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Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Universit` a di Bologna Dipartimento di Matematica Bologna, 18 Marzo 2011
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GeometriaProiettiva:
i teoremi di Pappoe Desargues
in una prospettivastorica
Silvia Rampazzo
Introduzionestorica
La matematica greca
Il XVII Secolo
Il XIX Secolo
I teoremi di Pappoe Desargues
La versione affine
La versione proiettiva
Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
Geometria Proiettiva:i teoremi di Pappo e Desargues
in una prospettiva storica
Silvia Rampazzo
Universita di BolognaDipartimento di Matematica
Bologna, 18 Marzo 2011
GeometriaProiettiva:
i teoremi di Pappoe Desargues
in una prospettivastorica
Silvia Rampazzo
Introduzionestorica
La matematica greca
Il XVII Secolo
Il XIX Secolo
I teoremi di Pappoe Desargues
La versione affine
La versione proiettiva
Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
La matematica greca (600 a.C. - 600 d.C.)
L’“Eta aurea” della matematica greca (300 - 200 a.C.):Euclide, Archimede e Apollonio
L’“Eta argentea” della matematica greca (250 - 350 d.C.):Diofanto e Pappo di Alessandria
Pappo di Alessandria, nato intorno al 290 d.C., e l’ultimafigura significativa della matematica greca
GeometriaProiettiva:
i teoremi di Pappoe Desargues
in una prospettivastorica
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Introduzionestorica
La matematica greca
Il XVII Secolo
Il XIX Secolo
I teoremi di Pappoe Desargues
La versione affine
La versione proiettiva
Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
La matematica greca (600 a.C. - 600 d.C.)
L’“Eta aurea” della matematica greca (300 - 200 a.C.):Euclide, Archimede e Apollonio
L’“Eta argentea” della matematica greca (250 - 350 d.C.):Diofanto e Pappo di Alessandria
Pappo di Alessandria, nato intorno al 290 d.C., e l’ultimafigura significativa della matematica greca
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La versione affine
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La matematica greca (600 a.C. - 600 d.C.)
L’“Eta aurea” della matematica greca (300 - 200 a.C.):Euclide, Archimede e Apollonio
L’“Eta argentea” della matematica greca (250 - 350 d.C.):Diofanto e Pappo di Alessandria
Pappo di Alessandria, nato intorno al 290 d.C., e l’ultimafigura significativa della matematica greca
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La matematica greca (600 a.C. - 600 d.C.)
L’“Eta aurea” della matematica greca (300 - 200 a.C.):Euclide, Archimede e Apollonio
L’“Eta argentea” della matematica greca (250 - 350 d.C.):Diofanto e Pappo di Alessandria
Pappo di Alessandria, nato intorno al 290 d.C., e l’ultimafigura significativa della matematica greca
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Il XVII Secolo
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I teoremi di Pappoe Desargues
La versione affine
La versione proiettiva
Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
Pappo di Alessandria (tra il 200 e il 300 d.C.)
Collezioni di Matematica(320 d.C.)
Il teorema di Pappo anticipola geometria proiettiva evenne ripreso da Desarguesdopo circa un millennio
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I teoremi di Pappoe Desargues
La versione affine
La versione proiettiva
Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
Pappo di Alessandria (tra il 200 e il 300 d.C.)
Collezioni di Matematica(320 d.C.)
Il teorema di Pappo anticipola geometria proiettiva evenne ripreso da Desarguesdopo circa un millennio
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I teoremi di Pappoe Desargues
La versione affine
La versione proiettiva
Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
L’avvento del Cristianesimo rese difficile l’espansione dellamatematica: vennero proscrisse le religioni pagane e distruttii templi greci
La feroce morte di Ipatia di Alessandria nel 415 d.C., che sirifiuto di abbandonare la religione greca, segna la fine dellamatematica greca
Nel 529 d.C.: vennero chiuse tutte le scuole filosofiche permano dell’Imperatore Giustiniano
Nel 640 d.C.: conquista dell’Egitto per mano dei musulmani
Si conclude cosı la matematica greca, ma i frutti di taleperiodo giunsero in Europa, aspettando pero piu di unmillennio per la loro maturazione.
