I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE - · PDF file 2. TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE 2.1...

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  • I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

    1. DEFINIZIONI

    2. TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

    2.1 TEOREMA DELL’ESTREMANTE LOCALE 2.2 TEOREMI DI ROLLE, CAUCHY, LAGRANGE

    2.3 TEOREMI CONSEGUENTI AL T. DI LAGRANGE

    3. DETERMINAZIONE DEI MASSIMI – MINIMI RELATIVI

    4. DETERMINAZIONE DEI PUNTI STAZIONARI (A TANG. ORIZZ.)

    4.1 ALTRO METODO PER DETERMINARE LA NATURA DEI PUNTI STAZ.

    5. DETERMINAZIONE DELLA CONCAVITÀ E DEI FLESSI

    6. DETERMINAZIONE DEI MASSIMI – MINIMI ASSOLUTI

    0

    file:///home/francesco/Scrivania/Documenti/SCUOLA/MATEMATICA/DERIVATE/derivata_1.doc

  • 1. DEFINIZIONI

    a. massimo (minimo) relativo: data la funzione y = f(x), definita in un intervallo D, diremo che x0 D è un punto di massimo (minimo) relativo per f(x), se esiste un intorno  di x0 , con   D, tale che  x    f(x)  f(x0) ( f(x)  f(x0) ).

    Il valore f(x0) è detto massimo (minimo) relativo di f(x); in particolare tale massimo (minimo) sarà forte se  x  , con x  x0  f(x) < f(x0) ( f(x) > f(x0) ).

    Massimi e minimi relativi sono detti in generale estremanti relativi o locali. In un punto di massimo - minimo relativo la funzione può essere derivabile, continua ma non derivabile, non continua.

    b. flesso: sia y = f(x) una funzione continua in un punto x0 e derivabile nell’intorno  di x0 , escluso al più x0 , e si supponga che nel punto [ x0 ; f(x0) ] il grafico di f(x) ammetta tangente t, allora x0 è un punto di flesso per f(x) se esistono un intorno destro  + di x0 e un intorno sinistro  - di x0, in corrispondenza dei quali il grafico della f(x) si trova da parti opposte rispetto alla tangente t.

    In particolare se

     x   - -  x0, f(x) è sotto (sopra) la tangente t  x   + -  x0, f(x) è sopra (sotto) la tangente t  x0 è un flesso ascendente (discendente)

    1

  • La retta tangente in un punto di flesso può essere orizzontale, verticale, obliqua (flesso orizzontale, verticale, obliquo). Se la tangente è verticale, nel punto di flesso la funzione non è derivabile.

    c. concavità: Sia y = f(x) una funzione derivabile (la derivata esiste ed è finita) nei punti interni di un intervallo . Sia y = r(x) la retta che congiunge i punti P(xp, f(xp)) e Q(xq, f(xq)), con xp e xq  [a ;b]  .

    La f(x) è concava verso l’alto (il basso) nell’intervallo [a ;b], se  x  [xp ; xq] e  coppia di xp e xq  [a ;b], si verifica che f(x) ≤ r(x) ( f(x) r(x) ).

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    file:///home/francesco/Scrivania/Documenti/SCUOLA/MATEMATICA/DERIVATE/derivata_1.doc#punti_particolari

  • 2. TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

    2.1 Teorema (della funzione derivabile in un punto con estremante locale):

    Nei punti di massimo o minimo locali di una funzione derivabile, interni al dominio D, la derivata vale zero.

    Dimostrazione. Sia x0 un punto interno a D, in cui la funzione f(x) presenti un massimo relativo e in cui sia derivabile, quindi: a) per la definizione di estremante locale (1.a), esiste un intorno  di x0 , con   D,

    tale che  x    f(x)  f(x0) e preso un h  R0 , tale che x0 + h , sono vere le seguenti relazioni:

       

            0h se 0

    h xfhxf

    )0xfhxf che osserva (

    0h se 0 h

    xfhxf

    00

    00

    00

     

    

    b) per l’ipotesi di derivabilità in x0 e per il teorema della permanenza del segno, si ha:

         

         

         

      0xf

    xfxfxf

    0xf h

    xfhxflim

    0xf h

    xfhxflim

    0 '

    0 '

    0 '

    0 '

    0 '00

    0

    0 '00

    0

    h

    h

    

        

       

    

    

    

    

     

     

    La dimostrazione sarebbe analoga, se x0 fosse un punto di minimo locale ( in questo caso f(x0+h) - f(x0)  0 ).

