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7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Appunti, formule e teoria
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Capitolo 1
Cinematica
del punto
Concetti fondamentali:
- punto materiale
- spazio
- tempo
- velocit
- accelerazione
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Il moto rettilineo uniforme il moto pi facile che si possa immaginare: un corpo si muove di velocit costante nel tempo spostandosi nello
spazio, senza tener conto di eventuali attriti o forze agenti.
Moto rettilineo uniforme
2
-3 m
-1.5 m
0 m
1.5 m
3 m
4.5 m
6 m
3.75 s 7.5 s 11.25 s 15 s
Relazione lineare tra spazio e tempo
Relazione lineare fino al tempo 1 e frenata
Fermo fino a 3 secondi, accelerazione fino a 7 secondi, frenata
Un po di formule
Velocit media:
vm =ds
dt
Velocit istantanea:
v =ds
dt
Spostamento complessivo:
x (t) = x0 +
t
t0
v (t) dt
Legge oraria del moto:
x (t) = x0 + vt
t0
dt = x0 + v (t t0)
Relazione tra velocit media e istantanea:
vm =1
t t0t
t0
v (t) dt
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Un po di formule
Accelerazione media:
Accelerazione istantanea:
Relazioni tra accelerazione e velocit:
Moto rettilineo uniformemente accelerato
3
Moto uniformemente accelerato:
v (t) = v0 + t
t0
a (t) dt = v0 + a (t t0)
Legge oraria:
Se laccelerazione durante un moto rettilineo costante si parla di moto
uniformemente accelerato.
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Un po di formule
Accelerazione:
Velocit:
nulla per
Legge oraria:
Moto rettilineo smorzato esponenzialmente
4
In un tempo la funzione si
riduce di un fattore e.
= costante di tempo
0 m/s
7.5 m/s
15 m/s
22.5 m/s
30 m/s
3.75 s 7.5 s 11.25 s 15 s
Velocit in funzione del tempo
Velocit in funzione dello spazioSpazio in funzione del tempo
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Un po di formule:
Caduta da unaltezza h con velocit iniziale nulla
Lancio verso il basso
Lancio verso lalto partendo dal suolo
Moto verticale di un corpo o di caduta libera
5
Se si trascura lattrito con laria, un corpo lasciato libero di cadere in vicinanza della superficie terrestre si muove verso il basso con
unaccelerazione costante che vale in modulo g.
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Un po di formule
Legge oraria:
Periodo e frequenza:
Velocit del punto:
Accelerazione del punto:
Condizione moto armonico:
Moto armonico semplice
6
Dati da ricavare:
Velocit massima:
Accelerazione
massima:
Ogni sistema fisico perturbato dalla sua posizione di equilibrio risponde con moto
armonico.
un moto vario che avviene lungo un asse rettilineo.
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Un po di formule
Velocit angolare:
Legge oraria:
Periodo:
Moto circolare uniforme
7
Si chiama moto circolare un moto piano la cui traiettoria
rappresentata da una circonferenza. Laccelerazione
centripeta sempre diversa da zero. Il moto circolare
uniforme un moto accelerato con accelerazione costante,
ortogonale alla traiettoria.
Accelerazione centripeta:
Proiezione sugli assi:
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Un po di formule
Accelerazione tangenziale:
Accelerazione angolare:
Legge oraria:
Moto circolare non uniforme
8
Se un moto circolareuniformemente accelerato:
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Un po di formule
la II Legge di Newton neifluidi non newtoniani
Legge oraria:
Traiettoria:
Angolo di gittata massima:
Moto parabolico in fluidi non newtoniani
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Capitolo 2
Dinamica del
punto
Concetti fondamentali:
- forza
- massa
- accelerazione
- leggi di Newton
- quantit di moto
- impulso
- attrito
- lavoro
- potenza
- energia cinetica
- energia potenziale
- forza conservativa
- forza non conservativa
- momento
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Principio dinerzia
Un corpo non soggetto a forze non subisce cambiamenti divelocit, ovvero resta in uno stato di quiete se era in queste (v=0)
oppure si muove di moto rettilineo uniforme (vcostante non
nulla).
Se presente unaccelerazione si segnala sicuramente la
presenza anche di una forza agente.
Seconda legge di Newton
Linterazione dl punto con lambiente circostante, espressa
tramite la forza F, determina laccelerazione del punto ovvero la
variazione della sua velocit nel tempo; m rappresenta la massa
inerzialedel punto.
una legge vettoriale.
Terza legge di Newton (azione e reazione)
Se un corpo A esercita una forza su un corpo B, il corpo B
reagisce esercitando una forza sul corpo A. Le due forze
hanno la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto,
esse cio sono uguali e contrarie. Hanno la stessa retta dazione.
Principio di inerzia e leggi di Newton
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Quantit di moto
Se la massa costante:
che in realt la forma pi generale della legge di Newton,
utilizzabile anche se la massa non costante.
In assenza di forza applicata la quantit di moto si conserva.
Teorema dellimpulso
Limpulso di una forza applicata ad un punto materiale provoca la
variazione della sua quantit di moto.
la forma integrale della seconda legge di Newton.
Se la massa costante:
Relazione tra forza e variazione di velocit:
Forza media:
Quantit di moto e impulso
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In presenza di pi forze ciascuna agisce indipendentemente dallealtre, comunicando sempre al punto laccelerazione data dalla
seconda legge di Newton; si parla infatti di indipendenza delle
azioni simultanee.
Condizioni di equilibrio statico
Se la risultante delle forze nulla (R=0) e il punto ha inizialmente
velocit nulla, esso rimane in quiete.
Condizioni di equilibrio dinamico
In presenza di forze il moto avviene con velocit costante in
modulo.
moto rettilineo: avviene se la risultante delle forze nulla;
moto curvilineo: avviene se la componente tangenziale nulla.
moto circolare uniforme: avviene se la componente normale costante.
Reazioni vincolari
Se un corpo soggetto allazione di una forza o della risultante non
nulla di uninsieme di forze, rimane in quiete, lazione della forza
provoca una reazione dellambiente circostante chiamata
reazione vincolare che si esprime tramite una forza, uguale econtraria alla forza o alla risultante delle forze agente, applicata al
corpo stesso in modo che esso rimanga in quiete.
Non determinabile a priori.
Equilibrio e reazioni vincolari
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Moto rettilineo uniforme:
Moto rettilineo uniformemente accelerato:
Moto vario:
Laccelerazione si presenta sotto forma di (accelerazione
tangenziale) e (accelerazione normale):
La risultante delle forze deve avere una componente ortogonale
alla traiettoria (forza centripeta), per provocare la variazione
di direzione della velocit.
La componente tangenziale determina invece la variazione
del modulo della velocit.
Azione dimanica delle forze
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Lavoro
Si definisce il lavoro della forzaFcompiuto durante lo
spostamento del punto dalla posizione A alla posizione B la
quantit scalare:
Il lavoro lintegrale di linea della forza.
Il lavoro pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti,
ciascuno dei quali pu essere positivo, negativo o nullo.
Si possono presentare tre casi:
F forma con ds un angolo inferiore a 90: accelerazione
tangente concorde con la velocit e la fa aumentare: lavoro
motore;
F forma con ds un angolo maggiore a 90: il punto viene
frenato e perci il lavoro negativo: lavoro resistente;
F forma con ds un angolo di 90: la forza ha azione centripeta
e non fa variare il modulo della velocit: il lavoro nullo.
Lavoro, potenza e energia cinetica
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Potenza
La potenza corrisponde al lavoro per unit di tempo secondo la
relazione:
La potenza media il rapporto tra lavoro totale e tempo impiegato
per compierlo.
Energia cinetica
Trovato il legame esplicito tra il lavoro infinitesimo e la variazione
infinitesima del modulo della velocit ( ), si nota che illavoro pu essere espresso come (teorema dellenergia cinetica):
perciil lavoro uguale alla variazione della quantit
chiamata energia cinetica.
Si possono distinguere tre casi:
W0: energia cinetica iniziale maggiore di quella finale (come
nelle forze dattrito;
W=0: energia cinetica costante (come nel moto circolare
uniforme)
W il lavoro totale: se nota la variazione della forza lungo la
traiettoria, si pu conoscere il lavoro e quindi il modulo della velocit;
e viceversa.
La nozione di lavoro e di energia, sono legate a quella di
spostamento: senza spostamento non c lavoro.
Relazione tra energia cinetica e quantit di moto
perci:
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Non esiste una formula generale per lenergia potenziale, ma lespressione esplicita dipende dalla particola forza conservativa cui essa siriferisce.
Ogni modo, una definizione generale pu essere:
Questultima non ha carattere generale come definizione di lavoro, vale solo se le forze sono conservative.
Quando lenergia potenziale diminuisce, il lavoro compiuto positivo e pu essere utilizzato.
Quando lenergia potenziale aumenta, il lavoro compiuto negativo e ci vuol dire che bisogna fornire lavoro dallesterno.
Da una forza conservativa non si pu ricavare lavoro se il processo ciclico.
