MONOTONIA IN ANALISI MATEMATICA

Fabio Bagagiolo

Percorso d’Eccellenza 2008/2009

Esistenza di limiti• Problema dell’esistenza del limite di:

1. successioni;

2. funzioni;

3. rapporti incrementali;

4. integrali impropri;

5. successioni di funzioni.• Passaggio al limite:

1. sotto il segno di integrale;

2. sotto altre relazioni non lineari.

? ffff nn

? )()( ffff nn

Regolarita’

• Per una funzione di una variabile:

1. continuita’;

2. derivabilita’;

3. integrabilita’

4. convessita’.

Applicazioni• Spesso, nei fenomeni fisici/ingegneristici/economici/biologici della

“vita reale” alcune grandezze del sistema in questione sono legate tra loro da relazioni che, con chiara evidenza sperimentale, presentano effetti di monotonia.

1. fase (liquida/solida) vs temperatura nei processi di transizione di fase;

2. pressione vs saturazione nei processi di flusso attraverso mezzi porosi;

3. sforzo vs deformazione nei processi elastoplastici;4. investimento vs profitto nei processi economici;5. attivita’ di batteri vs quantita’ di nutriente a disposizione nei

processi biologici.• Questa monotonia permette, a volte, di formulare modelli

matematici per tali processi, che si dimostrano di piu’ facile studio, sia analitico che numerico.

• ESISTENZA DI LIMITI

Un Teorema (ben noto) sul limite delle successioni monotone

• Sia (an)n una successione monotona (non decrescente) di numeri reali

• an+1 ≥ an per ogni n naturale.

• Allora la successione ammette limite l (finito reale o +∞) e tale limite l vale

• l = supn(an)≤+∞.

Osservazione

• Questo risultato e’ alla base di tutti i criteri di convergenza per le serie numeriche a termini positivi.

• Infatti se an≥0 per ogni n naturale, allora la serie numerica n an ha la successione delle somme parziali monotona non decrescente (sk=n≤kan≤ sk+1=n≤k+1an).

• E sappiamo bene che la convergenza di una serie numerica e’, per definizione, la convergenza della successione delle somme parziali.

• Pertanto una serie a termini positivi non puo’ oscillare: o converge o diverge a +∞.

• Basta quindi provare che le somme parziali sono limitate ed e’ fatta!

Dimostrazione

• Dobbiamo provare che, se la successione e’ non decrescente, allora essa converge all’estremo superiore dei termini an, l.

• Bisogna distinguere due casi: l reale, l=+∞.

l reale finito

• Ricordiamo la definizione di limite: – per ogni ε>0, esiste un numero naturale N tale

che, se n e’ naturale, n≥N|l-an|≤ε

• Ricordiamo la definizione di estremo superiore: – per ogni n naturale, an ≤ l (l e’ un

maggiorante);– per ogni ε>0 esiste nε naturale tale che anε≥l-ε

(l e’ il minimo dei maggioranti).

l reale finito

• Fissiamo ε>0 e poniamo N=nε.

• Allora, per la monotonia (non decrescenza) della successione si ha, per ogni naturale n≥N:

• l-ε ≤ aN ≤ an ≤ l ≤ l+ε

• E quindi si conclude. cvd

Osservazione Importante

• Questo risultato lega insieme i due concetti fondamentali di tutta l’analisi matematica: il concetto di limite e il concetto di estremo superiore.

• Con queste due nozioni si fa tutta l’analisi matematica reale.

• La dimostrazione, anche se facile, implica l’uso appropriato delle definizioni dei due concetti.

Esercizi per casa(facilissimi, quasi offensivi)

• Dimostare il risultato nel caso di l=+∞.

• Enunciare e dimostrare l’analogo risultato nel caso di successione non crescente.

• Trovare un controesempio al fatto che la monotonia non e’ necessaria per la convergenza di una successione.

Convergenza di successioni di funzioni

• fn:I→R, f:I→R, I intervallo;• La successione di funzioni (fn)n converge

puntualmente a f su I se:• limn→+∞fn(x)=f(x) per ogni Ix.• La successione converge uniformemente a f su I

se:• Per ogni ε>0 esiste N naturale rale che

n≥NsupIx|fn(x)-f(x)|≤ε, equivalentemente:• limn→+∞supIx|fn(x)-f(x)|=0.• La convergenza uniforme implica quella

puntuale, ma non vale il viceversa.

