Geometria differenziale delle curveAppunti di A. Bernardo
n spazio vettoriale su n = 8x = Hx1, x2, ..., xnLêxi numero reale ∀ i<Addizione di vettori+ : n × n → n
x = Hx1, x2, ..., xnLy = Hy1, y2, ..., ynLx + y =DEF Hx1 + y1, x2 + y2, ..., xn + ynLProdotto di un vettore per uno scalare⋅ : n → n
λ ∈
x ∈ n
λ ⋅ x =DEF Hλx1, λx2, ..., λ xnLProdotto scalare tra due vettori⋅ : n × n →
x ⋅ y =DEF ‚j=1
p
xi ⋅ xi
⋅ è bilineare simmetrica definita positivaBase canonica di n
B = 8u1, u2, u3, ..., un<u1 = H1, 0, 0, ..., 0Lu2 = H0, 1, 0, ..., 0L...un = H0, 0, 0, ..., 1L
Curve in n
α : Ha, bL → n dove Ha, bL è intervallo aperto di
t → α HtLα HtL = Hα1 HtL, α2 HtL, ..., α2 HtLLDEF.
α è differenziabile se sono differenziabili αi ∀ iDEF.
α è una curva HparametrizzataL se è differenziabile a tratti in Ha, bLDEF.
Vettore velocità diα in un punto P0 = α Ht0L è
α' Ht0L =DEF Hα1 ' Ht0L, ..., αn ' Ht0LLDEF.
La funzione v HtL = ˛ α' HtL ˛ si chiama velocità di α
DEF.α si dice regolare se è differenziabile e se ∀ t si ha v HtL ≠ 0
DEF.α si dice a velocità unitaria se ˛ α' HtL ˛ = 1 , ∀ t ∈ Ha, bL
DEF.
Bernardo geometria differenziale.nb 1
α : Ha, bL → n, β : Hc, dL → n curve differenziabili,β si dice riparametrizzazione positiva di α se esiste una funzione differenziabileh : Hc, dL → Ha, bL tale che h' HuL > 0 ∀ u, con c < u < d
Esempio di grafico di una curva
ellisse@a_, b_D@t_D := 8a Cos@tD, b Sin@tD<
ParametricPlot@ellisse@4, 2D@tD, 8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
Graphics
Lunghezza di una curvaDEF.
Sia α una curva di n, definita su un intervallo I ⊃ Ha, bL,α definita e differenziabile in @a, bDsi definisce lunghezza di α nell' intervallo @a, bD
Length@a, bD@αD = ‡a
b
˛ α' HtL ˛ dt.
Lunghezza di una curva con Mathematica
Per calcolare la lunghezza di un arco di curva costruiamo prima la funzione ˛a'(t)˛
moduloVelocita@alpha_D@t_D := Sqrt@Simplify@D@alpha@xD, xD.D@alpha@xD, xDDD ê. x → t
Calcoliamo ora l'integrale indefinito
lungArco@alpha_D@t_D := Integrate@moduloVelocita@alphaD@xD, xD ê. x → t
Calcoliamo ora l'integrale definito
lung@a_, b_D@alpha_D := Integrate@moduloVelocita@alphaD@uD, 8u, a, b<D
La seguente è la formula per il calcolo numerico dell'integrale, qualora non sia possibile calcolarlo con il calcolosimbolico, in questo caso a e b devono essere dei numeri.
