Fabio Giannoni Precorso di Analisi Matematica 1docenti.unicam.it/tmp/2996.pdfCAPITOLO 1 Introduzione...

Fabio Giannoni

Precorso di Analisi Matematica 1

Indice

Capitolo 1. Introduzione 3

Capitolo 2. Alcuni richiami: insiemi e funzioni 52.1. Insiemi 52.2. Funzioni 9

Capitolo 3. Insiemi numerici 133.1. I numeri naturali 133.2. I numeri relativi 153.3. I numeri razionali 173.4. I numeri reali 20

Capitolo 4. Polinomi, radici, intervalli, moduli 224.1. Intervalli 224.2. Polinomi 234.3. Radici n-esime 264.4. Valore assoluto 27

Capitolo 5. Equazioni e disequazioni algebriche 305.1. Equazioni di secondo grado 305.2. Disequazioni di secondo grado 325.3. Radici razionali 345.4. Disequazioni biquadratiche 355.5. Equazioni di quarto grado reciproche 365.6. Disequazioni razionali 405.7. Disequazioni con il valore assoluto 435.8. Disequazioni irrazionali 46

Capitolo 6. Funzioni esponenziali e logaritmiche 496.1. Funzione esponenziale 496.2. Funzione logaritmica 55

1

INDICE 2

6.3. Disequzioni logaritmiche 586.4. Disequazioni esponenziali 606.5. Disequazioni trascendenti: ulteriori esempi 62

Capitolo 7. Funzioni trigonometriche 647.1. Funzioni trigonometriche 647.2. Equazioni trigonometriche 807.3. Disequazioni trigonometriche 86

Capitolo 8. Principio di Induzione e Binomio di Newton 898.1. Binomio di Newton e somme di potenze. 91Il triangolo di Tartaglia per il calcolo dei coefficienti binomiali 94

Capitolo 9. Brevi richiami di geometria analitica ed euclidea 95

Capitolo 10. I numeri complessi 98Motivazioni 9810.1. Definizione dei numeri complessi 9910.2. Rappresentazione algebrica dei numeri complessi 10010.3. Forma trigonometrica (o polare) dei numeri complessi 108

CAPITOLO 1

Introduzione

Queste note hanno lo scopo di fornire i prerequisiti che gli studentidebbono conoscere gli studenti del primo annodi matematica e fisicaper poter seguiore con profitto il corso di Analisi Matematica 1.

Prima di iniziare questo precorso siete stati sottoposti ad un testcon lo scopo di provare il livello delle vostre conoscenze e consigliarefortemente di seguire queste lezioni a chi il test non l’ha superato.

Io invece CONSIGLIO A TUTTI QUANTI di seguire questo pre-corso perche vi fara bene. Alla fine del precorso e previsto un testper coloro che non l’hanno superato la prima volta.

Ma quello che importa di piu e che lo seguiate, interrompendo ildocente quando c’e qualcosa che non vi e chiaro. E riguardando acasa le cose che sono state dette durante la lezione. E’ questo il primopasso per pter seguire piu agevolmente le lezioni del corso di Analisi1.

Lavorate seriamente fin da subito. Poi nelle dispense di Analisi1 troverete le istruzioni per il loro uso, con suggerimenti per poterimparare le cose e poter superare l’esame con esito positivo.

Buon lavoro.

Ringraziamenti. Vorrei ringraziare gli studenti del primo annodei corsi di laurea di Matematica e di Fisica, anno accademico 2012/13,per la loro partecipazionee attiva alle lezioni del precorso. In par-ticolare le studentesse Ilaria Giancamilli ed Elena Raponi per comehanno preso gli appunti che sono stati la base per scrivere questenote. Ed anche tutti gli studenti e studentesse che sono intervenutiripetutamente con domande quando non era loro chiaro qualcosa.Tra tutti spicca la studentessa Valentina Macchiati che si puo proprio

3

1. INTRODUZIONE 4

dire che non me ne ha lasciata passare una e con le sue domande estata di aiuto a tutti.

Un ringraziamento particolare alla dottoressa Claudia Vannuc-chi che e’ stato tutor per il corso di Analisi Matematica 1 e che hatrasformato gli appunti in un testo scorrevole.

CAPITOLO 2

Alcuni richiami: insiemi e funzioni

In questo primo capitolo, vengono richiamati sinteticamente al-cuni concetti e nozioni relativi alla teoria degli insiemi e alle funzioni,argomenti che saranno utili in seguito.

2.1. Insiemi

Ricordiamo che i matematici chiamano insieme una qualsiasiracolta di oggetti. Questi vengono detti elementi e si dice cheappartengono all’insieme. Di soliuto gli insiemi si indicano con unalettera maiuscola ed i suoi elementi con lettere minuscole. Con lascrittura

a ∈ A

si intende dire che l’elemento a appartiene all’insieme A. Invece conla scrittura a < A si intende che l’elemento a non appartiene ad A.Indicheremo con ∅ l’insieme vuoto, ossia l’insieme privo di elemen-ti. Inoltre N,Z,Q,R indichereanno rispettivamente gli insieme deinumeri naturali, iinteri, razionali, reali.

Spesso puo essere descritto mediante una proprieta che caratteriz-za i suoi elementi. In altre parole se P(x) e una proprieta che risultavera o falsa a seconda di chi e x, a partire da essa si puo descriverel’insieme di tutti gli elementi tali che la proprieta P e vera, e taleinsieme si rappresenta nel seguente modo:

{x : P(x) e vera} .

Esempio 2.1. Se n ∈N, consideriamo la proprieta

P(n) : n e divisibile per 2.5

2.1 Insiemi 6

L’insieme{n : P(n) e vera},

e l’insieme dei numeri pari. I due punti si leggono: tali che o tale chea seconda dei casi.

Definiamo ora le principali operazioni con gli insiemi. Gli insiemiunione, intersezione e differenza sono definiti rispettivamente da

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} ,A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}A \ B = {x : x ∈ A ∧ x < B} .

Si dice anche che A \ B e il complementare di B rispetto ad A. Ilsimbolo ∨ si legge oppure con il significato del vel latino, mentre ilsimbolo ∧ si legge e, (et latino).

Definiamo adesso le seguenti relazioni tra insiemi. Dati due in-siemi A e B, si dice che A e sottoinsieme di B se ogni elemento di Aappartiene anche a B . In simboli

A ⊆ B ⇐⇒ (x ∈ A⇒ x ∈ B).

Il simbolo⇒ indica una conseguenza logica. La scritturaP(x)⇒ Q(x)si legge: seP(x) e vera alloraQ(x) e vera. Invece il simbolo⇐⇒ indicauna equivalenza logica. La scrittura P(x) ⇐⇒ Q(x) si legge: P(x) evera se e solo se Q(x) e vera.

Diciamo che due insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessielementi, cioe se ogni elemento di A appartiene a B ed ogni elementodi B appartiene ad A . In simboli:

A = B ⇐⇒ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) .

Notazione 2.2. Useremo anche i seguenti connettivi logici. Ilsimbolo ∀ significhera “per ogni ”, mentre il simbolo ∃ significhera“esiste ”.

Osservazione 2.3. Nella lingua parlata gli elementi costitutivi so-no le proposizioni. Cosı e anche in matematica. Ad esempio sonoproposizioni

• 2 · 3 = 6

2.1 Insiemi 7

• ∃n ∈N : n e divisibile per 2• n ∈N e divisibile per 2 ∀n ∈N.

sono proposizioni nel linguaggio matematico. Pero a differenza dellalingua parlata le proposizioni in matematica possono avere un solovalore di verita: vero o falso. Ad esempio la prima e la secondaproposizione sono vere, mentre la terza e falsa. Una proposizionepuo essere vera o falsa, non ci sono altre possibilita. D’altra parte nontutte le proposizioni del linguaggio parlato sono una proposizionenel linguaggio matematico (ad esempio ”Questa frase e falsa”, none una proposizione perche se suppongo che e vera allora e falsa eviceversa). A titolo esemplificativo, la seguente proposizione

“∀n ∈N, n e divisibile per 2 “

risulta falsa.

Oltre alle proposizioni in matematica sono fondamentali le re-lazioni (o predicati) che possono dipendere da una o piu variabili.Quando non ci sono entita variabili si parla di proposizioni. Adesempio consideriamo

R(x) : x2 − 1 > 0 , x ∈ R ,S(x, y) : x + y = 1 , x, y ∈ R .

R(1) e una proposizione falsa, S(2,−1) e una proposizione vera.Vediamo altri esempi.

Esempio 2.4. La seguente proposizione

∀n ∈N n dispari ⇒ n2 pari

e falsa.

Esempio 2.5. Siano

p(n) : n dispari

q(n) : n2 dispari .

Allora le seguenti proposizioni

p(n) ⇒ q(n) ∀n ∈N ,

2.1 Insiemi 8

p(n) ⇔ q(n) ∀n ∈N ,sono vere.

Osservazione 2.6. Sia A ⊂ R .

∀ x ∈ A , p(x) ⇒ q(x)

equivale a dire

∀ x ∈ A , NON q(x) ⇒ NON p(x) .

Siano p(x) , q(x) proprieta qualsiasi. La negazione di

p(x) ∧ q(x)

e data daNON p(x) ∨NON q(x) ,

mentre la negazione dip(x) ∨ q(x)

e data daNON p(x) ∧NON q(x) .

Notazione 2.7. Per semplicita, inseguito indicheremo ’NON p(x)’con ’p(x)’ .

La negazione di∀ x , p(x) e vera

e∃ x : p(x) .

La negazione di∃ x , p(x) e vera

e∀ x , p(x) .

La negazione di

∀ x , p(x) ⇒ q(x)

e∃ x : p(x) ∧ q(x) .

2.2 Funzioni 9

Di seguito esponiamo due importanti proprieta che coinvolgonole operazioni di intersezione ed unione.

Esercizio 2.8. verificando al doppia inclusione dimostrare leseguenti proprieta:

(1) proprieta distributiva dell’unione rispetto all’intersezione

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ;

(2) proprieta distributiva dell’intersezione rispetto all’unione

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) .

Concludiamo il paragrafo ricordando al definizione di prodottocartesiano. Chiameremo coppia ordinata (x, y) l’insieme dei dueelementi x ed y posti in ordine prestabilito: prima x e poi y. Sex , y avremo che (x, y) , (y, x). Siano dati due insiemi X ed Y.Chiameremo prodotto cartesiano di X ed Y l’insieme

X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y}.

Nel prodotto cartesiano sono definite le cosiddette relazioni binarie.Importanti in un dato insieme X sono ad easempio le relazioni diordine totale. Un relazione di ordine totale R su X e un predicatoche e definito su ogni coppia (a, b) in X ×X e che gode delle seguentiproprieta:

• R(x, x) e vera (proprieta riflessiva)• R(x, y) ∧ R(y, x)⇒ x = y (proprieta antisimmetrica)• R(x, y) ∧ R(y, z)⇒ R(x, z) (proprieta transitiva).

2.2. Funzioni

In questo paragrafo richiamiamo il concetto di funzione.Dati due insiemi non vuoti A e B, una funzione f da A a B, indicata

nel seguente modo

f : A→ B ,

2.2 Funzioni 10

e una “legge”che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo ele-mento di B. Se a e un elemento di A , tramite la funzione f corrispondead esso l’elemento di b ∈ B indicato con f (a). In simboli

a ∈ A 7→ f (a) ∈ B .

L’elemento f (a) e detta immagine di a tramite la f , mentre a e la con-troimmagine di b = f (a). L’inseme A e detto dominio della funzione,mentre B e chiamato codominio di f .

Esempio 2.9. La seguente funzione

f :N→ Q , f (n) =2n + 1

3,

ha come dominio N e come codominio Q , e ad ogni n ∈ N cor-risponde (tramite la definizione di f ) uno ed un solo elementoq = f (n) ∈ Q .

Definizione 2.10. Una funzione f definita da un inseme A a uninsieme B si dice iniettiva se, comunque si scelgano due elementia1, a2 ∈ A

a1 , a2 ⇒ f (a1) , f (a2) ,

cioe se ad elementi distinti corrispondono immagini distinte.

Osservazione 2.11. La funzione dell’Esempio 2.9 e iniettiva.Infatti, se f (n1) = f (n2) , cioe

2n1 + 13

=2n2 + 1

3

si ha

2n1 + 1 = 2n2 + 1 ⇒ 2n1 = 2n2 ⇒ n1 = n2 .

Definizione 2.12. Sia f una funzione definita da un inseme A aun insieme B. Si dice che f e surgettiva se

∀b ∈ B ∃a ∈ A : f (a) = b ,

cioe se ogni elemento di B e immagine di almeno un elemento di A .

2.2 Funzioni 11

Osservazione 2.13. La funzione dell’esempio 2.9 non e surgettiva.Se lo fosse, infatti, per ogni p ∈ Q , dovrebbe esistere un n ∈ N :2n+1

3 = p, cioe2n + 1 = 3p

ovvero

(2.1) 2n = 3p − 1 ;

scegliendo ad esempio p = 12 , non esiste nessun n ∈N tale per cui la

condizione (2.1) e verificata (infatti si ha 2n = 3 · 12 − 1 = 1

2 ) .Invece, la funzione

f : Q→ Q , f (r) =2r + 1

3

e surgettiva, perche ∀p ∈ Q : p = 2r+13 , esiste r = 3p−1

2 ∈ Q, tale chef (r) = p.

Esempio 2.14. La funzione

f : R→ R , f (x) = x2

non e iniettiva, essendo f (x) = f (−x) , e neppure surgettiva, poichese y < 0 , f (x) = y , cioe x2 = y , non ha soluzioni.

Tuttavia, se consideriamo la stessa funzione dell’esempio prece-dente, ma con f : R+ → R+ , abbiamo che essa e sia iniettiva chesurgettiva.

Osservazione 2.15. Le precedenti osservazioni ci consentono disottolineare che una funzione non e definita solo dalla “legge”, ma ecaratterizzata anche dal suo dominio (insieme di partenza) e dal suocodominio (insieme di arrivo).

Se A = B la funzione f : A → A tale che f (a) = a si chiamafunzione identica o identita.

Definizione 2.16. Se una funzione f : A → B e sia iniettiva chesurgettiva, si dice che e una funzione biunivoca (o invertibile). In talcaso e definita la funzione inversa

f −1 : B→ A

2.2 Funzioni 12

e le funzioni composte

f ◦ f −1 : B→ B

f −1 ◦ f : A→ A ,

sono la funzione identita in B ed A rispettivamente.

Il simbolo ◦ e descritto nella

Definizione 2.17. Date le funzioni f : A → B , g : B → C , sidefinisce la funzione composta

g ◦ f : A→ C

(si legge ”g composto f”) nel seguente modo: per ogni a ∈ A

g ◦ f (a) def= g( f (a)) .

Esempio 2.18. Date le funzioni

f :N→ Q , f (n) =2n + 1

3,

g : Q→ Q , g(r) = r2 ,

la funzione composta g ◦ f :N→ Q e definita da

(g ◦ f )(n) =(2n + 1

3

)2

, ∀n ∈N .

CAPITOLO 3

Insiemi numerici

Lo scopo di questo capitolo e quello di descrivere rapidamente gliinsiemi numerici partendo dai numeri naturali, passando agli interie quindi ai razionali, per concludere con l’insieme dei numeri reali.Vengono messe in luce le principali proprieta che caratterizzano taliinsiemi.

3.1. I numeri naturali

L’insieme dei numeri naturali, solitamente indicato con la latteraN , e l’insieme dei numeri del ‘contare’nella vita di tutti i giorni:

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...n, ...} .

3.1.1. Peano e i suoi assiomi. Nel 1894, il matematico italia-no Giuseppe Peano, propose di caratterizzare assiomaticamentel’insieme dei numeri naturali mediante i seguenti cinque assiomi.

(1) Esiste un numero naturale, lo 0 .(2) Ogni numero naturale ha un numero naturale successivo.(3) Numeri diversi hanno successori diversi.(4) 0 non e il successore di alcun numero naturale.(5) Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e

il successore di ogni proprio elemento, coincide con l’interoinsieme dei numeri naturali (assioma dell’induzione).

In simboli:

(1) Esiste un numero 0 ∈N .(2) Esiste una funzione s :N→N (chiamata ”successivo”) .(3) x , y implica s(x) , s(y) .(4) s(x) , 0∀n ∈N .

