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Geometria differenziale delle curveAppunti di A. Bernardo

n spazio vettoriale su n = 8x = Hx1, x2, ..., xnLêxi numero reale ∀ i<Addizione di vettori+ : n × n → n

x = Hx1, x2, ..., xnLy = Hy1, y2, ..., ynLx + y =DEF Hx1 + y1, x2 + y2, ..., xn + ynLProdotto di un vettore per uno scalare⋅ : n → n

λ ∈

x ∈ n

λ ⋅ x =DEF Hλx1, λx2, ..., λ xnLProdotto scalare tra due vettori⋅ : n × n →

x ⋅ y =DEF ‚j=1

p

xi ⋅ xi

⋅ è bilineare simmetrica definita positivaBase canonica di n

B = 8u1, u2, u3, ..., un<u1 = H1, 0, 0, ..., 0Lu2 = H0, 1, 0, ..., 0L...un = H0, 0, 0, ..., 1L

Curve in n

α : Ha, bL → n dove Ha, bL è intervallo aperto di

t → α HtLα HtL = Hα1 HtL, α2 HtL, ..., α2 HtLLDEF.

α è differenziabile se sono differenziabili αi ∀ iDEF.

α è una curva HparametrizzataL se è differenziabile a tratti in Ha, bLDEF.

Vettore velocità diα in un punto P0 = α Ht0L è

α' Ht0L =DEF Hα1 ' Ht0L, ..., αn ' Ht0LLDEF.

La funzione v HtL = ˛ α' HtL ˛ si chiama velocità di α

DEF.α si dice regolare se è differenziabile e se ∀ t si ha v HtL ≠ 0

DEF.α si dice a velocità unitaria se ˛ α' HtL ˛ = 1 , ∀ t ∈ Ha, bL

DEF.

Bernardo geometria differenziale.nb 1

α : Ha, bL → n, β : Hc, dL → n curve differenziabili,β si dice riparametrizzazione positiva di α se esiste una funzione differenziabileh : Hc, dL → Ha, bL tale che h' HuL > 0 ∀ u, con c < u < d

Esempio di grafico di una curva

ellisse@a_, b_D@t_D := 8a Cos@tD, b Sin@tD<

ParametricPlot@ellisse@4, 2D@tD, 8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

Graphics

Lunghezza di una curvaDEF.

Sia α una curva di n, definita su un intervallo I ⊃ Ha, bL,α definita e differenziabile in @a, bDsi definisce lunghezza di α nell' intervallo @a, bD

Length@a, bD@αD = ‡a

b

˛ α' HtL ˛ dt.

Lunghezza di una curva con Mathematica

Per calcolare la lunghezza di un arco di curva costruiamo prima la funzione ˛a'(t)˛

moduloVelocita@alpha_D@t_D := Sqrt@Simplify@D@alpha@xD, xD.D@alpha@xD, xDDD ê. x → t

Calcoliamo ora l'integrale indefinito

lungArco@alpha_D@t_D := Integrate@moduloVelocita@alphaD@xD, xD ê. x → t

Calcoliamo ora l'integrale definito

lung@a_, b_D@alpha_D := Integrate@moduloVelocita@alphaD@uD, 8u, a, b<D

La seguente è la formula per il calcolo numerico dell'integrale, qualora non sia possibile calcolarlo con il calcolosimbolico, in questo caso a e b devono essere dei numeri.

lunghezza@a_, b_D@alpha_D := NIntegrate@moduloVelocita@alphaD@uD, 8u, a, b<D

Esempi

Calcolo della lunghezza dell'ellisse

Con il calcolo simbolico


lung@a, bD@ellisse@4, 2DD êê Simplify

IfAikjjjj− ArcCosA 5

3E ImA 1

−a + bE + 2 ReA a

a − bE ≥ 2 »»

12

ArcCosA 53E ImA 1

−a + bE + ReA a

−a + bE ≥ 0 »» ImA 2 a + ArcCos@ 5

3 D2 a − 2 b

E ≠ 0y{zzzz &&

ikjjjj− ArcCosA 5

3E ImA 1

−a + bE + 2 ReA a

a − bE ≥ 2 »» 1

2ArcCosA 5

3E ImA 1

−a + bE + ReA a

−a + bE ≥

0 »» ArcCosA 53E ImA 1

−a + bE + 2 ReA a

a − bE 0 »»

