Lavoro redatto dalla Prof.ssa Fabbri Francesca 1

Principali TEOREMI di ANALISI MATEMATICA (classe 5^Liceo Scientifico)

TEOREMA di UNICITÀ del LIMITE HP) Se per 0x x→ la funzione f ha limite l. TH) Allora tale limite è unico. TEOREMA della PERMANENZA del SEGNO HP) Se ( )

0

limx x

f x l→

= , con 0l ≠ . Sia 0l >

TH) Allora esiste un intorno di 0x , 0xI tale che: ( )

00 xf x x I> ∀ ∈ , 0x x≠ .

Analogamente: HP) Se ( )

0

limx x

f x l→

= , con 0l ≠ . Sia 0l <

TH) Allora esiste un intorno di 0x , 0xI tale che: ( )

00 xf x x I< ∀ ∈ , 0x x≠ .

TEOREMA del CONFRONTO (Teorema dei “due carabinieri”) HP) Siano ( ) ( ) ( ), ,h x f x g x tre funzioni tutte definite in un insieme

D⊆ ° , escluso al più 0x .

Se vale: ( ) ( ) ( ) { }0,h x f x g x x D x≤ ≤ ∀ ∈ − e inoltre

( ) ( )0 0

lim limx x x x

h x g x l→ →

= =

TH) Allora anche ( )0

limx x

f x l→

= . Applicazione importante: 1° limite notevole…

TEOREMA di WEIERSTRASS HP) Sia f una funzione continua in [ ];a b (intervallo chiuso e limitato). TH) Allora essa assume, in tale intervallo, il massimo e il minimo assoluto.

In simboli: ( ) [ ], ;m f x M x a b≤ ≤ ∀ ∈

TEOREMA dei VALORI INTERMEDI HP) Sia f una funzione continua in [ ];a b . TH) Allora f assume, almeno una volta, tutti i valori compresi tra il suo massimo e il suo minimo. In simboli: [ ] [ ] ( ); cioè , ; :v m M m v M x a b f x v∀ ∈ ≤ ≤ ∃ ∈ = .

TEOREMA di ESISTENZA degli ZERI HP) Sia f una funzione continua in [ ];a b e ( ) ( ) 0f a f b⋅ < (cioè

assume valore di segno opposto agli estremi dell’intervallo)

TH) Allora esiste almeno un punto c in ] [;a b , in cui f si annulla. (cioè c è un punto interno all’intervallo) In simboli: ] [ ( ); : 0c a b f c∃ ∈ = .

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TEOREMA di CONTINUITÀ/DERIVABILITÀ (con dimostrazione pag. 1627)

HP) Sia f una funzione derivabile in 0x In simboli: ( ) ( ) ( )0 0

00 ed è finito lim

h

f x h f xf x

h→

+ −′∃ =

TH) Allora f è continua in 0x ( ) ( )0

0limx x

f x f x→

⇒ = ossia ( ) ( )0 00limhf x h f x

→+ =

Il teorema afferma che la continuità è una C.N. ma non S. per la derivabilità; la derivabilità è una C.S. ma non N. per la continuità. TEOREMA della DERIVATA della FUNZIONE INVERSA HP) Sia ( )y f x= una funzione derivabile ed invertibile nell’intervallo I e sia ( )1x f y−= la sua funzione

inversa. Se vale anche ( ) 0,f x x I′ ≠ ∀ ∈

TH) Allora anche ( )1x f y−= è derivabile e vale la relazione ( ) ( )1

00

1D f yD f x

−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎣ ⎦ dove ( )0 0y f x=

TEOREMA di ROLLE Con interpretazione geometrica HP) Sia f una funzione continua in [ ];a b e derivabile in ] [;a b e

( ) ( )f a f b=

TH) Allora esiste almeno un punto c in ] [;a b , in cui f’ si annulla.

In simboli: ] [ ( ); : 0c a b f c′∃ ∈ = TEOREMA di LAGRANGE (o teorema del valor medio) Con interpretazione geometrica HP) Sia f una funzione continua in [ ];a b e derivabile in ] [;a b

TH) Allora esiste almeno un punto c in ] [;a b , in cui ( ) ( ) ( )f b f af c

b a−

′ =−

In simboli: ] [ ( ) ( ) ( ); :

f b f ac a b f c

b a−

′∃ ∈ =−

1° COROLLARIO al TEOREMA di LAGRANGE HP) Sia f una funzione continua in [ ];a b e derivabile in ] [;a b e

( ) ] [0 ;f x x a b′ = ∀ ∈

TH) Allora ( )f x è costante per ogni [ ];x a b∈ ossia ( ) [ ], ; ,f x k x a b k= ∀ ∈ ∈° 2° COROLLARIO al TEOREMA di LAGRANGE HP) Siano f e g due funzioni continue in [ ];a b e derivabili in ] [;a b e ( ) ( ) ] [;f x g x x a b′ ′= ∀ ∈

