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Algebra dei limiti

Teorema. Se limx→x0

f (x) = l ∈ R e limx→x0

g(x) = m ∈ R, allora,

quando l’espressione a secondo membro e definita (non si hannoforme indeterminate), si ha

limx→x0

(f (x) + g(x)) = limx→x0

f (x) + limx→x0

g(x) = l + m

limx→x0

(f (x) − g(x)) = limx→x0

f (x) − limx→x0

g(x) = l − m

limx→x0

(f (x) · g(x)) = ( limx→x0

f (x)) · ( limx→x0

g(x)) = l · m

limx→x0

f (x)

g(x)=

limx→x0

f (x)

limx→x0

g(x)=

l

m(g(x) 6= 0, ∀x ∈ I (x0) \ {x0})

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Teoremi sui limiti

Quando non espressamente detto, intendiamo che:

f : R → R

x0 ∈ R e punto di accumulazione per domf .

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Teorema di permanenza del segno

Supponiamo che esista limx→x0

f (x) = ` ∈ R. Se ` > 0, allora esiste

un intorno I (x0) del punto x0, tale che f (x) > 0 per ognix ∈ I (x0) \ {x0}.(Dimostrazione: appunti della lezione o libro pag. 93)


Primo Teorema del confronto

Supponiamo che f ammetta limite ` ∈ R per x → x0 e la funzioneg ammetta limite m ∈ R per x → x0. Se esiste un intorno I (x0) dix0 tale che f (x) ≤ g(x) per ogni x ∈ I (x0) \ {x0}, allora ` ≤ m.(Dimostrazione: appunti della lezione o libro pag. 94)


Secondo Teorema del confrontoSiano date tre funzioni: f , g e h e supponiamo che esistano esiano uguali i limiti

limx→x0

f (x) = limx→x0

h(x) = `.

Se esiste un intorno I (x0) in cui siano definite le tre funzioni,tranne al piu nel punto x0, tale che

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ I (x0) \ {x0},allora si ha lim

x→x0

g(x) = `.

(Dimostrazione: appunti della lezione o libro pag. 95)PSfrag replacements

x

y

f (x)

g(x)

h(x)

x0

l


Funzioni limitate

Def. Una funzione f e limitata in un intorno I (x0) del punto x0 seesiste una costante C > 0 tale che|f (x)| ≤ C , ∀x ∈ I (x0) \ {x0}.

PSfrag replacements

x0 = 0

x0 = 3 x

y

I (x0)

PSfrag replacements

x0 = 0

x0 = 3

x

y

I (x0)

f limitata in I (3) ma non limitata in I (0)


Corollario al II thm del confronto

Sia f una funzione limitata in un intorno di x0 e sia g una funzionetale che lim

x→x0

g(x) = 0.

Allora limx→x0

(f (x)g(x)) = 0.

(Dimostrazione: appunti o libro a pag. 97).

Es. limx→+∞

sin(x)

x.

f (x) = sin(x) e limitata: | sin(x)| ≤ 1 e g(x) =1

xe tale che

limx→+∞

g(x) = 0. Allora limx→+∞

sin(x)

x= 0.


Corollario al II thm del confronto per successioni

Sia an una successione limitata e sia bn una successioneinfintesima. Allora la successione an · bn e infinitesima.

Es. limn→∞

sin(n)

n= 0 poiche an = sin(n) e limitata e bn = 1

ne

inifinitesima.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PSfrag replacements

n

an


Limite fondamentale limx→0

sin(x)

x= 1

Dim.

O

PSfrag replacements

x

x

x

y

A

T

P1

H

0

Lavoro con x ≥ 0, osservo che f (x) =sin(x)

xe pari.

Se l’angolo POA = x allora l’arco_AP e

lungo x , e A(_

OPA) =x

2.

Infatti_AP : 2πr = x : 2π, ⇒

_AP= x · r = x ;

A(_

OPA) : πr 2 = x : 2π, ⇒A(_

OPA) =x

2

A(4

POA) =PH · OA

2=

sin(x)

2, A(

4

TOA) =TA · OA

2=

tan(x)

2e

A(4

POA) ≤ A(_

OPA) ≤ A(4

TOA) ovverosin(x)

2≤ x

2≤ tan(x)

2.


