I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

1. DEFINIZIONI

2. TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

2.1 TEOREMA DELL’ESTREMANTE LOCALE 2.2 TEOREMI DI ROLLE, CAUCHY, LAGRANGE

2.3 TEOREMI CONSEGUENTI AL T. DI LAGRANGE

3. DETERMINAZIONE DEI MASSIMI – MINIMI RELATIVI

4. DETERMINAZIONE DEI PUNTI STAZIONARI (A TANG. ORIZZ.)

4.1 ALTRO METODO PER DETERMINARE LA NATURA DEI PUNTI STAZ.

5. DETERMINAZIONE DELLA CONCAVITÀ E DEI FLESSI

6. DETERMINAZIONE DEI MASSIMI – MINIMI ASSOLUTI

0

1. DEFINIZIONI

a. massimo (minimo) relativo: data la funzione y = f(x), definita in un intervallo D, diremo che x0 D è un punto di massimo (minimo) relativo per f(x), se esiste un intorno di x0 , con D, tale che x f(x) f(x0) ( f(x) f(x0) ).

Il valore f(x0) è detto massimo (minimo) relativo di f(x);in particolare tale massimo (minimo) sarà forte se x , con x x0 f(x) < f(x0) ( f(x) > f(x0) ).

Massimi e minimi relativi sono detti in generale estremanti relativi o locali.In un punto di massimo - minimo relativo la funzione può essere derivabile, continua ma non derivabile, non continua.

b. flesso: sia y = f(x) una funzione continua in un punto x0 e derivabile nell’intorno di x0 , escluso al più x0 , e si supponga che nel punto [ x0 ; f(x0) ] il grafico di f(x) ammetta tangente t, allora x0 è un punto di flesso per f(x) se esistono un intorno destro +

di x0 e un intorno sinistro -

di x0, in corrispondenza dei quali il grafico della f(x) si trova da parti opposte rispetto alla tangente t.

In particolare se

x - - x0, f(x) è sotto (sopra) la tangente t

x + - x0, f(x) è sopra (sotto) la tangente t x0 è un flesso ascendente (discendente)

1

La retta tangente in un punto di flesso può essere orizzontale, verticale, obliqua (flesso orizzontale, verticale, obliquo). Se la tangente è verticale, nel punto di flesso la funzione non è derivabile.

c. concavità: Sia y = f(x) una funzione derivabile (la derivata esiste edè finita) nei punti interni di un intervallo .Sia y = r(x) la retta che congiunge i punti P(xp, f(xp)) e Q(xq, f(xq)), con xp e xq [a ;b] .

La f(x) è concava verso l’alto (il basso) nell’intervallo [a ;b], se x [xp ; xq] e coppia di xp e xq [a ;b], si verifica che f(x) ≤ r(x) ( f(x) r(x) ).

2

2. TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

2.1 Teorema (della funzione derivabile in un punto con estremante locale):

Nei punti di massimo o minimo locali di una funzione derivabile, interni al dominio D, la derivata vale zero.

Dimostrazione. Sia x0 un punto interno a D, in cui la funzione f(x) presenti un massimo relativo e in cui sia derivabile, quindi: a) per la definizione di estremante locale (1.a), esiste un intorno di x0 , con D,

tale che x f(x) f(x0) e preso un h R0 , tale che x0 + h , sono vere le seguenti relazioni:

0h se 0h

xfhxf

)0xfhxf che osserva (

0h se 0h

xfhxf

00

00

00

b) per l’ipotesi di derivabilità in x0 e per il teorema della permanenza del segno, si ha:

0xf

xfxfxf

0xfh

xfhxflim

0xfh

xfhxflim

0'

0'

0'

0'

0'00

0

0'00

0

h

h

La dimostrazione sarebbe analoga, se x0 fosse un punto di minimo locale ( in questo caso f(x0+h) - f(x0) 0 ).

Osservazioni

3

1. Il punto x0 deve essere interno al dominio D, per poter calcolare i due limiti da destra e da sinistra del rapporto incrementale. Se D = [x1;x2], il teorema non è applicabile nei punti x1 e x2 .2. Significato geometrico: se la funzione f(x) nel punto x = x0 soddisfa alle ipotesi del teorema, allora nel punto P[x0;f(x0)] il grafico della f(x) ha per tangente una retta parallela all’asse delle ascisse (coeff. ang. m = f ’(x0) = 0) .