−12

ArcCosA 53E ImA 1

−a + bE 1 + ReA a

−a + bE »» ImA 2 a + ArcCos@ 5

3 D2 a − 2 b

E ≠ 0y{zzzz &&

ikjjjj ArcCosA 5

3E ImA 1

−a + bE + 2 ReA a

a − bE ≥ 2 »» −

12

ArcCosA 53E ImA 1

−a + bE + ReA a

−a + bE ≥

0 »» 12

ArcCosA 53E ImA 1

−a + bE ReA a

−a + bE »»

12

ArcCosA 53E ImA 1

−a + bE 1 + ReA a

−a + bE »» ImA −2 a + ArcCos@ 5

3 D−2 a + 2 b

E ≠ 0y{zzzz,

−2 EllipticE@a, −3D + 2 EllipticE@b, −3D,

IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!10 − 6 Cos@2 uD , 8u, a, b<,

Assumptions →ikjjjjImA 2 a + ArcCos@ 5

3 D2 a − 2 b

E 0 && − ArcCosA 53E ImA 1

−a + bE + 2 ReA a

a − bE < 2 &&

12

ArcCosA 53E ImA 1

−a + bE + ReA a

−a + bE < 0

y{zzzz »»

ikjjjjImA −2 a + ArcCos@ 5

3 D−2 a + 2 b

E 0 && ArcCosA 53E ImA 1

−a + bE + 2 ReA a

a − bE < 2 &&

−12

ArcCosA 53E ImA 1

−a + bE + ReA a

−a + bE < 0 && ReA a

−a + bE ≠

12

ArcCosA 53E ImA 1

−a + bE && 1 + ReA a

−a + bE ≠

12

ArcCosA 53E ImA 1

−a + bEy{zzzzEE

Con il calcolo numerico

lunghezza@0, PiD@ellisse@0, PiDD

6.28319

Calcolo della lunghezza della circonferenza

ParametricPlot@ellisse@1, 1D@tD, 8t, 0, Pi<, AspectRatio → AutomaticD

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Graphics

Con il calcolo simbolico


lung@0, PiD@ellisse@r, rDD

πè!!!!!!r2

Con il calcolo numerico

lunghezza@0, PiD@ellisse@1, 1DD

3.14159

Curvatura di una curva pianaIntuitivamente misura di quanto la curva si discosta dall'essere una retta.Solitamente viene definita da

k2[a](t)= x' HtL y "HtL-x "HtL y' HtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHx'2 HtL+y'2 HtLL3ê2 (1)

La si può definire anche in questo modoDEF

k2[a](t)= a "HtL •Ja' HtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ»»a' HtL»»3 (2)

DEF

Il raggio di curvatura di a è 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅk2@aD

Definiamo una curva piana alpha

alpha@t_D := 8a1@tD, a2@tD<

Definiamo la struttura complessa J di 2

J@8p1_, p2_<D := 8−p2, p1<

Definiamo il vettore velocità di alpha

D@alpha@tD, tD

8a1 @tD, a2 @tD<

Applichiamo la formula (2)

kappa2@alpha_D@t_D :=

D@alpha@ttD, 8tt, 2<D.J@D@alpha@ttD, ttDDêSimplify@D@alpha@ttD, ttD.

D@alpha@ttD, ttDD^H3ê 2L ê. tt −> t

La funzione che a una curva associa la funzione curvatura si usa nel seguente modo

kappa2@alphaD@tD

−a2 @tD a1 @tD + a1 @tD a2 @tDHa1 @tD2 + a2 @tD2L3ê2

Che corrisponde alla formula (1)


Curve celebri nel piano

Lemniscata di Bernoulli

otto@t_D := 8Sin@tD, Sin@tD Cos@tD<

ParametricPlot@otto@tD, 8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD

-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Graphics

Calcoliamo ora la curvatura

kappa2@ottoD@tD

2 è!!!2 H−4 Cos@tD2 Sin@tD − Sin@tD H−Cos@tD2 + Sin@tD2LLH2 + Cos@2 tD + Cos@4 tDL3ê2