13

3.1 I numeri naturali 14

(5) Se U e un sottoinsieme diN tale che(i) 0 ∈ U ,

(ii) x ∈ U⇒ s(x) ∈ U ,allora U =N .

3.1.2. Operazioni inN e loro proprieta. Ricordiamo le principaliproprieta delle operazioni di addizione e moltiplicazione dei numerinaturali. Da notare che addizione e moltiplicazione possono esseredefinite rigorosamente utilizzando gli assiomi di Peano. Per quantoriguarda la somma possiamo definrila ricorsivamente ponendo

n + 0 = 0, n + s(m) = s(n +m),

mentre per la moltiplicazione si pone

n · 1 = n, n · s(m) = n ·m + n,

ove 1 = s(0). (Nella moltiplicazione il punto · spesso si toglieaccostando le lettere : a · b ha lo stesso significato di ab.)

Si dice che 0 e l’elemento neutro rispetto alla somma e 1 e l’e-lemento neutro rispetto al prodotto. Utilizzando il principio di in-duzione (e la definizione di addizione e moltiplicazione) possiamodimostrare (con un po di pazienza) le seguenti proprieta di addizionee moltiplicazione:

(1) Proprieta commutativa addizione:a + b = b + a ∀a, b ∈N .

(2) Proprieta associativa addizione:(a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈N .

(3) Proprieta commutativa moltiplicazione:a · b = b · a ∀a, b ∈N .

(4) Proprieta associativa moltiplicazione:(a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈N .

(5) Proprieta distributiva:(a + b) · c = a · c + b · c ∀a, b, c ∈N .

Osserviamo che da queste proprieta possono essere ricavatefacilmente altre proprieta dei numeri naturali. Per esempio

3.2 I numeri relativi 15

(1) dispari + dispari = pariInfatti: (2n + 1) + (2m + 1) = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1) .

(2) dispari · dispari = dispariInfatti: (2n+1) · (2m+1) = 2m ·2n+2m+1 = 2(mn+m+n)+1 .

Osservazione 3.1. Si possono anche dimostrare (sempre a par-tire dalle definizioni di somma e prodotti) le seguenti importantiproprieta

(3.1) a = b⇒ a + c = b + c ∀a, b, c ∈N,

(3.2) a = b⇒ a · c = b · c ∀a, b, c ∈N.

Inoltre si pu’ definire inN una relazione d’ordine. Si dice che m ≥ nse m = n oppure esiste k ∈ N \ {0} tale che n + k = m: in tal caso siscrive anche m > n. Si puo dimostrare che tale relazione e in effettiun relazione di ordine totale suN.

Si noti che se m > n e ben definito il numero naturale indicato conm − n tale che n + (m − n) = n. Inoltre si puo dimostrare che

m > n⇒ m + k > n + k, m > n, k , 0⇒ m · k > n · k.

Da notare infine che in N val al legge di annullamento delprodotto:

n · 0 = 0, per ogni n ∈N.Infatti n ·0 = n · (0+0) = n ·0+n ·0, mentre se fosse n ·0 > 0 si avrebbe,dalla proprieta precedente n · 0 + n · 0 > n · 0.

3.2. I numeri relativi

L’insieme dei numeri relativi, che estende quello dei naturali,viene di norma indicato con la lettera Z e puo essere descritto da

Z = {0, 1, 2, ...,n, ...} ∪ {−1,−2, ...,−m, ...} ,

dove −1,−2, ...,−m, ... saranno rispettivamente i numeri inversi di1, 2, ...,m, ... rispetto alla somma. In questo modo 0 resta l’elementoneutro rispetto alla somma in Z, la somma gode delle proprieta

3.2 I numeri relativi 16

associativa e commutativa e la proprieta (3.1). Inoltre ogni elementom ∈ Z ha un unico elemento a ∈ Z tale che m + a = 0: tale elemnto sidice inverso di m rispetto alla somma e si indica con −m, in accordocon la descrizione di Z che abbiamo dato. Da notare che −(−n) = n.

I numeri naturali diversi da 0 saranno i numeri interi positivi(> 0), mentre i numeri del tipo −m con m ∈ N \ 0 saranno i numeriinteri negativi (< 0).

Se n,m sono numeri naturali si pone per definizione

n + (−m) =

n −m, se n > m,

0 se n = m,

−(m − n) se n < m.

La quantita n + (−m) si indica anche con n −m. Infine si pone

(−n) + (−m) = −(n +m).

Possiamo cosı estendere in Z la relazione di ordine definita inNponendo

m > n⇔ m − n > 0.

Adesso si pone il problema di definire la moltiplicazione in Zestendendo quella definita inN. Se m,n sono numeri interi positivila moltiplicazione sara la stessa che in N. Supponiamo pra chen > 0 ,m < 0 ,. Sia m = −p , p > 0 . Allora se vogliamo che valga laproprieta distributiva

n ·m = n · (−p)

e l’opposto di n · p , cioe

n · (−p) + n · p = 0 ,

dato chen · (−p) + n · p = n · (−p + p) = n · 0 = 0

e vale la legge di annullamento del prodotto in N. Da notare che,se vogliamo che valga la proprieta distributiva, −n · 0 e l’opposto din · 0 per cui la legge di annullamento del prodotto vale anche in Z.Dunque anche la definizione di (−n) · (−m) e forzata e si deve avere:

(−n) · (−m) = n ·m.

3.3 I numeri razionali 17

Si noti anche che 1 e l’elemento neutro rispetto al prodotto,essendo

n · 1 = n ∀n ∈ Z .

Concludiamo questa sezione ricordando che dati due interi nonnulli m ed n, n si dice divisore di m se esiste un intero k , 1 tale chem = k · n, e che due interi non nulli si dicono primi tra loro se nonhanno uno medesimo divisore.

3.3. I numeri razionali

L’insieme dei numeri razionali viene indicato solitamente con lalettera Q , e i suoi elementi possono essere descritti nel seguentemodo.

Q = {r = ab−1 : a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}},ove i numeri del tipo b−1 saranno i reciproci di b rispetto alla mol-tiplicazione. Sciveremo anche r = a

b , con a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}, conl’accorgimento che, per ogni m ∈ Z, am

bm =ab .

Somma e moltiplicazione si possono definire nel seguente modo:

ab+

cd=

aqbq+

pbqb

def=

1bq

(aq + pb)

eab· p

qdef=

apbq,

verificando che tali definizioni non dipendono dalla rappresentazio-ne scelta per i numeri razionali.

Utizzando le due definizioni precedenti e le prorieta di somma eprodotti in Z si possono facilmente dimostare le seguenti proprietadi somma e prodotto sui razionali (assiomi di campo)

I) In Q l’operazione + (somma) , verifica∀a, b, c,∈ Q :(1) a + b = b + a (proprieta commutativa)(2) (a + b) + c = a + (b + c) (proprieta associativa)(3) Esiste l’elemento neutro della somma (lo zero): a + 0 = a


(4) Per ogni a , esiste l’elemento opposto rispettoalla somma (−a): a + (−a) = 0.

II) In Q l’operazione · (moltiplicazione) , verifica ∀a, b, c,∈ Q :(1) a · b = b · a (proprieta commutativa)(2) (a · b) · c = a · (b · c) (proprieta associativa)(3) Esiste l’elemento neutro rispetto al prodotto (1):

a · 1 = a ∀a(4) ∀a , 0, esiste l’inverso rispetto al prodotto (a−1):

a · a−1 = 1(5) Proprieta distributiva (del prodotto rispetto alla somma):

(a + b) · c = a · c + b · c

Se usiamo la notazione r = ab , lo zero si puo rappresentare con

01 e l’unita con 1

1 dove 0 e 1 sono rispetivamente gli elementi neutridella addizione e moltiplicazione in Z. Inoltre a−1 significa 1

a mentre−r = −a

b , Da queste fondamentali proprieta si deducono tutte le altre.Naturalemente possimao definire la differenza ponendo:

a − b = a + (−b),

ove b e l’inverso di b rispetto alla somma. Se r = pq ∈ Q \ {0} si pone

r > 0, se p, q sono entrambi positivi oppure negativi,

mentrer < 0, altrimenti .

Allora in Q possiamo definire una relazione d’ordine totale, indicatacon il simbolo ≥:

b > a⇔ b − a > 0.

Analogamente si possono definire le relazioni d’ordine <,≤,≥. Larelazione ≤ (≥) rende (Q,+, ·) un campo ordinato. Tale relazione hale seguenti caratteristiche:

• a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c• a ≤ b , c ≥ 0 ⇒ a · c ≤ b · c ,

che possono essere dimostrate facilemnte a partire dalle definizionidate.


Osservazione 3.2. Sia a , 0 . L’equazione di primo grado

ax + b = 0

ha come soluzione il numero razionale

x = −ba.

Dagli assiomi di campo, sappiamo che esiste l’inverso di a , cioe a−1

tale che a · a−1 = 1 . Quindi

a−1(ax + b) = a−1 · 0 = 0

a−1 · ax + a−1 · b = 0

1 · x + a−1 · b = 0

x + a−1b = 0

x + a−1b − (a−1b) = −a−1b

x = −a−1b ≡ −ba.

Osservazione 3.3. L’equazione di secondo grado

(3.3) x2 = 2 ,

(ove x2 = x · x ha come soluzioni

x = ±√

2 ,

che pero non sono numeri razionali. Infatti, supponiamo per assurdo

che la (3.3) ammetta soluzioni razionali e sia x =pq, p, q ∈ Z , q , 0 ,

una soluzione. Come abbiamo gia osservatop · αq · α =

pq,∀α , 0.

Di conseguenza, senza perdita di generalita, possiamo supporre chep e q siano numeri primi tra loro. Poiche x = p

q e soluzione della(3.3), si ha

x2 =p2

q2 = 2 ,

da cui

p2 = 2q2 .

3.4 I numeri reali 20

Quindi p2 e pari e di conseguenza anche p lo e (infatti, se per assurdop fosse dispari, anche p2 sarebbe dispari). Da p = 2m , segue che4m2 = 2q2, da cui 2m2 = q2 . Ma q2 e pari, quindi anche q e pari, cioeq = 2n . Pertanto sia p che q sono divisibili per 2 e quindi non sonoprimi tra loro. Possiamo cosı concludere che l’equazione (3.3) nonammette soluzioni razionali, e quindi

√2 non e un numero razionale.

E proprio per poter dare senso alle radici quadrate dei numeripositive che si amplia l’insieme Q a quello dei numeri reali.

3.4. I numeri reali

L’insieme dei numeri reali viene generalmente indicato con lalettera R . Com il simobolo (R,+, ·) si indica R con la somma e lamoltiplicazione. Esso e un campo, essendo caratterizzato dagli stessiassiomi dei numeri razionali. Tale campo e ordinato, cioe esiste unordinamento totale, e la relazione d’ordine verifica le proprieta:

• a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c• a ≤ b , c ≥ 0 ⇒ a · c ≤ b · c ,

che abbiamo visto valere per i numeri razionali. L’insieme dei numerireali, oltre agli assiomi dei numeri razionali, e caratterizzato dallaseguente proprieta che lo differenzia da Q

Assioma di completezza:

(3.4) Siano A,B ⊂ R tali che a ≤ b ∀a ∈ A, ,∀b ∈ B .

Allora ∃x ∈ R( detto elemento separatore tra A e B) :

a ≤ x ≤ b , ∀a ∈ A, ∀b ∈ B .

Esempio 3.4. Gli insiemi

A = {y ∈ R : y ≤ 0} ∧ {y > 0 : y2 < 2} ,

eB = {y > 0 : y2 > 2} ,

hanno come elemento di separazione il numero reale√

2 .

3.4 I numeri reali 21

Figura 1

Figura 2

Un modo per descrivere i numeri reali e quello in cui si usano gliallineamenti decimali cosiddetti propri.

Definizione 3.5. Chiamiamo allineamento decimale proprio unallineamento decimale

a0, a1a2 . . . an . . . ≡ a0 +a1

10+

a2

102 + . . .an

10n + . . .

in cui le cifre an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} da un certo posto in poi nonsono tutte uguali a 9.

Somma e relazione di ordine tra gli allineamenti decimali proprisono facili da definire. Un po meno lo e la definizione di moltipli-cazione, perche si tratta di moltiplicare tra loro due somme infinite.In ogni caso si puo fare e con parecchia pazienza si puo dimostrareche l’insieme degli allineamenti periodidi propri (che e un modo dirappresentare i numeri reali) verifica gli assiomi di campo ordinatoe l’assioma di completezza.

CAPITOLO 4

Polinomi, radici, intervalli, moduli

Questo capitolo inizia ricordando la nozione di intervallo sui nu-meri reali, e continua con una digressione su poliniomi e radici,e si conclude richiamando la definizione di modulo e alcune sueproprieta.

4.1. Intervalli

Siano a, b ∈ R , a < b . Definiamo i seguenti sottoinsiemi di R :

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} ,] a, b ] = {x ∈ R : a < x ≤ b} ,[ a, b [ = {x ∈ R : a ≤ x < b} ,] a, b [ = {x ∈ R : a < x < b} .

L’insieme [a, b] e detto intervallo chiuso, ] a, b [ e detto intervallo aperto.In generale, si definisce intervallo un sottoinsieme di R tale che, perogni coppia di suoi elementi x1, x2 , appartengono al sottoinsiemetutti i numeri reali compresi tra x1 e x2 . Dato a ∈ R , sono intervallianche i seguenti sottoinsiemi di R:

] a,+∞ [ = {x ∈ R : x > a} ,[ a,+∞ [ = {x ∈ R : x ≥ a} ,

[ −∞, a [ = {x ∈ R : x < a} ,] −∞, a ] = {x ∈ R : x ≤ a} .

Teniamo presente che

• I e un intervallo se per ogni a, b ∈ I con a < b si ha che[a, b] ⊂ I ;

22

4.2 Polinomi 23

• C ⊂ R×R e convesso se e solo se ∀ c1, c2 ∈ C il segmento checongiunge c1 e c2 e contenuto in C .

4.2. Polinomi

Definizione 4.1. Sia n ∈N . Un’espressione della forma

P(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 , con ai ∈ R, an , 0 , x ∈ R ,

viene detta polinomio di grado n . Gli ai sono chiamati coefficienti delpolinomio e n ≡ deg P e il grado del polinomio.

I polinomi costituiscono un particolare esempio di funzione.

Esempio 4.2. Consideriamo il seguente esempio di polinomio digrado n:

(4.1) f (x) = xn , n ∈N .

Per n=1 , si haf (x) = x

che e la funzione identita inR ed e una funzione iniettiva e surgettiva.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

f(x)=x

y

Figura 1

Per n=2 , abbiamof (x) = x2

che e una funzione non iniettiva e non surgettiva (lo diventa se con-sideriamo la funzione con f : R+ → R+), ove R+ = {x ∈ R : x ≥ 0}.

Per n=3, si ha la funzione

f (x) = x3 ,

4.2 Polinomi 24

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100f(x)=x2

x

y

Figura 2

che e sia iniettiva che surgettiva.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1000

−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

1000f(x)=x3

x

y

Figura 3

La funzione xn gode di alcune interessanti proprieta.

Proprieta 4.3.

• Per n ≥ 1 , la funzione f (x) = xn con f : R+ → R+ estrettamente crescente, cioe

0 ≤ x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) .

Per dimostrare questo fatto, osserviamo preliminarmenteche la condizione f (x1) < f (x2) equivale a f (x2) − f (x1) > 0 .

4.2 Polinomi 25

Siano 0 ≤ x1 < x2 . Abbiamo

per n = 1 , f (x2) − f (x1) = x2 − x1 > 0 ;

per n = 2 , f (x2) − f (x1) = x22 − x2

1 = (x2 − x1)(x2 + x1) > 0 ;

per n = 3 , f (x2) − f (x1) = x32 − x3

1 = (x2 − x1)(x22 + x1x2 + x2

1) > 0 .

In generale, si ha

(4.2) f (x2) − f (x1) = xn2 − xn

1 =

(x2 − x1)(xn−12 + xn−2

2 x1 + ... + x2 xn−21 + xn−1

1 ) =

(x2 − x1) · g(x1, x2) > 0 ,

perche g(x1, x2) e dato dalla somma di termini non negativialmeno uno dei quali, xn−1

2 , e strettamente positivo. Si osserviche nella (4.2) abbiamo utilizzato il fatto che

(x2 − x1)(xn−12 + xn−2

2 x1 + ... + x2 xn−21 + xn−1

1 )

= xn2 + xn−1

2 x1 + ... + x22xn−2

1 + x2xn−11

−(x1xn−12 + xn−2

2 x21 + ... + x2xn−1

1 + xn1),

e semplificando nell’ultima espressione restano soltanto ilprimo e l’ultimo termine, cioe xn

2 − xn1 .