lunghezza@a_, b_D@alpha_D := NIntegrate@moduloVelocita@alphaD@uD, 8u, a, b<D
Esempi
Calcolo della lunghezza dell'ellisse
Con il calcolo simbolico
Bernardo geometria differenziale.nb 2
lung@a, bD@ellisse@4, 2DD êê Simplify
IfAikjjjj− ArcCosA 5
3E ImA 1
−a + bE + 2 ReA a
a − bE ≥ 2 »»
12
ArcCosA 53E ImA 1
−a + bE + ReA a
−a + bE ≥ 0 »» ImA 2 a + ArcCos@ 5
3 D2 a − 2 b
E ≠ 0y{zzzz &&
ikjjjj− ArcCosA 5
3E ImA 1
−a + bE + 2 ReA a
a − bE ≥ 2 »» 1
2ArcCosA 5
3E ImA 1
−a + bE + ReA a
−a + bE ≥
0 »» ArcCosA 53E ImA 1
−a + bE + 2 ReA a
a − bE 0 »»
−12
ArcCosA 53E ImA 1
−a + bE 1 + ReA a
−a + bE »» ImA 2 a + ArcCos@ 5
3 D2 a − 2 b
E ≠ 0y{zzzz &&
ikjjjj ArcCosA 5
3E ImA 1
−a + bE + 2 ReA a
a − bE ≥ 2 »» −
12
ArcCosA 53E ImA 1
−a + bE + ReA a
−a + bE ≥
0 »» 12
ArcCosA 53E ImA 1
−a + bE ReA a
−a + bE »»
12
ArcCosA 53E ImA 1
−a + bE 1 + ReA a
−a + bE »» ImA −2 a + ArcCos@ 5
3 D−2 a + 2 b
E ≠ 0y{zzzz,
−2 EllipticE@a, −3D + 2 EllipticE@b, −3D,
IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!10 − 6 Cos@2 uD , 8u, a, b<,
Assumptions →ikjjjjImA 2 a + ArcCos@ 5
3 D2 a − 2 b
E 0 && − ArcCosA 53E ImA 1
−a + bE + 2 ReA a
a − bE < 2 &&
12
ArcCosA 53E ImA 1
−a + bE + ReA a
−a + bE < 0
y{zzzz »»
ikjjjjImA −2 a + ArcCos@ 5
3 D−2 a + 2 b
E 0 && ArcCosA 53E ImA 1
−a + bE + 2 ReA a
a − bE < 2 &&
−12
ArcCosA 53E ImA 1
−a + bE + ReA a
−a + bE < 0 && ReA a
−a + bE ≠
12
ArcCosA 53E ImA 1
−a + bE && 1 + ReA a
−a + bE ≠
12
ArcCosA 53E ImA 1
−a + bEy{zzzzEE
Con il calcolo numerico
lunghezza@0, PiD@ellisse@0, PiDD
6.28319
Calcolo della lunghezza della circonferenza
ParametricPlot@ellisse@1, 1D@tD, 8t, 0, Pi<, AspectRatio → AutomaticD
-1 -0.5 0.5 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Graphics
Con il calcolo simbolico
Bernardo geometria differenziale.nb 3
lung@0, PiD@ellisse@r, rDD
πè!!!!!!r2
Con il calcolo numerico
lunghezza@0, PiD@ellisse@1, 1DD
3.14159
Curvatura di una curva pianaIntuitivamente misura di quanto la curva si discosta dall'essere una retta.Solitamente viene definita da
k2[a](t)= x' HtL y "HtL-x "HtL y' HtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHx'2 HtL+y'2 HtLL3ê2 (1)
La si può definire anche in questo modoDEF
k2[a](t)= a "HtL •Ja' HtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ»»a' HtL»»3 (2)
DEF
Il raggio di curvatura di a è 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅk2@aD
Definiamo una curva piana alpha
alpha@t_D := 8a1@tD, a2@tD<
Definiamo la struttura complessa J di 2
J@8p1_, p2_<D := 8−p2, p1<
Definiamo il vettore velocità di alpha
D@alpha@tD, tD
8a1 @tD, a2 @tD<
Applichiamo la formula (2)
kappa2@alpha_D@t_D :=
D@alpha@ttD, 8tt, 2<D.J@D@alpha@ttD, ttDDêSimplify@D@alpha@ttD, ttD.