Relazione tra energia potenziale e forza
La forza lopposto del gradiente dellenergia potenziale, ed diretta secondo il verso di massima diminuzione di .
La forza associata allenergia potenziale normale, in ogni punto, allasuperficie equipotenziale passante per quel punto e indica, con il
suo verso, quello di diminuzione di .
Energia potenziale
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La somma dellenergia cinetica e dellenergia potenziale (chiamata energia meccanica) di un punto materiale che si muove sotto lazione di
forze conservative resta costante durante il moto, ossia si conserva.
In presenza di forze non conservative lenergia meccanica non resta costante e la sua variazione uguale al lavoro delle forze non
conservative presenti.
Conservazione dellenergia meccanica
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Momento angolare:momento del vettore quantit di moto
cambiando polo:
Il momento angolare si conserva se il momento della forza
nullo.
Nel moto curvilineo:
in quanto i vettori r e v sono paralleli e il loro prodotto vettoriale
nullo.
Momento della forza:
cambiando polo:
Teorema del momento angolare
La derivata temporale del momento angolare uguale al
momento della forza se entrambi i momenti sono riferiti allo
stesso polo fisso in un sistema di riferimento inerziale.
Il momento della forza pu essere nullo sia perch la forza nulla
sia quando r e F sono paralleli. Il momento angolare di un punto
materiale si conserva se il momento delle forze nullo.
Teorema del momento dellimpulso
La variazione di momento angolare uguale al momentodellimpulso applicato al punto.
Momento
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Definizione
In uno stesso luogo tutti i corpi assumono, se lasciati liberi, la
stessa accelerazione, dettaaccelerazione di gravit, direttaverticalmente verso il suolo il cui modulo varia leggermente da
posto a posto sulla terra.
La forza peso risulta proporzionale alla massa.
una forza costante e in assenza di altre forze il moto ha una
componente uniformemente accelerata nella direzione parallela a
g.
Se agiscono altre forze in generale si ha
Formula
Forza peso
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La sensazione di peso
Un corpo di massam appoggiato su un pavimento e in equilibrio
statico, esercita una forza sul pavimento e risente di una reazione
N che in modulo valemg.
Consideriamo il corpo posato su una piattaforma che pu
muoversi verticalmente con unaccelerazionea.
Se il corpo resta sulla piattaforma laccelerazione rimanea e
perci:
Ci sono quindi 4 casi possibili:
a discorde a g:
piattaforma che accelera verso lalto; si ha una sensazione di
aumento di peso, una bilancia pesapersone darebbe una lettura
maggiore di quando la piattaforma ferma;
a concorde con g, ma minore in modulo:
la sensazione di diminuzione di peso, la bilancia d una lettura
minore di quando la piattaforma ferma;
a uguale a g:
piattaforma in caduta libera; non c reazione e non c
sensazione di peso;
a concorde con g, ma maggiore in modulo:
si ha il distacco del corpo dalla piattaforma.
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Lavoro
Siccome il peso ha una sola componente diversa da 0, quella
verticale, che vale -mg, e la componente di lungo lasse
verticale , il prodotto .
Perci il lavoro della forza peso vale:
Il lavoro uguale allopposto della variazione della funzione
durante lo spostamento da A a B e pertanto non
dipende dalla particolare traiettoria che collega A e B.
La funzione si chiama energia potenziale della forzapeso.
Punto B pi in basso del punto A: lavoro positivo, lenergia
potenziale diminuisce;
Punto B pi in alto del punto A: lavoro negativo, lenergia
potenziale aumenta (per fare avvenire ci si ha bisogno di una
velocit iniziale sufficiente affinch la diminuzione dellenergia
cinetica eguagli il lavoro).
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Si consideri un corpo posto su un piano inclinato di un angolocome in figura.
Agisce solo la forza peso
con R la reazione vincolare del piano dappoggio che ha ununica
componente normale al piano stesso (vincolo liscio).
Componenti
con la reazione vincolare.
Il corpo scende con un moto uniformemente accelerato con
accelerazione minore di quella di gravit.
Agisce la forza peso ed presente una forza di attrito
radente
Oltre alla componente N, c anche la componente parallela al
piano inclinato pari a .
Condizione di equilibrio
Accelerazione
dovendo essere il termine tra parentesi positivo, ; se vale la sola
uguaglianza, il moto rettilineo uniforme (equilibrio dinamico).
1. Se i l corpo fermo sul piano inclinato, resta fermo per tutti gli
angoli compresi tra 0 e tale che . Per il
corpo non pu restare fermo e scende lungo il piano. Il moto
pu avvenire per angoli tale che .
2. Se i l corpo allistante iniziale in moto con velocit costante,
si ferma se ; procede con velocit costante se
; e si muove di moto uniformemente accelerato se
.
Piano inclinato
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Definizione
una forza di direzione costante con verso rivolto sempre ad un
punto O, chiamato centro, e con modulo proporzionale alla
distanza.
Formula
k la costante elastica e il versore dellasse x.
Il moto risultante per effetto di una forza elastica rettilineo
qualora la velocit iniziale sia nulla o diretta come .
Accelerazione
si muove perci di moto armonico semplice.
Pulsazione e periodo
La forza elastica praticamente viene applicata tramite una molla,
perci pu essere vista come:
con lunghezza a riposo,xrappresenta la deformazione. Il
modulo della forza di richiamo proporzionale alla deformazione.
Forza elastica
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Se : la molla viene allungata, sviluppa una forza che tende a riportarla nella condizione di riposo.
Se : la molla viene compressa, sviluppa una forza che tende a riportarla nella condizione di riposo.
Se si ha una molla libera ad entrambi gli estremi e si vuole deformarla di una quantitx, bisogna applicare agli estremi forze uguali e
contrarie di modulokx.
Lavoro
La funzione si chiama energia potenziale elastica.
Coordinata iniziale maggiore di quella finale: il punto si muove verso il centro della forza, il lavoro positivo e lenergia potenziale
diminuisce;
Coordinata iniziale minore di quella finale: il punto si allontana dal centro della forza, il lavoro negativo e lenergia potenziale
aumenta (per fare avvenire ci si ha bisogno di una velocit iniziale sufficiente affinch la diminuzione dellenergia cinetica eguagli il lavoro).
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Definizione
In qualsiasi punto la sua direzione passa sempre per un punto
fisso, detto centro della forza, e il modulo funzione soltanto
della distanza dal centro stesso.
La presenza di una forza che agisce in una certa regione dello
spazio, costituisce una modifica dello spazio stesso e stabilisce
un campo di forza.
Il momento della forza rispetto al centro ovunque nullo, perci:
La velocit con cui il raggio vettore spazza larea infinitesima
la velocit areale:
La traiettoria di un
punto che si muove in
un campo di forze
centrali giace in un
piano fisso passante
per il centro ed
percorsa in modo tale
che la velocit areale
rimanga costante.
Laccelerazione di un
punto lungo la
traiettoria vale, secondo
la formula di Binet in modulo:
In notazione vettoriale:
Forze centrali
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Applicando ad un corpo appoggiato una forza F tale da presentare
una componente normale al piano di appoggio e una
parallela al piano stesso, si nota che il noto non entra un
movimento fino a che il modulo di non supera il valore ,
dove il coefficiente di attrito statico e N il modulo della
componente normale al piano di appoggio della reazione vincolare.
Condizione per cui il corpo possa essere messo in
movimento
Condizione di quiete
Se la condizione di quiete si scrive:
Reazione del piano in condizioni di equilibrio statico
Le componenti di R sono:
Se le componenti di R sono:
Condizione di appoggio
Forza di attrito radente
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Quando inizia il movimento, si osserva che si oppone al moto la forza di attrito dinamico con la relazione:
dove rappresenta il coefficiente di attrito dinamico.
Equazione del moto
Componenti della reazione
La forza di attrito dinamico non dipende dalla velocit del corpo rispetto al piano di appoggio ed ha verso contrario alla direzione del
moto e quindi al versore della velocit.
Le forze di attrito radente in generale hanno origine dalle forze di coesione tra due materiali: uneccessiva levigatura fa aumentare lacoesione e quindi lattrito; se le superfici vengono bagnate la forza di attrito diminuisce notevolmente.
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Lavoro
A parit di eNsi ha lavoro diverso a seconda della forma della traiettoria. Il lavoro dellattrito radente perci dipende dal percorso;
sempre negativo.
(per avere il moto si ha bisogno di una velocit iniziale sufficiente affinch la diminuzione dellenergia cinetica eguagli il lavoro: lenergia cinetica
diminuisce lungo il percorso e in B la velocit minore che in A. In particolare, data lenergia cinetica con N costante, il punto si ferma
dopo aver percorso )
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Definizione
Forza che si oppone al moto ed proporzionale alla velocit del
corpo soggetto a tale forza. Cresce linearmente con la velocit.
Non si pu realizzare la condizione di equilibrio statico poich se
v=0, la forza si annulla.
Sono esercitate in presenza di fluidi.
La forza dellattrito viscoso si oppone allaumento della velocit,
rendendo al limite il moto uniforme.
Formula
doveb pu essere sostituito conmk, conkcostante tipica di
ogni materiale.