Moltiplicandosin(x)

2≤ x

2≤ tan(x)

2per

2

sin(x)si ha

1 ≤ x

sin(x)≤ 1

cos(x)

e invertendo il tutto:

cos(x) ≤ sin(x)

x≤ 1.

Per il secondo teorema del confronto, facendo tendere x a 0:

limx→0

cos(x) = 1, limx→0

1 = 1 e quindi limx→0

sin(x)

x= 1. �


Funzione continua in un punto

Ricordiamo la definizione di limite limx→x0

f (x) = ` ∈ R (x0 e di

accumulazione per domf ):

∀Iε(`), ∃Iδ(x0) : ∀x ∈ domf ∩ Iδ(x0) \ {x0} ⇒ f (x) ∈ Iε(`).

(∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ domf : 0 < |x − x0| < δ ⇒|f (x) − `| < ε).

Def. Sia x0 ∈ domf . La funzione f si dice continua in x0 se

∀Iε(f (x0)), ∃Iδ(x0) : ∀x ∈ domf ∩ Iδ(x0) ⇒ f (x) ∈ Iε(f (x0)).

(∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ domf : |x − x0| < δ ⇒|f (x) − f (x0)| < ε).

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Funzione continua

Quindi f (x) e continua in x0 se

∃ limx→x0

f (x) = ` e ` = f (x0)

(esiste il limite di f per x tendente a x0 e questo limite coincidecon il valore della funzione f in x0)o, equivalentemente, se

∃ limx→x−

0

f (x) = `, ∃ limx→x+

0

f (x) = ` e ` = f (x0)

(esistono il limite sinistro e destro di f per x → x0, questi sonouguali e coincidono con il valore della funzione f in x0)


EsempiPSfrag replacements

f (x)

g(x)h(x)

x x

y y

1

1 1

f (x) = 3x3 + 1, g(x) =

{

x se x 6= 01 se x = 0

limx→0

f (x) = 1 e f (0) = 1 ⇒ f (x) e continua in x0 = 0.

limx→0

g(x) = 0 mentre g(0) = 1 ⇒ g(x) NON e continua in

x0 = 0.


Def. Una funzione f definita in un intorno di x0 ∈ R e continua dasinistra (risp. continua da destra) in x0 se

limx→x−

0

f (x) = f (x0) (risp. limx→x+

0

f (x) = f (x0)).

PSfrag replacementsf (x)

g(x)

x x

y y

1 1

f (x) =

�x x ≤ 0x + 1 x > 0

g(x) =

�x x < 0−x + 1 x ≥ 0

limx→0−

f (x) = 0 = f (0) 6= limx→0+

f (x) = 1 limx→0−

g(x) = 0 6= g(0) = limx→0+

g(x) = 1

Quindi: una funzione f definita in un intorno di x0 e continua inx0 se e solo se e continua da destra e da sinistra in x0.


Funzioni discontinue

Def. Una funzione che non e continua in x0 si dice DISCONTINUAin x0.


Teorema di sostituzione

Supponiamo che esista limx→x0

f (x) = ` ∈ R.

Sia g una funzione definita in un intorno di ` (tranne al piu nelpunto `) tale che:1) se ` ∈ R, allora g sia continua in `,2) se ` = +∞ o ` = −∞, allora esista lim

y→`g(y).

Allora esiste limx→x0

(g ◦ f )(x) e si ha

limx→x0

g(f (x)) = limy→`

g(y).

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Es. limx→+∞

e1−x2

x .

f (x) = 1−x2

xe lim

x→+∞

1 − x2

x= −∞(= l).

g(y) = ey e limy→−∞

ey = 0. Allora limx→+∞

e1−x2

x = limy→−∞

ey = 0.

Es. limx→0+

(x · log x) = 0 · ∞.

y = f (x) = 1x. Se x → 0+, allora y → +∞.

