Reti Correttrici Singolo Bologna
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7/24/2019 Reti Correttrici Singolo Bologna
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Controlli Automatici LB
Parte 2 – Regolatori standard e Metodi di taraturaReti Correttrici
Rete di Anticipo
Rete di Ritardo
Rete di Ritardo/Anticipo
Prof. Carlo Rossi
DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093020
Email: [email protected]
URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi
7/24/2019 Reti Correttrici Singolo Bologna
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Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 2
Indice
! 1. Introduzione alle Reti Correttrici
! 2. Rete di Anticipo
! 3. Rete di Ritardo
! 4. Rete di Ritardo/Anticipo
! 5. Rete correttrici - sommario delle regole di taratura
! 6. Problemi di code di assestamento con le reti correttrici
! 7. Riferimenti Bibliografici
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Introduzione alle Reti Correttrici
Risultati dell'analisi di Scenario
! regolatori senza poli nell'origine individuati
" si utilizzano con specifica di errore a regime costante non nullo
R s( )= k 1+!
1" 1 s( ) 1+ "
2 s( )
1+ " 1 s( ) 1+!
2" 2 s( )
Scenario A
Scenario B reti correttrici
Rd s( )=
1+!1" 1 s( ) 1+ "
2 s( )
1+ " 1 s( ) 1+!
2" 2 s( )
regolatore statico
regolatori
dinamici
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Introduzione alle Reti Correttrici
Sviluppo del progetto
! fase preliminare al progetto di regolatori senza polo
nell'origine" si progetta il regolatore statico Rs(s) = k per imporre la più severa
tra la specifica statica e quella sulla attenuazione di un eventuale
disturbo caratterizzato spettralmente
#
si progetta quindi la rete correttrice (regolatore dinamico ) a
guadagno unitario
$ si progetta sull'impianto già compensato staticamente L* = k G
"
le formule per la compensazione statica e di attenuazione del
disturbo sono già state illustrate nel capitolo sulle Specifiche dei
sistemi di controllo
"
salvo diversa indicazione, in questo capitolo non ci si occuperà
quindi della scelta del guadagno statico k
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Introduzione alle Reti Correttrici
Sviluppo del progetto! si considerano reti correttrici a guadagno unitario
" si progettano sull'impianto già compensato staticamente L* = k G
rete di ritardo
rete di anticipo
R s( )=1+!
1" 1 s( ) 1+ "
2 s( )
1+ "
1
s
( )1+!
2
"
2
s
( )
rete di ritardo/anticipo
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intervallo di frequenze
di utilizzo della rete
Rete di Anticipo
Rete di anticipo a guadagno unitario
Re
Im
due effetti sulla L
zero
polo
anticipo di fase
aumento del guadagno
L'effetto utile è
l'anticipo di fase
tra zero e polo
1/ ! 1/ ! !
10-1 100 101 102
0
10
20
30
40
0
20
40
60
80
#
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Caratteristiche principali
Reti correttrici 7
0
5
10
15
20
10-1 100 101 102 0
10
20
30
40
50
60
# = 1/! # = 1/$!
una decade oltre il polo
la fase residua è < 5°
errore < 10°
! = 0.1
" = 1
max 70-75°
Rete di Anticipo
Re
Im
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Rete di Anticipo
Ruolo dei parametri
10-2 10-1 100 101 102
0
5
10
15
20
25
30
0
10
20
30
40
50
60
Re
Im
$ = .1! = 3.3
$ = .1
! = 10
$ = .15
! = 3.3
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Formule utili
Reti correttrici 9
guadagno max (in alta frequenza)
pulsazione del massimo anticipo
$ per ottenere un dato %max
Rete di Anticipo
guadagno in corrispondenza di #*
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 $ 15
20
25 30
35
40
45
50
55
60
%max°
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Formule utili
Reti correttrici 10
$ per ottenere %max
Rete di Anticipo
guadagno in #*
0
10
20
30
40
50
60
70
%max
°
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 |R(#*)|dB
Se nel progetto si sceglie una frequenza di attraversamento in
cui il guadagno richiesto e l'anticipo di fase sono sulla curva, la
rete progettata avrà minimo guadagno in alta frequenza
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Rete di Anticipo
Razionale del progetto! si tracciano i diagrammi di Bode dell'impianto
" già compensato staticamente (kG(s))
! si sceglie la frequenza di attraversamento #c desiderata"
all'interno dell'intervallo di specificaad es. #c = 4 rad/s
100 101
-30
-20
-10
0
10
20
-200
-150
-100
-50
0
50
100specifiche
Mf >70°
2 < #c < 7 rad/skG
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Rete di Anticipo
Razionale del progetto
! si valutano sui diagrammi"
il guadagno &R (j#
c) &dB per imporre l'attraversamento in#
c "
l'anticipo di fase Arg(R (j#c)) per imporre il margine di fase
desiderato
100 101
-30
-20
-10
0
10
20
-200
-150
-100
-50
0
50
100specifiche
Mf >70°
2 < #c < 7 rad/s
&R (j4) &dB= +10dB
Arg(R (j4))= +60°
kG
ad es. #c = 4 rad/s
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Rete di Anticipo
Razionale del progetto
! si sviluppa il progetto
" nel corso verrà illustrato un metodo analitico
#
basato sull'uso di formule, dette di inversione
100 101
-30
-20
-10
0
10
20
-200
-150
-100
-50
0
50
100specifiche
Mf >70°
2 < #c < 7 rad/s
&R (j4) &dB= +10dB
Arg(R (j4))= +60°
ad es. #c = 4 rad/s
kG
L
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Rete di Anticipo
Progetto della rete con le formule di inversione
! Problema
" progettare una rete di anticipo a guadagno statico unitario k= 1
# scegliere cioè e $
"
che in#
=#c garantisca
#
un guadagno &R (j#c) & (in unità lineari) pari a M (M>1)
#
un anticipo di fase Arg(R (j#c)) pari a
%
(0°<%
<90°)
! l'espressione del regolatore in
#
c è
! in termini generali di funzione complessa
! eguagliando le due espressioni si ha
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Rete di Anticipo
Progetto della rete con le formule di inversione
! dal lucido precedente, evidenziando le variabili #c e $ #c
! sviluppando
! si svolgono le parentesi
! si separano parte reale e parte immaginaria
! si eguagliano a zero parte reale e parte immaginaria
M cos! + jM sin! ( ) 1+ j"#$ c( ) = 1+ j#$
c
1+ j!" c
1+ j#!" c
= M cos$ + jM sin$
M cos! + jM cos! ("#$
c) + jM sin! + j
2 M sin! ("#$
c) = 1+ j(#$
c)
M cos! " M sin! (#$% c )
"1+ j M cos! (#$% c )+ M sin!
