Statistica Sociale e Criminale

(12 CFU)

A.A. 2015/2016

CdL Sociologia e Criminologia

Simone Di Zio

Dove siamo…

MODULO 3. L’Inferenza statistica

3.1 Probabilità e variabili casuali

3.2 Le tecniche di campionamento

3.3 Inferenza da “Esperimento statistico”

3.4 Inferenza da “Popolazioni finite”

INFERENZA

da esperimento statistico da popolazioni finite

Popolazioni virtuali, i cui

elementi sono generati

dall’esperimento statistico.

La popolazione è formata da un

insieme finito ed etichettabile

di unità statistiche.

INFERENZA

da esperimento statistico da popolazioni finite

L’esperimento statistico è stato

pensato per le scienze

sperimentali, in cui le

popolazioni possono essere

ipotetiche ed infinite

Le popolazioni di interesse

sociale ed economico, in genere,

sono reali e finite.

L’inferenza statistica è rivolta ad affrontare il cosiddetto problema inverso

in cui la struttura della popolazione è incognita e induttivamente si cerca di

utilizzare un insieme limitato di informazioni derivanti da un campione

casuale estratto dalla popolazione.

Ambiti dell'INFERENZA

Stima dei parametri

Stima Puntuale

Stima per intervalli

Verifica d'Ipotesi

PARAMETRO incognito della popolazione

Stimatore (o statistica campionaria)

𝜃 𝑇 = 𝑡(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛)

𝜇

Media popolazione Esempio �̅� =

1

𝑛∑ 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

Media campionaria

Stimare Distanza

Stimare

Lo stimatore è una variabile casuale.

Ha pertanto una sua propria distribuzione campionaria

Conoscendo la distribuzione campionaria è possibile capire se lo stimatore scelto

produrrà stime più o meno vicine al parametro incognito della popolazione.

Quindi, per uno stesso parametro esistono più stimatori (così come per una

distanza si possono usare più strumenti di misura)

Per poter scegliere il “migliore” bisognerà prima stabilire quali sono le proprietà

che uno stimatore deve possedere.

Come scelgo

il migliore?

Uno stimatore 𝑇 del parametro incognito della popolazione 𝜃 si definisce

corretto (o non distorto) se il suo valore atteso è uguale al parametro vero della

popolazione:

𝑬(𝑻) = 𝜽

per ogni valore di 𝜃.

Nell’ipotesi di infiniti campioni di dimensione 𝑛, il valore che lo stimatore assume

per ognuno di tali campioni avrebbe una media pari a 𝜃

Nel caso in cui 𝐸(𝑇) è diverso da 𝜃 si dice che lo stimatore è distorto:

𝑫(𝑻) = 𝑬(𝑻) − 𝜽

Uno stimatore è tanto più efficiente quanto più i valori si addensano intorno al

valore vero del parametro cui si riferisce.

L’errore di stima è la differenza fra stimatore e parametro incognito:

𝑻 − 𝜽

è logico aspettarsi che per buon stimatore esso sia più piccolo possibile.

L’Errore Quadratico Medio dello stimatore 𝑇 relativo a un parametro 𝜃 è:

𝑴𝑺𝑬(𝑻) = 𝑬[(𝑻 − 𝜽)𝟐]

L’efficienza è una proprietà relativa, cioè si evince dal confronto di due o più

stimatori. Dati due stimatori 𝑇1 e 𝑇2, entrambi del parametro 𝜃, diremo che 𝑇1 è

più efficiente di 𝑇2 se e solo se

𝑀𝑆𝐸(𝑇1) < 𝑀𝑆𝐸(𝑇2)

Per le proprietà della correttezza e dell’efficienza si considera fissa la dimensione

campionaria 𝑛.

A queste se ne aggiungono altre che invece vengono dette proprietà asintotiche,

cioè si prende in considerazione il comportamento dello stimatore al crescere

della dimensione campionaria (questa condizione si esprime con 𝑛 → ∞)

La consistenza indica l’aumentare della precisione dello stimatore all’aumentare

della numerosità campionaria 𝑛.

Uno stimatore 𝑇𝑛 di un parametro 𝜃 è consistente in probabilità se per ogni 𝜖 >0:

𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

𝑷(|𝑻𝒏 − 𝜽| < 𝝐) = 𝟏

per ogni valore di 𝜃. Il limite della probabilità che il valore assoluto dello scarto fra stimatore e parametro sia

piccolissima, cioè inferiore a un 𝜖 piccolo a piacere, è pari a uno.

