LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DEFINIZIONE DI LIMITE.
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LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
DEFINIZIONE DI LIMITE
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Funzione:
Dominio: x≠0
xxxf1
)1()(
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Poiché 0 non fa parte del dominio non ha senso chiedersi quanto vale f(0)
Ha però senso la domanda:A quale valore si approssima f(x) quando x si approssima a zero?
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Possiamo arrivarci per tentativi
x f(x)
1 2
0,1 2,593742
0,01 2,704814
0,001 2,716924
0,0001 2,718146
0,00001 2,718268
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Si può dimostrare che la successione dei valori di f(x) si avvicina
indefinitamente ad un numero irrazionale detto NUMERO DI NEPERO
e=2,71828182845904523536....
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
In questo caso non si scrive
f(0)=e
ma:
exLim x
x
1
0)1(
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
LIMITE FINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO
Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L
per x tendente a Xo
Se per ogni ε>0 esiste un intorno I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso, risulta:
LxfLimoxx
)(
|)(| Lxf
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Come si verifica il limite
Se si conosce il valore L del limite e si vuole dimostrarne la correttezza:
• Si imposta la disequazione:
• La si risolve• Si constata che l’insieme delle soluzioni è un intorno di Xo, ovvero è un intervallo aperto che contiene Xo (in effetti, basta che l’insieme delle soluzioni contenga un
tale intorno; se c’è altro poco importa)
|)(| Lxf
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Come si verifica il limite
La disequazione base:
Equivale al sistema
|)(| Lxf
Lxf
Lxf
)(
)(
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
LIMITE FINITO PER X TENDENTE ALL’INFINITO
Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente
a più infinito
Se per ogni ε>0 esiste un numero N>0 tale che, per ogni x maggiore di N, risulta:
LxfLimx
)(
|)(| Lxf
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Hai capito la definizione? Prova a completare…
Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente
a meno infinito
Se ……
LxfLimx
)(
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
LIMITE INFINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO
Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione di D, si dice che la funzione f tende a più infinito per x
tendente a Xo
Se per ogni M>0 esiste un intorno di Xo, I, tale che per ogni x appartenente ad I, salvo al più Xo stesso:
)(xfLimoxx
Mxf )(
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Prova a completare…..
Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende a meno infinito per x
tendente a Xo
Se…
)(xfLimoxx
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
LIMITE INFINITO PER X TENDENTE ALL’INFINITO
Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende a più infinito per x
tendente a più infinito
Se per ogni M>0 esiste un numero N>0 tale che, per ogni x maggiore di N:
)(xfLimx
Mxf )(
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Scambiando + con – si possono daree altre tre definizioni analoghe: prova a scriverle…
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
UNA DEFINIZIONE ALTERNATIVA DI LIMITE
La disequazione che compare nella definizione di limite finito-finito:
Equivale a:
Infatti, basta portare L a destra e usare la proprietà transitiva
Lxf
Lxf
)(
)(
LxfL )(
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
UNA DEFINIZIONE ALTERNATIVA DI LIMITE
Ma questa disequazione:
Equivale ad affermare che il valore di f(x) cade nell’intervallo (L-ε,L+ε), che è un intorno di L, anzi è un
arbitrario intorno di L, visto che ε è arbitrario.Questo ci permette di dare una nuova definizione di
limite
LxfL )(
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
LIMITE FINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO
Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L
per x tendente a Xo
Se per ogni intorno H di L esiste un intorno I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso,
f(x) appartiene a L
LxfLimoxx
)(
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
INTORNI DI PIU’ E MENO INFINITO
La condizione x>M può anche essere detta così:X appartiene all’intervallo (M,+∞)
Questo intervallo si dice INTORNO DI PIU’ INFINITO
La condizione X<-M può anche essere detta così:X appartiene all’intervallo (-∞,-M)
Questo intervallo si dice INTORNO DI MENO INFINITO
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
DEFINIZIONE DI LIMITE
Con queste convenzioni, la definizione data prima non comprende solo il caso finito-finito, ma tutti i casi.
Si unificano in questo modo le quattro definizioni di limite, anche se per praticità di calcolo di solito si
tengono distinte
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
LIMITE DESTRO (FINITO-FINITO)
Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L
per x tendente a Xo da destra
Se per ogni ε>0 esiste un intorno destro I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso,
risulta:
LxfLimoxx
)(
|)(| Lxf
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
LIMITE SINISTRO (FINITO-FINITO)
Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L
per x tendente a Xo da sinistra
Se per ogni ε>0 esiste un intorno sinistro I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso,
risulta:
LxfLimoxx
)(
|)(| Lxf
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
LIMITE SINISTRO E DESTRO (INFINITO-FINITO)
Prova a scrivere la definizione di limite infinito destro e sinistro
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
TEOREMI SUI LIMITI
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
TEOREMA DELL’UNICITA’ DEL LIMITE:
IL LIMITE, SE ESISTE, E’ UNICO
Ovvero: data una funzione f:D->R, un punto Xo e un numero L, se:
Allora non esiste un altro numero L’ diverso da L tale che:
LxfLimoxx
)(
')( LxfLimoxx
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO:
Supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti L ed L’: allora, in base alla definizione, per
ogni ε>0 dovrebbe esistere un intorno di Xo tale che per ogni x appartenente all’intorno dovrebbero valere
entrambe le disuguaglianze:
COS’E?
|)(| Lxf |')(| Lxf
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Queste disequazioni sono equivalenti ai due sistemi:
Inoltre, poiché ε è arbitrario, lo possiamo scegliere minore della semidifferenza tra L ed L’ (supponendo
L’ maggiore di L)
Lxf
Lxf
)(
)(
')(
')(
Lxf
Lxf
2
' LL
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Isoliamo le due disequazioni che ci interessano
E cambiamo di segno alla seconda
Lxf
Lxf
)(
)(
')(
')(
Lxf
Lxf
Lxf )( )(' xfL
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Sommiamo membro a membro
+
Ottenendo:
ovvero:…………………………………….
