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LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI

DEFINIZIONE DI LIMITE

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Funzione:

Dominio: x≠0

xxxf1

)1()(

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LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI

Poiché 0 non fa parte del dominio non ha senso chiedersi quanto vale f(0)

Ha però senso la domanda:A quale valore si approssima f(x) quando x si approssima a zero?

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Possiamo arrivarci per tentativi

x f(x)

1 2

0,1 2,593742

0,01 2,704814

0,001 2,716924

0,0001 2,718146

0,00001 2,718268

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Si può dimostrare che la successione dei valori di f(x) si avvicina

indefinitamente ad un numero irrazionale detto NUMERO DI NEPERO

e=2,71828182845904523536....

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In questo caso non si scrive

f(0)=e

ma:

exLim x

x

1

0)1(

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LIMITE FINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO

Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L

per x tendente a Xo

Se per ogni ε>0 esiste un intorno I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso, risulta:

LxfLimoxx

)(

|)(| Lxf

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Come si verifica il limite

Se si conosce il valore L del limite e si vuole dimostrarne la correttezza:

• Si imposta la disequazione:

• La si risolve• Si constata che l’insieme delle soluzioni è un intorno di Xo, ovvero è un intervallo aperto che contiene Xo (in effetti, basta che l’insieme delle soluzioni contenga un

tale intorno; se c’è altro poco importa)

|)(| Lxf

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Come si verifica il limite

La disequazione base:

Equivale al sistema

|)(| Lxf

Lxf

Lxf

)(

)(

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LIMITE FINITO PER X TENDENTE ALL’INFINITO

Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente

a più infinito

Se per ogni ε>0 esiste un numero N>0 tale che, per ogni x maggiore di N, risulta:

LxfLimx

)(

|)(| Lxf

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Hai capito la definizione? Prova a completare…

Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente

a meno infinito

Se ……

LxfLimx

)(

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LIMITE INFINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO

Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione di D, si dice che la funzione f tende a più infinito per x

tendente a Xo

Se per ogni M>0 esiste un intorno di Xo, I, tale che per ogni x appartenente ad I, salvo al più Xo stesso:

)(xfLimoxx

Mxf )(

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Prova a completare…..

Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende a meno infinito per x

tendente a Xo

Se…

)(xfLimoxx

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LIMITE INFINITO PER X TENDENTE ALL’INFINITO

Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende a più infinito per x

tendente a più infinito

Se per ogni M>0 esiste un numero N>0 tale che, per ogni x maggiore di N:

)(xfLimx

Mxf )(

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Scambiando + con – si possono daree altre tre definizioni analoghe: prova a scriverle…

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UNA DEFINIZIONE ALTERNATIVA DI LIMITE

La disequazione che compare nella definizione di limite finito-finito:

Equivale a:

Infatti, basta portare L a destra e usare la proprietà transitiva

Lxf

Lxf

)(

)(

LxfL )(

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UNA DEFINIZIONE ALTERNATIVA DI LIMITE

Ma questa disequazione:

Equivale ad affermare che il valore di f(x) cade nell’intervallo (L-ε,L+ε), che è un intorno di L, anzi è un

arbitrario intorno di L, visto che ε è arbitrario.Questo ci permette di dare una nuova definizione di

limite

LxfL )(

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LIMITE FINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO

Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L

per x tendente a Xo

Se per ogni intorno H di L esiste un intorno I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso,

f(x) appartiene a L

LxfLimoxx

)(

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INTORNI DI PIU’ E MENO INFINITO

La condizione x>M può anche essere detta così:X appartiene all’intervallo (M,+∞)

Questo intervallo si dice INTORNO DI PIU’ INFINITO

La condizione X<-M può anche essere detta così:X appartiene all’intervallo (-∞,-M)

Questo intervallo si dice INTORNO DI MENO INFINITO

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DEFINIZIONE DI LIMITE

Con queste convenzioni, la definizione data prima non comprende solo il caso finito-finito, ma tutti i casi.

Si unificano in questo modo le quattro definizioni di limite, anche se per praticità di calcolo di solito si

tengono distinte

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LIMITE DESTRO (FINITO-FINITO)

Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L

per x tendente a Xo da destra

Se per ogni ε>0 esiste un intorno destro I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso,

risulta:

LxfLimoxx

)(

|)(| Lxf

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LIMITE SINISTRO (FINITO-FINITO)

Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L

per x tendente a Xo da sinistra

Se per ogni ε>0 esiste un intorno sinistro I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso,

risulta:

LxfLimoxx

)(

|)(| Lxf

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LIMITE SINISTRO E DESTRO (INFINITO-FINITO)

Prova a scrivere la definizione di limite infinito destro e sinistro

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TEOREMI SUI LIMITI

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TEOREMA DELL’UNICITA’ DEL LIMITE:

IL LIMITE, SE ESISTE, E’ UNICO

Ovvero: data una funzione f:D->R, un punto Xo e un numero L, se:

Allora non esiste un altro numero L’ diverso da L tale che:

LxfLimoxx

)(

')( LxfLimoxx

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DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO:

Supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti L ed L’: allora, in base alla definizione, per

ogni ε>0 dovrebbe esistere un intorno di Xo tale che per ogni x appartenente all’intorno dovrebbero valere

entrambe le disuguaglianze:

COS’E?

|)(| Lxf |')(| Lxf

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Queste disequazioni sono equivalenti ai due sistemi:

Inoltre, poiché ε è arbitrario, lo possiamo scegliere minore della semidifferenza tra L ed L’ (supponendo

L’ maggiore di L)

Lxf

Lxf

)(

)(

')(

')(

Lxf

Lxf

2

' LL

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Isoliamo le due disequazioni che ci interessano

E cambiamo di segno alla seconda

Lxf

Lxf

)(

)(

')(

')(

Lxf

Lxf

Lxf )( )(' xfL

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Sommiamo membro a membro

+

Ottenendo:

ovvero:…………………………………….

