Studio della monotonia Definizione: un punto x0 si dice stazionario per f se f è

derivabile in x0 e si ha che

€

′ f x0( ) = 0

€

x0

€

x0

€

x0

1

Teorema di Fermat condizione necessaria per estremo relativo

e sia x0 un punto interno a D. Se f è derivabile in

x0 e se x0 è un estremante per f, allora

€

f : D⊆R →R

€

′ f x0( ) = 0

cioè x0 è un punto stazionario per f

Dimostrazione:sia x0 un punto di massimo relativo per f :

€

∃U x0( ) tale che :

€

f x( ) ≤ f x0( ) ∀x ∈U x0( )

essendo x0 un punto interno di D è possibile scegliere

€

U x0( )⊂D

Se per assurdo fosse:

€

′ f x0( ) = Limx → x0

f x( ) − f x0( )

x − x0

> 02

Per il teorema della permanenza del segno applicato al rapporto incrementale, si avrebbe:

Per ogni x appartenente ad un opportuno intorno di x0 incluso in

€

U x0( )

€

ma allora ∀x ∈U x0( )

In modo analogo si dimostra che non può essere:

€

′ f x0( ) = Limx → x0

f x( ) − f x0( )

x − x0

< 0

€

f x( ) − f x0( )

x − x0

> 0

€

se x > x0 ⇒ f x( ) > f x0( )

e si cade nell’assurdo in quanto si nega l’ipotesi di partenza per cui x0 sia un punto di massimo relativo per f.

Si ricava quindi che:

€

′ f x0( ) = Limx → x0

f x( ) − f x0( )

x − x0

= 0

3

Controesempi

x0 non è interno

€

f : 0; 1[ ] →R

€

f x( ) = x

€

f x( ) = x −1

€

f : 0; 2[ ] →R

f non è derivabile in x0

€

f x( ) = x

€

f : 0; 1( ) →R

x0 non è punto estremante

4

Osservazione La condizione espressa dal teorema di Fermat non è sufficiente, non basta cioè, che un punto interno al dominio sia stazionario per la funzione per garantire che il punto sia di estremo relativo.

€

f x( ) = x − 2( )3

+1

€

2

€

′ f x( ) = 3 x − 2( )2

1( ) + 0

€

′ f x( ) = 3 x − 2( )2

€

′ f x( ) = 0⇒ x = 2

5

Teorema di Rolle tale che:

€

f : a; b[ ] →R

€

i) f continua in a; b[ ]

Dimostrazione:

Se f è costante la tesi è immediata: ogni punto è stazionario

Sia f non costante. Per il teorema di Weierstrass

€

f assume in a; b[ ] massimo assoluto M e minino assoluto m

€

ii) f derivabile in a; b( )

€

iii) f a( ) = f b( )

€

allora esiste c ∈ a; b( ) tale che ′ f c( ) = 0

allora, almeno uno dei due estremi assoluti deve essere un punto interno, vista la terza ipotesi!

€

sia M > m

€

sia c ∈ a; b( ) tale che f c( ) = M Per il teorema di Fermat

€

′ f c( ) = 06

Interpretazione grafica La condizione espressa dal teorema di Rolle non è necessaria, cioè una funzione può comunque avere un punto interno stazionario anche se le ipotesi del teorema non sono verificate. Viene meno però la certezza della sua presenza. Inoltre il teorema afferma la presenza di almeno un punto stazionario e quindi è possibile averne più di uno.

Ipotesi verificate Ipotesi non verificate7

Controesempi

f non è derivabile in

€

f : −1; +1[ ] →R

€

f x( ) = x

€

f x( ) =

1 / 2

x

1 / 2

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪€

f : 0; 1[ ] →R

f non è continua in

€

f x( ) = x

€

f : 0; 1[ ] →R

€

a; b( )

€

x = 0

0 < x <1

x =1

€

a; b[ ]

€

f a( ) ≠ f b( )

8

Teorema di Lagrange tale che:

€

f : a; b[ ] →R

€

i) f continua in a; b[ ]

Dimostrazione:L’equazione della retta passante

€

a; f a( )( ) e b; f b( )( )€

ii) f derivabile in a; b( )

€

allora esiste c ∈ a; b( ) tale che ′ f c( ) =f b( ) − f a( )

b − a

Costruiamo la funzione

Per tale funzione sono rispettate le ipotesi del teorema di Rolle, infatti:

€

y − f a( ) =f b( ) − f a( )

b − ax − a( )