Forza di attrito viscoso
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Velocit
Partendo da 0 la velocit cresce, per sempre pi lentamente per
un valore del tempo molto maggiore di , la velocit assume
praticamente il valore costante .
Quando la velocit assume il valore si ha lequilibrio dinamico
tra le due forze e la loro risultante si annulla.
Accelerazione
Lavoro
Con e quindi .
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0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 g/k 6 7 8
Velocit vs. forza
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Definizione
Se la risultanteR delle forze agenti su un punto presenta una
componente ortogonale alla traiettoria, si ha un moto curvo;
determina laccelerazione centripeta secondo la relazione
data dalla formula.
Formula
R ha anche una componente tangenziale alla traiettoria
responsabile della variazione del modulo della velocit.
Forze centripete
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Un po di formule
Le forze agenti sul pendolo sono la forza peso e la tensione del filo
Forza peso Tensione filo
per cui la risultante R vale
Componenti della risultante delle forze
Il segno negativo della componente lungo la traiettoria dovuto al fato che la forza
ha segno opposto rispetto a quello della coordinata sulla traiettoria.
una forza di richiamo che tende a riportare il punto sulla verticale, anche
se non di direzione costante.
Pendolo semplice
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Componenti dellaccelerazione P i l ill i i i i t d l i di i li
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Componenti dell accelerazione
Equazione del moto (per piccole oscillazioni)
Legge oraria del moto (per piccole oscillazioni)
Periodo (per piccole oscillazioni)
Legge oraria dello spostamento lungo larco di circonferenza (per
piccole oscillazioni)
Velocit angolare (per piccole oscillazioni)
Velocit lineare (per piccole oscillazioni)
Per piccole oscillazioni si intende per valori di circa uguali a
Tensione del filo
massima nella posizione verticale, minima nei punti di
inversione. Questo vale qualsiasi sia lampiezza delloscillazione.
Energia potenziale e cinetica per punti generici
Se le oscillazioni sono troppo grandi, il moto sempre periodico,
ma non pi armonico. Il periodo dipende dallampiezza e il cui
valore, per angoli fino a 90, pari a 1.16 volte il periodo di angoli
piccoli.
La velocit lineare diventa:
Nel punto pi basso:
La tensione del filo:
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Capitolo 3
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Capitolo 3
Moti relativi
Concetti fondamentali:
- sistema di riferimento
inerziale
- sistema di riferimento
non inerziale
- forze apparenti
- relativit galileiana
- moto di rotazione dei
sistemi
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Teorema delle velocit relative
Si vuole trovare la relazione tra la posizione e la velocit di un punto P in moto,
misurate da un osservatore solidale con il sistema fisso, e le corrispondenti
grandezze misurate da un osservatore solidale con il sistema mobile.
Relazione tra le posizioni del punto P
con:
Derivando per il tempo, si ottiene la relazione tra le velocit ricercata.
Relazione tra le velocit del punto P
Utilizzando le formule di Poisson:
Velocit relativa
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Velocit del punto P rispetto al sistema fisso: velocit assoluta
Velocit dellorigine O del sistema mobile rispetto al sistema fisso
Velocit del punto P rispetto al sistema mobile: velocit relativa
Velocit di trascinamento
Il moto di trascinamento, legato al moto del sistema mobile, pu essere considerato in ogni istante come la somma di un termine traslatorio
con velocit istantanea e di un termine rotatorio con velocit angolare , variabile sia in modulo che in direzione.
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7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Teorema delle accelerazioni relative
Si vuole trovare la relazione le accelerazioni di un punto P in moto,
misurate da un osservatore solidale con il sistema fisso, e le corrispondenti
grandezze misurate da un osservatore solidale con il sistema mobile.
Derivando per il tempo si ottiene la relazione cercata.
Relazione tra le accelerazioni del punto P
Utilizzando le formule di Poisson:
Inoltre, essendo , si ricava , perci sostituendo:
Accelerazione relativa
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7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Accelerazione del punto P rispetto al sistema fisso: accelerazione assoluta
Accelerazione dellorigine O del sistema mobile rispetto al sistema fisso
Accelerazione del punto P rispetto al sistema mobile: accelerazione relativa
Accelerazione di trascinamento
Accelerazione di Coriolis
40
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Sistema di riferimento inerziale
Sistema in cui valga rigorosamente la legge di inerzia, in cui cio
un punto non soggetto a forze lanciato con velocit arbitraria in
qualunque direzione si muova con moto rettilineo uniforme o, se
in quiete, resti in quiete.
La legge di Newton , in questo sistema, ha, al primo
membro, solo forze vere e la risultante proporzionale
allaccelerazione misurata in quel sistema di riferimento.
Definito un sistema inerziale, tutti gli altri sistemi di riferimento in
moto rettilineo uniforme rispetto a questo, sono anchessi
inerziali.
Essendo la dinamica la stessa, non possibile stabilire tramite
misure effettuate in questi diversi sistemi se uno di essi in
quiete o in moto. Non ha senso il concetto di moto assoluto.
Sistema di riferimento non inerziale
Definito un sistema inerziale, se un secondo sistema ha o
o entrambi, la legge di Newton non pi valida. La
forza vera che agisce sul punto non proporzionale
allaccelerazione del punto stesso, misurata nel sistema non
inerziale.
con accelerazione di trascinamento e accelerazione di
Coriolis.
Le forze sottratte alla forze vere, e , sono chiamate forze
apparenti.
Sistemi di rifermento
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V l it l i di t i tt d
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Dati due punti e che si muovono in un sistema con
Posizione relativa di rispetto a
Velocit relativa di rispetto a
Si deve immaginare un sistema di riferimento con origine in e
assi che non ruotano rispetto a quelli del sistema iniziale: la velocit
di da questo sistema di riferimento, , appunto quella
ricercata. Con riferimento a , la velocit assoluta
; la velocit relativa ; la velocit di trascinamento , in
quanto .
Accelerazione relativa di rispetto a
Il ragionamento analogo a quello delle velocit.
Velocit e accelerazione di un punto rispetto ad unaltro
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7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Considerando due sistemi di riferimento inerziali in moto rettilineo uniforme luno rispetto allaltro con assi paralleli, il sistema di origine O
si sposta con velocit costante parallela allasse delle x; nellistante iniziale le origini coincidono.
Formule di trasformazione
Considerando proiettato sugli assi, si ha la trasformazione
galileiana degli spazi:
Considerando proiettato sugli assi, si ha la trasformazione
galileiana delle velocit:
Essendo entrambi sistemi inerziali:
Moto di trascinamento rettilineo uniforme
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Considerando due sistemi di riferimento in moto rettilineo accelerato luno rispetto allaltro con assi paralleli, il sistema non inerziale di
origine O si sposta con accelerazione costante e una velocit iniziale parallele allasse delle x; nellistante iniziale le origini
coincidono.
La posizione e la velocit del sistema non inerziale di origine O:
Formule di trasformazione
Trasformazione galileiana degli spazi:
Trasformazione galileiana delle velocit:
Moto di trascinamento rettilineo accelerato
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Considerando due sistemi di riferimento e supponendo il moto di trascinamento soltanto rotatorio uniforme e le origini coincidenti.
Si ha e perci:
con la forza centrifuga e la forza di Coriolis.
Moto del punto
Supponendo che gli assi del sistema in rotazione siano solidali ad un disco, posto nel piano degli assi del sistema fisso, che ruota rispetto ad un
asse passante per il suo centro e ortogonale al piano fisso. Supponendo anche la presenza di un punto materiale sul disco ove non vi attrito
tra punto e piano del disco.
Punto sul disco
Il punto rimane fermo mentre il disco gira al di sotto di esso. Per losservatore in O il punto in quiete; per losservatore in O il punto
descrive un moto circolare uniforme. Il moto nei due sistemi ha queste caratteristiche:
Moto di trascinamento rotatorio uniforme
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I O I O
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In O: In O:
In O il punto descrive una circonferenza in verso contrario al moto del disco, con velocit costante e accelerazione puramente
centripeta . Ovviamente in O si ipotizza la presenza delle due forze apparenti centrifuga e di Coriolis.
Punto sul disco collegato ad un filo con velocit
Il punto ruota con la stessa velocit del disco. Per losservatore in O il punto descrive un moto circolare uniforme; per losservatore in O il
punto in quiete. Il moto nei due sistemi ha queste caratteristiche:
In O: In O:
In O si nota ugualmente che il filo teso, perci anche in questo caso si deve supporre la presenza di una forza diretta verso lesterno, la
forza centrifuga, che bilanci la tensione del filo.
Punto sul disco con filo reciso e velocit
Per losservatore in O il punto materiale allistante in cui viene lasciato libero inizia a muoversi di moto rettilineo uniforme con direzione
tangente alla circonferenza nella posizione in cui avviene il distacco; per losservatore in O si osserva un moto del punto materiale, lungo
una traiettoria curvilinea, perci sui punti in moto in questo sistema di riferimento agisca unaltra forza, la forza di Coriolis. l moto nei due
sistemi ha queste caratteristiche:
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M t i tt ll T
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Nelle misure terrestri compaiono termini correttivi dovuti alle forze apparenti ed conveniente riferire queste misure, attraverso note formule di
trasformazione, a un sistema di riferimento inerziale.
