RETI CORRETTRICI - Unimore...Luigi Biagiotti Controlli Automatici Introduzione -- 2 Regolatori...

Ing. Luigi BiagiottiTel. 051 20939903

e-mail: [email protected]://www-lar.deis.unibo.it/~lbiagiotti

CONTROLLI AUTOMATICIIngegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa

http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm

RETI CORRETTRICIRETI CORRETTRICI

Luigi Biagiotti Introduzione -- 2Controlli Automatici

Regolatori standardRegolatori standard

• Alcune strutture standard di regolatori•• reti correttricireti correttrici

anticipo o ritardoanticipo o ritardo1 polo ed uno zero reali

anticipo/ritardoanticipo/ritardodue poli e due zeri reali distinti

•• regolatori industrialiregolatori industrialiProporzionali (P)Integrali (I)Proporzionali-Integrali (PI)Proporzionali-Derivativi (PD)Proporzionali-Integrali-Derivativi (PID)


Rete di anticipo (Rete di anticipo (phasephase leadlead))• Funzione di trasferimento:

Spesso Spesso αα ≅≅ 0.1 0.1 ⇒⇒ ϕϕmm = 55= 55°°

Serve per migliorare il margine di faseServe per migliorare il margine di fase

0

10

20

Gai

n dB

ω (rad/sec)0

20

40

60

Phas

ede

g

1/1/ττ

1/1/ατατ

( )ατω 1=m

1/1/.5.5ττ

ϕ ≅ 5°in ω=10/ατ

Si assume una rete aguadagno statico unitarioguadagno statico unitario

La rete anticipatrice ha due effetti sulla funzione di anello:

migliora il margine di fase intorno ad migliora il margine di fase intorno ad ωωmm ⇒⇒ effetto utileeffetto utileaumenta il guadagno per aumenta il guadagno per ωω > 1/> 1/τ τ ⇒⇒ effetto collateraleeffetto collaterale

− −1 1

ατ τ


Rete di Anticipo (Rete di Anticipo (phasephase leadlead))

• Formule utili

ϕm

0 0.1 0.2 0.3 0.4 α10

20

30

40

50

60

70



-100

-50

0

50

Gai

n dB

ω (rad/sec)

-90

-180

0

Phas

ede

g

Se si sceglie Se si sceglie ττ in modo che in modo che ωωmm ≅≅ ωωcc ⇒⇒ effetto stabilizzanteeffetto stabilizzante

migliora MF

cresce ωc

• Effetti sulla f.d.t. di anello

L(s)L(s)



-20

0

20

Gai

n dB

-90

-180

0

ω (rad/sec)

Phas

ede

g

L'aumento di guadagno in ωc si può compensare riducendo il guadagno statico del regolatore ⇐ prestazioni statiche !!!

Ingrandita aggiunta di un polonell'origine




-50

0

50

Gai

n dB

-180

-270

ω(rad/sec)

Phas

ede

g

-90

La specifica sul Mf ≅ 90°si può soddisfare qui

se si vuole ωc come prima

Con la rete di anticiponon si può ottenere Mf ≅ 90° perché maxanticipo è < 90°

per imporre ωcoccorre GR <<1

1/1/ττ 1/1/ατατ

Aggiunto polo nell'origine



RetiReti anticipatricianticipatrici formuleformule didi inversioneinversione

• L’obiettivo è di identificare delle formule per il progetto dei gradi dilibertà (α, τ) al fine di assegnare una certa pulsazione diattraversamento e un certo margine di fase desiderati

• NOTA :La rete sfasa in anticipo e amplifica. Quindi la pulsazione diattraversamento desiderata ωc* deve essere >= a quella del sistemaesteso e inoltre la fase del sistema esteso per ω = ωc* deve essereminore di -180o + Mf* (Mf* margine di fase desiderato).

• Problema: Dati valori desiderati (M*, φ*,ωc*) (con M* > 1, 0 < φ* < 90o) identificare le formule per trovare (α, τ) della rete che alla pulsazioneω = ωc* amplifichi di M* e sfasi di φ*


• I valori di (α, τ) che garantiscono un’amplificazione pari a M* e uno sfasamento φ* (con M* > 1 e 0 < φ* < 90° ) per ω = ωc* sono:

• infatti


ovvero

che è equivalente (eguagliando parte reale e parte immaginaria)


10-1

100

101

102

103

104

0

30

60

Pha

se(d

eg)

0

5

10

15

20

Mag

nitu

de(d

B)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

• Attenzione: non tutti gli sfasamenti 0 < φ* < 90o e le attenuazioni M*>1 possono essere arbitrariamente ottenuti con τ > 0 e 0 < α <1.

