Sistemi di controllo - Reti correttrici e regolatori industriali

4. Reti correttrici e regolatori industriali

Un sistema di controllo ad anello chiuso deve soddisfare le specifiche assegnate nel dominio della frequenza e quelle assegnate nel dominio del tempo. Queste ultime si suddividono in specifiche del comportamento a regime (errore a regime, sensibilità ai disturbi additivi e parametrici) e in specifiche del comportamento in regime transitorio (tempo di salita, sovraelongazione, tempo di assestamento, velocità della risposta). Le specifiche definite nel dominio della frequenza sono la banda passante, la stabilità, il margine dì fase e il margine di guadagno. In particolare se il sistema non è stabile o se il suo margine di fase e il suo margine di guadagno, non corrispondono a quelli richiesti, è necessario intervenire sul sistema e modificarlo in modo che risponda ai requisiti richiesti senza alterare, nei limiti del possibile, le altre caratteristiche quali la velocità della risposta e la precisione. La stabilizzazione, ad esempio, - di un sistema instabile mediante la riduzione del guadagno di anello è consigliabile solo in casi particolarmente semplici perché tale tecnica provoca l'aumento dell'errore a regime. Nei casi più complessi, quando il progettista deve soddisfare le specifiche assegnate, è necessario modificare la configurazione del sistema introducendo, in punti opportuni della catena, reti elettriche di tipo passivo o di tipo attivo, dette reti di compensazione, intendendo con tale termine la possibilità di modificare la funzione di trasferimento dovuta agli elementi fisici che costituiscono il sistema. In questa unità didattica sono esaminate le tecniche di compensazione realizzate utilizzando i regolatori industriali (P, PI, PD e PID) e le reti correttrici (anticipatrice, ritardatrice e .a sella).

4.1 Regolatori industriali

4.1.1 Regolatore ad azione proporzionale P

Nella sua forma più semplice un regolatore comprende un generatore che fornisce il segnale di riferimento, il nodo sommatore, un amplificatore del segnale e una rete di compensazione. Tramite apposite manopole di regolazione tarate in fabbrica, l'operatore addetto all'impianto può variare i valori di alcuni parametri del regolatore, ad esempio quelli relativi all'amplificatore e alla rete di compensazione, in relazione alle specifiche statiche e dinamiche richieste. I regolatori industriali si differenziano in base alla relazione matematica che lega il segnale d'uscita della rete di compensazione a quello d'ingresso.In un regolatore ad azione proporzionale il legame tra il segnale presente alla sua uscita m(t) ed il segnale differenza e(t) applicato al suo ingresso è espresso da una relazione del tipo:

m(t) = Kp e (t)

figura 1

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dove:

Si consideri il sistema del secondo ordine a retroazione unitaria rappresentato in figura 2

figura 2

Se il sistema è sollecitato da un segnale a gradino avente la trasformata R(s)=R/s, l'errore a regime diminuisce all'aumentare del guadagno proporzionale Kp:

Un regolatore ad azione proporzionale e in grado di diminuire l'errore a regime, ma non può eliminarlo completamente perché un amplificatore con un guadagno Kp elevato comporta la sua saturazione.Un aumento troppo grande del guadagno Kp, necessario per avere un errore a regime di modesta entità, determina una diminuzione del fattore di smorzamento, un aumento della pulsazione naturale e peggiora il grado di stabilità del sistema, sono infatti valide le seguenti formule (pulsazione naturale del sistema):

e lo smorzamento

la diminuzione dello smorzamento fa aumentare la sovraelongazione (overshoot).Le caratteristiche di un regolatore proporzionale sono:

• genera un errore a regime, detto errore residuo o di offset, che può essere minimizzato assegnando a Kp valori elevati;

• aumenta la velocità della risposta del sistema (aumenta ωn);• diminuisce il margine di fase e, di conseguenza, il grado di stabilità quando Kp è

elevato;• aumenta l'ampiezza delle oscillazioni della risposta quando Kp è elevato; • può essere utilizzato nei sistemi nei quali sono consentiti scostamenti tra il valore

effettivo della grandezza controllata e quello desiderato (ad esempio negli impianti di riscaldamento degli edifici).