    Osservazioni

    3

  • 1. Il punto x0 deve essere interno al dominio D, per poter calcolare i due limiti da destra e da sinistra del rapporto incrementale. Se D = [x1;x2], il teorema non è applicabile nei punti x1 e x2 . 2. Significato geometrico: se la funzione f(x) nel punto x = x0 soddisfa alle ipotesi del teorema, allora nel punto P[x0;f(x0)] il grafico della f(x) ha per tangente una retta parallela all’asse delle ascisse (coeff. ang. m = f ’(x0) = 0) .

    3. La condizione f’(x0) = 0 è necessaria, ma non sufficiente perché il punto interno x0 sia un punto con estremante relativo.

    La funzione f(x) = x3 nel punto x = 0 ammette derivata prima uguale a zero, tuttavia in tale punto non c’è estremante relativo, bensì flesso orizzontale, con tangente di flesso y = 0.

    2.2 Teoremi di Rolle, di Cauchy, di Lagrange

    Questi tre teoremi riguardano funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato [a;b] e derivabili almeno in ]a;b[.

    Teorema di Rolle

    Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b], è derivabile in ]a;b[ e assume valori uguali agli estremi, cioè f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto x0 interno all’intervallo in cui la sua derivata si annulla: f’(x0) = 0.

    Dimostrazione.

    4

  • Per il teorema di Weierstrass la funzione f(x) ammette in [a;b] massimo e minimo, quindi esistono almeno due punti, x1 e x2 [a;b] , in corrispondenza dei quali la f(x) ammette rispettivamente minimo locale m = f(x1) e massimo locale, M = f(x2).

    Si possono presentare i seguenti due casi, uno particolare, l’altro generale:

    1. x1 = a, m = f(a) e x2 = b, M = f(b), in tal caso è evidente che la f(x) assume un valore costante x[a;b] e che quindi f’(x) = 0 x[a;b], infatti:

             

           

    intermedi valoridei teorema(*)

    (*)

    b;ax 0xf e kxf kxfk , kMm

    Mxfm bfM afm

    bfaf

    ' 

      

     

      

    2. Escluso che si verifichi il caso 1, esiste sicuramente almeno un punto x0  ]a;b[ in corrispondenza del quale la f(x) ammette estremante locale: sia, per esempio, x0 un punto di massimo relativo, con f(x0) = M.

    In tale situazione valgono le ipotesi del teorema n° 2.1, cioè la f(x) nel punto x0 interno ad [a;b] è derivabile e ammette estremante relativo, quindi f’(x0) = 0.

    Osservazioni

    1. Significato geometrico.

    Se una funzione è continua in [a;b], derivabile in ]a;b[ e f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto P[x0;f(x0)] del grafico, in cui la tangente è parallela all’asse delle x.

    Nell’esempio di figura il grafico presenta due punti a tangente orizzontale.

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  • 2. Corollario. Se una funzione f(x) in un intervallo I è indefinitamente derivabile e si annulla in m punti, allora la f’(x) si annulla in almeno (m-1) punti, la f ”(x) si annulla in almeno (m-2) punti, … , la f m -1 (x) si annulla in almeno un punto. (vedi es.1)

    Esempi

    1. Verifica del corollario precedente.

    2. Verifica se le seguenti funzioni soddisfano nell’intervallo indicato le ipotesi del teorema di Rolle e, in caso affermativo, trova i punti dell’intervallo che verificano il teorema.

    a.   ];0[ xsinxsinxf 2  1^ ipotesi: Df = R; la f(x) è continua xI ; 2^ ipotesi:   ;xcosxcosxsin2xf '  Df ’ = R , quindi la f(x) è derivabile x]0;[; 3^ ipotesi: f(0) = f() = 0. La funzione f(x) soddisfa alle ipotesi del teorema di Rolle.

    6

  • I punti dell’intervallo I che verificano il teorema sono le soluzioni dell’equazione f ’(x) = 0:

      . 6

    5π x, 6 π x,

    2 π x 012sinxcosx 0;cosxcosx2sinx 321 

    b.   ]2;0[ 1xxf 2 

    1^ ipotesi: Df = R; la f(x) è continua xI ;

    2^ ipotesi:     

     

     1 x1-per x2

    1 x -1per x x2 xf ' Df ’ = R\{-1;1}, quindi la f(x) non è

    derivabile xI; 3^ ipotesi: f(0) = f( 2 ) = 1.

    La funzione f(x) non soddisfa alla seconda ipotesi del teorema di Rolle, quindi il teorema, in questo caso, non è applicabile.

    Teorema di Cauchy

    Siano f(x) e g(x) due funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato [a;b], derivabili in ]a;b[ e sia inoltre g