Galileo, dialogo dei massimi sistemiStesse leggi della fisica in tutti i sistemi inerziali

= − ⇒

nave portor r ut

invarianteamF

=⇒ = − v' v u

Relativita’

porto

xnave

xporto

⇒u

Lunghezze invarianti

1

= −==

T S

T T

S S

r r utr posizione rispetto a Or posizione rispetto a O

Elettrodinamica ∂ ∂∇ − = ∇ − = ∂ ∂

2 22 2

2 2 2 2

senza sorgenti,onde elettromagnetiche :

1 10 0E Bc t c t

C = velocita’ della luce: rispetto a chi? Secondo il principio di relativita’ , rispetto a qualsiasi riferimento. 2

= +Trasformazione di Galileo =t S T T S Tx x ut t

x

stazioneCarattere relativo della simultaneita’

3

Macchinista:

gli specchi riflettono la luce contemporaneamente.

Capostazione:

Poiche’ lo specchio B si allontana dal punto O da dove e’ partita la luce mentre A va verso O , la luce arriva prima in A.

Per un osservatore piu’ veloce del treno arriverebbe prima in B

Chi ha ragione? Tutti e due!

Il macchinista lancia dal punto O un segnale luminoso e misura il tempo che la luce impiega per arrivare agli specchi A e B solidali col treno ed equidistanti da O.

3= +Bisogna modificare la trasformazione di Galileo =t S T T S Tx x ut t

stazione

h

Esperimento pensato sulla Relativita’ dei tempi

Quanto ci vuole perche’ la luce arrivi sul pavimento?

Macchinista:

tempo proprioThtc

=

Sut

h222Stuh +

Per il capostazione

2 2( )SS

h utt

c+

=Capostazione:

2 2 2 2 2= +S Sc t h u t

risolvendo,2

2

1

1= >

−S T

ht tc u

c2 2 2 2( )− =Sc u t h

capostazione: l’orologio del macchinista va indietro.

macchinista : l’orologio del capostazione va indietro. L’esperimento si puo’ fare a ruoli invertiti!Tempo proprio: il piu’ corto

4

Sorgenteche emette un lampo di luce

rivelatore

Capostazione:

= −2 2 2 2

luce emessa dalla sorgente e rivelata dal rivelatore posto a distanza L dopo un tempo t s S Sc t x

Macchinista:

= −2 2 2 2

luce emessa dalla sorgente e rivelata dal rivelatore posto a distanza L' dopo un tempo t's T Tc t x

Devono concordare che l’intervallo s=0.

Propagazione di un lampo di luce lungo l’asse x=x’

5

Tempo proprio di una astronave in moto arbitrarioStazione

spaziale

dxS

22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

Per il capostazione, ds =c dt c dt (1 ) c dt (1 ).c dt

ddt quindi il tempo e' piu' lungo.1

dxdx β

τ

β

− = − = −

=−

2

1

1 2

2 1

L'intervallo da a sull'astronave vale alla stazione

t ( )t dτ

τ

τ τ

γ τ τ− = ∫6

Paradosso dei gemelli, sperimentalmente verificato con orologi atomici

Nel sistema istantaneo di riposo della astronave mentre per il capostazione percorre dx,ds=cd =tempo proprio, invarianteτ τ

7

Quale trasformazione lineare generalizza quella di Galileo e assicura l’invarianza dell’intervallo?

β

β

=

= + = + =

− = −

0

0 0 0

2 2 2 20 0

Poniamo , = . Avremo 4 lunghezze.

Per Galileo , .

Questo va modificato. Deve venire x x x x . Pero' se u c deve tornare Galileo.

S T T T S T

S S T T

ux ctc

x x ut x x x x

= −2 2 2 2Conservazione dell'intervallo s, cioe' invarianza di s c t x

= −2 2 2 2Conservazione dell'intervallo s, cioe' invarianza di s c t x

β β= = + = + =

− = −

0 0 0 0

2 2 2 20 0

Poniamo , = . Per Galileo , .

Va modificato. Deve venire x x x x .