Teorema (del Dini)• Sia {fn}n una successione di funzioni continue su un intervallo chiuso

e limitato [a,b].• Supponiamo che la successione sia monotona crescente (risp.

decrescente): fn(x)≤fn+1(x) per ogni x in [a,b] e per ogni n naturale (risp. fn(x)≥fn+1(x) per ogni x in [a,b] e per ogni n naturale).

• Supponiamo che fn converga puntualmente su [a,b] ad una funzione continua f.

• Allora fn converge ad f uniformemente su [a,b].• Dimostrazione gia’ vista a lezione (Barozzi). Studiarla per la

prossima volta.• N.B. Questo risultato non richiede che le funzioni approssimanti fn

siano continue! • Esercizio per i prossimi 3 minuti: • trovare controesempi che provino che se manca la compattezza,

oppure se manca la continuita’ delle fn , oppure se manca la continuita’ del limite, allora il risultato non e’ piu’ valido.

Mancanza di compattezza

f(x)=x2

fn(x)=|x|2+1/n

La successione fn e’ monotona decrescente su R, converge puntualmente af su R, f e’ continua, ma la convergenza non e’ uniforme su R (e’ comunque uniforme su ogni compatto di R)

fn(x)=|x| 2-1/n

-1 1

Mancanza di continuita’ del limite

-a

a

1

fn

fn+1 f

f

La successione fn e’ crescente, fn converge puntualmente a f su [-a,a], f non e’ continua, fn non converge uniformemente a f su [-a,a] (non e’ uniforme in nessun compatto intorno al punto di discontinuita’ della funzione limite) .

Passaggio al limite sotto segno di integrale

• Problema: I=(a,b) intervallo di R, fn:I→R una successione di funzioni integrabili su I, che “converge” ad una funzione integrabile f:I→R.

• E’ vero che, per n→+∞, ?)()( b

a

b

a

n dxxfdxxf

Risposte

• Se la convergenza e’ uniforme su I, allora la risposta e’ SI’ (teorema).

• Se la convergenza e’ solamente puntuale, allora la risposta e’ NO (cioe’: con la sola informazione di convergenza puntuale non e’ possibile dedurre che vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale.

Controesempi

2/n

n

b

fn

La successione converge puntualmente a f0 sull’intervallo [0,b].fn=n→+∞, f=0

2

Controesempi

2/n

n

b

fn

La successione converge puntualmente a f0 sull’intervallo [0,b].fn=1→1, f=0

Osservazione• Nel primo controesempio, gli integrali delle fn

divergono e quindi, banalmente, non possono convergere all’integrale di f che e’ finito.

• Nel secondo controesempio, gli integrali delle fn convergono (sono addirittura costanti!) ma non convergono all’integrale di f : non possiamo portare il segno di limite dentro all’integrale:

b

a

nn

b

a

nn dxxfdxxf )(lim)(lim

Teorema (della convergenza monotona di Beppo Levi)

• I=(a,b) intervallo di R, fn:I→R una successione di funzioni integrabili su I, che converge puntualmente ad una funzione integrabile f:I→R.

• Supponiamo inoltre che la successione sia monotona crescente (risp. monotona decrescente) e che sia minorata (risp. maggiorata) da una costante C: fn(x)≥C (risp. fn(x)≤C) per ogni n e ogni x in (a,b).

• Allora vale il passaggio al limite sotto al segno di integrale

b

a

b

a

n dxxfdxxf )()(

Osservazione

• Se le fn e il limite f sono continue, allora, in virtu’ della convergenza puntuale e della monotonia, la convergenza e’ anche uniforme e quindi questo teorema non dice nulla di nuovo.

• Ma il teorema non richiede affatto che il limite sia continuo, ma ne richiede solo l’integrabilita’.

Osservazione fn(x)dx=1/(2n)+a-1/n→a=f(x)dx

-a a1/n1/(n+1)

1

Esercizio

• Se la successione e’ monotona crescente e soddisfa alle altre condizioni del teorema, tranne la equilimitatezza inferiore, allora la conclusione non e’ piu’ vera.

• 2 MINUTI per trovare un controesempio.

• Via!

Soluzione (da aggiustare…)

integrali. degli aconvergenz e'c'non che Provare

inferiore. tezzaequilimita la tranne

esoddisfatt sono teoremadel ipotesi le tutteche Verificare

.(0,1)in puntuale limite Trovare

1,1

1 se

11,0 se

)1(

1

)(

2

2

nxn

nx

xnxfn

Dimostrazione del Teorema

• Non e’ restrittivo supporre C=0 (basta prendere gn=fn-C, g=f-C e fare i conti con gn e g).