Rappresentiamola graficamente

Plot@kappa2@ottoD@tD, 8t, 0, 2 Pi<D

1 2 3 4 5 6

-4

-2

2

4

Graphics

Ellisse

kappa2@ellisse@a, bDD@tD

a b Cos@tD2 + a b Sin@tD2

Hb2 Cos@tD2 + a2 Sin@tD2L3ê2


ParametricPlot@ellisse@5, 2D@tD, 8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

Graphics

Plot@kappa2@ellisse@5, 2DD@tD, 8t, 0, 2 Pi<D

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Graphics

Cardioide

cardioide@a_D@t_D := 82 a Cos@tD H1 + Cos@tDL, 2 a Sin@tD H1 + Cos@tDL<

ParametricPlot@cardioide@2D@tD êê Evaluate, 8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD

2 4 6 8

-4

-2

2

4

Graphics


kappa2@cardioide@2DD@tD êê Simplify

38 è!!!2 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + Cos@tD

Plot@kappa2@cardioide@2DD@tD êê Evaluate, 8t, 0, 2 Pi<D

1 2 3 4 5 6

2

4

6

8

10

12

Graphics

Curva di Lissajous

lissajous@n_, d_, a_, b_D@t_D := 8a Sin@n t + dD, b Sin@tD<

ParametricPlot@lissajous@Piê4, 0, 9, 8D@tD êê Evaluate,8t, 0, 28 Pi<, AspectRatio → AutomaticD;

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

kappa2@lissajous@3ê 4, 0, 9, 8DD@tD êê Simplify

−432 H7 Sin@ t

4 D + Sin@ 7 t4 DL

I729 Cos@ 3 t4 D2

+ 1024 Cos@tD2M3ê2


Plot@kappa2@lissajous@Piê4, 0, 9, 8DD@tD êê Evaluate, 8t, 0, 10 Pi<D;

5 10 15 20 25 30

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Curve in 3

DEFSia α : Ha, bL → 3 curva a velocità unitaria, cioè t.c. ˛ α' HtL ˛ = 1la funzione k : Ha, bL → ℜ, definita da K@αD@sD = ˛ α " HsL ˛

si dice funzione curvaturaOSSSe α è una curva di 2 a velocità unitaria, allora k@αD ≡ k2@αDDEFSia α : Ha, bL → 3 curva a velocità unitaria,il campo di vettori T = α' è detto campo unitario tangentese k@αD@sD > 0 ∀ s ∈ Ha, bLil campo di vettori N =

1k

⋅ T' è detto campo normale

il campo B = TÔN è detto campo binormalela terna 8B, N, T< è una base per lo spazio vettoriale

3 ed è chiamata riferimento mobile, o riferimento di Frenet.TEOREMI

Per una curva α a velocità unitaria e k > 0 si ha˛ T ˛ = ˛ N ˛ = ˛ B ˛ = 1,

T ⋅ N = N ⋅ B = B ⋅ T = 0Ogni campo di vettori F lungo α si esprime F = HF ⋅ TL T + HF ⋅ NL N + HF ⋅ BL BValgono le seguenti formule di FrenetT' = kNN' = −kT + τBB' = −τNLa funzione τ è chiamata torsione della curva α

Curvatura e torsione con Mathematica

kappa@alpha_D@t_D :=

Simplify@Factor@Cross@D@alpha@ttD, ttD,D@alpha@ttD, 8tt, 2<DD.Cross@D@alpha@ttD, ttD, D@alpha@ttD, 8tt, 2<DDDD^H1ê2LêSimplify@Factor@D@alpha@ttD, ttD.D@alpha@ttD, ttDDD^H3ê2L ê. tt −> t


tau@alpha_D@t_D := Simplify@Det@8D@alpha@ttD, ttD, D@alpha@ttD, 8tt, 2<D,D@alpha@ttD, 8tt, 3<D<DDêSimplify@Factor@Cross@D@alpha@ttD, ttD,D@alpha@ttD, 8tt, 2<DD.Cross@D@alpha@ttD, ttD,D@alpha@ttD, 8tt, 2<DDDD ê. tt −> t