4.1.2 Regolatore PI

II regolatore ideale ad azione proporzionale ed integrale è costituito da un blocco proporzionale e da uno integrale connessi in parallelo (figura 3). Il segnale d'uscita m(t) del regolatore è:

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2

11RRK p +=

pKKR

⋅+=1

ε

21

1ττ

ω pn

KK ⋅+=

nωττττζ 1

2 21

21 ⋅⋅⋅

+=

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figura 3m(t)=m1(t)+m2(t)

dove Kp è il guadagno proporzionale e KI il coefficiente dell'azione integrale misurato in [s-1]. Dalla trasformata di Laplace di ambo i membri si ricava la funzione di trasferimento del regolatore:

la quale presenta un polo nell'origine (p = 0) e uno zero (che deve avere un valore piccolo).Nei sistemi di tipo 0, la presenza del polo nullo, fa si che l'errore a regime per sollecitazioni a gradino sia nulla, tuttavia l'azione di Kp tende a peggiorare, come detto in precedenza, la stabilità del sistema se le costanti Kp e KI non sono scelte in modo opportuno. Il regolatore PI è utile soprattutto nei sistemi in cui le variazioni del carico avvengano lentamente.Le caratteristiche del regolatore ad azione PI sono:

• compensa l'azione destabilizzante del polo nullo con lo zero;• determina un incremento unitario del tipo e dell'ordine del sistema a causa del polo

nullo che, quindi, agisce sull'entità dell'errore a regime;• aumenta la precisione a regime senza peggiorare il grado di stabilità del sistema se

le costanti sono scelte in modo opportuno;• valori bassi di Kp e KI generano una risposta caratterizzata da una ampiezza della

sovraelongazione molto limitata e, al limite, anche una risposta aperiodica;• aumenta la velocità di risposta (larghezza di banda più ampia);• è utilizzato quando è richiesto un errore a regime di modesta entità e una buona

velocità di risposta alle variazioni della sollecitazione;• è inserito sopratutto nei sistemi in cui le variazioni del carico avvengono

lentamente. Infatti cambiamenti improvvisi di carico possono portare il sistema verso l'instabilità quando il coefficiente KI. dell'azione integrale non è scelto in modo opportuno.

La struttura di un regolatore PI è mostrata in figura 4.

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)()()(0

teKdtteKtm p

t

I ⋅+= ∫

sKsK

sKK

sEsMsG IpI

pPI

+⋅=+==

)()()(

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figura 4Per progettare un regolatore PI (ossia stabilire i valori di Kp e di KI) si procede nella seguente maniera:

1. Lo zero del regolatore deve coincidere con il primo polo della funzione G(s)H(s);2. il margine di fase deve essere almeno di 45°.

4.1.3 Regolatore PD

Un semplice regolatore ad azione proporzionale e derivativa è costituito da un derivatore limitato e da un amplificatore connessi in parallelo (figura 5).

figura 5Il segnale d'uscita del regolatore PD è uguale a:

m(t)=m1(t)+m2(t)

dove Kp è il coefficiente dell'azione proporzionale e KD è il coefficiente dell'azione derivativa e si misura in secondi [s]. si ricava:

Le caratteristiche del regolatore ad azione PD sono:• non annulla l'errore a regime nei sistemi sollecitati da un determinato segnale.