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L’avvento del Cristianesimo rese difficile l’espansione dellamatematica: vennero proscrisse le religioni pagane e distruttii templi greci
La feroce morte di Ipatia di Alessandria nel 415 d.C., che sirifiuto di abbandonare la religione greca, segna la fine dellamatematica greca
Nel 529 d.C.: vennero chiuse tutte le scuole filosofiche permano dell’Imperatore Giustiniano
Nel 640 d.C.: conquista dell’Egitto per mano dei musulmani
Si conclude cosı la matematica greca, ma i frutti di taleperiodo giunsero in Europa, aspettando pero piu di unmillennio per la loro maturazione.
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L’avvento del Cristianesimo rese difficile l’espansione dellamatematica: vennero proscrisse le religioni pagane e distruttii templi greci
La feroce morte di Ipatia di Alessandria nel 415 d.C., che sirifiuto di abbandonare la religione greca, segna la fine dellamatematica greca
Nel 529 d.C.: vennero chiuse tutte le scuole filosofiche permano dell’Imperatore Giustiniano
Nel 640 d.C.: conquista dell’Egitto per mano dei musulmani
Si conclude cosı la matematica greca, ma i frutti di taleperiodo giunsero in Europa, aspettando pero piu di unmillennio per la loro maturazione.
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L’avvento del Cristianesimo rese difficile l’espansione dellamatematica: vennero proscrisse le religioni pagane e distruttii templi greci
La feroce morte di Ipatia di Alessandria nel 415 d.C., che sirifiuto di abbandonare la religione greca, segna la fine dellamatematica greca
Nel 529 d.C.: vennero chiuse tutte le scuole filosofiche permano dell’Imperatore Giustiniano
Nel 640 d.C.: conquista dell’Egitto per mano dei musulmani
Si conclude cosı la matematica greca, ma i frutti di taleperiodo giunsero in Europa, aspettando pero piu di unmillennio per la loro maturazione.
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L’avvento del Cristianesimo rese difficile l’espansione dellamatematica: vennero proscrisse le religioni pagane e distruttii templi greci
La feroce morte di Ipatia di Alessandria nel 415 d.C., che sirifiuto di abbandonare la religione greca, segna la fine dellamatematica greca
Nel 529 d.C.: vennero chiuse tutte le scuole filosofiche permano dell’Imperatore Giustiniano
Nel 640 d.C.: conquista dell’Egitto per mano dei musulmani
Si conclude cosı la matematica greca, ma i frutti di taleperiodo giunsero in Europa, aspettando pero piu di unmillennio per la loro maturazione.
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Il XVII Secolo
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I teoremi di Pappoe Desargues
La versione affine
La versione proiettiva
Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
Il XVII Secolo
La Francia fu il centro dell’attivita matematica:
Enorme contributo alla geometria analitica e al calcoloinfinitesimale da parte di Descartes e Fermat
Ripresa delle opere greche, in particolare le Coniques diApollonio (200 a.C.)
Il problema della prospettiva e le ricerche geometricheincidentali degli artisti rinascimentali trovano rispostaattraverso lo studio rigoroso delle proiezioni e dellesezioni
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Il XVII Secolo
La Francia fu il centro dell’attivita matematica:
Enorme contributo alla geometria analitica e al calcoloinfinitesimale da parte di Descartes e Fermat
Ripresa delle opere greche, in particolare le Coniques diApollonio (200 a.C.)
Il problema della prospettiva e le ricerche geometricheincidentali degli artisti rinascimentali trovano rispostaattraverso lo studio rigoroso delle proiezioni e dellesezioni
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Il XVII Secolo
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Enorme contributo alla geometria analitica e al calcoloinfinitesimale da parte di Descartes e Fermat
Ripresa delle opere greche, in particolare le Coniques diApollonio (200 a.C.)