Effetti dovuti al moto della Terra
Velocit di un punto P alla superficie della Terra
Accelerazione di un punto P alla superficie della Terra
Punto in moto vicino alla superficie terrestre
sottoposto alla forza peso :
Il termine centrifugo ortogonale allasse di rotazione e diretto verso lesterno in entrambi gli emisferi. Le componenti sono:
Moto rispetto alla Terra
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La correzione centrifuga allaccelerazione di gravit nulla al polo e
i ll t i t i l di i i di
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massima allequatore, ci comporta una piccola diminuzione di
con dipendenza dalla latitudine e lalterazione della verticale
determinata con il filo a piombo.
Leffetto del termine di Coriolis dipende dalla velocit del punto
rispetto al sistema solidale con la terra. La componente :
Se si considera un punto posto ad unaltezzah, con velocit iniziale nulla,
lazione della forza centrifuga comporta uno spostamento verso lequatore
lungo un meridiano, la forza di Coriolis, tangente ad un parallelo e sempre
ortogonale al verso di movimento dei corpi, non influenza la velocit ma
solo la direzione, provoca uno spostamento verso oriente in entrambi gli
emisferi. Leffetto complessivo la combinazione vettoriale dei due.
48
Capitolo 4
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Dinamica dei
sistemi dipunti materiali
Concetti fondamentali:
- momento angolare
- centro di massa
- teoremi di Knig
- energia cinetica
- urti
- forze interne
- forze esterne
- sistema di riferimento
Forze interne e forze esterne
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Considerando un sistema di n punti materiali, la risultante delle forze sulli-esimo punto la somma delle forze esterne agenti sul punto e
delle forze interne esercitate dagli altri n-1 punti al sistema:
.
In generale la risultante delle forze interne agenti sulli-esimo punto diversa da zero, per la risultante di tutte le forze interne del sistema
nulla perch, secondo il principio di azione e reazione, esse sono a due a due uguali ed opposte.
Per ciascun punto di massa sottoposto alla forza si devono considerare le grandezze, misurate in un sistema di riferimento
inerziale:
posizione velocit accelerazione
quantit di moto momento angolare energia cinetica
Forze interne e forze esterne
50
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Propriet dei sistemi di forze applicate a punti diversi
Momento delle forze: .
Ci si applica con la coppia di forze: la risultante delle forze nulla e perci il il momento delle forze non dipende dal polo. Il momento
delle forze ortogonale al piano individuato dalle due rette di azione e ha modulo .
Le forze interne ad un sistema di punti materiali costituiscono un insieme di coppie di forze a braccio nullo.
Dato un sistema di forze applicate in punti diversi e fissato un polo per i momenti, con noti e , questo sistema pu essere sempre
ridotto a una forza con retta dazione passante per il polo (cos il momento di rispetto al polo nullo) e ad una coppia di forze di
momento (che ha risultante nulla e momento indipendente dal polo).
51
Centro di massa
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Definizione
Ilcentro di massa di un sistema di punti materiali il punto geometrico la cui posizione individuata, nel sistema di riferimento
considerato, dal raggio vettore:
le cui componenti sono:
La posizione del centro di massa rispetto agli n punti materiali non dipende dal sistema di riferimento, mentre le sue coordinate variano a
seconda del sistema scelto.
Posizione del centro di massa rispetto ad un altro sistema di riferimento:
Velocit del centro di massa:
Centro di massa
52
Accelerazione del centro di massa:
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Teorema del moto del centro di massa
Il centro di massa si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante
delle forze esterne.
In un sistema di riferimento inerziale, con :
La risultante delle forze esterne uguale alla derivata rispetto al tempo della quantit di moto totale del sistema. Il moto del centro di
massa determinato solamente dalle forze esterne.
53
Sistemi di riferimento
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Sistema del centro di massa
Lorigine nel centro di massa; gli assi mantengono sempre la stessa direzione rispetto agli
assi del sistema inerziale e possono essere assunti paralleli a questi; un sistema non
inerziale infatti il moto del sistema traslatorio ma non necessariamente rettilineo uniforme
(lo solo se cos che ).
Raggio vettore: .
Velocit (in moto di trascinamento rettilineo ): .
Se ci si pone nel centro di massa ( e ) la quantit di moto totale del sistema risulta nulla se misurata nel sistema di
riferimento del centro di massa: .
Essendo il sistema non inerziale, sembra agire la forza dinerzia , cio per ogni punto: e
sommando su tutti i punti: secondo .
In qualsiasi sistema perci: .
Momento delle forze applicate rispetto al centro di massa:
Sistemi di riferimento
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Il momento risultante rispetto al centro di massa uguale al solo momento delle forze esterne vere, senza contributi delle forze di inerzia in
quanto vera preso in un sistema di riferimento inerziale come polo il centro di massa.
Momento angolare:
Il teorema del momento angolare vale anche nel sistema non inerziale del centro di massa se come polo si assume il centro di massa,
contribuendo nel calcolo solo le forze vere. Le grandezze con un apice sono relative al centro di massa, analogamente come nei moti relativi.
Sistema del laboratorio
Sistema in cui si studiano le caratteristiche dei moti.
Legame della velocit tra sistema del centro di massa e quello di laboratorio:
Sistema di forze parallele
Sistema in cui tutte le forze hanno la stessa direzione individuata dal versore u.
Momento (ortogonale alla risultante delle forze): .
Baricentro: .
Se agisce la forza di gravit: .
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Momento angolare
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Momento angolare totale di un sistema di punti materiali, con il raggio vettore :
.
Teorema del momento angolare
Se il polo O fisso nel sistema di riferimento inerziale o coincide con il centro di massa, levoluzione nel tempo del momento angolare del
sistema di punti determinata dal momento delle forze esterne rispetto adO, mentre le forze interne non portano contributi.
Derivando il momento angolare rispetto al tempo si ottiene: ; considerando che e che il
sistema di riferimento inerziale si ottiene:
.
nullo perch ogni addendo prodotto vettoriale di vettori paralleli, e perch la
somma dei momenti delle forze interne rispetto al polo O : , il vettore
parallelo a e quindi (considerando che le forze interne siano un insieme di coppie di forze uguali in modulo e di verso opposto,
con la stessa retta di azione).
Momento angolare
56
Perci:
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.
Il termine risulta nullo se:
il polo O fisso nel sistema di riferimento inerziale: ;
il centro di massa in quiete nel sistema di riferimento inerziale: ;
il polo O coincide con il centro di massa: e ;
parallelo a .
Conservazione del momento angolare
Se vale , se il momento delle forze esterne nullo il momento angolare si conserva. La condizione vale se:
non agiscono forze esterne: il momento angolare si conserva per qualsiasi polo e si ha pure la conservazione della quantit di moto;
il sistema isolato: il momento angolare si conserva per qualsiasi polo e si ha pure la conservazione della quantit di moto;
il momento delle forze esterne nullo per un determinato polo, ma non rispetto a qualsiasi polo, in presenza di forze esterne: si ha
conservazione del momento angolare solo relativo a quel polo.
Attraverso losservazione sperimentale, si nota che effettivamente in un sistema isolato il momento angolare si conserva, perci si deduce con
certezza che il momento delle forze interne nullo e non solo teorizzandolo come in precedenza.
57
Momento assiale
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Considerando un vettore (che rappresenta o una forza o la quantit di moto).
Momento della forza:
Essendo , il vettore ortogonale a e la componente (uguale per i momenti e )
lungo la direzione dellasse di il momento assiale del vettore rispetto allasse .
Momento assiale
58
Conservazione della quantit di moto
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Quando la risultante delle forze esterne nulla, la quantit di moto totale del sistema rimane costante nel tempo e il centro di massa si
muove di moto rettilineo uniforme o resta in quiete.
La conservazione della quantit di moto pu anche avvenire parzialmente, cio essere riferita a una o a due delle tre componenti.
Considerando due punti isolati: . Derivando rispetto al tempo: . Perci le
forze che si esercitano tra i due punti sono uguali in modulo e di verso opposto: . Ci non implica per che abbiano la stessa
retta di azione.
C comunque equivalenza tra la conservazione della quantit di moto e il principio di azione e reazione, generalizzabile a sistemi pi complessi.
Definizione del concetto di massa
Si considerino due punti materiali fermi agli estremi di una molla compressa. Il centro di massa in quiete, la quantit di moto del sistema
nulla. Si lascia espandere la molla: vengono ad agire solo forze interne al sistema, perci la quantit di moto rimane nulla.
Conservazione della quantit di moto
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Teoremi di Knig
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Si assume come polo lorigine del sistema inerziale.
Primo teorema di Knig
Il momento angolare del sistema si pu scrivere nel sistema di riferimento inerziale, come somma del momento angolare dovuto al moto
del centro di massa e di quello del sistema rispetto al centro di massa.
Il momento angolare : . Riscrivendolo:
.
