Circuiti elettriciin regime stazionario

Teoremi

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm

(versione del 4-1-2007)

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Teorema di Tellegen

● Ipotesi:Circuito con n nodi e l latiVersi di riferimento scelti per tutti i lati secondo la convenzione dell’utilizzatore{v1, ..., vl } = insieme di tensioni che soddisfano la LKV per il circuito considerato{i1, ..., il } = insieme di correnti che soddisfano la LKI per il circuito considerato

La somma estesa a tutti i lati del circuito dei prodotti vkik è nulla

01

=∑=

l

kkkiv

3

Teorema di Tellegen – Dimostrazione (1)

● Le tensioni dei lati soddisfano la LKV possono essere espresse come differenze tra tensioni di nodo (rispetto ad un nodo di riferimento arbitrario)

● Si indica con iPQ = −iQP la corrente totale dei lati che collegano il nodo P al nodo Q (diretta da P a Q)

se non c’è nessun lato tra i nodi P e Q iPQ = 0

se c’è un solo lato k che collega i nodi P e Qse il lato va da P a Q vkik = (vP − vQ)iPQ

se il lato va da Q a P vkik = (vQ − vP)iQP = (vP − vQ)iPQ

se ci sono più lati che collegano i nodi P e Qil prodotto (vP − vQ)iPQ rappresenta la somma dei prodotti vkik estesa a tutti questi lati

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Teorema di Tellegen – Dimostrazione (2)

Quindi si ha

I fattori ½ derivano dal fatto che, se i nodi P e Q variano su tutto l’insieme dei nodi del circuito, ogni lato viene contato due volte

Le sommatorie tra parentesi sono nulle perché rappresentano rispettivamente la corrente totale uscente dal nodo P e dal nodo Q (e le correnti dei lati per ipotesi soddisfano la LKI)

( ) ( )

∑ ∑∑ ∑

∑∑∑∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

==

=

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=+=−=

1

0Q

1

0PQPQ2

11

0P

1

0QPQP2

1

1

0P

1

0QQPQPQP2

11

0P

1

0QPQQP2

1

1

0

00

n nn n

n nn nl

kkk

ii

iiiiv

4342143421

vv

vvvv

5

Teorema di Tellegen - Note

● Il teorema richiede solo che le tensioni e le correnti dei lati soddisfino le leggi di Kirchhoff, non è necessario che soddisfino anche le equazioni dei componenti

● Se le tensioni e le correnti soddisfano anche le equazioni dei componenti i prodotti vkik rappresentano le potenze assorbite

La somme delle potenze assorbite dai componenti di un circuito è nulla

Si indica con K G l’insieme dei valori di k per i quali il lato k èun generatore

La potenza complessivamente erogata dai generatori èuguale alla somma delle potenze assorbite dagli altri componenti

∑∑∉∈

=−GG k

kkk

kk ivivKK

6

Teorema di sovrapposizione

● Ipotesi: circuito lineare resistivo contenente

NV generatori indipendenti di tensione vG1, ..., vGNVNI generatori indipendenti di corrente iG1, ..., iGNI

La tensione e la corrente del generico lato h sono combinazioni lineari delle tensioni e delle correnti impresse dei generatori indipendenti

● Dimostrazione: la proprietà è diretta conseguenza del fatto che le tensioni e le correnti dei lati sono la soluzione di un sistema di equazioni lineari algebriche nel quale le tensioni e le correnti impresse dei generatori rappresentano i termini noti

∑∑

∑∑

==

==

β+=

+α=

IV

IV

N

kGkhk

N

kGkhkh

N

kGkhk

N

kGkhkh

ivgi

irvv

11

11

7

Coefficienti di rete

● I coefficienti delle combinazioni sono detti coefficienti di rete

ji

kjvGk

hhk

Gj

Gjv

v

∀=≠∀=

=α

0

0

ji

kjvGk

hhk

Gj

Gjv

ig

∀=≠∀=

=

0

0

kji

jvGk

hhk

Gj

Gji

vr

≠∀=∀=

=

0

0

kji

jvGk

hhk

Gj

Gji

i

≠∀=∀=

=β

0

0

guadagno di tensioneresistenza di ingresso (h = k)resistenza di trasferimento (h ≠ k)

guadagno di correnteconduttanza di ingresso (h = k)conduttanza di trasferimento (h ≠ k)

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Teorema di sovrapposizione - Note

● Ciascuna tensione o corrente di un circuito lineare può essere espressa come somma dei valori che essa assume quando nel circuito agisce un solo generatore alla volta (cioè come sovrapposizione degli effetti prodotti dai singoli generatori)