"
$% c( ) = 0
Re Im
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Rete di Anticipo
Progetto della rete con le formule di inversione
! dal lucido precedente
! Im = 0
! Re = 0
! in forma matriciale
M cos! " M sin! (#$%
c)"1+ j M cos! (#$%
c)+ M sin!
"$%
c( ) = 0
Re Im
M cos! ("#$ c )
+ M sin!
%
#$ c =
0
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Rete di Anticipo
Progetto della rete con le formule di inversione
! dal lucido precedente
! risolvendo per #c e $ #c
! invertendo la matrice
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Rete di Anticipo
Progetto della rete con le formule di inversione
! dal lucido precedente
! sviluppando l'equazione matriciale
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Rete di Anticipo
Progetto della rete con le formule di inversione
! dal lucido precedente
! dividendo per il parametro già scelto #c si ottengono le
Formule di inversione
! non tutte le scelte della coppia M e %,
" con M > 1 e 0° <
%
< 90°! garantiscono una soluzione ammissibile
"
0 <$
< 1
"
> 0
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Rete di anticipo
Esempio di progetto con le formule di inversione
Step 1 - traccio diagramma di L*=kG
Specifiche dinamiche Margine di fase > 70°
10 ' #c ' 50 rad/s
Impianto
#c ( 12 rad/sM
%
(
40° (insufficiente)
Step 2 - Scelgo una nuova frequenza#c* (superiore a quella propria del
sistema) nell'intervallo di specifica
#c* = 20 rad/s
Step 3 - Calcolo (in#
c* ) il guadagno M e l'anticipo di fase%
necessari adimporre l'attraversamento ed il margine di fase richiesti
10-1 100 101 102
-40
-20
0
20
40
-200
-100
0
100
#c
L*
&L*&dB = -8 dB)
MdB = - &L*&dB )
M = 10(8/20) = 2.5
% = +50°
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Rete di anticipo
Esempio di progetto con le formule di inversione
Specifiche dinamiche Margine di fase > 70°
10 ' #c ' 50 rad/s
Impianto
Step 4 - Calcolo i parametri della rete
Le specifiche sono soddisfatte
#c = 21 rad/s
Mf = 78.5°
-40
-20
0
20
40
-200
-100
0
100
10-1 100 101 102
LR
#c* = 20 rad/s
M = 2.5
% = +50°
L*
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Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 22-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 -50
-40 -30 -20 -10
0 10 20 30 40 50
Rete di anticipo
! Verifica
Specifiche
Mf > 70°
10 ' #c ' 50 rad/sec
Impianto
coda di assestamento
residuo piccolo
* ( .83
vera #n ( 40
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
risposta al gradino
undershoot
attesa con
* ( .83
#n ( 40
-40-20
0
20
40
-200
-100
0
100
10-1 100 101 102
* ( .8
L
#c ( 21
dinamica
dominante
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Rete di anticipo
Coda di assestamento
! la presenza di una coda di assestamento è fisiologica
quando si usa una rete anticipatrice" la rete contiene uno zero collocato di solito a frequenza inferiore a
quella di attraversamento
# nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione, lo
zero fungerà da attrattore per un polo dell'impianto
"
la dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta diquella imposta con la frequenza di attraversamento
"
se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di
assestamento potrebbe comunque essere più corta del tempo di
assestamento
"
per valutare l'importanza della coda nella risposta occorre
# stimarne il tempo di assestamento e confrontarlo con quellodel sistema in retroazione senza considerare la coda
" se è superiore a quello imposto al sistema, la presenza della coda
può portare al mancato soddisfacimento delle specifiche.
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Rete di anticipo
Coda di assestamento
! per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad
un progetto per cancellazione" si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo
dell'impianto
# per questo tipo di rete è opportuno scegliere il polo a
frequenza inferiore alla#c prescelta più vicino ad essa
! il progetto per cancellazione non è sempre possibile
"
occorre verificarne la fattibilità
"
lo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo
!
poli dell'impianto
#c
Zero
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Rete di anticipo
Progetto per cancellazione - formule utili
! lo zero del regolatore è collocato in
corrispondenza di un polo dell'impianto"
c è quindi già fissato per imporre la cancellazione
! resta da considerare il polo, la cui f.d.t. è
! dalla prima
! dalla seconda
R p dB
= !20log 1+ "# ( )2$
% & '
( )
* R p( ) = !arctg "# ( )
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Rete di anticipo
Progetto per cancellazione - formule utili
! dal lucido precedente
! da cui
"
modulo in funzione della fase
"
fase in funzione del modulo
-90 -80
-70 -60 -50 -40 -30 -20
-10 0
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Modulo (dB)
F a s e
( g r a d i )
Polo
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Rete di anticipo
Esempio di progetto per cancellazione
! impianto
! Specifiche dinamiche
"
Margine di fase > 70°
"
10'
#c ' 50 rad/s
Step 1- diagramma di L*=kG"
#c ( 12 rad/s
"
Mf ( 40°
Step 2 - introduco lo zero in cancellazione di un polo
dell'impianto
"
di solito quello più vicino (a frequenza inferiore) alla#c scelta
Step 3 - diagramma di Bode della L' compensata con lo zero
10-1 100 101 102 103
-100
-50
0
50
-200
-100
0
100
L*
non fisicamente realizzabile !!
L'
#c 12rad/s
40°
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Rete di anticipo
Esempio di progetto per cancellazione
! Specifiche dinamiche
" Margine di fase > 70°
" 10 ' #c ' 50 rad/s
Step 4 - rilevo la frequenza
di attraversamento ed il
$+,-./ *- 0$1/ 23/ +-145 $.6
" #c = 20 rad/s
"
Mf = 90°
Step 5 - valuto la fattibilità del progetto per cancellazione
"
la nuova frequenza di attraversamento e la fase sono all'internodei rispettivi intervalli di specifica
#
posso procedere
10-1 100 101 102 103
-100
-50
0
50
-200
-100
0
100
#c
L*
20rad/s (o.k.)
L'
90° (o.k.)
