Quindicesima Lezione

Onde piane in un mezzo con perdite; onde TEM; introduzione ai circuiti distribuiti

Riassunto della lezione precedente

I fasori Equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori Polarizzazione delle onde piane onde piane in direzione arbitraria onde in buoni conduttori

Onde piane in un mezzo con perdite Abbiamo parlato di “buon conduttore”, come quello in cui la

corrente di spostamento è trascurabile rispetto alla corrente di conduzione, almeno nelle frequenze radio

Un “buon dielettrico” è quello invece in cui avviene il contrario (es: aria, vetro, teflon, allumina ecc)

Moltissimi materiali non sono né l’uno né l’altro: come trattarli?

EEH j

Se la parte conduttiva soddisfa la legge di Ohm, abbiamo visto che per la legge di Ampère (fasori!!)

Possiamo mettere in evidenza j0

EH

00

j

j r Erj ˆ0

Definiamo una permettività COMPLESSA

Onde piane in un mezzo con perdite Quindi operativamente: dovremo solo calcolare

l’impedenza d’onda ed il resto utilizzando tale permettività complessa

Notate però che ora anche il numero d’onda k è complesso [essendo k=1/2, ricordate?]

Cosa significa? Riprendiamo l’onda piana che si propaga lungo z, e con campo E in x

Se k è complesso significa solo che l’onda si propaga (parte reale) e si attenua al contempo (parte immaginaria),visto che la parte immaginaria di k contribuisce ad un esponenziale reale

jkzjkzx eEeEE

Onde piane in un mezzo con perdite Cosa possiamo dire circa il vettore d’onda? Nel tempo

abbiamo parlato di un vettore che individua la direzione di propagazione; ma ora che è complesso?

L’onda piana in direzione generica abbiamo visto è

rkrkrk EEE ir eee jj00

Ovvero nel tempo (se E0 reale, altrimenti occorre un termine di fase) )cos()( 0 tet r

i rkEE rk

Onde piane in un mezzo con perdite Quindi la permettività per un mezzo con perdite (nel

dominio dei fasori) è una quantità complessa Se c’è una vera e propria corrente di conduzione che

soddisfa la legge di Ohm, la parte immaginaria dipende dalla frequenza, che compare a denominatore

Però nei materiali esistono anche altri meccanismi di dissipazione di potenza non imputabili direttamente a correnti di conduzione (es: ricordate la rotazione dei dipoli d’acqua in un forno a microonde?)

Nei buoni dielettrici, in cui la corrente di conduzione è trascurabile, la permettività ha comunque una parte immaginaria (piccola rispetto alla parte reale) che descrive tali altri meccanismi di perdita, abbastanza indipendente dalla frequenza: il rapporto tra parte immaginaria e parte reale si definisce tan

r

i

tan

Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) Si definisce TEM un’onda in cui campo elettrico e campo

magnetico non hanno componenti nella direzione di propagazione

Un’onda piana è evidentemente anche un’onda TEM La legge di Faraday in forma integrale

Sl

dst

d nBlE

Sappiamo che una tensione è univocamente definita a prescindere dal percorso se e solo se il secondo membro è nullo

Questo avviene se il flusso del campo magnetico non varia nel tempo (statico) o se il flusso è nullo

Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) Ma immaginiamo un’onda TEM che si propaga lungo z,

dove E è tutto lungo x e H lungo y

Il flusso di B attraverso un piano z=costante è nullo (B,D,E,H non hanno componenti in z!)

Quindi, la tensione è ben definita in ogni piano z= costante, anche se siamo in un caso elettrodinamico! Quello che avremo è che la tensione, in generale, varierà con z, cioè v=v(z)

x

z

xx zEz uE

)()(

yy zHz uH

)()(

Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) I cavi multifilari supportano in generale propagazione di tipo

TEM (esempio un cavo coassiale). Consideriamo una linea bifilare

z

z0 z

)()( 0zvzvdl

lE

t

Circuitazione lungo il percorso tratteggiato: Flusso di B concatenato con il rettangolo:

Dividiamo per z entrambi i membri, e calcoliamo il limite del rapporto incrementale per z che tende a zero

tz

v

Flusso di B PER UNITA’ DI

LUNGHEZZA concatenato con il rettangolo:

Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) Ma ricordiamo la definizione di induttanza

Allora l’equazione per v diventa

Possiamo seguire una strategia analoga, usando la condizione di continuità della carica in un tubo concentrico ad uno dei fili

tz

v

induttanza PER UNITA’ DI LUNGHEZZA

Li quindi

iL

t

iL

z

v

z

z0 z

t

qds

S

nJ

Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) Il flusso della densità di corrente non nullo solo sulle basi, e

pari alle correnti quindi

D’altra parte il teorema di Gauss:

Quindi

t

qzizids

S

)()( 0nJ

qD Flusso di D

tzizi D

)()( 0

Di nuovo: Dividiamo per z entrambi i membri, e calcoliamo il limite del rapporto incrementale per z che tende a zero

tz

i D

Flusso di D per unità di lunghezza

Equazioni del telegrafista Ma avevamo definito la capacità come

quindi

tz

i D

Cvq D

vCD Allora l’equazione per i diventa

t

vC

z

i

Riassumendo: Le due equazioni che descrivono l’andamento di i e v lungo una linea sono quindi

t

vC

z

it

iL

z

v Equazioni del telegrafista

Equazioni del telegrafista: fasori In termini di fasori

Se deriviamo in z la prima e sostituiamo la seconda

vCLz

v 22

2

Ancora una volta un’equazione d’onda, dove è il numero d’onda

vCjz

i

iLjz

v

v2

Analogamente iz

i 22

2

Le soluzioni le conosciamo...

