Post on 01-May-2015
Quattordicesima Lezione
Le Equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori, polarizzazione onde piane, onde piane in direzione arbitraria, onde em in buoni conduttori
Riassunto della lezione precedente
Teorema di Poynting: relazioni energetiche Condizioni al contorno per equazioni di
Maxwell Teorema di unicità per problemi “interni”
Regime permanente armonicoImmaginiamo un semplice circuito LR, con un generatore di corrente
Vogliamo calcolare la tensione misurata ai capi del generatore
L
Ri
VR
VLV?
)cos(0 tii
Regime permanente armonico
Legge di K. alle Maglie:
quindi
L
Ri
VR
VLV?
)cos(0 tii
LR VVV ?
La corrente che scorre è sempre i data (Legge di K. per le correnti), per cui:
Legge di Ohm
iRVR )cos(0 tRi Relazione per gli induttori
dt
diLVL tsinLi 0
tsinLitRiV 00? cos In generale, per un circuito lineare, a sorgenti armoniche
corrisponderanno risposte armoniche con la stessa frequenza, con fasi diverse
2/coscos 00? tLitRiV
Regime permanente armonico: i fasoriUn espediente utile: l’uguaglianza di Eulero
oppure
Allora potremo scrivere, per esempio tje Recos
REGOLA 1: In pratica, invece delle funzioni armoniche, useremo la parte reale dell’esponenziale complesso
jsine j cos
)2
cos( ttsin
)2
(Re
tje
tjjee
2Re
Il vantaggio: integrazioni e differenziazioni banali, e le equazioni integrodifferenziali nel tempo che descrivono circuiti con memoria, divengono algebriche
Di fatto, useremo nei conti tutto l’esponenziale, recuperando la parte reale solo alla fine
Regime permanente armonico: i fasoriinfatti
Notiamo che in qualunque operazione ci ritroviamo exp(jt) a fattore: perché non sottintenderlo? Questa sarà la nostra REGOLA 2: sottintendiamo l’esponenziale nel tempo (così il tempo non compare più da nessuna parte esplicitamente)
Quel che rimane, lo chiamiamo Fasore ed è generalmente un numero complesso: per esempio
Il fasore corrispondente a Acos(t) è A
Quindi, quando rivogliamo la grandezza nel tempo, moltiplichiamo il fasore per exp(jt) e prendiamo la parte reale del risultato. Vediamolo per il nostro semplicissimo esempio
tjtj ejedt
d
j
edte
tjtj
Il fasore corrispondente a Asin(t) è 2
j
Ae
Regime permanente armonico: i fasoriIn termini fasoriali la corrente che scorre nel circuito è semplicemente i0 e
… il cappelletto solo per ricordare che sto usando il trucco dei fasori e che le quantità possono essere complesse.
Se vogliamo recuperare l’espressione nel tempo? Semplice!
RiVR 0ˆ LijVL 0
ˆ
0?̂ iLjRV
Quindi
tjeVtV ??
ˆRe)( tjsintLjRi cosRe0
tsinLitRi 00 cos
Equazioni di Maxwell in regime armonico permanente
Basta rimpiazzare le derivate nel tempo con prodotti per j
BE j JDH j
L’equazione di Helmholtz
La quantità /c si definisce numero d’onda, e si indica con k; si definisce anche un vettore d’onda, come un vettore di modulo k e direzione corrispondente al vettore di Poynting
D 0 B
2
2
22 1
tc
E
E
EE
2
22
c
Diventa (nota, non usiamo il cappelletto per semplificare le notazioni…)
022 EE
k
Onde piane in regime armonico permanente
022
2
xx EkEz
Vediamo di nuovo il caso dell’onda piana: immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla coordinata z
x
z
xx zEz uE
)()( L’equazione d’onda per il campo elettrico diventa semplicemente
La soluzione è una combinazione di esponenziali in kjkzjkz
x eEeEE Volendo recuperare l’espressione nel tempo, per esempio della
componente progressiva (assumiamo E+ reale (E0) per semplificare)
)Re()( tjxx eEtE )Re( kztjeE
c
ztE cos0 CVD
Polarizzazione onde piane Fin qui abbiamo visto onde piane con una sola
componente di campo E, e che quindi oscillano sempre in uno stesso piano: queste si dicono polarizzate linearmente (anche ovviamente se con due componenti di campo E, purché l’oscillazione avvenga in un piano)
Un insieme di onde piane propagantesi nella stessa direzione, ma con orientazioni e fasi arbitrarie dei campi, generano un’onda non polarizzata
Due onde piane, stessa freq, ma diverse ampiezze fasi ed orientazioni (ma con relazioni prefissate) producono un’ onda polarizzata ellitticamente
Polarizzazione onde piane
Infatti, se per esempio abbiamo
Notiamo che, mettendoci in un punto (es z=0)
Che è l’equazione parametrica di una ellisse. Se è /2 ed E1=E2 è proprio una circonferenza: polarizzazione circolare
v
ztEEx cos1
v
ztEEy cos2
tEE
tEE
z
y
x
cos
cos
0
2
1
Polarizzazione onde piane
Infatti, nella polarizzazione circolare avremo
v
ztEEx cos1
v
ztsinEE y 1
y 0,0 zt
x
0,2
zt
x
y
Polarizzazione onde piane
In termini di fasori avremmo (pol. Ellittica)