S T T T S T

S S T T

ux ct x x ut x x x xc

γ β γ β

γ β

= + = +

−

0 0 0

2

2

( ) ( )1 = , =

1

S T T S T Tx x x x x xucu

c

γ β γ β= + = +0 0 0Prendiamo ( ) ( ) S T T S T Tx x x x x x

γ β β

γ β β

γ β γβ

− = + − + = + + − + +

= − − = −

2 2 2 2 20 0 0

2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

2 2 2 2 20 2

( ) ( )

2 ( 2 )

1 (1 ) .Quindi, .1

Per piccole v torna la trasformazione di Galileo.

S S T T T T

T T T T T T T T

T T

x x x x x x

x x x x x x x x

x x

8

Trasformazione di Lorentz

γ β γ β

γ β

= + = +

−

0 0 0

2

2

( ) ( )1 = =

1

S T T S T Tx x x x x xucu

c

γ β γ β→

= − = −0 0 0

L'inversa si ottiene con u -u ( ) ( ) .T S S T S Sx x x x x x

9

La trasformazione di Lorentz lascia invarianti le equazioni di Maxwell.

γ β

γ

⊥= + +

= +

2

r (r ) ((r ) ) v.r

t ( )

S T T T

TS T

t

tc

Velocita’ in direzione arbitraria

γ β

γ

⊥= + −

= −

2

r (r ) ((r ) ) v.r

t ( )

T S S S

ST S

t

tc

⊥=

v velocita' del treno, r= r +r con r parallelo a v

γ β

−2

2

1 v = = v1

cc

= −

> <

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

s =0 intervallo lightlike intervallo timelike intervallo spacelike

c t xc t x c t x

10

Contrazione delle lunghezze

1 2 e siano estremi di una sbarra lunga L sul treno.Il macchinista la misura usando un metro.

T T Tx x

γ β γ β β

γβ

∆ =

= + ⇒ − = ∆ = ∆ + ∆

= >−

0

0 0

2

Per trovare la lunghezza misurata dal capostazione non si puo' porre 0 nella

( ) (1) (2) ( ), =

1che porterebbe ad un allungamento dato che 1.1

T

S T T S s S T T

xux x x x x x x xc

11

X(2) X(1)u

Questo e' un trabocchetto perche' gli estremi vanno misurati simultaneamente nella stazione.

Contrazione delle lunghezze

γ βγ β

γ γ

∆ = ∆ − ∆ ∆ =∆ = ∆ − ∆ ∆ =⇒ ∆ = ∆

= −

⇒

0

2

0

2

0

0

Usiamo invece (1)-x (2)= ( ) ponendo 0. ( ) con 0 L = L .

1 contrazione di Fitzgerald o di Lorentz.

T T T S S S

T S S S

T S T

S T

S

x x x x xx x x x

x x

uL Lc

1 2 e siano estremi di una sbarra lunga L sul treno.T T Tx x

12

X(2) X(1)u

γ β γ ββ β

= + ∆ = = ∆ + ∆∆ = − = − ∆ − <

0 0 0 0

0 0 0

Poi da ( ) si trova 0 ( )(1) (2) = 0

per il macchinista le estremita' della barra non sono state misurate simultaneamente ma il macchinista ha misur

S T T S T T

T T T T

x x x x x xx x x x

ato prima quella davanti e per questo ha trovato la barra piu' corta.

=

Il gatto del macchinista si mette a correre sul treno.

Macchinista: la velocita' del gatto e' T

T

dxWdt

[ ]

2

γ

γ

+⇒ = =

+

T TS

ST T

dx udtdxVudt dx dtc

Composizione relativistica delle velocita’ e velocita’ limite

21

W uV uWc

+=

+

( ) 2S T T S T Tux x ut t t xc

γ γ = + = +

Per il capostazione, la sua velocita' e' = S

S

dxVdt

2

Puo' aiutare mettere degli indici:1

gT TSgS

gT TS

W uV W u

c

+=

+ 13

Problema

Un razzo R si allontana dalla terra T in linea retta lungo l’asse x nel senso positivo. Un UFO viene avvistato da terra e dal razzo, mentre si muoveanch’ esso in linea retta lungo l’asse x. Visto da terra, questo UFO si muove a 0.5c, mentre visto dal razzo si muove a −0.5c. Qual’e`la velocita´di R rispetto a T ?

