EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Definizione di potenza: !"!#$ …

volten

n aaaa ⋅⋅=

a base n esponente na potenza Proprietà delle potenze: +ℜ∈ba, 10 =a ; aa =1 ; 11 =n ; 00 =n 0≠n ; 1) nmnm aaa +=⋅ 3) ( )mmm baba ⋅=⋅

2) nmn

ma

aa −= 4)

n

n

n

ba

ba

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

5) ( ) nmnm aa ⋅=

6) n

nn

aaa ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛==− 11 Es:

22

34

43

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

7) n mnm

aa = , 0Nn∈ Es: 53

5 3 aa =

8) n m

nm

nm

aa

a 11==

−, 0Nn∈

Definizione di funzione esponenziale Una funzione si dice esponenziale se l’incognita compare all’esponente:

xaxf →: , con { }10 −ℜ∈ +a Tale funzione assume valori reali ℜ∈∀x , Esempio: xay = , 10 << a

x

y ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=21

Def di funzione decrescente 21

21xx aaxx >⇒< (cambia

il verso)

Esempio: xay = , base 1>a

xy 2= Def di funzione crescente

2121

xx aaxx <⇒< (si mantiene il verso)

Tutte le funzioni esponenziali passano dal punti (0; 1)

EQUAZIONI ESPONENZIALI (l’incognita è all’esponente)

1° Caso

)()()()( xgxfaa xgxf =⇒= Esempio:

162 =x 422 =x ⇒ 4=x 162 −=x impossibile 02 =x impossibile

⇒=⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ − 4221621 x

x

4−=x

2° Caso

0)()()( =⇒= xfba xfxf Infatti se divido ambo i membri per

)(xfb

0)(10)()(

=⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⇒=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ xfba

ba

ba xfxf

Esempio:

43

34012152 −⋅=+

⋅ xx

43409152 −⋅=⋅ x

x

Isoliamo la x al primo membro:

159340

159

9152 4 ⋅⋅=⋅⋅ −x

x

43382 −⋅⋅= xx 43

3322 −⋅= xx

33 32 −− = xx

1321

32 3

3

3=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⇒=⇒

−

−

− x

x

x

⇒=−⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

0332

32 03

xx

3=x

3° Caso Somma di potenze con la stessa

base Esempio:

7222 21 =++ −− xxx 722222 21 =⋅+⋅+ −− xxx

7412

2122 =⋅+⋅+ xxx

741

2112 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++x

7472 =⋅x

7472 ⋅=⇒ x

⇒=⇒=⇒ 22242 xx 2=x

4° Caso Somma di potenze con diversa base

Esempio: 232379 ⋅=⋅− xx

0183732 =−⋅− xx

Si pone yx =3 223 yx =⇒

01872 =−− yy

21217

272497 ±

=+±

=y

92117

1 =+

=y 22117

2 −=−

=y

Quindi andando a sostituire in yx =3 :

93 =x ⇒= 233x 2=x

23 −=x impossibile Casi particolari: 3! = 0 Impossibile 2! = −1 Impossibile, questo vale anche per le basi comprese tra 0 e 1.

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI

Si hanno gli stessi casi 1, 2, 3, 4 delle equazioni esponenziali con la seguente REGOLA: Se le basi sono maggiori di uno si ottiene una disequazione dello stesso verso tra gli esponenti.(Vedi grafico dell’esponenziale: in questo caso è crescente) Se le basi sono comprese tra 0 e 1 si ottiene una disequazione di verso contrario tra gli esponenti. (Vedi grafico dell’esponenziale: in questo caso è decrescente)

Esempio: base maggiore di 1

255255 2 <⇒<⇒< xxx Il verso rimane lo stesso

Esempio: base compresa tra 0 e 1

521

21

321

21 5

>⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛<⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⇒<⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ xxx

Si inverte il verso della disequazione

Risolvere le seguenti equazioni esponenziali: 1. 273 =x { }3=S 2. 825 3 ⋅=+ xx { }3−=S 3. 31333 121 =++ +−− xxx { }2=S

4. 1022 13 =+ +− xx { }0=S

Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali:

1. 273 >x { }3>= xS

2. 3221

<⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛x

{ }5−>= xS

3. 825 3 ⋅<+ xx { }3−<= xS

4. 31333 121 >++ +−− xxx { }2>= xS