Si noti che essendo g(x1, x2) > 0 dalla (4.2) si ha

xn2 − xn

1 > 0 ⇔ x2 − x1 > 0 .

• Se n e pari, f (x) = xn e una funzione pari, cioe f (−x) =f (x) ∀x ∈ R.

La dimostrazione di questa proprieta e immediata.Infatti, per n pari, si ha

f (−x) = (−x)n = (−1)nxn = xn = f (x) ∀x ∈ R .

Di conseguenza, per n pari, il grafico della funzione f (x) = xn

e simmetrico rispetto all’asse y (vedere in Figura 2 il graficodi f (x) per n=2).

4.3 Radici n-esime 26

• Se n e dispari, f (x) = xn e una funzione dispari, cioe f (−x) =− f (x) ∀x ∈ R.Anche in questo caso, segue facilmente che per n dispari

f (−x) = (−x)n = (−1)nxn = −xn = − f (x) ∀x ∈ R .

Di conseguenza, per n dispari, il grafico della funzione e sim-metrico rispetto all’origine degli assi cartesiani (ad esempiovedere in Figura 3 il grafico di f (x) per n=3).

Sia n ∈N ,n > 0 . Abbiamo visto che la funzione xn e strettamentecrescente in R+. Da questo segue che la funzione x−n e strettamentedecrescente in in R+.

In generale, vale la seguente

Proposizione 4.4. Se la funzione f : [a, b]→ R+ \ {0} e strettamente

crescente, allora1f

e strettamente decrescente.

Dimostrazione. Supponiamo a ≤ x1 < x2 ≤ b .

Vogliamo dimostrare che1

f (x1)>

1f (x2)

. Poiche f e positiva, la

relazione sopra equivale a

f (x2)f (x1)

> 1 ,

a sua volta equivalente a

f (x2) > f (x1) ,

cioe l’ipotesi di stretta crescenza di f . �

4.3. Radici n-esime

Sia n ∈N e x ∈ R tale che

xn = y , y ≥ 0 .

Il simbolo xn e detto potenza n-esima di x . Vale la seguente

Proprieta 4.5.∃! a ∈ R+ : an = y .

4.4 Valore assoluto 27

Definizione 4.6. Il numero reale positivo a che verifica taleproprieta e detto radice n-esima di y e si indice con

n√

y ≡ y1n

Osservazione 4.7. (Unicita.) L’unicita e immediata perche

a1 , a2 ⇒ an1 , an

2 .

Infatti se 0 ≤ a1 < a2 come abbiamo visto an1 < an

2 .

L’esistenza e piu delicata: la dimostrazione al daremoi nel corsodi Analisi Matematica 1, utilizzando il cosiddetto Teorema degli Zeri.

4.4. Valore assoluto

Definizione 4.8. Il valore assoluto o modulo di un numero reale x ,e definito nel seguente modo:

|x| ={

x se x ≥ 0 ,−x se x < 0 .

Consideriamo un numero reale a > 0 e la disequazione

(4.3) |x| ≤ a .

Se x ≥ 0 , dalla definizione di valore assoluto si ha che |x| = x , quindila (4.3) diventa

x ≤ a .

Se x < 0 , la (4.3) diventa

−x ≤ a , cioe x ≥ −a .

Quindi, complessivamente, le soluzioni della (4.3) sono i valoridi x compresi tra −a e a , cioe

−a ≤ x ≤ a

o equivalentemente, i valori dell’intervallo [−a, a] .


Figura 4

Proprieta fondamentale del valore assoluto.

(1) −|x| ≤ x ≤ |x| ∀x ∈ R ; tale proprieta si dimostradistinguendo i casi x ≥ 0 e x < 0.

(2) |xy| = |x||y| ∀x, y ∈ Re in particolare | − x| = |x| ∀x ∈ R ; questo si dimostradistinguendo tra le posizioni di (x, y) in R2, a seconda che sitrovi nel primo, secondo, terzo o quarto quadrante.

(3) (Propieta triangolare) |x + y| ≤ |x| + |y| ∀x ∈ R .Per dimostrare tale propieta, proveremo la seguentedisuguglianza ad essa equivalente

(4.4) |x + y|2 ≤ (|x| + |y|)2 ∀x ∈ R .

In generale, osserviamo che ∀a ∈ R si ha

|a|2 = a2 , essendo |a|2 ={

a2 se a ≥ 0 ,(−a)2 se a < 0 .

Pertanto la (4.4) equivale a

x2 + 2xy + y2 ≤ |x|2 + 2|xy| + |y|2 = x2 + 2|x||y| + y2 .

Tale disuguaglianza e vera se e solo se

2xy ≤ 2|x||y|⇔ xy ≤ |x||y|⇔ xy ≤ |xy| ,

ma quest’ultima proprieta e vera per ogni x, y ∈ R . Laproprieta trinagolare risulta quindi dimostrata.

(4) ||x| − |y|| ≤ |x − y| ∀x, y ∈ R .Dimostrazione: supponiamo prima che |x| − |y| ≥ 0 , cioe


|x| ≥ |y| . Dobbiamo quindi provare che

(4.5) |x| − |y| ≤ |x − y| ,ossia

|x| ≤ |x − y| + |y| ,e quest’ultima si dimostra applicando la proprietatriangolare:

(4.6) |x| = |(x − y) + y| ≤ |x − y| + |y| .Ipotizziamo ora che |x| − |y| ≤ 0 , cioe che |x| ≤ |y| . Si vuoledimostrare che

|y| − |x| ≤ |x − y| ;scambiando x con y nella (4.6), si ottiene

|y| = |(y − x) + x| ≤ |y − x| + |x| = |x − y| + |x| ,e cio conlcude la dimostrazione.

CAPITOLO 5

Equazioni e disequazioni algebriche

In questo capitolo vengono presentati alcuni metodi risolutivi perequazioni e disequazioni di secondo grado, disequazioni biquadra-tiche, equazioni di quarto grado reciproche, disequazioni contenentiil modulo, disequazioni razionali e irrazionali. Per ciascuna tipolgia,l’esposizione del metodo risolutivo e seguito da alcuni esempi svolti.

5.1. Equazioni di secondo grado

Nel capitolo precedente abbiamo introdotto la nozione di poli-nomio di grado n . In questa sezione prenderemo in considerazionepolinomi di secondo grado e ci occuperemo delle loro radici, ossiadato il polinomio

P(x) = ax2 + bx + c , a, b, c ∈ R , a , 0 ,

studieremo l’equazione P(x) = 0 , ovvero

(5.1) ax2 + bx + c = 0 .

Il nostro scopo in questa sezione sara precisamente quello di trovarele soluzioni x dell’equazione, dette zeri del polinomio o radici dell’e-quazione, cioe quei valori numerici che sostituiti al posto di x nella(5.1) danno come risultato il valore 0.

Osserviamo anzitutto che, grazie all’ipotesi a , 0 , l’equazione(5.1) e equivalente a

x2 +ba

x +ca= 0 .

Cerchiamo α, β tali che

(5.2) x2 +ba

x +ca= (x − α)2 + β = x2 − 2αx + α2 + β .

30

5.1 Equazioni di secondo grado 31

Si noti subito che

(5.3) (x − α)2 + β = 0 ⇔ (x − α)2 = −β ⇔ x − α = ±√−β ,

segue quindi che deve essere β ≤ 0 . Dalla (5.2) si ottiene cosı ilsistema

−2α = ba

α2 + β = ca

β ≤ 0da cui

α = − b2a, β =

4ac − b2

4a2 .

Sostituendo nella (5.3) si ottiene(x +

b2a

)2

=b2 − 4ac

4a2 ;

per semplicita definiamo

∆ := b2 − 4ac

detto discriminante dell’equazione. Quindi(x +

b2a

)2

=∆

4a2 .

Ora, se ∆ > 0 , si ha

x +b2a= ±

√∆

4a2 ,

quindi l’equazione ha due soluzioni x1, x2 reali e distinte date da

x1 =−b +

√∆

2a, x2 =

−b −√∆

2a.

Osservazione 5.1. Si noti che x1 + x2 = − ba , x1x2 =

ca

Se ∆ = 0 , si ha (x +

b2a

)2

= 0 ,

percio l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti, cioe

x1 = x2 = −b2a.

Infine, se ∆ < 0 , l’equazione non ammette soluzioni reali (nonessendo definita

√∆).

5.2 Disequazioni di secondo grado 32

Osservazione 5.2. Consideriamo il caso ∆ ≥ 0 , e siano x1, x2 so-luzioni dell’equazione, quindi P(x1) = P(x2) = 0 . Dalla regola diRuffini, sappiamo che e possibile fattorizzare il polinomio, poicheP(x) e divisibile per (x − x1) . Pertanto, se consideriamo l’equazioneP(x) = 0 nella forma

x2 +ba

x +ca= 0 ,

si ha cheP(x) = (x − x1)(dx + c) .

Essendo nel nostro caso il coefficiente di x2 uguale a 1 , P(x) diventa

P(x) = (x − x1)(x + c) = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2 .

5.2. Disequazioni di secondo grado

In generale, una disequazione di secondo grado puo esserericondotta nella forma

ax2 + bx + c R 0

con a > 0 . Se consideriamo la corrispondente funzione

y = ax2 + bx + c .

Possiamo osservare che geometricamente essa rappresenta una pa-rabola con concavita rivolta verso l’alto. Si possono distinguere trecasi sulla base del valore del discriminante ∆ . Consideriamo persemplicita il caso

ax2 + bx + c ≥ 0 , a > 0 .

Siano x1 e x2 le soluzioni (eventulmente complesse) dell’equazioneassociata ax2 + bx + c = 0 . Si ha che:

• se ∆ > 0 e se supponiamo x1 < x2 , la disequazione esoddisfatta per ogni x ≤ x1 ∨ x ≥ x2 ;• se∆ = 0 , si ha x1 = x2 e la disequazione e soddisfatta ∀x ∈ R ;• se ∆ < 0 , la disequazione e soddisfatta ∀x ∈ R .

Presentiamo di seguito un esercizio svolto.

5.2 Disequazioni di secondo grado 33

Figura 1

Esercizio 5.3. Risolvere la seguente disequazione di secondogrado:

x2 − 3x + 2 < 0 .

Svolgimento: Il discrimintante in questo caso e

∆ = 9 − 8 = 1 > 0 .

Quindi, l’equazione

x2 − 3x + 2 = 0

ammette due soluzioni reali e distinte date da

x1,2 =3 ± 1

2⇒ x1 = 1 , x2 = 2 .

Pertanto, la disequazione ha come soluzioni i valori dell’intervallo] 1, 2 [ .

5.3 Radici razionali 34

5.3. Radici razionali

Allo scopo di trovare radici razionali di un polinomio a coefficientiinteri e utile il seguente

Teorema 5.4. Consideriamo l’equazione

anxn + an−1xn−1 + . . . a1x + a0 = 0

con ogni ai in Z, e an , 0. Se x0 =pq e una radice allora p e un divisore di

a0 e q e un divisore di an.

Dimostrazione. Sia pq una radice con p e q primi tra loro. Si ha

an(pq

)n + an−1(pq

)n−1 + . . . a1(pq

) + a0 = 0

Allora abbiamo

anpn + an−1pn−1p + . . . a1pqn−1 + a0qn = 0.

Ora p ddivide i primi n − 1 termini quindi deve dividere a0qn.Poiche p e q sono primi tra loro, p deve dividere a0. Analogamenteq dicide i termini dal secondo in poi quindi divide anpn e pertantodivide an. �

Esempio 5.5. Se abbiamo una equazione del tipo

4x5 − 3x2 + 4x − 5 = 0

le eventuali radici razionali sono della forma ±54 ,±5

2 ,±5,± 14 ,±1

2 ,±1.Conderiamo invece l’equazione

x3 + x + 1 = 0 .

Osserviamo che gli unici “candidati”per l’annullamento del polino-mio P(x) = x3 + x + 1 sono ±1 . Ma nessuno dei due annulla P(x) .Quindi l’equazione data non ha soluzioni razionali.

5.4 Disequazioni biquadratiche 35

5.4. Disequazioni biquadratiche

In questa sezione, vengono proposti alcuni esercizi svolti conlo scopo di presentare il metodo risolutivo per le disequazionibiquadratiche.

Esempio 5.6. Risolviamo la seguente disequazione

(5.4) 4x4 − 17x2 + 4 > 0 .

Utilizzando la sostituzione

x2 = t ,

la disequzione iniziale diventa una disequazione di secondo gradoin t :

(5.5) 4t2 − 17t + 4 > 0 .

Calcoliamo il discriminante

∆ = (17)2 − 4 · 16 = 225 > 0 ⇒√∆ = 15

e determiniamo le soluzioni dell’equazione associata:

t1,2 =17 ± 15

8⇒ t1 = 4 , t2 =

14.

Le soluzioni della disequazione (5.5) sono{t <

14

}∪ {t > 4} .

Quindi la (5.4) ha come soluzioni{x2 <

14

}∪

{x2 > 4

};

le soluzioni dix2 <

14

sono {−1

2< x <

12

},

e quelle dix2 > 4

sono{x < −2} ∪ {x > 2} .

5.5 Equazioni di quarto grado reciproche 36

Riassumendo, le soluzioni della disequzione iniziale sono

{x < −2} ∪{−1

2< x <

12

}∪ {x > 2} .

Esempio 5.7. Risolvere

(5.6) 9x4 + 4x2 − 5 > 0 .

Ponendo x2 = t si ottiene

9t2 + 4t − 5 > 0 .

Si ha∆ = 16 + 180 = 196 ⇒

√∆ = 14 ,

da cui

t1,2 =−4 ± 14

18⇒ t1 =

59, t2 = −1 .

Quindi le soluzioni della (5.6) sono{x2 < −1

}∪

{x2 >

59

}.

La disequzione x2 < −1 non ha soluzioni reali (essendo ∆ = −4 < 0) ,mentre le soluzioni di x2 > 5

9 sono{x < −

√5

3

}∪

{x >√

53

},

che sono anche le soluzioni della (5.6).

5.5. Equazioni di quarto grado reciproche

Le cosiddette equazioni di quarto grado reciproche, si classificanonel seguente modo:

• I specie

P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + bx + a a, b, c ∈ R , a , 0 ;

• II specie

P(x) = ax4 + bx3 − bx − a a, b ∈ R , a , 0 .


Osservazione 5.8. Se x0 e una radice di P(x) = 0 , allora anche 1x0

eradice di P(x) = 0 . Infatti, prendiamo in cosiderazione l’equazione diI specie (si ragiona analogamente per quelle di II specie). Il polinomioe della forma

P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + bx + a .

Osserviamo che

P( 1x0

)=

ax4

0

+bx3

0

+cx2

0

+bx0+ a(5.7)

=1x4

0

(a + bx0 + cx2

0 + bx30 + ax4

0

)(5.8)

=1x4

0

· P(x0) .(5.9)

Quindi

P(x0) = 0 ⇒ P( 1x0

)= 0 .

Metodo risolutivo per le equazioni di I specie. Consideriamol’equazione P(x) = 0 dove il polinomio P(x) e del tipo

P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + bx + a a, b, c ∈ R , a , 0 .

Osserviamo preliminarmente che P(0) = a , 0 . Quindi possia-mo escludere a priori il valore 0 per x , cioe supporre x , 0 . Diconseguenza, si ha

P(x)x2 = ax2 + bx + c +

bx+

ax2

ovveroP(x)x2 = a

(x2 +

1x2

)+ b

(x +

1x

)+ c .

Quindi l’equazione iniziale puo essere riscritta nella forma

a(x2 +

1x2

)+ b

(x +

1x

)+ c = 0 .

Si utilizza a questo punto la sostituzione

(5.10) t = x +1x⇒ x2 +

1x2 =

(x +

1x

)2

− 2 ,

grazie alla quale l’equazione diventa

at2 − 2a + bt + c = 0 .


Analogamente per le disequazioni.

Esempio 5.9. Risolvere la seguente disequazione reciproca di Ispecie

(5.11) 2x4 − 3x3 + 4x2 − 3x + 2 > 0 .