14

0.5 c

u

Toh, un ufo che va a -0.5 c

1uR RT

uTRT uR

W uVu W+

=+

0.5 , 0.51

uR RTuR

uR RT

W u con WW u+

= = −+

0.8RTu =

StazioneTerra

Trenorazzo gattoufo

Toh, un ufo che va a 0.5 c

15

Esame del 23/6/2009

16

Esame del 23/6/2009

17

x2+y2+z2- (ct)2 =s2 conservazione dell’intervallo

x2+y2+z2+(ict)2 =s2 generalizza Pitagora a 4d ed esprime la conservazione

del’intervallo:

Basta porre x4=ix0=ict per essere (pseudo) eucliei

Cronotopo di Minkowsky

( )

( )

1 1 0

2 2

3 3

0 0 1

'''

'

x x xx xx x

x x x

γ β

γ β

= − = = = −

1 4 1 4' ... ' treno ...x stazionex x x

18

x4=ict quarta componente che sostituisce xo

Cronotopo di Minkowsky

( )

( )

γ β

γ β

= −

=

= = −

1 1 0

2 2

3 3

0 0 1

''

riproduce '

'

x x xx xx x

x x x

1 4 1 4

Lo spazio-tempo e' pseudoeuclideo.' ... ' =ict' treno ...x =ict stazionex x x

1 011 1

222 2

333 3

0 11

0 00 1 0 0

Posto ,0 0 1 0

0 0

( )' 0 0' 0 1 0 0' 0 0 1 0

( )' 0 0

i

i

x xx ctx i xxxx xxxx x

i x xi x ictict i ict

γ βγ

βγ γ

γ βγ βγγ βγ

γ ββγ γβγ γ

Λ = −

−− = = =

−− +−

19

Convenzione di Einstein: somma sugli indici ripetuti

'

significa '

x x

x xµ µν ν

µ µν νν

= Λ

= Λ∑

2 2 2

0 00 1 0 0

; det( ) 1.0 0 1 0

0 0

i

i

γ βγ

γ β γ

βγ γ

Λ = Λ = − = −

20

Analogia formale:

spazio 3d

rotazioni

scalari =invarianti per rotazione

vettori: vanno per rotazione come punti

{ }, 1, 2,3scalare

i

i i

x ix x

=

=

{ } { }tensori , ,

1, 2,3 , 1, 2,3 , k 1,2,3i j i j kx x x x x

i j= = =

Cronotopo 4d

trasformazioni di Lorentz

scalari =invarianti per Lorentz

quadrivettori: vanno per Lorentz

come punti

{ }, 1, 2,3, 4

scalare

x

x xµ

µ µ

µ =

=

{ } { } { }tensori , , ,

1, 2,3, 4 , 1, 2,3,4 , 1,2,3,4

x x x x x xµ ν µ ν µ ρ

µ ν ρ= = =

21

2 2 2 2 21 2 3 0s x x x x∆ = ∆ + ∆ + ∆ −∆

l’intervallo e’ scalare, cioe’ Lorentz-invariante

=distanza pseudoeuclidea (positiva, nulla o negativa) x4=ict

x0=ct

Scalari: grandezze che non cambiano per trasformazioni di Lorentz: lunghezza propria, intervallo fra due eventi, il tempo proprio

Non sono scalari le lunghezze e gli intervalli di tempo

Scalari: lunghezza propria (misurata col metro), intervallo fra due eventi,il tempo proprio (misurato con un orologio),

2 2 2tempo proprio : invariantedss c dc

τ τ∆ = − ∆ ⇒ =

22

( )

µ µ

µ µ µ

γ −= − = = −

−

= = ⇒ = − =

2 22

2 2 2 2

2 2 22

2

4

I prodotti scalari fra quadrivettori danno scalari, cioe' invarianti relativistici:

, e' scalare.

( )1

u cw w u c cu

x x x ict x x x c t

c

s

quadrivelocita’:dw xdµ µτ

=

Quadrivettori: si trasformano come xµ 'w wµ µν ν= Λ

Esempi:punto cronotopico: ( )µ = =

4, ,x x x ict

2

1

−=

cudtdτ

µ µ µ γτ

= = = = − −

2 2

1 1 , ( , )1 1

d d dw x x x ic u icd dt dtu u

c c

= = trivelocita' quadrivelocita'u w

23

1 2 3

0 0 0

0 1 2 3

dV non e' uno scalare: trasformando lungo x dV

=cdt non e' uno scalare: trasformando lungo x dx dx e' uno scalare.

dV dx dx dx

dxcdVdt dx dx

B

dx dx

N

γγ

= →

→=

1 2 3

La carica q= contenuta in e' scalare; per esempio, il numero di elettroni si ottiene con un conteggio e non dipende dal riferimento.

non e' uno scalare: trasformando lungo x, dV

dV dV

dV dx dx

B

dx

Nρ

= →

0

dV .