Riscrivo il limite in funzione di y : se y = 1/x , allora x = 1/y e siha:

limx→0+

(x · log x) = limy→+∞

(

1

y· log(y−1)

)

= − limy→+∞

(

1

y· log y

)

= − limy→+∞

(

log y

y

)

= 0


Es. limn→∞

n sin(1/n)

Poniamo x =1

n. Se n → +∞, allora x → 0+ e:

limn→∞

n sin(1/n) = limn→∞

sin(1/n)

1/n= lim

x→0

sin(x)

x= 1

Sempre partendo dal limite fondamentale limx→0

sin(x)

x= 1 e

applicando il teorema di sostituzione si puo dimostrare che

limx→0

1 − cos x

x2=

1

2


Applicazione del thm di sostituzione

Si vuole calcolare limx→x0

f (x)g(x).

Si utilizza l’identita

(f (x))g(x) = elog(f (x))g(x)

= eg(x)·log f (x)

Quindi: limx→x0

f (x)g(x) = limx→x0

exp(g(x) · log f (x)) =

exp

(

limx→x0

(g(x) · log f (x))

)

.

Es. Calcolare limx→0+

xx =

limx→0+

xx = limx→0+

exp (x · log x) = exp

(

limx→0+

(x · log x)

)

= e0 = 1.

Si ricorda che limx→0+

(x · log x) = 0


Partendo da limx→+∞

(

1 +1

x

)x

= e

e applicando il Teorema di sostituzione si puo dimostrare che:

limx→0

log(1 + x)

x= 1

limx→0

ex − 1

x= 1

limx→0

(1 + x)1/x = e

.... pag. 108-109


Analogamente per le successioni:

(an)bn = e

log(an)bn

= ebn·log an

Notazione: exp(n) = en

n1/n2= exp

(

log n1/n2)

= exp

(

1

n2log n

)

= exp

(

log n

n2

)

Quindi

limn→∞

n1/n2= lim

n→∞exp

(

log n

n2

)

= exp

(

limn→∞

log n

n2

)

= e0 = 1


Esercizilim

n→∞

n√

n =

limn→∞

n√

2n + 3n =

limn→∞

7n2 + n

n + sin(n!)· nn · n!

(n + 2)n · (n + 1)!=

limn→∞

nn+1 + 7n!

(n + 2)n · (7n + sin(n))=

limn→∞

n1/n2 − 1

2n2 · log(n + 7)=


Riferimenti bibliografici: Canuto-Tabacco: pagg. 74-79, pagg.83-85.Sezioni 4.1.1, 4.1.2, pagg. 91-97.Canuto-Tabacco: Sezioni 4.1, 4.2 pagg. 91-111.Esercizi: pag. 118-120


Funzione elevamento a potenza

y = xα con x ∈ R e α ∈ R.

Distinguiamo vari casi:α = 0 ⇒ y = x0 = 1 funzione costante.

domf = R. imf = {1}.

α = n ∈ N+ ⇒ y = xn.domf = R.Se n e pari, imf = R+ ∪ {0}Se n e dispari, imf = R

−4 −2 0 2 4−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

ynPSfrag replacements

y = x2

y = x3

xy = xn

c©Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Potenza con esponente reale cap4.pdf 24

α =n

m∈ Q \ {0}, con n, m ∈ N+ primi fra loro,

⇒ y = xn/m = m√

xn.

−4 −2 0 2 4

−5

0

5

10

yn

PSfrag replacements

y = x3/2

y = x5/3y = x4/3

xy = xn

n m Esempio domf imf

dispari pari y = x3/2 R+ ∪ {0} R+ ∪ {0}dispari dispari y = x5/3 R R

pari dispari y = x4/3 R R+ ∪ {0}


α > 0 irrazionale (α ∈ R+ \ Q).

domf = R+ ∪ {0} e imf = R+ ∪ {0}

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

yn

PSfrag replacements

y = x√

3

y = x1/√

3

y = x1/√

2

y = x√

2

xy = xn

Se α ≥ 1, definisco y = xα := sup{xn/m : nm

≤ α}Se 0 ≤ α < 1, definisco y = xα := inf{xn/m : n

m≥ α}


Dominio di f (x) = (h(x))g(x)

Consideriamo h : R → R e g : R → R.A priori l’esponente g(x) puo assumere un valore reale positivonullo o negativo.Quindi la funzione f (x) e ben definita se la base h(x) e t.c.h(x) ≥ 0 e se g(x) e definita, ovvero

domf = {x ∈ R : h(x) ≥ 0}∩ dom g

Es. Determinare il dominio di f (x) =

(

1 +1

x

)x

.

domf =

{

x ∈ R : 1 +1

x≥ 0

}

∩ R =

= (−∞,−1] ∪ (0,+∞)


Funzione continua su un intervallo

Def. Sia I un insieme contenuto in domf . La funzione f si dicecontinua su I se e continua in ogni punto di I .