3. La condizione f’(x0) = 0 è necessaria, ma non sufficiente perché il punto interno x0 sia un punto con estremante relativo.

La funzione f(x) = x3 nel punto x = 0 ammette derivata prima uguale a zero, tuttavia in tale punto non c’è estremante relativo, bensì flesso orizzontale, con tangente di flesso y = 0.

2.2 Teoremi di Rolle, di Cauchy, di Lagrange

Questi tre teoremi riguardano funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato [a;b] e derivabili almeno in ]a;b[.

Teorema di Rolle

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b], è derivabile in ]a;b[ e assume valori uguali agli estremi, cioè f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto x0 interno all’intervallo in cui la sua derivata si annulla: f’(x0) = 0.

Dimostrazione.

4

Per il teorema di Weierstrass la funzione f(x) ammette in [a;b] massimo e minimo, quindi esistono almeno due punti, x1 e x2 [a;b] , in corrispondenza dei quali la f(x) ammette rispettivamente minimo locale m = f(x1) e massimo locale, M = f(x2).

Si possono presentare i seguenti due casi, uno particolare, l’altro generale:

1. x1 = a, m = f(a) e x2 = b, M = f(b), in tal caso è evidente che la f(x) assume un valore costante x[a;b] e che quindi f’(x) = 0 x[a;b], infatti:

intermedi valoridei teorema(*)

(*)

b;ax 0xf e kxf kxfk , kMm

Mxfm

bfM

afm

bfaf

'

2. Escluso che si verifichi il caso 1, esiste sicuramente almeno un punto x0 ]a;b[ in corrispondenza del quale la f(x) ammette estremante locale: sia, per esempio, x0 un punto di massimo relativo, con f(x0) = M.

In tale situazione valgono le ipotesi del teorema n° 2.1, cioè la f(x) nel punto x0

interno ad [a;b] è derivabile e ammette estremante relativo, quindi f’(x0) = 0.

Osservazioni

1. Significato geometrico.

Se una funzione è continua in [a;b], derivabile in ]a;b[ e f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto P[x0;f(x0)] del grafico, in cui la tangente è parallela all’asse delle x.

Nell’esempio di figura il grafico presenta due punti a tangente orizzontale.

5

2. Corollario. Se una funzione f(x) in un intervallo I è indefinitamente derivabile e si annulla in m punti, allora la f’(x) si annulla in almeno (m-1) punti, la f ”(x) si annulla in almeno (m-2) punti, … , la f m -1 (x) si annulla in almeno un punto. (vedi es.1)

Esempi

1. Verifica del corollario precedente.

2. Verifica se le seguenti funzioni soddisfano nell’intervallo indicato le ipotesi del teorema di Rolle e, in caso affermativo, trova i punti dell’intervallo che verificano il teorema.

a. ];0[ xsinxsinxf 2

1^ ipotesi: Df = R; la f(x) è continua xI ; 2^ ipotesi: ;xcosxcosxsin2xf ' Df ’ = R , quindi la f(x) è derivabile x]0;[; 3^ ipotesi: f(0) = f() = 0. La funzione f(x) soddisfa alle ipotesi del teorema di Rolle.

6

I punti dell’intervallo I che verificano il teorema sono le soluzioni dell’equazione f ’(x) = 0:

.6

5π x,

6

π x,

2

π x 012sinxcosx 0;cosxcosx2sinx 321

b. ]2;0[ 1xxf 2

1^ ipotesi: Df = R; la f(x) è continua xI ;

2^ ipotesi:

1 x1-per x2

1 x -1per x x2 xf '

Df ’ = R\{-1;1}, quindi la f(x) non è

derivabile xI; 3^ ipotesi: f(0) = f( 2 ) = 1.

La funzione f(x) non soddisfa alla seconda ipotesi del teorema di Rolle, quindi il teorema, in questo caso, non è applicabile.

Teorema di Cauchy

Siano f(x) e g(x) due funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato [a;b], derivabili in ]a;b[ e sia inoltre g’(x) 0 x]a;b[.

Esiste, allora, almeno un punto x0 interno all’intervallo, tale che

0

'0

'

xg

xf

agbg

afbf

.