• La successione di funzioni e’ crescente. Quindi (per la monotonia dell’integrale!) anche la successione numerica degli integrali an=fn(x)dx e’ crescente.

• Quindi, per il nostro teorema fondamentale sulle successioni numeriche crescenti, esiste -∞<≤+∞ limite della successione degli integrali.

• Il nostro scopo e’ ora quello di provare che =f(x)dx.

Dimostrazione del Teorema

• Per la crescenza, per la convergenza puntuale e per l’ipotesi di equilimitatezza inferiore: 0≤fn≤fn+1≤f.

• Da cui si ha anche (usando ancora anche la monotonia dell’integrale, e il fatto che f e’ integrabile) 0≤≤f(x)dx<+∞.

• Per cui basta provare che ≥f(x)dx.

Dimostrazione del Teorema

• Fissato 0<<1, per ogni n definiamo l’insieme En={x(a,b) | fn(x)≥ f(x)}.

a b

En

f

f

fn

Dimostrazione del Teorema

• Per la crescenza della successione di funzioni, la successione degli insiemi En e’ crescente: EnEn+1(a,b)

a b

En

f

f

fn

fn+1

Dimostrazione del Teorema• Per la convergenza puntuale, si ha inoltre nEn=(a,b).• Quindi {En}n e’ una catena ascendente di sottoinsiemi di (a,b) che

invade tutto (a,b).• Possiamo quindi dire che En (a,b).• Nel nostro esempio grafico le funzioni sono continue e quindi En e’

unione di intervallini disgiunti. Possiamo definire la lunghezza di En come la somma delle lunghezze degli (eventualmente in numero infinito) intervallini che lo compongono (e questa somma esiste finita perche’ En(a,b) che ha lunghezza finita). Quindi dire che En (a,b), significa dire che la lunghezza di En tende a quella di (a,b).

• Ne segue anche che Enf(x)dx → (a,b) f(x)dx.• Tutto cio’ vale anche in casi piu’ generali, per sempio quando le

funzioni non sono continue e quindi gli insiemi En sono “brutti”: bisogna dare un opportuno significato di misura dell’insieme e di integrale. Ma tutto funziona allo stesso modo.

Dimostrazione del Teorema

• Dalla seguente catena di disuguaglianze (che discende anche dal fatto che le funzioni sono positive):

(a,b) fn(x)dx≥En fn(x)dx≥Enf(x)dx,

• Passando la limite per n→+∞ e poi per →1 si conclude:

≥(a,b) f(x)dx→(a,b) f(x)dx.

• cvd

Osservazione

• Altri risultati di passaggio al limite sotto il segno di integrale esistono, senza ipotesi di monotonia (e senza convergenza uniforme).

• Per esempio quello della “convergenza dominata” di Lebesgue. Ma tutti, nella dimostrazione, passano attraverso il risultato di Beppo Levi.

REGOLARITA’

(di una funzione monotona)

Funzioni monotone

• Una funzione f:(a,b)→R si dice monotona crescente/non decrescente (risp. decrescente/non crescente) se

• f(x)≤f(y) per ogni x,y(a,b), x≤y (risp. f(x)≥f(y) per ogni x,y(a,b), x≤y).

crescente decrescente ne’ crescente ne’ decrescente

Importanza dello studio delle funzioni monotone

• Se f:(a,b)→R e’ positiva (f(x)≥0 per ogni x) ed e’ integrabile, allora la funzione integrale x(a,x) f(s)ds e’ monotona crescente.

• Ogni funzione f:(a,b)→R puo’ essere scritta come differenza di due funzioni positive: f=f -f (parte positiva meno parte negativa) dove

+ -

Importanza dello studio delle funzioni monotone

positiva parte )(,0max)( xfxf negativa parte )(,0max)( xfxf

)()()( xfxfxf

Importanza dello studio delle funzioni monotone

• Quindi ogni funzione integrale e’ la differenza di due funzioni (integrali) monotone crescenti

• La derivata di una funzione convessa derivabile e’ una funzione monotona crescente.

• E le funzioni convesse sono importanti per lo studio dei minimi (es: energie della fisica)

x

a

x

a

x

adssfdssfdssf )()()(

Regolarita’ delle funzioni monotone

• Un primo risultato e’ il seguente, la cui dimostrazione e’ la medesima di quella per le successioni monotone.