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Rete di anticipo
Esempio di progetto per cancellazione
! Specifiche dinamiche
" Margine di fase > 70°
" 10 ' #c ' 50 rad/s
Step 6 - introduco il polo di
fisica realizzabilità in modo
da rispettare le specifiche" non ridurre troppo la
frequenza di attraversamento
" non introdurre sfasamenti che
pregiudichino il margine di fase
! se il polo è collocato una decade dopo #c i suoi effetti
sono nulli sul modulo e trascurabili sulla fase! scelta conservativa
"
il regolatore ha un guadagno in alta frequenza
più alto del necessario
-40
-20
0
20
10 -1
10 0
10 1
10 2
10 3 -180
-90
0
90
polo
zero
L
R
+25dB
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Rete di anticipo
Esempio di progetto per cancellazione! Specifiche dinamiche
"
Margine di fase > 70°
" 10 ' #c ' 50 rad/s
per limitare il guadagno in
alta frequenza conviene
posizionare il polo il più
possibile vicino alla#
c"
attenzione a sfasamento
ed attenuazione introdotti
! la specifica richiede Mf > 70° e lo zero mi ha portato a +90°" posso accettare che il polo introduca uno sfasamento
%
= -20° in#c= 20 rad/s
! la relazione tra la fase e la costante di tempo nel polo è
! da cui
-60
-40
-20
0
20
10 -1
10 0
10 1
10 2
10 3 -180
-135 -90
-45 0
45
polo
zeroR
L'
L
+15dB
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-60
-40
-20
0
20
10 -1
10 0
10 1
10 2
10 3 -180
-135 -90 -45 0
45
Rete di anticipo
Esempio di progetto
per cancellazione
! verifica
"
specifiche dinamiche
#
Margine di fase > 70°
#
10'
#c ' 50 rad/s
#c
= 18
-50 -40 -30 -20 -10 0
-20
-10
0
10
20
50 40 30 20 10
0.985
0.94 0.87 0.78 0.64 0.5 0.34 0.16
0.985
0.94 0.87 0.78 0.64 0.5 0.34 0.16
#n ( 33* ( .84
L
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 s0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
risposta al gradino
Mf = 75° * ( .75
con cancellazione
senza cancellazione
* ( .83
#n ( 40
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Rete di ritardo
Rete di ritardo a guadagno unitario
Re
Im
due effetti sulla L
polo
zero
ritardo di fase
attenuazione
1/ ! 1/ ! !
10-1 100 101 102
-40
-30
-20
-10
0
-80
-60
-40
-20
0
#
L'effetto utile èl'attenuazione
oltre lo zero
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-20
-15
-10
-5
0
10-1 100 101 102 -60
-50
-40
-30
-20
-10
0
# = 1/! # = 1/$!
una decade
oltre il polo
la fase
residua
è < 5°errore < 10°
Re
Im
$ = 0.1! = 1
Rete di ritardo
Descrizione della rete
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-20
-15
-10
-5
0
10-1 100 101 102 -60
-50
-40
-30
-20
-10
0
# = 1/! # = 1/$!
una decade
oltre il polo
la fase
residua
è < 5°errore < 10°
$ = 0.3
! = 1
$ = 0.1! = 1
Rete di ritardo
Ruolo dei parametri
Re
Im
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Rete di ritardo
Formule utili
pulsazione del massimo anticipo
attenuazione in corrispondenza di #*
attenuazione max (in alta frequenza)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 $-65
-60
-55
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15°
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Rete di Ritardo
Razionale del progetto
! si tracciano i diagrammi di Bode dell'impianto
" già compensato staticamente (kG(s))
! si sceglie la frequenza di attraversamento #c desiderata"
all'interno dell'intervallo di specifica
! si valutano sui diagrammi"
l'attenuazione &R (j#c) &dB per imporre l'attraversamento in
#c
" il ritardo di fase Arg(R (j
#
c)) per imporre il margine di fasedesiderato
! si sviluppa il progetto
" nel corso verrà illustrato un metodo analitico
#
basato sull'uso di formule, dette di inversione
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Rete di Ritardo
Progetto della rete con formule di inversione
! Problema
" Progettare una rete di ritardo a guadagno statico unitario k = 1
# scegliere e $
"
che in#
=#c garantisca
#
una attenuazione (in unità lineari) pari a M (0<M<1)
#
ed un ritardo di fase pari a%
(-90°<%
<0°)
! il procedimento è analogo a quello per le reti di anticipo
R j! c( ) =
1+ j"#! c
1+ j#! c
M cos! + jM sin! ( ) 1+ j"#
c( ) = 1+ j$"# c
svolgendo le parentesi e separando la parte reale e quella immaginaria
= Me j!
= M cos! + jM sin!
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Rete di Ritardo
Non tutte le coppie M , #
garantiscono una soluzione con
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10-2 10-1 100 101 102
-60
-40
-20
0
20
40
-200
-150
-100
-50
0
Rete di ritardo
Esempio di progetto con le formule di inversione
Specifiche dinamiche Margine di fase > 60°
4 < #c < 20 rad/s
Impianto
-10°
-14 dB
#c*
Step 1 - traccio diagramma di L*=kG
#c ( 20 rad/s
M%
(
30°Step 2 - Scelgo una nuova frequenza
#c* (inferiore a quella propria del sistema) nell'intervallo di specifica
dove la fase propria dell'impianto soddisfa le specifiche (scenario A)
#c* = 6 rad/s
Step 3 - Calcolo (in#c* ) l'attenuazione M necessaria ad imporre
l'attraversamento ed il massimo ritardo di fase%
che la rete può
introdurre senza pregiudicare il margine di fase
L*
MdB = 14 dB ) M = .2
%
= -10°
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10-2 10-1 100 101 102
-60
-40
-20
0
20
40
-200
-150
-100
-50
0
Rete di ritardo
Esempio di progetto con le formule di inversione
Specifiche dinamiche Margine di fase > 60°
4 < #c < 20 rad/s
Impianto
Step 4 - Calcolo i parametri della rete
con le formule di inversione
Le specifiche sono soddisfatte
#c = 6 rad/s
Mf = 65°
LRc* = 6 rad/s
M = .2
%
= -10°
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
risposta al gradino
Rete di ritardo
! Verifica
vera
Specifiche dinamiche Mf > 60°
4 < #c < 20 rad/s
Impianto
10-2 10-1 100 101 102
-60
-40
-20
0
20
40
-200
-150
-100
-50
0
L
#c ( 7
* ( .65
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8 #n ( 9
* ( .6
undershoot
attesa con* ( .6
#n ( 9
coda di assestamento
coda di assestamento
residuo piccolo
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Rete di ritardo
Coda di assestamento
! la presenza di una coda di assestamento è fisiologica