Quando un parametro della popolazione è stimato con un valore singolo, questo

valore è detto stima puntuale del parametro.

Uno dei parametri più importanti della popolazione è la media 𝜇

Partendo da un campione casuale 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 di dimensione 𝑛, la media

campionaria �̅� è uno stimatore puntuale della media della popolazione 𝜇:

�̅� =𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛

𝑛

Essendo noto che 𝐸(�̅�) = 𝜇 si tratta di uno stimatore corretto.

È la proporzione di unità che presentano un certo attributo.

Dato un campione casuale di 𝑛 unità, uno stimatore puntuale della proporzione

𝝅 è la proporzione campionaria.

La stima puntuale di 𝜋 si ottiene come somma delle 𝑥𝑖 diviso 𝑛:

�̅� =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛

�̅� è uno stimatore corretto di 𝜋, in quanto 𝐸(�̅�) = 𝜋.

La varianza della popolazione è un altro importante parametro oggetto di stima.

Ricordiamo che è

𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2]

dove 𝜇 è la media della popolazione.

Uno stimatore puntuale corretto della varianza della popolazione è dato da:

𝑆2 =1

𝑛 − 1∑(𝑋𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

Quindi 𝐸(𝑆2) = 𝜎2 per ogni 𝜎2 > 0.

𝑆2 =1

𝑛 − 1∑(𝑋𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

si definisce varianza campionaria corretta, per distinguerlo dalla varianza

campionaria che è data da

1

𝑛∑ (𝑋𝑖 − �̅�)2𝑛

𝑖=1

e che invece è uno stimatore distorto della varianza.

Nella pratica si ha un solo campione, per cui la stima puntuale difficilmente darà

il valore esatto del parametro della popolazione.

È preferibile allora stimare due estremi, entro i quali tutti i valori sono possibili

stime del parametro, secondo un certo grado di plausibilità.

per un intervallo di confidenza della media della popolazione 𝜇, si devono

calcolare due valori (diciamo 𝒒𝟏 𝑒 𝒒𝟐) simmetrici rispetto alla stima puntuale

della media campionaria, che sappiamo essere �̅�.

L’intervallo di confidenza è un intervallo di valori - determinato sulla base di

un campione - che si ritiene contenere il vero parametro (incognito della

popolazione) con un prefissato grado di fiducia.

Significa che la quantità |𝑞1 − �̅�| è uguale alla quantità |𝑞2 − �̅�|.

Dire che il livello di confidenza è prefissato significa assegnare una probabilità:

𝑷(𝒒𝟏 < 𝝁 < 𝒒𝟐) = 𝟏 − 𝜶

N.B.: sono gli estremi dell’intervallo (𝑞1 𝑒 𝑞2) che variano al variare del campione

Il parametro incognito (nel nostro esempio 𝜇) è fisso!

Quindi, 1 − 𝛼 è la probabilità che l’intervallo contenga il parametro incognito

della popolazione.

�̅� 𝑞1 𝑞2

|𝑞1 − �̅�| |𝑞2 − �̅�|

Se ad esempio 𝟏 − 𝜶 = 𝟗𝟓%,

immaginando di avere tutti i possibili campioni, ci aspettiamo che il 95% di essi

contenga il parametro incognito della popolazione mentre il restante 5% no.

𝝁

𝒒𝟏 𝒒𝟐

�̅�

𝒒𝟏 𝒒𝟐

�̅�

𝒒𝟏 𝒒𝟐

�̅�

𝒒𝟏 𝒒𝟐

�̅� 𝒒𝟏 𝒒𝟐

�̅�

𝒒𝟏 𝒒𝟐

�̅�

𝒒𝟏 𝒒𝟐

�̅�

95%

5%

Una variabile Normale è caratterizzata da due soli parametri: 𝜇, 𝜎2

Quando una variabile 𝑋 si distribuisce normalmente si scrive 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2)

Ma a seconda dei valori assunti da 𝜇 e 𝜎2 ho una curva diversa. Significa che

ogni volta dovrei calcolare integrali diversi.

Allora si preferisce trasformarla in una Variabile Standardizzata, di cui si

conoscono tutte le aree, senza calcolare nessun integrale.