D@alpha@ttD, ttDD^H3ê 2L ê. tt −> t
La funzione che a una curva associa la funzione curvatura si usa nel seguente modo
kappa2@alphaD@tD
−a2 @tD a1 @tD + a1 @tD a2 @tDHa1 @tD2 + a2 @tD2L3ê2
Che corrisponde alla formula (1)
Bernardo geometria differenziale.nb 4
Curve celebri nel piano
Lemniscata di Bernoulli
otto@t_D := 8Sin@tD, Sin@tD Cos@tD<
ParametricPlot@otto@tD, 8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD
-1 -0.5 0.5 1
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Graphics
Calcoliamo ora la curvatura
kappa2@ottoD@tD
2 è!!!2 H−4 Cos@tD2 Sin@tD − Sin@tD H−Cos@tD2 + Sin@tD2LLH2 + Cos@2 tD + Cos@4 tDL3ê2
Rappresentiamola graficamente
Plot@kappa2@ottoD@tD, 8t, 0, 2 Pi<D
1 2 3 4 5 6
-4
-2
2
4
Graphics
Ellisse
kappa2@ellisse@a, bDD@tD
a b Cos@tD2 + a b Sin@tD2
Hb2 Cos@tD2 + a2 Sin@tD2L3ê2
Bernardo geometria differenziale.nb 5
ParametricPlot@ellisse@5, 2D@tD, 8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
Graphics
Plot@kappa2@ellisse@5, 2DD@tD, 8t, 0, 2 Pi<D
1 2 3 4 5 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Graphics
Cardioide
cardioide@a_D@t_D := 82 a Cos@tD H1 + Cos@tDL, 2 a Sin@tD H1 + Cos@tDL<
ParametricPlot@cardioide@2D@tD êê Evaluate, 8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD
2 4 6 8
-4
-2
2
4
Graphics
Bernardo geometria differenziale.nb 6
kappa2@cardioide@2DD@tD êê Simplify
38 è!!!2 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + Cos@tD
Plot@kappa2@cardioide@2DD@tD êê Evaluate, 8t, 0, 2 Pi<D
1 2 3 4 5 6
2
4
6
8
10
12
Graphics
Curva di Lissajous
lissajous@n_, d_, a_, b_D@t_D := 8a Sin@n t + dD, b Sin@tD<
ParametricPlot@lissajous@Piê4, 0, 9, 8D@tD êê Evaluate,8t, 0, 28 Pi<, AspectRatio → AutomaticD;
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
kappa2@lissajous@3ê 4, 0, 9, 8DD@tD êê Simplify
−432 H7 Sin@ t
4 D + Sin@ 7 t4 DL
I729 Cos@ 3 t4 D2
+ 1024 Cos@tD2M3ê2
Bernardo geometria differenziale.nb 7
Plot@kappa2@lissajous@Piê4, 0, 9, 8DD@tD êê Evaluate, 8t, 0, 10 Pi<D;
5 10 15 20 25 30
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
Curve in 3
DEFSia α : Ha, bL → 3 curva a velocità unitaria, cioè t.c. ˛ α' HtL ˛ = 1la funzione k : Ha, bL → ℜ, definita da K@αD@sD = ˛ α " HsL ˛
si dice funzione curvaturaOSSSe α è una curva di 2 a velocità unitaria, allora k@αD ≡ k2@αDDEFSia α : Ha, bL → 3 curva a velocità unitaria,il campo di vettori T = α' è detto campo unitario tangentese k@αD@sD > 0 ∀ s ∈ Ha, bLil campo di vettori N =
1k
⋅ T' è detto campo normale
il campo B = TÔN è detto campo binormalela terna 8B, N, T< è una base per lo spazio vettoriale
3 ed è chiamata riferimento mobile, o riferimento di Frenet.TEOREMI
Per una curva α a velocità unitaria e k > 0 si ha˛ T ˛ = ˛ N ˛ = ˛ B ˛ = 1,
T ⋅ N = N ⋅ B = B ⋅ T = 0Ogni campo di vettori F lungo α si esprime F = HF ⋅ TL T + HF ⋅ NL N + HF ⋅ BL BValgono le seguenti formule di FrenetT' = kNN' = −kT + τBB' = −τNLa funzione τ è chiamata torsione della curva α
Curvatura e torsione con Mathematica
kappa@alpha_D@t_D :=
Simplify@Factor@Cross@D@alpha@ttD, ttD,D@alpha@ttD, 8tt, 2<DD.Cross@D@alpha@ttD, ttD, D@alpha@ttD, 8tt, 2<DDDD^H1ê2LêSimplify@Factor@D@alpha@ttD, ttD.D@alpha@ttD, ttDDD^H3ê2L ê. tt −> t
Bernardo geometria differenziale.nb 8