Elica circolare

elica@a_, b_D@t_D := 8a Cos@tD, a Sin@tD, b t<

ParametricPlot3D@Evaluate@elica@1, 0.1D@tDD, 8t, 0, 10 Pi<, PlotPoints → 200,PlotRange −> 88−1, 1<, 8−1, 1<, 80, Pi<<D

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

1

2

3

1

-0.5

0

0.5

Graphics3D

kappa@elica@a, bDD@tD êê PowerExpand

aa2 + b2

tau@elica@a, bDD@tDb

a2 + b2

La curvatura e la torsione sono costanti


Plot@Evaluate@kappa@elica@1, 0.1DD@tDD, 8t, 0, 4 Pi<,Ticks −> 8Automatic, Range@0, 0.35, 0.1D<D

2 4 6 8 10 12

0.10.20.3

Graphics

Plot@Evaluate@tau@elica@1, 0.1DD@tDD, 8t, 0, 4 Pi<,Ticks −> 8Automatic, Range@0, 0.35, 0.1D<D

2 4 6 8 10 12

0.1

0.2

Graphics

Asteroide 3D

ast3d@n_, a_, b_D@t_D := 8a Cos@tD^n, b Sin@tD^n, Cos@2 tD<


ParametricPlot3D@Append@ast3d@3, 1, 1D@tD,[email protected] êê Evaluate, 8t, 0, 2 Pi<,ViewPoint −> 81.510, −2.926, 0.779<D;

-1-0.5

00.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

00.5

-1 -0.5

kappa@ast3d@3, 1, 1DD@tD êê PowerExpand

325

Csc@tD Sec@tD

tau@ast3d@3, 1, 1DD@tD

150

Csc@tD4 Sec@tD4 Sin@2 tD3

Plot@Evaluate@kappa@ast3d@3, 1, 1DD@tDD, 8t, 0, 2 Pi<,Ticks −> 8Automatic, Range@0, 0.35, 0.1D<D

1 2 3 4 5 60.10.20.3

Graphics


Plot@Evaluate@tau@ast3d@3, 1, 1DD@tDD, 8t, 0, 2 Pi<,Ticks −> 8Automatic, Range@0, 0.35, 0.1D<D

1 2 3 4 5 60.10.20.3

Graphics

ü Spirale Sferica

spiralesferica@a_D@m_, n_D@t_D :=

a 8Cos@m tD Cos@n tD, Sin@m tD Cos@n tD, Sin@n tD<

ParametricPlot3D@spiralesferica@1D@24, 1D@tD êê Evaluate,8t, −Piê 2, Piê 2<, PlotPoints −> 400D

-1-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.51

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5

Graphics3D

kappa@spiralesferica@1D@24, 1DD@tD êê PowerExpand

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!72204769 + 96048864 Cos@2 tD + 23846400 Cos@4 tDH289 + 288 Cos@2 tDL3ê2

tau@spiralesferica@1D@24, 1DD@tD

48 H125353 Cos@tD + 41400 Cos@3 tDL72204769 + 96048864 Cos@2 tD + 23846400 Cos@4 tD


Plot@Evaluate@kappa@spiralesferica@1D@24, 1DD@tDD, 8t, −Piê2, Piê2<D

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

10

20

30

40

Graphics

Plot@Evaluate@tau@spiralesferica@1D@24, 1DD@tDD, 8t, −Piê2, Piê2<D

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Graphics

SUPERFICI nello spazio

DEFUna sfera di √n, con centro p e raggio ¶>0 è l'insieme S(p,e) =

DEF{qe√n/††q-p§§<e}UÕ√n è un aperto di √n se "peU$e>0 tale che S(p,e)ÕU

DEFf : U Ø √n è un' applicazione differenziabile se sono differenziabili di classe C¶ tutte le componenti fi di f ,cioè tutte le funzioni fi : U Ø √ hanno tutte le derivate parziali di qualsiasi ordine.

DEFf:UØV, UÕn, VÕm, è un diffeomorfismo se f è differenziabili, ivertibile e l'inversa è differenziabile.