Il primo termine il momento angolare rispetto al centro di massa (calcolato nel sistema di riferimento del centro di massa), il secondo il
momento angolare rispetto allorigine del sistema inerziale di un punto materiale che ha una massa pari a quella totale del sistema, coincide e
ha la velocit del centro di massa.
g
60
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Secondo teorema di Knig
Lenergia cinetica del sistema di punti si pu scrivere, nel sistema di riferimento inerziale, come la somma dellenergia cinetica dovuta al
moto del centro di massa e di quella del sistema rispetto al centro di massa.
Lenergia cinetica calcolata nel sistema di riferimento inerziale : . Riscrivendo:
.
Il primo termine lenergia cinetica rispetto al centro di massa (calcolata nel sistema di riferimento del centro di massa), il secondo termine
lenergia cinetica di un punto materiale che possiede tutta la massa del sistema e si muove con la velocit del centro di massa.
61
Teorema dellenergia cinetica per sistemi di puntimateriali
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Per il calcolo dellenergia cinetica si utilizza il teorema dellenergia cinetica per i punti materiali per cui: . Per questo motivo si
deve considerare il lavoro , prestando attenzione che, a differenza delle forze, il lavoro risultante delle forze interne non
nullo. Appunto , e ci implica che al lavoro delle forze interne legato un cambiamento delle distanze mutue tra i vari
punti.
Sapendo che , sommando su tutti i punti e integrando si ottiene: .
Unendo i risultati si ottiene il teorema dellenergia cinetica per i sistema di punti materiali:
.
Se le forze interne ed esterne sono conservative e ci permette la conservazione dellenergia
meccanica:
Se non tutte le forze sono conservative:
materiali
62
Urti tra due punti materiali
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Quando due punti vengono a contatto e interagiscono per un intervallo di tempo trascurabile rispetto al tempo di osservazione del sistema,
si parla di urto trai due punti.
Nellurto si sviluppano forze impulsive, forze interne al sistema costituito dai due punti interagenti.
In assenza di forze esterne si verifica durante lurto la conservazione della quantit di moto totale:
.
La quantit di moto del centro di massa rimane invariata nellurto:
.
Variano le quantit di moto di ciascun punto materiale per effetto dellimpulso della forza:
.
.
In un urto non si pu stabilire a priori se avviene una conservazione di energia cinetica, bisogna utilizzare il 2 teorema di Knig.
63
Pu avvenire la conservazione della quantit di moto anche in presenza di forze esterne se la durata dellurto sufficientemente piccola e le
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forze esterne non sono impulsive. Infatti: e .
64
e
Urto elastico 1 0
Urto anelastico 0 < e < 1 1 > e > 0
Urto completamente anelastico 0 1
Urto completamente anelastico
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I corpi, deformandosi in modo permanente, restano compenetrati dopo lurto formando un unico corpo puntiforme di massa e il
lavoro compiuto per fare avvenire la deformazione non viene pi recuperato. Le forze interne non sono conservative.
Velocit del centro di massa: .
Energia cinetica del sistema prima dellurto: .
Energia cinetica del sistema dopo lurto: .
Energia assorbita nellurto: .
Con e le velocit dei due punti prima dellurto e la velocit comune subito dopo lurto.
65
Urto anelastico
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I corpi ritornano separati dopo lurto, durante il quale si conserva la quantit di moto totale del sistema, se non agiscono forze esterne di
tipo impulsivo, ma non lenergia cinetica.
Il corpo con quantit di moto nellistante precedente allurto vede, per effetto dellimpulso nella fase di deformazione, ridursi
progressivamente a zero la sua quantit di moto fino ad arrestarsi. Nella fase successiva, sempre durante lurto, il punto riacquista
quantit di moto fino al valore , opposto in vero e minore in modulo rispetto a (lo stesso vale per il secondo corpo).
Coefficiente di restituzione: .
Energia cinetica del sistema: .
Variazione di energia cinetica nellurto: .
Nel sistema del laboratorio
Relazione tra velocit iniziale e finale:
.
66
Urto elastico
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I corpi che si urtano subiscono, durante lurto, delle deformazioni elastiche, riprendendo la configurazione iniziale subito dopo lurto.
Durante lurto si conserva anche lenergia cinetica del sistema. Le forze interne sono conservative.
Prendendo due corpi in una dimensione si ha per la conservazione: .
Nel sistema del centro di massa
La velocit e la quantit di moto di ciascun punto restano le stesse in modulo, cambiano solo di verso:
.
Nel sistema del laboratorio
Relazione tra velocit iniziale e finale:
Si tratta solo il caso unidimensionale perch per risolvere un problema di urto elastico nel piano o nello spazio, oltre a conoscere la velocit
prima dellurto, bisogna avere qualche altra informazione sulle velocit dopo lurto.
67
Capitolo 5
Gravitazione
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Gravitazione
Concetti fondamentali:
- gravitazione
- massa inerziale
- massa gravitazionale
- leggi di Keplero
- campo
- teorema di Gauss
Forza gravitazionale
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Prima legge di Keplero
I pianeti percorrono orbite ellittiche intorno al sole che occupa uno dei fuochi dellasse.
Seconda legge di Keplero
La velocit areale con cui il raggio vettore che unisce il sole ad un pianeta descrive lorbita costante.
Terza legge di Keplero
Il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta proporzionale al cubo del semiasse maggiore dellellisse: .
Posizioni
Perielio: Afelio:
Con il semiasse maggiore, leccentricit e pari ai valori delrapporto tra periodo e semiasse.
69
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Legge di gravitazione universale
Date due masse qualsiasi, di dimensioni trascurabili rispetto alla distanza minima, tra di esse agisce una forza attrattiva diretta lungo la
retta congiungete le due masse, il cui modulo dipende direttamente dal prodotto delle masse e inversamente dal quadrato della distanza.
Dalla 2 legge di Keplero si deduce che il moto circolare uniforme: .
Dalla 3 legge di Keplero si deduce che se allora .
Essendo la forza centrale, questa inversamente proporzionale alla distanza: .
Per il principio di azione e reazione: , e chiamando si ottiene:
.
Dove .
70
Massa inerziale e massa gravitazionale
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Si pu ottenere una relazione tra la massa inerziale e lamassa gravitazionale attraverso un ragionamento rispetto alle forze applicate.
Sulla superficie terrestre vale: . Si ottiene perci che , e, ricavando sperimentalmente che in uno stesso
luogo indipendente dai corpi, si deduce che il rapporto pari ad una costante indipendente dal corpo. Ci permette di
concludere che la massa inerziale e quella gravitazionale sono fondamentalmente la stessa cosa, con unuguaglianza fino a masse
dellordine di .
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Campo gravitazionale
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La forza gravitazionale esercitata da un corpo di massa su un altro corpo di massa pari al prodotto di un vettore, che non dipende
da ma dolo da e dalla distanza da , per la massa sottoposta allazione di :
.
Il vettore si chiama campo gravitazionale G generato dalla massa sorgente del campo nel punto , distante .
.
Relazione tra campo gravitazionale e potenziale gravitazionale: .
72
Energia potenziale gravitazionale
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
74/185
La forza gravitazionale conservativa in quanto il lavoro infinitesimo vale e perci il lavoro compiuto
vale:
.
Con lenergia potenziale: .
Potenziale gravitazionale
Lenergia potenziale si pu scrivere anche: , essendo
ilpotenziale gravitazionale del campo prodotto da .
Lavoro: .
Relazione tra campo gravitazionale e potenziale gravitazionale: .
73
Teorema di Gauss
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
75/185
Il flusso del campo gravitazionale attraverso una superficie chiusa proporzionale alla somma delle massa interne alla superficie.
Massa distribuita su una superficie sferica di raggio in modo uniforme.
Flusso: Campo: .
Massa distribuita uniformemente in tutto il volume sferico di raggio .
Flusso: Campo esterno alla sfera: .
Flusso: Campo interno alla sfera: .
Allinterno della sfera omogenea la massa puntiforme subisce lazione di una forza elastica: .
Il teorema di Gauss vale esclusivamente per i campi vettoriali che dipendono inversamente dal quadrato della distanza.
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7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Energia potenziale gravitazionale di una massa sferica omogenea
Essendo , in quanto , integrando si ricava e perci:
.
Se il raggio ha un valore tale che , si parla di buco nero.
75
Velocit di fuga e satelliti terrestri
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Velocit di fuga
La velocit di fuga di un corpo sulla terra si calcola utilizzando la
conservazione dellenergia meccanica: .
Perci: . Si vuole che corpo arrivi a distanza
infinita dalla terra a velocit nulla, ricavando quindi la velocit di
fuga:
.
Analogamente se non ci si trovasse sulla terra: .
Satelliti terrestri
Si intenda un satellite di massa che descrive unorbita
circolare intorno alla Terra.
Velocit: .
Periodo: .
Energia meccanica: .
Forza gravitazionale: .