tau@alpha_D@t_D := Simplify@Det@8D@alpha@ttD, ttD, D@alpha@ttD, 8tt, 2<D,D@alpha@ttD, 8tt, 3<D<DDêSimplify@Factor@Cross@D@alpha@ttD, ttD,D@alpha@ttD, 8tt, 2<DD.Cross@D@alpha@ttD, ttD,D@alpha@ttD, 8tt, 2<DDDD ê. tt −> t
Elica circolare
elica@a_, b_D@t_D := 8a Cos@tD, a Sin@tD, b t<
ParametricPlot3D@Evaluate@elica@1, 0.1D@tDD, 8t, 0, 10 Pi<, PlotPoints → 200,PlotRange −> 88−1, 1<, 8−1, 1<, 80, Pi<<D
-1-0.5
00.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0
1
2
3
1
-0.5
0
0.5
Graphics3D
kappa@elica@a, bDD@tD êê PowerExpand
aa2 + b2
tau@elica@a, bDD@tDb
a2 + b2
La curvatura e la torsione sono costanti
Bernardo geometria differenziale.nb 9
Plot@Evaluate@kappa@elica@1, 0.1DD@tDD, 8t, 0, 4 Pi<,Ticks −> 8Automatic, Range@0, 0.35, 0.1D<D
2 4 6 8 10 12
0.10.20.3
Graphics
Plot@Evaluate@tau@elica@1, 0.1DD@tDD, 8t, 0, 4 Pi<,Ticks −> 8Automatic, Range@0, 0.35, 0.1D<D
2 4 6 8 10 12
0.1
0.2
Graphics
Asteroide 3D
ast3d@n_, a_, b_D@t_D := 8a Cos@tD^n, b Sin@tD^n, Cos@2 tD<
Bernardo geometria differenziale.nb 10
ParametricPlot3D@Append@ast3d@3, 1, 1D@tD,[email protected] êê Evaluate, 8t, 0, 2 Pi<,ViewPoint −> 81.510, −2.926, 0.779<D;
-1-0.5
00.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1-0.5
00.5
-1 -0.5
kappa@ast3d@3, 1, 1DD@tD êê PowerExpand
325
Csc@tD Sec@tD
tau@ast3d@3, 1, 1DD@tD
150
Csc@tD4 Sec@tD4 Sin@2 tD3
Plot@Evaluate@kappa@ast3d@3, 1, 1DD@tDD, 8t, 0, 2 Pi<,Ticks −> 8Automatic, Range@0, 0.35, 0.1D<D
1 2 3 4 5 60.10.20.3
Graphics
Bernardo geometria differenziale.nb 11
Plot@Evaluate@tau@ast3d@3, 1, 1DD@tDD, 8t, 0, 2 Pi<,Ticks −> 8Automatic, Range@0, 0.35, 0.1D<D
1 2 3 4 5 60.10.20.3
Graphics
ü Spirale Sferica
spiralesferica@a_D@m_, n_D@t_D :=
a 8Cos@m tD Cos@n tD, Sin@m tD Cos@n tD, Sin@n tD<
ParametricPlot3D@spiralesferica@1D@24, 1D@tD êê Evaluate,8t, −Piê 2, Piê 2<, PlotPoints −> 400D
-1-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.51
-1
-0.5
0
0.5
1
-1-0.5
0
0.5
-1
-0.5
0
0.5
Graphics3D
kappa@spiralesferica@1D@24, 1DD@tD êê PowerExpand
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!72204769 + 96048864 Cos@2 tD + 23846400 Cos@4 tDH289 + 288 Cos@2 tDL3ê2
tau@spiralesferica@1D@24, 1DD@tD
48 H125353 Cos@tD + 41400 Cos@3 tDL72204769 + 96048864 Cos@2 tD + 23846400 Cos@4 tD
Bernardo geometria differenziale.nb 12
Plot@Evaluate@kappa@spiralesferica@1D@24, 1DD@tDD, 8t, −Piê2, Piê2<D
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
10
20
30
40
Graphics
Plot@Evaluate@tau@spiralesferica@1D@24, 1DD@tDD, 8t, −Piê2, Piê2<D
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Graphics
SUPERFICI nello spazio
DEFUna sfera di √n, con centro p e raggio ¶>0 è l'insieme S(p,e) =
DEF{qe√n/††q-p§§<e}UÕ√n è un aperto di √n se "peU$e>0 tale che S(p,e)ÕU
DEFf : U Ø √n è un' applicazione differenziabile se sono differenziabili di classe C¶ tutte le componenti fi di f ,cioè tutte le funzioni fi : U Ø √ hanno tutte le derivate parziali di qualsiasi ordine.
DEFf:UØV, UÕn, VÕm, è un diffeomorfismo se f è differenziabili, ivertibile e l'inversa è differenziabile.
DEFUna superficie parametrizzata di n è un'applicazione differenziabile j:UØn, con U aperto di n.
Bernardo geometria differenziale.nb 13
DEFLa matrice jacobiana di una parametrizzazione locale f:UØn è la matrice
Jp0 (f) =
i
k
jjjjjjjjjjjj
∑ f1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑u1 Hp0L ... ∑ f1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑un
Hp0L...