EsempioVerifica se le due funzioni f(x) = lnx , g(x) = x + 3 soddisfano le ipotesi del teorema di Cauchy nell’intervallo I = [1;3] e, in caso affermativo, trova i punti dell’intervallo che verificano il teorema. 1^ ipotesi: Df =

0R ; Dg = R; le due funzioni sono continue xI ;

2^ ipotesi: RD 1;xg ; RD ;x

1xf '' g

'0f

' , f e g sono derivabili x]1;3[;

7

3^ ipotesi: g’(x) = 1 0 x]1;3[.

Le funzioni f(x) e g(x) soddisfano alle ipotesi del teorema di Cauchy.I punti dell’intervallo I che verificano il teorema sono le soluzioni dell’equazione

.

ln3

2x ;

x

1

46

ln1ln3 ;

xg

xf

1g3g

1f3f0

00'

0'

Teorema di Lagrange (o del valor medio)

Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b], derivabile in ]

a;b[, esiste almeno un punto x0 interno all’intervallo, tale che ab

afbfxf 0

'

.

Dimostrazione.

Il teorema si può dimostrare come caso particolare del teorema di Cauchy, ponendo g(x) = x, e quindi g’(x) = 1, g(b) = b e g(a) = a :

0'

0'

0'

xfab

afbf

xg

xf

agbg

afbf

.

Osservazioni

1. Significato geometrico.

Se una funzione è continua in [a;b], derivabile in ]a;b[, allora esiste almeno un punto P[x0;f(x0)] del grafico, in cui la tangente è parallela alla retta passante per i punti di coordinate A[a;f(a)] e B[b;f(b)].

Nell’esempio di figura il grafico presenta due punti con tali caratteristiche, P1[x1;f(x1)] e P2[x2;f(x2)] .

8

2. Il teorema di Rolle può essere interpretato come un caso particolare del teorema di Lagrange, infatti, se f(a) = f(b), allora f ’(x0) = 0 (sequenza didattica: Rolle Cauchy Lagrange, sequenza storica Lagrange 1801 Rolle Cauchy).

3. Il rapporto 0

' xfab

afbf

ha anche il significato di “valore medio” della f(x)

nell’intervallo considerato [a;b] (vedi esempio n.3).

Esempi

1) Verifica se la funzione 2xxxf 23 (figura precedente) nell’intervallo I = [-1;2] soddisfa alle ipotesi del teorema di Lagrange e, in caso affermativo, trova i punti dell’intervallo che verificano il teorema. 1^ ipotesi: Df = R; la f(x) è continua xI ; 2^ ipotesi: ; x2x3xf 2' Df ’ = R , quindi la f(x) è derivabile x]-1;2[;

La funzione f(x) soddisfa alle ipotesi del teorema di Lagrange. I punti dell’intervallo I che verificano il teorema sono le soluzioni dell’equazione:

3

71x 02x2x3 ;

3

6x2x3

ab

afbfxf 2,10

200

200

' .

2) Verifica se la funzione tgxxf nell’intervallo I = [0;] soddisfa alle ipotesi del teorema

di Lagrange e, in caso affermativo, trova i punti dell’intervallo che verificano il teorema. 1^ ipotesi: Df = R\{/2 + k}, quindi la f(x) non è sempre continua in I ; 2^ ipotesi: ; xtg1xf 2' Df ’ = Df , quindi la f(x) non è sempre derivabile in I.

La funzione f(x) non soddisfa né alla prima ipotesi, né alla seconda, quindi il teorema di Lagrange, in questo caso, non è applicabile.

3) Sia s(t) = -t3 + t2 + t + 2 ( t 0 ) l’equazione oraria del moto di un punto su una retta. Rispondi ai seguenti quesiti, considerando s in metri e t in secondi:

a. determina la velocità media vm nell’intervallo di tempo I = [0;3/2]; b) dimostrare, giustificando la risposta, che esiste almeno un istante t0 interno ad I, in cui la velocità istantanea è uguale alla velocità media in I; c) determinare l’istante in cui il corpo inverte il senso del moto sulla retta.

Risposte

9

a) t

svm

; vm = 4

1

2

3

02

3)(ss

m/s e, per il teorema di Lagrange, vm = s’(t0).

b) v(t) = s’(t); v(t) = -3t2 +2t +1 ; v(t0) = vm sect tt6

1320

4

1102

203

c) v(t) 0; -3t2 +2t +1 0 per -1/3 t 1, quindi t =1 sec.

2.3 Dal teorema di Lagrange seguono i seguenti due teoremi:

1° Teorema dal T. di Lagrange (della funzione costante)

Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b], derivabile in ]a;b[ e tale che f ’(x) = 0 x]a;b[, allora f(x) è costante in tutto [a;b].