76
Capitolo 6
Dinamica del
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Dinamica del
corpo rigido
Concetti fondamentali:
- corpo continuo
- densit
- centro di massa
- rotazione
- momento dinerzia
- teorema di Huygens-
Steiner
- pendolo di torsione
- giroscopio
Corpo rigido e gradi di libert
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Definizione
Un corpo rigido un sistema di punti materiali in cui le distanze tra tutte le possibili coppie di punti non possono variare. un corpo
esteso.
I gradi di libert sono il numero di parametri necessari per descrivere il moto di un sistema.
Spiegazione
Un punto nello spazio individuato da 3 parametri, le sue coordinate. In un corpo rigido, essendo che le distanze tra glin punti che lo
compongono devono essere uguali sempre nel tempo, ha un numero di parametri minore di 3n non avendo tutti bisogno di tre coordinateper essere descritti.
Ogni asse cartesiano individuato da tre coseni direttori. Per ogni punto quindi si hanno 9 coseni direttori che per non sono tra loro
indipendenti: devono infatti soddisfare la condizione: avendo il versore di modulo unitario, e ci comporta che in totale
sono tre condizioni quelle da soddisfare. Inoltre gli assi devono essere mutualmente ortogonali, ci comporta le tre condizioni:
.
I parametri indipendenti che individuano i tre assi sono quindi 3: 9 coseni direttori con 6 condizioni.
78
Bisogna anche individuare la posizione del centro di massa: 3 coordinate.
Perci si pu evidenziare, come in tabella, i gradi di libert di un corpo rigido:
Punto
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Corpo
rigido
Punto
materiale
npunti
materiali
indipendenti
Punto
vincolato
a
muoversilungo
una linea
Puntovincolato
a
muoversi
lungouna
superfici
e
Due
punti
vincolati
ad averesempre
la stessa
distanza
Gradi di
libert6 3 3n 1 2 5
In un corpo rigido, infine, bisogna considerare solamente le forze esterni agenti su tale corpo, perci si utilizzeranno solo le tre leggi
fondamentali:
.
Corpo rigido libero
Moto del centro di massa: Moto rispetto al centro di massa:
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Momento dinerzia
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Ilmomento dinerzia totale la somma dei momento dinerzia parziali, calcolati rispetto allo stesso asse.
Momento dinerzia per un corpo continuo:
.
In tutte le formule del momento dinerzia si ha unespressione del tipo: , dove la massa del corpo, una dimensione
significativa, un fattore numerico legato alla struttura del corpo. Il momento dinerzia si pu scrivere utilizzando ilraggio giratore:
.
82
Effetti del non parallelismo del momento angolare evelocit angolare
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Quando due masse sono distribuite in modo tale che il momento angolare e la velocit angolare non siano paralleli, esiste un momento
esterno (momento delle forze centripete) responsabile della variazione del momento angolare nel tempo, pur essendo la rotazione
uniforme. Il risultato non dipende dalla scelta del polo perch non ne dipende la risultante dei momenti delle forze esterne.
Si considerino un corpo rigido formato da due punti materiali di massa uguale collegati tra loro da unasta di massa trascurabile lunga .
Non sono presenti attriti e la velocit angolare costante.
Punti sullo stesso piano
Momento angolare
Qualunque sia il polo, per i due punti stessa componente lungo lasse di rotazione e componenti opposte ortogonalmente allasse.
Momento delle forze
Essendo il momento angolare costante, il momento delle forze nullo.
83
Sistema ruotato
Momento angolare
I momenti angolari dei due punti, prendendo come polo il centro di massa, sono uguali e la risultante del momento angolare non
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parallela allasse di rotazione e ha le componenti:
Il momento angolare precede uniformemente e la sua variazione legata al momento delle forze esterne.
Con la componente lungo lasse di rotazione costante e quella ortogonale variabile in direzione.
Momento delle forze
Al momento delle forze esterne contribuiscono solo le forze centripete, ciascuna pari a .
La miglior situazione dinamica dal punto di vista dellequilibrio dellasse di rotazione si ha quando il centro di massa sta sullasse e questo
unasse principale dinerzia.
84
Teorema di Huygens-Steiner
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Il momento dinerzia di un corpo di massa rispetto ad un asse che si trova ad una distanza dal centro di massa del corpo dato da:
.
Dimostrazione
Si considerino due assi e tra loro paralleli, distanti , con passante per il centro di massa.
Relazione tra le coordinate nei due sistemi con centro nel centro di massa: .
Momento dinerzia di un generico punto rispetto allasse : .
Sommando tutti i punti si ottiene definitivamente:
Dove il momento dinerzia del corpo rispetto ad un asse passante per il centro di massa. nullo in quanto ,
coordinata del centro di massa, nulla.
85
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Teorema di Huygens-Steiner e teorema di Knig
Riprendendo lenergia cinetica di rotazione, il teorema di Huygens-Steiner e quello di Knig:
si ricava:
.
Il risultato appena trovato in accordo con il teorema di Knig per lenergia cinetica.
86
Impulso angolare e momento dellimpulso
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Impulso angolare
Lazione di un momento durante un intervallo finito di tempo causa una variazione finita del momento angolare. Lapplicazione dellimpulso
provoca, oltre ad una variazione di quantit di moto, una variazione di momento angolare uguale al momento dellimpulso.
Momento dellimpulso
Il valore viene detto momento dellimpulso.
87
Conservazione nel moto del corpo rigido
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Conservazione della quantit di moto del sistema
Se la risultante delle forze esterne nulla, i centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme, ma il moto dei singoli punti non detto
sia traslatorio rettilineo uniforme.
Conservazione del momento angolare
Se il momento delle forze esterne nullo, il momento angolare resta costante in modulo, direzione e verso. Questo per non comporta che
la velocit angolare sia costante, in quanto non detto che il moto di rotazione avvenga attorno ad un asse principale dinerzia per cui
risulterebbe .
Conservazione del momento angolare in un sistema formato da pi corpi rigidi con variazione della posizione relativa delle
singole parti e quindi con variazione del momento dinerzia del sistema
La variazione del momento dinerzia porta una variazione della velocit angolare.
88
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Indipendenza della conservazione del momento angolare dalla conservazione dellenergia meccanica
Se il momento angolare costante, a diverse configurazioni con lo stesso momento angolare corrispondono energie diverse, cio lenergia
non si conserva.
La legge della conservazione dellenergia meccanica nel moto di un corpo valida quando non ci sono attriti o quando le forze di attrito non
compiono lavoro. Le reazioni vincolari non compiono lavoro mentre la presenza di momenti di attrito che agiscono sullasse di rotazione
determina un lavoro che provoca una diminuzione dellenergia meccanica. Se il centro di massa resta in un piano orizzontale l energia
potenziale nulla ed sufficiente considerare la sola energia cinetica; se invece cambia la quota del centro di massa: .
89
Statica
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Per un punto materiale la risultante delle forze applicate deve essere nulla.
Corpo rigido inizialmente in quiete
Equilibrio di corpi sospesi
Centro di massa non sulla verticale passante per il centro di sospensione
Il momento della forza peso non nullo: il corpo ha unaccelerazione angolare. Centro di massa con accelerazione non nulla,
determinata dalla risultante della forza peso e della reazione vincolare nel centro di sospensione.
Centro di massa sulla verticale sotto il centro di sospensione: equilibrio stabile
Se si allontana il corpo dalla posizione di equilibrio la forza peso tende a riportarvelo.
Centro di massa sulla verticale sopra il centro di sospensione: equilibrio instabile
Se si allontana il corpo dalla posizione di equilibrio la forza peso tende a far ruotare il corpo portandolo nella situazione per cui il
centro di massa si trovi sotto il centro di sospensione.
Centro di massa sulla verticale sopra il centro di sospensione: equilibrio indifferente
Il momento della forza peso sempre nullo e il corpo sempre in quiete, qualsiasi posizione angolare assunta.
90
Moto di traslazione
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Tutti i punti descrivono traiettorie uguali, in generale curvilinee, percorse con la stessa velocit, che pu variare nel tempo in modulo,
direzione e verso: la velocit coincide con la velocit del centro di massa.
Non c movimento rispetto al centro di massa: .
Grandezze significative: .
Momento angolare: .
Equazione del moto del centro di massa: .
91
Moto di rotazione
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Tutti i punti descrivono un moto circolare, le traiettorie sono archi di circonferenze diverse che stanno su piani tra loro paralleli e hanno il
centro su uno stesso asse di rotazione. Tutti i punti in un dato istante hanno la stessa velocit angolare, parallela allasse di rotazione, le
velocit dei singoli punti per sono diverse a seconda della distanza dallasse di rotazione (infatti ).
Equazione dinamica di base del moto: .
92
Rotazioni rigide intorno ad un asse fisso
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Il vettore della velocit angolare ha direzione fissa, quella dellasse di rotazione, mentre il modulo variabile nel tempo. Il verso del
vettore indica il verso della rotazione.
Se il vettore della velocit angolare varia nel tempo, il vettore accelerazione angolare , parallelo allasse di rotazione, diverso da
zero.
I punti dellasse di rotazione sono punti fissi, utilizzati quindi come poli. Lasse rotazionale pu essere esterno al corpo.