Lxf )(

)(' xfL

2' LL

2

' LL

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Mettiamo ora insieme quanto ottenuto con quanto era stato posto all’inizio:

Posizione iniziale Risultato ottenuto

2

' LL

2

' LL

Queste due formule sono CONTRADDITTORIE

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Quindi, poiché aver negato la tesi del teorema (cioè aver supposto che possano esistere due limiti distinti per una stessa funzione e per uno stesso valore di X, Xo) porta a una contraddizione, allora la tesi è vera.

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HAI CAPITO LA DIMOSTRAZIONE? PROVA A RIFARLA SUPPONENDO CHE L SIA MAGGIORE DI L’, E CHE

QUINDI ε SIA MINORE DI (L-L’)/2…

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TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

UNA FUNZIONE HA LO STESSO SEGNO DEL SUO LIMITE

Ovvero: se L è il limite di f(x) per x tendente a Xo allora:

• se L è positivo allora esiste un intorno di Xo in cui la funzione è positiva

• se esiste un intorno di Xo in cui la funzione è positiva allora L è positivo o nullo

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DIMOSTRAZIONE DELLA PRIMA PARTE

In base alla definizione di limite per ogni ε>0 esiste un intorno di Xo in cui vale che:

Inoltre, poiché ε è arbitrario, e poiché L è comunque positivo per ipotesi, possiamo sceglierlo minore di L

Lxf

Lxf

)(

)(

L

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Isoliamo la disequazione che ci interessa e scriviamola così:

Inoltre, scriviamo quanto avevamo posto, cioè:

Così:

Lxf

Lxf

)(

)(

L

0 L

Lxf )( Lxf )(

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Confrontiamo le due disuguaglianze: per la proprietà transitiva possiamo dire che:

E questo vale per ogni x appartenente all’intorno dato, che era la tesi del teorema, prima parte

0 L Lxf )(

0)( xf

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DIMOSTRAZIONE DELLA SECONDA PARTE

Adesso, per ipotesi, abbiamo che in un intorno di Xo:

Scegliamo dalle due solite disequazioni date dalla definizione di limite quella che ci interessa ora

0)( xf

Lxf

Lxf

)(

)(

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Confrontiamo queste due, opportunamente scritte:

Otteniamo, per la proprietà transitiva:

Ovvero:

0)( xf )(xfL

0L

L

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Ma se L è maggiore di qualsiasi numero negativo

(infatti ε rappresenta un qualsiasi numero positivo, perciò il suo opposto è un qualsiasi numero negativo)Allora non può che essere un numero positivo o nullo,

che era la tesi

L

0L

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TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

HAI CAPITO LA DIMOSTRAZIONE? ALLORA PROVA A DIMOSTRARE QUESTO

se L è il limite di f(x) per x tendente a Xo allora:

• se L è NEGATIVO allora esiste un intorno di Xo in cui la funzione è negativa

• se esiste un intorno di Xo in cui la funzione è megativa allora L è NEGATIVO o nullo

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TEOREMA DEL CONFRONTO

UNA FUNZIONE COMPRESA TRA DUE FUNZIONI CHE CONVERGONO ALLO STESSO LIMITE CONVERGE ANCH’ESSA ALLO STESSO LIMITE

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TEOREMA DEL CONFRONTO

Ovvero: date le tre funzioni f,g,h:D->R, se:• esiste un intorno di Xo in cui risulta:

• e se:

• allora:

)()()( xhxfxg

LxhLimxgLimxxxx

)()(00

LxfLimxx

)(0

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DIMOSTRAZIONE

Per definizione, come negli altri casi, risulta:

Da ognuna prendiamo quella che ci interessa e la riscriviamo modificata:

Lxh

Lxh

)(

)(

Lxg

Lxg

)(

)(

Lxh )( Lxg )(

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Prendiamo anche l’ipotesi del teorema ed estraiamone le due disuguaglianze che ci interessano:

)()()( xhxfxg

)()( xhxf )()( xgxf

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Confrontiamole con le precedenti:

Per la proprietà transitiva:

Lxh )( Lxg )(

)()( xhxf )()( xgxf

Lxf )( Lxf )(

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Combinandole in un unico sistema:

Che è appunto ciò che richiede la definizione di limite: quindi anche f(x) ha come limite L

Lxf )( Lxf )(

Lxf

Lxf

)(

)(

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DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO

E’ una dimostrazione in cui si suppone che la tesi sia falsa e, in base a questo, si mostra che l’ipotesi viene contraddetta: ma siccome l’ipotesi è vera, la tesi non può essere falsa e quindi deve essere vera (principio

del TERZO ESCLUSO)

Simbolicamente, anziché dimostrareA => B

Si dimostra il suo equivalente logicoNon B => non A

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