• Infatti mentre è facile verificare che 0 < φ* < 90o e M* > 1 garantiscono che τ > 0 e α < 1, si ha che



• Progetto mediante formule di inversione:• Dati del problema:

Sistema esteso Ge(s)Pulsazione di attraversamento ωc* e margine di fase Mf*

• Algoritmo per il progetto della rete anticipatrice


Step1: Calcolare e (lettura diagramma di Bode)

Step3: Calcolare (α, τ) mediante le formule di inversione

Step2: Calcolare

Verificando che

(ovvero che )(ovvero che )


Reti anticipatrici: code di assestamentoReti anticipatrici: code di assestamento• La presenza di una coda di assestamento è fisiologica quando si usa

una rete anticipatrice

• La rete contiene uno zero collocato strutturalmente a frequenza inferiore a quella di attraversamento (nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione lo zero fungerà da attrattore per un polo dell’impianto)

• La dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta di quella imposta con la frequenza di attraversamento

• Se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di assestamento potrebbe essere più corta del tempo di assestamento


Reti anticipatrici: progetto per cancellazioneReti anticipatrici: progetto per cancellazione

• Per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad un progetto per cancellazione.

• si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo dell'impianto

• è opportuno scegliere il polo a frequenza inferiore alla ωc*prescelta più vicino ad essa

• il progetto per cancellazione non è sempre possibile:occorre verificarne la fattibilitàlo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo

Poli dell’impianto



Step 1)

Si può valutare lo sfasamento

e l’amplificazione

dello zero alla pulsazione .

Fissato

Step 2)Calcolare l’attenuazione desiderata del polo a ω =ωc*

e il valore di τp = ατ che garantisce l’attenuazione Mp



Step 3)

Valutare se lo sfasamento del polo per ω = ωc* risulta essere compatibile con il margine di fase desiderato, ovvero:

Step 4)

Se sì, si sceglie ατ =τp, altrimenti provare con un diverso valore di ωc*


Rete di Ritardo (Rete di Ritardo (phasephase laglag))• Funzione di trasferimento

Serve per migliorare Serve per migliorare le prestazioni a bassa frequenzale prestazioni a bassa frequenza

-20

-10

0

Gai

n dB

ω (rad/sec)-60

-40

-20

0

Phas

ede

g

1/1/ττ 1/1/αα11ττ1/1/αα22ττ

( )ατω 1=m

Gr = 1

ϕ ≅ 5°in ω=10/ατ

α1 = .1 α2 = .5

La rete di ritardo ha due effetti sulla funzione di anello:riduce il guadagno per riduce il guadagno per ωω>1/>1/ττ ⇒⇒ effetto utileeffetto utilepeggiora il margine di fase intorno ad peggiora il margine di fase intorno ad ωω ⇒⇒ effetto collateraleeffetto collaterale

− −1 1

ατ τ


Rete di Ritardo (Rete di Ritardo (phasephase laglag))

• Formule utili

-ϕm

0 0.1 0.2 0.3 0.4 α10

20

30

40

50

60

70


• Effetti sulla f.d.t. di anello•due possibilità

aumento del guadagno in bassa aumento del guadagno in bassa frequenza senza alterare il frequenza senza alterare il comportamento in alta frequenzacomportamento in alta frequenza


-50

0

50

-200

-100

0

impiantoimpianto

1/1/ατατ Gr = 1/α

1/ατ ≅ ωc/10


• Effetti sulla f.d.t. di anello•due possibilità

riduzione del guadagno in alta riduzione del guadagno in alta frequenza per migliorare il frequenza per migliorare il margine di fasemargine di fase

si riduce la banda passantesi riduce la banda passante


GGrr = 1= 1ττ ee ατατ maggiori della maggiori della pipiùù grande costantegrande costantedi tempo dell'impiantodi tempo dell'impianto