DEFUna superficie parametrizzata di n è un'applicazione differenziabile j:UØn, con U aperto di n.


DEFLa matrice jacobiana di una parametrizzazione locale f:UØn è la matrice

Jp0 (f) =

i

k

jjjjjjjjjjjj

∑ f1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑u1 Hp0L ... ∑ f1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑un

Hp0L...

∑ fnÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑u1 Hp0L ... ∑ fnÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑un

Hp0L

y

{

zzzzzzzzzzzz

matricejacob@x_D@u_, v_D := 8D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD< ê. 8uu −> u, vv −> v<

DEFUna superficie parametrizzata j:UØn è regolare in qeU se Jp(j) ha rango 2.

superficejacob@x_D@u_, v_D := Det@matricejacob@xD@u, vD.Transpose@matricejacob@xD@u, vDDD

DEFj:UÕ2Øn superficie parametrizzata, p0=(u0,v0)eU,

le curve u Ø jHu, v0Lv Ø jHu0, vLsi dicono linee coordinate passanti per p0.

Esempi di superfici nello spazio

SFERA

sfera@a_D@u_, v_D :=

a 8Cos@vD Cos@uD, Cos@vD Sin@uD, Sin@vD<

ParametricPlot3D@sfera@1D@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<,8v, −Piê 2, Piê 2<,PlotPoints −> 850, 50<D;

-1-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.51

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5


superficejacob@sfera@aDD@u, vD êê Simplify

a4 Cos@vD2

Per v=± pÅÅÅÅ2 la parametrizzazione usata non è regolare.

CILINDRO

cilindro@a_D@u_, v_D := a 8Cos@uD, Sin@uD, v<

ParametricPlot3D@cilindro@1D@u, vD,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −1, 1<D

-1-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.51

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5

Graphics3D

PARABOLOIDE IPERBOLICO

paraboloideiperbolic@u_, v_D := 8u, v, u v<


ParametricPlot3D@Evaluate@paraboloideiperbolic@u, vDD,8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,ViewPoint −> 81, 3, 1<,PlotPoints −> 820, 20<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;

SELLA DI SCIMMIA

selladiscimmia@u_, v_D := 8u, v, u^3 − 3 u v^2<

ParametricPlot3D@Evaluate@selladiscimmia@u, vDD, 8u, −1, 1<, 8v, −1.5, 1.5<,ViewPoint −> 81, 3, 3<, PlotPoints −> 820, 20<,Axes −> None, Boxed −> False, AspectRatio −> 1.1D;

ELLISSOIDE


ellissoide@a_, b_, c_D@u_, v_D :=

8a Cos@vD Cos@uD, b Cos@vD Sin@uD, c Sin@vD<

ParametricPlot3D@ellissoide@1, 1.5, 2D@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 9 Piê 5<, 8v, −Piê 2, Piê2<,PlotPoints −> 830, 30<D;

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

0

1

-2

-1

0

1

2

-1

0

1

TORO

toro@a_, b_, c_D@u_, v_D :=

8Ha + b Cos@vDL Cos@uD, Ha + b Cos@vDL Sin@uD, c Sin@vD<

ParametricPlot3D@Evaluate@toro@6, 2, 3D@u, vDD,8u, 0, 2 Pi<, 8v, 0, 2 Pi<,PlotPoints −> 840, 40<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;

PARABOLOIDE

paraboloide@a_D@u_, v_D := 8u, v, a Hu^2 + v^2L<


ParametricPlot3D@Evaluate@[email protected]@r Cos@thetaD, r Sin@thetaDDD,8r, 0, 2<, 8theta, 0, 2 Pi<,PlotPoints −> 840, 40<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;

Orientabilità delle superfici

DEFUna superficie regolare M è orientabile se esiste su M un campo di vettori continuo, normale e unitario N.