Utilizzando il metodo appena esposto, grazie alla sostituzione (5.10),si ottiene la disequazione in t

2t2 − 3t > 0 ,

le cui soluzioni sono

{t < 0} ∪{t >

32

}.

Quindi rispetto ad x , si ha:

x +1x< 0 ⇒ x2 + 1

x< 0 ⇒ x < 0

(essendo x2 + 1 > 0 per ogni x reale) ;

x +1x>

32

⇔ x2 + 1x>

32

⇔ x2 + 1x− 3

2> 0

⇔ 2x2 − 3x + 22x

> 0 .

Osserviamo che 2x2 − 3x + 2 > 0 ∀x ∈ R , essendo ∆ = 9 − 16 < 0 .Quindi

2x2 − 3x + 12x

> 0 ⇔ x > 0 .

Si noti che nella procedura precedente abbiamo usato x , 0 che esoluzione della disequazione (5.11), che pertanto e verificata da ogninumero reale.

Metodo risolutivo per le equazioni di II specie. Consideriamoil polinomio

P(x) = ax4 + bx3 − bx − a a, b ∈ R , a , 0 .


Osserviamo che

P(1) = a + b − b + a = 0 ,

P(−1) = a + b(−1) − b(−1) − a = a − b + b − a = 0 ,

quindi P e divisiblile per x − 1 e per (x + 1). Applicando la regola diRuffini, si ottiene

P(x) = (x − 1)(ax3 + (b + a)x2 + (b + a)x + a) .

Consideriamo ora il polinomio

Q(x) = (ax3 + (b + a)x2 + (b + a)x + a) ,

e osserviamo che

Q(−1) = −a + (b + a) − (b + a) + a = 0 .

Possiamo dunsque applicare di nuovo la regola di Ruffini, ottenendocosı

Q(x) = (x + 1)(ax2 + bx + a) ,

da cuiP(x) = (x − 1)(x + 1)(ax2 + bx + a) .

Esempio 5.10. Risolviamo la seguente disequazione biquadraticadi II specie

x4 + 4x3 − 4x − 1 ≥ 0 .

Applicando il metodo appena esposto, la disequzione puo essereriscritta nella forma equivalente

(x − 1)(x + 1)(x2 + 4x + 1) ≥ 0 .

Studiamo il segno dei singoli fattori:

x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 , x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 ,

ex2 + 4x + 1 ≥ 0 ⇔

{x ≤ −

√3 − 2

}∪

{x ≥√

3 − 2}

(infatti si ha ∆ = 16 − 4 = 12 e

x1,2 =−4 ±

√12

2

5.6 Disequazioni razionali 40

da cui x1 = −√

3 − 2 , x2 =√

3 − 2 . (Si noti che −√

3 − 2 < −1 <√3 − 2 < 1).

Figura 2

Quindi dalla situaiozne descritta graficamente si deduce che lesoluzioni della disequazione sono{

x ≤ −√

3 − 2}∪

{−1 ≤ x ≤

√3 − 2

}∪ {x ≥ 1} .

5.6. Disequazioni razionali

In generale, una disequazione razionale puo essere scritta nellaforma

P(x)Q(x)

≥ 0 ,

dove P(x),Q(x) sono polinomi. Dopo aver escluso i valori che annul-lano Q(x) (che renderebbero la disequazione priva di significato), perindividuare l’insieme delle soluzioni, si studia il segno di ciascunodei polinomi, e si traccia poi uno schema riassuntivo (come nell’e-sempio 5.10) per stabilire gli intervalli di x per i quali l’espressione almembro sinistro della disequazione assume il segno desiderato (nelnostro caso valori positivi o nulli), ricordando la regola dei segni.


Esempio 5.11. Risolvere la disequazione

2 +1

x − 1≥ 1

x + 1.

Per prima cosa, escludiamo i valori di x che annullano i denominatori,cioe

x , 1 , x , −1 .

Riconduciamo ora la disequazione nella forma standard con tutte lafrazioni da una stessa parte della disuguaglianza:

2 +1

x − 1− 1

x + 1≥ 0

2x2 − 2 + x + 1 − x + 1(x − 1)(x + 1)

≥ 0

2x2

(x − 1)(x + 1)≥ 0 .

Studiamo il segno dei singoli fattori:

2x2 ≤ 0 ∀x ∈ Rx − 1 > 0 ⇔ x > 1

x + 1 > 0 ⇔ x > −1 .

Quindi, riassumendo, si ha:

Figura 3

Pertanto l’insieme delle soluzioni e

{x < −1} ∪ {x > 1} ∪ {0} .



1x+

1x − 1

+1

x − 2≥ 0 .

Anzitutto si ha:

x , 0 , x , 1 , x , 2 .

Riconduciamo la disequazione nella forma standard:

(x − 1)(x − 2) + x(x − 2) + x(x − 1)x(x − 1)(x − 2)

≥ 0

x2 − 2x − x + 2 + x2 − 2x + x2 − xx(x − 1)(x − 2)

≥ 0

3x2 − 6x + 2x(x − 1)(x − 2)

≥ 0 .

Studiamo a questo punto il segno dei fattori al denominatore:

x > 0

x − 1 > 0 ⇔ x > 1

x − 2 > 0 ⇔ x > 2 .

Passiamo quindi a studiare il segno del numeratore, trovando primadi tutto le radici di

3x2 − 6x + 2 = 0 .

Essendo ∆ = 36 − 24 = 12 > 0 , si ha

x1,2 =6 ±√

126

=6 ± 2

√3

6=

3 ±√

33

da cui

x1 =3 −√

33

, x2 =3 +√

33

;

quindi il denominatore e non negativo per i seguenti valori di x:{x ≤ 3 −

√3

3

}∪

{x ≥ 3 +

√3

3

}.

Osservando che 0 < 3−√

33 < 1 < 3+

√3

3 < 2, si ha il saeguente schemariassuntivo:

5.7 Disequazioni con il valore assoluto 43

Figura 4

Pertanto l’insieme delle soluzioni della disequazione e{0 < x ≤ 3 −

√3

3

}∪

{1 < x ≤ 3 +

√3

3

}∪ {x > 2} .

5.7. Disequazioni con il valore assoluto

In questa sezione vengono risolte alcune disequazioni con ilvalore assoluto.

Esempio 5.13. Risolvere la seguente disequazione

2 − |x − 2| ≥ 0 .

Dalla definzione di valore assoluto, si ha

|x − 2| ={

x − 2 se x − 2 ≥ 0 ,−(x − 2) se x − 2 < 0 .

Quindi la disequazione iniziale equivale all’unione delle soluzioni didue sistemi:{

x − 2 ≥ 02 − (x − 2) ≥ 0

∪{

x − 2 < 02 + (x − 2) ≥ 0 .

Risolvendoli, si ha{x ≥ 24 − x ≥ 0

∪{

x < 2x ≥ 0


da cui {x ≥ 2x ≤ 4

∪{

x < 2x ≥ 0 .

e infine{2 ≤ x ≤ 4} ∪ {0 ≤ x < 2} ,

cioe{0 ≤ x ≤ 4} .


2|x2 − x| > |x| .

Esaminiamo per prima cosa il segno di x2 − x:

x2 − x ≥ 0 ⇔ {x ≤ 0} ∪ {x ≥ 1}.

Ricordando la definizione di | · | si ha che risolvere la disequazioneprecedente e equivalente a determinare le soluzioni di{

x ≤ 02(x2 − x) > −x

∪{

0 < x < 1−2(x2 − x) > x

∪{

x ≥ 12(x2 − x) > x

Risolviamo i tre sistemi:{x ≤ 02x2 − 2x + x > 0

∪{

0 < x < 1−2x2 + 2x − x > 0

∪{

x ≥ 12x2 − 2x − x > 0

⇔{

x ≤ 02x2 − x > 0

∪{

0 < x < 1−2x2 + x > 0

∪{

x ≥ 12x2 − 3x > 0

⇒{

x ≤ 0x(2x − 1) > 0

∪{

0 < x < 1x(−2x + 1) > 0

∪{

x ≥ 1x(2x − 3) > 0

⇒{

x ≤ 0x < 0 ∨ x > 1

2

∪{

0 < x < 10 < x < 1

2

∪{

x ≥ 1x < 0 ∨ x > 3

2

da cui{x < 0} ∪

{0 < x <

12

}∪

{x >

32

}cioe

(5.12){x <

12, x , 0

}∪

{x >

32

}.


In alternativa, avremmo potuto risolvere la disequazioneosservando che

2|x2 − x| > |x| ⇔ 2|x(x − 1)| > |x| ⇔ 2|x||x − 1| > |x|⇔ 2|x − 1| > 1 , con x , 0

essendo |x| > 0 . Quindi in questo caso dobbiamo risolvere

x , 0, 2|x − 1| > 1 ⇔ x , 0, |x − 1| > 12,

e si procede cosı con il metodo usuale, ottenendo le soluzioni comenell’esempio 5.12.

Esempio 5.15. Risolvere la disequazione∣∣∣∣∣x − 1x − 7

∣∣∣∣∣ > 1 .

Ovviamente, si pone x , 7 . Inoltre, poiche |x − 7| > 0 s2 x , 7 ladisequazione precedente e equivalente a

|x − 1| > |x − 7|, x , 7,

le cui soluzioni si ottengono risolvendo

{x < 11 − x > 7 − x

∪{

1 ≤ x < 7x − 1 > 7 − x

∪{

x > 7x − 1 > x − 7 .

Quindi: {x < 11 > 7

∪{

1 ≤ x < 7x > 4

∪{

x > 71 < 7

,

ed osservando che il primo sistema e impossibile, si ottiene chel’insieme delle soluzioni della disequazione e dato da

{4 < x < 7} ∪ {x > 7}

cioe

{x > 4 , x , 7} .


(x + 1)2 < |x2 − 1| .

5.8 Disequazioni irrazionali 46

Anzitutto osserviamo che

|x2 − 1| = |x − 1||x + 1| ,

e che x = −1 non e soluzione, quindi la disequazione data eeequivaleente a

|x + 1| < |x − 1|che ha per soluzioni {x < −1} ∪ {−1 < x < 0}, ossia

{x < 0 , x , −1} .

5.8. Disequazioni irrazionali

Ricordiamo che una disequazione si dice irrazionale quando in essacompaiono uno o piu radicali contenenti l’incongita.

Per risolvere una disequazione irrazionale, si cerca si trasformarlain una razionale elevando alla stessa potenza ambo i membri delladisequazione. Occorre tuttavia fare una distinzione:

• per poter elevare a una potenza pari e ottenere una di-sequazione equivalente, entrambi i membri devono esserepositivi;• elevare a una potenza dispari entrambi i membri e sempre

possibile.

In entrambi i casi si ottengono disequzioni equivalenti a quella data.Vediamo alcuni semplici esempi.

Esempio 5.17. Risolvere la disequazione irrazionale√

2 − x2 > 2x − 1 .

Costruiamo i due sistemi{2 − x2 ≥ 02x − 1 < 0

∪{

2x − 1 ≥ 02 − x2 > (2x − 1)2 .

Nel primo sistema supponiamo che il secondo membro della dise-quazione sia negativo. Di conseguenza; essendo il primo membropositivo per definizione di radice quadrata, la disequazione, nel suo


dominio di esistenza, e sempre verificata. Nel secondo sistema, in-vece, supponiamo che il secondo membro della disequazione siapositivo e possiamo quindi elevare entrambi i membri al quadrato(la condizione di esistenza della radice quadrata in questo caso eovviamente superflua).

Risolviamo ora i due sistemi: −√

2 < x <√

2

x <12

∪ x ≥ 1

25x2 − 4x − 1 < 0

{−√

2 ≤ x <12

}∪

x ≥ 1

2−1

5< x < 1 ,

da cui {−√

2 ≤ x <12

}∪

{12≤ x < 1

},

cioe {−√

2 ≤ x < 1}.

Esempio 5.18. Risolvere la disequazione3√8x3 − 7 < 2x − 1 .

Eleviamo al cubo entrambi i membri della disequazione:

8x3 − 7 < (2x − 1)3

⇔ 8x3 − 7 < 8x3 − 12x2 + 6x − 1

⇔ −12x2 + 6x + 6 > 0

⇔ 2x2 − x − 1 < 0

ed essendo ∆ = 1 + 8 = 9 > 0 , si ottiene l’insieme delle soluzioni

{−12< x < 1} .

Esempio 5.19. Risolvere la disequazione irrazionale√

3x2 − 1 >√

x2 − 3 .


Essa e equivalente al sistema:3x2 − 1 ≥ 0x2 − 3 ≥ 03x2 − 1 > x2 − 3

⇔{

x2 − 3 ≥ 02x2 + 2 > 0.

Poiche 2x2 + 2 > 0 e sempre verificata, il sistema precedente eequivalente alla disequazione

x2 − 3 ≥ 0 ,


{x ≤ −√

3} ∪ {x ≥√

3} .

Esempio 5.20. Risolvere la disequazione irrazionale3√x − 1 +

6√x − 1 − 2 < 0 .

Osserviamo che, in generale, per a ≥ 0 , si ha

( 6√a)2 = (a16 )2 = a

26 = a

13 =

3√a ,

come vedremo nel prossimo capitolo. Ponendo 6√x − 1 = t , elavorando sotto l’ipotesi x − 1 ≥ 0 , la disequazione diventa

t2 + t − 2 < 0 ,

essendo ∆ = 1 + 8 = 9 , si ottiene l’insieme delle soluzioni

{−2 < t < 1} .Quindi,

x − 1 ≥ 06√x − 1 < 16√x − 1 > −2

⇔{

x ≥ 1x − 1 < 1

⇔{

x ≥ 1x < 2

da cui{1 ≤ x < 2} .

CAPITOLO 6

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Questo capitolo si sviluppa attorno alla funzione esponenzia-le e a quella logaritmica, e presenta alcuni esempi di equazioni edisequazioni esponenziali e logaritmiche.

6.1. Funzione esponenziale

Alla scuola media ci hanno insegnato che, dato a ∈ R , n ∈ N ,n ≥ 2, si dice potenza n-esima di a , il numero

an = a · a · ... · a ,

dato dal prodotto di n fattori tutti uguali ad a . Si pone poi: Si hannole seguenti proprieta:

a1 = a

a0 = 1

a−n =1an ,n ∈N.

Inoltre, volendo poi definire la potenza con esponente razionale,Se p/q ∈ Q , si pone

apq =

q√ap .

Ma perche si agisce in questo modo? In realta vogliamo determi-nare le funzioni da R in R che mandano somme in prodotti, ossia lefunzioni f : R→ R tali che

(6.1) f (x + y) = f (x) · f (y)∀x, y ∈ R.

Intanto si ha

• f (1 + 1) = f (1) · f (1) = ( f (1))2 ;49

6.1 Funzione esponenziale 50

• se n ∈N ,

f (n) = f (1 + 1 + ... + 1︸︷︷︸n volte

) = f (1) · f (1 + 1 + ... + 1︸︷︷︸n−1 volte

) = ( f (1))n ;

Si pone f (1) = a cosi ( f (1))n = an per ogni n ∈N.

Osservazione 6.1. Si noti che f (0 + 0) = f (0) · f (0), ossia

( f (0))2 = f (0).

Dunque f (0) = 1 oppure f (1) = 0. Se scegliamo f (0) = 0 si ottiene

f (0 + x) = f (x) · f (0) = 0∀x ∈ R.

Poiche vogliamo anche funzioni diverse dalla funzione identicamen-te nulla, scegliamo f in modo che f (0) = 1.

Osservazione 6.2. Se m = −n ,n ∈N , allora deve essere

1 = f (0) = f (n + (−n)) = f (n) · f (−n) = ,

per cui siamo obbligati a porre

(6.2) f (−n) =1

f (n)=

1an

ove a = f (1).

Con questa definizione si dimostra, riconducendoci ai risultatinoti inN, che vale la segeunte

Proposizione 6.3. Per ogni m,n ∈ Z, per ogni a, b ∈ R \ 0 si ha:

(1) an+m = an · am,(2) (a · b)n = an · bn,(3) (an)m = am·n.

Osservazione 6.4. Se fosse f (1) = a = 0, dovremmo avere, perogni x ∈ R,

f (x) = f (1 + (x − 1)) = f (1) · f (x − 1) = 0 · f (x − 1) = 0,

e quindi scegliamo a , 0.


