Conseguenze del Teorema di Lagrange, Criterio di monotonia...
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23/10/2015 1 Conseguenze del Teorema di Lagrange 1) Criterio di monotonia Sia f(x):[a,b]R, continua in [a,b], e derivabile in (a,b). Allora: f è crescente in [a,b] f’(x) 0 x[a,b] f è decrescente in [a,b] f’(x) 0 x[a,b] Dimostrazione. Sia e siano con . Per il Teorema di Lagrange 0 ) ( x f ] , [ , 2 1 b a x x 1 2 x x : ) , ( 2 1 0 x x x ) )( ( ) ( ) ( 1 2 0 1 2 x x x f x f x f 0 0 ) ( 1 2 0 x x e x f ma ) ( ) ( 1 2 x f x f Conseguenze del Teorema di Lagrange, Criterio di monotonia
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Conseguenze del Teorema di Lagrange
1) Criterio di monotonia
Sia f(x):[a,b]R, continua in [a,b], e derivabile in (a,b).
Allora:
f è crescente in [a,b] f ’(x) 0 x[a,b]
f è decrescente in [a,b] f ’(x) 0 x[a,b]
Dimostrazione.
Sia e siano con .
Per il Teorema di Lagrange
0)( xf ],[,21
baxx 12xx
:),(210
xxx
))(()()(12012
xxxfxfxf
0 0)( 120 xxexfma
)()(12
xfxf
Conseguenze del Teorema di Lagrange, Criterio di monotonia
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Viceversa.
Sia crescente in .
Allora
Facendo il limite per si ha
)(xf ],[ ba
hasibahxx ),,(,
0)()(
h
xfhxf
0)( xf
0h
Analoga dimostrazione per
f è decrescente in [a,b] f ’(x) 0 x[a,b]
Conseguenze del Teorema di Lagrange, Criterio di monotonia
f è decrescente in [a,b] f ’(x) 0 x[a,b]
Analoga dimostrazione per
Si ha inoltre
strettamente crescente
strettamente decrescente
0)(xf
0)(xf
Conseguenze del Teorema di Lagrange, Criterio di monotonia
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2) Sia f(x):[a,b]R, derivabile in (a,b).
f è costante f’(x) = 0 x(a,b)
3) Sia x0 (a,b) e
Se esiste un intorno destro (sinistro), in cui
e un intorno sinistro (destro) in cui ,
allora x0 è un punto di minimo (massimo) relativo.
Conseguenze del Teorema di Lagrange
0)(0 xf
0)( xf
0)( xf
- +
x0
f
f ’
+ -
x0
f
f ’
x0 minimo relativo x0 massimo relativo
Conseguenze del Teorema di Lagrange
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Esercizio
Determinare i punti di massimo o di minimo relativo per la
funzione
xxxf 12)( 3
Esercizio
Determinare un intervallo in cui
è crescente
x
xxf
cos2
cos2)(
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Teorema di Cauchy
Siano
i) f e g sono continue in [a,b];
ii) f e g sono derivabili in (a,b).
Allora se ),,( ,0)( baxxg
)()(
)()(
)(
)(
0
0
agbg
afbf
xg
xf
:],[:, Rbagf
:),(0
bax
Teorema di Cauchy
Dimostrazione.