Come esempio si portano i sistemi di tipo 0 sollecitati da un segnale a gradino e quelli di tipo 1 sollecitati da un segnale a rampa;

• i valori ottimali di Kp e di KD che non pregiudicano le caratteristiche della risposta

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)()()( teKdttdeKtm pD ⋅+=

sKKsEsMsG DpPD ⋅+==)()()(

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devono essere tali da avere un coefficiente di smorzamento compreso tra 0,4 < ξ < 0,8 ;

• è utilizzato nei sistemi in cui si hanno improvvise variazioni del carico (ad esempio in alcuni sistemi di controllo per servomotori nei quali si hanno piccole ma improvvise variazioni di velocità) e nei sistemi che non presentano problemi di stabilità e di prestazioni statiche ma che, invece, richiedono una buona velocità di risposta (larghezza di banda ampia).

Per progettare un regolatore PD (ossia stabilire i valori di Kp e di KD) si procede nella seguente maniera:1. si fa coincidere lo zero del regolatore (KD/Kp) con il secondo polo della funzione

G(s)H(s);2. si fissa un margine di fase di almeno 45°.

Il regolatore PD ideale esalta i segnali di rumore a frequenza elevata sovrapposti al segnale differenza ed inoltre è un sistema improprio perché è GPD(jω) →∞ quando la pulsazione tende all'infinito. Nella pratica si usa un regolatore PD reale rappresentato nella figura 6.

figura 6

4.1.4 Regolatore PIDIl regolatore PID, costituito dai blocchi proporzionale, integrale e derivativo connessi in parallelo, può essere utilizzato in tutte le applicazioni perché riunisce le caratteristiche dei singoli regolatori studiati precedentemente.

figura 7Il segnale d'uscita m (t) e la funzione di trasferimento GPID(s) del regolatore, sono rispettivamente uguali a:

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La presenza del polo nell'origine aumenta la precisione a regime del sistema, ma peggiora il suo grado di stabilità anche se è compensato dalla presenza dei due zeri.Il regolatore PID ideale è un sistema "improprio" perché GPID(jω) →∞ quando la pulsazione tende all'infinito e quando è uguale a 0. Per limitare il guadagno, in alta e in bassa frequenza, si utilizza il regolatore PID reale rappresentato in figura 8. Le caratteristiche principali sono:

• buona stabilità;• velocità nella risposta;• precisione.

figura 84.1.5 Progetto dei regolatori PIDMolto spesso il progettista di un sistema di controllo deve eseguire ripetutamente calcoli più o meno complessi per determinare i valori dei coefficienti KP, KI e KD che soddisfino le specifiche della risposta in frequenza (margine di fase e di guadagno, banda passante, ecc.) e quelle della risposta temporale (errore a regime, tempo di assestamento, tempo di ritardo, ecc.).Un metodo di progettazione dei regolatori industriali abbastanza diffuso è quello di Ziegler-Nichols. Tale metodo consente di ricavare i valori ottimali dei parametri KP, KI e KD agendo su apposite manopole del regolatore tarate in fabbrica. Le fasi della regolazione ottimale sono:

• si pone KP, KI e KD= 0 e si chiude l'anello di regolazione;• si esclude l'azione derivativa e quella integrale, e si aumenta gradualmente il

valore del parametro KP fino a portare il sistema al limite della stabilità;• si misura il valore di KP in corrispondenza del quale la risposta del sistema al

gradino unitario è un'oscillazione di ampiezza costante (KP = KPMAX)• si misurano i valori della pulsazione e del periodo dell'oscillazione

persistente;• si regolano, dopo aver compiuto le operazioni sopra descritte, le altre

manopole in modo che i parametri KP, KI e KD assumano i valori riportati nella tabella 1

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∫ ⋅+⋅+=t

IpD dtteKteKdttdeKtm

0

)()()()( sKsKK

sEsMsG I

DpPID +⋅+==)()()(

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Tabella 1Per determinare KPMAX e Tc si ricorre ai diagrammi di Bode del modulo e della fase.

sul grafico della fase si trova, in corrispondenza del valore di -180°, il margine di guadagno (mg in dB) e la pulsazione critica (ωc in rad/s). A questo punto, sapendo che:

e che

si possono ricavare, utilizzando le formule inverse, i valori di KPMAX e Tc necessari per la tabella 1.La condizione necessaria per l'utilizzo del metodo di Ziegler-Nichols è che il sistema ad anello aperto sia stabile.Il metodo è applicabile solo per i sistemi con margine di guadagno finito: ci sono infatti sistemi che non generano oscillazioni, anche con guadagni proporzionali elevati. Altre volte può essere pericoloso, o comunque sconsigliabile, portare il sistema al limite di stabilità.Un regolatore PID progettato secondo questo metodo fornisce, in anello chiuso, un margine di fase inferiore a 40°.