Nota: fin qui abbiamo parlato di c come velocità di fase dell’onda em nel vuoto o in aria; il discorso resta valido in generale con l’accorgimento di usare la giusta velocità
jkzx eEE 1
)(2
kzjy eEE
Polarizzazione onde piane
Polarizzazione Lineare
Polarizzazione Circolare
Onde piane in direzione arbitraria Abbiamo introdotto le onde piane pensando ad una
propagazione lungo un asse (z) Vediamo come generalizzare il discorso al caso un cui
compaiono tutte le variabili spaziali: facciamolo direttamente per i fasori
zkykxkj zyxe 0EE
Dove E0 è un vettore che non dipende dalla posizione, ma può avere tutte le componenti
zzyyxx EEE uuuE 0000
Onde piane in direzione arbitraria L’equazione di Helmholtz corrisponde a 3 equazioni scalari
Concentriamoci sulla prima e sostituiamo l’espressione generale per l’onda piana
022
2
2
2
2
2
x
xxx Ekz
E
y
E
x
E
022 EE
k
0
0
0
22
22
22
zz
yy
xx
EkE
EkE
EkE
xxzxyxx EkEkEkEk 02
02
02
02
2222 kkkk zyx Cioè, il vettore d’onda k che ha
modulo k può essere diviso in 3 componenti, proprio pari a kx, ky, kzzzyyxx kkk uuuk
Onde piane in direzione arbitraria Quindi potremo riscrivere brevemente, per una onda piana
che si propaga lungo una direzione generica:
rkEEE jzkykxkjee zyx
00
Onde piane in direzione arbitraria In generale quindi E ed H per un’onda piana saranno
Si possono ricavare proprietà generali sostituendo alle equazioni di Maxwell: notate che se calcoliamo il rotore di una quantità come quelle di sopra, il risultato sarà che
kj Cioè il rotore diventa, grazie alla forma esponenziale, una
semplice moltiplicazione vettoriale! Allo stesso modo la divergenza diventa un prodotto scalare. Le equazioni di Maxwell (fasori in assenza di sorgenti) si “algebrizzano”
rkEE je0rkHH je0
BE jDH j
0 D0 B Sia E che H
ortogonali a k
00 HEk 00 EHk
00 Ek00 Hk
Onde piane in direzione arbitraria
Possiamo subito ricavare una relazione tra E ed H generale: dalla prima
00 HEk 00 EHk 00 Ek
00 Hk
)(1
)( rEurH k
00
1EkH
ovvero
Dove è l’impedenza d’onda del mezzo: generalizza l’espressione già trovata!
Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei
I conduttori sono quelli per i quali si ha movimento di cariche per un campo elettrico applicato, ovvero esiste una corrente di conduzione che soddisfa la legge di Ohm
EJ Per cui l’equazione di Ampère diventa (fasori)
EEH j Se il secondo termine (corrente di conduzione) domina sul
primo (corrente di spostamento) così che la corrente di spostamento possa essere trascurata fino alle frequenze radio più alte (non ottiche), il materiale di definisce “buon conduttore”
Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei
Sappiamo che in un conduttore (anche reale) non vi sono cariche libere: infatti ricordando che la divergenza di un rotore è nulla, abbiamo dalla legge di Ampère
Per cui EH j0
Allora, per un “buon conduttore”: la carica libera è zero vale la legge di Ohm corrente di spostamento trascurabile rispetto alla corrente di
conduzione, per cui
0 D
EH
Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei
Allora, dalla legge di Faraday
Usando la solita identità per il rotore di rotore, ricordando che la divergenza di E è nulla (no cariche), e sostituendo l’espressione del rotore di H
Equazione d’onda per i conduttoriEE j2
HE j HE j
Ricordando poi la legge di Ohm EJ Ricaviamo l’equazione per J
JJ j2
Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei Il caso più semplice è quello monodimensionale: conduttore piano
di profondità infinita su cui incida un’onda piana ortogonalmente In tal caso, J alla superficie
segue l’andamento di E (grazie alla legge di Ohm), e vale
L’equazione d’onda per E diventa
zEx uEJJ 000)0(
Le cui soluzioni sono ancora una volta esponenzialixx
z eCeCE 21
J
EH
x
z
zzz EEj
x
E 22
2
Effetto pelle Le condizioni al contorno impongono C2=0 (o il campo crescerebbe
fino all’infinito per x crescenti) e C1=E0
Ora per definizione
Per cui, ricordando che
x
j2
xz eEE 0
xz eEJ 0
2
1 jj
avremo
jfj
11
Dove è dimensionalmente una distanza (metri) e si chiama profondità di penetrazione
f
1
Effetto Pelle Allora riscriviamo le nostre soluzioni in termini di tale parametro
Quindi, il campo penetrando si attenua (fino a ridursi di un fattore e per x=,circa 37%) e si sfasa
x
xj
x
z eeEE
0xj
x
z eeEJ
0
Termine di attenuazione
Termine di sfasamento
J
EH
Il risultato è rigorosamente valido solo per conduttori piani, ma funziona in generale per valori di minori della curvatura della superficie
Effetto pelle
Evoluzione temporale della soluzione calcolata
Un caso “vero”: distribuzione di corrente su una striscia di rame di 70 micron, al variare della frequenza tra 1 e 5 GHz. Ottenuto da un metodo rigoroso