∑ fnÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑u1 Hp0L ... ∑ fnÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑un
Hp0L
y
{
zzzzzzzzzzzz
matricejacob@x_D@u_, v_D := 8D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD< ê. 8uu −> u, vv −> v<
DEFUna superficie parametrizzata j:UØn è regolare in qeU se Jp(j) ha rango 2.
superficejacob@x_D@u_, v_D := Det@matricejacob@xD@u, vD.Transpose@matricejacob@xD@u, vDDD
DEFj:UÕ2Øn superficie parametrizzata, p0=(u0,v0)eU,
le curve u Ø jHu, v0Lv Ø jHu0, vLsi dicono linee coordinate passanti per p0.
Esempi di superfici nello spazio
SFERA
sfera@a_D@u_, v_D :=
a 8Cos@vD Cos@uD, Cos@vD Sin@uD, Sin@vD<
ParametricPlot3D@sfera@1D@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<,8v, −Piê 2, Piê 2<,PlotPoints −> 850, 50<D;
-1-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.51
-1
-0.5
0
0.5
1
-1-0.5
0
0.5
-1
-0.5
0
0.5
Bernardo geometria differenziale.nb 14
superficejacob@sfera@aDD@u, vD êê Simplify
a4 Cos@vD2
Per v=± pÅÅÅÅ2 la parametrizzazione usata non è regolare.
CILINDRO
cilindro@a_D@u_, v_D := a 8Cos@uD, Sin@uD, v<
ParametricPlot3D@cilindro@1D@u, vD,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −1, 1<D
-1-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.51
-1
-0.5
0
0.5
1
-1-0.5
0
0.5
-1
-0.5
0
0.5
Graphics3D
PARABOLOIDE IPERBOLICO
paraboloideiperbolic@u_, v_D := 8u, v, u v<
Bernardo geometria differenziale.nb 15
ParametricPlot3D@Evaluate@paraboloideiperbolic@u, vDD,8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,ViewPoint −> 81, 3, 1<,PlotPoints −> 820, 20<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;
SELLA DI SCIMMIA
selladiscimmia@u_, v_D := 8u, v, u^3 − 3 u v^2<
ParametricPlot3D@Evaluate@selladiscimmia@u, vDD, 8u, −1, 1<, 8v, −1.5, 1.5<,ViewPoint −> 81, 3, 3<, PlotPoints −> 820, 20<,Axes −> None, Boxed −> False, AspectRatio −> 1.1D;
ELLISSOIDE
Bernardo geometria differenziale.nb 16
ellissoide@a_, b_, c_D@u_, v_D :=
8a Cos@vD Cos@uD, b Cos@vD Sin@uD, c Sin@vD<
ParametricPlot3D@ellissoide@1, 1.5, 2D@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 9 Piê 5<, 8v, −Piê 2, Piê2<,PlotPoints −> 830, 30<D;
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
0
1
-2
-1
0
1
2
-1
0
1
TORO
toro@a_, b_, c_D@u_, v_D :=
8Ha + b Cos@vDL Cos@uD, Ha + b Cos@vDL Sin@uD, c Sin@vD<
ParametricPlot3D@Evaluate@toro@6, 2, 3D@u, vDD,8u, 0, 2 Pi<, 8v, 0, 2 Pi<,PlotPoints −> 840, 40<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;
PARABOLOIDE
paraboloide@a_D@u_, v_D := 8u, v, a Hu^2 + v^2L<
Bernardo geometria differenziale.nb 17
ParametricPlot3D@Evaluate@[email protected]@r Cos@thetaD, r Sin@thetaDDD,8r, 0, 2<, 8theta, 0, 2 Pi<,PlotPoints −> 840, 40<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;
Orientabilità delle superfici
DEFUna superficie regolare M è orientabile se esiste su M un campo di vettori continuo, normale e unitario N.