● Azzerare un generatore indipendente di tensione corrisponde a sostituire il generatore con un cortocircuito

● Azzerare un generatore indipendente di corrente equivale a sostituire il generatore con un circuito aperto

● Il teorema di sovrapposizione non riguarda i generatori dipendenti dato che le loro tensioni o correnti non sono termininoti delle equazioni del circuito

9

Teorema di sovrapposizione - Note

● Il teorema di sovrapposizione non vale per le potenze, legate da relazioni non lineari alle tensioni e alle correnti dei generatori

R

VVRip

R

VVi

GGR

GG

2212

21

)( +==

+=

R

Vp

R

Vi

GR

G

21

1

=′

=′

R

Vp

R

Vi

GR

G

22

2

=′′

=′′

RRR pppiii ′′+′≠′′+′=

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Resistenza equivalente

● Si consideri un bipolo formato da componenti lineari e non contenente generatori indipendenti

● Se il bipolo è comandato in tensione è possibile collegare ai suoi terminali un generatore indipendente di tensione

● Dato che il bipolo è lineare, la corrente entrante nel bipolo risulta proporzionale alla tensione del generatore indipendente

● Poiché la tensione e la corrente del bipolo sono legate da una relazione di proporzionalità, il bipolo risulta essere equivalente a un resistore

● La costante di proporzionalità rappresenta la conduttanza equivalente del bipolo (e il suo reciproco la resistenza equivalente)

AB

AB

i

vReq =

AB

AB

v

iGeq =

11

Resistenza equivalente

● Se il bipolo è comandato in corrente è possibile collegare ai suoi terminali un generatore indipendente di corrente

● Dato che il bipolo è lineare, la tensione ai terminali del bipolo risulta proporzionale alla corrente del generatore indipendente

● La costante di proporzionalità rappresenta la resistenza equivalente del bipolo (e il suo reciproco la conduttanza equivalente)

AB

AB

i

vReq =

AB

AB

v

iGeq =

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Teorema di Thévenin

● Ipotesi:il bipolo A-B è formato da componenti lineari e contiene generatori indipendentiil bipolo A-B è comandato in corrente

Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipenden-te di tensione v0 in serie con un resistore Req

v0 è la tensione a vuoto del bipolo A-BReq è la resistenza equivalente del bipolo A-B con i generatori indipendenti azzerati

AB0AB iRvv eq+=

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Teorema di Thévenin - Dimostrazione

● Il bipolo A-B è comandato in corrente

Per determinare la sua equazione caratteristica si può collegare un generatore di corrente iAB ai suoi terminali e valutare vAB in funzionedi iAB

● Il bipolo è lineare si può applicare il teorema di sovrapposizione ● Separando il contributo del generatore iAB da quello dei generatori

interni si ottieneAB0ABAAB iRvvvv eqB +=′′+′=

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Teorema di Norton

● Ipotesi:il bipolo A-B è formato da componenti lineari e contiene generatori indipendentiil bipolo A-B è comandato in tensione

Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipenden-te di corrente icc in parallelo con un resistore di conduttanza Geq

icc è la corrente di cortocircuito del bipolo A-BGeq è la conduttanza equivalente del bipolo A-B con i generatori indipendenti azzerati

ABAB vGii eqcc +−=

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Teorema di Norton - Dimostrazione

● Il bipolo A-B è comandato in tensione

Per determinare la sua equazione caratteristica si può collegare un generatore di tensione vAB ai suoi terminali e valutare iAB in funzionedi vAB

● Il bipolo è lineare si può applicare il teorema di sovrapposizione ● Separando il contributo del generatore vAB da quello dei generatori

interni si ottieneABABABAB vGiiii eqcc +−=′′+′=

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Teoremi di Thévenin e Norton - Note

● I versi dei generatori equivalenti sono correlati ai versi scelti per la tensione a vuoto e per la corrente di cortocircuito(In particolare per il generatore di corrente di Norton, il verso indicato nelle figure richiede che la corrente di cortocircuito sia valutata con verso di riferimento diretto da A a B)

● Nel calcolo della resistenza (o della conduttanza) equivalente si devono azzerare solo i generatori indipendenti, mentre eventualigeneratori dipendenti devono essere mantenuti(Ciò è dovuto al fatto che il teorema di sovrapposizione riguarda i solo generatori indipendenti)

● Dato che i circuiti equivalenti di Thévenin e Norton di un bipoloA-B devono anche essere equivalenti tra loro, i loro parametri sono legati dalla relazione

cceqiRv =0