Osservazione 6.5. Da notare poi che per poter definire f su tuttii razionali dovremoi scegliere a > 0. Infatti

f (1) = f (1q+

1q+ ... +

1q︸︷︷︸

q volte

) =(

f(

1q

))q

Poniamo f(

1q

)= x . Si ha

xq = f (1) > 0

e pertanto possiamo ricavare x = f (1q ) in funzione di f (1) ponendo

f(

1q

)= ( f (1))

1q ≡ q

√f (1) .

(La soluzione nel caso pari si prende > 0, dato che nel caso disparic’e’ solo la soluzione > 0).

Sia ora r > 0 un numero razionale qualsiasi:

r =pq, p, q > 0 .

Deve essere

(6.3) f(

pq

)= f

(p · 1

q

)= f (

1q+

1q+ ... +

1q︸︷︷︸

p volte

) =(

f(

1q

))p

=(

q√

f (1))p.

Se r > 0 si sfrutta il fatto che deve essere 1 = f (0) = f (r) f (−r).

Osservazione 6.6. La definizione (6.3) e ben data.Infatti se r = pnqn

con n numero naturale non nullo, e una diversa rappresentazione delnumero reale r = p

q (p, q > 0), si ha

f (r) = f (pnqn

) = ( qn√a)pn.

Ma la relazione( qn√a)pn = ( q√a)p

e equivalente a[( qn√a)pn]qn = [( q√a)p]qn,


per la stretta monotonia della funzione xm con m ∈ Z.Ma dalla (3) di Proposizione 6.3 e dalla definizione di radice

n–esima si ottiene

[( qn√a)pn]qn = [( qn√a)qn]pn = apn

e[( q√a)p]qn = [( q√a)q]pn = apn.

Osservazione 6.7. Nella definizione di esponenziale con espo-nente razionale l’ordine con cui si esegue l’elevamento a potenza e siestrae la radice non ha importanza. Infatti

( q√a)p =q√ap

e equivalente a[( q√a)p]q = ( q√ap)q.

E tale uguaglianza e vera come si verifica usando la (3) diProposizione 6.3.

Osservazione 6.8. Con la stessa tecnica usata nelle due osserva-zioni precedenti si dimostra che la Proposizione 6.3 vale anche inQ.

Osservazione 6.9. Dalla definizione segue subito che

ar > 0, ∀r ∈ Q.

Inoltre abbiamoa > 1⇒ (ar > 1⇔ r > 0).

Infatti siar =

pq> 0 .

Possiamo supporre p , q > 0 , ossia p , q ∈N \ {0} . Abbiamo

ar = ( q√a)p

con a > 1. Osserviamo che

a > 1 ⇒ q√a > 1 ;

infattiq√a > 1 ⇔ a > 1q = 1 .


Ma per ogni b > 1, bp > 1p = 1 e questo vale in particolare seb = q√

a .Invece se r < 0, prendendo q > 0 and p < 0 si dimostra in modo

simile che ( q√

a)p < 1

Proposizione 6.10. Se a > 1 , allora la funzione f (x) = ax estrettamente crescente in Q, cioe

x1 < x2 , x1 , x2 ∈ Q ⇒ ax1 < ax2 .

Dimostrazione. La tesi equivale a

ax2 − ax1 > 0 ⇔ ax1

(ax2

ax1− 1

)> 0.

Ma 1ax1 = a−x1 per ogni x1 ∈ Q, quindi

ax1

(ax2

ax1− 1

)= ax1(ax2 · a−x1 − 1) = ax1(ax2−x1 − 1) > 0

⇔ ax2−x1 > 1 ,

da cui la tesi. �

Consideriamo f (x) = ax , con a > 0 . Cosa succede se x ∈ R \Q ?

Esempio 6.11. Sia ad esempio x =√

2 . Mi e capitato tante voltedi sentirmi dire dagli studenti che

a√

2 a · a · ... · a︸︷︷︸√

2volte

,

cosa che ovviamente e PAZZESCA.

Si utilizzera il fatto che ogni numero reale puo essere approssima-to con una successione di numeri razionali. Sia xn una successionedi numeri razionali che approssima x numero reale. Nel corso diAnalisi 1 studieremo il comportamento di axn per arrivare a definireax su ogni numero reale.

Sia a > 1 . Il grafico della funzione f (x) = ax e in figura 1.Sia 0 < a < 1 . Si ha

0 < a < 1 ⇒ a−1 > 1 .


Figura 1

Quindi, (a−1)x = a−x e un caso simile al precedente. Se si cambia ilsegno della x , il grafico e simmetrico rispetto all’asse x . Quindi, inquesto caso, il grafico della funzione esponenziale e quello di figura2.

Figura 2

6.2 Funzione logaritmica 55

6.2. Funzione logaritmica

Vedremo che la funzione esponenizale f (x) = ax, f : R→ R+ e unafunzione biunivoca: quindi essa e invertibile. La funzione inversaviene chiamata funzione logaritmica in base a e si indica con

loga : R+ → RPer definizione, il loga x e l’unico y tale che ay = x . In altre parole,

il logaritmo in base a di x e l’esponente da attribuire alla base a perottenere l’argomento x .

Il grafico della funzione logaritmica si ottiene da quello dellafunzione esponenziale, osservndo che, dato il grafico di una certafunzione, il grafico della funzione inversa si ottiene scambiando l’assex con l’asse y .

Figura 3

Di seguito, vengono riportate alcune proprieta della funzionelogaritmica (definita per ogni base , 1). Esse sono conseguenza delleproprieta della funzione esponenziale che abbiamo dimostrato pergli esponenti razionali, ma che, come vedremo nel corso di Analisi 1,valgono per tutti gli esponenti reali.

Cominciamo dalla

Proprieta 6.12.aloga x = x∀x ∈ R+,


Figura 4

che e una immediata conseguenza del fatto che il logaritmo inbase a e la funzione inverse della funzione esponenziale di base a.

Proprieta 6.13.

loga xy = loga x + loga y .

cioe il logaritmo trasforma un prodotto in una somma (mentre l’esponenzialetrasforma somme in prodotti: ax+y = ax · ay).

Dimostrazione. Dimostrare la proprieta e equivalente averificare

aloga xy = aloga x+loga y

maaloga xy = xy

ealoga x+loga y = aloga x · aloga y = xy .

�

Proprieta 6.14.loga

1x= − loga x .

Dimostrazione. Dimostriamo la proprieta equivalente

loga1x+ loga x = 0 ;


che segue dal fatto che

loga1x+ loga x = loga

(1x· x

)= loga 1 = 0.

�

Come conseguenza delle due proprieta precedenti, segue la

Proprieta 6.15.

logaxy= loga x − loga y .

Inoltre abbiamo

Proprieta 6.16.

loga xα = α loga x .

Dimostrazione. Dimostriamo che

aloga xα = aα loga x

ma quest’ultima equivalenza e vera se e solo se

xα = (aloga x)α ⇔ xα = xα

e cio conclude la dimostrazione. �

Proprieta 6.17.

loga x =1

logx a= − log 1

ax .

Dimostrazione. Dimostriamo prima che

loga x =1

logx a.

Cio equivale a

loga x · logx a = 1 ⇔ aloga x·logx a = a

⇔(aloga x

)logx a= a

⇔ xlogx a = a

⇔ a = a .

6.3 Disequzioni logaritmiche 58

Dimostriamo poi che

1logx a

= − log 1a

x .

Cio equivale a

(logx a)(log 1a

x) = −1 ⇔

⇔((1

a

)log 1a

x)logx a

=(1

a

)−1

⇔ xlogx a = a

⇔ a = a .

�

Proprieta 6.18.loga b = loga c · logc b .

Dimostrazione. Si ha che

loga b = loga c · logc b ⇔ aloga b = aloga c·logc b

⇔ b =(aloga c

)logc b

⇔ b = clogc b

⇔ b = b .

�

6.3. Disequzioni logaritmiche

In questo paragrafo risolveremo alcune disequazioni con l’inco-gnita che compare nell’argomento di uno o piu logaritmi, ricordandoche se la base e > 1 il logaritmo e strettamente crescente, mentre se labase e in ]0,T[ il logaritmo e strettamente decrescente.


log3 x <12.

6.3 Disequzioni logaritmiche 59

Svolgimento:

∃!x0 : log3 x0 =12

che e caratterizzato da

3log3 x0 = 312 ⇔ x0 =

√3 .

Quindi l’insieme delle soluzioni della disequazione e

{0 < x <√

3} .


log 15(x2 + 4x) > −1 .

Svolgimento:

∃!x0 : log 15

x0 = −1 ,

e

x0 =(15

)−1

= 5 .

Poiche 0 < 15 < 1, dobbiamo risolvere il sistema{

x2 + 4x > 0x2 + 4x < 5

⇔{

x(x + 4) > 0x2 + 4x − 5 < 0

⇔{

x < −4 ∨ x > 0−5 < x < 1


{−5 < x < −4} ∪ {0 < x < 1} .


log2 x2(x2 − 2) < 3 .

Svolgimento:

∃!x0 : log2 x0 = 3 , cioe x0 = 23 = 8 .

Le soluzioni della disequazione sono quindi le soluzioni del sistema{x2(x2 − 2) > 0x2(x2 − 2) < 8 .

6.4 Disequazioni esponenziali 60


log2 x2 > log2 x .

Abbiamo

log2 x2 > log2 x ⇔ 2 log2 x > log2 x ⇔ log2 x > 0

cioe {x > 1} , perche la base 2 e maggiore di 1.

6.4. Disequazioni esponenziali

Una disequazione si dice esponenziale se l’incognita compareall’esponente di uno o piu potenze.

Esempio 6.23. Risolvere la disequazione esponenziale

4x > 2 .

L’equazione puo essere riscritta nella forma

22x > 2 ⇔ 2x > 1 ⇔ x >12.


(6.4)(13

)x(1−12x)

< 3 .

Svolgimento: (13

)x(1−12x)

<(13

)−1

⇔ x(1 − 12x) > −1

perche ( 13 )z e streattamente decrescente, e risolvendo l’ultima

disequazione si trovano le soluzioni della (6.4).


8x+1 ≥ 2x2.

Svolgimento:

8x+1 ≥ 2x2 ⇔ 23(x+1) ≥ 2x2 ⇔ 3(x + 1) ≥ x2

da cui si ricavano le soluzioni della disequazione iniziale.

6.4 Disequazioni esponenziali 61


24x4−5x2+1 < 1 .

Svolgimento:

24x4−5x2+1 < 1 ⇔ 24x4−5x2+1 < 20 ⇔ 4x4 − 5x2 + 1 < 0

e risolvendo si trovano le soluzioni della disequazione iniziale.


2|x−1| < 2x .

Svolgimento:

2|x−1| < 2x ⇔ |x − 1| < x

e risolvendo si trovano le soluzioni della disequazione iniziale.


4x + 2x − 2 < 0 .

Svolgimento: osserviamo che

4x = 22x = (2x)2

quindi la disequazione diventa

(2x)2 + 2x − 2 < 0 ,

da cui, ponendo 2x = t si ottiene

t2 + t − 2 < 0 ⇔ −2 < t < 1

⇔{

2x > −22x < 1

⇔{

x ∈ Rx < 0

⇔ {x < 0} .

6.5 Disequazioni trascendenti: ulteriori esempi 62

6.5. Disequazioni trascendenti: ulteriori esempi


(x + 1)x2−1 > 1 .

Svolgimento: poniamo la condizione di esistenza

x + 1 > 0 ⇔ x > −1 .

Si ha

(x + 1)x2−1 > 1 ⇔ 2log2(x+1)x2−1> 2log2 1 ⇔ 2(x2−1) log2(x+1) > 20

⇔ (x2 − 1) log2(x + 1) > 0 .

Studiamo il segno dei fattori (nel nostro insieme di esistenza)

x2 − 1 > 0 ⇔ x > 1

log2(x + 1) > 0 ⇔ x + 1 > 1 ⇔ x > 0 .

Quindi le soluzioni sono {−1 < x < 0} ∪ {x > 1} .


(6.5) logx−2(2x2 − 13x + 21) > 0 .

Svolgimento: poniamo la condizione di esistenza

(x − 2 > 0) ∧ (x − 2 , 1) ⇔ x > 2 ∧ x , 3 .

Ora, se chiamiamo 2x2 − 13x + 21 = b , si ha

logx−2 b = logx−2 · log2 b =log2 b

log2(x − 2)=

log2(2x2 − 13x + 21)log2(x − 2)

.

Quindi la disequazione (6.5) e equivalente alla disequazione

log2(2x2 − 13x + 21)log2(x − 2)

> 0 .

Studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatoredel primo membro.

log2(2x2−13x+21) > 0 ⇔ 2x2−13x+21 > 1 ⇔ 2x2−13x+20 > 0 ,

6.5 Disequazioni trascendenti: ulteriori esempi 63

ed essendo ∆ = 169 − 160 = 9 , si ottengono le soluzioni{x < 5

2 } ∪ {x > 4} . Studiamo il segno del denominatore:

log2(x − 2) > 0 ⇔ x − 2 > 1 ⇔ x > 3 .

Quindi le soluzioni della disequazione iniziale sono{52< x < 3

}∪ {x > 4} .

CAPITOLO 7

Funzioni trigonometriche

Questo sesto capitolo si sviluppa attorno alle funzioni trigonome-triche, delle quali vengono presentate le principali proprieta, dopoaver discusso sulla loro definizione. Vengono poi presentati alcuniesempi di equazioni e disequazioni trigonometriche.

7.1. Funzioni trigonometriche

Figura 1

Sia P un punto sulla circonferenza goniometrica {x2 + y2 = 1}. Lamisura dell’angolo AOPr e per definizione la lunghezza del settore

circolare⌢

APr percorso in senso antiorario. Se invece si percorre l’arcoin senso orario la misura dell’angolo ha il segno opposto.

l(⌢

APr) = misura dell’angolo AOPr

64

7.1 Funzioni trigonometriche 65

2π = lunghezza dell’intera circonferenza

π = lunghezza della semicirconferenza

Sia x ∈ [0, 2π[ , e Px tale che l(A⌢Px) = x (vedere la figura che

segue).

Figura 2

Definizione 7.1. Si dice seno dell’angolo x l’ordinata del punto Px

associato a x nella circonferenza goniometrica.

Definizione 7.2. Si dice coseno dell’angolo x l’ascissa del punto Px

associato a x nella circonferenza goniometrica.

Nota 7.3. Per poter rendere rigorosa queste definizioni dovrem-mo prima di tutto rendere rigoroso il concetto di lunghezza di unacurva. Inoltre dato x ∈ [0, 2π[ dovremo far vedere che esiste ununico Px ∈ {x2 + y2 = 1} sulla circonferenza goniometrica tale che

l(⌢

APx) = x con il settore⌢

APx percorso in senso antiorario (l’unicita edovuta alla stretta crescenza della lungezza dell’arco viaggiando insenso antiorario sulla circonferenza goniometrica).

Osservazione 7.4. Come si puo osservare in Figura 3 (vederepagina seguente), vale la seguente proprieta:

l(⌢

AQ) > l(⌢

AP) .


Figura 3

Di seguito elenchiamo alcune delle principali proprieta checoinvolgono le funzioni trigonometriche.

• Identita fondamentale della trigonometria:

sin2 x + cos2 x = 1 ;

• :le funzioni sin e cos si estendono pere periodicita nelseguente modo:

sin(x + 2kπ) = sin(x) ∀x ∈ R ,∀k ∈ Z ,cos(x + 2kπ) = cos(x) ∀x ∈ R ,∀k ∈ Z ;

• le funzioni seno e coseno sono limitate:

| sin(x)| ≤ 1 ∀x ∈ R ,| cos(x)| ≤ 1 ∀x ∈ R .

Dalla figura 4 si vede che

−PxPx = 2 sin x , l(⌢−PxPx) = 2x

(indicando con ABla lunghezza del segmento [A.B] di estremi Ae B),

e

⇒ | sin x| < x ∀x ∈]− π

2,π2

[\ {0} .


Figura 4

Si ricordi che si adotta la seguente convenzione: quando x > 0 ,l’angolo e misurato in senso antiorario, se invece x < 0 l’angolo emisurato in senso orario (vedere la figura che segue).

Figura 5

Proprieta 7.5. La funzione seno e dispari,

sin(−x) = − sin x ,∀x ∈ R,mentre la funzione coseno e pari, cioe

cos(−x) = cos x ,∀x ∈ R.

Nelle due figure seguenti abbiamo i grafici qualitativi dellefunzioni seno e della funzione coseno.