Momento angolare
La componente del momento angolare rispetto allasse di rotazione proporzionale alla velocit angolare e dipende, tramite il coefficientedel momento dinerzia, solo dalla forma del corpo e dalla posizione dellasse rispetto al corpo.
La componente del momento angolare ortogonale allasse varia in direzione, pu variare in modulo e dipende dalla scelta del polo. Essa
data dalla somma vettoriale di .
In una situazione dinamica per cui sia costante, il momento angolare, che non parallelo a , cambia nel tempo e ci dovuto al
momento delle forze esterne. Se invece il momento angolare parallelo a , non vi precessione e se costante non c momento
risultante delle forze esterne.
Momento angolare rispetto al punto O: . In modulo: .
93
Momento angolare assiale: .
Momento totale assiale:
.
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Se il momento angolare risulta parallelo allasse di rotazione:
Il moto pi generale, che ruota intorno allasse di rotazione, un moto di precessione. Se la velocit angolare costante un moto di
precessione uniforme ed essendo anche il momento angolare costante:
In modulo: .
Con ortogonale al piano individuato dai vettori e e forma un angolo con lasse z; raggio della traiettoria del
punto. Con momento dinerzia del corpo rispetto allasse z. Il momento angolare del corpo in generale non parallelo allasse di rotazione e
quindi a ; lo se lasse di rotazione unasse di simmetria o quando lasse di rotazione coincide con un asse principale dinerzia. Con
ortogonale a e parallelo a di modulo .
Momento dinerzia
Dipende dalle masse e dalla loro posizione rispetto allasse di rotazione.
.
94
Equazione del moto
Momento angolare parallelo a
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Legge oraria: .
Momento forze esterne nullo
Il corpo resta in quiete o si muove con moto circolare uniforme.
Momento forze esterne costante
Il moto circolare uniforme accelerato.
Momento forze esterne generico
Il moto circolare vario.
Momento angolare non parallelo a
Il moto di rotazione dipende dal momento assiale delle forze esterne.
95
Legge oraria: .
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Proiezione sullaltra componente: . Non porta a variazione di .
Moto del centro di massa
Se questo non sullasse di rotazione ma ne dista , laccelerazione ha come componenti:
.
Energia cinetica
Lenergia cinetica dipende dal momento dinerzia del corpo rispetto allasse di rotazione.
Momento angolare parallelo a : .
Momento angolare non parallelo a : .
96
Lavoro
Quando un corpo rigido in quiete o in rotazione con velocit angolare portato a ruotare con velocit angolare a seguito
dellapplicazione di un momento esterno, lenergia cinetica subisce una variazione e quindi si ha un lavoro compiuto.
In una situazione dinamica lazione esterna rappresentata dal momento delle forze e linerzia del corpo dal momento dinerzia, arrivando
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In una situazione dinamica l azione esterna rappresentata dal momento delle forze e l inerzia del corpo dal momento d inerzia, arrivando
alla fine a calcolare laccelerazione angolare, identica per tutti i punto come la velocit angolare, e perci la cinematica la stessa.
Relazione tra momento e lavoro: , perci:
.
Se :
.
97
Moto di rototraslazione
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Ogni spostamento infinitesimo pu essere sempre considerato come somma di una traslazione e di una rotazione infinitesime, individuate
da e , variabili nel tempo.
Velocit: .
unica, dipende dallasse di rotazione considerato.
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Dinamica del corpo rigido
Moto di puro rotolamento
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Se la velocit di tutti i punti di un corpo sono uguali tra loro e parallele al piano si ha un moto di traslazione e il corpo striscia sul piano. Se
la velocit del punto di contatto col piano nulla, si ha un moto di puro rotolamento, altrimenti il corpo rotola e striscia.
Agisce, per tenere fermo il punto di contatto nellintervallo , una forza di attrito statico.
Velocit del punto di contatto: .
Condizione di puro rotolamento:
.
Cio:
Velocit angolare ; accelerazione angolare ;punto di contatto ; velocit di ogni punto ortogonale alla linea che congiunge il punto con il
punto di contatto: .
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Corpo di massa e raggio che rotola senza strisciare su una superficie piana orizzontale sotto lazione di una forza
orizzontale costante applicata allasse
si oppone al moto.
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Legge del moto del centro di massa: . Componenti: .
Attraverso il teorema del momento angolare si ottiene: .
Accelerazione del centro di massa: . Forza di attrito statico: .
Corpo di massa e raggio che rotola senza strisciare su una superficie piana orizzontale sotto lazione di un momento
costante
favorisce il moto.
Legge del moto del centro di massa: . Componenti: .
Attraverso il teorema del momento angolare si ottiene: .
Accelerazione del centro di massa: . Forza di attrito statico: .
100
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102/185
Attraverso il teorema del momento angolare si ottiene: .
Accelerazione del centro di massa: . Forza di attrito statico: .
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Massima inclinazione: .
Con energia potenziale; ; . Se il corpo scivolasse senza attrito arriverebbe alla fine del piano con velocit maggiore:
. Sui corpi agisce sempre la forza peso . Il valore della forza di attrito statico deve essere: .
102
Urti
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Agiscono solo forze interne (o quelle esterne non sono
impulsive)
Si conserva la quantit di moto totale. Si conserva il momento
angolare (indipendentemente dalla scelta del polo).
Esiste un vincolo che tiene fermo un punto del corpo rigido
Non si conserva la quantit di moto totale. Il sistema di vincoli
pu esplicare una risultante delle forze e un momento risultante.
C limpulso della forza e limpulso angolare
.
Momento, rispetto ad un polo, delle forze esterne
(comprese quelle vincolari) nullo
Si conserva il momento angolare rispetto al polo.
Due corpi si urtano ma non restano attaccati
Le quantit di moto dopo lurto formano normalmente un certo
angolo con la direzione che avevano prima dellurto
Se i due corpi si muovono lungo la stessa retta si parla di urto
centrale.
103
Dinamica di particolari corpi rigidi
Pendolo di torsione
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Ogni corpo rigido che possa oscillare, per azione del suo peso, in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il
centro di massa un pendolo composto o di torsione.
Momento della forza peso (parallelo allasse di rotazione): .
Equazione del moto (escludendo momenti di forze dattrito): , perci: .
Il momento dinerzia vale: .
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Corpo rigido con un punto che mantenuto fisso da un opportuno sistema di vincoli.
Giroscopio
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Il punto fisso coincide con il centro di massa, non ci sono momenti di forze esterne rispetto al centro di massa e la rotazione
avviene attorno ad un asse centrale dinerzia
Essendo e , ovviamente , perci lasse di rotazione resta fisso nel tempo.
Il punto fisso coincide con il centro di massa, la rotazione ha luogo intorno ad un asse centrale dinerzia, ma agisce rispetto al
punto fisso un momento di forze esterne
Forza applicata verticalmente, asse di rotazione orizzontale
Momento delle forze rispetto al centro di massa (giace su un piano orizzontale): .
Variazione di momento angolare (parallelo al momento delle forze): .
Lasse si sposta in un piano orizzontale e non verso il basso. Il momento angolare precede rispetto ad un asse verticale con velocit
angolare tale che .
Se lo spostamento dellasse seguirebbe la forza e non sarebbe perpendicolare alla forza, i momenti rimarrebbero gli stessi ma
oltre che la variazione del momento angolare, anche il momento angolare stesso risulterebbero paralleli al momento delle forze.
106
Forza applicata orizzontalmente, asse di rotazione verticale
Momento delle forze rispetto al centro di massa (giace su un piano verticale): .
Variazione di momento angolare (parallelo al momento delle forze): .
Lasse si sposta in un piano verticale. Il momento angolare precede rispetto ad un asse verticale con velocit angolare tale che
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.
Se lo spostamento dellasse seguirebbe la forza e non sarebbe perpendicolare alla forza, i momenti rimarrebbero gli stessi ma
oltre che la variazione del momento angolare, anche il momento angolare stesso risulterebbero paralleli al momento delle forze.
Il punto fisso coincide con il centro di massa, non ci sono momenti di forze esterne rispetto al centro di massa per lasse di
rotazione non un asse centrale dinerzia
Essendo e , non essendoci attriti, permettendo perci allenergia cinetica di rotazione di restare costante, risulta:
. Il vettore risulta sempre ortogonale al piano del vettore del momento angolare .
ruota rispetto a con un moto di precessione e ruota rispetto allellissoide dellenergia senza avere una posizione costante nel corpo. Si ha
quindi il fenomeno dellanutazione.
Il punto fisso diverso dal centro di massa centro di massa, perci non nullo ill momento della forza peso
Momento della forza peso: . Momento della reazione del piano: nullo.
Variazione nel tempo del momento angolare: .
Velocit angolare di precessione del vettore del momento angolare: . Periodo del moto di precessione: .
107
Capitolo 7
Bibliografia egrafica
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grafica
Wikipedia
M.I.T.
Lezioni di Fisica -Meccanica eTermodinamica - TullioPapa
Fisica - Volume 1 - P.Mazzoldi, M. Nigro, C.Voci
Accelerazione
Rapidit di variazione temporale della velocit. la derivata prima della velocit rispetto al
tempo o la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo.