• Sia f:(a,b)→R monotona. Allora i limiti destro e sinistro di f esistono finiti per ogni x(a,b):

.in continua e' se soltanto e se nullo e' in salto Il

".in di salto" dice si )()( quantita' La

e.decrescent e' se )()(

crescente, e' se )()( ,ovviamente e

)(lim ,)(lim)( RR )(

xfx

xfxfxf

fxfxf

fxfxf

yffyfxf

sd

ds

ds

xyx

d

xy

s

Regolarita’ delle funzioni monotone

• Quindi una funzione monotona puo’ avere solo discontinuita’ di prima specie (salti)

Questa funzione ha due salti.

Ma quanti possono essere i salti di una funzione monotona?

Regolarita’ delle funzioni monotone

• In generale le funzioni possono avere infiniti punti di discontinuita’, infiniti piu’ che numerabili. Possono essere discontinue in ogni punto del loro dominio.

• Esempio: la funzione caratteristica dei razionali in (0,1): Q(x)=1 se x e’ razionale, Q(x)=0 se x e’ irrazionale, non e’ continua in alcun punto.

• Ovviamente questa funzione non e’ monotona.

Regolarita’ delle funzioni monotone

• Teorema. Sia f:(a,b)→R una funzione monotona. Allora i suoi punti di discontinuita’ sono in una quantita’ al piu’ numerabile.

• Poiche’ (a,b) ha la potenza del continuo, si puo’ dire che i punti di discontinuita’ di una funzione monotona sono “pochi”.

Dimostrazione• Supponiamo f crescente (l’altro caso e’ analogo).• I punti di discontinuita’ di f possono essere solo salti.• Per la monotonia, essendo tutti i salti “verso l’alto”, la somma di un

qualunque numero di salti non puo’ essere superiore al dislivello totale di f: f(b)-f(a)<+∞.

• Per ogni n>0 definiamo l’insieme Jn dei punti x(a,b) per cui il salto di f e’ maggiore di 1/n.

• Sia poi J l’insieme di tutti i punti x(a,b) che sono di salto per f (ovvero i punti di discontinuita’).

• Evidentemente si ha nJn=J.• D’altra parte, ogni insieme Jn e’ formato da un numero finito di punti.• Infatti, ogni Jn non puo’ contenere piu’ di n(f(b)-f(a)) punti.• Ne segue che J, essendo unione numerabile di insiemi finiti, consta

al piu’ di una quantita’ numerabile di elementi. • cvd

Conseguenza

• Ogni funzione monotona (crescente) su (a,b) puo’ essere scritta come la somma di una funzione continua monotona (crescente) e di una funzione “salto”.

• Una funzione salto (crescente) su (a,b) e’ una funzione del tipo h(x)=”xn<x”sn

• dove {xn}n e’ una successione (numerabile!) crescente di punti in (a,b): i punti di salto, e sn≥0 sono i rispettivi salti, con nsn<+∞.

• Quindi ogni funzione monotona e’, a meno di una funzione salto, una funzione continua.

Funzione salto

x0=a bx1 x2 x3 x4xn xn+1

s0{

s1{

Funzioni monotone, funzioni salto e funzioni continue

+

Regolarita’ delle funzioni monotone

• Teorema. Sia f:(a,b)→R una funzione monotona. Allora f e’ derivabile quasi dappertutto.

• L’insieme dei punti x(a,b) nei quali f non e’ derivabile ha misura nulla.

• Per ogni >0, tale insieme (che non e’ necessariamente unione di intervallini), puo’ essere ricoperto da una quantita’ al piu’ numerabile di intervalli disgiunti la cui somma delle lunghezze e’ minore di .

Regolarita’

• Esistono funzioni continue (non monotone, ovviamente) che non sono derivabili in alcun punto!

• Anzi, queste funzioni sono molte di piu’ delle continue derivabili!

• Esercizion

n

nn

nnn

xfxf

f

xxf

xx

xn

xx

xxx

4

1

)(4

1

incrementi gli eConsiderar Sugg.

punto.alcun in derivabile e'non che ma continua e' che

converge), serie (la definitaben e' che Provare

).()(

infine e ),4(~4

1)(

porre ogniper e ogniPer

1. periodocon a'periodicitper

reale retta la su tutta definita ~ a estendere

,12

1 se 1

2

10 se

)(

0

0

00

0

Preliminare al Teorema fondamentale del Calcolo

• Sia f una funzione integrabile su [a,b].

• Allora la funzione xf(s)ds e’ derivabile per quasi ogni x.

• Basta scrivere f(s)ds=f(s)ds-f(s)ds che risulta essere la differenza tra due funzioni monotone.

• Il Teorema dice, in realta’, che la derivata (quasi ovunque) e’ proprio f.

a

x

a

x x x

aa

+ -