TP0 HML è lo spazio tangente a M in P0

8ϕu0, ϕv

0< vettori di TP0 HMLP0 = ϕ Hu0, v0L

N HP0L =ϕu

0 Ôϕv0

˛ ϕu0 Ôϕv

0 ˛

Superfici non orientabili

NASTRO DI MOEBIUS

mastromoebius@a_D@u_, v_D := a 8Cos@uD + v Cos@uê2D Cos@uD,Sin@uD + v Cos@u ê2D Sin@uD,v Sin@u ê2D<


ParametricPlot3D@mastromoebius@1D@u, vDêê Evaluate, 8u, 0, 2 Pi<, 8v, −0.5, 0.5<,PlotPoints −> 840, 5<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;

BOTTIGLIA DI KLEIN

bottigliaklein@e_, f_D@u_, v_D := If@u < 0,8f ∗ Sin@uDê2, H−e − f ê2 + f ∗ Cos@uDê2L∗ Cos@vD,He + fê2 − f ∗ Cos@uDê 2L ∗ Sin@vD<,810 ∗ [email protected] ∗ uD + 2 ∗He + 0.033 ∗ f ∗ uL∗

[email protected] ∗ uD + 4 ∗ [email protected] ∗ uDL ∗ Cos@vD∗

[email protected] ∗ uD + 2 ∗ [email protected] ∗ uDLêSqrt@100 ∗ [email protected] ∗ uD^2 + 4 ∗[email protected] ∗ uD +

4 ∗ [email protected] ∗ uDL^2 ∗ [email protected] ∗ uD + 2 ∗ [email protected] ∗ uDL^2D,[email protected] ∗ uD + 2 ∗ [email protected] ∗ uDL^2 −

H10 ∗He + 0.033 ∗ f ∗ uL ∗ [email protected] ∗ uD∗ Cos@vDLêSqrt@100 ∗ [email protected] ∗ uD^2 + 4 ∗[email protected] ∗ uD +

4 ∗ [email protected] ∗ uDL^2 ∗ [email protected] ∗ uD + 2 ∗ [email protected] ∗ uDL^2D,He + 0.033 ∗ f ∗ uL∗ Sin@vD<D


ParametricPlot3D@Evaluate@bottigliaklein@1, 2D@u, vDD,8u, −Pi, 30<,8v, −Pi, Pi<,ViewPoint −> 8−1, 0, −1<,PlotPoints −> 849, 19<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;

Curvatura delle superfici

La curvatura di una curva a in un punto P misura di quanto la curva si allontana dalla retta tangente a a in P. Peranalogia la curvatura di una superficvie misura di quanto una superficie si allontana dal piano tangente.Tuttavia mentre una curva può allontanarsi dalla reta tangente in due direzioni, una superficie si può allontanare dalpiano tangente in una infinità di direzioni. Perciò la misura di quanto una superficie si allontana dal piano tangentedipende dalla direzione che si sceglie.Un buon modo per misurare come si incurva una superficie consiste nel misurare come varia il campo normale unitarioN dela superficie punto per punto.Uno strumento che indica come si incurva una superficie regolare in √3 è l'operatore di forma così definito:

DEFSia MÕ3 una superficie regolare, U campo normale unitario su M definito in un intorno di un punto pœM. Per ognivettore vp tangente a M in p, definiamoSp(vp) = -Dvp U. L'operatore Sp : TpHM LöTpHM L si chiama operatore forma.

Su una superficie si definiscono le seguenti curvature:- curvatura normale k;- curvature principali k1 e k2;- curvatura media H;- curvatura di Gauss K.

TEOREMASi dimostra cheK=k1·k2

H= 1ÅÅÅÅ2 (k1+k2)

DEFLa curvatura normale in un punto PœM nella direzione di un vettore tangente vp con ˛vp˛=1, si definisce come


K(vp) =DEFSp(vp)·vp.

Se ˛vp˛∫1 si definisce K(vp) =DEF Sp HvpLÿvpÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ˛vp ˛2 .