Quindi in modo che q q. deve trasformarsi come =cdt come la componente 0 di un quadrivettore.dx

γρ γρ

ρ→ →

µµ

ρ ρρ= = =

0quadricorrente: ( , ),dx

j J i jdt c c

24

µ µ

µ µ

ω ω

ω

= = = =

Φ =

0 0quadrivettore d'onda ( , ) ( , ),

= kr- t

k k k ik k i kc c

k x

ωΦ

La fase = kr- t di un'onda elettromagnetica e' scalare (se il campo e' nullo in un punto lo e' per tutti; il numero di nodi fra due punti e' una questione di conteggio ed e' invariante).

25

( ) ( )

0 4

0 4

La fase e' scalare

, , ,

, , ,

k x t k x

k k k k k ic c

x x ct x x x ict

µ µ

µ

µ

ω

ω ω

Φ = • − =

= = = =

= = = =

2 4 6 8 10

-1

-0.5

0.5

1

( )µ µ λ

µ

µ

ν ν ν

φ

ω

Φ

=

=

= = Φ =

(0) (0)

quadrivettore potenziale : ( , )

quadrivettore d'onda : ( , )

onda e.m. : Re Re , faseik x i x

A A ic

k k ic

A A e A e

Onde elettromagnetiche

26

φ ∂= = −∇ −

∂

1( ), AB rot A Ec t

Effetto Doppler

27

28

Effetto Doppler

29

stazione

Asse x

u

θS

vettore d’onda della luce

θSe l'angolo misurato dal capostazione e' piccoloS

Capostazione e macchinista osservano un’onda elettromagnetica piana monocromatica

Il treno corre con u>0

il treno con u>0 si allontana dalla sorgente29

Asse y

vettore d’onda della luce

Asse x

stazione

u

θ π≈Se il treno si avvicina alla sorgenteS

πθ =Se la sorgente e' allo zenit 2S

30

θS

µω ω

= =

0

Per fare il boost (spinta, cambiamento di riferimento) usiamo

il fatto che ( , ) e quadrivett' il ore d'onda.k k i kc c

( )

ω

θ ωω

=

=

S

S

S S S S

S

Capostazione: una sorgente luminosa monocromatica di pulsazione emette una onda elettromagnetica di vettore d' onda k . k fa´un angolo con l'asse x, pulsazione ck

k S

x( ) ( ) ( ) ( )ω ωθ θ= =

S S S S 0cos k sin k S S

yc c c

31

( ) ( )

T

T T T

T T

T T

Macchinista: una sorgente luminosa monocromatica di pulsazione

emette una onda elettromagnetica di vettore d' onda k . ck

k fa´un angolo con l'asse x,

k cos k T

x c

ω

ω

θω θ

=

=

( ) ( ) ( )T T T 0k sinT

y

T

c cωω θ= =

Asse y

( ) [ ]( ) [ ]

0 0

0 0 0

Applichiamo a k la trasformazione di Lorentz :analogamente a: z

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

.Viene :

T x

T S S T S T

S x S T y S y T z S z T

S T S S

s S x

x x ct y y z

k k k k k k k k k

x x x

k

γ β γ β

γ β γ β= − = = = −

= − = = = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ωθ θ= = =

T T T T T 0Mettiamoci: k cos k sin k T T T

x yc c c

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

ω ω ωθ θ

ω ω ω ωγ θ β θ γ

= = = ⇒

= − = =

S S S S S 0

S S 0

Volendo una relazione fra gli angoli e fra le frequenze, sostituiamoci:

k cos k sin k

( ) cos ( ) sin ( )

S S S

x y

S S ST x T y T

c c c

k k kc c c ( )ω

β θ

−

Scos S S

c c

( ) ( )

( ) ( )

( )

ω ωωθ γ θ β

ωωθ θ

ω ωωγ β θ

= −

=

= −

T S

T S

S

cos cos

sin sin

cos

S ST

ST

S ST

c c c

c c

c c c

( ) ( )( )( ) ( )