Essi li possiamo ottenere osservando direttamente sulla circon-ferenza goniometrica come variano il seno ed il coseno mentre sipercorre in senso antiorario.


Figura 6

Figura 7

Adesso possiamo definire la funzione tangente di un angolo.

Definizione 7.6. Sia x ∈ [0, 2π[. Si definisce tangente di un angolox , π2 , x ,

3π2 la funzione

tan x =sin xcos x

.

In figura, la tangente dell’angolo α e l’ordinata del punto T checoincide con la lunghezza del segmento [A,T].


Figura 8

Proprieta 7.7. La funzione tangente e periodica di periodo π , infatti

tan(x + kπ) = tan x ∀x ∈ R \{π2+ kπ , k ∈ Z

}.

Dimostrazione. Intanto osserviamo che per ogni k ∈ Z, sin(x +kπ) = sin x se k e pari, mentre sin(x + kπ) = − sin x se k e dispari.Analogamente cos(x + kπ) = − cos x se k e pari, mentre cos(x + kπ) =cos x se k e dispari. Allora per ogni x ∈

]− π2 , π2

[. Si ha

tan(x + kπ) =sin(x + kπ)cos(x + kπ)

;

e quindi

tan(x + kπ) = tan x ,

come si verifica immediatamente distinguendo tra k pari e k dispari.�

Prima di presentare la proprieta di monotonia stretta dellatangente, ricordiamo una proprieta di carattere piu generale:

Lemma 7.8. Siano f , g : A ⊂ R→ R+ \ {0} due funzioni strettamentecrescenti. Allora f · g e strettamente crescente.

Dimostrazione. Siano x1 < x2 ∈ A . Vogliamo dimostrare chef (x1)g(x1) < f (x2)g(x2) .


f (x2)g(x2) − f (x1)g(x1) = f (x2)g(x2) − f (x1)g(x1)

+ f (x2)g(x1) − f (x2)g(x1)

= f (x2)(g(x2) − g(x1)) + g(x1)( f (x2) − f (x1)) ,

e quest’ultima espressione e positiva in quanto somma di quantitapostive. Infatti f (x2) e g(x1) sono positive perche il codominio dientrambe le funzioni e R+ \ {0} ; g(x2) − g(x1) e f (x2) − f (x1) sonoquantita positive per la stretta crescenza di f e di g . La tesi e quindidimostrata. �

Proprieta 7.9. La funzione tangente e strettamente crescentenell’intervallo

]− π2 , π2

[.

Dimostrazione. Nell’intervallo[0, π2

[la funzione seno e positiva

e strettamente crescente, la funzione coseno e positiva ma stretta-mente decrescente. Quindi la funzione 1

cos x e positiva e strettamentecrescente. Pertanto, per la Proprieta 7.8, la funzione tangente, essen-do il prodotto delle funzioni sin x e 1

cos x , e strettamente crescente in[0, π2

[, e poihce e dispari, lo e anche nell’intervallo

]− π2 , 0] . �

Il grafico qualitativo della funzione tangente e allora quello nellafigura seguente:

Figura 9


Osservazione 7.10. Sia x ∈]0,π2

[, come in Figura 10 .

Figura 10

Sappiamo cheOA = 1 ,

e, grazie alla similitudine dei triangoli Px△0 Hx e Tx

△0 A, per ogni

x ∈]0, π2 [ si ha:HxPx

OHx

=ATx

OA,

da cui, come abbiamo gia detto,

tan x =sin xcos x

= ATx .

Inoltre, come ora vedremo

(7.1) P1xP2

x < Q1xQ2

x,∀x ∈]0,π2

[

da cui si ricavax < ATx = tan x

per come si definisce la lunghezza di una curva. Dunque

x < tan x ∀x ∈]0,π2

[.


Per verificare (7.1) si osservi che dalle figure seguenti

Figura 11

Figura 12

si deduce che basta utilizzare la proprieta che in ogni trapezioisoscele la diagonale ha lunghezza maggiore della base minore deltrapezio.

Osservazione 7.11. Grazie a seno e coseno possiamo esprimerela lunghezza dei cateti di un triangolo rettangolo in funzione del-l’ipotenusa e degli angoli che essi fomano con l’ipotenusa. Per lasimilitudine dei triangoli indicati in figura

AB = AC · cosα

BC = AC · sinα.

Infatti se , se AC′ = 1, si ha


Figura 13

BC

AC=

B′C′

C′A=

sinα1.

7.1.1. Formule di addizione e sottrazione.

cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y(7.2)

cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y(7.3)

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y(7.4)

sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y .(7.5)

Dimostrazione. • Dimostriamo la formula (7.3). Siano

Px = (cos x, sin x)

Py = (cos y, sin y)

Py−x = (cos(y − x), sin(y − x))

A = (1, 0)

come in figura.Poiche gli angoli negativi sono quelli misurati in senso orario, si

ha che la lunghezza del settore che congiunge A con Py−x e la stessadel settore che congiunge Px con Py. Come vedremo nel corso dianalisi 1, archi di uguale lunghezza hanno estremi su segmenti di


Figura 14

uguale lunghezza, quindi

APy−x = PxPy ⇒ (APy−x)2 = (PxPy)2 .

Utilizzando la relazione sin2 x + cos2 x = 1 , si ottiene

(APy−x)2 = (cos(y − x) − 1)2 + (sin(y − x))2

= cos2(y − x) + 1 − 2 cos(y − x) + sin2(y − x)

= 2 − 2 cos(y − x)

e

PxP2y = (cos x − cos y)2 + (sin x − sin y)2

= cos2 x + cos2 y − 2 cos x cos y + sin2 x + sin2 y − 2 sin x sin y

= 2 − 2 cos x cos y − 2 sin x sin y ,

da cui la tesi.

• Dimostriamo la (7.2) .

cos(x + y) = cos(x − (−y)) = cos x cos(−y) + sin x cos(−y)

= cos x cos y − sin x sin y .

• Per dimostrare la (7.4) , utilizziamo le seguenti proprieta:


sin x = − cos(x +π2

)(7.6)

cos x = sin(x +π2

)(7.7)

Figura 15

Si ha:

sin(x + y) = − cos(x + y +

π2

)= − cos

(x +

(y +π2

))= −

[cos x cos

(y +π2

)− sin x sin

(y +π2

)]= − [

cos x(− sin y) − sin x cos y]

= cos x sin y + sin x cos y .

• Infine, dimostriamo la formula (7.5):

sin(x − y) = sin(x + (−y))

= sin x cos(−y) + cos x sin(−y)

= sin x cos y − cos x sin y .

�


7.1.2. Formule di duplicazione.

cos 2x = cos2 x − sin2 x(7.8)

sin 2x = 2 sin x cos x .(7.9)

Siano

cosπ4= a , sin

π4= b .

Applicando le formule di duplicazione, otteniamo:

1 = sinπ2= 2ab

0 = cosπ2= a2 − b2 .

Le condizioni sopra equivalgono al sistema{2ab = 1a2 − b2 = 0 .

La seconda equazione conduce alla relazione a = ±b ; scegliamoa = b poiche siamo nel primo quadrante. Quindi, sostituendo nellaprima equazione, otteniamo

2a2 = 1 ⇔ a = b =1√2.

Pertanto abbiamo dimostrato che

sinπ4= cos

π4=

√2

2(7.10)

tanπ4= 1 .(7.11)

Determiniamo ora le formule per cos 3x e sin 3x usando quelle diaddizione e di duplicazione:

cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x) cos x − sin(2x) sin x

= (cos2 x − sin2 x) cos x − 2 sin2 x cos x

= cos3 x − sin2 x cos x − 2 sin2 x cos x

= cos3 x − 3 sin2 x cos x ;


sin(3x) = sin(2x + x) = sin(2x) cos x + cos(2x) sin x

= 2 sin x cos2 x + (cos2 x − sin2 x) sin x

= 2 sin x cos2 x + cos2 x sin x − sin3 x

= 3 sin x cos2 x − sin3 x

= 3 cos2 x sin x − sin3 x .

Siano

cosπ6= a

sinπ6= b .

Applicando le formule di triplicazione appena dimostrate,ottieniamo

3x =π2⇒ cos 3x = cos

π2= 0 ,

da cui il sistema {a3 − 3ab2 = 03a2b − b3 = 1 .

Poiche a , 0 , possiamo dividere per a e ottenere{a2 = 3b2

3 · 3b2 · b − b3 = 1⇔

{a2 = 3b2

8b3 = 1⇔

{a2 = 3b2

b = 12

⇔ a =

√3

2

b = 12 .

Abbiamo cosı ottenuto

cosπ6=

√3

2, sin

π6=

12, tan

π6=

√3

3.

Osserviamo ora cheπ3=π2− π

6,


quindi aplicando le formule di addizione e sottrazione, segue che

cosπ3= cos

(π2− π

6

)= cos

(−π

6+π2

)= − sin

(−π

6

)= sin

π6=

12,

sinπ3= sin

(−π

6+π2

)= cos

(−π

6

)= cos

π6=

√3

2,

tanπ3=√

3 .

Quindi abbiamo provato che

cosπ3=

12, sin

π3=

√3

2, tan

π3=√

3 .

Dimostriamo ora la seguente formula

(7.12) tan(α + β) =tanα + tan β

1 − tanα tan β.

Anzitutto, si ha che

tan(α + β) =sin(α + β)cos(α + β)

=sinα cos β + cosα sin βcosα cos β − sinα sin β

=1

cosα cos β·sinα cos β + cosα sin β

1 − sinα sin βcosα cos β

=

(1

1 − tanα tan β

)·(

sinα cos βcosα cos β

+cosα sin βcosα cos β

)=

tanα + tan β1 − tanα tan β

.

Ricordando che la funzione tangente e dispari, si ottiene

(7.13) tan(α − β) = tan(α + (−β)) =tanα − tan β

1 + tanα tan β,

cioe la formula che volevamo dimostrare.Come caso particolare , se β = α , si ottiene

(7.14) tan 2α =2 tanα

1 − tan2 α;


in quest’ultima, se 2α = β , si ha

tan β =2 tan β2

1 − tan2(β2

) ,da cui, ponendo tan β2 = t , si ottiene

tan β =2t

1 − t2 ⇒

cos β =

1 − t2

1 + t2

sin β =2t

1 + t2 .

Dimostriamo inoltre che

(7.15) cos 2α =1 − tan2 α

1 + tan2 α.

cos 2α = cos2 α − sin2 α =cos2 α − sin2 α

cos2 α + sin2 α

=cos2 α

(1 − sin2 α

cos2 α

)cos2 α

(1 + sin2 α

cos2 α

)=

1 − tan2 α

1 + tan2 α.

Dimostriamo ora che

(7.16) sin 2α =2 tanα

1 + tan2 α.

sin 2α = 2 sinα cosα =2 sinα cosα

sin2 α + cos2 α

=cos2 α

(2 sinαcosα

)cos2 α

(sin2 αcos2 α + 1

)=

2 tanα1 + tan2 α

.

7.2 Equazioni trigonometriche 80

7.2. Equazioni trigonometriche

7.2.1. Equazioni trigonometriche elementari. Risolvere leseguenti equazioni:

(1) sin x = 0 .L’insieme delle soluzioni e

{x = kπ : k ∈ Z} .

Figura 16

(2) cos x = 0L’insieme delle soluzioni e{

x =π2+ kπ : k ∈ Z

}.

Figura 17


(3) sin x = 1 .L’insieme delle soluzioni e{

x =π2+ 2kπ : k ∈ Z

}.

(4) cos x = 1 .L’insieme delle soluzioni e

{x = 2kπ : k ∈ Z} .

(5) sin x = 2 .L’equazioni non ammette soluzioni, in quanto il seno esempre minore o uguale a 1 .

(6) cos x =√

32 .

Figura 18

Graficamente si vede che x0 e simmetrico di π6 rispetto aπ . Quindi

x0 +π6

2= π ⇒ x0 +

π6= 2π ⇒ x0 = 2π − π

6=

116π .

Pertanto l’isieme delle soluzioni dell’equazione e{x =π6+ 2kπ , k ∈ Z

}∪

{x =

116π + 2kπ , k ∈ Z

}.

7.2.2. Equazioni trigonometriche di secondo grado.

(1) cos2 x + 3 sin x − 3 = 0 .Riscriviamola esprimendo il coseno in funzione del se-no per mezzo della prima identita fondamentale della


trigonometria:

1 − sin2 x + 3 sin x − 3 = 0 .

Ponendo t = sin x , si ottiene

t2 − 3t + 2 = 0

da cui

t1,2 =3 ±√

9 − 82

⇒ t1 = 1, t2 = 2 .

Quindi

{sin x = 1} ∨ {sin x = 2}

cioe

{x = π2+ 2kπ , k ∈ Z} .

7.2.3. Ulteriori esempi di equazioni trigonometriche.

(1) tan x + sin x = 1 + cos x .Condizione di esistenza: cos x , 0 , cioe x <

{π2 + kπ , k ∈ Z

}.

Utilizzando la definizione di tangente l’equazione diventa

sin xcos x

+ sin x = 1 + cos x

⇒ sin x(1 + cos x) = cos x(1 + cos x)

⇒ (sin x − cos x)(1 + cos x) = 0

⇒ {sin x − cos x = 0} ∨ {1 + cos x = 0} .

Si ha

sin x − cos x = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔{x =π4+ kπ , k ∈ Z

};

1 + cos x = 0 ⇔ cos x = −1 ⇔ {x = π + 2kπ , k ∈ Z} .

Quindi le soluzioni dell’equazione sono{x =π4+ kπ , k ∈ Z

}∪ {x = π + 2kπ , k ∈ Z} .


(2) sin 2x − cos x = 0 .Ricordando la formula di duplicazione per il seno, si ha

2 sin x cos x − cos x = 0

⇔ cos x(sin x − 1) = 0

⇔ cos x = 0 ∨ sin x − 1 = 0

⇔{x =π2+ 2kπ , k ∈ Z

}∪

{x =

5π6+ 2kπ , k ∈ Z

}.

(3) 2 cos2 x + sin2 2x = 2 .Dalla relazione fondamentale della trigonometria si ha

2 cos2 x + 4 sin2 x cos2 x = 2

2 cos2 x + 4(1 − cos2 x) cos2 x = 2

e ponendo cos2 x = t , si ottiene

2t + 4(1 − t)t = 2

2t + 4(1 − t)t − 2 = 0

−4t2 + 6t − 2 = 0

2t2 − 3t + 1 = 0

⇒ t1,2 =3 ±√

9 − 84

=3 ± 1

4⇒ t = 1 ∨ t =

12.

Quindi:

cos2 x = 1 ∨ cos2 x =12

cioe{x =π2+ kπ , k ∈ Z

}∪

{x =π4+ kπ2, k ∈ Z

}.

(4) sin x + cos x = 1 .Poniamo t = tan x

2 e sfruttando le formule parametriche

sin x =2t

1 + t2 , cos x =1 − t2

1 + t2 ,


si ottiene2t

1 + t2 +1 − t2

1 + t2 = 1

2t + 1 − t2 = 1 + t2

2t2 − 2t = 0

⇒ t = 0 ∨ t = 1 .

Quindi:• t = 0 ⇒ tan

x2= 0

⇒ x2= κπ , k ∈ Z ⇒ x = 2kπ , k ∈ Z ;

• t = 1 ⇒ tanx2= 1

⇒ x2=π4+ κπ , k ∈ Z ⇒ x =

π2+ 2kπ , k ∈ Z .

Riassumendo, le soluzioni dell’equazione sono

{x = 2kπ , k ∈ Z} ∪{x =π2+ 2kπ , k ∈ Z

}.

Supponiamo in generale di avere una equazione del tipo

(7.17) a sin x + b cos x = c .

Vorremmo ricondurci ad una equazione della forma

A sin(x + φ) = c .

Determiniamo quindi A , φ tali che

a sin x + b cos x = A sin(x + φ) .

Dal fatto che

A sin(x + φ) = A(sin x cosφ + cos x sinφ)

seguono le conizioni

A cosφ = a

A sinφ = b ,

da cui

tanφ =sinφcosφ

=ab⇔ φ = arctan

ba.


Questo metodo risolutivo puo essere utilizzato per individuare lesoluzioni delle equazioni della forma (7.17). L’equazione consideratanell’ultimo esempio e di questo tipo, con a = b = c = 1 , e possiamoquindi applicare il metodo appena esposto. Otteniamo:

φ = arctan 1 =π4,

A =1

cos π4=√

2 ,

percio l’equazione iniziale e equivalente a

√2 sin

(x +π4

)= 1

ovvero

sin(x +π4

)=

1√2.