DEFI valori massimo e minimo della curvatura normale k di M in p si chiamano curvature principali di M in p e si indicanocon k1e k2.DEFSia j:Uön una superficie parametrizzata. Si definisconoE=juÿ ju

F=juÿ jv

G=jvÿ jv

ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2 è detta prima forma fondamentale di j ed è una metrica sulla superficiee = U·juu = -Uu·ju

f = U·juv = -Uu·jv = U·jvu = -Uv·ju

g = U·jvv = -Uv·jv

e, f, g sono detti coefficienti della seconda forma fondamentale.TEOREMA (Equazioni di Weingarten)Sia j:DØ3una superficie parametrizzata regolare. L'operatore forma S nella base {ju,jv} e dato da:

9-SpHjuL = Uu = fF-eGÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2 ju + eF-fEÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2 jv

-SpHjvL = Uv = gF-fGÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2 ju + fF-gEÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2 jv

K(curvatura di Gauss)=deti

kjjjjjj

- fF-eGÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2 - eF-fEÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2

- gF-fGÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2 - fF-gEÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2

y

{zzzzzz=

eg- f 2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2

LEMMALe curvature principali k1e k2 sono le radici dell'equazione di secondo gradok2-2Hk+K=0

ü CURVATURA DELLE SUPERFICI CON MATHEMATICA

Curvatura di Gauss

gcurvature[x][u,v] è la curvatura di Gauss della superficie parametrizzata x:U-> R3.

La formula utlizzata per calcolare k è la seguentek= detHxuu xu xvL detHxvv xu xvL-@detHxuv xu xvLD2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ@»xu»2»xv»2-Hxuÿ xvL2D2

gcurvature@x_D@u_, v_D :=

Simplify@HDet@8D@x@uu, vvD, uu, uuD, D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD<D∗

Det@8D@x@uu, vvD, vv, vvD, D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD<D −

Det@8D@x@uu, vvD, uu, vvD, D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD<D^2LêHD@x@uu, vvD, uuD.D@x@uu, vvD, uuD∗ D@x@uu, vvD, vvD.D@x@uu, vvD, vvD −

HD@x@uu, vvD, uuD.D@x@uu, vvD, vvDL^2L^2D ê. 8uu → u, vv → v<

mcurvature[x][u,v] è la curvatura media della superficie parametrizzatax:U-> R3.


mcurvature@x_D@u_, v_D :=

Simplify@HDet@8D@x@uu, vvD, uu, uuD, D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD<D∗

D@x@uu, vvD, vvD.D@x@uu, vvD, vvD − 2 Det@8D@x@uu, vvD, uu, vvD,D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD<D∗ D@x@uu, vvD, uuD.D@x@uu, vvD, vvD +

Det@8D@x@uu, vvD, vv, vvD, D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD<D∗

D@x@uu, vvD, uuD.D@x@uu, vvD, uuDLêH2 HD@x@uu, vvD, uuD.D@x@uu, vvD, uuD∗ D@x@uu, vvD, vvD.D@x@uu, vvD, vvD −

HD@x@uu, vvD, uuD.D@x@uu, vvD, vvDL^2L^H3ê2LLD ê. 8uu → u, vv → v<

SFERA

sfera@a_D@u_, v_D :=

a 8Cos@vD Cos@uD, Cos@vD Sin@uD, Sin@vD<

ParametricPlot3D@sfera@1D@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −Piê 2, Piê 2<,PlotPoints −> 850, 50<D;

-1-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.51

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5


Plot3D@gcurvature@sfera@1DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −Piê 2, Piê 2<,PlotPoints → 40D;

0

2

4

6

-1

0

1

00.5

1

1.5

2

0

2

4

Plot3D@mcurvature@sfera@1DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −Piê 2, Piê 2<,PlotPoints → 20D;

0

2

4

6

-1

0

1

-1-1

-1-1

-1

0

2

4

gcurvatura@sfera@1DD@u, vD

gcurvatura@sfera@1DD@u, vD

CILINDRO

cilindro@a_D@u_, v_D := a 8Cos@uD, Sin@uD, v<


ParametricPlot3D@cilindro@1D@u, vD,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −1, 1<D;

-1-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.51

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5

Plot3D@gcurvature@cilindro@1DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −1, 1<,PlotPoints → 20D;

0

2

4

6 -1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

0

0.5

1

0

2

4


Plot3D@mcurvature@cilindro@1DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −1, 1<,PlotPoints → 20D;