Dimostrazione.

Applicando il teorema di L. per un punto x0 ]a;x[, dove x è un punto qualsiasi di

[a;b] diverso da a, si ha: afxf0xf

ax

afxf0

'

.

Poiché questo risultato vale x]a;b[, deve essere f(x)=costante in tutto[a;b].

2° Teorema dal T. di Lagrange (della funzione monotona)

Sia y = f(x) una funzione continua in un intervallo (limitato o no) e derivabile nei punti interni di ;

se x f ’(x) > 0 allora f(x) è crescente in (cioè x1, x2 , con x1 < x2 f(x1) < f(x2) );

se x f ’(x) < 0 allora f(x) è decrescente in (cioè x1, x2 , con x1 < x2 f(x1) > f(x2) ).

Dimostrazione.

Supponiamo che sia f’ (x) > 0 x interno di I, allora, presi due punti x1 e x2 I, con x1 < x2 , per il teorema di Lagrange, applicato a f(x) nell’intervallo chiuso e limitato

[x1;x2], si ha: Ix;xxcon , xf

xx

xfxf21

'

12

12

.

Essendo x2 - x1 > 0 e, per ipotesi, 0xf ' , allora vale anche f(x2) - f(x1) > 0, cioè 10

f(x2) > f(x1); questo è vero x1 e x2 I, quindi la f(x) è crescente in I.

Analogamente si dimostra per f ’ (x) < 0 x interno di I.

Osservazioni.

a) PROPRIETÀ DI MONOTONIA Questo teorema è di fondamentale importanza nello studio di funzione, in quanto consente di determinare gli intervalli del dominio in cui è monotona (crescente o decrescente):

f ’(x) > 0 funzione crescente f ’(x) < 0 funzione decrescente

b) Questo teorema esprime una condizione sufficiente.

Per comprendere che non è una condizione necessaria, basta osservare la funzionef(x) = x3 , crescente in tutto R, con f’ (0) = 0.

( f ’(x) = 3x2 > 0 x R \ 0 ).

f.1

c) Teorema : sia y = f(x) una funzione continua in un intervallo (limitato o no) e derivabile nei punti interni di ;

se f(x) è crescente in x si ha f ’(x) 0 se f(x) è decrescente in x si ha f ’(x) 0

11

Questo teorema non è esattamente l’inverso del “2° Teorema” a causa dei diversi segni di diseguaglianza (vedi anche esempio precedente).

d) Significato geometrico

Se f ’(x)>0 (f ’(x)<0) x ]a;b[, allora il grafico della f(x) ha in ogni suo punto una tangente con coefficiente angolare positivo (negativo), quindi la f(x) è crescente (decrescente).

Esempio

Data la funzione 2xxxf 23 (vedi Fig.), determinane gli intervalli di monotonia.

Dominio: Df = R;

3

2 x 0per x 0xf

; x2x3xf

'

2'

.

12

3. DETERMINAZIONE DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI

Data una funzione y = f(x) definita in un insieme Df, nella ricerca dei punti di massimo o di minimo relativi si presentano i seguenti casi:

a. dove la funzione è derivabile si seguono le modalità del punto 4 (Determinazione dei punti stazionari);

b. nei punti in cui la funzione è continua, ma non derivabile (*): la funzione sia derivabile in un intorno di x0, escluso x0, se risulta, x \ x0

f ’(x) > 0 per x < x0

x0 è un punto angoloso con massimo relativo f ’(x) < 0 per x > x0

f ’(x) < 0 per x < x0

x0 è un punto angoloso con minimo relativof ’(x) > 0 per x > x0

c. nei punti in cui la funzione non è continua si valuta di volta in volta secondo il tipo di discontinuità.

13

figura: in a la funzione è derivabile, in b e continua, ma non derivabile (punto angoloso), in c non è continua, in d non è continua e non ammette né massimo, né minimo rel.

4. DETERMINAZIONE DEI PUNTI STAZIONARI (a tangente orizzontale)

f’(x0) = 0 x0 è un punto stazionario

Un punto stazionario può essere un massimo relativo, un minimo relativo o un flesso a tangente orizzontale.

