dy

y

yy

V

dyyQyV

305.112

22

210

d

d,

21)(

3/2

23/222322

2/322222

B

A

C

x

y

y

q

Q +Q +Q

d

y0

x

Ep

y d


18

A.46. Una carica Q è al centro di un guscio sferico conduttore il cui raggio interno vale

Ri = 0.055 m e quello esterno Re = 0.075 m . Se il campo elettrico alla distanza d1 = 1 m dalla carica

Q vale in modulo E = 345 N/C (diretto verso l’esterno), il potenziale elettrico a d2 = 0.065 m dalla

carica vale (in V)

(A) 0 (B) 4600 (C) 5300 (D) 9800 (E) 11500

SOLUZIONE. Calcoliamo prima la carica Q considerando che a

distanza d1 all’esterno del guscio sferico, campo elettrico e potenziale

sono quelli di una carica puntiforme nel centro della sfera

| |

Il potenziale in B è perciò

Il guscio è equipotenziale e il potenziale in P (a distanza d2 ) vale 4600 V.

Q

A

P B

AP

P

AP

LA FORZA DI COULOMB A.1 q - UniBg · 2014. 3. 7. · LA FORZA DI COULOMB A.1. Date le due cariche...

Documents

Transcript of LA FORZA DI COULOMB A.1 q - UniBg · 2014. 3. 7. · LA FORZA DI COULOMB A.1. Date le due cariche...