0

2

4

6 -1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.75-0.5

-0.25

0

0

2

4

PARABOLOIDE IPERBOLICO

paraboloideiperbolic@u_, v_D := 8u, v, u v<

ParametricPlot3D@Evaluate@paraboloideiperbolic@u, vDD,8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,ViewPoint −> 81, 3, 1<,PlotPoints −> 820, 20<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;


Plot3D@gcurvature@paraboloideiperbolicD@u, vD êê Evaluate,8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,

PlotPoints → 30D;

-1

-0.5

0

0.5

1 -1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.75-0.5

-0.25

0

-1

-0.5

0

0.5

Plot3D@mcurvature@paraboloideiperbolicD@u, vD êê Evaluate,8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,

PlotPoints → 30D;

-1

-0.5

0

0.5

1 -1

-0.5

0

0.5

1

-0.2-0.1

0

0.1

0.2

-1

-0.5

0

0.5

SELLA DI SCIMMIA

selladiscimmia@u_, v_D := 8u, v, u^3 − 3 u v^2<


ParametricPlot3D@Evaluate@selladiscimmia@u, vDD, 8u, −1, 1<, 8v, −1.5, 1.5<,ViewPoint −> 81, 3, 3<, PlotPoints −> 820, 20<,Axes −> None, Boxed −> False, AspectRatio −> 1.1D;

Plot3D@gcurvature@selladiscimmiaD@u, vD êê Evaluate,8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,PlotPoints → 40D;

-1

-0.5

0

0.5

1 -1

-0.5

0

0.5

1

-3

-2

-1

0

-1

-0.5

0

0.5


Plot3D@mcurvature@selladiscimmiaD@u, vD êê Evaluate,8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,PlotPoints → 40D;

-1

-0.5

0

0.5

1 -1

-0.5

0

0.5

1

-0.5

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5

ELLISSOIDE

ellissoide@a_, b_, c_D@u_, v_D :=

8a Cos@vD Cos@uD, b Cos@vD Sin@uD, c Sin@vD<

ParametricPlot3D@ellissoide@1, 1.5, 2D@u, vD êê Evaluate,8u, 0, Pi<, 8v, −Piê2, Piê 2<,PlotPoints −> 840, 40<D;

-1-0.5

00.5

10

0.51

1.5

-2

-1

0

1

20

0.51


Plot3D@gcurvature@ellissoide@1, 1.5, 2DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, Pi<, 8v, −Piê2, Piê 2<,PlotPoints → 50D;

0

1

2

3

-1

0

1

0

0.5

1

1.5

0

1

2

Plot3D@mcurvature@ellissoide@1, 1.5, 2DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, Pi<, 8v, −Piê2, Piê 2<,PlotPoints → 50D;

0

1

2

3

-1

0

1-1.25

-1-0.75-0.5

0

1

2

TORO

toro@a_, b_, c_D@u_, v_D :=

8Ha + b Cos@vDL Cos@uD, Ha + b Cos@vDL Sin@uD, c Sin@vD<


ParametricPlot3D@Evaluate@toro@6, 2, 3D@u, vDD,8u, 0, 2 Pi<, 8v, 0, 2 Pi<,PlotPoints −> 840, 40<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;

Plot3D@gcurvature@toro@6, 2, 3DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, 0, 2 Pi<,

PlotPoints → 50D;

0

2

4

6 0

2

4

6

-0.05-0.025

00.025

0

2

4


Plot3D@mcurvature@toro@6, 2, 3DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, 0, 2 Pi<,

PlotPoints → 50D;

0

2

4

6 0

2

4

6

-0.3-0.2

-0.1

0

0

2

4

PARABOLOIDE

paraboloide@a_D@u_, v_D := 8u, v, a Hu^2 + v^2L<

ParametricPlot3D@Evaluate@[email protected]@u, vDD,8u, −2, 2<, 8v, −2, 2<,PlotPoints −> 840, 40<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;


Plot3D@gcurvature@[email protected]@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, 0, 2 Pi<,

PlotPoints → 50D;

0

2

4

6 0

2

4

6

00.00250.005

0.00750.01

0

2

4

Plot3D@mcurvature@[email protected]@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, 0, 2 Pi<,

PlotPoints → 50D;

0

2

4

6 0

2

4

6

0.1

0.2

0.3

0

2

4


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