Quindi si ha

x +π4=π4+ 2kπ, x +

π4=

34π + 2kπ ,

cioe otteniamo le soluzioni

{x = 2kπ , k ∈ Z} ∪{x =π2+ 2kπ , k ∈ Z

}.

Osservazione 7.12. Osserviamo che il metodo descritto sopra sibasa sul fatto che

a sin x + b cos x = α sin x + β cos x ∀x ∈ R⇔ (a − α) sin x + (b − β) cos x = 0 ∀x ∈ R

⇔{

a = αb = β .

Lemma 7.13. Se λ , µ sono tali che

λ sin x + µ cos x = 0 ∀x ∈ R

allora λ = µ = 0 .

7.3 Disequazioni trigonometriche 86

Dimostrazione. Se scegliamo x = π2 , si ha

λ sinπ2+ µ cos

π2= 0 ⇒ λ = 0 ,

e prendendo x = 0 , si ottiene

λ sinπ2+ µ cos

π2= 0 ⇒ µ = 0 .

�

Esempio 7.14. Determinare le soluzioni delle equazioni

(1) sin(cos x) = 0 ,(2) sin(sin x) = 1 .

(1) Se poniamo cos x = t , l’equazione sin t = 0 ha soluzionit = kπ , k ∈ Z . Ma Se k , 0 , si avrebbe cos x = kπ e taleequazioni non ha soluzioni, in quanto |kπ| > 1 mentre ilcoseno assume valori in [−1, 1] . Quindi l’unica possibilita ek = 0 , cioe cos x = 0 , da cui le soluzioni x = π2 + kπ , k ∈ Z .

(2) Si ha sin x = π2 + kπ , ma tale equazione non ammette

soluzioni. Quindi l’equazione iniziale e impossibile.

7.3. Disequazioni trigonometriche

Esempio 7.15. Risolvere la seguente disequazione

2 sin2 x − 5 sin x + 2 < 0 .

Poniamo per semplicita sin x = t ; otteniamo

2t2 − 5t + 2 < 0

e osservando che ∆ = 25 − 16 = 9 , si ottiene

t1,2 =5 ± 3

4da cui le soluzioni

12< t < 2 .

Quindisin x < 2


e vera per ogni x reale, mentre

sin x >12

ha per soluzioni{π6+ 2kπ < x <

56π + 2kπ , k ∈ Z

}che sono le soluzioni della disequazione iniziale.

Esempio 7.16. Risolvere la disequazione√1 − 2 sin2 x ≥

√2 sin x + 1 .

L’insieme di esistenza della disequazione e dato da tutti gli x realitali che

1 − 2 sin2 x ≥ 0 .

La disequazione iniziale e equivalente ai due sistemi{1 − 2 sin2 x ≥ 0√

2 sin x + 1 < 0∪

1 − 2 sin2 x ≥ 0√

2 sin x + 1 ≥ 01 − 2 sin2 x ≥ (

√2 sin x + 1)2 .

Per semplificare la notazione poniamo sin x = t , otteniamo:{1 − 2t2 ≥ 0√

2t + 1 < 0∪

{ √2t + 1 ≥ 0

1 − 2t2 ≥ 2t2 + 1 + 2√

2t

⇔

− 1√

2< t <

1√2

t < − 1√2

∪

t ≥ − 1√

2

t(2t +√

2) ≤ 0

⇔

−√

22< t <

√2

2

t < −√

22

∪

t ≥ −

√2

2

−√

22≤ t ≤ 0.

Il primo sistema non ha soluzioni, il secondo e risolto da{−√

22≤ t ≤ 0

},


da cui sin x ≥ −

√2

2

sin x ≤ 0 ,


{π + 2kπ ≤ x ≤ 5

4π + 2kπ , k ∈ Z

}∪

{74π + 2kπ ≤ x ≤ 2π + 2kπ , k ∈ Z

}.

CAPITOLO 8

Principio di Induzione e Binomio di Newton

Il principio di induzione (Quinto assioma di Peano). Sia p(n)un predicato definito suN . Se p(n) e tale che

(1) p(0) e vera ,(2) p(n) ⇒ p(n + 1) ,

allora p(n) e vera ∀n ∈N .

Proprieta 8.1. Sia x , 1 . Si ha che

p(n) =: 1 + x + x2 + ... + xn =

n∑i=0

xi =1 − xn+1

1 − x∀n ∈N.

Dimostrazione. Per dimostrare la proprieta p(n) , utilizziamo ilPrincipio di induzione. Osserviamo che p(0) e p(1) sono vere, infatti

p(0) :0∑

i=0

xi = x0 = 1 =1 − x1

1 − x,

p(1) :1∑

i=0

xi = x0 + x1 = 1 + x =1 − x2

1 − x= 1 + x .

Facciamo vedere ora che p(n) ⇒ p(n + 1). In altre parole,supponendo vera p(n) , cioe

1 + x + x2 + ... + xn =

n∑i=0

xi =1 − xn+1

1 − x,

vogliamo dimostrare che p(n + 1) e vera, ossia

1 + x + x2 + ... + xn + xn+1 =

n+1∑i=0

xi =1 − xn+2

1 − x.

89

8. PRINCIPIO DI INDUZIONE E BINOMIO DI NEWTON 90

Ma osserviamo che dall’ipotesi induttiva segue che

1 + x + x2 + ... + xn + xn+1 = (1 + x + x2 + ... + xn) + xn+1

=1 − xn+1

1 − x+ xn+1

=1 − xn+1 + xn+1 − xn+2

1 − x

=1 − xn+2

1 − x,

cioe la tesi. �

Proprieta 8.2.

1 + 2 + ... + (n − 1) + n =n(n + 1)

2.

Dimostrazione. p(1) e vera, infatti

1 =1 · 2

2.

Supponiamo vera p(n) e dimostriamo che anche p(n + 1) e vera, cioe

1 + 2 + ... + (n − 1) + n + (n + 1) =(n + 1)(n + 2)

2.

Si ha

1 + 2 + ... + (n − 1) + n + (n + 1) = [1 + 2 + ... + (n − 1) + n] + (n + 1)

=n(n + 1)

2+ (n + 1)

=n(n + 1) + 2(n + 1)

2

=(n + 1)(n + 2)

2.

�

Proprieta 8.3 (Disuguaglianza di Bernoulli). Sia n ∈N ex ∈ R , x ≥ −1 . Allora

(1 + x)n ≥ 1 + nx∀n .

Dimostrazione. p(0) e p(1) sono vere, infatti

p(0) : 1 ≥ 1 ,

p(1) : 1 + x ≥ 1 + x .

8.1 Binomio di Newton e somme di potenze. 91

Supponiamo poi vera p(n) e mostriamo che p(n + 1) e vera, cioe

(1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x .

Per ipotesi induttiva, si ha

(1 + x)n+1 = (1 + x)n(1 + x)

≥ (1 + nx)(1 + x)

≥ 1 + nx + x + nx2

≥ 1 + (n + 1)x + nx2

≥ 1 + (n + 1)x

dove nel secondo passaggio abbiamo sfruttato l’ipotesi x ≥ −1 , enell’ultimo il fatto che nx2 ≥ 0 . �

Definizione 8.4. Un insieme si dice numerabile se puo essere messoin corrispondenza biunivoca con l’insiemeN dei numeri naturali.

Esempi 8.5. • L’insieme Q dei numeri razionali e numera-bile;• l’insieme P dei numeri pari e un insieme numerabile, dato

che la corrispondenza

φ :N → P , φ(n) = 2n

e biunivoca. In generale, i sottoinsiemi di N che non sonofiniti sono insiemi numerabili.

8.1. Binomio di Newton e somme di potenze.

E’ elementare verificare la seguente formula (quadrato di unbinomio):

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ;

ed anche la seguente (cubo di un binomio):

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 .


In generale si ha la formula Binomio di Newton:

(a + b)n =

n∑k=0

(ab

)ak bn−k ,

ove (nk

)≡ n!

k!(n − k)!0! ≡ 1 = 1!

e detto coefficiente binomiale. Tale formula si puo dimostrare adesempio utilizzando il principio di induzione.

Con n = 3 si ottiene la formula per calcolare il cubo di un binomio.Infatti

(a + b)3 =

3∑k=0

(3k

)ak bn−3

=

(30

)a0 b3 +

(31

)a b2 +

(32

)a2 b +

(33

)a b3

e dalla definzione di coefficiente binomiale si ha(30

)=

3!0! 1!

= 1(

31

)=

3!1! 2!

= 3(32

)=

3!2! 1!

= 3(

30

)=

3!3! 0!

= 1 .

Naturalmente se n = 2 si ottiene la formula del quadrato del binomio.

Esercizio 8.6. Determiniamon∑

k=1

k2 .

Svolgimento:n∑

k=0

(k + 1)3 =

n∑k=0

(k3 + 3k2 + 3k + 1)

=

n∑k=0

k3 + 3n∑

k=0

k2 +

3n∑

k=0

k + (n + 1)(8.1)

ma si ha anchen∑

k=0

(k + 1)3 =

n+1∑h=1

h3 =

n+1∑k=1

k3.


Quindi, eguagliando la (8.1) con la (8.1) e ricordando che abbiamoprecedentemente dimostrato che

n∑k=0

k =n(n + 1)

2,

si ottiene

n∑k=0

k3 + 3n∑

k=0

k2 +

3n∑

k=0

k

+ (n + 1) =n+1∑k=1

k3

n∑k=0

k3 + 3n∑

k=0

k2 +

3n∑

k=0

k

+ (n + 1) =

n∑k=1

k3

+ (n + 1)3,

da cui

3n∑

k=0

k2 + 3n(n + 1)

2+ (n + 1) = (n + 1)3 ,

e quindi

n∑k=0

k2 =13

[(n + 1)3 − 3n(n + 1)

2− (n + 1)

].

Pertanto

n∑k=0

k2 =n + 1

3

[(n + 1)2 − 3

2n − 1

]=

n + 16

[2(n + 1)2 − 3n − 2]

=n + 1

6(2n2 + 4n + 2 − 3n − 2)

=n + 1

6(2n2 + 1)

=n(n + 1)(2n + 1)

6.

8.1 Il triangolo di Tartaglia per il calcolo dei coefficienti binomiali 94

Il triangolo di Tartaglia per il calcolo dei coefficienti binomiali

n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1

Esempio 8.7.

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 .

CAPITOLO 9

Brevi richiami di geometria analitica ed euclidea

• Equazione di una retta generica:

y = mx + q

• Equazione di una retta passante per due punti di coordinate(x1, y1) e (x2, y2):

(y − y2)(x1 − x2) = (x − x2)(y1 − y2) .

In particolare, segue che

y = cost se y1 = y2, x1 , x2,

x = cost se x1 = x2, y1 , y2.

• Equazione della circonferenza di raggio 1 centratanell’origine:

x2 + y2 = 1 .

La generica equazione di una circonferenza di centroC = (α, β) e raggio r:

(x − α)2 + (y − β)2 = r2 .

• Equazione di una parabola in posizione generica:

y = ax2 + bx + c ,

• Distanza tra due punti:

P = (x1, y1), Q = (x2, y2)⇒ PQ =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

La formula della distanza tra due punti si ottiene dal

Teorema 9.1 (Teorema di Pitagora). In ogni triangolo rettangolo ilquadrato dell’ipotenusa e equivalente alla somma dei quadrati dei due cateti.

95

9. BREVI RICHIAMI DI GEOMETRIA ANALITICA ED EUCLIDEA 96

Dimostrazione. Dimostrazione algebrico-geometrica del Teore-ma di Pitagora (di J.Garfield):

Figura 1

L’area del trapezio in figura si calcola in due modi diversiottenendo:

a(a + b) +(b − a)(b + a)

2=

c2

2+ ab ,

da cui sempificando di ottiene a2 + b2 = c2. �

Teorema 9.2 (Primo Teorema di Euclide). In ogni triangolo rettan-golo il quadrato costruitito su un cateto e equivalente al rettangolo che haper dimensioni l’ipotenusa e la proeizione del cateto sull’ipotenusa.

Figura 2

a2 = (c + d) · c = c2 + dc .

9. BREVI RICHIAMI DI GEOMETRIA ANALITICA ED EUCLIDEA 97

Teorema 9.3 (Secondo Teorema di Eulcide). In ogni triangolo ret-tangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa e equivalenteal rettangolo che ha per doimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

h2 = cd .

Dimostrazione. (Del secondo teorema di Eulcide) Per il Teorema diPitagora si ha che

(c + d)2 = a2 + b2

h2 = a2 − c2 = b2 − d2.

Quindi segue che

2cd = a2 − c2 + b2 − d2 = h2 + h2

⇒ cd = h2 .

�

Dimostrazione. (Del primo teorema di Eulcide) Per il secondoteorema di Euclide si ha che

h2 = cd,

mentre dal Teorema di Pitagora si ha

a2 = c2 + h2

da cui la tesi. �

CAPITOLO 10

I numeri complessi

In quest’ultimo capitolo viene fornita una breve introduzione sul-l’insieme C dei numeri complessi. Prima di tutto diamo una idea dicome sono nati, a partire dalla soluzione delle equazioni di terzo gra-do (a coefficienti reali). La trattazione dei numeri complessi iniziapoi con la definizione formale di numero complesso, vengono poidefinite le operazioni in C , e presentate le diverse rappresentazionidei numeri complessi.

Motivazioni

Consideriamo l’equazione di terzo grado

y3 + ay2 + by + c = 0, a, b, c ∈ R,

con lo scopo di individuare un metodi per scrivere le radici infunzione dei coefficienti a, b, c.

Se sostiutiamo nella equazione una nuova incognita x tale che

y = x − a3,

con un conto non complicato si ottiene una equazione in x priva deltermine di secondo grado

(10.1) x3 + px + q = 0, p, q ∈ R,

sulla quale concentreremo i nostri sforzi. Nel fare questoconsidereremo anche il caso concreto

(10.2) x3 − 19x + 30 = 0.

che ha tre soluzioni reali: 2, 3,−5.Come vedremo nel corso di Analisi 1, l’equazione (10.1) ha almeno

una soluzione reale x0. Introduziamo allora una incognita ausiliaria98

10.1 Definizione dei numeri complessi 99

u radice dell’quazione

(10.3) u2 − x0u − p3= 0

Supponiamo di essere nella situazione in cui il discriminante dellaequazione (10.3) e strettamente positivo. Allora (10.3) ha due radicireali α e β. Come sappiamo la loro somma e’ x0 e il loro prodotto − p

3 .Poiche x0 = α + β e’ una radice di (10.1) si ottiene:

(α + β)3 + p(α + β) + q = 0.

Sviluppando il cubo e ricordando che 3αβ + p = 0 si ottiene

α3 + β3 = −q

D’altra parte αβ = − p3 per cui abbiamo anche

α3β3 = − p3

27Questa ultime due uguaglianze mostrano che α3 e β3 sono le radicidell’equazione di secondo grado

(10.4) z2 + qz − p3

27= 0

a cui ci si riconduce per poter individuare le radici α + β. La cosapero’ che sconvolse i matematici che studiavano questo problema eche in casi come il nostro in cui abbiamo tre radici reali, il discrimi-nante delle equazione (10.4) puo’ essere negativo (da qui l’esigenzadi considerare in qualche modo radici quadrate di numeri negativi).Si noti che nel nostro caso il discriminante e’ dato da

q2 +427

p3 = (30)2 +4

27(−19)3 < 0.

10.1. Definizione dei numeri complessi

L’insieme dei numeri complessi viene solitamente indicato con laletteraC . Un numero complesso z viene definito nel seguente modo.

Definizione 10.1. Un numero complesso z e una coppia ordinata dinumeri reali (a, b) , con a e b dette rispettivamente parte reale (Re z) eparte immaginaria (Im z) di z .

10.2 Rappresentazione algebrica dei numeri complessi 100

Esempio 10.2. Ad esempio z1 = (a1, b1) e z2 = (a2, b2) rappresentatiin figura sono numeri complessi.

Figura 1

Possiamo definire somma e prodotto di due numeri complessiz1 = (a, b) e z2 = (c, d).

Somma:z1 + z2

def= ((a + c), (b + d)) .

Il numero complesso 0 = (0, 0) e l’elemento neutro rispetto allasomma. L’opposto del numero complesso z = (a, b) e −z = (−a,−b) .