Curva Normale

𝝈 qualunque valore

𝝁 qualunque valore

𝝁

𝝈

Normale Standardizzata

𝝈 = 𝟏

𝝁 = 𝟎

𝒁 =𝑿 − 𝝁

𝝈

Uso della Tavola della Variabile Casuale

Normale Standardizzata Valori della funzione di ripartizione della V.C. Normale standardizzata:

Φ(𝑧𝛼) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧𝛼) = 1 − 𝛼.

I valori della tavola corrispondono all’area sottesa alla funzione di densità della

Normale standardizzata, per 𝑧 compreso tra −∞ e 𝑧𝛼.

1. Si supponga ad esempio di dover cercare il valore dell’area corrispondente a

𝑧𝛼 = 1.96, ovvero la probabilità 𝑃(𝑍 ≤ 1.96).

𝑃(𝑍 ≤ 1.96) = 0.975

2. Cercare la probabilità corrispondente a 𝑧𝛼 = −1.96 .

𝑃(𝑍 ≤ −1.96) = 1 − 0.975 = 0.025

3. Si immagini ora di cercare l’area compresa fra −1.2 e 1.5. Si tratta della

probabilità 𝑃(−1.2 ≤ 𝑍 ≤ 1.5).

𝑃(𝑍 ≤ 1.5) − 𝑃(𝑍 ≤ −1.2).

𝑃(𝑍 ≤ 1.5) = 0.9332

𝑃(𝑍 ≤ −1.2) = 1 − 0.8849 = 0.1151

pertanto 𝑃(−1.2 ≤ 𝑍 ≤ 1.5) = 0.9332 − 0.1151 = 0.8181.

Problema inverso

Conoscendo il valore di un’area si deve trovare il corrispondente valore di 𝒛𝜶.

: 𝛼 = 0.025, siamo interessati a trovare il valore di zeta corrispondente

a quest’area, ovvero 𝑧0.025.

Siccome 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧𝛼) = 1 − 𝛼 allora l’area che dobbiamo cercare sulla tavola è

pari a 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧0.025) = 0.975.

Si cerca il valore più vicino a 0.975.

Si trova all’incrocio fra la riga con intestazione 1.9 e la colonna con intestazione

0.06. Pertanto 𝑧0.025 = 1.96.

TAVOLA della Funzione di ripartizione Φ(𝑍) della variabile casuale Normale standardizzata

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5754 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7258 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7518 0.7549 0.7 0.7580 0.7612 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7996 0.8023 0.8051 0.8079 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9430 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9485 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9700 0.9706

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9773 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9865 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9980 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9983 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998

ESERCIZI SULLA NORMALE

Sapendo che la lunghezza media delle foglie in un bosco: N(μ = 6, σ2 = 4)

Trovare:

1. % di foglie > 5cm

2. % di foglie fino a 5cm

3. % fra 5 e 7cm

4. % di foglie < 3cm

Prima di usare la tavola si passa sempre per la standardizzazione dei valori:

1. 5−6

2= −0.5

2. 5−6

2= −0.5

3. 5−6

2= −0.5

7−6

2= 0.5

4. 3−6

2= −1.5

Poi si ragiona sulla tavola

della Normale

Standardizzata

Immaginiamo di volere stimare la superficie media 𝜇 delle abitazioni di una città.

Da uno studio precedente sappiamo che 𝝈 = 𝟖.

Campione di 𝒏 = 𝟓𝟎 appartamenti.

Media campionaria �̅� = 𝟏𝟐𝟎 mq (stima puntuale del parametro).

Si vuole determinare l’intervallo di confidenza per 𝜇 a un livello di confidenza di

95%, sotto l’ipotesi di Normalità.

Si sa che la media campionaria si distribuisce normalmente:

�̅�~𝑁 (𝜇;𝜎2

𝑛)

Nel nostro esempio abbiamo 𝜎2 𝑛⁄ = 64 50⁄ = 1.28.

𝜎2 = 82

Si costruisce quindi la variabile casuale normale standardizzata 𝑍:

𝑍 =�̅� − 𝜇

√1.28=

�̅� − 𝜇

1.13

che sappiamo si distribuisce secondo una 𝑁(0; 1).

Con la tavola è possibile verificare che i valori di 𝑍 che formano un intervallo

simmetrico attorno allo 0 con probabilità pari a 0.95 sono −𝟏. 𝟗𝟔 e 𝟏. 𝟗𝟔.

Tali estremi sono indicati con −𝑍𝛼 2⁄ e 𝑍𝛼 2⁄ .