Si consideri la funzione ausiliaria
Essendo
),,( ,0)( baxxg
))()((
)()(
)()()()()( agxg
agbg
afbfafxfx
).()( agbgallora
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Teorema di Cauchy
Inoltre
i) è continua in [a,b];
ii) è derivabile in (a,b);
iii)
)(x
)(x
)()( ba
0)( :),(00 xbax
cioè
)()(
)()(
)(
)(
0
0
agbg
afbf
xg
xf
Teorema di de l’Hopital
Siano f(x), g(x) derivabili in [a,b]-x0:
0)()( limlim00
xgxfxxxx
)()( limlim00
xgxfxxxx
Se esiste il limite
oppure
)('
)('lim
0xg
xf
xx
finito o infinito
Allora )('
)('
)(
)(limlim
00xg
xf
xg
xf
xxxx
Il teorema è valido anche per x x0+ o x x0
- ,
e per x (f e g derivabili in intervalli illimitati )
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Esercizio
Calcolare il limite 30
sinlim
x
xxx
Esercizio
Calcolare il limite
)1ln(
1lnlim
2x
xx
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Esercizio
Calcolare il limite xxx
lnlim0
Funzioni convesse e concave
a b
Funzione convessa
epigrafico
O
Definizione
Sia , si chiama epigrafico (o sopragrafico)
di f l’insieme
.)( ],[:),( 2 xfyebaxRyx
Rbaxf ],[:)(
epi f:=
f è convessa in [a,b] se il suo epigrafico è un insieme
convesso
]1,0[ ],,[, ),()()1())1((212121
tbaxxxtfxfttxxtf
x1 x2
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Funzioni convesse e concave
a b
Funzione concava
epigrafico
O
Analogamente:
f è concava in [a,b] se il suo epigrafico è un insieme concavo
]1,0[ ],,[, ),()()1())1((212121
tbaxxxtfxfttxxtf
x1 x2
Funzioni convesse e concave
a b
Funzione convessa
epigrafico
O
Definizione
Sia f(x) derivabile in [a,b],
f è convessa in [a,b] ],[, ),)(()()(0000
baxxxxxfxfxf
Cioè ∀x0 il grafico di f sta al di sopra della retta tangente
ad f(x) in (x0,f(x0))
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Funzioni convesse e concave
a b
Funzione concava
O
Definizione
Sia f(x) derivabile in [a,b],
f è concava in [a,b] ],[, ),)(()()(0000
baxxxxxfxfxf
Cioè ∀x0 il grafico di f sta al di sotto della retta tangente ad
f(x) in (x0,f(x0))
Derivata seconda
La derivata seconda di una funzione f(x) rappresenta la
velocità di variazione della pendenza del grafico di f(x)
. R
R
1)0( f Curvatura del grafico di f(x) in x=0
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Criterio di convessità
Sia f:[a,b]→R,
a) Se f è derivabile in (a,b) allora
)( )()( edecrescentcrescenteèxfconcavaconvessaèf
),( ),0)(( 0)()( baxxfxfconcavaconvessaèf
b) Se f è derivabile due volte in (a,b) allora
Utilizzando il segno di si può stabilire se x0 è un
punto di massimo o un punto di minimo relativo per f(x)
)(xf
Sia f(x) derivabile due volte con derivata continua
in un intorno di x0∊(a,b):
se
se
relativo minimo di punto è xxf xf000
0)(,0)(
relativo oassimm di punto è xxf xf000
0)(,0)(
Infatti, supponiamo che con
Per il Teorema della permanenza del
segno: in è convessa in I:
0)(,0)(00 xf xf
. )( continuaxf
0)( xf ),(0xI
).)(()()(000
xxxfxfxf
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Ma
cioè x0 è di minimo relativo per f.
),(, ),()( ,0)(00000
xxxxxfxfxf
Criterio per i punti di massimo e di minimo relativo
Sia f:(a,b)→R, derivabile n volte in x0 ∊ (a,b), n ≥ 2, e tale che
in x0 tutte le derivate tranne l’n-esima siano nulle. Allora:
0)(
0)(
00
(n)
00
(n)
relativomassimodièxxf
ativominimo reldièxxfeparinse
Se n è dispari x0 non è punto di estremo (si dice flesso a
tangente orizzontale.
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Definizione.
Sia f:(a,b)→R e x0 ∊ (a,b) un punto di derivabilità per f(x)
oppure
x0 si dice di flesso se esiste un intorno destro di x0 in cui f è
convessa (concava) ed un intorno sinistro in cui f è
concava (convessa) .
.)(0
xf
Se x0 è di flesso per f , ed
esiste allora
),(0
xf
0)(0 xf
Esercizio
Calcolare i punti di estremo e i punti di flesso
della funzione f(x)=x3 + 2x
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Studio del grafico di f(x)
1) Dominio di f(x), intersezioni con gli assi cartesiani,
2) Simmetrie;
3) Limiti agli estremi del dominio (eventuali asintoti)
4) Studio della derivata prima (crescenza, decrescenza,
punti di estremo locale)
5) Studio della derivata seconda: Concavità e convessità,
flessi
Studio del grafico di f(x), Asintoti
Se esiste una retta di equazione y=mx+q:
Allora y=mx +q si definisce asintoto obliquo per f(x).
Si ha
0)()(lim
qmxxfx
;)(
limx
xfm
x mxxfq
x
)(lim
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Studio del grafico di f(x), Asintoti
Se si chiama asintoto orizzontale
Se l’asintoto orizzontale non c’è (il limite sopra è infinito)
allora potrebbe esserci quello obliquo.
Se si chiama asintoto verticale
con x0 punto di accumulazione per f
lylxfx
,)(lim
0 ,)(lim
0
xxxfxx
Esercizio
Si disegni il grafico della funzione 2
3
)1(2)(
x
xxf
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Esercizio
Si disegni il grafico della funzione xxexf )(