zjzj evevv

Cioè onde progressive e regressive che si propagano con velocità

CL

1

Equazioni del telegrafista

Impedenza caratteristica

Se sostituiamo le soluzioni per v (separatamente la soluzione progressiva e quella regressiva) troviamo un legame con i

ztvztvvetv tj coscosRe)(

iLjz

v iLjvj

iL

v i

C

L iZ0

Note induttanza per unità di lunghezza e capacità per unità di lunghezza, ovvero e Z0 sappiamo tutto di una linea

Se volessimo recuperare gli andamenti nel tempo, al solito (considerando v+ e v- reali, cosa raramente vera; in generale ci sono termini di fase da aggiungere)

Equazioni del telegrafista Riassumendo: abbiamo “onde” di tensione e di corrente, in

una direzione e nell’altra, che si propagano a velocità ; onde di tensione e di corrente sono legate da un rapporto costante, l’impedenza caratteristica

Il concetto di “linea” è molto generale: le connessioni ideali dell’elettrotecnica sono un’approssimazione, valida solo per lunghezze molto inferiori alla lunghezza d’onda di v (ed i)

Cosa succede quando la linea finisce su un resistore?

RL

Zo,

z=0 z

v+

v-

Condizioni al contorno su z=0

vL

iL

Lvvv

Liii

L

LL R

vi

Z

v

Z

v

00

Coefficiente di riflessione Definiamo coefficiente di riflessione

Dal sistema precedente troviamo

A meno che RL non sia negativo (circuito che guadagna o attivo) appare che il modulo del coefficiente di riflessione è sempre minore di uno!

v

v

0

0

ZR

ZR

L

L

Se il coefficiente di riflessione è nullo, non abbiamo onde regressive (le onde viaggiano solo verso il carico e ne sono assorbite) e questo avviene se

00 ZRL Condizione di adattamento

Coefficiente di riflessione D’altro canto vediamo che se la linea finisce su un corto

circuito ideale (RL=0) avremo che il coefficiente di riflessione è -1, cioè l’onda torna indietro invertita in fase (v-=-v+)

Nel tempo

Che è un’onda stazionaria: in alcune z è sempre nulla (nodi) ed in altre è sempre max

Vediamo un’animazione temporale (incluso il transitorio)

zsintsinvztztvtv 2coscos)(

Coefficiente di riflessione

Nel caso di circuito aperto (RL=il coefficiente di riflessione è 1; di nuovo tutto torna indietro

In generale, tranne che in condizione di adattamento, comunque onde progressive e regressive interferiranno producendo onde stazionarie; in tali casi il rapporto tra la tensione totale (sovrapposizione tra onde di tensione nelle due direzioni) e la corrente totale, ovvero l’impedenza misurata, varierà da punto a punto

Cioè: se è vero che il rapporto tra tensione (totale!) e corrente (totale!) è RL sul carico, tale rapporto cambierà altrove, tranne che in condizioni di adattamento. Vediamolo

Impedenza di ingresso di un tratto di linea Calcoliamoci l’impedenza vista all’ingresso di un tratto di linea

di lunghezza l chiuso su RL

RL

Zo,

z=0 z

itot

vtot

z=-l

Zin

)(

)(

lzi

lzvZ in

ljlj

ljlj

eZ

ve

Z

v

evev

00

ljlj

ljlj

ev

ve

ev

ve

Z

0 ljlj

ljlj

ee

eeZ

0

Dividiamo per v+ numeratore e denominatore, e ricordiamo la definizione di coefficiente di riflessione

Impedenza di ingresso di un tratto di linea Sostituiamo l’espressione per il coefficiente di riflessione e

l’identità di Eulero; semplifichiamo un po’

lsinjRlZ

lsinjZlRZZ

L

Lin

cos

cos

0

00

Di li’ riotteniamo subito che se impedenza di carico ed impedenza caratteristica coincidono, vediamo sempre la stessa impedenza (l’impedenza caratteristica) in qualunque sezione

Vediamo anche che ogni volta che il cos diventa + o -1 ed il seno 0, vediamo all’ingresso esattamente R. Questo capita se

nl

nl 2

2

nl

Cioè per tutti i multipli interi di mezza lunghezza d’onda

Impedenza di ingresso di un tratto di linea Vediamo alcuni casi particolari:

Se chiudiamo su un corto ljZZ in tan0Cioè un carico reattivo (puramente immaginario). Notate che con argomento /2 la tangente diventa infinita: quindi il corto si trasforma in un circuito aperto! La lunghezza corrispondente è /4. Ridiventa un corto a cioè ovviamente a /2 (e così via)

Se chiudiamo su un aperto (carico infinito) ljZZ in cot0

Cioè un comportamento esattamente duale

Notate anche che il corto ha una impedenza immaginaria positiva (quindi induttiva) fino a /4 e poi diventa negativa (capacitiva), e via dicendo. Il contrario per il circuito aperto

Nel caso particolare di argomento /2 (/4) il coseno è nullo, e

Lin R

ZZ

20

Il cavo coassiale Avevamo calcolato la capacità di uno spezzone di

coassiale

i

e

R

Rl

Cln

2

i

e

R

RlL ln

2

Per cui, la capacità per unità di lunghezza

i

e

R

RC

ln

2

Avevamo calcolato la l’induttanza di uno spezzone di coassiale

i

e

R

RL ln

2

Il cavo coassiale

Quindi, la velocità /1/1 CLCioè la velocità della luce nel mezzo tra gli elettrodi: è una proprietà generale delle onde TEM

L’impedenza caratteristica

i

e

R

R

C

LZ ln

2

10