TP0 HML è lo spazio tangente a M in P0
8ϕu0, ϕv
0< vettori di TP0 HMLP0 = ϕ Hu0, v0L
N HP0L =ϕu
0 Ôϕv0
˛ ϕu0 Ôϕv
0 ˛
Superfici non orientabili
NASTRO DI MOEBIUS
mastromoebius@a_D@u_, v_D := a 8Cos@uD + v Cos@uê2D Cos@uD,Sin@uD + v Cos@u ê2D Sin@uD,v Sin@u ê2D<
Bernardo geometria differenziale.nb 18
ParametricPlot3D@mastromoebius@1D@u, vDêê Evaluate, 8u, 0, 2 Pi<, 8v, −0.5, 0.5<,PlotPoints −> 840, 5<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;
BOTTIGLIA DI KLEIN
bottigliaklein@e_, f_D@u_, v_D := If@u < 0,8f ∗ Sin@uDê2, H−e − f ê2 + f ∗ Cos@uDê2L∗ Cos@vD,He + fê2 − f ∗ Cos@uDê 2L ∗ Sin@vD<,810 ∗ [email protected] ∗ uD + 2 ∗He + 0.033 ∗ f ∗ uL∗
[email protected] ∗ uD + 4 ∗ [email protected] ∗ uDL ∗ Cos@vD∗
[email protected] ∗ uD + 2 ∗ [email protected] ∗ uDLêSqrt@100 ∗ [email protected] ∗ uD^2 + 4 ∗[email protected] ∗ uD +
4 ∗ [email protected] ∗ uDL^2 ∗ [email protected] ∗ uD + 2 ∗ [email protected] ∗ uDL^2D,[email protected] ∗ uD + 2 ∗ [email protected] ∗ uDL^2 −
H10 ∗He + 0.033 ∗ f ∗ uL ∗ [email protected] ∗ uD∗ Cos@vDLêSqrt@100 ∗ [email protected] ∗ uD^2 + 4 ∗[email protected] ∗ uD +
4 ∗ [email protected] ∗ uDL^2 ∗ [email protected] ∗ uD + 2 ∗ [email protected] ∗ uDL^2D,He + 0.033 ∗ f ∗ uL∗ Sin@vD<D
Bernardo geometria differenziale.nb 19
ParametricPlot3D@Evaluate@bottigliaklein@1, 2D@u, vDD,8u, −Pi, 30<,8v, −Pi, Pi<,ViewPoint −> 8−1, 0, −1<,PlotPoints −> 849, 19<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;
Curvatura delle superfici
La curvatura di una curva a in un punto P misura di quanto la curva si allontana dalla retta tangente a a in P. Peranalogia la curvatura di una superficvie misura di quanto una superficie si allontana dal piano tangente.Tuttavia mentre una curva può allontanarsi dalla reta tangente in due direzioni, una superficie si può allontanare dalpiano tangente in una infinità di direzioni. Perciò la misura di quanto una superficie si allontana dal piano tangentedipende dalla direzione che si sceglie.Un buon modo per misurare come si incurva una superficie consiste nel misurare come varia il campo normale unitarioN dela superficie punto per punto.Uno strumento che indica come si incurva una superficie regolare in √3 è l'operatore di forma così definito:
DEFSia MÕ3 una superficie regolare, U campo normale unitario su M definito in un intorno di un punto pœM. Per ognivettore vp tangente a M in p, definiamoSp(vp) = -Dvp U. L'operatore Sp : TpHM LöTpHM L si chiama operatore forma.
Su una superficie si definiscono le seguenti curvature:- curvatura normale k;- curvature principali k1 e k2;- curvatura media H;- curvatura di Gauss K.
TEOREMASi dimostra cheK=k1·k2
H= 1ÅÅÅÅ2 (k1+k2)
DEFLa curvatura normale in un punto PœM nella direzione di un vettore tangente vp con ˛vp˛=1, si definisce come
Bernardo geometria differenziale.nb 20
K(vp) =DEFSp(vp)·vp.
Se ˛vp˛∫1 si definisce K(vp) =DEF Sp HvpLÿvpÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ˛vp ˛2 .
DEFI valori massimo e minimo della curvatura normale k di M in p si chiamano curvature principali di M in p e si indicanocon k1e k2.DEFSia j:Uön una superficie parametrizzata. Si definisconoE=juÿ ju
F=juÿ jv
G=jvÿ jv
ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2 è detta prima forma fondamentale di j ed è una metrica sulla superficiee = U·juu = -Uu·ju
f = U·juv = -Uu·jv = U·jvu = -Uv·ju
g = U·jvv = -Uv·jv
e, f, g sono detti coefficienti della seconda forma fondamentale.TEOREMA (Equazioni di Weingarten)Sia j:DØ3una superficie parametrizzata regolare. L'operatore forma S nella base {ju,jv} e dato da:
9-SpHjuL = Uu = fF-eGÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2 ju + eF-fEÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2 jv
-SpHjvL = Uv = gF-fGÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2 ju + fF-gEÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2 jv
K(curvatura di Gauss)=deti
kjjjjjj
- fF-eGÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2 - eF-fEÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2
- gF-fGÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2 - fF-gEÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2
y
{zzzzzz=
eg- f 2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅEG-F2
LEMMALe curvature principali k1e k2 sono le radici dell'equazione di secondo gradok2-2Hk+K=0
ü CURVATURA DELLE SUPERFICI CON MATHEMATICA
Curvatura di Gauss
gcurvature[x][u,v] è la curvatura di Gauss della superficie parametrizzata x:U-> R3.