Proposizione. Tutte le funzioni elementari (polinomi, funzionirazionali, funzioni elevamento a potenza, funzioni trigonometriche,funzioni esponenziali e loro funzioni inverse) sono continue in tuttoil loro dominio.

Corollario al Thm dell’algebra dei limiti.Siano f e g due funzioni continue in x0 ∈ R. Allora sono continue

in x0 anche le funzioni f (x) ± g(x), f (x) · g(x) ef (x)

g(x)(quest’ultima a patto che g(x0) 6= 0.)

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Corollario al Teorema di sostituzione

Sia f una funzione definita e continua in un intorno di x0 e siay0 = f (x0).Sia poi g una funzione definita e continua in un intorno di y0,allora anche g ◦ f e continua in x0.

Dim.Dobbiamo dimostrare che lim

x→x0

(g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(x0)

Se f e continua in x0 si ha limx→x0

f (x) = ` = f (x0) = y0.

Inoltre y = f (x).Quindi: lim

x→x0

(g ◦ f )(x) = limx→x0

g(f (x)) = limy→`

g(y ) = limy→y0

g(y) =

g(y0) = g(f (x0)) = (g ◦ f )(x0). �

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Punti di discontinuita

Un punto di discontinuita per f e un punto in cui f non e continua.Classificazione:

Punto di discontinuita eliminabile

Punto di salto

Punto di infinito

Punto di discontinuita di seconda specie.

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Punto di discontinuita eliminabile

Def. Sia f una funzione definita in un intorno di x0. Se esiste finitolim

x→x0

f (x) = ` ∈ R e, f (x0) 6= ` diciamo che x0 e punto di

discontinuita eliminabile per f .

Es.

f (x) =

{

x se x 6= −11.5 se x = −1

Il punto in questione e x0 = −1,


x

y

1.5

−1

limx→−1

f (x) = −1, f (−1) = 1.5 6= −1


Es.

f (x) =

sin(x)

xse x 6= 0

0 se x = 0

dom f = R, x0 = 0, f (0) = 0,mentre lim

x→0f (x) = 1.

PSfrag replacements f (x)

x

y1

Perche ”eliminabile”? Perche partendo da f (x), si costruisce unanuova funzione f :

f (x) =

{

f (x) se x 6= x0

limx→x0

f (x) = ` se x = x0.f (x) =

sin(x)

xse x 6= 0

1 se x = 0.

Ne segue che f e continua in x0 perche

limx→x0

f (x) = limx→x0

f (x) = ` e f (x0) = `.


Punto di discontinuita di tipo salto

Def. Sia f una funzione definita in un intorno di x0. Se esistonofiniti lim

x→x−0

f (x) = `1 ∈ R e limx→x+

0

f (x) = `2 ∈ R, con `1 6= `2,

diciamo che x0 e punto di discontinuita di salto per f e sidefinisce salto di f in x0 il valore [f ]x0 = lim

x→x+0

f (x) − limx→x−

0

f (x).

Es.

f (x) =

{

x se x ≤ 0x + 1 se x > 0

x0 = 0, f e definita in I (x0) incluso x0.


x

y

1

limx→0−

f (x) = 0, limx→0+

f (x) = 1, [f ]0 = 1 − 0 = 1.


Punto di infinito

Def. Sia f una funzione definita in un intorno di x0. Se esistonoinfiniti lim

x→x−0

f (x) e limx→x+

0

f (x), con segno uguale o diverso, o se un

limite e finito e l’altro e infinito,diciamo che x0 e punto di infinito per f .

Es.

f (x) =

{

e1/x x 6= 00 x = 0

x0 = 0, f e definita in I (x0).

limx→0−

f (x) = 0, limx→0+

f (x) = +∞,

1

PSfrag replacements

f (x)

x

y

0


Discontinuita di seconda specieDef. Sia f una funzione definita in un intorno di x0. Se in x0, unodei due limiti (destro o sinistro) o entrambe non esistono, si diceche x0 e un punto di discontinuita di seconda specie per f .