( )

ω θ

ω θ

γ β

γω

ω θ

ω θ

ω θ

= −

=

= −

S

S

T

T

S

coscos

s

in

1

sin

cos

S

S

T

T

STuc

32

33

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ω θ ω θω θ ω θγ β βωω θγ = − = = − T TS S S

Ecco la relazione fra le osservazioncos s 1

i:cos in cin os sS S ST T T

( ) ( )( )( ) ( )

T S

T S

Dalle componenti x,y

cos cos

sin sinT S

T S

ω θ γω θ β

ω θ ω θ

= −

=

( ) ( )( )

( )

θθ

γ θ β

θ θ β θ β

=−

≈ +

sintan

[cos ]

sin per 1,aberrazione della luce stellaredovuta all'orbita terrestre.

ST

S

T S S

33

θ π>⇒

stella davanticorrezione negativa

S

xCambiamento dell’angolo per β=0.01

Angolo per β=0

34

( ) ( )( )( ) ( )

T S

T S

Dalle componenti x,y

cos cos

sin sinT S

T S

ω θ γω θ β

ω θ ω θ

= −

=

L’effetto Dopplertrasversale (θS = π/ 2 ) avviene ad

esempio se il rivelatore ruota intorno alla sorgente. Questo non e`previsto dalla Fisica pre-relativistica. L’orologio in moto va piu’ piano. Si sono fatte le verifiche sperimentali che hanno confermato la teoria di Einstein.

( ) πθω γω β θ

ωγω

= = −

= =

−

S2

2

Pulsaz 1 cosione :

1

sT S

SS

uc

34

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ω θ ω θω θ ω θγ β βωω θγ = − = = − T TS S S

Ecco la relazione fra le osservazioncos s 1

i:cos in cin os sS S ST T T

Hasselkamp, D.; E. Mondry; A. Scharmann (1979-06-01). "Direct observation of the transversal Doppler-shift". Zeitschrift für Physik A 289 (2): 151–155.

[ ] [ ][ ]

cucu

SSST

+

−=

−

−=−=

1

1

111

2ω

ββωβγωω

Effetto doppler longitudinale (ponendo θS=θT=0): allontanamento

avvicinamento alla sorgente, (ponendo θS=θT=π):

c

cST v1

v1

−

+=ωω

Il macchinista vede luce spostata verso il rosso

Il macchinista vede luce spostata verso il blu35

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ω θ ω θ ωγ β γ βω θ θ ω θω = − = = − ST TS Scos sin cos 1cos sinS ST T TS

Meccanica relativistica: punto materiale libero

Consideriamo un punto materiale libero di massa m0; questa e` la massa diriposo, misurata nel sistema in cui il corpo e`in quiete.

Procediamo cercando una relativizzazione del principio variazionale classico di minima azione δS = 0.

Logico aspettarsi che l’azione S sia scalare, cosi’ la legge e’ uguale per tutti.Gli scalari disponibili per un punto materiale libero sono la massa di riposo e il tempo proprio.

τ= − = − −∫ ∫2

2 20 0 2

v1b b

a a

t t

t tS m c d m c dt

c

= = − −∫2

20 2( ), ( ) 1b

a

t

t

vS dtL v L v m cc

La lagrangiana e’ l’integrando:

<< ⇒ ≈ − − = − +22

2 2 00 02( ) (1 )

22m vvv c L v m c m c

ce la costante non conta 3636

∂= − − = = ≡

∂−

→

⇒

22 0

0 2 2

2

0

( ) 11

m= m per piccole velocita, ma diverge per v c; quindi c=velocita' limite, irraggiungibile per i corpi dotati di massa.

m vv LL v m c p mvvc v

c

= − = 2.E p v L mc

µ µν

µ

νν

µ

≈ + +

= =

⇒

= ⇒

= Λ

=

∑

2 20 0

0

20

10 2 200 0

1per , .....2

e non c'e' costante arbitraria, perche' p ( , )

e' un quadrivettore

energia di riposo3 1

p '