La formula utlizzata per calcolare k è la seguentek= detHxuu xu xvL detHxvv xu xvL-@detHxuv xu xvLD2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ@»xu»2»xv»2-Hxuÿ xvL2D2
gcurvature@x_D@u_, v_D :=
Simplify@HDet@8D@x@uu, vvD, uu, uuD, D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD<D∗
Det@8D@x@uu, vvD, vv, vvD, D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD<D −
Det@8D@x@uu, vvD, uu, vvD, D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD<D^2LêHD@x@uu, vvD, uuD.D@x@uu, vvD, uuD∗ D@x@uu, vvD, vvD.D@x@uu, vvD, vvD −
HD@x@uu, vvD, uuD.D@x@uu, vvD, vvDL^2L^2D ê. 8uu → u, vv → v<
mcurvature[x][u,v] è la curvatura media della superficie parametrizzatax:U-> R3.
Bernardo geometria differenziale.nb 21
mcurvature@x_D@u_, v_D :=
Simplify@HDet@8D@x@uu, vvD, uu, uuD, D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD<D∗
D@x@uu, vvD, vvD.D@x@uu, vvD, vvD − 2 Det@8D@x@uu, vvD, uu, vvD,D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD<D∗ D@x@uu, vvD, uuD.D@x@uu, vvD, vvD +
Det@8D@x@uu, vvD, vv, vvD, D@x@uu, vvD, uuD, D@x@uu, vvD, vvD<D∗
D@x@uu, vvD, uuD.D@x@uu, vvD, uuDLêH2 HD@x@uu, vvD, uuD.D@x@uu, vvD, uuD∗ D@x@uu, vvD, vvD.D@x@uu, vvD, vvD −
HD@x@uu, vvD, uuD.D@x@uu, vvD, vvDL^2L^H3ê2LLD ê. 8uu → u, vv → v<
SFERA
sfera@a_D@u_, v_D :=
a 8Cos@vD Cos@uD, Cos@vD Sin@uD, Sin@vD<
ParametricPlot3D@sfera@1D@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −Piê 2, Piê 2<,PlotPoints −> 850, 50<D;
-1-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.51
-1
-0.5
0
0.5
1
-1-0.5
0
0.5
-1
-0.5
0
0.5
Bernardo geometria differenziale.nb 22
Plot3D@gcurvature@sfera@1DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −Piê 2, Piê 2<,PlotPoints → 40D;
0
2
4
6
-1
0
1
00.5
1
1.5
2
0
2
4
Plot3D@mcurvature@sfera@1DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −Piê 2, Piê 2<,PlotPoints → 20D;
0
2
4
6
-1
0
1
-1-1
-1-1
-1
0
2
4
gcurvatura@sfera@1DD@u, vD
gcurvatura@sfera@1DD@u, vD
CILINDRO
cilindro@a_D@u_, v_D := a 8Cos@uD, Sin@uD, v<
Bernardo geometria differenziale.nb 23
ParametricPlot3D@cilindro@1D@u, vD,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −1, 1<D;
-1-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.51
-1
-0.5
0
0.5
1
-1-0.5
0
0.5
-1
-0.5
0
0.5
Plot3D@gcurvature@cilindro@1DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −1, 1<,PlotPoints → 20D;
0
2
4
6 -1
-0.5
0
0.5
1
-1-0.5
0
0.5
1
0
2
4
Bernardo geometria differenziale.nb 24
Plot3D@mcurvature@cilindro@1DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, −1, 1<,PlotPoints → 20D;
0
2
4
6 -1
-0.5
0
0.5
1
-1-0.75-0.5
-0.25
0
0
2
4
PARABOLOIDE IPERBOLICO
paraboloideiperbolic@u_, v_D := 8u, v, u v<
ParametricPlot3D@Evaluate@paraboloideiperbolic@u, vDD,8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,ViewPoint −> 81, 3, 1<,PlotPoints −> 820, 20<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;
Bernardo geometria differenziale.nb 25