Per cui possiamo scrivere la seguente relazione:

𝑃(−𝑍𝛼 2⁄ ≤ 𝑍 ≤ 𝑍𝛼 2⁄ ) = 1 − 𝛼

Nel nostro esempio abbiamo:

𝑃(−1.96 ≤ 𝑍 ≤ 1.96) = 0.95

Ora, si tratta di sostituire a 𝑍 la sua espressione:

𝑃 (−𝑍𝛼 2⁄ ≤�̅� − 𝜇

𝜎 √𝑛⁄≤ 𝑍𝛼 2⁄ ) = 1 − 𝛼

Che nel nostro esempio diventa:

𝑃 (−1.96 ≤�̅� − 𝜇

√1.28≤ 1.96) = 0.95

…passaggi algebrici…

𝑃(−1.96 ∙ √1.28 ≤ �̅� − 𝜇 ≤ 1.96 ∙ √1.28) = 0.95

𝑃(𝜇 − 1.96 ∙ √1.28 ≤ �̅� ≤ 𝜇 + 1.96 ∙ √1.28) = 0.95

𝑃(𝜇 − 2.22 ≤ �̅� ≤ 𝜇 + 2.22) = 0.95

𝑃(𝜇 − 2.22 ≤ �̅� ≤ 𝜇 + 2.22) = 0.95

Questa relazione dice che la probabilità di estrarre dalla popolazione un campione

la cui media (�̅�) sia distante da 𝜇 al massimo di 2.22 è pari a 0.95.

Cioè, se costruiamo un intervallo attorno alla media campionaria �̅� del tipo:

[�̅� − 2.22; �̅� + 2.22]

questo intervallo conterrà il valore incognito della popolazione 𝜇 con probabilità

0.95.

Possiamo pertanto scrivere:

𝑃(�̅� − 2.22 ≤ 𝜇 ≤ �̅� + 2.22) = 0.95

Gli estremi dell’intervallo sono

𝒒𝟏 = �̅� − 𝟐. 𝟐𝟐 𝒒𝟐 = �̅� + 𝟐. 𝟐𝟐

queste sono due variabili casuali, perché dipendono da �̅�.

Quindi questo intervallo è lo stimatore intervallo di confidenza

[�̅� − 2.22; �̅� + 2.22],

Sostituendo a �̅� la sua realizzazione campionaria �̅� = 120 si ottiene l’intervallo

di confidenza stimato.

[120 − 2.22; 120 + 2.22]

[𝟏𝟏𝟕. 𝟕𝟖; 𝟏𝟐𝟐. 𝟐𝟐]

Errore molto comune: dire che 𝜇 sia compreso all’interno dell’intervallo trovato

con una probabilità pari a 1 − 𝛼.

Dopo l’estrazione del nostro campione e il calcolo dei due estremi, non sapremo

mai se questo contiene o meno il parametro incognito 𝜇.

Possiamo solo dire che si ha un elevato grado di fiducia, o confidenza, che

l’intervallo stimato contenga il valore di 𝜇.

In ogni caso, essendo 𝜇 fisso, non bisogna dire che esso è contenuto

nell’intervallo di confidenza, ma è più corretto dire che l’intervallo di

confidenza contiene, con un certo grado di fiducia, il parametro 𝜇.

Sul parametro incognito della popolazione viene formulata un’ipotesi.

Essa potrà essere rifiutata o meno secondo l’evidenza empirica dei dati

campionari.

La prima cosa da fare è definire un’ipotesi, che si chiama ipotesi nulla: 𝑯𝟎.

Un’ipotesi statistica è un’affermazione su un parametro, 𝜃, della popolazione.

𝑯𝟎: 𝜽 = 𝟔

Deve essere definita sempre una seconda ipotesi, ipotesi alternativa: 𝑯𝟏.

Una contro-congettura sul parametro oggetto di indagine.

𝑯𝟏: 𝜽 ≠ 𝟔

𝑯𝟏: 𝜽 > 𝟔

𝑯𝟏: 𝜽 < 𝟔)

L’ipotesi nulla è quella che si ritiene vera fino a prova contraria

Esempio di ipotesi nulla semplice e ipotesi alternativa composta unidirezionale,

sul parametro 𝜇 media della popolazione:

{𝑯𝟎: 𝝁 = 𝟏𝟏 𝑯𝟏: 𝝁 > 𝟏𝟏

IPOTESI

Semplici Composte

composte bidirezionali

composte unidirezionali

specificano un solo

valore del parametro

specificano un

intervallo di valori

𝜽 ≠ 𝟓

𝜽 > 𝟓 𝜽 ≥ 𝟓

𝜽 < 𝟓 𝜽 ≤ 𝟓

𝜽 = 𝟓

Il Test è una regola con cui si decide se accettare o rifiutare l’ipotesi nulla 𝐻0.