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Termini del glossario correlati
Indice
Spostamento complessivo, Velocit
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Accelerazione centripeta
Variazione della velocit quando questa varia in direzione, cio la componente
dell'accelerazione lungo la normale alla traiettoria.
L'accelerazione centripeta, rappresentata dal vettore , sempre diretta verso il centro
della circonferenza. Per poter mantenere un corpo di massa m su una traiettoria circolare di
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raggio r con una velocit tangenziale occorre una forza centripeta:
essendo la velocit angolare.
L'accelerazione centripeta pu essere fornita dalla presenza di un vincolo (un filo, una
rotaia circolare, l'attrito tra gli pneumatici e la strada), oppure da un campo di forze centrali,
come la forza di gravit o la forza elettrica.
Se ad un dato istante l'accelerazione centripeta si annullasse, il corpo, per la prima legge
della dinamica, proseguirebbe lungo la direzione indicata dal vettore velocit tangenziale.
Termini del glossario correlati
Indice
Accelerazione
Accelerazione di Coriolis
Dipende dal moto di P rispetto al sistema mobile tramite la velocit relativa .
In realt l'accelerazione di Coriolis nasce quando si vuole la relazione che lega le
accelerazioni che una particella ha rispetto a due riferimenti in moto l'uno rispetto all'altro.
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Termini del glossario correlati
Indice
Capitolo 3 - Accelerazione relativa
Accelerazione, Forze apparenti
Accelerazione di gravit
Accelerazione che un corpo subisce quando lasciato libero di muoversi in caduta libera in
un campo di gravit.
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Termini del glossario correlati
Indice
Capitolo 2 - Forza peso
Accelerazione, G
Accelerazione di trascinamento
Essa pari allaccelerazione del punto P*, solidale con il sistema mobile, che coincide
nellistante considerato con il punto P.
Un sistema fisso ne vede uno in moto che si sposta rispetto a lui; il sistema che si sposta
quello solidale al corpo il quale quindi trascina con il suo moto il secondo sistema di
riferimento
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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riferimento.
Termini del glossario correlati
Indice
Capitolo 3 - Accelerazione relativa
Accelerazione, Forze apparenti
Accelerazione tangenziale
Rapidit di variazione del modulo della velocit lineare. L'accelerazione pu avere due
contributi, a seconda di come varia il vettore accelerazione. Questo pu variare in modulo e
in direzione.
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Termini del glossario correlati
Indice
Capitolo 1 - Moto circolare non uniforme
Accelerazione
Attrito
In fisica l'attrito una forza dissipativa che si esercita tra due superfici a contatto tra loro
opponendosi al loro moto relativo. La forza d'attrito che si manifesta tra superfici in quiete
tra loro detta di attrito statico mentre tra superfici in moto relativo si parla invece di attrito
dinamico.
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Termini del glossario correlati
Indice
Capitolo 2 - Dinamica del punto
Attrito dinamico, Attrito statico
Attrito dinamico
Il coefficiente d'attrito una grandezza adimensionale e dipende dai materiali delle due
superfici a contatto e dal modo in cui sono state lavorate. Esso corrisponde al rapporto tra
la forza di attrito tra due corpi e la forza che li tiene in contatto . Il coefficiente di attrito
statico sempre maggiore o uguale al coefficiente d'attrito dinamico per le medesime
superfici.
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Questo implica che la forza necessaria al primo distacco (cio per far s che i corpi inizino a
strisciare) superiore a quella necessaria a tenerli in strisciamento.
Termini del glossario correlati
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Capitolo 2 - Forza di attrito radente
Attrito, Attrito statico
Attrito statico
Il coefficiente d'attrito una grandezza adimensionale e dipende dai materiali delle due
superfici a contatto e dal modo in cui sono state lavorate. Esso corrisponde al rapporto tra
la forza di attrito tra due corpi e la forza che li tiene in contatto . Il coefficiente di attrito
statico sempre maggiore o uguale al coefficiente d'attrito dinamico per le medesime
superfici.
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Questo implica che la forza necessaria al primo distacco (cio per far s che i corpi inizino a
strisciare) superiore a quella necessaria a tenerli in strisciamento.
Termini del glossario correlati
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Capitolo 2 - Forza di attrito radente
Attrito, Attrito dinamico
Campo di forza
un campo vettoriale che genera una forza dipendente dalla posizione nello spazio-tempo.
Il campo di forze stato introdotto nel corso del XVIII secolo, ma l'idea che i corpi possano
interagire anche quando non si trovano a contatto, ovvero l'idea di un'azione a distanza,
stato a lungo un tema dibattuto tra i fisici.
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Nel caso della forza di gravit si suppone ad esempio che un corpo dotato di massa
modifichi lo spazio intorno a s, definendo in ogni punto (specificato da un vettore
posizione ) un vettore di campo in modo tale che un altro corpo che si trovi nel
punto risenta di tale campo e vari la sua traiettoria di conseguenza. Tale campo un
campo vettoriale.
La stessa cosa avviene nel caso della forza elettrica, con la differenza che in questo caso
si possono avere forze sia attrattive (tra cariche di segno opposto) che repulsive (tra
cariche dello stesso segno). Il grafico a fianco rappresenta il campo di forze generato da
una sfera carica positivamente con una carica Q su un'eventuale altra carica esploratrice
q che si dovesse trovare nei vari punti dello spazio (il campo naturalmente
tridimensionale ed il grafico rappresenta il campo su un piano passante per il centro della
sfera). In ogni punto dello spazio definito un vettore forza; il vettore diretto radialmente
ed il suo modulo inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro della
sfera. In elettrostatica si preferisce tuttavia utilizzare il campo elettrico in luogo della forza,
definito come la forza per unit di carica esploratrice (tale campo ha il vantaggio di
dipendere solo da Q e non da q).
Termini del glossario correlati
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Capitolo 2 - Forze centrali
Forza, Forza centrale
Centro di massa
Il centro di massa di un sistema il punto geometrico corrispondente al valor medio della
distribuzione della massa del sistema nello spazio.
Nel caso particolare di un corpo rigido, il baricentro ha una posizione fissa rispetto al
sistema.
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Il centro di massa, tuttavia, definito per un qualunque sistema di corpi massivi,indipendentemente dalle forze (interne o esterne) che agiscono sui corpi; in generale, il
centro di massa pu non coincidere con la posizione di nessuno dei punti materiali che
costituiscono il sistema fisico.
Termini del glossario correlati
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Capitolo 4 - Centro di massa
Trascina termini correlati qui
Coppia di forze
Sistema formato da due forze uguali di verso opposto aventi diversa retta di azione.
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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Termini del glossario correlati
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Capitolo 4 - Forze interne e forze esterne
Forza
Coseni direttori
I coseni direttori di una retta (o anche di un vettore) sono i coseni degli angoli convessi che
la retta (o la retta su cui giace il vettore) forma con gli assi cartesiani. La retta in questione
pu essere considerata giacente nel piano cartesiano o nello spazio euclideo.
I coseni direttori sono univocamente individuati in valore e segno se la retta orientata, ed
individuati in valore, ma non in segno, se la retta non orientata. Cambiando orientamento
alla retta, i coseni direttori cambiano simultaneamente di segno.
Nello spazio, se si ricavano i coseni direttori di una retta, si ottengono tre scalari che
costituiscono le coordinate del versore della retta.
Considerando quindi la retta , il cui vettore direttore , possibile
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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q p
ricavarne i coseni direttori tramite le formule:
Di fatto, quindi per ricavare i coseni direttori di una retta, occorre normalizzare un vettore
direttore della retta. Si hanno quindi in forma sintetica:
con .
Termini del glossario correlati
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Capitolo 6 - Corpo rigido e gradi di libert
Trascina termini correlati qui
Densit
Sostanza Densit (kgm^-3)
Berillio 1.8510^3
Carbonio 2.2710^3
Alluminio 2.7010^3
Silicio 2.3310^3
Ferro 7.8710^3
Rame 8.9610^3
Argento 10.5010^3
Tungsteno 19.3510^3
7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria
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g
Platino 21.4510^3
Piombo 11.3510^3
Ioduro di sodio 3.6710^3
Vetro 2.6010^3
Vetro Pyrex 2.2310^3
Quarzo 2.6410^3
Plexiglas 1.1810^3
Ghiaccio 0.9210^3
Legno di quercia 0.7710^3
Cemento armato 2.4510^3
Mercurio 13.5910^3
Acqua 1.0010^3
Terra 5.5410^3
Sole 1.4010^3
Sole collassato 6.9510^20
Nucleo del ferro 1.2610^17
Termini del glossario correlati
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Capitolo 6 - Dinamica del corpo rigido
Trascina termini correlati qui
Energia cinetica
L'energia cinetica l'energia posseduta da un corpo a causa del suo movimento.
Corrisponde al lavoro che si deve compiere su un corpo di massa m, inizialmente fermo,
per portarlo ad una certa velocit assegnata. L'energia cinetica quindi associata alla
massa e alla velocit di u