€

r x( ) =f b( ) − f a( )

b − ax − a( ) + f a( )

€

g x( ) = f x( ) − r x( )

€

′ r x( ) =f b( ) − f a( )

b − a

9

è continua in

€

g x( )

€

a; b[ ]in quanto differenza di funzioni continue

€

g x( ) è derivabile in

€

a; b( )in quanto differenza di funzioni derivabili

€

g a( ) = f a( ) − r a( ) = 0

€

g b( ) = f b( ) − r b( ) = 0

Quindi

€

g a( ) = g b( )

Ma allora esiste

€

c ∈ a; b( ) tale che ′ g c( ) = 0

€

′ g x( ) = ′ f x( ) − ′ r x( )⇒

€

′ g c( ) = ′ f c( ) − ′ r c( ) = 0⇒

€

′ f c( ) = ′ r c( )

€

′ r c( ) =f b( ) − f a( )

b − a

€

⇒ ′ f c( ) =f b( ) − f a( )

b − a

10

€

g x( ) = f x( ) − r x( )

Interpretazione grafica Il teorema di Lagrange assicura la presenza di almeno un punto interno all’intervallo in cui la tangente alla funzione sia parallela alla retta passante per i due estremi dell’intervallo preso come dominio della funzione. Anche in questo caso si tratta di una condizione sufficiente.

€

c

€

c1

11

€

⇒ ′ f c( ) =f b( ) − f a( )

b − a

Corollari del teorema di Lagrange tale che:

€

f : I = a; b[ ] →R

€

i) f continua in I

€

ii) f derivabile in a; b( )

€

allora se x1, x2 ∈ I

f monotona crescente in I

€

1) ′ f x( ) ≥ 0 ∀x ∈ I ⇒€

⇒ f x2( ) − f x1( ) = ′ f c( ) x2 − x1( )

€

con c ∈ x1; x2( )

€

2) ′ f x( ) > 0 ∀x ∈ I ⇒ f monotona crescente in senso forte in I

€

3) ′ f x( ) = 0 ∀x ∈ I ⇒ f costante in I

€

4) ′ f x( ) = ′ g x( ) ∀x ∈ I ⇒ f e g differiscono per una costante in I

L’ipotesi che la funzione sia definita su un intervallo è essenziale

12

€

f x( ) =1

x

€

dom f = −∞;0( )∪ 0;+∞( )

€

′ f x( ) = −1

x 2

€

f x( ) =1

x€

′ f x( ) < 0⇒ ∀x ∈D

D non è un intervallo!!!

€

x1

€

f x1( )

€

x2€

f x2( )

€

x1 < x2 ⇒ f x1( ) < f x2( )

f non è un monotona decrescente nel suo

dominio!!!

La ricerca dei punti estremanti

I punti di massimo e di minimo di una funzione non è detto che siano punti stazionari. Si ha la certezze che lo siano se e solo se sono punti interni al dominio e la funzione è ivi derivabile.

Punti di massimo e minimo si possono quindi “nascondere” nei punti angolosi e nelle cuspidi.

Cosa fare per trovarli?

1) calcolare la

€

′ f x( )

14

2) calcolare il dominio di

€

′ f x( )

3) se:

€

dom f x( ) = dom ′ f x( )⇒ non ci sono punti notevoli

la funzione è derivabile in ogni punto, e quindi eventuali punti interni estremanti sono punti stazionari

€

⇒ ′ f x( ) ≥ 0

La ricerca dei punti estremanti

15

4) se:

€

dom ′ f x( )⊂dom f x( )⇒ ci sono punti notevoli

esiste almeno un punto in cui la funzione è continua ma non è derivabile. E’ necessario quindi studiare la natura del punto notevole perché potrebbe essere una cuspide oppure un punto angoloso di minimo o massimo.

Esercizio

Determinare i punti stazionari, gli intervalli di monotonia e i punti estremanti di

€

f x( ) = xex

€

Dom f = R

€

′ f x( ) = ex + xex

€

Dom ′ f = R

€

Dom f = Dom ′ f

Dove la funzione è continua è anche derivabile. Questo permette di escludere l’eventuale presenza di punti notevoli per la funzione (cuspidi, flessi a tangenza verticale, punti angolosi). Inoltre ci permette di affermare che tutti e soli gli estremanti saranno punti stazionari.