Supponiamo di avere un campione casuale di numerosità 𝑛, estratto da una

popolazione normale, con media 𝜇 = 𝜇0 e varianza 𝜎2.

Vogliamo fare verifica di ipotesi sulla media campionaria �̅�.

Si sa che �̅� si distribuisce con media uguale a quella della popolazione e varianza

pari a 𝜎2 𝑛⁄ .

Quindi sotto l’ipotesi nulla 𝜇 = 𝜇0 abbiamo la seguente distribuzione per �̅�:

�̅�~𝑁 (𝜇0,𝜎2

𝑛)

Una volta estratto il campione, la probabilità di osservare valori vicini a 𝜇0 è molto

alta (0.90) mentre la probabilità di osservare valori lontani è più bassa (0.05 +0.05 = 0.10).

Questa quantità si indica con 𝜶, e si chiama livello di significatività del test.

La restante parte (0.90) si indica con 𝟏 − 𝜶.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Zona di rifiuto | Zona di Accettazione | Zona di rifiuto

0.90

0.05 0.05

𝟏 − 𝜶

𝜶 𝟐⁄ 𝜶 𝟐⁄

I due limiti 𝑅1 e 𝑅2 delimitano due zone:

una zona di accettazione, contenente i valori vicini a 𝜇0

due zone di rifiuto, contenenti i valori lontani da 𝜇0.

Dal campione estratto si calcola la media campionaria �̅� e bisogna verificare

in quale delle tre zone precedenti questo valore ricade.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Zona di rifiuto | Zona di Accettazione | Zona di rifiuto

0.90

0.05 0.05

Se �̅� si colloca in una delle due aree di rifiuto, allora diremo che l’evidenza

empirica è contro l’ipotesi nulla 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0, proprio perché tali valori sono

poco probabili.

Se �̅� cade nella zona di accettazione allora diremo che l’evidenza empirica è

a favore dell’ipotesi nulla 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0, proprio perché tali valori sono molto

probabili.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Zona di rifiuto | Zona di Accettazione | Zona di rifiuto

0.90

0.05 0.05

Zona di accettazione e le conseguenti zone di rifiuto dipendono dal livello di

significatività del test.

Nella pratica si usano per 𝜶 valori 0.01, 0.05 e 0.10.

Gli estremi 𝑅1 e 𝑅2 che fanno da confine fra zona di accettazione e zona di rifiuto

sono tecnicamente detti valori critici.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Zona di rifiuto | Zona di Accettazione | Zona di rifiuto

0.90

0.05 0.05

valori

critici

La statistica test si utilizza per decidere se il campione osservato porta ad

accettare o rifiutare l’ipotesi nulla.

In genere è un buon stimatore del parametro su cui è formulata l’ipotesi.

Per verificare un’ipotesi sulla media della popolazione, si usa come statistica test

la media campionaria:

�̅� =∑ 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛

di cui conosciamo la distribuzione campionaria: �̅�~𝑁 (𝜇0,𝜎2

𝑛).

Definiamo le ipotesi nulla e alternativa.

Ipotesi nulla posta pari al vecchio rendimento, cioè 18. In alternativa, siccome

interessa capire se il rendimento è variato, si definisce una ipotesi bidirezionale.

{𝐻0: 𝜇 = 18 𝐻1: 𝜇 ≠ 18

{𝐻0: 𝜇 = 18 𝐻1: 𝜇 ≠ 18

A questo punto bisogna determinare le zone di accettazione e di rifiuto.

Dalla tavola si evince che i valori critici per un livello di significatività 𝛼 = 0.05

sono 𝑅1 = −1.96 e 𝑅2 = 1.96

Si utilizza una trasformazione della statistica test media campionaria, che già

conosciamo:

𝑍 =�̅� − 𝜇0

𝜎 √𝑛⁄

Ora bisogna calcolare il valore della statistica test

I dati che abbiamo sono:

18; valore della media della popolazione (valore sotto ipotesi nulla 𝜇0 = 18)

18.5; risultato sul campione di appezzamenti (media campionaria �̅� = 18.5)

𝜎 = 1.3; scarto quadratico medio (è noto)

𝑛 = 30; numerosità campionaria.