Teorema: sia y = f(x) una funzione derivabile in un intorno completo di x0, se risulta f ’(x0) = 0 e inoltre se (con x ) : f ’(x) > 0 per x < x0

x0 è un punto di massimo relativo (forte)f ’(x) < 0 per x > x0

f ’(x) < 0 per x < x0

x0 è un punto di minimo relativo (forte)f ’(x) > 0 per x > x0

f ’(x) > 0 per x < x0

x0 è un punto di flesso orizzontale ascendentef ’(x) > 0 per x > x0

f ’(x) < 0 per x < x0

x0 è un punto di flesso orizzontale discendente

14

f ’(x) < 0 per x > x0

4.1 ALTRO METODO PER DET. LA NATURA DEI PUNTI STAZ.

f ’(x0) = 0 x0 è un punto stazionario (a tangente orizzontale)

Teorema: sia y = f(x) una funzione derivabile n volte, con derivata continua nei punti di un intervallo , se in un punto x0 la prima derivata diversa da zero

a) è di ordine pari

1. se f 2n(x0) > 0 in x0 c’è un minimo rel.2. se f 2n(x0) < 0 in x0 c’è un massimo rel.

b) è di ordine dispari

1. se f 2n+1(x0) > 0 in x0 c’è un flesso orizz. Asc.2. se f 2n+1(x0) < 0 in x0 c’è un flesso orizz. Disc.

15

Esempi:

1. f(x) = x4 per x = 0 si ha f ‘ (0) = 4x3 = 0; f ’’ (0) = 12x2 = 0;f ’’’(0) = 24x = 0

f IV(0) = 24 > 0 in x0 c’è un minimo rel.

2. f(x) = x3 per x = 0 si ha f ‘ (0) = 3x2 = 0; f ’’ (0) = 6x = 0;

f ’’’(0) = 6 > 0 in x0 c’è un flesso orizz. ascendente.

5. DETERMINAZIONE DELLA CONCAVITÀ E DEI FLESSI

f(x) ha concavità verso l’alto in [a;b] f ”(x) ≥ 0 x [a;b] f(x) ha concavità verso il basso in [a;b] f ”(x) ≤ 0 x [a;b]

Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché una funzioney = f(x), derivabile in , abbia concavità verso l’alto (il basso) in [a ;b] , è che la sua derivata prima y’ = f ’(x) sia crescente, cioè con f ”(x) 0 (decrescente, f ”(x) 0) in [a ;b].

Da quanto detto, si deduce che un flesso per una curva è un punto nel quale cambia la concavità.

Se f ’’( x) assume nell’intorno sinistro di x0 valori di segno opposto a quelli che assume nell’intorno destro x0 è un punto di flesso.

Se la concavità passa da 16

verso l’alto a verso il basso il flesso è discendenteverso il basso a verso l’alto il flesso è ascendente

Da quanto detto è evidente che nei punti di flesso si verifica f ’’(x) = 0;questa è solo una condizione necessaria, non sufficiente per l’esistenza di un flesso, basta infatti pensare alla funzione y = x 4 nel punto x = 0:

f ’ (0) = 0; f ’’ (0) = 0, ma f ’’ (x) = 12x 2 > 0 tanto a destra quanto a sinistra di x = 0.

f.2

Se x0 è flesso f ’’ (x0) = 0, ma non è detto che valga il contrario.

6. MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI DI UNA FUNZIONE

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I.

Il massimo assoluto di f(x), se esiste, è il massimo dei valori del codominio di f(x), cioè

Il minimo assoluto di f(x), se esiste, è il minimo dei valori del codominio di f(x), cioè

I punti di minimo e di massimo assoluto vanno ricercati tra:

1- gli estremi dell’intervallo I, se sono punti appartenenti ad I; 2- i punti interni ad I nei quali f ’(x) = 0;3- i punti interni ad I nei quali la f(x) non è derivabile.

17

Mf(x) I, x che tale M numero quelè

mf(x) I, x che tale m numero quelè

(*)Se l’intervallo I non è limitato e chiuso, si deve determinare il limite della f(x) dove I è aperto o illimitato. (L1 ed L2 siano i due possibili limiti).

m è il minimo assoluto e M è il massimo assoluto, se sono rispettivamente il più piccolo e il più grande fra i numeri individuati in 1, 2, 3 e se sono rispettivamente “ ≤ ” e “ ≥ ” di L1 ed L2 , qualora si verifichi (*).

18

Se la f(x) è continua in I limitato e chiuso, il teorema di Weierstrass garantisce l’esistenza di m ed M.

19