€

′ f x( ) = 0⇒ ex + xex = 0

€

⇒ ex 1+ x( ) = 0

€

⇒ ex = 0 impossibile

€

⇒ 1+ x = 0 ⇒ x = −1

€

′ f x( ) > 0⇒ ex + xex > 0

€

⇒ ex 1+ x( ) > 0

€

⇒ ex > 0 ∀x ∈R

€

⇒ 1+ x > 0 ⇒ x > −1

€

′ f x( ) > 0⇒ x > −1

16

€

−1

€

x = −1

segno della derivata prima

punto di minimo assoluto

punto stazionario di minimo assoluto

€

−∞; −1( ] f monotona decrescente in senso forte

€

−1; +∞[ ) f monotona crescente in senso forte

f decresce f cresce

17

Esercizio

Determinare i punti stazionari, gli intervalli di monotonia e i punti estremanti di

€

f x( ) = x −13

€

Dom f = R

€

′ f x( ) =

1

3 x −1( )23

−1

3 1 − x( )23

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

€

Dom ′ f = R − 1{ }

€

Dom ′ f ⊂Dom f

potrebbe essere un punto notevole per la funzione.

€

′ f x( ) = 0⇒ mai

€

x > +1

€

x < +1

€

x = +1

€

′ f x( ) > 0⇒ x > +1

€

D1 = −∞; 1( )∪ 1; +∞( )

18

€

+1

€

x = +1

segno della derivata prima

punto di minimo assoluto

punto non stazionario di minimo assoluto

€

−∞; +1( ] f monotona decrescente in senso forte

€

+1; +∞[ ) f monotona crescente in senso forte

f decresce f cresce

€

Limh → 0−

1+ h −13 − 1 −13

h=

€

Limh → 0−

h3

h= −∞

€

Limh → 0+

1+ h −13 − 1 −13

h=

€

Limh → 0+

h3

h= +∞

€

x = +1 cuspide (minimo assoluto)19

Esercizio

Determinare i punti stazionari, gli intervalli di monotonia e i punti estremanti di

€

f x( ) =1

2 − x

€

Dom f = −∞; +2( )∪ +2; +∞( )

€

Dom ′ f = Dom f

Non sono presenti punti notevoli per la funzione.

€

′ f x( ) = 0⇒ mai

€

′ f x( ) > 0⇒ ∀x ∈D1

€

D1 = −∞; 2( )∪ 2; +∞( ) non è un intervallo!!!!€

′ f x( ) = +1

2 − x( )2

€

f non è monotona crescente in D1!!!!

€

x1 = −1 < x2 = 3⇒

€

f −1( ) =1

3> f 3( ) = −1

20

Esercizio

Determinare i punti stazionari, gli intervalli di monotonia e i punti estremanti di

€

f x( ) = x 2 − x −1

€

Dom f = R

€

Dom ′ f ⊂Dom f

€

f x( ) =x 2 − x +1 se x ≥1

x 2 + x −1 se x <1

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

€

′ f x( ) =2x −1 se x >1

2x +1 se x <1

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

€

Dom ′ f = R − 1{ }

€

Limh → 0−

1+ h( )2

− 1+ h −1 −1+ 1 −1

h=

€

Limh → 0−

h2 + 2h +1 − h −1

h=

€

Limh → 0−

h2 + 3h

h= 3

€

Limh → 0+

1+ h( )2

− 1+ h −1 −1+ 1−1

h=

€

Limh → 0+

h2 + 2h +1 − h −1

h=

€

Limh → 0−

h2 + h

h=1

€

Limx →1−

′ f x( ) = 3 ≠ Limx →1+

′ f x( ) =1

€

f è continua in x =1 ma non è derivabile

€

nota bene :

f non dervabile in x =1 ⇒ ′ f non continua in x =1

21

è un punto angoloso che potrebbe essere un punto estremante per la funzione pur non essendo punto stazionario; tutti gli altri estremanti eventuali saranno anche punti stazionari!

punto stazionario

€

x = +1

€

′ f x( ) ≥ 0⇒

€

2x −1≥ 0⇒ x ≥1 / 2 in 1; +∞( )

€

2x +1 ≥ 0⇒ x ≥ −1 / 2 in −∞; 1( )

€

x = −1 / 2

segno della derivata prima

€

+1

€

−1 / 2

f decresce f cresce

di minimo assoluto

non è

22

f è invertibile in

€

−1 / 2; +∞[ )

€

f x( ) =x 2 − x +1 se x ≥1

x 2 + x −1 se x <1

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

f è invertibile in

€

−∞; −1 / 2( ]

€

′ f − 1( ) = 3

€

′ f + 1( ) =1

23