Applichiamo la statistica test:

𝑍 =�̅� − 𝜇0

𝜎 √𝑛⁄=

18.5 − 18

1.3 √30⁄= 2.11

Confronto con i valori critici

2.11 > 1.96 si conclude che la statistica cade nella regione di rifiuto.

RIFIUTO ACCETTO

RIFIUTO

-1.96 1.96 2.11

L’ipotesi che la produzione sia rimasta invariata è rifiutata

L’evidenza empirica dell’esperimento ci porta a dire che invece è aumentata.

Quando si rifiuta si dice che il test è significativo.

La differenza tra i due valori (quello ipotizzato e quello derivato dall’evidenza

empirica) è statisticamente significativo, cioè c’è una probabilità molto bassa

che sia derivata dal caso.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5Zona di rifiuto | Zona di Accettazione | Zona di rifiuto

0.90

0.05 0.05

-1.96 1.96 2.11

Valore della statistica test

Si definiscono due diversi tipi di errore:

Errore del I tipo: rifiutare l’ipotesi nulla 𝐻0 quando essa è in realtà vera;

Errore del II tipo: accettare l’ipotesi nulla 𝐻0 quando essa è in realtà falsa.

, paziente infartuato

Test ematico

L’ipotesi nulla è che il valore del test sia intorno a un valore medio (𝐻0: 𝜇 = 𝜇0),

significa che non c’è stato infarto.

Errore del I tipo: dire che il paziente ha un infarto (rifiuto 𝐻0) quando invece

non ce l’ha.

Errore del II tipo: dire che l’infarto non c’è (non rifiuto 𝐻0) quando in realtà

c’è.

Decisione scaturita dal test

Situazione

reale

Accetto 𝑯𝟎

Dico al paziente

che non c’è infarto

Rifiuto 𝑯𝟎

Dico al paziente

che c’è un infarto

𝑯𝟎 è vera

l’infarto non c’è

Decisione corretta

Probabilità 𝟏 − 𝜶

Errore del I tipo

Probabilità 𝜶

𝑯𝟎 è falsa

l’infarto c’è

Errore del II tipo

Probabilità 𝜷

Decisione corretta

Probabilità 𝟏 − 𝜷

Il livello di significatività del test è 𝛼 (probabilità di commettere un errore del I

tipo)

È il rischio che il ricercatore è disposto a commettere nel rifiutare l’ipotesi nulla

quando è vera.

(Il medico dice al paziente che ha un infarto quando in realtà è sano)

1. Dati del problema: �̅� = 39, 𝜇0 = 35, 𝜎 = 8, 𝑛 = 15;

2. Definizione ipotesi: l’interesse è capire se c’è un aumento del tempo medio

di percorrenza ipotesi alternativa unidirezionale;

{𝐻0: 𝜇 = 35 𝐻1: 𝜇 > 35

3. Scelta della statistica test: si considera la statistica test 𝑍 =�̅�−𝜇0

𝜎 √𝑛⁄;

4. Scelta livello di significatività: da studi precedenti si utilizza un livello di

significatività pari a 2%, quindi 𝛼 = 0.02;

5. Determinazione zona di rifiuto: dalla tavola della Normale standardizzata

si torva che 𝑧 corrispondente a 𝛼 = 0.02 è 𝑧0.02 = 2.06. Dato che l’ipotesi

alternativa è unidirezionale la zona di rifiuto è data dai valori maggiori di 2.06,

ovvero 𝑅 = {𝑧 > 2.06};

6. Calcolo statistica test: utilizzando i dati il valore della statistica test è:

𝑍 =�̅�−𝜇0

𝜎 √𝑛⁄=

39−35

8 √15⁄= 1.936;

7. Decisione finale: il valore della statistica test cade nella zona di accettazione

dell’ipotesi nulla dato che 1.936 < 2.06.

Si conclude pertanto che il tempo medio di percorrenza degli

autobus di questa città non è aumentato.

Decisione finale: il valore della statistica test cade nella zona di accettazione

dell’ipotesi nulla dato che 1.936 < 2.06. Si conclude pertanto che il tempo

medio di percorrenza degli autobus di questa città non è aumentato.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5Zona di Accettazione | Zona di rifiuto

0.98

0.02

1.936 2.06

Valore della statistica test