quando si usa una rete di ritardo" essa contiene uno zero collocato strutturalmente a frequenza
inferiore a quella di attraversamento
# nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione, lo
zero fungerà da attrattore per un polo dell'impianto
"
la dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta diquella imposta con la frequenza di attraversamento
"
se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di
assestamento potrebbe comunque essere più corta del tempo di
assestamento
"
per valutare l'importanza della coda nella risposta occorre
# stimarne il tempo di assestamento e confrontarlo con quellodel sistema in retroazione senza considerare la coda
" se è superiore a quello imposto al sistema, la presenza della coda
può portare al mancato soddisfacimento delle specifiche
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Rete di ritardo
Coda di assestamento
! per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad
un progetto per cancellazione" si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo
dell'impianto
# per questo tipo di rete è opportuno scegliere il polo a
frequenza inferiore escluso un eventuale polo nell'origine
! il progetto per cancellazione non è sempre possibile
"
occorre verificarne la fattibilità
"
lo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo
#
poli dell'impianto
#c
Zero
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Rete di ritardo
Progetto per cancellazione - formule utili
! lo zero del regolatore è collocato in
corrispondenza di un polo dell'impianto"
c è quindi già fissato per imporre la cancellazione
! resta da considerare il polo, la cui f.d.t. è
! dalla prima
! dalla seconda
R p dB
= !20log 1+ "# ( )2$
% & '
( )
* R p( ) = !arctg "# ( )
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Rete di ritardo
Progetto per cancellazione - formule utili
! dal lucido precedente
! da cui
"
modulo in funzione della fase
"
fase in funzione del modulo
-90 -80
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10
0
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Modulo (dB)
F a s e
( g r a d i )
Polo
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Esempio di progetto per cancellazione
! impianto
! Specifiche dinamiche
"
Margine di fase > 60°
"
4'
#c ' 20 rad/s
Step 1- diagramma di L*=kG"
#c ( 20 rad/s
"
Mf ( 30°
Step 2 - introduco lo zero in cancellazione di un polo
dell'impianto
" di solito quello a frequenza inferiore
Step 3 - diagramma di Bode della L' compensata con lo zero
-180 -135
-40
-20
0
20
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2
-90 -45 0
Rete di ritardo
L*L'
non fisicamente realizzabile !!
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Rete di ritardo
Esempio di progetto per cancellazione
! Specifiche dinamiche
" Margine di fase > 60°
" 4 ' #c ' 20 rad/s
! Step 4 - scelgo la
frequenza di
attraversamento#c
" #c = 7 rad/s
! Step 5 - calcolo l'attenuazione necessaria per imporre #c
" &Rp & = -26dB
e valuto il margine di fase
"
Mf = 148°
il polo di fisica realizzabilità può introdurre un ritardo difase pari a 148° - 60° = 88°
-180 -135
-40
-20
0
20
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2
-90 -45 0
L*
#c
L'
Mf
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Rete di ritardo
Esempio di progetto per cancellazione
! Specifiche dinamiche
" Margine di fase > 60°
" 4 ' #c ' 20 rad/s
! Step 6 - verifica di fattibilità
"
calcolo il ritardo di fase
introdotto dal polo che
garantisce una attenuazione&Rp & = -26dB
! dalle formule utili
! il progetto per cancellazione è fattibile (di misura)
-180 -135
-40
-20
0
20
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2
-90 -45 0
#c
L'
-87°
-26dB
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Esempio di progetto per cancellazione
! Specifiche dinamiche
" Margine di fase > 60°
" 4 ' #c ' 20 rad/s
! Step 7 - introduco il polo
in modo da imporre in #c= 7
una attenuazione di -26dB
! dalle formule utili
! le specifiche sono soddisfatte (di misura!)
"
si poteva scegliere una#c inferiore, (ad es. 5rad/s) che avrebbe
consentito una soluzione con un margine più ampio
Rete di ritardo
-180 -135
-40
-20
0
20
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2
-90 -45 0
L R
-26dB
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Rete di ritardo
Esempio di progetto
per cancellazione
! verifica
"
specifiche dinamiche
#
Margine di fase 6 70°
#
4'
#c ' 20 rad/s
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
risposta al gradino
con cancellazione
senza cancellazione
#n ( 9 * ( .6
-180
-135
-40
-20
0
20
10 -2 10
-1 10 0 10
1 10 2
-90 -45 0
#c ( 6
* ( .62
-10 -8 -6 -4 -2 0
-5
0
5
10 8 6 4 2
0.97
0.88
0.76 0.62 0.48 0.36 0.24 0.12
0.97
0.88
0.76 0.62 0.48 0.36 0.24 0.12
8
-8
* ( .6 #n ( 8.5
L
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Regolatori per lo Scenario B
! condizioni di utilizzo
" situazioni dopo la compensazione statica L* = RsG
"
la frequenza di attraversamento della funzione L* = RsG è esterna147/+-6+ /. / 6 ./55$ 7$+ / 147/+-6+/ */558-. /+9$556 *- 17/2-0-2$
7/+ !c
#
la sola rete di anticipo non basta perchè porterebbe la
frequenza di attraversamento fuori dall'intervallo di specifica
#
occorre un regolatore che oltre all'anticipo di fase introduca
anche una attenuazione
$ a frequenza comunque superiore ad!dmax
Rete di ritardo-anticipo
#cmin #cmax
L* L*
R s( )= k 1+!
1" 1 s( ) 1+ "
2 s( )1+ "
1 s( ) 1+!
2" 2 s( )
|R| #dmax #
arg(R)
#c
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Rete di ritardo-anticipo
Rete di Ritardo/Anticipo a guadagno unitario
R s
( )=1+!
1" 1 s( ) 1+ "
2 s( )
1+ " 1 s( ) 1+!
2"
2 s( ) Re
Im
-20
-10
0
10
20
10 -1
10 0
10 1
10 2
10 3 -90
-45
0
45
90
2 effetti utili
1
! 1
<"<1
#1! 1
) attenuazione
1
! 2
<"<1
#2! 2
) anticipo di fase
è la cascata di:
•
una rete di ritardo
•
una rete di anticipo
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Rete di ritardo-anticipo
Scomposizione della rete
! composta dalla cascata di due reti
! Rete di Ritardo
! Rete di Anticipo
R s
( )=
1+!1" 1 s( ) 1+ "
2 s( )
1+ " 1 s( ) 1+!