Il problema della prospettiva e le ricerche geometricheincidentali degli artisti rinascimentali trovano rispostaattraverso lo studio rigoroso delle proiezioni e dellesezioni
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Il XVII Secolo
La Francia fu il centro dell’attivita matematica:
Enorme contributo alla geometria analitica e al calcoloinfinitesimale da parte di Descartes e Fermat
Ripresa delle opere greche, in particolare le Coniques diApollonio (200 a.C.)
Il problema della prospettiva e le ricerche geometricheincidentali degli artisti rinascimentali trovano rispostaattraverso lo studio rigoroso delle proiezioni e dellesezioni
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Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
Girard Desargues (1561-1661)
Architetto e ingegneremilitare, piu interessatoalle attivita pratiche madotato di una grandeimmaginazione teorica.
Insieme a Keplero riconobbe che due rette parallele siincontrano in un “punto all’infinito”Il teorema di Desargues fu pubblicato per la prima volta del1648 da Abraham Bosse, ed e considerato uno deifondamenti della geometria proiettiva.
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Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
Girard Desargues (1561-1661)
Architetto e ingegneremilitare, piu interessatoalle attivita pratiche madotato di una grandeimmaginazione teorica.
Insieme a Keplero riconobbe che due rette parallele siincontrano in un “punto all’infinito”Il teorema di Desargues fu pubblicato per la prima volta del1648 da Abraham Bosse, ed e considerato uno deifondamenti della geometria proiettiva.
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Girard Desargues (1561-1661)
Architetto e ingegneremilitare, piu interessatoalle attivita pratiche madotato di una grandeimmaginazione teorica.
Insieme a Keplero riconobbe che due rette parallele siincontrano in un “punto all’infinito”Il teorema di Desargues fu pubblicato per la prima volta del1648 da Abraham Bosse, ed e considerato uno deifondamenti della geometria proiettiva.
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I teoremi di Pappoe Desargues
La versione affine
La versione proiettiva
Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
Blaise Pascal (1623-1662)
All’eta di soli dodicianni inizio la suaattivita di ricerca inmatematica.Pascal divenne l’allievodi Desargues, e dedicogran parte dei suoi primistudi alla geometriaproiettiva
Nel 1639, all’eta di sedici anni, scrisse Essai pour lesconiques utilizzando i metodi della geometria proiettiva: essocontiene il teorema di Pascal.
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Blaise Pascal (1623-1662)
All’eta di soli dodicianni inizio la suaattivita di ricerca inmatematica.Pascal divenne l’allievodi Desargues, e dedicogran parte dei suoi primistudi alla geometriaproiettiva
Nel 1639, all’eta di sedici anni, scrisse Essai pour lesconiques utilizzando i metodi della geometria proiettiva: essocontiene il teorema di Pascal.
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La versione affine
La versione proiettiva
Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
Blaise Pascal (1623-1662)
All’eta di soli dodicianni inizio la suaattivita di ricerca inmatematica.Pascal divenne l’allievodi Desargues, e dedicogran parte dei suoi primistudi alla geometriaproiettiva
Nel 1639, all’eta di sedici anni, scrisse Essai pour lesconiques utilizzando i metodi della geometria proiettiva: essocontiene il teorema di Pascal.
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Il XIX Secolo
I teoremi di Pappoe Desargues
La versione affine
La versione proiettiva
Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
Jean-Victor Poncelet (1788-1867)
Fu il fondatore effettivodella geometriaproiettiva.Riconobbe i vantaggiche essa aveva nella suageneralita.
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Jean-Victor Poncelet (1788-1867)
Fu il fondatore effettivodella geometriaproiettiva.Riconobbe i vantaggiche essa aveva nella suageneralita.
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I teoremi di Pappoe Desargues
La versione affine
La versione proiettiva
Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
Principio di continuita
Le proprieta metriche scoperte in rapporto a una figuraoriginaria rimangono applicabili, senza altre modificazioniche quelle del cambiamento di segno, a tutte le figurecorrelative che si possono considerare originate dalla prima.
Poncelet fu il primo a introdurre il termine dualita perdenotare la relazione che intercorre tra un teorema el’enunciato da esso ottenuto per “dualita”, cioe sostituendola parola “punto” con “retta” e viceversa.