Plot3D@gcurvature@paraboloideiperbolicD@u, vD êê Evaluate,8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,
PlotPoints → 30D;
-1
-0.5
0
0.5
1 -1
-0.5
0
0.5
1
-1-0.75-0.5
-0.25
0
-1
-0.5
0
0.5
Plot3D@mcurvature@paraboloideiperbolicD@u, vD êê Evaluate,8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,
PlotPoints → 30D;
-1
-0.5
0
0.5
1 -1
-0.5
0
0.5
1
-0.2-0.1
0
0.1
0.2
-1
-0.5
0
0.5
SELLA DI SCIMMIA
selladiscimmia@u_, v_D := 8u, v, u^3 − 3 u v^2<
Bernardo geometria differenziale.nb 26
ParametricPlot3D@Evaluate@selladiscimmia@u, vDD, 8u, −1, 1<, 8v, −1.5, 1.5<,ViewPoint −> 81, 3, 3<, PlotPoints −> 820, 20<,Axes −> None, Boxed −> False, AspectRatio −> 1.1D;
Plot3D@gcurvature@selladiscimmiaD@u, vD êê Evaluate,8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,PlotPoints → 40D;
-1
-0.5
0
0.5
1 -1
-0.5
0
0.5
1
-3
-2
-1
0
-1
-0.5
0
0.5
Bernardo geometria differenziale.nb 27
Plot3D@mcurvature@selladiscimmiaD@u, vD êê Evaluate,8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,PlotPoints → 40D;
-1
-0.5
0
0.5
1 -1
-0.5
0
0.5
1
-0.5
0
0.5
-1
-0.5
0
0.5
ELLISSOIDE
ellissoide@a_, b_, c_D@u_, v_D :=
8a Cos@vD Cos@uD, b Cos@vD Sin@uD, c Sin@vD<
ParametricPlot3D@ellissoide@1, 1.5, 2D@u, vD êê Evaluate,8u, 0, Pi<, 8v, −Piê2, Piê 2<,PlotPoints −> 840, 40<D;
-1-0.5
00.5
10
0.51
1.5
-2
-1
0
1
20
0.51
Bernardo geometria differenziale.nb 28
Plot3D@gcurvature@ellissoide@1, 1.5, 2DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, Pi<, 8v, −Piê2, Piê 2<,PlotPoints → 50D;
0
1
2
3
-1
0
1
0
0.5
1
1.5
0
1
2
Plot3D@mcurvature@ellissoide@1, 1.5, 2DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, Pi<, 8v, −Piê2, Piê 2<,PlotPoints → 50D;
0
1
2
3
-1
0
1-1.25
-1-0.75-0.5
0
1
2
TORO
toro@a_, b_, c_D@u_, v_D :=
8Ha + b Cos@vDL Cos@uD, Ha + b Cos@vDL Sin@uD, c Sin@vD<
Bernardo geometria differenziale.nb 29
ParametricPlot3D@Evaluate@toro@6, 2, 3D@u, vDD,8u, 0, 2 Pi<, 8v, 0, 2 Pi<,PlotPoints −> 840, 40<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;
Plot3D@gcurvature@toro@6, 2, 3DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, 0, 2 Pi<,
PlotPoints → 50D;
0
2
4
6 0
2
4
6
-0.05-0.025
00.025
0
2
4
Bernardo geometria differenziale.nb 30
Plot3D@mcurvature@toro@6, 2, 3DD@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, 0, 2 Pi<,
PlotPoints → 50D;
0
2
4
6 0
2
4
6
-0.3-0.2
-0.1
0
0
2
4
PARABOLOIDE
paraboloide@a_D@u_, v_D := 8u, v, a Hu^2 + v^2L<
ParametricPlot3D@Evaluate@[email protected]@u, vDD,8u, −2, 2<, 8v, −2, 2<,PlotPoints −> 840, 40<,Axes −> None, Boxed −> FalseD;
Bernardo geometria differenziale.nb 31
Plot3D@gcurvature@[email protected]@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, 0, 2 Pi<,
PlotPoints → 50D;
0
2
4
6 0
2
4
6
00.00250.005
0.00750.01
0
2
4
Plot3D@mcurvature@[email protected]@u, vD êê Evaluate,8u, 0, 2 Pi<, 8v, 0, 2 Pi<,
PlotPoints → 50D;
0
2
4
6 0
2
4
6
0.1
0.2
0.3
0
2
4
Bernardo geometria differenziale.nb 32
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