Lxf )(
)(' xfL
2' LL
2
' LL
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Mettiamo ora insieme quanto ottenuto con quanto era stato posto all’inizio:
Posizione iniziale Risultato ottenuto
2
' LL
2
' LL
Queste due formule sono CONTRADDITTORIE
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Quindi, poiché aver negato la tesi del teorema (cioè aver supposto che possano esistere due limiti distinti per una stessa funzione e per uno stesso valore di X, Xo) porta a una contraddizione, allora la tesi è vera.
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
HAI CAPITO LA DIMOSTRAZIONE? PROVA A RIFARLA SUPPONENDO CHE L SIA MAGGIORE DI L’, E CHE
QUINDI ε SIA MINORE DI (L-L’)/2…
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO
UNA FUNZIONE HA LO STESSO SEGNO DEL SUO LIMITE
Ovvero: se L è il limite di f(x) per x tendente a Xo allora:
• se L è positivo allora esiste un intorno di Xo in cui la funzione è positiva
• se esiste un intorno di Xo in cui la funzione è positiva allora L è positivo o nullo
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
DIMOSTRAZIONE DELLA PRIMA PARTE
In base alla definizione di limite per ogni ε>0 esiste un intorno di Xo in cui vale che:
Inoltre, poiché ε è arbitrario, e poiché L è comunque positivo per ipotesi, possiamo sceglierlo minore di L
Lxf
Lxf
)(
)(
L
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Isoliamo la disequazione che ci interessa e scriviamola così:
Inoltre, scriviamo quanto avevamo posto, cioè:
Così:
Lxf
Lxf
)(
)(
L
0 L
Lxf )( Lxf )(
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Confrontiamo le due disuguaglianze: per la proprietà transitiva possiamo dire che:
E questo vale per ogni x appartenente all’intorno dato, che era la tesi del teorema, prima parte
0 L Lxf )(
0)( xf
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
DIMOSTRAZIONE DELLA SECONDA PARTE
Adesso, per ipotesi, abbiamo che in un intorno di Xo:
Scegliamo dalle due solite disequazioni date dalla definizione di limite quella che ci interessa ora
0)( xf
Lxf
Lxf
)(
)(
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Confrontiamo queste due, opportunamente scritte:
Otteniamo, per la proprietà transitiva:
Ovvero:
0)( xf )(xfL
0L
L
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Ma se L è maggiore di qualsiasi numero negativo
(infatti ε rappresenta un qualsiasi numero positivo, perciò il suo opposto è un qualsiasi numero negativo)Allora non può che essere un numero positivo o nullo,
che era la tesi
L
0L
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO
HAI CAPITO LA DIMOSTRAZIONE? ALLORA PROVA A DIMOSTRARE QUESTO
se L è il limite di f(x) per x tendente a Xo allora:
• se L è NEGATIVO allora esiste un intorno di Xo in cui la funzione è negativa
• se esiste un intorno di Xo in cui la funzione è megativa allora L è NEGATIVO o nullo
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
TEOREMA DEL CONFRONTO
UNA FUNZIONE COMPRESA TRA DUE FUNZIONI CHE CONVERGONO ALLO STESSO LIMITE CONVERGE ANCH’ESSA ALLO STESSO LIMITE
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
TEOREMA DEL CONFRONTO
Ovvero: date le tre funzioni f,g,h:D->R, se:• esiste un intorno di Xo in cui risulta:
• e se:
• allora:
)()()( xhxfxg
LxhLimxgLimxxxx
)()(00
LxfLimxx
)(0
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
DIMOSTRAZIONE
Per definizione, come negli altri casi, risulta:
Da ognuna prendiamo quella che ci interessa e la riscriviamo modificata:
Lxh
Lxh
)(
)(
Lxg
Lxg
)(
)(
Lxh )( Lxg )(
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Prendiamo anche l’ipotesi del teorema ed estraiamone le due disuguaglianze che ci interessano:
)()()( xhxfxg
)()( xhxf )()( xgxf
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Confrontiamole con le precedenti:
Per la proprietà transitiva:
Lxh )( Lxg )(
)()( xhxf )()( xgxf
Lxf )( Lxf )(
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Combinandole in un unico sistema:
Che è appunto ciò che richiede la definizione di limite: quindi anche f(x) ha come limite L
Lxf )( Lxf )(
Lxf
Lxf
)(
)(
DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO
E’ una dimostrazione in cui si suppone che la tesi sia falsa e, in base a questo, si mostra che l’ipotesi viene contraddetta: ma siccome l’ipotesi è vera, la tesi non può essere falsa e quindi deve essere vera (principio
del TERZO ESCLUSO)
Simbolicamente, anziché dimostrareA => B
Si dimostra il suo equivalente logicoNon B => non A
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