-50

0

50

-200

-100

0

impiantoimpianto

a parte evidenti cambiamentia parte evidenti cambiamentidi segno sono valide di segno sono valide

le stesse formule della le stesse formule della rete di anticiporete di anticipo


Sintesi delle Reti di RitardoSintesi delle Reti di Ritardo

• Si sfrutta ll’’attenuazione attenuazione senza accentuare il ritardo di fase•• Lo zero si colloca una decade prima Lo zero si colloca una decade prima

della della ωωcc scelta, in modo da non scelta, in modo da non aggiungere ritardo di fase in aggiungere ritardo di fase in ωωcc

• α si calcola per ottenere l'attenuazione necessaria per imporre ωc0

dB

°0

-90

-180

Impianto + R1

ωc

si usa se si usa se MMFF non soddisfacentenon soddisfacente

e e ωωcc < < ωω11

ω1

-2-1

Attenzione alla coppia Attenzione alla coppia polo/zero strutturalmente a polo/zero strutturalmente a frequenza pifrequenza piùù bassa di bassa di quella di taglio quella di taglio ⇒⇒ coda di assestamentocoda di assestamento


RetiReti ritardatriciritardatrici formuleformule didi inversioneinversione

• L’obbiettivo è di identificare delle formule per il progetto dei gradi dilibertà (α, τ) al fine di assegnare una certa pulsazione diattraversamento e un certo margine di fase desiderati

• NOTA :La rete attenua e sfasa in ritardo. Quindi la pulsazione diattraversamento desiderata ωc* deve essere <= a quella del sistemaesteso e inoltre la fase del sistema esteso per ω = ωc* deve esseremaggiore di -180o + Mf* (Mf* margine di fase desiderato).

• Problema: Dati valori desiderati (M*, φ*,ωc*) (con 0 < M* < 1, -90 < φ* < 0o) identificare le formule per trovare (α, τ) della rete chealla pulsazione ω = ωc* attenui di M* e sfasi di φ*


• I valori di (α, τ) che garantiscono un’attenuazione pari a M* e uno sfasamento φ* (con 0 < M* < 1 e -90o < φ* < 0° ) per ω = ωc* sono:

• infatti

RetiReti ritardatriceritardatrice formuleformule didi inversioneinversione

ovvero

che è equivalente (eguagliando parte reale e parte immaginaria)


-20

-15

-10

-5

0

Mag

nitu

de(d

B)

10-1

100

101

102

103

104

-60

-30

0

Pha

se(d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

• Attenzione: non tutti gli sfasamenti -90o < φ* < 0o e le attenuazioni 0< M* <1 possono essere arbitrariamente ottenuti con τ > 0 e 0 < α <1.

• Infatti mentre è facile verificare che -90o < φ* < 0o e 0 < M* <1 garantiscono che τ > 0 e α < 1, si ha che



• Progetto mediante formule di inversione:• Dati del problema:

Sistema esteso Ge(s)Pulsazione di attraversamento ωc* e margine di fase Mf*

• Algoritmo per il progetto della rete anticipatrice


Step1: Calcolare e (lettura diagramma di Bode)

Step3: Calcolare (α, τ) mediante le formule di inversione

Step2: Calcolare

Verificando che

(ovvero che )(ovvero che )


Reti Reti ritardatriciritardatrici: progetto per cancellazione: progetto per cancellazione

Step 1)

Si può valutare lo sfasamento

e l’amplificazione

dello zero alla pulsazione .

Fissato

Step 2)Calcolare l’attenuazione desiderata del polo a ω =ωc*

e il valore di τp = ατ che garantisce l’attenuazione Mp


Reti Reti ritardatriciritardatrici: progetto per cancellazione: progetto per cancellazione

Step 3)

Valutare se lo sfasamento del polo per ω = ωc* risulta essere compatibile con il margine di fase desiderato, ovvero:

Step 4)

Se sì, si sceglie τ =τp, altrimenti provare con un diverso valore di ωc*


− − − −1 1 1

1 1 2 2ατ τ τατ

Re

Im

a

Log|G(jω)|

Arg[G(jω)]

log(w)

log(w)0

ατ τ τ ατ1 2 1 1

1 1 1

Diagramma di Bode asintotico

Rete di Ritardo e Anticipo (Rete di Ritardo e Anticipo (leadlead--laglag))• Funzione di trasferimento

Unione di rete Unione di rete di ritardo e di rete di anticipodi ritardo e di rete di anticipo

Consente di aumentare il guadagno in bassa frequenza Consente di aumentare il guadagno in bassa frequenza senzasenza

pregiudicare la banda passante ed il margine di fasepregiudicare la banda passante ed il margine di fase

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