2" 2 s( ) Re
Im
Rrr s( )=
1+!1" 1 s( )
1+ " 1 s( )
Rra s( )=
1+ ! 2 s( )
1+"2!
2 s( )
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Progettazione della rete
! per il progetto della rete procederemo per passi,
progettando le due sottoreti una dopo l'altra utilizzando,per ciascuna, una delle tecniche di taratura già illustrate
" come sempre, il progetto della seconda dovrà tenere conto delleazioni già introdotte dalla prima
! alcune domande lecite
"
quale delle due reti va progettata per prima ?
#
a priori non fa differenza
" c'è qualche vantaggio a scegliere un ordine piuttosto che l'altro ?
# si, in entrambi i casi
! prima di procedere è opportuno analizzare meglio questaproblematica
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Ordine di progettazione e gradi di libertà
! il regolatore ha 4 parametri ($1, $2, 1, 2 ) per soddisfare le
due specifiche" frequenza di attraversamento e margine di fase
! i 4 parametri non possono però essere scelti liberamente
"
il progetto presenta comunque almeno 1 grado di libertà
! entrambe le reti componenti possono essere progettate
per fornire, ad una#
c assegnata,"
un effetto utile di entità rilevante (dipende da$
)
#
rete di anticipo)
anticipo di fase
# rete di ritardo ) attenuazione
"
un effetto parassita di lieve entità (dipende da$
e da )
# rete di anticipo
)
guadagno#
rete di ritardo)
ritardo di fase
" ciascuna delle due reti è quindi in grado di compensare l'effetto
parassita introdotto dall'altra
R t di it d ti i t t
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Ordine di progettazione e gradi di libertà! rete progettata per prima
"
si utilizza esclusivamente per il suo effetto utile
"
il valore dell'effetto parassita non va imposto perchè potrà esserecompensato dalla seconda rete
#
nel progetto c'è quindi un grado di libertà
! rete progettata per seconda" deve imporre al sistema già compensato con Rra sia il modulo che
la fase in#
c #
non ha quindi gradi di libertà
! ad es."
prima Rra ) poi Rrr
#
si progetta Rra per imporre l'anticipo di fase richiesto in#c
$ quello rilevato dall'analisi di scenario incrementato del ritardo di
fase introdotto successivamente in#c dal Rrr
# si progetta Rrr per imporre l'attraversamento in #c
$ Rrr può introdurre un ritardo di fase aggiuntivo pari a quello giàconsiderato nel progetto di Rra
R t di it d ti i t t
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Possibili utilizzi del grado di libertà
! caso A – La rete di anticipo viene progettata per prima
" progetto della Rete di anticipo
# si può progettare per minimizzare il guadagno in alta frequenza
#
fissato l'anticipo%
desiderato in#c si sceglie il guadagno della
rete di anticipo con la formula
$ ricordarsi di aggiungere qualche grado per compensare il ritardo
introdotto poi dalla Rete di Ritardo
#
la rete di anticipo viene poi progettata con le formule diinversione e presenta il massimo anticipo di fase proprio in #c
"
progetto della Rete di ritardo
# dal diagramma della RraL* si valutano in
#
c $ l'attenuazione necessaria per imporre l'attraversamento
$ il ritardo di fase massimo ammissibile
#
si progetta la rete di ritardo con le formule di inversione
R t di it d ti i t t
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Possibili utilizzi del grado di libertà
! caso A – La rete di anticipo viene progettata per prima
"
progetto della Rete di anticipo#
si può progettare per minimizzare il guadagno in alta frequenza
"
metodo alternativo
#
fissati#c e l'anticipo
%
desiderato si progetta la rete utilizzandoalcune formule utili presentate in precedenza
$ da
" progetto della Rete di ritardo
#
dal diagramma della RraL* si valutano in#
c $ l'attenuazione necessaria per imporre l'attraversamento
$ il ritardo di fase massimo ammissibile
#
si progetta la rete di ritardo con le formule di inversione
se si impone #* = #c si ha
R t di it d ti i t t
7/24/2019 Reti Correttrici Singolo Bologna
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Possibili utilizzi del grado di libertà
! caso B – La rete di ritardo viene progettata per prima
" progetto della rete di ritardo
# si può utilizzare il grado di libertà relativo allo sfasamento
introdotto dalla rete di ritardo in#c per minimizzare le code di
assestamento nella risposta al gradino
$ si progetta la rete di ritardo per cancellazione
"
progetto della rete di anticipo
# dal diagramma della RraL* si valutano in#c
$ l'anticipo di fase necessario
$ il guadagno per imporre l'attraversamento
#
si progetta la rete di anticipo con le formule di inversione
R t di it d ti i t t
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
-20
0
20
10 -3
10 -2
10 -1
10 0
10 1 -180
-135 -90 -45
0
Specifiche dinamiche:
.7 < #c < 20 rad/sMf >90°
L*
Analisi di Scenario
) Scenario B
occorre una rete di anticipo
) la #c andrà oltre l'intervallo dispecifica
scelgo la frequenza di attraversamento nell'intervallo di specifica, ad es
#c = 1.3 rad/s ) occorrono 45° di anticipo di fase
aggiungo 5° per il ritardo di fase parassita della rete di ritardo ) % = +50°
caso A - Progetto per prima la rete di anticipo
non dovendo imporre specifiche sul modulo scelgo la taratura a minimo
guadagno in alta frequenza
devo quindi progettare una rete di ritardo-anticipo
) aggiusterò la #c con una rete di ritardo
R t di it d ti i t t
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Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 61
Rete di ritardo-anticipo - taratura
-20
0
20
10 -3
10 -2
10 -1
10 0
10 1 -180
-135 -90 -45
0
Specifiche dinamiche:
.7 < #c < 20 rad/sMf >90°
L*
la rete a minimo guadagno in alta
frequenza che assicura + 50° di anticipo
di fase ha guadagno in centro banda di
+9dB
Per il progetto analitico scelgo#c = 1.3 rad/s
M = 2.8 (9 dB)
% = +50°0 10 20 30 40 50 60 70 %max
° 0
2
4 6
8
10
12
14
16 18
20
|R(#*)|dB
Scelta del guadagno MdB
Caso A – Rete di anticipo prima
Rete di ritardo anticipo taratura
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#c = 1.3 rad/s
M = 2.8 (9 dB)% = +50°
Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche:
.7 < #c < 20 rad/sMf >90°
Progetto ora la Rete di Anticipo
con le formule di inversione
Dalle formule di inversione per la rete di anticipo
! = 2.16s
$! = .28 s
-60
-40
-20
0
20
10 -3
10 -2
10 -1
10 0
10 1 -180
-90
0
90
L*
L'
Rra
in #c = 1.3 rad/s la funzione L'=RraL*:•
ha la fase corretta
•
ha il modulo troppo alto
) serve la rete di ritardo
come da scelta di progetto la rete di
anticipo ha il massimo sfasamento
proprio in #c = 1.3 rad/s
Rete di ritardo anticipo taratura
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dal diagramma della L'=RraL*
in #c
= 1.3 rad/s occorre
M = 0.18 (-15 dB)
ammetto uno sfasamento % = -5°
(già considerato nella Rete di anticipo)
Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche:
.7 < #c < 20 rad/sMf >90°
Progetto della Rete di Ritardo con
formule di inversione
Dalle formule di inversione
per la rete di ritardo! = 40s
$! = 7.2 s
in #c = 1.3 rad/s la funzione L=Rrr RraL*:
•
ha la fase corretta
•
ha il modulo unitario (0 dB)
-20
0
20
10 -3
10 -2
10 -1
10 0
10 1 -180
-135 -90 -45
0
-15dB
L'LRrr
le specifiche sono soddisfatte
Rete di ritardo anticipo taratura
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Verifica
-60
-30
0
30
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2 -180
-90
0
90
Rrra
L
-4 -3 -2 -1 0 1 -3
-2
-1
0
1
2
3
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5
0.975
0.91
0.82 0.7 0.56 0.42 0.28 0.14
0.975
0.91
0.82 0.7 0.56 0.42 0.28 0.14
0 5 10 15 20 s0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
per eliminare la
coda potrei
progettare Rrr per
cancellazione
+3 dB
Ta5 = 8s
atteso 2.3s
Rete di ritardo anticipo taratura
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche:
.7 < #c < 20 rad/sMf >90°
caso B - Progetto per prima la
rete di ritardo
scelgo il progetto per cancellazione
-20
0
20
10 -2
10 -1
10 0
10 1 -180
-135 -90 -45
0
-22dB
Introduco lo zero in cancellazione del polo più lento $! = 5
Traccio il diagramma della L' = (1+$! s)L*
scelgo la frequenza di attraversamento nell'intervallo di specifica,
ad es: in #c = 1.3 rad/s
L* L'
occorrono -22dB di attenuazione per imporre l'attraversamento in #c = 1.3 rad/sconsidero altri -6 dB (scelta ragionevole, ma arbitraria) per compensare il
guadagno spurio introdotta dalla rete di anticipo.
in totale occorrono -28dB
Rete di ritardo anticipo taratura
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche:
.7 < #c < 20 rad/sMf >90°
caso B - Progetto per prima la
rete di ritardo
scelgo il progetto per cancellazione
-40
-20
0
20
10 -2
10 -1
10 0
10 1 -180
-135 -90 -45
0
L*L'=Rrr L*
#c = 1.3 rad/s$! = 5
:Rp: = - 28 dB
Rete di ritardo anticipo taratura
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche:
.7 < #c < 20 rad/sMf >90°
caso B - Progetto ora la rete di
anticipo
scelgo il progetto con le formula di
inversione
-40
-20
0
20
10 -2
10 -1
10 0
10 1 -180
-135 -90 -45
0
L*L'=Rrr L*
dai diagrammi della L' (in # = 1.3 rad/s) ho
% = +55°
M = 2 (+6 dB)
+55°
+6dB
dalle formule di inversione
Rete di ritardo-anticipo - taratura
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche:
.7 < #c < 20 rad/sMf >90°
-60
-40
-20
0
20
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2 -180
-90
0
90 L*
Le specifiche sono soddisfatte
RL
Rete di ritardo-anticipo - taratura
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche:
.7 < #c < 20 rad/sMf >90°
-60
-40
-20
0
20
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2 -180
-90
0
90
+15dB
0 1 2 3 4 5 6 s0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-15 -10 -5 0 -4
-2
0
2
4
16 14 12 10 8 6 4 2
0.996
0.986 0.965 0.93 0.87 0.78 0.6 0.35
0.996
0.986 0.965 0.93 0.87 0.78 0.6 0.35
verifica
RL
Ta5 = 3s
atteso 2.3s
Rete correttrici - sommario delle regole di taratura
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Rete correttrici - sommario delle regole di taratura
Regole di taratura analizzate
! rete di anticipo
"
progetto con formule di inversione" progetto per cancellazione
! rete di ritardo
"
progetto con formule di inversione
"
progetto per cancellazione
! rete di ritardo/anticipo (rete a sella)
"
progetto in sequenza delle due reti componenti
#
rete di anticipo progettata per prima
$ progetto della rete di anticipo a minimo guadagno in alta
frequenza
$ progetto della rete di ritardo con formule di inversione
#
rete di ritardo progettata per prima
$ progetto della rete di ritardo per cancellazione
$ progetto della rete di anticipo con formule di inversione
Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura
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Step 2 alla frequenza di attraversamento scelta si ricavano:
il guadagno M e lo sfasamento # che la rete deve avere a quella frequenza per
imporre le specifiche
Reti correttrici 71
Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura
Progetto analitico mediante formule di inversione
Step 1
Si sceglie una frequenza di attraversamento:
0 10 20 30 40 50 60 70 %max
° 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 |R(#*)|dB
per avere una rete a guadagno
ridotto in alta frequenza.
• interna all'intervallo di specifica
•
maggiore di quella dell'impianto
•
cercando di garantire in #c una
coppia guadagno/sfasamento sulla
curva
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Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura
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1a verifica di fattibilità del progetto
Se all'interno dell'intervallo di specifica per la frequenza di attraversamento nonesiste nessuna frequenza in cui L' rispetta la specifica sul margine di fase, il
progetto per cancellazione non è fattibile (il polo di fisica realizzabilità non può
migliorare la fase).
Rete di anticipo sommario delle regole di taratura
Progetto per cancellazione
Step 1
Si compensa il sistema con uno zero in cancellazione del polo più vicino, ma a
frequenza inferiore, alla frequenza di attraversamento scelta
Step 2
si tracciano i diagrammi di Bode del sistema compensato con il solo zero in
cancellazione (L').