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)log(20 pMAXg Km =

cc T/2πω =

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4.2 Reti correttriciPer rendere stabili i sistemi instabili o aumentare i margini di ampiezza e di fase di quelli stabili o per migliorare la loro stabilità si inseriscono delle reti di compensazione o correttrici.

Figura 9Le reti correttrici sono costituite essenzialmente da filtri, aventi funzioni di trasferimento tali da migliorare complessivamente la risposta dinamica del sistema. Le reti sono generalmente collocate dopo il nodo sommatore e sono collegate in serie con gli altri blocchi del ramo diretto. La scelta della rete che meglio risponde alle specifiche di progetto va fatta solo dopo aver eseguito l'analisi della risposta in frequenza della funzione di trasferimento ad anello aperto del sistema. Di seguito sono presi in esame solo gli aspetti essenziali delle reti correttrici passive.Le reti correttrici possono essere:

1. attenuatrice;2. a polo dominante;3. ritardatrici;4. anticipatrici;5. a sella;

4.2.1 Rete attenuatriceIl più semplice degli interventi per modificare la risposta in frequenza di un sistema consiste nell'introdurre una rete attenuatrice (con KRC<1), la cui finzione è quella di spostare verso il basso il diagramma di Bode della G(s)H(s). Il circuito non interviene in alcun modo sulla fase. La stabilità viene aumentata ma a scapito di una pulsazione di taglio inferiore che determina una maggiore velocità di risposta. Inoltre, l'introduzione di un KRC<1, modifica il guadagno statico del sistema e quindi un maggiore errore a regime. La semplicità della rete diventa solo un minimo vantaggio rispetto al peggioramento del sistema in generale

rete attenuatriceFisicamente la rete attenuatrice si presenta come un partitore di tensione che avrà quindi una funzione di trasferimento costante pari a:

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21

2)(RR

RKjG RCRC +==ω

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4.2.2 Rete a polo dominante

La rete comprende un solo polo p a frequenza molto più bassa, rispetto a quella dei poli presenti nella G (S) H (s). La sua f.d.t. può essere scritta:

La scelta del polo deve essere effettuata in modo che l'attraversamento dell'asse delle ascisse del diagramma di Bode del modulo di GRC (S) G (S) H (S) avvenga per la pulsazione corrispondente al primo polo della G (s) H (S); in questo modo la pendenza è sicuramente di 20 dB/dec e dunque il sistema è stabile. La scelta del valore del polo deve essere inferiore a tutti i poli del sistema.La rete è sostanzialmente un filtro passa-basso RC e la diminuzione della frequenza di taglio comporta l'aumento della velocità di risposta. Questo svantaggio è spesso "voluto" in particolare nei sistemi che presentano velocità di risposta molto basse come, ad esempio, i sistemi di riscaldamento. In questi casi l'utilizzo del filtro passa basso è una soluzione efficace.

4.2.3 Rete ritardatriceQuesta rete presenta un polo p e uno zero z con p <z:

Il diagramma di Bode del modulo è riportato in figura 10

figura 10La scelta dei valori del polo e dello zero deve essere effettuata secondo il criterio di seguito illustrato (metodo della cancellazione polo-zero):Lo zero z della GRC (S) deve essere pari, al massimo, al valore del primo polo della G(s)H(s) mentre il polo p deve avere un valore tale che G(s)G(s)H(s)=0 dB alla pulsazione del secondo polo di G(s)H(s). Sarà sufficiente che il polo p sia uguale ad almeno 0,1 z.