TH) Allora ( )f x e ( )g x differiscono per una costante ossia ( ) ( ) [ ], ; ,f x g x k x a b k= + ∀ ∈ ∈° 3° COROLLARIO al TEOREMA di LAGRANGE (crescenza e decrescenza di una funzione)

HP) Sia f una funzione continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I (cioè in 0I )

TH) Allora si ha che:

• se ( )0

0f x x I′ > ∀ ∈ allora ( )f x è crescente in I

• se ( )0

0f x x I′ < ∀ ∈ allora ( )f x è decrescente in I

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TEOREMA “INVERSO” del precedente

HP) Sia f una funzione continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I (cioè in 0I )

TH) Allora si ha che:

• se ( )f x è crescente in I allora ( )0

0f x x I′ ≥ ∀ ∈

• se ( )f x è decrescente in I allora ( )0

0f x x I′ ≤ ∀ ∈ TEOREMA DI FERMAT HP) Sia f una funzione definita in [ ];a b e derivabile in ] [;a b e sia

] [0 ;x a b∈ ascissa di un punto di massimo (o di minimo) relativo

(cioè 0x è un punto di max o di min relativo, interno all’intervallo [ ];a b )

TH) Allora ( )0 0f x′ = N.B. Questo teorema fornisce una C.N. ma non S. per l’esistenza di un max o un min relativoin un punto interno ad un intervallo. Questo teorema infatti non è invertibile: osserva cosa accade nel punto (2;2) in figura. Qui la derivata prima in x=2 è zero, ma non c’è né max né min relativo, bensì c’è un punto di flesso a tangente orizzontale CRITERIO di DERIVABILITÀ HP) Sia f una funzione continua in [ ];a b e derivabile in ] [;a b tranne al più in x0 . Se esiste ( )

0

limx x

f x+→

′ (finito

o infinito) TH) Allora esiste anche ( )0f x+′ e sono uguali: ( ) ( )

00 lim

x xf x f x

++→

′ ′=

Analogamente: HP) Sia f una funzione continua in [ ];a b e derivabile in ] [;a b tranne al più in 0x . Se esiste ( )

0

limx x

f x−→

′ (finito

o infinito) TH) Allora esiste anche ( )0f x−′ e sono uguali: ( ) ( )

00 lim

x xf x f x

−−→

′ ′=

Questo è il teorema utilizzato per lo studio dei punti di non derivabilità (senza dover usare il limite del rapporto incrementale): punti angolosi punti di flesso a tangente verticale punti di cuspide

Esempi: y = x −1 + 2 y = x −13 + 2 y = x −1( )23 + 2

TEOREMA DI CAUCHY (propedeutico al Teorema di De l’Hopital) HP) Siano f e g due funzioni continue in [ ];a b e derivabili in ] [;a b ed inoltre ′g x( ) ≠ 0,∀x ∈ a;b] [ .

TH) Allora esiste almeno un punto c∈ a;b] [ tale che f b( )− f a( )g b( )− g a( ) =

′f c( )′g c( )

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TEOREMA DI DE L’HOSPITAL HP)

1) Siano f e g due funzioni definite e derivabili in un intorno Ix0, escluso al più 0x , con

2) ( ) { }0 00 xg x x I x′ ≠ ∀ ∈ − , con

3) ( ) ( ) ( )0 0

lim lim 0 oppure x x x x

f x g x→ →

= = = ±∞ ed inoltre

4) esiste (finito o infinito) ( )( )0

limx x

f xl

g x→

′=

′

TH) Allora esiste anche ( )( )0

limx x

f xg x→

ed è uguale ad l, ossia ( )( )

( )( )0 0

lim limx x x x

f x f xl

g x g x→ →

′= =

′

TEOREMA di CONTINUITÀ/INTEGRABILITÀ HP) Sia f una funzione continua in [ ];a b

TH) Allora f è integrabile in [ ];a b Quindi: f è derivabile ⇒ f è continua ⇒ f è integrabile TEOREMA introduttivo all’integrale definito HP) Se una funzione f è continua e positiva (o nulla) in [ ];a b

TH) Allora i limiti per n→ +∞ delle successioni e n ns S (successione delle aree dei plurirettangoli inscritti e circoscritti

rispettivamente) esistono finiti e sono uguali fra loro: lim limn nn ns S

→+∞ →+∞=

Il valore comune di tale limite viene indicato con la scrittura ( )b

af x dx∫

TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE HP) Sia f una funzione continua in [ ];a b

TH) Allora [ ] ( ) ( ) ( ); tale che b

az a b f z b a f x dx∃ ∈ ⋅ − = ∫ .

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE (di Torricelli Barrow) HP) Sia f una funzione continua in [ ];a b

TH) Allora ( ) ( )x

aF x f t dt= ∫ è derivabile in [ ];a b e vale ( ) ( )F x f x′ = , [ ];x a b∀ ∈ .

Conseguenza importante: Formula di Newton Leibniz: ( ) ( ) ( ) ( )b x b

x aaf x dx F b F a F x

=

=⎡ ⎤= − = ⎣ ⎦∫