0 / 9 10 erg

v c E m c m v

Em w p ic

m cc m c m

p

cm s

3737

Reazioni chimiche: legge di Lavoisier leggermente violata

+ → +2 2.4H H H eV

−

≈ =

+

≈

2 9

29

10 1'

difetto di massa 10

pm c eV GeVH piu leggero di H H

38

Reazioni nucleari

+ → +6 2 43 1 22 22.4Li H He MeV

0.3% della massa va in energia

39

40

Meccanica relativistica: punto materiale in potenziale V

µ

+ + −

= +

−

∂ ∂= = −∂ ∂

20

2

2

Hamiltoniana: H=p v p v p v

( )v1

, , etc.

x x y y z z

x

x

L

m cV x

cdpdx H H

dt p dt x

+ + −

=

−

20

2

2

Hamiltoniana: H=p v p v p v

v1

x x y y z z L

m c

c

Elettrodinamica classica

πρ

π

∇ =

∇ =

∂∇∧ = −

∂∂

∇∧ = +∂

Equazioni di Maxwell nel vuoto: invarianti

4

0

1

1 4

E

B

BEc t

EB jc t c

e si ottiene :

AE B At

φ ∂= −∇ − = ∇∧

∂

π φ πρ ∂ ∂∇ − = − ∇ − = − ∂ ∂

2 22 2

2 2 2 2

:

1 4 1 4

onde

A jc t c c t

µ µ

µ

φ φ

ω ω

= =

= =

0

0

potenziale : ( , ),

quadr

quadrive

ivettore d'onda : ( , ),

e l'invarianza e' manifes

ttore corren :

t

e

a

t j A A i Ac c

k k i kc c

µ µπ

⇒

∂∇ − = − ∂

22

2 21 4A jc t c

Lorentz :' ' 'j j A A k kµ µν µ µ µν µ µ µν µ= Λ = Λ = Λ 41

4

2 2

con

Il Campo

traendo

elettromagnetico

in questo modo i

e' un tensore antisimmetrico

te

:

scalare (vedremnsori si trovano s

oc

che e' E .ri

)ala

AAFx x

NB w w x x x x

F F

s

B

µνµν

µ ν

µν µν µ µ ν ν

µν µν

∂∂= −

=

∂ ∂

=

= −

42

3 2 1

3 1 2

2 1 3

1 2 3

00

0

0

B B iEB B iE

FB B iEiE iE iE

µν

− − − − = − −

Equazioni di Maxwell in forma tensoriale

4 . F Jx cµν µν

π∂=

∂ 0 F F F

x x xµν νλ λµλ µ ν

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

Si puo’ verificare che le equazioni di Maxwell si ottengono da

3 2 1

3 1 2

2 1 3

1 2 3

2

2

0 0 00 0 1 0 0

' 0 0 0 1 0

0 0 01 .

v1

B B iE iB B iE

F F FB B iEiE iE iE i

c

µν µν µλ νσ λσ

γ βγ

βγ γ

γ

− − − − = = Λ Λ Λ = − −

−

=

−

Trasformazione di Lorentz del tensore campo elettromagnetico

Siano E ,E le componenti di E parallele e ortogonali a v:

analogamente definiamo B ,B .⊥

⊥

Viene che le componenti paralele non cambiano:

E' E , B' B .Per le componenti v viene:

1 1E' = [E (v B)], B' = [B (v )]Ec c

γ γ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

= =

⊥

+ ∧ − ∧

432 2Risulta invariante F F E -B (direttamente).µν µν =

Risulta invariante anche E.B

La teoria quantistica relativistica e’ quella di Dirac, ma il fenomeno si puo’spiegare semplicemente a livello semiquantitativo. Per un modello alla Bohrl’elettrone cge si muove con velocita’ v vede un campo magnetico

vAl primo ordine in viene che le componenti paralele al moto

non cambiano E' E ,B' B ,ma erano nulle; nasce pero' un campo radiale1 B' (v ).

Lo spin dell'elettrone ha un momento

c

Ec⊥

= =

≈ − ∧

2 2

2 2

magnetico =g ; 2

risulta una interazioneg 1H' .p .

1dato che eE=- . La teoria di Dirac prevede H' . .2

B B

BSO

SO

eSmc

dVS E S Lmc m c r dr

dV r dV S Ldr r m c r dr

µ µ µ

µ

=

= ∧ =

=

Interazione spin-orbitaUn elettrone che si muove nel campo elettrico di un nucleo sente anche un campo magnetico.

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