La rete non introduce attenuazione quando ω<p (basse frequenze), mentre introduce una

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pjjGRC ωω

+=1

1)(

pjzj

jGRC ω

ω

ω+

+=1

1)(

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attenuazione par ω>z (alte frequenze) di:

Riassumendo si può affermare che una rete ritardatrice:• migliora le caratteristiche a bassa frequenza senza cambiare il guadagno statico;• migliora il grado di stabilità;• aumenta il tempo di risposta del sistema compensato perché provoca la

diminuzione della pulsazione di taglio;• riduce la banda passante.

4.2.3 Rete anticipatriceQuesta rete presenta sempre un polo p e uno zero z ma con p > z:

Il diagramma di Bode del modulo è riportato in figura 12

figura 12Per la determinazione di p e z si procede nel seguente modo:lo zero z della GRC(s) è pari al secondo polo p di G(s)H(s) e per il polo p deve essere GRC(s)G(s)H(s) =0 dB. In questo modo l'intersezione della curva con l'asse orizzontale avviene con

pendenza pari a 20 dB/dec e quindi il sistema è stabile.Rispetto alla rete ritardatrice per ω<z (basse frequenze), introduce una attenuazione di:

La rete:• migliora le caratteristiche del sistema in alta frequenza;• aumenta la rapidità di risposta perché provoca l'aumento della frequenza di taglio;• migliora il margine di stabilità (il diagramma della fase della rete è positivo, anche

se non superiore a 90°);• introduce un'attenuazione;• riduce il guadagno statico (si può compromettere l'errore a regime);

4.2.4 Rete a sellaLa rete a sella somma gli effetti della rete ritardatrice e della rete anticipatrice. Il suo schema elettrico è quello indicato in figura.

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pjzj

jGRC ω

ω

ω+

+=1

1)(

21

2

RRR+

21

2

RRR+

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La funzione di trasferimento della rete è la seguente:

dove:

a è una costante a scelta maggiore di 1 (generalmente intorno a 10). Per dimensionare la rete correttrice si scelgono τ1 e τ2 uguali ai 2 poli più piccoli della funzione G(jω)H(jω). Con questo sistema i poli vengono "cancellati" dagli zeri della rete correttrice e sostituiti con altri 2 poli T1 e T2.La rete correttrice presenta il vantaggio di migliorare il margine di fase ed il margine di guadagno senza variare il guadagno statico (e quindi l'errore a regime), tuttavia, la velocità di risposta del sistema aumenta per la presenza del polo T1.

4.3 Sintesi dei sistemi di controlloNel dimensionamento di un sistema di controllo (servosistema) le specifiche di progetto sono generalmente l'errore a regime massimo, le condizioni relative alla stabilità (margine di fase) e il valore della velocità di risposta. Meno frequentemente, ma non meno importanti sono le seguenti specifiche:

• l'overshoot;• tempi di ritardo, di assestamento e di salita;• larghezza di banda

tutte già trattate nelle precedenti unità.Per la determinazione dei parametri si agisce nel modo seguente:

1. si definisce la funzione di trasferimento di ciascuno dei blocchi presenti nel sistema;2. si determina il valore del guadagno statico che consente di realizzare l'errore a

regime desiderato;3. dall'analisi della f.d.t. G(jω)H(jω) si determina il valore del margine di fase, di

guadagno e la pulsazione critica ωc;4. in genere questi valori non sono tali da soddisfare le condizioni di specifica di

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( ) ( )( ) ( )21

21

1111)(

TjTjjjjGRC ωωω τω τω

++++=

111 CR=τ 222 CR=τ

11 τaT =a

T 12

τ=

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progetto e occorre quindi intervenire aggiungendo una rete correttrice che modifichi la posizione dei poli della G(jω)H(jω).

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