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I teoremi di Pappoe Desargues
La versione affine
La versione proiettiva
Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
Principio di continuita
Le proprieta metriche scoperte in rapporto a una figuraoriginaria rimangono applicabili, senza altre modificazioniche quelle del cambiamento di segno, a tutte le figurecorrelative che si possono considerare originate dalla prima.
Poncelet fu il primo a introdurre il termine dualita perdenotare la relazione che intercorre tra un teorema el’enunciato da esso ottenuto per “dualita”, cioe sostituendola parola “punto” con “retta” e viceversa.
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I teoremi di Pappoe Desargues
La versione affine
La versione proiettiva
Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
Teorema (Pappo)
Siano H, H ′ due rette distinte, del piano affine A2. SianoP, Q, R ∈ H e P ′, Q ′, R ′ ∈ H ′ punti distinti, nessuno deiquali comune ad H e ad H ′. Se PQ ′ ||P ′Q e QR ′ ||Q ′Rallora PR ′ ||P ′R.
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Definizioneassiomatica dellageometria proiettiva
Teorema (Desargues)
Siano A, B, C , A′, B ′, C ′ ∈ A2 punti a tre a tre non allineati,tali che AB ||A′B ′, BC ||B ′C ′, AC ||A′C ′. Allora le tre retteAA′, BB ′ e CC ′ sono parallele oppure hanno un punto incomune.
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Teorema (Pappo)
Siano P(V) un piano proiettivo, r ed r ′ due rette distinte diP(V), e P, Q, R, P ′, Q ′, R ′ sei punti distinti tali cheP, Q, R ∈ r \ (r ∩ r ′), P ′, Q ′, R ′ ∈ r ′ \ (r ∩ r ′).Allora i tre punti
L(P, Q ′)∩L(P ′, Q), L(Q, R ′)∩L(Q ′, R), L(P, R ′)∩L(P ′, R)
sono allineati.La retta che li contiene e detta retta di Pascal.
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Teorema (Pappo)
Siano due triplette dipunti appartenenti adue rette differenti, i trepunti che si ottengonodalle intersezioni dialcune coppie di rettesono allineati
DualePrese due triplette dirette concorrenti, lerette definite dallecoppie di punti che siottengono da alcuneloro intersezioni,concorrono
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Teorema (Desargues)
Sia P(V) un piano proiettivo e siano P1, P2, P3, P4, P5, P6 ∈ P(V)punti distinti tali che le tre rette L(P1, P4), L(P2, P5), L(P3, P6)abbiano in comune un punto P0 diverso da P1, ..., P6.Allora i punti
L(P1, P3)∩L(P4, P6), L(P2, P3)∩L(P5, P6), L(P1, P2)∩L(P4, P5)
sono allineati.
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Teorema (Desargues)
Se due triangoli sono inprospettiva rispetto aun punto, e se iprolungamenti dei laticorrispondenti siintersecano, allora i trepunti di intersezionesono allineati
DualeSe due triangoli sono inprospettiva rispetto aduna retta e se ciascunacoppia di verticicorrispondenti sonouniti da rette che siintersecano, allora itriangoli sono inprospettiva rispetto alpunto di intersezionedelle tre rette
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Teorema (Pascal)
Le tre coppie di lati opposti di un esagono semplice inscrittoin una conica si incontrano in tre punti allineati.
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Definizione assiomatica della geometria proiettiva
Assiomi della geometria proiettiva piana:
1 Due punti distinti appartengono a una sola linea.
2 Qualsiasi coppia di linee e incidente ed ha almeno unpunto in comune.
3 Tra quattro punti ne esistono tre che non sono allineati.
4 Tre punti diagonali di una quadrangolo completo nonsono mai allineati.
5 Se due triangoli sono in prospettiva rispetto a un puntoallora sono in prospettiva rispetto a una linea (teoremadi Desargues).
6 Se una proiettivita lascia invariati tre punti distinti diuna linea, essa lascia invariato ogni punto della linea.