Es.f (x) =

sin

(

1

x

)

se x 6= 0

1 se x = 0

domf = R.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

PSfrag replacements

xy

NON esiste limx→0−

sin

(

1

x

)

e

NON esiste limx→0+

sin

(

1

x

)

.

x = 0 e punto di disc. di seconda specie per f (x)


Proprieta delle funzioni continue

Def. Data una funzione reale f , si chiama zero (o radice) di f ognipunto x0 ∈ domf in cui f si annulla.

Teorema (degli zeri di una funzione continua).Sia f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] etale che f (a) · f (b) < 0. Allora esiste almeno uno zero di f

nell’intervallo aperto (a, b).

PSfrag replacements

xxx

yyy

aaa

b

b

b

f (a)f (a)f (a)

f (b)

f (b)

f (b)


Teorema (dei valori intermedi) Sia f una funzione continuanell’intervallo chiuso e limitato [a, b]. Allora f assume tutti i valoricompresi tra f (a) e f (b).

PSfrag replacements

x

y

a b

z

x0

f (a)

f (b)


L’immagine di un insieme I tramite f e: f (I ) = {y = f (x) : x ∈ I}Corollario. Sia f una funzione continua su un intervallo I . Alloral’immagine f (I ) dell’intervallo I tramite f e ancora un intervallo.

PSfrag replacements

xxx

yyy

II

I

f (I )f (I )f (I )

I intervallo e f cont. I non intervallo e f cont. I interv. e f disc. su I .


Massimo e minimo di una funzione

Def. Si chiamano massimo e minimo di una funzione f su unintervallo [a, b] i numeri reali

M = maxx∈[a,b]

f = max{f (x) : a ≤ x ≤ b} e

m = minx∈[a,b]

f = min{f (x) : a ≤ x ≤ b}

PSfrag replacements

x

y

m

M

a bxmxM

xM e xm sono detti rispettivamente punto di massimo e punto diminimo.


Teorema (di Weierstrass).Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato[a, b]. Allora f e limitata ed ivi assume valori massimo e minimo.

PSfrag replacements

xx

yy

m

M

aa bbxm xM

f continua:∃m, M f discontinua: ∃m, 6 ∃M


Teorema. Sia f una funzione continua su un intervallo I . Allora f

e iniettiva se e solo se e strettamente monotona su I .

PSfrag replacements

xx

yy

II

f continua sull’intervalloI : NON monotona eNON iniettiva su I .

f continua sull’intervallo I :iniettiva e monotona su I

L’equivalenza cade se f non e continua o se I non e un intervallo.


Teorema. Sia f una funzione continua e invertibile su un intervallo.Allora la funzione inversa f −1 e continua sull’intervallo J = f (I ).

Es. f (x) = sin(x) con I = [−π/2, π/2].f e continua strettamente monotona sull’intervallo I eJ = f (I ) = {y = sin(x), x ∈ [−π/2, π/2]} = [−1, 1] e unintervallo.Allora f −1(x) = arcsin(x) e continua su J.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

PSfrag replacements

I

J

x

y

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

PSfrag replacements I

J

xy

y = f (x) = sin(x) y = f (x) = arcsin(x)

N.B. sin(x) non e invertibile sul suo dominio (perche non estrettamente monotona su tutto R).


Riferimento bibliografico:Canuto-Tabacco: Sezioni 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3, pagg. 74-87.Sezioni 4.1.1, 4.1.2, pagg. 91-97.Canuto Tabacco: Sez. 4.3, pagg. 111-118.


Esercizi Canuto-Tabacco: pag. 89, esercizio n. 3,Studiare il tipo di discontinuita presente nelle seguenti funzioni.

f (x) =

{

log(x) x ≥ 1x2 + 3 x < 1

, f (x) =

{ 1

x2x 6= 0

3 x = 0,

f (x) =

sin

(

1

x

)

x 6= 0

3 x = 0, f (x) =

{

e−1/x2x 6= 0

1 x = 0.


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