Prodotto:(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc) .

L’elemento neutro rispetto al prodotto e il numero immagianrio (1, 0) ,essendo

(a, b) · (1, 0) = (a − 0, 0 + b) = (a, b) .

10.2. Rappresentazione algebrica dei numeri complessi

Un numero complesso z = (a, b) puo essere rappresentato in formaalgebrica, cioe puo essere scritto come

z = a + ib ,

cona = Re z , b = Im z .


i e detto unita immaginaria 1, e un numero complesso individuato da

i = (0, 1) ,

ed e tale che i · i = i2 = −1 . Tenendo presente questa proprieta, pos-

Figura 2

siamo definire somma e prodotto di due numeri complessi z1 = (a, b)e z2 = (c, d) utilizzando la rappresentazione algebrica. Le definizionidi somma e prodotto sono obbligate se cogliamo che C sia un campomunito don tali operazioni.

Somma:

z1 = a1 + ib1

z2 = a2 + ib2

z1 + z2 = a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 + ib1 + ib2

= a1 + a2 + i(b1 + b2)

(cioe nella somma di due numeri complessi si sommano tra lororispettivamente le parti reali e le parti immaginarie).

1Supponiamo di voler trovare x tale che

x2 = −1 .

Se x0 e soluzione, anche −x0 lo e. Queste due soluzioni vengono indicate con i e−i , e i e detto unita immaginaria.


Prodotto:

z1 · z2 = (a1 + ib1)(a2 + ib2)

= a1(a2 + ib2) + ib1(a2 + ib2)

= a1a2 + a1ib2 + ib1a2 + ib1ib2

= a1a2 + ia1b2 + ib1a2 + i2b1b2

= a1a2 + ia1b2 + ib1a2 − b1b2

⇒ (a1, b1)(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1b2 + b1a2) .

L’elemento neutro rispetto alla somma e 0 + i0 . Inoltre, se z = a + ib ,il suo opposto e −z = −a − ib .

L’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione e 1 = 1 + i · 0 .Esiste il reciproco: infatti, supponiamo che z , 0 (lo 0 e l’elementoneutro rispetto alla somma) e dimostriamo che esiste un unico y taleche z · y = 1. Si ha

(10.5) y =1z=

1α + iβ

=1

α + iβ·α − iβα − iβ

=α − iβα2 + β2 =

αα2 + β2 + i

−βα2 + β2

essendo (α + iβ)(α − iβ) = α2 − i2β = α2 + β2 > 0 .Verifichiamo che effettivamente y determinato e il reciproco di z:

(α + iβ) ·α − iβα2 + β2 =

1α2 + β2 (α + iβ)(α − iβ) =

1α2 + β2 · (α

2 + β2) = 1 .

Dimostriamo ora che il reciproco e unico: per assurdo siano y1 , y2

tali che y1 ·z = 1 e y2 ·z = 1 . Tra tutti i possibili reciproci di z scegliamoz−1 ∈ C definito da (10.5) (abbiamo che z−1 · z = 1). Segue che:

y1 · z−1 · z = z−1

y2 · z−1 · z = z−1

}⇒ y1 = y2 = z−1 .

Osservazione 10.3. Grazie all’esistenza del reciproco si vede comee possibile effettuare la divisione inC. Siano z1 = α1+iβ1 , z2 = α2+iβ2 .Allora

z1

z2=α1 + iβ1

α2 + iβ2= (α1 + iβ1) · 1

α2 + iβ2= (α1 + iβ1) · α2 − ib2

α22 + β

22

.


Adesso diamo una diversa dimostrazione di esistenza e unicitaper il reciproco.

z = α + iβ , 0 ( ossia α2 + β2 > 0) ,

y = a + ib ,

con a e b da determinare in modo che (α + iβ)(a + ib) = 1 = 1 + i · 0 ,Essendo

(α + iβ)(a + ib) = αa + iαb + iaβ − βb ,si hanno le condizioni {

αa − βb = 1αb + aβ = 0

Risolviamo il sistema supponendo β , 0 . Dalla seconda equazionesi ottiene

a =−αbβ

e sostituendo nella prima, segue

α

(−αbβ

)− βb = 1

−α2bβ−β2bβ= 1

α2b + β2b = −β

da cui

b =−βα2 + β2

e

a =−αbβ=−αβ

( −βα2 + β2

)=

αα2 + β2 .

Quindi, se β , 0 si ha

y =α

α2 + β2 − iβ

α2 + β2 .

Se invece β = 0 , α , 0 , si ha il sistema{αa = 1αb = 0


che ha come soluzione

b = 0 , a =1α,

cioey =

1α+ i · 0 .

Definizione 10.4. Il coniugato di z e il numero che si ottiene da zcambiando di segno la parte immaginaria.

Dato z = α + iβ , il suo coniugato, denotato con z , e

z = α − iβ .

Definizione 10.5. Il modulo di z , indicato con |z| , e dato da

|z| =√α2 + β2 .

Di conseguenza:

1z=

z|z|2 ,

zz = |z|2 ,z + z = 2Rez

z − z = i · 2Rez .

Esercizio 10.6. Dimostrare le seguenti proprieta.

(1) z1 + z2 = z1 + z2 ;(2) z1 · z2 = z1 · z2 ;

(3)(1

z

)=

1z

.

Svolgimento:

(1) Siano z1 = a1 + ib1 e z2 = a2 + ib2 , con a1, a2, b1, b2 ∈ R . Si ha

z1 + z2 = a1 + a2 + i(b1 + b2) ,

quindi

z1 + z2 = a1 + a2 − i(b1 + b2)

= a1 + a2 − ib1 − ib2

= a1 − ib1 + a2 − ib2

= z1 + z2 .


(2) Siano z1 , z2 come nel punto precedente. Abbiamo

z1 · z2 = (a1 + ib1)(a2 + ib2)

= a1a2 + ia1b2 + ib1a2 − b1b2

= a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + b1a2)

quindi

z1 · z2 = a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + b1a2)

= a1a2 − b1b2 − ia1b2 − ib1a2 =

= (a1 − ib1)(a2 − ib2) = z1 · z2 .

(3) Sia z = a + ib , a, b ∈ R . Allora(1z

)=

aa2 + b2 + i

ba2 + b2

=a + iba2 + b2 =

a + ib(a + ib)(a − ib)

=1

a − ib=

1z.

Esercizio 10.7. Verifichiamo che inCvale la proprieta distributivadel prodotto rispetto alla somma, cioe ∀z1 , z2 , z3 si ha

(z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3 .

Svolgimento: siano

z1 = a1 + ib1

z2 = a2 + ib2

z3 = a3 + ib3 .

Sia ha

(z1 + z2) · z3 = [a1 + a2 + i(b1 + b2)] · (a3 + ib3)

= (a1 + a2)a3 − (b1 + b2)b3 + i[(a1 + a2)b3 + (b1 + b2)a3]

= a1a3 + a2a3 − b1b3 − b2b3 + ia1b3 + ia2b3 + ib1a3 + ib2a3

= a1a3 − b1b3 + i(a1b3 + b1a3) + a2a3 − b2b3 + i(a2b£ + b2a3)

= (a1 + ib1)(a3 + ib3) + (a2 + ib2)(a3 + ib3) .


Proprieta del modulo. Sia z = α + iβ . Il mdoulo di z , cioe|z| =

√α2 + β2 , gode delle seguenti proprieta:

a) |z| ≥ 0 , |z| = 0 ⇔ z = 0 ;b) |z| = |z| ;c) i) |Re z| ≤ |z|

ii) |Im z| ≤ |z|iii) |z| ≤ |Re z| + |Im z| ;

d) (disuguaglianza triangolare) |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| .

Dimostriamo le proprieta sopra elencate.

a) Questa proprieta segue direttamente dalla definizione dimodulo.

b) Sia z = a + ib e z = a − ib il suo coniugato. Si ha |z| =√

a2 + b2

e |z| =√

a2 + (−b)2 , da cui la tesi.c) Sia z = a + ib .

i) |Re z| = |a| ≤√

a2 + b2 ⇔ a2 ≤ a2 + b2

che e sempre vera;ii) la dimostrazione e anaoga al punto precendente;

iii) dimostrare |z| ≤ |Re z| + |Im z| equivale a dimostrare che√a2 + b2 ≤ |a| + |b| , a sua volta equivalente a

a2 + b2 ≤ (|a| + |b|)2

= |a|2 + |b|2 + 2|a||b|= a2 + b2 + 2|a||b|

che vale perche 2|a||b| ≥ 0.d) Siano z1 = a + ib , z2 = c + id . Dobbiamo dimostrare che√

(a + c)2 + (b + d)2 ≤√

a2 + b2+√

c2 + d2 ma cio e equivalentea

(a + c)2 + (b + d)2 ≤ a2 + b2 + c2 + d2 + 2√

a2 + b2√

c2 + d2

⇒ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd ≤ a2 + b2 + c2 + d2 + 2√

a2 + b2√

c2 + d2

⇔ ac + bd ≤√

a2 + b2√

c2 + d2

⇔ ac + bd ≤√

(a2 + b2)(c2 + d2) .


Ma abbiamo

ac + bd ≤ |ac + bd| ≤ |ac| + |bd| = |a||c| + |b||d| ∀a, b, c, d ∈ R .

Quindi per concludere la dimostrazione e sufficientedimostrare che

|a||c| + |b||d| ≤√

(a2 + b2)(c2 + d2) .

Grazie alla presenza dei moduli, si puo dimostare la pro-prieta solamente per a, b, c, d ≥ 0 . Quindi basta provareche

(ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

⇔ a2c2 + b2d2 + 2abcd ≤ a2c2 + b2c2 + a2d2 + b2d2

⇔ b2c2 + a2d2 − 2abcd ≥ 0

⇔ (bc + ad)2 ≥ 0

che e sempre vera. La tesi e quindi dimostrata.

Esercizio 10.8. Trovare tutti i numeri complessi z = a + ib chesoddisfano l’equazione

(10.6) z2 + i Im z + 2z = 0 .

Svolgimento: z = a + ib verifica l’equazione (10.6) se e solo se

(a + ib)(a + ib) + ib + 2(a − ib) = 0

⇔ a2 − b2 + 2iab + ib + 2a − 2ib = 0

⇔ a2 − b2 + 2a + i(2ab + b) = 0

⇔{

a2 − b2 + 2a = 02ab + b = 0

La seconda equazione ha le due soluzioni

b = 0 ∨ 2a + 1 = 0 .

• Se b = 0 , dalla prima equazione segue a = 0 ∨ a = −2quindi si ottengono i numeri complessi

z = 0 + i · 0 ∨ z = −2 + i · 0 .

10.3 Forma trigonometrica (o polare) dei numeri complessi 108

• Se a = −12

, allora dalla prima equazione si ha

14− b2 − 1 = 0 ⇒ b2 = −3

4

che non ha soluzioni

10.3. Forma trigonometrica (o polare) dei numeri complessi

Un numero complesso z = (a, b) puo essere rappresentatoutilizzando le coordinate polari (ρ, ϑ) nel seguente modo:

z = ρ(cosϑ + i sinϑ)

dove ρ e il modulo di z dato da

ρ = |z| =√

a2 + b2

e ϑ e l´argomento di z , che si ottiene dalle relazioni

b = ρ sinϑ

a = ρ cosϑ

ovveroba= tanϑ .

La funzione tan :]− π

2 ,π2

[→ R e biunivoca (come vedremo

nel corso di Analisi Matematica 1) e la sua inversa e la funzionearcotangente che indicheremo con arctan.

Figura 3


Sia z , 0 . Allora z puo essere scritto utlizzando le coordinatepolari nel seguente modo

z = ρ(cosϑ + i sinϑ)

dove

ρ =√

a2 + b2 , cosϑ =a√

a2 + b2, sinϑ =

b√a2 + b2

.

Esercizio 10.9. Scrivere il numero complesso

z =√

3 + i

in forma trigonometrica.Svolgimento:

ρ =

√(√3)2+ 12 = 2 ,

tanϑ =1√3⇒ ϑ =

π6, .

Quindi:

z = 2(cosπ6+ i sin

π6

).

Il prodotto di due numeri complessi z1 , z2 scritti in formatrigonometrica, cioe

z1 = ρ1(cosϑ1 + i sinϑ1)

z2 = ρ2(cosϑ2 + i sinϑ2) ,

viene calcolato come segue:

z1 · z2 = ρ1ρ2(cosϑ1 + i sinϑ1)(cosϑ2 + i sinϑ2)

= ρ1ρ2(cosϑ1 cosϑ2 − sinϑ1 sinϑ2

+i(sinϑ1 cosϑ2 + cosϑ1 sinϑ2))

= ρ1ρ2(cos(ϑ1 + ϑ2) + i sin(ϑ1 + ϑ2)) .

Se z1 = z2 = z = ρ(cosϑ + i sinϑ) , allora

z2 = ρ2(cos 2ϑ + i sin 2ϑ) .


Figura 4

Siano ρ1 = ρ2 = 1 . Osserviamo che

i = cosπ2+ i sin

π2

ei · i = i2 = −1 .

Dunque ruotando i di un angolo di π2 si arriva in (−1, 0)) .

10.3.1. Formula di De Moivre.

zn = ρn(cos nϑ + i sin nϑ) .

Dimostriamo la proprieta usando il principio di induzione. Os-serviamo che p(2) e vera. Quindi facciamo vedere che p(n)⇒ p(n+1),cioe

zn = ρn(cos 0ϑ+ i sin nϑ) ⇒ zn+1 = ρn+1(cos(n+1)ϑ+ i sin(n+1)ϑ) .

Per ipotesi induttiva si ha

zn+1 = z · zn = ρn(cos nϑ + i sin nϑ)ρ(cosϑ + i sinϑ) .

Resta da dimostrare che

(cos nϑ + i sin nϑ)(cosϑ + i sinϑ) = cos(n + 1)ϑ + i sin(n + 1)ϑ .

Ma poiche il prodotto si ottiene sommando gli angoli, si ottiene comeangolo

ϑ + nϑ = (n + 1)ϑ


e la dimostrazione e conclusa.

10.3.2. Radice n-esima dell’unita. Sia

z = ρ(cosϑ + i sinϑ) .

Allora

zn = 1

se e solo se

cos nϑ + i sin nϑ = 1 ⇔ ρ = 1 e

cos nϑ + i sin nϑ = 1 .

Dunque abbiamo

⇔{

cos nϑ = 1sin nϑ = 0 ,

e da cio segue nϑ = 2kπ , k ∈ Z . Quindi

ϑ =2kπ

n.

Se k = 0 , ϑ = 0

se k = 1 , ϑ =2πn

se k = 2 , ϑ =4πn

se k = n − 1 , ϑ =2(n − 1)π

nse k = n , ϑ = 2π

cioe per k = n abbiamo fatto un giro completo. Quindi tutte lesoluzioni dell’equazione zn = 1 sono{

cos2kπ

n+ i sin

2kπn, k = 0, ..., n − 1

}.

Consideriamo ora un’equazione del tipo

zn = ω

con

ω = r(cosφ + i sinφ) , φ ∈ [0, 2π[ .


Quindi, se esprimiamo z come z = r(cosϑ + i sinϑ) , l’equazionediventa

ρn(cos nϑ + i sin nϑ) = r( cosφ + i sinφ) ,

da cui

ρn = r ⇒ ρ = n√r

nϑ = φ + 2kπ ⇒ ϑ =φ

n+

2kπn.

Quindi le soluzioni sono{n√r

[cos

(φ

n+

2kπn

)+ i sin

(φ

n+

2kπn

)]: k = 0, ..., n − 1

}.

Esercizio 10.10. Risolviamo l’equazione

z5 = 1 + i .

L’equazione e della forma vista sopra con n = 5 eω = 1+ i . Scriviamoω in forma trigonometrica. Si ha che

|ω| =√

2 ,

quindi

ω =√

2(cosπ4+ i sin

π4

).

Pertanto le soluzioni dell’equazione sono{10√

2 cos(π20+

2kπ5

)+ i sin

(π20+

2kπ5

): k = 0, 1, 2, 3, 4

}.

Fabio Giannoni Precorso di Analisi Matematica 1docenti.unicam.it/tmp/2996.pdfCAPITOLO 1 Introduzione...

Documents

Transcript of Fabio Giannoni Precorso di Analisi Matematica 1docenti.unicam.it/tmp/2996.pdfCAPITOLO 1 Introduzione...