A1) la frequenza di attraversamento
di L' è interna all'intervallo di
specifica
A2) la frequenza di attraversamento
di L' è esterna (superiormente)
all'intervallo di specifica
Se la 1a verifica di fattibilità dà esito positivo ci sono due alternative
Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura
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Rete di anticipo sommario delle regole di taratura
Progetto per cancellazione
A1) la frequenza di attraversamento di L' è interna
all'intervallo di specifica
Il polo della rete deve essere posizionato il più possibile vicino allo zero per
garantire il minimo valore di guadagno in alta frequenza
L'avvicinamento del polo allo zero introduce uno sfasamento aggiuntivo ed
una attenuazione crescente, che abbassa la frequenza di attraversamento
Le espressioni
consentono di valutare le relazioni trasfasamento ed attenuazione introdotti dal polo.
R p dB
= !20log 1+ tg " ( )2#
$ % &
' (
Come si vede dal diagramma, la funzione mostra una maggiore sensibilità nei
confronti della variazione della fase, che per prima va considerata nel progetto
-90 -80
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10
0
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Ampiezza (dB)
F a s e
( g r a d i )
Polo
! R p( ) = "arctg ( 10
"
R pdB
10"1)
Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura
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Rete di anticipo sommario delle regole di taratura
Progetto per cancellazione
Step 3
In #c si rileva il massimo sfasamento # p che il polo di fisica realizzabilità può
introdurre senza pregiudicare il margine di fase
Step 4
si calcola la costante di tempo " del polo di fisica realizzabilità che lo posizioni
in modo da introdurre in #c lo sfasamento # p
Verifica
si valuta l'attenuazione che verrebbe introdotta, per verificare che la #c non
esca dall'intervallo di specifica.
Se esce si sceglie uno sfasamento inferiore
A1) la frequenza di attraversamento di L' è interna
all'intervallo di specifica - continua
Step 5
si verifica il progetto tracciando i diagrammi di Bode di R e di L
Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura
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Rete di anticipo sommario delle regole di taratura
Progetto per cancellazione
A2) la frequenza di attraversamento di L' è esterna
(superiormente) all'intervallo di specifica
Il polo della rete deve introdurre una attenuazione M per imporre una $ c
all'interno dell'intervallo di specifica. Si sceglie come $ c l'estremo superiore
dell'intervallo e si valuta graficamente l'attenuazione da introdurre
2a verifica di fattibilità del progetto per cancellazione
Lo sfasamento introdotto dal polo, aggiunto a quello della L' non deve
compromettere la specifica sul margine di fase.
Se la verifica di fattibilità non dà esito positivoil progetto per cancellazione non è fattibile.
Diversamente si procede con lo step 3 -90 -80 -70
-60 -50 -40 -30 -20 -10
0
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Ampiezza (dB)
F a s e
( g r a d i )
Polo
Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura
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Rete di anticipo sommario delle regole di taratura
Progetto per cancellazione
A2) la frequenza di attraversamento è esterna
(superiormente) all'intervallo di specifica
Step 3
In $ c si rileva il massimo sfasamento # p che il polo di fisica realizzabilità può
introdurre senza pregiudicare il margine di fase
Step 4
si calcola la costante di tempo " del polo di fisica realizzabilità che lo posizioni
in modo da introdurre in $ c lo sfasamento # p
Verifica
si valuta l'attenuazione che verrebbe introdotta, per verificare che la $ c non
esca dall'intervallo di specifica.
Se esce si sceglie uno sfasamento inferiore
Step 5
si verifica il progetto tracciando i diagrammi di Bode di R e di L
Rete di ritardo - sommario delle regole di taratura
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Rete di ritardo sommario delle regole di taratura
Progetto analitico mediante formule di inversione
Step 2
Si sceglie una frequenza di attraversamento:
•
interna all'intervallo di specifica
•
minore di quella propria dell'impianto
Step 4
si calcolano i parametri della rete mediante le formule di inversione
Step 3
alla frequenza di attraversamento scelta si ricavano:•
l'attenuazione M che la rete deve avere a quella frequenza per imporre
l'attraversamento
•
il massimo ritardo di fase ammissibile %
Step 1
Si traccia il diagramma di Bode della L*=R1G
Rete di ritardo - sommario delle regole di taratura
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g
Progetto per cancellazione
Step 2
Si compensa il sistema con uno zero in cancellazione del polo dell'impianto a
frequenza più bassa, escludendo un eventuale polo nell'origine
Step 4
alla frequenza scelta per l'attraversamento
•
si rileva il guadagno dell'impianto e quindi l'attenuazione (&Rp &dB) che il
polo deve introdurre per imporre l'attraversamento
•
si rileva lo sfasamento in #c (lo chiamiamo %(L*(#c)))
Step 3
si tracciano i diagrammi di Bode del sistema compensato (L*) e si sceglie lafrequenza di attraversamento #c
Step 1
Si traccia il diagramma di Bode della L*=R1G
Rete di ritardo - sommario delle regole di taratura
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g
Progetto per cancellazione
Step 5
si calcola la costante di tempo ! del polo mediante la relazione
Verifica di fattibilità si verifica la fattibilità del progetto per cancellazione, calcolando il ritardo di
fase complessivo in #c (quello della L* sommato a quello introdotto dal polo)
se %(#c) soddisfa le specifiche il progetto per cancellazione è fattibile.
Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura
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dal diagramma della L*=kG
•
si sceglie la frequenza di attraversamento #c
•
si valuta l'anticipo di fase (+%a) necessario per garantire il margine di fase
•
si fissa il valore del ritardo che sarà introdotto in #c dalla rete di ritardo (-;%)
•
si sceglie per la rete % = %a - (-;%)•
si sceglie il guadagno (M) della rete
in #c con le formule
Reti correttrici 81
p g
Rete di anticipo progettata per prima
nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare il guadagno
in alta frequenza
Step 1 – progetto della rete di anticipo
0 10 20 30 40 50 60 70 %max
0
2
4 6
8
10
12
14
16
18
20
|R(#*)|dB
•
dati M, % e #c si progetta la Rete di
Anticipo con le formule di inversione
Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura
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Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 82
p g
Rete di anticipo progettata per prima
nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare il guadagno
in alta frequenza
Step 2 – progetto della rete di ritardo
dal diagramma della L'=RrakG
•
si valuta l'attenuazione (in dB) necessaria per garantire la frequenza di
attraversamento #c
•
si calcola il corrispondente valore M in scala lineare
•
si sceglie per la rete % = -;% già fissato al passo 1•
dati M, % e #c si progetta la Rete di Ritardo con le formule di inversione
Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura
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p g
Rete di ritardo progettata per prima
nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare le code di
assestamento
Step 1 – progetto della rete di ritardo
dal diagramma della L*=kG
•
si sceglie la frequenza di attraversamento #c
•
si introduce lo zero in cancellazione (#c)
•
dai diagrammi della L'=(1+#cs)L* si valuta l'attenuazione ArdB (valore
negativo) necessaria per imporre l'attraversamento in #c •
si fissa il guadagno aggiuntivo ;kdB (valore positivo) introdotto
successivamente dalla Rete di Anticipo
•
si calcola AdB = ArdB -;kdB
• si posiziona il polo della rete in modo da garantire l'attenuazione AdB in #c
Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura
7/24/2019 Reti Correttrici Singolo Bologna
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Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 84
p g
Rete di ritardo progettata per prima
nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare le code di
assestamento
Step 2 – progetto della rete di anticipo
dal diagramma della L'=Rrr kG
•
si valuta l'anticipo di fase (%) necessario per imporre l'attraversamento in #c
•
si calcola il guadagno (in dB) delle rete per imporre l'attraversamento in #c
(;kdB) (a meno di errori è il valore già fissato al passo 1)
•
si trasforma il valore del guadagno in scala lineare
•
dati M, % e #c si progetta la Rete di Anticipo con le formule di inversione
Rete di ritardo - sistemi con polo nell'origine
7/24/2019 Reti Correttrici Singolo Bologna
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Sistemi con polo nell'origine! Polo nell'origine presente nell'impianto
" Si ricorda che la rete di ritardo viene impiegata per ridurre il guadagno
(limitare la frequenza di attraversamento) quando non si può utilizzare unregolatore proporzionale.
" se non ci sono vincoli sull'attenuazione di un disturbo caratterizzatospettralmente
# l'uso della rete di ritardo perde di significato perché la frequenza di
attraversamento scelta si può impostare con un regolatore statico del
tipo R = k
Problemi di code di assestamento con le reti correttrici
7/24/2019 Reti Correttrici Singolo Bologna
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Stima del tipo di effetto
! da modulo LA si ricorda l'antitrasformata della risposta al
gradino di un sistema del secondo ordine a polo realidistinti ed uno zero
y t ( ) = µ 1! "
1 ! T
" 1 !"
2
e! t
" 1+
" 2 ! T
" 1 !"
2
e! t
" 2
# $ %
& ' (
seT = 5
!1 = 4
!2 = 1
r 1 è il residuo
associato alla
dinamica !1
r 2 è il residuo
associato alla
dinamica !2
r 2
r 1
la dinamica dominante è quella di !2
la dinamica della coda è quella di !1
r 1 ( 1/3
r 2 < - 4/3
t
1
-1
r 2e-t/!2
y
r 1e-t/!1
Problemi di code di assestamento con le reti correttrici
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Stima del tipo di effetto
! per l'analisi si ricorre al luogo delle radici
! la coda di assestamento si può manifestare come:
"
undershoot
#
se nella coppia polo/zero in bassa frequenza il polo vieneprima dello zero
" overshoot
#
se nella coppia polo/zero in bassa frequenza il polo viene dopo
lo zero
! la presenza di uno zero in bassa frequenza garantisce cheun polo del sistema sarà attratto da questo
"
la presenza di una coda di ampiezza significativa non è certa. Se il
guadagno di anello è elevato il polo e lo zero si troveranno molto
vicini, dando luogo (nell'antitrasformata) ad un residuo di modestaentità rispetto a quello relativo alla dinamica principale
#
la valutazione del baricentro del luogo può essere di aiuto
Problemi di code di assestamento con le reti correttrici
7/24/2019 Reti Correttrici Singolo Bologna
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Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 88
Alcune situazioni tipiche
-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
I m a g A x e s
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
La dinamica residua genera un
undershoot con coda di assestamento
di ampiezza modesta
La dinamica residua genera un
undershoot con coda di
assestamento di ampiezza rilevante
Il polo residuo sarà collocato tra lo zero (-0.25) ed il polo del regolatore (-0.1).
In entrambi i casi la costante di tempo del polo residuo (e quindi della coda) è
quindi compresa tra 4s (-1/-.25) e 10s (-1/-.1)
Problemi di code di assestamento con le reti correttrici
7/24/2019 Reti Correttrici Singolo Bologna
http://slidepdf.com/reader/full/reti-correttrici-singolo-bologna 89/92
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Alcune situazioni tipiche
La dinamica residua genera un
overshoot con coda di assestamento
di ampiezza rilevante
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Il polo residuo sarà collocato tra il polo dell'impianto (-2.5) e lo zero (-1).
La costante di tempo del polo residuo (e quindi della coda)
è quindi compresa tra 0.4s (-1/-2.5) e 1s (-1/-1)
Problemi di code di assestamento con le reti correttrici
7/24/2019 Reti Correttrici Singolo Bologna
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Alcune situazioni tipiche
La dinamica residua genera un
overshoot con coda di assestamento
di ampiezza non eccessivamente
rilevante
il ragionamento per determinare la
costante di tempo del polo residuo è
un po' più complicato
-10 -8 -6 -4 -2 0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Il baricentro normalizzato del luogo è in
Il punto di emergenza degli asintoti è in
Ne consegue che il terzo polo sarà
necessariamente a dx del baricentro
normalizzato ed a sx dello zero (-1.5).
B
ovviamente a dx del punto di emergenza
degli asintoti.
la costante di tempo del polo residuo
(e quindi della coda) è compresa tra
0.27s (-1/-3.6) e 0.66s (-1/-1.5)
Riferimenti bibliografici
7/24/2019 Reti Correttrici Singolo Bologna
http://slidepdf.com/reader/full/reti-correttrici-singolo-bologna 91/92
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! Per approfondimenti
"
Boltzern, Scattolini, Schiavoni "Fondamenti di Controlli
Automatici", McGraw-Hill, II edizione
# Capitolo 11
"
Marro "Controlli Automatici", Zanichelli, V edizione,
# Capitolo 6
7/24/2019 Reti Correttrici Singolo Bologna
http://slidepdf.com/reader/full/reti-correttrici-singolo-bologna 92/92
Controlli Automatici
Parte 2 – Regolatori standard e Metodi di taraturaReti CorrettriciRete di Anticipo
Rete di Ritardo
Rete di Ritardo/Anticipo
FINE
Prof. Carlo Rossi
DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093020
Email: [email protected]: www-lar.deis.unibo.it/~crossi